Голоморфные функции дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.927+517.984.5

Лагодинский Владимир Меерович

ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

Специальности: 01.01.01 - математический анализ, 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа государственного образовательного учреждения "Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Будаев Виктор Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Широков Николай Алексеевич доктор физико-математических наук профессор Алешков Юрий Зосимович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. Ульянова (Ленина)

Защита состоится ' ¿У 'ДДОЙ^Ау 2005 г. в 18 часов на заседании диссертационного совета К 2i2.199.02 при Российском государственном педагогическом университете им. А. И. Герцена по адресу : 191186, Санкт-Петербург, наб. реки Мойки, д. 48, корп. 1, ауд. 226

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГПУ им. А. И. Герцена Автореферат разослан

Ученый секретарь О

диссертационного совета х}ЛЛ-

А. П. Емельянов

1006-4 11Я002-

tezoo

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена изучению основных свойств операторов и уравнении, определенных в этой же работе так, что их можно рассматривать как обыкновенные линейные дифференциальные операторы и уравнения бесконечного порядка (в дальнейшем слова "обыкновенные линейные дифференциальные" опускаем), но их теория оказывается во многом аналогичной теории операторов и уравнений конечного порядка и, вследствие этого, удовлетворяющей требованиям прикладных (физических) теорий.

Интерес к операторам и уравнениям бесконечного порядка объясняется не только естественным в математике стремлением к наибольшей общности, но и тем, что для ряда физических теорий (в частности, релятивистской квантовой механики и теории твердого тела) уравнений конечного порядка оказалось недостаточно. Известно два различных подхода к этой проблеме, в обоих используются определения функции дифференциального оператора, но эти определения — разные. Один из этих подходов основан на определении функции оператора, введенном Дж. фон Нейманом, в нем и оператор-аргумент, и оператор-функция являются самосопряженными операторами, действующими в некотором гильбертовом пространстве и имеющими общий набор собственных функций. Чаще всего в качестве оператора^ аргумента используется оператор —idx (дх = d/dx), определенный на множестве {ti € Ь2(Ж) : и' £ L2(R)}, либо в оснащенном гильбертовом пространстве. Такие операторы называют псевдодифференциальными. Этим подходом пользуются как большинство математиков (M. Kashiwara and T. Kawai, T. Aoki, L. Boutet de Monvel, Ф. Трев, В. П. Маслов, Ю. H. Дубинский), так и физики (С. Tzara, В. Durand and L.Durand, W.Lucha, H.Rupprecht and F.F.Schober]) В другом подходе переход от функции комплексной переменной к соответствующей "функции дифференциального оператора" осуществляется заменой в ряде Тейлора этой функции степеней аргумента z на степени некоторого дифференциального оператора (J. F. Ritt, R. P. Boas, Ю. Ф. Коробейник, В. В. Напалков).

Каждый из этих подходов имеет недостатки. Первый из них не приводит к обобщению теории дифференциальных уравнений, поскольку эти уравнения им не охватываются. Псевдодифференциальные урав-

РОС. НАЦИОНАЛЫ« i БИБЛИОТЕКА С. Петербург ¡. л Ч 9Э Щ) uctJQSJs

нения даже в применении к простейшим задачам квантовой механики приводят к весьма сложным решениям. Неограниченные самосопряженные операторы не обладают свойством локальности — они требуют постановки краевых условий, в то время как дифференциальное уравнение имеет определенный смысл и без краевых условий, поскольку можно найти его общее решение. Такие уравнения описывают процессы, для которых справедлив принцип близкодействия, поэтому в них должны входить лишь локальные операторы, определяемые независимо от краевых условий, накладываемых дополнительно. Второй подход локален, так как он использует классическое определение производной. Однако определяемый им оператор применим к любой голоморфной функции, только если он соответствует целой функции. Но для уравнений с такими операторами трудно ставить краевые задачи, поскольку любая неполиномиальная целая функция имеет бесконечно много нулей, а значит, соответствующее уравнение имеет бесконечно много линейно независимых решений, и краевых условий здесь необходимо бесконечно много. На самом деле существуют физические теории (например, упомянутые выше), которые нуждаются в "функциях оператора", соответствующих нецелым функциям комплексной переменной.

Таким образом, актуальным и с точки зрения математики, и с точки зрения физики является поиск нового подхода к определению функции оператора, который был бы локальным, но был бы применим к нецелым функциям.

Объект и предмет исследования:

Объектами исследования являются операторы, введенные в этой же работе, и соответствующие уравнения, а предметом исследования — свойства этих операторов и уравнений.

Цеди исследования:

1) построить отображение некоторого подмножества (вообще говоря, неполиномиальных) голоморфных функций комплексной переменной (символов) в множество локальных операторов бесконечного порядка — голоморфных функций операторов конечного порядка;

2) изучить основные свойства таких операторов бесконечного порядка;

3) выделить класс уравнений бесконечного порядка, для которых можно ставить задачи Копш с условиями, содержащими результат действия на решение операторов бесконечного порядка, и построить

основы теории таких задач;

4) выделить класс уравнений бесконечного порядка, для которых можно ставить задачи типа Штурма-Лиувилля, и построить основы теории таких задач.

Методы исследования

В работе используются методы комплексного анализа, теории дифференциальных уравнении, спектральной теории краевых задач Штурма-Лиувилля, функционального анализа.

Научная новизна

1) Предложено новое определение функции операторов, новизна которого заключается, во-первых, в том, что в качестве множества символов 5 выбрано множество голоморфных функций комплексной переменной, имеющих по конечному числу точек ветвления и нулей и не имеющих особых точек однозначного характера, область голоморфности символа представляет собой всю плоскость С за исключением точек ветвления и разрезов, соединяющих каждую из точек ветвления с г = оо, и направленных вдоль лучей, исходящих из точки г — О, во-вторых, соответствующий оператор бесконечного порядка (голоморфная функция оператора конечного порядка) получается методом аналитического продолжения по вещественному параметру (названного а-продолженнем).

2) Изучены основные свойства операторов /(I?®): каждый из них является локальным линейным оператором, определенным и непрерывным (значит, и ограниченным) в пространстве В(1>х, (?/, Р) (Вх — оператор конечного порядка, С/ — область определения символа f(z), Р — связное подмножество вещественной оси), снабженном топологией счетно-нормированного пространства.

3) Изучены основные свойства уравнений вида

{/(дх)и)(х) = У(х), УхеР,

где /(дх) — голоморфная функция оператора дх = й/вх с символом /(г) € 5, У(х) — известная функция, РС1 — связное подмножество. Показано, что число линейно независимых решений соответствующих однородных уравнений конечно.

4) Построены основы теории задач Коши для уравнений вида

(У*о2-^-а)«(*) = о, Ух е Р, (1)

где А: е М, ,го € (0, оо). Такое уравнение, как и уравнение второго порядка, имеет два линейно независимых решения, для него справедливо тождество, доказанное в этой работе и названное обобщенным тождеством Лагранжа (оно аналогично тождеству Лагранжа теории уравнений второго порядка), существует и аналог вронскиана.

5) Построены основы теории задач типа Штурма-Лиувилля для уравнений вида (1) с к = 2. Показано, что каждой из таких задач соответствует неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, скалярное произведение которого определяется левой частью обобщенной формулы Грина, полученной в этой работе.

Теоретическая значимость работы

Выделен и исследован класс уравнений, которые могут рассматриваться как уравнения бесконечного порядка, но по своим свойствам аналогичны уравнениям конечного порядка, хотя и имеют свою специфику.

Практическая значимость работы

Определение квадратного корня из дифференциального оператора, данное в работе, и изучение уравнения (1) с к = 2 имеют большое значение для релятивистской квантовой теории и, по-видимому, могут служить поводом к реабилитации квантово-механического подхода в этой теории, при этом устраняются многочисленные трудности общепринятого варианта релятивистской квантовой механики. Подобные уравнения могут использоваться и в теории твердого тела, они позволяют задавать конкретные законы дисперсии квазичастиц.

Рекомендации по использованию

Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов математических и физических специальностей.

Достоверность результатов обеспечивается тем, что они сформулированы в виде лемм и теорем с подробными и строгими доказательствами.

На защиту выносятся следующие научные положения:

1) метод сопоставления паре (/, Д,), где / £ 5, а Бх — оператор конечного порядка, локального оператора /(Д) (голоморфной функции оператора Д с символом /) с помощью аналитического продолжения по вещественному параметру;

2) леммы и теоремы, устанавливающие основные свойства символов, /(Д)-отображаемых функций и операторов /(Д);

3) методы решения однородных и неоднородных уравнений бесконечного порядка рассматриваемого класса с постоянными коэффициентами;

4) основы теории задач Копта для уравнений вида (1) и краевых задач для таких уравнений с к = 2.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на Международном конгрессе по компьютерным системамам и прикладной математике СвАМ'93 в Санкт-Петербурге в 1993 г., докладывались на Герценовских чтениях Российского Государственного Педагогического университета, семинаре кафедры математического анализа этого же университета и семинаре кафедры вычислительной математики Ростовского Государственного университета. По теме диссертаг ции опубликованы 3 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 52 названия. Основное содержание изложено на 114 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснован выбор подхода к определению операторов бесконечного порядка и приведено краткое содержание работы.

В первой главе "Голоморфные функции дифференциальных операторов" вводится определение голоморфной функции оператора конечного порядка и изучаются основные свойства этого класса операторов бесконечного порядка. Эта глава включает три раздела. В первом разделе первой главы определяется множество 5 символов, как функций комплексной переменной, каждая из которых определена и голоморфна на С за исключением конечного числа точек ветвления и разрезов, соединяющих каждую точку ветвления с бесконечно удаленной точкой и направленных по лучам, соединяющим эти точки с точкой г — 0, в которой эта функция голоморфна, причем каждый символ имеет лишь конечное число нулей. Доказана лемма 1, согласно которой множество символов замкнуто относительно сложения, а если произведение двух символов в проколотой окрестности любой точки ветвления может быть представлено в упомянутом виде, то и оно является символом; то же справедливо отдельно для подмножеств 5(<3) С 5, каждое из которых включает символы, определенные на области С. Согласно лемме 2, значение любого символа в любой точке его области опреде-

ления может быть получено с помощью а-продолжения, то есть аналитического продолжения ряда Тейлора с центром в нуле по отрезку луча, соединяющего нуль с этой точкой, при этом каждой точке этого отрезка сопоставляется некоторое значение вещественного параметра а £ [0,1]. Далее показано, что эта процедура может быть выполнена и для ряда, который получается из ряда Тейлора, если в нем последовательность заменить на последовательность {Ля}^ ^ удовлетворяющую определенному условию (лемма 3).

Во втором разделе первой главы определяется понятие /(Дс)-отображаемой функции, где f — символ, а Бх — оператор конечного порядка, определяемый классически, то есть как предел соответствующего конечно-разностного оператора. Теорема 1 дает необходимый и достаточный признак принадлежности функции и: Р С (Р — связное подмножество М) множеству В{ИХ, Р, (7) функций, являющихся /(Д^-отображаемыми для любого оператора /(Дг), символ которого /(г) принадлежит 5(6). Она имеет два следствия: о том, что любая функция и{х) € В(дх, Р, (?) представима на Р своим рядом Тейлора с бесконечным радиусом сходимости и о распространении свойства /(Фс)-отображаемости с одной точки отрезка на весь этот отрезок. На множестве В(дх, Р, <7) вводится структура счетно-нормированного пространства.

В третьем разделе первой главы а-продолжение используется для определения отображения Ф(Дг): ¿>((3) ->■ О) множества символов в множество операторов, действующих на множестве функций В{Ох, Р, О): символу /(г) сопоставляется однопараметрическое семейство символов {/(аг) € 5 : а е [0,1]}; /(Дх)-отображаемой функции и(х) сопоставляется однопараметрическое семейство функций {ша{х) : а £ [0, сц]}, где

«*•(*> = £ ~Р-«»(пу)(х), V* £ Р,

п=0

а «1 £ (0,1] таково, что этот ряд сходится абсолютно на Р; для каждого х € Р определяется функция £х(а) = юа{х), аналитческая при а € [0,1] и имеющая аналитическое продолжение £г(1) до а = 1; оператор f(Dx) определяется как оператор, сопоставляющий /(Дс)-отображаемой функции и(х) функцию ю\(х) = £с(1)- Эти операторы названы голоморфными функциями операторов конечного порядка. Их линейность и локальность устанавливает теорема 2. Теорема 3

устанавливает инвариантность множества В(дх, Р, G) относительно действия операторов из F(dx,G). В теореме 4 доказывается, что отображение Ф(<9г) является изоморфизмом относительно сложения и коммутативного умножения. Тем самым решена проблема определения квадратного корня го дифференциального оператора, очень важная для релятивистской квантовой механики. Кроме того, если символ f(z) € S(G) не имеет нулей, то оператор f(dx) имеет обратный. Согласно теореме 5 операторы из F(dx, G) непрерывны и ограничены. Ими можно действовать поэлементно на ряд, сходящийся в В(дх, Р, G).

Во второй главе "ОЛДУ бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Задача Копш и общее решение" в рассмотрение вводятся уравнения бесконечного порядка вида

(№)«)(х) + U{x)u{x) = V(x), Vx е Р С Ж,

где и(х) — неизвестная функция, f{Dx) — голоморфная функция Dx, U{x) и V(x) — известные функции: U(г) — потенциальная функция, V(x) — правая часть. В этой работе рассматривается случай Dx = дх, U[x) = const, то есть рассматриваются уравнения с постоянными коэффициентами. Во второй главе изучаются частные и общие решения этих уравнений, определяются и изучаются задачи Копш для них. Глава содержит два раздела.

В первом разделе второй главы даются определения уравнения бесконечного порядка и его частного решения и изучаются некоторые их свойства. Согласно теореме 6, если его коэффициенты постоянны, множество его частных решений совпадает с множеством решений некоторого уравнения конечного порядка. По следствию теоремы б эти уравнения имеют лишь конечное число линейно независимых решений, что делает теорию таких уравнений во многом аналогичной теории уравнений конечного порядка. Различия в том, что, согласно теореме 7, неоднородное уравнение с оператором бесконечного порядка из F(dx,G) имеет решения, только если его правая часть принадлежит В(дх, Р, G). Тогда, согласно теореме 8, в случае, когда символ оператора уравнения не имеет нулей, уравнение имеет единственное решение, чего не бывает в теории уравнений конечного порядка, но если он нули имеет, то аналогия с этой теорией полная: общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Каждому уравнению бесконечного порядка с по-

стоянными коэффициентами можно сопоставить характеристическое уравнение, однако оно может не иметь корней, поскольку в его левой части — не полином. Согласно теореме 9, в этом случае однородное уравнение не имеет решений, а если характеристическое уравнение имеет корни, то этих корней — конечное число (так выбрано множество символов), и множество частных решений однородного уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами совпадает с множеством частных решений соответствующего однородного уравнения конечного порядка.

Во втором разделе второй главы рассматриваются задача Ко-пш и общее решение уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Показано, что для уравнения (1) кроме обычных задачи Коши можно ставить и с помощью операторов бесконечного порядка, поскольку справедливо обобщенное тождество Лагранжа: к—2

и{х)(/ку)(х) -Г 4 1«)(х) +

/=0

+ 110(*) - Ф)(Л«)(*) -

1=0

~ - Ё^ш^ШЛ^-гп'Кх) =

1=0 1=0

= -дх К*) (ад(я) - v(x)(hku)(x)}, V® € Р,

где

Л = (4 - %)1,к, 9? = [Л]',

к = 2, 3, ... (при к = 1,2 сумм нет, при к = 1 обобщенное тождество Лагранжа сводится к обычному). Из этой формулы следует, что для уравнения вида (1) аналогом вронскиана является определитель

«1(х) и2(х) (ккиг)(х) (Ькщ)(х)

(он назван Л-вронскиалом). Справедлива теорема 10, согласно которой частные решения уравнения (1) щ(х) и иг (я) линейно независмы в том и только том случае, если й-вронскиан отличен от нуля на Р. Поэтому в качестве условий Коши для уравнения (1) можно использовать условия вида:

Фо) = Сь (МЗг)и) Ы = Сг,

Ь[х, к; щ, и2] =

где aro € Р, C\¿ € С, что делает теорию таких задач Копш вполне анаг логичной теории для уравнений второго порядка. Теорема 11 утверждает, что каждая из этих задач имеет единственное решение. Существование и вид общего решения уравнения (1) устанавливает теорема 12.

В третьей главе "Краевые задачи для уравнения

(У^-^-а) и{х)=0"

построены основы спектральной теории краевых задач для таких уравнений и показано, что эта теория во многом аналогична теории Шту-рма-Лиувилля для уравнений второго порядка. Она состоит из трех разделов.

В первом разделе третьей главы выводится обобщенная формула Грина (теорема 13):

{«,, (4 - %)1'2и2)ьа - («г, (^ - = L[a,2;uь«2] - L[b,2;ubu2],

где

fb

{m,w2)ba = I [wi(x)w2(x) +

+ 4(4 - - $-1/2«2(a0 +

+ (4- %Tll2™'Á*){4 - %YXI4{*)] dx,

(a, b) С P (если промежуток P бесконечен, то и интервал (а, Ь) может быть бесконечным). Положительная определенность и симметричность формы (v)\,W2)ba позволяет использовать ее для определения скалярного произведения в функциональном пространстве W(P), для элементов которого она конечна:

(wi,«>2)e = (wí,W2)a

и соответствующей нормы. Таким образом, на пространстве функций В(дх, Р, G), где G — область голоморфности символов из S2 (для этого пространства теперь используется обозначение B(zq, Р)), можно ввести структуру предгильбертова пространства. Лемма 5 демонстрирует важное отличие нормы этого пространства от нормы постран-ства L2(P) — оказывается, если множество U С B(zq, Р) ограничено по норме нашего предгильбертова пространства, множество

{(jg-flD-vy.j^.jetr}

и

ограничено на Р равномерно. Следствия теоремы 13 показывают, что для этих уравнений можно поставить такие краевые условия, что собственные функции оказываются ортогональными в смысле этого скат лярного произведения, а собственные числа — вещественными. Заметим, что обычные краевые условия, которые ставят для уравнений второго порядка, могут для уравнений бесконечного порядка привести к неполной системе собственных функций, так как некоторые собственные функции такой задачи для соответствующего уравнения второго порядка могут оказаться не отображаемыми оператором уравнения (2).

Во втором разделе третьей главы формулируются и изучаются регулярная задача Штурма-Лиувшихя и периодическая краевая задача. Первая из этих задач задается условиями: «

и(а) сова + (Лги) (а) sin а = u(b) cosß + (йг«)(Ь) miß — О, где а, ß € К, а вторая:

и(а) = u(b), (Лг«)(а) = (heu)(b).

Собственные значения и собственные функции этих задач устанавливают теоремы 14 и 15, причем собственные значения вещественны, а собственные функции каждой задачи составляют ортогональную (в смысле пространства W(P)) систему функций. Любая функция из B(zo, Р), удовлетворяющая краевым условиям одной из этих задач, разлагается в ряд по собственным функциям этой задачи, равномерно сходящийся на Р (теоремы 16 и 17). Для второй задачи это следует из обычной теории рядов Фурье (теорема 16), а чтобы доказать это утверждение для первой задачи (теорема 17), потребовалось предваг рительно доказать леммы 6-9, аналогичные соответствующим леммам теории интегральных операторов Гильберта-Шмидта, но доказываемые несколько сложнее. В обеих теоремах доказываются равенства , Парсеваля для соответствующих функций. Это позволяет доказать теорему 18 о возможности пополнения пространства W(P), которое становится после этого гильбертовым пространством. Оно отличается от L2(P) тем, что его элементы — кусочно непрерывные функции, поэтому интегралы в определении скалярного произведения и нормы имеют смысл интегралов Римана. Система собственных функций любой регулярной задачи Штурма-Лиувилдя или периодической задачи

полна в этом пространстве и является его базисом. Тем самым справедливо утверждение, аналогичное теореме о полноте системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, доказанной В. А. Стендовым. Таким образом, каждая из рассмотренных задач имеет вещественный спектр и ортогональную систему собственных функций, полную в пространстве Поэтому каждой из них можно сопо-

ставить линейный неограниченный самосопряженный оператор в этом пространстве, имеющий тот же спектр и тот же набор собственных функций, что и соответствующая краевая задача (теорема 19), но этот оператор не эквивалентен голоморфной функцией оператора дифференцирования, входящей в уравнение.

В третьем разделе третьей главы изучаются задачи Штурма-Лиувилля на вещественных полуоси и всей оси. Поскольку рассматриваются уравнения с постоянными коэффициентами, частные решения которых известны, легко доказываются теоремы о спектрах этих задач (теоремы 20 и 23). Спектр обеих задач вещественный, ограниченный снизу и неограниченный сверху. Спектр задачи на полуоси состоит из непрерывной и точечной частей (последняя может быть либо пустой, либо содержать одно значение), а спектр задачи на всей оси — только непрерывный. Все решения непрерывного спектра ортогональны собственной функции точечного спектра (когда она есть), а скалярное произведение двух решений непрерывного спектра представляет собой обобщенную функцию разности соответствующих спектральных значений, пропорциональную дельта-функции Дирака.

Как известно, для неограниченных промежутков ряды Фурье заг меняются интегралами Фурье, причем в случае полуоси добавляется слагаемое, соответствующее точечному спектру (если он есть). Это справедливо и в теории уравнений бесконечного порядка, но известный способ доказательства теорем разложения на бесконечных промежутках здесь требует некоторой модификации, поскольку не существует /(¿^-отображаемых финитных функций. Для доказательства теоремы 21 о таком разложении функции «(а:) € Ж+), удовлетворяющей соответствующему краевому условию в нуле, сначала доказана лемма 10 об абсолютной и равномерной сходимости соответствующего интеграла. Вводя скалярное произведение для множества функций, допускающих такое разложение, получаем предгильбертово пространство, которое с помощью стандартной процедуры пополняется до гильбертова (теорема 22). Снова оказывается, что все эле-

менты этого пространства — кусочно-непрерывные функции, поэтому интегралы в определении скалярного произведения и нормы этого пространства можно считать несобственными интегралами Римана. Краевой задаче на полуоси также сопоставляется неограниченный самосопряженный оператор в соответствующем гильбертовом пространстве. Этот оператор не может быть определен как функция самосопряженного оператора гдх в смысле Дж. фон Неймана — как уже было замечено, оператор гдх не может быть определен как самосопряженный на [0,оо). Далее рассматривается сингулярная задача Штурма-Лиувилля на всей оси. Теорема 23 устанавливает, что эта задача имеет только непрерывный спектр, ограниченный снизу и неограниченный сверху, при этом минимальное значение этого спектра — однократное, а остальные — двукратные, и определяет вид решений, причем эти решения для разных значений спектра ортогональны в том смысле, что их скалярное произведение является обобщенной функцией разности соответствующих значений спектра, которая при подходящей нормировке является дельта-функцией Дирака. Доказана теорема 24, согласно которой любая функция, /((^-отображаемая на К, стремящаяся к нулю вместе со всеми своими производными при х —>• ±оо и удовлетворяющая еще одному условию на бесконечности, предста-вима своим обобщенным интегралом Фурье, сходящимся к этой функции абсолютно и равномерно на М, и справедливо соответствующее равенство Парсеваля. Условия этой теоремы также определяют предгильбертово пространство функций на К, которое пополняется с помощью стандартной процедуры (теорема 25). Кроме того, теорема 25 устанавливает существование для любой функции из этого гильбертова пространства обобщенного преобразования Фурье и обобщенных синус- и косинус-преобразований Фурье, осмотренным ранее краевым задачам, краевой задаче на всей оси сопоставляется неограниченный самосопряженный оператор, определенный на множестве, всюду плотном в соответствующем гильбертовом пространстве. Этот оператор оказывается очень близким к псевдодифференциальному оператору, он лишь определен в другом гильбертовом пространстве. Но здесь он получен дедуктивным путем, а не постулирован. Он соответствует данной конкретной задаче, а для решения других задач может применяться лишь в том случае, если эти задачи достаточно близки к данной, например, если потенциальная функция мало отличается от постоянной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе с помощью процедуры а-продолжения вводится понятие функции обыкновенного линейного дифференциального оператора таким образом, что эти функции оператора являются локальными операторами, которые можно рассматривать как обыкновенные линейные дифференциальные операторы бесконечного порядка, а соответствующие уравнения — как обыкновенные линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка. Оказывается, что теория таких уравнений во много аналогична теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений конечного порядка, хотя и имеет свою специфику. Существует класс таких уравнений, для которых начальные или краевые условия могут быть заданы с помощью операторов бесконечного порядка, это связано с тем, что для этих уравнений справедливы обобщенное тождество Лагранжа и обобщенная формула Грина. В работе построена спектральная теория краевых задач для уравнений этого класса, имеющих постоянные коэффициенты, аналогичная теории Штурма^Лиувилля, в частности, она приводит к возможности разложения фукций в ряды или интегралы по решениям этих задач. Каждой такой краевой задаче сопоставляется неограниченный самосопряженный оператор в соответствующем гильбертовом пространстве (которое, вообще говоря, не совпадает с традиционным пространством L2), но этот оператор отличен от оператора, фигурирующего в уравнении, поскольку зависит от краевых условий, то есть не является локальным. Он не входит в условия задачи, а является результатом ее решения. Рассмотренные примеры позволяют предположить, что теория уравнений бесконечного порядка может быть положена в основу математического формализма новой , модификации релятивистской квантовой механики, свободной от мно-

гих трудностей теории, основанной на уравнении КлейнагГордона.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публи-' кациях:

1. V. М. Lagodinsky. Local functions of differential operators and rela-tivistic quantum mechanics. International Congress on Computer Sistems and Applied Mathematics CSAM'93. St. Petersburg 1993. Abstracts. (0,1 п. л.).

2. В. M. Лагодинский. Локальный квадратный корень из дифференциального оператора и некоторые самосопряженные граничные за-

дачи для релятивистского уравнения Шредингера. Межвуэ. сб. научн. тр. 1997, в. 36, с. 31. (0,6 п. л.).

3. В. М. Лагодинский, Л. Э. Цырлин. О линейных дифференциальных уравнениях бесконечного порядка и возможной модификации релятивистской квантовой механики. Вопросы прикладной математики и математической физики. Сб. памяти акад. Г. А. Гринберга. 2001. (0,9/0,1 п. л.).

я>

í

{

Тираж 100 экз. Заказ №799 Санкт-Петербург, ООО "АБЕВЕГА", Московский пр., д. 2/6 Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД № 69-299

»26 2 85

РНБ Русский фонд

2006-4 28200

ВВЕДЕНИЕ

1 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

1.1 Множество символов.

1.2 /(Д^-отображаемые функции.

1.3 Голоморфные функции оператора Dx.

2 ОЛДУ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

ЗАДАЧА КОШИ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

2.1 Основные определения, частные решения.

2.2 Задача Коши и общее решение.

3 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОЛДУ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

- А) и(х) = О

3.1 Обобщенная формула Грина.

3.2 Регулярная задача Штурма-Лиувилля и периодическая краевая задача.

3.3 Задачи Штурма-Лиувилля на вещественных полуоси и всей оси.

Диссертационная работа посвящена изучению основных свойств операторов и уравнений, определенных в этой же работе так, что их можно рассматривать как обыкновенные линейные дифференциальные операторы и уравнения бесконечного порядка (в дальнейшем для краткости слова "обыкновенные линейные дифференциальные", если это не мешает пониманию, опускаем), но их теория оказывается во многом аналогичной теории операторов и уравнений конечного порядка и, вследствие этого, удовлетворяющей требованиям прикладных (физических) теорий.

Первая работа, в которой рассматривались уравнения бесконечного порядка, была опубликована в начале прошлого века (J. F.Ritt [49]), и на всем его протяжении эта проблема привлекала внимание (R. P. Boas [42], L. Boutet deMonvel [43], Т. Aoki [40,41], М. Kashiwara, Т. Kawai [46], В.П.Маслов [23], Ю.Ф.Коробейник [11-13], В.В.Напалков [24], Ю. А. Дубинский [10]). Интерес к таким уравнениям объясняется не только естественным в математике стремлением к наибольшей общности, но и тем, что для ряда прикладных теорий дифференциальных уравнений конечного порядка оказывается недостаточно. Большое развитие получила теория уравнений с отклоняющимся аргументом [26], используемая в теории управления для описания процессов управления с запаздывающим сигналом. Однако такие уравнения слишком сильно отличаются от дифференциальных уравнений конечного порядка, и здесь рассматриваться не будут. Уравнения бесконечного порядка появляются в работах по релятивистской квантовой теории (Дж. Бьеркен и С. Дрелл [3], С. Tzara [50], В. Durand and L. Durand [45], A. Gara [44] и другие), по электронной теории металлов (И. М. Лившиц [22]), оптике лазерного излучения (С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С.Чиркин [1]). Но в работах по релятивистской квантовой теории обычно "для простоты" переходят от уравнений бесконечного порядка к уравнениям второго порядка как по координатам, так и по времени, либо используют так называемые псевдодифференциальные операторы [34]. И то, и другое приводит к существенным трудностям. В работах по оптике лазерного излучения пренебрегают членами с производными порядка большего, чем некоторый максимальный. Направление в электронной теории металлов, связанное с уравнениями бесконечного порядка, не получило развития, очевидно, из-за отсутствия соответствующего математического аппарата.

Требования упомянутых физических теорий и определяют те свойства дифференциальных операторов и уравнений бесконечного порядка, которые должны унаследоваться ими от операторов и уравнений конечного порядка. Для этих теорий справедлив принцип близ-кодействия: значение функции, характеризующей состояние физической системы в данный момент времени в данной точке пространства может зависеть только от ее значений в бесконечно близкий момент времени в бесконечно малой области пространства, содержащей эту точку. Из этого следует, что операторы, играющие главную роль в этих теориях, должны обладать свойством локальности (определение локального оператора, которое является развернутым вариантом краткого определения из книги [34], приводится в самом начале первой главы диссертации). Локальны дифференциальные операторы, определяемые классически: как пределы соответствующих конечно-разностных операторов. Но на состояние физических систем влияет и окружающий мир — это влияние выражается в начальных и грат ничных условиях.

Математический аппарат всех физических теорий, для которых справедив принцип близкодействия, основан на линейных дифференциальных уравнениях конечного (чаще всего второго) порядка в частных производных. В простых случаях переменные разделяются, и задача сводится к поиску решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОЛДУ), удовлетворяющих, кроме условия ограниченности, дополнительным условиям: начальным или граничным. Характерно то, что для одного и того же дифференциального уравнения могут быть заданы разные начальные и граничные условия. Метод разделения переменных требует, чтобы эти граничные задачи приводили к ортогональным системам функций.

Таким образом, как в математике, так и в прикладных науках сформировалась потребность в расширении теории линейных дифференциальных операторов и уравнений с сохранением их важнейших свойств, перечисленных выше. Необходимость их сохранения особенно очевидна для релятивистской квантовой механики, поскольку ее нерелятивистским пределом должна быть нерелятивистская квантовая механика [19].

Известно два различных подхода к данной проблеме. Общим для них является то, что оба подхода основаны на определении (вообще говоря, неполиномиальной) функции дифференциального оператора. Действительно, любое ОЛДУ конечного порядка можно представить в виде: n an{Dnxu){x) = V(x), VxGPCR, n=0 где {an}^Lo С С, Dx — обыкновенный линейный дифференциальный оператор (ОЛДО) конечного порядка, V{x) — известная функция, Р — связное подмножество. Сопоставим набору {an}£L0 полином n

PN(z) = anzn, VzeC. n=0

Тем самым любой ОЛДО Dx определяет некоторое взаимно однозначное соответствие между множеством полиномов и множеством ОЛДО конечного порядка, которое является изоморфизмом соответствующих коммутативных колец с единицей (произведению двух полиномов соответствует последовательное действие двух операторов). Можно ввести понятие полиномиальной функции ОЛДО Dx: n

PN(Dx) = J2a»D*п=о

Но кольцо полиномов [4] является подкольцом кольца функций, голоморфных в некоторой области G С С [39]. Поэтому естественным представляется такой способ обобщения теории ОЛДУ, при котором в рассмотрение вводятся уравнения вида: f(Dx)u)(x) = V(x), УхеР, где выражение f(Dx) означает линейный оператор, соответствующий в каком-то смысле голоморфной функции f(z).

Например, запаздывание сигнала в теории управления можно описать с помощью оператора сдвига по времени [26]: оо п exp(adt)u) (t) == —и{п) (t) = u(t + a), W G M n=0 здесь и далее используется обозначение д^ = d/d£). В релятивистской квантовой теории [3,44,45,48,50] и некоторых задачах электронной теории металлов [22] рассматриваются уравнения, содержащие оператор, который имеет вид квадратного корня из ОЛДО: у/т2 — д2,

Уравнения, содержащие такие операторы, уже не являются ОЛДУ конечного порядка, их можно, по-видимому, рассматривать как ОЛДУ бесконечного порядка, поскольку голоморфную функцию можно рассматривать как полином бесконечной степени.

Таким образом, для обобщения теории ОЛДУ на бесконечный порядок надо дать определение голоморфной функции ОЛДО.

Известно определение Дж. фон Неймана [25], которое самосопряженному оператору А с разложением единицы £U(A): оо dEA( А) оо и функции /: С -> С сопоставляет самосопряженный оператор: оо f(X)dEA(X). оо

Смысл этого определения состоит в том, что операторы А и f(A) имеют один и тот же набор собственных функций {ф\{х)}, где А — собственное значение оператора А, а собственное значение значение оператора /(А), соответствующее собственной функции ф\{х), есть /(А). Во многих математических и всех физических работах используется именно это определение. Его частным случаем является определение псев до дифференциального оператора [10,23,41,43] с символом f(z), когда в качестве оператора аргумента А берется самосопряженный оператор гдХ) определенный на функциях из £2(Ж) с производными из

L2(R). Конечно, такое определение математически корректно, оно сопоставляет оператору А изоморфизм коммутативного кольца с единицей функций f(z) в некоторое подкольцо коммутативного кольца с единицей операторов.

Возникают, однако, два вопроса:

1) является ли теория уравнений с операторами, заданными с помощью определения Дж. фон Неймана, обобщением теории линейных дифференциальных уравнений?

2) соответствует ли такое определение потребностям прикладных теорий?

Для ответа на первый вопрос достаточно рассмотреть ОЛДУ простого вида:

-д2хи(х) = Хи(х), Ух еРСЖ.

Очевидно, оператор необходимо считать квадратом оператора idx, но применимо ли к нему определение Дж. фон Неймана? Пусть, например, Р = [а, Ь]. Тогда оператор гдх самосопряжен в том и только том случае, если поставлены краевые условия вида [25]: и(а) = и{Ь) ехр(г'0), где в € М- Но этого условия недостаточно, чтобы определить краевую задачу для ОЛДУ второго порядка и соответствующий самосопряженный оператор, надо добавить еще условие и' (а) = u'(b) ехр(—i0).

Тогда краевая задача будет самосопряженной и система ее собственных функций может быть выбрана такой же, как и у самосопряженного оператора гдх (с тем же в), следовательно, этой задаче можно сопоставить самосопряженный оператор в L2[a,b] и, очевидно, этот оператор можно считать квадратом оператора idx в смысле определения Дж. фон Неймана. Но для этого уравнения можно поставить и другую самосопряженную краевую задачу, задав краевые условия [21]: и{а) cos а + и'(a) sin а = u(b) cos /9 + u'(b) sin.fi = О, где а, (3 6 ®L Собственные функции этой краевой задачи не являются собственными функциями самосопряженного оператора idx, поэтому самосопряженный оператор, соответствующий этой краевой задаче, не может быть квадратом самосопряженного оператора idx в смысле определения Дж. фон Неймана.

Пусть теперь Р = [0, оо). Как известно [29],в этом случае оператор idx вообще не может быть определен как самосопряженный, в то время как самосопряженная задача Штурма-Лиувилля может быть поставлена с помощью краевого условия [21]

ЦО) cos а 4- м'(0) sin а = О и условия ограниченности на бесконечности. Соответствующий самосопряженный оператор не может считаться квадратом самосопряженного оператора гдх в смысле определения Дж. фон Неймана.

Это определение приводит и к еще одной трудности. Пусть Р = Ж. Тогда самосопряженный оператор idx можно определить как псевдодифференциальный с символом z, а самосопряженный оператор —д\ — как псевдодифференциальный с символом z2, то есть квадрат оператора idx в смысле определения Дж. фон Неймана. Но если предположить, что в рассматриваемом уравнении — д2 — это обозначение псевдодифференциального оператора с символом z2, то сразу оказывается, что оно не имеет решений при любом А £ С, поскольку функция exp(ikx) "для нас не существует, так как она не является квадратично интегрируемой" [25]. Для решения этой проблемы приходится вводить такую громоздкую конструкцию, как оснащенное гильбертово пространство [7].

Рассмотрим ОЛДУ несколько более сложного вида, чем раньше: -д2хи(х) + U{x)u{x) = Аи(х), Ух 6 Ж, где U (ж) — ступенчатая функция:

U(x) =

О, х ^ О, и0} х > О,

Uq £ R. Конечно, решить это уравнение нетрудно. Легко найти общие решения отдельно на правой и левой полуосях, а затем, с помощью условий непрерывности решения и его производной, определить решение на всей оси с точностью до постоянного множителя. Если же оператор — определен как псевдодифференциальный, нам придется искать это решение в виде интеграла Фурье, но то решение, которое получается обычным способом, не может быть получено в этом виде, поскольку оно не является интегрируемым.

Вывод, который следует из проведенного рассмотрения, следующий: оператор —S2 в ОЛДУ — это не квадрат самосопряженного оператора гдх в смысле определения Дж. фон Неймана, и вообще не самосопряженный оператор, а (с обратным знаком) оператор двухкратного дифференцирования в классическом смысле [35]: \ v и(х + А — 2и(х) + и(х — S) дхи{х) = lim —---^г1--х 4 1 J-»0 б1

Те задачи, которые с легкостью ставятся и решаются с помощью этого определения, не могут быть решены, а иногда и поставлены, если для оператора в уравнении принято определение Дж. фон Неймана. Это значит, что теория, основанная на определении Дж. фон Неймана, заведомо не может быть обобщением теории ОЛДУ конечного порядка (характерно наличие приставки "псевдо-" в названии псевдодифференциального оператора), и ответ на первый вопрос — отрицательный.

По-видимому, этот вывод может быть связан с замечанием в предисловии к монографии [21] о том, что завершенность спектральной теории самосопряженных операторов в абстрактном гильбертовом пространстве, основанной на использованнии разложения единицы, не остановила развития спектральной теории дифференциальных операторов. Дифференциальные операторы имеют свою специфику, которая не улавливается абстрактной теорией.

Рассмотрим теперь второй вопрос — о соответствии определения Дж. фон Неймана потребностям прикладных теорий (если бы такое соответствие имело место, можно было бы ставить вопрос о построении теории уравнений с операторами, определенными по Дж. фон Нейману, безотносительно к теории ОЛДУ конечного порядка).

Очевидно, действие оператора f(A), определенного по Дж. фон Нейману, на некоторую функцию можно разделить на три этапа: сначала функция разлагается в ряд Фурье по собственным функциям оператора А (пусть он, для определенности, имеет только точечный спектр), потом коэффициент ряда, соответствующий собственному значению Ап, умножается на /(Ап), и, наконец, получившийся ряд суммируется. Таким образом, для вычисления значения функции f{A)u в некоторой точке xq области определения функции «(ж), нужно произведения этой функции на собственные функции оператора А интегрировать по всей этой области, то есть это значение зависит от всех значений функции и(х). Иначе говоря, оператор f(A), определенный по Дж. фон Нейману, нелокален. Но прикладные теории, нужды которых имеются в виду в настоящей работе, описывают процессы, имеющие локальный характер. Поэтому и на второй вопрос ответ будет отрицательным.

Несомненно, локальными являются операторы умножения на любую функцию независимой переменной и ОЛДО конечного порядка, в которых производные определяются классически. В то же время любой самосопряженный оператор нелокален, поскольку принадлежность функции его области определения зависит от того, удовлетворяет ли эта функция некоторым интегральным условиям, в частности, условию квадратичной интегрируемости.

Заметим, что нелокальность псевдодифференциальных операторов хорошо известна физикам, и хотя они используют эти операторы для решения некоторых конкретных квантоворелятивистских задач (например, для расчета спектра водородоподобного атома [44,45,50]), но не упоминают о них в аксиомах релятивистской квантовой теории [3]. В работе [50] прямо говорится, что псевдодифференциальный оператор (на языке физиков — импульсное представление) используется только потому, что такое определение квадратного корня из дифференциального оператора, которое давало бы дифференциальный оператор, неизвестно.

Итак, для построения теории ОЛДУ бесконечного порядка необходимо дать такое определение ОЛДО бесконечного порядка, которое приводило бы к локальному оператору. Самосопряженные операторы в этой теории должны появляться так же, как в теории ОЛДУ конечного порядка — из решения задачи типа Штурма-Лиувилля: знание спектра и собственных функций такой задачи дает возможность построить разложение единицы и, следовательно, определить самосопряженный оператор. Этот оператор, очевидно, не входит в условие данной задачи, он, в противоречие со смыслом этого слова, не является тем, чем оперируют при решении этой задачи (оперируют только локальным оператором), а является результатом ее решения. Конечно, если появится другая задача, достаточно близкая к первой, этим оператором можно будет воспользоваться для ее решения, оперируя именно им (теория возмущений [28]).

В работах [11-13,42,49] голоморфной функции f(z), представимой рядом Тейлора

71=0 сопоставляется ряд n=О

Возникает вопрос о сходимости. Очевидно, для того, чтобы в область определения такого оператора входили функции и(х) = ехр(лгя;), Va; Е К. с любым х е С, необходимо, чтобы оператор f(dx) имел в качестве символа целую функцию f(z).

Нетрудно показать, что таким образом определяется локальный оператор. Казалось бы, этому противоречит то, что частным случаем является оператор сдвига ехр(а5ж), но по определению, приведенному в первой главе, и этот оператор — локальный. Парадокс разрешается, если заметить, что для того, чтобы этот оператор "сдвинул" функцию и(х), необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, она была определена на R, во-вторых, чтобы она разлагалась в ряд Тейлора, равномерно сходящийся к самой этой функции. Это сама такая функция нелокальна, поскольку ее значение в точке х\ однозначно определяется значениями всех производных этой функции в любой другой точке Х2

Таким образом, множество уравнений вида

Щи) (®) = 0, Vx€PC R, если используется это определение, включает ОЛДУ с постоянными коэффициентами, и теория таких уравнений является обобщением теории ОЛДУ конечного порядка с постоянными коэффициентами. Среди решений таких уравнений есть функции вида: и(х) = Aexp(zx), Мх G Р, где А Е С, z — корень характеристического уравнения: = о.

Но если f(z) — неполиномиальная целая функция, то это уравнение может иметь бесконечно много корней, а соответствующее ОЛДУ — бесконечно много линейно независимых решений. Конечно, теория краевых задач и задач Копш для таких ОЛДУ должна быть очень сложной и мало похожей на теорию таких задач для ОЛДУ конечного порядка, где важную роль играет вронскиан. Вряд ли для таких

ОЛДУ возможна теория, аналогичная теории Штурма-Лиувилля. Таким образом, теория, основанная на этом определении, действительно является некоторым обобщением теории ОЛДУ конечного порядка, но слишком широким, при котором теряются существенные свойства этой теории.

Наоборот, для ОЛДУ, характеристические уравнения которых имеют конечное число корней, можно, по-видимому, надеяться построить обобщение теории Штурма-Лиувилля. Действительно, этим свойством обладают ОЛДУ конечного порядка, но не только они: уравнение f(z) = 0 имеет конечное число корней, например, при f(z) = х/с" где п £ N, с <= С. Однако это нецелые функции, поэтому при достаточно больших по модулю >с функции ехр(лгж) не входят в область определения оператора с таким символом. Это привело бы к ограниченности спектра задачи Штурма-Лиувилля не только снизу, но и сверху, что несовместимо с полнотой системы собственных функций.

Итак, определение ОЛДО в виде "ряда Тейлора по степеням оператора дифференцирования" применимо, по-видимому, лишь к теориям типа теории уравнений с отклоняющимся аргументом. По этой теории имеется обширная литература, но в настоящей работе эта теория затрагиваться не будет, поскольку она слишком резко отличается от теории ОЛДУ конечного порядка.

Но этот подход можно усовершенствовать с помощью метода аналитического продолжения по параметру так, что эта трудность снимается. Действительно, в теории функций комплексной переменной функция f(z) может быть представлена рядом Тейлора с центром в любой точке, в которой f(z) голоморфна, и переход от одного представления к другому осуществляется с помощью аналитического продолжения, при этом существуют такие функции /(z), что это аналитическое продолжение может быть выполнено, как аналитическое продолжение по вещественному параметру, который меняется от нуля до единицы, то есть вместо функции f(z) рассматривается однопараме-трическое семейство функций {/(orz) : а 6 [0,1]}. При этом предполагается, что функция f(z) такова, что нуль принадлежит ее области голоморфности, и любую точку этой области можно соединить с нулевой точкой отрезком прямой, целиком лежащим в этой области. Тогда при достаточно малых а функции f(az) и любому ОЛДО конечного порядка Dx (на самом деле, и дифференциального оператора в частных производных, но в диссертации рассматриваются только функции ОЛДО конечного порядка) можно сопоставить локальный оператор в виде "ряда Тейлора" по степеням aDx. Результатом действия этого оператора на любую функцию и:Р->С(РсМ) из его области определения будет функция wa: Р С, значение которой при любом х 6 Р может быть представлено степенным рядом по степеням параметра а. Если этот ряд может быть аналитически продолжен как функция а до значения а = 1, то функция и принадлежит области определения оператора f(Dx), а результат этого продолжения — функция wi(x) — считается результатом действия оператора f(Dx) на функцию и: т{х) = (f(Dx)u)(x), Vx е Р.

По-видимому, такой оператор можно рассматривать как ОЛДО бесконечного порядка.

Такое усовершенствование локального подхода предложено автором настоящей диссертации [14-18,47]. В ней определяются локальные дифференциальные операторы, названные голоморфными функциями дифференциального оператора, исследуются различные свойства этих локальных операторов и линейных уравнений, содержащих такие операторы, а затем выделяется и изучается такое подмножество этих уравнений — ОЛДУ бесконечного порядка — что теория начальных и краевых задач для них в максимальной степени аналогична теории задач Копш и Штурма-Лиувилля соответственно для ОЛДУ второго порядка.

Все полученные результаты иллюстрируются примерами, связанными, в основном, с уравнением, которое можно рассматривать как релятивистский аналог одномерного уравнения Шредингера для бесспиновой частицы конечной ненулевой положительной массы. Это не значит, что предлагается некоторый новый вариант релятивистской квантовой теории — разработка такой теории может быть осуществлена лишь физиками, знающими все экспериментальные данные, которым должна соответствовать эта теория. Автор хотел лишь продемонстрировать важнейшие математические свойства этого уравнения, показать, что эти свойства не дают оснований для того, чтобы отвергнуть его кандидатуру на роль основного уравнения релятивистской квантовой механики. Это явилось целью публикации [18].

Цели исследования, проводимого в диссертационной работе:

1) построить отображение некоторого подмножества (вообще говоря, неполиномиальных) голоморфных функций комплексной переменной ("символов") в множество локальных операторов, аналогичных обыкновенным линейным дифференциальным операторам конечного порядка, определенным классически — обыкновенных линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка (голоморфных функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов конечного порядка);

2) изучить основные свойства голоморфных функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов конечного порядка;

3) построить основы теории уравнений бесконечного порядка (уравнений, операторы которых являются голоморфными функциями операторов конечного порядка) с постоянной потенциальной функцией;

4) выделить класс уравнений бесконечного порядка, для которых можно ставить задачи Коши с условиями, содержащими результат действия на решение операторов бесконечного порядка, и построить основы теории таких задач;

5) выделить класс уравнений бесконечного порядка, для которых можно ставить задачи типа Штурма-Лиувилля, и построить основы теории таких задач.

В работе используются методы комплексного анализа, функционального анализа, теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений конечного порядка, спектральной теории краевых задач Штурма-Лиувилля.

Новые результаты, полученные в работе:

1) предложено новое определение функции оператора конечного порядка, новизна которого заключается, во-первых, в том, что в качестве множества символов S выбрано множество голоморфных функций комплексной переменной, имеющих по конечному числу точек ветвления и нулей и не имеющих особых точек однозначного характера, область голоморфности символа представляет собой всю плоскость С за исключением точек ветвления и разрезов, соединяющих каждую из точек ветвления с z — оо, и направленных вдоль лучей, исходящих из точки z = 0, во-вторых, соответствующий оператор бесконечного порядка (голоморфная функция оператора конечного порядка) получается с помощью процедуры аналитического продолжения по вещественному параметру (названной а-продолжением),

2) изучены основные свойства голоморфных функций операторов конечного порядка f(Dx): каждый из них является локальным линейным оператором, определенным и непрерывным (значит, и ограниченным) в пространстве B(DX,G/,P) (Dx — оператор конечного порядка, Gf — область определения символа f(z), Р — связное подмножество вещественной оси) с топологией счетно-нормированного пространства,

3) изучены основные свойства уравнений вида f(dx)u)(x) = V{x\ VareP, где /(дх) — голоморфная функция оператор дх с символом f(z) £ S, V(x) — известная функция, Р С 1 — связное подмножество. Показано, что число линейно незавсимых решений соответствующих однородных уравнений конечно,

4) построены основы теории задач Коши для уравнений вида jzl~dl ~ а) «(*) = 0, V* £ Р, (*) где it £ N, zq £ (0, оо). Аналогия между уравнениями этого вида и уравнениями второго порядка связана с тем, что уравнение (*) имеет два линейно независимых решения и для него справедливо тождество, доказанное в этой работе и названное обобщенным тождеством Ла-гранжа (оно аналогично тождеству Лагранжа теории уравнений второго порядка), существует и аналог вронскиана,

5) построены основы теории задач типа Штурма-Лиувилля для уравнений вида (*) с к = 2. Аналогия между этой теорией и теорией Штурма-Лиувилля для уравнений второго порядка связана со справедливостью доказанной в работе обобщенной формулы Грина, аналогичной формуле Грина для уравнений второго порядка. Показано, что каждой задаче типа Штурма-Лиувилля для уравнений вида (*) с к = 2 можно сопоставить неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, отличающемся от известного пространства L2 как метрикой, так и элементами, которые являются кусочно непрерывными функциями (скалярное произведение и норма в этом пространстве определяются интегралами в смысле Римана).

Теоретическая значимость работы заключается в том, что выделен и исследован класс уравнений, которые могут рассматриваться как дифференциальные уровнения бесконечного порядка, но по своим свойствам аналогичны дифференциальные уровнения конечного порядка, хотя и имеют свою специфику.

Определение квадратного корня из дифференциального оператора, данное в работе, и изучение уравнения (*) с к = 2 имеют большое значение для релятивистской квантовой теории и, по-видимому, могут служить поводом к реабилитации квантово-механического подхода в этой теории, при этом устраняются многочисленные трудности общепринятого варианта релятивистской квантовой механики. Подобные уравнения могут использоваться и в теории твердого тела, они позволяют задавать конкретные законы дисперсии квазичастиц. Результаты работы могут быть использованы при чтении спецкурсов на старших курсах и аспирантам математических и физических факультетов университетов.

Все результаты формулируются в виде лемм и теорем с подробными математически строгими доказательствами.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1) метод сопоставления паре (/, Dx), где / £ S, a Dx — оператор конечного порядка, локального оператора f(Dx) (голоморфной функции оператора Dx с символом /) с помощью аналитического продолжения по вещественному параметру;

2) леммы и теоремы, устанавливающие основные свойства символов, /(Дс)-отображаемых функций и операторов f(Dx);

3) методы решения однородных и неоднородных уравнений бесконечного порядка рассматриваемого класса с постоянными коэффициентами;

4) основы теории задач Коши для уравнений вида (*) и краевых задач для таких уравнений с к —2.

Результаты работы были представлены на Международном конгрессе по компьютерным системамам CSAM'93 в Санкт-Петербурге в 1993 г., докладывались на Герценовских чтениях Российского Государственного Педагогического университета, семинаре кафедры математического анализа этого же университета и семинаре кафедры вычислительной математики Ростовского Государственного университета.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 50 названий. Основное содержание изложено на 110 страницах по сквозной нумерации.

1. С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин. Оптика фемптосе-кундных лазерных импульсов. М., Наука, 1988.

2. Ю. Н. Бибиков. Курс теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Высшая школа, 1991.

3. Дж. Бьеркен и С. Дрелл. Релятивистская квантовая теория. Т. 1. Релятивистская квантовая механика. М., Наука, 1978.

4. Б. JI. Ван дер Варден. Алгебра. М., Наука, 1976.

5. В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. М., Наука, 1967.

6. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции, вып. 1), М., Физматгиз, 1958.

7. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 4), М., Физматгиз, 1961.

8. И. С. Градштейн и И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962.

9. Ю. Н. Демков и В. Н. Островский. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. JI. Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

10. Ю. А. Дубинский. Алгебра псевдодифференциальных операторов. УМН. 1982, т. 37, 5.

11. Ю. Ф. Коробейник. О преобразованиях аналитических пространств с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка. УМН. XX, вып. 5 (125), 1965, с. 208.

12. Ю. Ф. Коробейник. Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности. Матем. сб. 1969, т. 80, 1, с. 52.

13. Ю. Ф. Коробейник. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях. Матем. сб., 1966, т. 7 (113).

14. В. М. Лагодинский. Локальный квадратный корень из дифференциального оператора и некоторые самосопряженные граничные задачи для релятивистского уравнения Шредингера. Межвуз. сб. научн. тр. 1997, в. 36, с. 31.

15. В. М. Лагодинский. Голоморфные функции локальных дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1998, v 4.http : //www.neva.ru/journal/rus/ref/\99Ь/vol А./г.lagodin.htm.

16. В. M. Лагодинский. К теории одного класса линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1999, v 4.http : //www.neva.ru/journal/rus/ref /1999/volA/r.lagodin.htm.

17. В. M. Лагодинский. Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка со ступенчатой потенциальной функцией. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2000, v 4.http : //www.neva.ru/journal/rus/ref /2000/volA/r.lagodin.htm.

18. В. M. Лагодинский, Л. Э. Цырлин. О линейных дифференциальных уравнениях бесконечного порядка и возможной модификации релятивистской квантовой механики. Вопросы прикладной математики м математической физики. Сб. памяти акад. Г. А. Гринберга. 2001.

19. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., 1963.

20. Л. Д. Ландау и Е. М. Лившиц. Теория поля. М., Наука, 1973.

21. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. М., Наука, 1970.

22. И. М. Лившиц. Электронная теория металлов. М., Наука, 1971.

23. В. П. Маслов. Операторные методы. М., Наука, 1973.

24. В. В. Напалков. Об одном классе неоднородных уравнений бесконечного порядка. УМН, 1974, т. 29, с. 217.

25. И. фон Нейман. Математические основы квантовой механики. М., Мир, Наука, 1964.

26. С. Б. Норкин и Л. Э. Эльсгольц. Введение в теорию уравнений с отклоняющимся аргументом. М., Наука, 1971.

27. П. Олвер. Применение групп Ли в теории дифференциальных уравнений. М., Мир, 1989.

28. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. М., Мир, 1977.

29. Р. Рихтмаер. Принципы современной математической физики. М., Мир. 1982.

30. В. А. Садовничий. Теория операторов. М., Изд-во Моск. ун-та, 1986.

31. С. Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л. Изд. ЛГУ, 1950.

32. В. А. Стеклов. Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня. Сообщ. Харьк. матем. об-ва, 1896.

33. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М., Наука, 1977.

34. Ф. Трев. Псевдодифференциальные операторы и интегральные операторы Фурье. Т. 1. Псевдодифференциальные операторы. М., Мир, 1983.

35. W. Lucha, H. Rupprecht and F. F. Schoberl. Spinless Salpeter equation as a simple matrix eigenvalue problem. Phys. Rev. D, 45, 1992, p. 1233.

36. J. F. Ritt. On a general class of linear homogeneous differential equation of infinit order with constant coefficients. Trans. Amer. math. Soc. v. 18, 1917, p. 27.

37. C. Tzara. A study of the relativistic Coulumb problem in momentum space. Phys. Lett. 1985, Alll, p 343-348.