Решение контактных задач теории упругости для слоистой полуплоскости с концентраторами напряжений в виде кругового отверстия или щели тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ОТАРБАЕВ ЖАНГЕЛЬДЫ ОТАРБАЕВИЧ

УДК 539.3.01+622.011.4;622.023

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СЛОИСТОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ с КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ В ВИДЕ КРУГОВОГО ОТВЕРСТИЯ ИЛИ ЩЕЛИ

Специальность 01.02.04 -"механика деформируемого твердого тела"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Казахской Государственной

архитектурно-строительной академии Министерства образования Республики Казахстан

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор (Институт проблем механики АН РФ, г. Москва)

доктор технических наук, профессор (Московская государственная академия автомобильного н тракторного машиностроения)

доктор физико-математических паук, профессор (Московская государственная академия приборостроения и информатики)

Ведущая организация:

Научно-исследовательский просктно-изыскательский и конст-рукторско-техиологический институт оснований и подземных сооружений им. Н. М. Герсеванова (г. Москва) - ГНЦ "Строительство" Министерства строительства РФ - НИИОСП им. Н. И. Герсеванова

Защита состоится " /у " ^аЛ 1997 г. в /Я* час. на заседании Диссертационного Совета Д 063.68.01 Московского государственного института электроники и математики (МГИЭМ) по адресу:

109028, Москва, Большой Трёхсвятительский пер., 3/12 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

В. М. Александров Л. В. Божкова

А. С. Кравчук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Необходимость обеспечения эксплуатационной надежности конструкций приводит к усложнению как самих конструкций, так и отдельных конструктивных элементов, многие из которых зачастую ослаблены различного рода отверстиями. Среди распространенных элементов в машино — и приборостроении, в судо —, авиа и ракетостроении являются полоса, многослойная полоса, полуплоскость, слоистая (многослойная) полуплоскость.

Также потребность решения различных граничных задач теории упругости для многослойного основания возникает:

— в механике грунтов, когда грунт моделируется упругой слоистой полуплоскостью, характеристики которой меняются по глубине;

— при расчетах на сжатие и изгиб многослойных плит, которые являются широко распространенными элементами конструкций;

— при анализе работы конструкций, подвергнутых поверхностной обработке путем нанесения тонкого пограничного слоя из более прочного материала;

— в горном деле: при расчетах многослойных оснований для крупных транспортных сооружений, таких как метрополитены; гидротехнических — дамбы, плотины, гидростанции; промышленных - АЭС; также дорожных и аэродромных одежд, и при проведении очистных работ в целях извлечения полезных ископаемых.

О важности проблемы выемки угля под сооружениями, в частности в Карагандинском бассейне, свидетельствует тот факт, что в настоящее время под существующей границей города Караганда находится более двух миллиардов тонн угля, что значительно больше, чем извлечено за все годы существования этого бассейна. В связи с этим весьма актуальными становятся проблемы защиты поверхностных сооружений и зданий. Существующие нормативные документы по проектированию таких зданий основываются лишь на определении параметров элементов мульды сдвижения без учета влияния самих сооружений. Кардинальное решение проблемы таится в

систематическом исследовании совместной работы фундаментов зданий с деформируемой дневной поверхностью в мульде сдвижения.

Возникает необходимость в современных эффективных методах определения напряженно-деформированного состояния (НДС) конструктивных элементов такого типа. Следует отметить, что в литературе широко представлены задачи теории упругости о действии штампа на упругую полуплоскость и разработаны эффективные методы их решения. В то же время недостаточно изучены вопросы взаимодействия штампов с различного рода неоднородностями тела (многослойность, наличие произвольно нагруженного кругового отверстия или продольной щели в одном из слоев), когда штампы к тому же жестко сцеплены с полуплоскостью.

Поэтому дальнейшее совершенствование уже известных и разработка новых методов решения, построение и реализация соответствующего численного алгоритма контактных задач теории упругости в итоге приводят к значительному экономическому эффекту, особенно при создании дорогостоящих и материалоёмких конструкций. К этому следует добавить, что успешное решение контактных задач математической теории упругости для многослойных сред создает необходимую основу в последующем для решения задач термоупругости, вязкоупругости, пластичности, консолидации, теории разрушения и износостойкости.

Все это свидельствует об актуальности подобных исследований в теории многослойных упругих сред как в теоретическом, так и в прикладном отношениях.

Объект исследования: тоннельная и очистная выработки большой протяженности в слоистом массиве и ленточные фундаменты наземных сооружений, оказывающиеся в зоне влияния линий метро мелкого заложения или мульды сдвижения над очистной выработкой.

Краткий обзор состояния вопроса. Развитие универсальных численных методов решения граничных задач теории упругости предопределило возможность все более точного учета механических свойств среды при решении задач механики грунтов. Естественно, что первоначальные подходы, когда среда

рассматривалась как полупространство или слой на жестком основании, привели к заметным достижениям. Однако существуют задачи, возникающие при разработке полезных ископаемых на малых глубинах в зоне жилищного строительства и при строительстве метрополитена, которые требуют более точного учета свойств грунта. Следовательно постоянно существовала и существует необходимость в разработке новых и совершенствовании имеющихся методов эффективного решения контактных задач плоской теории упругости кусочно-однородных полубесконечных сред с концентраторами напряжений. В разработку этих методов, равно как и в разработку общих методов теории упругости в частности и механики деформируемого твердого тела вообще существенный вклад внесли такие ученые, как В. М. Абрамов, Ш. М. Айталиев, В. М. Александров, Б. Д. Аннин, Н. X. Арутюнян, В. А. Бабешко, И. А. Бахтияров, С. Е. Бирман, И. И. Ворович, Л. А. Галин, С. С. Григорян, М. И. Горбунов-Посадов, А. Н. Гузь, К. Е. Егоров, Ж. С. Ержанов, В. А. Ильичев, А. А. Ильюшин, А. Ю. Ишлинский,

B. Д. Клюшников, Г. В. Колосов, А. С. Космодамианский, Л. С. Лейбензон, В. А. Ломакин, А. И. Лурье, В. П. Майборода,

C. Г. Михлин, Н. И. Мироненко, В. И. Моссаковский, Н. И. Мусхелишвили, Ю. В. Немировский, В. С. Никифоровский,

B. С. Никишин, В. В. Новожилов, П. Ф. Папкович, В. 3. Партон, П. И. Перлин, Б. Е. Победря, Г. Я. Попов, А. К. Приварников, И. А. Прусов, Ю. Н. Работнов, X. А. Рахматулин, В. Л. Рвачев, Г. Н. Савин, М. А. Садовский, Л. И. Седов, Л. И. Слепян,

C. П. Тимошенко, Л. А. Толоконников, Ю. А. Устинов, Я. С. Уфлянд, А. Б. Фадеев, С. В. Фалькович, Н. Н. Фотиева, С. А. Христианович, С. А. Чаплыгин, Г. П. Черепанов, Г. С. Шапиро, Е. И. Шемякин, Д. И. Шерман, С. А. Шестериков, Т. Ш. Ширинкулов, И. Я. Штаерман и другие.

Из большого числа разнообразных методов, разработанных в плоской теории упругости, следует выделить методы, основанные на использовании комплексных потенциалов — как наиболее эффективные. Основателями этого направления являются Г. В. Колосов, Н. И. Мусхелишвили и Д. И. Шерман, идеи которых оказывали и продолжают оказывать плодотворное влияние на развитие плоской теории упругости. Систематическое и весьма плодотворное применение комплексных потенциалов имеет место в работах С. Е. Бирмана, Я. С. Уфлянда,

A. И. Каландия, А. И. Бегиашвили, С. М. Белоносова, М. Я. Беленького,Н. И. Мироненко, М. К. Туебаева и других.

Впервые плоская контактная задача была поставлена и решена С. А. Чаплыгиным. Им рассмотрена задача давления тяжелого цилиндра на упругую полуплоскость, дана конкретная постановка задачи в предположении малости смещений и отсутствия внешних усилий вне участка контакта. Автором вводятся две аналитические во всякой внутренней точке полуплоскости функции. Тем самым задача определения упругой деформации полуплоскости сведена к краевой задаче теории аналитических функций. В качестве примера рассмотрена задача давления прямоугольного бруса (штампа) на полуплоскость. Получена формула определения напряжения, действующего между штампом и основанием. М. А. Садовским найдено точное решение задачи давления жестких штампов, когда вдоль линии контактов штампов полуплоскостью происходит скольжение и отсутствует трение. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким штампом при учете сил трения в общем виде под названием основной смешанной задачи для полуплоскости, когда на некоторых отрезках границы заданы компоненты вектора смещения, а на остальной части — компоненты вектора напряжения была решена Н. И. Мусхелишвили. В. М. Абрамов впервые точно решил задачу о контакте штампа и полуплоскости при отсутствии проскальзывания, получил многократную перемену знака напряжения в пределах контактной поверхности.

Г. Н. Савин выполнил ряд важных исследований в области контактных задач теории упругости и приложил их к решению конкретных задач, связанных с расчетом фундаментов.

В последующем решением аналогичных задач занимались

B. А. Флорин, В. А. Гастев, Д. И. Шерман, А. И. Бегиашвили,

C. Ф. Фалькович, JI. А. Галин, И. Я. Штаерман, Н. А. Ростовцев, А. В. Бицадзе, Н. И. Глаголев, А. Я. Медведев, Г. Я. Попов, G. G. Adams, G. R. Miller, Z. М. Keer, В. М. Александров, JI. М. Филиппова и др.

Согласно принятой методике исследований анализ современного состояния аналитических работ нами проведен в двух аспектах: а) общие вопросы теории упругости кусочно-однородных сред; б) собственно контактные задачи для полубесконечных сред с ослаблениями.

Первые исследования по кусочно-однородным средам восходят к работам тридцатых годов С. Г. Михлина, Д. И. Шермана. Позднее А. И. Каландия, И. А. Прусов рассматривали плоскость, склееную из двух полуплоскостей и ослабленную отверстиями с гладкими контурами. Изучению симметрично-напряженного состояния упругой кусочно-однородной плоскости, где две полуполосы и полуплоскости склеены так, что образуют прямоугольное отверстие, посвящены работы Ю. В. Немировского, В. В. Миренкова. В работах Ж. С. Ержанова, Ш. М. Айталиева, М. К. Туебаева, Н. И. Ми-роненко и других решены плоские задачи теории упругости кусочно-однородных сред. Граничные задачи теории упругости для многослойных оснований простой и сложной структуры решались ранее И. Г. Альпериным, Г. С. Шапиро, В. Э. Наумовым, В. И. Петришиным, Р. М. Раппопортом, Ю. А. Шев-ляковым, в последующем в работах А. К. Приварникова, И. Е. Вигдеровича, В. Д. Ламзюка.

В инженерной практике осадки фундаментов под действием собственного веса сооружения проще определить при предположении однородности оснований. Некорректность подобной постановки обусловлена наличием в решении задачи логарифмических членов, приводящих к бесконечным смещениям для несамоуравновешенных нагрузок. Такую особенность можно обойти, введя двухслойное основание, нижний слой которого является абсолютно жестким. Первые результаты в этом направлении были получены К. Е. Егоровым, О. Я. Шехтер, С. Е. Бирманом.

Переход от полосы к многослойному основанию формально не вызывает принципиальных затруднений - лишь усложняются ядра интегральных уравнений из-за увеличения определяющих параметров. В то же время численная реализация формальных решений наталкивается на известный барьер, преодоление которого связано с построением корректных решений для последующей машинной реализации. Вопросам математического обоснования корректной постановки и численному решению основных и смешанных задач теории упругости для многослойных и непрерывно-неоднородных сред посвящены исследования В. С. Никишина. В работах Ю. А. Шевлякова, А. К. Приварникова, С. Л. Вольского исследованы сложные основания.

Ими предложена идея ещё одного метода решения граничных задач теории упругости для слоистых оснований - метода функций податливости. Ю. А. Амензаде, О. Л. Бубутейшвили, С. X. Хайт-метов, М. А. Александрии рассматривали действия плоского штампа на однородную полуплоскость с различного рода ослаблениями и включениями, к сожалению, в них отсутствовали числовые результаты. Анализ перераспределения контактных напряжений под фундаментом, поворот фундамента в зависимости от проводимой вблизи сооружений круговой выработки в однородной среде проведен в трудах И. Г. Ара-мановича, Н. Н. Фотиевой, В. А. Лыткина. Расчеты оседания дневной поверхности над тоннелями выполнялись Ю. А. Ли-мановым, Ж. Б. Шегеновой, а изучение мульды сдвижения над горными разработками по выемке полезных ископаемых и обоснование рекомендации по защите подрабатываемых зданий велись С. А. Батугиным, Р. А. Муллером, П. Е. Клещевым, А. Б. Фадеевым, 3. И. Поздняковой, А. Ж. Жусупбековым Филатовым А. И., Клепиковым С. Н., Бирюковым В. В., Шеремет

A. Н., Ануфриевым В. П., Болучевским В. И., Борзых А. Ф., Нгуань X., Нао Tian-hu, Dulaska Е., Dimova V., Singh R. P., Forth R. A., Hamano Hiroki, Kripakov N. P. и другими исследователями.

К сегодняшнему дню наибольшие успехи достигнуты в решении первой и второй граничных задач теории упругости для многослойных оснований, нагруженных поверхностными нагрузками. Менее значительны успехи в решении контактных задач для таких оснований. Ещё менее изучены контактные задачи для многослойных оснований, слои которых содержат концентраторы напряжений.

Обширный литературный обзор публикаций до 1975 года имеется в коллективной монографии "Развитие теории контактных задач в СССР" (1976 г.). Состояние дел за последние 20 лет освещено в фундаментальных исследованиях Г. Я. Попова,

B. М. Александрова, С. М. Мхитаряна, В. С. Никишина, К. Джонсона, В. 3. Партона, П. И. Перлина, Дж. Гладуэлла, В. И. Моссаковского.

Можно утверждать, что к работам Г. Я. Попова тесно примыкает настоящая диссертационная работа в идейном отношении: и там и здесь рассматриваются взаимовлияние

поверхностных (фундаментов) и внутренних (тоннельная и очистная выработки) концентраторов напряжений друг на друга. Однако они заметно отличаются в используемых методах решения задач. Результаты Г. Я. Попова основаны на приближенном решении интегрального уравнения I рода для искомого контактного напряжения. Благодаря использованию ортогональных многочленов Чебышева проблема сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений —БСЛАУ. Получена аналитическая зависимость контактного напряжения от отношения полудлины участка к толщине полосы X.

В настоящем кратком обзоре приведены в основном только те работы, в которых предлагались и совершенствовались точные методы решения для сложных сред. Из приближенных методов решения граничных задач в первую очередь следует отметить работы В. В. Болотина, В. 3. Власова, В. И. Кузьменко, Н. Н. Леонтьева, Ю. Н. Новичкова, В. Г. Пискунова, В. В. Пар-цевского, П. Ф. Сабодаша, Р. И. Раппопорт и других.

Резюмируя краткий обзор следует сказать, что решением задач о действии штампов на упругое основание занимаются многие исследователи. Это связано с их большим прикладным значением. Многие контактные задачи для многослойных сред в отмеченных работах доведены до вычислительных алгоритмов и реализованы в численном виде, однако это в основном задачи частного характера, когда отсутствует трение в областях контакта. Разработка математически обоснованных и эффективных алгоритмов и программных средств для численной реализации важных для инженерных приложений контактных задач теории упругости многослойных сред остается ешё открытой проблемой. Нет завершенных работ, посвященных рассмотрению действия взаимовлияющих штампов, жестко сцепленных с многослойным неоднородным основанием с ослаблениями — внутренними концентраторами напряжений, доведенных до многовариантных числовых расчетов.

Выбор методов решения задач. При рассмотрении расчетных схем для кусочно-однородных породных массивов методически необходимым, на наш взгляд, является расчленение общей схемы на составляющие элементы.

В принимаемой модели реального основания как пятислойной полуплоскости, в которой слои (полосы) 1-4 разнородны и жестко сцеплены между собой и с полуплоскостью 5, таковыми составляющими элементами выступают:

(1) - двухслойная сплошная полоса, подвергающаяся двухосному сжатию (растяжению), сдвигу и действию жесткосцепленных с нею плоских штампов и произвольных уравновешивающих усилий,

(2) - полоса с круговым отверстием или продольной щелью при наиболее общих граничных условиях как на продольных кромках полосы, так и на контуре ослабления;

(3) - слоистая полуплоскость (полоса на полуплоскости), когда по прямолинейной ее границе действуют произвольные усилия.

Исключительно важное значение имеет построение эффективных общих решений для указанных составляющих элементов, поскольку последующее сопряжение этих решений в соответствии с контактными условиями кусочно-однородных сред обеспечивает решение всей поставленной задачи.

В теории упругости установлено, что для тел с прямолинейными границами эффективно применение интегрального преобразования Фурье. Для многосвязных областей хорошо зарекомендовал себя метод наложения. Действительно, метод наложения для полосы обеспечивает возможность удовлетворения граничных условий на прямолинейных границах за счет преобразования Фурье, а на контуре — за счет решения Н. И. Мусхелишвили в комплексных рядах для бесконечной плоскости. В случае полосы, ослабленной продольной щелью, удовлетворение граничных условий на берегах щели достигается также за счет преобразования Фурье с привлечением ортогональных многочленов П. Л. Чебышева.

Таким образом, при решении задач кусочно-однородных сред из плоско-параллельных слоев с ослаблениями предпочтительными оказываются методы теории функций комплексного переменного и интегрального преобразования Фурье.

В задачах о действии плоских штампов на полосу или полуплоскость возникает вопрос об аппроксимации контактных напряжений. Здесь наиболее эффективными и сравнительно простыми в обращении являются многочлены П. Л. Чебышева.

Достоверность сформулированных научных положений и полученных результатов обеспечивается корректной постановкой задач, строгостью математического аппарата. Предельные переходы дают известные решения для однородных и изотропных тел, тестовые задачи вычисляются с высокой степенью точности. Результаты работы соответствуют физической сущности изучаемых процессов.

Практическая ценность. Прежде всего получило дальнейшее развитие методика решения плоских контактных задач теории упругости для многослойных сред, согласно которой неоднородная среда расчленяется на составные части: двухслойная полоса, полоса с круговым отверстием или щелью, слоистая полуплоскость; решения вспомогательных задач для этих элементов численно сопрягаются согласно условиям на участках контакта. Вскрыты новые эффекты в поведении фундаментов, во взаимовлиянии фундаментов и выработок под ними. Разработанные алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния пород вокруг выработок вплоть до дневной поверхности, в том числе углов наклона фундаментов над мульдой сдвижения, реализованы автором в виде 2" Программных средств на языке ФОРТРАН-ГУ:

1) "РиТСЖЫ" - Расчет взаимодействия фундаментов наземного сооружения и тоннельной выработки в слоистой толще, за №50870001501 принято в 1987 году ГосФАП при ГКНТ ФАП СССР, в раздел № 67 "Строительство и архитектура".

2) "РиСЛАС" - Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных выработок, за №50880000529 принято в 1988 году ГосФАП при ГКНТ СССР, в раздел №30 "Механика"

Программное средство "РиТСШМ" использовано Институтом сейсмологии АН РК при расчете осадок и наклона высотных зданий в г. Алматы, попадающих в зону влияния сейсмически активных разломов. Результаты расчетного анализа позволили прогнозировать возможное состояние объектов народного хозяйства в зоне влияния линий строящегося метрополитена в г. Алматы. На основе расчетных данных предложено организовать превентивные мероприятия по усилению фундаметов зданий и сооружений. Также эти Программные средства нашли и находят применение в практике инженерных расчетов напряженного и деформированного

состояния различных многослойных структур в ряде научно-исследовательских, конструкторских и проектных институтов (Каз НИИ сейсмостойкого строительства и архитектуры, Казахская проектная академия "КА200Л", Акционерное общество "Алматыметрострой", Научно-производственное предприятие "Геотехнология" и другие), что подтверждается отзывами или актами об использовании результатов из упомянутых организаций. Обилие таблиц и графиков облегчает применение результатов работы в промышленно-гражданском строительстве.

Результаты диссертации вошли в три заключительных отчета по научно-исследовательским работам, координированным в свое время АН СССР и АН Каз ССР по темам: 1.18.1.4 С "Теоретические основы расчета подземных сооружений в неоднородной толще" (1976-1980 г. г. Гос. регистр. №78033496), 1.10.2.2 "Разработать методы расчета напряженного состояния подземных сооружений в упругом кусочно-однородном массиве при статическом и динамическом нагружениях" (1981-1985 г. г. Гос. регистр. № 81085565). "Вопросы механико-математического моделирования некоторых прикладных задач" (1988-1990 г. г. Гос. регистр. №01880071508), а также в 1991-1995 г. г. тема входила в программы поисковых научно-исследовательских работ, утвержденных Министерством образования и Министерством науки и новых технологий Республики Казахстан (гос. регистр. №0194 РК01097).

Следует отметить, что результаты теоретических исследований, а также программные средства были использованы для усиления и реконструкции фундаментных конструкций зданий учреждений АК-159/5, расположенных в зоне прогнозируемой подработки в Карагандинской области в 1988—1990 г. г.

Научные положения и выводы выносимые на защиту:

- постановка и решение новых контактных задач теории упругости для многослойных оснований, в одном из слоев которых имеются ослабления в виде кругового отверстия или щели;

- исследование полученной системы сингулярных интегральных уравнений и построение наиболее общей формы их решения;

- предложенные модели крупнослоистой полуплоскости со щелью или отверстием под действием двух штампов позволяют с достаточной полнотой изучить поведение фундаментов наземных сооружений в зоне влияния подработки и во

взаимодействии с тоннельной выработкой мелкого заложения;

-разработанные методы расчета напряженно-деформированного состояния сложного основания, представленного кусочно-однородной полубесконечной средой с ослаблениями, на действие штампов являются эффективными и хорошо приспособленными для использования ЭВМ;

- установленные закономерности поведения фундаментов в зависимости от перераспределения контактных напряжений под фундаментами, мощности и деформативных характеристик слоев неоднородного основания, геометрических параметров (расстояний между штампами, до фронта и глубины очистных работ и заложения тоннелей) вскрывают действительный механизм взаимодействия фундаментов зданий с подземными сооружениями.

Целью данной работы является разработка новых и совершенствование имеющихся методов эффективного решения ряда контактных задач плоской теории упругости кусочно-однородных полубесконечных сред с концентраторами напряжений в виде кругового отверстия или щели; обоснование расчетных моделей, наиболее полно отражающие изучаемые процессы; разработка эффективных методов определения поля напряжений и перемещений от действия штампов, жестко сцепленных со слоистой полосой; предложение эффективных методов определения поля напряжений и перемещений в слоистой полуплоскости, когда в одном из слоев имеется щель (разрез); разработка на основе принятых моделей эффективного метода расчета взаимовлияния между штампами и круговым отверстием или щелью, ослабляющих слоистую полуплоскость; выполнение полной алгоритмизации предлагаемых методов расчета, реализация их на ЭВМ и проведение массового счета;оценка осадок и углов наклонов фундаментов (штампов) в зависимости от положений центров тяжести зданий, расстояний до оси выработки, геометрических и упругих характеристик слоев.

Научная новизна и значимость результатов исследований. Обоснованы и разработаны расчетные модели взаимодействия фундаментов наземных сооружений с подземной выработкой и механизм влияния подработки на поверхностные сооружения через неоднородную толщу горных пород и грунтов. Предложена наиболее общая форма решения для контактных напряжений

под плоскими штампами. Впервые построены интегральные уравнения контактной задачи о действии двух штампов на упругую двухслойную полосу, уравновешенную произвольными усилиями. Эта вспомогательная контактная задача использовалась для получения решения гораздо более сложной новой контактной задачи о действии двух штампов на слоистую полуплоскость с круговым отверстием в одном из слоев. Дано новое точное решение задачи для плоскости с одиночной щелью, решена ещё одна новая смешанная задача теории упругости о действии двух штампов на слоистую полуплоскость со щелью в одном из слоев, созданы Программные средства для решения важных для технических приложений двумерных задач теории упругости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались, обсуждались и получили одобрение на VII, VIII, IX, X Казахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Караганда-1981, Алматы, 1984, Алматы, 1989, Алматы, 1994), на VI Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применения ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1985), на X Всесоюзном семинаре по исследованию горного давления и охране капитальных и подготовительных выработок (Кемерово, 1986), на IX национальном конгрессе по механике грунтов, основаниям и фундаментам (Краков, 1990), Международной научной конференции "Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела" (Алматы, 1992), научной сессии отделения физико-математических наук АН РК (Алматы, 1992), на научной сессии Западно-Казахстанского научного центра (Атырау, 1995).На X Азиатской международной конференции по механике грунтов, основаниям и фундаментам (Пекин, 1995), на Российской конференции по механике грунтов и фундаментостроению (Санкт-Петербург, 1995), на международной научной конференции по механике горных пород (Алматы, 1997) Отдельные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах: Института сейсмологии АН РК, кафедры теории упругости Ростовского государственного университета, кафедры математического моделирования МГИЭМ, НИИОСП им. Н. М. Герсеванова, Казахской государственной архитектурно-строительной академии, Казахского научно-исследовательского

института сейсмостойкого строительства и архитектуры, механико-математического факультета и НИИ механики Казахского государственного университета, на Техсовете Проектной академии "KAZGOR"

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих 21 параграф, заключения и 9 приложений, общий объем работы составляет 354 страницы машинописного текста, содержит 35 иллюстраций и 45 таблиц. Библиография включает 288 наименований.

Работа выполнена в Казахской государственной архитектурно-строительной академии. Автор выражает благодарность академикам АН РК Ж. С. Ержанову, Ш. М. Айталиеву и академику АН высшей школы РК П. А. Атрушкевичу за постоянное внимание к работе.

Автор глубоко признателен М. К. Туебаеву за ценные советы, во многом способствовавшие улучшению содержания и качества диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение посвящено общей характеристике работы и обзору современного состояния изучаемых в диссертации проблем.

ГЛАВА I. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ШТАМПОВ, ЖЕСТКО СЦЕПЛЕННЫХ С УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ

Здесь решается задача о взаимодействии двух плоских штампов, жестко сцепленных с упругой полуплоскостью х<0. Центры штампов шириной 2с1 находятся в точках (0, ± у0). Штампы загружены вертикальными силами Р1 и Р2, сдвигающими усилиями (21 и (^2, моментами М1 и М2. Вне штампов полуплоскость не нагружена. Рассматривается случай плоского деформированного состояния. Из-за геометрической симметрии относительно вертикальной оси Ох приложенные нагрузки разбиваем на четную и нечетную части.

—» % и < — > X/ к И Ч V ЧчЧччч4

у £ У0+<1 i Ч"* 0 -(у0-сО -У0 -(у0+а) £

Фиг. 1. Штампы на полуплоскости. Ь

§ 1. Основные уравнения. После разбиения усилий на симметричную и антисимметричную части методом интегрального преобразования Фурье получена система сингулярных интегральных уравнений в виде:

(1-Х,)о(г|)- — Гт(^)[——0 , я Л-^ П+^+5

где

тИУ-У0)М. ?=(^У0)/с1, Х=у/( 1 -v), С=( 1 -у2)/Е, 5=2у0/с1, у0>с1, е - угол наклона штампа, о(г|), т(г|) - нормальные и касательные напряжения под левым штампом. К системе (1) следует добавить условия равновесия штампа:

с]Г, О(л)с1г1+Р=0, т(г|)с1г|+(3=0, с12Г, с(Г|)г|<1т|-М=0 (2)

Здесь Р, Q, М - составляющие усилия, действующего на левый штамп. Верхние знаки соответствуют симметричной, нижние -—антисимметричной задачам.

§ 2. Форма решения системы интегральных уравнений.

Исследование особенностей в угловых точках штампа привело к характеристическому уравнению

4с1д2лр +(1-Х)2 =0, корнями которого являются величины р=1/2±I(1пэе/2л) , здесь36 =3-4у.

После чего предложена форма решения системы (1) в виде:

сг(г|)=Ке[А2+ +Вг~ -НСг- ЧмОгЧ+ч^Ргр) Х^Опип(л),

где • Р0=1/2(1^Р), Р = 1п(3-4у)/я

ип(г!)- многочлены Чебышева второго рода, А, В, С, О, Бп, Еп — произвольные действительные коэффициенты.

В частном случае, для одиночного штампа имеем 0=0, 0п=0, Еп=0 и решение совпадает с классическими результатами Н. И. Мусхелишвили и А. Я. Медведева. Решение (3) эффективно тем, что его преобразование Фурье, входящее в (1) и (2) и многие другие интегралы, характерные для контактной задачи, вычисляются аналитически, что удобно при численной реализации.

В числовых расчетах принималось, что и М возникают как следствие наклона штампа (сооружения) и наличия эксцентриситета приложенной вертикальной нагрузки Рс (веса сооружения). Тогда

0=Рс е, М= Р (е+х е), (4)

где ес - эксцентриситет центра тяжести, отсчитываемый вправо, хс — высота центра тяжести сооружения. В этом случае

е = (0,5(эе+1) есРс)/(лс12(1+р-2)ц-(эе+1)(^+хс)Р/2) (5)

т. е. может существовать такое соотношение исходных параметров основания и сооружения, что угол наклона может быть сколь угодно большим. Следовательно, для малости угла наклона сооружения необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

Е » 4(|3с1+хс)( 1 -у2)Рс/лс12( 1+Р"2)

здесь Е - модуль Юнга.

§ 3. Сведение к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ)

Подстановка (3) в (1), последующее разложение функций на [-1, 1] в ряды по многочленам Чебышева первого рода приводят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов в решении (3).

§ 4. Числовые результаты и их анализ.

Решалась система 27-го порядка. Интегрирование ее коэффициентов проводилось численно по формуле Симпсона. Расчеты показывают, что полученная БСЛАУ хорошо обусловлена при любых V: 0,5 , особенно при V = 0,5. В таблице 1 приведены значения угла поворота штампа (е>0 - по часовой стрелке) для симметричной задачи при у=0,3; хс=1,5<1; ес=0; ес=0,5с! и различных Ес1 /Р, у^. В скобках указан порядок числа, т. е. ЮЛ

УоМ при Ed/Pc равном

5 100 5 100

е с =0 е =0,5d С '

1,1 0,117(0) 0,335(-2) 0,347(0) 0.99Ц-2)

1,5 0,703(-1) 0,215(-2) 0,268(0) 0,820(-2)

3,0 0,318(-1) 0,100(-2) 0,215(0) 0,678(-2)

10,0 0,932(-2) 0,295(-3) 0,189(0) 0,601(-2)

оо 0,931 (-6) 0,295(-7) 0,180(0) 0,571 (-2)

ГЛАВА 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ШТАМПОВ, ЖЕСТКО СЦЕПЛЕННЫХ С МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ, ОСЛАБЛЕННОЙ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ.

Реальная среда моделируется тяжелой кусочно- однородной пягислойной полуплоскостью 1-5.

Уо'4 У о y„-cL

W Е

W L4

7777.

(5) ES.VS.JTS

h.

¿1

Ь

&L

\bi

777777777777777777777

Фиг. 2. Штампы на слоистой полуплоскости с круговым отверстием

Слои 1-4 предполагаются разнородными, жестко сцепленными между собой и полуплоскостью 5 (фиг. 2). К штампам приложены вертикальная Рс и горизонтальная С> силы, а также М.

Граничные условия задачи таковы:

и1 = ^(М-Уо). ^ = Ч, ( Уо-<1</У/<Уо+^, х=1,+Ьг+Ь, )

ах, = = 0 ( У0+с1</у/<у0-с1 , х=1,+Ь2+Ь,) = 0. °гез = 0 при г = И =1,

на бесконечности о. = ст°, а. = о°, т =0

Ч Ч У] И ' хй

Здесь , -о* - вертикальное и горизонтальное перемещения кромки слоя I под штампами 0=1,2) е. - углы поворотов штампов, 2а- его ширина, оа , тез- нормальные и касательные напряжения, приложенные к контуру отверстия, j - номер слоя.

Эта сложная модель в рамках симметричной и антисимметричной задач условно расчленяется на два сравнительно простых элемента: двухслойная полоса 1-2 со штампами и слоистая полуплоскость 3-5 с отверстием в полосе 3.

Предварительно решается вспомогательная задача, представляющая естественно и самостоятельный интерес, о двухслойной полосе, уравновешенной произвольными усилиями.

§ 5. Упругое равновесие двухслойной полосы под действием двух штампов и уравновешивающих усилий.

о)

§ 6. Симметричная задача.

После разбиения нагрузок на симметричную и антисимметричную части, методом интегрального преобразования Фурье задача сведена к решению следующей системы сингулярных интегральных уравнений относительно нормальных <т(п) и касательных т(г|) напряжений под штампами:

аг1ЖЛ) ±(3/я)8Оо/ю*) ± (1/а£)]

+

+ Ш /_,[(!/(£-11)) ± (Tl+5)) ± n+5)/cot) - (($- Ti)/to2J]cr(^ciq = R,;

(7)

(X,-l)о(п) + (5/л) jJ± (1/ю+) + (1/ю_)] c(!;)d£ -

- Ш ¿[(Щ- ц)) ± (1/(^4- n+S)) ± (£+ ц+8)1а\) - (($- n)/wJ]T(^)dq = R2. Здесь

R,=± (ую цц.в ± L„ и I <Ф+(ж,)+

со+2= 52 + (S+ П + 5)2, а>1= 52 + г})2, 5 = 2y/d, 8 = 2h,/d;

yO+d л yO+d ' Q

s = Ц«УК"pdy, t = l,„^¡CiiiIty.CrO-»№ f- GwCto № • «■№ ■ V- v,/<v,);

f(y), g(y) - соответственно нормальные и касательные абсолютно интегрируемые нагрузки, приложенные снизу.

§ 7. Антисимметричная задача Здесь f(y), g(y) приняты самоуравновешенными, поэтому составляющей Q=PC е из (4) пренебрегаем. Здесь f /Д(1", fir /дрп,

Lij - некоторые функции, зависящие от р и убывающие на бесконечности как expf-ph,- ph2) или exp(-2ph,).

Несобственные интегралы, входящие в (7), являются сходящимися в нуле, т. к. условия статики считаются выполненными.Присоединяя к уравнениям (7) условия равновесия штампа (2) и учитывая для контактных напряжений под штампами представления (3), при помощи ортогональных многочленов Чебышева задача сведена к БСЛАУ относительно неизвестных коэффициентов А, В, С, Dn, En (D=0).

§ 8. Числовые результаты и их анализ.

В процессе отладки программ рассмотрен частный случай Ej =Е, v^v, h,= const, h2 00, который совпадает с предыдущей задачей. Получены точные результаты для одиночного штампа при у0 -»

В табл. 2. даны повороты левого штампа (е>0 - по часовой стрелке), сцепленного с однородной полосой. При y,=0,4d все повороты штампа отрицательны. С увеличением у0 угол е увеличивается. При y.=3d отрицательные е достигаются лишь при y0=6d. Здесь сказывается изгиб полосы - под действием штампов и сил f(y) изгибается выпуклостью вверх.

Табл. 3. показывает повороты штампа, сцепленного с полосой, лежащей на более жестком слое (в скобках дан порядок числа). По сравнению с результатами для однородной полосы значения угла е резко упали - это подтверждает, что в величину е большой вклад вносит упругий изгиб полосы. Хотя Е2 существенно велико, изгиб полосы заметен, особенно при у0= 6d . В принципе, если

Таблица 2. Значения угла поворота штампа е (рад)

Уо/d при Ejd/Pc равных

50 100 50 100

y.=0,4d У.= 3d

1,5 -0,113(-1) -0,553(-2) 0,398(-1) 0,193(-1)

3,0 -0,477(-1) -0,226(-1) 0,420(-1) 0,199(-1)

6,0 -0,189(0) -0,854(-1) -0,622(-1) -0,282(-1)

УоМ при Е2(1/РС=104 и Е,а/рс, равных

5 50 5 50

у.=0,4с1 У.= =3(1

1,1 0,120(-1) 0,830(-3) 0,128(-1) 0,140(-2)

1,5 0,711(-3> -0,107(-3) 0,166(-2) 0,630(-3)

3,0 0,560(-3) -0,563(-3) 0,220(-2) 0,702(-3)

6,0 -0,193(-2) -0,248(-2) 0,307(-3) -0,750(-3)

Е, сравнимо с Е2, то поворот штампа должен происходить только за счет изгиба полосы. Этот факт проявляется и при Е,с1 /Рс=50 для у.=0,4с1.

Табл.4 ( в скобках дан порядок числа) характеризует повороты штампа, сцепленного со слоем, лежащим на абсолютно жестком основании. При у,=0,25 все е >0. Их значения для у0=6с! больше, чем для у0= 1,5(1, т. е. в случае, когда штампы близки друг к другу, слой мощностью Ь,=а не является податливым основанием: в середине он выпучивается и стремится выправит штампы. Особенно это заметно при у,=0,5(1 - несжимаемом слое, где все е<0 и штампы отклоняются друг от друга, причем для близко

Таблица 4. Значения угла поворота штампа е (рад.)

V, Уо/ё при Е2=°° и Е,с1/Рс , равных

5 10 100 1000

0,25 1,5 0,945(-3) 0,410(-3) 0,367(-4) 0,363(-5)

6 0,142(-2) 0,615(-3) 0,550(-4) 0,544(-5)

0,50 1,5 -0,545(-2) -0,257(-3) -0,244(-3) -0,243(-4)

6 -0,П9(-2) -0,557(-3) -0,527(-4) -0,524(-5)

расположенных штампов абсолютная величина существенно больше. Во всех случаях увеличение Е, способствует уменьшению е.

В работе приведены различные варианты счета для полосы и дан их анализ, показывающий достоверность числовых результатов.

Для решения задачи применяется метод последовательных приближений. Рассматривая упругое равновесие верхней двухслойной полосы при определенным образом заданных уравновешивающих усилиях на нижней кромке полосы, находятся контактные напряжения под штампами в нулевом приближении. Эти напряжения прикладываются к верхней границе слоистой полуплоскости 1-5 и находятся напряжения между двухслойной полосой 1-2 и слоистой полуплоскостьюЗ-5. В свою очередь, эти последние напряжения служат уравновешивающими усилиями для двухслойной полосы под штампами. Из равновесия двухслойной полосы с новыми уравновешивающими усилиями на нижней кромке находятся контактные напряжения под штампами в первом приближении. Процесс последовательных приближений заканчивается на том этапе, когда выполнится заданная точность вычислений напряжений между упомянутыми выше составными элементами модели.

§ 9. Анализ числовых результатов по расчетной модели

фундамента наземного сооружения в зоне влияния линий метрополитена.

Проведенные расчеты показывают, что быстрота сходимости процесса последовательных приближений зависит от величины расстояния отверстия от границы полуплоскости и штампов. Для всех рассмотренных вариантов при вычислении контактных напряжений между полосами 2-3 с относительной погрешностью до 10 3 достаточно выполнить 2-3 приближения. Были просчитаны варианты симметричной задачи при следующих физических и геометрических данных: уз =0,25; "д =2,5 ; Е5=°°; Ь,=К; Ь2=2И; 1,=12=2Я; Ь4=5Я; Е,=Е3=Е4=50Е; Е2/Е=10, 50, 100, 1000. Штамп с полушириной (1=11 находится на расстоянии у0/К=1,5; 3 и на него действуют силы Рс=1; <3=РС е; М=1,5Рс е. Здесь "а - удельный весь породы, Р°=-у1Ь1-у2Ь2-у311. В табл. 5 приведены значения угла поворота штампа. В табл. 6 - соответствующие им напряжения и перемещения на контуре отверстия. Угол © отсчитывается от вертикальной оси Ох влево, угол е >0, если поворот происходит по часовой стрелке. Для всех этих вариантов при вычислении контактных напряжений между полосами 2 и 3 с точностью 10" 2 необходимо лишь два приближения.

при у0/Я =1,5

ег/е е2/е

10 50 1000 10 50 1000

0,588(-1) 0,370(-1) 0,125(-1) 0,367(-1) 0,323(-1) 0,164(-1)

Следует отметить, что в каждом приближении для полученных А, В, С, Оп, Еп граничные условия на дневной поверхности удовлетворяются точно - т. е. аналитически. На контуре отверстия граничные условия выполнялись с точностью до 7-го знака после запятой, т. к. при их удовлетворении решалась СЛАУ 20 порядка для симметричной задачи и 19 порядка для антисимметричной.

Из табл.5 видно, что штампы наклоняются в сторону отверстия (е>0), т. к. там основание более податливое. Поэтому увеличение расстояния у0 способствует уменьшению е. То, что при Е2/Е=1000 для у0/К=3 угол е больше, чем для у0/Н= 1,5 объясняется, видимо, взаимовлиянием самих штампов.

Табл. 5 и 6 показывают, что при повышении жесткости слоистого основания угол наклона штампа, концентрация напряжений и пермещения на контуре отверстия уменьшаются. Если слой 2 мягче, чем слои 1 и 3, то при 6=0 на контуре отверстия возникают существенные растягивающие напряжения. Изменение жесткости слоя 2 больше влияет на перемещения верхней части отверстия, а в нижней части они остаются почти без изменения. В целом, штампы мало влияют на НДС отверстия. Это объясняется учетом собственного веса пород. В данном случае при 11=1, Р°=12,5 между тем как принято Рс=1.

Для целей численного анализа поведения фундаментов в зоне влияния выработки были приняты следующие физические и геометрические параметры модели:

Е=106кЫ/т2, Е3=10Е1 , Е4=20Е, , Е5= - , У1=0,3(Н2), у=15кМ/т3, уг=17кЫ/т3, у3=19кЫ/т3, у4=21кЫ/т3, Ь4=5В, 1=12=2П, 2х=7П, 6=2^ у ц/И = 4;6;8.

Изменения остальных характеристик разбили на следующие варианты.

Таблица 6

, Значения контурных напряжений ое/Р и перемещений ьг3Е/Р°Е

0, град Уо/К=1,5 УЛ^

Е2/Е Е2/Е

10 50 100 10 50 100

Значения контурного напряжения

0 -0,229 -0,041 0,150 -0,023 0,033 0,156

30 0,714 0,565 0,479 0,566 0,525 0,480

60 2,224 0,188 1,588 1,863 1,762 1,582

90 2,928 2,730 2,538 2,716 2,656 2,531

120 2,262 2,213 2,161 2,209 2,194 2,158

150 0,746 0,773 0,804 0,777 0,785 0,806

180 -0,057 -0,009 0,048 -0,002 0,123 0,051

Значение контурного перемещения

0 0,061 0,048 0,037 0,048 0,044 0,037

30 0,045 0,037 0,030 0,036 0,034 0,029

60 0,014 0,013 0,012 0,013 0,012 0,012

90 -0,002 0,0 0,001 0,0 0,0 0,001

120 0,011 0,012 0,014 0,012 0,013 0,014

150 0,039 0,040 0,041 0,040 0,040 0,041

180 0,054 0,054 0,055 0,054 0,054 0,055

Симметричный случай:

вариант 1: Е2=5Е,, у2=0,3 , Рс=1000кК/ш, 1с=0, Ь,=11

а) Ь =2Я, б) Ь2=4Я вариант 2: Е2=5Е„ у2=0,3, Рс=1000кЫ/ш, Ь,=К, Ь2=2Я,

а) ес= -11, б) ес= И вариант 3: Р =1000кМ/т, ес=0, 11=211, Ь=Я.

а) Е2=5Е,, у2=0,3 б) Е=0,5Е,, у2=0,5 Общий случай как результат наложения симметричного (Рс=500кМ/т) и антисимметричного (Рс=500кН/т, 250кМ/т) случаев:

вариант 4: Е2=5Е,, v2=0,3, ес=0, Ь,=11, Ь2=211,

а) Рслсв = 1000кМ/т, Рсп"=0, б) Рслсв=750кЫ/т, Рс"е =250кИ/т,

Здесь Рслсв - вес сооружения, приходящийся на левый фундамент, Рспр - на правый.

Везде жесткость слоев и удельный вес пород в глубину возрастают за исключением варианта 3, б, где второй слой мягче остальных, по не сжимаем (у2=0,5). Он моделирует так называемый "плывун" - водонасыщенный слой песка.

Если, например, Я=3 м, то 2с1=12 м, 2хс=21 м, что соответствует зданию высотой около 7 этажей и шириной в 12 м. Глубина заложения тоннеля составляет 15 и 21 м.

Для описанных вариантов в таблице 7 даны значения угла наклона фундаментов в зависимости от расстояния у0. Фиг. 4а, 46 иллюстрируют напряженное состояние массива пород вокруг тоннельной выработки для варианта 4а, 46 при у0=411 и 8 Я.

Получены числовые результаты, полностью описывающие НДС основания вокруг выработки вплоть до дневной поверхности. Картина вполне соответствует физическим представлениям о работе модели.

Необходимо отметить, что преобладающее значение для наклона имеет эксцентриситет веса сооружения ес. При ес= ±11 направление наклона здания зависит не от расположения выработки, а от знака эксцентриситета. В остальных случаях наклон фундамента происходит в сторону выработки. При увеличении глубины выработки угол наклона фундамента вначале возрастает, затем убывает; с ростом глубины влияние выработки на дневную поверхность уменьшается. Важную роль здесь играет

Таблица 7.

Значения угла наклона фундамента е (рад.) для вариантов симметричного случая

Вариант при уО/И равном

4 6 8

1,а 0,845(-4) 0,282(-4) 0,848(-5)

1,6 0,101(-3) 0,438(-4) 0,197(-4)

2,а -0,139(-2) -0,143(-2) -0,145(-2)

2,6 0,156(-2) 0,149(-2) 0,147(-2)

3,а 0,839(-4) 0,305(-4) -0,250(-5)

3,6 0,432(-4) 0,278(-4) -0,745(-5)

Значения угла наклона фундамента е (рад.)

для вариантов общего случая

Вариант ПРИ У(/Я равном

4 6 8

левый фундамент

4,а 0,566(-4) 0,272(-4) 0,162(-4)

4,6 0,565(-4) 0,238(-4) 0,115(-4)

правыйфундамент

4,а -0,583(-4) 0,125(-4) 0,342(-5)

4,6 -0,573(-4) -0,159(-4) -0,128(-5)

фактор мелкого заложения: глубина и диаметр выработки, ширина фундамента становятся величинами одного порядка. Уменьшение жесткости слоя 2 не всегда приводит к увеличению е. При у2=0,5 существенно гасится наклон фундамента. Вес здания при учете веса пород мало влияет на поворот его фундамента. При глубине заложения выработки 5Я и удалении у0=8Я тоннель практически не влияет на поворот фундамента.

Следует сказать, что влияние фундамента на контурные напряжения оаз при у0=4Я довольно значительно. Изменение знака ес приводит к качественному перераспределению контактного напряжения о и может происходить разгрузка или догрузка контура выработки. При глубине заложения выработки больше 5Я и расстоянии у0 больше 411 влиянием фундамента на напряженное состояние контура выработки можно пренебречь. На характер распределения контактных напряжений а и х вес На характер распределения контактных напряжений вес сооружения Рс и расстояние у0 практически не влияют. Наибольшей асимметрией обладают касательные напряжения: на удаленной части фундамента их рост более заметен, а в средней части принимают небольшие значения.

Фиг. 4а. Эпюры напряжений oxj//P°/ по сечениям х = const и напряжений ayj//Р°/ по

сечению у=0 для варианта 4.а

Фиг. 46. Эпюры напряжений oxj//P0/ по сечениям х = const и напряжений ayj//Р°/ по

сечению у=0 для варианта 4. б.

варшит 4* б

Фиг. 5а, 56. Эпюры контурных напряжений <тез//Р°/ для варианта 4;___У0=4К>_

,yo=4R X y0=-4R

ф^—,- ч

© 1 1 -I ^

2R ( 0 ^t-p-------------- W D I i i "2R -6,R

У .6R ©

® © У ---yc=*R Щ

®

Фиг. 6. Эпюры напряжений ах//Ри вертикальных перемещений и=и.104/2ЯР° по сечениям х = const, напряжений ау//Р°/ по сечению у=0 для варианта 1,а.

с4 Рс X 0

У "71 <о \ | То \ | \ \ \ 0_1 10 / /С^ру5

\« \ \

Фиг. 7. Эпюры контактных напряжений о/10, т/10 под фундаментом и контурных напряжений о03//Р°/ вокруг отверстия для варианта2._____Уо^Я,-У0~8К-

X y0=-4R

© i \ i 1 /

---- J_7

• K^/IP0! i

© • ( 0 о 1 "С i-1 ~£R -6R -1 '-1-1_L •

___. © -Вариант 3 .a \ ---Вариант 3.ri -- © i

Фиг. 8. Эпюры напряжений axj//P°/ и вертикальных перемещений •nj=uj104/2RP° по сечениям х = const напряжений oyj//P°/ по сечению у=0 для варианта 3

Фиг. 9. Эпюры контактных напряжений аез//Р°/ для варианта 3:__ За;____36

ГЛАВА 3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ, ОСЛАБЛЕННОЙ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОЙ ЩЕЛЬЮ

Задача для бесконечной плоскости, ослабленной щелями, является хорошо изученной. Для совокупности щелей (математических разрезов), расположенных вдоль одной прямой, когда упругое тело других границ не имеет, в квадратурах решен большой класс задач. Здесь необходимо отметить работы Д. И. Шермана, Н. И. Мусхелишвили, В. И. Моссаковского, П. А. Загубиженко, Г. П. Черепанова.

Однако, решение в комплексных потенциалах, хотя и универсально, но оказывается несколько громоздким в отдельных случаях.

Итак, решаем задачу об одиночной щели |у| <1, х=0 в плоскости,

•М —<

У

х

Фиг. 10. Щель в плоскости

когда на её берегах приложены самоуравновешенные усилия, задаваемые в виде ряда по многочленам Чебышева 2-го рода ик(у):

ох = Еы, [а2ки2к(у)+с2к+1и2к+1(у)],

тху = Хк=0[Ь2к ,и (у)+й и (у)].

Задача разбивается на симметричную и антисимметричную части. Дальнейшее рачленение задачи с учетом чётности и нечётности компонент перемещений и напряжений по обеим координатам позволяет рассматривать лишь область х>0 и строить каждый раз решение для полуплоскости со смешанными граничными условиями.

д

"Г

а)

§ 10. Симметричная задача

В

Г'

б)

ас,

Ъгг

Фиг. 11. Симметричное загружение

Решение симметричной задачи находится методом интегрального преобразования Фурье посредством введения неизвестной функции, характеризующей либо форму щели после деформациии, либо деформацию вдоль кромок щели. Для нахождения этой функции решается система парных интегральных уравнений, сводящихся к сингулярному интегральному уравнению I рода с ядром Коши. Используется его известное решение, с особенностями на концах щели.

Функция напряжений, позволяющая выразить компоненты напряжений и перемещений в квадратурах, найдена в следующем виде:

г совбу „

Ф(х,у) = - (1/тс) !0 - рР [(1+р|х|Ха(Р) + р|х|ге(р>]е-р|-'с1р, (10) где Га(Р) = я5Сю(-1)Ч^,(Р).

(Р).

§11. Антисимметричная задача

л *

и

0)

с1)

Фиг. 12. Антисимметричное нагружение

Аналогично симметричной задаче здесь функция напряжений ищется в виде

Окончательно для антисимметричной задачи находим в функцию напряжений в виде:

[(1+р|х|)?сф) - (Мдае-^'Ф, (12)

здесь ^(Р) - функция Бесселя 1-го рода

§ 12. Конечный результат

Используя табличные интегралы, связанные с преобразованиями Лапласа, можно получить следующие квадратуры для компонент напряжений в области х>0: симметричный случай

Ф(х,у) = 2/л £ [А(Р)+рх В(Р)]е-*-^ йр,(11)

где Ь(Р) = яС(-1)к+,саи1а+2(Р), ?с1(р) = тс1к=0(-1)кё2к12к+1(р).

ах = Яе^ [а2к(г-а2к+,)К-Ь2и,(2г-а2к+2)]Р: ау = Ке1к0 [а2к(г+а2к+,)Я-Ь2к+1а2к+2)]р2к, тху = -1т1ы [а2ка2киК+Ь2к+,(г-а2к+2)]р2к.

2к >

антисимметричный случай

ох = -Imlk 0 [c;k+1(r-a,k+2)+d2k(2r-a2k+1)R]j},k by = -JmZk 0 [c2kH(r+a2k+2)+d2ka2ktlR]P2k, txy = -ReX~0 [c2k+,a2k+2-d2k(r-a2l+1)R]P2k.

где а = у(р+пг)г\ р2к= (-1)кг2^2-2\ г = л/рМ. р + г, р = у+1х

Интегрирование закона Гука для соответствующих функций напряжений приводит к следующим компонентам перемещений: симметричный случай

' 7г

С=

v~ . 1-Я „ , , , 24uf х = +0, lyl<l

2t+i 2к+2

sign y( 1- Я) Ik=0a2k (2k+l)Y2k+1 'lyl 1-x = 0- (15)

ju

c:

u2k(y)+b21

1-Я 2k+l

тЛ+2(у)].

1

2k+l x = +0, lyl<l

- (1- Я) Ik>2k+1 (2k+2*)Y2k+2 - lyl 1. x = 0. антисимметричный случай

1-Я 2^1 -у2

^k=otC2k+l 2k+2 2k+l

x = +0, lyl<l

('->0Ch;kt,(2k+C^2kt2,lyl l,x = 0. y- tr зУГр

** k=01 2k+l 2k+2 2k+1 2k2k+l 2к+ЛУ^'

(16)

_u _

c:

(17)

C'

x = +0, lyl<l

d„

(18)

- sign y(l- Я) Ik=0 (2k+i)Y2k+1 'lyl 1 • x = где Y = !y|+VyM~

Все произвольные постоянные, возникающие при интегрировании, равны нулю. Это следует из условия равенства нулю перемещений на бесконечности.

Таким образом, если заданы граничные условия в виде (9), то можно сразу выписать компоненты напряжений и перемещений (13)-(18). И, наоборот, если задаться на кромке щели х=+0, |у| <1 некоторыми перемещениями (вторая основная задача), которые представимы в виде рядов (15) -(18), то можно выписать соответствующие им компоненты напряжений.

ГЛАВА 4. УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ПОЛОСЫ С ПРОДОЛЬНОЙ ЩЕЛЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОИЗВОЛЬНЫХ УСИЛИЙ

В аналогичной или близкой к настоящей постановке задача изучалась ранее И. А. Маркузоном, В. М. Александровым, Б. И. Сметаниным, Н. В. Пальцуном. Ими получены решения в виде разложения в асимптотические ряды по степеням безразмерного параметра. Полученные формулы специализированы для определения коэффициента интенсивности нормальных напряжений в зависимости от ширины полосы.

Здесь предлагается эффективное решение задачи, обеспечивающее возможность её полного качественного и количественного анализа для целей прикладного характера при наиболее общих граничных условиях как на продольных кромках полосы так и на кромках щели.

Фиг. 13. Продольная щель в полосе

Рассматривается НДС бесконечной полосы (|у|<°°, -12<х<11), Фиг. 13 ослабленной продольной щелью и находящейся под действием нормальных и касательных усилий на контуре щели |у|<1, х=0

[ ах(у) = р(у) = Хп__ [р2пи2п(у) + р2п+1и2п+1(у)],

(19)

{ тху(у) = ч(у) = Х„=0 [ч2г|+1и2л+,(у) + Ч,Дп(у)],

на продольных кромках при х = 1, ст =^(у), \у = ф)

при х = -12 а 1х>, = ё2(у). (20)

При условии абсолютной интегрируемости ах, тху должны удовлетворять условиям статики. После разбиения нагрузок на симметричную и антисимметричную части функция напряжений ищется методом наложения:

\У(х,у)=эе(х,у) + Ф(х,у) (21)

Здесь К(х,у) - известное решение для сплошной полосы в интегралах Фурье, Ф(х,у)- решение для плоскости со щелью (10) или (12). Функция эе(х.У) предназначена компенсировать напряжения от Ф(х,у), появляющиеся по сечениям плоскости х = 1,, х = - 12 и удовлетворить граничным условиям на продольных кромках полосы. Функция Ф(х,у) предназначена уничтожить напряжения по "разрезу" |у|=1, х=0 в сплошной полосе, вызываемой функцией де(х,у) и удовлетворить граничным условиям на контуре щели.

§ 13. Симметричная задача Здесь функция напряжений (10) по сечениям х=-(-1)^ даёт следующие компоненты напряжений

(-1)" /0 [а2к(1+ру:2к1(р) - Ь2к+1ри2к+2(|})]е-Мсо5рус1Р. (22) = С И)" и%Ри2к+1(Р) + Ь:к+,(1-Ри)^+2(Р)]е Р'^пРуёр.

Также дифференцируя эе (х,у) находим, ох и т^. Разлагая совру, втру на [-1, 1] по ортогональным многочленам Чебышева и приравнивая коэффициенты получим БСЛАУ относительно неизвестных коэффициентов а,., Ь2. ..

§ 14. Антисимметричная задача

В этом случае функция напряжений берется в виде (12). Анализ компонент напряжений, доставляемых функцией эе(х,у) показывает, что при выполнений условий статики их интегралы Фурье при (3=0 сходятся. Удовлетворение граничным условиям на контуре щели приводят также к БСЛАУ относительно неизвестных коэффициентов с2к+1, с12к.

Получение этих БСЛАУ и завершает поставленную задачу о полосе, ослабленной продольной щелью.

§ 15. О регулярности разрешающей БСЛАУ

Исследование регулярности полученных БСЛАУ убеждают нас о том, что степень обусловленности этих систем зависит от концентрации напряжений в перемычке полосы. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда 1=1,. В этом случае мы имеем БСЛАУ нормального типа и при достаточно больших 1, БСЛАУ будут регулярными и даже вполне регулярными. При численной реализации - 11 членов в рядах Чебышева оказались достаточными для того, чтобы в случае, когда величина перемычки составляет не менее 0,2 от полудлины щели, удовлетворить граничные условия с точностью до пятого знака после запятой; на кромках полосы граничные условия удовлетворяются согласно решению - точно. Хорошая обусловленность системы и быстрое убывание коэффициентов позволяют считать, что разрешающая система является эффективной.

§ 16. Числовые результаты и их анализ.

В качестве примера приведем результаты счета для полосы с центральной щелью, контур которой нагружен равномерным давлением Р0. Решалась урезанная система 22-го порядка.

Исследована также зависимость коэффициента интенсивности напряжений К, от 10=1,=12.

Согласно определению

Величина К = - коэффициент интенсивности напряжений для плоскости, растягиваемой поперек разреза [-1, 1]

В табл.8 приведены значения контурных напряжений оу(ук,0) в (ук=соз((2к-1)/42)л) в зависимости от изменения полуширины полосы 1„.

«о

г

4

В

в

ю

Фиг. 14. Изменение коэффициента интенсивности напряжений в зависимости от ширины перемычки

Таблица 8. Значения контурных напряжений с/Р0

Ук при 10, равном

0,20 0,25 0,50 1,00 2,00 5,00 10,0

0,00 31,78 21,44 6,76 2,47 1,34 1,05 1,01

0,15 30,12 20,38 6,49 2,43 1,33 1,05 1,01

0,29 25,27 17,27 5,72 2,29 1,32 1,05 1,01

0,43 17,67 12,41 4,53 2,08 1,30 1,05 1,01

0,56 7,99 6,21 3,07 1,84 1,28 1,05 1,01

0,67 -2,91 -7,39 1,58 1,60 1,25 1,05 1,01

0,78 -13,91 -7,55 0,26 1,39 1,28 1,05 1,01

0,87 -23,15 -12,98 -0,75 1,21 1,21 1,05 1,01

0,93 -28,69 -16,21 -1,42 1,08 1,19 1,05 1,01

0,97 -30,62 -17,52 -1,80 0,99 1,78 1,05 1,01

0,99 -30,83 -17,84 -1,96 0,95 1,17 1,05 1,01

ГЛАВА 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ШТАМПОВ, ЖЕСТКО СЦЕПЛЕННЫХ С МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ, ОСЛАБЛЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ЩЕЛЬЮ

Сформулированная и решенная в этой главе задача имеет важное прикладное значение. При разработке угольных месторождений проходка пласта обычно производится с полным обрушением кровли. Если пласт достаточно мощный или расположен относительно близко к земной поверхности, то сдвижение пород кровли очистной выработки проявляется вплоть до земной поверхности в виде впадин, называемых мульдой сдвижения пород. Наземное сооружение, попадая в эту зону, подвергается ее отрицательному воздействию. Известно, что в Карагандинском бассейне значительные запасы угля находятся непосредственно под самим городом. Этим залежам характерны пологость углов напластования и большая мощность пластов угля. Проблема выемки этого угля без повреждения жилых зданий и промышленных корпусов требует оценки углов наклона фундаментов сооружений в зависимости хотя бы от наиболее

т

X

у» ^

К»

Уу

1(4) _

щщщгшштттттттттт

\Ь

77777777777777777777777777/7777777/7777777777\

5

О

Фиг. 15. Штампы на тяжелой слоистой полуплоскости, ослабленной продольной щелью

существенно влияющих факторов таких, как глубина очистных работ, неоднородная слоистость породного массива, эксцентричность сооружения и т. д.

Соответствующая расчетная модель получается, если слоистую полуплоскость со щелью нагрузить плоскими штампами.

§ 17. Точное решение задачи теории упругости для многослойной полуплоскости, ослабленной произвольно нагруженной щелью

Четыре различной жесткости слоя 1-4 склеены между собой и однородной полуплоскостью 5. Третий сверху слой ослаблен разрезом вдоль его кромки (|у| < Ь, х=0). Кроме силы тяжести на полуплоскости на его верхней границе х = 1,+Ь,+112 действуют произвольные усилия, а на кромке щели - самоуравновешенные нагрузки

|Г0

(I) Е,ЛЦ

(!) Е>,Ь,Л

«-ь

(з) Ь.^.Г,

¿1

¿1

77777777777777777777777^777

/77777777777777777777777777777777777777/ tj.ft.fr

Фиг. 16. Тяжелая слоистая полуплоскость, ослабленная щелью

Исходя из геометрической симметрии относительно нагрузок задача разбивается на симметричную и антисимметричную части.

§ 18.Симметричная задача

Здесь граничные условия на контуре щели а (у) = р(у) = Ёр2ли2п(у) ,

^(У) = Я(У) = 1.Ч2 и2п+1(у) ,

на кромке х = Ь2 +■ 1, а = рет(у) +р , т = С" (у) ,

на бесконечности

<т. = с° , т . = 0 , а = а°

Ч *1 »И И У1

§ 19. Антисимметричная задача

Где граничные условия на контуре шели: ст1(У) = р(У) = |р2„+1и2п+1(У) •

п=0

хХ!.(у) = Ч(у) = Ёч2ли2п(У) , на кромке х = Ь1+Ь2 + 1, ст, = Реч(у) , тху1 = С"ЧУ) + т° , на бесконечности

(у. = о° , т . = .

XI У] » Jyj

Компоненты напряжений, относящиеся к основному напряженному состоянию отмечены сверху ноликами.

Схему решения каждой из этих задач можно описать так: предполагая известными усилия по линиям контакта слоев х=1, и х= -12 , выписывается решение для слоистой полосы 1-2, для полосы со щелью 3 и для слоистой полуплоскостью 4-5, находящихся в условиях плоской деформации. Затем из условия жесткого сцепления этих элементов между собой определяются аналитические выражения для упомянутых контактных усилий; производится удовлетворение условий на контуре щели. В итоге задача сводится к БСЛАУ, получающейся из условий на кромке щели, квазирегулярность которой из квазирегулярности БСЛАУ для полосы со щелью. Условия на верхней границе полуплоскости удовлетворяются аналитически. Действительно, сопряжение полосы 3 с другими элементами не увеличит концентрацию напряжений на кромке щели, а наоборот, может уменьшить, сгладить, что создает более благоприятные условия для их аппроксимации полиномами Чебышева при удовлетворении граничных условий. Другими словами, жесткое сцепление даже

Таблица 9.

Значения контурных напряжений, оу1"/1Р°1, <Уу"/1Р°1 и вертикальных перемещений и/Е/ЦР1!, и^Е/ЦР1/ на верхнем и нижнем берегах щели

v при г|к равном

0,99 0,9 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0,3 Значения контурных напряжений 5,270 5,918 6,042 6,160 6,222 6,256 6,891 6,264 6,161 6,080 6,043 6,026 6,267 6,020

0,5 -0,497 1,199 0,180 0,542 0,309 0,434 0,431 0,347 0,495 0,308 0,530 0,289 0,541 0,283

0,3 Значения вертикальных перемещений -0,598 -1,161 -1,476 -1,862 -2,088 -2,211 -0,063 0,494 0,803 1,178 1,396 1,514 -2,250 1,552

0,5 -0,535 -0,095 -0,999 0,364 1,258 0,618 -1,576 0,926 -1,762 1,106 -1,863 1,203 -1,895 1,234

с менее жесткими слоями 2 и 4 как бы увеличивает перемычку полосы 1, от которой зависит квазирегулярность разрешающей системы. Проведенный счет подтверждает наши суждения.

§ 20. Числовые результаты и их анализ

В процессе отладки программы проводился контрольный счет при Е2=Е4=0, 10=0, Р=1, р(0)=я(9)=О, что соответствовало поперечному растяжению полосы 3. Результаты полностью совпали со счетом для задачи из главы 4.

Далее был просчитан случай, когда тяжелая однородная полоса 1-4 со щелью лежит на недеформируемом основании (Е5=°°). Удовлетворение граничных условий при ширине перемычки 11,+Ь2+11=4Ь происходит точно. Решалась система 22-го порядка (к=0,1,...10). Последний коэффициент А21 получился 23-го порядка малости, а удовлетворение граничных условий на контуре щели р(0)=я(8)=О произошло с очень большой точностью - 1516 нулей после запятой.

В таблице 9 знак "в" соответствует верхнему берегу, знак "н"-нижнему. Видно, что под действием собственного веса материала оба берега испытывают растягивающие напряжения как при у=0,3, так и при у=0,5. Однако, при у=0,5 они на порядок меньше. На верхнем берегу ав увеличиваются к центру щели, а на нижнем берегу они убывают. Интересно, что выпучивание нижнего берега того же порядка, что и зависание верхнего.

Числовые результаты показывают, что по вертикальному сечению у=0, начиная от кромок щели, появляются растягивающие напряжения ахз, которые исчезают при х=0,35Ь. На промежутке 0<х<0,2Ь растягивающих напряжений достигают и ауэ, но только приу=0,3. Напряжения схз по сечению х=0 резко затухают в глубину и на расстоянии у=Ь уже равны Р°+1,89 (Р°=Р-уД-у^-Уз^) причем для у=0,3 и у=0,5 они почти не различаются.

Так же, как и ранее, производится численное сопряжение полосы 1-2 со слоистой полуплоскостью 3-5. При этом используется решение задачи о двухслойной полосе под штампами. В процессе приближений уточняются контактные напряжения между слоями 2 и 3. Процесс сходится также быстро, как и в задаче с круговым отверстием. Контур щели (очистной выработки) предполагается свободным от нагрузок.

§ 21. Анализ числовых результатов по расчетной модели фундамента наземного сооружения в зоне влияния очистных

выработок

Счет проведен только для симметричной задачи. Это обусловлено тем, что ширина очистной выработки, вызывающая мульду сдвижения, намного больше, чем ширина фундамента и вклад взаимовлияния фундаментов на их наклонение будет малым. Наибольший интерес представляет ситуация, когда забой подходит под фундамент, затем удаляется от него. Просчитаны следующие два варианта упругих и геометрических характеристик модели:

Вариант I. Е =106кп/ш2, Е =5Е,, Е3=10Е,, Е4=20Е,, Е=°о; у=0,3; у=19 кп/ш3, у=21кп/ш3, у3=23 кп/т3, у4=25кп/т3; 1=1 =Ь, Ь=5Ь, £1=0,11-, Р =1000кп/т, уо/Ь=0,2; 0,6; 1,0; 1,4; 1,8.

Жесткость пластов здесь в глубину возрастает. При этих данных варьировались следующие параметры:

а) 2хс=0,4Ь, е=0, Ь=Ь, 11=1,, 2Ь; 4Ь;

б) 2х=0,4Ь, е =±0,05Ь, Ь=Ь,=Ь;

в) 2хс=0,6Ь, е=0, Ь=112=Ь;

Если, например, L=50 м, то ему соответствует здание с

шириной в 10 м, высотой 20 м (7 этажей) и эксцентриситетом

веса в 2,5 м. _ „

Таблица 10

Значения угла наклона фундамента е (рад) в зависимости от глубины очистной выработки

0,2 0,6 1,0 1,4 1,8

0,142(-2) 0,297(-3) 0,248(-3) 0,255(-3) 0,233(-3)

2Ь 0,141 (-2) 0,244(-3) 0,179(-3) 0,192(-3) 0,193(-3)

4Ь 0,139(-2) 0,204(-3) 0,118(-3) 0,12б(-3) 0,132(-3)

Таблица 11

Значения угла наклона фундамента е (рад) для варианта I в зависимости от эксцентриситета

ес при 2хс=0,4Ь, Ь=Ь

\У«Л 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8

0,05 0,750(-2) 0,615(-2) 0,б09(-2) 0,609(-2) 0,б07(-2)

0,0 0,142(-2) 0,297(-3) 0,248(-3) 0,255(-3) 0,233(-3)

-0,05 -0,466(-2) -0,556(-2) -0,560(-2) -0,558(-2) -0,560(-2)

Таблица 12

Значения угла наклона фундамента е (рад) для варианта I в зависимости от высоты центра тяжести хс при ес=0, Ь=Ь

Хс 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8

0,2 0,142(-2) 0,297(-3) 0,248(-3) 0,255(-3) 0,233(-3)

0,3 0,146(-2) 0,304(-3) 0,254(-3) 0,261 (-3) 0,238(-3)

Таблица 13.

Значения угла наклона фундамента е (рад) для варианта 2 в зависимости от глубины очистной выработки

0,2 0,6 1,0 1,4 1,8

2Ь 0,646(-2) 0,520(-2) 0,155(-1) 0,117(-1) 0,229(-1) 0,173(-1) 0,281(-1) 0,216(-1) 0,313(-1) 0,246(-1)

\У<Л 2,2 3,0 4,0 5,0 6,0

ь 21 0,328(-1) 0,266(-1) 0,323(-1) 0,278(-1) 0,279(-1) 0,259(-1) 0,220(-1) 0,223(-1) 0,109(-1) 0,181(-1)

Вариант 2. Е,=106 кп/т2, Е2=0,1Е,,

Ез=0,01Ер Е4=20Е,, Е5=°о ; у=0,3; у = 19кп/т3; у2=21кп/т3, у3=23кп/т3, у4=у5=25кп/тЗ; 1=12=Ь; Ь4=5Ь; с1=0,1Ь, Р=1000кп/ш. уо/Ь=0,2; 0,6; 1,0; 1,4; 1,8; 2,2; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0

а) 2х=0,4Ь; е=0; Ь,=Ь2=Ь;

б) 2хс=0,4Ь; ес=0; Ь=Ь; Ъ=2Ь

Жесткость пластов в глубину здесь падает вплоть до 3-го слоя, 4-ый сохраняет свою жесткость; произведено искусственное занижение модулей упругости с целью приближенного учета разрыхления пород за счет трещинообразования при опускании кровли и вспучивания пород почвы очистной выработки.

Согласно (6) для обеспечения малости угла наклона фундамента, параметры которого приняты в вариантах 1, 2, необходимо, чтобы выполнялось неравенство Е,» 5 104 кп/т2.

Это условие выполнено, причем порядок Е, соответствует реальным грунтам, е>0, если поворот (левого) фундамента происходит по часовой стрелке. В таблицах 10-13 представлены значения угла наклона е.

Действительно, они получаются малыми, что оправдывает пренебрежение при постановке граничных условий, величинами

Таблица 14

Значения контактных напряжений -<т/Рс, -т/Рс под фундаментом для варианта I. а (ес=0)

Уо/Ь при 112=Ь и Пк равном (г]=(у-у0)/с1)

0,99 0,8 0,4 0 -0,4 -0,8 -0,99

0,2 19,659 -10,761 5,295 -1,708 3,681 -0,275 3,455 0,018 3,742 0,305 5,407 1,708 19,996 10,648

0,6 20,474 -11,320 5,405 -1,708 3,630 -0,262 3,343 0,018 3,626 0,314 5,411 1,711 20,685 10,901

1,0 20,512 -11,364 5,411 -1,745 3,628 -0,260 3,337 0,037 3,621 0,315 5,411 1,710 20,722 10,904

1,4 20,459 -11,509 5,415 -1,756 3,632 -0,243 3,339 0,060 3,618 0,331 5,405 1,797 20,747 10,744

1,8 20,418 -11,649 5,420 -1,767 3,638 -0,227 3,341 0,082 3,616 0,347 5,398 1,787 20,767 10,593

Таблица 15

Значения контактных напряжений -о/Рс, -т/Рс под фундаментом для варианта I. Б, е=0,05Ь

УЛ при Ь2=Ь и лк равном (г\=(у-у0)/с1)

0,99 0,8 0,4 0 -0,4 -0,8 -0,99

0,2 -3,375 -3,144 0,663 -1,174 2,176 -0,831 3,486 -0,605 5,294 -0,251 10,008 1,032 42,605 18,034

0,6 -2,383 -3,922 0,803 -1,224 2,114 -0,808 3,344 -0,573 5,145 -0,232 14,380 1,030 43,524 18,296

1,0 -2,331 -3,953 0,809 -1,225 2,110 -0,807 3,337 -0,572 5,138 -0,232 10,012 1,029 43,564 18,315

1,4 -2,383 -4,097 0,814 -1,236 2,116 -0,790 3,339 -0,549 5,136 -0,216 10,006 1,018 43,589 18,157

1,8 -2,425 -4,237 0,819 -1,247 2,121 -0,774 3,341 -0,528 5,133 -0,200 9,999 1,006 43,610 18,005

Таблица 16

Значения контактных напряжений -о/Рс, -т/Рс под фундаментом для варианта I. б, ес=-0,05Ь

Уо/Ь при 112=1. и равном (г|=(У-У0)ЛО

0,99 0,8 0,4 0 -0,4 -0,8 -0,99

0,2 42,693 -18,378 9,927 -1,042 5,187 0,281 3,424 0,640 2,190 0,860 0,805 1,185 -2,614 3,263

0,6 43,332 -18,733 10,008 -1,062 5,146 0,283 3,141 0,642 2,108 0,859 0,810 1,192 -2,153 3,506

1,0 43,356 -18,776 10,012 -1,065 5,145 0,287 3,337 0,646 2,103 0,861 0,810 1,190 2,119 3,494

1,4 43,301 -18,922 10,016 -1,076 5,150 0,304 3,339 0,670 2,101 0,878 0,804 1,178 -2,095 3,331

1,8 43,260 -19,060 10,021 -1,086 5,155 0,320 3,341 0,691 2,099 0,894 0,797 1,167 -2,075 3,181

Таблица 1'.

Значения контактных напряжений -о/Рс, -г/Рс по;

фундаментом для варианта 2. а (е=0

Уо/Ь при Ь2=Ь и г|к равном (л=(У-У0)/Ф

0,99 0,8 0,4 0 -0,4 -0,8 -0,99

0,2 30,730 15,153 4,555 0,966 2,349 -3,325 2,670 -4,228 3,937 -2,879 6,984 3,301 18,957 41,972

0,6 28,228 12,723 4,342 0,724 2,349 -3,016 2,686 -3,765 3,953 -2,505 7,172 3,140 21,379 39,527

1,0 25,250 9,779 4,155 0,478 2,444 -2,594 2,800 -3,187 4,024 -2,073 7,237 2,864 22,884 35,784

3,0 16,500 -5,479 4,193 -0,737 3,092 -0,691 3,244 -0,569 4,021 -0,125 6,729 1,541 25,935 17,440

6,0 18,493 -11,750 5,079 -1,189 3,519 -0,142 3,322 0,195 3,707 0,436 5,760 1,076 22,940 10,629

порядка е2. Тем не менее отклонение верхней точки здания при 2хс=20м колеблется от 0,24 до 65,60 см. Приведенные таблицы показывают, что при уменьшении жесткости слоев 2-3 наклон фундамента может резко увеличиваться, что происходит за счет увеличения осадок дневной поверхности над выработкой. С увеличением же глубины выработки наклон уменьшается, но довольно медленно. Качественные изменения происходят при взаимовлияющих фундаментах (у0=0,2Ь). Если для случаев, когда жесткость слоев 2-3 с глубиной возрастает, наклон уменьшается с увеличением у0, затем возрастает и снова падает, то для случая "разрыхления" слоев 2-3 наклон сразу увеличивается, затем падает. Максимум угла наклона приходится на зону, где происходит изменение знака кривизны дневной поверхности (точка перегиба). Эту зону можно понимать как краевую часть мульды сдвижения. При слабых нижележащих породах зависимость поворота фундамента от расстояния у0 более сильная, чем при жестких породах. Для данного значения Е, принятая величина эксцентриситета веса здания ес имеет весьма существенное значение. Независимо от расстояния у0 фундамент отклоняется в ту или другую сторону, следуя знаку эксцентриситета. С увеличением высоты центра тяжести здания наклон возрастает, но это влияние значительно меньше, чем влияние неоднородности основания и эксцентриситета веса. Вычислены нормальные и касательные напряжения под фундаментами. При малых углах наклона распределение нормальных напряжений близко к симметричной, а касательных - к антисимметричной.

Совершенно другая картина наблюдается при наличии эксцентриситета (табл. 15, 16), с изменением знака меняется и качественное поведение контактных напряжений: их величины от одного края фундамента до другого меняются монотонно, причем по абсолютной величине возрастая в сторону наклона. Под приподнимающимся краем нормальные напряжения становятся растягивающими. Появление под опускающимся краем больших касательных напряжений (отрицательных при ес =0,05Ь и положительных при ес=-0,05 Ь) является следствием возникновения сдвигающей силы <3=Р е.

В случае жестких слоев 2-3 зависимость напряжений от у0 незначительна. Когда под слоем I находятся более слабые породы, зависимость напряжений от у0 достаточно заметна как в количественном, так и в качественном отношениях. Минимум нормальных контактных напряжений в середине фундамента достигается, если он находится над выработкой, к краям фундамента а растут неограниченно, однако пока фундамент находится над выработкой, рост их в дальнем (левом) краю более резкий, чем в ближнем (правом), хотя е>0 т. е. левый край опирается на основание более жестко, чем правый. Касательные напряжения в середине фундамента положительны, по краям -отрицательны. Это говорит о том, что фундамент, опираясь на свои края, склонен сползать в сторону центра мульды сдвижения. При возрастании у0 картина касательных напряжений становится антисимметричной, что естественно. Вычислены также значения контурных напряжений овуз в (верхний берег щели) и онуз н (нижний берег щели). При увеличении жесткости слоев 2-3 (вариант 1) растягивающие напряжения в кровле растут к центру выработки, в почве наоборот - падают. Обращает внимание наличие сжимающих напряжений в углу кровли.

При уменьшении жесткости слоев 2-3 (вариант) 2 качественная картина напряжений в кровле и почве выработки совпадает, к центру их значения уменьшаются, причем в кровле их распределение более равномерное; влияние на них фундамента мало, что вполне естественно, т. к. модель учитывает собственный вес пород. Числовые расчеты показывают, что влияние глубины выработки при возрастаний Ь2 мало сказывается на качественное поведение контурных напряжений. Количественно они меняются существенно, т. к. с глубиной возрастает величина

Р'НГД+уА+Уз!,.

На Фиг. 17, 18 даны эпюры нормальных напряжений и вертикальных перемещений по наиболее характерным сечениям модели. Как уже было отмечено, НДС массива пород вокруг очистной выработки мало зависит от расположения фундамента на дневной поверхности. Максимум опорного давления по всем сечениям достигается при у>Ь, причем чем дальше от очистной выработки, тем больше он сдвигается в глубину массива. Над

У © 81.

вариант \ Вариант 2

Фиг. 17. Эпюры напряжений а^/|Р°| и вертикальных перемещений а=и.105/2ЬР° (вар.1) и103/ 2ЬР° (вариант 2) по сечениям х=сопз1, напряжений с /|Р°| по сечению у=0 при у0=Ь, ес=0;

2хс=0,4Ь, Ь=Ь 1

Ре ((г4" и

®

© 5--ХГ-: Г «но/|р01 ®\

-I 1 .

— 1 | 1 а.— . . -61.

У Ф «• е а Л ■ • 1—

0 4 @ --1 0 \ -Вариант 1 \ --6 ариант2

Фиг. 18. Эпюры напряжений ах/|Р°| и вертикальных перемещений и=и)105/2ЬРо (вариант1), й.=и.103/2ЬР° (вариант 2) по сечениям х=сопз^ напряжений ст ./|Р°( по сечению у=0, при ' ' у=Ь, е=0; 2х=0,4Ь, И =21.

выработкой же они могут достигать растягивающих значений, что способствует расслоению и трещинообразованию массива. Напряжения сг из-за разнородности слоев терпят разрыв на их контактах. Они также могут принимать растягивающие значения на нижних частях пласта. В случае, когда I слой более жесткий (вариант 2), он работает как балка-эпюра су, почти прямолинейна.

Известно, что решения упругих и вязкоупругих задач в механике горных пород дают перемещения качественно совпадающие, но количественно намного меньше, чем замеряемые в естественных условиях. Варьируя жесткость вмещающих пород вокруг очистной выработки, делая их более слабыми, что вполне оправдано (при опускании кровли происходит их ослабление и разрыхление), можно получить перемещения дневной поверхности, соответствующие данным натурных наблюдений. Тогда и найденные значения углов поворотов фундаментов будут близки и реальным. Это позволяет сделать прогноз для конкретных случаев подработки. Например при Ь2=Ь=50 м (Фиг 17) точке у=0. дневной поверхности соответствуют перемещения и,=0,038 м для Варианта 1 и и2=8,66 м для Варианта 2. Другими словами, данная слоистая модель породного массива обладает в этом отношении широкими возможностями. Фиг. 17,18 показывают, что когда II слой более жесткий, чем I, вокруг фундамента появляются местные осадки. Если II слой более мягкий, чем I, то осадка I слоя происходит монотонно. Интересен также тот факт, что линия х=0 по бокам выработки после деформации, хотя и незначительно, но уходит вниз. Вертикальные перемещения контура выработки сохраняют качественную картину — таблица 9.

В обоих случаях зависание кровли и выпучивание почвы монотонно растет к центру, причем перемещения почвы в 2—3 раза меньше перемещений кровли. Наблюдаются небольшие смешения торцов выработки (концов щели) вниз.

О Приложениях. Приложение 1 содержит результаты исследований особенностей в функциях, входящих в системы сингулярных интегральных уравнений.

Приложение 2 содержит выкладки решения для двухслойной

полосы.

Приложение 3 содержит выкладки решения для слоистой полуплоскости.

Приложение 4 содержит условия жесткого сцепления слоев.

В Приложении 5 приведены результаты вычисления 12 новых интегралов, которые встретились при предложенной автором наиболее общей форме решения для плоского штампа, действующего на упругую полуплоскость.

В Приложении 6 приведены назначение, условия применения, описание, литература по Программному средству 'ТиТОИМ" —"Расчет взаимодействия фундамента наземного сооружения и тоннельной выработки в слоистой толще", разработанному автором и сданному в ГосФАП СССР в 1988 г, за №50870001501 в разделе "Строительство и архитектура". ПС "Р1ГГ(Ж1Ч" предназначено для определения поля напряжений и перемещений вокруг тоннельной выработки кругового сечения, взаимодействующей с фундаментами наземных сооружений. Проведена математическая постановка задачи и метод ее решения. Описывается содержание входной и выходной информации. ПС проверено на многочисленных тестовых примерах, результаты массовых расчетов апробированы в лаборатории теории подземных сооружений Института механики АН РК, в Институте КазНИИССА, в Казахской государственнной архитектурно-строительной академии, Акционерное общество "Алматыметрострой", Проектно-строительной академии "КАгООЯ" и могут быть использованы в промышленно-гражданском строительстве для прогнозирования углов наклона и осадок фундаментов высотных зданий, попадающих в зону влияния тоннелей метрополитена мелкого заложения, и также для оценки устойчивости породного контура тоннеля в зависимости от упругих и геометрических характеристик слоистого основания.

В Приложении 7 приведены назначение, условия применения, описание, литература по Программному средству 'ТиСКАС "— Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных работ", разработанному автором и сданному в ГосФАП СССР в 1989 г за №50880000529 в раздел "Механика". ПС 'ТиСКАС" определяет напряжения и перемещения вокруг очистной выработки вплоть до дневной поверхности, углы

наклона и осадки фундаментов зданий и сооружений, попадающих в зону влияния мульды сдвижения. ПС проверено на тестовых примерах, результаты массовых расчетов апробированы в лаборатории сейсмостойкости подземных сооружений Института сейсмологии АН РК, в Институте КазНИИССА, в Казахской Государственной архитектурно-строительной академии, Научно-производственное предприятие "Геотехнология", Проектно-строительной академии "КАгОСЖ." и могут быть использованы при прогнозировании углов наклона высотных зданий при их подработке очистными выработками, при прогнозировании горных ударов, возникающих при продвижении угольного забоя.

В Приложении 8 дана распечатка программного средства 'ТиСКАС" на языке Фортран.

В Приложении 9 содержатся результаты исследований напряженного состояния выработки в слоистой толще с гладкими слоями.Рассмотрен часто встречающийся на практике предельный случай, когда на контакте между слоями отсутствует трение. Известно, что напряженное состояние слоистой толщи при других видах сцепления (прерывистое сцепление, скольжение с трением), теоретический учет которых затруднен, лежит между двумя крайними случаями.

Заключение. В диссертации осуществлено решение научной проблемы - обоснование, разработка и практическая реализация схемы расчета напряжений и смещений вокруг подземных выработок, вплоть до дневной поверхности в слоистом породном массиве, испытывающем давление от фундаментов наземных зданий и сооружений. Это позволяет совершенствовать постановку задачи и методы расчета НДС как среды, так и контуров самих выработок, способствуя проектированию и выбору соответствующих природным условиям параметров.

Полученные в диссертации основные научные результаты заключаются в следующем:

1. Впервые решена задача о двухслойной полосе, находящейся под действием жестко сцепленных с нею двух штампов и уравновешивающих произвольных усилий.

2. Впервые решена задача об упругом равновесии полосы с продольной щелью. Доказана квазирегулярность разрешающей

БСЛАУ для метода наложения.

3. Впервые решена задача о действии двух штампов на слоистую полуплоскость с круговым отверстием. В частном случае она дает классическое решение для одиночного штампа. При этом определены не только напряжения под штампами, но и напряженное состояние всей слоистой полуплоскости, что важно для приложений.

4. Впервые решена задача о слоистой полуплоскости с продольной щелью под действием двух штампов. Определено НДС всех слоев полуплоскости и выполнены многовариантные расчеты, имеющие прикладное значение. Для решения указанных выше задач использовался метод интегральных преобразований Фурье, поэтому искомые напряжения в слоистой полуплоскости оказываются в конечном итоге представленными несобственными интегралами от осциллирующих функций, вычисление которых является нетривиальной задачей.

5. Дано эффективное решение первой основной задачи теории упругости для плоскости, ослабленной щелью. При произвольных усилиях на кромках щели решение получено в квадратурах.

6. Аналитические исследования и обильный численный анализ позволили на основе принятых моделей теоретически обосновать и практически реализовать схему расчета напряжений и смещений вокруг подземных выработок вплоть до дневной поверхности в слоистом массиве, испытывающем давление от фундаментов наземных сооружений и зданий.

7. Получила дальнейшее развитие методика решения плоских контактных задач теории упругости слоистых (кусочно-однородных) сред, согласно которой неоднородная среда расчленяется на составные элементы:

а) двухслойная сплошная полоса;

б) полоса с круговым отверстием или

в) полоса с продольной щелью ;

г) слоистая полуплоскость.

Путем привлечения интегрального преобразования Фурье, комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и ортогональных многочленов Чебышева строится общее решение задачи о равновесии каждого из этих элементов с последующим сопряжением их согласно условиям на участках контакта.

8. Показано, что механизм взаимодействия фундаментов наземных сооружений с проводимыми под ними горными работами или тоннельными выработками метро является чрезвычайно сложным, качественно отражая картину натурных наблюдений, он вскрывает новые эффекты в поведении фундаментов в зависимости от относительной жесткости слоев основания, глубины подработки и заложения тоннелей, расстояния между фундаментами и многих других факторов в совокупности.

9. Разработанные алгоритмы расчета и Программные средства: 1) 'ТиТОИМ", № 50870001501 "Расчет взаимодействия фундаментов наземного сооружения и тоннельной выработки в слоистой толще", 2) 'ТиС11АС" № 50880000529 "Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных выработок", сданные в Государственной фонд алгоритмов и программ при ГКНТ СССР в 1988, 1989 годах находят свое применение в промышленно-гражданском строительстве при проектировании наземных сооружений на подрабатываемых территориях, при проходке подземных сооружений метрополитенов.

10. Получены весьма полезные интегралы, встретившиеся при реализации предложенной автором наиболее общей формы решения для плоского штампа, действующего на упругую полуплоскость.

11. На основе точного решения системы сингулярных интегральных уравнений в контактной задаче о произвольном взаимодействии двух штампов, жесткосцепленных с упругой полуплоскостью получена формула для расчета угла наклона высотного здания на подрабатываемой территории в зависимости от эксцентриситета его центра тяжести, высоты, ширины фундамента и упругих характеристик грунта. Также получено весьма полезное неравенство, являющееся необходимым условием сохранности высотного здания. Эти формула и неравенство должны быть рекомендованы для включения в СНиП.

1. Напряженное состояние выработки в крупнослойстой толще с гладкими слоями. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1975. №5. 32 с. (с Туебаевым М. К.)

2. Об одном точном решении плоской задачи теории упругости для плоскости со щелью. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1980. №5. 13 с. (с Туебаевым М. К.)

3. Решение методом преобразования Фурье задачи теории упругости для плоскости со щелью. //Тезисы докладов VII Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Караганда. 1981. С. 103-104. (с Туебаевым М. К.)

4. Упругое равновесие полосы с продольной щелью под действием произвольных усилий. // Алматы. Наука. Механика тектон. процессов. 1983. С. 176-185. (с Туебаевым М. К.)

5. Метод наложения в основных краевых задачах теории упругости для полуплоскости с отверстиями. // Тезисы докладов VIII Республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике. КарГУ. Караганда, часть III. Теор. и прикладная механика. 1984. 112 с. (с Туебаевым М. К.)

6. Взаимодействие двух плоских штампов, жестко сцепленных с упругой полупоскостью. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1985. №3. 22 с. (с Туебаевым М. К.)

7. Упругое равновесие двухслойной полосы, находящейся под действием штампов и уравновешивающих усилий. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1985. №5. 22 с. (с Туебаевым М.К.)

8. Взаимодействие двух штампов, жестко сцепленных со слоистой полуплоскостью, ослабленной круговым отверстием. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1985. №5. С.66-69. (с Айталиевым Ш.М., Туебаевым М.К.)

9. Теоретические основы расчета подземных сооружений в неоднородной толще. // Институт сейсмологии АН КазССР (Деп.ВИНИТИ гос.регистр №78033496. 1980. 91 с. (с Туебаевым М. К.)

10. Разработать методы расчета напряженного состояния подземных сооружений в упругом кусочно-однородном массиве при статическом и динамическом нагружениях. // Институт

сейсмологии АН КазССР (Деп.ВИНИТИ, гос регистр №810855565. 1985. 83 с. (с Туебае-вым М. К.)

11. Решение плоской задачи теории упругости для кусочно-однородной слоистой полуплоскости, ослабленной продольной щелью. // Вестник АН КазССР. 1986. 26 с.

12. Действие штампов на крупнослоистую полуплоскость с ослаблениями. // Автореферат диссертации на соискание ученой степ. к. ф-м. н. Институт сейсмологии АН КазССР. 1986. 26 с.

13. Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных работ. // Ведомственный фонд алгоритмов и программ АН КазССР. 1987. 22 с. Программное средство.

14. Расчет взаимодействия фундамента наземного сооружения и тоннельной выработки с слоистой толще. // Ведомственный фонд алгоритмов и программ АН КазССР. 1988. 23 с. Программное средство.

15. Весомое полупространство со сферической полостью, заполненной жидкостью. // Изв. АН КазССР. Серия физ-мат. 1989. 10 с. (с Ершибаевым О.)

16. 50870001501. Программное средство „FUTONN". Расчет взаимодействия фундаментов наземного сооружения и тоннельной выработки в слоистой толще. Язык программирования: ФОРТРАН. // ГосФАП ГКНТ СССР „Алгоритмы и программы". №6. 1988. Раздел №67. „Строительство и архитектура", (с Туебаевым М. К.)

17. 50880000529. Программное средство „FUCRAC". Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных выработок. Язык программирования: ФОРТРАН // ГосФАП ГКНТ СССР „Алгоритмы и программы" №1. 1989. Раздел 30. „Механика", (с Туебаевым М. К.)

18. Об основных краевых задачах теории упругости для плоскости с бесконечными рядами отверствий в слоистой полуплоскости с отверстиями. // Материалы IX республиканской конф. по математике и механике, ч. III. Алма-Ата. 1989. с. 107, (с Туебаевым М. К.)

19. Исследование взаимодействия тоннелей метрополитенов мелкого заложения с фундаментами наземных сооружений. // Сб. Вклад вузовской науки в повышение эффективности

строит, комплекса Республики. Алма-Ата. КазПТИ. 1990. С.17-23.

20. Prognosis of building properties change of multiple undermined foundations footings of buildings and constractions. // IX National Conference on soil mechanics and foundation engineering 12-14. X. 1990. Krakov. Poland. Vol 1. P. 311-317. (с Айталиевым Ш. M., Жусупбековым А. Ж.)

21. Действие системы штампов на упругое основание. // Материалы международной научной конференции „Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела". Алматы. 1992. С. 40-41.

22. О проблемах расчета зданий и сооружений на разрабатываемых территориях. // Материалы сессии отделения физико-математических наук АН Республика Казахстан. Алматы. 19-20. XI. 92 с.

23. Исследование механизма потери устойчивости ленточных фундаментов на слабых грунтах математическими методами. Алматы. 1993. Депонирована в КазНИИНКИ 29.01.93. №3997-Ка 93. 62 с. (с Туебаевым М. К.)

24. Исследование особенностей в функциях, входящих в системы сингулярных интегральных уравнений. // Материалы межвузовской Республиканской конференции „Актуальные вопросы математики". Алматы. 1994. С.121-126.

25. Foundations engineering with the method of soil thermal stabilization by Microwave Energe. // Proc. of Tenth Asian Regional conference on soil mechanics and foundation engineering. August 29-September 2. 1995. Beijing. China. Vol 2. P. 81-82. (с Алдунгаро-вым M. M., Жусупбековым А. Ж.)

26. К поведению фундаментов зданий в зоне влияния тоннельной выработки в слоистой среде. // Труды Росийской конференции по механике грунтов и фундаментостроению. Санкт-Петербург. 13-15 сентября. 1995. Том 3. С. 526-531.

27. Математическое моделирование очага тектонического землетрясения. // Механика и моделирование процессов технологии. Алматы. 1996. №1. С. 62-66. (с Туебаевым М. К.)

28. Моделирование контактного взаимо-действия наземных сооружений с линиями метро мелкого заложения. // Материалы межд. научной конф. по мех. горн, пород. 10-11.02.97. Алматы.

С. 102-103.

29. О некоторых новых эффектах в поведении фундаментов зданий и сооружений на подрабатываемых территориях. // Материалы межд. научной конф. по мех. горн, пород. 1011.02.97. Алматы. С. 103-104.

30. Взаимодействие двух штампов, жестко сцепленных с многослойной полуплоскостью, ослабленной продольной щелью. // Материалы межвузовской конференции, посвящ. 80-летию проф. Жармагамбетова Б.С. Алматы. 1996. С. 72-74

Общая характеристика работы.6

Обзор современного состояния изучаемых в диссертации проблем.16

ГЛАВА 1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ШТАМПОВ, ЖЕСТКО

СЦЕПЛЕННЫХ С УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ.42

§ 1. Основные уравнения.42

§ 2. Форма решения системы интегральных уравнений.48

§ 3. Сведение к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ).56

§ 4. Числовые результаты и их анализ.58

ГЛАВА 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ШТАМПОВ, ЖЕСТКО

СЦЕПЛЕННЫХ С МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ, ОСЛАБЛЕННОЙ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ.61

§ 5. Упругое равновесие двухслойной полосы под действием двух штампов и уравновешивающих усилий.63

§ 6. Симметричная задача.68

§ 7. Антисимметричная задача.77

§ 8. Числовые результаты и их анализ.85

§ 9. Анализ числовых результатов по расчетной модели фундамента наземного сооружения в зоне влияния линий метрополитена.88

ГЛАВА 3. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ, ОСЛАБЛЕННОЙ ПРОИЗВОЛЬНО НАГРУЖЕННОЙ ЩЕЛЬЮ.108

§ 10. Симметричная задача.111

§ 11. Антисимметричная задача.118

§ 12. Конечный результат.120

ГЛАВА 4. УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ПОЛОСЫ С ПРОДОЛЬНОЙ

ЩЕЛЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОИЗВОЛЬНЫХ УСИЛИЙ.123

§ 13. Симметричная задача.127

§ 14. Антисимметричная задача.130

§ 15. О регулярности разрешающей БСЛАУ.131

§ 16. Числовые результаты и их анализ.133

ГЛАВА 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ШТАМПОВ, ЖЕСТКО

СЦЕПЛЕННЫХ С МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ,

ОСЛАБЛЕННОЙ ПРОДОЛЬНОЙ ЩЕЛЬЮ.136

§ 17. Точное решение задачи теории упругости для многослойной полуплоскости, ослабленной произвольно нагруженной щелью.136

§ 18. Симметричная задача.140

§ 19. Антисимметричная задача.147

§ 20. Числовые результаты и их анализ.149

§ 21. Анализ числовых результатов по расчетной модели фундамента наземного сооружения в зоне влияния очистных выработок.151

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.170

ЛИТЕРАТУРА.173

ПРИЛОЖЕНИЯ.201-354

РЕФЕРАТ

Стр. 3 , фиг. 3 5 , табл. 45 , библиогр. га.

УПРУГОСТЬ, ПЛОСКАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА, СТАТИКА, СЛОИСТОСТЬ, ПОЛУПЛОСКОСТЬ, ПОЛОСА, ШТАМП, КРУГОВОЕ ОТВЕРСТИЕ, ЩЕЛЬ, НАПРЯЖЕНИЕ, ПЕРЕМЕЩЕНИЕ,ТОННЕЛЬ, ОЧИСТНАЯ ВЫРАБОТКА, ПОДРАБОТКА, ДНЕВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, МУЛЬДА СДВИЖЕНИЯ, ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ, НАКЛОН ФУНДАМЕНТА, ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙ, КОНЦЕНТРАТОР, КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ, ОСОБЕННОСТЬ, КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ КОЛОСОВА-МУСХЕЛИШВИЛИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

В диссертации поставлены и решены новые контактные задачи теории упругости для полуплоскости, состоящей из нескольких слоев, в одном из которых расположено ослабление в виде кругового отверстия или щели. С полуплоскостью взаимодействуют два произвольно нагруженных штампа. Для решения основных задач предварительно решены вспомогательные задачи, представляющие вполне самостоятельный интерес: две — для случая кругового отверстия, три — для продольной щели. Впервые решены задачи о двухслойной полосе, находящейся под действием 2-х штампов сверху и уравновешенной произвольными усилиями снизу; об упругом равновесии полосы с продольной щелью; о слоистой полуплоскости с круговым отверстием под действием двух штампов; о многослойной полуплоскости, ослабленной произвольно нагруженной щелью под действием штампов.

Работа посвящена разработке математического метода и построению соответствующего численного алгоритма.

Исходным математическим аппаратом являются комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили, ортогональные многочлены

Чебышева, интегральные преобразования Фурье с последующим исследованием и численным решением возникающих сингулярных интегральных уравнений. В отдельных случаях получены точные решения этих уравнений.

Произведен обильный численный анализ напряженно-деформированного состояния для различных вариантов соотношений жесткостей и удельных весов слоев (убывание или возрастание жесткости в глубину и т. д.)

ВВЕДЕНИЕ

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Необходимость обеспечения эксплуатационной надежности конструкций приводит к усложнению как самих конструкций, так и отдельных конструктивных элементов, многие из которых зачастую ослаблены различного рода отверстиями. Среди распространенных элементов в машино — и приборостроении, в судо —, авиа и ракетостроении являются полоса, многослойная полоса, полуплоскость, слоистая (многослойная) полуплоскость.

Также потребность решения различных задач теории упругости для многослойного основания возникает:

- в механике грунтов, когда грунт моделируется упругой слоистой полуплоскостью, характеристики которой меняются по глубине;

- при расчетах на сжатие и изгиб многослойных плит, которые являются широко распространенными элементами конструкций;

- при анализе работы конструкций, подвергнутых поверхностной обработке путем нанесения тонкого пограничного слоя из более прочного материала;

- в горном деле: при расчетах многослойных оснований для крупных транспортных сооружений, таких как метрополитены; гидротехнических - дамбы, плотины, гидростанции; промышленных — АЭС; также дорожных и аэродромных одежд; при проведении очистных работ в целях извлечения полезных ископаемых.

О важности проблемы выемки угля под сооружениями, в частности в Карагандинском бассейне, свидетельствует тот факт, что в настоящее время под существующей границей города Караганда находятся более двух миллиардов тонн угля, что значительно больше, чем извлечено за все годы существования этого бассейна. В связи с этим весьма актуальными становятся проблемы защиты поверхностных сооружений и зданий. Существующие нормативные документы по проектированию таких зданий основываются лишь на определении параметров элементов мульды сдвижения без учета влияния самих сооружений. Кардинальное решение проблемы таится в систематическом исследовании совместной работы фундаментов зданий с деформируемой дневной поверхностью в мульде сдвижения.

Возникает необходимость в современных эффективных методах определения напряженно-деформированного состояния (НДС) конструктивных элементов такого типа. Следует отметить, что в литературе широко представлены задачи теории упругости о действии штампа на упругую полуплоскость и разработаны эффективные методы их решения. В то же время недостаточно глубоко изучены вопросы взаимодействия штампов с различного рода неоднород-ностями тела (многослойность, наличие произвольно нагруженного кругового отверстия или продольной щели в одном из слоев), когда штампы к тому же жестко сцеплены с полуплоскостью.

Поэтому дальнейшее совершенствование уже известных и разработка новых методов решения, построение и реализация соответствующего численного алгоритма контактных задач теории упругости в итоге приводят к значительному экономическому эффекту, особенно при создании дорогостоящих и материалоёмких конструкций. К этому следует добавить, что успешное решение контактных задач математической теории упругости для многослойных сред создает необходимую основу в последующем для решения задач термоупругости, вязкоупругости, пластичности, теории консолидации, теории разрушения и износостойкости.

Все это свидетельствует об актуальности подобных исследований в теории многослойных упругих сред как в теоретическом, так и в прикладном отношениях.

Объект исследования: тоннельная и очистная выработки большой протяженности в слоистом массиве и ленточные фундаменты наземных сооружений, оказывающиеся в зоне влияния линий метро мелкого заложения или мульды сдвижения над очистной выработкой.

Основными целями диссертации являются:

- разработка новых и совершенствование имеющихся точных методов решения ряда плоских контактных задач линейной теории упругости кусочно-однородных полубесконечных сред с концентраторами напряжений в виде кругового отверстия или щели;

- разработка и обоснование расчетных моделей, наиболее полно отражающие изучаемые процессы;

- разработка эффективных методов определения поля напряжений и перемещений от действия штампов, жестко сцепленных со слоистой полуплоскостью;

- предложение эффективных методов определения поля напряжений и перемещений в слоистой полуплоскости, когда в одном из слоев имеется щель (разрез);

- разработка на основе принятых моделей эффективного метода расчета взаимовлияния между штампами и круговым отверстием или щелью, ослабляющими слоистую полуплоскость;

- выполнение полной алгоритмизации предлагаемых методов расчета, реализация их на ЭВМ и проведение массового счета;

- оценка осадок и углов наклонов штампов (фундаментов) в зависимости от положений центров тяжести зданий, расстояний до оси выработки, геометрических и упругих характеристик слоев;

Научная новизна и значимость результатов исследований заключаются в следующем:

- разработаны и обоснованы расчетные модели взаимодействия фундаментов наземных сооружений с подземной выработкой и механизм влияния подработки на поверхностные сооружения через неоднородную толщу горных пород и грунтов;

- предложена наиболее общая форма решения для контактных напряжений под плоскими штампами;

- впервые построены интегральные уравнения контактной задачи о действии двух штампов на упругую двухслойную полосу, уравновешенную произвольными усилиями;

- на основании этой контактной задачи получено решение гораздо более сложной новой контактной задачи о действии двух штампов на слоистую полуплоскость с круговым отверстием в одном из слоев;

- дано новое точное решение задачи для плоскости с одиночной щелью;

- решена новая смешанная задача теории упругости о действии двух штампов на слоистую полуплоскость со щелью в одном из слоев;

- созданы Программные средства для решения важных для технических приложений двумерных задач теории упругости.

Достоверность сформулированных научных положений и полученных результатов:

- обеспечивается корректной постановкой задач, строгостью математического аппарата;

- обоснована тем, что они получены без привлечения упрощающих предположений и гипотез посредством точных методов решения;

- определяется математическим обоснованием используемых алгоритмов, соответствием полученных решений физической сущности изучаемых процессов;

- достигается тем, что предельные переходы дают известные решения для однородных и изотропных тел, тестовые задачи вычисляются с высокой степенью точности.

Выбор методов решения. При рассмотрении расчетных схем для кусочно-однородных породных массивов методически необходимым, на наш взгляд, является расчленение общей схемы на составляющие элементы.

В принимаемой модели реального основания как пятислойной полуплоскости, в которой слои (полосы) 1-4 разнородны и жестко сцеплены между собой и с полуплоскостью 5, таковыми составляющими элементами выступают:

1) - двухслойная сплошная полоса, подвергающаяся двухосному сжатию (растяжению), сдвигу и действию жесткосцепленных с нею плоских штампов и произвольных уравновешивающих усилий,

2) - полоса с круговым отверстием или продольной щелью при наиболее общих граничных условиях как на продольных кромках полосы, так и на контуре ослабления;

3) - слоистая полуплоскость (полоса на полуплоскости), когда по прямолинейной ее границе действуют произвольные усилия.

Исключительно важное значение имеет построение эффективных общих решений для указанных составляющих элементов, поскольку последующее сопряжение этих решений в соответствии с контактными условиями кусочно-однородных сред обеспечивает решение всей поставленной задачи.

В теории упругости установлено, что для тел с прямолинейными границами эффективно применение интегрального преобразования Фурье. Для многосвязных областей хорошо зарекомендовал себя метод наложения. Действительно, метод наложения для полосы обеспечивает возможность удовлетворения граничных условий на прямолинейных границах за счет преобразования Фурье, а на контуре — за счет решения Н. И. Мусхелишвили в комплексных рядах для бесконечной плоскости. В случае полосы, ослабленной продольной щелью, удовлетворение граничных условий на берегах щели достигается также за счет преобразования Фурье с привлечением ортогональных многочленов П. JI. Чебышева.

Таким образом, при решении задач кусочно-однородных сред из плоскопараллельных слоев с ослаблениями предпочтительными оказываются методы теории функций комплексного переменного и интегрального преобразования Фурье.

Когда в задачах о действии плоских штампов на полосу или полуплоскость возникает вопрос об аппроксимации контактных напряжений, наиболее эффективными и сравнительно простыми в обращении являются ортогональные многочлены П. J1. Чебышева.

Практическая ценность:

- прежде всего получило дальнейшее развитие методика решения плоских контактных задач теории упругости для многослойных сред, согласно которой неоднородная среда расчленяется на составные части: двухслойная полоса, полоса с круговым отверстием или щелью; слоистая полуплоскость;

- решения вспомогательных задач для этих элементов численно сопрягаются согласно условиям на участках контакта;

- полученные точные решения в настоящее время используются в учебном процессе в спецкурсах по теории упругости;

- вскрыты новые эффекты в поведении фундаментов, во взаимовлиянии фундаментов и выработок под ними;

- разработанные алгоритмы расчета НДС пород вокруг выработок вплоть до дневной поверхности, в том числе углов наклона фундаментов над мульдой сдвижения, реализованы автором в виде 2-х Программных средств на языке Фортран и сданы в Гос ФАП СССР:

1) "FUTONN" — Расчет взаимодействия фундаментов наземного сооружения и тоннельной выработки в слоистой толще, за №50870001501 принято в раздел №67 "Строительство и архитектура". "Алгоритмы и программы". 1988, №6.

2) "FUCRAC" — Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных выработок, за №50880000529 принято в раздел №30 "Механика". "Алгоритмы и программы". 1989, №1. Математическое обеспечение и Программное средство "FUTONN" использовано Институтом сейсмологии АН РК при расчете осадок и наклонов высотных зданий в г. Алматы, попадающих в зону влияния сейсмически активных разломов. Результаты расчетного анализа позволили прогнозировать возможное состояние объектов народного хозяйства в зоне влияния линий строящегося метрополитена в г. Алматы. На основе расчетных данных предложено организовать превентивные мероприятия по усилению фундаментов зданий и сооружений. Также эти Программные средства нашли и находят применение в практике инженерных расчетов напряженного и деформированного состояния различных многослойных структур в ряде научно- исследовательских, конструкторских и проектных институтов (Каз НИИ сейсмостойкого строительства и архитектуры, Казахская проектная академия "KAZGOR", Акционерное общество "Алматыметрострой", Научно-производственное предприятие "Геотехнология" и другие), что потдверждается отзывами и актами об использовании результатов из упомянутых организаций.

Обилие таблиц и графиков облегчает применение результатов работы в промышленно-гражданском строительстве.

Результаты диссертации вошли в три заключительных отчета по научно- исследовательским работам, координированным в свое время АН СССР и АН Каз ССР по темам: 1.18.1.4 С "Теоретические основы расчета подземных сооружений в неоднородной толще" (1976-1980 г. г. Гос. регистр. №78033496), 1.10.2.2 "Разработать методы расчета напряженного состояния подземных сооружений в упругом кусочно-однородном массиве при статическом и динамическом нагружениях"

1981-1985 г. г. Гос. регистр. №81085565). "Вопросы механико-математического моделирования некоторых прикладных задач" (1988-1990 г. г. Гос. регистр. №01880071508), а также в 1991-1995 г. г. тема входила в программы поисковых научно-исследовательских работ, утвержденных Министерством образования и Министерством науки и новых технологий Республики Казахстан (гос. регистр. №0194РК01097).

Следует отметить, что результаты теоретических исследований, а также Программное средство "FUCRAC" были использованы для усиления и реконструкции фундаментных конструкций зданий учреждений АК-159/5, расположенных в зоне прогнозируемой подработки в Карагандинской области в 1988-1990 г. г.

Научные положения и выводы, выносимые на защиту:

- постановка и решение новых контактных задач теории упругости для многослойных оснований, в одном из слоев которых имеются ослабления в виде кругового отверстия или щели;

- исследование полученной системы сингулярных интегральных уравнений и построение наиболее общей формы их решения;

- предложенные две модели крупнослоистой полуплоскости со щелью или отверстием под действием двух штампов позволяют с достаточной полнотой изучить поведение фундаментов наземных сооружений в зоне влияния подработки и во взаимодействии с тоннельной выработкой мелкого заложения;

- разработанные методы расчета напряженно-деформированного состояния сложного основания, представленного кусочно-однородной полу бесконечной средой с ослаблениями, на действие штампов являются эффективными и хорошо приспособленными для использования ЭВМ;

- установленные закономерности поведения фундаментов в зависимости от перераспределения контактных напряжений под фундаментами, мощности и деформативных характеристик слоев неоднородного основания, геометрических параметров (расстояний между штампами, до фронта и глубины очистных работ и заложения тоннелей) вскрывают действительный механизм взаимодействия фундаментов зданий с подземными сооружениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались, обсуждались и получали одобрение на VII, VIII, IX, X Казахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Караганда, 1981; Алматы, 1984; 1989; 1994); на VI Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применения ЭВМ в механике горных пород" (Новосибирск, 1985); на X Всесозном семинаре по исследованию горного давления и охране капитальных и подготовительных выработок (Кемерово, 1986); на IX национальном конгрессе по механике грунтов, основаниям и фундаментам (Польша, Краков, 1990); Международной научной конференции "Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела" (Алматы, 1992); научной сессии отделения физико-математических наук АН РК (Алматы, 1992); на научной сессии Западно-Казахстанского научного центра (Атырау, 1995); на X Азиатской международной конференции по механике грунтов, основаниям и фундаментам (Китай: Пекин, 1995); на Российской конференции по механике грунтов и фундаментостроению (Санкт-Петербург, 1995); на международной научной конференции по механике горных пород (Алматы, 1997); на семинаре кафедры теории упругости и НИИ механики Ростовского государственного университета (1986); на семинаре Казахского научно-исследовательского института сейсмостойкого строительства и архитектуры (1986, 1993, 1997); на семинаре Казахской государственной архитектурно-строительной академии (1988,1992,1997); на семинаре механико-математического факультета и НИИ математики и механики Казахского государственного университета (1997); на Техсовете Проектно-строительной академии "KAZGOR" (1996), на семинаре кафедры математического моделирования МГИЭМ (1997), на семинаре НИИОСП им. Н. М. Герсеванова (1985, 1997).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, включающего общую характеристику работы и обзор современного состояния изучаемых в диссертации проблем, пяти глав, включающих 21 параграф, заключения, списка литературы и 9 приложений. Общий объем работы составляет 354 машинописного текста, содержит 35 иллюстраций и 45 таблиц. Библиография включает 288 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации осуществлено решение научной проблемы -обоснование, разработка и практическая реализация схемы расчета напряжений и смещений вокруг подземных выработок, вплоть до дневной поверхности в слоистом породном массиве, испытывающем давление от фундаментов наземных зданий и сооружений. Это позволяет совершенствовать постановку задачи и методы расчета НДС как среды, так и контуров самих выработок, способствуя проектированию и выбору соответствующих природным условиям параметров.

Полученные в диссертации основные научные результаты заключаются в следующем:

1. Впервые решена задача о двухслойной полосе, находящейся под действием жестко сцепленных с нею двух штампов и уравновешивающих произвольных усилий.

2. Впервые решена задача об упругом равновесии полосы с продольной щелью. Доказана квазирегулярность разрешающей БСЛАУ для метода наложения.

3. Впервые решена задача о действии двух штампов на слоистую полуплоскость с круговым отверстием. В частном случае она дает классическое решение для одиночного штампа. При этом определены не только напряжения под штампами, но и напряженное состояние всей слоистой полуплоскости, что важно для приложений.

4. Впервые решена задача о слоистой полуплоскости с продольной щелью под действием двух штампов. Определено НДС всех слоев полуплоскости и выполнены многовариантные расчеты, имеющие прикладное значение. Для решения указанных выше задач использовался метод интегральных преобразований Фурье, поэтому искомые напряжения в слоистой полуплоскости оказываются в конечном итоге представленными несобственными интегралами от осциллирующих функций, вычисление которых является нетривиальной задачей.

5. Дано эффективное решение первой основной задачи теории упругости для плоскости, ослабленной щелью. При произвольных усилиях на кромках щели решение получено в квадратурах.

6. Аналитические исследования и обильный численный анализ позволили на основе принятых моделей теоретически обосновать и практически реализовать схему расчета напряжений и смещений вокруг подземных выработок вплоть до дневной поверхности в слоистом массиве, испытывающем давление от фундаментов наземных сооружений и зданий.

7. Получила дальнейшее развитие методика решения плоских контактных задач теории упругости слоистых (кусочно-однородных) сред, согласно которой неоднородная среда расчленяется на составные элементы: а) двухслойная сплошная полоса; б) полоса с круговым отверстием или в) полоса с продольной щелью ; г) слоистая полуплоскость.

Путем привлечения интегрального преобразования Фурье, комплексных потенциалов Колосова—Мусхелишвили и ортогональных многочленов Чебышева строится общее решение задачи о равновесии каждого из этих элементов с последующим сопряжением их согласно условиям на участках контакта.

8. Показано, что механизм взаимодействия фундаментов наземных сооружений с проводимыми под ними горными работами или тоннельными выработками метро является чрезвычайно сложным, качественно отражая картину натурных наблюдений, он вскрывает новые эффекты в поведении фундаментов в зависимости от относительной жесткости слоев основания, глубины подработки и заложения тоннелей, расстояния между фундаментами и многих других факторов в совокупности.

9. Разработанные алгоритмы расчета и Программные средства:

1) "FUTONN", № 50870001501 "Расчет взаимодействия фундаментов наземного сооружения и тоннельной выработки в слоистой толще",

2) "FUCRAC" № 50880000529 "Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных выработок", сданные в Государственной фонд алгоритмов и программ при ГКНТ СССР в 1988, 1989 годах находят свое применение в промышленно-гражданском строительстве при проектировании наземных сооружений на подрабатываемых территориях, при проходке подземных сооружений метрополитенов.

10. Получены весьма полезные интегралы, встретившиеся при реализации предложенной автором наиболее общей формы решения для плоского штампа, действующего на упругую полуплоскость.

11. На основе точного решения системы сингулярных интегральных уравнений в контактной задаче о произвольном взаимодействии двух штампов, жесткосцепленных с упругой полуплоскостью получена формула для расчета угла наклона высотного здания на подрабатываемой территории в зависимости от эксцентриситета его центра тяжести, высоты, ширины фундамента и упругих характеристик грунта. Также получено весьма полезное неравенство, являющееся необходимым условием сохранности высотного здания. Эти формула и неравенство должны быть рекомендованы для включения в СНиП.

1. Абрамов В.М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно жестким фундаментом при учете сил трения. // Докл. АН СССР. 1937. Т.17. №4. С.173-178.

2. Абрамов В.М. Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство. // Докл. АН СССР. 1939. Т.23. №3. С.

3. Абрамян Б. Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. № 4. с. 181-197.

4. Айталиев Ш.М., Туебаев М.К., Адилбеков Н.А. Об одном методе расчета напряженно-деформированного состояния пластового штрека в зоне влияния очистных работ. // Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат. Деп. в ВИНИТИ 12.09.79. №3431-79. Алматы. 1980. 52 с.

5. Александров В.М., Александрова Г.П. Контактная задача теории упругости для упругой полосы. // Материалы второй научной конференции аспирантов. Ростов н/Д.:Изд-во Ростовск. Ун-та. 1960. С.15-18.

6. Александров В.М. О приближенном решении одного типа интегральных уравнений. // ПММ. 1962. Т.26. Вып.5. С.934-943.

7. Александров В.М. К решению некоторых контактных задач теории упругости. // ПММ. 1963. Т.27. Вып.5. С.970-972.

8. Александров В.М., Бабешко В.А. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины. // Изв. АН СССР. Механика. 1965. С.95-107.

9. Александров В.М. К теории равновесных трещин в упругом слое. //Труды I Всесоюзн. симпозиума по концентрации напряжений. Киев. 1965.

10. Александров В.М., Сметанин Б.И. Равновесная трещина в слое малой толщины. // ПММ. 1965. Т.29. Вып.4. С.782-785.

11. Александров В.М., Сметанин Б.И. О равновесных продольных трещинах в пластинах. // Материалы VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок(Баку.1966). Изд-во Наука. 1966. С.21-25.

12. Александров В.М.,Кучеров В.А. Некоторые задачи о действии двух штампов на упругую полосу. // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. №4. С.110-123.

13. Александров В.М. О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сил сцепления или трения. // ПММ. 1970. Т.34. Вып.2. С.246-257.

14. Александров В.М., Филиппова JI.M. Контактная задача для тяжелой полуплоскости. // ПММ. 1980. Т.44. Вып.З. С.535-539.

15. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. 1983. 487 с.

16. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. Москва: Машиностроение. 1986. 174 с.

17. АлександровВ.М., Айзикович С.М. Распределение напряжений под ленточным фундаментом на неоднородном основании. // Исследования по теории сооружений. Москва. 1987. №25. С.82-92.

18. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. Москва: Наука. 1993. 224 с.

19. Александрян М.А. Вдавливание двух штампов в полуплоскость с круговым отверствием. // Докл. АН АрмССР. 1971. T.III. №3. С.136-141.

20. Альперин И.Г. Задача о бесконечно длинной балке на упругой полуплоскости. // ПММ. 1939. Т.2. Вып.З. С.287-315.

21. Амензаде Ю.А., Бубутейшвили O.JI. Действие жесткого штампа на полуплоскость, ослабленную эллиптическим отверстием. // Изв. АН Азерб.ССР. Сер.физ.-техн. и мат. 1972. №1. С. 122-129.

22. Амензаде Ю.А. Вдавливание жесткого штампа в полуплоскость с включениями. // ПММ. 1972. Т.36. Вып.5. С.905-912.

23. Амензаде Ю.А. Вдавливание жесткого штампа в слой, спаянный с полуплоскостью. // Докл. АН СССР. 1979. Т.246. №3. С.561-565.

24. Антипов Ю.А., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи теории упругости при наличии трения и сцепления. // 7 Всесоюзный съезд по теор. и прикл. мех. Москва. 1991. 18 с.

25. Араманович И. Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием. // Докл. АН СССР. 1955. Т. 104. № 3. С.

26. Араманович И.Г. Задача о давлении штампа на упругую полуплоскость с круговым отверстием. // Докл. АН СССР. 1957. Т.112. №4. С.611-614.

27. Араманович И.Г., Фотиева Н.Н., Лыткин В.А. Вдавливание жесткого штампа в полуплоскость с круговым отверстием. // В сб.: Контактные задачи и их инженерные приложения. Докл. конф. Москва. 1969.

28. Батугин С.А. Расчет деформаций горных пород в главном сечении мульды сдвижения по простиранию. // В кн.: Вопросы горного давления. Вып.21. Новосибирск. 1964. С.30-38.

29. Бахтияров И.А. Некоторые задачи теории упругости для однородных и кусочно-однородных сред. // Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат.наук. Баку. 1974. 17 с.

30. Бегиашвили А.И. Решение задачи давления системы жестких профилей на прямолинейную границу упругой полуплоскости.

31. Докл. АН СССР. 1940. Т.27. №9. С.914-916.

32. Бегиашвили А.И., Тогонидзе В.Р. Некоторое обобщение задачи давления системы жестких профилей на прямолинейнуюграницу упругой полуплоскости. // Труды Груз, политехи, ин-та. Строительные конструкции и стр. мех-ка. 1963. №86. С.9-15.

33. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. Москва: Наука. 1969. 344 с.

34. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Москва: Наука. 1974. 296 с.

35. Беленький М.Я. Смешанная задача теории упругости для бесконечной полосы.// ПММ. 1952. Т. 16. Вып. 3. С.283-287.

36. Белоносов С.М. Плоская задача теории упругости для бесконечной полосы при заданных на границе напряжениях или смещениях. //Докл. АН СССР. 1960. Т.131. №6. С.1291-1296.

37. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей. // Изд.-во СО АН СССР. Новосибирск. 1962.

38. Белоносов С.М. Математические проблемы в теории упругости для областей с углами. // Труды II Всесоюзного съезда по теор. и прикл. мех. 1966. Мех. тв. тела. С.48-61.

39. Бельский Г.Г., Клепиков С.Н. Деформации земной поверхности при подземной добыче угля. // Проектирование и инженерные изыскания. 1989. №1. С.24-25.

40. Бирман С.Е. Об осадке жесткого штампа на упругом слое, расположенном на несжимаемом основании. // Докл. АН СССР. 1953. Т.18. №5. С.791-794.

41. Бирман. С.Е. Об осадке жесткого штампа на слое грунта, подстилаемом скальным основанием. // Инженерный сборник. 1954. Т.20. С.142-153.

42. Бирман С.Е. К задаче теории упругости для бесконечной полосы в перемещениях. //Докл. АН СССР. 1963. Т.145. №5. С. 1016

43. Бирюков В. В., Мулл ер Р. А. Влияние скорости нарастания деформаций земной поверхности на повреждения зданий и сооружений при их подработке в Кузнецком бассейне. // Методы, техн. средства исслед. процессов сдвижения горных пород. JL: 1988. С.104-109.

44. Бискуп А.Г., Моссаковская JI.B., Моссаковский В.И. Плоские контактные задачи с трением и сцеплением. (Задача Галина J1.A.) // 7 Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл. Москва. 1991. С.49-50.

45. Бицадзе А.В. О местных деформациях при сжатии упругих тел. // Сообщ. АН ГРУЗССР. 1944. Т.5. №8. С.761-770.

46. Болучевский В.И., Ведяшкин А.С., Спроге А.О. Особенности деформирования горного массива под влиянием очистных работ. // Уголь. 1988. №11. С.11-12.

47. Борзых А.Ф., Желтиков Ю.Л. Прогнозирование максимальных оседаний пород подрабатываемой угленосной толщи. // Уголь Украины. 1989. №7. С.9-10.

48. Бородачева Ф.Н. Действие вертикальной внецентренной силы на кольцевой фундамент, расположенный на сжимаемом основании. // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1968. №1. С.20-22.

49. Бояджи А.Г., Бурышкин М.Л.,Радиолло М.В. О действии жесткого штампа на полуплоскость, ослабленную регулярной системой трещин. // ПММ. 1988. 52. №5. С.856-860.

50. Васильев Н.И., Клоков Ю.А., Шкерстена А.Я. Применение полиномов Чебышева в численном анализе. Рига: Зинатне. 1984. 240 с.

51. Ватсон Д.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. Москва: ИЛ. 1949. 798 с.

52. Вигдерович И.Е., Ламзюк В.Д., Приварников А.К. Об использовании метода функции податливости при решенииграничных задач для многослойных оснований сложной структуры. // Докл. АН УССР. 1976. A.N°6. С.433-437.

53. Вигдерович И.Е. Плоская деформация многослойных сред с отверстиями. // В сб.: Устойчивость и прочность элементов конструкции. Днепропетровск: Изд-во ДГУ. 1979. Вып.З. С.75-85.

54. Вилков И.М. Плоская контактная задача для двухслойного основания при действии симметричной нагрузки на жесткий штамп. // Изв. АН СССР. Сер.мех-ка и машиностр. 1963. №4. С. 172-174.

55. Вольский C.JL, Ильман В.М., Приварников А.К. Плоская контактная задача для многослойного основания при наличии трения или сцепления. // В сб.: Вопросы прочности и пластичности. Днепропетровск: изд-во ДГУ. 1974. С.41-57.

56. Ворович И.И. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости в окрестности особых точек границы. // Труды III Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. Москва. 1969.

57. Ворович И.И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины. // ПММ. 1959. Т.23. Вып.З. С.445-455.

58. Ворович И.И., Сафронов Ю.Г., Устинов Ю.А. Прочность колес сложной конструкции. Москва: Машиностроение. 1967. 195 с.

59. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. Москва: Наука. 1974. 456 с.

60. Воронов В.И., Моисеев Д.Р., Смирнов А.Ф., Сазонов А.В. Прогноз деформаций земной поверхности при подземной разработке рудных залежей Кривбасса. // 7 межд. конгресс. Ленинград. 1988. 95 с.

61. Галин Л.А. Смешанные задачи теории упругости с силами трения для полуплоскости. //Докл. АН СССР. 1943. Т.39. №3. С.88-93.

62. Галин Л.А. Вдавливание штампа при наличии трения и сцепления. // ПММ. 1945. Т.9. Вып.5. С.413-424.

63. Галин JI.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. Москва: Наука. 1980. 304 с.

64. Гастев В.А. О напряжениях в упругой среде, ограниченной плоскостью, при нагрузке бесконечно жесткой стенкой. // В сб. Ленингр. ин-та инж.ж-д. трансп. Вып. 127. Ленинград: Трансжелдориздат. 1937.

65. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Москва.: Наука. 1977. 640 с.

66. Глаголев Н.И. Упругие напряжения вдоль основания плотины. // Докл. АН СССР. 1942. Т.34. №7. С.204-209.

67. Глаголев Н.И. Определение напряжений при давлении системы жестких профилей. // ПММ. 1943. Т.7. Вып.5. С.283-388.

68. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. Москва: Наука. 1989. 228 с.

69. Горбунов-Посадов М.И., МаликоваТ.В., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. Москва: Стройиздат.1984. 679 с.

70. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. Москва: Машиностроение. 1988. 256 с.

71. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Наука. 1971. 1108 с.

72. Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Мокрик Р.И., Белокур И.П. О концентрации напряжений возле кругового отверстия в соединенных разнородных пластинах при растяжении. // Прикл.механика. 1974. Т.10. №10. С.37-43.

73. Грилицкий Д.В., Евтушенко А.А., Паук В.И. Давление штампа на полуплоскость с линейным упругим включением. // Изв. Арм.ССР. Мех. 1988. 41. №6. С.19-27.

74. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. Москва. Мир. 1989. 510 с.

75. Егоров К.Е. Распределение напряжений и перемещений в двухслойном основании ленточного фундамента. // Труды НИС

76. Фундаментстроя. Основания и сооружения. 1939. №10. С.20-27.

77. Егоров К.Е. К вопросу деформации основания конечной толщины. // Труды НИИОСПа. 1958. Вып.34. С.5-33.

78. Егоров К.Е. Деформация основания круглого жесткого фундамента под действием эксцентричной нагрузки. // Труды НИИОСПа. 1948. Вып.11. С.119-138.

79. Егоров К.Е. Контактная задача для упругого слоя при действии внецентренной вертикальной силы на круглый жесткий штамп. // Докл. АН СССР. 1960. Т.133. №4. С.781-784.

80. Егоров К.Е. О деформации основания конечной толщины. // В сб.: Основания, фундаменты и механика грунтов. 1961. №1. С.4-6.

81. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Туебаев М.К. Устойчивость пластовых горных выработок. Алма-Ата. Наука. 1977. 116 с.

82. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Туебаев М.К., Казешев А.К. Упругая кусочно-однородная весомая полуплоскость с двумя круговыми отверстиями вблизи ее границы. // Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат. Деп. в ВИНИТИ 24.07.79.№3241-79. Алматы.1979. 47 с.

83. Ержанов Ж.С., Мироненко Н.И., Жетписов Т.Х. О напряженном состоянии кусочно-однородной плоскости, содержащей полосы с четырьмя круговыми отверстиями. // Прикл.механика. 1983. Т. XIX. №5. С.61-67.

84. Жетписов Т.Х. Напряженное состояние многосвязной полосы и кусочно-однородной плоскости, содержащей эту полосу. // Автореферат канд.дисс. Алматы. 1983. 22 с.

85. Ильичев В. А., Монголов Ю. В., Шаевич В. М. Свайные фундаменты в сейсмических районах. Москва. Стройиздат. 1983. 144 с.

86. Ильман В.М., Приварников А.К. Действие системы штампов на упругое многослойное основание. // Прикл.механика. 1971. T.YIII.6. С.25-30.

87. Ильман В.М., Приварников А.К., Шевляков Ю.А. Плоская контактная задача действия двух штампов на многослойное основание. // В сб.Теоретическая и прикладная механика. Киев. 1971. Вып.2. С.6-12.

88. Ишкова А.Г., Коренев Б.Г. Изгиб пластинок на упругом и упруго- пластическом оснований. // Труды II Всесоюзн. съезда по теор. и прикл. мех. МТТ. АН СССР. М.: Наука. 1963. вып. 3.

89. Казешев А.К. Упругое равновесие невесомой и весомой кусочно-однородных сред с двумя сближенными круговыми отверстиями. // Автореф. канд. дисс. Алматы. 1982. 23 с.

90. Каландия И.А. К контактным задачам теории упругости. // ПММ. 1957. Т.21. Вып.З. С.389-398.

91. Каландия А.И. О напряжениях в кусочно-однородных средах. // ПММ. 1965. Т.29. Вып.4. С.785-788.

92. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука. 1973. 304 с.

93. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Москва-Ленинград: Физматгиз. 1962. 708 с.

94. Клейн Т.К., Скуратов Л.Ф. Расчет балок на нелинейно-деформируемом основании. Строительная механика. М.: Стройиздат. 1966. 222 с.

95. Клепиков С. Н. К проблеме учета совместной работы оснований и сооружений. // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1967. № 1.

96. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости. Москва: ОНТИ. 1935.

97. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел. Кишинев: Штиница. 1977. 146 с.

98. Копасенко В.В., Туебаев М.К. Напряжения в симметричнослоистой пластинке, ослабленной центральной трещиной. // ПММ. 1973. Т.37. Вып.2.

99. Коренев Б.Г., Черниговская Е.И. Расчет плит на упругом основании. М.:Гостройиздат. 1962. 355 с.

100. Крейн М.Г. Об одном новом методе решения линейных интегральных уравнений I и II рода. // Докл. АН СССР. 1955. Т.100. №3.

101. Курленя М.В., Миренков В.Е. Методы математического моделирования подземных сооружений. Новосибирск: Наука. 1994. 187 с.

102. Ламзюк В.Д. О неполном контакте тяжелой полосы с основанием. // Вопр. прочн. и пластичности. Днепропетровск. 1993. С.61-67.

103. Лиманов Ю.А. Осадки земной поверхности при сооружении тоннелей в кембрийских глинах. // Ленинград. 1957. 239 с.

104. Лиховцев В.М. Определение перемещений и напряжений для заглубленного штампа. Автореферат диссертации. НИИ оснований. 1976. 27 с.

105. Лишак В.И. Напряженное состояние и деформации зданий до начала подработок. // Вопросы проектирования и защиты зданий и сооружений от влияния горных выработок. Центрогипрошахт. 1961.

106. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. Москва: изд-во МГУ. 1976. 368 с.

107. Лурье А. И. Некоторые контактные задачи теории упругости. // ПММ. 1941. Т. 5. № 3. с. 383-408.

108. Лурье А.И. Теория упругости . Москва: Наука. 1979. 940 с.

109. Маркузон И.А. О расклинивании хрупкого тела клином конечной длины. // ПММ.1961. Т.25. Вып.2. С.356-361.

110. Маркузон И.А. Равновесные трещины в полосе конечной ширины. // Прикл. механика и техн. физика. 1963. №5. С.69-74.

111. Медведев А.Я. Деформации и напряженное состояние оснований жестких сооружений от действия вертикальной и горизонтальной нагрузок. // Труды НИИ оснований и подземных сооружений. Механика грунтов. 1958. №34. С.86-122.

112. Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений. Механика. // Сб.переводов. Мир. 1964. №4(86). С.115-128.

113. Мироненко Н.И. Об одной периодической смешанной задаче для полосы. // ПММ. 1984. Т.48. №3. С.447-453.

114. Мироненко Н.И. Об одном методе решения основных задач для полосы. // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1986. №3. С.63-66.

115. Мироненко Н.И. Об одной смешанной задаче для полосы. // Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат. 1983. №1. С.26-31.

116. Мироненко Н.И. Напряженное состояние кусочно-однородной плоскости, содержащей полосу с двумя одинаковыми круговыми отверстиями. // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. №6. С.63-71.

117. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости для неоднородной среды. // Труды сейсмологического института. 1935. Вып. 66.

118. Михлин С.Г. О напряжениях в породе над угольным пластом. // Изв. АН СССР. ОТН. 1942. №7-8. С.13-28.

119. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. Москва-Ленинград: Гостехиздат. 1949. 380 с.

120. Моссаковский В.И., Загубиженко П.А. Об одной смешанной задаче теории упругости для плоскости, ослабленной прямолинейной щелью. // Докл. АН СССР. 1954. Т. XCIY. №3. С.409-412.

121. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи математической теории упругости. Киев: Науковадумка. 1985. 176 с.

122. Муллер Р.А., Клещев П.Е. Допустимые и предельные деформации оснований на основе натурных наблюдений за деформациями зданий и сооружений на подрабатываемых территориях. // Балт. конф. по мех. грунтов и фундаментостр. Таллин. 1988. Т.2. С.229-234.

123. Мусхелишвили Н.И. Решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости. // Докл. АН СССР. 1935. Т.3(8). №2(62). С.51-54.

124. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Москва: Физматгиз. 1962. 599 с.

125. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Москва: Наука. 1966. 707 с.

126. Наумов Ю. А., Шевляков Ю. А., Чистяк В. И. К решению основных задач теории упругости для слоя с произвольной неоднородностью по толщине. //Прикл. мех-ка. 1970. Т. 4. вып. 7.

127. Нейбер Г. Концентрация напряжений. M.-JL: Гостехиздат. 1947. 204 с.

128. Немировский Ю.В., Миренков В.Е. О напряженно-деформированном состоянии массива вокруг выработки при упругом взаимодействии пласта и боковых пород. // Новосибирск. ФТПРПИ. 1972. №3. С.21-27.

129. Немировский Ю.В., Миренков В.Е. О напряженном и деформированном состоянии массива с горизонтальной выработкой. // Новосибирск. ФТПРПИ. 1973.№1.

130. Немировский Ю.В., Миренков В.Е. О контактных напряжениях на границе пласт-породы в окрестности очистной выработки. // Новосибирск. ФТПРПИ. 1973. №6. С.3-12.

131. Никитина Н.С. Расчет осадок фундаментов, возводимых на многослойных основаниях. // Балт. конф. по мех. грунтов и фундаментостр. Таллин. 1988. Т.2. С.52-55.

132. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Задачи теории упругости для многослойных сред. Москва: Наука. 1973. 132 с.

133. Никишин В. С. Задачи теории упругости для неоднородных сред. Москва. ВЦ АН СССР. 1976. 60 с.

134. Никишин В. С. Корректная постановка и численное решение основных и смешанных задач теории упругости для многослойных и непрерывно-неоднородных сред. // Автореферат докт. диссертации. Москва. 1982.

135. Никишин B.C., Шапиро Г.С. Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред. Москва: ВЦ АН СССР. 1980. 260 с.

136. Никишин B.C., Китороаге Т.В. Плоские контактные задачи теории упругости для многослойных сред. Москва.: ВЦ АН СССР. 1990. 67 с.

137. Никишин B.C., Китороаге Т.В. Плоские контактные задачи теории упругости с односторонними связями для многослойных сред. М.: ВЦ РАН. 1994. 43 с.

138. Новацкий В. Теория упругости. Москва: Мир. 1975. 872 с.

139. Озеров И.Ф. Факторы, влияющие на геомеханическое состояние массива пород на больших глубинах. // Уголь украины. 1995. №8. С.37-39.

140. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Напряженное состояние выработки в крупнослойстой толще с гладкими слоями. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1975. №5. 32 с.

141. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Об одном точном решении плоской задачи теории упругости для плоскости со щелью. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1980. №5. 13 с.

142. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Решение методом преобразования Фурье задачи теории упругости для плоскости со щелью. //Тезисы докладов VII Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Караганда. 1981. С.103-104.

143. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Упругое равновесие полосы с продольной щелью под действием произвольных усилий. // Алматы. Наука. Механика тектон. процессов. 1983. С. 176-185.

144. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Взаимодействие двух плоских штампов, жестко сцепленных с упругой полуплоскостью. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1985. №3. 22 с.

145. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Упругое равновесие двухслойной полосы, находящейся под действием штампов и уравновешивающих усилий. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1985. №5. 22 с.

146. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К., Айталиев Ш.М. Взаимодействие двух штампов, жестко сцепленных со слоистой полуплоскостью, ослабленной круговым отверстием. // Изв. АН КазССР, серия физ-мат. 1985. №5. С.66-69.

147. Отарбаев Ж.О. Решение плоской задачи теории упругости для кусочно-однородной слоистой полуплоскости, ослабленной продольной щелью. // Вестник АН КазССР. 1986. №4. 26 с.

148. Отарбаев Ж.О. Действие штампов на крупнослоистую полуплоскость с ослаблениями. // Автореферат диссертации на соискание ученой степ. к. ф-м. н. Институт сейсмологии АН КазССР. 1986. 26 с.

149. Отарбаев Ж.О. Расчет поведения фундаментов наземных сооружений в зоне влияния очистных работ. // Ведомственный фонд алгоритмов и программ АН КазССР. 1987. 22 с. Программное средство.

150. Отарбаев Ж.О. Расчет взаимодействия фундамента наземного сооружения и тоннельной выработки с слоистой толще. // Ведомственный фонд алгоритмов и программ АН КазССР. 1988. 23 с. Программное средство.

151. Отарбаев Ж.О., Ершибаев О. Весомое полупространство со сферической полостью, заполненной жидкостью. // Изв. АН КазССР. Серия физ-мат. 1989. №2. 10 с.

152. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Об основных краевых задачах теории упругости для плоскости с бесконечными рядами отверстий в слоистой полуплоскости с отверстиями. // Материалы IX республиканской конф. по математике и механике, ч. III. Алма-Ата. 1989. 1 с.

153. Отарбаев Ж.О. Исследование взаимодействия тоннелей метрополитенов мелкого заложения с фундаментами наземных сооружений. // Сб. Вклад вузовской науки в повышение эффективности строит, комплекса Республики. Алма-Ата. КазПТИ. 1990. С.17-23.

154. Отарбаев Ж.О. Действие системы штампов на упругое основание. // Материалы международной научной конференции „ Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела". Алматы. 1992. 1 с.

155. Отарбаев Ж.О. О проблемах расчета зданий и сооружений на разрабатываемых территориях. // Материалы сессии отделения физико-математических наук АН Республика Казахстан. Алматы. 1920. XI. 92 с.

156. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Исследование механизма потери устойчивости ленточных фундаментов на слабых грунтахматематическими методами. Алматы. 1993. Депонирована в КазНИИНКИ 29.01.93. №3997-Ка 93. 62 с.

157. Отарбаев Ж.О. Исследование особенностей в функциях, входящих в системы сингулярных интегральных уравнений. // Материалы межвузовской Республиканской конференции „ Актуальные вопросы математики". Алматы. 1994. С. 121-126.

158. Отарбаев Ж.О. К поведению фундаментов зданий в зоне влияния тоннельной выработки в слоистой среде. // Труды Росийской конференции по механике грунтов и фундаментостроению. Санкт-Петербург. 13-15 сентября. 1995. Том 3. С. 526-531.

159. Отарбаев Ж.О., Туебаев М.К. Математическое моделирование очага тектонического землетрясения. // Механика и моделирование процессов технологии. Алматы. 1996. №1. С. 6266.

160. Отарбаев Ж.О. Моделирование контактного взаимодействия наземных сооружений с линиями метро мелкого заложения. // Материалы межд. научной конф. по мех. горн, пород. 10-11.02.97. Алматы. с. 102-103.

161. Отарбаев Ж.О. О некоторых новых эффектах в поведении фундаментов зданий и сооружений на подрабатываемых территориях. // Материалы межд. научной конф. по мех. горн, пород. 10-11.02.97. Алматы. с. 103-104.

162. Отарбаев Ж.О. Взаимодействие двух штампов, жестко сцепленных с многослойной полуплоскостью, ослабленнойпродольной щелью. // Материалы межвузовской конференции, посвящ. 80-летию проф. Жармагамбетова Б.С. Алматы. 1996.

163. Пальцун Н.Б. Плоская задача для бесконечной полосы, ослабленной щелью. // Гидроаэромеханика и теория упругости. Республиканский межведомственный научн.-техн.сборник. 1967. Вып.6. С.84-90.

164. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.:Наука . 1977. 312 с.

165. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М:Наука. 1981. 688 с.

166. Пеньков В.Б., Толоконников Л.А. О построении строгих решений в двумерных задачах МДТТ. // 7 Всесоюзный съезд по теор. и прикл. мех. Москва. 1991. с. 279

167. Пеньков В.Б., Толоконников Л.А. Строгие решения двумерных задач МДТТ . // Прикл. мех. Киев. 1992. 28. №10. С.3-21.

168. Петришин В.И., Приварников А.К. Основные граничные задачи теории упругости для многослойного основания. // Прикл. механика. 1965. Т.58. №4. с. 50-66

169. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. Москва: Наука. 1965. 128 с.

170. Петросян Л. Г. Контактная задача для жесткого штампа на упругом основании. // Изв. АН Арм.ССР Мех. 1988. 41. №3. С.59-63.

171. Победря Б.Е.Механика деформируемого твердого тела. М.:Изд. МГУ. 1994. 336 с.

172. Попов Г.Я. К решению плоской контактной задачи теории упругости при наличии сил сцепления или трения. // Изв. АН АрмССР. Сер.физ.-мат., 1963. Т. 16. №2. С.15-32.

173. Попов Г.Я. Плоская контактная задача теории упругости с учетом сил сцепления или трения. // ПММ. 1966. Т.30. Вып.З. С.551-653.

174. Попов Г.Я., Ростовцев Н.А. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. // Труды 2-го Всесоюзного съезда по теор. и прикл. мех. Москва: Наука. 1966. вып. 3. С.235-253.

175. Попов Г. Я. О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости. // ПММ. 1969. Т. 33. № 3. с. 518-531.

176. Попов Г.Я.,Слободянюк А.П. Плоская задача для линейно-деформированного основания при наличии нескольких участков контакта. // Изв. АН СССР. МТТ.1972. №4. С.152-162.

177. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. Киев: Вища школа. 1982. 167 с.

178. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука. 1982. 344 с.

179. Попов Г.Я. Вклад одесских исследователей в развитие методов решения смешанных задач МДТТ. //4 Всесоюзн. конф. Смеш. задачи мех. деф. тела. 1989. С.59-60.

180. Попов Г.Я. Об одном новом подходе к задачам о концентрации упругих напряжений возле трещин. // ПММ. 1991. Т.55. Вып. 1. С. 148-151.

181. Приварников А.К., Шевляков Ю.А. Контактная задача для многослойного основания. //Прикл. мех-ка. 1962. Т.8. Вып. 5. с. 508-515.

182. Приварников А. К. Граничные задачи теории упругости для многослойных оснований простой исложной структуры. // Автореферат докт. диссертации. Днепропетровск. 1982.

183. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. 1981. Москва: Наука. 800 с.

184. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. 1983. Москва: Наука. 752 с.

185. Прусов А.И. Смешанная задача теории упругости для изотропной полосы, лежащей на жестком основании. // Весщ АН БССР. Сер.физ.-мат.н. 1991. №2. С.109-113.

186. Прусов И.А. Об одном решении первой и второй основных задач теории упругости для полосы, лежащей на упругой полуплоскости. // Изв. АН СССР. ОТН. Сер. мех.и маш. 1964. №4. С.102-107.

187. Прусов И.А. Некоторые интегральные уравнения для многосвязной полуплоскости и кусочно-однородной плоскости.

188. Прикл. мех-ка. 1969. Т.5. Вып.З.

189. Развитие теории контактных задач в СССР. Под ред. JI.A. Галина. Москва:Наука. 1976. 493 с.

190. Рвачев B.JL, Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. // Киев: Наукова думка. 1977. 230 с.

191. Ростовцев Н.А. К решению плоской контактной задачи. // ПММ. 1953. Т.17. Вып. 1. С.99-106.

192. Ростовцев Н.А. К теории упругости неоднородной среды. // ПММ. 1964. Т.28. Вып.4. С.601-609.

193. Руководство по расчету и проектированию зданий и сооружений на подрабатываемых территориях. Москва: Стройиздат. 1977. 144 с.

194. Савин Г.Н. Давление абсолютно жесткого штампа на упругую анизотропную среду. // Докл. АН УСССР. ОТН. 1939. № 6.

195. Савин Т.Н. О некоторых контактных задачах теории упругости. // Труды Тбилисского математического института. 1946. Т.14.

196. Савин Т.Н. Концентрация напряжений около отверстий. Москва-Ленинград: Гостехиздат. 1951. 496 с.

197. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий.

198. Киев. Наукова думка. 1968. 887 с.

199. Слепян Л.И. Механика трещин. Ленинград: Судостроение. 1981. 296 с.

200. Слейтер Л.Дж. Вырожденные гипергеометрические функции. М. ВЦ АН СССР. 1966. 249 с.

201. Сметанин Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое. // Инженерный журнал. МТТ. Изд-во Наука. 1968. №2. С. 115121.

202. Сметанин Б.И. Две щели в полосе конечной толщины. // ПММ. 1970. Т.34. Вып.2. С.366-369.

203. СНиП П-8-78. Здания и сооружения на подрабатываемых территориях. Нормы проектирования. Москва: Стройиздат. 1979. 24 с.

204. Снеддон И. Преобразования Фурье. Москва:ИЛ.1955. 668 с.

205. Снеддон И., Берри Д. Классическая теория упругости. Москва: Физматгиз. 1961. 219 с.

206. Соболев С.Л. Алгоритм Шварца в теории упугости. // Докл. АН СССР. 1936. Т.4(13). №6(110). С.235-238.

207. Соловьев А.С. Об одном интегральном уравнении и его приложениях к контактным задачам теории упругости с учетом сил трения и сцепления. // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып.6. С. 1042-1050.

208. Сомов Н.И. Решение смешанной статической задачи теории упругости для бесконечной полосы. // Изв. АН СССР. ОТН. Сер.мех.и маш. 1958. №2. С.136-142.

209. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Под ред. Муракали. Москва. Мир. 1990. 752 с.

210. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. // Под ред. М. Абрамовича, И.Стиган. Москва:Наука. 1979. 870 с.

211. Ставницер Л. Р. Деформации оснований сооружений от ударных нагрузок. Москва. Стройиздат. 1969. 126 с.

212. Статические и динамические задачи теории упругости. // Ростов на Дону: Изд-во РГУ. 1983. 264 с.

213. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Москва: Наука. 1976. 327 с.

214. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. Москва: Наука. 1975. 576 с.

215. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука. 1986. 285 с.

216. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Смешанные задачи механики односвязного тела. // 4 Всесоюзн. конф. „Смеш. задачи м.д.т.т." 1989. с. 109.

217. Тоноян B.C. О вдавливании двух жестких штампов в полуплоскость. // Докл. АН АрмССР. 1964. Т.17. №2. С.81-86.

218. Тоноян B.C. Контактная задача для бесконечной полосы с двумя участками контакта. // Изв. АН АрмССР. Мех-ка. 1968. Т.21. №5-6. С.21-31.

219. Туебаев М.К., Казешев А.К. О регулярности разрешающей системы уравнений метода наложения в задачах теории упругости кусочно-однородных сред, ослабленных отверстиями. // Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат. 1979. №3. С.75-77.

220. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Ленинград: Наука. 1967. 402 с.

221. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Москва-Ленинград: Физматгиз. 1963. 734 с.

222. Фадеев А.Б., Клещев П.Е., Жусупбеков А.Ж. Исследование изменения несущей способности и податливости подрабатываемых оснований. // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1986. №2. С.21-23.

223. Фадеев А. Б., Драновский А. Н. Подземные сооружения в промышленном и гражданском строительстве. Казань. 1993. 354 с.

224. Файнбурд В.М. Контактные задачи теории упру-гости.Москва: Наука. 1975. 58 с.

225. Фалькович С.В. О давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость при наличии участков сцепления и скольжения.

226. ПММ. 1945. Т.9. Вып.5. С.425-432.

227. Филатов А.И. Осадки фундаментов зданий и сооружений при растяжений массива грунта от воздействия выработок. // Уголь Украины. 1993. №12. 41 с.

228. Флорин В.А. Определение напряженного состояния упругого основания. // Сб. Гидростройпроекта. Вып.1. М.: Госэнергоиздат. 1936. С.21-34.

229. Флорин В.А. Расчет оснований гидротехнических сооружений. Москва: Стройиздат. 1948. 188 с.

230. Форсайт Дж.,Малькольм М., Модлер К. Машинные методы математических вычислений. Москва: Мир. 1980. 280 с.

231. Фотиева Н.Н., Лыткин В.А. Влияние проведения круговой выработки на работу близко расположенного фундамента. // Физ. техн. пробл. разр. полезн. иск. Новосибирск. 1971. №6. С.20-27.

232. Хайтметов С. Вдавливание жесткого штампа в полуплоскость с круговым отверстием. // Труды Самаркандского Гос. Ун-та. 1973. Вып.239. С.60-63.

233. Хайтметов С. К вопросу о вдавливании штампа в полуплоскость с включением. // Труды Самаркандского Гос.Ун-та. 1975. Вып.279. С.133-143.

234. Христианович С.А. Об обрушении кровли при горных выработках. // Изв. АН СССР. ОТН. 1955. №11. С.73-86.

235. Цейтлин А.И. О методе парных интегральных уравнений и парных рядов и его приложениях к задачам механики.// ПММ. 1966, Т.30. Вып.2. С.259-263.

236. Цейтлин А.И. Об одном классе парных интегральныхуравнений. //Дифф. уравнения. 1966. №8. С.1134-1138.

237. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа. 1979. 272 с.

238. Цытович Н.А., Тер-Мартиросян З.Г. Основы прикладной геомеханики в строительстве. Москва: Высшая школа. 1981. 318 с.

239. Чаплыгин С.А. Давление жесткого штампа на упругое основание. // Собрание сочинений. Т.З. Москва-Ленинград: Гостехиздат. С.317-323.

240. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. Москва-Ленинград: Изд-во АН СССР. 1947. Т.2. 520 с.

241. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. Москва-Ленинград: Изд-во АН СССР. 1948. Т.З. 414 с.

242. Черепанов Т.П. Решение одной линейной краевой задачи Римана для двух функций и ее приложение к некоторым смешанным задачам теории упругости. // ПММ. 1962. Т.26. Вып.5. С.907-912.

243. Черепанов Т.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами. // Изв. АН СССР. Сер. Мех-ка и машиностр. 1962. №1. С.131-137.

244. Шагапов С.Е., Муллер Р.А., Марков В.В. Защита и подработка зданий и сооружений. М.: Недра. 1974. 256 с.

245. Шевляков Ю. А. Приварников А. К. К расчету слойстых оснований. // Прикл. мех-ка. 1962. Т. 8. № 2. с. 113-119.

246. Шевляков Ю. А., Наумов Ю. А., Чистяк В. И. К расчету неоднородных оснований. // Прикл. мех-ка. 1968. Т. 4. вып. 9.

247. Шегенова Ж.Б. Аналитическое исследование сдвижения земной поверхности над тоннелями. //Автореферат канд.дисс. Алматы.1971. 19 с.

248. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости со смешанными предельными условиями. // Труды Сейсмологи-ческого ин-та АН СССР. 1938. Вып.88. 32 с.

249. Шерман Д.И. Упругая плоскость с прямолинейными разрезами. // Докл. АН СССР. 1940. Т.26. Вып.7. С.635-638.

250. Шерман Д.И. Смешанная задача теории потенциала и теории упругости для плоскости с конечным числом прямолинейных разрезов. // Докл. АН СССР. 1940. Т.27. Вып.4. С.330-334.

251. Шерман Д.И. К решению плоской статической задачи теории упругости при заданных внешних силах. // Докл. АН СССР. 1940. Т.28. Вып.1. С.25-28.

252. Шерман Д. И. Основные плоские и контактные ( смешанные) задачи теории упругости. В кн. "Механика в СССР за 30 лет": М.-Л. Гостехиздат. 1950. с. 192-225.

253. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости. // Труды Всесоюзного съезда по теор. и прикл. мех. Москва. 1962. С.405-409

254. Шехтер О .Я. Расчет бесконечной фундаментной плиты, лежащей на упругом основании конечной и бесконечной мощности и нагруженной сосредоточенной силой. // Труды НИС Фундаментстроя. 1939. №10. С.4-9.

255. Шехтер О.Я. О влиянии мощности слоя на распределение напряжений в фундаментной балке. // Труды НИС треста глубинных работ. М.: Госстройиздат. 1939. №10. С.9-12.

256. Шехтер О.Я. К расчету фундаментных плит на упругом слое грунта конечной мощности. // М.: Стройвоенмориздат. 1948. №11.

257. Шилов Г.Е. Математический анализ. Москва: Физматгиз. 1960. 388 с.

258. Ширинкулов Т.Ш. Методы расчета конструкций на сплошном основании с учетом ползучести. Ташкент: ФАН. 1969. 201 с.

259. Ширинкулов Т.Ш. Расчет инженерных конструкций на упругом неоднородном основании. Ташкент: ФАН. 1970. 179 с.

260. Ширинкулов Т.Ш. О взаимодействии инженерных конструкций с деформируемым основанием. // Стр-во в России: прогресс науки и техники. 1993. №1. С. 141-143.

261. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. Москва-Ленинград: Изд-во технич. и теорет. литературы. 1949. 272 с.

262. Юшин А.И. Особенности проектирования фундаментов зданий на основаниях, деформируемых горными выработками. Москва: Стройиздат.1980. 136 с.

263. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Москва: Наука. 1977. 344 с.

264. Adams G.G. A rigid punch bonded to a half-plane. // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1979. 46. №4. P.844-848.

265. Ahn H.S., Roylance B.J. Stress behaviour of surfacecoated materials in concentrated sliding contact. // Surface and Coat. Technol. 1990. 41. №1. P.1-15.

266. Beer G., Poulsen B.A. Analysis of „infinitely long" excavations using finite and boundary elements. // Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1994. 18. №6. P.417-426.

267. Bialek Jan. Application of the composition of two or more subsidence troughs calculated after the S.KnotheAs equation to the description of results of field observations. // Rud.-met. zb. 1995. 42. №1-2. P.19-27.

268. Carleman T. Uber Neumann-Poincareshe Probleme furein Gebiet mit Ecken. //Uppsala. 1916.

269. Carleman T. Sur lu resolution de certaines equations integrates.

270. Arkiv for Mathematick, Astronomi, Fisyk. 1922. B.16. № 26.

271. Chen W.T., Ehgel P.A. Impact and contact stress analysis in multilayere media. // „Int. J. Solids and struct.". 1972. 8. №11. P.525-518.

272. Dimova Vesselina. Same direct and inverse problems in land subsidence theory. // IAHS Puble. 1995. №234. P. 269-275.

273. Ed. Dulacska E. Soil Settlement Effects on Buildings. //Akad. kiado. Budapest. 1992. XVI. 447 p. ISBN 963-05-6018-6.

274. Forth R.A., Thorley C.B. Ground and building settlement du to tunneling in Hond Kong. // IAHS Publ. 1995. №234. P. 149-160.

275. Gladwell G.M.L. Contact Problems in the Classical Theory of Elasticity. // Alphen aan den Rijn: Sijthoff and Noordhoff. 1980. 263 p.

276. Hao Tian-Hu, Wu Yong-Chang. Plane problem of elastic body embedded with inhomogeneity. // Eng. Fract. Mech. 1989. 34. №3. P.703-708.

277. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elastischer Korper. Gesammelte Werke. t.l. 155 p. Leipzig. 1895. (впервые опубликовано в „Journ. fur reine und angew. Math. (Crelle)". 92. 156 p. 1882.).

278. Kripakov N.P., Beckett L.A., Donato L.A., Durr J.S. Computer-assisted mine design procedures for longwall mining. // Rept. Invest. Bur. Mines US Dep. Inter. 1988. №9172. P. 1-38.

279. Miller G.R., Keer L.N. Interastion between a rigid indenter and near-surface void or intrusion. // „Trans. ASME. J. Appl.mech.". 1983. 50. №3. P.615-620.

280. Milovic Dusan. Proracun napona u tlu ispod traka stog temelja udvoslojnom sistemu. // "Irgradnja". 1987. 41. №9. P.5-10.

281. Sadowsky M. Zweidimensionale Probleme der Elastizitats theorie. Zeitschr. Fur angew. Math, und Mech. (ZAMM). 1928. Bd.8.

282. Singh R.P., Yadav R.N. Subsidence due to coal mining in India. // IAHS Puble. 1995. №234. P.207-214.

283. Ukadgaonker V.G., Awasare P.J. A novel method of stress analysis of infinite plate with circular hole wiht uniform loading at infinity.

284. Indian J. Technol. 1993. 31. №7. P.539-541.

285. Айталиев Ш.М., Туебаев М.К., Отарбаев Ж.О. Взаймодействие зух штампов, жестко сцепленных со слоистой полуплоскостью,ослабленной круговым отверстием. -Алма-Ата, "Изв.АН КазССР,серия >из-мат. ", 1985, Jfc 5, с.66-69.

286. Туебаев М.К., Отарбаев Ж.О. Взаимодействие двух плоских тампов, жестко сцепленных с упругой полуплоскостью.- Алма-Ата, 985,19с.- Рукопись представлена ред.ж. "Изв.АН КазССР; серия )из-мат." -Деп. в ВИНИТИ 18.01.85, № 1788-85.

287. Туебаев М.К., Отарбаев Ж.О. Упругое равновесие двухслойной юлосы, находящейся под действием штампов и уравновешивающих устий. Алма-Ата,1985,22с. -Рукопись представлена ред.ж. "Изв.

288. Л КазССР,серия физ-мат.'. Деп. в ВИНИТИ 28.08.85, .№ 6306-85.

289. Отарбаев Ж.О. Действие штампов на круппнослоистую полу-шоскость с ослаблениями: Дис. . канд.физ.-мат.наук.-Алма-Ата, :986, 169 с.

290. Форсайт Дж.Малькольм М.,Моулер К.Машинные методы математических вычислений.- Мир,1980, 280 с.

291. Математическое обеспечение ЕС ЭВМ, выпуск 12, 1977 г. Динск,Институт математики АН БССР.