Интегральные формулы с неголоморфными ядрами в задачах аналитического продолжения функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы

1.2. Цель диссертации

1.3. Методика исследования

1.4. Научная новизна

1.5. Публикации и апробация работы

1.6. Структура и объем работы

2. Содержание работы

Глава 1. Голоморфность функций, представимых интегральными формулами

1. Голоморфность функций, ортогональных ядрам типа

Бохнера-Мартинелли

2. Граничные свойства интеграла типа Коши-Фантаппье определенного вида

3. Голоморфность функций, представимых интегралом Коши

Фантаппье определенного вида

4. Граничное поведение интеграла типа логарифмического вычета

5. Голоморфность функций, представимых формулой типа логарифмического вычета

6. Условия голоморфного продолжения функций в классических областях

Глава 2. Голоморфное продолжения функций с границ областей и

С-К-многообразий

7. Об одном аналоге теоремы Гартогса-Бохнера в ограниченных областях

8. Граничные аналоги теоремы Морера в ограниченных областях

8.1. Граничная теорема Морера для комплексных прямых

8.2. Граничная теорема Морера для комплексных кривых

8.3. Локальный граничный вариант теоремы Морера

9. Функции с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль кривых

9.1. Голоморфное продолжение вдоль алгебраических кривых

9.2. Голоморфное продолжение вдоль комплексных кривых

10. Теорема Морера на остовах классических областей и стандартных С-К-многообразиях

10.1. Теорема Морера на остовах классических областей

10.2. Аналог теоремы Морера на сфере Пуанкаре

10.3. Голоморфное продолжение функций в областях Зигеля

Глава 3. Одностороннее голоморфное продолжение функций и теорема об аналитическом представлении

11. Одностороннее голоморфное продолжение СЯ-функций в фиксированную область

12. Одностороннее голоморфное продолжение Сй-функций вдоль комплексных кривых

13. Аналитическое представление СЯ-функций на гиперповерхностях с особенностями

14. Оценка интеграла Бохнера-Мартинелли вблизи гиперповерхности с особенностями

15. Граничные значения интеграла Бохнера-Мартинелли на гиперповерхностях с особенностями

1. Общая характеристика работы

1.1. Актуальность темы. Известная теорема Гартогса-Бохнера утверждает, что для того, чтобы функция /, заданная на границе дИ ограниченной области Б в С" (п > 1) со связным дополнением, имела голоморфное продолжение в £), необходимо и достаточно, чтобы / была С72-функцией на сШ, т.е. для всех внешних дифференциальных форм типа (п, п — 2) с коэффициентами класса С°° в окрестности границы области.

Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных от (1)) условий, которые гарантировали бы голоморфное продолжение функции / в В.

Так в работах Л.А.Айзенберга, А.М.Аронова, А.М.Кытманова, А.В.Романова [10, 21, 32] (см. также [20, гл.4]) был исследован вопрос о функциях, представимых в области И интегралом Бохнера-Мартинелли. Ими была доказана голоморфность таких функций различных классов гладкости (несмотря на неголоморфность ядра Бохнера-Мартинелли). Эти же утверждения можно формулировать в терминах ортогональности функции ядрам Бохнера-Мартинелли. Поэтому данные теоремы служат обобщениями теоремы Гартогса-Бохнера.

Аналогом теоремы Гартогса-Бохнера в классических областях служит результат Росси и Верня [77].

1)

Пусть классическая область В такова, что размерность границы Шилова 5 строго больше п. В этом случае многообразие 5 является порождающим и комплексное касательное пространство в каждой точке остова не является тривиальным. Теорема Росси-Верня [77] характеризует граничные значения голоморфных функций на 5 аналогично теореме Гартогса-Бохнера. А именно, всякая С7?-функция / е С1 (Б) является радиальным граничным значением на 5 функции ^Р £ и обратно, граничное значение всякой функции ^ £ 1~11{0) на 5 является Сй-функцией.

Вопрос о локальном голоморфном продолжении функций с части гиперповерхности (или с СЯ-многообразий) также является классическим и интенсивно изучался, начиная с работы Е.Леви [70]. Обзор полученных результатов можно, например, найти в [40]. Как правило в этих результатах речь идет о принудительном голоморфном продолжении всех СЯ-функций в некоторую одностороннюю окрестность точки в зависимости от геометрии гиперповерхности (Сй-многообразия). В ряде недавних работ [4, 47, 5, 24] даны условия голоморфного продолжения СД-функций с произвольной гиперповерхности в фиксированную область. Эти условия налагаются на функцию, а не на гиперповерхность и заключаются либо в продолжении некоторого интеграла от данной функции, либо в сходимости некоторого ряда.

В последние годы интерес специалистов привлекают многомерные граничные аналоги теоремы Морера (см. [74, 66, 61, 62, 53, 58, 64, 65, 84, 63]). В части из этих результатов рассматривается полная граница области и они состоят в возможности голоморфного продолжения функции / с границы дБ области И в эту область при условии равенства нулю интегралов от / по пересечению сШ с комплексными прямыми.

Так в работе Е.Гринберга [66] рассмотрен случай шара Вп С Сп: если для функции / £ С(дВп) (п > 1) выполнены условия Морера для всех комплексных прямых I и всех дифференциальных форм со типа (1, 0) с постоянными коэффициентами, то функция / голоморфно продолжается в Вп до некоторой функции Р £ С(Вп).

В статье Й.Глобевника и Е.Л.Стаута [62] результат Гринберга перенесен на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Локальные варианты теоремы Глобевника и Стаута приведены в [61, 64, 65].

Заметим, что без условия связности границы области (а также при п = 1) теорема Глобевника и Стаута, очевидно, неверна.

В работе ([62]) поставлена задача о нахождении достаточных семейств комплексных прямых С = {/2)ь}, для которых из условия Морера для /2,6 £ С следует голоморфная продолжимость функции / в область I).

В статье А.Нагеля и У.Рудина [74] (см. также [33, с. 295]) рассмотрена теорема Морера в шаре следующего вида: если функция / — непрерывна на границе шара Вп (п ^ 1) в Сп и интеграл для всех (голоморфных) автоморфизмов ф шара, то функция / голоморфно продолжается в шар.

Для различного типа СД-многообразий теорема Морера рассматривалась в [53, 58, 84].

Граничные теоремы Морера тесно связаны с результатами о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения. Первый результат в этом направлении был получен М.Л.Аграновским и

1пдВ, о

Р.Е.Вальским [1], которые показали, что всякая непрерывная функция /, заданная на границе шара и обладающая свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых, голоморфно продолжается в шар как функция многих комплексных переменных. Затем этот результат был повторен в [74] (с другим доказательством) и распространен Е.Л.Стаутом [81] на произвольные области £>. А.Е.Туманов в [36] покё-зал, что на порождающих минимальных многообразиях всякая гладкая функция с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль аналитических дисков является СЛ-функцией.

Классическая теорема Гартогса говорит о том, что если функция /, голоморфная в некоторой области пространства Сп, голоморфно продолжается (как функция одного комплексного переменного) по параллельным комплексным прямым в область I), то она голоморфно продолжается в I), как функция многих комплексных переменных (см., например, [12, 46]). Известны различные обобщения этой теоремы (см., например, монографию Е.М.Чирки [45], а также статьи [34, 35]).

Предельный случай этой теоремы, когда функция / является СЯ,-функцией на некоторой гиперповерхности, был доказан Л.А.Айзенбергом и К.Реа в [52].

Теорема Андреотти, Хилла и Чирки [55, 43] об аналитическом представлении С.й-функций, заданных на гладкой гиперповерхности играет важную роль в теории СД-функций (см., например, [40, 44]). Она говорит о следующем.

Пусть О область в Сп такая, что Н1^, О) = 0, и Г — гладкая замкнутая ориентируемая гиперповерхность в О, разделяющая О на два открытых множества и Тогда для каждой СЛ-функции / Е £|ос (Г) существуют голоморфные в ^ функции такие, что / = Н+ - Ъг на Г.

Ее следствием является теорема Гартогса-Бохнера. Примеры показывают, что если гиперповерхность имеет особые точки, то теорема об аналитическом представлении перестает быть верной.

1.2. Цель диссертации. Исследование голоморфности функций, представимых различными интегральными формулами с неголоморфными ядрами (Бохнера-Мартинелли, Коши-Фантаппье, логарифмического вычета). Обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на функции, ортогональные ядрам интегральных представлений при интегрировании по целой границе области, так и по границе Шилова (в случае классических областей). Использование полученных результатов для доказательства различных типов граничных теорем Морера и теорем о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных кривых определенных классов для различного типа СЯ-многообразий (границ областей, остовах классических областей, стандартных СЛ-многообразий). Обобщение теоремы Гартогса об одностороннем голоморфном продолжении СД-функций вдоль комплексных кривых. Распространение теоремы об аналитическом представлении на гиперповерхности с особенностями. Оценка поведения представляющих функций вблизи множества особенностей.

1. Аграновский M.J1., Вальский P.E. Максимальность инвариантных алгебр функций!/ Сиб- матем. журн. 1971. Т. 12, N 1. С. 3-12.

2. Аграновский M.JL, Семенов А.М Граничные аналоги теоремы Гартогса// Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32, N 1. С. 168-170.

3. Айзенберг JI.A., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. Новосибирск: Наука, 1975.

4. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на связном куске ее границы// Мат. сб. 1991. Т. 182, N 4. С. 490-507.

5. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на связном куске ее границы, II// Мат. сб. 1993. Т. 184, N 1. С. 3-15.

6. Айзенберг JI.A., Митягин Б.С.О Пространства функций, аналитических в кратно-круговых областях// Сиб. матем. журн. 1960. Т. 1. С. 153-170.

7. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

8. Айрапетян P.A., Хенкин Г.М. Интегральные представления дифференциальных форм на многообразиях Коши-Римана и теория CR-функций// Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, N 3. С. 39-106.

9. Антипова И.А. Логарифмический дифференциал в задаче голоморфного продолжения CR-гиперфункций// Математические модели и методы их исследования. Тезисы межд. конференции, Красноярск, КрасГУ, 1999. С. 17.

10. Аронов A.M., Кытманов A.M. О голоморфности функций, представимых интегралом Мартинелли-Бохнера// Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9, N 3. С. 83-84.

11. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968.

12. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.

13. Владимиров B.C., Сергеев А.Г. Комплексный анализ в трубе будущего// Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1985. Т.8. С. 191-266.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

15. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982.

16. Данфорд И., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1965.

17. Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. М.: ИЛ, 1954.18. кытманов A.M. Об устранении особенностей интегрируемых СR-функций// Матем. сб. 1988. Т. 136, №2. С. 178-186.

18. Кытманов A.M. Голоморфное продолжение С R-функций с особенностями на гиперповерхности// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. Т. 54, №6. С. 1320-1330.

19. Кытманов A.M. Интеграл Вохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992.

20. Кытманов A.M., Айзенберг J1.A. О голоморфности непрерывных функций, представимых интегралом Мартинелли-Вохнера// Изв. АН Арм. ССР. Сер. мат. 1978. Т. 13, N 2. С. 158-169.

21. Кытманов A.M., Никитина Т.Н. Аналоги формулы Карлемана для классических областей// Мат. заметки. 1989. Т. 45, N 3. С. 87-93.

22. Кытманов A.M., Никитина Т.Н. О голоморфном продолжении С R-функций с особенностями на порождающем многообразии// Изв. Росс. АН. Сер. мат. 1992. Т. 56, N 3. С. 673-686.

23. Кытманов A.M., Цих И.А. О голоморфном продолжении СR-гиперфункций в фиксированную область// Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, N 6. С. 1319-1334.

24. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

25. Ланкастер П. Теория матриц. ML: Наука, 1982.

26. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: Гостех-издат, 1950.

27. Шлапунов А.А., Тарханов Н.Н. О задаче Коши для голоморфных функций класса Лебега С2 в области// Сиб. матем. журн. 1992. Т. 33, N 5. С. 186-195.

28. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и ^приложения. М.: Мир, 1969.

29. Южаков А.П., Кривоколеско В.П. Некоторые свойства линейно выпуклых областей с гладкими границами еС"// Сиб. матем. журн. 1971. Т. 12, N 2. С. 452-458.

30. Южаков А.П., Куприков А.В. О логарифмическом вычете// Некоторые свойства голоморфных функций многих комплексных переменных. Красноярск: Институт физики СО АН СССР. 1973. С. 181-191.

31. Aizenberg L.A. New results on the free boundary problem and generalization of Hartogs theorem for CR functions// Preprint Max-Plank-Institut fur mathematik, Bonn. 1992. MPI/91-54. P. 1-10.

32. AIZENBERG L.A., Rea C. The moment-conditions for the free boundary problem for CR functions// Annali Scuola Norm. Super. Pisa. Ser. IV. 1993. V.20. P.313-322.

33. Agranovsky M., Berenstein C.A., Chang D.C. Morera theorem for holomorphic Hp spaces in the Heisenberg group// J. Reine Angew. Math. 1993. V. 443. P. 49-89.

34. Anderson j.т., clma j.A. Removable singularities for Cp CR functions// Michigan Math. j. 1994. v. 41. p. 111-119.

35. ANDREOTTI A., Hill C.D. E.E.Levi convexity and the Hans Lewy problem. I/ / Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1972. V. 26, №2. P. 325-363.

36. Globevnik J. A boundary Morera theorem// J. Geometric Anal. 1993. V. 3, N 3. P. 269-277.62. globevnik J., stout E.L. Boundary Morera theorems for holomorphic functions of several complex variables// Duke Math. J. 1991. V.64, N 3. P. 571615.

37. Grinberg E. A boundary analogue of Morera's theorem on the unit ball of Cn// Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V.102. P. 114-116.

38. Harvey R., Lawson H.B. On boundaries of complex analytic varieties. 1// Ann. Math. 1975. V. 102, P. 223-290.

39. KORANYI A. The Poisson integral for generalized half-planes and bounded symmetric domaines// Ann. Math. 1965. V. 82, N 2. P. 332-350.

40. KYTMANOV A.M., REA C. Elimination of C1 singularities of Holder peak sets for CR functions// Ann. Scuola Norm. Super. Pisa 1995. V. 22, №2. P. 211-226.

41. MARTINELLI E. Sopra una dimonstrazione de R.Fueter per un theorema Hartogs// Comment. Math. Helv. 1943. V. 15. P. 340-349.

42. MERKER J., PORTEN E. Enveloppe d'holomorphie locale des variétés CR et élimination des singularitiés pour les fonction CR intégrables// C.R. Acad. Sei. Paris, Ser. 1. 1999. T. 328. P. 853-858.

43. Nagel A., Rudin W. Moebius-invariant function spaces on balls and spheres// Duke Math. J. 1976. V.43, N4. P. 841-865.

44. ScHULZE B.-W. Boundary value problems and singular pseudo-differential operators. J.Wiley, Chichester, 1998.

45. Stein E.M. Boundary behaviour of holomorphic functions of several complex variables. Princeton: Princeton Univ. Press. 1972.

46. STOUT E.L. The boundary values of holomorphic functions of several complex variables// Duke Math. J. 1977. V. 44, N 1. P. 105-108.

47. STOUT E.L. Removable singularities for the boundary values of holomorphic functions// Proc. of the Mittag-Leffler Institute, 1987-1988. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993. P. 600-629.

48. Косбергенов С., Кытманов A.M., Мысливец С.Г. О граничной теореме Мо-рера для классических областей// Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, N 3. С. 595604.

49. Кытманов A.M., Мысливец С.Г. Об одном граничном аналоге теоремы Мо-рера// Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, N 6. С. 1350-1353.

50. Кытманов A.M., Мысливец С.Г. О голоморфности функций представимых формулой логарифмического вычета// Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, N 2. С. 351-361.

51. Кытманов A.M., Мысливец С.Г. О голоморфном продолжении функций вдоль комплексных кривых// Докл. РАН. 1998. Т. 358, N 3. С. 302-305.

52. МысливЕЦ С.Г. Существование голоморфного в области А С С" решения дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами// Известия вузов. Математика, 1985, N 12. С. 33-37.

53. МысливЕЦ С.Г. Существование и продолжение голоморфных решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Кандидатская диссертация, Красноярск, КрасГУ, 1985. С. 1-96.

54. МысливЕЦ С.Г. Об одностороннем голоморфном продолжении СЯ-функций// ИНПРИМ-98. Тезисы докладов. Новосибирск, Институт математики, 1998. С. 82.

55. МЫСЛИВЕЦ С.Г. Функции с одномерным свойством голоморфного продолжения и граничные аналоги теоремы Морера// В сб." Комплексный анализ и математическая физика", Красноярск: КрасГУ, 1998. С. 88-96.

56. МысливЕЦ С.Г. Голоморфное продолжение функций в классических областях и областях Зигеля// Международная конференция "Математические модели и методы их исследования". Тезисы докладов. Красноярск, КрасГУ, 1999. С. 154-155.

57. МысливЕЦ С.Г. О многомерном граничном варианте теоремы Морера// Изв. вузов. Математика. 1999. N 8. С. 33-36.

58. МысливЕЦ С.Г. Граничный аналог теоремы Морера в областях Зигеля// Международная конференция по анализу и геометрии. Тезисы докладов. Новосибирск, Институт математики, 1999. С. 76-77.

59. МысливЕЦ С.Г. Теорема об аналитическом представлении СЯ-функций на гиперповерхностях с особенностями// В сб. "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, Институт математики с ВЦ РАН. 2000.

60. МысливЕЦ С.Г. Граничная теорема Морера на сфере Пуанкаре// В сб. "Комплексный анализ и дифференциальные операторы", Красноярск, КрасГУ, 2000. С. 97-102.

61. МысливЕЦ С.Г. Особый интеграл типа логарифмического вычета// Труды международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, ИВМ СО РАН, 2000.

62. МысливЕЦ С.Г. Об одном обобщении теоремы Гартогса// В сб. "Вопросы математического анализа", N 4. Красноярск, КрасГТУ. 2000. С. 56-62.

63. Kytmanov A.M., Myslivets S.G. On an application of the Bochner-Martinelli integral// Contemporary Math. 1998. V. 212. P. 133-136.

64. Kytmanov A.M., Myslivets S.G. On functions with one-dimensional property of holomorphic continuation and boundary analogues of the Morera theorem// J. of Natural Geometry. 1999. V 16. P. 29-48.

65. Kytmanov A.M., Myslivets S.G. On holomorphic continuation of functions in Siegel domains// J. of Natural Geometry. 2000. V 17. P. 11-20.