Решение задач плоской теории упругости о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005043131

Мазин Василий Александрович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ОТВЕРСТИИ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

,1 7 МАЙ 2012

Тула 2012

005043131

Диссертация выполнена в ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Сухомлинов Лев Георгиевич

Официальные оппоненты: Пеньков Виктор Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», профессор кафедры «Теоретическая механика»

Темис Юрий Моисеевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана», профессор кафедры «Прикладная математика»

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита диссертации состоится </Я ИЮН^М г. в/^ час ОО мин на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина 92 (ауд. 12-105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан « ^ ~>

3.2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Толоконников Лев Алексеевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Гп7оГ—м"РоизводСТве, на депорте, в жительстве, деле всюду приходуя иметь дело с телами, ослабленными отверстиями При-Гой Samern« таких тел под действием приложенных нагрузок зачастую яв-лГся высокий уровень напряжений, возникающих на кромках имеющихся в ни^ отверстий. При разработке методов расчетного прогнозирования распреде-ленил напряжений вокруг отверстий во многих важных для практики сл^аях

доп ™ „сходить из^предположений об упругом ^ZZ^uZ^-формирования исследуемых тел и, более того, основываться на плоском вариан те линейной теории упругости. В большинстве работ, связанных с решением подо б но го р о да з адач о концентрации напряжений, объектами исследования «л*, ютсяоднороднью тела. Здесь удалось получить и довести до -«ловыхрзулта тов решения множества задач, включающих всевозможные случаи ^с одним отверстием (самой разнообразной конфигурации), с двумя и более ^иями с периодической системой отверстий. Рассмотрению подвергались и случаи, ™ гда выполненные в теле отверстия заполнялись материалами включенш отличными от материала тела (случай кусочно-однородного те.

Между тем, распространенным случаем составного тела является также те ло слоЗ структуры, ослабленное одним или несколькими отверстиями. При-мер~добньЛоистых сред природного происхождения являютс, всевоз-мояшые грунты и горные породы (с наличием в них естественных пустот и вы-р™к) Шумеры ослабленных отверешями слоистых сред во множестве представлены вегроительном деле (где сама технология предполагает послойное Несение материалов друг на друга), а также в таких областях, « ние авиастроеше, ракетостроение (в связи с широким применением обладаю ^« высокими прочностными свойствами композиционных материалов). Не-шотря на это приводится констатировать, что проблема расчетного прогнозировав р'предел^ия напряжений вокруг отверстий в случае слоистых тел не по™ К настоящему времени решения той же полноты, как в случае однород-ньиГтел Достаточно сказать, что до сих пор в литературе даже для случая двухслойной среда с отверстием такой широко распространенной формы, как круго вая не было представлено решений с анализом влияния соответствующих физи-ко-механичесюк и геометрических параметров на уровень напряжении вокруг отверстия.И это несмотряна имеющиеся мощные инструменты пленного моделирования в виде программных комплексов метода конечных элементов^ втом,что применение подобных комплексов в целях указанного парам^иче ского исследования сталкивается с существенными трудностями, связанными с тем что при каждом изменении положения отверстия или толщин слоев требуется с™Гм изменившейся геометрии задачи снова генерировать отражающую кри^олинейность контура отверстия сетку конечных элеме= снова^убеждаться путем тестовых расчетов в надежности получаемых численных результа ГЕо говорит о том, что применительно к задачам о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах вопросы построения решении в фор-"беспечивающих удобство параметрического анализа получаемь^резуль-тагов а также вопросы проведения на их основе исследовании по влия-

нию типов нагружения рассматриваемой среды, ее геометрических и физико-механических характеристик на уровень напряжений вокруг имеющихся в ней отверстий до сих пор сохраняют свою актуальность.

Целью работы является исследование в рамках плоской постановки задачи статики теории упругости распределения напряжений вокруг круговых отверстий в двухслойных и трехслойных средах с применением обладающей возможностями многовариантного анализа вычислительной модели и установление эффектов, обусловленных слоистой структурой исследуемых объектов и близким расположением отверстий по отношению к межслойным границам.

Научная новизна работы. Построена модель решения задачи статики плоской теории упругости для слоистой прямоугольной области с включениями, основанная на сетке прямоугольной структуры и вариационно-разностной схеме, в которой случай свободного отверстия моделируется заданием пренебрежимо малого значения модуля Юнга материала включения. Впервые решены задачи о

напряженном состоянии:

- двухслойной упругой полуплоскости с круговым отверстием вблизи границы в ситуациях продольного растяжения и поперечного сжатия;

- трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое круговыми отверстиями при продольном растяжении

и поперечном сжатии.

Практическая значимость работы заключается в разработке универсального алгоритма и программного комплекса для решения задач плоской теории упругости о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах, а также в представленных результатах параметрических исследований по распределению напряжений вокруг круговых отверстий в двухслойных и трехслойных средах, которые могут быть использованы в расчетной практике научно-исследовательских и проектных организаций при решении вопросов прочности ослабленных отверстиями объектов слоистой структуры.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается:

- последовательным использованием соотношений плоской теории упругости, применимость которых к проблемам концентрации напряжений вблизи отверстий подтверждена практикой;

- обоснованием сходимости получаемого численным моделированием приближенного решения к точному решению заявленной задачи;

- фактом согласования результатов численного моделирования с имеющимися аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Апробация работы Основное содержание работы и отдельные ее положения докладывались и получили одобрение на международной научной конференции «Научные исследования и их практическое применение» (г. Одесса, 2010) объединенной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики Кубанского государственного университета «Прикладная математика XXI века» (г. Краснодар, 2011).

На защиту выносятся:

- численное решение задачи статики плоской теории упругости для прямоугольной кусочно-однородной (слоистой) области с отверстиями на основе вариационно-разностной процедуры;

- программная реализация разработанной процедуры, ориентированная на случай области, составленной из произвольного количества изотропных слоев и имеющей отверстие (отверстия) с произвольным гладким контуром; _

- результаты численного моделирования распределения напряжении вокруг круговых отверстий в двухслойных и трехслойных средах.

Публикации. По содержанию имеющихся в диссертации материалов опубликовано 7 печатных работ, из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК Мино-

брнауки России. _„

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 113 наименований, содержит 3 таблицы и 27 иллюстраций. Общий объем диссертационной работы 146 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируется цель работы, показывается ее научная новизна и практическая значимость, кратко излагается содержание работы.

Первый раздел посвящен анализу существующих методов решения задач

статики плоской теории упругости для тел, ослабленных отверстиякнт обсуаде-нию возможностей этих методов применительно к случаям кусочно-однородных (составных) тел и формулировке на этой основе подхода, ориентированного на решение задач о напряженном состоянии таких кусочно-однородных тел как ослабленные отверстиями тела слоистой слруяуры. У™аетс* ^ большой вклад таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.В Колосов, Н-И.Мусхе-лишвили, С.Г. Михлин, Д.И. Шерман, С.Г. Лехницкий Г.Н. Сашш Д.В_ Ванн-берг, A.C. Космодамианский, А.Г. Угодчиков, М.П Шереметьев^ Фшн.ш-тинский, G. Kirsch, С.Е. Inglis, L.N.G. Filon, G.B. Jeffery, A.A. Gnffith, H. Neuber R.C.J. Howland, W.T. Koiter, R.D.Mindlin, M.Isida, M. Kikukawa и др. в решение

проблемы упругих тел, ослабленных отверстиями.

Применительно к случаю кусочно-однородных тел за основу принимается следующая постановка задачи плоской теории упругости.

В плоскости Осу рассматриваем область 5 (с границей Г), составленную из частей (подобластей), заполненных разными изотропными материалами. Для ин-тенсивностей приложенных к соответствующему кусочно-однородному телу поверхностных и объемных сил вводим обозначения g и /, а для их проекции - qx, qy и fx, fy Обозначаем также как их, и/, <Ууу, сг^ и syy, s^ ком-

поненты вектора перемещений, тензоров напряжений и деформаций. Пусть также « (с проекциями пх, пу ) - единичный вектор нормали к выбранной в теле

элементарной площадке, а ön (с проекциями ахп, сту„) - вектор напряжений, характеризующий силы, приложенные к указанной площадке со стороны той части тела, на которую указывает вектор Я.

Соотношения закона Гука для каждой из составляющих область S однородных частей могут быть представлены в виде

(тхх = Л1£хх + Л2еуу, стуу = Л2£хх + Л1е)0,> <rxy=2Gsxy> W

где коэффициенты в, Л,, Л2 выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V соответствующего материала согласно схеме:

1) 0 = -^-; 4 2(1+ У)

2) в случае плоского напряженного состояния

£

я 1 =-г, Л2=»'А1;

1 -V

3) в случае плоского деформированного состояния

уЕ

хх=гв+х, я=-

(1 + к)(1-2и)

Деформации е^, Еуу, е^ связаны с перемещениями их и иу соотношениями Коши вида

ехх"аГ' ду' * 2

(2)

ду дх

Справедливые доя внутренних точек составных частей области 5

уравнения равновесия имеют вид

& (3)

дх ду

Для компонент вектора и тензора напряжений имеют место связи

ахспх + ахупу = ахп, ^

сгхупх + ауупу=сгуп При формулировке граничных условий полагаем, что на части Ги границы Г заданы перемещения, а именно

их\ги=их> иу\Ги=и*У> где к* и* - заданные функции. К остальной части Г„ границы Г прило-

X у

жены заданные нагрузки цх и ду. Если п = п\г - вектор внешней нормали к границе Г области 5, то условия баланса внутренних и внешних сил, приложенных к точкам участка Гд границы Г, с учетом связей (4) могут быть представлены в

виде

<Тхп\г = Чх> аУ"\г (6)

1 я 'я

Пусть теперь Г(12)- общая граница каких-либо двух частей Зщ и 5(2) области 5. Будем предполагать, что среды, заполняющие подобласти 5(1) и 5(2), были сцеплены между собой по контуру Г(12) в исходном недеформированном состоянии, и что такое сцепление сохраняется в процессе

б

деформирования. В таком случае для перемещений общих точек даух сред и контура Г(12) должно быть

й(1)| =й| (7)

Цп) ^(И) (12)

Равенство (7) выражает условие непрерывности вектора перемещении и

при переходе через границу раздела сред.

Пусть теперь й = й|г Ц)" вектор нормали к контуру Г(12). Тогда с учетом

связей (6) условия равновесия элемента кошура Г(12) под действием сил со стороны сцепленных с ним сред можно представить в виде

' (8) '^(12) 'Г(12) 1 (12) ' (12>

Равенства (8) выражают условие непрерывности вектора напряжений дп

пои переходе через границу раздела сред.

Обсуждается также формулировка этой же задачи с использованием (вариационного) принципа возможных перемещений, который применительно к деформируемому телу утверждает, что в состоянии равнопесия работа приложенных к точкам тела сил на вариациях перемещении этих точек равна работе напряжений на соответствующих вариациях деформации. Такое уравнение в рассматриваемом плоском случае можно записать в виде

¡¡{°хх &хх + &уу + 2суху <&*у)<й =

(9)

= Ц(/х&'х + /уЯиу)сБ+ \(.Чх&1х+<1у8иу')аГ-

В связи с кусочно-однородной структурой области интеграл по 5 в левой части равенства (9) представляется в виде суммы соответствующих интегралов по однородным частям области Интеграл по Г берется только по части Г, границы /", учитывая, что на участке Ги в соответствии с граничными уело-

виями (5) должно быть

Из вариационного уравнения (9) после выполнения соответствующих преобразований с учетом связей (2), (4), (7) следуют уравнения Рав.ювес™ (З силовые граничные условия (6) и условия непрерывности вектора границе раздела сред (8). Таким образом, решение поставленной выше задачи плоской теории упругости для кусочно-однородной области можно строить, основываясь на вариационном уравнении (9) с учетом геомстрическ« соотнош-ний (2), физических соотношений (1), граничных условии типа (5) по перемеще ниям и условий типа (7) непрерывности вектора перемещении.

С учетом выводов, вытекающих из анализа имеющижея аналитических и численых методов решения задач дая тел с отверстиями, формулируется подход

к решению заявленной задачи о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах, включающий следующие положения:

область 5 слоистой структуры, для которой ставится соответствующая задача статики плоской теории упругости, считаем прямоугольной; при этом для определенности принимаем, что соответствующие слои расположены параллельно оси Ох;

- считаем, что все имеющиеся в слоях отверстия заполнены материалами включений (случай свободного отверстия при этом моделируется заданием пренебрежимо малого значения модуля Юнга материала включения);

- вводим в рассмотрение прямоугольную сетку (с достаточно малыми размерами ячеек), покрывающую область и строим на ее основе вариационно-разностную модель деформирования исследуемой слоистой среды (с включениями) под действием приложенных нагрузок.

Во втором разделе дается описание построенной в рамках сформулированного подхода вариационно-разностной процедуры численного решения задачи плоской теории упругости для прямоугольной кусочно-однородной (слоистой) области.

Используемая в процедуре численного решения сетка прямоугольной структуры выбирается таким образом, чтобы ее ячейки целиком укладывались в рамках прямоугольных контуров отдельных слоев исследуемой области и чтобы совокупная площадь ячеек, целиком лежащих внутри контура включения, была достаточно близка к площади подобласти, занимаемой включением.

« '"5 /

(VI)

У) о V

Гц

<1> /V /

О) 0) «1> 4»

<<>.и

1«)

си)

и им

Рисунок 2 - Элементарный прямоугольник 5 ('-л с системой срединных Рисунок 1 - Прямоугольная область с материальных волокон и узловых то-сеткой прямоугольных элементов чек

На рисунке 1 представлена схема разбиения рассматриваемой прямоугольной кусочно-однородной области 5 на МхЫ прямоугольных элементов

£ О'./) = 1,2,..., М; ] = 1,2,..., IV). На рисунке 2 представлена схема, изображающая элементарный прямоугольник 5 с системой его срединных материальных волокон и узловых точек. Для определенности считаем, что участок Ги границы Г, области 5, где формулируются условия по перемещениям вида (5), включает левую и нижнюю стороны прямоугольника 5, а участок Гд, где действуют за-

данные поверхностные нагрузки включает две остальные стороны прямо-

^ТГетом выполненного разбиения рассматриваемой прямоугольной области 5 и ее границы Г на элементарные участки интегралы по 5 и по Г в вариационном уравнении (9), выражающем принцип возможных перемеЩе^^пред-ставляем в виде сумм интегралов по соответствующим элементарньш ^а™ Приближенно вычисляя затем указанные интегралы на основе значении^подынтегральных вьфажений в серединах таких участков, приходим к дискретному аналогу вариационного уравнения (9) вида

= У У й^ва^^Щ'»^*

,=1У=1 (11)

¡=1

+ £ и&^гйуиду&^ЦНУ-

Здесь "волной" отмечены величины, определяемые в серединах соответ-

ствующих участков интегрирования. При этом =*, +4° / 2, уи)

Вводим обозначения и'У, и для значений перемещений в узловых точках рассматриваемой сетки прямоугольных элементов с координатами , У] (/ = 1,2,...,Л/+1;у = + Обозначаем также как и'^К и'}и), , и

Ш) = 12 М- О) = 12,.., ЛО перемещения узловых точек срединных материальных волокон элементарных прямоугольников. Входящие в вариационное уравнение (11) деформации, относящиеся к середине элемента , приближенно определяем с использованием разностных выражений вида

«г =(«:♦«"(12)

~,.л =0)5(М^' +0,5«1«'-и';<-»)/1?,

получаемых' на основе соотношений (2) с применением центрально-разностных схем при вычислении соответствующих производных.

Значения перемещений в средних точках упомянутых участков интегрирования, а также в узловых точках введенных в рассмотрение срединных материальных волокон получаем по схеме интерполяции путем осреднения перемещений соответствующих смежных узлов сетки прямоугольных элементов. В результате для узловых точек срединных материальных волокон имеем

и^ = 0,5(4'7+1 (* « (13)

для середин граничных отрезков -

5?(/) = мм+1>0)

и для середин прямоугольных элементов -

=0,25+4+и++4+и+1) (* « (15)

Для напряжений в серединах элементов в соответствии с соотношениями упругости (1) записываем

з^^г&л+^л, (16)

аху —¿■иьху •

При этом имеем в виду, что значения параметров упругости в выражениях (16) однозначно определяются принадлежностью данного элемента либо включению, либо подобласти, заполненной материалом слоя.

С использованием связей (12)-(16) окончательно приходим к формулировке вариационного уравнения (11) в терминах перемещений узлов сетки прямоугольных элементов (узловых перемещений). С учетом того, что часть узловых перемещений задается граничными условиями (5), приравнивая коэффициенты при вариациях неизвестных узловых перемещений в левой и правой части указанного вариационного уравнения, получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений.

Доказывается ее однозначная разрешимость в рассматриваемом классе задач. Решение указанной системы осуществляется по методу Гаусса с учетом ленточной структуры ее матрицы. По найденным узловым перемещениям затем рассчитываются (с использованием упоминавшихся разностных и интерполяционных схем) деформации (затем напряжения), а также перемещения в серединах элементов. По этим параметрам и создается (приближенная) картина напряженно-деформированного состояния исследуемой области. Дается обоснование сходимости получаемого таким образом приближенного решения к точному решению рассматриваемой задачи. В завершение раздела приводится описание особенностей программной реализации разработанного алгоритма.

В третьем разделе излагаются результаты применения разработанной вариационно-разностной процедуры к решению задач плоской теории упругости для ряда случаев ослабленных круговыми отверстиями однородных областей. Соответствующие оценки по точности получаемых для каждого из таких случаев численных решений осуществляются путем сравнения с результатами имеющихся аналитических решений или тщательно выполненных экспериментов. При численном моделировании таких бесконечно протяженных объектов, как упругая полуплоскость и упругая плоскость с круговым отверстием рассматривается конечная прямоугольная область с размерами, десятикратно превышающими радиус отверстия. В результате проведенных исследований установлена структура сетки, обеспечивающая получение численного решения с отклонением не более 6% (по напряжениям на кромке отверстия) от соответствующего точного решения.

Рисунок 3 - Схема слоистой прямоугольной области с круговым включением: а) в первом слое, б) во втором слое

Четвертый раздел посвящен применению разработанной вариационно-разностной процедуры к исследованию напряжений вокруг круговых отверстии (Неположенных вблизи межслойных границ) в двухслоин^ и трехсл^нь х срецах (случаи до сих пор не исследованные в литературе). Используемые при этом схемы слоистой прямоугольной области представлены на рисунке 3.

Расчеты выполнялись с выбором £,/£ = 10-, где Ев - модуль Юнга «фиктивного» включения, а £ - модуль Юнга материала слоя, в ^¡^ГошТ) отверстие. Моделирование здесь (с учетом симметрии относительно оси Оу) осуществляется применительно к правой половине указанной области Нижняя сторона области предполагается свободно опертой. Здесь формулируются условия « = 0 Чх = 0, которые можно трактовать как условия симметрии относительно оси проходящей вдоль указанной нижней стороны. Вследствие этого в случае схемы' представленной на рисунке З.б, настроенная таким образом модельпри достаточно малых значениях размера * описывает поведение вер^ей половин, трехслойной области (с одинаковыми первым и третьим слоями) ослабленнои двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое на близком расстоянии друг от друга круговыми отверстиями. Переход от рассмотренных в предаемразделе случаев однородных сред с отверстиями к соответствующим случаям слоистых сред осуществляется без изменений в конфи,Тр= уж сформированной сетки прямоугольных элементов. Исслсдования проводятоя в предположении, что рассматриваемые слоистые среды находятся в состояли плоской деформации. Предполагается также, что на бесконечности в слоях сре дыреализуется состояние однородной деформации. Рассматриваются д в а с^ нагружения, а именно продольное растяжение и поперечное сжатие, «существ ляемое в условиях стесненных (нулевых) продольных деформации на бесконеч-

ности

В качестве объектов исследования принимаются: двухслойная упругая полуплоскость с круговым отверстием в первом (считая от ее границы) слое (см.

на рисунке З.а), двухслойная упругая полуплоскость с круговым отверстий во втором слое (см. схему на рисунке З.б) и трехслойная упругая плос-

кость (с одинаковыми первым и третьим слоями), второй слой которой ослаблен двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями (см. схему верхней половины этого объекта на рисунке З.б). Ситуация продольного растяжения для каждого из указанных объектов моделируется заданием приложенных к правой стороне рассматриваемой области (рисунок 3) поверхностных нагрузок (с интенсивностями Ят и <?(2)), действующих в направлении оси Ох и равномерно распределенных в пределах каждого из слоев. Учитывается, что между параметрами <7(|) и дт имеет место пропорциональная зависимость, которая устанавливается, исходя из условия однородности деформации в слоях растягиваемого двухслойного пакета. Ситуация поперечного сжатия моделируется заданием приложенного к верхней стороне рассматриваемой области равномерно распределенного давления р с одновременным приложением к правой стороне упомянутых нагрузок Чт и 4{г), пропорциональная зависимость каждой из которых от параметра р устанавливается, исходя из условия однородности деформации в слоях сжимаемого двухслойного пакета, а также условия стесненности продольных деформаций (вида е„ = 0).

Проведенными исследованиями обнаружен ряд эффектов, обусловленных слоистой структурой рассматриваемых объектов и близким расположением имеющихся в них отверстий по отношению к межслойным границам. Об их проявлениях можно судить по результатам, представленным на рисунках 4 - 7, а также в прилагаемых комментариях.

А

~""Х..... \

к\ ГА 4 j

тА "V У у

5 \ч fj.--

ав/р

—V- \ '"2 3

'4

5 7..... Уу /

/ t

о 30 к 60 во 100 120 НО 1Ó0 в ч>»9 д 20 40 60 SO 100 Í20 140 160 6 грай

Рисунок 4 - Продольное растяжение рИСуНОК 5 - Поперечное сжатие двух-двухслойной полуплоскости с отвер- елейной полуплоскости с отверстием

стием во втором слое

во втором слое

В частности, на рисунках 4, 5 представлены полученные численным моделированием результаты по распределению окружных напряжений вдоль контура отверстия в условиях продольного растяжения и поперечного сжатия двухслойной упругой полуплоскости с круговым отверстием во втором слое. Моделирование осуществлялось в предположении, что с = 0,486Я и й = 1,54Я. Здесь для целей сравнения пунктиром представлена кривая, относящаяся к случаю однородной полуплоскости (Е(Г'/Е':1) =1,

= у<-2> = 0,3). Кривые 1, 2, 4, 5

на рисунке 4 получены при задании значений параметров Ет/Ет, (5; 0,1; 0,45), (5; 0,45; ОД), (0,2; 0,1; 0,45), (0,2; 0,45; 0,1), соответственно. Кривые 1 3 4 5 6 7 на рисунке 5 получены при задании значений тех же параметров в виде (0,1; 0,45; 0,1), (0,1; 0,1; 0,45), (10; 0,45; 0,1), (10; ОД; 0,45), (0,5; ОД; 0,45), (2- 0 1- 0 45) соответственно. Как видно из рисунка 4, в этом случае выбор значений'параметров в соответствии с вариантами 4 и 5

обеспечивает снижение уровня напряжений на кромке отверстия в рассматриваемой двухслойной полуплоскости соответственно в 1,2 и 2 раза по сравнению с однородным случаем (кривая 3). Одновременно с этим в данном случае, как показывают расчеты, имеет место увеличение уровня сдвиговых напряжений сгх>) на межслойной границе соответственно в 1,4 и 1,6 раза по

сравнению с однородным случаем. Применительно к обсуждаемому случаю продольно растягиваемой двухслойной полуплоскости расчетами также установлено, что независимо от выбора значений коэффициентов Пуассона слоев (в диапазоне от ОД до 0,45) при выполнении условия Е™/Ет <0,4 уровень напряжений на кромке отверстия не выходит за пределы того, что имеет место в

случае однородной полуплоскости.

Анализ результатов, представленных на рисунке 5, позволяет заключить, что выбор значений параметров Ет/Е<-\ к®, И" в соответствии с вариантами 1 и 3 обеспечивает снижение уровня напряжений на кромке отверстия в рассматриваемой поперечно сжимаемой двухслойной полуплоскости соответственно в 1,14 и 1,5 раза по сравнению с однородным случаем (кривая 2). Эти результаты, как показывают расчеты, практически не изменяются при пятикратном уменьшении значения параметра Е™/Ет в обсуждаемых вариантах 1 и 3. Вместе с тем при этом имеет место эффект снижения уровня сдвиговых напряжений о^ на межслойной границе соответственно в 1,2 и 2,7

раза по сравнению с однородным случаем. Расчетами также установлено, что независимо от выбора значений параметров И", и«1 (в диапазоне от 0,1 до 0,45) при выполнении условия Ет/Ет <0,2 уровень напряжений на кромке отверстия в рассматриваемом случае не выходит за пределы того, что имеет место в

соответствующем однородном случае.

Аналогичные эффекты были обнаружены и при численном моделировании двухслойной полуплоскости с отверстием в первом слое (расчеты проводились с выбором С = 2,74Я; см. схему на рисунке З.а). При исследовании ситуации продольного растяжения указанной двухслойной полуплоскости установлены значения параметров Е(г,/Е°\ ут, ут, обеспечивающие снижение уровня напряжений на кромке отверстия в 1,16 и 1,24 раза при одновременном увеличении уровня сдвиговых напряжений сг^ на межслойной границе соответственно в 1,3 и 1,7 раза (по сравнению с соответствующим однородным случаем). В ситуации же поперечного сжатия при варьировании значений тех же параметров зафиксирован эффект снижения уровня сдвиговых напряжений сг^

на межслойной границе в 2 раза при том, что уровень напряжений на кромке отверстия увеличился в 1,06 раза (по сравнению с соответствующим однородным

13

случаем). Также установлено, что в данном случае (как в ситуации продольного растяжения, так и поперечного сжатия) независимо от выбора значении параметров И'1, И2) (в диапазоне от 0,1 до 0,45) при выполнении условия £<2>/£(1> > 2 уровень напряжений на кромке отверстия практически не выходит за пределы того, что имеет место в соответствующем однородном случае.

ч

\

/у / /У

'М

7 — \ -'у

Г'--

20 40 60 80 IDO 120 140 ISO в жржО

Рисунок 6 - Продольное растяжение трехслойной плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое круговыми отверстиями

Рисунок 7 - Поперечное сжатие трехслойной плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое круговыми отверстиями

На рисунках 6, 7 представлены результаты численного моделирования, относящиеся к ситуациям продольного растяжения и поперечного сжатия трехслойной плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое круговыми отверстиями. Моделирование осуществлялось в предположении, что 6 = 1,25« и е = 1,2Л(см. схему на рисунке З.б). Пунктиром на указанных рисунках выделена зависимость, относящаяся к случаю однородной плоскости (Ет/Ет =1, ^» = и<2> = 0,3). Кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 на рисунке 6 получены при задании значений параметров Ет/Ет, ут, И2' в виде (10; 0,1; 0,45), (2; ОД; 0,45), (10; 0,45; 0,1), (2; 0,45; ОД), (ОД; ОД; 0,45), (ОД; 0,45; ОД), соответственно. Кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 на рисунке 7 получены при задании значений параметров Ет/Ет,ут,ут в виде (10; 0,45; 0,1), (2; 0,45; ОД), (ОД; 0,45; 0,1), (ОД; ОД; 0,45), (2; ОД; 0,45), (10; ОД; 0,45), соответственно. Как видно из рисунка 6, в ситуации продольного растяжения рассматриваемой трехслойной плоскости выбор значений параметров я«/я®, V®, И2' в соответствии с вариантами 6 и 7 обеспечивает соответственно сохранение максимума напряжений на кромке отверстия на уровне, характерном для однородного случая (см. кривые б и 4) и снижение уровня напряжений на кромке отверстия в 1,6 раза по сравнению с однородным случаем (см. кривые 7 и 4). Что касается сдвиговых напряжений а^ на межслойной границе применительно к указанным

вариантам 6 и 7, то, как показывают расчеты, имеет место увеличение уровня этих напряжений соответственно в 1,3 и 2 раза по сравнению с однородным случаем.

При анализе результатов, представленных на рисунке ?

по— максимума (по абсолютной величине) ==„ ш. контуре отверстия из зоны 6(Г<ЖЮСГв точку с угловой ^ 4

одновременном увеличении значения этого максимума (см. .фивые3 4, Попарный эбФект существенным образом ограничивает возможности по снижению нГряжений на кромке отверетия в^ данной^^

Наиболее оптимальными при этом оказываются варианты 3ии 5.:При выборе э^ вариантов сдвиговые напряжения ^ на межслоинои границе, как показывают

расчеты соответственно уменьшаются в 2,2 раза и увеличиваются в 1,2 раза по

папамстров' "V» (в диапазоне от ОД до 0,45) при выполнении условия <01 уровень напряжений „а кромке отверстия практически не выходит за предельного что имеет место в соответствующем однородном случае

Т з1р2ощей части раздела представлена сводка всех эффектов,

обнаруженных в процессе исследований рассмотренных трех объектов.

В заключении приводятся основные результаты и выводы.

проработана^дель численного решения задач плоской теории упругости о конце™™ напряжений вокруг отверстий в слоистых средах, основаншш на. " предположении о прямоугольной конфигурации исследуемои слоисгои

Г^ТК?—« в слоях —— материками включений (случай свободного отверстия при этом моделируется знанием пренебрежимо малого значения модуля Юнга материала включения)

испГзоваНИИ сетки прямоугольной структуры и вариационно-разностнои

2 Впервые решены задачи о концентрации напряжений вокруг отверстии ппименительно К^ ситуациям продольного растяжения и поперечного сжатия таГ Тл™обЪ ^в как двухслойная упругая полуплоскость с к=ш отымем в первом (считая от ее границы) слое, двухслойная упругая полушюс-

во втором слое и трехслойная упругая плоскость (с оХковыми первьш и третьим слоями), второй слой которой ослаблен двумя Г—¡ми вертикально расположенными рассматривались случаи близкого расположения

версгий (радиуса Я) как по отношению к межслоинои границе (на расстояниях

порядка 0 2Ти 0,05/ ), так и по отношению друг к другу (на расстоянии 0,5Д). порядка 0^ , ^ когда материалы сдоев оданаковы (

ный случай), четырехкратное уменьшение расстояния между контуром отверст и^лежслойной^ границей (с 0,2« до 0,05«) в ситуациях продольного раетя-жения и поперечного сжатия указанных объектов «^т к увеличению уровня сдвиговых напряжений на межслойной границе соответственно в и и 2,5 раза.

4 Установлено, что надлежащим выбором значений параметров упругости слоев можно в стации продольного растяжения указанных тРех о&ек,ов побиться снижения уровня напряжений на кромке отверстия (по сравнению с Г^однь.м случаелО соответственно * У! 2; 1,6 раза. Однако при этом уровень сдвиговых напряжений на межслойной границе возрастет (по сравнению с однородным случаем) соответственно в 1,7; 1,6; 2 раза.

5 Установлено также, что в ситуации поперечного сжатия тех же объектов путем надлежащего выбора значений параметров упругости слоев м^ТдоГи^я снижения уровня упомянутых сдвиговых напр— соответственно в 2; 2,7; 2,2 раза при том, что уровень напряжении на кромке отверстия будет практически совпадать с тем, что имеет место в однородном случае.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1 Мазин ВА, Михайлова ВЛ, Сухомлинов Л.Г. Вариационно-разностная

с ямгияк. .«м

ИаУТмГинТРВ°^АЧЭ£Ж.52ВЛГ С^омлинов Л.Г. Применение вариационно-

»»»~ЛГ. Напряжения «окру.

круг'.,"^,,,";™,/!",:™"»,,,» упрут« ^-тезг

'"^•Е.^Х'^шЙ2^»» напряжений .округ круп.»» «перетий ,

4&А96 Мазин В А Численный анализ напряжений вокруг отверстий в упруги сяоисть^™'//' Прикладная математика XXI века. Материалы XI объединение, гКЯда. Гаспирантов фа^льтста компьютерных технологий

прикладаюй математики. Кр^р^ С 74-7* ^ ^^^ е задач

о концентрации напртжмшй для случая ^е^ойион упругой плоскости с двум

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 25.04.12 Формат бумаги 60x84 '/15. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-ии. л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 033 Тульский государственный университет 300012, г. Тула, просп. Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, просп. Ленина, 95

61 12-1/971

ФГБОУ ВПи Куоанскии государственный университет

На правах рукописи

МАЗИН Василий Александрович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ ОТВЕРСТИЙ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор технических наук, профессор Сухомлинов Л.Г.

Краснодар, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................................... 4

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ФОРМУЛИРОВКА ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ УПРУГОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ С ОТВЕРСТИЯМИ............................................................................................................................17

1.1. Постановка задач статики плоской теории упругости

для однородных и кусочно-однородных (составных) тел...................18

1.2. Методы решения задач статики плоской теории упругости

для тел с отверстиями.......................................................................................... 31

1.3. Формулировка подхода к численному решению задачи статики плоской теории упругости для слоистой среды с отверстиями 42

2. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНАЯ ПРОЦЕДУРА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СТАТИКИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КУСОЧНО- ОДНОРОДНОЙ ОБЛАСТИ............................... 45

2.1. Некоторые положения теории вариационно-разностных схем применительно к заявленной задаче............................................................. 45

2.2. Алгоритм численного решения задачи статики плоской теории упругости для прямоугольной кусочно-однородной области........... 56

2.3. Программная реализация разработанного алгоритма применительно к задачам о концентрации напряжений вокруг отверстий в упругих слоистых средах......................................................... 68

3. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННОЙ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ.......................74

3.1. Случай однородной прямоугольной полосы на двух опорах при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки...........75

3.2. Случай однородной упругой плоскости с круговым включением в условиях равностороннего растяжения........................77

3.3. Случай однородной упругой полуплоскости (широкой полосы)

с круговым отверстием у края при продольном растяжении и поперечном сжатии..............................................................................................84

3.4. Случай однородной упругой плоскости с двумя одинаковыми круговыми отверстиями при сжатии и растяжении в

направлениях вдоль и поперек линии их центров..................................88

4. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ВОКРУГ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ В УПРУГИХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ РАЗРАБОТАННОЙ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНОЙ ПРОЦЕДУРЫ.............94

4.1. Случай двухслойной упругой полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, при продольном растяжении............................95

4.2. Случай двухслойной упругой полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, при поперечном сжатии......................................107

4.3. Трехслойная упругая плоскость с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении и поперечном сжатии.....................................117

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................................................134

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.........................................................136

ВВЕДЕНИЕ

В промышленном производстве, на транспорте, в строительстве, в горном деле - всюду приходится иметь дело с телами, ослабленными отверстиями. К таким телам относятся элементы всевозможных конструкций и сооружений, горные и грунтовые массивы (с выработками). Причиной разрушения таких тел под действием приложенных нагрузок зачастую является высокий уровень напряжений, возникающих на кромках имеющихся в них отверстий. При разработке методов расчетного прогнозирования распределения напряжений вокруг отверстий во многих важных для практики случаях допустимо исходить из предположений об упругом статическом характере деформирования исследуемых тел и, более того, основываться на плоском варианте линейной теории упругости. Этим в значительной мере объясняется неослабевающий интерес, проявляемый исследователями к плоским задачам статики теории упругости для областей с отверстиями.

Список публикаций в мировой литературе по рассматриваемой проблеме чрезвычайно обширен. Тем не менее, сформировать представление о полученных результатах вполне возможно, опираясь на обзорные материалы, содержащиеся в работах [12,22,34,35,43,57,61,62,68,77,86,96,107]. Вытекающие из анализа упомянутых публикаций выводы сводятся к следующему.

В большинстве работ обсуждаемого направления (в том числе и последних лет) объектами исследования являются однородные тела (как изотропные, так и анизотропные). В предположении однородности тела удалось получить и довести до числовых результатов решения множества задач о концентрации напряжений вокруг отверстий. При этом исследовались всевозможные случаи тел с одним отверстием (самой разнообразной конфигурации), с двумя и более отверстиями, с периодической системой отверстий. Рассмотрению подвергались и случаи,

когда выполненное в теле отверстие полностью заполнялось изотропным материалом, отличным от материала тела (случай упругого включения). При этом решения были построены как для случая одного, так и нескольких включений в исследуемом изотропном теле. Рассматривались также [3, 17,24,57,81,91,92,108] и некоторые другие частные случаи подобных кусочно-однородных или составных тел (составленных из различных однородных частей с различными упругими постоянными), имеющих различного рода вырезы.

Между тем, распространенным случаем составного тела является также тело слоистой структуры, ослабленное одним или несколькими отверстиями. Примерами подобных слоистых сред природного происхождения являются всевозможные грунты и горные породы (с наличием в них естественных пустот и выработок). Примеры ослабленных отверстиями слоистых сред в множестве представлены в строительном деле (где сама технология предполагает послойное нанесение материалов друг на друга), а также в таких областях, как судостроение, авиастроение, ракетостроение в связи с широким применением композиционных материалов.

Анализ публикаций последних лет, посвященных решению плоских задач статики теории упругости для тел слоистой структуры как аналитическими, так и численными методами, позволяет заключить, что обозначенная проблема расчетного прогнозирования распределения напряжений вокруг отверстий в упомянутых телах не получила к настоящему времени решения той же полноты, как в случае однородных тел. Достаточно сказать, что до сих пор в литературе даже для случая двухслойной среды с отверстием такой широко распространенной формы, как круговая не было представлено решений с анализом влияния соответствующих физико-механических и геометрических параметров на уровень напряжений вокруг отверстия. И это несмотря на имеющиеся мощные инструменты численного моделирования в виде программных комплексов метода конечных элементов. Дело в том, что применение подобных комплексов в целях указанного

параметрического исследования сталкивается с существенными трудностями, связанными с тем, что при каждом изменении положения отверстия или толщин слоев требуется с учетом изменившейся геометрии задачи снова генерировать отражающую криволинейность контура отверстия сетку конечных элементов и снова убеждаться путем тестовых расчетов в надежности получаемых численных результатов. Все это говорит о том, что применительно к задачам о концентрации напряжений вокруг отверстий в слоистых средах вопросы построения соответствующих решений в формах, обеспечивающих удобство параметрического анализа получаемых результатов, а также вопросы проведения на их основе исследований по влиянию типов нагружения рассматриваемой среды, ее геометрических и физико-механических характеристик на уровень напряжений вокруг имеющихся в ней отверстий до сих пор сохраняют свою актуальность. Решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.

Итак, целью настоящей работы является решение задач статики плоской теории упругости о распределении напряжений вокруг круговых отверстий в двухслойных и трехслойных средах с применением вычислительной модели, обладающей возможностями многовариантного анализа, и установление эффектов, обусловленных слоистой структурой исследуемых объектов и близким расположением отверстий по отношению к межслойным границам.

Работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Первый раздел посвящен описанию постановок задач статики плоской теории упругости для однородных и кусочно-однородных (составных) тел, анализу существующих методов их решения применительно к случаям тел, ослабленных отверстиями и формулировке на этой основе подхода, ориентированного на решение задач о напряженном состоянии таких кусочно-однородных тел, как ослабленные отверстиями тела слоистой структуры.

При анализе соответствующих аналитических методов отмечается, что наибольшую эффективность они демонстрируют в классе задач для однородных тел с отверстиями (как свободными, так и заполненными материалами включений). В случаях же слоистых сред, ослабленных отверстиями, получение решений (доводимых до числовых результатов) аналитическими средствами крайне затруднено. Решения здесь удалось получить лишь применительно к задачам о концентрации напряжений в окрестностях различного рода расслоений и жестких включений на межслойных границах (вопросы, связанные с наличием в слоистых средах отверстий с гладким криволинейным контуром остались неисследованными).

При анализе имеющихся численных подходов к решению рассматриваемого класса задач внимание уделяется методам конечных разностей, конечных и граничных элементов. Относительно метода конечных разностей указывается, что применительно к областям с криволинейными границами (как это имеет место в случае тел с отверстиями) его реализацию целесообразно осуществлять на основе вариационной формулировки соответствующей задачи. При этом отмечается, что в целях обоснования сходимости получаемого вариационно-разностного решения к точному решению рассматриваемой задачи, следует строить соответствующую вариационно-разностную схему, основываясь на системе базисных функций, связанных с выбором сетки, покрывающей исследуемую область (что обычно не делается при традиционном способе построения вариационно-разностных схем). Относительно имеющихся программных комплексов методов конечных и граничных элементов отмечается, что с их помощью можно решать задачи о напряженном состоянии тел самой сложной конфигурации. При этом, однако, указывается на проблемы, существенным образом затрудняющие применение таких комплексов для исследования напряженного состояния ослабленных отверстиями слоистых сред (в связи с чем и возникает необходимость в построении соответствующей вычислительной модели, свободной от подобных проблем).

С учетом вытекающих из проведенного анализа выводов формулируется подход к численному решению заявленной задачи, который основывается на предположении о прямоугольной конфигурации области, занимаемой рассматриваемой слоистой средой, о заполненности всех имеющихся в ней отверстий материалами включений и предусматривает построение основанной на сетке прямоугольной структуры вариационно-разностной модели деформирования такой слоистой среды (с включениями) под действием приложенных нагрузок (случай свободного отверстия при этом моделируется заданием пренебрежимо малого значения модуля Юнга материала включения).

Во втором разделе дается описание построенной в рамках сформулированного подхода вариационно-разностной процедуры, ориентированной на решение задач статики плоской теории упругости для прямоугольной кусочно-однородной (слоистой) области. Все выполняемые в разделе построения исходят из факта существования и единственности (классического) решения рассматриваемой задачи (с учетом того обстоятельства, что в литературе однозначная разрешимость основных граничных задач плоской теории упругости для кусочно-однородных тел установлена при достаточно общих предположениях относительно их конфигурации и схем нагружения). Принимается также во внимание, что указанное (точное) решение удовлетворяет отвечающему заявленной задаче (вариационному) уравнению принципа возможных перемещений (или принципа минимума полной энергии упругого тела).

Используемая в процедуре численного решения сетка прямоугольной структуры выбирается таким образом, чтобы ее ячейки целиком укладывались в рамках прямоугольных контуров отдельных слоев исследуемой области и чтобы совокупная площадь ячеек, целиком лежащих внутри контура включения, была достаточно близка к площади подобласти, занимаемой включением. Осуществленное указанным образом задание сетки порождает разбиение рассматриваемой области на прямоугольные элементы.

Дополнительно в рассмотрение вводятся материальные волокна, проходящие через середины сторон указанных элементов (параллельно координатным осям).

Дается описание двух различных способов построения вариационно-разностной процедуры (приближенного) решения заявленной задачи. В качестве основных неизвестных принимаются перемещения узловых точек образованного ансамбля прямоугольных элементов. Соответствующее приближенное решение (в перемещениях) строится с использованием уже упомянутого вариационного уравнения. В случае традиционного (для принятого численного метода) способа построения искомой вариационно-разностной процедуры входящие в это уравнение интегралы по рассматриваемой области и ее границе приближенно вычисляются на основе значений подынтегральных выражений в средних точках соответствующих элементарных участков интегрирования. Значения деформаций в серединах прямоугольных элементов при этом приближенно выражаются на основе центрально-разностных схем через перемещения узловых точек соответствующих срединных материальных волокон элементов, которые, в свою очередь, также приближенно определяются посредством интерполяции через перемещения смежных узлов сетки прямоугольных элементов (как среднее арифметическое указанных узловых перемещений). В результате используемое вариационное уравнение оказывается выраженным исключительно в терминах узловых перемещений ансамбля прямоугольных элементов, составляющих исследуемую область. Из полученного таким образом вариационного уравнения непосредственно следует соответствующая система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Доказывается ее однозначная разрешимость в рассматриваемом классе задач. Решение указанной системы осуществляется по методу Гаусса с учетом ленточной структуры ее матрицы. По найденным узловым перемещениям затем рассчитываются (с использованием уже упоминавшихся разностных и

интерполяционных схем) деформации (затем напряжения), а также перемещения в серединах элементов. По этим параметрам и создается (приближенная) картина напряженно-деформированного состояния исследуемой области. Интуитивно понятно, что с измельчением сетки, покрывающей данную область, результаты такого численного моделирования должны приближаться к соответствующему точному решению. Однако осуществить доказательство данного утверждения при таком (традиционном) способе построения описанной вычислительной модели не представляется возможным. Тем не менее, указанное утверждение удается обосновать путем реализации описанной вычислительной модели альтернативным способом (в ассоциации с системой базисных функций, определяемых на выбранной сетке).

При указанном альтернативном способе за основу принимается предположение о полилинейном законе распределения перемещений по каждому из введенных в рассмотрение прямоугольных элементов, который полностью определяется заданием узловых перемещений. После подстановки перемещений в виде функций, подчиняющихся указанному закону, в вариационное уравнение, соответствующее заявленной задаче, и (точного) вычисления упоминавшихся уже интегралов по элементам приходят к (приближенной) формулировке этого уравнения в терминах неизвестных узловых перемещений. В результате выполнения процедуры варьирования получают систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений (которая, однозначно разрешима). В литературе по теории вариационно-разностных схем дается оценка отклонения получаемого указанным способом приближенного решения (к�