Численная реализация метода геометрического погружения для пространственных задач теории упругости и ее вычислительные аспекты тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од

2 з : : ■ -

На правах рукописи

ПОПОВ Сергей Викторович

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ЮГРУЖЕНИЯДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ЕЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Пермь -1997

Работа выполнена в Институте механики сплошных cpe^ Уральского отделения Российской Академии Наук, г. Пермь.

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор ШАРДАКОВ И. Н.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор ТАШКИНОВ А. А.

доктор технических наук, профессо] ЕЛТЫШЕВ В. А.

Ведущая организация : Горный институт Уральского отделения

Российской Академии Наук, г. Пермь

Защита состоится 16 июня 1997 г. в /^час. назаседанш диссертационного совета Д 003.60.01 в Институте механики сплошны; сред Уральского отделения Российской Академии Наук по адресу 614061, Пермь, ул. Академика Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт; механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан ". /Г 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета /Щу^ БЕРЕЗИН И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:

Большинство элементов машиностроительных конструкций представляют собой' тела сложной пространственной геометрии и, кроме того, могут состоять из материалов с различными характеристиками. При определении НДС таких тел необходимо уметь эффективно решать пространственную задачу теории упругости. Это позволяет не только определить НДС конструкции в рамках упругой постановки, но и получать решение упруго-пластических задач и задач вязкоупругости, т.к. многие численные методы их решения сводятся к последовательности решения упругой задачи.

Применение для пространственных задач теории упругости аналитических методов, таких как метод интегральных уравнений (метод потенциала), метод разделения переменных , методы теории функций комплексного переменного, позволило обосновать корректность постановки основных задач, а также получить решение ряда задач (в основном для канонических изотропных тел типа шара, цилиндра, параллелепипеда).

С помощью численно-аналитических методов, типа метода возмущения формы, удалось получить решение для ряда задач с незначительным отличием формы тела от канонической.

Подавляющее большинство пространственных задач решается с помощью численных методов, наиболее распространенными и универсальными из которых являются метод конечных разностей, вариационно-разностный метод, методы конечных и граничных элементов и их многочисленные модификации.

Непосредственное использование метода конечных разностей для областей сложной геометрии осложняется ухудшением сходимости в случае существенного отличия формы тела от канонической. Более широкий класс задач позволяют решить вариационно-разностный метод и метод фиктивных областей.

Наибольшее распространение в практике расчетов получил метод конечных элементов (МКЭ). Простота основных идей, гибкость, наглядность, доступность математического аппарата для широкого класса пользователей в сочетании со строгим теоретическим обоснованием, а также наличие большого количества доведенного до промышленного уровня программного обеспечения сделали этот метод фактически стандартным инструментом в прочностных расчетах.

Основным конкурентом метода конечных элементов является бурно развивающийся в последние 10 лет метод граничных элементов (МГЭ). Снижение на единицу размерности задачи и, соответственно, снижение затрат памяти в МГЭ особенно привлекательно при решении пространственных задач. Фактором, сдерживающим распространение МГЭ, является сложность математического аппарата, проблемы учета неоднородности материалов, необходимость решения несимметричных линейных систем с плотнозаполненными матрицами.

В последние годы получили развитие различные модификации МКЭ и МГЭ, стремящиеся избавить оба подхода от присущих им недостатков и получить качественное решение задачи при меньших затратах. К таким модификациям относятся метод модульных элементов (модификация суперэлементного подхода), метод конечных полос, структурный метод конечных элементов, метод внешних конечноэлементных аппроксимаций, метод равновесных граничных элементов и др.

Бурное развитие вычислительной техники в последние 5-10 лет привело к возможности даже на персональных ЭВМ решать сложные пространственные задачи с использованием МГЭ или пространственного МКЭ. Однако расширение круга задач и их усложнение приводит к необходимости совершенствования старых и развития новых численных методов.

В 80-х годах для решения пространственных задач теории упругости был предложен метод геометрического погружения (МГП). Основная идея метода заключается в сведении исходной краевой задачи для тела сложной геометрии к итерационной последовательности краевых задач для канонического тела. При этом каноническое тело выбирается так, чтобы на каждой итерации можно было относительно просто получить решение. Численная реализация МГП возможна на основе вариационно-разностного метода, метода конечных элементов, метода граничных элементов. В зависимости от специфики задачи, можно выбрать наиболее эффективный подход. Как и любой другой численный метод, МГП требует эффективной численной реализации и исследования границ его применимости, устойчивости, сходимости.

Таким образом, развитие и исследование одного из вариантов численной реализации МГП, как нового численного метода, является актуальной задачей.

Настоящая работа выполнялась в соответствии с планом работы Института механики сплошных сред Уральского отделения РАН по темам:

-№ ГР 01.86.0033790 "Разработка методов и пакетов программ по решению задач статического деформирования, колебаний и

устойчивости неоднородных полимерных и композиционных конструкций" ( 1986 - 1990);

- № ГР 01.91.0018576 "Математическое моделирование процессов квазистатического деформирования, колебаний, потери устойчивости в трехмерных телах из композиционных материалов на стадиях их изготовления и эксплуатации" ( 1991 - 1993 );

- № ГР 01.94.0001378 "Создание методов и алгоритмов численного анализа процессов статического деформирования, колебаний и устойчивости в трехмерных упругих и вязкоупругих телах и в телах, получаемых химформованием "( 1994 - 1997).

Целью работы является:

• разработка эффективных алгоритмов и программ численной реализации вариационной постановки метода геометрического погружения на основе полуаналитического метода конечных элементов в цилиндрической системе координат для решения пространственных задач теории упругости однородных и кусочнооднородных тел сложной геометрии;

• исследование практической сходимости и устойчивости метода в зависимости от различных факторов;

• разработка и исследование ряда модифицированных процедур МГП с целью повышения вычислительной эффективности метода;

• решение ряда тестовых и реальных пространственных задач механики деформируемого твердого тела.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

• разработан алгоритм численной реализации вариационной постановки МГП в цилиндрической системе координат- на. основе полуаналитического МКЭ для однородных и кусочнооднородных тел сложной пространственной геометрии;

• показана достоверность, устойчивость и эффективность метода при решении ряда задач;

• разработан ряд вычислительных процедур, повышающих эффективность конечноэлементной реализации МГП;

• решены новые пространственные задачи теории упругости для однородных и кусочнооднородных тел.

Практическая значимость. Разработана программа для,решения пространственных статических задач линейной теории упругости для однородных и кусочнооднородных тел сложной пространственной

геометрии на основе конечноэлементного варианта МГП в цилиндрической системе координат.

Достоверность результатов определяется теоретически доказанными положениями метода и подтверждается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, а также с решениями, полученными с помощью других численных методов.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на:

- Школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Абакан, 1989);

- научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР (Киев, 1989);

- XVII научно - технической конференции молодых ученых и специалистов (Харьков, 1990);

- Международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов" (Пермь, 1994);

- X Российской, I Международной Зимней школе по механике сплошных сред ( Пермь, 1995);

- Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", ( Новосибирск, 1996);

- Второй международной конференции по внутрикамерным процессам и горению (ICO 96) "Проблемы конверсии и экологии энергетических материалов " ( Санкт-Петербург, 1996).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ [1 - 7 ].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы ( наименований ). Работа содержит страниц, включая £о рисунков и 2_ таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор современного состояния проблемы решения пространственной задачи теории упругости и основных методов ее решения.

На основе анализа просмотренного литературного материала сформулирована цель работы и ее актуальность.

Завершает введение аннотированное содержание работы по

главам.

В первой главе представлены теоретические положения вариационной постановки МГП для статической задачи пространственной теории упругости однородных и неоднородных тел.

В первом параграфе показан вывод итерационного уравнения МГП, используемого для решения задач изотропной теории упругости со статическими граничными условиями.

Рассмотрим упругое однородное изотропное тело, занимающее в евклидовом пространстве область /) с границей -^Л,- (Рис. 1). Требуется отыскать вектор перемещений и(х) краевой задачи линейной теории упругости

сНга(и) + / = 0,х еО п-о(и) = &хе8в и = 0, х еЗи

с учетом физического закона Гука

ст = \0Е + 2це (2)

где Е - единичный тензор; 8 - первый инвариант тензора деформаций е; X, ц - параметры Ламе, а также геометрических соотношений Коши

е =

(Уи)Т + Уи

/2. (3)

Обобщенное решение краевой задачи (1) можно получить из вариационного уравнения вида

УуеМ = (./>) + (*,у)_ , (4)

Ост

которое доставляет минимум квадратичному функционалу общей потенциальной энергии упругого тела

ФГу; = (У,У)-2(/,У)-2(Я,У)5ст (5)

Здесь У(0) = {ге(Н1(0))"\и = 0,хе8и} . полное замкнутое подпространство вектор-функций Соболева, /еЬ^С-ОЛ geL2(S). Для

элементов использованных пространств определены скалярные произведения с соответствующими нормами :

\fu.veVfD) (и,у)= ¡с(и)--еМсЮ, О

Уи^еЬ2(0) (и,у)= \u-vdD, О

VM.veI.2W (иу)= \u-vdS, 5

\и\ = (и,и){/1 ,\и\

||ы|| = (и,и)

где е - тензор деформации.

Согласно МГП*> утверждается возможность рассмотреть соответствие решения уравнения (4) другому полному замкнутому подпространству вектор-функций

' Vo(D0) = [и е(Н1(Оо))п\и = 0,х еБи и50},

а также записать вариационное уравнение

УуеКо(А); + (6;

со скалярным произведением и соответствующей нормой (и,у)0= \а(и)--е(*)сЮ0,\и\ = (и,и)У2.

А>

Первое скалярное произведение в правой части (6) имеет вид (м,у)д= \а(и)--е(у)(Ю^. Оа

Здесь : ОеО0, то есть исходная область О полностью содержится в области £)0 (это обстоятельство определило название метода); 5"0 граница области £>0; БА=В0\В -дополнение области £> до £>0 (Рис.1).

Авторами МГП показано*), что решение уравнения (6) при х е И будет доставлять минимум функционалу (5) и, соответственно, являться обобщенным решением краевой задачи (1). Применяя формулу Гаусса-Остроградского к скалярным произведениям (у) и {■,) й в

Рис.1

вариационном уравнении (6), получим его дифференциальный аналог

Шуа(и) = -Н(й)/ - Т(Эа )[8 + пА-аА(и)]

и = 0, х еБи и50, где Н(£>) - обобщенная функция типа Хевисайда ; Г(5) • обобщенная функция типа Дирака ; пл - единичный вектор внешней

*) Шардаков И.Н. Метод геометрического погружения для решенш трехмерных задач теории упругости : Дисс... доктора физ.-мат. наук : 01.02.04 ■ Москва, 1990. :275 с.

нормали к границе области Бл\ а& - предельное значение тензора напряжения при стремлении хк5„ из дополнения ВА.

По МГП предлагается определять решение уравнения (6) с использованием итерационного процесса

VveFoíA)j (u\v)o = (un-],v)&+(f,v) + (g,v)Sa, п = 0, (7)

который сходится по норме пространства \о (-О0) и , как следствие, по норме пространства \(Ь), независимо от степени отличия исходной области Б от В0.

. Во втором параграфе показан вывод итерационного уравнения МГП для задач неоднородной теории упругости.

Как и в случае изотропной теории упругости, требуется отыскать решение и(х) краевой задачи (1) с геометрическими соотношениями Коши (3). Физические свойства материалов описываются законом Гука

ст = \(х)№ + 2\х(х)е, (8)

где Х(х)>0, /л(х)>0 - параметры Ламе, принадлежащие пространству кусочно-непрерывных функций, имеющих конечное число поверхностей разрыва первого рода.

Обобщенное решение краевой задачи можно получить из вариационного уравнения (4).

. ' Если представить скалярное произведение (и,у) в (4) в виде суммы двух симметричных билинейных форм

Ум.уеК^; (и, у) = (м,у)1 +(м,у)2,

где = ¡}.(х)((Цуи) Е--(сИ™)ЕсЮ, (м,у)2 = /2р(х)е(и)--е(у)<Ю,

а также определить в пространстве У(Б) еще две симметричных

билинейных формы

. (м,У)3 = \((1пи)Е--((Н^)Ес10, (М,У)4 = \е(и)--ф)¿О,

О О

то вариационное уравнение (4) можно преобразовать к виду

УуеУ(О) ХоМ3+2ц0(М,у) =(/,у) + (Я,У) +

■Ьа (9)

где А,о = тах\^(х)\ = тах\\*-(х)\ - параметры Ламе изотропного

хеО хей

однородного материала.

Согласно МГП утверждается соответствие решения уравнения (9) другому полному замкнутому пространству вектор-функций

Уо(Оо) = |и е(н1(О0))П\ и = 0,х Е(и) = 0,х =

со скалярным произведением

Уи^ероС/)^ (и.у)0 = 2Ио Ни)-'е(у)с1Оо +

йо

+ А.0 и)Е Е>0

£>о

и соответствующей нормой

^ «.V еУо(Ио) !КИ1о=.{м'у)о/2-

Доказанное соответствие пространств У(И) и у (¡(Бо) позволяет записать вариационное уравнение (9) в пространстве Vо(Оо) следующим образом :

+ [2ц0(а.у}4 - {и,у)2 ] + (/.V) + (Я,у)5о

В МГП предлагается определять решение уравнения (10) с использованием итерационного процесса

+ + + л = 1,2,... =0,

который сходится независимо как от степени близости областей Б и /)0 по геометрии, так и характера неоднородности физико-механических свойств материалов.

Во второй главе построены конечномерные аналоги итерационной процедуры МГП для однородных и кусочнооднородных тел в цилиндрических координатах на основе полуаналитического МКЭ.

В первом параграфе осуществлено построение конечноэлементного аналога итерационного процесса МГП для однородных изотропных тел в цилиндрической системе координат с использованием тороидальных конечных элементов треугольного поперечного сечения для дискретизации канонического тела 2)0 и дополнения Вл. По угловой координате функции задачи представлены отрезками тригонометрического ряда Фурье, а неизвестные коэффициенты разложения определяются с помощью МКЭ. Используя традиционную процедуру МКЭ для построения конечномерного аналога задачи, получаем конечноэлементный аналог МГП вида

\<к>= У Г1 [V \<к-».

~ Ъ[КптиХтГ-1) + {/п\ п = 0, М; (

т=0

Л = 1,2,...;

гДе [/О,„]0и [Л"лт]д - глобальные матрицы жесткости ансамбля конечных элементов для канонического тела и дополнения, а {ЛГЛ} и

|/п| - глобальные вектора узловых неизвестных и нагрузок

соответственно. Основные соотношения по форме напоминают полуаналитический МКЭ, но имеют ряд специфических особенностей, характерных для МГП.

Во втором параграфе рассмотрены особенности учета различных силовых факторов.

В третьем параграфе определены типы кинематических граничных условий, поддающихся учету в рамках данной численной реализации.

В четвертом параграфе рассмотрены конечноэлементные соотношения МГП для кусочнооднородных тел. Получено обобщенное конечноэлементное итерационное уравнение МГП вида

[к„п(' =[к„„(Ло~Л\,Со~С1)]0{Х„У ) + + £ Ькпта, - л^ - сЛ. {.хт}(к'х> + {/„}, (12)

т=0У=2

п = 0, со; ¿ = 1,2,...; {Х„У°^ = $ где - число материалов;

Я) и (5, - параметры Ламе материала матрицы;

Л] и О} - параметры Ламе материалов включений;

Яо>тах(Оо^тах(^Сг....." параметры

Ламе канонического тела. Уравнение (12) позволяет единообразно учитывать как геометрическое отличие реальной и канонической областей, так и отличие в характеристиках материалов.

В пятом параграфе приведены решения ряда тестовых задач, иллюстрирующих работоспособность программы, реализующей конечноэлементный вариант МГП. Задачи выбирались таким образом, чтобы можно было сравнить решение с аналитическим или с полученным другим проверенным численным методом.

Решены задачи для сплошного короткого цилиндра, находящегося под действием поверхностных и объемных нагрузок, при погружении его в цилиндр большего размера. За 5-10 итераций процесс сходится по относительной невязке системы до 0.001. Сравнение с решением, полученным с помощью осесимметричного варианта МКЭ, показало совпадение результатов с точностью 0.1% по перемещениям и 0.3% по напряжениям. Представлено сравнение

результатов, полученных при различных соотношениях канонического и реального тел. Приведены результаты расчетов как для осесимметричного, так и для неосесимметричного нагружения.

Решение задачи для полой сферы, нагруженной внутренним давлением (задача Ламе), также показало очень быструю сходимость. Сравнение результатов с аналитическим решением дало расхождение 0.5% по перемещениям и 0.8% по напряжениям. При погружении сферы в сферу большего размера и в короткий цилиндр итерационный процесс МГП сошелся к одному решению.

Приведено решение задачи о равновесии двухслойного короткого цилиндра с разными упругими характеристиками под действием поверхностной нагрузки при погружении в однородный изотропный цилиндр. При соотношении модулей упругости материалов внешнего и внутреннего слоев 0.1 процесс сошелся по относительной невязке системы до 0.001 за 26 итераций. Сравнение с решением, полученным с помощью осесимметричного варианта МКЭ, показало совпадение результатов с точностью 0.3% по перемещениям и 0.7% по напряжениям. Построена зависимость числа итераций от соотношения модулей материалов.

Приведено решение задачи о равновесии однородного цилиндра с каналом звездообразной формы, находящегося под действием внутреннего давления, при погружении в сплошной однородный цилиндр. Итерационный процесс МГП сошелся по относительной невязке системы до 0.01 за 101 итерацию, что свидетельствует о значительном замедлении сходимости для конструкций сложной пространственной геометрии. Произведено сравнение результатов расчета в среднем сечении цилиндра с решением, полученным с использованием пространственных КЭ (пакет АШУБ).

Рассмотрена задача о перфорированном цилиндре, у которого вырезы заполнены более жестким материалом. Произведено сравнение решения, полученного при соотношении модулей упругости материалов включения и цилиндра 100, с расчетом двухмерными КЭ в среднем поперечном сечении цилиндра.

В третьей главе исследованы вопросы сходимости конечноэлементной реализации МГП.

В первом параграфе на примере задачи об однородном перфорированном цилиндре, находящегося под действием внутреннего давления, рассмотрена сходимость решения в зависимости от дискретизации расчетной области и от числа гармоник, удерживаемых в разложении.

Во втором параграфе показано влияние коэффициента Пуассона на характер сходимости итерационного процесса МГП.

Отмечено, что при коэффициентах Пуассона близких к 0.5, сходимость процесса существенно замедляется.

В третьем параграфе рассмотрено влияние степени отличия реальной и канонической областей на характер сходимости МГП как по геометрии, так и по жесткостным характеристикам материалов.

В четвертом параграфе обсуждаются вопросы выбора критерия остановки итерационного процесса МГП.

В четвертой главе рассмотрены вычислительные аспекты конечноэлементной реализации МГП, влияющие на качество получаемого решения, и на эффективность метода с точки зрения вычислительных затрат.

В первом параграфе обоснован выбор метода параллельных сечений (МПС) для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) на каждой итерации. Сравнение на ряде задач МПС с профильным (ленточным) методом показало, что даже для систем сравнительно небольшого размера (до 3000 неизвестных) МПС дает значительный выигрыш в затратах памяти при практически одинаковых затратах времени на решение системы с факторизованной матрицей и незначительно больших затратах времени на факторизацию, причем с ростом размерности системы наблюдается тенденция увеличения преимущества МПС в сравнении с профильным методом.

Во втором параграфе описан один из способов ускорения сходимости итерационного процесса МГП. На примере задачи о перфорированном цилиндре показана эффективность процедуры ускорения, при использовании которой для сходимости процесса до заданной точности потребовалось почти в 6 раз меньше итераций. Приведены результаты исследования влияния параметров процедуры ускорения сходимости на ее эффективность.

В третьем параграфе рассмотрены вопросы использования технологии разреженных матриц при вычислении итерационной составляющей правой части разрешающей системы. Приведены результаты сравнения различных схем вычисления итерационной составляющей. Показано, что выбор схемы вычисления зависит от производительности вычислительной техники и наличия достаточных ресурсов. Как показала практика расчетов, на современных ПЭВМ решение пространственной задачи с помощью рассматриваемой численной реализаии требует затрат памяти не более, чем для расчета осесимметричных конструкций при неосесимметричном нагружении.

В четвертом параграфе описаны особенности вычисления деформаций и напряжений на границах перехода тело-дополнение, что связано с влиянием эффекта Гиббса. Рассмотрены варианты повышения точности вычисления деформаций и напряжений за счет

использования ст-множителей Ланцоша и вычисления производных пс угловой координате с помощью конечноразностных формул.

В пятом параграфе предложены варианты многошаговых итерационных процедур МГП. Рассмотрены варианты пошаговогс увеличения числа удерживаемых в разложении гармоник, многосеточный вариант, а также постепенное увеличение разницы в жесткостных характеристиках материалов в случае неоднородной задачи. Во всех случаях на каждом шаге в качестве начального приближения берется решение , полученное из предыдущего итерационного процесса. Показано, что использование многошаговых процедур позволяет существенно ( от 20% до 60% и более) сократить время решения задачи. При этом полученное решение мало отличается от полученного в одношаговом процессе.

В пятой главе приведены решения ряда пространственных задач теории упругости с помощью конечноэлементного варианта МГП.

В первом параграфе рассмотрена задача определения НДС опорного устройства типа тела вращения с несколькими рядами шарнирноопертых секторных выступов. Проведено сравнение с решением, полученным с помощью другого варианта МКЭ.

Во втором параграфе приведены результаты оценки влияния расположения жесткого шарового включения в структурной ячейке полимерного композита зернистого типа, имеющей форму изометрического цилиндра. Ячейка подвергается растяжению вдоль оси цилиндра на 1% длины. При этом требуется, чтобы ячейка сохраняла после деформации цилиндрическую форму. Представлены результаты сравнения ячеек с осесимметрично расположенным включением и со смещенным в радиальном направлении включением при коэффициентах заполнения 0.2 и 0.3. Показано, что для ячеек со смещенным включением рассчитанная энергия упругого деформирования на 11-16% отличается от значения, полученного для ячеек с осесимметричным включением.

В заключении кратко сформулированы полученные в работе результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан алгоритм численной реализации вариационной формулировки метода геометрического погружения в цилиндрической системе координат на основе полуаналитического МКЭ для решения статических задач теории упругости однородных и кусочнооднородных тел пространственной геометрии. На основе алгоритма разработан комплекс программ для расчета НДС

конструкций типа тел вращения с вырезами и включениями сложной формы.

2. На примере ряда тестовых задач проиллюстрирована работоспособность алгоритма и достоверность и точность полученных с помощью программ результатов, а также исследована практическая сходимость и устойчивость метода в зависимости от степени дискретизации и степени отличия реального и канонического тел по геометрии и физико-механическим характеристикам материалов.

3. Разработаны модификации вычислительных процедур МГП, позволяющие за счет использования технологии разреженных матриц, приемов ускорения сходимости итерационного процесса, многошаговой организации итерационного процесса и использования конечных разностей при вычислении производных существенно сократить вычислительные затраты и повысить точность решения.

4. Получены решения пространственной задачи определения НДС опорного устройства и задачи расчета НДС и определения энергии деформации цилиндрической структурной ячейки зернистого композита с неосесимметричным расположением сферического включения. Показано незначительное отклонение в энергии деформации при использовании ячейки с осесимметричным расположением включения. На этих задачах показана работоспособность и эффективность метода геометрического погружения при решении пространственных задач теории упругости для однородных и неоднородных тел.

Литература.

1. Попов С. В. Применение вариационной постановки метода геометрического погружения для решения пространственных задач теории упругости. / Труды XIV научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР. - Киев, 23-26 мая, 1989. Часть 1. 1989 -Рус. -Деп. ВИНИТИ 02.08.09 № 5164-В89.

2. Попов С. В. Численная реализация вариационной постановки метода геометрического погружения для решения пространственных задач теории упругости. / Тез.докл. школы молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды", г.Абакан, 28 мая - 03 июня 1989г. - Красноярск,1989. - ч.2,- с.105-106

3. Попов С. В. Конечноэлементная реализация вариационной постановки метода геометрического погружения для расчета систем оболочка-наполнитель. / Тез.докл. XVII науч. - техн. конф. молодых ученых и специалистов - Харьков, 1990. - с. 28.

4. Попов C.B., Шардаков И.Н. Вычислительные аспекты конечноэлементной реализации метода геометрического погружения в вариационной постановке для решения пространственных задач теории упругости. / Тез. докл. Международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов" , Пермь,1994. - с. 41.

5. Попов C.B. Особенности численной реализации метода геометрического погружения в сочетании с МКЭ при решении пространственных задач теории упругости. / Тез. докл. 10 Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь,1995.- с. 200.

6. Попов C.B. Многошаговые итерационные процедуры в конечно-элементной реализации метода геометрического погружения при решении пространственных задач теории упругости. / Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь, 1996* N 1. с. 80 -85.

7. Попов C.B. Использование многошаговых итерационных процедур для повышения эффективности в конечноэлементной реализации метода геометрического погружения. / Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", Россия, Новосибирск, 27 мая - 2 июня 1996 г. с. 440-441.

Объем 1 п. л. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе АО "Диалог-Пермь"

Тел. 318-402