О функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

¿\ ¿г , у

Кузоватов Вячеслав Игоревич

О ФУНКЦИЯХ С ОДНОМЕРНЫМ свойством ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005061559

Красноярск - 2013

13 Ш 20)3

005061559

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Кытманов Александр Мечнславович

Официальные оппоненты: Чуешев Виктор Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет», кафедра математического анализа, профессор

Кривоколеско Вячеслав Павлович, кандидат физико-математических наук, доцеит, ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет», кафедра высшей математики и информатики, доцент

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН,

г. Новосибирск

Защита состоится 26 июня 2013 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан «. мая 2013 г.

Ученый секретарь /

диссертационного совета ^^/¡^ Бушуева Наталья Александровна

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Исследование аналитического продолжения непрерывных функций /, заданных на границе ограниченной области D в многомерном комплексном пространстве, со свойством одномерного голоморфного продолжения является одной из актуальных задач теории функций многих комплексных переменных. На комплексной плоскости С результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны, поэтому результаты существенно многомерны.

Начало данных исследований было положено в работе М. Л. Аграновского и Р. Е. Вальского1 1971 г., изучавшими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Они показали, что если непрерывная функция, заданная на границе шара, обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых, пересекающих шар, то она голоморфно продолжается во внутренность шара как функция многих комплексных переменных. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.

В 1977 г. Э. JI. Стаутом2, использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено А. М. Кытмановым3'4, применившим интеграл Бох-нера - Мартинеллн. Идея использования интегральных представлений (Бох-нера - Мартинелли, Коши - Фантаппье, логарифмического вычета) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых5,6. Обзор результатов, относящихся к

1 Аграновский М.Л., Вальский P.E. Максимальность инвариантных алгебр функций // Снб. матеы. журн. 1971. Т. 12. № 1. С. 3-12.

2Stout E.L. The boundary values of holomorphic functions of several complex variables // Duke Math. J. 1977. V. 44. № 1. P. 105-108.

3 Айзенберг JI.A., Южакои А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1979.

4Кытманов A.M. Интеграл Бохнера - Мартинеллн и его применения. Новосибирск: Наука. 1902.

5Кытманов A.M., Мысливец С.Г. Об одном граничном аналоге теоремы Морера // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36. № 6. С. 1350-1353.

6Kytmanov A.M., Myslivets S.G. On an application of the Bochner-Martinelli operator // Contemporary Math. 1998. V. 212. P. 133-136.

данной теме, можно найти в работе А. М. Кытманова и С. Г. Мыслнвец7.

После работы Э. Л. Стаута2, встал вопрос о нахождении классов комплексных прямых £, достаточных для голоморфного продолжения. Более узкое семейство комплексных прямых, достаточное для голоморфного продолжения, было рассмотрено М. JI. Аграновским и А. М. Семеновым8. Оно состоит из множества ÍV комплексных прямых, пересекающих некоторое открытое множество V из D. Аналогичное утверждение справедливо, если множество V лежит вне замыкания D.

Вопрос о нахождении других различных семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения, был поставлен в работе Гло-бевника и Стаута9. Ясно, что семейство комплексных прямых, проходящих через одну точку, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций. Более того, как показано в работе А. М. Кытманова и С. Г. Мысливец10, семейство всех комплексных прямых, проходящих через любое конечное число точек, лежащих на комплексной гиперплоскости, также, вообще говоря, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.

В работе А. М. Кытманова и С. Г. Мысливец10 рассмотрено множество £г всех комплексных прямых, проходящих через росток порождающего многообразия Г, лежащий вне замыкания области D. Они показали, что данное множество комплексных прямых является достаточным для того, чтобы непрерывная функция /, заданная на границе ограниченной области D С Сп со связной гладкой границей и обладающая свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль прямых из £г, голоморфно продолжалась в D как функция многих комплексных переменных. Как показано теми же авторами11, утверждение остается верным (для некоторых классов областей) в случае, если росток порождающего многообразия Г лежит в области D.

7Kytmanov A.M., Myslivets S.G. Higher-dimensional boundary analogs of the Morera theorem in problems of analytic continuation of functions // J. Math. Sei. 2004. V. 120. » 6. P. 1842-1867.

8Аграновский M.JI., Семенов A.M. Граничные аналоги теоремы Гартогса // Сиб. матем. журн. 1991. Т. 32. X« 1. С. 168-170.

9Globevnik J., Stout E.L. Boundary Morera theorems for holomorphic functions of several complex variables. // Duke Math. J. 1991. V. 64. № 3. P. 571-615.

10Кытыанов A.M., Мысливец С.Г. О семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения // Мат. заметки. 2008. Т. 83. № 4. С. 545-551.

иКытманов A.M., Мысливец С.Г. О семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций, заданных на границе области // Журнал СФУ. Сер. мат. и фнз. 2012. Т. 5. № 2. С. 213-222.

Семейства комплексных прямых, проходящих через конечное число точек, было рассмотрено в работах М. Л. Аграновского12 и Л. Баракко13. В работе М. Л. Аграновского12 рассмотрены семейства комплексных прямых, проходящих через две различные точки, лежащие в замыкании шара. Показано, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения вещественно - аналитических функций, заданных на границе шара. В работе Л. Баракко13 рассмотрено семейство комплексных прямых, проходящих через граничную точку комплексного шара. Им было показано, что данное семейство комплексных прямых является достаточным для голоморфного продолжения вещественно - аналитических функций с границы шара. А. М. Кытманов и С. Г. Мысливец14 рассмотрели семейство комплексных прямых, проходящих через конечное число точек в шаре, не лежащих на комплексной гиперплоскости в Сп. Ими показано, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций с границы шара. Другие семейства комплексных прямых изучались Глобев-ником15 и приведены в его работе.

Таким образом, в работах Р. Е. Вальского, Э. Л. Стаута, Дж. Глобев-ника, А. М. Семенова, М. Л. Аграновского, Д. Говекар, А. М. Кытманова, С. Г. Мысливец, Л. Баракко (1990-2012 гг.) исследованы различные семейства £ комплексных прямых и других классов областей, достаточные для голоморфного продолжения функций из различных классов. Тем не менее, вопрос о нахождении других достаточных семейств комплексных прямых остается актуальной задачей многомерного комплексного анализа.

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является исследование функций с одномерным свойством голоморфного продолжения и нахождение семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций из

12Agranovsky M. Analog of a theorem of Forelli for boundary values of holomorphic functions on the unit ball of C" // Journal d'Analyse Mathématique. 2011. V. 113. № 1. P. 293-304.

13Baracco L. Holomorphic extension from the sphere to the ball // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2012. V. 388. № 2. P. 7C0-7G2.

14Кытмапов A.M., Мысливец С.Г. Голоморфное продолжение функций вдоль конечных семейств комплексных прямых в шаре // Журнал СФУ. Сер. мат. и физ. 2012. Т. 5. № 4. С. 547-557.

'"Globevnik J. Small families of complex lines for testing holomorphic extendibility // Amer. J. of Math. 2012. V. 134. » G. P. 1473-1490.

различных классов с границы ограниченных областей в многомерном комплексном пространстве.

Методика исследования

В основу исследования положены методы многомерного комплексного анализа, в частности, использование интегрального представления Бохнера-Мартинелли и его граничных свойств, а также теоремы и приемы классического вещественного анализа.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем:

получен граничный аналог теоремы Форелли для вещественно - аналитических функций;

доказан аналог теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмгольца; показано, что семейство комплексных прямых, проходящих через росток комплексной гиперповерхности, является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Теоретическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, при изучении граничных свойств голоморфных функций многих комплексных переменных, вопросов аналитического продолжения функций, в исследовании уравнения Гельмгольца.

Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Степень достоверности и апробация работы

Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими доказательствами.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях: международной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий» (Красноярск, Россия, 2008); региональных студенческих конференциях по математике (Красноярск, Россия, 2009, 2010); международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных» (Красноярск, Россия, 2009); международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, Россия, 2009); международных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, Россия, 2010, 2012); молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 2010); международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 2011); международной школе - конференции по геометрии и анализу (Кемерово, Россия, 2011); VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, Россия, 2011); IV российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, Россия, 2012);

Результаты работы неоднократно докладывались на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2008-2013 г. г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20], из них 3 работы [1-3] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 11 публикаций [4-14] в материалах конференций, 6 публикаций [15-20] являются тезисами конференций.

Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В соавторстве выполнены две работы [1, 2]. В работе [2] вклады авторов равнозначны. Из работы [1] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 53 наименовании, содержит 1 рисунок. Общее число страниц диссертационной работы — 109.

Содержание работы

Первая глава является предварительной и содержит математические сведения, теоремы и формулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из двух параграфов.

Первый параграф содержит некоторые утверждения, связанные с голоморфным продолжением функций из различных классов с границы областей, рассмотрен интеграл Бохнера-Мартинелли и его свойства.

Во втором параграфе рассмотрены свойства гармонических функций и решений уравнения Гельмгольца, а также принцип симметрии для гармонических функций и для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца вне шара. Приведен также ряд известных результатов о задаче Гурса и уравнении Вольтерра.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена получению граничного аналога теоремы Форелли для вещественно - аналитических функций. Результаты этой главы содержатся в работах [3, 10-14].

Рассмотрим п - мерное комплексное пространство С71, точки которого обозначим через ю = (юь...,ш„),г=(21,...,2„)ит.д. Пусть И - ограниченная строго выпуклая область в С" (га > 1) с вещественно - аналитической границей. В этом случае И может задаваться функцией р{ги\,.. .,гип), определяющей область Б, т. е. Б = {ю | р (ад) < 0}, дгайр = ■ • • - д^ Ф 0 на дО, и удовлетворяющей условию

Ё К)«. - Ё и +2РА (-0) ^ > °

ги° ев.

Определяющая функция р является вещественно - аналитической в некоторой окрестности замыкания области В.

Дадим следующее определение. Функция / 6 С {дБ) обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексной прямой I (I П<9£> ф 0), если существует функция /г со следующими свойствами

a) /г€с(опг),

b) /; = / на множестве еШ П I,

c) функция /; голоморфна во внутренних (относительно топологии I) точках множества И Г\1.

Обозначим также через £и.0 - семейство комплексных прямых, проходящих через точку и)о, и/о & дБ, Сю обозначает класс вещественно - аналитических функций. Основным результатом второй главы является следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть функция / £ С'" (дП) обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из £№о, пересекающих И, тогда функция / голоморфно продолжается в И.

Второй параграф содержит первый этап доказательства теоремы 2.1 в двумерном случае и утверждение о виде сечения области О с С2 комплексной прямой.

Сделаем сдвиг, чтобы точка и<о 6 д£> перешла в 0 и выполним унитарное преобразование координат гю = т (г) так, чтобы в некоторой окрестности граничной точки 0 после перехода от комплексных координат к вещественным, т.е. представляя = Х\ + 1X2, 22 = 23 + ¿24, функция, задающая границу области, по теореме о неявной функции приняла бы вид

где функция р вещественно - аналитическая в окрестности нуля и удовлетворяет условиям ф (0) = 0, (0) = 0, к = 1,2,3.

ОХк

Раскладывая в выражении (1) функцию ср(х 1,22,23) в окрестности граничной точки 0 в ряд Тейлора, ввиду условий на функцию ¡р будем иметь

телыю определенная (ввиду строгой выпуклости функции р) квадратичная форма.

В дальнейшем мы будем рассматривать сечения Оа (т) области £)

проходящие в направлении вектора (а, 1) € С2. Область Д0 изменения параметра т есть область на комплексной плоскости с вещественно - аналитической границей (в окрестности граничной точки 0). Пусть т = и + гг;, а = а^ + гаг- Тогда

= Ч> (2Ь22,23)

(1)

XI =

иа\ — уа2

~:-! 72 ' х2 =

1 + \а\

иа2 + уа\

' ; [2 ' =

1 + \а\

1 + Н2' Х*~1 + \а\2,

и V

Записав выражение для квадратичной формы Т(хх,х2,х3), подставляя найденные значения для х4 и Т(х1,х2,х3) в уравнение (2) и приводя подобные, выбирая |а| достаточно большим, т. е. заменяя а на ¿а с |а| = 1, < £ 1 и переходя к пределу при £ —>■ +оо, получим

и2 (спа1 + с22а\ + сиа^) + 2иу (-сцаха2 + с22а1а2 + -~а\ - -уа:>) + ^ + у2 (сцо| + с22а\ - с12а1а2) - V = 0.

Теперь мы можем сформулировать основное утверждение второго параграфа.

Предложение 2.1. Областью Д изменения параметра т в предельнолг случае, когда \а\ —У +оо, является внутренность эллипса. При этом соотношение (3) задает границу дА.

В третьем параграфе приведено доказательство теоремы 2.1 в двумерном случае при условии, что на область Б наложены некоторые дополнительные условия. А именно, для всех точек границы области £> выполнено условие

иу IV и и н+(°е- иу ъ н = о.

\дю2 у ') диз\к ' ди)1 у ' ди)2 ' дю1ди)2 \дии1 ) ди>%

(4)

Замечание 2.1. Если точка и)о фиксируется заранее, то выполнение условия (4) нужно требовать только в точке и>о-

Следует отметить, что в случае выполнения условия (4) областью А изменения параметра т в предельном случае, когда |а| —> +оо, является внутренность круга.

Четвертый параграф посвящен продолжению доказательства теоремы 2.1 в двумерном случае и вычислению моментных интегралов. Введем необходимые обозначения.

2 2 6ц = сца! + с22а2 + С12ага2,

, °12 2 С12л2 »12 = —спа1а2 + с22а\а2 + — аг--—а2,

2 2 Ъ22 = Сца2 + с22а1 — С12а\а2.

Угол а определяется из соотношения

сое 2а _ 6ц — Ь22 эш 2 а 2&12

Коэффициенты

т/ 1 • 1

Ьх = — -вит, о2 = — -сое а,

Си + с22 - У(сц - С22)2 + Сц + С22 + у (сп - С22)2 + С?

г2

_ - - у - - - , _ - - у — - -

~ -2-' А2 ~ 2 '

Используя вещественную - аналитичность функции р (21, 22, 22), показывается, что / (21, 22, ¡1, г2) - вещественно - аналитическая функция, которая разлагается в ряд по переменным 21,22,51, сходящийся в окрестности граничной точки (0,0). А именно,

+оо

/(21,21,22) = Е Е Ч^^Ф™ на <9£>,

¡=0 к+к+2т=1

где мы переобозначили индекс суммирования, давая вес 2 по 22.

Выбирая |а| достаточно большим, будем рассматривать моменты О (а, -/V) на сечениях (т):

(а,Л0= У гЛГ/(£>а(г))^г =

дАа

/+оо

I —Г> и 1 1. I --I

+00 / \ Н

Т

9йа ыон+к+2ш=1 ^ + VI + И2"; и + |а|2

йт.

Пусть /0 - наименьшая весовая степень со свойством, что Ь^к,т ф 0 для к > 0 и ко - наибольшая степень по 21, для которой это выполнено. Имеем, что, в силу условия теоремы 2.1 и теоремы о моментных условиях (необходимом и достаточном условии, чтобы интеграл типа Коши был интегралом Ко-ши), С(а, ./V) = 0 для всех N и а, в частности, для ¿а с |а| = 1 и УЬ > 0. Рассмотрим предел

Ит СУ На, ЛО Г =

ф +оо

=Лйо /г ^ £ Е Ьк'к>т (г

+ \Ьа\ / \1 4- \Ьа\'

уд 1=>п • ■ II II

га -¡7 Г°<1т =

Е \к,та'1ак I т"тнткттс1т = 0,

И.+к+2тЫ0 дд

и

где дА определяется соотношением (3).

Теперь сформулируем основной результат четвертого параграфа. Предложение 2.2.

// , \ ЛГ+Л+т+£+1

тМтИтктт йт = егп{М+Н+т+1-к) 2т (-)

ОД

Х(-1У

,N+h+m+k

1 1 V

N+h+m+1

'Л

а1+а2+аз+сч = =N+h+m+k+1

к у fc \

лАГ

( Ь[ _ . „2

iV+ft+m+fc+l X

Ч «.+«4

%/Al л/^2

bi . b'2 1 : + г- 2

x £

-rv,= 1 V"L/

N + h + mV iV + h + m I ai-1 Д dj-l / у «1 Д q2 }

Пятый параграф посвящен преобразованию моментных равенств

N + h + m\( N + h + m^

J2 bh,k,mahak J -

■NThfkTm dr = 0.

h+k+2m=l0 дд

В дальнейшем выберем N = ко — 1 и обозначим

лАг ~ \Ai Х = 0<х<L

Для hum выполнены соотношения

h = 2r -10- 3к0, m = lo + ko — г, h + rn = г — 2fc0,

а для индексов суммирования справедливы следующие ограничения

от < г - Q'2 < г — fco, »з < ко, а4 < Ло,

где г - некоторая степень однородности.

Основным результатом пятого параграфа является Предложение 2.3. Справедливо равенство

bh,k0,m у:

/fcoVM

ir-ko-l\ir-ko-

\ /V Q2

г - ко - 1 , "1-1 ,

г - к0 - 1 . «2-1 ,

(5)

(6) (7)

где переменная х определена формулой (5), для hum, выполнены соотношения (G), а индексы суммирования ai,...,a4 удовлетворяют ограничениям (7).

Шестой параграф посвящен завершению доказательства теоремы 2.1 в двумерном случае. В нем показывается, что коэффициенты bh,k0,m = 0 для h + ко + 2т = /о- Таким образом, для к > 1, мы имеем bhtk,m = 0 для любой весовой степени I.

В этом параграфе вводится функция

9(х) = - £

кЛ к° 1 „сч-ъ+ко

, о,'! 1\а 4

r-k0-l\(r-k0-l , ai-1 )\ а2 -1 .

_ (г - fco - 1Vr - fco -

v ai Л >

Расписывая разность произведений биномиальных коэффициентов, входящих в выражение для g (ж), получим

fco У fco V r-fcoVr- fco

«3 Л 04/1 Ol Д .

9(x)= X)

£*1+а2+Оз+а4=г

Введем p = a\ — сц + fco, 0 < p < r. Тогда

9(*)= E

1 -

a 1 + (*2

r - fc0

ж'

ai-Qi+fro

fco

о ^ I \a3 + fco -Pj

Г ~ fco V Г ~ fc0

, <*1 Д «2 ,

1 -

Qi + «2

Г - fc0

Таким образом, мы можем записать д (х) в виде д (х) = ^ срхр, где коэффи-

р=0

циенты ср имеют вид

гг^+ог+оз^+р-А'о

fcoV fco Vr-fcoVr-fco

a3 Aai + fc0-p/l «I Д ot2 j

1 -

Ql + C*2

Г - fc0

Предложение 2.4. Коэффициенты Ср и симметричный ему коэффициент сг^.р многочлена д (х) связаны между собой соотношением

Ср 4" Сг—р = О,

т. е. единица является корнем многочлена д (х). Замечание 2.2. В случае, если г = 2^', то сj = 0.

Предложение 2.5. Многочлен д (х) имеет единственный положительный корень х = 1.

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена получению некоторых свойств решений уравнения Гельмгольца. Результаты этой главы содержатся в работах [2, 4-6, 8, 9]. В основе исследования лежит теория интегральных уравнений и исследования сильно эллиптических операторов. Результаты третьей главы используются в четвертой главе.

Пусть Шк — к - мерное вещественное пространство, х = (х\,... ,хк), х' = (х\,..., 3^.-1). Рассмотрим к - мерное уравнение Гельмгольца для функции /

А/ + А/ = О,

л Л ¿>2

где постоянная Л € М, а А - оператор Лапласа, А = 2_

г=1 1

Пусть £) С К* - область, симметричная относительно М*®-1, т. е. если (х',хк) е А то (х',ук) е А где ук е [-хк,хк], к*-1 = -М хл = 0}. Введем следующие обозначения: Г = О ПК1"1, А" = {(х',хк) & Б\хк> 0}, К* = {х | хк > 0}. Напомним, что Сш - пространство вещественно - аналитических функций.

Теперь мы можем сформулировать основное утверждение первого параграфа.

Теорема 3.1. Пусть функция / € С™ (Б+) П С(£>+иГ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца А/ + А/ = 0 в "верхней половине" Р+ области В и / = 0 па Г, тогда она аналитически продолжается в Б и удовлетворяет уравнению Гельмгольца во всей области £>.

Второй параграф посвящен получению аналога теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмгольца. Основным утверждением второго параграфа является следующая

Теорема 3.2. Пусть функция /еС" ПС (К+и М*1-1) удовлетворяет уравнению Гельмгольца А/ + А/ = 0 с параметром А<0еК+ы/ = 0на

к Если

к*

/

/(*) 2

1 + \х\п

¿х < N для некоторых констант N > 0, п > 0, то

/ = 0.

Четвертая глава посвящена изучению семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения непрерывных функций, и состоит из двух параграфов. Результаты этой главы содержатся в работах [1, 7].

Рассматривается комплексная гиперповерхность, не пересекающая Б (черта над множеством Б означает замыкание множества Б), и ее росток О.. Делая сдвиг и унитарное преобразование, можно считать, что 0 £ П, 0 ^ О и в некоторой окрестности IV С (Сп\Б) точки 0 комплексная гиперповерхность имеет вид

П = {г € IV : гп = <р (г1), г' = ..., 2„_1)}, где <р - голоморфная функция в окрестности нуля в Сп_1 и <р(0) = О, 1^(0) = 0, 5 = 1,...,п-1.

Пусть Б - ограниченная область в С" (п > 1) со связной гладкой границей дБ (класса С2). Рассмотрим росток комплексной гиперповерхности, лежащей вне Б, - семейство комплексных прямых, проходящих через точки из

В первом параграфе формулируется основной результат четвертой главы. Он состоит в следующем.

Теорема 4.1. Пусть функция / £ С {дБ) обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из £п, пересекающих Б, тогда функция / голоморфно продолжается в Б, т. е. существует функция Р £ С (£>), голоморфная в Б и совпадающая с функцией / на границе дБ.

Во втором параграфе приведено доказательство основной теоремы главы 4.

Основные результаты

1. Получен граничный аналог теоремы Форелли для вещественно - аналитических функций, т. е. показано, что всякая вещественно - аналитическая функция, заданная на границе ограниченной строго выпуклой области в многомерном комплексном пространстве и обладающая свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль семейства комплексных прямых, проходящих через некоторую граничную точку и пересекающих область, голоморфно продолжается в эту область как функция многих комплексных переменных.

2. Доказан аналог теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмголь-ца, заключающийся в том, что функция, удовлетворяющая уравнению Гельм-гольца (с отрицательным параметром) в верхнем полупространстве, имеющая там рост не выше, чем степенной, и равная нулю на гиперплоскости есть

тождественный ноль во всем пространстве.

3. Показано, что семейство комплексных прямых, проходящих через росток комплексной гиперповерхности, является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.

Значительная часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-00007-а); Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ-7347.2010.1); программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/4620).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Мечиславовичу Кытманову за сотрудничество, внимание и поддержку на всех этапах выполнения данной работы.

Публикации по теме диссертации Статьи в журналах из перечня ВАК

[1] Кытманов A.M., Мысливец С.Г., Кузоватов В.И. Семейства комплексных прямых минимальной размерности, достаточные для голоморфного продолжения функций // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52. JV5 2. С. 326339.

[2] Кузоватов В.И., Кытманов A.M. Принцип симметрии для решений уравнения Гельмгольца в полупространстве // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2012. Т. 12. № 1. С. 102-113.

[3] Кузоватов В.И. О некоторых семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций // Уфимск. матем. журн. 2012. Т. 4. № 1. С. 107-121.

Материалы конференций

[4] Кузоватов В.И. О принципе отражения для решений уравнения Гельм-

гольца в полупространстве // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. 2009. Т. 39. С. 275-276.

[5] Кузоватов В.И. Принцип симметрии для решений уравнения Гельм-гольца // Труды Х1Л1 краевой научной студенческой конференции по математике и компьютерным наукам. Красноярск: СФУ. 2009. С. 32-33.

[6] Кузоватов В.И. Об аналитическом продолжении функций, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца в полупространстве // Материалы ХЬУШ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. 2010. С. 86.

[7] Кузоватов В.И. О функциях со свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль некоторого семейства комплексных прямых // Труды ХЫП краевой научной студенческой конференции по математике и компьютерным наукам. Красноярск: СФУ. 2010. С. 66-70.

[8] Кузоватов В.И. Принцип симметрии для функций, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2010». [Электронный ресурс] М.: МАКС Пресс. 2010.

[9] Кузоватов В.И. Аналог теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмгольца // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. 2010. Т. 40. С. 200.

[10] Кузоватов В.И. О голоморфном продолжении вещественно - аналитических функций в двумерном случае / / Материалы ХЫХ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. 2011. С. 104.

[11] Кузоватов В.И. О граничной теореме Форелли // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011». М.: МГУ имени М.В.Ломоносова. 2011.

[12] Кузоватов В.И. О голоморфном продолжении функций вдоль семейств комплексных прямых // Материалы 50-й юбилейной международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. 2012. С. 94.

[13] Кузоватов В.И. О некоторых условиях голоморфного продолжения функций с границы области // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2012». М.: МГУ имени М. В. Ломоносова. 2012.

[14] Кузоватов В.И. Граничный аналог теоремы Форелли для вещественно - аналитических функций // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. 2012. Т. 45. С. 117.

Тезисы конференций

[15] Кузоватов В.И. О функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения // Тез. межд. конф. «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008». Красноярск: СФУ. 2008. С. 25.

[16] Кузоватов В.И. Некоторые семейства комплексных прямых, достаточные для голоморфного продолжения // Тез. межд. конф. «Аналитические функции многих комплексных переменных». Красноярск: СФУ. 2009. С. 23.

[17] Кузоватов В.И. Об условиях голоморфного продолжения функций с границы области // Тез. межд. конф. «Современные проблемы анализа и геометрии». Новосибирск: Институт математики СО РАН. 2009. С. 63.

[18] Кузоватов В.И. О семействах комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения // Тез. докладов Международной школы -конференции по геометрии и анализу. [Электронный ресурс] Кемерово: КемГУ. 2011.

[19] Кузоватов В.И. О некоторых условиях голоморфного продолжения функций в Сп // VI Уфимская межд. конф. Уфа: Институт математики с выч. центром УНЦ РАН. 2011. С. 107-108.

[20] Кузоватов В.И. Граничный вариант теоремы Форелли // Тез. докладов Четвертого российско - армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам. Красноярск: СФУ. 2012. С. 39-41.

Подписано в печать 10.05.2013. Печать плоская. Формат С0х84/1С Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,05. Тираж 110 экз. Заказ 19С5

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета СС0041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел./факс: 8(391)20G-2G-G7, 20G-2G-49 E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201360434

Кузоватов Вячеслав Игоревич

О ФУНКЦИЯХ С ОДНОМЕРНЫМ свойством ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физ.-мат. наук, профессор

Кытманов Александр Мечиславович

Красноярск - 2013

Оглавление

Введение 4

1. Предварительные сведения 17

1. Некоторые результаты, связанные с голоморфным продолжением функций 17

2. Уравнение Гельмгольца............................................................21

2. Граничный аналог теоремы Форелли 25

3. Многомерный случай..............................................................25

4. Вид сечений области комплексной прямой......................................27

5. Доказательство теоремы 2.1 в случае некоторого

ограничения на область............................................................34

6. Вычисление моментных интегралов..............................................44

7. Преобразование моментных условий ............................................58

8. Завершение доказательства теоремы 2.1 в

двумерном случае..................................................................61

3. Некоторые свойства решений уравнения Гельмгольца 69

9. Аналитическое продолжение решения уравнения

Гельмгольца........................................................................69

10. Аналог теоремы Лиувилля........................................................79

4. Некоторые семейства комплексных прямых, достаточные для голоморфного продолжения 85

11. Формулировка теоремы и некоторое

вспомогательное утверждение....................................................85

12. Доказательство теоремы 4.1......................................................91

Заключение Список литературы

Введение

Исследование аналитического продолжения непрерывных функций /, заданных на границе ограниченной области D в многомерном комплексном пространстве, со свойством одномерного голоморфного продолжения является одной из актуальных задач теории функций многих комплексных переменных. На комплексной плоскости С результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны, поэтому результаты существенно многомерны.

Начало данных исследований было положено в работе М. J1. Аграновского и Р. Е. Вальского 1971 г. в [1], изучившими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Они показали, что если непрерывная функция, заданная на границе шара, обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых, пересекающих шар, то она голоморфно продолжается во внутренность шара как функция многих комплексных переменных. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.

В 1977 г. Э. J1. Стаутом в [33], использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено А. М. Кытмановым в [3], [12], применившим интеграл Бохнера - Мартинелли. Идея использования интегральных представлений (Бохнера - Мартинелли, Коши - Фантаппье, логарифмического вычета) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых [16], [31]. Обзор результатов, относящихся к данной теме, можно найти в [32].

После работы [33] Э. Л. Стаута, встал вопрос о нахождении классов комплексных прямых £, достаточных для голоморфного продолжения. Более узкое семейство комплексных прямых, достаточное для голоморфного продолжения, было рассмотрено М. J1. Аграновским и А. М. Семеновым [2]. Оно состоит из множества 2,у комплексных

прямых, пересекающих некоторое открытое множество V из В. Аналогичное утверждение справедливо, если множество V лежит вне замыкания £).

Вопрос о нахождении других различных семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения, был поставлен в [30]. Ясно, что семейство комплексных прямых, проходящих через одну точку, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций. Более того, как показано в работе [14], семейство всех комплексных прямых, проходящих через любое конечное число точек, лежащих на комплексной гиперплоскости, также, вообще говоря, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.

В работе [14] А. М. Кытманова и С. Г. Мысливец рассмотрено множество £р всех комплексных прямых, проходящих через росток порождающего многообразия Г, лежащий вне замыкания области Б. Они показали, что данное множество комплексных прямых является достаточным для того, чтобы непрерывная функция /, заданная на границе ограниченной области Б С С™ со связной гладкой границей и обладающая свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль прямых из £г, голоморфно продолжалась в £) как функция многих комплексных переменных. Как показано теми же авторами в работе [15], утверждение остается верным (для некоторых классов областей) в случае, если росток порождающего многообразия Г лежит в области £>.

Семейства комплексных прямых, проходящих через конечное число точек, было рассмотрено в работах [25], [26]. В работе [25] М. Л. Аграновского рассмотрены семейства комплексных прямых, проходящих через две различные точки, лежащие в замыкании шара. Показано, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения вещественно - аналитических функций, заданных на границе шара. В работе [26] Л. Баракко рассмотрено семейство комплексных прямых, проходящих через граничную точку комплексного шара. Им было показано, что данное семейство комплексных прямых является достаточным для голоморфного продолжения вещественно -аналитических функций с границы шара. В работе [13] А. М. Кытманов и С. Г. Мысливец рассмотрели семейство комплексных прямых, проходящих через конечное число точек в шаре, не лежащих на комплексной гиперплоскости в С". Показывается, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций с границы шара. Различные другие семейства комплексных прямых изучались Глобев-ником и приведены в работе [29].

Таким образом, в работах Р. Е. Вальского, Э. Л. Стаута, Дж. Глобевника, А. М. Семенова, М. Л. Аграновского, Д. Говекар, А. М. Кытманова, С. Г. Мысливец, Л. Барак-ко (1990-2012 г. г.) исследованы различные семейства £ комплексных прямых и других классов областей, достаточные для голоморфного продолжения функций из различных классов. Тем не менее вопрос о нахождении других достаточных семейств комплексных прямых остается актуальной задачей многомерного комплексного анализа.

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является исследование функций с одномерным свойством голоморфного продолжения и нахождение семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций из различных классов с границы ограниченных областей в многомерном комплексном пространстве.

Методика исследования

В основу исследования положены методы многомерного комплексного анализа, а также теоремы и приемы классического вещественного анализа. Одним из подходов к исследованию можно выделить идею использования интегрального представления Бохнера-Мартинелли и его граничных свойств.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем.

1. Получен граничный аналог теоремы Форелли для вещественно - аналитических функций.

2. Доказан аналог теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмгольца.

3. Показано, что семейство комплексных прямых, проходящих через росток комплексной гиперповерхности, является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Теоретическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, в исследовании граничных свойств голоморфных функций многих комплексных переменных, вопросов аналитического продолжения функций, в исследовании уравнения Гельмгольца.

Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Степень достоверности и апробация работы

Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими доказательствами.

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях: международной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий» (Красноярск, Россия, 2008); региональных студенческих конференциях по математике (Красноярск, Россия, 2009, 2010); международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных» (Красноярск, Россия, 2009); международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, Россия, 2009); международных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, Россия, 2010, 2012); молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 2010); международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 2011); международной школе - конференции по геометрии и анализу (Кемерово, Россия, 2011); VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, Россия, 2011); IV российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, Россия, 2012);

Результаты работы неоднократно докладывались на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2008-2013 г. г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34-53], из них 3 работы [34-36] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 11 публикаций [37-47] в материалах конференций, 6 публикаций [48-53] являются тезисами конференций.

Личный вклад автора

Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В соавторстве выполнены две работы [34, 35]. В работе [35] вклады авторов равнозначны. Из работы [34] взяты результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 53 наименований, содержит 1 рисунок. Общее число страниц диссертационной работы — 109.

Содержание работы

Первая глава является предварительной и содержит математические сведения, теоремы и формулы, на которых основана диссертационная работа. Глава состоит из двух параграфов.

Первый параграф содержит некоторые утверждения, связанные с голоморфным продолжением функций из различных классов с границы областей, рассмотрен интеграл Бохнера-Мартинелли и его свойства.

Во втором параграфе рассмотрены свойства гармонических функций и решений уравнения Гельмгольца, а также принцип симметрии для гармонических функций и для функций, являющихся решениями уравнения Гельмгольца вне шара. Приведен также ряд известных результатов о задаче Гурса и уравнении Вольтерра.

Вторая глава состоит из шести параграфов и посвящена получению граничного аналога теоремы Форелли для вещественно - аналитических функций.

Рассмотрим п - мерное комплексное пространство С™, точки которого обозначим через ии = (шь . . . , го„), г = ... , гп) и т. д. Пусть И - ограниченная строго выпуклая

область в С" (п > 1) с вещественно - аналитической границей. В этом случае Б может задаваться функцией р(ъи 1,. . ., ги„), определяющей область Б, т. е. Б = {го | р (го) < 0}, дгайр = (.. •, -¿г— ) ф 0 на дБ, и удовлетворяющей условию

£ А « + £ А ^ «> М « >0

ф 0, е Б.

Определяющая функция р является вещественно - аналитической в некоторой окрестности замыкания области Б.

Дадим следующее определение. Функция / 6 С (дБ) обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексной прямой I (I П дБ ф 0), если существует функция /; со следующими свойствами

a) /,ес(5пг),

b) /г = / на множестве дБ П I,

c) функция /; голоморфна во внутренних (относительно топологии I) точках множества Оп1.

Обозначим также через - семейство комплексных прямых, проходящих через точку гио, и>о Е дБ, С™ обозначает класс вещественно - аналитических функций. Основным результатом второй главы является следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть функция f € Сш (дБ) обладает одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых из £шо, пересекающих Б, тогда функция / голоморфно продолжается в Б.

Второй параграф содержит первый этап доказательства теоремы 2.1 в двумерном случае и утверждение о виде сечения области Б С С2 комплексной прямой.

Сделаем сдвиг, чтобы точка го0 € дБ перешла в 0 и выполним унитарное преобразование координат го = го (г) так, чтобы в некоторой окрестности граничной точки О после перехода от комплексных координат к вещественным, т.е. представляя г\ = х\-\-1х2, 22 — + IXфункция, задающая границу области, по теореме о неявной функции приняла бы вид

х4 = <р(х1,х2,х3), (0.1)

где функция 1р вещественно - аналитическая в окрестности нуля и удовлетворяет условиям <р (0) = 0, (0) = 0, к = 1, 2,3.

ох к

Раскладывая в выражении (0.1) функцию 1р(х\,х2,х3) в окрестности граничной точки 0 в ряд Тейлора, ввиду условий на функцию цз будем иметь

х4 = Т(хх, х2,х3) + о (к'|2) , \А -> 0, х' = (хх,х2,х3), (0.2)

где Т(х 1,х2,х3) = спх\ + с22х\ + с33х\ + С12Х1Х2 + с^х^ху, + с23х2хъ - положительно определенная (ввиду строгой выпуклости функции р) квадратичная форма. В дальнейшем мы будем рассматривать сечения Иа (т) области Б

Ва (Т) = ( 1 |2°' , ,Т| |2 ) ' Г £ Аа, \1 + И 1 + |а| )

проходящие в направлении вектора (а, 1) € С2. Область Да изменения параметра т есть область на комплексной плоскости с вещественно - аналитической границей (в окрестности граничной точки 0).

Пусть г = и + гу, а = а\ + га2. Тогда

иа\ — иа2 иа2 + уа\ и V

= , . I ,2 > Х2 = л , I |2 ' Хз = ■> ,1 |2> Ж4 = л .1 |2 ■

1 + |а| 1 + |а| 1 + |а| 1 + |а|

Записав выражение для квадратичной формы Т (хх,х2, х3), подставляя найденные значения для 14 и Т (х\,х2, х3) в уравнение (0.2) и приводя подобные, выбирая |а| достаточно большим, т. е. заменяя а на Ьа с |а| = 1, £ 6 К и переходя к пределу при £ —» +оо, получим

и2 (спа1 + с22а\ + С12аха2) + 2иь (-спа1а2 + с22а1й2 + ^а2 - —а^ ) +

4 2 2 У (о.З)

+ V2 (спа\ + с22а2 — С\2а\а2) — V = 0.

Теперь мы можем сформулировать основное утверждение второго параграфа. Предложение 2.1. Областью Д изменения параметра т в предельном случае, когда |а| +оо; является внутренность эллипса. При этом соотношение (0.3) задает границу дА.

В третьем параграфе приведено доказательство теоремы 2.1 в двумерном случае при условии, что на область £> наложены некоторые дополнительные условия. А именно, пусть для всех точек границы области И выполнено условие

ц2 § <»> - ^ и й м «+<4 а<•»>- °(а4)

Замечание 2.1. Если точка и>о фиксируется заранее, то выполнение условия (0.4) нужно требовать только в точке -шо-

Следует отметить, что в случае выполнения условия (0.4) областью А изменения параметра т в предельном случае, когда |а| —> +оо, является внутренность круга.

Четвертый параграф посвящен продолжению доказательства теоремы 2.1 в двумерном случае и вычислению моментных интегралов. Введем необходимые обозначения.

£>п = сна? + с22а 2 + c12aia2,

сг 2

U , , С12 2 С12 2

012 = -сцсцаг + с22аха2 + -r-ai--

Ь22 = спа2 + с22а? - с12а!а2. Угол а определяется из соотношения

cos 2а 6ц — £>22

sin 2а 26i2

Коэффициенты

и 1 • w 1

£>! = --sin а, 62 = --cosa,

Си + с22 - а/(С11 - с22)2 + с\2 Си + С22 + ^ (сП - С22)2 + С'

Ai —---, Л2 —

2 ' 2 Используя вещественную - аналитичность функции р (21, г2, ¿1,22), показывается, что /(21,22,21,^2) - вещественно - аналитическая функция, которая разлагается в ряд по переменным 21,22,21, сходящийся в окрестности граничной точки (0,0). А именно

+СО

/(21,21,22) = ^Кк.т* «21 на дБ,

1=0 к+к+2т=1

где мы переобозначили индекс суммирования, давая вес 2 по г2.

Выбирая |а| достаточно большим, будем рассматривать моменты (7 (а, Ы) на сечениях Иа (г):

С (а, А0= I т"/(ра{т))<1т =

дАа

/+оо / ч /?. /-\ к / \ т/г

(щ?-) Сттй»;

Пусть /0 - наименьшая весовая степень со свойством, что Ьн,к,т ф 0 для к > 0 и ко -наибольшая степень по 21, для которой это выполнено. Мы имеем, что, в силу условия теоремы 2.1 и теоремы о моментных условиях (необходимом и достаточном условии,

чтобы интеграл типа Коши был интегралом Коши), С (а, ТУ) = 0 для всех ТУ и а, в частности, для £а с |а| = 1 и > 0. Рассмотрим предел

Нт С (Ьа, ТУ) & =

£—^-Ьоо

Нт / т^ V" V ЬКк>т —

^д ¿=¿0 Ь.-\-к+2т=1

Ла

+ Н / V1 + ] ¿а

Ла

1 + |4сг|

4'° «¿т =

= Е ьлЛ,таАак I тмтнтктт ¿г = О,

Ь+/с+2т=/о дд

где <9Д определяется соотношением (0.3).

Теперь сформулируем основной результат четвертого параграфа. Предложение 2.2.

Значение интеграла ^ т"тнТктт йт = е^+н+т+1-к) 2?г • ^

ал

л 1 \ Л?+/й-т+1 / л

1

л/Аг/ хА2/ л/^2

,/ \ ЛГ+/1+т+к+1

£

/

сц+а2+аз+а4= Х^З. =ЛГ+Л+т+А-+1

л/Л^-л/АГУ

хАТ хАг 1 +г-

хАг /

г\ /

ТУ + /1 + т\ /ТУ + /1 + ш\ /ТУ + /г + т а2-1 \ «1 /\ «2

ТУ + /г + т «1 — 1

Пятый параграф посвящен преобразованию момент