Системы линейных дифференциальных уравнений в пространствах обобщенных периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од .

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 1 ИЮН 1993

На правах рукописи

МУХАШАД ШАМИ ХАССО

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДШЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВА? ОБОБЩЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени \ кандидата физико-математических наук

Минск -19 9 3

Работа выполнена на кафедра уравнений математической физики Белорусского государственного университета

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Кулешов Александр Аркадьевич Официальные оппоненты: доктор физйко7матвматических наук,

профессор Мешков Виктор Захарович, (Воронежский госуниверситет); кандидат физико-математических наук, доцент Мозолевский Игорь Евгеньевич Ведущая организация - Институт математики Академии наук Беларуси

Зашита состоится /¿? июня 1993 года в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.10 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Белорусском государственном университете по адресу: 220050, Р.Беларусь, г.Минск, проспект Ф.Скорины, 4, ауд. 206 главного корпуса.

С диссертацей можно ознакомиться в библиотеке Болгосуниверситета

Автореферат разослан мая 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета, кандидат физико-математических, наук

доцент ' В.И.Корзш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальноеть теш. Проблема построения обратного или псевдообратного оператора остается одной из актуальных задач как ■теоретических, так к прикладных исследований в области теории дифференциальных, уравнений и краевых задач математической физики. С точки зрения приложений, ' псевдообратннй оператор позволяет находить решение с минимальной невязкой для любых правых частей. Обшей теории псевдообраауэния посвящены работа Я.Ю.Тсенг, А.Н.Тихонова, В.Я.Арсенина, Ю.П.Пытъева, В.А.Морозова, В.К.Иванова, В.В.Васина, В.П.Танана, Г.М.Вайкикко, А.ю.в&ретеникоьа, т. Greviile, S. R. Caradus , С. У. Sroetsch, H.Z./íashed, J. J. Koliha , W. V. Petryshyn, D. W. Showaitег. Однако задача построения псевдообратного оператора для конкретных операторов вызывает определенные трудности. В этом направлении сделано очень мало. Даже для оператора Фредгольма второго рода в нерегулярном случае до сих пор был известен только результат о существовании псевдообратного оператора, полученный Гурвицем еще в 1912 году. '

Данная диссертация посвящена построению псевдообратного оператора для- системы дифференциальных "уравнений в частных производных с .периодическими коэффициентами в пространствах обобщенных функций. ' .

Цель работа. Построение псевдообратного определенного левой частью системы

оператора.

м

и™ " <„ (1)' р«.'*1» - I •

где - бесконетйо-дифферещируемае функции по переменной

л- = ,... ) и периодические с периодом 1 по каждой поремош-юй , а р™(£>) = ,.,. ,г>з) - диЩвренпиальные

операторы с комплексными коэффициентами.

Методика исследования. В работе применяется метод предложенный в работах А.Л.Кулешова "')**> и основашшй на теории псевдообращения линейных операторов в сепарабелъных гильбертовым пространствах.

*) Кулешов A.A.' Линейные интегральные уравнения третьего рода в пространствах,^ с весом, i // Диффэренц. уравнения. 1990. Т.26. И 3. с. 514-521.

«*•) Кулешов A.A. Линейные интегральные уравнения третьего рода в пространствах l2 с весом, и // Яиф$еренц. уравнения. 1990. Т.26. J6 5. с. 890-897.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты :

1,Найдош новые необходимые и достаточные условия замкнутости области значений самосопряженного оператора, действутвго в сепарабельном гильбертовом пространстве.

2, Получена новая характеристика спектра самосопряженного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.

3, Построена псевдорезольвента линейного интегрального оператора Фредголъма при любом значении параметра Л * о.

4, Построен псевдообратннй оператор к . оператору, определяемому левой частью системы (1).

, Практическая ценность, . Работа носит теоретический

характер. Результата работы могут быть использованы при конструировании вычислительных. алгоритмов для решения бесконечных систем алгебраических уравнений и уравнений, сводящихся к ним.

Адресация работы. Результаты диссертации докладывались на

VI конференции математиков Беларуси, г.Гродно, 29 сентября - 2 октября' 1992 г., и обсуждались на научных семинарах кафедры уравнений математической физики Белорусского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах П -4] .

/

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 99, наименований. Общий объем работы 123 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы диссертации, излагается метод исследования и основные результаты работы. Рассмотрим систему

и

ЕР U Ш f. , 1 £ п £ M ,

и» ■ III п * *

m=s J

l

\a\<K ' ' rirfl

Коэффициенты в операторе PJ№i(:»-,d) являются

бесконечно--дифференцируемыми периодическими с периодом 1 по каздой переменной функциями, а р™"(о) - дифференциальные операторы с постоянными комплексными коэффициентами.

Система И ) является частным случаем уравнений, которые могут быть записаны в виде :

[к ф](*-) - -(:*) <р(*) + фЫ (A(dp) - Мх), <2>

X

где я- е X, (Х.р.) - пространство с а -конечной мерой 1А, а, Ж, { -

заданные комплексиозначные функции. Функция se (.•*-, и) называется ядром интегрального оператора

X : 0) -—> J <»ы JA. (3)

х

Для того, чтобы перейти от записи (2) к записи (1), достаточно в качества мери ц взять дискретную меру. Более того, в случае дискретной мэры в записи (2), без ограничения общности,

МОЖНО ПОЛОЖИТЬ а(ж).= 0.

Метод, с помощью которого решается интегральное уравнение (2) или система (1), можно объяснить на основе теории псевдообращэния линейных операторов в гильбертовых пространствах. Рассмотрим линейный оператор К еВЦ, И2), т.е. непрерывный линейный оператор, отображающий гильбертово пространство Н1 в гильбертово пространство н2» 'Псевдообратным к оператору к называется оператор э е В (Н2, Н1) такой, что

К Э К = К , Б К 3 = Э . (4)

(к б)* - К Б , (в к)* - Б К . (5)" '

Оператор э , удовлетворяющий {4} , (5), существует в том и только в том случае, когда область значений оператора к замкнута» В случае существования, псевдообратный оператор обозначается Б*. Этот оператор, так же как обратный оператор, позволяет найти все решения уравнения

\ К Ф = £ (6)

при условии замкнутости области значений оператора к : ■ условие К К+ / = / необходимо и 'достаточно для разрешимости уравнения (6), а общее решение

ф = к* * - К* К ~ , * « Н4. В случае существования обратного оператора • К"1 оператор К* » » к"1. Существует теория псевдообращения -линейных операторов, в рзмках которой устанавливается следующий фундаментальный факт»

Если область значений оператора К замкнута, тогда

N

к+ - У ¡1 - а К* к)1 а К* , (7)

г

г

где о < а < - , а сходимость в (7) погашается в

11|к 111

равномерной операторной ' топологии • пространства а(Нг, НЛ). Чипо а на предел не влияет, но от его выбора может зависеть скорость сходимости (7). В диссертации используется оператор, который удовлетворяет только условиям (4). Он называется квазиобратным и обозначается К®.

Главы 1 и 2 носят вспомогательный характер, хотя приведенная в главе 2 конструкция псевдорезолъввнты линейного интегрального уравнения Фредголъма второго рода при любом X * О имеет, на наш взгляд, самостоятельный интерес. Исследование • условий замкнутости самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве проводится в <? 3 главы 2. Полученные здесь необходимые и достаточные условия являются новыми. Одна из критериев можно сформулировать следующим образом.

Леши 1. Пусть А <= В(Н), А = А*, тогда область значений оператора А замкнута в том и только в том случае, когда с некоторой константой с > о выполнена оценка

8 А* ||н г с Ц ¡{н, * « Н .

Теперь остановимся на содержании диссертации по главам. Первая глава носит вводный характер. Здесь прежде всего следует обратить внимание на содержание 5 4, в котором излагаются основные положения теории квазиобращения линейных. операторов в сепарабельных гильбертовых пространствах. В § 6 дается обзор

- 8 -

результатов по линейным интегральным уравнениям Фредгольма второго рола. Здесь обсуждается результат Гурвица (1912), который доказал 'существование представления (2) при любом значении параметра к * о,

В § 1 второй главы приводится итерационная процедура для вычисления псавдообратного оператора. В § 2 подробно изучается задача квазиобращения линейных операторов вида А = С-0 , С е В(НЭ, Нг > , О е ВШ,, Н3), где Н,, Н2, Нэ -сепарабельные гильбертовы пространства. Эта проблема возникает при получении достаточных условий регулярности интегральных операторов вида (2). Забегая вперед, можно сказать, что оператор К будет записан в виде произведения двух операторов: оператора продолжения Ак и оператора сужения П :

К - П • Ак . (8)

В теореме 2.2,1 доказывается, что область значений оператора К замкнута в том и только в том' случае, когда замкнута область значений, оператора р £квг х . ргап А , где р - ортогональный

проектор на соответствующее подпространство. Центральное место в этом параграфе занимает теорема 2.2.2, формулирующая необходимые и достаточные условия замкнутости области значений оператора р|кег п]А Ргап д » выраженные в терминах равномерной

ограниченности по норма ' некоторых последовательностей . операторов. Эти условия имеют прикладное значение, поскольку в конце концов они сводятся к равномерной оценке последовательности норм некоторых интегральных операторов в

пространствах . Особое значение в § 2 имеет лемма 2.2.1,

-'& -

дающая представление оператора К* , записанного в виде (8). Особое место в главе 2 отведено § 3. В этом параграфе детально обсуждается проблема замкнутости области значений самосопряженного оператора А , действующего в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если в предыдущих параграфах главы 2 эта проблегла рассматривалась для операторов специального вида, то в J 3 она трактуется достаточно широко. Здесь реализуется классический подход к спектральной теории самосопряженных' операторов, позволяющий переформулировать известные результаты о носителе реиения проблемы моментов в виде результатов о спектре самосопряженного оператора.

Основные результаты параграфа 3 изложены в теоремах 2.3.1, 2.3.3 и 2.3.5. В теореме 2.3,1 доказано, что спектр любого самосопряженного оператора а в сепарабельном гильбертовом пространстве совпадает (как подмножество вещественной оси) со спектром некоторого разностного оператора второго порядка вида: » Л' -> Ь. * ь. х. * а. X. ,

J--» i-i 1 J4 ) .)

где х t «О , b_t - 0 . Коэффициенты ь. и а. , j = 0,1,... вычисляются в явном виде. В теореме 2,3.3 установлено , что спектр оператора А совпадает также со спектром Берлинга функции g(t) » Тг jp exp(-i t д)| , где Тг (.) - след, и - произвольный ядерный положительный оператор с нулевым ядром и единичным следом. Наконец, в теореме 2,3.5 приводится следовая характеристика оператора А с замкнутой областью значений. Заключительный § 4 главы 2 посвящен конструктивному описанию ядра псевдорезольвенты интегрального оператора Фредгольма. •

Рассмотрим уравнение: ь

(Кя}(з) = - л } аь = ^(з), у е ЬгГа,Ь] ,

J

а

ь ь

где | | (з д) |2 л < +,» и решение ищется в пространстве

а а

Ьг£а,Ь] . ПОЛОЖИМ

ь

N(3,1) = X Э£-(з,Ь) + К - Х(1,Ь) 61 .

а

Пусть нк(зд) - к - е итерированное ядро. Рассмотрим последовательность

Зт>*1 к = 1

где,

2

О < а < -:- - фиксированное число, с' - биномиальные

■ ИИ - N111*

кос4ф и ц и енты , |Н<|| - норма в пространстве • линейных

ограшгдащых операторов, действующих в ь2[а,ь] ,

ь

а

Теорема 1, Последовательность (з ,1) сходится в

2

пространстве Ь2[а,Ь] при любом а, 0 < а < -— и

НИ -миг

(К)+ = I К .

ь

где = | ^зЛ) ^(1) dt ,

b

R(s,t> « N<s,t> - X Si(t,s) - X | M(s,Ç) StTtTF) *

a

b

«■ V(s,t) - К J *(t,Ç) dÇ .

a

В главе 3 рассматриваются прямоугольные системы уравнений вида (2) в случае дискретной меры ц. Основной акцент здесь делается на применение к системам дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. Поэтому конспективно изложена сводка результатов из теории оснащенных гильбертовых пространств, построенных по набору коммутирующих самосопряженных операторов. Эти результаты применяются в случае набора операторов с чисто дискретным спектром. Детально обсуждаются возникающие при этом шкалы функциональных пространств. Дальнейшая специализация производится для пространств обобщенных периодических функций и действующих в этих пространствах линейных операторов. Системы, которые рассматриваются в главе 3, имеют вид:

I ILflL^^^H *

m»» aeZ' pe£ '

* exp(2iti<a,^>) « /„(-•*•■) , 1 £ n < H , (9)

где 5frirn(a,e) - комплекснозначные функции, определенные и конечные на Z" » Z", а - "дискретное" преобразование Фурье. Система (9) изучается в пространствах обобщенных периодических функций. Системы дифференциальных уравнений в частных производаых с периодическими коэффициентами мокло легко записать в виде (9).

Для примера достаточно рассмотреть скалярный случай. Пусть Р (xTD) - J^ ааЫ) Pa(D) , где a¿X) е c'^R") , a Pa(D) - -Jajiro

дифференциальные операторы с постоянными комплексными коэффициентами. Оббзначим

P(t,r) ° £ Ра(г) ^(аа){/-г) , г, Í е ? , ]а)£я>

тогда

P(:*,D) " " ^ PÍV*) y(u)(r)j ехр <{,*>■) .

Полином Ра(г) получается из оператора Ра(d) формальной заменой i а

--на г. , 1 < j < п , г = (г , . . .,r ) е 2f.

2п1 Ох. 1 ir,

г

Определение 1, Обозначим к^Т') совокупность всех положительных функций к (г) , определенных на 2" и удовлетворяющих условию

к(г-и-) < к ir) [i + с|/|]м , г,г е Т , с > о , м > о - констаиты, которые не зависят от /,г ;

к* (Z") подмножество к, (2"') , состоящее из субмультипликативных функций к(г), т.е. таких, что K(í+r) г К(/).К(г) , t,r еТ . Определение 2, Через ко(Z") обозначается множество всех положительных функций к(г), определенных и конечных на удовлетворяющих при всех достаточно больший |»-j неравенству

, js- is-. -Л 29 г» о^я где с ,с > о не зависят от г , з s; > о, з. >0, ' 1 < i- < п,

12 II

зависят от к<г>, но не зависят от г .

Пусть Шг = С * •. - » £ - декартово произведение т экземпляров'паяя комплексных чисел С .

Определение 3. Пусть £ е 1 ¿ > £ т. Обозначил

через ^ , » = {»х,... ,4>т} пространство вектор-функций £(р) * (Р). • • ■ )], определенных и конечных в точках Т со значения™ в £7, для которых конечна величина

т .

11X2

где

»Ма,^ " ( I адН2 <035

.. —»Г.

< +« , (10)

Пространство с нормой (10) всегда наделяется структурой гильбертова пространства со скалярным произведением

'У У е>>-«!<э> •

>. = » / , . . . '

Рассмотрим пространство

н0 - 1-а[с 0, и »...-[ОИз] - ь2[[0,1] п] .

и действующие в Н^ операторы

1 о

■ " (2*!) ° О, > 1 - Л

с областями определения г

®(А,> - -Ш*) « Ьг([0,1]г), -77-« ь2 (Г 0,11 г ),

Дифференцирование понимается в смысле теории обобщенных функций. Разложение единицы оператора а, задается ро формуле

-1 1- г гтг.1}я.х.

I ] е " Ы *

т £А, о

1

.1

> е '' ' , 1 < j < п .

Таким образом, операторы АД»-"»АП попарю коммутируют и их совместное разложение, единицы

'о

.....кг1) Ь « £ (ь, е"1^' *>)

Я)

<т, аЛ » т л • *т -х л 1 п п

Определение 4, Пусть к<г> «= к о(г''). Обозначим

Нк ~ * ^([0,1]п)г /,/) < '

к"

' где ^(Ю. 1] п) - пространство периодических функций, суммируемых, с квадратом. .

Определение 5. Пусть р(э) = [р, (р). -.^(Р)), е -хо ), 1 < 1 <; т . Обозначим пространство обобщенных периодических вектор-функций и » (и^ ...,ит), ^ е , 1 ^ ' £ т со скалярным произведением

и нормой

= * рЙГ

11/2

Н> - [I I г]'

. „ -ип о*

Систему (9) удобно рассматривать в двойственных координатах, т.е.

в виде эквивалентной системы в пространствах •

м

£ £ - т,<«> . 1 * 1 * « • (11)

Здась К^(а.э) » \ < I & н , , некоторые

комплекснозначные функции, определенные и конечные в 2г,х2Г' . Леииа 2. Пусть е К^(2П»2Г'). Обозначим

„„.<«• ) - р(а,р)- - (*«Р ■ )■] .

тогда ^(а.е) е К <2^2").

Будем обозначать через к оператор, определяемый левой, частью системы (11): , . .V

(К

м

рег"

1 < I < н. В соответствии с результатами главы 2 находим факторизацию оператора к в виде произведения операторов продолжения и сужения. Для этого положим

\ и т ^К ' * »

и

К и " ^(р)» 1 л '

Оператор П будем определять на вектор-функциях «

. * •"»?„(«,Р)) по правилу

П ? « (п П$м) ,

п^»^ , 1 < .1 < Н.

¡5*2"

Зафиксируем теперь весовую функцию

Р<«.Р). " (р, («.»>»• ".»„(а.р)), е , 1 £ I < Н,

- 16 -

I? положим

1 . -1,-2

р (в) . Г у —-] , 1 < i < н ,

j г—» г—» i ха

tt{p) = ¿^ ¿^ , 1 £ j < М .

Без лишних, оговорок предполагается, что р. (a) е К, (2"), 1 < i < я, оЛрЛ е- ко('£') > 1 ¿ j < Н. Полагаем Р(а) = (Р1(а),...,Рн(а)] , = (о, (Э ), • • • ,QM<P>) ♦

Лейла 3, Оператор П е ¿Т»Т) , ; причем

т = ( --- 7 («),..., —-- 7 («)] , (13)

п П* у = у , (14)

где г в ¿1 (Г).

Леша 4. Оператор \ е » £ Причем

для ии) « =С>0(2Г'):

м

£ £ |к,.(а,е)||5.(р)| « (15)

1 <ч < м, . .

Представление

■ к^-.п/^е . (16)

легко обосновывается с помощью лемм 3 и 4, причем

К «в[ , ]

и формула (16) справедлива при любых £ е ¿^ аЩ'). Более того, оператор К регулярен.

Леша 5. Оператор

а: «- е.....А: ?)

К Л ТЛ '

N Км(а,Э)

К■ £иI ^^ -

1 < .1 < М.

Известно, что области значений операторов А^ и А* А^ замкнуты или нет одновременно. Однако удобнее исследовать замкнутость области значений оператора а* ак . Вычислим этот оператор. Введем обозначение

К -1 I —-- •

г »1 ае^

тогда

А, А, С -

Через '^|а* Ак] будем обозначать -матрицу, транспонированную к матрице, элементами-которой являются алгебраические дополнения к •соответствующим элементам матрицы А* Ак, т.е. такую матрицу, что А,)'^: Ак) = (А; Ак)

= а*ь [а* а,х)-е , (1?)

гдз - символ, обозначающий определитель, е - единичная матрица. Сначала разберем случай, когда ядро оператора Ак ' сводится к нулевому вектору.

Леша 6. Следуйте условия эквивалентны

I) оператор А* Ак обратим ;

II) область значений оператора Ак замкнута и

Ак)оН > О (18)

в каждой точке р е'?.

Теорема 2. Следущие условия эквивалентны:

a) область значений оператора Ак замкнута, а ядро нулевое ;

b) для всех е 5Г" выполнены следующие неравенства:

"[А* - с Ч<Р> к А„)(р)!,

1< 3 < м, 1 < i < н и

{йе1 (а;^)(р)| > 0 , v э е т ,

где константа с > 0 не зависит от р е Г .

Теорема 3, Следующие условия эквивалентны:

a) область значений оператора Ак замкнута ;

b) для всех ре?, 1 < I < м, 1 < з < м, выполнено неравенство:

м

1£ К а„]ц(Р> -(А; А„)>)| < .¡=1

< с <Мр) [а* ' (19)

с константой с > о , не зависящей от р е Здесь |а* Ак]2(р) -матрица , соответствующая оператору |а* а^2 .

Лемма 7. Пусть замкнута область значений оператора Ак. Тогда ортогональный проектор Р2 на область значений оператора Ак . вычисляется по формуле

р3 - \ (а: А,Г А; ,

где ¡А* Ак| - псевдообратный оператор к оператору |а* -

- 19 -

Введем обозначение для оператора (а* Ак] . Положим

.....а1и<е>

К а,) (р)

а ' (ß), . . . , а (й) ш * мм '

В этом обозначении :

(ра 5),(а.р) = £ Ksj(a,P)

* j=i *• l-i

м Kit(o,p)

ап<Р)

, 1 < i H.

Ортогональный оператор P, на ортогональное дополнение к ядру оператора П вычисляется просто:

(Р. - —

Обозначил

^ (Г .Е>.э,

j= 1 I -1 г/еЖ

q*<7>

При » > 2 положим

ы

А1(7>Са,Э> - £ Г Aft>(«.v) A^-^iv.p) pj(») -

Isl -feZ"

J £ Л^Са.ч) A^iv.p)'P*(v>

Ui Vt

Обозначим

Í>1 (a,v) = ) --Л' (a, v) ,

tío Ít-I)! (1-И )?

и . Кг.(»>,а) З^Ча.р) = У Y ----Р* (v),

fío fez" аГ(а) где - ¡фиксированное вещественное'число, 0 < ж < 2, Пусть ese

м

. 1.--Я

>>> - ( Y. Z 1К^(т.«>Г Р-(Т>) 2 , 1 s i £ и ,

.i = i -yeZ

Г " Р* (О ) wa

Определение 6. Пусть е(а) е 9^(2"). Обозначим ^,„(2?) банахово пространство вектор-функций q>(a) =» jq^ (а),... («)j, определенных и конечных на 2" со значениями в <¡f и нормой

¡<f>.(u}j

«Фв^с

« гяах

sup -

aeZ" 6(а)

Определение 7. Определим пространство 1 как

г i *

совокупность всех функциональных матриц (а,р)|1<ч<м с

1<)<М

элементами, определенными на , и таких, что

1) для каждого о. е z и каждого индекса i , 1 < > < м ,

R.. (о,, Р ) г ВХОДИТ В ¿I ) ; l' J ¡I-Í ,р

2) последовательность

входит в ¿*¡ a (Z").

Норму па J вводшд по форщле

N

вЙГ

SiKti = max f sup -

» "ixu.p .. ., I V' i \

' li-iiw • aeZ t?(a) . . ,,

Пространство ■ {¿1 1 является банаховым. Это следует из L * * J

теории пространств со смешанной нормой. В дальнешем знак А е (cr) обозначает, что оператор д имеет замкнутую область значений. Теорема 4, Обозначим

е(а) '

[™

I

к предполокш, что К е <ск), дк е (ск). Тогда последовательность сходится в пространстве

Со^.р) к.элементу (<*,Рпри г. - <* .

Б£1шчашш 1, В силу дискретности меры имеет место

СХОДИМОСТЬ -> Л . (а,р) При I -» о» В КЭЖДОЙ Т0ЧК8

(а,р) е 2Г'*2П и каждом индексе 1 < » < «, 1 < < м. С помощью несложных вычислений получаем Теорема 5, Пусть К е (ск), Ак е (ск), тогда

и ' с и "

-I *.»<-<»> I •»»<«»> I ■

} »1 1 = 1 1=1 уШЖ

Квазиобратный оператор

м н

(к® с)ь(«) - £ ■„(«> ( £ У ли(а,э) Р?(Э> ^(Р)],

1

1 < i < Н , С е ? -(Г).

Ha защиту выносятся следующие результаты:

1. Новая характеристика спектра самосопряженного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.

2. Новые необходимые и достаточные условия замкнутости " области значений самосопряженного оператора.

3. Вычисление псевдорезольвенты линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода при любом значении параметра X * о.

4. Конструктивные методы решения дифференциальных уравнений и систем в частных производных с периодическими коэффициентами.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1, Кулешов A.A., Мухаммад Шами Хассо. Классическая проблема моментов и некоторые задачи теории линейных самосопряженных операторов // Вестн. Белорус, ун-та. Сер 1. физ., мат., мех. 1993, JS 2, с.

2, Кулешов A.A., Мухаммад Шами Хассо. Итерационные методы решения интегральных уравнений Фредгольма при любом \ * О // Вестн. Белорус, ун-та..Сер 1. физ.,мат.,мех. (в печати).

3, Цухадаад !йаш Хассо. Системы линейных уравнений в пространствах обобщенных периодических функций /У Вестн. Белорус, ун-та. Сер 1. физ., мат., мех. - Минск, 1992, деп. в ВИНИТИ 21.10.1992 № 3034- В92.

4. Муханыад Шами Хассо. Системы линейных уравнений в пространствах обобщенных периодических функций. Тез. докл. VI конференции математиков Беларуси, Гродно, 29 сентября -2 октября 1992 г.*, часть 2. с. 24.

Подписано в печать .05.1993..заказ2Ь8 . Бесплатно. Тира» 100 экз. Формат 60x84, 1 16, объем печ.л. 1, Отпечатано на ротапринте БГУ. 220050, Минск, ул. Бобруйская, 7.