Вариационно-разностная реализация метода геометрического погружения в задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г Б оа

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

На правах рукописи

Труфанова Марина Александровна

ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОГРУЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фиэико - математических наук

Пермь - 1994

- г -

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, г. Пермь.

Научный руководитель

доктор- физико-математических наук Шардаков И. Н.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Щешенин'С.В. кандидат физико-матема-

тических наук, доцент Пестренин В. М.

Ведущая организация - Пермский государственный технический университет

Защита состоится "¿í/■ (~)р£аг)рЯ 1994 г. в -/О час. ОО мин. на заседании специализированного совета К 003.60.01 в Институте механики сплошных сред Уральского отделения АН России по адресу.- 614061, Пермь, ул. Академика, Королева,1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан " Я 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук /">

•с

/

Березин И.-К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Конструкции современных приборов и машин часто представляют собой трехмерные тела сложной криволинейной формы. Они нередко работают в условиях, требующих при расчете на прочность учета конкретной геометрии границ, выявления локальных эффектов в напряженно-деформированном состоянии, вызванных существенной трехмерностью рассматриваемых тел. Если конструкция работает в упругой области, то вышеизложенные требования приводят к постановке пространственной краевой задачи теории упругости.

Существует большое количество методов решения краевых задач трехмерной теории упругости. Классические точные аналитические решения полной системы уравнений трехмерной теории упругости известны для тел канонической формы. Ряд численно-аналитических методов позволяют получить решение некоторого класса задач для тел более или менее отличающихся от канонических.

Решение пространственных задач теории упругости для большинства реальных областей возможно лишь численными методами. Среди многочисленных численных методов выделяются: метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов.

Метод конечных разностей является мощным методом приближенного решения уравнений теории упругости, не накладывающим принципиальных ограничений на размерность задачи и на конфигурацию конструкции. Но трудности с неизбежным ухудшением сходимости по мере увеличения различия исходной области от канонической, а также увеличения размерности задачи, затрудняют расчеты сложных трехмерных объектов. Большое распространение получили подход, когда конечно-разностные аппроксимации используют непосредственно в вариационном уравнении, и подход с использованием метода фиктивных областей.

Метод конечных элементов является наиболее употребительным в современной расчетной практике. Метод нагляден, гибок и универсален, что позволяет в рамках единого программного комплекса предусмотреть возможность исследования весьма широкого класса конструкций. Применение различных трехмерных элементов позволяет анализировать пространственные конструкции.

Ко вычислительные трудности, связанные с быстро увеличивающейся длиной и шириной ленты матриц жесткости и масс, трудности в автоматизированном построении пространственных конечно-элементных сеток и сложность переработки полученных результатов не позволяют конечно-элементному анализу стать сколько-нибудь универсальным средством исследования сложных пространственных конструкций.

Метод граничных элементов использует аппроксимации на границе области. Его главное преимущество состоит в снижении размерности решаемой задачи кг единицу, что в случае исследования трехмерных конструкций весьма существенно. Но его эффективность заметно снижается в случае сложных областей и областей физически неоднородных .

Несмотря на то, что все эти методы достигли высокой степени развития и популярности, создание новых эффективных методов решения задач теории упругости, особенно в трехмерной постановке, остается актуальным во цсех отношениях.

В начале 80-х предложен новый метод решения пространственных задач теории упругости - метод геометрического погружения С МГП ). МГП позволяет свести исходную задачу для тела произвольной геометрической конфигурации к итерационной последовательности задач на некоторой канонической области . Такой подход позволяет избежать ряд недостатков численных методов, проявляющих себя при решении задач на областях сложной пространственной геометрии.

МГП допускает различную реализацию. .В зависимости от особенностей конфигурации упругого тела очень часто погружение оказывается удобным осуществлять в прямоугольный параллелепипед, круговой цилиндр или сферу. На таких областях наиболее эффективно работает конечно-разностный метод и построение конечно -разностных схем метода геометрического погружения для вариационной постановки задач теории упругости является весьма актуальным.

Целью работы является

- создание эффективного алгоритма численной реализации вариационной формулировки МГП для решения пространственных задач однородной и неоднородной теории упругости с использованием вариационно-разностного подхода;

- апробация алгоритма и программ на различных зада-

чах теории упругости;

- получение решения ряда конкретных задач по определение напряженно-деформированного состояния пространственных конструкций сложной геометрической формы.

Научная новизна работа-.

- разработан алгоритм решения трехмерных однородных и неоднородных задач теории упругости в декартовой и цилиндрической системах координат, основанный на применении МГП с использованием вариационно-разностного подхода;

- проиллюстрирована работоспособность и эффективность предложенного алгоритма при решении ряда задач;

решены новые трехмерные краевые задачи однородной и неоднородной теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния.

Практическая ценность работы состоит в разработанных алгоритмах и программах решения задач однородной и неоднородной теории упругости для тел сложной пространственной конфигурации, основанных на вариационно-разностной реализации МГП.

Достоверность результатов обеспечена строгой математической постановкой и подтверждена численными экспериментами по оценке сходимости созданных алгоритмов, сравнением полученных результатов с существующими аналитическими решениями и численными результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на XVI научной конференций-молодых ученых С г.Киев, 1989 ), XVII научно-технической конференции молодых ученых и специалистов С г.Харьков, 1990 3, Всероссийской научной конференции " Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов давлением " С г.Пермь, 1990 ), IX Зимней школе по механике сплошных сред С г.Пермь, 1991 XV международном научно-техническом совещании по проблемам прочности двигателей С г.Москва, 1994 }.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ [ 1-7 ].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Она занимает 131 стр. машинописного текста, из которых 43 стр. - рисунков, 5 стр. - таблиц, 12 стр.- список литерату-

ры из 99 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении диссертации обосновывается актуальность работы, содержится обзор современных работ по основным подходам к решению пространственных задач теории упругости, отражены важнейшие достижения исследователей в этой области, изложено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе приведена постановка задач.трехмерной теории упругости для однородных и неоднородных тел. Рассмотрены основные теоретические положения МГП.

В первом параграфе изложено применение МГП к задачам однородной теории упругости.

Упругое тело в евклидовом пространстве занимает ограниченную связную область 0, имеющую непрерывную по Липшицу границу 5.

Требуется отыскать вектор перемещения, удовлетворяю-

щий краевой задаче теории упругости :

<$1у сгСи)+ГСХЭ=0, X <е V , С1)

о- С и 1-й С X 3 = 6 СХЭ , X € (23

исХЭ=0, Хе 5,,. СЗ)

Где и,Г и в - векторы перемещения, массовых и поверхностных сил соответственно; X - радиус-вектор произвольной точки области Б; г> - вектор внешней единичной нормали к границе 5 ; а - тензор напряжения; Ба и - части границы, на которых заданы краевые условия соответственно по напряжениям и перемещениям.

Тензор напряжения связан с тензором деформации с физическим законом Гука для изотропного материала

а = Л Е0 + 2 м с , С4-Э

здесь Е- единичный тензор; в - первый инвариант тензора деформации; Ли ¡.I - физические параметры Ламе.

Связь линейного тензора деформации е с вектором перемещения определяется геометрическими соотношениями Каши

с - \ 1С )т + 1. С5)

Решение краевой задачи С1)-С3) осуществим методом геометрического погружения, вариационное уравнение которого имеет вид

V 51) е V С Г ] ' 0 0

< и ,51/ >о= < и ,6М >д+ С Г,61/ ) + С 6,51/ С6)

Скалярные произведения и нормы введены следующие

|| и II я < и,и У1/г I и I = с и,и У '2,

9

I и 13 = с и,и У'2, II и ||0= < и,и >,/г

С Г,<5и Э = / Г'<511 dD , С 6,<51/ )3 = / б-би (£0. , 15 а

< II, (51/ > = ГсгС 1/)''е С 61/ 3 с/й ,

' о ■> о'

О

о

< и,(51/ >д = ]■ ст С и )••£ С £1/ Э <Юу

т>

здесь область имеет непрерывную по Липшицу границу 5о> а 5д- граница области Од = Б , представляющей собой дополнение области Б до области Б .

о

Решение вариационной задачи С 6) осуществляется с помощью итерационной процедуры:

у <5и е V С Б ) < 1/*,(51/ > = < 1/к-',<5и >. +

' о о 'о Д

С?)

+ С Г,(51/ ) + С в,<51/ , к=1,2,и0 = 0.

■ Ите]рационная процедура (7), определяющая суть МГП, всегда сходится, независимо от выбора начального приближения и от степени отличия исходной области Э от области Б .

о

Во втором параграфе изложена теория МГП для решения неоднородных задач теории упругости.

Во всех случаях метод МГП позволяет свести решение задачи на произвольной области к итерационной последовательности решения краевых задач на канонической и всегда однородной области.

Во второй главе по методу конечных разностей построен конечно-мерный аналог вариационного уравнения МГП С7). При

аппроксимации вариационного уравнения на сетке получили разностные уравнения, представляющие собой систему линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей.

В первом параграфе рассмотрена дискретизация задачи С1)-(ЗЭ в декартовой системе координат. В качестве канонической области Оо выбран прямоугольный параллелепипед. Выбрана равномерная сетка ыь> Для аппроксимации на сетке дифференциальных операторов использован семиточечный шаблон. Элементарная ячейка состоит из восьми подобластей объема С Ь Ьг Ьз3 / 8 , Ь , Ь , Ь - шаги сетки по осям х , х их соответственно.

12 3 12 3

Поскольку интегралы в С7) представляют из себя работу внутренних и внешних сил , их можно заменить суммой интегралов по элементарным ячейкам АО" , ДБд. Интегралы по областям ДО" и ДБд заменили суммой по восьми подобластям ячейки. Поскольку количество подобластей в элементарной ячейке зависит от расположения узла сетки , то вводим индикаторный множитель кщ ( ш - номер подобласти в п - ой ячейке ). Множитель равен единице, если т - тая подобласть принадлежит области, и нулю, если выходит за ее границы. Применяя в дальнейших преобразованиях теорему о среднем, получили.

/ сгСШ• 'еС<5Ш <Шо = § ^ —Ф^2- оШ'-еСбиЭ к ,

р п:1П:1

о . . - ... - .......

где N - число узлов сетки <оь.

Аналогично преобразуются интеграл по области 0Д, где N - число узлов сетки <оь , принадлежащих области Од, и интеграл, представляющий работу массовых сил, где N - число узлов сетки попадающих в область 0.

.Интеграл , представляющий работу поверхностных сил, преобразуется по формуле Остроградского - Гаусса, затем подвергается аналогичным преобразованиям.

Получившиеся выражения после подстановки физических (4) и геометрических С5) соотношений содержат первые производные от компонент вектора перемещения по координатам. Их заменили конечными разностями.

Во втором параграфе рассмотрена дискретизация краевой задачи (1)-(3) в цилиндрической системе координат. В качестве канонической области выбран круговой цилиндр. Построена равномерная сетка. Интегралы, содержащиеся в С7), преобразова-

ны приведенным выше способом.

В третьем параграфе изложены особенности при дискретизации неоднородной задачи теории упругости.

В четвертом параграфе предложено и обосновано использование итерационных методов для решения системы разностных уравнений.

На каждой итерации метода геометрического погружения необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений . Система высокого порядка специального вида. Разработаны современные экономичные методы для'решения систем разностных уравнений. Наиболее эффективными в нашем случае являются итерационные двуслойные неявные методы решения. Выбрали два из них: метод последовательной верхней релаксации и метод с факторизо-ванным оператором с применением быстрого дискретного преобразования Фурье и прогонки.

"В третьей главе осуществлена практическая реализация алгоритма МГП в вариационно-разностной постановке. Алгоритм решения однородных и неоднородных пространственных задач изотропной теории упругости был реализован в виде комплекса Фортран-программ на совместимом с IBM персональном компьютере. С целью апробации алгоритма реи'ен ряд тестовых задач.

В первом параграфе решена задача о равновесии упругого изотропного параллелепипеда под действием нормальной нагрузки по двум противоположным граням, имеющая известное аналитическое решение. Погрешность полученного решения по отношению к точному не превысила 1 X . Естественные граничные условия по напряжению выполняются с точностью до 0.3 % по отношению к заданной интенсивности.

Решен другой вариант этой задачи с куполообразной нагрузкой. Результаты решения этой задачи сравнили с известными решениями, полученными Шешениным C.B. и Победрей Б.Е. вариационно-разностным методом. Степень отличия результатов по напряжениям не превышает 1,5 % .

. На привэденных выше задачах исследовалась эффективность выбранных итерационных методов решения системы разностных уравнений. На рис.1 приведено время в секундах, за которое исследуемые итерационные процессы сходятся в зависимости от размерности сетки, процессы останавливались при достижении точности 0,0001, сетки выбирались размерностью 2Р. Сплошная

Рис. 1

линия соответствует методу последовательной верхней релаксации, штриховая - методу с факторизованньгм оператором с применением алгоритма прогонки, штрих-пунктирная - методу с факто-ризованным оператором с применением алгоритма быстрого дискретного преобразования Фурье. Проводились численные эксперименты по нахождению оптимальных итерационных параметров этих методов.

Во втором параграфе решены задачи о напряженно-деформированном состоянии кусочно-однородного параллелепипеда с различным типом граничных поверхностей.

Рассмотрен двуслойный куб, нагруженный нормальным усилием по верхней грани. Нижняя грань закреплена по нормальной компоненте. Остальные грани - свободная поверхность. В качестве тестового решения возьмем решение задачи о плоском деформировании двуслойной плиты. Решение такой задачи получили классическим методом конечных элементов. Сравнивали результаты решения задачи о плите с результатами решения двуслойного куба в среднем сечении. Погрешность по перемещениям не превысила 10 % , по напряжениям 12 % . Погрешность выполнения естественных граничных условий не превышает 3 % .

Решена задача об изгибе толстой прямоугольной составной плиты с неканоническими лицевыми поверхностями и поверх-

- и -

ностыо раздела слоев. Поперечные нагрузки, приложенные к лицевым поверхностям, допускают разложение в двойные тригонометрические ряды. Результаты, полученные по предложенному алгоритму, сравнивали с результатами решения этой задачи приближенным аналитическим методом, полученными Немишем Ю. Н. Для плиты с неискривленными поверхностями различие в результатах не превысило 1 % , с неканоническими поверхнобтями - 13 % .

В третьем параграфе рассмотрен конечный круговой цилиндр под действием внутреннего' давления. Численные результаты решения данной задачи находятся между результатами решения задачи Ламе С толстостенной трубы) и результатами решения задачи о нагружении кругового кольца.

В четвертом параграфе решена задача о деформировании двуслойного конечного кругового цилиндра, нагруженного внутренним нормальным давлением. В качестве тестового решения взяли решение этой задачи классическим методом конечных элементов с квадратичной аппроксимацией перемещений. Такое решение получено Борзенковым С.М. Также имеем аналитическое решение задачи о двуслойном бесконечно длинном цилиндре. Его также использовали для сравнения результатов, полученных на среднем сечении цилиндра. Отличие полученного решения от двух тестовых не превысило 8 % . Погрешность в выполнении естественных граничных условий не выше 6,5 X .

Проведено исследование сходимости итерационного процесса МГП при решении неоднородных задач. Даны рекомендации по оптимальному проведению итераций.

В четвертой главе приведены результаты расчета НДС пространственных конструкций сложной геометрической конфигурации. Проведены численные эксперименты по выбору оптимального начального приближения для однородных и кусочно-однородных задач с целью сокращения необходимого времени счета. Даны конкретные рекомендации по проведению процессов итерирования на вложенном и внешнем итерационных процессах.

В первом параграфе проведен расчет перфорированного куба с тремя взаимоперпендикулярными отверстиями С Рис.2 ). Отверстия имеют одинаковые квадратные поперечные сечения. Конструкция нагружена по двум противоположным граням нормальным усилием. Вся остальная поверхность свободна. В качестзе начального приближения для итерационного процесса по МГП бе-

Рис.2

Рис.4

A i V А т------------ ¿„/а

it Л А 1 1 ""* i

, л ó»/?. / к / ' /л 1

/а х

1 1 i

1 j i

/ N

\ 1 i

\ Аь

Í33 7/r„ ^Л7

0.0М> в/25 DISO 0 31S

Xs/L

Рис.3

Рис.5

рем решение исходной задачи на сетке с более крупным шагом с последующей интерполяцией на заданную сетку. Напряжения вдоль оси %з в среднем сечении боковой грани при двух дискретизациях N= N2= N3= 9 и 13 представлены на рис.3.

Во втором параграфе приведены результаты расчета цилиндрического тела с каналом сложной геометрии С Рис.4 ). Канал во всех сечениях конструкции, перпендикулярных оси 0Z , имеет звездообразную форму. Рассчитывалось два варианта нагру-жения: нормальное распределенное усилие по внешней цилиндрической поверхности и центробежные силы. При нагружении внешним давлением погрешность выполнения естественных граничных условий составила менее 5 У. по отношению к заданной интенсивности. На рис.5 приведено распределение напряжения по радиусу в среднем сечении при р - 0, когда конструкция нагружена внешним давлением и центробежной силой при двух дискретизациях Ni= Na= N3= 9 и N = N3= 13, Nz= 9. Расхождение полученных результатов с результатами, полученными по алгоритму с конечно-элементной реализацией МГП, не превысило 8 V. при действии на конструкцию внешнего давления и 13 % при действии центробежных сил.

В третьем параграфе исследуется НДС резино-металлического амортизатора. Амортизатор представляет собой существенно трехмерную конструкцию сложной конфигурации, состоящую из двух материалов: резина и металл С Рис. 6). На рис.7 представлено распределение напряжений а^/ до в сечении <р = 56,25 град.

В заключении кратко сформулированы полученные в работе результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен алгоритм численной реализации вариационной формулировки МГП для решения трехмерных однородных и неоднородных задач теории упругости с использованием вариационно-разностного подхода.

2. Получен конечно-мерный аналог вариационного уравнения МГП в декартовых и цилиндрических координатах с использованием разностных схем.

3. На основе анализа публикаций и решения тестовых задач в качестве основных методов решения получаемой системы алгебраических уравнений выбраны итерационные методы: метод последовательной верхней релаксации, методы с факторизованным

мета/i/i

. Риг.6

-1,10' • -1,00 -0,90 -0,80 -0,70 -0,60 -0,50 -0.40 -0,30 -0,20 -0,10 7,4SE-08

Рис.г,

оператором с применением алгоритмов быстрого дискретного преобразования Фурье по двум направлениям и прогонки по третьему или алгоритма прогонки■по всем направлениям.

4. Численные эксперименты позволили установить рекомендации по выбору наиболее эффективных стратегий организации итерационных процесссв, а именно

- метод решения системы уравнений выбирается в зави-. симости от дискретизации области .сеткой, при сетке размерности 2Р - метод с факторизованным оператором с применением алгоритмов быстрого дискретного преобразования Фурье, при произвольной сетке с числом неизестных не более 10000 - метод последовательной верхней релаксации, более 10000 - метод с факторизованным оператором с применением алгоритма прогонки;

- при исследовании неоднородных конструкций с целью сокращения времени счета решение необходимо проводить в несколько этапов с постепенным увеличением различия в физических константах, используя решение, полученное на предыдущем этапе, как начальное приближение для следующего этапа;

- начальным приближением для итерационных процессов, позволяющим сократить .¡аремя счета,' является.: для итерационного процесса МГП - решение исходной задачи на сетке с более крупным шагом с последующей интерполяцией на заданную сетку, для итерационного процесса по решению системы алгебраических уравнений - решение, полученное на предыдущей итерации по МГП.

5.. Предложенный подход численной реализации МГП получить решение ряда существенно' трехмерных -задач теории упругости для однородных и неоднородных тел: . - перфорированный куб;

- короткий цилиндр с каналом сложной геометрии;

- реэинотметаллический автомобильный амортизатор. ..

По'теме диссертации опубдикораны следующие работы:

1. Шардаков И.Н., Труфа'но'в H.A., Труфанова. М. А. Применение метода геометрического погружения для решения осесим-метричных задач теории упругости //.. Численные методы в исследовании напряжений и деформаций..- Свердловск: УрО АН СССР , 1987. - С. 51-56.

2. Булавин П. В. , Труфанова М. А.-. Численная реализация метода геометрического погружения для решения пространственных задач теорий упругости // Труди XIV научной конференции моло-

дых ученых Института механики АН УССР, Киев , 23-26 мая, 1989. Часть II. 1989. -Рус. - Леп. ВИНИТИ 02.08.89 № 5164-И89.

3. Труфанода М.А. Вариационно-разностная реализация метода геометрического погружения для решения трехмерных задач теории упругости // Тезисы докладов XVII научно- технической конференции молодых ученых и специалистов.- Харьков, 1990.

С. 24.

4. Труфанова М.А. Об одном подходе реализации метода геометрического погружения для решения пространственных задач теории упругости // Математическое моделирование технологических процессов обработки металлов давлением / Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. - Пермь, 1990. -С. 5 Р..

5. Труфанова М.А. Решение перфорированного параллелепипеда методом геометрического погружения в вариационно-разностной постановке // Девятая зимняя школа по механике сплошных сред / Тезисы докладов . - Пермь, 1991. - С.169.

в. Труфанова М.А., Шардаков И. Н. Вариационно-разностная реализация метода геометрического погружения для пространственных задач теории упругости / Институт механики сплошных УрО РАН. - Пермь, 1,992. - 13 е.: илл. Деп. в ВИНИТИ 13.08.92 Н» 16344 / 22.

7. Труфанова М.А., Шардаков И. Н. Расчет неоднородных конструкций «ложной пространственной геометрии вариационно-разностным методом // Сборник тезисов, докладов XV международного научно-технического совещания по проблемам прочности двигателей. - Москва, 1534. - С. 55.

Рлск.та выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (код проекта 93-01316824)

Сдано в печать 27.10.Р4. Формат 60x84/16.

Сбт*?м Т п. л. Ti:раж 100 яка. Заказ 151.

Ротапринт Пермского государственного технического университета