О голоморфном и плюригармоническом продолжении функций и распределений, заданных на гиперповерхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.55

МЫСЛИВЕЦ МАКСИМ СЕРГЕЕВИЧ

О ГОЛОМОРФНОМ И ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ФУНКЦИЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ЗАДАННЫХ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ

01 01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2004

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.М.Кытманов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Е.Аниконов кандидат физико-математических наук, доцент И.А.Антипова

Ведущая организация:

Институт программных систем РАН г. Переславль-Залесский

Защита состоится "10" сентября 2004 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, Красноярск, пр. Свободный 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан "18" июня 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Голованов М.И.

2005-4 11928

М0МО

1. Общая характеристика работы Актуальность темы

В начале XX века был открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907): функция, голоморфная на границе области со связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой области.

С.Бохнер и Е.Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области. Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали СЯ-функцшлш.

Данное утверждение, называемое сейчас теоремой Гартогса-Бохнера, говорит о том, что для того чтобы функция заданная на границе ограниченной области со связным дополнением, имела голоморфное продол-

жение в В необходимо и достаточно, чтобы / была СК-функцией на В, то есть

для всех внешних дифференциальных форм ш типа (п, п—2) с коэффициентами класса в окрестности границы.

Эта теорема доказана для различных классов функций.

Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных от (0.1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции } в

Локальные условия голоморфного продолжения также даются в терминах СК-функций.и свойств гиперповерхности, связанных с формой Леви. В работах Л.А.Айзенберга и А.М.Кытманова рас щорфром

(0.1)

продолжении функций с гиперповерхности в фиксированную область. Получены условия такого продолжения в терминах продолжения интеграла Бохнера-Мяртинелли и Коши-Фантаппье.

В работах А.М.Кытманова, И.А.Цих рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения СR-гиперфункций в фиксированную область. Для гладких функций аналогичные результаты получены О.В.Ходос.

Гораздо меньше известно результатов о плюригармоническом продолжении функций. Дифференциальные условия (локальные и глобальные) достаточные для плюригармонического продолжения даны в работах Т.Одибера, Е.Бедфорда, П.Федербуша, а их обобщения получены В.К.Белошапкой. Интегральные условия плюригармонического продолжения для гладких и непрерывных функций сформулированы Г.Фикерой, а доказаны А.Перотти.

Цель диссертации

Нахождение условий голоморфного продолжения распределений, заданных на гиперповерхностях, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Исследование разрешимости задачи Дирихле и Неймана для плюригармоничес-ких функций конечного порядка роста вблизи границы области. Получение дифференциальных и интегральных условий плюригармонического продолжения.

Методика исследования

Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики.

Научная новизна

Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:

- даны условия на распределения, заданные на гиперповерхности, эквивалентные касательным условиям Коши-Римана, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Как следствие получены условия голоморфного продолжения таких распределений с гиперповерхности в фиксированную область;

- даны условия разрешимости задач Дирихле и Неймана для плюригар-монических функций, конечного порядка роста вблизи границы области. Как следствие, получены условия разрешимости некоторых типов -задачи;

- получены новые дифференциальные условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области.

Публикации и апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14], из них в соавторстве [6], [7]. Теоремы 2.1, 2.2 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.

По материалам диссертации делались доклады на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999, 2001); на V международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000); на международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Уфа, 2000); на международных

научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002, 2003); на международной конференции по многомерному комплексному анализу (Красноярск, 2002); на международной конференции по геометрическому анализу (Волгоград, 2004); на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (1999-2004).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и 12 параграфов. Список литературы содержит 48 наименований.

2. Содержание диссертации

В первой главе приведены известные определения и результаты, используемые в диссертации.

Во второй главе рассматривается преобразование Бохнера-Мартинелли для распределений.

Пусть П — область в С" (п > 1) и Г — гладкая (класса С°°) гиперповерхность в П вида

Г = {*:,(*) = ()},

где р — вещественнозначная гладкая функция в П такая, что <1р ф 0 на Г. Эта гиперповерхность разбивает О на два открытых множества £3+ (в этом множестве р > 0) и (где р < 0). Пусть

ядро Бохнера-Мартинелли, где

фундаментальное решение уравнения Лапласа в С" (п > 1), а

¿С = ¿С1 а • • • А ¿С», <£[*] = А • • • А ёСк-1 а ¿Ск+1 А • ■ • л </С„. Сужение этого ядра на Г имеет вид

дСк

к=1 SÄ = 2"-1rM(C,z)dir,

где M«,z) = £ ^Рк, = Ig^^i"1' = • |grad^l"1,

der — мера Лебега на Г.

Пусть / € £'(Г). Функцию F = 2n~1in(f(, М(С, *)) назовем преобразованием Бохнера-Мартинелли. Функция F является гармонической в О вне носителя / и имеет конечный порядок роста при подходе к Г.

Вначале ищутся производные потенциала простого слоя с помощью касательных векторных полей

г д 9 Ь 1

Ьтк-Рк-К7--Рт-ьГ К,т=1...п.

oQm oQk

Для этого доказывается следующая лемма. Лемма 2.1. Пусть для z ^ Г

—потенциал простого слоя, где f € £'. Тогда

= 2-4" JZ(Lmk(fP]i),g) - 2n-4n(f,pmM(C, z)), CZm k=i

Далее доказываются формулы для нахождения производных преобразования Бохнера-Мартинелли.

Теорема 2.1. Производные функции Р можно найти по формулам ар пп п

к—1 $—1

Как следствие даются формулы для нахождения скачка производных преобразования Бохнера-Мартинелли.

Следствие 2.1. Пусть / е £'(Г), тогда

Здесь символом [.Р]* обозначены слабые граничные значения на Г гармонической функции F конечного порядка роста из областей Г2±.

сю _

Далее рассматриваются СЯ-распределения. Пусть О, = У О,, С

«=1

С2„ ограничены для всех в, Г, = О, П Г. Для функций х» таких, что X» е X» = 1 на Г., виррХз С Г,+1, имеем /, = Х>/ 6 ¿'(г).

Критерий для СЯ-распределений дает

Теорема 2.2. Для того чтобы / € 2?'(Г) являлось СП-распределением, необходимо и достаточно, чтобы

[0Л?,] = на Г, для всех 5 = 1,2,...

Голоморфное продолжение распределении / означает, что существует голоморфная функция Р в области Г2+ конечного порядка роста, обобщенные граничные значения которой на Г совпадают с /.

Из теоремы 2.2 и из результатов Айзенберга и Кытманова следует утверждение.

Теорема 2.5. Распределение / из 2>'(Г) — голоморфно продолжается в тогда и только тогда, когда

= \дР,\ ~ на Г, для всех в,

и Р~ гармонически продолжаются из П7 е П» для всех в.

Таким образом, условия голоморфного продолжения распределений / в фиксированную область можно записать только в терминах преобразования Б охнера-Мартинелли.

Следующим рассматривается вопрос о скачке 3-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли. Пусть функция / является гладкой в окрестности Г. Определим 5-нормальную производную следующим образом:

Справедлива теорема.

Теорема 2.6. Пусть / е £р(дИ), р ^ 1. Скачок В-нормальной производной

интеграла Бохнера-Мартинелли равен нулю, т.е.

ДтоУ \§пР(г+) - дпР^~)\р ¿<т{г) = 0.

9(1

Кроме того, если г 6 дО. — точка Лебега функции /, то

Ша{дпР{г+)-дпР{г-))=Ь,

где точки г^ лежат на нормали кТ в точке г на расстоянии е от г, £ 12^.

9

Теорема обобщает на случай интегрируемых функций теорему Айзенберга-Кытманова о скачке д-нормальной производной для непрерывных функций.

Как следствие дается условие голоморфного продолжения / с границы области в область. Пусть - ограниченная область и Г ее граница.

Следствие 2.4. Пусть / е £2(Г) и Р(г) = 0 для точек г £ А", тогда интеграл для точек г бП+ дает голоморфное продолжение / с границы области в саму область.

Данное утверждение обобщает на случай интегрируемых функций ряд теорем о голоморфности функций, представимых интегралом Бохнера-Мартинелли (Айзенберг, Аронов, Кытманов, Романов и др.).

В третьей главе рассматриваются условия плюригармонического продолжения функций с границы области.

Пусть — ограниченная область в С" с гладкой границей (класса С°°).

Вначале решается задача Дирихле для плюригармонических функций. Обобщаются результаты Перотти и Фикеры. Решение этой задачи дают следующие две теоремы.

Теорема 3.1. Пусть область £> — односвязна (т.е. первая группа гомологии области О тривиальна). Предположим, что V вещественная плюригар-моническая функция конечного порядка роста в И, [17]о ее граничное значение. Тогда {[£/]о, дпН) — О, где Н = А + Ш, А, В — вещественные гармонические функции на замыкании Б такие, что 1тдпН — 0 на Г.

Теорема 3.1 в случае плюригармонических функций ¡7, гладких вплоть до Г, была доказана А.Перотти.

Далее решается задача Дирихле для ^болевских пространств.

Теорема 3.2. Пусть дП принадлежит классу С°°. Если и Е УУ^сШ), в > 1, действительная функция, которая удовлетворяет условию

У идпНйсг- 0 (0.2)

для любой комплексной гармонической функции Н € такой, что

дпН — действительная. Тогда функция и продолжается в П до функции II 6 РЛа+1/2(£)) (т.е и — плюригармошчна в й и и 6 УУ'2+112{0)).

Теорема 3.3. Пусть О — строго псевдовыпуклая область, если {и, дпН) = 0, где и 6 Ф{Т) и вещественное, а Н любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1, то существует плюригармоническая функция Л конечного порядка роста вблизи Г такая, что [?7]о = и.

Введем подпространство Нагт{{0). Нагт^П) — {НЕ Нагт^ (£>) (т.е. / гармоническая в области О и имеющая конечный порядок роста вблизи границы):[5„Я]о действительно на сШ}, здесь [дпН]о означает следующее распределение:

Следующий рассматриваемый вопрос это задача Неймана для плюригар-

монических функций. Ответ дают следующие теоремы.

Теорема 3.4. Пусть Н1{D,R) = 0 и 8D £ С°°, у G £'{dD) — действи-

' dU'

тельное. Тогда существует U G Harm5 (D) такая, что — — tp на 3D

тогда и только тогда, когда

(¥>,^ + ¿#2)= 0,

где #1, #2 любые

такие, что Н\, Н2 £ Нагтд° и Н\ -\-Ш2 — действительная.

Далее мы рассмотрим ¿¡-задачу для форм типа (0,1) на Б с граничными условиями. Пусть / это 5-замкнутая форма типа (0,1) с коэффициентами конечного порядка роста в £> и пусть д это действительное распределение на

dD. Мы ищем функцию и конечного порядка роста такую, чго du = f н D и Не и - g на dD.

Если dD класса С°° и D строго лсендовыпуклая тогда существует оператор Sq : CQiq{D) Co,q-i{D) такой, что если ôf = 0, тогда dSq{f) = /. Если f — конечного порядка роста, то и Sq конечного порядка роста.

Теорема 3.5. Пусть область D это строго псевдовыпуклая односвязная область с гладкой границей, f — форма типа (0,1) в D , с коэффициентами класса Harm? (D), a g это действительное распределение на dD. Тогда существует и — конечного порядка роста такая, что ди = / в D, Re м = g на dD тогда и только тогда Bf = 0 и для каждой H 6 Harm^3(D)

{,д,5пН) = Щ/,*дН)

В следующем параграфе дается описание пространства Harm^D в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли.

Предложение 3.1. Пусть F £ Harm* (D), [F]o — граничное значение F. Тогда [dnF]o — действительное тогда и только тогда, когда Im MF — Im F в D.

Пусть N это действительный линейный оператор определенный для F € Harra!(D) таким соотношением

N{F) = Re(F) + ilm(MF).

Следствие 3.1. Нагт{0{О) это есть множество Fix(AT) = {.F е Harmf : N(F) = F}

Далее как частный случай рассматривается случай шара. Пусть В = В{0,1) — единичный шар в С" с центром в 0, радиуса 1. Сфера S = 5(0,1) — его граница.

Рассмотрим Рк(г) — однородный гармонический многочлен степени к вида

Рк (г) = £

\\а+р\\=к

где а = («1,..., ап), 0 = (/?!,..., /?„) — мультииндексы, = г"1.....и

г? — мономы, а ||а|| = «1 -I-----Н а„, ||/?|| = А +----Н Рп- Тогда

ад = £

где Р, ( = X) !С а« ¡згаг13. Р,^—гармонические многочлены, имеющие 1И1=«НЯИ

степень однородности по г равную в, а по г — I. Они плотны в Нагт*(В). Множество таких многочленов обозначим Т3,^

Если € Тщ,и а Рг,го € Т>1,т, то скалярное произведение =

О, в ф1, 1фт.

Рассмотрим оператор ТУо :

Мо(Р^) = { " » + 1

[ р,,иг = о.

Пусть КхЛГ0 = {/ : АГ0/ = /}.

Теорема 3.6. Вещественное распределение [ы]0 6 Нагт? (5) имеет плю-ригармоническое продолжение в В тогда и только тогда, если оно ортогонально пространствам в Нагт^(В) для любых в > 0, < > 0. Дадим описание Nо/ в шаре.

Теорема 3.7. Пусть п > 1, / — гармоническая конечного порядка роста в В, тогда

где

М

ф=1 кг7(сма

о

Перейдем от иитегро-дифференциальных условий описания N0 к дифференциальным.

Теорема 3.8. Пусть Р разлагается по гармоническим многочленам Р = Р 6 1'Чх(Ло) тогда и только тогда, когда

»,4>0 1,(>0

Как следствие дадим условие плюригармонического продолжения распределений.

Следствие 3.2. Пусть и е £'(£) вещественноэначное, и — гармоническое продолжение в В. II — плюригармоническая функция тогда и только тогда, если [дпдпЩо = 0 на Б.

Далее рассматривается плюригармоническое продолжение гладких функций. Приводится такая теорема.

Теорема 3.9. Пусть Р € Нагт2(В) и вещественное. Р — плюригармо-нична в О тогда и только тогда, если (дР А *ддР)\Т = 0.

Список работ автора по теме диссертации

1. Мысливец М.С. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли / М.С.Мысливец // Тезисы международной конференции "Математические модели и методы их исследования." - Красноярск: Крас ГУ, 1999. С. 155-156.

2. Мысливец М.С. О голоморфном продолжении распределений в фиксированную область / М.С.Мысливец // Тезисы V международного семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения". - Красноярск: КрасГТУ, 1999. С. 37-38.

3. Мысливец М.С. О голоморфном продолжении гладких функций с гиперповерхности / М.С.Мысливец // Сборник "Комплексный анализ и дифференциальные операторы". - Красноярск: КрясГУ, 2000. С. 93-96.

4. Мысливец М.С. Граничные значения плюригармонических функций конечного порядка роста / М.С.Мысливец // Тезисы IV сибирского конгресса ИНПРИМ-2000. - Новосибирск: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2000. С. 155-156.

5. Мысливец М.С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области / М.С.Мысливец // Сборник "Вопросы математического анализа". - Выпуск 4. - Красноярск: КрасГТУ, 2001. С. 85-90.

6. Кытманов A.M. О CR—распределениях, заданных на гиперповерхности / A.M.Кытманов, М.С.Мысливец // Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Т.1 комплексный анализ". - Уфа: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, 2000. С. 56-59.

7. Кытманов A.M. О CR—распределениях, заданных на гиперповерхности / A.M.Кытманов, М.С.Мысливец // Известия вузов. Математика. - 2001. -№ 10. - С. 47-52.

8. Мысливец М.С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области / М.С.Мысливец // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. - С. 110-113.

9. Мысливец М.С. Об условиях плюригармонического продолжения распределений с границы области / М.С.Мысливец // Сборник "Многомерный комплексный анализ". - Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 139-149.

10. Мысливец М.С. Условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области / М.С.Мысливец // Материалы Межд. студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". - Математика. - Новосибирск: НГУ, 2003. - С. 44.

11. Мысливец М.С. О разрешимости задачи Неймана для плюригармони-ческих функций / М.С.Мысливец // Тезисы межд. конференции "Многомерный комплексный анализ". - Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 33-34.

12. Мысливец М.С. Об условиях разрешимости задачи Неймана для плюри-гармонических функций / М.С.Мысливец // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. - 2003. - Вып. 1. - С. 32-34.

13. Мысливец М.С. О скачке 3-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли / М.С.Мысливец // Тезисы межд. школы-конференции "Геометрический анализ и его приложения". - Волгоград, 2004. - С. 135-136.

14. Мысливец М.С. О скачке -нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли / М.С.Мысливец // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. - 2004. - Вып. 1. - С. 129-132.

Работа выполнена при финансовой поддержке Гранта Президента РФ для ведущих научных школ НШ-1212.2003.1.

Подписано в печать Н ОС.¿оонг Формат 60x84/16. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. t¡2.S Тираж ICO Заказ <áW

Издательский центр Красноярского государственного университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

04-150 6?

РНБ Русский фонд

2005-4 11928

1. Общая характеристика работы

2. Содержание диссертации

Глава 1. Предварительные сведения и обозначения

1. Функциональные пространства

2. Теоремы о голоморфном продолжении, Ci^-функции

3. Теоремы о плюригармоническом продолжении

Глава 2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли

1. Производные потенциала простого слоя

2. Производные преобразования Бохнера-Мартинелли

3. C-R-распределения и критерий для них

4. Теорема о скачке ^-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли

Глава 3. Плюригармоническое продолжение функций с границы области

1. Задача Дирихле для плюригармонических функций

2. Задача Неймана

3. Описание пространства 77агто(1))

4. Случай шара

5. Плюригармоническое продолжение гладких функций

1. Общая характеристика работы Актуальность темы. В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со (^ связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой обла, сти.С.Бохнер и Е.Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [26]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали CRфунщиями.Эта теорема доказана для различных классов функций.Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных от (0.1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции f в Q.Локальные условия голоморфного продолжения также даются в терминах СЛ-функций и свойств гиперповерхности, связанных с формой Леви (см. [30], а также [21]). В работах Л.А.Айзенберга и А.М.Кытманова [2, 3] рассмотрена задача о голоморфном продолжении функций с гиперповерхности в фиксированную область. Получены условия такого продолжения в терминах продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли и Коши-Фантаппье, В работах А.М.Кытманова, И.А.Цих [11, 12] рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения СЛ-гиперфункций в фиксированную область. Для гладких функций аналогичные результаты получены в [10].Гораздо меньше известно результатов о плюригармоническом продолжении функций. Дифференциальные условия (локальные и глобальные) достаточные для плюригармонического продолжения даны в работах [24, 25, 22, 23, 15], а их обобп^ения получены В.К.Велошапкой [4]. Интегральные условия плюригармонического продолжения для гладких и непрерывных функций сформулированы Г.Фикерой [27, 28, 29], а доказаны А.Перотти [32]. В работе [33] даны условия разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций, гладких вплоть до границы.Цель диссертации. Нахождение условий голоморфного продолжения распределений, заданых на гиперповерхностях, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Исследование разрешимости задачи Дирихле и Неймана для плюригармонических функций конечного порядка роста вблизи границы области.Методика исследования. Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики.Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие: - даны условия на распределения, заданные на гиперповерхности, эквивалентные касательным условиям Коши-Римана, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Как следствие получены условия голоморфного продолжения таких распределений с гиперповерхности в фиксированную область; - даны условия разрешимости задач Дирихле и Неймана для плюригармонических функций, конечного порядка роста вблизи границы области. Как следствие, получены условия разрешимости некоторых типов 9-задачи; - получены новые дифференциальные условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области.Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[48], из них в соавторстве [40, 41]. Теоремы 2.1, 2.2 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю.По материалам диссертации делались доклады на международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999, 2001); на V международном семинаресовещании "Кубатурные формулы и их приложения"(Красноярск, 1999); на IV Сибирском конгрессе ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000); на международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Уфа, 2000); на международных научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001, 2002); на международной конференции по многомерному комплексному анализу (Красноярск, 2002); на международной конференции по геометрическому анализу (Волгоград, 2004); на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (1999-2004).Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и 12 параграфов. Список литературы содержит 48 наименований.2. Содерлсание диссертации В первой главе приведены известные определения и результаты, используемые в диссертации.Пусть / е £'(Т)- Функцию F = 2"-Ч"(/^,М(С,^)) назовем преобразованием Бохнера-Мартинели. Функция F является гармонической в Г2 вне носителя / .Вначале ищутся производные потенциала простого слоя с помощью касательных векторных полей д д Lmk = Pk-K7 Рт^г к,т = 1...п.Для этого доказывается следующая лемма.Критерий для CR-распределений дает Теорема 2.2 Для того чтобы f £ Х>'(Г) являлось CRраспределением, необходимо и дост^аточно, чтобы [dFs]^ = [dFs]Q 1^0. Vs для всех s = 1,2,...Голоморфное продолжение распределения / означает, что существует голоморфная функция F в области Г^"*" конечного порядка роста, обобщенные граничные значения которой на Г совпадают с / .Таким образом, условия голоморфного продолжения распределений / в фиксированную область можно записать только в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли.Следующим рассматривается вопрос о скачке (9-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли. Ответ на него дает теорема Теорема 2.6 Пусть f € Z^(5Q), р ^ 1. Скачок д-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли равен нулю, т.е. lim / \dnF{z+) - dnF(z-)\''da{z) = 0.Кроме того, если z G 5Q — точка Лебега функции f, то lim {dnF{z+) - d^F[z-)) = 0.Теорема обобщает на случай интегрируемых функций теорему Айзенберга-Кытманова о скачке ^-нормальной производной для непрерывных функций.Как следствие дается условие голоморфного продолжения / с границы области в область.Следствие 2.4 Пусть f G £^(5Г2) и F{z) = О для точек z ^ Q, тогда интеграл F{z) для точек z Е Q дает голоморфное продолснсение f с границы области в саму область.В третьей главе рассматриваются условия плюригармонического продолжения функций с границы области.Вначале решается задача Дирихле для плюригармонических функций. Обобщаются результаты Перотти и Фикеры. Решение этой задачи дают следующие две теоремы.Теорема 3.1 Пусть область D — односвязна (т.е. первая группа гомологии области D тривиальна). Предположим, что U вещественная плюригармоническая функция конечного порядка роста в D, [С/^ ]о ее граничное значение. Тогда ([[/]о,5„Я) = О, где И = A-j-iB, А, В вещественные гармонические функции на замыкании D такие, что ImdnH = О наТ. Теорема 3.1 в случае плюригармонических функций С/, гладких вплоть до Г, была доказана в Перотти.Далее решается задача Дирихле для Соболевских пространств.Теорема 3.3 Пусть D — строго псевдовыпуклая область, если {и,дпН) — О, где и G Р'(Г) и вещественное, а Н любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1, то существует плюригармоническая функция U конечного порядка роста вблизи Г такая, что [Що = и.Введем подпространство Harmi{D) = {Н е Harm^[D) : [д^Щ^ действительно на 5-D}, здесь [дпЩй означает следующее распределение: [4^0=Eg; Следующий рассматриваемый вопрос это задача Неймана для плюригармонических функций. Ответ дают следующие теоремы.Теорема 3.4 Пусть H^(D,R) = О и dD е С^, (^ е £'{dD) — действительное. Тогда существует U G Harm^{D) такая, что = (р на dD тогда и только тогда, когда о {LP, Hi + гЩ) = О, Рко dv где Hi, Н2 любые такие, что Hi, Я2 6 HarrriQ^ и Hi + гН2 — действительная.Далее мы рассмотрим 5-задачу для форм типа (0,1) на D с граничными условиями. Пусть / это ^-замкнутая форма типа (0,1) с коэффициентами конечного порядка роста в D и пусть д это действительное распределение на dD. Мы ищем функцию и непрерывную и конечного порядка роста такую, что ди f ъ D m^Qu = д пд. dD.Предлож:ение 3.1 Пусть F G Harm^{D), [F]o — граничное значение F. Тогда [dnF]o — действительное тогда и только тогда, когда lmMF = lmF в D.Пусть N это действительный линейный оператор определенный для F £ Harm^{D) таким соотношением N(F) = Re(F) + iIm(MF).Следствие 3.1 Нагт^{В) это есть мноэюество Fix(iV) = {F ^ Harm^ : N{F) = F} Далее как частный случай рассматривается случай шара. Пусть В = В{0,1) — единичный шар в С" с центром в О, радиуса 1. Сфера S — 5(0,1) — его граница.Рассмотрим оператор NQ : Ps,t-^——Ps,t ^ > 0 , Ps,ut = 0 nycTbFixNo = {f:Nof = f}.Теорема 3.6 Вещественное распределение [U\Q G Harm^{S) имеет плюригармоническое продолж.ение в В тогда и только тогда, если оно ортогонально пространствам Vs,t в Нагт^ для любых s > О, t > 0.Дадим описание Nof в шаре.Теорема 3.7 Пусть п > 1, / — гармоническая конечного порядка роста в В, тогда . = 1 ' ^ ^ ^ где \z\ Перейдем от интегро-дифференциальных условий описания NQ К дифференциальным.Теорема 3.8 Пусть F разлагается по гармоническим многочленам F = Y^ Pg^f F G Fix(iVo) тогда и только тогда, когда s,t s,t>0 s,t>0 Как следствие дадим условие плюригармонического продолжения распределений.Следствие 3.2 Пусть и G S'{S) вещественнозначное, U — гармоническое продолоюение в В. U — плюригармоническая функция тогда и только тогда, если [дпдпЩо = 0 на S.Приведем, также, следствие теоремы 3.5 в шаре.Теорема 3.9 Пусть F G Harm?(О,) и вещественное. F — плюригармонична в Г2 тогда и только тогда, если {pF Л ^ddF)\^ = 0.

1. Айзенберг A.M., Даутов Ш.А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975. - 114 с.

2. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функции, определенной на связном куске ее границы// Матем. сб. 1991. - Т. 182. - №4. - С. 467-483.

3. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функции, определенной на связном куске ее границы, II// Матем. сб. 1993. - Т. 184. - Ж. - С. 3-14.

4. Велошапка В.К. Функции, плюригармонические на многообразии // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. - Т. 42, № 3. - С. 475-483.

5. Волков Е.А. О границах подобластей, весовых классах Гельдера и решений в этих классах уравнений Пуассона // Тр. МИАН. М.: Наука, 1972. - Т. 117. - С. 75-99.

6. Егоров Ю.В., Шубин М.А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). М.: ВИНИТИ. - 1988. - Т. 30. - 264с.

7. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992. - 240 с.

8. Шабат В.В. Введение в комплексный анализ. Т.2. М.: Наука, 1977.

9. Кытманов А.М., Ходос О.В. Об условиях голоморфного продолжения гладких C-R-функций в фиксированную область // Известия вузов. Математика.- 1999. № 6. - С. 37-40.

10. Кытманов А.М., Цих И. А. О голоморфном продолжении СЛ-гиперфункций в фиксированную область // Сиб. матем. журн. 1997. - Т. 38, №6. - С. 13191334.

11. Кытманов А.М., Цих И.А. Об устранении особенностей СД-гиперфункций, заданных на гиперповерхности // Фундамент, прикладн. мат. 2000. - Т. 6, N 2. - С. 441-454.

12. Ландкоф И.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. -516 с.

13. Романов А.В Спектральный анализ оператора Бохнера-Мартинелли в шаре Сп и его применения// Функц. анал. и прил. 1978. Т. 12, №4. - С. 86-87.

14. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. М.: Мир, 1984. - 455 с.

15. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир, 1976.

16. Хейнман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

17. Хенкин Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. - 1985. - Т. 7. - С. 23-124.

18. Чирка Е.М. Аналитическое представление CR-функций// Матем. сб. 1975.- Т. 98. №4. - С. 591-623.

19. Чирка Е.М. Потоки и некоторые их применения // Харви Р. Голоморфные цепи и их границы. М.: Мир, 1979. - С.122-158.

20. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

21. Audibert T. Opérateurs différentielles sur de С" caracterizant les restrictions des fonctions pluriharmoniques // Thesis. Univ. de Provence. 1977.

22. Audibert T. Caracterization locale par des opérateurs différentielles des restrictions a la sphere de Cn des fonctions pluriharmoniques // C.R. Acad. Sci. Paris. 1977. - T. 284. - S. 1029-1031.

23. Bedford E. The Dirichlet problem for some overdetermined systems on the unit baH in Cn // Pacific J. Math. 1974. - V. 51. - P. 19-25.

24. Bedford E., Federbush P. Pluriharmonic boundary values // Tohoku Math. J. -1974. V. 26. - P. 505-511.

25. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula // Ann. Math. 1943. - V.44. - P. 652-673.

26. Fichera G. Boundary values of analytic functions of several complex variables. Complex Analysis and Aplications (Varna, 1981), Bulgar. Acad. Sci., Sofia. -1984. P. 167-177.

27. Fichera G. Boundary problems for pluriharmonic functions. Proceedings of the Conference held in Honor of the 80th Anniversary of the Birth of Renato Calapso (Messina-Taormina, 1981), Veschi, Rome. 1981. - P. 127-152.

28. Fichera G. Boundary value problem for pluriharmonic functions. Mathematics today (Luxembourg, 1981), Gauthier-Villars, Paris. 1982. - P. 139-151.

29. Levi H. On the local character of the solution of an atypical liner differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex variables // Ann. Math. 1956. - V. 64. - P. 514-522.

30. Nag el A. and Rudin W. Moebius-invariant function spaces on balls and spheres// Duke Math. J. 1976. - V. 43. - P. 841-865.

31. Perotti A. Dirichlet problem for pluriharmonic function of several complex variables // Commun. Part. Diff. Equat. 1999. - V. 24, №3&4. - P. 707-717.

32. Perotti A. Some application of the trace condition for pluriharmonic functions in Cn // Publications Matematiques. 2000. - V. 44. - P. 449-456.

33. Straube E.J. Harmonic and analitic functions admitting a distribution boundary value // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa CL Sci. 1984,- V. 11. №4. - P. 559-591.

34. Мысливец М. С. Производные преобразования Бохнсра-Мархчшсллн. //' Тезисы международной конференции "Математические модели и методы их исследования." -Красноярск: КрасГУ, 1999. С. 155-156.

35. Мысливец М.С. О голоморфном продолжении распределений в фиксированную область // Тезисы V международного семинара-совещания "Кубатурные формулы и го: приложения". Красноярск: КрасГТУ, 1999. С. 37-38.

36. Мысливец М.С. О голоморфном продолжении гладких функций с гиперповерхности // Сборник "Комплексный алализ и дифференциальные операторы". Красноярск: КрасГУ, 2000. С. 93-96.

37. Мысливец М. С. Граничные значения шпоригармонических функций конечного порядка роста. // Тезисы IV сибирского конгресса ИНПРИМ-2000. Новосибирск: Институт математики тт. С.Л.Соболева СО РАН, 2000. С. 155-156.

38. Мысливец М. С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области // Сборник "Вопросы математического анализа". Выпуск 4. - Красноярск: КрасГТУ, 2001. С. 85-90.

39. Кытманов A.M., Мысливец М.С. О CR—распределениях, заданных на гиперповерхности /./' Известия вузов. Математика. 2001. - № 10. - С. 47-52.

40. Мыслгюец М.С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. - С. 110-113.

41. Мысливец М.С. Об условиях плюригармонического цродолжения распределений с границы области // Сборник "Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 139-149.

42. Мысливец М. С. Условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области// Материалы Межд. студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. - Новосибирск: НГУ, 2003. - С. 44.

43. Мысливец М. С. О разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций // Тезисы межд. конференции "Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 33-34.

44. Мысливец М.С. Об условиях разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. 2003. - Вып. 1. - С. 32-34.

45. Мысливец М.С. О скачке ¿^-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли // Тезисы межд. школы-конференции "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград, 2004. - С. 135-136.

46. Мысливец М.С. О скачке д-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. 2004. - Вып. 1. -С. 129-132.