Контактные и смешанные задачи для однородных и неоднородных упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ТОНОЯН ВЯАДИШР СЕРГЕЕВИЧ

КОНТАКТНЫЕ И СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Москва 1992

Работа выполнена в Институте механики АН Армении Официальные оппоненты:

член-корреспондент АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор В.Т.Гринченко

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Александров

доктор физико-математических наук, профессор А.С.Кравчук

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механи] и прикладной математики при Ростовском государственном университете

Защита состоится _ 199^г. в 1 ^ часов

На заседании специализированного совета Д. 002.87.01 при Кнс-туте проблем механики РАН по адресу: II7526, Москва, проспект Вернадского,101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН

Диссертация в форме научного доклада разослана

Ученый секретарь специализированного совета,

к.ф.м.н. , . __ у, А.И.Меняйлов

У- __

, ..............""I

V 1 .

- 3 -

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

стуальность теш. Развитие ново! техники ставит перед наукой прочности и жесткости конструкционных материалов, в том числе перед механикой деформируемого твердого тела, новые за дата, вязанные с повышением прочности, долговечности конструкций и э снижением металлоемкости элементов машин и конструкций. Для еализации таких задач необходима разработка новых методов оцре-еления работоспособности материалов, увеличения прочности и ивучести машин и сооружений подвергающихся воздействию стати-еским (динамическим) нагружениям.

В последние годы важным предметом исследования стал вопрос шределения взаимовлияния разнообразных упругих элементов хонс-:рукци! и деталей машин, имеющих сильно нагруженные узлы, и кон-¡енграторы напряжений типа разрезов, щелей, отверстий, угловых :очек, с концентраторами напряжений других типов, каковыми яв-шются, штампы, инородные включения, усиливающие ребра, разного зода подкрепления. Исследование вопросов взаимодействия деформируемых тел с концентраторами напряжений указанных типов сводимся к рассмотрению в рамках теории упругости контактных и сделанных задач механики депортируемого твердого тела. Такие задачи часто встречаются в машиностроении при расчетах контактной прочности и оценки долговечности различных машин л их деталей, в строительной механике при расчете фундаментов зданий, мостов, плотин и разнообразных гидротехнических сооружений, при проектировании авиационных конструкций, в технологии сварочных и заклепочных соединений, аэродромных и дорозшх покрытий, в измерительной технике, в вопросах предотвращения развивающихся в конструкциях трещин и в других областях прикладной механики.

Исследованию этих вопросов посвящен ряд работ как советс! так и зарубежных исследователей. В работах диссертанта предст лен достаточно обширны! обзор по этой проблеме, включающий а> лиз и синтез результатов, связанных с определением контактно! напряжения, коэффициентов интенсивности концентрации напряжен установлением причины зарождения трещины у вершин этих конце^ раторов, а также ее распространения в упругом теле. Подчерки! ется фундаментальный вклад советских ученых в исследование вс росов теории контактных и смешанных задач механики деформируе мого твердого тела и развитие этой науки. Отмечаются работы Б.Л.Абрамяна, А.Я.Александрова, В.М.Александрова, Н.Х.Арутюня В.А.Бабешко, А.А.Баблояна, Р.Д.Бакцури, Г.И.Баренблагта.А.В.Е локоня, Н.М.Бородочева, И.И.Воровяча, Л.А.Галина, Р.В.Гольдшт на, Й.Г. Горячевой, С.С.Григоряна, Д.В.Грилицкого, В.Т.Гринчен В.С.Губенко, В.М.Ентова, А.Б.Ефимова, А.А.Ильюшина, А.Й.Калан дия, В.В.Коваленко, А.С.Кравчука, Н.Н.Лебедева, А.И.Лурье, М.Д.Мартыненко, Н.Ф.Морозова, В.Й.Моссаковского, Н.И.Мусхелиш-вили, С.М.Мхитаряна, С.А.Назарова, Л.В.Никитина, В.С.Никишина Б.М.Нуллера, В.В.Панасюка, В.З.Партона, П.И.Перлина, А.К.Прй-варникова, В.К.Прокопова, Г.Я.Попова, В.С.Проценко, В.Л.Рваче] И.М.Рапопорта, Н.А.Ростовцева, Г.Н.Савина, М.П.Саврука, Р.Л.С; гакика, В.С.Саркисяна, В.И.СеЛмова, Б.И.Сметанина, Я.С.Уфляндг Л.А.Фильштинского, А.А.Храпкова, М.Й.Чебакова, Г.П.Черепанова, К.С.Чобаняна, Г.С.Шапиро, Д.Й.Шермана, И.Я.Штаермана и др. Однако, несмотря на довольно обширную библиографию работ в этс направлении еще мало исследованы вопросы о контактной взаиш-

действии жестких ала упругих элементов с упругими телами, имеющими концентраторы напряжения типа трещин (разрезов,щелей), отверстий, инородных включений, в постановке плоской и пространственной зада1? теории упругости. Недостаточно исследованы задачи, посвященные контактному взаимодействии двух упругих элементов конечных размеров с известной и неизвестной зоной контакта.

Поэтому необходимо в точной математической постановке теории упругости в достаточно широком диапазоне изменения физических и геометрических параметров выяснить характерные закономерности напряаенно-деформированного состояния тел с ослаблениями, а такяе взаимодействия между собой двух контактирующих тел, когда одно из них тлеет дефекты в виде разреза, щелей, инородные включения ши полости, и подучить расчетные формулы для определения размеров области контакта и контактных напряжений, а так-зе установления условий для определения тег размеров разреза, при которых трещина не будет развиваться.

Решению этих вопросов, составляющих актуальную научно-техническую проблему, которая имеет важное значение для народного хозяйства, посвящена данная диссертация.

Цель исследования. Цель» исследования является разработка математического аппарата построения решений тройных, парных, уравнений/ систем тройных, парных интегральных и рядовых уравнений, наиболее часто встречающихся в контактных и смешанных задачах механики деформируемого твердого тела, а также в смежных областях математической физики и на его основе:

Г) исследование плоских и пространственных задач контактного взаимодействия жестких или упругих элементов с однородными и

- G -

* неоднородными упругими телами;

2) предложение эффективных методов решения контактных задач о вдавливании штампов различных геометрических форм в однородные и неоднородные упругие основания, ослабленные вертикальными, конечными и полубеоконечными, разрезами, в постановке линейной теории упругости, а такяе формулировка условий распространения разрезов или щелей в токой среде; рассмотрение взаимодействий двух или трех упругих тел конечных размеров с неизвестной зоной контакта.

Научная новизна заключается в следующем:

а) единым методом тройных, парных, систем тройных, парных интегральных и рядовых уравнений, проведено систематическое исследование широкого класса задач о взаимодействии яестких, или упругих элементов различных геометрических форм с однородными и неоднородными деформируемыми телами;

б) впервые рассмотрены плоские и пространственные задачи о вдавливании жестких штампов различных геометрических форм в однородные и неоднородные упругие основания, ослабленные вертикальными разрезами, а такяе о взаимодействии двух или трех уцру-гих конечных тел с неизвестной зоной контакта;

в) дан новый подход решению тройных, парных уравнений, системы тройных, парных интегральных и рядовых уравнений каковыми являются методы постановок регуляризация и преобразующих операторов;

г) вблизи краев разреза, на продолжении их линии получены формулы для определения напряжений и коэффициентов их интен-с" шости , являющихся основными параметрами теории

хрупкого разрушения.

Достоверность проведенных исследований подверздается строгой математической постановкой краевых задач, применением точных и строго обоснованных аналитических методов для решения разрешающих интегральных уравнений, исследованием на регулярность эквивалентных им интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода и бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, а также совпадением частных случаев полученных решений с ранее известными.

Научное значение и практическая ценность состоит в создании эффективных аналитических методов решения довольно широкого класса контактных и смешанных задач и разработке на этой основе практических инженерных методов для оценки прочности и долговечности элементов конструкций, встречающихся в разнообразных областях прикладной механики и инженерной практики. Исследование основных краевых задач теории упругости для несимметрично деформируемого неоднородного тела вращения проведено совместно с Московским институтом теплотехники с целью применения полученных результатов в новых слоистых цилиндрических конструкциях.

На защиту выносятся следующие основные положения: при помощи бигармонических функций Эри. Лява и гармонических функций Папковича-Нейбера решены задачи о контактном взаимодействия жестких или упругих элементов с массивными деформируемыми однородными и неоднородными телами:

Массивные тела моделируются в виде квадранта, полосы, полуплоскости, полупространства, круглого сплошного конечного цилиндр полуплоскости и полосы с прямолинейными вертикальными

разрезами, полупространства с цилиндрическими разрезами. Считается что для них напряженно-деформируемые состояния описываются обычными уравнениями линейной теории упругости.

В рамках принятых предпосылок рассматриваемые задачи математически формулируются в виде тройных, парных уравнений, систем тройных, парных интегральных и рядовых уравнений. Определяющие тройные, парные уравнений и системы, тройных, парных интегральных и рядовых уравнений решаются методом подстановки, регуляризации к преобразующих операторов.

В результате применения этих методов исходные уравнения или решаются в замкнутом виде, причем решения выражаются в квадратурах, или сводятся к интегральным уравнениям типа Фредгольма второго рода, или же сводятся к бесконечным системам линейных алгебра ических уравнений. Проводится исследование интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода и бесконечных систем на регулярность, что обуславливает применимость метода редукции, при помощи которого и получаются численные результаты.

Личный вклад автора В представленной работе изложены результаты многодетных (свыше 30 лет) исследований автора, выполненных им в Институте механики АН Армении. Основные научные результаты получены автором самостоятельно, а некоторые конкретные задачи решены шесте с другими сотрудниками, многие из которых являются учениками автора. Случаи, когда использованы результаты других авторов в опубликованных работах отмечены со-ртветствующими ссылками с указанием литературы.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладываете!?*— На семинарах отдела теории упругости Института механики I АН Армении; I

На П, Ш, У1 и УП Всесоюзных съездах по теоретической и

прикладной механике (Москва, 1984, 1968, 1991, Ташкент, 1986);

- На Международном симпозиуме по механика сплошной среды и родственным вопросам анализа (Тбилиси, 1991);

- На Всесоюзных конференциях, симпозиумах, семинарах, школах и совещениях: 1-1У Всесоюзных конференциях "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Ростов-на-Дону, 1977, Днепропетровск, 1981; Харьков, 1985, Одесса, 1989);

I и П Всесоюзных конференциях по теории упругости (Ереван, 1979, Тбилиси, 1984), 1У Всесоюзной конференции по прочности я пластичности (Москва, 1967); Всесоюзном конференции по механике сплошных сред (Ташкент, 1979), I Всесоюзном конференции по механике неоднороднйх структур (Львов, 1983), Всесоюзной зимней школе по контактным задачам (Арзакан,1976) Шкоде-семинаре по теории упругости и вязкоупругостн (Цахкад-зор, 1982); Выездных заседаниях по современным проблемам теории контактных взаимодействий (Ереван, 1988, Ростов-на-Дону, 1990);

- На республиканских конференциях, семинарах: Республиканской научно-технической конференции по методике преподавания математики и механики в ВУЗЕ (Ереван, 1983); Расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. Н.Н.Векуа (Тбилиси, 1989, 1991);

Семинарах Института проблем механики РАН (Москва, 1964,1971,1977)

Публикации. Основные результаты научного доклада опубликованы в форме 39 печатных работ, в том числе одного сборника (коллектив авторов) напечатанных в периодических изданиях АН СССР,АН Грузии,АН Армении, Вузов Армении.

I. КОНТАКТНЫЕ И СИЕПШЫБ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАДРАНТА, П01ССЫ т-1 НЕОДНОРОДНО,! ПОЛУПЛОСКОСТИ¿1-9]

Исследуются контактные и смэпанные задачи плоской теории упругости для однородного квадранта, полосы к для неоднородной полуплоскости. Основанием для решения указанных задач является создание математического аппарата, с помощью которого ыолно упростить процесс получения количественных результатов о напря яенном состоянии в теле и, таким образом, перейти к оценке его прочности и долговечности. Таким аппаратом является метод троЗ них, парных интегральных и рядовых уравнений.

1.1. Контактные задачи для упругого квадранта ^1-4]

Рассматриваются задачи для жесткого штампа с произвольным контуром основания,приложенного к горизонтальной границе упругого изотропного квадранта. Предполагается, что трение под шта: пом отсутствует, а вертикальная граница либо свободна от внепн нагрузок, либо защемлена, либо на ней заданы условия симметрии Последний случай относится к задаче для двух одинаковых яестки штампов общего типа, приложенных к прямолинейной границе упругой изотропной полуплоскости, рассмотренной ранее другая методом Л.А.Галиныи.

Решения этих задач представляются в виде суммы интегралов Фурье с неизвестными функциями интегрирования. Определение функций интегрирования для первых двух задач сводится к решении системы, состоящей из "тройных" интегральных уравнений следующего вида

и ллтегрэдъкого ураэкеши типа Фре/о-одёпа атсрого рода, а сре^ьел ?;зда-::< .с "тройных' '.;нтегр2.гьнгх уравнений. типа

I г Э ¿СГССыХ ¿3 ":'?•"!?? ''ФЗС { с', и"*

7™;н.::е 'трс^'к:;::' ::;г:егралыас: 7рззнвг:и%. "лр:: .тс::о;:рг спбшгальнс-гс . лшвзденпо?.) ь засотв Г П , годится згдачв опредедг-

- ЧРС'Э) о .< ^ Д ,, сел Я л Э - Ф (

где гтл пзргдх ивух садзч Сесеться я,,-I , а для гсетьат

?епеш:з "парных" трдгснометрячесгсн ураг.чзяггл (£}, пр:: пеждд метода доопределения и преобразования Аб-эдя, дается в залкнугом звде. Причем для первых двух задач Дп взрзаашея через орду лелзвестнуп функции иктегряровашм. Для определения с-тпх неизвестных функций в калщем рассмотренном случае получается интегральное уравнение тша Фредгодила второго реда. Доказывается разрешимость этого интегрального уравнения. Третья задача рё-зается в замкнутом вице. Получены формулы для определения нормального контактного напряжения под подешв.ой штампа и нормального перемещения вне штампа, для третьей задачи приведен численный расчет. Результаты представлены в виде графиков и таблиц. Зти работы были представлены на П Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике [4] .

А а о

ши

О. 01 у

1.2. Контактная задача для бесконечной упругой полосы с двумя участками контакта [5,6}

Исследована задача о давлении в условиях гладкого контакта жесткого штампа нормальной силой "р на верхнюю границу упругой изотропной бесконечной полосы, когда на двух полубесконечных участках нижней границы, расположенных вне проекции штампа, предполагается скользящая заделка. Задача решена методом Фурье. Решение задачи представлено в виде интегрального разложения Фурье с неизвестными функциями интегрирования, подлежащими определению из граничных условий.

Удовлетворяя граничным условиям, для определения функций интегрирования получена система из "парных" интегральных уравнений: со

^ - К*)

о

О+^^^СС^аллосск-О аос< <*>

оо

С ф]соЦЬс<к=0 о«<а

о ь оа

В работе ] подробно построено решение таких систем. При юмощи интегрального представления Пуассона для функции Бес-;еля через тригонометрические функции и интегрального уравнения Меля решение системы (3) сведено к решению системы интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода. Доказана разрешимость этой системы. Получены выражения нормальных контактных яапрязениЗ посредством неизвестных функций полученной системы интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода с выделенной особенностью их поведения у концов зоны, контакта. В частном случае, переходя к пределу, когда толщина полосы стремится к- бесконечности получим замкнутое решение задачи о давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость, рассмотренную в работах многих авторов. В качестве примера рассмотрена задача вдавливания жесткого штампа с плоским основанием. Нормальные контактные напряжения вычислены для различных значении ( 0.- ширина штампа, К - толщина слоя) и представлены, в виде графиков. Как показывают произведенные вычисления и построенные графики, законы, распределения нормальных контактных напряжений для полосы и полуплоскости существенно отличаются друг от друга в том случае, когда относительная ширина, полосы довольно узкая ( £-1» ; 1^3 ). Закон распределения этого же напря-

жения для полосы качественно совпадает с законом распределения соответствующего напряжения для полуплоскости при довольно

широкой полосе ( $ 1 ¡5 ). Это заключение проверено опытом, проведенным в лаборатории фотоупругости Института механики АН Армении.

Работа доложена на Ш Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике [б]

1.3. Контактные задачи для упругой неоднородной полуплоскости [7-9]

В настоящем параграфе данц решения двух задач о давлении яесткого штампа с основанием произвольной формы, приложенного на части горизонтальной границу, упругой составной полушюскоо В первой задаче полуплоскость состоит из двух однородных и изс тройных квадрантов с различными упругими свойствами, линия ра: дела которых перпендикулярна общей границе полуплоскости, во второй задаче полуплоскость состоит из трех однородных и изотропных частей: двух квадрантов и полуполосы мевду ними, при этом квадранты изготовлены из одного материала, а полуполоса -из другого материала.

На границе полуплоскости приложен жесткий штамп с гладким основанием так, что штамп находится одновременно на всех материалах и расположен несимметрично в первой и симметрично во второй задаче. Предполагается, что трение мевду штампом и материалами отсутствует. Для простоты принимается также, что граница полуплоскости вне штампа свободна от внешних усилий. Обе задачи решены. методом Фурье. Решение задачи в области квадранта ищется в ввде суммы интегралов Фурье с неизвестыми плотностями, а в области полуполосы суммы интеграла и ряда Фурье с неизвестными плотностями и коэффициентами разложения. Эти плотности и коэффициенты. определяются из граничных условий и условий контакта. Удовлетворяя граничным и контактным условиям, определение неизвестных плотностей и коэффициентов в первой задаче сводится к решению системы, из "парных" интегральных уравнений вида (3), а во второй - к решению системы, состоящей из "парных" интегральных уравнений и интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода.

оо

О

\ оо (4)

$ <*?Я № а «и -- й сз) в-< 3 < 00

о

ч

В работах [7,83 подробно изложены методы, решения этих уравнений. Окончательно первая задача сводится к решению системы из интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода, а вторая задача к решеюш одного интегрального уравнения типа Зфедгольма

второго рода. Доказывается разрешимость этих уравнений. Получены формулы для определения нормальных напряжений под штампом с выделенной особенностью, перемещений вне штампа и коэффициентов интенсивности напряжений . Из обеих задач для частного случая, когда Е, - Н ? ) ^ ~ 1 = Б первой,

Еч^Еп' • ~ О ■ ВО второй, получим решение задачи

\ 2 » 2

о вдавливании яесткого штампа симметричного очертания в упругую однородную полуплоскость, совпадающее с решением, получен ним М.А.Садовским.

Здесь - модули упругости, ^ - коэффициенты Пуассона,

СЦ - размеры зоны, контакта _>ширина полуполосы. Из условия непрерывности нормальных напряжений получены трансцендентные уравнения для определения зон контакт.

В качестве примера вычислены зоны контакта когда у-

в зависимости от отношения • Эти

зоны соответственно определяются отношением О^сцг 1 • Работа доло&ена на IV Всесоюзной конференции по прочности и пластичности [9} •

П. СМЕШАННЫЕ И КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДНЯ КВАДРАНТА, ПОЛОСЫ И ПОЖШОСКОСТИ С ВЕРТИКАЛЬНЫМИ РАЗРЕЗАМИ ¡10-24^

Важное место среди задач теории упругости занимают плоские задачи для тел, имеющих трещины, щели или полости, которые сос тавляют. основу механики хрупкого разрушения. Практическое применение. решений задач о трещинах обусловлено таете проектирова нием' различных строительных конструкций, имеющих узкие прямоугольные отверстия, которые с достаточной точностью могут быть

аменены в расчетах математической трещиной, например, стеновые анели, имеющие узкие проемы, или щелеввдные отверстия. Среда ногочисленных задач.плоской теории упругости особое место зани-ают контактные задачи с трещинами-разрезами и включениями.:3ти адачи встречаются в современном машиностроении, фундаменто-троении, автомобильном и нелезнодорожном транспорте, практике варочных и клеевых соединений и в других областях прикладной ¡еханики. Поэтому необходимо в точной математической постановке еории упругости в достаточно широком диапазоне изменения физи-[еских и геометрических параметров выяснить характерные законо-герности напряженно-деформированного состояния тел с ослабления-га, а также взаимодействия мезду собой двух контактирующих тел, >дно из которых тлеет дефекты в виде разреза, получить расчет-ше формулы для определения размеров области контакта, коэффициентов интенсивности концентрации и вычисления контактных напряжений, получить такяе формулы для определения тех размеров разреза, при которых трещина не будет развиваться. Настоящий раз-цел посвящен упомянутого круга задачам для упругих тел в виде квадранта, полосы и полуплоскости с вертикальным разрезами. Зсе приведенные в разделе задачи решаются единым методом-методом гарных, тройных,систем парных, тройных интегральных и рядовых уравнений.

2.1. Первая основная задача теории упругости для полуплоскости с вертикальными разрезами (Смешанная задача для квадранта) 10-15] ~~

Рассматривается первая основная задача для упругой изотропной полуплоскости, ослабленной вертикальным конечным разрезом,

выходящим на границу полуплоскости или находящимся на конечном расстоянии от нее. На горизонтальной границе полуплоскос ти и на берегах разрезов задан произвольный вектор напряжения. Каждая задача, в зависимости от внешней нагрузки, разделяется на симметричный и антисимметричный, относительно оси разреза, случаи.

В салу симметрии или антисимметрии граничных условий относительно вертикальной оси достаточно рассмотреть только область квадранта со смешанными граничными условиям®. На вертикальной оси. Решения задач представляются в виде суши двух интегралов Фурье с неизвестными функциями интегрирования, подлежащими определению из граничных условии для квадранта. Удовлетворяя граничным условия!,1, для определения функций интегрирования получены сперва "парные" интегральные уравнения типа (4), а затем интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода. Доказывается разрешимость последнего уравнения. Во всех задачах вычислены вектор напряжения на продолжении линии разреза с выделенной особенностью и перемещения берегов разреза.

Получены явные выражения для коэйфшшентов концентраили напряжения вблизи краев разреза. Для всех задач приведены численные расчеты, иллюстрирующие законы распределения нор.мал! ных напряжений вне разреза и перемещений в разрезе, в зависимости от геометрических параметров и внешних действующих нагрузок, заданных на границе полуплоскости и в разрезе. Приведены таблицы и построены графики. Как показывают вычисления и построенные графики во 1>;':х рассмотренных задачах, когда раг рез достаточно далек от границы, напряг£НН0-десТ.0р1.нф0Бацн0е

состояние полуплоскости с вертикальными разрезами качественно совпадает с соответствующими состояниями полуплоскости, не тлеющей разрезов. В случае полуплоскости с конечным разрезом, когда на границе Полуплоскости действует горизонтальная распределенная нагрузка или внутри разреза-нормальное давление, напряжения точек оси симметрии или антисимметрии качественно соответствуют тем же напряжениям для полуплоскости не тлеющей разреза. При наличии нагрузок, распределенных на горизонтальной границе полуплоскости перпендикулярно к ней, напряжения точек оси симметрии существенно отличаются от соответствующих напряжений, возникающих при отсутствии разреза: в случае разреза они образуют растянутую и сжатую зоны. Основные результаты доложены на первой республиканской конференции "Методика преподавания математики и механики в вузе" [12} •

6»

■Л-О^' —,—» ч

а

2.2. Контактные задачи для упругой полуплоскости и полой с вертикальными разрезами [13-19]

В этом параграфе приведены решения задач о давлении жесткого штампа с основанием произвольной формы., приложенного на части горизонтальной границы упругой однородной полуплоскост! или полосы, когда они ослаблены вертикальны™ разрезами. В рг ботах [13,14} рассматривается контактная задача для упругой однородной полуплоскости с вертикальными конечными, полубесконечными и внутренними разрезами. Предполагается, что тренда между штампом и полуплоскостью отсутствует. Разрезы симметрии но расположены по отношению к штампу, на берегах разрезов де4 ствуют нормальные давления. Для простоты предполагается, что вне штампа горизонтальная граница полуплоскости свободна от напряжений. В силу симметрии граничных условий относительно оси разреза можно ограничиться рассмотрением только области квадранта. Как известно решения поставленных задач сводятся к определению одной бигармонической функции в области квадранта при заданных граничных условиях. Решение бигармоничес-кого уравнения ищется в виде суммы двух интегралов Фурье с неизвестными функциями интегрирования. Используя известные формулы для напряжений и перемещений, выражающие через би-гармоническую функцию, и удовлетворяя граничным условиям, для определения неизвестных функций интегрирования для контактных задач с конечным или полубесконечным вертикальным разрезом получим систему "парных" интегральных уравнений в виде (3). Для контактной задачи с внутренним вертикальным разрезом получим систему, состоящую из "парных" интегральных уравнений

■ила (4) л из "'тройных" интегральных уравнений типа (I) только 4 этом случае вместо ^^с1-участвует со-ос^ • Методом ортогонализащпг, решения первых двух задач сводятся к зеиению интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода

С<3

о и

а ддя третьей задачи - бесконечной системы линейных алгебраических уравнений вида

А.¥у»П V

' уу\--1

Доказывается разрешимость полученных уравнений (5) и (б), то есть

со

1 Г I-

'YV, . (б)

доказывается, что

г* I > .

J " ч У Г г, - 4 *

Получены формулы для нормальных напряжений под подошвой штампа я вне разрезов с наделенной особенность®, и для перемещений Ене штата л в разрезах, выраженные через определяемые из уравнений .(5) и (6) величины (г 0е) 1Ш1 Cr а '

ill o-r-h / V-Л (8)

-г о) - d0C 3l <-с)

г-хг

где (гс, о^ - напряжение под штампом, чз^ ^О, напряжение вне разреза ^-(Х) - функции, содержащие С-С^ и заданные граничные функции, гладкие регулярные функции. В част-

ных случаях получены, решения контактных задач для полуплоскости без разреза, квадранта, первой основной задачи для плоскости, ослабленной двумя симметричными полубесконечными горизонталь-

ними и одним конечным вертикальным, или четырьмя симметричными полубеоконечными (двумя горизонтальными и двумя вертикальными) разрезами. Вычислены' нормальные напряжения под штампом и вне разрезов, перемещения вне штампа и в разрезах, а также определены. зоны, контакта при различных значениях геометрических параметров. Результаты, вычислений приведены в таблицах и построены соответствующие графики.

В работе [15] исследуется контактная задача для изотропной полуплоскости, ослабленной прямолинейным разрезом, выходящим на границу полуплоскости перпендикулярно к ней. На конечном участке границы полуплоскости приложен без трения жесткий штамп с произвольным основанием, расположенный не симметрично относительно разреза. Дм простоты принимается также, что граница полуплоскости вне штампа и берега разреза свободны, от внешних усилий.' Бигармонические функции для правого и левого квадрантов берутся разными. Каздый из них берется в виде суммы двух интегралов Фурье с неизвестными плотностями, определяемыми из граничных условий и из условий сопряжения на линии разрезаУдовлет-воряя ятим условиям для определения неизвестных плотностей получаем систему, состоящую из четырех "парных" интегральных уравнений. Решая эту систему методом, приведенным в работах [13,14] получаем систему интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода

О0 00

СЦ а2

Доказывается разрешимость этой системы, то есть показывается справедливость оценок

ОО ^

+ (II)

оО

2

«о

Получены формулы для нормальных напряжений под подошвой штампа и вне разреза и перемещений вне штампа и в разрезе, выраженные через функцию Р, (4Л > ^г (.4:)

><?еЛ ^ с») „2)

где индекс I относится к правому квадранту, а 2 - левому квадранту, О. - длина разреза, С.С-(размеры зоны контакта

функции, выраженные через заданные граничные функции, ЛуД/С (рс) ^регулярные функции.формулы (12) определяют напряжения для заданных длин зоны контакта и разреза

• 2сли эти величины не заданы, то их можно определить из условия непрерывности нормальных напряжений, что выраяается трансцендентными уравнениями

» =0 - (13)

Вычислены напряжения под штампом, вне разреза и перемещении вне штампа и на берегах разреза, а такке определяются зоны контакта, когда основание штампа имеет форму:

^с*) чги-^о-*); 5 х (14)

при значениях х-а/а2 -1; 1/3; Ч* •

Результаты вычислении приведены в та¿лицах и в графиках. Для зон контакта при заданных значениях Л получены следующие значения 0^-0,68а2 ' а1 -0,82а?;а<::0,8?аг. В работах £гб,17} решены те же контактные задачи, что и в работах [13,14 с той разницей, что штамп сцеплен с границей полуплоскости. Ддя полуплоскостей С конечным, или полубесконечным вертикальным разрезом решения методом Фурье сведены к решению систем из трех парных интегральных уравнений, а для полуплоскостей с конечным внутренним вертикальным разрезом - системы, состоящей из двух парных и тройных интегральных уравнений. Эти системы методом ортогонализации и преобразующих операторов, сведены для первых двух задач регулярному интегральному уравнению типа Фредгольма второго рода вида (5), а ддя третьей задачи - к регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений вида (б).. Получены выражения для напряжения под подошвой штампа и вне разрезов с выделенной особенностью с осцилляцией,перемещения определены вне штампа на границе полуплоскости и на берегах разрезов. Вычислены так же коэффициенты при особенностях. Эти работы долояены: на заседаниях школы-семинара по теории упругости и вязкоупругости Ереван 1982, на 1У Всесоюзном конференции "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела" Одесса 1989г. Исследованию контактных задач теории упру-

гости для полосы, с вертикальными разрезами посвящены работы [18,19] . В этих работах рассмотрены плоские контактные задачи для упругой бесконечной полосы (шириной 2 К ) с симметрично расположенными вертикальными разрезами, начиная от границ, или с внутренними периодическими вертикальными разрезами. На границах полосы приложены яесткие штампы с основаниями произвольной форш, симметрично расположенные относительно оси разрезов.Предполагается, что на части границы, вне штатов и в разрезе действуют нормальные напряжения, а силы трения медцу штампами и полосой отсутствуют. В силу симметрии граничных условий относитель-

£

но осей ОЗС, О^ и линии X: £ можно ограничиться для первой задачи рассмотрением подуполосн (шириной К. ) а для второй задачи-прямоугольника (шириной к , длиной 2. ). Обе задачи решаются методом Фурье. Решения первой задачи щегся з виде суммы интеграла и ряда Фурье, а для второй задачи - в виде суммы двух рядов Фурье с неизвестными коэффициентами и функциями интегрирования, определяемых из граничных условий и условий симметрии. Удовлетворяя этим условия!,1 для определения неизвестных функций интегрирования и коэффициентов разложения в первой задаче получена система, состоящая из парных интегральных и рядовых уравнений, во второй задаче - система двух парных рядов - уравнений. Иетодами ортогоналнзации и доопределения первая задача сводится к решению регулярного интегральногоуравнения типа Фредгольма второго рода, а вторая задача - квазивполне регулярных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений вида

<уЭ -оо .

Получены формулы для определения нормальных напряжений под штампами и вне разрезов с выделенной особенностью и перемещении вне штампов и в разрезах,' а также коэффициентов интенсивности. В частном случае получены решения первой основной задачи теории упругости для плоскости, ослабленной вертикально расположенными периодическими конечными разрезами и горизонтально расположенными периодическими полубесконечными разрезами или плоскости ослабленной горизонтально и вертикально расположенными периодическими конечными разрезами.

Вычислены нормальные напряжения под штампом и вне разреза, а также перемещения вне штампа и в разрезе в зависимости от — ¡ ^^гО^^-О. где 2.0.- ширина штампа, 26 - длина разреза, ^ - коэффициент Пуассона, - период. Результаты вычислений приведены в таблицах и построены соответствующие графики. Как показывают вычисления и построенные графики при закон распределения контактных напряжений качественно отличается от закона распределения соответствующего напряжения для полосы без разрезов, перемещения берегов разреза в случае ^<0(5"при любом Л положительны, т.е. разрез расширяется, а в случае ^^перемещения знакопеременны.т.е. в одной части берега разреза расходятся, а в другой сходятся. Что касается перемещений вне штата, то при любых А^ они знакопеременны, т.е. при приближении к кромкам прямоугольника иглеет место расширение. Таким образом, когда разрез приближается к границе, то необходима новая постановка задачи, такая, чтобы в средней части контакта выполнялось условие отрыва. При приближении разреза к границе наблюдается, схождение берегов разреза.

Работа доложена на П Всесоюзном конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск 1981г.)

2.3. O сакивтрлчнш эдааетааняя двух четких игаьзюз в упру i yw '.тсйдтЕлог.чосгь, •-•'•лзоляннуо •¡«итакзлышдз! разрезает

Рассматриваются л.тоскл? «ям»/втс.ргные контактные задачи ,1ля утрутс'А лзотрогаю« однородно!! полуплоскости. доторая ослаблена пэргякяанюш .чолуйгокрночшм, нзчшшя о лонзчного расстояния от грзнлтш; конечным, шходяшим яа границу; и внутренним коисчнкм сэйрознш.К горизонтально'! трзняда полуплоскости приложены два г.есткпх штампа о основзшкял произвольной ■¡'ормы, симметрично расположенные относительно осп разрезов. Предполагается, что трение г.егэду штампами и полуплоскостью отсутствует. Для простоты принимается таюе, что граница полуплоскости вне штампов свободна от внешних усилий. В разре~ зах действуют только нормальные давления. Бее задачи решены

методом Фурье. Решения задач ищутся в виде суммы, интегралов Фурье с неизвестными плотностями, определяемыми из граничных условий и условий симметрии. Определение этих плотностей, для первых двух задач, сводится к решению системы, состоящей из парных и тройных интегральных уравнений, а для третьей задачи - системы. из двух тройных интегральных уравнений. Методом преобразующих операторов решения задач сводятся к решению интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода. Доказывается разрешимость этого интегрального уравнения. После чего по известным формулам модно определить напряжения с выделенной особенностью и перемещения в любой точке полуплоскости. В частных случаях из третьей задачи получаются решения первых двух задач, а такие симметричной контактной задачи с двумя жесткими одинаковыми штампами для полуплоскости без разреза, решенной ранее непосредственно [3] и контактной задачи для квадранта. Эти работы, доложены. на I Всесоюзной конференции по теории упругости (Ереван, 1979г.).

2.4. Смешанные и контактные задачи для упругой составной полуплоскости с вертикальными разрезаю!. [23,24]

Исследованию плоской задачи для упругой составной полуплоскости имеющей разрез конечной длины вдоль линии раздела материалов, начиная от горизонтальной границы посвящена работа [23] Полуплоскость состоит из двух однородных и изотропных квадрантов с различными упругими свойствами. На границе полуплоскости и на берегах разреза заданы векторы напряжения. В работе [24} рассмотрена контактная задача плоской теории упругости для составной полуплоскости'с разрезом конечной длины вдоль линии раз-

ла материалов, выходящим на границу. Полуплоскость состоит из ух однородных и изотропных квадрантов с различными упругими ойствами, линия раздела материалов которых перпендикулярна к |анице полуплоскости. К границе полуплоскости приложен без тре-я жесткий штамп с произвольным основанием так, что штамп нехо-[тся на обоих материалах и расположен несимметрично относитель-> разреза. На берегах разреза действуют только нормальные давя-ге напряжения. В обеих задачах на линии раздела материалов вне ¡зреза заданы условия полного контакта. Бигармоническая функция, зрез которую определяются решения поставленных задач, беротся ззными для левого и правого квадрантов и ищутся в виде сумм двух мегралов Фурье с неизвестными функциями интегрирования, опрзде-темыми из граничных условий и условий сопряжения двух материалов, зпользуя обычные формулы представлений напряжений и перемещений зрез бигармоническую функцию и удовлетворяя граничным условия;.! и словиям сопряжения для определения неизвестных функций интегри-ования получаем систему, состоящую в первой задаче из двух, а во торой - из четырех парных интегральных уравнений. Эти системы етодом ортогонализацпи и преобразующих операторов сперва сведены решению системы сингулярных интегральных уравнений второго рода, после некоторых преобразований - системы регулярных интеграль-нх уравнений типа Фредгольма второго рода в виде (10). В обеих ¡адачах получены формулы для определения нормального напряжения юд штатом выделенной особенностью в виде (12), перемещений вне ггампа и в разрезе и вектора напряжения вне разреза с осциллирующей выделенной особенностью

, кг

где индекс I откосится к правому квадранту, а 2 - левому квадранту, длина разреза, -2,3>) функции выражен-

ные через заданные граничные функции и коэффициент, зависящей от упругих свойств материалов.

ш. пространственные шшакные и ксетакпыб задачи

тб0рш1 упругости [25-39]

В большинстве рассмотренных задач аналитическими или численными методам проведено исследование контактного взаимодействия жестких или упругих штампов с бесконечными 1:лл полубесконечным:! упругими телами. Число работ, посвященных контактному взаимодействию двух упругих тел конечных размеров, очень мало. Контактные задачи с неизвестной зоне:: контакта достаточно хорошо исследованы только в par,шах плоской теории упругости. Б пространственном же случае нам известны лишь немногочисленные исследования, которые выполнены для неограниченных тел. Подобные задачи,в которых рассматриваются конечные упругие тела, решены численными методами. Настоящий раздел посвящен смешанным и контактным задачам пространственной теории упругости для полуограниченных и конечных тел, именно контактным задачам кручения для конечных цилиндров [25,26] , контактным задачам для полупространства с шшшдричес-

кими, конечными или полубесконечными разрезами [27-29] и осе-симметричным контактным и смешанным задачам для конечных цилиндров с неизвестной зоной контакта ["30-39]

3.1. Контактные задачи кручения для конечных цилиндров 25,26]

Рассмотрены четыре контактные задачи, связанные с кручением валов переменного сечения, когда скручивание осуществляется жестким круглым штампом или жесткой обоймой, запрессованной на части поверхности вала. В первой задаче исследуется кручение цилиндра конечной длины, когда скручивание осуществляется поворотом жесткой обоймы, закрепленной на части цилиндрической поверхности около одного торца, другой торец цилиндра полагается закрепленным. Вторая задача относится к кручению круглого конечного цилиндра, закрепленного одним концом, когда кручение осуществляется поборотом жесткого штампа в виде чашки, насаженного на другой конец. В третьей задаче рассмотрено кручение цилиндра, когда цилиндр скручивается жестким круглым штатом, закрепленным на центральной части одного торца цилиндра, при закрепленном втором торце. Наконец, четвертая задача посвящена кручению круглого ступенчатого вала, когда вал скручивается диафрагмой, закрепленной на конце тонкой части вала, а другой конец вала закреплен в жестком гнезде чапшообразного вида. Во всех задачах для простоты принимается, что остальные части поверхности цилиндра свободны от внешйих нагрузок. Известно, что задача о кручении тела вращения осесимметричной нагрузкой решается при помощи функции перемещения Ц/"^ 2). которая в области осевого сечения тела вращения удовлетворяет дифференциальному уравнению

- 32 -

. 3. 0

Ъ Фъ Гй^г- ~ (17)

Касательные напряжения и перемещение ЛГ определяются через фут

цив перемещения "\|Г формулами где д. - модуль сдвига.

Решив уравнение (17) методом разделения переменных, для функции ^П^хуюлучим следующую фундаментальную систему

(19)

Я|Г(г

где л,^- произвольные действительные параметры. Оцесь Х^и - функции Бесселя п -го порядка от мнимого аргу-

мента, соответственного первого и второго рода, а Тр.С.х)и^(х^ функции Бесселя первого и второго рода с действительным аргуме! том.

Отметим, что функции

1 , 1,1-, «20) 5 г 1г

также являются решениями уравнения (_17) •

При построении решения задачи осевое сечение, вала в первых трех задачах разбивается на две подобласти, а в четвертой - на три подобласти. В каждой подобласти функция перемещения представленг в виде суммы, рядов Фурье и Фурье-Дини с неизвестными коэффициентами, определяемыми из граничных -условий и условий сопряжения. Удовлетворив граничным условиям и условиям сопряжения, во всех задачах для определения неизвестных коэффициентов интегрирования получаем бесконечные система линейных алгебраических уравнений. Доказывается полная регулярность этих систем. Это обстоя-

тельство позволяет пользования теорией вполне регулярных систем линейных уравнений и оценить неизвестные коэффициенты сверху и снизу с любой точностью, вследствие чего предлагаемые решения этих задач можно считать точными.

3.2. Контактные задачи для упругого полупространства [27-29]

В этом параграфе рассматриваются осесимметричныек контактные задачи для полупространства, когда на границе полупространства действует кольцевой штамп, или круговой штамп, если полупространство ослаблено конечными или полу бе оконечными цилиндрическими разрезами.

Задаче о давлении кольцевого штампа в упругое полупространство и аналогичным смешанным задачам математической физики с кольцевой зоной раздела граничных условий посвящено много работ советских и зарубежных авторов. Все эти работы можно в основном , разделить на две группы: приближенные решения для тонких = или широких (£<г«И)колец ( Ь > 0-, £ - соответственно внутренний и внешний радиусы кольца) и аналитические решения, полученные в форме, мало пригодной для практического применения. В работах последнего времени, посвященных задаче о кольцевом штампе, при помощи цилиндрической системы, координат решение задачи, в отличие от.настоящей работы сводятся к "тройным" интегральным уравнениям.

В нашей работе рассмотрена задача о давлении кольцевого в плане жесткого штампа с произвольной формой основания на упругое изотропное полупространство. На штамп действует вертикаль-

ная сила, направленная по оси симметрии. Для простоты предпола гается, что вне штампа поверхность полупространства свободна о напряжений, а силы, трения между штампом и полупространством от сутствуют. Используя представление упругих смещений и напряжен через две гармонические функции Папковича-Нейбера в осесимметр ном случае

( О-- модуль сдвига; ^ - коэффициент Пуассона • - цилин;

рические координаты), рассматриваемая задача сводится к краевые задачам теории упругости. Из условия равенства нулю касательно напряжений на границе полупространства, сразу находим, что гармоническая функция ^ »

(22)

равна нулю (если касательные напряжения на границе не равны ну; то функцию Я^Г можно считать известной из решения задачи Дирша для полупространства). Исключая теперь с помощью (22) одну из двух функций Папковича-Нейбера (например, ) и вводя торощ^ ные координаты ) соотношениями

/V - п - / (23;

для определения гармонической функции сф>(о1(^) получим следующе

швнение

ал \с)лл-кмЗ IЦлкй? 'З! Г

¡шение этого уравнения представлено в виде интеграла по сфе-

гческим функциям ^_^+-^С^).Лежандра первого рода с неиз-

зстншли функциями интегрирования. Удовлетворяя граничным усло-

сям и используя преобразование Мелера-Фока для определения

эизвестньгх функций интегрирования получим следующие "парные"

иегральные уравнения: оо

^тИда; 0<с(<< (25)

©О / _

де - ^ . ^(Ы) - определяет форму основания штампа,

арные интегральные уравнения типа (25) рассматривались в ра-отах А.А.Баблояна, Я.С.Уфлянда, А.Ф.Улитко, В.Т.Гринченко. днако, уравнения (25) по своей структуре несколько отличаются т уравнений, рассмотренных в этих работах. В нашей работе, спользуя метод преобразующих операторов, преобразование Абеля разрывные интегралы типа Сонина, решение парного уравнения 25) сперва приводится к решению интегрального уравнения Абеля, затем к регулярным интегральным уравнением типа Фредгольма иорого рода.

Получены формулы для определения нормального напряжения юд штампом с выделенной особенностью, коэффициента интенсив-юсти и перемещений вне штампа, а также связи между глубиной здавливания штампа и силой приложенной к штампу. В частном :лучае, когда (к-О (с/.го^, получено замкнутое решение зада-

чи о давлении жесткого круглого штампа на упругое полупространство, ранее рассмотренной в работах многих авторов. В частном случае вычислены контактные напряжения и перемещения вне штампа ддя различных значении, геометрических параметров кольцевого штампа ( £ = 0; 0,25; 0,5; 0,75). Эти результаты, приведены, в таблицах и построены соответствующие графики

Для этих частных случаев связь между глубиной вдавливания

г-" „

штампа о и величиной силы у , приложенной к штампу, имеет вид

СИ)Р = г ,Ш0 5", £-0,5 > (И) Р=2, (6 £ = °<

В работах [28,29] исследованы осесимметричные контактные задачи теории упругости для однородного полупространства, ослабленного цилиндрическими разрезами: конечным, выходящим на границу, или полубесконечным, начинающимся от некоторого конечного расстояния от границы полупространства. На границе полупространства приложен жесткий круглый штамп с произвольным основанием, радиус которого больше радиуса цилиндрического разреза. Предполагается, что трение между штампом и полупространством отсутствуе Дня простоты принимается также, что на границе полупространства

МЬ

0.6

О

0.Х5 0.5 0.7$ i.0 Ь

зке штампа и в разрезах внешние ус шли отсутствуют. Общее решетя основных уравнений теории упругости в осесимметричном случае з цилиндрической системе координат имеет вид

№

Поставленные задачи, как известно, сводятся к определению двух битармонических функций (26) для полубесксяечного цилиндра и полупространства с цилиндрической полостью, которые удовлетворяют граничным условиям, заданным на границе полупространства и на берегах разрезов, а такие условиям сопреяжения вне разрезов. Бигармояическая функция для полубесконечного цилиндра ищется в виде суммы интеграла Фурье и ряда Зурье-Дкшг, а для полупространства с цилиндрической полостью в виде суммы интегралов

Фурье и Вебера.

00

о

кг \ 4 7

оо

о

гд^ \Х/\ Функция Вебера

Лс(рс) . (рс) Д¿(эс)^ ^(х) - функции Бесселя от действительного и мнимого аргумента первого и второго рода, ^ - радиус цилиндра, '.'о,пользуя формулы для напряжений и перемещений (26) и удовлетвори* .-раничным условиям и условиям сопрдякекия цилиндра и полупространства вне разрезов, для определения неизвестных коэффициентов и ¿ункцкЛ получаем систему парных интегральных уравнений с ядрами и виде тригонометрических функций и функций Вебера. Эта система [..'годом преобразующих операторов сперва сведена к сингулярному интегральному уравнению второго рода, а затем к регулярному инте-•рг'льиому уравнению типа Фредгольма второго рода.

¡¡■■лучены выражения для нормальных напряжений под штампом и срезов с выделенной особенностью, коэффициентов ингенснв-и перемещений вне штампа и в разрезах. Эти работы доложены I," Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984) и на Ы йсесотаной конференции "смешанные задачи механики деформируемого тела" (Харьков 1985).

3.3. Осесишетричнне смешанные и контактные задачи для :онечных цилиндров Г30-39]

Этот пункт посвящен к исследованию осесимметричных сглешан-шх и контактных задач теории упругости для конечных однородных I неоднородных цилиндров с известной л неизвестной зонами контакта. Все задачи решаются методом Фурье, используя соотношения (23).

В работе (30] рассмотрена задача об изгибе двухслойной круглой толстой плиты произвольной осесишетричной нагрузкой, [филог^енной к :е основаниям. На боковой поверхности плиты заданы касательные напряжения и радиальные перемещения произвольным образом. Плита предполагается закрепленной так, что одна из окружностей на боковой поверхности или какая либо точка на оси плиты не тлеет осевых перемещений. Материалы слоев обладают различными упругими свойствами, постоянными для каздого слоя. Задача решается методом Фурье исходя из основных уравнений теории упругости (26) без каких-либо допущений. Бигармоническая функция А.Лява ф-С*^) (Ы,гущется в виде суммы рядов Фурье и Фурье-Дини

к - \

- 40 -

- положительные корни уравнения 3" г О , - толщины слоев, Л\ч(эс") и ~ Функции Бесселя к-го порядка первого рода соответственно действительного и мнимого аргумента. Используя соотношения (26) и удовлетворяя граничным условиям и условиям сопряжения слоев, определяет неизвестные коэффициенты интегрирования. Подставляя найденные значения постоянных интегрирования в (29) и (26), получим формулы для определения напряжений и перемещений в замкнутом виде.

В частном случае подробно исследован изгиб крутлой двухслойной плиты с равными толщинами слоев, коэффициентами Пуассона и с разными модулями сдвига (, (г2 ), когда плита изгибается равномерно распределенной по кругу радиуса , нормальной осесимме-тричной нагрузкой, приложенной к верхнему ее основанию, при отсутствии радиальных перемещений на всей боковой поверхности и осевых перемещений на нижней окружности этой поверхности. Предполагается, что нормальная нагрузка, приложенная на верхнем основании плиты, уравновешивается касательными напряжениями, действующими на боковой поверхности только нижнего слоя и распределенными по закону синуса.

В этом частном случае получены- формулы для определения нормального напряжения осевого перемещения (^.--',2) • Некоторые значения этих величин, вычисленные по полученным формулам для различных точек плиты при ^ ~ 0,3; • в зависи~ мости от отношений и ц* приведены в таблицах и на их основе построены эпюры распределении нормальных напряжений вдоль оси плиты. Как показывают произведенные вычисления для случая

- Цб, закон распределения нормальных напряжений по высоте плиты при Н качественно совпадает с законом распределения

юответствушцего напряжения по теории тонких плит. Закон распределения нормальных. напряжений по высота плиты, установленный по :еории тонких плит, дает существенные отклонения от действитель-юго закона в случаях нагрузок, распределенных по малой площади

<ак и следовало ожидать, закон распределения напряжений СГ^ су-цественно отличается от соответствующего закона, получаемого в теории тонких плит при любых нагрузках.

Исследованию осесиыметричных смешанных задач для полого круглого цилиндра конечной длины посвящены, работы £31-33]

В первых двух работах дается точное решение осесимметричной задачи для полого круглого однородного упругого цилиндра конечной длиной с радиусами ^ и £ С К. > ), когда в первой задаче на торцах цилиндра заданы напряжения, а на цилиндрических поверхностях известны, перемещения, во второй задаче - на-торцах и на внешней поверхности полого цилиндра заданы напряжения, на части внутренней цилиндрической поверхности заданы•перемещения а на остальной части известны, напряжения. Исходя из основных уравнений теории упругости в осесишетричном случае в цилиндрической сиштшв координат (26), обе задачи решаются методом Фурье. Решение представляется в виде сумму рядов Фурье и Фурье-Дкни (29), с той лишь разницей, что в место функции, взята

аднкцот ЛХ/"о • построенная по формуле (28). После удовлет-

ворения граничным условиям в первом случае задача сводится к решению системы из четырех бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, во втором случае - системе парных рядов-уравнений по тригонометрическим функциям, которая в конечном итоге сводится к бесконечным системам линейных алгебраических

сосредоточенной силы ( £.=0). в случае

уравнений. Доказывается, что совокупность этих систем вполне -регулярна, а свободные члены, ограничены. Решая бесконечные системы линейных, алгебраических уравнений методом Кояловича, определяются все неизвестные коэффициенты, а следовательно и напряжения и перемещения в любой точке полого цилиндра. Во второй задаче получены, выражения контактных напряжений с выделенной осс бенностью. В работе [33^] рассматривается несимметричная деформация двухслойного в радиальном направлении полого круглого цилиндра конечной длины, когда один торец цилиндра полностью закреплен, боковые поверхности и другой торец цилиндра свободны от напряжений и цилиндр деформируется только под действием собственного веса, действующего перпендикулярно к оси пилинцра. Для исследования напряженно-деформированного состояния этого неоднородного цилиндра используется метод конечных элементов с кольцевыми элементами треугольного сечения. Допускается, что при неосесимметричной деформации тела вращения под действием собственного веса деформация этого тела остается симметричной относительно некоторой плоскости, проходящей через ось вращения. Представляя перемещения и напряжения в виде рядов Фурье и исполь зуя матричную форму записи для напряжений, перемещений, упругости материала и уравнений равновесия узловых окружностей, при помощи ЭВМ определяем смещения точек осезого сечения цилиндра и компоненты напряжения. Приведены эпюры для нормальных напряжешп" В работах ^34-3б'] рассматриваются осесимметричные контактные задачи теории упругости для двух и грех соосных конечных цилинд-рой одного диаметра с различными упругими свойствами. Цилиндры, контактируют между собой торцами без сцепления. Внешние нагрузки на свободных торцах цилиндров во всех задачах выбраны таким

юзом, что образуемая контактная область имеет вид круга, или 1ьна. Неизвестные радиусы области контакта определяются из ус-зий непрерывности контактного нормального напряжения. Боковые верхности цилиндров или свободны от внешних нагрузок, или замены, или находятся в условиях скользящей заделки, к известно, поставленные задачи математически сводятся к нахоя-нию общего решения основных уравнений теории упругости (26) и следующих граничных условиях:

ЛИ

V. )

|(ЛМ

(л^^ся.у)-0

О 1 «

словиях контакта

ювиях контакта гг\

ИЛИ

^ (Ъ °> - С.^. о ^ с. 1 ^ < К, ^ Ь, о)=о, о < г < с

и условиях симметрии

диус границы зоны контакта, а. - радиус границы области приложения внешних сил. При этом граничные условия (30), (32)-(37) представляют случай двухслойного цилиндра, когда контактная область имеет вид круга, а граничные условия (31)—(36),(38) - вид кольца В задачах с тремя цилиндрами принимается, что крайние цилиндры имеют одинаковые длины и изготовлены, из одинаковых материалов, а средний цилиндр-длину и изготовлен из другого матери* ла. Поэтому задачи о взаимодействии трех цилиндров можно рассмотреть как задачу о взаимодействия двух цилиндров с условиями симметрии (39) на нижнем торце. Условия (33)-(35) относятся соответственна к свободной, заделанной и скользяще заделанной боковой поверхности как для двух, так и для трех конечных цилиндров. Функции Лява (.ЗД ищутся в виде суммы, двух рядов

Фурье и Фурье-Дини (29).

Вычислив по формулам (26), с помощью (29), напряжения и перемещения, удовлетворив граничным условиям, условиям контакта и условиям симметрии, для определения неизвестных коэффициентов ряда Фурье и Фурье-Дини во всех задачах получим парные ряды уравнения в вице

оо

(40)

или

г оо

некоторые конечные соотношения между этими коэффициентами, тем уравнения (40) относятся к задачам, когда контактная об-1сть имеет вид круга, а (41) - вид кольца.

Преобразуя парные ряды-уравнения (40) и (41) методом преоб-ззующнх операторов, сводим их к бесконечным системам линейных ггебраических уравнения:

-8с + (42)

це выражаются через неизвестные коэффициенты. Доказы-

эется, что эта система регулярна. Получена формула для опреде-эния контактного нормального напряжения с выделенной особен-эстью

^С*.о)=]С(сг-г1) ' + (43)

оэффициент при особенности в окрестности точки с тлеет вид з условий непрерывности контактного нормального напряжения по-

учим формулу для определения радиуса области контакта: оо т\.-о

ри контакте по всему торцу сбрили С-О зависимость между геоме-шчеекими и физическими параметрам контактирующих цилиндров и раз-юрами площади приложения внешней нагрузки выражается формулой

О-о-Ик/к-О (45)

ки

- 46 -

Е этом случае для контактных нормальных напряжений имеем:

^ -п. -^г" л/ т ' ^ \ (46)

0 V с: - (У-К о е ^л К <- ) -

VI-. <

Приведен численный пример для определения области контакта и контактных напряжений, когда ^ £О)г

в зависимости от размера области приложения внешней нагрузи: пр различных значениях упругих постоянных и размеров цилиндров.

Б работах £34] и ¡^351 приведены таблицы и графики, пред-лавляницив численные расчеты для всех рассмотренных задач. Приведенные таблицы п построенные графики позволяют сделать следую щэе заключение. В случае контакта двух цилшцров одинаковой для ни и диаметра, щшбтых друг к другу по торсам сиглметркчныш но. мальными, равномерно распределенный! круговыми или кольцеобразным нагрузками при отсутствии сцепления в зоне контакта выявле: а. когдг на боковой поверхности цилиндров нормальные перемещени и касательные напряжения равны нулю при наличии геометрической симметрии, размеры области контакта не зависят от интенсивности внешней нагрузки и от свойств материалов, б) когда на боковой .-оверхн„сти цилиндров нормальные' и касательные напряжения равны нулю, даке при наличии геометрической симметрии, размеры облает; контакта зависят от упругих характеристик материалов и геометрических параметров цилиндров. В остальных рассматриваемых задача; размеры области контакта зависят от упругих характеристик матер] лов и геометрических параметров задачи.

В работах [37-39"] рассматриваются те же осесимметричные ко1 тактные задачи теории упругости, что и в работах [34-353 , с то! разН' ■ ей, что цилиндры имеют разные диаметры. Все задачи решайте тем же методом, методом парных рядов-уравнений ц приводятся к

- 47 -

иешпо регулярных бесконечных систем линейных алгебраических азнений. Получены формулы для контактного нормального напряже-л с выделенной особенностью, коэффициентов интесивности при ■обенности в окрестности точки концентрации напряжения и опреде-ши размеров области контакта. В частных случаях, когда радиусы линдров равны, получены решения задач, рассмотренных в работах :-36 . Все эти работы доложены на У1 Всесоюзном съезде по теоре-леской и прикладной механже (Ташкент 1986), на выездном заселил по современным проблемам теории контактных взаимодействия )реван 1388), на расширенном заседании семинара Института прик-!ДНой математики им. И.Н.Векуа (Тбилиси 1989) и на международ-1М симпозиуме по механике сплошной среды и родственным вопросам гализа (Тбилиси 1991).

Основные результаты и выводы

I. Исследован новый класс плоских и пространственных задач штактного взаимодействия жестких штаг,шов с полуограниченкыми сформируемыми телами различных геометрических форм и упругих зл конечных размеров в постановке теории упругости.

В довольно широком диапазоне изменения характерных гео-зтрических и физических параметров разработан эффективный ме->д решения определяющих тройных, парных уравнений, систем трой-га, парных, интегральных и рядовых уравнений новых классов кон-эктных и смешанных задач механики твердого деформируемого тела, эторый может с успехом быть использован также в смежных облас-та механики сплошной среды и математической физики. С его по-эш->ю основные механические величины в исследуемых задачах пред-тавлены в явном виде аналитическими формулами. В работе г:ето-

да подстановки и преобразующих операторов для решения тройных, парных интегральных и рядовых уравнений получил дальнейшее раз! тие и обогащение.

3. Дан новый подход решения системы парных интегральных и рядовых уравнений.

4. Единых,! методом теории тройных, парных интегральных и рядовых уравнений, систем таких уравнений решения рассмотренных смешанных и контактных задач получены или в замкнутом виде, шп: сведены к решению интегральных уравнений типа Фредгольма второг рода или бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, или смешанных систем из этих уравнений.

Доказывается разрешимость этих уравнений.

5. Получены, удобные для инженерного применения формулы для определения контактных напряжений под штампом и вне разрезов, перемещений вне штампа и берегов разрезов, коэффициентов интенсивности напряжений, величин зон контакта, являющихся в данное время одной из важнейших характеристик прочности материалов. Пр их помощи сформулированы условия распространения трещин и во ин гих случаях показана эквивалентность энергетического критерия Гриффитса и силового критерия Првина-Орована.

6. Во многих задачах, при различных значениях характерных параметров осуществлена численная реализация полученных аналитп ческих результатов, с помощью которой выяснены, закономерности изменения основных механических величин, каковыми являются конт

' тные напряжения, неизвестные зоны контакта, разрушающие нормаль ные'напряжения на линии продолжения разрезов, раскрытие трещин, коэффициенты интенсивности напряжений. В работе.числовые резулъ тэты, проиллюстрированы в виде графиков и таблиц. Приведенные

- 49 -

блицы и построенные графики позволяют сделать следующие воды:

а) во всех расимртенных задачах для полуплоскости с верти-льными разрезами, когда разрез достаточно далек от границ, шряженно-деформированное состояние качественно совпадает с ютветствугощими состояниями полуплоскости и полосы не имеющих >зрезов, а когда разрез находится достаточно близко к гори-жтальной границе то эти напряженно-деформированные состояния пцественно отличаются друг от друга . При близком располояе-ш разреза к границам полуплоскости и полосы,необходима новая эстановка задачи так, чтобы в средней части контакта учитываюсь условие отрыва.

б) В задаче изгиба круглой двухслойной плиты закон расправления нормальных напряжений по высоте плиты качественно сов-адает с законом распределения соответствующих напряжений по еорш тонких плит .когда отношение высоты плиты к радиусу мень-е 1/3 и радиус приложенной внешней нагрузки превосходит поло-ину радиуса плиты,з если внешная нагрузка распределена по ма-:ой площади, то, если даже отношение высоты плиты к радиусу юньше 1/3, тогда этот закон дает существенное отклонение.

в) в случае двух цилиндров одинаковой длины и диаметра, фижатых друг к другу по торцам симметричными нормальными рав-юмерно распределенными по кругу или кольцу нагрузками при >тсутствии сцепления в зоне контакта, когда на боковой поверх-юсти цилиндров нормальные перемещения и касательные напряжения равны нулю при наличии геометрической симметрии,размер эбласти контакта не зависит от интенсивности внешней нагрузки

л от свойств материалов. В остальных случаях размеры области

контакта зависят от упругих характеристик материалов и геометрических параметров задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тоноян B.C. Об одной плоской контактной задаче для упругой четверть-плоскости. - ДАН АрмССР, 1963г. т.37, Л 3, с.121-1

2. Тоноян B.C. Плоская контактная задача для упругой четверть-плоскости с неподвижной кромкой. - ДАН АрмССР, I9G3,

г.37, Я 5, с 249-258.

3. Тоноян B.C. О вдавливании двух жестких одинаковых штампов в упругую полуплоскость. - Изв.АН АрмССР. серия ф/м.н.,

т,17, № 2. с.80-90.

4. Тоноян B.C. Некоторые плоские и контактные задачи теории упругости для квадранта и полуплоскости. - В аннотациях докл.

П Всесоюзного съезда по теоретической и прикл.механике.- М.: Наука, 1954, с.210.

5. Тоноян B.C. Контактная задача для бесконечной полосы с двумя участками контакта.- Изв.АН АрмССР, механика, 1968, т.21, # 5-5, с.21-31.

о. Тоноян B.C. Контактная задача для бесконечной полосы с двумя участками контакта. - В аннотациях докл.Ш Всесоюзного съезда по теоретической и прикл.механике.- М.:Наука. 1968, с.294.

7, Тоноян B.C..Минасян А.Ф. Об одной контактной задаче

для упругой составной полуплоскости. - Изв.АН АрмССР, механика, 1979, т.32, с.3-17.

8, Тоноян B.C. О решении симметричной контактной задачи для полуплоскости с включением. - Изв.АН АрмССР, Механика, 19£-8,

1, 3, с.3-18.

9. Арутюнян H.X., Баблоян А.А., Тоноян B.C. Контактные зада-для составной полуплоскости.- В сб.:Тезисы докл.Всесоюзной ф. по прочности и пластичности. М: Наука, 1967, с.13.

10. Тоноян B.C., Мелкумян С.А. Об одной задаче для полуплос-ти с вертикальным полу бесконечным разрезом.- Изв.АН АрмССР, аника, 1971, т.24, № 4, с.3-15.

11. Тоноян B.C., Мелкумян С.А. Об одной задаче для полуплос-ти с вертикальным конечным разрезом. - Изв.АН АрмССР, Механика,

2, т.25, Л 3, с.3-17.

12. Тоноян B.C., Патваканян Ю.В. Первая основная задача теории угости для полуплоскости с вертикальным полубесконечным разре-

при антисимметричной нагрузке.- В сб.Тезисы докл. республи-ской научно-практической конф. по методике преподавания матем. ехан. в ВУЗВ - Ереван, 1983, с.57-59.

13. Тоноян B.C., Мелкумян С.А. Контактная задача для полуплос-ти с вертикальным разрезом - ДАН АрмССР, 1970, т.51, й 3, 44-149.

14. Тоноян B.C., Мелкумян С.А. Контактная задача для полуплос-тя с внутренним вертикальным конечным разрезом - ДАН АрмССР,

7, T.G5, й 2, с.122-127.

15. Тоноян B.C., Минасян А4Ф. Несимметричная контактная задача полуплоскости с вертикальным конечным разрезом - ДАН АрмССР,

5, T.GI, А 5, с.289-297.

16. Минасян А.Ф., Тоноян B.C. Контактные задачи для полуплос-ти с вертикальными разрезами при наличии сцепления. -В сб.:\'о-ика деформируемых тел и конструкций. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 5, с.286-297.

- 52 -

17. Минасян А.Ф., Тоноян B.C. Контактная задача для полуплоскости с внутренним вертикальным разрезом при наличии сцепления - В сб.:Смешанные задачи механики деформируемого тела. Всесоюзная конф. тезисы докл. часть П - Одесса, 1989, с.17.

18. Пагваканян Ю.В., Минасян А.Ф., Тоноян B.C. Контактные задачи для бесконечной полосы и составной полуплоскости с верк кальными разрезами - В сб: Смешанные задачи механики деформиру* мого тела, Л Всесоюзная науч.конф. Тезисы докл. - Днепропетровс 1981, с.38.

19. Тоноян B.C., ГалсЬаян II.0. Контактная задача теории упр: гости для прямоугольника с внутренним вертикальным разрезом. -Межвузовский сб.науч.трудов. Механика - Ереван, изд-во ЕГУ, 1989, вып.7, с. ISI-I70.

20. Тоноян B.C., Мелкумян С.А. О симметричном вдавливании двух жестких одинаковых штампов в упругую полуплоскость с верт] кальным полубесконечныы разрезом.- ДАН АрмССР, 1973, т.57, .'5 5 с.282-288.

21. Тоноян B.C. ДЬшасян А.Ф. О симметричном вдавливании дву: жестких одинаковых штампов в упругую полуплоскость с вертикальным конечным разрезом - ДАН АрмССР, I97G, т.02, .'J I, c.3G-42.

22. Тоноян B.C., Ыелкуыян С.А., Безоян Э.К. Симметричная koj тактная задача для полуплоскости с внутренним вертикальным конечным разрезом. - В сб. Всесоюзная конф. по теории упругости.-Ереван, изд-во АН АрмССР, 1979, с.337-339.

23. Минасян А.Ф.,Тоноян B.C. Об одной задаче для неоднородной полуплоскости с вертикальным конечным разрезом. - ДАН Ар-;С( 1988, т.87, I, с.22-28.

- 53 -

24. Минасян А.Ф., Тоноян B.C. О контактной задаче для упругой составной полуплоскости с вертикальным конечным разрезом

- Изв.АН АрмССР, Механика, 1980, т.33, й 5, с.18-42.

25. Баблоян A.A., Тоноян B.C. Некоторые задачи кручения валов переменного сечения со смешанны™ граничным условиями.-Изв. АН АрмССР, серия ф/м.н., 1961, т.14, й 6, с.49-63.

26. Абрамян Б.1., Тоноян B.C. Контактные задачи кручения В сб.¡Развитие теории контактных задач в СССР, М.Наука, 1976, с. 244-261.

27. Баблоян А.А.,Тоноян B.C. О вдавливании кольцевого штампа в упругое полупространство - Изв.АН АрмССР, Механика, 1968, т.21, Я 2, с. 3-16.

28. Тоноян B.C., Минасян А.Ф. Осесимметричная контактная задача для полупространства с вертикальным конечным цилиндрическим разрезом.- В сб.П Всесоюзная конф.по теории упругости. Тезисы докл. - Тбилиси, Изд-во "Мацниереба", с.272-273.

29. Минасян А.Ф.,Тоноян B.C. Осесимметричная контактная задача для полупространства с вертикальны!,! полубесконечннм цилиндрическим разрезом. - В сб. Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тезисы докл.Ш Всесоюзная конф. - Харьков, 1385, с.152.

30. Баблоян А.А.,Тоноян B.C. Изгиб двухслойной толстой круглой плиты осесимметричной нагрузкой - Изв.АН АрмССР, серия ф/м. н., Г963, т. 16, is I, с. 13-32.

31. Баблоян A.A., Тоноян B.C. Об одной задаче для полого конечного цилиндра - Изв.АН АрмССР, Механика, 1970, т.23,.',' G, с.3-11.

- 54 -

32. Тоноян B.C. Осесимметричная контактная задача теории упругости для полого конечного цилиндра,- В сб. .'Всесоюзная конф. по теории упругости.- Ереван, йзд-во АН АрмССР, 1979, с.335-337.

33. Алпавдзе 3.Г. .Оганесян Э.К., Погосян М.З. .Тоноян B.C. Решение одной несимметричной задачи для двухслойного полого цилиндра'конечной длины методом конечных элементов.-Изв.АН АрмССР,

-механика, 1982, т.35, № 6, с.51-59.

34. Мартиросян З.А., Тоноян B.C. О контактном взаимодействии трех соосных упругих цилиндров конечных длин. Изв.АН СССР, ШТ, 1981, № 6, с.94-103.

35. Нерсисян Г.Г., Тоноян B.C. Об одном классе осесимметричных контактных задач теории упругости для конечных соосных цилищ ров - В аннотациях докл.71 Всесоюзного съезда по теоретической

и прикладной механике. - Ташкент: Изд-во "Фан" УзССР, 1986, с.48'

36. Нерсисян Г.Г.,Тоноян B.C. Об одном классе осесимметрич-ных контактных задач теории упругости для конечных соосных цилищ

/ ров. - В сб.Механика твердого деформируемого тела. - Ереван,Изд-i АН Армении, 1992, принято к печати.

37. Тоноян B.C. Осесимметричная контактная задача для двух конечных цилиндров,- В сб.¡Выездное заседание по современным проблемам теории контактных .взаимодействий. Ереван Пзд-во АН Ару. ССР, 1988, с. 135-137.

38. Тоноян B.C. Осесимметричные контактные задачи теории упругооти для конечных соосных цилиндров.-В сб.:Доклады расширенных заседании семинара Института прикладной математики им.И.Н.Веку а.-Тбилиси,изд.во Тбилисского университета, 1989,т.4,.'* 2,

с.I63-IG6.

39. Тоноян B.C. Определение 'зон контакта в классе осесим-етричных контактных задач теории упругости для конечных соос-их цилиндров - В аннотациях докл. "Международный симпозиум по [еханике сплошной среды и родственным вопросам анализа". - Тби-шси, Пзд-во "Мацниереба", 1991, с,57.

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.............. 3

I. КОНТАКТНЫЕ И СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАДРАНТА, ПОЛОСЫ Й НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ............... 10

1.1. Контактные задачи для упругого квадранта.....10

1.2. Контактная задача для бесконечной упругой полосы

о двумя участками контакта .................12

1.3. Контактные задачи для упругой неоднородной полуплоскости ............................14

П. СМЕШАННЫЕ И КШТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАДРАНТА,ПОЛОСЫ И ПОЛУПЛОСКОСТИ С ВЕРТИКАЛЬНЫМИ РАЗРЕЗАМИ........ 16

2.1. Первая основная задача теории упругости для полуплоскости с вертикальными разрезами (Смешанная задача для квадранта)....................... 17

2.2.Контактные задачи для упругой полуплоскости и полосы с вертикальными разреза?® ............... 20

2.3. О симметричном вдавливании двух жестких штампов в упругую полуплоскость, ослабленную вертикальными разрезами... 27

2.4. Смешанные и контактные задачи для упругой составной полуплоскости с вертикальными разрезами.......... 28

Ш. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ШЕШАННЫЕ И КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ......................... 30

3.1. Контактные задачи кручения для конечных"цилиндров ............................ 31

3.2. Контактные задачи для упругого полупространства..... 33

3.3. Осесимметричные смешанные и контактные задачи для конечных цилиндров.....1................ 39

1У. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ............ 47

ЛИТЕРАТУРА..................... 50