О голоморфном продолжении гиперфункций и распределений, заданных на гиперповерхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.55

РГб ОА 13 ДЕК

ЯКИМЕНКО МАРИАМ ШАМИЛЕВНА

О ГОЛОМОРФНОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ГИПЕРФУНКЦИЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ЗАДАННЫХ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск-2000

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор А.М.Кытманов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Э.Б.Мураев

кандидат физико-математических nayi

доцент Н.В.Сафонов

Ведущая организация: Курганский государственный

университет

Защита состоится "RQ" декабря 2000 г. в 15 часов на заседании диссс тационного совета К064.61.01 в Красноярском государственном универс тете по адресу: 660041, Красноярск, пр. Свободный 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского гос дарственного университета.

Автореферат разослан " Е2, " ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Лейнартас Е.1

J

ведение

Общая характеристика работы

I. Актуальность темы

15 начало XX нона открыт олин из самых замечательных фактов в мно-юрном комплексном анализе (Гартогс. 1906: Пуанкаре. 1907) функция, оморфнан на г ранице области со связным дополнением, голоморфно прознается инутрь этой области.

С.Бохнер и К.Северн в 194.4 голу независимо л руг от друге нашли диф->енцнальные условия голоморфноП продолжимости в область гладкой

■ кции. заданной на гладкой связной границе области. Эти условия поз-получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции,

тлетворяющие им. назвали СИ-функциями.

Данное утверн;дение, называемое сейчас теоремой Гартогса-Бохнера, ;орнт о том. что для того чтобы функция /, заданная на границе ограни-1ной области П в С" (т > 1) со связным дополнением, имела голоморф-

■ продолжение в П необходимо и достаточно, чтобы / была СЯ-функцией

то есть

I всех внешних дифференциальных форм типа (п, п — 2) с коэффициен-1И класса С°° в окрестности границы. Эта теорема доказана для различных классов функций. Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других личных от (1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное прошение функции / в П.

Так в работах Л.Л.Айзенберга, А.М.Лронова, А.М.Кытманова, 5.Романова, Г.Фолланда. Дж.Кона был исследован вопрос о функци-представнмых в области Г2 интегралом Бохнера-Мартинелли. Ими та доказана голоморфность таких функций различных классов глад-:ти (несмотря на не голоморфность ядра Бохнера-Мартинелли). Эти утверждения можно формулировать в терминах ортогональности якцни ядрам Бохнера-Мартинелли. Поэтому данные теоремы служат »бщениями теоремы Гартогса-Бохнера.

(1)

г

Так в работе Г.Фолланда п Дж.Нона (1975) было лано утверждение. Бивалентное представимости функции класса интегралом Бохне

Мартпнелли. В работе А.М.Аронова. А.М.Нытманова (1У75) рассмотрс функции класса С'1 (О). У Л.А.Айзенберга, А.М.Нытманова (1978) нов рывные функции, а у А.В.Романова — интегрируемые (1978).

В работах А.М.Нытманова. II.А.Них рассмотрены вопросы одностор него голоморфного продолжении С/{-гиперфункций н фиксированную ласть (1995-1997).

В работах Е.Л.Стаута (1995). Ж.-Н.Росен и Е.Л.Стаута (1999) ииу вы граничные значении решений дифференциальных уравнениП. Эгп I ничные значении являются гиперфункциями, если на граничное поведем решений не накладывается дополнительных условий.

1.2. Цель диссертации

Исследование голоморфности функций, представимых интегралы ми формулами с неголоморфными ядрами (Бохнера-Мартинелли, Ног Фантапье определенного вида), граничные значения этих голоморфн функций являются гиперфункциями или распределениями.

Обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на гиперфункции и распреде ния, ортогональные ядрам интегральных представлений при интегриро нии по целой границе области.

1.3. Методика исследования

Используются методы теории функций одного и многих комплексн переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнен математической физики.

1.4. Научная новизна

Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Осш ные результаты диссертации следующие:

- показано, что гармонические функции (не имеющие ограничений порядок роста вблизи границы ограниченной области), представимые этой области П интегралом Бохнера-Мартинелли, голоморфны в этой ( ласти;

- дано обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на случай гиперфункциг

аспределениП, ортогональных лдрам Бохнера-Мартинелли при интегриро-анни по границе области; _

- показано, что решениями однородной 3-задачи Неймана являются олько голоморфные функции;

- дан критерий голоморфного продолжения функций и распределений в Я в терминах аналога задачи с косой производной.

.5. Публикации и апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7], из них соавторстве [1-2]. Теоремы 2.1, 4.1 получены в соавторстве. Остальные тверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.

По материалам диссертации делались доклады на международной конвенции "Математические модели и методы их исследования" (Красно-рск, 1999); на V Международном семинаре-совещании "Кубатурные фор-!улы и их приложения" (Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ШПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000).

1.6. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и 15 параграфов. Спи-ок литературы содержит 41 наименование.

2. Содержание диссертации

П первой главе приведены известные определения и результаты, ис-юльзуемые в диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена голоморфному продолжению ги-■ерфункций, заданных на границе области в С".

Напомним понятие гиперфункции с помощью способа, предложенного ^.Мартино. Гиперфункции в М"1 определяются таким образом, чтобы лояльно они были эквивалентны аналитическим функционалам в С71 с ком-1актными носителями в Ж"1.

Пусть х = (хд, Х2,. • • , хт) £ Пространство С" состоит из векторов • = (2ь 22, • ■ • , ~т)- Причём г] = X, + ¡щ, з = 1,... , т. Таким образом Мт отождествляется с вещественным подпространством из С".

Пусть К С Ст — компакт, тогда пространство Л (К) аналитических функционалов, сосредоточенных на К (с опорой на К) —■ это пространство таких линейных функционалов Т на пространстве О = 0(Цп) целых

аналитических функций в С", что для любой окрестности V компакта 1 выполняется неравенство

\т(<р)\^сСг вир Чрео, и

с постоянной Сц, не зависящей от <р.

Определение 1. Если X С К"1 открыто и ограничено, то пространств гиперфункций (Л") в X определяется как

ЩХ) = А'(Х)/А'{дХ). (2

Набор {03(Л")}д- порождает пучок гиперфункций 23, который являете! вялым.

Далее определим важное понятие носителя гиперфункции. Прежде оста новимся на понятии носителя аналитического функционала. Элементы про странства

у А'{К)

К СК">

представляют собой аналитические функционалы на С", сосредоточенньк на вещественных компактах. Известна

Теорема 1.1. Пусть Т 6 Д'(Ют), Т ф 0. Существует наименьшш вещественный компакт, на котором сосредоточен функционал Т. Этоп компакт называется носителем Т, он обозначается виррТ.

Если Т,Т е А'(Х) и Т-Т £ А'(дХ), то ХПвиррТ = ХПэиррТ. Носитель класса Т° функционала Т в ®(Х) определяется по формуле виррТ0 = X Г виррТ.

Если У С X и X, У открыты и ограничены, то для любого Т € А'{Х) найдется такой функционал Т £ А (У), что У Пзирр(Т-Т) = 0. Класс Тс функционала Т в 23(У) однозначно определяется классом Т° функционале Т в *В{Х) и называется сужением Т° на У. Сужение Т° на У равно 0 тогдг и только тогда, когда У ПвиррТ = 0. Итак, носителем гиперфункции является наименьшее замкнутое множество, такое, что сужение гиперфункции на дополнение к этому множеству равно 0.

Гиперфункции из с компактными носителями могут быть отож-

дествлены с функционалами из Д'(Мт), имеющими носители в X.

Пусть П — ограниченная область в Мга(т > 2) с вещественно аналитической связной границей Г, то есть О = {х : р(х) < 0}, где р вещественно аналитическая функция в Мт такая что йр ф 0 на Г, а Г = {г : р(х) — 0}. Обозначим через = {х : р(х) < е}, Г£ = {г : р(х) — е}.

Пусть g[.v,y) — фундаментальное решение уравнения Лапласа, то есть

д(х.у) = Ст\х-у\2~т. '

пределсние 2. Через \'(/) обозначим потенцией простого слоя для функ-чи f е Л(Г)

V(f)(y) = I nx)g(x..y)da[x),

г

)е (Irr элемент поверхности Г. Будем писать 1/+(/)(у), если у £ Q, и ~(f)(y), если \П.

ак и ранее 3.'" отождествляем с подпространством из С".

пределсние 3. Пусть Т G -4'(Г). Функцию V(T)(y) = Tx(g(x, у)) будем иыбать потенциалом простого слоя для гиперфункции Т.

пк как при у Г, g(x,y) G -4(Г), функция V(T)(y) определена вне Г. чевидно, что V(T) — гармоническая функция вне Г, равная нулю на оо. ля ip G Д(Г) обозначим <р~ гармоническое продолжение ip в йт\0, равное iMio на бесконечности. Выберем функцию * 6 С00^"1), 0 < х < 1.

{1 в окрестности Rm \ П, О в окрестности множества из П,

на котором функция <р~ не определена.

Предложение 2.2. Пусть е > 0 настолько мало, что (р~ и V+(T) \рмоничес.кие в окрестности ГЕ, тогда

Т(р)= J V+ (Г))dy — I (3)

г.

Пусть Р(х,у) — ядро Пуассона для области Q. Так как Г вещест-:нно аналитическая, функция Р(х,у) — вещественно аналитическая на при фиксированном у G П. Определим функцию Т таким образом = Тх{Р{х,у)),ТеА'(Т). Тогда Т G Q(Sl).

Предложение 2.4. Для <р G Л(Г), V~{p) G £(Mm \D), х " Tf таких е как в предложении 2.2 верно представление

TM = I fA(XV-(<p))dy = j (Т^М _ V-(^) da (4)

г. N '

Формула (3) показывает, что граничное значение произвольной функци / 6 0[Щ удобно определить таким образом:

Определение 4. Под граничным значением 6/6 -4'(Г) будем понимап, выражение

ън<р) = 1 /Д(Х1 = I

дп дп

г,

где <р € -4(Г), е настолько мало, что и гармонические в окресп

ности ГЕ, а функция \ 6 такова

в окрестности Кт \ Г2, в окрестности множесп

Следствие 2.4. Если Т — распределение на Г, то

у _

1 0 б окрестности множества из П. на котором не определена,

Т(ч>) =£1ш?0/ Т{у)^(у)йст(у).

г.

Предложение 2.5. Пусть Т £ ©(Г) тогда

Т_ дУ~(Т) дУ+(Т) тТ дп дп

Здесь нормальная производная понимается следующим образом. Для /

д/ д/ <9/ т 5/ (7(П), берем -—, Ь-—, а — = —> где пз координаты единичног

дх^ Ох ^ ОП ' 3

вектора внешней нормали к Г. Иными словами

■Л

Пусть П — область в С71, а Г граница области.

Рассмотрим следующую задачу (однородную <9-задачу Неймана): ош сать класс гармонических в О функций F таких что дпР — О на Г. Ясно, что голоморфные функции входят в этот класс. Пусть / б через д„ и д„ обозначим производные

дп/ = д„/ = 5„/,

к-1

()f> 1 -

де pk = -————г. Эти операторы можно записать в виде (Хк \ор\

, 1 ff>f ,df\ , , 1 fOf .elf

де rj(r) — единичный вектор внешней нормали к Г, в точке : £ Г, а вектор >• = in.

Предложение 2.7. Если для f Е £7(П) граничные значения bdnf = О, но f — голоморфна ь П.

Определим преобразование Бохнера-Мартинелли для гиперфункции Т € 8(Г) следующим образом. Пусть

1дро Бохнера - Мартинелли, где = с/^ А ... А а получается из /С вычеркиванием дифференциала

Тогда сужение ядра ¿7(С, с) на Г примет вид £/((,", г) |г = \/(С, — мера Лебега на Г, а

"«■'> = ^¿££«0. С)

Гогда преобразование Бохнера-Мартинелли для гиперфункции =

Тс,М(С,г)>, г е Г,<£> е Л(Г).Обозначим М+Т{г), если г € Д \/~Т(г), если г а ЬМ+Т, ЬМ~Т их граничные значения на Г. Предложение 2.8. Г 6 В(Г), то ЬМ+(Т) - ЪМ~(Т) = Т на Г. Дадим понятие СД-гиперфункции. Рассмотрим произвольную область 1 С О" (»тг > 1) и вещественно аналитическую гиперповерхность Г = {; е 1 : р(;) = 0}, где р — вещественнозначная функция, р 6 .4(0), ¿р ф О на Г. Предположим, что Г связна. Рассмотрим в О два открытых множества = {р(г) ^ 0}, ориентация Г согласована с П+.

Введем набор векторных полей {¿а/з}, 1 < < т, определенных зблнзи Г следующим образом:

(2г)т / др д др д \ , 2|0/>| \д:адг,з дгрдга)

где

»1 2

Под действием ¿а.з на функционал Т £ Л '(К) будем понимать

</.о1>Ф.*) = <Ф.1а^>. (Ю

где р —- вещественное аналитическое продолжение функции р £ -4(Г) 1 некоторую окрестность Г. Результат действии не зависит от продол

женин ¡р в окрестность Г, так как Ьаз есть касательный оператор.

Пусть 5' — открытое подмножество многообразия Г. Выберем семей ство координатных окрестностей Ь) С 5 (и.^ = 3).

Определение 5. Гиперфункция Ф 6 ®(Г), заданная набором гиперфункцш ^ удовлетворяет на 5 касательным уравнениям Ноши-Римана

если

5иррЬар^ С дБ] для всех 1 ^ а,(3 <; п, где /_,• е _Д'(5) — представитель Ф^

Определение 6. Гиперфункция Ф е ©(Г), удовлетворяющая на 5 С Г ка с.ательным уравнениям Ноши-Римана, называется СИ-гиперфункцией ш 5.

Теорема 2.1. Следующие утверждения эквивалентны

1) ЬМ~Т=0

2) ЬМ+Т = Т

3)дпТ = 0

4) Т — С И-гиперфункция.

В третьей главе диссертации рассмотрены вопросы голоморфного про должения распределений, заданных на границе области.

Пусть — ограниченная область в С" со связной границей Г класс; то есть существует вещественнозначная функция р € С°°(СП) така( чтоА := {: £ С" : р(г) < 0 }, Г := {: еС" : р(г) = 0}, ¿р ф 0 на Г Обозначим через Г£ := {; £ С" : р{г) = —е}, г £ Е. Через 'Н(П) обозначи\ пространство гармонических в П функций конечного порядка роста вблиз!

а?{(Ст\П) пространство гармонических в С71 функций, равных нулю ! бесконечности. Как известно, их можно отождествить с классом-Х>'(Г) определений на Г соотношением

е ¡р £ Т>(С"), dac — элемент поверхности _ГЕ, / G ЩЫ), bf = Т G Х>'(Г) аничное значение / на Г (для / G ^(С771 \ Q), е < 0).

Преобразование Бохнера - Мартинелли для распределений (так же как для гиперфункций) обозначим МТ. Для распределений операторы дп, д„ ределим так: (дпТ,<р) = (Т,дпф), (д„Т,<р) = (Т,д„ф), здесь tp G £>(Г), а гармоническое продолжение в область Î2.

Предложение 3.1. (Кытманов) Пусть Т G D'(T). Распределение 1~Т = 0 тогда и только тогда, когда ЬМ+Т = Т.

Предложение 3.2. (Кытманов) Пусть Т G ^'(Г). Распределение t~T — 0 тогда и только тогда, когда дпТ = 0. Предложение 3.3. Пусть Т G ^'(П- Если дпТ = 0 на открытой emu S границы Г, то существует функция f G такая что bf = Т dnf продолжается на S до функции класса С°°(Пп5) равной нулю на S. Основным результатом данной главы является следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть Т G £>'(г) и дпТ = 0, тогда Т — CR-спределение на Г.

Теорема 3.1 приведена в книге А.М.Кытманова, Интеграл Бохнера-фтинелли и его приложения, Новосибирск, Наука, 1992. Как отмеча-сь в английском переводе этой книги доказательство теоремы опиралось недоказанное утверждение о сходимости итераций интеграла Бохнера-фтинелли. Там же была предложена схема доказательства этой теоремы з использования теоремы о сходимости итераций.

В четвертой главе диссертации рассмотрен аналог задачи с косой проводной для функций, заданных на границе области в С2.

Пусть Î2 — ограниченная область в С71 с границей Г класса С°°, вещест-ннозначная функция р G Соэ(Ст) и является определяющей для области то есть П = {z : p[z) < 0}, dp ф 0 на Г. Пусть / G функ-

я f определяет некоторое распределение Т G (Г) . Дано векторное поле

(П)

г,

IV = и>(г) = р иф)^, ык 6 С°°(Г) такое, что

>71 г.

= 0 на Г, (1

А-=1 "к

то есть ги не лежит в комплексном касательном к Г пространстве 7>( для любой точки г 6 Г. Рассмотрим задачу: будет ли / будет голоморфт в О, если

w[T) = Y,wk(:)b^- = Onar. (1

к-1 ~к

Данная задача поставлена в книге А.М.Кытманова, там же содержит её решение для отдельных частных случаев. Это аналог задачи с koci производной для гармонических функций.

Если w = grad = J2 WiklTzГ> то превращается в однородную д-зада1 Неймана.

Пусть i2 — ограниченная односвязная область в С2,(то есть диффе морфная шару), с С°° — гладкой границей и определяющей функцией На границе области Q зададим С00 — гладкое векторное поле w = w(Q условием

а. = 1 ~к

Разложим вектор w на нормальную и касательную составляющие к повер ности Г в точке (перед градиентом есть не нулевой на Г коэффициент, который мы всегда можем разделить, поэтому можно считать, что пер-grad коэффициент равен 1) ш(С) = gradp(£) + a(C)f(C), где а(С) некот рая гладкая функция, а вектор г(С) ортогонален вектору grad/>(C), то ее лежит в Т2С(Г). Тогда условие (14) можно переписать в виде

fc=l к=1 В качестве вектора т в плоскости Т.С(Г) возьмём вектор ^■gf^-.Тогда условие (15) примет вид

у = Q (КЁр. _ K^L] с е г. (1

dzk dzk dz2 dz2 dz\ J

k=1

Умножим (16) на da и. учитывая равенства

$-dcr = C(-l)k-ld:[k]Acl:\r. ^r~da = С(-\)"~к+Ч:[к] Л d:\y.

а: к

к= 1

до * опе[)атор Ходжа для еннлидоиоП метрики н И1'. получим

*i)f = tidf A <lz на Г. (17)

Теорема 4.1. Пусть для гармонической функции / £ Q[D) верно (17), >1 ((,') + ап2 Ф 0 для некоторого числа s и для любого ( g Г, qj = Ilea, = Imo. тогда f голоморфна D.

Работы автора по теме диссертации

[1] Кыт.манов A.M.. Якименко M.HI. О голоморфном продолжении i ппср-функциП // Спб. матом, журп. 1993. I'. 31. .\»<>. С. 113 122.

[2] Кыт.манов A.M.Якименко M.1II. О Об одном критерии сущестшжант голоморфного продолжении функций в У // Известии вузов. Математика. 1991. Л»8. С. 39 -15.

[3] Якименко M.III. О гиперфункциях. удовлетворяющих касательным уравнениям Коши-Рпманн на i ранние области // Тезисы международной конференции по математическим моделям и методам их исследований. КрасГУ. Красноярск, 1999. С/12 <13.

[4] Якименко М.Ш. О распределениях, удовлетворяющих уравнениям Кошн-Римана на границе области // Тезисы V международное семинара-совещания по кубатурным формулам и их приложениям.КрасГТУ, Красноярск, 1999, С.217.

[5] Якименко М.Ш. Об условиях голоморфного продолжения гиперфункций, заданных на границе области // Сб. "Комплексный анализ и дифференциальные операторы". КрасГУ, Красноярск, 2000. С. 189-193.

[6] Якименко М.Ш. О граничных значениях гармонических функций // Сб. "Вопросы математического анализа". КрасГТУ, Красноярск, 2000 В.4. С. 151-155.

[7] Якименко М.Ш. О C-R-гиперфункциях, заданных на границе области // Тезисы ИНПРИМ-2000, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000. 4.1. С.161-162.

Введение

1. Актуальность темы.

2. Цель диссертации.

3. Методика исследования

4. Научная новизна

5. Публикации и апробация работы

6. Структура и объем работы

7. Содержание работы.

1. Предварительные сведения.

1.1. Определение гиперфункции.

1.2. СЯ-гиперфункции на гиперповерхности

1.3. Теорема двойственности Гротендика

1.4. Строгие граничные значения

2. Голоморфное продолжение гиперфункций, заданных на границе области

2.1. Потенциал простого слоя.

2.2. Представление Пуассона.

2.3. Граничное значение гармонической функции

2.4. Теоремы о скачке

2.5. Однородная <Э-задача Неймана

2.6. Преобразование Бохнера-Мартинелли.

3. Голоморфное продолжение распределений, заданных на границе области

3.1. Основное утверждение

3.2. Доказательство вспомогательных результатов.

4. Аналог задачи с косой производной для гармонических функций

4.1. Постановка задачи.

4.2. Основной результат

4.3. Вспомогательные результаты.

1. Актуальность темы

В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой области.

Бохнер и Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [20], а так же [17]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали СК-функциями.

Известная теорема Гартогса-Бохнера (см., например, [16]) утверждает что для того чтобы функция /, заданная на границе ограниченной области О в Ст(т > 1) со связным дополнением, имела голоморфное продолжение в необходимо и достаточно, чтобы / была СЯ-функцией на 12, то есть г для всех внешних дифференциальных форм типа (п,п — 2) с коэффициентами класса С°° в окрестности границы.

Эта теорема доказана для различных классов функций.

Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных

1) от (1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции / в а.

Так в работах Л.А.Айзенберга, А.М.Аронова, А.М.Кытманова, А.В.Романова, Г.Фолланда, Дж.Кона был и сследован вопрос о функциях, представимых в области О, интегралом Бохнера-Мартинелли. Ими была доказана голоморфность таких функций различных классов гладкости (несмотря на неголоморфность ядра Бохнера-Мартинелли). Эти же утверждения можно формулировать в терминах ортогональности функции ядрам Бохнера-Мартинелли. Поэтому данные теоремы служат обобщениями теоремы Гартогса-Бохнера.

В работе Г.Фолланда и Дж.Кона [23] было дано утверждение, эквивалентное представимости функции класса С°°(0) интегралом Бохнера-Мартинелли. В работе А.М.Аронова, А.М.Кытманова [4] рассмотрены функции класса С1(П). У Л.А.Айзенберга, А.М.Кытманова [2] — непрерывные функции, а у А.В.Романова — интегрируемые [11].

В работах А.М.Кытманова, И.А.Цих [8], [19] рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения С7?-функций в фиксированную область.

В работах Стаута [33], Росея и Стаута [30] изучены граничные значения дифференциальных уравнений. Эти граничные значения являются гиперфункциями, если на граничное поведение решений не накладывается дополнительных условий.

2. Цель диссертации

Исследование голоморфности функций, представимых интегральными формулами с неголоморфными ядрами (Бохнера-Мартинелли, Коши-Фантапье определенного вида), граничные значения этих голоморфных функций являются гиперфункциями или распределениями.

Обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на гиперфункции и распределения, ортогональные ядрам интегральных представлений при интегрировании по целой границе области.

3. Методика исследования

Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики.

4. Научная новизна

Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:

- показано, что гармонические функции (не имеющие ограничений на порядок роста вблизи границы ограниченной области), представимые в этой области £7 интегралом Бохнера-Мартинелли голоморфны в этой области;

- дано обобщение теоремы Гартогса-Бохнера на случай гиперфункций и распределений, ортогональных ядру Бохнера-Мартинелли при интегрировании по границе области;

- показано, что решениями однородной ^-задачи Неймана являются только голоморфные функции;

- дан критерий голоморфного продолжения функций и распределений в С2 в терминах аналога задачи с косой производной.

5. Публикации и апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35-41], из них в соавторстве [35-36]. Теоремы 2.1, 4.1 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.

По материалам диссертации делались доклады на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); на V Международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000).

6. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и 15 параграфов. Список литературы содержит 41 наименование отечественной и зарубежной литературы.

1. Айзенберг J1.A., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. Новосибирск: Наука, 1975.

2. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О голоморфности функций, представимых интегралом Мартинелли-Бохнера. Изв. АН АрмССР. Сер. мат. 1978. Т.13, № 2. С.158-169.

3. Айрапетян P.A., Хенкин Г.М. Интегральные представления дифференциальных форм на многообразиях Коши-Римана и теория СЯ-функций // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, вып. 3. С. 39-106.

4. Аронов A.M., Кытманов A.M. О голоморфности функций, представимых интегралом Мартинелли-Бохнера. Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т.9, №3. С.83-84.

5. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1972.

6. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 30. С. 1-262.

7. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992.

8. Кытманов A.M., Цих И.А. О голоморфном продолжении C-ß-гиперфункций в фиксированную область // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №6. С. 1319-1334.

9. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Ин. лит., 1957.

10. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

11. Романов A.B. Сходимость итераций оператора Мартинелли-Бохнера и уравнение Коши-Римана //Докл. АН СССР. 1978. Т.242, №4. С.780-783.

12. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С1. М: Мир, 1984.

13. Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 7. С. 23-124.

14. Хенкин Г.М., Чирка Е.М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких переменных. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 4. С. 13-142.

15. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986.

16. Чирка Е.М. Потоки и некоторые их применения // Харви Р. Голоморфные цепи и их границы. М.: Мир, 1979. С.122-158.

17. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

18. Шапира П. Теория гиперфункций. М.: Мир, 1972.

19. Цих И.А. О голоморфном продолжении СД-гиперфункций, заданных на гиперповерхностях или порождающих многообразиях. Дис. канд. ф.-м.наук. Красноярск. 1997.

20. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula // Ann. Math. 1943. V.44. P. 652-673.

21. Chirka E.M., Stout E.L. Removable singularities in the boundary // Aspects of Mathematics. 1994. V. E26. P. 43-105.

22. Duff G.F,D., Spencer P.C. Harmonic tensors on Riemann manifolds with boundary// Ann. Math. 1952. V.56. №1. P.128-159.

23. Folland G.B., Kohn J.J. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex. Ann. Math.Stud. Princeton, 1972. V.75.

24. Grauert H. On Levi's problem and the embedding of real analytic manifolds. // Ann. Math. 1958. V. 68, №2. P. 460-472.

25. Harvey F.R., Lawson H.B. Boundaries of complex analytic varieties. I // Ann. Math. 1975. V. 102. P. 233-290.

26. Komatsu H. Microlocal analysis in Gervey classes and in complex domains // Lecture Notes in Mathematics. 1989. № 1495. P. 160-236.

27. Kytmanov A.M. The Bochner-Martinelli integral and its applications. Basel: Birkhauser Verlag, 1995.

28. Levi H. On the local character of the solution of an atypical liner differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex variables // Ann. Math. 1956. V. 64. P. 514-522.

29. Polking J.C., Wells R.O. Jr. Boundary values of Dolbeault cohomology classes and a generalized Bochner-Hartogs theorem // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1978. V. 47. P. 3-24.

30. Rosay J.-P., Stout E.L. Strong boundary values, analytic functionals and nonlinear Paley- Wiener theorey// Preprint Univ. Washington, 1999. 61 pp.

31. Sato M., Kawai Т., Kashiwara M. Microfunctions and pseudodifferential equations, Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations // Lecture Notes in Math. 1973. №287. P. 265-529.

32. Straube E.J. Harmonic and analitic functions admitting a distribution boundary value// Ann. Scuola Norm. Pisa CI. Sci. (4) 1984. V. 11, N 4. P. 559-591.

33. Stout E.L. Harmonic duality, hyperfunctions and removable singularities // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59, №6. С. 133-170.

34. Trepreau J.-M. Sur le prolongment holomorphe des fonctions CR definies sur une hypersurface reele de classe C2 dans C71 // C.R.Acad. Sc. Paris. Ser. 1. 1985. V. 301, №3. P. 61-63.

35. Кытманов A.M., Якименко М.Ш. О голоморфном продолжении гиперфункций // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34, №6. С. 113-122.

36. Кытманов А.М.Якименко М.Ш. О Об одном критерии существования голоморфного продолжения функций в С2 // Известия вузов. Математика. 1994. №8. С. 39-45.

37. Якименко М.Ш. О гиперфункциях, удовлетворяющих касательным уравнениям Коши-Римана на границе области // Тезисы международной конференции по математическим моделям и методам их исследований. КрасГУ, Красноярск, 1999, С.42-43.

38. Якименко М.Ш. О распределениях, удовлетворяющих уравнениям Коши-Римана на границе области // Тезисы V международного семинара-совещания по кубатурным формулам и их приложениям.КрасГТУ, Красноярск, 1999, С.217.

39. Якименко М.Ш. Об условиях голоморфного продолжения гиперфункций, заданных на границе области //Сб. "Комплексный анализ и дифференциальные операторы". КрасГУ, Красноярск, 2000. С. 189-193.

40. Якименко М.Ш. О граничных значениях гармонических функций // Сб. "Вопросы математического анализа". КрасГТУ, Красноярск, 2000. В.4. С. 151155.

41. Якименко М.Ш. О СЯ-гиперфункциях, заданных на границе области // Тезисы ИНПРИМ-2000, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000. 4.1. С.161-162.