Интегральные уравнения с положительно определенным, ограниченным, самосопряженным оператором в краевых задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

а*

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННА УНШЕРСЙГЕГ » \\СЧ\л *

оГч'^ ' МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНШН^ЯЕГ » 1 \ " имени .В. ЛОМОНОСОВА Т. Х

На правах рукописи

ТАРАКАНОВ Виктор Иваногич

ИНТЕГРАЯШЖ -УРАВНЕНИЯ С ШЛОШИШЮ ОПРВДШМШ, ОГРАНИЧЕННЫМ, САМОСОПРЯЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ Е КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРШ УПРУГОСТИ

01.02.04 - Механика дефэриируеыэгс твердого тела

Автореферат диссертации на соискание учено Я степени доктора физико-математических наук

Москва 1994 г.

Работа выполнена в НИИ прикладной математики и механики Томского ;\суниверситета.

Официальное оппоиенти:

ПЕРЛИИ Ii.И. - доктор физико-математических каук,

профессор

Kyr p'-j iti> ь 6.Н' - доктг.р физико-матеиатических наук, профессор, " . ....

КРАВЧУК A.C. ~ до.чтср физико-математических наук,

профессор

Ведулля органи; дня: Институт пробдеы механики РАН, г.Ыосква

Залита состоится " /6" ^eica^Ji 1994 г. в { & ' ичсов на заседании дис.сьргацконного совета Д 053.05.03 Московского государственного университета им. М.Б-Доводасоза по гдросу: II9809, Ыоскиа, Воробьевы горы, ЫГУ, ивханико-метематический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией ыото ознакомиться в библиотеке ЦГУ/N«"V.-M AfJ

Автореферат разослан "/&"/)() "_1994 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

h/рюгр^ееор LiietueKuH

■ ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1ель исследования.

- Построение и исследование нового классе интегральных урав-1ений :И7) краевых- задач упругости для областей с кусочно-глад- » гай поверхностью в неклассической постановке -117 с положительно определенным, ограниченным, самосопряженным оператором.

- Исследование на основе этих НУ краевые задач в нскласси-иской постановке, когда правые части граничных операторов берут-зя. в достаточна широком функциональном пространстве и решение монет ииоть неограниченную упругую энергию.

- Разработка на основе полученных \У эффективных численных методов решения, обеспечивавших ограниченность в совокупности чисел обусловленности конечномерных аппроксимирующих операторов

и безусловную сходимость итерацисжных.методов решения со еко- , , ростью геометрической прогрессии.

1 Получение количественных априирных оценок решения краевых задач упругости, позволяющих получать величину абсолютной погрешности численного решения краевых аада» и находить инженерные оценки некоторых интегральных характеристик решения до получения самого решения.

■ Построение операторов, преобразования последовательности приближенных решений, сходящихся п точному в одной норме, к последовательности приближенных решений, сходящихся к точному решению в более сильной норме. '

Актуальность проблемы.

В связи с широким внедрением численных методов в практику решения краевых задач механики лошной среды важной задачей является задача повышения достоверности к надежности результатов численного решения прикладных задач. Фактически эта проблема г сводится применительно к краевым задачей эллют лческого типа решение следующих вопросов.' ' ' '

- Получение абсолютно устойчивых численных схем решения, т.е. схем решения, в которых чисдр,обусловленности конечномерны* аппроксиикруюших операторов ограничены в совокупности при-любой/ какой угодно большой дискретизо"чи области или границы.>

, - Рассмотрение краевых задач в более широких функциональных ■

пространствах, позволяющих оценивать влияние на решение неполнота или не::: ropo Я'неопределенности в задании исходных денных крае-ьой задачи, тторая чаг.тс cyuccTF.yiT при реальной постановке прикладных зпдач.

- Получение апостериорной оценки абсолютной погрешности Приближенного реиения краевой лацпчи.

- Построение огх>рат'\ро» преобразования последовательности приближеинь-х рбаоиий,. сходящихся к точному d одно С норме, к по-

ледогз-сльности П1>ч5;:и-*еннл>с решений, сходяшихся к точному в Солее сильно 1 нормо.

Ревсиие этого комплекса в-.-просо в для краевых задач упругости оказывается воэдокюш только на основе некоторых ИУ, которые со- • лоетовля^тоя краовы'- ацппчан. Ото позволяет по новому.оценить важность и перспективность изпользиезния метода ИУ в краевых задачах механики сглышой среди к в теории упругости в частности. Зоэюянрсть положительного реиеиия этих вопрг-ов хотя бы для некоторых классов краеьгх задач упругости обеспечивает повы мне надежности и дистогерности их численного ресения и.этим определяет актуальность постовдекноЧ проблема.

Научная новизна.

- Построен и исследован новый класс интегральных уравнений -ИУ с положительна определение!«, ограниченным, самосопряженный оператором для краеачх задач плоской и осесимметричной упругости, плоского и осэсимметричного потенциала, задач кручения для тел вращения е нек^ассической гоствновке в областях с кусочно-гладкой границей. Этот класс № является классом некоторых бисингу-

аярких iff с достаточно силыпл'и сьойстбами, не уступяоаих свойства« канонических уревнен;:Я £редголъыа. Теория этих ИУ автономна, не опирается на результаты {редгольиа» Нетера и их обобщения в теории ИУ, 7 е. полученные результаты имеют научную нсодзну и с методической точки лренич.

- На основе галучешшх. ИУ проведено исследование к^аемлс задач упругости в некласенческо« постановке в новых ^-уикцценадь-кых пространствах.

- Получекч новые количественное апрчорние оценки, еврзкргч-тие нормы известиях и неизвестных данных на границе ибластл, причем для коэ^фьцлентоп р неравенствах дается прост: :> геометрический способ их численного нахождения. ILblm является л спссоС' получения этих оцриорнух'ОЦЕНОК. .

/

- Новыми являются ре.\ ультпты об аппроксимации получснних ИУ в конечномерном пространстве, которые сводятся к Еиясненйю достаточно сильного результата, связанного с ограниченностью в совокупности чисел обусловленности конечноиер '. х аппроксимирующих операторов.

Достоверность полученных результатов осыпана на изложении всего материала дисссртац.ш в виде последовательности теорем, для каждой из которых: приведено строгое математическое доказательство. Практическая тзмолиооть использования полученных ИУ проверена при численном решении ряда задач.

Практическую ценность работы составляет комплекс методик по количественной априорной оценке реиения краедак задач упругости, позволяющий получать инженерные оценки некоторых интегральных характеристик решения до его численного получения, а такяе сц<энну погрешности приближенного решения краевых задач, комплекс прогреми по численному решению полученных ИУ. Часть методик инедрекя в расчетную практику, ряда проентно-конструкторених организаций.

Па защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

- новый класс интегральны,:'уравнений краевых задач упругости в неклассическоя постановке - ИУ с полокителько определенны«, ограниченным, самосопряженным оператором;

- Теория краевых задач упругости в неклассической постановке, когда решение шлется в достаточно широком функциональном пространстве;

- свойства конечномерных аппроксимирующих операторов для получённого класса ИУ;

- количественные априорные оценки краевых задач упругости, связывающие известные и неизвестные данные краевой задачи на границе и метод получения таких оценок.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались но следующих конференциях: Всесоюзная школа-семинар по !ЩТ, КуйСьмев, 1977; УШ Всесоюзная конференция по Прочности и пластичности, Иерм^, 1363; , еспублиханскиа иаузьо-техкическиа конференции, Томск, 1901, 1983; У1 Всесопзная шкала "Теоретические основы ь конструирование численных алгоритмов решения задач математической ^иэкаи", Горьки А, 1986; I, 1У, У Всесоязы'й свия-

л-

нар "Методы граничных интегральных 'уравнений", Цушино, 1964, ■ ГЭ87, 1968; П Всесоюзная конференция по теории упругости, Тби- ; лиси, 1934; 1У Всесоюзная конференция "Сиешанные задачи ИДЕТ", Одесса, 1989; XI Всесоюзная конференция "Численные методы реые-.., ния задач теории упругости и пластичности", Волгоград, 1969. .

Диссертационная работа обсуждалась на семинаре под руководи ствси проф. д.ф.-м.н. Александрова В.Н. \Листитут проблем меха-1шки РАН, Москва, 1994), на семинаре под руководством чл.-корр. РАН проф. Ильюшина Л , МГУ, 1994, на семинаре под руководсг- : v. вом проф. д.ф.-и.н. Лифанова И.К. и проф. д.ф.-и.н. Захарова В.Е., МГУ, 1994. ; -. -

Основные результаты работы отражены в 34 публикациях, в Той' числе! одной монографии. .

Структура и объем работы. Диссертеция состоит из- введения, пяти глаь, заключения, списка литературы. Обший объем - 381.стр., в том числе 352 стр. основного текста, 15 стр. с иллюстрациями, список литературы включает 154 наименования.

КРАТКОЕ ООДОТШИЕ РАБОТЫ

Введение. Приведен краткий обзор основных работ, посвяшен-ных вопросам применения интегральных уравнения в иохенике сплошной среды и в теории упругости в частности. История этого научного направления насчитывает примерно 90 лет, начиная с первых основсполпгаюших работ Фредгольма, Гильберта, Вейля, Яауричелды, Пуанкаре и , з. За это время появилось иного научных работ, вы-оолненньх как отечественными, так ч зарубежными учеными. Херак-тер этих работ суаествекно изменился за последние 20-25 лет в связи с появлением электронно-вычислительной техники. Если до этого периода все работы носилр црезде всего теоретический характер, пс'свяшалксь проблемам конструирования ИУ, эквивалентных соответствующим краевым закачай, проблемам разрешимости этих ИУ И¿кспользовпнию ИУ для доказательства существования решения краевых задач и непрерывной зависимости эти< решений от исходных данных, то за последние 20-26 лет большая часть работ была сое-* вяшеня проблемам использования сушествуших ИУ при численном решении краевых зада". Это работы Александрова А.Я., Алексвдэз H.A., Ес.юцерковского 'С.-Х., Бенерд-ки Г., Еаттср'л.илда Р., Ереб-

бия К., Бормот Ю.Л., Веркжского D.B.t Верлань А.5., Зиновьева Б.М., ЭЬлогаревского В.А., Иванова В.В., Копейкина 1Э.Д., l^paj^t С. , Лифаноэа И.К., Лазарева М.В., Линьхова A.M., -Морозовa Н.2., Пермина П.И., Паукшто Н.В., Соловьева Ю.И., Рогового A.b., Угод-чикова А.Г., Уокер С., Чемериса B.C., Хуторянского М.Н.

Теоретические проблемы рассматривались как в работах перечисленных выше авторов, тах и в работах Александрова В.М., Векуа Н.П., Ворович U.U., Бицадзе A.B., Белоносова С.К., Г'абдулхаера Б.Г., Гегедиа Т.Г., Даниляк И.Й., Джураева А.Д., Заргаряна С.С., Нутруиова В.Н., Купрадзе В.Д., Литвинчук Г.л., Михлина С.Г;, Мазья В.Г., Михайлова С.Е., Мальцева Л.Е., Нресдорф 3., Соддатова А.П., Хведелвдзе Б.В. и др.

Существующий опыт использования ИУ для решения и исследования краевых задач с.'авит ряд новых проблей теоретического характера, связанных с применением ИУ в механике сплошной среды. Эти дроблены в той форме, а которой они представляптся автору диссертация, сфориулированы во введении, а решение этих проблем представляет цель диссертации.

1. Построение ИУ для краевых задач .упругости в неклассической постановке, когда дра'.аые части граничных операторов принадлежат достаточно широкому функциональному пространству, а решение может иметь неограниченную энергио. Практический смысл решения этой проблемы сводится к возможности постановки, исследования и численного решения краевых задач упругости, когда исходные дан-" ные реальной прикладной задачи формулируются с некоторой долей неопределенности и вследствие этого исходные данные задачи приходится как-то огрублять» При этом необходимо знать в какой форме

и на что влияет такое огрубление. По суаеству при некоторых частных заданиях краевых: уеяовий такое огрубление используется прикладниками в форме "принципе Сен-чекана".

2. Решение проблемы аппроксимации сингулярных интегральных уравнений в конечномерной пространстве. Эта проблема для сингулярных ИУ с подвижными и неподвижными особенно :ями является ?je-тяточно сложной и в настояшее время имеет ^ктичесхи только кос-пенное решение в работах Иванова В.Б., Пресдорфз 3., Лифанова И.К., Балоцерковского С.Й., Ээлотсрееского В.А,, Г'аСдулхаеаа В.Г.

3. 1Ьстроение аппрсксимируюыих конечномерных операторов ДЛИ НУ с ограниченными г. совокупное- j числаии обусловленности при : ?1обой рвзмфчости конечномерного пространства. Это центральная , проблема- реабние которой обеспечивает абсолотную устойчивость1'

прочессв численного решения и кснечнуэ ненулевую скорость сходимости итерационных процессов при неограниченнби .увеличении размерности конечномерного пространств^. ДДя канонических уравнений йредгольма эта проблема .имеет положительное решение, чо в обшем ; случае'сингулярных ЙУ ее реьекие.отсутствует. Следует отметить, что для конгино-рязностных методов, вариационно-разностных числа обусловленности аппроксимирующих конечномерных операторов не являются ограниченными в совокупности и возможность построения таки* 10Г с сг'ракичйнн,:аи в совокупности числами обусловленности явилась бы одним из основных лреимуп"ч;тв метода ИУ.

4. Построение таких УУ, соответствующих краевым задачам,для которых би обеспечивалась безусловная сходимость итерационных процессов решения с высокой скоростью, например, скорость» геометрической прогрессии.

5. построение количественных априорных оценок, связываниях известные и неизвестные данные на границе области и позволяющие получать оценку погрешности приближенного решения краевой задачи.

С. Построение операторов преобразования последовательности приближенны,. решений краевой задачи, сходящейся к точному, в одной норме и последовательности приближенных решений, сходяшихсл в более сильной норме. , -

7. Конструирование ИУ, исследование которых бы спиралось не на известные результаты Фредгольча, Нетера Ф,, и их обобщения, а на некоторые другие самостоятельные теории, например, теорию положителмю определенных, ограничеюшх, самосопряженных -операторов. рлз.работанн.ую ¿Сангоровичем Д.В.

Решение некоторых т перечисленных проблем можно пытаться • найти отдельна для с.уие-стп.члмаж ИУ, а можно решать их а комплексе для специально сконструированные ИУ. В диссертации выбирается последний париант. Следует иметь в виду, что проблема 7 косит чисто, методический характер, а проблеме 5 выходит за рникй применения »С и может косить цис-лне гзмостсятелышй характер.

. Положительное решение вссх. перечисленных выше проблема может выявить новые возможности метода ¡¡У и с чисто тесретическоЯ точки зрений, и. с праш'ическоЯ,. связанной с решением конкретных задач.

/

Глава I.

Рассматривается неклассическая постановка краевых задач упругости и свойства обобщенных интегралов тида Коши, соот»егст-. ьуваих различным системам дифференциальных уравнений з частных производных эллиптического типа. Объединение этих дьух вопросов в одной главе связано с тем, что функциональные пространства, в которых итется решение краевых задач, формулируется на основе использования соответствующих обобщенных интегралов типа Ком.

Исходная система неоднородных линейных дифференциальних уравнений с помошыо фундаментальных решений, как известно, сводится к системе однородных уравнений. А однородная система уравнений, по крайней мере, в двумерном случае сводится к системе уравнений в частных производных первого порядка относительно некоторых компонент С^ , ¿»1,г---п

Л '

В диссертации рассматривается 5 таких систем {ерш I, 2, ... 5) и для всех строится соответствующая теория»

с< - а:

(2)

(3)

(4)

у*'-

Ф т ф„ -'Ф «О, (5Ч

ае

о:б>

-1 - га: -и* -) - .»ас.

Г51

—' 1 Л, Ф У -СР - 1 /х ф 1=0 '

В уравнениях 'I), (4) переменные являются декартовыми ко-

ординатами, а в уравнениях (2), (3), '5) цилиндрическими координатам::, - махвническиЯ парамет'". -1-, 0 < ¿е ^ 0,5.

Выаеприведенные уравнения ыожно условно назвать следующий . образом: ■ ; » I - равнения плоского потенциала; = Л. - уравнения осос,1м«етрцчиого потенциале; = 3 - уравнения задачи кручения для тел вра^ ния; Ч, = 4 - уравнения плоски .Г упругости; и■ - 5 -уравнение ч ^симметричной упругости;

Условность назь; ия связана с тек, что эти уравнения описывают и различные другие механические явления, в том числе и в теории упругости, например, система .'5) описывает изгиб пластин, при этом параметр <£ принимает другое значение, чем в плоской упругости. Физический смысл компонент в каждой задаче может сыть своП, например, в задачах плоской упругости '.<р « 4) кои-цг'ненты С}^ лысют следующий смысл:

* ) £ 1 (б^ СОъПХ * б^С^Н^«,

мид;/ль сдвига, Ь*^ - компоненты тензора напряжений, и веиор смешений.

Каждой системе уравнений (2)-'6) и некоторой кривой Гс^рм) сопоставляется ййобшенныЯ интеграл типа Кош, который является интегральным оператором,- сопоставляющим вектор-столбцу функций ^ , определенных на Г , ьэктор-столбец функции Ф (н) в 15.

^(м) -- ^Ь Ц/ДГ), ГС (7)

- п., М * М 0 , - пространство

Осййдева . . .

Ядра , язляшиеся действительной,матрицей,

для кавдоГ1 г.з' систем С2)-', 6) свои, эти ядра сингулярные, когда I4) а И { ')'- Г . Длра Н^ побираются таким образом,

чтoбJ■ вь'пол1»члись соотношения

4 1-1 И* /А.К <7)*А

НС ИЛ£"П (! .Г ^ '

-9- область ограниченная

Для уравнений (2) обобщенный интеграл типа Коки является обычным интегралом типа Коши из теории функций комплексного переменного, записанный в действительно3 матричной форме. В комплексной форме обобиенный интеграл типа Коши для системы '3) встречается в работах Положего Г.Н., Соловьева Ю.И. Для систем 'Л), (о), (6) обобщенный интеграл типа Кэши получен, видимо, впервые автором.

Рассмотрены свойства обобщенных интегралов типа йэши, связанные с изменением порядка дифференцирования и интегрирования, порадком интегрирования, "редельные свойства, выражения для производных, интегральные соотношения.

Некоторые из этих свойств приведены ниже. Теорема 1.3. Интегральный оператор

О Г 3 - 0

является непрерывным

I),, - ограниченная в I) область, кривая. Г - кусочно-гладкая при о */<< 1 и гладкая при » ^ .

Опираясь на теорему 1.3, можно ввести следующие функциональные пространства /

- {<§ I ^ - ША) "у М,^*» £ еуДг)} (И)

В качестве нормы в пространстве можно взять норму

при этом пространство будет полным.

Справедливо .вложение • • •

Теорема 1.4. Обобщенный интеграл типа ь.ти

Ф| см' - М-К^еГ1 ,

существует как сингулярный в смысле, главного значения и является непрерывным оператором, отображавшим ¿2(г) (Г)

Теорема 1.10. Для обобщенного интеграла типа Коши Ф ¿Д/Ь,'/ существуют почти всюду на Г предельные значения при подходе к границе по некасательным путям

. Ф(м) *<4>Х4.(Г), С13)

мс.г \ 1

: о . г ' - . '

Теорем : 1.11. Пусть Ф А^'С,^] обобиенный интеграл типа Кони, тогда существуй обобщенный интеграл Кэши в ввде

. '14)

р ••■^'1, не. с;' а1 Л

Из свойств пространств /А.,^.,^ следует, что функции Т^АФ^Л яеля^тся геленияии уравнений (I), непрерывны визсте со своими производными в Ъ м имеют почти всюду на границе предельные значения г.о некасательным путям Ф /.,(г) • Эти свойства дают основание связывать с пространством Д неклассическуо постановку краевых ¿»¿дач. Так для первой краевой задачи плоской упругости, когда на границе задан вектор смешенич, постановка задачи иыес? взд

ФгДг, К^М

\ 'к. - О ■ " . С15)

г ' ■'■'••

Для второй краевой задачи плоской упругости, когда на границе

заданы усилия, неклассическая постановка имеет вид

, ч у - н^сх'/.х)^ / С .

^4есь ¡V -'заданное не Р функции. Разрывы функций в некоторых течках соответствует действия сосредоточенных сил. Таким образо . эта постановка краевых задач допускает действие сосредоточенных сил, ризрывео с-ляений на границе а существование даг.е более согъшк особенностей. ~

В обием случае упругая энергия, соответствдюшая реиению этих краевых задач, является неограниченной, а решение относительно компонент ректора смешений принадлежит подпространству пространства Соболева \,у^г) • Границы области предполагаются кусочдо-гладнимн.

Аналогкчно вводится кеклассическая постькоика краевых задач, связанных с уравнениям (2), СЗ), (4), (6). ,

П глава.

На основе обобщенных интегралов типа Коши и некоторых интегральных тождеств для всех краевых задач уравнений ;2)-'б) получается априорные количественные оценки, связывающие известные к неизвестные данные на границе области. Эти оценки получаются в классе более гладких функций - в классе 41 (*£>д) • коэффициентов в неравенствах дастся простые геометрическ: ; алгоритмы нахождения численных значений.

Не приводя все полученные оценки, укажем только некоторые из них - оценки в классе , т.е. связанные с уравнениями

плоской упругости v5).

Теорема 2.9. Пусть (pfe Д^ (ъ^), тогда справедлива априорные оценки d

где ф,, ф. - компоненты векторе смешений, фиксированные относи-' ' тельно-жесткого смешения.

| t ъ\ E - упру1ая энергия. :

É ' i Î< ^ : ^ №л * î % 4ÎK

которая для функций (p(- €. являете я ограниченной.

Кроме оценок '17),' '.18), (19) получаптся симметричные оценки.

Теореме 2.12. Цусть Ф <= AJ"->,<i), тогда справедливы априорные' оценки , ^ . -,

* pi .;20) ,

- " an

В оценках 17)-[22) параметры р„, р2, р^.,/2, з .ш:ят только от геометрии области и точки ^ ^ | е т/ . при атом ; указывается простой геоиетрический способ' «вхождения численных значений коэффициентов- р,,

Если правые част- граничных операторов в.краевых задачах долге гладкие с к', (/') , то решение этих задач лринадлениг пространству А (Ь,*) и, следовательно. Для этих задач справедливы оценки теорем 2.9, 2.12. В этом случае оценки теоремы 2.9 можно использовать во 2 краевой задаче упругости, так как оказываются известьыии правые части неравенств С17)-!19), а оценки теоремы ¿.12 можно использовать в первой краевой задаче упругости, тал как оказывается известными правые части неравенств ( (20)-С 22).

Кроме того, используя обобщенный интеграл Кэши (14) при о, ш 4 и оценки теорем 2.9, 2.12, можно получать локальные оценки решания через заданные граничные условия. Эти оценки можно испольэсяать для нахождения приближенных интегральных и локальных характеристик решения, в также для оценки погрешности приближенного роления краевых зецач, когда дифференциальное уравнение выполняется точно, а на границе получается невязка в выполнении граничных условий.

Кроме теорем типа 2.9, 2.12. для других краевых задач, во II главе приведены теоремы об априорных оценках, когда на правые части граничных операторов' накладывается дополнительное условие сильной осцилляции, т.е. сулествование множества узлов Г , к.---1,2г" , тр.них, что гьталняетс^ условие сО , а рас-

стояние ыевду узлами <:«. много меньше диаметра области X/ . 3 этом случае оценки (I7)-(22) сохранялтся, но коэффициенты в неравенствах Д. оказь-саются пропорциональны произведению Т.е. при .£к'-♦ о 1 коэффициента в неравенствах оказывается достаточно малыми, что дает возможность получать не слишком загущенные оцеши! погрешности.

Следует отметить, что оценки типа [17)-(22) получены для областей, ограниченных кусочно-гладким контуром Г , односвязность Г не предполагается, г области могут быть разрезы, в той числе, в содяшие на внешнюю границу.•

Глона 1Л.

На основании априорных оценок П главы получайся более сильные в функциональной плане априорные оценки, связывавшие известные и неизвестные данные краевых задач на границе. При этом несколько сужается класс кривых , огр ничиваювих область, в которой ищется реаение.

Предполагается, что р ¡¡усочно-гладкий контур, удовлетворяющий уело дням внешнего и внутреннего коцуса, т.е. не имеаиых точек заострения я разрезов. Для постоянных в неравенствах также дается алгоритм наховдения численных значений, однако процедура нахоздения этих значений более сложен, чем для априорных оценок глави П. Оценки получены для всех краевых задач уравнений СЕ)—(6). Ниже приведены результаты только для уравнений плоской упругости.

Теорема 3.11. "Пусть ф.ь 4 (ъ^, тогда справедлива априорная оценка ^

Теорема 3.12. Пусть ф ^ Д , тогда справедлива априорная оценка ■ й 1 ' , .'

} К-Д -^Ддп ^ (24)

г > р >>

Оценки (23), '24) более сильные, чей соответствуйте оценки (17), (20) главы П.

Неравенства типа !23), (24) используются далее в главе ХУ для доказательства положительно?! определенности рассматриваемых интегральных операторов. ,

Глада IV.

Для всех краевых задач в неклассичесной постановке, рассматриваемых в I главе, конструируются интегральные уравнения с положительно определенным, ограниченным, самосопряже.'пшм оператором. Доказывается существование, единственность и непрерывная зависимость решения краевых задач от исходных данных. Соответствующие ИУ рассматриваются в некотором гильбертовой пространстве и в операторной рорме записываются в виде

!; - и __ и е Н '

Г)1 ¡{и !; / У Л \ - >111 ГГ. >С% '

.'u,7^'lii), , iJu,sJéH ..(27)

Теория тенях операторных уравнений разработана Канторовичей Л.В. в 1946 г., эт" теория впблне автономна и для исследования таких операторных уравнений ие требуются результаты Фредгольма, Нет ера и их обобщения в теории интегральных уравнений. Однако, до рабоi автора диссертации, видимо, не бы^о построено ни одного ИУ такого вида, соответствующего краевым задачам эллиптического типа и задачам теории упругости в частности.

Не привод» всех результатов, полученных в 1У главе для .всех краевых задач, связанных с уравнениями (2)-(6), укажем только на соответствующие результаты для первой и второй краевой задачи плоской упругости. Для остальных краевых задач результаты аналогичны.

Первая краевая задача плоской упругости в неклассической постановке

Гильбертово пространство H вводится соотношением

• (28)

Интегральные уравнения типа (25), соответствующие краевой задаче (15) записываются в саде

(29)

: т>, * '<^ ï}*>. -VI- е

; Г • - 0 '.;..'-

1)\ 'Ч ■ ' } к) + S f, (*) Н„: (аЛЛ'^Л '

•»•■•.. 'С fl ■ 'г ' О

-155 ь

И '

Фактически это целое семейство интегральных уравнений, зависящих от произвольного парзиетра "р-. с <.у < 1 . Интегралы, входящие г. правые части соотноие.иЯ для ФО), ■(>) являются-сингулярными, поэтому сани интегральные урагшения '29) мсзко рассматривать как О'исингулярные. На основании априорных оценок главы 12 и интегральных тоядеств главы I доказываются следуюши" результата.

Теореме 4.15. Оператор (29) Т^ ■ И " И является положительно определенным, ограниченном, самосопряженный, т.е. удовлетворяющий условиям '¿о., '27).

Следствие. Реленке уравнения (29) существует, единственно ■ и непрерывно зависит от правой части.

Теорема 4.16. Суш'^тзует резени? краевой ззДачи '15), компоненты Ф.,,Фг находятся единственным образом, а компоненты ф^

с точнсстыз до гсонстангы, при этом справедливо неравенство

.■■ ' ■ кФ/^Л^Ч . 130).

Г I' '

где констант1» С\ че превосходит константы С, в (23).

Вторая краевая задача пяткой упругости в неклассической постаноякс.

Гильбертово пространство '! вводится соотношением

' . (К,) "» ' ■

Интегральные уравнения, соответствую&мс крзевоЯ задаче ' 16) типа \4з) записывается в виде

' 3

^ - К,- и,!,<. и, <31)

Г,.. У-

,5 " .<1 Г ■

■■и. - и (I „ и\) £ й Соотношения (31) такте представляют целое семейство интегральных уравнений, зависящих от произвольного параметра ч'; 1. Интегралы, входтие в правые части соотношений ФЛ Ц^- , являют--, ся сингулярными. На основании априорных оценок главы $1 и интегральных товдеств главы I доказываются следуиш^ результат".

Теорема 4.17. Оператор (31) "Ту - Н Н является положительно определенным, ограниченным, самосопряженный, т.е. для него выполняются свойства (26), (27).

Следствие. Решение уравнеж 1 (31) существует, единственно и непрерывно зависит от правой части.

Теорема 4.18. Существует решение краевой задачи (16), при атом компоненты ФА7£Ри находятся единственным образом, а компоненты ф,,Фг с точностью до жесткого смешения, при этом справедливо неравенств)

1 (С'С'^^Л^^С)^, (32)

г г .'.-..

где константа не превосходит константу Сг в (24).

Неравенства (30), (32) можно использовать для получения оценок погрешности приб^ит чного решения краевых задач в неклассической постановке, т.е. в пространстве /4.('Ь,Ь) .также как и неравенства ',17), (20) для оценки речения в пространстве более гладких функций 4,•

Подано с доказательством существования решения задач в неклассической постановке в 1У главе доказывается существование решения задач в пространстве , когда правые, части гра-

ничных операторов Ь принадлежат пространству : Ъ £

¿г(г) В этом случае получается вариант кваэиклассичес-¡гай постановки-краевых задач. Для этого случая задания краевых условий упругая энергия оказываемся ограниченной.

Глава У.

Рассматриваются вопроса численного решения полученных ИУ и, прежде всего, вопросы перехода в конечномерное пространство. Именно при этом выясняется, что ИУ типа (25) обладает в некоторых отношениях даже более сильныии свойствами, чей канонические йредгольковы уравнения, т.е. уравнения, оператор которых разби- • вается на единичный и вполне непрерывный.

Выбирается следующий вариант перехода з конечномерное пространство. Граничное множество Г разбивается на h узлов

п » где ~ ДУТО на Г и вводится проекционный

оператор , , ■•

>., : V1 ■ ' ' / ¡V'

Рц; ^ ucls, ' àS- -- i -, (33)

: " •>, " % а также конечномерное пространство lin £ .4

и аппоксй'/ируасиа опе.зтор Тл для оператора Т из (25)

этой операторное уравнение (2â) заменяется на оператрноо уравнение "

Если в (33) интегрирование выполняется точно, то справедлив следующий результат. _

Теорема 5.1. Оператор - симметрический, положительно определенный, границы спектра .Ц не выходя? t границы спектра оператора Т. _

Следствие. Решение уравнения (35) существует при яобои h? , прибликенное решение V,, сходится к точному .X по норме

t\ Ц. - Ц i! --» с п

а числа обуеловлендает» конечномерного оператора /ч„ ограничены в совокупности

¡iun Í¡T.;V й —. Vn

На практике интегрирование в (33) ь.';яолняется приближенно, для чегс приходите» вводить крона крупноееп лого пространства (4*, цедкосеточное пространство Н„, И*.с П. »■• » п При этом получаете* апцроксишшуояин оператор Ц_ , а вместо уравнения .30) уравнение

ч

: -Ь-

\/„.KeH« (36)

Для оператора Оп , также как и для оператора Ti, , аппроксимация по норме о обшем случае не выполняется

||Ти HUh|¡H,

но зато выполняется более слабое условие аппроксимации га скалярному произведению

¡ с"и, 1-0*», I -^ |]u„|¡ ;¡-;jv h„,v;£ij„(37)

Если выполняется условие £:„„*£< го , где m параметр в (26),. то уравнение (36) аппроксимирует уравнение (25) в смысле (37).

Оператор Сг„ -акже является положительно определенным Дри »том справедливы следующие результаты.

I) Решение уравнения (36) существует и единственно дри Любом п»2 и сходится по корме к точному решению уравнения (25) II V„ - tt ¡I 1( -£>, п - «з (38)

,2) Числа обусловленности оператора (5"и ограничены в совокупности

/<„« ii6ji i¡c-;1ih o«

3) Итерационные процесс j градиентной невязки, градиентного сдуска для уравнения (36) сходятся со скоростью геометрической прогрессии, гчвисяашй от параметра j*-„ , и эта скорость не стремится к нулю црм в силу (39).

Фактически свойства (3Í является наиболее сильным свойством, присущим операторным уравнениям (25). Это свойство обеспечивает абсолютную устойчивость дроцес( з численного решения в конечномерном пространстве и конечную ненулевую скорость сходности итерационных процессов при . В кокечноразностных, .-вариационно-разностных методах выполняется « Свойство 3) дает основание считать, чгго уравнения (25) обладает более сильным свойствам, чем канонические уравнения Фредгольма, для которых в обвем случае у 'ерационный процесс последовательных приближений хотя и сходится » но эта сходимость может быть достаточно медленной, а сходимость со скоростью геометрической jporpeccEii"оказывается *оаможной при определенных ограничениях

на ядро ИУ, связанное с геометрией области и постановкой задачи.

В У главе дан еше и другой способ .перехода в конечномерное пространство, основанный на некоторых конкретных особенностях оператора Т~ , и не связанный с необходимостью вяедения мег.косо-точного пространства Н«.. Фактически цель» решения краевых задач является не сам элемент ц в (25),.а значение некоторого линейного, ограниченного оператора от и,

ъ : Л'и., Л': И Н , (40)

которое дает необходимые при решении физические величины - смещения, непряжения на границе и в области. При этом приближенное решение краевой задачи V. п получается в виде

На практике сходимость (41) является сходимость» в слишком (./проком функциональной пространстве, т.е. досрочно грубой. Во многих случаях требуется сходимость в более сильной метрике, например, чтобы получать в точках границы значения напряжений там,где они ограничены. Эта проблема решается, если помимо представления (40) элемент К/ допускал представление в вине некоторого операторного уравнения

V -- Р V. * (42)

в тои сиисле, что если ^ решение (25), то V' - есть решение (42), где м - правая часть уравнения (25), а оператор Р является оперотоиоч

р н -г Е С.":

В зтом случае последовательности приблихенчах "решени к V/', соппс-тавляется последовательность приближенных решений

V,, г Р Ч, " ^ ь ..

В отличие от .41) сходимость V к точному решению реализуется в более сильной метрике

¡1 IV " Ч-' |! _ ' О , О о-з

П ^

Все особенности решения, по крайней мэре, на гладких участках границы, реализуется за счет члена . Для всех краевых задач в неклассической постановке, соответстпую^их .-/равнениям (2)-(б) оператора преобразования типа (42) получены на основе обобщенных интегралов Ноши (14).:

В конце главы пргзедены результаты численного решения неко-

a»s

аз»

азе

¿ ig »6 - «o in г* * J Рис. 4ï p»l, ; Ä: psi©,

¿ i it ao m ¿i"

Рис.2. рмо,

O.T5

6 8 ip Рис, 3. p*6, = 5

торых задач осесимиетричной упругости, причем цель решения этих задач состояла не тольхо в "ом, чтобы получить значения напряжения, но и в том, чтобы выяснить как реализуется на практике аппроксимация ИУ и какова практическая скорость сходимости итерационных процессов.

На рис.I, 2, 3 показено как меняется ояибка реиения для некоторых задач на итерациях а зависимости от характера аппрок-, • сиыации, который определяется отношением размерности иелйосет-:, чатого к крупносетчатоыу пространству % .

- За оаибку решения берется отнокотельная норма невязп граничных условий - ■¡¡'Ц -hj\\/t\ h |l , при этом дифференциальные уравнения удовлетворяются точно для приближенного решения. Форма тел и характер нагрузки виден из рисунков, причем на рис.2 краевая задача фактически имеет неклассическуюпостановку, тая как распределенное усилие на штенем торце уравновешивается сос-.'' редоточенной силой, приложенной в точке Д . ; "

При численном pet нии использовался итерационный процесс многошагового градиентного спуска, когда р итераций делалось по одношаговой схеме, а затем по р -шаговой, при этом возрастание ошибки на Р -итерации соответствовал переходу от одношагово-го к многошаговому спуску.

Ошибка tj стремится к чулю немонотонным образом при наличии аппроксимации к/п» 4. . Кривая I на рис.1 соответствует случаю отсутствия аппроксимации % = 1 , при этом оиибка не стремится к нула с ростом числа итерации. При повышении отношения к/п до значений 4-5 сходимость итерационного проце а четко проело-Еивается. Наличие аппроксимации определяется.отношением % , а не значениями к, п в отдельности. Для достижения значений ве-ли«,-шы i с ол обычна требуется 12-16 итераций. Для этих задач находилось распределение напряжений на граница, при этом использовались операторы преобразования приближенных решений.

Основные результаты диссертации

I. Получен и исследован норый класс интегральных уравнений (ИУ), соответствующих краевая задачам плоской и ооесимиетричной . упругости, задачам кручения для тел вращения, задачам плоского и осесимметричногэ потенциала в неклассической постановке дря наличие.дрловых точек на границе. Сами Ш предстазлявт собой некоторые бисингулярные ИУ. Теория полученных »1У азтономна и не опирается на известные.результаты ¿редгольма И., Петера1?. , и их обобщения.

О Panioi ? о prrvA (у ил» in /■» itnr>nVO<'< шпик n«uv I^V ri iiQtmmi огч »r» » »

• f bUIVIM »«¿vs/W'l'MU иии^ип^пмь.цгш UillA <M <4 m

дрс транстве, что делает корректным возможность их численного решения и обеспечи .;зт сходимость по норме приближенного решения к точному.

3.- Доказана корректная разрешимость краевых задач в нгклас-скческой постановке, когда правые части граничных операторов (усилия или сиеагш'я в зависимости от постановки задачи) берутся в достаточно широким функциональном пространстве, что приводит к неограниченном!! упругой энергии.

4. Доказана ограниченность в совокупности чисел обусловленности конечномерных onepp-ïopoa, аппроксимирующих оператору полученных ИУ, что обеспечивает абсолютную устойчивость процесса численного решения. Показана безусловная сходимость итерацион"ых . методов решения этих уравнений со скоростью геометрической прогрессии.

- 5. Поручен новый класс количественных априорных оценок, СБяэыааюших известные и неизвестные данные задачи на границе с указание! способа нахождения численного зн&чения коэффициентов в неравенствах. Эти оценки могут использоваться не только для исследования свойств ИУ, но и самостоятельно при оценке погрешности приближенных решений краевых задач, при приближенных инженерных .расчетах. Новым является и способ получения таких априорных оценок.

Основные результаты диссертгцни опубликованы в следующих работах:

1. Тараканов В.И. Интегральные уравнения с положительно определенным, ограниченным, самосопряженным оператором краевых задач плоской упругости // Дифф. уравнения, т.27, » 8, 1991.- С.14*7 -1436.

2. Тараканов В.И. Интегральные уравнения с положительно определенным, ограниченным, самосопряженным оператором одной краевой задачи эллиптического типа // Изв.вузов "Матйматика", W I, I9SI. С.З.

2. Тараканов В.И., Павлов С Д. Об аппроксимации интегральных уравнений краевых задач упругости для областей с кусочно-гладкой границей. В сб, "Мехвн.деформ.твердого тела-*, Томск, Изд-ао ТГУ, 1992. C.II9-130. .

-234. Тараканов В.И. Граничные вариационные уравнения в краевых задачах теории упругости. Томск, Издано ТГУ, 1932.- 141 с.

Г. Тараканов В.И. Априорные оценки на границе области решения краевых задач лаоской упругости // уравнения, т.2о, ff 6, 1987.- C.IC6I-I07I.

6. Тараканов В.И. Некоторые априорные оценки а задачах механики П Изв.вузов "Физика", № 3, 1992. С.114-120.

7. Тараканов В.И. О значек-дях постоянных в неравенствах,даи-ших априорные оценки решения краевых задач Неймана дл). уравнения Лапласа 7/ Изв.вузов "Математика", 9 ü, 1936.- С.53-73.

8. Тараканов В.И. О количественных оценках решения краових задач с граничными условиями НеТмача для уравнений Лапласа о осе-сииметричном случае. // Сиб.матем.журнал, т.23, '> б, ¿J87. С. 154.

9. Тараканов В.И. Оценка решений смелакнух краевых задач плг кой упругости. В сб. "Механ.де.][урм.тпердого тела", Томск, Изд-во ТГУ, 1967.- С. 153-..64.

10. Тараканов В.И." Оценки-снизу для критических усилий при импульсном нагружении стержня. // ПМТф, 7 3, 19Б;;. С. 126-129.

11. Тараканов В.И. Оценки снизу собственных частот колебаний жадности со свободной поверхностью р каналах произвольного сечения // ГШ, т.о4, t I, 19Э0. - С. 165-170.

12.- Тараканов В.Л. О критической скорости движения по плававшему льду» В кн.: "Механ.-деформ.твердого тела", Томск, Изд-ео ТГУ, 1991. С.113-iiB.

13. Тараканов В.И. Оценка решения хрась_х задач, упругости

о деформировании тела вращения при кручении. В кн.: "М&хан.дэформ. твердого тела", Томск, йзд-во ТГУ, 193Э. C.I23-I32.

14. Теракензв ,В.И., Лазарецко М.З. фундаментальное решение уравнений круговой ортотропней цилиндрической оболочки // Прикладная механика, т.22, 12, i960.;- С.90-96.

15. Тараканов Е.Л. Асчк'птотикя решения в угловых точках задач о крученин составных тел вращения сложной формы. В с.'ь: ''Теория упругости и пластичности", Томск, Изд-во ТГУ, 1978.-C.GI-Ü7.

16. Таргкаков В.И., Павлов С.Л. О численной реализации метода граничных вариационных уревнений а осесиммгтричнсй упругости. Мат. УШ Вс.конф. по прочности и пластичности. Пермь, .Изд-во Ш-', 1983. - С.Ш.

17. Тараканов В.И., Павлов С.Л. Задача с кручении толй

врааения периодического профиля с угловыми точками на контуре. ' В сб.: "Цехан.,реформ.твердого тела", Куйбышев, йэд-во КГУ, ; 1977,- С.48-53. . .'

18. Тара! лов В.И. Об удовлетворении граничных условий на бесконечности для осесииметричных задач теории упругости. // Труды ^ИШМ, Томск, Изд-во ТГУ, Т.б, 1977. - С.148-157. - ■ 19. Тараканов В.И., Лазаренко И.В. Дефирмиропение цилиндрической оболочки, скрепленной резьбовым соединением // Изв.вузов "Машиностроение", # I, 1990. - С.156-160.

20. Тараканов В.И. О сходимости метода упругих решений в нелинейной краевой задаче плоской упругости. 3 сб. "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности". Мат.П Вс.конф., Нов-ск, Изд-во НГУ, 1990— С.221-225.

21. Тараканов В.И. Ацрдоркые количественные гренки смешанных краевых задач плоской упругости. Лат. 1У Вс.конф. "Смешанные задачи механики деформ.твердого тела". Одесса, Изд-во 017, 1969. -СЛ04, ч.2.

22. Тараканов В.И. Кручение одного тела враиения сложной формы. // Труды НИИ ШШ, Томск, Изд-во ТГУ, т.4, 1974.- С. 161-168.

23. Тараканов В.И. Термонапряхения в полупространстве при произвольном температурном поле. // Труды НИИ ПШ, -Томск, Изд-во ТГУ, т.б, 1977, - С. 157-162.

24. Тараканов В.И., Пивлов С.1. Решение смешанных задач упругости методом интегральных уравнений. Томски., ун-т, 1976, 2%. ^ы. в ВШИХИ » 429/76.

25. Тараканов В.И., Ахаева Л.Н. Кручениевела переменного сечения. //Т^уды НИИ 1ШМ, Изд-во ТГУ, » 6, 1977. - СЛЗ-20.

26. Тараканов В.И., Лаэлов С.Л. Кручение полупространства с вырезанной шелевидной полос.'ью. // Труды НИИ ШМ, Изд-во ТГУ, Т.б, 1977. - С. 128-132.

27. Тарак&ное В.И., Лазаренко М.В Фундаментальные решения, уравнений цилиндрической ободочки. Сб. "Механика сплошных сред", ;;Т^К, Изд-1э ТГУ, 1903.-С. 35-47.

28. Тараканов В.И..Павлов С.Л. Граничные вариационные уравнения в краевых задачах теории упругости. Мат. УГВс ее. школы "Теоретические основаи конструирование алгоритмоврешения задач матем.физики". Горький, Изд-во ПУ, 19В&.- С.Ц6. -

29.ТаракановВ.И., Павлов С .Л. Межвитковая концентрация

.^¿йфдаений•»'• резьбам-ооодйшош цшлндричесшх оболочек. 8 юс.г

"Нехан.деформ.твердого тела", Томск, Иэд-ио ТГУ, 1990.- С.36-42.

30. Тараканои В.И., Лазаренко М.З. Импульсное нагружекие пластк ы, дохшей на упругой основании. В кн. "Механ.дефоры.. твердого тела", Томск, Изд-во ТГУ, 1990. - С.54-58. '

31. Тараканов В.И., Лазаренко М.В. Действие локальной у— пульсной нагрузки на предзарительно наддут.ус сферическую оболочку. В кн.: "Мох.дефорн.твердого тела", Томск, Изд-эо ТГУ, 1992.-

С. 73-82.

32. Тараканоз Б.И., Лазаренко К.В. Расчет резьбов го соединения цилиндрических оболочек е условиях скользящего редкие работ:,'. В кн. "Механ.дефэрм.-твердсго тела". Изд-во ТГУ, 1992. - СЛ01-Ю7.

33. Тараканов В.И. Об сценках решения краевнх задач плоской упругости. Мат. Я Всее.конференции по теории упругости Тбилиси, Изд-во "Мецчиереба", 1964. - С.268.

34. Тараканов В.И. Разработка математических методов решения неклассических задач мехе. ики деформируемого твердого тела и комплекса программ по их численному решению. Сб.рефератов НИР и ОКР, ВНТИ Центр, серия 22, !? 9, 1991. С. 15.

—___

УОП ГГУ. гомск,. 29, Никитина, 4