Концентрация напряжений и математические модели разрушения покрытия пластины около отверстий с подкреплениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛЕВЩАНОВЛ Людмила Леонидовна

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАЗРУШЕНИЯ ПОКРЫТИЯ ПЛАСТИНЫ ОКОЛО ОТВЕРСТИЙ С ПОДКРЕПЛЕНИЯМИ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ООЗ1713 17

Волгоград - 2008

003171317

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Волгоградского государственного технического университета

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Тарабрин Геннадий Тимофеевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, доцент

Жуков Борис Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Тырымов Александр Александрович

Ведущая организация ЦНИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

им В А КУЧЕРЕНКО

Защита диссертации состоится июля 2008 г в Ш 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 028 04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу 400131, г Волгоград, пр Ленина, 28, ауд 209

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета

Автореферат разослан « 29» тая 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Водопьянов В И 2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Нанесение на поверхности деталей тонких покрытий имеет и приобретает все более широкое распространение в самых различных областях современной техники авиационной и ракетно-космической промышленности, судостроении, робототехнике, приборостроении, радиотехнической, электронной и электротехнической промышленности и дру! их отраслях машиностроения Цели, преследуемые при этом, весьма многообразны придание материалам антифрикционных свойств, повышение твердости и коррозионной устойчивости, улучшение гидродинамических и аэродинамических свойств, повышение износостойкости при работе в агрессивных средах Ответственна роль покрытий как средства термоизоляции, электроизоляции, звукоизоляции, герметизации, защиты от излучений, для целей светомаскировки, для решения целого ряда санитарно-гигиенических задач Безусловна важность термостойких покрытий космических аппаратов, лаковых покрытий обшивки самолетов, антикоррозионных покрытий морских и воздушных кораблей

В процессе эксплуатации целостность покрытия напрямую зависит от деформаций элементов конструкций, на которые покрытие нанесено При этом во многих элементах конструкций и при строительстве подземных сооружений часто нарушается сплошность среды - имеются отверстия, люки, лючки, иллюминаторы, тоннели и пр В непосредственной близости от отверстий возникают локальные концентрации напряжений и деформаций, которые существенно влияют на прочность и несущую способность конструкций и сооружений

Проблема прочности покрытий при наличии областей резких перепадов напряжений является чрезвычайно важной для решения задач инженерной практики Дефицит методов расчета на прочность покрытий в определенной мере мешает более широкому распространению применения покрытий в деталях машиностроительных конструкций с концентраторами напряжений При этом вплотную к задаче расчета на прочность покрытия примыкает проблема определения напряжений в пластинчатых и оболочечных конструкциях, ослабленных отверстиями Важность последней проблемы обусловлена не только необходимостью решения практических вопросов расчета покрытий, но и самостоятельной теоретической и практической ценностью установления работоспособности таких элементов конструкций

Цель. Разработать методику практического расчета двух взаимно обратных задач Прямая задача оценка степени разрушения хрупких покрытий упругих пластин с концентраторами напряжений в виде отверстий различной формы Обратная задача оценка напряженно-деформированного состояния по интенсивности разрушения хрупкого покрытия в условиях реальных нагрузок на элементы инженерных конструкций в виде пластин с отверстиями Задачи

1 Методом Колосова-Мусхелишвили решить ряд задач о концентрации напряжений в пластинах около отверстий с перемычками и без них

2 Создать математическую модель разрушения хрупкого покрытия пластины

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

Разработать методику оценки интенсивности разрушения хрупкого покрытия по показателям напряженно-деформированного состояния пластины

Разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния пластины по интенсивности разрушения хрупкого покрытия Научная новизна

Получена формула функции, обобщающая существующие функции конформного отображения треугольника и четырехугольника на единичный круг

Методом Колосова-Мусхелишвили получена форма решения задачи о концентрации напряжений, исключающая повторение алгоритма сложных аналитических преобразований при изменении формы отверстия в пластине.

Дополнена уравнением совместности перемещений разрешающая система уравнений в рамках метода Колосова-Мусхелишвили задачи о концентрации напряжений в пластине при наличии внешней статической неопределенности, обусловленной перемычками, подкрепляющими отверстия Решены задачи о концентрации напряжений около круговых и эллиптических отверстий с перемычками и задачи по исследованию процесса изменения концентрации напряжений при разрушении перемычек Уравнение состояния хрупкого материала от начала нагружения до полного разрушения, предложенное Г Т Тарабриным, представлено в конечной форме, определяющей одноосную связь напряжений и деформаций в материале покрытия, моделирующую процесс накопления повреж-денности

Разработана методика расчета степени разрушения хрупкого покрытия пластин с концентраторами напряжений

Разработана методика оценки напряженно-деформированного состояния пластины по степени разрушения хрупкого покрытия Разработана методика вероятностной оценки достоверности экспериментального определения методом хрупких покрытий деформированного состояния элементов конструкций Практическая ценность

Возможность оценивать прочность элементов конструкций морских, речных и воздушных судов, различного рода машин и инженерных сооружений, имеющих концентраторы напряжений в виде отверстий с перемычками и без них

Возможность оценивать напряженно-деформированное состояние подземных выработок с подкреплениями в виде стенок, колонн, стоек или без них

Возможность выполнять расчеты на прочность лакокрасочных покрытий или термостойких покрытий или антикоррозионных покрытий для инженерных конструкций и сооружений широкого класса самолеты, морские и речные суда, космические аппараты, автомобили и прочее Возможность оценивать методом хрупких покрытий напряженно-

деформированное состояние около концентраторов напряжений неразру-шагощим способом в условиях реальных видов нагружения. Например, вокруг лючка в обшивке самолета при выполнении им эволюций в полете

Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, физической адекватностью моделируемых процессов, использованием точных математических методов решения задач теории упругости, сравнением результатов численных расчетов с известными точными решениями

Личный вклад автора. Вся научная работа выполнена автором диссертации самостоятельно Научным руководителем осуществлялись постановка всех решенных задач, рекомендации и консультации в процессе их решения, обсуждение полученных результатов, участие в написании научных статей Положения, выносимые на защиту

1 Решение ряда задач о концентрации напряжений около отверстий с перемычками и без них методом Колосова-Мусхелишвили

2 Математическая модель разрушения хрупкого покрытия пластин

3 Методики оценки интенсивности разрушения хрупкого покрытия по напряженно-деформированному состоянию пластины и оценки напряженно-деформированного состояния пластины по интенсивности разрушения хрупкого покрытия

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на конференциях 43 Научная конференция (Волгоград, 2006 г, ВолгГТУ), Апрельская научная сессия (Волгоград, 2006 г, ВолГУ), XI Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2006 г, ВолГУ и др), 44 Научная конференция (Волгоград, 2007 г, ВолгГТУ), международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские Чтения» (Москва, 2007 г, МАТИ-РГТУ, ИПМех РАН), международная конференция «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007 г, СГУ), международная конференция «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2007 г, СГТУ, Институт проблем точной механики и управлении РАН), «XIX Международная Интернет-ориентированная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2007)» (Москва, 2007 г , ИМА1П РАН), 45 Научная конференция (Волгоград, 2008 г, ВолгГТУ)

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 10 публикациях, в том числе 5 статей 3 статьи опубликованы в журналах из списка ВАК

Структура и объем. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы и приложения Объем диссертации составляет 130 страниц основного текста, в том числе 2 таблицы и 18 рисунков Список литературы включает 140 наименований, из них 21 на иностранных языках

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Дается обоснование актуальности проблемы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи работы, описана структура работы, приведено ее краткое содержание, обозначены основные результаты, раскрыты научная новизна, практическая ценность, достоверность результатов, апробация работы, указаны математические методы решения диссертационных задач, представлены положения, выносимые на защиту

Первая глава. Дается обзор литературы по теме исследуемых задач Приведены источники с изложением плоской задачи теории упругости и методов решения задач плоской теории упругости, обзор работ по расчету напряжений около отверстий без подкреплений и с ними, рассмотрено состояние вопроса по оценке совместного напряженно-деформированного состояния системы «отверстие-перемычка», указан ряд работ по близкой тематике, обсуждается литература по теории континуального разрушения

Вторая глава. Приводятся необходимые сведения из плоской теории упругости, используемые в дальнейшем Излагается метод, разработанный Г В Колосовым и Н М Мусхелишвили, основанный на совместном применении аппарата теории функций комплексной переменной и метода конформных отображений

Решается задача о концентрации напряжений около отверстия в упругой однородной изотропной пластине при одноосном нафужении усилиями интенсивности р в заданном направлении на бесконечности Пластина помещается в прямоугольные декартовые координаты х, у так, что направление действия нагрузки р составляет угол 5 с осью х, а начало координат располагается внутри отверстия При помощи метода снимаемой нагрузки, принципа суперпозиции и формул Колосова-Мусхелишвили задача сводится к нахождению четырех аналитических функций комплексной переменной z~x + iy - комплексных потенциалов ф\х), (//°(z) задачи о сплошной пластине в состоянии одноосного на-гружения на бесконечности и <p'(z), i/(z) задачи о пластине с отверстием, загруженным по контуру Суммы qP(z) + (p\z) = q\{z), i//D(z)+(//'(z)=(//;(z) определяют компоненты напряжений в одноосно нагруженной пластине со свободным от воздействий отверстием

a, a, = Re[2(Pl\z) + zq>]"(z) + ^\z)]>

rv = Im[z (p;\z) + y/l'{z)] и удовлетворяют граничным условиям задачи + = fi + if2 +const = 0,

t

где + if2 =i^{Xv + iYv)ds - главный вектор усилий, приложенных со стороны

'о

положительной нормали к дуге s контура отверстия, t - точка на контуре отверстия, z =x-iy, (р{'(z) = Re'(z)-1Im<pt\z)

Используется конформное отображение внешности отверстия на плоскости комплексной переменной г ~х + 1у на внутренность единичного круга на плоскости комплексной переменной <^ = рехр(/0) Отображающая функция представляется в виде многочлена

(п

Дается построение такого вида отображений на единичный круг внешности ряда односвязных областей, рассматриваемых в работе

При отображении на единичный круг внешности отверстия в форме треугольника и четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность радиуса /?„ с центром в начале координат, коэффициенты функции й>(£) при « = 1,2, вычисляются соответственно по формулам

1 »+1 ЛЙ-/

п 1,0 „,=0

1 л+1 л+|-/л-И-/-Я1

VI ыО *=0 где = )[*,]',

- точки единичной окружности на плоскости С, представляющие собой образы вершин З1,,^, многоугольника на плоскости 2, 8хк,5гл, tSf.Tr - внешние углы многоугольника, ¿>, +32 + +8к=к+2 Для однолистности отображения необходимо и достаточно выполнения условия (д, - + (52 -1)з2 + + (5к -1)^ = О

В частности для прямоугольного отверстия со сторонами а, Ъ (сторона а параллельна оси х) .у, = ехр(г^л'), 52 = , 5, = , л4 = ^ Тогда

2 = а>(0 = Л

Я

=а/[2+2£й

Г™ , ^ =:

-2 п \

1&&,-, [ехр(;2Лт)]' [ехр(-г2Лг)]"~',

I '

где =— ]~[(/и-3/2) = ^у.|(2у -3)/2у , £0 = 1, параметр й определяется из

Г- »-Т

уравнения Щ(с!)+Щ(с1) + Щ(сГ)-(а-Ь) [\ + \^(с1)+1У1Щ1{а+Ь) = 0 Для отверстия в форме правильного многоугольника

1

По*-*).

где к = 3,4,. - число сторон правильного многоугольника

Потенциалы (р\а{0] = (р\0 = рсй{014, на-

ходятся по известному распределению напряжений в сплошной пластине Для определения потенциалов ф[ш(£)~\ = (рй(£), щ'[а(0\ = у/о(0> удовлетворяя граничным условиям, записываются сингулярные интегральные уравнения.

... 1 гй>(*)—ттг сОс —— 1 (/° + г/2\,

<Р0(О + — Нт^о \к)т~р + ^о(О) = ГГ"' 2т-са\к) к-с, 2т* к-Г

2т> к-£

,„. 1 га)(к) —ттг 1 (К0-!/? „

2т*б)(к) к-С 2x1* к-£

(2) (3)

где Л

<ри(к)+ц,'(к)

а\к)

, А: - точка единичной окружности

у, <»(*) = Г

Путем представления комплексных потенциалов , у/0(О в виде

00 00

степенных рядов = ^о^0) " 0 ' а" и ~

л=1 л-0

комплексные величины, уравнение (2) сводятся к конечным системам линейных алгебраических уравнении для коэффициентов «„ функции <р0(О- Эти системы в матричной форме

[Кеа^НЯе^,], [1та„][й„и] = [1т<], «,/« = 1,2, ,9, где апт = 1 + отс„+т_, при и = /я, апт = при и * от,

^ =1 ~ тс„+т., при и = от, = -тсп+т_, при и * от, ¿^-рД^-е2"5]^, ¿п=-рЯ1¥п/2 при и = 2,3, .9,

П

<7 = > с7_„ = -1Г9_„ + £ (л - ОК-Л-, при « = 1,2, ,7, 1=1

Осуществляется построение их решений в явном виде При полученной функции /р0(С) уравнение (3) определяет функцию 1//0(С)

В результате напряженное состояние в пластине с отверстием, загруженной на бесконечности, определяется потенциалами

<р№ = <РЮ = РК

<//1(г) = 1//(0 = -рЯ

1/(40 +

п=I

10 / 10 п= О

(4)

(5)

/9„=(и-2)Ж„.2/2 + £(« + Л-ЗК+м^2, « = 0,1, ,10

Записываются явные выражения для напряжений в пластине около отверстий в форме эллипса, треугольника, четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность, правильного многоугольника, полукруга при одноосном нагружении Выражения общего вида будут справедливы и для отверстий другой формы, если их отображение на единичный круг функцией в виде мно-

гочлена (1) известно

Описывается вычислительный алгоритм программы численного расчета на языке Maple Программа позволяет построить поля напряжений в пластине, провести исследование зависимости напряжений от силовых, упругих и геометрических параметров задачи на численных примерах Для ряда частных случаев приводятся эпюры главных напряжений около отверстий

Третья глава. Исследуется концентрация напряжений около подкрепленных отверстий в упругой однородной изотропной пластине

Решается задача об одноосном нагружении пластины с эллиптическим отверстием с полуосями а,Ъ, подкрепленного разрушающейся перемычкой Ось перемычки совпадает с полуосью эллипса а и осью х Пластина подвергается воздействию равномерно распределенной на бесконечности нагрузки интенсивности р в направлении оси перемычки, toi да на бесконечности компоненты тензора напряжения <rv = р, сгу = 0, тху = 0, или перпендикулярно ей, тогда на бесконечности сгх = 0, <Jy = р, тху=0 Для материала перемычки задана зависимость напряжения в ней q от линейной деформации s от начала нагру-жения перемычки до полного ее разрушения. Задача о плоском напряженном состоянии пластины, подкрепленной одноосно напряженной перемычкой, является внешне статически неопределимой лишнеи неизвестной является нагрузка р, если задаваться значением напряжения q, возникающего в результате взаимодействия контура отверстия с перемычкой Поэтому разрешающая система уравнений для пластины дополняется уравнением совместности перемещений контура отверстия и концов перемычки

Решение ищется методом Колосова-Мусхелишвили с использованием конформного отображения внешности отверстия на внешность единичного круга Отображение осуществляется функцией

z = a>(Q = R (Ç + mlÇ), R~{a + b)/2, m = (a~b)/{a + b). Комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили представляют собой суммы (p(z) = ^(z) + <p2(z), y/(z) = ^,(z)+^2(z), в которых (px(z), ^(z) - потенциалы задачи о действии нагрузки р при отсутствии нагрузки q, ç2(z), t/s2(2) - потенциалы задачи о действии нагрузки q при отсутствии нагрузки р Потенциалы (3,(z), y/,(z) получены в предыдущей главе n(z) = pR[C + (2A-m)/C]/4,

y/](z) = -pR[À/mÇ + ÀÇ-(î + m2)(À-m)Ç/m(ç1-m)y2, где Я = 1 при нагрузке р, направленной вдоль оси х, то есть по направлению оси перемычки, и Л = -1 при нагрузке р, направленной вдоль оси у, то есть перпендикулярно направлению оси перемычки Из граничных условий.

%[*(*)] + «= + = / (6) со (к)

с правой частью

, 'г,„ „ч , Х + 1У. . со{к) Х-гУ V иЛ

«о *0

в которой - главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру

отверстия, равный нулю в силу симметрии задачи, Х = У = 0, находятся выражения для определения потенциалов ср2(г),

<РгЫС)] = ' = \к^йк ' '[£У(^)]

Вычисление интегралов Коши дает (рг{г), Ц/7(2) в виде

4 -от

/-1

Здесь А, = = ехр(-/19), к2 = -к4 = ехр(/,9) - точки на окружности у ~ образы угловых точек перемычки, 23 - Л кг = кг л к^ - угол в радианах.

Перемещения в пластине и по направлению оси х и V по направлению оси у определяются формулой

Ю(и + IV) - К<р{г) - г<р'(г) + ц/{г), где С = Е/2(\ + /л), v. -(3+ Е - модуль Юнга, р. - коэффициент Пуассона материала пластины

Ширина перемычки принимается малой настолько, что перемещения точек по всей ширине контакта перемычки с контуром отверстия пластины отождествляются с перемещением и(а,0) точки в вершине эллипса Вследствие неразрывности смещений в точках соединения перемычки и пластины перемещение и[а,0) равно удлинению полудлины перемычки еа от напряжения д Это приводит к уравнению совместности перемещений

11е[у.9>(а) - снр'(а) + (¿/(а)] = Юеа

Левая часть уравнения совместности перемещений зависит от значений р п д. Задаваясь последовательно возрастающими значениями деформации перемычки е и вычисляя по ним <?(£) по заданной зависимости, из этого уравнения можно вычислить последовательно возрастающие значения нагрузки р При известных значениях р и ц можно рассчитать поле напряжений в пластине и проследить изменение концентрации напряжений около отверстия от начала нагружения до полного разрушения перемычки Полученные значения напряжений дают возможность сделать оценку несущей способности пластины из данного материала с заданными полуосями эллиптического отверстия, подкре-

2 711

пленного перемычкой заданной ширины и ориентации относительно направления действия нагрузки р из заданного материала

Предложенный алгоритм последовательного нагружения перемещением перемычки программируется на языке Maple. Рассматривается перемычка из хрупкого материала, характеризующегося вариантом континуальной модели хрупкой среды, предложенной Г Т Тарабриным и изложенной в следующей главе'

q = sEw при 0<£<£0, 0 = ££v[l-w(e)] при £0<£<£п, где Ew - модуль Юнга материала перемычки, с0 - его предел целостности -деформация, до наступления которой в перемычке не возникает разрушений, е„ - предел деформируемости - деформация, при которой перемычка оказывается полностью разрушенной Функция w(f) характеризует степень разрушения перемычки в виде равномерно рассеянного по ее поперечному сечению тумана микротрещин Значения w(e) изменяются от 0 до 1 и определяют долю площади поперечного сечения перемычки, утратившую несущую способность Вид функции w(e) не обусловливает метод решения задачи Она может быть любой, адекватно аппроксимирующей экспериментально полученную зависимость q(e) В расчетах и (я) принята простейшей - линейной

w(s) = (£-£0)/(£„-£0) при е0 <£<£„ (7)

что может быть приемлемо для хрупких материалов таких, например, как керамика, стекло, цементный камень, чугун, некоторые титановые сплавы

Алгоритм последовательного нагружения перемещением перемычки позволяет проследить также процесс разрушения перемычки с ростом нагрузки на бесконечности путем вычисления значений функции (7) Строятся графики зависимости степени разрушения перемычки от внешней нагрузки при различных соотношениях длин полуосей эллиптического отверстия

Решается задача об осесимметричном нагружении на бесконечности усилиями интенсивности р пластины с круговым отверстием радиуса R, подкрепленным четным числом равномерно распределенных радиальных стержней Для материала стержней задана зависимость напряжения в них q от деформации £ от начала их нагружения до полного разрушения Задача о плоском напряженном состоянии пластины, подкрепленной одноосно напряженными стержнями, является многократно внешне статически неопределимой Поэтому разрешающая система уравнений для пластины дополняется уравнениями совместности перемещений внутреннего контура пластины и концов стержней Вследствие осесимметричности задачи все и/2 уравнений совместности перемещений одинаковы и их решение дает значение нагрузки р, если задаваться значением напряжения q, возникающего в результате взаимодействия контура пластины с каждым из стержней

Комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили <p{z), y/{z) представляют собой суммы <p(z)-<pi(z) + <p2(z), t//(z) = iy,(z) + ff/2(z), в которых <pt(z), ц/,(z) - потенциалы задачи о действии нагрузки р при отсутствии на-

грузки д, (р2{г), ц/2(г) - потенциалы задачи о действии нагрузки ц при отсутствии нагрузки р

Потенциалы ^(г), (//,(2) легко получить, используя результаты предыдущей главы Учитывая, что г = с) = (отображение на внешность единичного круга), подставляя 1 /£ вместо С, и складывая соответствующие потенциалы при <5 = 0 (одноосное нагружение в направлении оси х) и 8 = ж!2 (одноосное нафужение в направлении оси у), из (4) и (5) получаем

Ф) = Ряс12, yfe^-pRH;.

Потенциалы <p2(z), ys2{z) находятся из граничных условий (6) с

где А; =ехр[-л9 + г(/-1)?г/и] при/ = 1,3,5, ,2и-1,

к, - ехр[(.9 + /(/-2)я7и] при 1 = 2,4, ,2п,

А, - точки единичной окружности представляющие собой образы угловых точек стержней, 29 = к, Л к2 - = А2„_, л к2п - угол в радианах

Записываегся уравнение совместности перемещений внутреннего контура пластины и конца соосного оси х стержня Ширина стержней принимается малой настолько, что перемещения точек по всей ширине контакта стержня с внутренним контуром пластины отождествляются с перемещением в одной его точке (Л,0) Вследствие непрерывности смещений в точках соединения стержня и пластины перемещение м(/?,0) равно удлинению стержня ER от напряжения с]. Это приводит к уравнению совместности перемещений

Рассматриваются стержни из хрупкого материала Расчет ведется по алгоритму последовательного нагружения перемещением стержней, запрограммированному на языке Maple Строятся графики зависимости степени разрушения стержней от внешней нагрузки при различном их числе

Четвертая глава. Одним из приложений решенных задач к практике является изучение разрушения хрупкого покрытия в окрестности отверстий рассмотренного типа

Описываются деформационные свойства хрупкого материала - излагаются дискретная и континуальная модели хрупкой среды, предложенные Г Т Та-рабриным, приводятся простейшие варианты модели хрупкой среды Построение континуальной модели осуществляется путем редукции свойств неодно-

k

0)(О = RQ и правой частью / = qR Jdk

*0

In

cp2{z) = (qR /2;п)1(-1)'(*, - О In (А, - О

родного материала и последующего синтеза элементарных свойств, осуществленного в форме предела интегральной суммы Рассматривается стержень, подвергающийся одноосному растяжению Материал стержня представляет собой такую континуальную среду, что достаточно тонкие нити, изготовленные из нее, образуют статистически неоднородную по прочности совокупность Стержень «разбирается» на п отдельных нитей, которые нумеруются так, чтобы их индивидуальные пределы деформируемости расположились бы в

порядке их возрастания Обозначается AFn Е,, а, - площадь

поперечного сечения, модуль упругости и коэффициент упрочнения i -й нити, се - предел пропорциональности, s0 - предел целостности стержня - относительная линейная деформация, при которой в стержне обнаруживаются первые признаки разрушения, £„ - предел деформируемости стержня - относительная линейная деформация, при которой он полностью разрушается

«Разборка» стержня на отдельные нити ставит в соответствие каждому значению деформации £ значение модуля упругости Е1, коэффициента упрочнения at и значение площади F( = AF 4- + ÂF„, представляющей собой площадь поперечного сечения стержня после разрыва в нем первых i -1 нитей Поэтому можно говорить о существовании функций U(e), a(s), F (s) таких, что = [/(£), at - а(£), F, Очевидно, что F{e0) = F0 - площадь попереч-

ного сечения стержня, не тронутого процессом разрушения, и F{sn) = О

Вводится функция, характеризующая степень разрушения стержня в зависимости от значения его деформации е, - функция поврежденности w(e) = \-{F(s)IFb]

Функция поврежденности определяет долю площади поперечного сечения стержня, утратившую несущую способность В области существования -на отрезке деформаций [с0,£„] - w(£)no своей физической природе монотонно возрастает от 0 при s = £0 до 1 при £ = £„

В результате предельного перехода п -» со, AFt —> 0 зависимость напряжения от деформации для стержня в целом получается в виде при sб[0,£е]

Еп <ч>

при £ге(£-е,£0]

q=[e-{s-s.Xl - Ай)\Е0, Л =7" JatfWM№,

Ь0 to

при ££(£„£,]

с„ - с„

Функции £(е) и А(е) при с с (s0,£„) определяет значения модуля упру-

гости и коэффициента упрочнения отпорной - оставшейся неразрушенной при этой деформации - части стержня Е0 = E(s0), А{) = A(s0) - модуль упругости и коэффициент упрочнения стержня с ненарушенной целостностью

Модель показывает, как формируются интегральные деформационные свойства хрупкого материала по его элементарным характеристикам, содержит функцию, характеризующую степень разрушения материала в зависимости от его деформации, учитывает и интерпретирует нисходящую ветвь диаграммы нагружения

На основе модели разрабатывается методика и алгоритм расчета степени разрушения хрупкого покрытия в виде тонкой пленки на пластине Влияние покрытия на пластину принимается пренебрежимо малым Сцепление покрытия с пластиной идеальное и не нарушается при нагружении пластины, что обеспечивает совместность деформаций пластины и покрытия Разрушение покрытия возникает в виде равномерно рассеянного тумана микротрещин и является следствием растягивающих деформаций пластины При этом, если s, >0,е2< е[ - главные деформации пластины, то деформация, вызывающая туман трещин в покрытии, сонаправлена деформации s¡ и определяется формулой s = e,+vs2,

е,=(о;-/лу2)/Е, ^ -W)/JE, trn=(er, +ау)!2±^{ах + <r,)/2j WJA,

где у - коэффициент Пуассона материала покрытия Степень разрушения покрытия в зависимости от деформации е характеризует функция поврежденно-сти В виде (7) она принята в расчетах

На основе программы на языке Maple проводятся численные эксперименты по определению полей разрушения хрупкого покрытия около рассчитанных в работе отверстий Графическую визуализацию результатов расчетов представляют собой линии уровня функции поврежденности w[e(x,y)] = const -изоруины, характеризующие области расположения микротрещин

На рисунке показаны изоруины в покрытии от действия вдоль оси перемычки нагрузки p/q = 1 35 При этом деформация перемычки соответствует максимуму зависимости q(e) и степень разрушения в точках перемычки w = 0 375 Соотношение полуосей отверстия а/Ь = 5/2, материал пластины с Е=2 ltfH/мм2, //=025, материал перемычки с Ev = \ 5 ltfH/мм2, £0=0001, еп/%=5 и материал покрытия с v-022, £-„=00005, £•„/^,=5 Полуширина перемычки принималась равной 0176 Числами показаны значения w{e) для покрытия

Задача по оценке степени разрушения хрупкого покрытия по напряжениям в детали, на которую нанесено хрупкое покрытие, является обратной по отношению к задаче метода хрупких покрытий и призвана иллюстрировать на примерах наличие взаимно однозначного соответствия между деформациями в детали и деформациями в ее покрытии и тем самым подтвердить возможности метода хрупких покрытий Обратная задача позволяет также построить эпюры полей напряжений в детали и полей разрушения хрупкого покрытия именно такими, какими они будут в прямой задаче метода хрупких покрытий, то есть на-

глядно показать, что будет видеть и что будет получать исследователь, применяя метод хрупких покрытий

В этой же главе описывается вероятностная оценка деформированного состояния детали по интенсивности разрушения ее хрупкого покрытия

Предлагается следующая методика экспериментального определения функции поврежденности Хрупкое покрытие может быть получено из жидкого вещества, которое после нанесения на поверхность испытуемой на напряжение детали затвердевает и образует это самое хрупкое покрытие На поверхность специально изготовленного деформируемого образца наносятся полоски материала хрупкого покрытия Образец растягивается по направлению нанесенных полосок В процессе растяжения измеряется относительная линейная деформация образца по направлению растяжения (она же - деформация полосок) и фиксируются значения деформаций, при которых разрываются отдельные полоски По значениям деформаций разрывов строится функция поврежденности

Устанавливается вероятностный смысл функции поврежденное™ Предположим, что в процессе экспериментального построения функции поврежден-ности >!'(£-) было т полосок Результаты замеров деформаций разрывов отдельных полосок сгруппируем в п совокупностей, в каждой из которых т1,т2, ,тп близких значений, то есть т1+т2+ ■ + тп=т Пусть [f,,£2], - отрезки, внутри которых располагаются значения дефор-

маций разрывов выделенных совокупностей Возьмем внутри этих отрезков значения такие, что е0 < £, < с,, г, < £ < ег, , е„_х <с„<еп Относи-

тельные частоты

Aw, = ml/m, Aw2 = т2/т, , Ди>„ = т„/т (8)

являются вероятностями того, что случайная величина е при £>£0 примет значения соответственно ¿f,, ,

Перечислим все свойства функции поврежденное™ 1) w(e) - монотонно возрастающая функция на отрезке [£0>£„], 2) значения w(s) на отрезке изменяются от 0 до 1, 3) w(e) = 0 при е < еп и w(e) = 1 при осп С точки зрения теории вероятностей эти свойства определяют w(s) как функцию распределения непрерывной случайной величины s, возможные значения е - дефор-

мации разрыва £ Это дает возможность выявить следующие вероятностные свойства функции поврежденности Вероятность Р того, что непрерывная сл>-чайная величина s примет значение £ £(£,_,,£,), равна приращению функции поврежденности на этом интервале, а вероятность Р того, что непрерывная случайная величина е примет значение , меньшее чем st, равна значению w(£-,), то есть />(£",_, <£<£,) = w(f,)- w(£'l4) = Avv,, />(£ <£,) = w(£,) = w(£:_,) + Aw: Экспериментальные данные (8) в свете этих формул позволяют получить значения функции w(s) внутри рассматриваемых отрезков

Аппроксимируя эти значения подходящей функцией w(s), удовлетворяющей граничным условиям w(£-0) = 0, w(£„) = 1, получим экспериментальную функцию поврежденности

Вероятностная интерпретация экспериментальных результатов позволяет не только получить формулу дискретных значений функции поврежденности (9), которая может быть аппроксимирована непрерывной функцией, но и открывает возможность вероятностно оценивать достоверность значений деформаций, получаемых методом хрупких покрытий

Дается способ оценки главных растягивающих деформаций На поверхность испытуемой детали наносится хрупкое покрытие с известной функцией поврежденности, определенной экспериментально с помощью описанной в работе методики В результате действия нагрузок на деталь возникает некоторая картина разрушения хрупкого покрытия Каким-то образом оценивается интенсивность этого разрушения По распределению интенсивности разрушения в разных областях покрытия вычисляются деформации и напряжения в детали методом хрупких покрытий По этим же значениям интенсивности разрушения покрытия вычисляются значения функции поврежденности, которые дают возможность вероятностно оценить достоверность определения напряженно-деформированного состояния детали

Пусть Я = vv(f) - экспериментально определенная функция поврежденности, в - значение деформации, полученное методом хрупких покрытий Тогда, вычислив значение Я по значению е, решим уравнение + у£2) = Л, у - коэффициент Пуассона материала хрупкого покрытия В результате получим значение е деформации в покрытии, возникающей по направлению деформации в детали

£t+v£2=e (10)

При наличии трещин, перпендикулярных направлению , возможны два случая нет трещин, перпендикулярных направлению £г, и они имеются Трещин, перпендикулярных направлению £2, нет Тогда

Решая это неравенство совместно с уравнением (10), получаем оценку главных деформаций на поверхности детали в этом случае

п

(9)

Щ +£2<£0

(П)

£■,>(<?-V£0)/(l-V2), £2<-Щ+£0

Трещины, перпендикулярные направлению f2, имеются Тогда знак неравенства (11) изменяется на противоположный, а главные деформации на поверхности детали оцениваются неравенствами £]<(e-V£0)/[ 1-У2), £г>~У£^£0

Заключение. Приводится сводка основных результатов и выводов, полученных в диссертационной работе

Приложения. Даются программы расчета на ЭВМ напряженно-деформированного состояния пластин около отверстий с подкреплениями и без них и степени разрушения хрупкого покрытия таких пластин Выводы

1 Получена обобщенная форма решения задачи о концентрации напряжений около отверстия, освобождающая пользователя от громоздких аналитических преобразований при получении численных значений элементов поля напряженно-деформированного состояния

2 Получены решения задачи о концентрации напряжений в пластине с эллиптическим отверстием, подкрепленным перемычкой вдоль осей эллипса, и задачи о концентрации напряжений в пластине с круговым отверстием, осесимметрично подкрепленным многими стержнями Разработан алгоритм доведения решений до числовых значений показателей напряженно-деформированного состояния На языке Maple созданы программы таких расчетов с построением графиков и эпюр

3 Разработан алгоритм последовательного нагружения для исследования изменения концентрации напряжений в пластине в процессе разрушения перемычек

4 Предельным переходом от дискретно-волоконной к континуальной модели получены соотношения напряжений и деформаций при одноосном деформировании хрупкого материала от начала нагружения перемещением до полного разрушения Модель содержит функцию, позволяющую количественно оценивать степень разрушения как интенсивность трещинова-тости в виде математического континуума

5 Построен алгоритм, записанный на языке Maple, позволяющий получать численные значения степени разрушения покрытия в окрестности концентратора напряжений с построением изоруин - линий равного уровня интенсивности разрушения

6 Методами математической статистики установлено, что функция повре-жденности предложенной математической модели хрупкого разрушения является функцией плотности распределения вероятности значений интенсивности разрушения На основе этого для метода хрупких покрытий разработана методика получения экспериментальных значений деформаций в пластине по показателям степени разрушения покрытия и вероятностной оценки достоверности этих значений

Основные результаты работы отражены в публикациях

1 Тарабрин, Г Т. Математическая модель хрупкого покрытия в экспериментальных исследованиях концентрации напряжений [Текст] / Г Т Тарабрин, JI Л Левщанова // Вопросы физической метрологии- Вестник Поволжского отделения Метрологической академии России / Поволж отд MAP - Волгоград, 2004 -Вып б - С 92-103

2 Левщанова, Л Л Расчет степени разрушения хрупкого покрытия около концентратора напряжений [Текст] / Л Л. Левщанова // Вопросы физической метрологии Вестник Поволжского отд Метрологической академии России / Поволж отд MAP - Волгоград, 2006 -Вып 8 -С 146-155

3 Тарабрин, Г Т. Концентрация напряжений около кругового отверстия в пластине, подкрепленного радиальными стержнями [Текст] / Г Т Тарабрин, Л Л Левщанова // Известия ВолгГТУ Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах» меж-вуз сб науч ст / ВолгГТУ - Волгоград, 2007 -Вып 2, № 2 - С 18-20

4 Левщанова, Л Л Разрушение покрытий на пластинах с вырезом [Текст] / Л Л Левщанова // Механика композиционных материалов и конструкций -2007 -Т 13, №2 - С 233-238

5 Тарабрин, Г Т Разрушение перемычки эллиптического отверстия в пластине [Текст] / Г Т Тарабрин, Л Л Левщанова // Известия вузов Машиностроение -2007 -№6 -С 3-7

6 Левщанова, Л Л Разрушение перемычки эллиптического отверстия в пластине [Текст] / Л Л Левщанова // XI Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, 8-10 нояб 2006 г Вып 4 Физика и математика тез докл / ВолГУ [и др ] - Волгоград, 2007 - С 40-42

7 Левщанова, Л Л Вероятностная оценка интенсивности разрушений хрупкого покрытия [Текст] / Л Л Левщанова, Г Т Тарабрин // XXXIII Гагаринские чтения, г Москва, 3-7 апр 2007 г Секция №3 «Механика и моделирование материалов и технологий» тез докл междунар молодеж науч конф / Рос гос технол ун-т им К Э. Циолковского (МАТИ) [и др ] - M, 2007 - С 55-57

8 Левщанова, Л Л Разрушение хрупкого покрытия на упругих пластинах с вырезом [Текст] / Л Л Левщанова // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды матер междунар конф , г Саратов, 27 авг - 1 сент 2007 г / Сарат гос ун-т им H Г Чернышевского - Саратов, 2007 -С 194-197

9 Тарабрин, Г Т Разрушение покрытия на пластине с круговым отверстием, подкрепленным радиальными стержнями [Текст] / Г Т Тарабрин, Л Л Левщанова // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении матер междунар конф / РАН, Ин-т проблем точной механики и управления - Саратов, 2007 -С 177-181

10 Левщанова, Л Л Разрушение покрытия на пластине с эллиптическим вырезом, подкрепленным перемычкой [Текст] / Л Л Левщанова // XIX Международная Интернет-ориентированная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2007) матер конф , Москва, 5-7 дек 2007 г / РАН, Ин-т машиноведения им А А Благонравова - M , 2007 - С 15

Подписано в печать ¿2 0S 2008 г Формат 60><84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Усл-печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ №3?/

Типография РПК «Политехник» Волгоградского государственного технического университета

400131, г Волгоград, ул Советская, 35

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

ГЛАВА 2 ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

ОКОЛО ОТВЕРСТИЯ В ПЛАСТИНЕ.

2.1 Постановка задачи в напряжениях.

2.1.1 Основные уравнения плоской задачи теории упругости.

2.1.2 Комплексное представление плоской задачи теории упругости.

2.1.3 Метод конформных отображений в плоской задаче теории упругости.

2.1.4 Функциональные уравнения метода конформных отображений.

2.2 Конформные отображения внешности ряда отверстий на внутренность единичного круга.

2.2.1 Отображение внешности эллипса и полукруга.

2.2.2 Отображение внешности треугольника и четырехугольника.

2.2.3 Отображение внешности правильного многоугольника.

2.3 Одноосное нагружение на бесконечности.

2.3.1 Напряженное состояние в пластине без отверстия.

2.3.2 Напряженное состояние в пластине, загруженной по контуру отверстия.

2.3.3 Напряженное состояние в пластине с отверстием, загруженной на бесконечности.

2.4 Расчеты напряжений около отверстий.

2.5 Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3 ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

ОКОЛО ПОДКРЕПЛЕННОГО ОТВЕРСТИЯ 60 В ПЛАСТИНЕ.

3.1 Одноосное нагружение пластины с эллиптическим 60 отверстием, подкрепленным перемычкой.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Комплексные потенциалы.

3.1.3 Уравнение совместности перемещений.

3.2 Осесимметричное нагружение пластины с круговым 68 отверстием, подкрепленным радиальными стержнями.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Комплексные потенциалы.

3.2.3 Уравнение совместности перемещений.

3.3 Расчет несущей способности пластины с 74 подкрепленным отверстием.

3.4 Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4 ХРУПКОЕ ПОКРЫТИЕ

ОКОЛО КОНЦЕНТРАТОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ.

4.1 Тонкие хрупкие покрытия.

4.2 Деформационные свойства материала хрупкого 84 покрытия.

4.2.1 Дискретная модель хрупкой среды.

4.2.2 Континуальная модель хрупкой среды.

4.2.3 Простейшие варианты модели хрупкой среды.

4.3 Расчеты степени разрушения хрупкого покрытия около 95 концентраторов напряжений.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Разрушение хрупкого покрытия на пластинах с отверстием.

4.3.3 Разрушение хрупкого покрытия на пластинах 101 с подкрепленным отверстием.

4.3.4 Анализ результатов расчетов.

4.4 Вероятностная оценка деформированного состояния 105 по интенсивности разрушения хрупкого покрытия.

4.4.1 Экспериментальное определение функции поврежденности.

4.4.2 Вероятностный смысл функции поврежденности.

4.4.3 Оценка главных растягивающих деформаций.

4.5 Выводы по главе 4.

Нанесение на поверхности деталей тонких покрытий имеет и приобретает все более широкое распространение в самых различных областях современной техники: авиационной и ракетно-космической промышленности, судостроении, робототехнике, приборостроении, радиотехнической, электронной и электротехнической промышленности и других отраслях машиностроения. Цели, преследуемые при этом, весьма многообразны, поэтому отметим лишь некоторые из них: придание материалам антифрикционных свойств, повышение твердости и коррозионной устойчивости, улучшение гидродинамических и аэродинамических свойств, повышение износостойкости при работе в агрессивных средах, восстановление первоначальных размеров изношенных деталей, снижение веса и стоимости элементов конструкций без ухудшения их прочностных свойств путем замены редких и дорогих металлов более доступными, что позволяет рационально использовать материалы в соответствии с их свойствами. Ответственна роль покрытий как средства термоизоляции, электроизоляции, звукоизоляции, герметизации, защиты от излучений, борьбы с обледенением, грязеудержанием, обрастанием в морских условиях микроорганизмами, для целей светомаскировки, для решения целого ряда санитарно-гигиенических задач. Безусловна важность термостойких покрытий космических аппаратов, лаковых покрытий обшивки самолетов, антикоррозионных покрытий морских и воздушных кораблей.

Современные методы нанесения покрытий обеспечивают их высокую адгезионную прочность, подтверждаемую многими экспериментами и позволяющую при постановке задач для тел с покрытиями предполагать условия жесткого контакта на границе раздела. При этом в процессе эксплуатации целостность покрытия напрямую зависит от деформаций элементов конструкций, на которые покрытие нанесено. Кроме того, во многих элементах конструкций и при строительстве подземных сооружений часто нарушается сплошность среды - имеются отверстия, люки, лючки, иллюминаторы, тоннели, полости, пазы, смотровые щели, выточки, клепаные и болтовые соединения и прочее. Это обусловлено конструктивными, технологическими, экономическими, эстетическими и другими потребностями. В непосредственной близости от отверстий возникают локальные концентрации напряжений и деформаций, которые существенно влияют на прочность и несущую способность конструкций и сооружений. Ряд люков, лючков, иллюминаторов и подобных им элементов с технической точки зрения являются подкрепленными отверстиями. Перегородки в них выполняют сразу несколько полезных функций: являются конструкционно необходимыми (например, обеспечивают герметичность) и повышают местную прочность конструкции. Концентрация напряжений в окрестности таких отверстий ниже по сравнению с возмущением от аналогичных свободных отверстий, но, тем не менее, существенна. Однако расчет таких элементов сложной формы оказывается более трудоемкой задачей. Как концентраторы напряжений, все типы отверстий снижают несущую способность отдельных зон покрытий и являются очагами их разрушения. Так, например, в хрупких покрытиях может возникнуть множество микротрещин, если пики деформаций в конструкции превышают допустимые значения.

Проблема прочности покрытий при наличии областей резких перепадов напряжений является чрезвычайно важной, для решения задач инженерной практики. Дефицит методов расчета на прочность покрытий, возможного лишь при достаточно точном знании распределения напряжений, в определенной мере, мешает более широкому распространению применения покрытий в деталях машиностроительных конструкций с концентраторами напряжений. При этом вплотную к задаче расчета на прочность покрытия примыкает проблема определения напряжений в пластинчатых и оболочечных конструкциях, ослабленных указанными концентраторами. Анализируя найденное распределение напряжений и деформаций, можно ответить на вопрос о наличии зоны разрушения, её форме и размерах, расположении, интенсивности разрушения в её точках. Важность последней проблемы обусловлена не только необходимостью решения практических вопросов расчета покрытий, но и самостоятельной теоретической и практической ценностью установления работоспособности таких элементов конструкций.

Знание поведения материалов и покрытия и основания позволяет точнее и рациональнее проектировать конструкции, выполненные из пластин с покрытиями, а также анализировать поведение таких конструкций при нагружении.

Вопросам разрушения хрупких покрытий упругих пластин с концентраторами напряжений в виде отверстий с подкреплениями и без них посвящена данная диссертационная работа. Все вышесказанное указывает на теоретическую и практическую важность и актуальность исследуемых в диссертационной работе вопросов. Большой интерес к анализу процессов разрушения структурно-неоднородных хрупких материалов не только не ослабевает, но и усиливается.

Целью диссертации является разработка методик практического расчета двух взаимно обратных задач. Прямая задача: оценка степени разрушения хрупких покрытий упругих пластин с концентраторами напряжений в виде отверстий различной формы. Обратная задача: оценка напряженно-деформированного состояния по интенсивности разрушения хрупкого покрытия в условиях реальных нагрузок на элементы инженерных конструкций в виде пластин с отверстиями.

Для достижения указанной цели должны быть последовательно решены следующие задачи:

1. методом Колосова-Мусхелишвили решить задачи о концентрации напряжений в упругих пластинах около отверстия при одноосном статическом нагружении в произвольном направлении; около эллиптического отверстия, подкрепленного перемычкой, при одноосном статическом нагружении в направлении перемычки или перпендикулярно ей; около кругового отверстия, подкрепленного равномерно распределенными стержнями, при осесимметричном нагружении;

2. создать математическую модель разрушения хрупкого покрытия пластины;

3. разработать методику расчета на прочность, которая бы непосредственно - в виде числовых значений определенных величин - давала ответ на вопрос о степени разрушения покрытия, возникающего в виде равномерно рассеянного тумана микротрещин, по показателям напряженно-деформированного состояния пластины;

4. разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния пластины по показателям интенсивности разрушения хрупкого покрытия.

Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы и приложения. Объем диссертации составляет 130 страниц основного текста, в том числе 2 таблицы и 18 рисунков. Общий объем диссертации 185 страниц. Список литературы включает 140 наименований, из них 21 на иностранных языках.

4.5 Выводы по главе 4

1. Изложено построение математической модели хрупкого материала, определяющей соотношение между напряжением и деформацией во всем диапазоне деформирования от начала нагружения до полного разрушения. Модель содержит функцию поврежденно-сти, определяющую степень разрушения материала в зависимости от значения деформации. Аналитические операции в процессе построения модели позволяют выявить природу формирования интегральных деформационных свойств материала по его элементарным характеристикам. Последнее открывает возможности разработки технологий по созданию новых материалов с наперед заданными механическими свойствами. Уравнение состояния хрупкого материала от начала нагружения до полного разрушения представлено в конечной форме, определяющей одноосную связь напряжений и деформаций в материале покрытия.

2. Разработана методика расчета степени разрушения хрупкого покрытия в виде тонкой пленки на детали, когда процесс разрушения протекает в виде развития интенсивности тумана микротрещин, по показателям напряженно-деформированного состояния детали. Применена оценка разрушения покрытия по деформациям растяжения в детали, что позволяет использовать всю полную диаграмму нагружения материала покрытия, включая нисходящую ветвь. Установлены связи деформаций детали и её покрытия, учтены эффекты поперечных деформаций.

3. Методика применена для оценки разрушений в покрытии упругих пластин около рассчитанных в предыдущих главах отверстий с подкреплениями и без них. Применение методики проиллюстрировано примерами численных расчетов в программе на языке Maple - для некоторых частных случаев построены эпюры изоруин, дающие наглядное представление об областях нарушения целостности. Проведен анализ закона разрушения хрупкого покрытия около рассмотренных концентраторов при заданных видах нагружения, указаны характерные точки, опасные с точки зрения хрупкого разрушения, исследовано влияние геометрии и внешних усилий. Изоруины представляют собой графическую визуализацию результатов метода хрупких покрытий

4. Математические свойства модели хрупкого покрытия и вероятностные интерпретации делают ее удобной для применения в методе хрупких покрытий. В частности получаемая экспериментально функция поврежденности позволяет вероятностно оценивать достоверность значений деформаций, получаемых методом хрупких покрытий. Дана вероятностная интерпретация элементов модели хрупкого материала, установлен вероятностный характер функции поврежденности как следствие статистической неоднородности свойств дифференциальных элементов, составляющих интегральные свойства материала. Это дает возможность делать интервальные оценки надежности получаемых экспериментально результатов в методе хрупких покрытий.

5. Получены системы неравенств, позволяющие по интенсивности разрушения хрупкого покрытия, возникающего в результате нагружения детали, сделать оценку значений деформаций на ее поверхности, подвергшейся испытанию методом хрупких покрытий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. Получена форма функции, обобщающая существующие функции конформного отображения треугольника и четырехугольника на внутренность или внешность единичного круга. Отображающая функция представлена многочленом.

2. Методом Колосова-Мусхелишвили получена форма решения задачи о концентрации напряжений в упругой однородной изотропной пластине с отверстием, подверженной одноосному статическому нагружению в произвольном направлении на бесконечности, исключающая повторение алгоритма сложных аналитических преобразований при изменении формы отверстия. В явном виде записаны общие формулы для расчета напряжений и деформаций около отверстия в форме эллипса, треугольника, четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность, правильного многоугольника при заданном виде внешней нагрузки. Выражения общего вида справедливы и для отверстий другой формы, если их отображение на единичный круг функцией в виде многочлена известно.

3. Получено решение внешне статически неопределимой задачи об одноосном нагружении упругой однородной изотропной пластины с эллиптическим отверстием, подкрепленным перемычкой, и исследован процесс изменения концентрации напряжений при перманентном разрушении перемычки с ростом нагрузки на краях пластины.

4. Получено решение многократно внешне статически неопределимой задачи об осесимметричном нагружении упругой однородной изотропной пластины с круговым отверстием, подкрепленным равномерно распределенными радиальными стержнями, и исследован процесс изменения концентрации напряжений при перманентном разрушении стержней с ростом нагрузки на краях пластины.

5. При решении указанных внешне статически неопределимых задач:

- разрешающая системы уравнений в рамках метода Колосова-Мусхелишвили дополнена уравнениями совместности перемещений контура отверстия и концов подкрепляющих элементов, раскрывающими статическую неопределимость задач;

- разработан алгоритм последовательного нагружения перемещением перемычки (стержней), что позволяет исследовать напряженное состояние и пластины и перемычки (стержней) от начала нагружения до полного разрушения подкрепляющих элементов.

6. Изложено построение математической модели хрупкого материала, предложенной Г. Т. Тарабриным, определяющей соотношение между напряжением и деформацией во всем диапазоне деформирования от начала нагружения до полного разрушения. Модель содержит функцию поврежденности, определяющую степень разрушения материала как интенсивность трещиноватости в виде математического континуума в зависимости от значения деформации. Аналитические операции в процессе построения модели позволяют выявить природу формирования интегральных деформационных свойств материала по его элементарным характеристикам. Уравнение состояния хрупкого материала от начала нагружения до полного разрушения представлено в конечной форме, определяющей одноосную связь напряжений и деформаций в материале покрытия.

7. Разработана методика расчета степени разрушения хрупкого покрытия в виде тонкой пленки на детали, когда процесс разрушения протекает в виде развития интенсивности тумана микротрещин, по показателям напряженно-деформированного состояния детали. Применена оценка разрушения покрытия по деформациям растяжения в детали, что позволяет использовать всю полную диаграмму нагружения материала покрытия, включая нисходящую ветвь. Установлены связи деформаций детали и её покрытия, учтены эффекты поперечных деформаций. Методика применена для оценки разрушений в покрытии упругих пластин около рассчитанных отверстий с подкреплениями и без них.

8. Разработана методика оценки напряженно-деформированного состояния пластины по интенсивности разрушения её хрупкого покрытия.

9. Математические свойства модели хрупкого покрытия и вероятностные интерпретации делают ее удобной для применения в методе хрупких покрытий. Разработана методика вероятностной оценки достоверности значений деформаций, получаемых методом хрупких покрытий.

10. По результатам аналитических решений, представленных формулами явного вида, для численной реализации всех указанных задач разработаны алгоритмы и составлены программы численного расчета на языке Maple. Программы дают возможность проведения численных экспериментов в широком диапазоне значений и направлений действия внешней нагрузки, геометрических параметров отверстий и подкрепляющих элементов, параметров, характеризующих деформационно-прочностные свойства материала пластины, перемычки, стержней и покрытия, и соответственно с высокой степенью точности и детально исследовать зависимость рассчитываемых величин от перечисленных факторов. Результаты расчетов могут быть получены в виде таблиц, графиков, эпюр напряженно-деформированного состояния пластин и полей разрушения их покрытий. Во всех рассмотренных задачах указаны области возможного разрушения материала покрытия, их зависимость от перечисленных выше параметров задач.

11. Результаты могут быть использованы в расчетах на прочность покрывающих слоев в окрестности конструктивных и технологических отверстий в пластинах и пологих оболочках в виде люков, лючков, иллюминаторов, дверных проемов и других. Расчет несущей способности самих конструкций около такого рода концентраторов напряжений имеет самостоятельное значение: может использоваться в решении других инженерных задач, например, может найти применение также в расчетах тоннелей кругового и эллиптического сечения с подкреплениями в виде стенок, позволяет ввести парные иллюминаторы с устойчивым закрыванием на двух петлях и т.д. Подчинение этой задачи в ходе написания работы главной цели диссертации не снижает её значимости. На основании полученных сведений можно произвести корректировку структуры материалов и конструкции таким образом, чтобы напряжения и деформации были снижены до безопасной величины или имели такую эпюру распределения, которая способствовала бы улучшению эксплуатационных свойств изделий.

12. Задачи, рассмотренные в работе, могут быть обобщены на другие нагрузки, отверстия другой формы, эллиптические отверстия с большим количеством подкрепляющих элементов, подкрепления, моделируемые другими физическими соотношениями.

1. Аванесов, Г. И. Построение конформно-отображающих функций в задачах плоской теории упругости Текст. / Г. И. Аванесов, В.А. Ворон-чихин, В. Л. Дорофеев. - Фрунзе: Фрунзен. политехи, ин-т, 1979. - 5 с.

2. Авдеенко, А. М. Критерии макроразрушения неоднородных структур Текст. / А. М. Авдеенко // Механика композиционных материалов и конструкций.-2001.-Т. 7,№ 1.-С. 103-106.

3. Александров, В. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками Текст. / В. М. Александров, С. М. Мхитрян. М.: Наука, 1983.-488 с.

4. Амензаде, Ю.А. Теория упругости Текст.: учебник для университетов / Ю. А. Амензаде. 3-е изд., доп. - М.: Высшая школа, 1976. - 271 с.

5. Амензаде, Ю. А. Плоская задача теории упругости Текст. / Ю. А. Амензаде. Баку, 1975.

6. Арамонович, И. Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием Текст. / И. Г. Арамонович // Доклады АН СССР. 1955. - Т. 104, № 3. -С. 372-375.

7. Астафьев, В. А. Нелинейная механика разрушения Текст. / В. А. Астафьев, Ю. Н. Радаев, Л. В. Степанова. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2001. — 632 с.

8. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести Текст. / Н. И. Безухов. 2-е изд., испр. и доп. - М: Высшая школа, 1968.-512 с.

9. Билык, И. А. Вычисление интеграла Кристоффеля-Шварца при решении плоских задач теории упругости с использованием конформных отображений Текст. / И. А. Билык, A. JI. Шестопал // Проблемы прочности. 1990. -№ 12.-С. 57-58.

10. Бондарь, В. Д. Основы теории упругости Текст.: учебн. пособие / В. Д. Бондарь. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2004. - 260 с.

11. Вайнберг, Д. В. Концентрация напряжений в пластинах около отверстий и выкружек Текст. / Д. В. Вайнберг. Киев: Техника, 1969. -220 с.

12. Вакуленко, А. А. Континуальная теория среды с трещинами Текст. / А. А. Вакуленко, М. Л. Качанов // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - № 4. -С. 111-123.

13. Вулицкий, М. 3. Периодическая задача о взаимодействии систем круговых отверстий и стрингеров Текст. / М. 3. Вулицкий, И. Д. Суздальский // Прикладная механика и техническая физика. 1982. - № 2. - С. 159-162.

14. Власов, А. Н. Усреднение механических свойств структурно неоднородных сред Текст. / А. Н. Власов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. - Т. 10, № 3. - С. 424-441.

15. Галкина, Н. С. О концентрации напряжений около отверстий в пластинах с приклеенными накладками Текст. / Н. С. Галкина, В. И. Гришин // Уч. зап. центр, аэродинам, ин-та. 1978. - 9, № 1. - С. 137-141.

16. Гаманов, Б. А. О разрешимости граничных уравнений односторонних краевых задач механики контакта упругих тел с покрытиями Текст. / Б. А. Гаманов // Соврем, анализ и его прил. Киев, 1989. - С. 23-30.

17. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи Текст. / Ф. Д. Гахов. 3-е изд. - М.: Физматлит: Наука, 1977. - 639 с.

18. Голузин,. Г. М. Конформное отображение односвязных и многосвязных областей Текст. / Г. М. Голузин, JI. В. Канторович и др. М.: Наука, 1974.

19. Греков, М. А. Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил Текст. / М. А. Греков, С. А. Костырко // Вестник Санкт-Петербургского ун-та. Сер. 10. 2004. - № 3-4. - С. 99-107, 171-172.

20. Григолюк, Э.И. Контактные задачи теории пластин и оболочек Текст. / Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев. М.: Машиностроение, 1980. - 411 с.

21. Григолюк, Э. И. Напряженное состояние вблизи отверстий Текст. / Э. И. Григолюк // Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек. М., 1981. - С. 226-237.

22. Дудченко, А. А. Об оптимальном подкреплении отверстий в пластине Текст. / А.А. Дудченко, А.Н. Елпатьевский // Тр. 12-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, Ереван, ЕГУ. 1980. - С. 110-116.

23. Жуков Б. А'. Нелинейные эффекты в концентрации напряжений около отверстий в резиноподобных материалах / Б. А. Жуков. Волгоград:1. Перемена». 2002. - 104 с.

24. Жуков Б. А. Эффекты второго порядка в критериях старта трещин в идеально хрупких гиперупругих эластомерах / Б. А. Жуков // ПММ. -1996. Т. 60, Вып. 5. - С. 862-866.

25. Захарченко, А. Д. К определению перемещений в плоскости с отверстием Текст. / А. Д. Захарченко, М. С. Абделькадр // Прочность, надежность и динамика механических систем / Таганрогский гос. радио-техн. ун-т. Таганрог, 2002. - С. 66-68.

26. Зоненашвили, И. А. Подкрепление края отверстия в пластине Текст. / И. А. Зоненашвили, М. JI. Кац, А. Р. Папукашвили // Труды Тбил. унта. 1985.-259.-С. 59-66.

27. Ильюшин, А. А. Об одной теории длительной прочности Текст. / А. А. Ильюшин //Изв. АН СССР МТТ. 1967. -№ 3. - С. 21-35.

28. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды Текст. / А. А. Ильюшин. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1978. - 287 с.

29. Каландия, JI. И. Математические методы двумерной упругости Текст. / Л. И. Каландия. М.: Наука, 1973. - 304 с. .

30. Калоеров, С. А. Об общих представлениях комплексных потенциалов для изотропных пластин с отверстиями, трещинами и включениями Текст. / С. А. Калоеров, С. В. Вакуленко // Теоретическая и прикладная механика. 2001. - № 32. - С. 79-93.

31. Качанов, Л. М. О времени разрушения в условиях ползучести Текст. / Л. М. Качанов // Изв. АН СССР. ОТН, Механика и машиностроение. -1958.-Вып. 8.-С. 26-31.

32. Качанов, Л. М. Основы механики разрушения Текст. / Л. М. Качанов. -М.: Наука, 1974.-312 с.

33. Кирсанов, В. П. Исследование концентрации напряжений в пластинке возле некругового подкрепленного отверстия Текст. / В. П. Кирсанов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1979. -№ 13.-С. 146-153.

34. Кобелев, Е. А. Пластины с прямоугольными отверстиями, подкрепленными стержнями Текст. / Е. А. Кобелев; Л.: Ленингр. инженерно-строительный ин-т, 1983. - 8 с.

35. Коваленко, Е. В. Контактные задачи для тел с покрытиями Текст. / Е. В. Коваленко // Механика контактных взаимодействий. М.: Физ-матлит., 2001. - С. 459-475.

36. Колосов, Г. В. Применение комплексной переменной в теории упругости Текст. / Г. В. Колосов. М.: ОНТИ, 1935.-209 с.

37. Кондауров, В. И. Энергетический подход к задаче континуального разрушения твердого тела Текст. / В. И. Кондауров // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. - № 6. - С. 17-22.

38. Кондауров, В. И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел Текст. / В. И. Кондауров // Прикладная Математика и Механика. -1988. Т. 52. - Вып. 2. - С. 302-310.

39. Кондауров, В. И. Тензорная модель континуального разрушения твердых тел Текст. / В. И. Кондауров // Науч. тр. Института теплофизики экстремальных состояний ОИВТ РАН. М.: ОИВТ. - 2000. - Вып. 3.

40. Кондауров, В. И. Тензорная модель континуального разрушения и длительной прочности упругих тел Текст. / В. И. Кондауров // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2001.-№5. - С. 134-151.

41. Космодамианский, А. С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами Текст. / А. С. Космодамианский. Киев: Вища школа, 1975. - 228 с.

42. Кудряшов, В. И. Исследование напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленными кольцами Текст. / В. И. Кудряшов, В. В. Ростов, Н. А. Степанов // Металловед, и прочн. матер. Волгоград, 1986.-С. 154-162!

43. Кукуджанов, В. Н. Микромеханическая модель разрушения упруго-вязкопластического материала и её применение к исследованию локализации деформаций Текст. / В. Н. Кукуджанов // Изв. РАН. МТТ.1999.-№5.-С. 72-87.

44. Кулиев, С. А. Двумерные задачи теории упругости Текст. / С. А. Кулиев. -М.: Стройиздат, 1991. 351 с.

45. Кур дин, Н. С. О некоторых методах построения конформных отображений Текст. / Н. С. Курдин // Механика деформируемого твердого тела. Алма-Ата, 1982. - С. 92-105.

46. Куршин, JI. М. К задаче об эквивалентном подкреплении отверстий в пластинах Текст. / Л. М. Куршин, П. Н. Оноприенко // Сб. «Динамика и прочность конструкций». Новосибирск, 1976. - С. 41-60.

47. Куршин, Л. М. Подкрепление кругового отверстия в пластинке равно-напряженным стержнем Текст. / Л. М. Куршин, Г. И. Расторгуев // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1980. -№ 16.-С. 88-95.

48. Куршин, Л. М. К задаче о подкреплении контура отверстия в пластинке безмоментным упругим стержнем Текст. / Л. М. Куршин, Г. И. Расторгуев // Прикладная математика и механика. 1980. - 44, №5.-С. 905-915.

49. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного Текст. / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Гос. изд. физико-математической литературы, 1958. - 678 с.

50. Левщанова, Л. Л. Разрушение покрытий на пластинах с вырезом Текст. / Л. Л. Левщанова // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. - Т. 13, № 2. - С. 233-238.

51. Лурье, А. И. Теория упругости Текст. / А. И. Лурье. М.: Наука, 1970.-940 с.

52. Ляызберг, В. П. О конформном отображении трапециевидных областей Текст. / В. П. Ляызберг // Численные и экспериментальные методы строительной механики. М., 1986. - С. 24-29.

53. Мавлютов, Р. Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций Текст. / Р. Р. Мавлютов. М.: Наука, 1981. - 142 с.

54. Малиновский, А. П. Состояние вопроса по исследованию пластин и оболочек переменной толщины, ослабленных подкрепленными отверстиями, за период 1990-2000 гг. Текст. / А. П. Малиновский,

55. О. Н. Попов, М. О. Моисеенко // Вестник Томского гос. архит.-строит. ун-та. 2002. - № 1.-С. 109-120.

56. Мартинович, Т. J1. Впрессовка упругого стержня в криволинейное отверстие весомой среды Текст. / Т. JI. Мартинович, М. К. Зварич,

57. B. С. Щукш // BicHHK JIbBiB. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1977. - вып.112.1. C. 75-79, 97.

58. Матросов, А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики Текст. / А. В. Матросов. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 526 с.

59. Миренков, В. Е. О деформировании пластин с ослаблениями Текст. / В. Е. Миренков, В. А. Шутов, В. А. Полуэктов // Известия вузов. Строительство. 2002. - №12. - С. 17-21.

60. Михайлов, Б. К. Обзор работ по расчету пластин и оболочек с прямоугольными отверстиями (Обзор работ за 10 лет) Текст. / Б. К. Михайлов, Ф. М; Арманов. Л.: Ленингр. инж.-строит. ин-т., 1983. - 27 с.

61. Морозов, Н. М. Избранные двумерные задачи теории упругости Текст. / Н. М. Морозов. Л., 1978. - 184 с.

62. Мураками, С. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности Текст. / С. Мураками, Ю. Н. Радаев // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. - № 4. - С. 93-110.

63. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб Текст. / Н. И. Мусхелишвили. 5-е изд., испр. и доп. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

64. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения Текст. / Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 512 с.

65. Мхитарян, С. М. О контактном взаимодействии кругового диска и бесконечной пластины с круговым отверстием, подкрепленным тонким кольцевым покрытием Текст. / С. М. Мхитарян, Ф. С. Торосян // Известия АН АрмССР. Механика. 1978. - 31, № 5. - С. 3-19.

66. Найман, М. И. Напряжения в балке с криволинейным отверстием

67. Текст. / М. И. Найман // Труды ЦАГИ. 1937. - № 313.

68. Наместников, В. С. О концентрации напряжений в подкрепленных элементах Текст. / В. С. Наместников // Вест, машиностр. 1990. -№2.-С. 12-14.

69. Нейберг, Г. Концентрация напряжений Текст. / Г. Нейберг. M.-JL: ОГИЗ - Гостехиздат, 1947. - 204 с.

70. Павелко, В. П. О подкреплении пластинки с вырезом приклепанной листовой накладкой Текст. / В. П. Павелко // Расчет и экспериментальные методы оценки эксплуатационной прочности конструкций летательных аппаратов. -М., 1981. С. 90-96.

71. Панин, В. Е. Структурные уровни деформации твердых тел Текст. / В. Е. Панин, В. А. Лихачев, Ю. В. Гриняев. Новосибирск: Наука, 1985.-229 с.

72. Партон, В. 3. Интегральные уравнения теории упругости Текст. / В. 3. Партон, П. И. Перлин. М.: Наука, 1977. - 312 с.

73. Партон, В. 3. Методы математической теории упругости Текст. /

74. В. 3. Партон, П. И. Перлин. М.: Наука, 1981. - 688 с.

75. Поль, Б. Макроскопические критерии пластического течения и» хрупкого разрушения Текст. / Б. Поль // Разрушение. Т.2. Математические основы теории разрушения. М.: Мир, 1975. - С. 336-520.

76. Попов, Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов; разрезов, тонких включений и подкреплений Текст. / Г. Я. Попов. М.: Наука, 1982-342 с.

77. Работнов, Ю. Н. Механизм длительного разрушения Текст. / Ю. Н. Работнов // Сб. «Вопросы прочности материалов и конструкций». М.: Изд-во АН СССР. - 1959. - С. 5-7.

78. Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций Текст. / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1966. - 752 с.

79. Работнов, Ю. Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела Текст. / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1991. - 196с.

80. Радаев, Ю. Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности Текст. / Ю. Н. Радаев // Вестник Самарского гос. ун-та. 1999. - № 2 (8). - С. 79-105.

81. Роква, Ж. П. Численный метод решения некоторых задач плоской теории упругости Текст. / Ж. П. Роква // Тр. Ин-т прикл. мат. Тбилис. унта. 1975. - №4. - С. 115-125.

82. Савин, Г. Н. Пластины и оболочки с ребрами жесткости Текст. / Г. Н. Савин, Н. П. Флейшман. Киев: Наукова думка, 1964. - 384 с.

83. Савин, Г. Н. Концентрация напряжений возле отверстий Текст. / Г. Н. Савин, А. С. Космодамианский, А. Н. Гузь // Прикладная механика. 1967. - Вып. 10, №3. - С. 23-37.

84. Савин, Г. Н. Распределение напряжений около отверстий Текст. / Г. Н. Савин. Киев: Наукова думка, 1968. - 887 с.

85. Савин, Г. Н. Пластинки, подкрепленные составными кольцами и упругими накладками Текст. / Г. Н. Савин, В. И. Тульчий. Киев: Наукова думка, 1971.-268 с.

86. Савин, Н. И. Напряженно-деформированное состояние упругой плоскости с эллиптическим вырезом, край которого подвержен действию произвольной нагрузки, заданной в виде ряда Текст. / Н. И. Савин, Е. А. Малютина. Тула: Тул. политехи, ин-т, 1986. - 7 с.

87. Саврук, М. П. Подкрепление пластины с трещинами двумя системами взаимно перпендикулярных стрингеров Текст. / М. П. Саврук, В. С. Кравец // Прикладная механика. 1998. - Т. 34, № 7. - С. 64-72.

88. Сайдаков, Ю. Н. Плоская задача механики сплошных сред для внешности контура концентратора Текст. / Ю. Н. Сайдаков, А. В. Швецов // Вестник ПГТУ. Механика технол. материалов и конструкций. -2000. -№3.~ С. 152-160.

89. Сильвестров, В. В. Усиление пластинки с круговым отверстием с помощью заплатки, присоединенной вдоль концентрической окружности Текст. / В. В. Сильвестров, А. Ю. Землянова // Известия Нац. акад. наук и искусств Чувашской Респ. 2003. - № 3. - С. 57-71.

90. Сильвестров, В. В. Растяжение пластины с эллиптическим вырезом, усиленной софокусной эллиптической накладкой Текст. / В. В. Сильвестров, А. Ю. Землянова // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 10, № 4. - 2004. - С. 577-595.

91. Сильвестров, В. В. Ремонт пластины с круговым вырезом посредством заплатки Текст. / В. В. Сильвестров, А. Ю. Землянова // Прикладная механика и техническая физика. 2004. - Т. 45, № 4. - С. 176-183.

92. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) Текст. / Под ред. Варвака П. М., Рябова А. Ф. Киев: «Буд}вельник», 1971. -418 с.

93. Суворова, Ю. В. Длительное разрушение изотропной среды в условиях сложного напряженного состояния Текст. / Ю. В. Суворова, М. Б. Ахундов // Машиноведение. 1986. - № 4. - С. 40-46.

94. Тарабрин, Г. Т. Об исчерпании прочности композита Текст. / Г. Т. Тарабрин // Строительная механика и расчет сооружений. 1988. -№3.-С. 21-25.

95. Тарабрин, Г. Т. Модель разрушения хрупкоупругой среды Текст. / Г. Т. Тарабрин // Строительная механика и расчет сооружений. 1990. -№ 1. - С. 25-30.

96. Тарабрин, Г. Т. Редуктивная модель процесса растяжения хрупкого материала и вопросы расчета с полной диаграммой нагружения Текст. / Г. Т. Тарабрин // Бетон и железобетон. 1994. — № 4. - С. 22-26.-№5.-С. 26-28.

97. Тарабрин, Г. Т. Линейная алгебра и тензорное исчисление с применениями в геометрии и теории упругости Текст.: учебное пособие для студентов и аспирантов технических специальностей / Г. Т. Тарабрин / ВолгГТУ. Волгоград, 1998.-214 с.

98. Тарабрин, Г. Т. Методы математической физики Текст.: учебное пособие / Г. Т. Тарабрин / ВолгГТУ. Волгоград, 2004. - 218 с.

99. Тарабрин, Г. Т. Разрушение перемычки эллиптического отверстия в пластине Текст. / Г. Т. Тарабрин, Л. Л. Левщанова // Известия вузов. Машиностроение. 2007. - № 6. - С. 3-7.

100. Тимошенко, С. П. Прикладная теория'упругости Текст. / С. П. Тимошенко, Дж. Лессельс. М.: Л.: ОНТИ, 1935. •

101. Толоконников, Л. А. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики Текст. / Л. А. Толоконников, В. Б. Пеньков. Тула:. Изд-во ТВАИУ, 1997. - 378 с.

102. Угодчиков, А. Г. Решение задач теории упругости методами функций комплексного переменного Текст.: учеб. пос. / А. Г. Угодчиков. -Н.Новгород: Изд-во ИНГУ, 2001. 395 с.

103. Угодчиков, А. Г. Построение обратного конформного преобразования Текст. / А. Г. Угодчиков // Вестник Нижегородского ун-та. Сер. Meханика. 2003. - № 1. - С. 60-64.

104. Филоненко-Бородич, М. М. Теория упругости Текст. / М. М. Фило-ненко-Бородич. — 3-е изд. — М.: ОГИЗ Гос. изд-во техн.-теор. литературы, 1947.-300 с.

105. Хубежты, Ш. С. Вычисления интегралов типа Коши в задачах плоской теории упругости Текст. / Ш. С. Хубежты // BicH. Харьюв. нац. ун-ту.- 2003. № 590. - С. 235-239, 283.

106. Шлянников, В. Н. Пластина с отверстием в состоянии упругости, пластичности и ползучести Текст. / В. Н. Шлянников, Б. В. Ильченко, Н. В. Бойченко, А. М. Тартыгашева // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2004. - № 1 -2. - С. 107-116.

107. Шмаков, А. П. О соответствии решений в теории упругости при конформных отображениях Текст. / А. П. Шмаков // Вестник МГУ. Математика, механика. 1982. - № 1. - С. 68-75.

108. Шоркин, В. С. Напряженно-деформированное состояние в окрестности концентратора напряжений Текст. / В. С. Шоркин // Прикладные проблемы прочности и пластичности. В. 54. - 1996. - С. 222-227.

109. Щербинин, В. Ф. Напряженное состояние пластины в районе отверстия, симметрично подкрепленного комингсом Текст. / В. Ф. Щербинин // Прочность судов, конструкций. Л., 1979. - С. 104-109.

110. Экспериментальная механика Текст. В 2-х кн. Кн. 2: Пер. с англ. / Под ред. А. Кобаяси. М.: Мир, 1990. - 552 с.

111. Badr Abdullah A. Boundary value problems of infinite plate weakened by a curvilinear hole Text. / A. Badr Abdullah // Proc. Nat. Acad. Sci, India, A.- 2001. 71, № 2. - P. 125-133.

112. Chau, К. Т. Stress concentration reduction at a reinforced hole loaded by a bonded circular inclusion Text. / К. T. Chau, X. X. Wei // Traus ASME. J. Appl. Mech. 2001. - 68, № 3. - P. 405-411.

113. Denoual, C. A damage model for the dynamic fragmentation of brittle solids Text. / C. Denoual, F. Hild //Сотр. Mech. Appl. Mech. Eng. -2000.- Vol. 183.-P. 247-258.

114. Engels, H. The plane problem of an elliptically reinforced circular hole in an anisotropic plate or laminate Text. / H. Engels, D. Zakharov, W. Becker // Archive of Applied Mathematics. 2001. - Vol. 71. -P. 601-612.

115. Grady, D. E. Geometric statistics and dynamic fragmentation Text. / D. E. Grady, M.E. Kipp // J. Appl. Phys. 1985. - Vol. 58, № 3. -P. 1210-1222.

116. Hwu Chyanbin Evaluation of stress concentration factors and stress intensity factors from remote boundary data Text. / Hwu Chyanbin, Y. C. Liang // Int. J. Solids and Struct. 2000. - 37, № 41. - P. 5957-5972.

117. Kiselev, A. B. Mathematical modeling of dynamic processes of irreversible deforming, micro- and makrofracture of solids and structures Text. / A. B. Kiselev, A. A. Lukyanov // International Journal of Forming Processes. 2002. - № 5. - P. 359-362.

118. Krajchnovic, D. Damage mechanics Text. / D. Krajchnovic. — Amsterdam: Elsevier Science, 1996. 762 p.

119. Kutter, H. K. On the fracture process in blasting Text. / H. K. Kutter, C. Fairhurst // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1971. - Vol. 8. - P. 181-202.

120. Lemaitre, J. A couse on Damage Mechanics Text. / J. Lemaitre. Berlin: Springer-Verlag, 1992. - 280 p.

121. Liu, L. Development of a Continuum Damage Model for Blasting Analysis Text. / L. Liu, P. D. Katsabanis // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1997. -Vol. 34.-P. 217-231.

122. Mencik, J. Strength and fracture of glass and ceramics Text. / J. Mencik. -Amsterdam: Elsevier, Glass Science and Technology. 1992.

123. Miller, O. Modeling and simulation of dynamic fragmentation in brittle materials Text. / O. Miller, L. B. Freund, A. Needleman // Int. J. Fracture. -1999.-Vol. 96.-P. 101-125.

124. Mizushima Iwao Tensile and Compressive Stress Problems for a Rigid Circular Disk in an Infinite Plate Text. / Mizushima Iwao, Hamada Minoru, Shakudo Taketomi // Bull. JSME. 1978. - 21, № 159. - P. 13251331.

125. Murakami, S. Mechanical modeling of material damage Text. / S. Murakami // J. Appl. Mech. 1988. - Vol. 55. - № 2. - P. 280-286.

126. Riska Kaj Jannitystilan maarittaminen levyssa olevan reian ymparilla Text. / Riska Kaj // Rakenteid mek = J. Struct. Mech. 1997. - 30, № 2. -P. 31-39.

127. Simha, K. R. Y. Stress concentration around irregular holes using complex variable method. Text. / K. R. Y. Simha, S. S. Mohapatra // Sadhana. -1998.-23, №4.-P. 393-412.

128. Supartono, F. Anisotropic damage modeling for brittle elastic material Text. / F. Supartono, F. Sidoroff// Arch. Mech. 1985. - Vol. 37, № 4,5.

129. Wang Gul-Fang Stress analysis of plates with a circular hole reinforced by flange reinforcing member Text. / Wang Gul-Fang // Applied Mathematics and Mechanics. 1987. - Vol.8, № 6. - P. 569-588.

130. Zhang Y.-Q. Hao H. Dynamic Fracture in Brittle Solids at High Rates of Loading Text. / Zhang Y.-Q. Hao H. // J. Appl. Mech. 2003. - Vol. 70. -P. 454-457.