Применение метода конечных объемов к расчету пневматических шин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ ШИНЫ - ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

1.1. Основные требования к характеристикам пневматических шин.

1.2. Состояние вопроса по методам расчета пневматических шин.

1.3. Постановка задачи исследования.

Выводы.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ШИН.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вывод основных соотношений метода конечных объемов.

2.3. Реологические соотношения для расчетной модели.

Выводы.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО

ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ШИН.

Выводы.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ШИН.

4.1. Расчет напряженно-деформированного состояния тороидальной оболочки.

4.2. Расчет радиальной шины.

4.3. Расчет радиальной шины 175/70R13 модели 0-174.

4.4. Расчет бортовой зоны.

4.5. Расчет обжатия диагональной шины.

Выводы.

Состояние и актуальность темы. Пневматические шины являются ответственными элементами автомобилей. Шина на автомобиле во многом определяет его надежность, безопасность, экономичность и комфортабельность. Ужесточающиеся экологические требования приводят к непрерывному совершенствованию автомобилей и повышают требования к шинам. Современная шина должна иметь высокий ресурс, обладать хорошими тягово-сцепными свойствами, обеспечивать устойчивость и управляемость автомобиля, иметь низкое сопротивление качению для повышения экономичности и обладать низким уровнем шума.

В зависимости от расположения нитей корда в каркасе различают диагональные и радиальные шины. Наиболее сбалансированное сочетание потребительских свойств реализовано в шинах с меридиональным расположением нитей корда в каркасе [1, 2]. Такие шины получили название радиальных шин или шин типа Р. В наиболее развитых странах от всех производимых шин доля радиальных шин составляет от 75% до 98% [3]. В нашей стране существует устойчивая тенденция по росту объема выпуска радиальных шин, как для легковых, так и для грузовых автомобилей. Важность увеличения доли радиальных шин от общего количества выпускаемых шин заключается в заметной экономии топлива при переходе на радиальные шины. Так, по данным [3], экономия топлива и снижение выбросов в окружающую среду составляет 8% для грузовых и 18% для легковых шин при применении радиальных шин.

Несмотря на то, что в радиальных шинах существует принципиально лучшая возможность сбалансированного сочетания требуемых свойств, достижение этого баланса при проектировании является сложной задачей. В то же время продолжается проектирование шин диагональной конструкции, в основном для летательных аппаратов и грузовых автомобилей.

На этапе проектирования пневматических шин конструктор должен решать множество вопросов [4]. К важнейшим из них относятся:

- определение напряженно-деформированного состояния шины;

- изменение характеристик шины при изменении ее конструкции, материалов, условий нагружения;

- получение требуемых характеристик конструкции и материалов для реализации необходимых эксплуатационных свойств шины;

- оптимизация конструкции шины.

Современный подход к обеспечению конструктора необходимым инструментом предполагает развитие компьютерных методов расчета и проектирования шин. Ведущие мировые производители шин, такие как «Континенталь», «Мишлен», «Пирелли» тратят огромные средства на интеллектуальное оснащение и проведение компьютерного проектирования. Косвенным свидетельством объемов затрат может служить список мощностей вычислительной техники, применяемой при анализе деформации в шине методом конечных элементов (МКЭ), приведенный в обзоре Ф. Таббадора и

ДР- [4].

Год 1984 1986 1988 1992 1994

ЭВМ VAX 11/780 VAX 8530 FPS Р64/116 CRAY XMP14 CRAY XMP28 CRAY XMP416

Авторы обзора делают вывод об ограничении приложения метода конечных элементов к проблеме проектирования шин мощностями вычислительной техники.

В зарубежной практике принят экстенсивный путь моделирования, подразумевающий повышение дискретности представления шины в модели МКЭ. Этот подход не дает возможности проводить параметрические сопоставительные исследования, поскольку каждый расчет превращается в уникальный эксперимент. Положительные качества такого подхода ярко проявляются при замене натурного эксперимента вычислительным.

Российские школы придерживаются иного подхода [5, 6, 7], суть которого заключается в том, что на начальной стадии проектирования шины при определении генеральных соотношений размеров и характеристик шин следует применять вычислительные методы и математические модели, не требующие специальной подготовки персонала и не предъявляющие особых требований к мощности ЭВМ. Как правило, эти методы рассчитаны на сравнительные оценки напряженно-деформированного состояния пневматических шин и требуют наличия шин - прототипов, для которых имеются экспериментальные данные. В то же время, практически не ведутся работы по разработке методов расчета, предназначенных для уточненных расчетов. Исключением являлась фирма «Старт», которая пошла по пути разработки собственной программы расчета шин на базе метода конечных ^ элементов.

Большая часть работ по развитию применения методов теории оболочек к расчету шин, опубликованных в последние годы, принадлежат Э.И. Григолюку и Г.М. Куликову [7 - 15]. Применение этих работ в практике определения напряженно-деформированного состояния шин при проектировании не позволяют ответить на все вопросы, встающие перед конструкторами. В первую очередь это относится к определению напряженно-деформированного состояния в опасных зонах шин: зоне окончания брекера и бортовой зоне.

Успешное функционирование отечественной шинной промышленности без государственной поддержки объясняется высокой востребованностью шин на потребительском рынке. Для сохранения российскими ♦ производителями шин своей ниши на внутреннем и внешнем рынках, при активных попытках внедрения ведущих шинных фирм мира на российский рынок, необходимо проводить техническую политику, направленную на значительное расширение номенклатуры шин, быстрое освоение новых образцов, удовлетворяющих современным требованиям к пневматическим шинам. Одна из сложных проблем, встающая перед конструкторами, заключается в модернизации выпускаемых шин, пользующихся спросом на рынке, путем снижения материалоемкости с одновременным повышением эксплуатационных характеристик. Только в этом случае можно успешно конкурировать с зарубежными образцами.

Поскольку на шинных заводах отсутствует исследовательская экспериментальная база, подобная зарубежной, существует потребность в создании методов анализа, которые позволили бы не только устанавливать влияние основных конструктивных параметров шин на их характеристики, но и позволили бы заменять часть натурных экспериментов вычислительными. В то же время, эти методы должны предъявлять минимальные требования к мощности ЭВМ и позволять использовать современные ПЭВМ.

Разработка и развитие расчетных методов должны приводить к созданию объектно-ориентированных программ, которые могли бы использоваться непосредственно на шинных заводах в повседневной практике конструкторов шин. В идеале такие программы должны позволять проводить достоверную оценку напряженно-деформированного состояния при всех условиях эксплуатации автомобилей, включая:

- нагружение шины внутренним рабочим давлением;

- движение и маневрирование по асфальтированной дороге;

- движение и маневрирование по гололеду;

- движение и маневрирование по дороге, покрытой слоем воды;

- движение и маневрирование по дороге, покрытой слоем снега.

Большая часть теоретических и практически все экспериментальные работы по исследованию напряженно-деформированного состояния шин в нашей стране проводились в НИИ шинной промышленности. Изменение экономической ситуации привело к тому, что НИИ шинной промышленности прекратил свое существование. И богатый опыт, накопленный в этом институте, оказался недоступным для КБ шинных заводов.

В нашей стране до начала 90-х годов существовала только одна программа для расчета механических характеристик шин - АПР (Автоматизированный Поверочный Расчет), разработанная в отделе механики шин НИИ шинной промышленности О.Н. Мухиным [16]. В основу программы положена расчетная модель радиальной шины в виде кольца на упругом основании. Простота этой модели не дает возможность детально исследовать напряженное состояние шины, хотя позволяет при соответствующей настройке достаточно точно определять жесткостные характеристики радиальных шин.

Активные работы по приложению теории оболочек к расчету радиальных шин позволило изучить осесимметричную задачу о напряжениях в шине при над дуве [17].

В середине 90-х годов был разработан объектно-ориентированный пакет «КАСКАД» [5, 18, 19]. В основу этого пакета программ легли методы расчета радиальных шин на основе модели многослойной армированной оболочки, развитой А.Е. Белкиным [17,18]. Этот пакет реализован как надстройка над AutoCAD и состоит из ряда модулей, для ввода в проблемно-ориентированном диалоге геометрии шины по пресс-форме и расчетов напряженно-деформированного состояния. Легкость работы с пакетом и быстрота вычислений позволяют за короткое время перебрать ряд вариантов конструкции. К ограничениям пакета следует отнести следующее:

- пакет ориентирован на оценочные расчеты, эффективные при наличии шины - прототипа, для которой имеются экспериментальные данные или результаты расчета МКЭ;

- напряженно-деформированное состояние бортовой зоны не определяется;

- пакет предназначен только для расчета радиальных шин.

Проведенный анализ показывает, что для выполнения расчетов ^ напряженного состояния шин в конструкторских отделах шинных заводов применяются два вида расчетных программ:

- «тяжелые» универсальные, на основе МКЭ (ANSYS, NASTRAN, MARC), позволяющие проводить детальный анализ напряженно-деформированного состояния, но требующие значительных затрат на адаптацию пакетов для определения напряженно-деформированного состояния пневматических шин;

- «легкие» объектно-ориентированные («КАСКАД», «АПР»), использующие упрощенные модели шины или теорию оболочек, позволяющие быстро ввести исходную геометрию шины и за несколько минут определить напряженно-деформированное состояние шины, не требующие мощных ПЭВМ (на шинных заводах нашей страны).

Ф В настоящее время существует потребность в объектноориентированной программе, которая не предъявляет жестких требований к ресурсам ЭВМ и может работать на современных мощных ПЭВМ, а также, позволит за приемлемое время получать достаточно точные результаты, сопоставимые с коммерческими пакетами МКЭ, с достаточной детализацией напряженно-деформированного состояния конструкций как радиальных, так и диагональных шин. По терминологии, принятой для CAD/CAM систем, такую программу можно отнести к «среднему» классу.

Для адекватного численного моделирования процессов деформирования конструкций необходимо выполнение следующих требований к современным численным методам: а) точное представление областей сложной геометрии; б) высокий порядок точности пространственных Ш и временных схем дискретизации.

В последние годы активно развивается подход, основанный на представлении среды в виде конечных объемов [71, 73], и аппроксимации уравнений сохранения в интегральной форме на этих объемах. Основные преимущества такого подхода заключаются в единообразии аппроксимации уравнений на конечных ячейках произвольной формы и, следовательно, в упрощении аппроксимации уравнений для сложных расчетных областей. Кроме того, в методе конечных объемов сеточные законы сохранения выполняются в каждой расчетной ячейке, а для формирования уравнений не привлекаются вариационные принципы.

Возможность алгоритмизации расчетных программ, сопоставимая с конечно-разностными методами точность и большая скорость счета, основанная на идеях представления данных А.И. Гулидова [76], являются причинами, по которым нами был выбран метод конечных объемов для разработки методов расчета пневматических шин.

Целью диссертации является разработка методов и алгоритмов расчета напряженно-деформированного состояния произвольной конструкции пневматических шин на основе метода конечных объемов при статическом и динамическом режимах нагружения.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Адаптация метода конечных объемов для задач расчета пневматических шин, позволяющая на этапе проектирования прогнозировать их напряженно-деформированное состояние.

2. Подбор и уточнение математической модели диагональных шин.

3. Подбор и уточнение математической модели радиальной шины.

4. Разработка эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния диагональных пневматических шин.

5. Разработка эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния радиальных шин.

В диссертационной работе рассматриваются задачи осесимметричного нагружения пневматических шин и задачи трехмерного нагружения. Выбор этих задач обусловлен следующим.

- Определение равновесной конфигурации шины, т.е. л деформированного состояния, которое приобретает шина под действием внутреннего давления, является необходимым этапом, позволяющим конструктору определять габаритные размеры надутой шины.

- Напряженно-деформированное состояние шины под действием внутреннего давления является исходным для всех режимов эксплуатации шины.

- Определение разрушающего внутреннего давления является одним из обязательных испытаний пневматических шин.

- Определение критической скорости вращения шины является одним из обязательных испытаний новой шины.

- Эксплуатационные нагрузки на пневматические шины носят трехмерный характер.

Научная новизна.

1. Впервые разработаны методы расчета напряженно-деформированного состояния пневматических шин на основе метода конечных объемов.

2. Разработанные расчетные методы позволяют по единому алгоритму проводить расчеты радиальных и диагональных пневматических шин.

3. Адаптированы основные соотношения для определения приведенных модулей упругости композиционного материала для расчета пневматических шин, выполненных из высокоэластичных материалов.

4. Разработанные расчетные методы позволяют при проведении расчетов автоматически учитывать реальные граничные условия и, тем самым, позволяют решать контактные задачи.

5. Разработанные расчетные методы не требуют большого объема <* оперативной памяти.

6. Разработанные расчетные методы позволяют, в зависимости от конкретной цели, проводить как проектные, так и поверочные расчеты.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- сравнением полученных результатов с решениями, полученными другими методами;

- сопоставлением полученных результатов с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. XXI академические чтения по космонавтике. (Москва, 30 января-1 февраля 2002 г.).

2. Семинар «Методы вычислительной математики» Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (10 сентября 2002 г.).

3. IV международная научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 12-14 ноября 2002 г.).

4. Научный семинар факультета летательных аппаратов НГТУ под руководством профессора Г.И. Расторгуева (7 апреля 2003 г.).

5. Российская научно-техническая конференция «Наука, Промышленность, Оборона» (Новосибирск, 23-25 апреля 2003 г.).

6. 18-я Межреспубликанская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово 1-3 июля 2003 г.).

7. Межкафедральный семинар НГАСУ под руководством профессора Г.И. Гребенюка (Новосибирск, 5 ноября 2003 г.).

8. Семинар кафедры строительной механики СГУПС (НИИЖТ) под руководством профессора М.Х. Ахметзянова (Новосибирск, 6 ноября 2003 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 1 статья.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 133 стр., включая 33 рисунка и 7 таблиц. Список литературы содержит 112 наименований.

Выводы

1. В главе представлены расчеты моделей диагональных и радиальных пневматических шин.

2. Для моделирования диагональной шины выбрана оболочка в виде незамкнутого тора, выполненного из двух слоев кордной ткани.

3. Проведены расчеты по определению деформированного состояния радиальных и диагональных шин по разработанному методу. Сравнение результатов расчетов с результатами других авторов по линейной и нелинейной теориям оболочек показывает, что предлагаемый метод позволяет достоверно определять деформированное состояние диагональных шин.

4. Для оценки достоверности напряженно-деформированного состояния радиальных шин была выбрана шина 175/70R13, для которой в литературе имеются результаты расчетов по теории оболочек. Анализ результатов расчетов показывает, что напряженно-деформированное состояние радиальных шин достоверно определяется по разработанным автором методам.

5. Расчет шины 175/70R13 модели 0-174, разрабатываемой на Омском шинном заводе, показал, что при вращении шины со скоростью, соответствующей качению с заявленной эксплуатационной скоростью качения 180 км/ч, резко возрастают нормальные и меридиональные деформации каркаса. Причин таких результатов могут быть две. Первая: разработанная конструкция шины не выдерживает таких оборотов. Вторая: нити каркаса работают в нелинейной зоне деформаций, в то время как в модели заложены линейные характеристики материала корда.

6. Для оценки разработанных моделей проведен расчет бортовой зоны радиальной шины 260-508 Р модели И-Н142Б, для которой имеются результаты экспериментального определения деформации. Полученные расчетные результаты деформации свидетельствуют о хорошем совпадении с экспериментальными данными.

7. Для проверки работоспособности алгоритмов определения трехмерного напряженно-деформированного состояния была выбрана авиационная шина 660x160, для которой имеются экспериментальные результаты обжатия шины на плоскости вертикальной силой. Расчетное определение обжатия шины на плоскости показало близкие к эксперименту, так как различие не превышает 9%. Необходимо отметить, что в расчете шина обладает большей жесткостью, что можно объяснить некоторым отличием механических характеристик материалов, используемых в расчете, от механических характеристик конкретного образца шины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выведены основные соотношения для определения напряженно-деформированного состояния пневматических шин на основе метода конечных объемов.

2. Разработаны вычислительные алгоритмы, реализующие конечно-объемные соотношения определения напряженно-деформированного состояния для режимов статического и динамического нагружения пневматических шин.

3. Разработанные вычислительные алгоритмы позволяют определять напряженно-деформированное состояние пневматических шин как для линейных задач, так и для геометрически и/или физически нелинейных задач. Возможность решения геометрически нелинейных задач обеспечивается благодаря лагранжевому подходу и применению продифференцированного по времени закону Гука.

4. Разработанные расчетные методы позволяют по единому алгоритму проводить расчеты шин как радиальной, так и диагональной конструкций.

5. Приведены соотношения, связывающие механические характеристики армирующих волокон и связующего с механическими характеристиками композиционных слоев.

6. Путем вычислительного эксперимента показана достоверность результатов, получаемых разработанным методом, на примерах, для которых имеются расчетные и/или экспериментальные результаты.

7. Показана работоспособность разработанного метода для решения геометрически нелинейных задач на двух примерах: 1) расчет торообразной оболочки, выполненной из двух слоев резинокордного композита; 2) расчет обжатия авиационной шины на плоскость под

Щ действием вертикальной нагрузки.

Для первой задачи результаты расчетов по разработанному автором методу качественно совпадает с результатом, полученным по геометрически нелинейной теории оболочек. Различие в результатах объясняется различным подходом к определению приведенных механических параметров композитного материала в зависимости от меридиональной координаты оболочки.

Особенность задачи обжатия авиационной шины 660x160 заключается в том, что: 1) в зоне контакта шины с поверхностью имеют место большие перемещения; 2) задача решается в трехмерной постановке. Различие результатов расчетов от экспериментальных данных не превышает 9%.

Проведены расчеты деформации разрабатываемой на Омском шинном заводе новой модели радиальной шины.

Расчет вновь разрабатываемых шин показал, что необходимо продолжить работу по совершенствованию разработанных методов по следующим направлениям: введение нелинейных механических характеристик корда; разработка модулей, позволяющих определять разрушение элементов конструкции.

1. Автомобильные шины / В.Л. Бидерман, Р.Л. Гуслицер, С.П. Захаров и др.- М.: Госхимиздат, 1963.- 384с.

2. Работа автомобильной шины / В.И. Кнороз, Е.В. Кленников, И.П. Петров и др. М.: Транспорт, 1976. - 240 с.

3. Евсюков B.C. Развитие Российской промышленности по производству каучука и резины и перспективы ее интеграции в мировую экономику // Труды международной конференции по каучуку и резине. IRC' 94. М., 1994,-Том 1.-С. 1-28.

4. Some Notes on the Finite Element Analysis of Tires / R. Gall, F. Tabaddor, D. Robbins etc. // Tire Science and Technology. 1995. - Vol. 23, No. 3. -P. 175-188.

5. Белкин A.E. Разработка системы моделей и методов расчета напряженно-деформированного состояния автомобильных радиальных шин: Дис. . . докт. техн. наук. М.: МГТУ им. Баумана, 1998. - 282 с.

6. Уляшкин А.В. Разработка методик расчета радиальных пневматических шин на основе теории многослойных армированных оболочек: Дисс. . канд. техн. наук. М.: МГАДИ, 1996. - 161 с.

7. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. -288с.

8. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Численное решение задач статики геометрически нелинейных анизотропных многослойных оболочек вращения // Механика композитных материалов. 1981. - № 3. - с. 443452.

9. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Осесимметричная деформация анизотропных слоистых оболочек вращения сложной формы // Механика композитных материалов. 1981. - № 4. - с. 637-645.

10. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Механика конструкций из резинокордных материалов // Механика композитных материалов. 1989. - № 4. - с. 671681.

11. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Локальное нагружение резинокордных оболочек вращения // Механика композитных материалов. 1991. - № 4. -с. 670-676.

12. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Дискретно-структурный подход в механике пневматических шин // Вестник ТГТУ. 1999. - Т. 5, № 4. - с. 583-602.

13. Григолюк Э.И., Куликов Г.М., Плотникова С.В. Влияние граничных условий в точке обода на напряженно-деформированное состояние радиальных шин // Каучук и резина. 2000. - № 3. - с. 32-35.

14. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов.

15. Геометрически линейная постановка // Механика композитных материалов. 2002. - Т. 38, № 5. - с. 607-620.

16. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанным методом конечных элементов.

17. Геометрически нелинейная постановка // Механика композитных материалов. 2002. - Т. 38, № 6. - С.815-826.

18. Мухин О.Н. Автоматизированный поверочный расчет механических характеристик шины меридиональной конструкции // Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М.: НИИШП, 1974. - с. 26-44.

19. Белкин А.Е. Расчет шин радиальной конструкции как трехслойных ортотропных оболочек вращения // Расчеты на прочность (М.). 1989. -Вып. 30. - С. 40-47.

20. Элементы автоматизированного проектирования и расчет напряженного состояния радиальных шин / А.Е. Белкин, А.Ю. Беликов, H.JI. Нарекая, А.В. Уляшкин // Каучук и резина. 1993. - № 2. - С. 11-14.

21. Элементы автоматизированного проектирования и расчет напряженного состояния радиальных шин / А.Е. Белкин, Ю.Л. Гольдберг, Н.Л. Нарекая, А.В. Уляшкин // Труды Международной конференции по каучуку и резине. IRC' 94. М., 1994. - Том 4. - С. 56-63.

22. Белкин А.Е., Чернецов А.А. Расчет радиальных шин по нелинейной теории трехслойных оболочек // Изв. вузов. Машиностроение. 1 988. -№3.- С. 86-91.

23. Hein H.-R., Ellmann М., Hatzmann М. Доклад на конференции TIRE TECH. 94// Простор, 1996, № 4. с. 13.

24. Бухин Б.Л. Введение в механику пневматических шин. М.: Химия, 1988.-224с.

25. Rolling resistance some aspects of the effects of tyre constructions, tyre patterns and tyre compounds .// Ingeneurs de l'automobile//1987. - p. 27 - 30.

26. Лукомская А.И., Евстратов В.Ф. Основы прогнозирования механического поведения каучуков и резин. М.: Химия, 1975. - 360 с.

27. Дырда В.И. Прочность и разрушение эластомерных конструкций в экстремальных условиях. К.: Наук. Думка, 1988. - 232 с.

28. Присс Л.С., Петрова С.Е. Анизотропия упругих свойств резин и ее особенности// Каучук и резина, 1997, №2.- С. 22 25.

29. Штаерман И.Я. К теории симметриччных деформаций анизотропных упругих оболочек. // Изв. Киевского политехи, и сельхоз. Ин-та, 1924, кн.1, вып.1.-С. 54-72.

30. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. -416с.

31. Бехтерев П. Аналитические исследования обобщений закона Гука, в 2-х частях. Л.: 1925. -Литографированное издание автора.

32. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек с приложениями к задаче устойчивости упругого равновесия // Изв. Физмат. об-ва при Казанском ун-те. Сер.З, 1938, т.9. С. 24 — 29.

33. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки: Пер. с англ. М.: Наука, 1968. 635 с.

34. Амбарцумян С.А. Некоторые основные уравнения теории тонкой слоистой оболочки. // ДАН АрмССР, 1948, т. 6, №5.

35. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-446 с.

36. Болотин В.В. О изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, №1. С. 61 — 66.

37. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. -264 с.

38. Галимов Ш.К. Уточненные теории пластин и оболочек. Саратов: Изд-во ун-та, 1990.- 136 с.

39. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. - 396 с.

40. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние - 1986. -165 с.

41. Александров A.JL, Куршин JI.M. Многослойные пластинки и оболочки. -В кн.: Тр. VII Всесоюзн. Конференции по теории оболочек и пластин. Днепропетровск, 1969. М.: Наука, 1970. - С.714 -721.

42. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек // Механика композитных материалов. 1988. № 2. -С. 287-298.

43. Дудченко А.А., Лурьев С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные пластинки и оболочки. — В кн.: Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1983, т. 15, с. 3 - 68.

44. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. - 288 с.

45. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Методы исследования напряженно-деформированного состояния многослойных композитных оболочек с приложением к механике пневматических шин// Сб.: «Научно-технический прогресс в машиностроении», вып. 39.-М.- 1993.

46. Мухин О.Н. Расчет жесткостных характеристик автомобильных шин типа Р // Расчеты на прочность (М.). -1971. Вып. 15. - С. 58-87.

47. Мухин О.Н. Расчет механических характеристик меридиональной шины, обжатой на барабан // Механика пневматических шин. М.: НИИШП, 1976. - С. 136-147.

48. Бидерман В.Д., Апрешович Б.Е. К расчету температурного поля шины // Сб.: Механика пневматических шин ' как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М.: НИИШП. - 1974г. - С. 92 - 98.

49. Мухин О.Н. Метод расчета НДС надутой и вращающейся радиальной шины с учетом нелинейности кордных характеристик //Международная конференция по каучуку и резине. Секция В. М.: 1994 - С.131 - 138.

50. Shiobara Н., Akasaka Т., Kagami S., Tsutsumi S. One dimensional contact pressure distribution of radial tire in гиппт£//Международная конференция по каучуку и резине. Секция В. М.: 1994 - С.1 - 8.

51. Purdy J.F., DayR.B. Goodyear Research Laboratory Report, 1928.

52. Бидерман B.JI. Расчет и конструирование автомобильных шин. Пособие для конструкторов: Отчет НИИШП №187-52. М.: НИИШП, 1954. 207 с.

53. Бухин Б.JT. Применение теории сетчатых оболочек к расчету пневматических шин// Сб.: Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М.: НИИПШ. - 1974г. - С. 59 - 74.

54. Фотинич О.В. К расчету радиальных шин. // Сб.: Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М.: НИИПШ. - 1974г. - С. 45 - 58.

55. Дьяконов Е.Г., Николаев И.К. О решении уравнений равновесия сетчатых оболочек методом сеток//Сб.: Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М.: НИИПШ. - 1974г. - С. 75 - 91.

56. Годунов С.К., Семендяев К.А. Разностные методы численного решения задач газовой динамики. // ЖВМиМФ, 1967, т. 7, №5.

57. Пугин В.А. Исследование усилий в бортовых кольцах автомобильных шин//Каучук и резина, 1962, №10.-С. 14-19.

58. Галеркин Б.Г. Вестник инженеров. 1915, № 19, С. 897 - 908.

59. Duncan W.J. ARC R&M 1798, 1937.

60. Duncan W.J. ARC R&M 1848, 1938.

61. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures//J. Aeronaut. Sci., 23, 805 824, 1956.

62. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

63. Zienkiewicz O.K. The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw Hill, London, 1971.

64. Gallagher R.H. Finite Element Analysis Fundamentals, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1975.

65. Andersen C.M. Deep anisotropic shell program for tire analysis// NASA Rept. 1981, N3483.

66. Koga H., Okamoto К., Tosawo Y. Stress analysis of tire under vertical load by finite element method//Tire Science and Technology. 1977, vol.5, N 2, p. 102-118.

67. Tielking J.T., Schapery R.A. A method for shell contact analysis// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1981, vol. 26, Nl.p. 181-195.

68. Беляшкин Ф.П., Яценко В.Ф., Дыбенко Г.И. Прочность и деформативность слоистых пластиков. Киев: Наукова думка, 1964. -234 с.

69. Берт Ч.В. Механические испытания композитов. В кн.: Композиционные материалы. М.Машиностроение, 1978. Том 8. Анализ и проектирование конструкций. С. 81 - 138.

70. Белоцерковский О.М. Вычислительная механика. Современные проблемы и результаты. М.: Наука, 1991. - 183 с.

71. Чепмэн Д.Г. Вычислительная аэродинамика и перспективы ее развития: Драйденовская лекция // Ракетная техника и космонавтика. 1980. Т. 18, №2. С. 3 -32.

72. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1980, 536 с.

73. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 552 с.

74. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. JL: Гидрометиздат, 1986. - 352 с.

75. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. — 123 с.

76. Кошур В.Д., Немировский Ю.В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 198 с.

77. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической фоизики. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1967. - 195 с.

78. Гулидов А.И. Организация вычислительного процесса и структуры данных при численном решении динамических задач механики деформируемых сред// Моделирование в механике. Т.5(22), №3, Новосибирск: ИТПМ, 1991. С.127-141.

79. Вольнов А.А. Научные проблемы и основные направления исследований в шинной промышленности// Сб.: Научные основы и пути создания шин и технологии их производства уровня 2000 года. М.: ЦНИИТЭнефтехим, 1989. - С. 18 - 29.

80. Бидерман B.JI, Захаров С.П., Бухин Б.Л. и др. Порядок разработки радиальных шин. В сб.: Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. - М.: НИИШП. - 1974г. - с. 163-168.

81. Мухин О.Н. Расчет прогиба радиальной шины с учетом меридиональной кривизны беговой дорожки. В сб.: Механика пневматических шин как основа рационального конструирования и прогнозирования эксплуатационных свойств. М.: НИИШП. - 1974г. -С. 12-25.

82. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

83. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. — 432 с.

84. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

85. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. - 345 с.

86. Поляков С.Н., Цысс В.Г. О расчете напряженно-деформированного состояния авиационных шин Омский научный вестник, №1(22) март, 2003.-С. 57-58.

87. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово - лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач// Вычислительные методы в гидродинамике. Пер с англ. М.: Мир, 1967. - С. 128 — 184.

88. Численное решение многомерных задач газовой динамики/ Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. М.: Наука, 1976. - 400 с.

89. Thompson Joe F. Grid generation techniques in computational fluid dynamics // AIAA Journal, 1984, v. 22, № 11, p. 1505 1523.

90. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1979.-392 с.

91. Ханг К.М., Кордулла В. Построенная методом конечных объемов расщепленная по времени схема расчета трехмерных течений // Аэрокосмическая техника, 1985, т.З, № 8. С. 73-84.

92. Гольдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. М.: Наука, 1968. 123 с.

93. Гузь А.И., Хорошун Л.П., Ванин Г.А. и др. Механика композитных материалов и элементов конструкций. Киев: Наукова думка, 1982, т. 1. — 368 с.

94. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Berlin Leipzig, Teubner - Verlag, 1910.

95. Малмейстер A.K., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Изд.З. Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

96. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов/ Пер. с англ. М.: Стройиздат, 1982. — 448с.

97. Галиев Ш.У. Нелинейные волны в ограниченных сплошных средах. -Киев: Наук. Думка, 1988. 264 с.

98. Быковских A.M. Расчет нелинейной динамики оболочек.- В сб.: Пространственные конструкции в Красноярском крае. Межвуз. сб./ КПИ, Красноярск, 1989.-c.99 -105.

99. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.- М.: Наука, 1984. 520 с.

100. Федосеев В.И. Об одном способе решения задач устойчивости деформируемых систем // Прикладная математика и механика, 1965, т.27, №2.- С. 265-275.

101. Федосеев В.И. Применение шагового метода к анализу устойчивости сжатого стержня// Прикладная математика и механика, 1965, т. 27, № 5. -С. 833-841.

102. Кассель А.Ц., Хоббс Р.Е. Динамическая релаксация. В кн.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. - JL: Судостроение, 1971, т. 2.-С. 259-274.

103. Хейгеман Я.Д. Прикладные итерационные методы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986.-448 с.

104. Хаслингер Я., Нейтааимяки П. Конечно элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения: Пер. с англ. - М.: Мир, 1992. - 368 с.

105. Кислоокий В.Н., Цыхановский В.К., Фесенко О.А. Сравнительный анализ алгоритмов решения задач статики мягких оболочек методом конечных элементов //Сопротивление материалов и теория сооружений. — К.: Буд1вельник, 1983, Вып. 43. С. 53 - 58.

106. Крэчун И.П., Куроедов В.В. Об оценке некоторых итерационных методов решения физически нелинейных задач. — В сб.: Метод конечных элементов и строительная механика. Тр. ЛПИ, № 349, Ленинград, 1976. — С. 47-52.

107. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 212 - 263.

108. Высокоскоростное взаимодействие тел/ Гулидов А.И., Фомин В.М. и др. Новосибирск: Наука, 2001. - 600 с.

109. Kordulla W., Vinokur М. Efficient Computation of Volume in Flow Predictions // AHA Journal, 1983, vol.21, pp. 917 918.