О голоморфном продолжении через острие клина необщего положения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

005532935

Юрьева Евгения Викторовна

О голоморфном продолжении через острие клина необщего положения

01.01.01 — вещественный. комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 СЕН 2013

Красноярск - 2013

005532935

Работа выполнена п ФГАОУ ВІ10 «Сибирский федеральный университет*.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор Цих Август Карлович.

Официальные оппоненты: Мыслилец Симона Глебовна, доктор

физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», кафедра высшей математики 1, заведующая кафедрой;

Сафонов Константин Владимирович, доктор физико-математических наук, доцент. Сибирский государственный аэрокосмический университет им. акад. М. Ф. Решетнева, кафедра прикладной математики, заведующий кафедрой.

Ведущая организация: ФГБОУ ВГ10 «Кемеровский

государственный университет».

Защита состоится 27 сентября 2013 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» по адресу: 66004.1, г. Красноярск, пр. Свободный. 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерал ь і гого у пи вере итета.

Автореферат разослан <2^/ августа 2013 г. у

Ученый секретарь /

диссертационного совета V Д. ГІ. Федчеико

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Богатство проблематики голоморфного продолжения в многомерном комплексном анализе обнаружилось в 1906 году благодаря феномену Гартогса1 «принудительного» голоморфного продолжения: оказывается, функция голоморфная в окрестности границы компакта автоматически продолжается на сам компакт как голоморфная функция2,3; в частности, голоморфная функция п ^ 2 переменных не может иметь изолированных особых точек, — особенности таких функций обязаны выходить на границу области или простираться в бесконечность. Позднее обнаружилось, что стирание компактных особенностей для голоморфных функций трактуется свойством подходящей выпуклости областей голоморфности. Комплексный анализ породил наиболее абстрактные обобщения понятия выпуклости, такие, как голоморфная выпуклость, псевдовыпуклость, логарифмическая выпуклость. Понятие устранения особенностей стали рассматривать для пучков4 и комплексных структур'5.

Наряду с теоремой Гартогса, одним из важных примеров «принудительного» продолжения для голоморфных функций многих переменных является теорема, которая была получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 году6, в связи с обоснованием дисперсионных соотношений в квантовой теории поля. Она утверждает следующее: если функция f(z) голоморфна

1 Hartogs F. Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Functionen mehre der Veränderlichen// Sitz. Ber. Math. Pliys. Kl. Akad. Münch. 1906, 36, P. 223-242.

2 Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 2 Функции нескольких переменных.-М.: Наука, 1985.

3 Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных.-М.: Наука, 1964.

4 Grauert Н., Remmert R. Extension of Analytic Objects// Encyclopedia of Mathematical Science, Springer-Vertag, Berlin-Heidelberg, 1994, P. 351-360.

5 Чирка E. M. Голоморфные движения и униформизация голоморфных семейств римаковых поверхпостей//УМН, 2012, Т. 67:6(408), С. 125-202.

6 Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсиооных соотношений - М.: Физматгиз, 1958.

в трубчатой области 7 = М" + гГ С С", основанием которой служит двусторонний световой конус

и непрерывна в ее замыкании 7, то она голоморфно продолжается в Сп.

Острие конуса Г, лежащего в мнимом подпространстве пространства С™ — это точка у = 0, соответственно, вещественное подпространство Еп = ®.п + ¿0 выступает в качестве острия области (клина) Т.

Н. Н. Боголюбовым также была получена локальная версия этого утверждения, т. е. для ситуации, когда функция /(г) голоморфна лишь в некоторой ограниченной части трубчатой области 7. Кроме того, им была приведена теорема в случае совпадения значений функции /(г) на острие в смысле обобщенных функций, т. е. при условии, когда существует предел

В дальнейшем теорема H. Н. Боголюбова была другими методами передоказана в работе Г. Дж. Бремермана, Р. Оме и Дж. Г. Тейлора7, где она была названа «edge of the wedge» теоремой, и с тех пор эта теорема и ее различные обобщения и модификации стали называться теоремами «об острие клина». К настоящему времени известно свыше десятка доказательств теоремы «об острие клина»; подробное описание развития этой темы можно найти в статье В. С. Владимирова, В. В. Жаринова, А. Г. Сергеева 8.

Одно из наиболее значимых обобщений теоремы H. Н. Боголюбова было получено в статье С. И. Пинчука9, где вместо указанной трубчатой области над световым конусом рассматривался клин с острием на

7 Bremermann H. J., Oehme R., Taylor J. G. A proof of dispersion relations in quantized field theories// Phys. Rev. 1958, V. 109, P. 2178-2190.

8 Владимиров В. С., Жаринов В. В., Сергеев А. Г. Теорема «об острие клина» Боголюбова, ее развитие п применение//УМН 1994, Т.49:5(299), С. 47-60.

9 Пинчук С. И. Теорема Боголюбова об «острие клина» для порождающих многообразий// Ма-тем. сб. 1974, Т.94. С. 468-482.

Т-УІ >У2 + ---+?/і

вполне вещественном многообразии, ограниченный гладкими гиперповерхностями в общем положении. Условие общего положения автоматически накладывает ограничение, состоящее в том, что обе стороны клина

Проблема устранения особенностей аналитических множеств рассматривалась в работах Г. Александера, Дж. Беккера и Б. Шиффмана (формулировки, доказательства и обобщения приведены в книге Е. М. Чирки10). В этих работах изучался вопрос о продолжении аналитических множеств через вещественное подпространство К" С С и тор Тп С С". Замена К™ или Тп на замкнутое подмножество Е комплексного многообразия X приводит к следующей задаче: пусть А С X \ Е — аналитическое множество чистой размерности; при каких условиях на Е и А замыкание А множества А в X будет аналитическим подмножеством в X. Наиболее общее достижение в этом направлении, обобщающее результаты Б. Шиффмана11 и К. Фунахаси12, было получено в цитируемой выше книге Е. М. Чирки (Теорема из раздела 18.5).

Максимально приближенный к теореме Боголюбова результат о продолжении аналитических множеств через острие клина был получен в 1985 году в статье С. И. Пинчука13. Им был рассмотрен случай двустороннего клина общего положения.

В диссертационной работе под клином понимается объединение

10 Чирка Е. М. Комплексные аналитические множества. - М.:Наука, 1985.

11 Shiffman В. On the continuation of analytic sets// Math. Ann. 1970, V. 185 , 1-12.

12Funahashi K. On the extension of analytic sets// Proc. Japan Acad. 1978, V. 54, Ser. A., C. 24-26.

13Пинчук С. И. Теорема об острие клнна для аналитических множеств// Доклады АН СССР

1985, Т. 285. С. 563-566.

Рис. 1

содержат полномерный конус вблизи точек острия. Клин над световым конусом, рассмотренный в теореме Н. Н. Боголюбова, разумеется, является клином общего положения, поскольку в него можно вписать такой клин (см. Рис. 1).

К =D+ U Мп U D

где В± С С" — области, замыкания которых пересекаются по п-мерному вполне вещественному многообразию М™, называемому острием клина.

В случае, когда в К нельзя вписать клин с тем же острием Мп и образуемый об-

Рис. 2

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является получение аналогов теорем Боголюбова-Пинчука об аналитическом продолжении через острие для клиньев необщего положения. При этом предполагается исследовать несколько задач о продолжении, включая непрерывную и обобщенную версии для функций, а также версию для аналитических множеств. Особое внимание предполагается уделить поликруговым клиньям необщего положения.

Методы исследования

В работе используются методы интегральных представлений голоморфных функций, в частности, представление Вейля в аналитических полиэдрах. В обосновании аналитических продолжений большую роль играет как общая теория потоков на комплексных многообразиях, так и теория вычетных потоков. В задаче продолжения аналитических множеств широко используется фундаментальные факты теории аналитических множеств: теорема о локальном описании аналитических множеств, а также конструкция универсальных определяющих функций для них.

ластя ми с кусочно-гладкими границами, К называется клином необщего поло-(см. Рис. 2, где на схеме Рейнхарта изображен бикруговой клин с острием Г2 — двумерным тором, а граница клина изоб-

ражается касающимися кривыми).

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем:

получена непрерывная версия теоремы об аналитическом продолжении через острие гг-кругового клина необщего положения;

доказана теорема об аналитическом продолжении аналитических множеств через острие клина необщего положения;

показано, что в некоторых случаях задача о продолжении функций в клине трансформируется в задачу о продолжении пучков на семействе голоморфных кривых, параметризованных вещественным аналитическим многообразием.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе и математической физике.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

1) Красноярских городских научных семинарах по комплексному анализу и алгебраической геометрии (2005-2013, СФУ);

2) Международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2005);

3) Международной научной конференции «Геометрия и анализ на комплексных многообразиях» (Красноярск, август 2007);

4) Летней школе-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России (Ярославль, май 2011);

5) Российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, август 2012).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы с исчерпывающей полнотой в 3 статьях и 1 тезисе. Все статьи опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и списка литературы из 48 наименований, содержит 20 рисунков. Общее число страниц диссертационной работы — 61.

Содержание работы

Во введении расскрывается актуальность темы диссертационного исследования, а также кратко перечисляются основные результаты. Основной текст разбит на три главы.

Первая глава является предварительной и содержит математические сведения, теоремы и формулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе содержатся некоторые утверждения об интегральном представлении Вейля в аналитических полиэдрах.

Во втором параграфе излагаются сведения об аналитических множествах, описывается их локальная структура.

Третий параграф содержит определения потоков, вычетиых потоков, а также некоторые утверждения об их свойствах и <9-задаче.

В четвертом параграфе определяются меры Хаусдорфа.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена получению непрерывного аналога теорем Боголюбова-Пинчука о голоморфном продолжении функций в окрестность острия п-кругового клина необщего положения

АГ = £>_иТ"и£>+, (1)

где D± С (С \ 0)" — n-круговые области, замыкания которых пересекаются по тору

T" = {N = i,...,|2n| = i}. В первом параграфе формулируется и доказывается следующий основной результат главы.

Теорема 2.1. Пусть клин (1) содержит диагональ

Д = {Ы = •■■ = №

Если функции /+ и f~ голоморфны в областях D+ и D- соответственно, и непрерывно продолжаются на Тп с совпадающими значениями: f+1 = f~\Tn, mo f+ и f~ продолжаются до функции f, голоморфной в окрестности Тп.

Любопытно отметить тот факт, что диагональ Д расслаивается на семейство прямых

lu = {Z2 = «221, ...,Zn = UnZl : -I ë С \ {0}}, U G Tn~\

В доказательстве Теоремы 2.1 фактически используется непрерывное соединение функций /+ и /" на окружностях {|¿i| = 1} С 1и П Г". Поэтому утверждение этой теоремы имеет определенную связь с результатом статьи14 о голоморфном продолжении (с границы области внурь) вдоль семейства прямых.

Пример 2.1 показывает, что в Теореме 2.1 условие «клин (1) содержит диагональ Д» существенно. Рассмотрим функцию

/<*,»)-.(?).

где g(t) — функция Фредгольма15

оо

g(t) = ¿2*ktk2-

о

14 Кытманов А. М., Мыслсвец С. Г. Семейства комплексных прямых минимальной размаерности, достаточные для голоморфного продолжения функций// Снб. матем. журн. 2011, Т. 52 №2, С. 326339.

15 Mittag-Leffler G. Sur une transcendente remarquable trouvée par M. Fredholm. Extrait d'une letter de M. Mittag-Leffler à M. Poincaré// Acta math., 15 Imprimo le 21, 1881.

Известно, что g(t) голоморфна в единичном круге i < 1 (и бесконечно дифференцируема в его замыкании \t\ ^ 1), но голоморфно не продолжается ни через одну точку граничной окружности |i| = 1. Поэтому функция / голоморфна в области \z\ > |?«|, и тем более, в клине

К = {2\z\ < И2 + 1, \z\ > И},

но не продолжается ни через одну точку диагонали А = {|z| = |и;|}, в частности, через тор Т2.

Во втором параграфе приводится усиление Теоремы 2.1, состоящее в том, что диагональ Д можно заменить на (п + 1)-мерное множество, которое в логарифмической шкале изображается прямой, проходящей через точку Log(Tn) = 0. Здесь Log — отображение из (С \ 0)" в R™, действующее по формуле

Z = (zu...,zn) -> Log(z) = (In l^il, - - -, In 1-2^1).

Теорема 2.2. Пусть логарифлшческий образ Log К клина (1) содержит прямую с рациональным наклоном. Если функции /+ и f~ голоморфны в областях D+ и D- соответственно, и непрерывно продолжаются на Тп с совпадающими значениями: /+|г„ = /~|т„, то /+ и f~ продолжаются до функции f, голоморфной в окрестности Тп.

В трерьем параграфе определяется класс полиномов (зависящий от вещественных параметров), введенных физиками Ли и Янгом16, нулевые множества которых определяют двусторонние клинья. Такие полиномы задаются следующим образом.

Пусть xaß = Xßa(a ф ß,a,ß= 1,2,... ,п) действительные числа, чьи абсолютные значения не превосходят 1. Выберем в множестве индексов I = {1,...,п} произвольное подмножество а, которое может быть пустым, либо совпадать с I. Определим для каждого а с I произведение:

Ра = П Хо,Р-

а&а ßel\a

16 Lee Т. D., Yang С. N. Statistical theory of equations of state and phase transitions. II. Lattice gas and Ising model/'/Physical review, 1952, V. 87, №3, P. 410-419.

Тогда искомый полином имеет вид:

^n(zl, ■ ■ ■ 1 zn) — ^^ Paz<1 — У^

асі аС/

П =

аЄа

Га0

ГДЄ Za = П za

Предложение 2.1. Гиперповерхность V = {z G С" : "Pn{z\, ■ ■ ■ > zn) — 0} пересекает тор Тп = {|zi| = • • • = \zn\ = 1} и располагается вне клина D+ UT"U D-, где

D+ = {z: \zj\ > 1, j = l,...,n},

£>_ = {z : \zj\ <1, j = l,...,n} .

Фактически утверждение Предложения 2.1 показывает, что дополнение к гиперповерхности V на схеме Рейнхарта определяет тг-круговой клин. Этот клин удобнее рассматривать в логарифмической шкале, в которой V изображается в виде так называемой амебы17 Ay = Log(V).

Амеба комплексной кривой V = {"P2{zi, z2) = 0} при |.т12| < 1 изображена на Рис. 3.

Структуру амебы гиперповерхности

V = {iP(2) = 0} в некотором смысле отражает многогранник Ньютона 3sfj> полинома 7(z) (напомним, что многогранником Ньютона полинома 7{z) = J2 caz° называ-

аеЛсЖ"

ется выпуклая оболочка в М" множества Ä). Известно, что дополнение Е" \ Ау к Рис. 3 амебе Ау состоит из конечного числа связных

компонент Е„, открытых и выпуклых. Каждая из компонент Ev соответствует некоторой целочисленной точке V из многогранника Ньютона

17 Forsberg М., Passare М., Tsikh A. Laurent Determinants and Arragments of hyperplane Amoebas// Adv. in Math, 2000, Vol. 151, P. 4-5-70.

Ху. Более того, конус рецессии компоненты Еи (т.е. максимальный конус среди тех, сдвиги которых помещаются в Еу) совпадает с двойственным конусом к многограннику К? в точке и. Для полинома Уп(г1,..., £„) многогранник Ньютона представляет собой единичный куб [0,1]п, поэтому дополнение Мп \ А у состоит только из 2" компонент, соответсву-ющих вершинам куба. По приведенному Предложению 2.1 диагональ 1п = ■ ■ ■ = 1п\гп\ лишь в точке б пересекает амебу Л у, следовательно, она в этой точке переходит из компоненты Ец = Е(о,...,о) в компоненту Е\ = Из Теоремы 2.1 получаем такое утверждение.

Теорема 2.3. Пусть функции /б и голоморфны в областях 1^_1(£7д) и Если /о и /1 непрерывно продолжаются на

единичный тор Тп — {|21| = • ■ • = |г„| = 1} с совпадающими на нем значениями, то они голоморфно продолжаются до целой функции.

В четвертом параграфе приводится другая версия теоремы Боголюбо-ва-Пинчука для п-круговых клиньев. Обозначим через II — единичный круг {Щ < 1} комплексной плоскости С и через С и - его внешность. Они определяют п-круговой клин общего положения П = и" и (6?У)П.

Теорема 2.4. Если / б О (С" \ Г2) П С(СП \ О), то / е 0(Сп).

В заключительном параграфе второй главы показывается, что задача о продолжении функций в клине трансформируется в задачу о продолжении пучков на семействе голоморфных кривых, параметризованных вещественным аналитическим многообразием.

Анализ основных приведенных теорем позволяет сделать следующий вывод. Во этих теоремах главную роль играет множество (диагональ) Д, и фактически клинья необщего положения определяются этим множеством. Множество Д представляет собой объединение торов Т", г £ и одновременно оно расслаивается на семейство прямых {1и}, и 6 Г"-1. Это наблюдение позволяет нам рассмотреть более общую ситуацию, ко-

гда Д есть дизъюнктное объединение

д = у м;!

г>0

компактных вполне вещественных многообразий М" С С размерности п. Обозначим

Д* = |_j М".

тф 1

Предположим, что Д расслаивается на голоморфные кривые lu = {z : Xj(z,u) = 0,j = 1,... ,п - 1}, и Є Т71"1. В этих условиях справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.5. Пусть 0(Д*) — пучок ростков голоморфных функций на А*. Если / — сечение этого пучка, непрерывно продолжаемое на М", то / продолжается до голоморфного сечения пучка О(Д).

В третьей главе доказывается вариант теоремы об острие клина для аналитических множеств, определенных в клине необщего положения вида К х ш, где К = D+ U Тп U D_ — клип вида (1), а и — область в С771. Теперь острие клина К х ш — порождающее многообразие Гхи.

Переход от продолжения функций к продолжению аналитических множеств в терминах клина К х и мотивируется следующим наблюдением. Графики функций w = /±, определенных на D± в теоремах 2.1 и 2.2, представляют собой n-мерные аналитические множества в областях D± х Сш с сопадающими «предельными значениями»

Следуя статье С. И. Пинчука18, введем понятие допустимых аналитических подмножеств, адаптированное к клиньям необщего положения.

18 Пннчук С. И. Op. cit.

Т2 х С

на Тп х Сц, (см. Рис. 4).

Пусть П — область в Сп+т = С£ х С™ вида

Г2 = [/(/Г) х и,

где и (К) — окрестность двустороннего клина К. Предположим, что К содержит диагональ Д = {|гі| = • • • = |гп|}- Пусть А± — чисто п-мерные аналитические подмножества в £>± х и. Эти подмножества назовем допустимыми, если:

1) замыкания А± не пересекают К х Оси — часть границы д(К х и>),

2) А± П (Д х и) имеют конечную п-меру Хаусдорфа,

3) для любой формы <р є 2)™'° существуют пределы

Йй /

(Т1п±еХ^)ПА±

которые определяют потоки биразмерности (п, 0) на

Здесь Г" = {І^І = ••• = \г„\ = г} — семейство торов, лежащее на диагонали Д и исчерпывающее ее. Эти потоки будем называть значениями А± на Тп х ш. Совпадение значений А+ и А- на Т" х и> означает равенство потоков д°А+ = д°А-.

Теорема 3.1. Пусть клин К вида (1) содержит диагональ А и А± — допустимые чисто п-мерные аналитические множества в И± х ш с совпадающими значениями на острие Тп х и>:

д°А+ = д°А_.

Тогда замыкания А+ и образуют единое аналитическое подмножество в окрестности К х ш.

Основные результаты

1) Получена непрерывная версия теоремы об аналитическом продолжении через острие п-кругового клина необщего положения.

2) Доказана теорема об аналитическом продолжении аналитических множеств через острие клина необщего положения.

3) Показано, что в некоторых случаях задача о продолжении функций в клине трансформируется в задачу о продолжении пучков на семействе голоморфных кривых, параметризованных вещественным аналитическим многообразием.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Антипова И. А., Исаева Е. В. К теореме Боголюбова о голоморфном продолжении функций с острия в клин, Вестник КрасГУ 2005, №4. С. 154-157.

[2] Юрьева Е. В. О голоморфном продолжении в окрестность острия клина необщего положения, Сиб. матем. журн. 2011, Т. 52 №3, С. 713-719.

[3] Yurieva Е. V. On the extension of analytic sets into a neighborhood of the edge of a wedge in nongeneral position, Journal of SFU Ser. Math. & Phys., 2013, 6(3), P. 376-380.

[4] Исаева E. В. К теореме Боголюбова о голоморфном продолжении функций с острия в клин, Тез. междунар. конф. «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: НГУ 2005, С. 70.

Подписано в печать 21.08.2013. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 2939

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел./факс: 8(391)206-26-67, 206-26-49 E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru

Министерство образования и науки РФ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201362074

ЮРЬЕВА ЕВГЕНИЯ ВИКТОРОВНА

О ГОЛОМОРФНОМ ПРОДОЛЖЕНИИ ЧЕРЕЗ ОСТРИЕ КЛИНА НЕОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

Hayчиый руководитель д.(}).-м.н.. профессор Цих Август Карлович

Красноярск - 2013

Оглавление

Введение 2

1 Предварительные сведения 13

1.1 Интегральное представление Вейля в аналитических полиэдрах 13

1.2 Аналитические множества.................... 16

1.3 Потоки и 3-задача........................ 20

1.4 Меры Хаусдорфа......................... 23

2 Теорема об острие клина для непрерывных граничных значений 24

2.1 Первая теорема о голоморфном продолжении функций в окрестность острия п-кругового клина необщего положения .... 24

2.2 Поликруговой клин, логарифмический образ которого содержит прямую............................ 29

2.3 О клиньях, образуемых алгебраическими гиперповерхностями 33

2.4 Еще одна версия теоремы о продолжении через тор Тп ... 36

2.5 Трасформация задачи о продолжении функций в клине в задачу о продолжении пучков................... 41

3 Теорема об острие клина для аналитических множеств 46

3.1 Формулировка теоремы......'..............................46

3.2 Доказательство теоремы в двумерном случае..................48

3.3 Общий случай ....................................................51

Заключение 56

Литература 57

Введение

Богатство проблематики голоморфного продолжения в многомерном комплексном анализе обнаружилось в 1906 году благодаря феномену Ф. Гартогса [19] «принудительного» голоморфного продолжения: оказывается, функция голоморфная в окрестности границы компакта автоматически продолжается на сам компакт как голоморфная функция [43], [8]; в частности, голоморфная функция п ^ 2 переменных не может иметь изолированных особых точек, — особенности таких функций обязаны выходить на границу области или простираться в бесконечность. Позднее обнаружилось, что стирание компактных особенностей для голоморфных функций трактуется свойством подходящей выпуклости областей голоморфности. Комплексный анализ породил наиболее абстрактные обобщения понятия выпуклости, такие, как голоморфная выпуклость, псевдовыпуклость, логарифмическая выпуклость. Понятие устранения особенностей стали рассматривать для пучков [18] и комплексных структур [40].

Наряду с теоремой Ф. Гартогса, одним из важных примеров «принудительного» продолжения для голоморфных функций многих переменных является теорема, которая была получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 году [3], [8], в связи с обоснованием дисперсионных соотношений в квантовой теории поля. Она утверждает следующее:

Если функция /{г), голоморфна в трубчатой области Т = Мп + гГ7 основанием которой служит двусторонний световой конус

г ■у1>у1 + --- + у1,

и непрерывна в ее замыкании Т, то она голоморфно продолжается в Сп.

Острие конуса Г (см. Рис. 1), лежащего в мнимом подпространстве про-

странства Сп — это точка у = О, соответственно, вещественное подпространство Мп = Мп + ¿0 выступает в качестве острия области (клина) Т.

Уз

>

У і

Рис. 1

Рис. 2

H.H. Боголюбовым также была получена локальная версия этого утверждения, т. е. для ситуации, когда функция f(z) голоморфна лишь в некоторой ограниченной части трубчатой области Т (см. Рис. 2). Кроме того, им была приведена теорема в случае совпадения значений функции f(z) на острие в смысле обобщенных функций.

Теорема (Н. Н. Боголюбов [8]). Пусть функция f(z) голоморфна в открытом множестве 7r = {z : \z\ < R, у 6 Г}; где Г двусторонний световой конус у\ > у1 + • • • + Уп- Пусть, далее, открытое множество О С Мп содержится в шаре |х| < R. Предположим, что для любой основной функции ip из Т>(0) существует предел (определяя тем самым обобщенную функцию f G ТУ {О))

не зависящий от последовательности у —> 0, у Є Г. Тогда функция f(z) допускает голоморфное продолжение в областьТв,иО, где О — комплексная окрестность открытого множества О.

В дальнейшем теорема Н. Н. Боголюбова была другими методами передоказана в работе Г. Дж. Бремермана, Р. Оме и Дж. Г. Тейлора [6], где она была названа «edge of the wedge» теоремой, и с тех пор эта теорема и ее различные обобщения и модификации стали называться теоремами «об острие клина». К настоящему времени известно свыше десятка доказательств теоремы «об острие клина». Она приводится в работах Р. Йоста

lim

и Г. Лемана [21], Ф. Г. Дайсона [10] («без претензии на строгость») и Дж. Г. Тейлора [34]. Ее обобщения были получены Г. Эпштейном [13] и Ф. Е. Браудером [7]. Другие доказательства теоремы «об острие клина» Боголюбова, допускающие более общие граничные значения, даны М. Мо-римото [26], [27], А. Кольмом и Б. Нагелем [22], В. Рудиным [31], А. Бер-лингом [2], В. В. Жариновым [14], [15], О. Стормаком [33], и др. Подробное описание развития этой темы можно найти в статье В. С. Владимирова, В. В. Жаринова и А. Г. Сергеева [9].

Одно из наиболее значимых обобщений теоремы Боголюбова было получено в статье С. И. Пинчука [29], где вместо указанной трубчатой области над световым конусом рассматривался клин с острием на вполне вещественном многообразии, ограниченный гладкими гиперповерхностями в общем положении. Условие общего положения автоматически накладывает ограничение, состоящее в том, что обе стороны клина содержат полномерный конус вблизи точек острия (см. Рис. 3).

Рассмотрим (вещественное) подмногообразие в С71, заданное в виде

где 11 — некоторая область в Сп, а ^1(2), ... , (рк(г) — вещественно-значные функции класса в ^ 1, для которых А • • • А с1(рк ф 0 на М. Последнее свойство равносильно тому, что матрица Якоби для системы функций <¿>1(2:), .. . , срк{г) имеет максимальный ранг к ив этом случае говорят, что М является пересечением гиперповерхностей <Pj = 0 в общем положении. Число к выражает вещественную коразмерность многообразия М. Многообразие М = {г е и : 1р\(г) = ■ ■ • = щ{г) = 0} вещественной коразмерности к называется порождающим, если

Рис. 3

М = {г Є и : щ(г) = • • • = ірк(г) = 0},

д(рі(г) А • • • А д(рк{г) ф 0, г Є М.

Многообразие М называется вполне вещественным, если для любой точки а € М касательная плоскость Та{М) не содержит комплексных прямых. В этом случае, очевидно, сИтд М < п. Если сНтд М = п, то многообразие М является вполне вещественным тогда и только тогда, когда оно порождающее.

Теорема (С.И. Пинчук [29],[30]). Если порождающее многообразие

М = {г е £> : <р\{г) = • • • = (рп(г) = 0}

задается функциями класса С2 и функции /+ и голоморфные соответственно в областях

£>± = {г е £ : ±<р3(г) > 0, ^ = 1,2,..., п},

совпадающие на М в каком либо смысле (непрерывно или в смысле обобщенных граничных значений), то они продолжаются до функции f, голоморфной в окрестности М.

Условие, что многообразие М является порождающим, существенно и явно используется в доказательстве теоремы. Кроме того, следует отметить, что по самому определению порождающего многообразия через функции ц)^ рассмотренный в теореме Пинчука клин ограничен гиперповерхностями в общем положении. И это также существенно в доказательстве С. И. Пинчука, поскольку он использует известную теорему Кнезера «о вложенном ребре» (см. [43]).

В работах [1], [35], [4] и [11] изучалась возможность продолжения функций с гладкого порождающего многообразия в односторонний клин. Отметим, что во всех указанных результатах речь идет только о клиньях общего положения.

Проблема устранения особенностей аналитических множеств рассматривалась в работах Г. Александера, Дж. Беккера и Б. Шиффмана (формулировки, доказательства и обобщения приведены в книге Е. М. Чирки [41]. В этих работах изучался вопрос о продолжении аналитических множеств через вещественное подпространство М™ с Сп и тор Тп с Сп. Замена Мп или Тп на замкнутое подмножество Е комплексного многообразия X приводит к следующей задаче: пусть А с X \ Е — аналитическое множество

чистой размерности; при каких условиях на Е и А замыкание А множества А в X будет аналитическим подмножеством в X. Наиболее общее достижение в этом направлении, обобщающее результаты Б. Шиффмана [32] и К. Фунахаси [17], было получено в цитируемой выше книге Е. М. Чирки (Теорема из раздела 18.5).

Максимально приближенный к теореме Боголюбова результат о продолжении аналитических множеств через острие клина был получен в 1985 году в статье С. И. Пинчука [30]. Им был рассмотрен случай двустороннего клина общего положения.

При изучении возможности продолжения аналитических множеств, определенных в клине, возникает следующий вопрос: будет ли из совпадения предельных значений множеств А+ и на М следовать, что эти множества аналитически продолжаются в окрестность М и там совпадают? Конечно же, приведенная постановка нуждается в уточнении. Прежде всего отметим, что под аналитическим продолжением аналитического множества А С I) в область О Э I) понимается аналитическое множество А С -О, совпадающее с А на И. Далее следует определить, что понимается под «предельными значениями» множеств А± на М. Это, в свою очередь, накладывает некоторые дополнительные ограничения на А+ и А-.

В диссертационной работе под клином понимается объединение

К = £>+ и Мп и £)_,

где 1)± С С - области, замыкания которых пересекаются по п-мерному вполне вещественному многообразию Мп, называемому острием клина. В случае, когда в К нельзя вписать клин с тем же острием Мп, образуемый областями Б'± с кусочно-гладкими границами, К называется клином необщего положения (см. Рис. 4, где на схеме Рейнхарта изображен бикруговой клин с острием Т2 — двумерным тором, а граница изображается касающимися кривыми).

Целью диссертационной работы является получение аналогов теорем Боголюбова-Пинчука об аналитическом продолжении через острие для

Рис. 4

клиньев необщего положения. При этом предполагается исследовать несколько задач о продолжении, включая непрерывную и обобщенную версии для функций, а также версию для аналитических множеств. Особое внимание уделяется поликруговым клиньям необщего положения.

Перейдем к изложению содержания диссертации.

В первой главе изложены вспомогательные сведения из многомерного коплесного анализа, на которые будем опираться в доказательствах основных утверждений. В первом параграфе содержатся некоторые утверждения об интегральном представлении Вейля в аналитических полиэдрах. Во втором параграфе вводится понятие аналитических множеств, описывается их локальная структура. Третий параграф содержит определение потоков, а также некоторые утверждения об их свойствах и 5-задаче. В четвертом параграфе определяются меры Хаусдорфа.

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена получению непрерывного аналога теорем Боголюбова-Пинчука о голоморфном продолжении функций в окрестность острия п-кругового клина необщего положения

К = иги£)+, (*)

где Б± С (С\0)п — п-круговые области, замыкания которых пересекаются по тору

Тп = {|2х| = 1...., \гп\ = 1}.

В первом параграфе формулируется и доказывается один из основных результатов первой главы.

Теорема 2.1. Пусть клин (*) содержит диагональ

Если функции /+ и f~ голоморфны в областях D+ и D- соответственно, и непрерывно продолжаются наТп с совпадающими значениями: /+|т„ = /~|т„, то /+ и продолжаются до функции f, голоморфной в окрестности Тп.

Любопытно отметить тот факт, что диагональ Д расслаивается на семейство прямых

L = iz2 = u2zi, ...,zn = unzi :zi£C\ {0}}, и 6 Tn_1.

В доказательстве Теоремы 2.1 фактически используется непрерывное соединение функций /+ и на окружностях {|zi| = 1} С 1и С Д. Поэтому утверждение этой теоремы имеет определенную связь с результатом статьи [23] о голоморфном продолжении вдоль семейства прямых.

Во втором параграфе приводится усиление Теоремы 2.1, состоящее в том, что диагональ Д можно заменить на (п+1)-мерное множество, которое в логарифмической шкале изображается прямой, проходящей через точку Log(Tn) = 0. Здесь Log — отображение из (С \ 0)п в Rn, действующее по формуле

г = (zb ... ,zn) Log(z) = (ln|2:i|,... ,1п|гп|).

Теорема 2.2. Пусть логарифмический образ Log К клина (*) содержит прямую с рациональным наклоном. Если функции /+ и f~ голоморфны в областях D+ и D_ соответственно, и непрерывно продолжаются на Тп с совпадающими значениями: /+|т„ = \тп, mo f+ и продолжаются до функции f, голоморфной в окрестности Тп.

Следующий пример показывает, что в теореме условие существования прямой I С Log К является существенным.

Пример 2.1. Рассмотрим функцию

f(z,w) =

где g(t) — функция Фредгольма [25]

оо

g(t) = Y,aktk2' 0<И<1-

к=0

Рис. 5

Известно, что g(t) голоморфна в единичном круге \t\ < 1 (и бесконечно дифференцируема в его замыкании \t\ ^ 1), но голоморфно не продолжается ни через одну точку граничной окружности |£| = 1. Поэтому функция / голоморфна в области \z\ > |u>|, и тем более, в клине (см. Рис. 5)

К — {2 \z\ < И2 + 1, N > И>,

но не продолжается ни через одну точку диагонали А = {|z| = |u>|}, в частности, через тор Т2.

В третьем параграфе показывается как поликруговые клинья (общего положения) могут естественно создаваться комплексными гиперповерхностями. Рассматривается класс полиномов (введенных физиками Ли и Янгом [24] в рамках теории решетчатого газа), амебы которых определяют двусторонние клинья. Амеба полинома определяется изображением его нулевого множества в логарифмической шкале. Предложением 2.1 устанавливается уникальность амеб полиномов Ли-Янга; они имеют так называемую осинную талию, а именно, в их дополнениях имеются связные компоненты Eq и Е\, замыкания которых соприкасаются по тору Тп. Тем самым, создается клин, и как следствие полученных результатов приходим к следующему утверждению.

Теорема 2.3. Пусть функции /д и /j голоморфны в областях Log-1 (Eq) и Log-1(£?x). Если /о и f\ непрерывно продолжаются на единичный остов Тп = {|zi| = • • • = \zn\ = 1} с совпадающими на Тп значениями, то они

голоморфно продолжаются до целой функции.

В четвертом параграфе приводится другая версия теоремы Боголюбова-Пинчука для п-круговых клиньев. Обозначим через и — единичный круг {Щ < 1} комплексной плоскости С и через С11 - его внешность. Они определяют п-круговой клин общего положения П = ТГ и (си)п.

Теорема 2.4. Если / е 0{Сп \П)П С{Сп\П), то / е 0{Сп).

В заключительном параграфе второй главы показывается, что в некоторых случаях задача о продолжении функций в клине трансформируется в задачу о продолжении пучков на семействе голоморфных кривых, параметризованных вещественным аналитическим многообразием. Анализ основных приведенных теорем позволяет сделать следующий вывод. В этих теоремах главную роль играет множество (диагональ или 1^-прообраз прямой) А, и фактически клин необщего положения определяется этим множеством как объединение и Тп и , где И± — произвольные окрестности связных компонент разности А\Тп. Множество Л представляет собой объединение торов Т™, г € и одновременно оно расслаивается на семейство комплексных прямых (или однопараметрических) {1и}, и Е Тп~1. Это наблюдение позволяет нам рассмотреть более общую ситуацию, когда А представляется в виде расслоения

А = у м;

г>0

на компактные вполне вещественные многообразия М" С Сп размерности п. Обозначим

А* = у Мгп.

гф\

Предположим, что одновременно А расслаивается на голоморфные кривые:

д= Ы к,

иеТ"-1

где

1и = {г : Хз&и) = 0,,7 = 1,...,п- 1}.

В предположении, что на каждом слое zn = const каждая кривая 1и имеет по единственной точке, доказывается следующее утверждение.

Теорема 2.5. Пусть О (А*) — пучок ростков голоморфных функций на А*. Если f — сечение этого пучка, непрерывно продолжаемое на Мто f продолжается до голоморфного сечения пучка О (А).

Отметим, что это единственное утверждение в работе, в котором острие Мп не обязательно тор Тп.

В третьей главе доказывается вариант теоремы об острие клина для аналитических множеств, определенных в клине необщего положения вида К х и>, где К = D+ U Tn U D_ — клин вида (*), a ui — область в Cm. Теперь острие клина К х ш — порождающее многообразие Тп х ui.

Переход от продолжения функций к продолжению аналитических множеств в терминах клина К х и мотивируется следующим наблюдением. Графики функций w = определенных на D± в теоремах 2.1 и 2.2, представляют собой n-мерные аналитические множества в областях D± х Cw с сопадающими «предельными значениями» на Тп х Cw (см. Рис. 6).

Т2 х С

Следуя статье С. И. Пинчука [30], введем понятие допустимых аналитических подмножеств, адаптированное к клиньям необщего положения. Пусть П - область в Сп+т = х С™ вида

П - и {К) х ш,

где и (К) — окрестность двустороннего клина К = £)+ и Тп и £>_ сС"иш — ограниченная область в С™. Предположим, что К содержит диагональ А. Пусть А± — чисто п-мерные аналитические подмножества в £)± х ш. Эти подмножества назовем допустимыми, если:

1) замыкания А± не пересекают часть К х ди> границы д{К х ы);

2) А± П (А х и) имеют конечную п-меру Хаусдорфа;

3) для любой формы Е Т>п'° существуют пределы

которые определяют потоки <9°А± биразмерности (п, 0) на Г2.

Здесь Т? = {|21| = • • • = \гп\ = г} — семейство торов, лежащее на диагонали А и исчерпывающее ее. Эти потоки буд�