Численное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. ТРЕХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО

ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ШИН

§1.1 ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ В ОТСЧЕТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

§ 1.2 ПОШАГОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

НЕОДНОРОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

§1.3 ОСРЕДНЕНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ РЕЗИНО-КОРДНОГО

КОМПОЗИТА.

Глава 2. ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО

ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ШИН.

§ 3.1 ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОЕ

СОСТОЯНИЕ ШИН.

§3.2 СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ПАКЕТА

ПРОГРАММ ANS YS

§ 3.3 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И ТЕХНИКА ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

§3.4 ТЕСТИРОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ.

§ 3.5 МЕТОДЫ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ

МЕТОДОВ.

§3.6 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ.

§3.7 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОНТАКТЕ ШИНЫ ОБ ТВЕРДУЮ ПОВЕРХНОСТЬ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ СОПРИКОСНОВЕНИЕ.

Потребности шинной промышленности приводят к необходимости решения более сложных задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ), моделирующих поведение шин. В этой связи актуальной задачей является совершенствование как моделей МДТТ, так и методов решения краевых задач, построенных по этим моделям. В настоящее время в связи с бурным развитием вычислительной техники широкое развитие приобрел метод конечных элементов (МКЭ). Ведь одна из главных задач МДТТ состоит в определении напряженно-деформированного состояния (НДС) с высокой точностью при приемлемых материальных и физических затратах [1]. При современном уровне развития вычислительной техники непосредственная аппроксимация (например, конечно элементная) исходной краевой задачи дискретной моделью и соответствующее программное обеспечение стали рабочим инструментом в инженерной практике. Кроме того, решение задач статики и динамики шин возможно лишь численными методами.

Однако задачи численного определения НДС пневматической шины являются весьма сложными. Сложность состоит в том, что конструкция испытывает большие изменения геометрии, представляет собой неоднородную систему, а резина обладает малой сжимаемостью.

Решения задач, связанных с шиной, обычно основаны на теории оболочек. Методам моделирования и решения таких задач посвящено огромнейшее число работ.

Одна из первых работоспособных моделей шины, как оболочки, была предложена в работе F. Böhm [2], где оболочка считалась состоящей из двух мембранных слоев, моделирующих каркас и брекер шины. В этой работе рассматривалось нагружение шины внутренним давлением. Дальнейшее 5 развитие эта модель получила в работе В.Л. Бидермана и Э.Я. Левковской

3].

Модель шины, основанная на элементарно-структурном анализе, рассматривалась также в работах [4-7].

Хотя в связи с развитием аэрошинного строения, ранее в 1913 г., в работе [8] была развита мембранная модель шины, тем не менее, применение этих теорий для изучения изменения профиля пневматической шины при раздувании была получена относительно недавно [9, 10].

Мембранная модель для шин, основанная на теории ортотропных оболочек Кирхгофа-Ляве, рассмотрена в работах [11-14]. В работах [13, 15] рассматривается модель пневматической шины состоящей из оболочек типа каркаса и брекера. Значительный прогресс в моделирование шины был сделан в работе [16], где шина моделирована с помощью геометрически нелинейной теории Кирхгофа-Ляве для многослойной ортотропной оболочки.

Результаты анализа пневматических шин, с учетом поперечных напряжений, были получены в работе [17]. В этой работе боковая сторона радиальной шины моделирована с помощью однородной, трансверсально-изотропной оболочки и беговая часть моделирована как композиция из двух ортотропных оболочек брекера и каркаса и резины между ними. Такая модель допускает аппроксимацию вычисления поперечной деформации в области между брекером и каркасом.

Новая вычислительная модель шины, основанная на геометри [ески нелинейной теории Тимошенко для многослойной анизотропной оболочки, была развита в работах [18-20]. Геометрически нелинейная теория Тимошенко для многослойных анизотропных оболочек приведена в работе [21]. Такая модель, отличная от модели из работы [18], позволяет описать нелинейную зависимость тангенциальных составляющих напряжений и деформаций от координаты по толщине. Такая зависимость особенно 6 характерна для вычисления полей напряжения и деформации в зоне окончания брекера.

Более точная вычислительная модель была построена с помощью теории отдельных слоев из многослойных анизотропных оболочек [22-25]. В этой модели порядок дифференциальных уравнений зависят от количества слоев шины. Это позволяет исследовать характер распределения напряжения в направлении по толщине шины.

В работах [26, 27] для решения задачи обжатия шины на поверхности дороги и задачи стационарного качения обжатой шины использовалась приближенная теория трехслойных оболочек. В этих работах рассматривались малые деформации предварительно напряженных оболочек. В работах [28, 29] предложено приближенное решение контактной задачи об обжатии шины на плоскость, основанное на интегрировании линеаризованных уравнений теории оболочек. При построении линеаризованной теории предполагалось, что смещения точек шины, переводящие ее из начального состояния (накачанная шина) в конечное (обжатая шины), являются малыми.

В настоящее время расчеты НДС шин при эксплуатационных нагрузках проводят, как правило, в статической постановке. Однако хорошо известно [30, 31], что характер деформации шины при высоких скоростях качения существенно отличается от деформаций неподвижной или медленно катящейся шины, причем динамические эффекты начинают проявляться при скоростях значительно меньших, чем критическая скорость. Скорость называется критической, при достижении которой характер стационарного качения шины резко изменяется.

Трехмерное моделирование шин и экспериментальное определение коэффициентов трения шины на разных поверхностях изучается в работах X. Манга [32 - 35]. Обзор шин с механическими характеристиками приведен в фундаментальной книге под редакцией С.К. Кларка [131]. 7

Анализ напряженного состояния сельскохозяйственных шин на основе метода конечных элементов рассматривается в работах L. Sarközi [36, 37].

Трехмерные контактные задачи о шине и задачи стационарного качения решаются методом конечных элементов в работах X. Ротерта [38-40]. Работа [41] посвящена формулировке упруго-пластического и вязкоупругого повреждений.

Динамическая задача исследована в работах B.JI. Бидермана [42, 43], B.JI. Бидермана и Б.Л. Бухина [44, 45], Г.И. Литинского [46].

Изучение напряжений в катящейся радиальной шине проводили также F. Böhm и его коллеги [47] на основе различных моделей. Самая простая модель - это кольцо на упругом основании. Кольцо, моделирующее брекерный пояс, наделялось двумя жесткостями на изгиб относительно главных центральных осей поперечного сечения, крутильной жесткостью, а также жесткостью при растяжении. Упругое основание моделировало боковые стенки шины. Рассматривалось пространственное деформирование шины по трем направлениям.

Среди работ, посвященных расчету контактных сил при качении шины, в первую очередь следует назвать обстоятельные исследования японских специалистов во главе с Т. Akasaka [48] и сотрудников технического университета Делфта (Нидерланды) [49].

Динамическим контактным задачам посвящены работы Ф. Бёма [50, 51].

Наиболее точная постановка задачи о напряжениях при качении шины дана в работах J. Padovan [52-54], где рассматривался алгоритм трехмерного конечно-элементного анализа в случае больших вязкоупругих деформаций конструкции.

Обратим внимание теперь на другой подход решения задачи основанный на трехмерной теории нелинейной упругости, а не на теории оболочек. 8

Трехмерное моделирование НДС пневматических шин представляет интерес, по крайней мере, в двух аспектах. Во-первых, в чисто теоретическом, так как ставит достаточно сложные проблемы как в смысле механики композитов, так и в смысле вычислительных алгоритмов. По существу трехмерное моделирование шин является очень серьезным тестом для ряда численных методов. Особенно это касается итерационных методов. Во-вторых, эта задача интересна в практическом плане, так как позволяет перейти от распространенного расчета шин на основе методов сопротивления материалов к расчету на основе уравнений теории упругости.

В настоящей работе развивается методика расчета напряженно-деформированного состояния резино-кордных пневматических шин на основе уравнений теории упругости, а не теории оболочек. В связи со стремительным развитием компьютеров, их постоянным удешевлением такой подход приобретает все больший смысл. Рассматривается только квазистатическое нагружение. Однако подход на основе трехмерной модели является новым, в России пока только "НПО Старт" развивает аналогичный подход [55,56].

С точки зрения механики шина представляет собой резинокордный композит, для моделирования которого можно применять математический аппарат механики композитов [57, 58]. В настоящей работе для моделирования квазистатического нагружения шины используются уравнения нелинейной теории упругости. Такое моделирование обладает явными достоинствами, так как не связаны гипотезами теории оболочек (такие гипотезы обычно приносят какие-то ограничения), и пригодно для неоднородных, например, слоистых анизотропных тонкостенных тел. Точность численной реализации за счет увеличения числа узлов меньше зависит от толщины и внутренней структуры. Кроме этого, для численного решения уравнения упругости 2-ого порядка проще, чем уравнения теории оболочек. Однако для эффективной реализации трехмерного моделирования необходимо преодолеть, прежде всего, чисто теоретические проблемы. 9

Основная цель на пути решения трехмерных задач для тонкостенных тел состоит в разработке эффективного по скорости алгоритма решения трехмерных разностных уравнений.

Первоначально интерес к геометрически нелинейным проблемам был связан с задачами для пластин и оболочек. Однако, в последнее время в связи с приложениями интенсивно развиваются методы решения краевых задач механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях. Этому посвящены, например, работы [59, 60].

Отметим основные методы численного решения трехмерных задач теории упругости. Вариационно-сеточные методы или метод конечных элементов (МКЭ) стали главными средствами решения трехмерных задач [61-63]. Одним из перспективных направлений МКЭ является использование сетки, топологически эквивалентной прямоугольной сетке в некоторой области, составленной из прямоугольников или в трехмерном случае из параллелепипедов. Этот метод, развиваемый в работах [64, 65], позволяет для решения полученной разностной схемы применять итерационные методы [64, 68, 87], сходимость которых не зависит от числа уравнений.

Реализация вариационно-разностного метода для осесимметрических задач теории упругости имеется в работах A.JI. Квитки и др. [66], C.B. Шешенина и И.С. Кузя [67, 68], а для трехмерных задач, например, в работах Б.Е. Победри и C.B. Шешенина [69, 70]. Распространение вариационно-разностного метода на задачи теории упругости в областях с криволинейной границей предложено в работе C.B. Шешенина [71].

Решения контактных задач с учетом трения рассматриваются в работах [112, 113, 128-130, 137-140].

Предлагаемая диссертационная работа посвящена построению трехмерной модели пневматической шины и ее численной реализации при квазистатическом нагружении и при контактных граничных условиях на поверхности контакта с учетом трения.

10

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе для моделирования шины используется постановка краевой задачи, записанная в области, занимаемой телом в недеформированном состоянии, т.е. используется отображение Пиолы области из текущего состояния в начальное.

Для численного решения нелинейной системы уравнений в частных производных относительно вектора перемещения используется дискретизация по параметру нагружения. Краевая задача в скоростях на каждом шаге представляет задачу линейной анизотропной неоднородной теории упругости. Приведен пошаговый метод для решения краевой задачи. В §1.2 для осесимметричной краевой задачи о нагружении шины внутренним давлением экспериментально показана сходимость пошагового метода.

Для решения краевой задачи в криволинейных областях немаловажное значение имеет построение сеток. Для создания регулярных сеток в двумерных и трехмерных областях созданы программы для персональных компьютеров, позволяющие в диалоговом режиме осуществлять построение и изображение сеток. Последнее полагает устранять ошибки в задание входных данных и улучшать качество сеток. Для количественной оценки качества сеток используется критерий, связанный с мерой обусловленности оператора Лапласа.

В первой главе для решения неоднородной линейной задачи на каждом шаге метода пошаговой линеаризации применяется метод осреднения упругих свойств резино-кордного композита, предложенный Б.Е. Победрей. В шине резино-корд имеет слоистую структуру, причем слои представляют собой волокнистый композит. Поэтому для определения эффективных свойств, производится осреднение упругих характеристик в слоях как волокнистого композита, а результат используется для осреднения слоев резино-корда как слоистого композита.

11

В §1.3 сравниваются результаты определения осредненных упругих характеристик с результатами работы Б.Е. Победри [57].

Во второй главе вариационно-разностным методом получена разностная схема, аппроксимирующая задачу теории упругости. В предлагаемом алгоритме аппроксимации использовано отображение исходной области с криволинейной границей на прямоугольную область. Это отображение фактически определяется криволинейной сеткой, являющейся топологически эквивалентной прямоугольной сетке.

Глава 3 начинается с осесимметричной задачи, рассматриваемой как тестовой. Задача раздувания шины внутренним давлением решается в линейной и нелинейной постановке, и приводятся результаты сравнения напряжений.

В главе 3 также сравниваются результаты расчета НДС шины осесимметрического случая по предложенной методике и по коммерческому пакету программ ANS YS. Получено удовлетворительное совпадение результатов.

В главе 3 описаны итерационные методы со спектрально эквивалентным предобусловливателем для решения дискретных задач, полученные в предыдущей главе. Наличие спектральной эквивалентности приводит к независимости числа итерации от шагов дискретизации. Для линейной задачи в качестве оператора, передобусловливающего разностного оператора теории упругости, выбран оператор Лапласа в канонической области, являющийся спектрально эквивалентным с оператором упругости. В результате тестов итерационных параметров показано преимущество комбинированного метода [68] состоящего из градиентного метода и метода с чебышевскими параметрами, по сравнению методом сопряженных градиентов. Для ликвидации последствий неточного определения констант спектральной эквивалентности и накопление ошибок округления алгоритм содержит адаптацию итерационных параметров.

12

Для обращения разностного оператора Лапласа в прямоугольнике или в параллелепипеде используется метод, основанный на сочетании алгоритма быстрого дискретного преобразования Фурье и метода прогонки.

Также показано преимущество итерационных методов над методом Холецкого (метод квадратного корня) при решении трехмерной задачи. В работе для итерационных методов оптимизируется вычислительный процесс по времени выполнения и по объему используемой памяти ЭВМ.

В §6 главы 3 исследуется метод разделения областей (метод декомпозиции), позволяющий в ряде случаев свести решение задачи в области сложной формы к решению последовательности задач в более простых областях. Возросший интерес к данному методу в последнее время обусловлен и тем обстоятельством, что он часто допускает крупноблочное распараллеливание процесса решения исходной задачи. Это обстоятельство является важным в связи с внедрением в практику вычислений многопроцессорных ЭВМ, работающих в параллельном режиме.

В §7 главы 3 приведен метод решения контактной задачи с учетом трения на поверхности контакта, предложенный A.C. Кравчуком [112, 113, 128-130]. На каждом шаге приращения нагрузки и на каждом этапе алгоритма последовательных приближений производится переход к задаче разыскания седловой точки функционала, содержащей усилия контактного взаимодействия. Поиск седловой точки производится методом типа Удзавы (Эрроу-Гурвица) сходимость которого обеспечивается вогнуто-выпуклой структурой задачи (выпуклость по перемещениям и вогнутостью по усилиям контактного взаимодействия).

Контактная задача решается в линейной и нелинейной постановках. Исследуется напряженно-деформированное состояние в области контакта. Определены контактные усилия и сама область контакта. В зоне контакта определяется зона сцепления и зона скольжения. Сравниваются результаты определения контактных усилий в линейной и нелинейной постановках. Для

13 решения задачи в нелинейной постановке предложена явная и неявная схемы.

В работе принята тройная нумерация формул. Первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - номер формулы внутри параграфа.

14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ