Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

\Г

Моржаков Антон Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ И ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫХ ОБОБЩЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ

01 01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

111111111111111111111111

□03 165530

Ростов-на-Дону 2008

Работа выполнена на кафедре "Математика" ФГОУ ВПО Донского государственного технического университет^

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Братищев Александр Васильевич

доктор физико-математических

наук, профессор

Мусин Ильдар Харитович

доктор физико-математических наук, доцент

Мелихов Сергей Николаевич

Саратовский государственный университет

Защита состоится " ^ЛAJlfiJ1^ЪCi 2008 г в часов на заседании диссертационного совета Д/002.057 01 в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН по адресу: 450077, г Уфа, ул Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН

Автореферат разослан "£¿2." 2008 г

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физ -мат. наук

С. В. Попёнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования диссертации относятся к вопросам представления операторов обобщенного дифференцирования в пространстве функций, аналитических в фиксированной односвязной области комплексной плоскости, и к разрешимости операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами, порожденных оператором обобщенного дифференцирования (00Д) в этом пространстве

В диссертации рассматриваются операторы обобщенного дифференцирования, а также (поскольку позволяет метод) операторы обобщенного интегрирования (00И) и диагональные операторы (ДО), изначально определенные на системе степеней Доказаны критерии продолжимости этих операторов на все пространство Н(Ст) голоморфных в односвязной области С функций с топологией равномерной сходимости на компактах Получен общий критерий для произвольной односвязной области, интегральные представления 00Д, 00И, ДО и выделены три класса областей, для которых порождающая оператор функция всегда является однозначной в соответствующих областях

Впервые понятие операции обобщенного дифференцирования было введено А О Гельфондом и А. Ф. Леонтьевым в [12} при обобщений рядов Фурье А Ф Леонтьевым были получены первые результаты по представлению 00Д для функций, аналитических в круге с центром в нуле Им же была поставлена задача о применимости обобщенной производной к любой аналитической функции в каждой точке ее аналитичности В [13| Ю Ф Коробейник решил эту задачу В последней работе бы «о предложено обобщение онеределения 00Д и для этого обобщения получено интегральное представление, которое используется и в настоящей диссертации Позже еще более общий класс ООД раегмо) рен в ряде работ В В Напалкова 00И рассматривались в работах Н И Нагнибиды, Ю А Кирютенко и других авторов В частности, последним автором получены условия продолжимости из нуля ООН во множество а) всех областей, б) звездных областей, в) класса односвяэдых областей Там же предложено интегральное представление 00И С С Линчук [16] изучал расширение ДО в произвольной фиксированной области комплексной плоскости Используемое им определение ДО в диссертации перенесено на определение ООД и 00И

Вопросами разрешимости операторных уравнений, порожденных ООД и ДО, посвящено много работ Так, вопросам разрешимое 1 и опера-

торных уравнений бесконечного порядка, порожденных 00Д занимались А Ф Леонтьев, Ю Н. Фролов, Ю Ф Коробейник, И. X Мусин, Т. И. Демченко (Коршикова) и многие другие математики.

М К Фаге и Н И Нагнибида [18] исследовали разрешимость про-(тейшего операторного уравнения Ву — / В работе Ю Ф Коробейника и Ю Н Донскова [14] рассмотрено операторное уравнение Ь-^у = /, где Ь^ операюр Эйчера бесконечного порядка, который по сути является диа тональным оператором В недавнем докладе А В Братищева иа 13-й Саратовской математической школе (2006 г) найдена резольвента ООД, порожденного некоторой специальной функцией Во всех этих работах предлагается явный вид решения

Стоит заметить, что в некоторых задачах об особенностях аналитических функций, вопросах разрешимости линейных операторных уравнений, порожденных ООД и ДО, изучении обобщенного преобразования Бореля, проблеме представления операторов возникают вспомогательные задачи, связанные с перемножением множеств комплексной п доскости Эти задачи систематически изучаются с помощью введения понятия мультипликатора множеств

Цели работы

1 Развитие теории мультипликаторов множеств в комплексной плоскости

2. Получение представления для ООД, ООИ и ДО, действующих в пространстве функций, аналитических в произвольной фиксирован-

ной односвязной области комплексной плоскости

3 Описание классов ООД, ООИ и ДО, действующих в пространстве #(<?), ядро которых порождается однозначной аналитической функцией

4 Нахождение явного вида решения операторного уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами, порожденного операцией обобщенного дифференцирования

Методы исследования. В диссертационной работе используются стандартные методы и результаш комплексного и функционального анализа для функций одной и нескольких переменных, представление Кете линейных непрерывных операторов и исследования о связи аналитического продолжения с задачей интерполяции

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты явля(отся новыми, носят теоретический характер Они могут быть использованы при дальнейшем развитии теории обобщенного интегрального и дифференциального исчисления, при исследовании рядов обобщенных экспонент, при изучении разрешимости новых к пассов линейных операторных уравнений Часть результатов может послужи 1ь материалом для спецкурса, читаемого на мехгшико-математиче« к их факультетах университетов для соо'1 вет< гвующих специальностей

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре, руководимом членом - корреспондентом РАН, профессором В В Напалковым, на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета, руководимом заслуженным деятеием науки РФ, профессором Ю Ф, Коробейником, на (еминаре кафедры функционального анализа Ростовского госуниверситета, руководи мом профессором В П Кондаковым, на научном семииаре кафедры математики ДГТУ, на двенадцатой и тринадцатой Саратовских зимних математических школах (2004, 2006 г) и на Уфимской международной математической конференций "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика" (2007 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1—3, 6], [4, 5, 7, 8] Работы [1-4] опубликованы в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ в соответствии с нос гадов лением ВАКа от 30 11 2006 Работы [1-3, 6] выполнены вместе с научным руководителем А В Братищевым

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и спис ка литературы из 48 наименований Объем диссертации - 107 страниц машинописного текста

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена задаче перемножения множеств комплексной плоскости. При этом ключевую роль играет понятие мультипликатора нары множеств А, В С С Так мы назовем множество

М(А,В).^{ге С г АС В)

Здесь устанавливаются общие свойства мультипликатора, а 1акже изучаются мультипликаторы конкретного вида

Для более детального описания результатов первой i чавы введем несколько вспомогательных определений Следуя [10], под произведением множеств А,В Q С будем понимать множество АВ — [J z¡z% = {z¡

zi ел,г2ев

Ч Ч <£ A, z2 е В} Положим А-1 - {i г € А} и А' - {z е С z $ А} Обозначим D(zo,R) = {2 \г — zo\ < R} круг, D(oo,R) = {z £ С \z\> D(zo,R) - замыкание D(zq,R), K(a,r,R) = {z г < \z — a\ < i?} -кольцо; S(a,R) = {z \z — a| = fí} - окружность, — {2 e C\{0}

a < arg2 </?<« + 2ж} - угол и P„ - правильный n - угольник с центром в нуле и вершиной в точке z = 1

В теореме 1 первой главы рассматриваются общие свойства М(А. В) Приведем некоторые из них Теорема 1.1.

2 М(А,В) = (АВ'-1)''1 4.oeM(i,s)«oeB -

7 Для того чтобы В было звездно относительно начала координат, необходимо, а в случае М(А, В)А — В и достаточно, чтобы мультипликатор М(А, В) был звездным относительно нуля

8 Бели А открыто, то М(А, В) U {0, оо} есть замкнутое множество, а множество АВ/_1 \ {0, оо} открыто

В следующей теореме выясняются свойства мультипликатора в случае, когда А — В С С М{А) =М(А,А) Теорема 1.2.

1 Если М(А) состоит из конечного числа точек, то либо М(А) — {1 ,;*„, ^Г"1}, либо М(А) - {0,1,где = exp{2f«}, n е N.

2 М(А) является коммутативным моноидом относительно операции умножения комплексных чисел

5 Ее пи множество А ограничено, то М(А) С D( 0,1)

9 Мультипликатор М(А) не обязательно является связным множеством, даже в случае односвязности множества А

Следующая теорема, описывает мультипликаторы конкретного вида в случае, когда А - В — С область в С Теорема 1.3.

2 Для выпуклой ограниченной области О мультипликатор М(О') — Р„ тогда и только тогда, когда С? есть правильный выпуклый п— угольник с центром в нуле

3 М(0) — 0(0,1) тогда и только то{да, когда ЗЛ > О О = £>(0, Л)

5 5(0,1) = М{С) тогда и только тогда, когда 3?", # € (0, +оо) С — К( 0, г, Д)

6 М(О) — (0, +оо) тогда и только тогда, котда 30 < /3 — а < 2тг С ---

8 Пусть область О ограничена и 0 € сх1;&' Если существует луч, который пересекает область С но пустому множеству, то мультипликатор

В теореме 1 4 собраны вспомогательные результаты, которые понадобятся в главе 2

В главе 2 изучается задача интегрального представления ООД для фиксированной односвязной области О и для некоторых важных классов областей, определяемых конкретными мультипликаторами. Там же устанавливается связь возможности такого представления с разрешимостью интерполяционной задачи с бесконечным числом узлов Парал иелыю изучаются представления ООИ и ДО

Задача представления ООД, ООИ и ДО в Я(&") ставится следующим образом Оператор задан на полной в Н(С) системе степеней {г"} Требуется по этому заданию у<тановить, будет' ли он расширяться до линейного непрерывного оператора на все Я(б') В теореме 2 1 эта задача решается в общем виде

Теорема 2.1. Пусть область б С С и односвязна

1 Оператор I), определенный на системе {.г"} по правилу О::'" = ¿п^1гп-\ п £ М, £>1 =0, {4} С С, расширяется до ООД в Н(С) тогда и только тогда, когда функция с1(%) = голоморфна,

в нуле, существует последовательность 1 < ЛГ( 1) < N(2) <, гакая, что функциональный элемент двух переменных р^ (|) > г £ О(го,е) С

М(в) = {1}

G, t € D(oo, аналитически продолжается в каждую односвязиую область Gjv(„) X G„ С С X С, а в случае 0 $ G d(z) аналитически продолжается в точку г= оо и имеет там нуль не ниже второго порядка При этом Vz € Gn

2 Оператор /, определенный на системе {г"} по правилу Iz" :— j-zn+l, п Е Nu{0}, {dn} С С\{0}, расширяется до 00И в H(G) тогда и только тогда, когда функция d¡ (z) •= голоморфна в нуте, существует последовательность 1 < iV(l) < N(2) < такая, что функциональный элемент (|), г 6 D(zo,e) С G, t £ D(oo, j) аналитически продолжается в каждую односвязиую область х G,¡ С С X С, а в случае 0 ф G d(z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка. При этом Vz € Gn

(2)

2 niJdGH+x f

3 Оператор J, определенный на системе {z"} по правилу Jzn ~ d„zn, п £ MU {0}, {<:/,(} С €, расширяется до ДО в H(G) тогда и только тогда, когда функция d(z) = ^п=о ^п-2" голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N( 1) < N(2) < такая, чю функциональный элемент г € D(z^e) С G, < £ £>(оо, аналитически продолжается в каждую односвязиую область GN^ х Gn С С х С, а в случае 0 G d{z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка При этом Vz £ Gn

Так как | 6 G'N^Gn. то можно было бы ожидать, что d{z) аналитически продолжается до локально аналитической функции на множестве GG"1, которое, как следует из главы 1, не обязательно является открытым ичи замкнутым множеством Далее приводится пример функции d(z), которая может оказаться многозначной при Аналитическом продопжении в GG'~1 В связи с этим целесообразно искать классы областей G, для которых соответствующая функция d(z) продолжается до локально аналитической на GG'~X. Мы рассматриваем классы таких областей в терминах муньтииликатора, введенного в главе 1

В теореме 2 2 расмахриваются области, у которых ноль лежит на границе Для класса областей 0 ^ С/, О и {0} - звёздная об часть, не совпадающая с углом |'а, ¡Вкоторые характеризуются мультипликатором М(С?) = (0,1], доказана

Теорема 2.2. Пусть О - односвязная область, М(С) — (0,1] и дана последовательность {<2„} С С Следующие три условия эквивалентны *

1 а) оператор £), заданный на множестве степеней по правилу О г" — ¿п~1Хп , п € М, Ю1 = 0, расширяется до оператора обобщенного дифференцирования в Н{С),

1 б) степенной ряд сходится в окрестности начала координат,

его сумма й{г) аналитически продолжается до голоморфной в С \ [1, М) функции, М > 1, и имеет нуль не ниже второго порядка в точке г — оо

1 в) существует целая функция экспоненциального типа а(г) с индикатор-

ной диаграммой в [—ЬаМ, 0], интерполирующая {(1п} в уз пах п = 1,2, в следующем смысле а( 1) = 0, а{2) = ¿о> а(3) — ¿1,

При выполнении хотя бы одного из трех утверждений имеет место представление (1)

Пусть дополнительно Уп > 0 4п ф 0 Тогда равносильны следующие утверждения

2 а) оператор I, определенный на множестве степеней {г11} по правилу

1гп ~ п € М, расширяется до 00И на Я(<3),

2 б) ряд ]Г/п=о сходится в окрестности нуля, его сумма <1\(г) аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области С\[1, М], М > 1 и имеет нуль не ниже первого порядка в ючке я = оо,

2 в) существует целая функция экспоненциального типа а(г) с индикаторной диаграммой в [--1пМ,0], которая является функцией коэффициентов для ¿(г) в следующем смысле а(1) = а(2) =

При выполнении хотя бы одного из трех утверждений имеет место представление (2)

Аналогичный критерий имеет место и для ДО

В теореме 2 3 рассматриваются области, у которых ноль лежит во внешности или на границе их замыкания Пусть каждый луч с началом

в нуле пересекает одиосвязную область (? по интервалу (из которых хотя бы один конечен и хотя бы один не начинается в нуле) или но пустому множеству Тогда М(С?) = {1} Для этого класса областей доказывается Теорема 2.3. Следующие три утверждения равносильны *

1 а) оператор О, определенный на системе {г"} по правилу Dzn = ¿пгп~1, п £ М, Ш - 0, {с!,,} С С, расширяется до ООД на #((?);

1 б) ряд сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически

продолжается до голоморфной функции в односвязной области С\{1} и имеет нуль не ниже второго порядка в точке г = оо

1 в) существует целая функция не выше минимального типа первого порядка а(г), которая является функцией коэффициентов для <1(г) в следующем смысле: а(1) — 0, а(2) = ¿о, «(3) = с?ь

В этом случае имеет место интегральное представ пение (1)

Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО В случае, когда 0 € (7, доказана следующая

Теорема 2.4. Пусть С есть звездная область и С ^ С Следующие три утверждения равносильны

1 а) оператор И, определенный на системе {г"} по правилу Ог" — ¿„г"-1, п б М, £>1 = 0, {(4} С С, расширяется до ООД на Н(в),

1 б) ряд ^и-2" сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически

продолжается до голоморфной функции в звездной области ОС'1]

1 в) существует аналитическая и экспоненциального типа в полуплоскости Ее г > 0 функция коэффициентов а(г) V« <Е М, <1„ = а(п) такая, что сё преобразование Лапласа будет аналитической и однозначной функцией в односвязной области , где 1п М(О) есть объединение точки оо = 1п0 и всех точек из полосы —тг < 1т < тг, являющихся образами М(С4) при отображении и> = 1и —тг < < тг

В зтом случае имеет место интегральное представление (1) Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО

В главе 3 ищутся решения операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами, порождённых ООД Б или ДО

J В первом параграфе вводится понятие обобщенной экспоненты e(z) = =1 п"-' ,Г Такие функции в связи с 00Д вводились ранее в [15] Там же отмечено, что e(z) переходит в обычную экспоненту е', когда dn — n+1, п = 0,1, Доказывается такое свойство обобщенной экспоненты Лемма 3.1. Пусть 0 € G, D - ООД в H(G) Уравнение

(D — Х1)у = 0

для каждого А € С имеет ненулевое решение у £ H(G) тогда и только 1 тогда, когда e(z) есть целая функция

В предположении, что e,{z) - целая функция, в серии лемм 3 2-3 4 и теореме 3 1 находится явный вид общего решения однородного операторного уравнения конечного порядка

Теорема 3.1. Общее решение однородного операторного уравнения с постоянными коэффициентами

D"ij + a1Dn-1y + • • + а„ = 0

имеет вид

т si—1 1=1 А—0

где qij, - произвольные коэффициенты из С, Ai, , Am - корни характеристического многочлена г" + <цгп-1 • + а„ = 0 кратностей si,. ,sm соответственно

Во втором параграфе рассматриваются простейшие неоднородные операторные уравнения Dy = f и Jy = / Имеет место

Теорема 3.2. Пусть G - односвязная область, содержащая ноль и D есть ООД в #((?) Уравнение Dy = / разрешимо для пюбой правой части f(z) € H(G) тогда и только тогда, когда

а) \/п € NU {0} dn ± 0,

б) функция d\(z) = ¡¡rz" голоморфна в нуле.

в) существует последовательность 1 < N( 1) < N(2) < такая, что функциональный элемент 7^1(7), z € D(zo,e), t € D(oo, i) аналитически продолжается в каждую односвязную область (?лг(„) х G„ С С х С до голоморфной функции двух переменных,

Аналогичный критерий разрешимости имеет место для уравнения Зу — $ Несмотря на внешнюю простоту данных уравнений, при конкретной реализации они могут иметь достаточно сложную структуру Например, если 0 € (? и (1(г) голоморфна вС \ {1}, то уравнение ,7 у — / может быть записано в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка В случае же 0 $ О с помощью преобразования го = 1пг уравнение ,/у = / принимает вид уравнения комплексной свертки [11, 14]

Третий параграф посвящен операторным уравнениям вида В у — Ху — / Мы называем правый обратный к оператору (О — XI) резольвентой Нельзя ожидать достаточно простого решения этого операторного уравнения в общем случае Поэтому мы ограничеваемся случаем, когда соответствующая функция й(г) — У2Т=оР('п + где р(х) - многочлен л - й степени В теореме 3.4 находится явный вид правого обратного к оператору £> в случае, когда 0 6 С? Заметим, что существует большая литература по теоремам существования правого обратного оператора (смотри, например, диссертацию С Н Мелихова [17] по этой теме и библиографию в ней)

Теорема 3.4. Пусть О - звездная относительно ¿'о = 0 область Тогда общее решение линейного уравнения

Оу - Ху = / (4)

первого порядка (относительно 00Д Б) в II(С) имеет вид

^ ^ * ^ -«.))*

у{г) = у0е(Хг) + — / • / \ Л----—--¿-г4

«оУо Jo ^ (*')

■щ"1 • • • • • иа2)&их ■ - с!и3,

оо

где е{г) = £ ^ГТИ' = ~ корнИ УРавнеш,я Р(2) =

п=0

а0г3 + ахг""1 + • + а, = 0, а0 ф 0, Ее щ, . , 11е V, <1, уо £ С

Предложенный в предыдущей теореме способ доказательства не удается перенести на случай, когда 0 <£ О В случае, когда 0 0 в и порождающая оператор £) функция (1(г) есть многочлен второго порядка методом прямой подстановки, доказывается

Теорема 3.5. Пусть 0 С Тогда общее решение линейного уравне-

ния (4) имеет вид

~ (А (1 - |Л (z - «,))

Е1—1

О ¿-Q Л

где v -- корень многочлена p(z) = z(z — v), v £ N.

Уже в случае s = 2 при подстановке y(z) в уравнение возникают большие сложности при его упрощении Еще большие сложности просматриваются при s > 2 Этим объясняется, почему общий случай & не рассмотрен В теореме 3 6 приведен использующий теоремы 3 4 и 3 5 алгоритм получения в явном виде решения неоднородного операторного уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами

Автор выражает благодарность профессору А В Братищеву, под чьим руководством выполнена настоящая работа

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ

[1] Братищев ABO мультипликаторе пары множеств комплексной плоскости / А В Братищев, А В Моржаков // Вестник ДГТУ - 2004 -Т4, №3 - С 270-281

[2] Братищев ABO резольвенте одного класса обобщенных дифференциальных уравнений / А В Братищев, А В Моржаков // Вестник ДГТУ - 2006.- Т б, №2,- С 85-88

[3] Братищев А В Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей / А В Братищев, А В Моржаков // Вестник ДГТУ - 2005 - Т5, №4 - С 81-90

[4] Моржаков А. В. Представление оператора обобщенного дифференцирования водном классе односвязных'областей 2 / А В Моржаков ,// Вестник ДГТУ - 2006 - Т 6, №1 (28) - С 10-16

Публикации в других изданиях

{5] Моржаков А В. О представлении оператора обобщенного дифференцирования функций, аналитических в круге / А. В Моржаков // Интегро-дифференциальные операторы и их свойства межвуз сб / ДГТУ- Ростов-н/Д 2004 - С 40-42 - Вып 6

[6] Братищев ABO мультипликаторе пары множеств /А В Братищев, А В. Моржаков // Современные проблемы теории функций и их приложения тез докл 12-й Саратовской зимней шк, - Саратов Колледж, 2004 - С 33-36.

[7] Моржаков А В Об одном классе операторов обобщенного дифференцирования / А В Моржаков // Современные проблемы теории функций и их приложения, тез докл. 13-й Саратовской зимней шк , янв -Саратов, 200б - С 122-123

[8] Моржаков А В Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе звездных областей / А В Моржаков // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы материалы седьмой между нар Казанской летней науч шк -конф - Казань, 2005 - С 112113

[9] Моржаков А В Описание класса операторов обобщенного дифференцирования в пространстве аналитических функций / Моржаков А В //' Труды VIII международной научно-технической конференции rio динамике технологических систем - Т 2 - 2007 - С 189

Список источников для ссылок

[10] ВибербахЛ Аналитическое продолжение / Л Вибербах М Наука, 1967 - 240 с

[11] Братищев ABO линейных операторах, символ которых является функцией произведения своих аргументов/ А В Братищев // Доклады АН - 1999 - Т 365, №1 - С 9-12

[12] Гельфонд А О Об одном обобщении ряда Фурье / О А Гельфонд, А Ф Леонтьев // Магсм сб 1951 - Т 29, №3 - С 477-500

[13] Коробейник Ю Ф Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции / Ю Ф. Коробейник // Изв АН СССР Сер. математическая - 1964 - Т. 28, №4 - С 833-854.

[14] Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения уравнения Эйлера бесконечного порядка / Ю Ф. Коробейник Ю. Н. Донское // Изв. ВУЗов математика - 1969. - М1.-С. 44-51

[15] Леонтьев А. Ф Обобщенные ряды экспонент / А Ф Леонтьев - М Наука, 1981 - 320 с

[16] Линчук С. С Диагональные операторы в пространствах аналитических функций и их приложения / С. С. Линчук // Актуальные вопросы теории функций • сб ст / РГУ - Ростов-н/Д, 1987 - С 118-121.

[17] Мелихов С Н Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки- дис . д-ра физ -мат наук • 01 01 01 /ВЦ УНЦ РАН. - Уфа, 2003 - 240 с.

[18] Фаге М. К Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов / М. К Фагэ, Н. И Нагнибида - Новосибирск Изд-во СО РАН, 1987. - 280 с

В набор 8 печать 49.02.. 08.

Объем п.л, ¿^уч.-изд л Офсет Формат 60x84/16,

Бумага тип №3 Заказ № 69, Тираж {Од-

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344010, г.Ростов-на-Дону, пл Гагарина,!.

ГЛАВА 1. Исследование мультипликаторов множеств комплексной плоскости

§1.1 Вспомогательные определения и результаты

§1.2 Теория мультипликаторов множеств в комплексной плоскости

ГЛАВА 2. Представление классов линейных операторов в односвязных областях

§2.1 Вспомогательные определения и результаты

§2.2 Представление операторов обобщенного дифференцирования, интегрирования и диагонального оператора

ГЛАВА 3. Решение линейных операторных уравнений конечного порядка

§3.1 Решение линейных однородных операторных уравнений п-го порядка

§3.2 Решение простейших неоднородных операторных уравнений

§3.3 Резольвента оператора обобщенного дифференцирования

В последующем в работах А. Ф. Леонтьева, его учеников и последователей разрабатывалась теория операторов обобщенного дифференцирования (обобщенного интегрирования, изучения разложения по обобщенным экспонентам, решения новых классов операторных уравнений и др.) Одновременно эта теория стимулировала развитие смежных областей (целых фукнций, локально выпуклых пространств и других), и естественно ожидать её использование в других областях чистой и прикладной математики

14])

Настоящая диссертация посвящена проблеме представления оператора обобщенного дифференцирования (ООД), оператора обобщенного интегрирования (ООИ) и диагонального оператора (ДО) в пространстве аналитических в односвязной области функций, и вопросу разрешимости линейных операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. Предлагаемое нами определение ООД является, по-видимому, новым и в некотором смысле аксиоматическим. Именно, выделяются два важных свойства классического оператора дифференцирования : его непрерывность в пространстве аналитических функций и характер действия на полную в этом пространстве систему степеней. Подобное определение, но для диагональных операторов, было дано ранее в работе Линчука [28]. Среди различных известных представлений ООД для наших целей наиболее подходящим оказалось представление, предложенное Ю. Ф. Коробейником в одном специальном случае [18]. Оказалось, что при таком представлении важную роль играет понятие мультипликатора пары множеств. Последнее является обобщением мультипликатора множества, введенного А. В. Братищевым [б].

Обозначим через H(G) пространство голоморфных в односвязной области G функций с топологией компактной сходимости. Под ООД (ООИ, ДО) будем понимать непрерывный линейный оператор из H(G) в #(&'), который на системе степеней {z11} в H(G) имеет соответственно вид :

Dzn = dn-.izn~\ п е N, DI := О, 4

Iz n zn+\ n€NU{0},dn^O, d, n

Jzn = dnzn, neNU{0}, где {dn} С С.

Вопросом представления оператора обобщеного диффренцирования и родственных им диагональных операторов в разное время занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Ф. Коробейник, Н. И. Нагнибида, С. С. Линчук, А. В. Братищев и другие математики. Изначально ООД был определён А. О. Гельфондом и А. Ф. Леонтьевым [14] следующим образом. Пусть f(z) ~ oakZk - целая функция порядка р и типа а Ф 0, оо, причем а% ф О, к > 0, и существует точный lim^oo к' \Дак\ = (стер)К Пусть затем оо y(z) = Ylykzk

Jfc=О произвольная функция, регулярная в круге D(0,R) := {z : \z\ < R, 0 < R < оо}. Тогда оо

Jfc=l ак-1 Jfe-1 -z

1) называется обобщенной производной первого порядка функции y(z), порожденной функцией f(z). К. М. Фишман [45] и Н. И. Нагнибида [42] доказали, что для произвольной последовательности {ап} е С, ап ф О оператор, задаваемый в виде (1), непрерывен в Я(1)(0, Я)), R £ (0, оо) тогда и только тогда, когда lim С к-* оо 1 1, а оператор (ООИ), задаваемый в виде [Iy](z) — YlkLoбудет непрерывным в Н (D(О, JS)), R € (О, оо) тогда и только тогда, когда

Соответствующие результаты получены ими и в случае R = оо.

Ю. Ф. Коробейник [18] несколько иначе определяет ООД. Пусть у(х) Sfelo Укхк ~ аналитическая в начале координат функция. Тогда где {4} ~ некоторая последовательность из С. Нетрудно видеть, что Dzn — dn^zn-\ п е N, D1 = 0.

Отметим работу С. С. Линчука [28], в которой диагональный оператор (ДО) определяется как непрерывный линейный в H(G) оператор со следующим свойством: где - некоторая последовательность комплексных чисел.

Перейдем к вопросу представления. В работе [26] А. Ф. Леонтьев для случая dn = р(п +1), п £ NU {0}, где р(х) - многочлен степени 5, р(0) = 0, получил такое представление ООД и доказал, что этот оператор применим к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности.

Интегральное представление вида оо

Dy)(z] := Y^dk-\VkXk \

Lzn = dnzn, n = 0,1,. впервые появилось в той же статье [18] и изучалось в [19]. Здесь y(t) - аналитическая функция; и(х) - функция, аналитическая в области \z —1| > О, имеющая на бесконечности нуль не ниже второго порядка; cz - спрямляемая жорданова кривая, окружающая точку z и лежащая вместе со своей внутренностью в области аналитичности у. С помощью последнего представления в [18] описан класс ООД, применимых к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности. Проблема продолжения и представления ООД более общего вида посвящены работы В. В. Напалкова [38], [39]. Операторы такой общности в диссертации не рассматриваются.

Операторы обобщённого интегрирования рассматривались в работах Н. И. Нагнибиды, Ю. А. Кирютенко и других авторов. В частности, последним автором получены условия продолжимости из нуля ООИ во множество: а) всех областей, б) звёздных областей, в) класса односвязных областей. Там же предложено интегральное представление ООИ.

В случае, когда функция d(z) dnzn голоморфна в С\ {1}, в работе [21] Ю. Ф. Коробейника и Ю. Н. Донскова предложено представление ДО в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка оо

Jy](z) = n=0 где {a„J и {dn} связаны системой равенств dn —

-п п\ ак,пеШ{0}.

•к=0 (п-к)1

Отметим представление ДО в виде где оо оо

Ф) = y(Z) = Ук*к> к предложенное в работе [14]. Позже это же представление в более общей ситуации было использовано в [28].

Вопросам разрешимости операторных уравнений, порожденных 00Д и ДО посвящено много работ. Так, вопросами разрешимости операторных уравнений бесконечного порядка, порожденных 00Д занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Н. Фролов, Ю. Ф. Коробейник, И. X. Мусин, Т. И. Демченко (Коршикова) и другие математики (например, [27], [44], [19], [37] и другие их работы), но в диссертации эти уравнения и решаемые для них задачи не изучаются. Также отметим, что нас интересуют ДО в пространстве аналитических в области G функций, хотя операторы с таким названием изучались и в других пространствах, например, в пространствах последовательностей. К теме диссертации имеют отношение следующие результаты.

В монографии [42] установлено, что для разрешимости ООД Dy = / в H(D(О, R)) для каждой правой части из H(D(О, R)) необходимо и достаточно, чтобы liirin^oo y/\dn\ = 1.

В работе [21] рассматривалось операторное уравнение вида L$y = /, где Ьэ - оператор Эйлера бесконечного порядка, являющийся ДО. В работе выясняется, когда уравнение L^y = / имеет аналитическое в области G решение для каждой правой части / £ H(G).

В докладе А. В. Братищева [5] рассматривается ООД, порожденный последовательностью вида 1 - ап+1 dn= 1 B,fl€N, D1 := 0, а,<?бС, |а| < |$| < 1

1 СЬ€[

В частности, получено представление ООД, ООИ, а также явный вид резольвенты ООД D.

В заключение исторического обзора заметим, что в теореме Адамара об умножении особенностей, в вопросах разрешимости линейных операторных уравнений порожденных ООД и ДО, изучении обобщенных преобразований Бореля, описании областей сходимости ряда обобщенных экспонент и проблеме представления этих операторов возникает вспомогательная задача о перемножении множеств комплексной плоскости. Достаточно отметить работы [1], [21], [28], [2], [4], [б], [7]. Эта задача нуждается в систематическом исследовании.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Она состоит из трех глав.

В первой главе развивается теория перемножения множеств комплексной плоскости. При этом ключевую роль играет понятие мультипликатора пары множеств А, В С С. Так мы назовём множество

M(A,B):={zeC:zACB}.

Здесь устанавливаются общие свойства мультипликатора, а также изучаются мультипликаторы конкретного вида.

Во второй главе изучается задача интегрального представления ООД в виде (2) для фиксированной односвязной области G и для некоторых важных классов областей, определяемых конкретными мультипликаторами. Там же устанавливается связь возможности такого представления с разрешимостью интерполяционной задачи с бесконечным числом узлов. Параллельно изучаются представления ООИ и ДО.

В третьей главе рассматриваются вопросы нахождения явного вида решения операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами, порожденные ООД. По существу эта проблема упирается в нахождение резольвенты ООД.

Для более детального описания результатов первой главы введем несколько вспомогательных определений. Следуя [1] под произведением множеств А, В С С будем понимать множество АВ = Z1Z2 = {z\ • z2 : zi e A,z2 £ В}. Положим A~l = :.z G А} и A! = {z € С : z A}. Обозначим через D(zq,R) — {z : \z - zq\ < R} - круг; D(oo, R) = {z € € : \z\ > D(zq, R) - замыкание D(zo, R); S(a, R) = {z : \z — a\ = R}~ окружность; K(a; r, i?) = {z : r < \z—a\ < R} - кольцо; яп := ехр{^г}, n € N; ft^j := {z G С \ {0} : a < argz < /3} - угол иРп - правильный n угольник с центром в нуле и вершиной в точке z = 1.

В теореме 1 первой главы рассматривается общие свойства М(Д В). Приведем некоторые из них.

Теорема 1.1.

2. М(А,В) = (АВ'-1)'~\ 4. 0еМ(А,В)&0еВ.

7. Для того, чтобы В было звёздно относительно начала координат необходимо, а в случае М( А, В) А = В и достаточно, чтобы мультипликатор М(А, В) был звездным относительно нуля.

8. Если А открыто, то М(А, В) U {0, оо} есть замкнутое множество, а множество АВ'~г \ {0, оо} открыто.

В теореме 1.2 выясняются свойства мультипликатора в случае, когда

А = В С С. Теорема 1.2.

1. Если М(А) состоит из конечного числа точек, то либо М(А) = {1, хпу. К'1}, либо М(А) = {0,1, . К"1} где хп. = ехр {^г}

2. М(А) является коммутативным моноидом относительно операции умножения комплексных чисел.

5. Если.множество А ограничено, то М(А) С D(0,1)

9. Мультипликатор М(А) не обязательно является связным множеством, даже в случае односвязности множества А.

Теорема 3 описывает мультипликаторы конкретного вида в случае, когда А = В — G - область в С.

Теорема 1.3.

2. Для выпуклой ограниченной области G мультипликатор M(G) = Рп тогда и только тогда, когда G есть правильный выпуклый п—угольник с центром в нуле.

3. M(G) = D(0,1) тогда и только тогда, когда 3R > 0 : G — D(О, R).

5. M(G) = 5(0,1) тогда и только тогда, когда 3г, R € (0, -boo) G =

6. M(G) = (0, +оо) тогда и только тогда, когда 30 < в — а < 2п G пвК

K(0;r,R).

8. Пусть область G ограничена и 0 € ext.<7. Если существует луч, который пересекает область G по пустому множеству, то мультипликатор M(G) = {1}.

В теореме 1.4 собраны вспомогательные результаты, которые понадобятся в главе 2.

Задача представления ООД, ООИ и ДО в H(G), где G - односвязная область в С ставится следующим образом. Оператор задан на полной в H(G) системе степеней {zn}. Требуется по этому заданию установить, будет ли он расширяться до линейного непрерывного оператора на всём H(G). В теореме 2.1 она решается в общем виде. Метод доказательства теорем во второй главе опирается, в частности, на представление Кёте линейных непрерывных операторов и функционалов в пространстве H(G). Этот метод для получения представления специальных классов операторов использовал сам Кёте в своей статье, далее М. Ю. Царьков [43], Ю. Ф. Коробейник [22] и другие математики. Также используется теорема о монодромии функции двух переменных.

Теорема 2.1. Пусть область G С С и односвязна.

1. Оператор D, определенный на системе {zn} по правилу Dzn := dn-iz"-1, п е N, D1 0, {dn} С С, расширяется до ООД в H(G) тогда и только тогда, когда функция d{z) := dnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N( 1) < N(2) < . такая, что функциональный элемент двух переменных (f), z G D(zq, g) С G, t € D(oo, j) аналитически продолжается в каждую односвязную

I область Сг#(п) х Gn С С х С, а в случае 0 ^ G d(z) аналитически продолжается в точку z — оо и имеет там нуль не ниже второго порядка.

2. Оператор /, определенный на системе функций {zn} по правилу Izn := £zn+1, п £ N U {0}, {dn} С с \ {0}, расширяется до ООИ в H(G) тогда и только тогда, когда функция d\(z) := Y^Lq голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < iV(l) < N(2) < . такая, что функциональный элемент jdi (|), z е D(zo,e) С G, t Е D(oo, аналитически продолжается в каждую односвязную область (гщп) х Gn С С х €, а в случае 0 f G d(z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

3. Оператор J, определенный на системе {zn} по правилу п £ NU{0}, {dn} С С расширяется до ДО в H(G) тогда и только тогда, когда функция d(z) :— dnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N( 1) < N(2) < . такая, что функциональный элемент jd(f), z £ D(zo,e) с G, t E D(00,7) аналитически продолжается в каждую односвязную область G'n^ xGn С С х С, а в случае О ^ G d(z) аналитически продолжается в точку 2 = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.

Так как f £ G'N^Gn, то можно было бы ожидать, что d(z) аналитически продолжается до локально аналитической функции на множестве GG'~l. которое, как следует из главы 1, не обязательно является открытым или замкнутым. Далее приводится пример функции d(z), которая может оказаться многозначной при аналитическом продолжении в GG1'1. В связи с этим целесообразно искать классы областей G1 для которых соответствующая функция d(z) продолжается до локально аналитической на GG'~l. Удобно вводить классы таких областей в терминах мультипликатора, введенного в главе 1.

В теореме 2.2 расматриваются области, у которых ноль лежит на границе. В первой главе доказывается, что M(G) = (0,1] тогда и только тогда, когда 0 ^ G, G U {0}- звездное множество и G не совпадает с углом вида Для этого класса областей доказывается

Теорема 2.2. Пусть G - односвязная область и M(G) — (0,1]. Следующие три условия равносильны :

1а) оператор D, заданный на множестве степеней по правилу Dzn — dn^izn~1, п € N, Di ~ 0, расширяется до оператора обобщенного дифференцирования в H(G);

16) степенной ряд У^о dnz11 сходится в окрестности начала координат, его сумма d(z) аналитически продолжается до голоморфной в С \ [1,М] функции, М > 1, и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z — ос.

1 в) существует целая функция экспоненциального типа a(z) с индикаторной диаграммой в [—1пМ, 0], интерполирующая {<4} в узлах п = 1,2,. в следующем смысле: а(1) = 0, а(2) = do, а(3) = d\,. .

При выполнении хотя бы одного из трех утверждений имеет место такое интегральное представление ООД: 2h / fdO' w где z E Gn. Следующие утверждения равносильны :

2 а) пусть дана последовательность {dn} С С, Vn > 0 dn ф 0. Оператор I, определяемый на полной в H(G) системе {zn} по правилу Izn = j-zn+1, та € N, расширяется до ООН на H(G);

2 б) ряд сходится в окрестности нуля, его сумма d\{z) аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области С \ [1 ,М] и имеет нуль не ниже первого порядка в точке z = оо;

2 в) существует целая функция экспоненциального типа a(z) с индикаторной диаграммой в [— 1пМ,0], которая является функцией коэффициентов для d(z) в следующем смысле: о(1) = а(2) — .

При выполнении одного из утверждений «)Ь (|) где z eGn.

Аналогичный критерий имеет место и для ДО.

В теореме 2.3 рассматриваются области, у которых ноль лежит во внешности или на границе их замыкания. Пусть каждый луч с началом в нуле пересекает односвязную область G по интервалу (из которых хотя бы один конечен и хотя бы один не начинается в нуле) или по пустому множеству. Тогда M(G) = {1}. Для этого класса областей доказывается

Теорема 2.3. Следующие три утверждения равносильны.

1а) оператор D, определяемый на системе {z11} по правилу Dzn — d,nzn~l, п € N, D1 = 0, {dn} с С, расширяется до ООД на H(G);

16) ряд dnzn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в односвязной области С\{1} и имеет нуль не ниже второго порядка в точке z = оо.

1 в) существует целая функция не выше минимального типа первого порядка a(z), которая является функцией коэффициентов для d(z) в следующем смысле: а(1) = 0, а(2) = do, а(3) — d],. .

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

Заметим, что критерий применимости ООД к каждой аналитической функции в каждой точке её аналитичности в терминах разрешимости интерполяционной задачи впервые установлен в [18]. В случае, когда О G доказана следующая

Теорема 2.4. Пусть G есть звёздная область и G ф С. Следующие три утверждения равносильны :

1а) оператор D, определяемый на системе {zn} по правилу Dzn = d^z71"1, п е N, D1 = 0, {dn} С С, расширяется до ООД на H(G)\

1 б) ряд dnzn сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области GG'~l\

1 в) существует аналитическая и экспоненциального типа в полуплоскости Ее2 > 0 функция коэффициентов a(z) : Vn G N, dn — a(n) такая, что её преобразование Лапласа будет аналитической и однозначной функцией в односвязной области ^lnjVf(G)^ , где In M{G) есть объединение точки оо = In 0 и всех точек из полосы — тг < Im < 7Г, являющихся образами M(G) при отображении w = In z, —it < arg z <ir.

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

В третьей главе ищутся решения операторных уравнений конечного порядка, порождённых ООД D. В первом параграфе вводится понятие обобщенной экспоненты e(z) := l + ]C2=i тт»-" • Такие функции в связи с ООД уже встречались ранее. В монографии [27], например, отмечено, что e(z) переходит в обычную экспоненту ez, когда dn — п + 1, n = О,1,Доказывается такое свойство обобщенной экспоненты:

Лемма 3.1. Пусть О G G, D - ООД в H(G). Уравнение

D - М)у = О для каждого Л € С имеет ненулевое решение у £ H(G) тогда и только тогда, когда e(z) есть целая функция.

В предположении, что e(z) - целая функция, в серии лемм 3.2-3.4 и теореме 3.1 находится явный вид общего решения однородного операторного уравнения конечного порядка.

Теорема 3.1. Общее решение однородного операторного уравнения с постоянными коэффициентами

Dny + aiD^y + • • • + ап = О имеет вид :

ТО «J — i

1-1 к=О где qi:k - произвольные коэффициенты из С, Ai,., Ато - корни характеристического многочлена zn + a^z11'1 ■ • • + а,п = 0 кратностей .Si,., sm соответственно.

Во втором параграфе рассматриваются простейшие неоднородные операторные уравнения Dy — / и J у = /. Имеет место

Теорема 3.2. Пусть G - односвязная область, содержащая ноль и D - ООД в H(G). Уравнение Dy = / разрешимо для любой правой части f(z) Е H(G) тогда и только тогда, когда а) Vn € N U {0} dn ф 0; б) функция d\{z) = YZ* TzU голоморфна в нуле; в) существует последовательность 1 < N(1) < N(2) < . такая, что функциональный элемент jdi (|), z Е D(zo,e), t Е D(оо,е) аналитически продолжается в каждую односвязную область G'n^ х Gn С € х С до голоморфной функции двух переменных;

Аналогичный критерий разрешимости имеет место для уравнения J у = /. Несмотря на внешнюю простоту данных уравнений, при конкретной реализации они могут иметь достаточно сложную структуру. Например, если

О € G и ^(г) голоморфна в С \ {1}, то уравнение J у — f может бьтть записано в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка. В случае же 0 $ G, с помощью преобразования w — In z уравнение J у = / сводится к разрешимости уравнения комплексной свертки вида

Третий параграф посвящён операторным уравнениям вида Dy—Xy = /. Нельзя ожидать достаточно простого решения этого операторного уравнения в общем случае. Поэтому мы ограничеваемся случаем, когда соответствующая функция d(z) — Y^=oP(n + гДе Р(п) ~ многочлен п -той степени. В начале (теорема 3.4) находится явный вид резольвенты оператора D в случае, когда 0 6 G. Резольвента оператора D (D — А/)-1 ищется конструктивно. Заметим, что существует большая литература по теоремам существования правого обратного оператора (смотри, например, диссертацию С. Н. Мелихова [32] по этой теме и библиографию в ней).

Теорема 3.4. Пусть G - звёздная область. Тогда общее решение линейного уравнения с где y{z)J(z) е #(InG) (смотри [21], [2]).

Dy-Xy = f первого порядка (относительно ООД D) в H(G) имеет вид :

4) ф) = aoe(Az) + -/-/ Е-Щ.о о fe=0 к

•/(щ.usz)dui • • • оо где e(z) = J2 р(\)1р(пу е(°) = h •- - корни уравнения p(z) = тг=0 clqz3 4- a\zs~l Н-----h as — 0, ао ф 0, Re ., Re vs <1, уо e € .

Предложенный в предыдущей теореме способ доказательства не удается перенести на случай, когда 0 G. В случае, когда 0 ф. G и порождающая оператор D функция d{z) есть многочлен второго порядка методом прямой подстановки доказывается

Теорема 3.5. Пусть 0 4: G. Тогда общее решение линейного уравнения (4) имеет вид : 7 оо (Л (1 - (Z - Х2)) y(z) = yQe(Xz) + //£ —--i)dxidx2,

Z0 zo fe=0 где e(z) = J2n=о P(iylP{ny e(°) = г> v ~ коРень многочлена p(z) = z{z - v\ v ^ N. Интегрирование ведётся по кривым, лежащим в G.

Уже в случае s = 2 при подстановке y(z) в уравнение возникают большие сложности при его упрощении. Ещё большие сложности просматриваются при s > 2. Этим объясняется, почему общий случай s не рассмотрен.

В теореме 3.6 приведен алгоритм получения в явном виде решения неоднородного операторного уравнения конечного порядка.

Автор выражает благодарность научному руководителю диссертации за постановку задачи и участникам семинаров В. В. Напалкова, Ю. Ф. Коробейника и В. П. Кондакова за полезные обсуждения результатов диссертации.

1. Бибербах J1. Аналитическое продолжение. М.:- Наука, 1967.- 240 с.

2. Братищев А. В. О линейных операторах, символ которых является функцией произведения своих аргументов. // Доклады АН. 1999. -Т. 365. - т. - С. 9-12.

3. Братищев А. В. О мультипликаторе области в комплексной плоскости // Материалы XVI международной научно-методической конференции. Петрозаводск, июнь, 2003. Санкт - Петербург: ПГУПС. - 2003. - С. 126-127.

4. Братищев А. В. Обобщенное преобразование Бореля и смежные задачи теории функций // International Conference Complex analysis and its applications. Abstracts, Lviv, may 26-29, 2003. Льв1в: LNU. - 2003. - C. 17-18.

5. Братищев А. В. Оператор обобщенного дифференцирования, порожденный функцией Гейне. Тезисы докладов 13 саратовской зимней школы. Саратов. Январь, 2006. - Саратов: научная книга. - 2006. - с. 36-37.

6. Братищев А. В. Описание обобщенных преобразований Бореля, сохраняющих теорему Пойя. // Вестник ДГТУ. 2001. - Т. 1. - Л*1. - С. 79-89.

7. Братищев А. В., Калиниченко JI. И. Описание области сходимости ряда обобщенных экспонент // Доклады РАН. 1993. - Т. 331. - №6. - С. 666-667.

8. Братищев А. В., Моржаков А. В. О мультипликаторе пары множеств комплексной плоскости. // Вестник ДГТУ. 2004. - т.4.- №3 - С. 270281.

9. А. В. Братищев, А. В. Моржаков. О резольвенте одного класса обобщенных дифференциальных уравнений. // Вестник ДГТУ. 2006.- Т. 6 - Ш- С. 85-88

10. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М. Наука. - 1965. - 172 с.

11. Гельфонд А. О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. -1951. - Т. 38.

12. Гельфонд А. О. Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье. -Матем. сб. 1951. - Т. 29. - №3. - С. 477-500.

13. Доброходов С. Ю., Маслов В. П. Многомерные ряды Дирихле в задачах об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических операторов. Современные проблемы мат-ки. - Т. 23. - М.: ВИНИТИ. - 1983. - С. 33-78.

14. Кейперс JI., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука. - 1985. - 408 с.

15. Кирютенко Ю. А. Об операторах обобщенного интегрирования, аналитически продолжимых из нуля. Известия ВУЗов. - №7 . - 1975 г.

16. Коробейник Ю. Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналитической функции. // ИАН СССР.- Сер. матем. 1964.- т. 28. - т. - С. 833-854.

17. Коробейник Ю. Ф. Об одном интегральном операторе. // Литовский математический сборник. 1965. - Т. 5.- №1 - С. 97-115

18. Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка. Докторская диссертация. Ростов-на-Дону. -1965 г.

19. Коробейник Ю. Ф. Донсков Ю. Н. Аналитические решения уравнения Эйлера бесконечного порядка // Изв. ВУЗов. 1969. - ЛШ.-С. 44-51.

20. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе линейных операторов // Годишник ВТУЗ, матем. Т. 9. кн. 3. - София. - 1973. - с. 23-32.

21. Ленг С. Алгебра. М. : Мир, 1968. - 564 с.

22. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1951. - Т. 39. - 216 с.

23. Леонтьев А. Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Труды математического института им. В. А. Стеклова.- 1957 Т. 39.-С. 1-216.

24. Леонтьев А. Ф. Об области регулярности предельной функции одной последовательности аналитических функций. Матем. сб. . - Т. 39. -№4. - 1956. - С. 405-420.

25. Леонтьев А. Ф. Обобщенные ряды экспонент. М. Наука, 1981. - 320 с.

26. Линчук С. С. Диагональные операторы в пространствах аналитических функций и их приложения // Актуальные вопросы теории функций. Ростов-на-Дону: ИРУ. - 1987. - С. 118-121.

27. Мавроди Н. Н. Необходимые и достаточные условия аналитической продожимости степенного ряда / / Актуальные проблемы математического анализа. Сб. научн. трудов. Ростов-на-Дону : ГинГо. - 2000. -С. 94-99.

28. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.1. -М.: Наука.1967. -488 с.

29. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.2. -М.: Наука.1968. -624 с.

30. Мелихов С. Н. Правые обратные к операторам представления рядами экспонент и свертки. Автореферат докт. диссер. Уфа 2003. - 240 с.

31. Моржаков А. В. О представлении оператора обобщенного дифференцирования функций, аналитических в круге.// Межвузовский сб. "Интегро-дифференциальные операторы и их свойства".- Вып. 6. -Ростов-на-Дону: ДГТУ. 2004. - С. 40-42.

32. Моржаков А. В. Об одном классе операторов обобщенного дифференцирования // Современные проблемы теории функций и их приложения, тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. Саратов. Январь 2006 г. Саратов : Научн. книга. - 2006. - С. 122-123.

33. Моржаков А. В. Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе односвязных областей. 2 // Вестник ДГТУ. -2006.- Т. 6 № (28).- с. 10-16

34. Мусин И. X. О разрешимости одного неоднородного уравнения. Сб. "Исследование по теории функций". Уфа : БФАН СССР. - 1986. - С. 77-89.

35. Напалков В. В. О продолжаемости оператора обобщенного дифференцирования. Матем. сб. - Т. 78. - №38. - 1969. - С. 397-407.

36. Напалков В. В. О расширении оператора обобщенного дифференцирования. Матем. заметки. - Т. 6. - №4. - 1969. - С. 425-436.

37. Робертсон А. П., Роберстон В. Дж. Топологические векторные пространства.- М. : Мир. 1967.- 260 с.

38. Савёлов А. А. Плоские кривые. М.: ГИФМЛ, 1960. - 296 с.

39. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1987. -280 с.

40. Царьков М. Ю. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочные со степенью оператора дифференцирования. Теория функций, функц. анализ и их приложения. - Республ. научн. сб. - 1970. - вып. 2. - с. 86-96.

41. Фролов Ю. Н. Об аппроксимации решений уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных посредством элементарных решений. Сб. "Исследования по теории аппроксимизации функций". -Уфа : БФАН СССР. - 1979. - С. 268-281.

42. Фишман К. М. К вопросу о линейном преобразовании аналитических пространств. ДАН ССР, 127, №, 1959, с. 40-43.

43. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т.2. Изд.2. -М: Наука. -1976.- 400 с.

44. Янушаускас А. И. Аналитические и гармонические функции многих переменных.- Новосибирск: Наука, сиб. отд., 1981.- 184 с.

45. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie. //J. reine angew. math. -1953.- Bd. 191. -S. 30-49.