Метод геометрического погружения в дифференциальной постановке и его численная реализация в трехмерных задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД Уральского отделения Российской Академии Наук

На правах рукописи

БУЛАВИН Павел Владимирович

МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОГРУЖЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ПОСТАНОВКЕ II ЕГО ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ В ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидат <\ физико-математических наук

Пермь - 1994

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской Академии наук.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук И.Н.Шардаков

доктор физико-математических наук, профессор А.С.Кравчук

кандидат физико-математических наук А.И.Пономарчук

Московский государственный институт электроники и математики (Технический университет) (г. Москва)

Защита диссертации состоится /¡'¿-^¿¿¿^/и*' 199 г. в

часов на заседании Специализированного совета К 003.60.01 при Институте механики сплошных сред по адресу: 614061, Пермь, ул. ак. Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан " " Мбб'^рЯ г.

Ученый секретарь Специализированного ученого совета,

кандидат технических наук ' / <, И.К.Березин

. /' гР

/

ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В течение более чем 2-х десятилетий задачи анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) в машиностроительной. ядерной, . авиационно-космической промышленности, в строительстве, которые выходят за рамки аналитических методов, решались по установившимся шаблонам с использованием численных методов конечных разностей (МКР). конечных элементов (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ). Все эти методы характеризуются появлением существенных трудностей при переходе от одно- и двумерных задач к расчету тел сложной конфигурации и пространственных конструкций. Затраты на решение пространственных задач, выраженные в машинном времени и памяти, все еще остаются весьма значительными. Для аналитических методов эти трудности связаны с усложнением математического аппарата и ограниченностью возможности его применения. .Для численных методов - это относительно большие требования к вычислительной технике по памяти и быстродействию, которые, возникают на этане решения системы линейных алгебраических уравнений, а также сложность описания геометрии области и ее дискретизации.

Подавляющему большинству практических пространственных задач, возникающих в теории упругости, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, которые отвечают изучаемым объектам. Так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов, и решение, как правило, ищется численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком разбиении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах (метод конечных разностей), либо путем разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры (метод конечных элементов).

Привлекательной является возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области. Это предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений теории упругости к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (метод граничных элементов).

Многочисленные попытки непосредственного использования этих численных методов для решения трехмерных задач теории

уприоап показали, что ввиду -значительных затрат машинного времени и обьема занимаемой машинной памяти такой подход неэкономичен. Поэтому поиски более эффективных и более точных численных методов анализа (НДС) прострннствейных кострукций не прекращаются и отстаются актуальными.

Цель работы: построение алгоритма численной реализации метода геометрического погружения (МГП) в дифференциальной постановке. создание программного комплекса на основе построенного алгоритма, исследование устойчивости и сходимости метода, решение ряда тестовых и существенно трехмерных задач теории упругости.

Методы исследования: численные методы, численное моделирование, численный эксперимент, программирование.

Научная новизна заключается в численной реализации дифференциальной постановки МГП кик нового метода исследования НДС пространственных конструкций, в доказательстве достоверности, устойчивости и высокой эффективности метода.

Практическая ценность работы заключается ь разработанных эффективных алгоритмах и в созданном программном комплексе решения пространственных задач статической теории упругости. Сравнительны!! анализ затрат при применении различных численныч методов доказывает высокую эффективность подхода. Программный комплекс может быть использован для исследования НДС существенно трехмерных конструкций в инженерной практике.

Достоверность полученных результатов обоснован;* теоретическими положениям» метода, его практической сходимостью и устойчивостью. Сравнение результатов решения большого количества тестовых задач с известными решениями подтверждает достоверность полученных результатов.

Апробация работы. Основные результаты докладывались н обсуждались на

- XIV научной конференции молодых ученых Института механики

АН УССР 23-26 мая 1989 (г. Киев):

- школе молодых ученьм . (989 (г. Красноярск):

- международной научно-технической конференции ИГ1МА1Н АН

УССР "Проблемы машиностроения" 8-13 октября 1990 (г.

Харьков):

- Всеросийской научно-технически конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением." (1990 г. Пермь).

Публикации. По материалам выполненных исследований опубликованы чегыре работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литеретуры из <£3 ■ наименований. Диссертация занимает страниц машинописного текста,

содержит рисунков, таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертации обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, приведено краткое содержание глав диссертации. Дан обзор работ, посвященных проблемам, возникающим при решении трехмерных задач теории упругости с использованием традиционных численных методов.

В первой главе изложены основные теоретические положения дифференциальной постановки МГП для решения пространственных задач теории упругости. В первом параграфе показан вывод итерационного граничного интегрального уравнения, которое используется для численного решения задач теории упругости со статическими граничными условиями.

' Рассмотрим упругое однородное изотропное тело, занимающее в евклидовом пространстве Я3 область й с границей 5 =JuSi (Рис. 1). Требуется отыскать вектор перемещений и (х) краевой задачи линейной теории упругости :

(Иуо(и) +/ = 0,х е О

и = 0, х 6$,

Обобщенное" решение краевой задачи (1) можно Ъолучигь из вариационного уравнения вида

Vve.\(D) М = (/",у) + (£,У)5я' * (2)

котороё доставляет минимум квадратичному функционалу общей потенциальной энергии упругого тела

С(у) = (у, у) - 2(/\ V) - (3)

б

Здесь V(D)= {v е (H^D))"!« = O.jc e ía} - полное замкнутое подпространство вектор-функций Соболева, feh2(D), géL2(S) [1]. Для элементов использованных пространств определены скалярные произведения с соответствующими нормами

Vií.vg V(0) (и,v) = Jo(íO• • e(v)dD,

D

Vu.v e L2(Д) («,v)= fu ■ vdD,

D

Vu,v e L¡(J) (u,v)= Ju • vdS, s

M = (u,u)inM = (u,ur2Ms=(u,u)s112

здесь e - тензор деформации.

Согласно МГП [2] утверждается возможность рассмотреть соответствие решения уравнения (2) другому полному замкнутому подпространству вектор-функций

V0(D0) = {и б (Н>(Д,)Г|« = 0,х eSuu S0}

А также записать вариационное уравнение

VI* е У0(О0) (и,у)0 = (и, у)д + (ЛV) + (?, У)5а со скалярным произведением и соответствующей нормой

V«, V е У0(Д0) («,у)0 = \ыи) ■ -е(у)еЯ>0 , II"! = (и,и)„

Первое скалярное произведение в правой части (4) имеет вид М = /о(и)-е(у)</Дд

(4)

1/2

Рис.1

'Здесь : Де Дп, то есть исходная область О полностью содержится в области Д, (это обстоятельство определило название метода); .">„ - граница области Д,; Дд= В^й -дополнение области Д до Д, (Рис.1).

В работе [2] показано,' что решение уравнения (4) при .те О, будет доставлять минимум -функционалу (3) и, соответственно, являтся обобщенным решением краевой задачи (1). Применяя формулу Гаусса-Остроградского к скалярным произведениям <,>0.<.>Л в вариационное уравнение (4),

получим его дифференциальный аналог

<Иус(и) = -Н(/))/ - + п&» сгк(«)] .дг е

и = 0,х еХ„иХ0

где Н(О) - обобщенная функция типа Хевисайда [1]; Г(5) - обобщенная функция типа Дирака [1]; - - единичный вектор внешней нормали к границе области Од; оА - предельное значение тензора напряжения при стремлении .V к 5СТ из дополнения Эд. В [2] также показано, что итерационный процесс

(!Мик) = -Н(0)/ - + п о4^"-')] е Д, (5)

ик = 0,д: е = 1,2,...

сходится по норме пространсва и , как следствие, по норме

пространства V(О), независимо от степени отличия исходной обласги О от О0.

Если в качестве канонической области О0 выбрать все евклидово пространство К3 (полагая, что компоненты вектора перемещения нел\т себя как [гр2, а тензора напряжения как И-3, при стремлении л к бесконечности), то для уравнения (5) можно записать соответствующее интегральное уравнение , в котором в качестве обратного оператора краевой задачи выступает функция Грина С(л-,£) (тензор Кельвина-Сомильяны), а интегральное уравнение записывается в виде

>(*)= 1с(лг,ф*/©<Ю©+/с(г,9*й©-)-лл*сл(н,с-:1)](15© (6)

О 5

здесь 4 - точка рассматриваемой области, по которой ведется интегрирование. Используя стандартные методы теории потенциала [3], соотношения Коши и физические соотношения, можно перейти от (6) к граничным интегральным уравнениям относительно усилий на границе рассматриваемой области

(х) = \ [8(х) + /'"С*)] + М* ,9» Ш + '"'(ЭДсЩЗ +

1 5 (7)

г

здесь 1(х)=пл-• стЛ - вектор искомых поверхностных усилий, действующих со стороны дополнения Од для к-той итерации: 1"{х)=0: Р(л-.£) - сингулярное ядро, являющееся тензором второго ранга.

Соотношение (7) позволяет непосредственно определять вектор искомых усилий на границе 51 для класса задач с заданными граничными условиями в напряжениях. Используя методы граничных интегральных уравнений, можно получить уравнения для перемещений, деформаций и напряжений как внутри области, так и на границе, которые используют решение уравнения (7).

Для получения дискретного аналога уравнения (7) применяется хорошо разработанный аппарат МГЭ [3]. При этом сохраняются все преимущества, присущие МГЭ, и отпадает необходимость обращать плотнозаполненную несимметричную матрицу коэффициентов влияния. Решение / определяется простой подстановкой в правую часть (7) найденного на предыдущей итерации вектора к = 1,2,3..£, (где I. ■ число выполненных итераций). Сходимость итерационного процесса отслеживается по относительному среднеквадратичному отклонению двух последовательных приближений на к-той итерации :

адЧ^'ЧИИ,

где II - среднеквадратичная норма.

Во втором параграфе предложен подход реализации метода геометрического погружения для задач со смешанными граничными условиями.

Во второй главе описан алгоритм численной реализации дифференциальной постановки МГП, обсуждаются вопросы дискретизации и численной аппроксимации, вычисления сингулярных интегралов, адаптивные схемы интегрирования. Рассматриваются вопросы сходимости итерационной процедуры МГП, учета симметрии расчетной области в алгоритме, учета различных вариантов граничных условий и объемных сил.

Ф^и^пьный |12 геометр^кий Построение конечномерного

гп-¿¡£¿>5-аналога интегрального уравнения (6)

осуществлялось согласно подходу метода граничных элементов, изложенному в [3]. Граница 5 области £) аппроксимировалась ансамблем ^ граничных элементов. В качестве граничных элементов были использованы разрывные граничные элементы с квадратичной

и кусочно-линейной аппроксимацией

(-1,0)

(-0 5,-0 5)

(0 5,0 5) 1*

|

Рис. 2

ао) « п,

«4

аппроксимацией геометрии неизвестных и заданных функций (Рис. 2)

Имеются следующие преимущества разрывных элементов : легко сочетаются элементы различных форм для представления геометрии тела, повышается точность вычисления интегралов; упрощается алгоритм сборки глобальной матрицы коэффициентов влияния; улучшается сходимость итерационного процесса.

Известно, что наиболее трудоемким этапом численного решения граничных интегральных уравнений является вычисление коэффициентов матрицы влияния, т.е. интегрирование сингулярных функций по поверхности элемента. В данной работе предложена схема вычисления интегралов с сильной особенностью, описан алгоритм численного интегрирования с нерегулярным распределением множества гауссовых точек по криволинейной поверхности трехмерного тела. В работе были осуществлены три различные схемы интегрирования сингулярных интегралов с сильной особенностью: полуаналитическое вычисление сингулярного интеграла; численное вычисление сингулярного интеграла с неявным выделением е-ркрестности; регулярная схема.

Основополагающей идеей вычисления сингулярных интегралов является введение специального сингулярного элемента,. т.е. такого граничного элемента, который содержит точку коллокации. Сингулярный элемент дополнительно разбивается на 7 подэлементов \Рис. 3).

Для исследования сходимости перечисленных выше схем вычисления сингулярных интегралов был проведен численный эксперимент по вычислению сингулярного интеграла на модельном искривленном элементе. В таблице 1 приведены значения максимальной относительной погрешности вычисления сингулярного поверхностного интеграла /у в (7) при выбранном порядке п квадратурной формулы

Рис. 3

5(Л) :

шах

и

/Г-Г

Кп)

'и

¡=1,3,7=1,12

__Таблица I

5м

п точек Схема 1 Схема 2 Схема 3

иктегр-я.

2 28 0.0 0.0 0.0

3 63 5.254830Е-01 1.044812Е-01 1.438691

4 112 3.457211Е-01 5.269533Е-02 9.108319Е-01

5 175 2.588308Е-01 2.416738Е-02 3.857455Е-01

На основе проведенного численного эксперимента была выбрана вторая схема вычисления сингулярного интеграла, т.к. она характеризуется наилучшей сходимостью.

Наличие объемных сил произвольной природы требует схемы интегрирования по всему объему тела. Для вычисления объемного интеграла внутренняя область И разбивалась на изопараметрических гексаэдральных ячеек с квадратичной аппроксимацией координат и интегрируемой функции объемных сил/.

Для исследования численной устойчивости МГП и оценки достоверности получаемых результатов был проведен ряд численных экспериментов по изучению характера поведения решения дискретного итерационного уравнения при изменении таких параметров, как : число Итераций, степень дискретизации области, точность интегрирования, коэффициента Пуассона к При проведении численных экспериментов анализировалась величина относительной квадратичной погрешности решений и 5° для перемещений и напряжений, вычисленных на конкретном подмножестве точек тела в зависимости от вышеперечисленных параметров.

Теоретически показано [2], что итерационная процедура МГП сходится всегда, независимо от степени отличия исходной области £) от Численная практика показала, что скорость сходимости в значительной степени зависит от таких факторов, как точность интегрирования , степень дискретизации , соотношение объема тела и его поверхности, тип граничных условий. В целом можно отметить, что достаточная степень точности решения достигается при интегрировании поверхностных интегралов по схеме, содержащей 175 гауссовых точек для сингулярных (включающих сингулярную точку) граничных элементов, 100 точек - для элементов, прилежащих к сингулярному и 25 точек интегрирования - для элементов, удаленных от сингулярной точки. Для получения удовлетворительного решения'

внутри области характерный размер граничных элементов не должен превышать 10% от характерного размера конструкции.

С целью изучения сходимости решения МГП, в зависимости от степени дискретизации границы области, был проведен численный эксперимент : решалась задача о шаре единичного радиуса, нагруженном единичным давлением, коэффициент Пуассона у=0.3, модуль сдвига 0=1. Исследовалось поведение квадратичной нормы погрешности для вычисленных перемещений и напряжений и, ст относительно точного решения и(} с^для некоторого множества точек шара. На Рис. 4 показано поведение функций

81 =

и„-

/и„

в зависимости от числа граничных элементов. Итерационный процесс заканчивался при достижении критерия сходимости 8(/) = 1Е-5. Число итераций для всех вариантов расчета при этом не превышает двадцати.:

82x100,%

2 З^ч \------ — /—

0.1

0.4 0.7

Рис. 5

О 20 40 60 80 100 Число элементов Рис. 4

На Рис. 5 показана сходимость решения (перемещения и по оси х) задачи о кубе, нагруженном внешним единичным давлением по всей поверхности, в зависимости от степени дискретизации границы (начало координат - в центре куба, длина ребра 2, модуль сдвига 1, коэффициент Пуассона 0.3). Приведены кривые изменения относительной погрешности по оси х (и- точное

решение): кривые 1,2,3 соответсвенно - 6,24 и 54 элемента.

Для анализа влияния точности интегрирования на сходимость решения был проведен численный экперимент для задачи, описанной выше, при различном числе точек интегрирования .

о

На рис. 6 показаны кривые квадратичной нормы погрешности относительно точного решения задачи, в зависимости от числа точек интегрирования, приходящемся на точку коллокации! и кривая затрат времени на

формирование матрицы

коэффициентов. Показана точка оптимальной схемы

интегрирования, которая

достигается при применении адаптивного алгоритма

интегрирования, описанно! о в работе

В работе приводится сравнительный анализ эффективности и точности МГП с итерационными методами решения граничных интегральных уравнений теории упругости. Показано, что МГП позволяет получить результаты заданной точности при меньших •затратах, т.к. не требуется вычисления каких-либо итерационных параметров. Для эффективной реализации итерационного, процесса МГП не требуется информации о границах спектра интегрального оператора. Демонстрируется хорошая сходимость метода при коэффициентах Пуассона близких к.0.5

В третьей главе доказывается достоверность построенных алгоритмов и программ , демонстрируется эффективность подхода. Решен ряд классических задач -теории упругости. Решения сравниваются с известными, полученными другими, аналитическими и численными, методами. Представлены следующие тестовые решения : задача об упругом равновесии ,куба, находящегося под действием гидростатического сжатия (кинематические, статические, смешанные граничные условия); задача об упругом равновесии полого цилиндра (задача Ламе); задача о вращающемся цилиндре; задача об упругом равновесии полой сферы (задача Ламе). Хорошее соответствие полученных результатов имеющимся аналитическим решениям доказывает достоверность алгоритмов и программ.

Число точек интегрирования Рис. 6

В качестве иллюстрации, демонстрирующей эффективность численной реализации дифференциальной постановки МГП при

расчете НДС существенно трехмерных конструкций была решена задача о цилиндре с внутренним каналом зверообразной формы. На рис. 7 представлена расчетная схема и дискретизация границы

рассматриваемой области. В качестве расчетной облас ги бралась 1/8 конструкция. Поверхность разбивалась на 14 граничных элементов. а внутренняя область для представления ооъемного интеграла - на 64 объемных ячейки Исследовалось решение для серединного сечения цилиндра г.=0 ид ом, радиуса г в двух сечениях по угловой координате <р=0 и <р~45 .

На рис. 8 представлены результаты решения задачи с заданным внешним единичным давлением по боковой поверхности цилиндра (модуль упругости 100. коэффициент Пуассона 0.3): перемещения и и напряжения а , ст при <р=0 (кривые 1.2,3) и при <р=45 (кривые З.-'о соответственно).

На рис. 9 представлены результаты решения задачи ,хтя тою же цилиндра, вращающегося вокруг оси г с постоянной угловой скоростью (угловая скорость 10, плотность материала I): переметения

Рис. 7

и. и напряжения сти в при <р=0 (кривые 1,2,3) и при <р=45 (кривые 3,4,5 соотвествекно).

Вмп-А

Рис.10

Рис. 12

Бьла решена задача о контроле отражающей поверхности рефлектора (Рис. 10) В массиве рефлектора просверлены отверстия, оси которых расположены в вершинах равносторонних треугольников. По торцевым площадкам всех отверстий в массиве рефлектора действует единичное нормальное давление. Внешняя часть контура жестко закреплена. Коэффициент Пуассона 0.3, модуль сдвига 1. В качестве расчетной схемы бралась 1/8 кострукции, схема дискретизации которой представлена на рис. 11. На рис. 12 представлена полученная форма деформированной отражающей поверхности рефлектора. .

Анализ временных затрат на решение задачи о кубе, нагруженном гидростатическим давлением, демонстрируется численным экспериментом, результаты которого приведены в таблице 2. Задача решалась методом граничных элементов и МГП (решение СЛАУ методом Гаусса). Заданная погрешность решения-3 %. Как

видно из таблицы, эффект на этапе решения системы алгебраических уравнений тем выше, чем больше размерность системы. Результаты приведены для ПЭВМ IBM PC АТ-486/33.

Таблица 2.

Мгтол граничных элементов (МГЭ I ■ Метод геомщапесюго подожотя (Mill)

Элементод Степеней свободы Время формирования^ Решение системы, с МГЭ мгп Итераций МГП эффект

6' 72 3 , 1 1 7 1

24 288 31 23 14 ' 9 1.6

54 648 155 " 330 101 10 3.3

96 1152 386 3948 270 11 14.6

150 1800 1100 19269 932 12 20.7

В заключении приведены основные выводы по данной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан эффективный алгоритм численной реализации дифференциальной постановки метода геометрического погружения для решения пространственных задач статической теории упругости. На основе построенного алгоритма создан высокопроизводительный программный комплекс для расчета НДС трехмерных конструкций.

2. В рамках численной реализации метода решены вопросы автоматической дискретизации поверхности и объема трехмерного тела, выбора оптимальной схемы интегрирования сингулярных интегралов, построения адаптивной схемы интегрирования по поверхности тела, учета симметрии в задаче.

3.На основе проведенных численных экспериментов исследована устойчивость и сходимость метода при изменении таких параметров, как степень дискретизации, точность интегрирования, значение коэффициента Пуассона, тип граничных условий. Доказаны хорошая устойчивость и высокая скорость сходимости метода.

4. Продемонстрированы высокая точность, эффективность и высокая производительность метода геометрического погружения. Достоверность алгоритмов и программ доказана большим числом решенных тестовых задач. Приведенные примеры решения задач определения НДС существенно трехмерных конструкций показывают работоспособность разработанного комплекса программ и его применимость в инженерных расчетах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (код проекта 93-013-16824).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

I Булавин П.В. Особенности численной реализации решения пространственных |алач теории упругости методом геометрического погружения.//Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением. Материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции. Пермь, 1990 г.. с. II.

2. Булавин П.В., Труфанова М.А. Численная реализация метода геометрического погружения b дифференциальной постановки для решения двумерных и трехмерных задач теории у пру гости.//Численные методы механики сплошной среды. Часть II Тезисы докладов школы молодых ученых. Красноярск. 19X9, с. 00.

3. Булавин П.В. О некоторых вопросах численной реализации метода геометрического погружения в дифференциальной постановке для решения пространственных задач теории упругости.//Научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов. Харьков, 1990. с. 28.

4. Булавин U.U.. Труфамова М..Л. Численная реализация дифференциальной постановки метода геометрическою погружения для решения краевых задач теории упругости.//Труды XIV научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР, Киев, 23-26 мая. 1989, Ч. I, 1989.-е 12-16.-Деп. в ВИНИТИ 2.08.89,N5164-1389

5. Булавин П.В.. Шардаков П.Н. Гранично-элементный подход к решению трехмерных задач теории упругости. /7 Г1ММ (в печати).

ЛИТЕРАТУРА

1. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложением в технике. М.:Мир, 1978. 518 с.

2. Шардаков H.H. Метод геометрического погружения для решения трехмерных задач теории упругости; Автореферат диссертации на соискание ученой степени дою ори физико-математических наук. М.: Московский институт электронного машиностроения, 1990. 30 с.

3. Бенерджи П.. Баттерфплд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.:Мир. 1984. 494 с.

Сдано и печать 27.10.94. Формат 60x84/16. Объем I п.л. Тираж 100 экз. Заказ 150.

Роишршн Пермскою государственного технического университета