Голоморфные функции, степенные ряды от матриц и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Х'1 Л £

АКАДЕМИЯ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

ХУДАЙ БЁРГАНОВ Гул мирза

ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ, СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ОТ МАТРИЦ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора филнко-митем.чтнческих наук

Ташкент — 1901

Работа выполнена на кафедре мателгатического анализа Ташкентского государственного университета имени В. И. Ленина. • ■ • ..

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЗАХАР ЮТА В. П.

доктор физико-математических наук, профессор ЯРЛ1У ХАЛ\ЕДОВ Ш. Я.

доктор физико-математических наук НИХ А. к.

Ведущая организация: Институт математики ЛН Украины.

Защит,а диссертации состоится ¡у^ » .-_1992 г.

!! часов па заседании специализированного совета

Д НПЗ. 17.92 в Миституте математики имени В. II. Романовского АН УзССР по адресу: 700143, г. Ташкент, 143, ул.

Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться о библиотеке Института математики имени В. И. Романовского АН УзССР.

Автореферат разослан^'» 199

Ученый секретарь епециа^пымронанпего совета, доктор фил.-мат. паук

с. с. логинов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

!

Актуальность темы. Хорошо известно, что годоиор}ше функции от матриц определяемые по ВеЗерштрас-су с помощью рядов, нашш широкие применения к теории линейных систем обыкновениях дифференциальных уравнений (И.А. Лапло-Данилевскпй1^, Н.П.Еругин2^, Н.Е.Кочин, Л.М.Шифнер, Б.Л.Крылов и др.). Бурное развитие комплексного анализа на матричных областях в последние годы связан пренде всего с дреиененияш!'в математической физика (теория поля), теории электрических цепей. Об этой свидетельствуют работы В.С.Вла-дкмнрова, А.Г.Сергеева, Р.Пенроуза, В.Рула, А.В.Щнмова, В.П-.Потапова, Е.БедЦорда, Й.Дадока я других авторов. Прдкця-ш таких применений подробно нзлоаенн в монографии

П.Н.Боголсбова, А.А.Логунова л др.3^. Отаетпм Такае, что дкд скалярных функций от матриц в известной монографии Хуй-Ло-кена построен гармонический анализ в классических областях. ' .

1) Лаппо-Дашлевскиа И.А. Применение функций от матриц к

. теории линейных систем обыкновенных даффер§нцаалы1ых уравнений. U.: Гос. изд-во технико-теоретзческоЗ литературы. 1957. 4560.

2) Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных

дифференциальных^ уравнений. И.: ИзД-во ЛГУ. IS5S. 108 с.

3) Боголюбов H.H., Логунов A.A. п др. Общие принципы кван-

. sóaoü теории поля. И.: Наука. 1987.. 616 с.

При решении некоторых задач нсыользоваше голоморфных функций от матриц в рамках определения по ВеЛерштрассу наталкивается на принципиальные трудности, связанные' прежде всего с переходом от локальных рассмотрений к глобальным. ■ К таким рассмотрениям относится задача о голоморфном расширении областей, например, задача о голоморфной выпуклости расширенной - точечной трубы будущего. Глобальные рассглотрензя необходимы такае в важных интерполяционных задачах в юатрячных областях.

Однш пз основных методов изучения голоморфных функций является разлокёние функций в произведение Бляшке.' Отсутст-, вне прямого аналога классического произведения Бляшке в Ане позволяет перенести в некоторые утверждения из ида спческого комплексного анализа. Как с точкп зрения теории функций от матриц так и с.точка зрения возможных приложений, задача построения ыатрцчных произведений Бляшке (для. обобщенного единичного круга, обобщенной верхней полуплоскости и т.д.) представляет большой интерес в теорий фуикцив от матриц.

С учетам сказанного развитие теории функций (отобрака-шхй) от матриц как в локальном так и глобально! рассмотрении, введение в рассмотрение матричного произведения Бдящее является восьыа а к т у а л ь н ы п.

Ц е л ь ' р а б о т ы - развить торрлю функций от ошоЗ в нескольких ыатриц. изуч.пь :; ыатричшге области . • голоморфности, их свойства логар^шческоЗ выпуклости,

кроме того, рассмотреть интерполяционные задаче комплексного аналиаа в матричных -областях.

* -

Общая иетоднка исследования. Используются метода теории матриц, современного многомерного комплексного анализа и интегрального представления го-

• , ч

ломорфных функций от матриц.

Научная новизна, н практическая ценность исследования ааклвчена в следующих основных результатах диссертации:

1. Решена задача Невавлинны-Пика для голоморфных функций от матрац в классе Каратоодора.

2. Описана область сходимости кратного степенного рада 05 аоскодышх катрнц самого общего вида.

3. Подтверждена известная гипотеза: полная матричная область Рейихарта является областью голоморфности тогда а только тогда,когда она логарифмически выпукла в (П * Ж].

4. Изучена задача КаратаодоригФейера в пространствах

(Цки М] * ^

5. Введены матричные произведения Бляшке да*) обобщенного единичного круга и для обобщенной верхней полупЖоско-ста, которые применены,к экстраполяции голоморфных функций от матриц.

6. Получена формула Карлемава для функций от матриц

• ' . *

в связи с применением к некорректным задачам комплексного анализа. . .' '

7.1£олучен критерий для голоморфного продолабняя

в обобщенный: единичный круг функций, заданных на куете ее границы Шилова. ,

А п р о б а ц и я работ ы.'Результаты работы докладывались: на семинаре отдела математической физики в . 4 Ш ' им.В.А.Стеклова АН СССР (рук. - академик В.С.Владими- / . рова); на семинаре отдела ТЖИ в МИАН (рук. академик А.АЛ*ончар); на семинаре по комплексному анализу в ИГУ им. . М.В.Ломоносова (руководители: проф. Щабат Б.В. и доктор физ.-мат.наук Е.М.Чирка). Отдельные результаты докладывались на Международной конференции по комплексному анализу (Галле, ГДР, I9QO), на летней математической шкоде (Кацивели, 1976, 1984, 1985), на Всесоюзном семинаре-совещании по reo- . метрической теория функций (Ташкент, 1975), на Всесоюзном семинаре молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного ана-. лиза" (Ташкент, 1985, 1989), на конференциях по приложениям методов комплексного.анализа (Черноголовка,1979, 1983), на конференции "Комплексный анализ и математическая физика": (Красноярск, 1987), на третьем - интернациональном Ошпо-аиуые по комплексному анализу (Херцвг-Нови, Югославия,

• 1988). .

Публикации. Основные результаты диссертация опубликованы в работах [l - 211 . часть иа них вопша в мо-награфжи Г.А.А1зенберга "Формулы Карлемана в комплексном аааиэе". Н.: Наука. 1990.

. Структура, и о б ь е м- Д и с с е р т а-

• ц в в. Диссертация состоит из введения и четырех глав,

разделенных¡на 12 параграфов (в той чиеде вводный § 0 ); параграфы разбиты на 40 пунктов с самостоятельными назва-,ниями. Объем диссертации 209 : машинописных страниц, список цитированной литературы содержит 101 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕШЩЕ ДИССЕРТАЦИИ ' к

В нулевом параграфе приведены основные обозначения и формулировки некоторых результатов, которые используются в дальнейшем. ■ ■

Рассмотрим пространство комплексных переменных,

обозначаемое . ' Точки

этого пространства - ' представляем в виде квадратных * МЛ-матриц, т.е. в виде £= ( ^¿р^ • При .

таком представлении точек, пространство (С. будем

обозначать . Прямое произведение

1\ экземпляров

V 1 ' 1 1 I—' '

цространств [. № * *Т\Х - матриц обозначим (Пт

•' )

Обобщенный (матричный)' единичный круг определяется как множество точек

где 2* X' - матрица, сопряженная д 2 . аапись

I I г единичная [Щ * Щ] - матрица)

означает, что эрмитова матрица X2 положительно определена, т.е. все ее собственные значения положительны.

Обобщенная- (матричная) верхняя полуплоскость определяется как множество точек

где 5т. *

1 • '

В п е р в о й г л а в е (§§ 1-2), голоморфные • функции от матриц в смысле Копш определятся с помощью интегральной формулы Копш (в/локальных рассмотрениях это определение эквивалентно упомянутому выше определению по Вейер-штрассу с помощью рядов).

Лая этих функций изучаются некоторые задачи'комплексного анализа. Подбор задач подсказан том, что они являются в некотором смысле центральными в теории интерполирования. Основным рабочим инструментом ддя решения этихзадач являются аналоги формул Рисса - 1ерглоца в.-обобщенном единичном 1фуге и Вевавлинны в обобщенной верхней полуплоскости.

• В п.1.1 . даются . определения голоморфных, функций от' иатряц и введены классы Каратеодори, Шура и Неванлишш. Некоторые варианты л емки Шварца приведены в п.1-2. Формулы Рпсса - 1орглоца и Неванлинны получены в.Я. 1.3. Далее, п.2.1 посвящен задаче Паваапишш - Пика в классе Каратео--дора. Отметка, что в классической задаче Новашшяны - Пикэ - увли интерполяции предполагается разллчнымк, а здесь зю

условие заменяется условием 0 при ,

где | Ч ^^ 1 заданная последовательность £ 1Т1 х ш] -

матриц из обобщенного единичного круга . Имев! место следующий аналог теоремы Неваадинш - Пика.

Теорема 2.1. Пусть ^^ н

, =1,2, ... (этим условиям удовлетво-

ряют, например, диагональные матрицы). Для того, чтобы существовала функция от матриц "М" = Р (%) из класса Каратеодорз, удозлетворявдач условиям

( Ж-

-'заданная последовательность [т * т] - матриц из обобщенной правой полуплоскости ),

необходимо д достатрчно, чтобы для каадого р = 1,2, эрмитова фориа

где ... > - вектор-строки длины 1Ц. ,

бала неотрицательно определена.

Следущий результат дает описание коэффициентов в классе Каратеодорз.

Теорема 2 .'2. Ддя того чтобы голоморфная в обобщенном.единичном круге функция от матриц вида

Р(Х)=А+ХА1+ 22А4 + -- + Х*АК+- > ■

где л . А} 'с £ [ии^] , ] принадле-

жала классу Каратеодори, необходимо и достаточно, чтобы

тешшцева форма К

где Ас = А+А* ,

была неотрицательно" определена при всех (С

Одним из основных результатов теории кратных степенных рядов (от скалярных переменных )■ является . тот факт, -что области _ сходимости таких рядов суть полные логарифмически выпуклые области Рейнхарта. В главе 2 получен аналог этого результата для степенных рядов от нескольких матричных переменных. Указанный аналог, позволяет подтвердить следующую известную гипотезу А.Г.Сергеева (см. теорему 5.1, сформулированную ниже).

Гипотеза: полная матричная область Рейнхарта ^ является областью голоморфности тогда и только тогда,когда она логарифмически выпукла. .

В целом глава 2 (§§ 3-5 ) посвящена развитию теории

степенных рядов от одной и нескольких матричных переменных. В ней найдены аналоги-леммы Абеля,формулы Кошп-Адамара, описаны области сходимости таких рядов. Для формулировки результатов этой главы приведем ряд известных ранее, а такха введенных в диссертация, определений я поняткй.

Область в С1 С [Ж х Ш] называется и а т -ричной облаотью Рейнхарта, если

I .

вместе с кавдой точкой ( , область и" содержит" точки вида ( З^А/^ ,..■, и„. пУп), где , Л/^ (•$ = !,..., Ц) произввльные унитарные матрицы.

Матричная область Рейнхарта & называется п о л-н о й, если вместе с каадой точкой ( Х° , , область & содержит все точки вида 112,} II ^ II ^ II ,

^ — I,..., VI. . Здесь 1| * II - спектральная норма матрицы.

Так как произвольную матрицу ^ £ [ Ж * М] мон-но представить в полярных координатах в виде , где и,Л/ - унитарные матрицы, а Л,ж] - диагональная мат»-рица, причем ? • т0

и, ШУЛЛ^Л при 1^-и*. V,

Таким образом, каждую точку X можно полупить из. вектора Д диагональных матриц с помощью указанного полярного представления. Поэтому изучение таких областей эквивалентно изучению их образов в подпространстве

11 + - X •• • X пространства ^ [» Ж]

при отображении, когда кавдой точке ( ...,2а) из

ставится- в соответствие точка (Л ^ , . . -, А п) .

Образ области & при отображении

.,2*) —г(А1,...,ЛЛ)бУДеи называть

обобщенной (матричной) диаграммой рвйнхарта и обозначим через 6_д . .

Множество

и ......Мк)^!'1"

г=(и1л1у1,,^нлл)£&- склл^ о > •

¿уда, называть, лог а р и 4 «и ч е ¿к и « о б-

р а 8 о и области & .

Область ■ О- назовем л о г.а.р и ф м и ч е -

0.КИ вы п У к л о й. если, множество Ъл, &д.

пч П. Ж

выпукло в пространстве

В § 3 доказывается

„ „ ' о о область (абсолютной)

Предловение ишюухр

' сходимости до- от одной матрицы есть обобщенный круг

(полнаа логарифмически выпукяач матричная область

репорта в £ I * * "О 5 *аДПУС КСТ°РаГ° °ПР°" деляотся по формуле Ш - Адлера.

Отметки. ЧТО В-Йвк, многомерного комалекспохо ана

кратных стопвшпа ршт Ч*» СХ°№''°С1И

ряда нельзя утверждать расходимость ряда*) ) имеет место уге для степенных рядов от одной матрицы (си. п. 3.3). > В § 4 изучаются кратные стеценные ряды вида

оо ,

■Г ч -Аи ^и ~ .Д.и. 2 , , тЛ

= 0 — 1 ,ч * (I)

' 'к

где А и ь4 -постоянные, а Я! - перемен-N 1> • ••• Кн. $

ные < ■ - матрацы. Ейесь порядок умножения матрац, вообще говоря, вужно учитывать. Под абсолютной сходимостью ряда (I) будем понимать сходимость ряда

Т. 1Ак, е Щи/'...!*/*. и,

Здесь [{* II - спектральная норма матрицы. Положен ' "

„

где 0- - ограниченная область из (С. ^Цц ^шЗ »

. •. • , К к.) - мультииндекс с целшш

неотрицательными координатами.

Критерий сходимости ряда (I) дает Теорема 4.1. Для того, чтобы ¿яд (I) сходал-са абсолютно в ограниченной полной матричной области

Рейнхарта & С к т^ , необходимо н

I) Беляев В.А. К вопросу о множествах сходимости двойных степенных рядов. // Мат. сб. 71:1, 1966. С. 14-23,.

достаточно, чтобы ряд

абсолютно сходился в обобщенной единичной псшифуге

7 - £ X * ^ ..

. Основным результатом § 4 является следующий аналог классической теоремы Гертогса.

Теорема -4.2. Ограниченная полная матричная

область Рейнхарта 5.С И^у^ является областью {абсолютно*) сходимости рядов вида (I) тогда л толь, ко тогда, когда (у - логарифмически выпукла. .

Пусть в области

определена функция от нескольких матрац £«.)•' О- —*ш!.. Под - окрестностью точки е (Ц^^И! * жЗ будем понимать обобщенный поли- /

функцию- будем называть голоморф-

ной (в смысле Вейерттрасса) в т о ч. к е ■

есла в Т С £.) она цредставныа- абсолютно схода-шшся кратным рядом нескольких матриц вида

Т. Hact0)(2Kl-re)-

, r (f=i K-Xfi. А * ■ 1 .

4 а

где ACo), A^ L»n*hrt.,

указывает на то, что нужна сушировать члены,

■ А , Л

отвечающие различный матрицам Д .

Определение голоморфной функции с помощью представлении (3) рправдано, во-первых, тем, что это предстааде-шо дает возможность рассматривать голоморфные прододже-нвя , сохраняя. матричную запись, т.е. с помощью

(3) можно построить, области голоморфности функции ( 2).» тогда как роди вида (I) не пригодны дня этой целя (cmv_ Я. 5.1).

Во-вторых, области сходимости рядов (3) я (I) совпадают. ' >

Следует отметить, что если ввести определение голоморфно 8 функция от нескольких матриц о помощью рядов (I), то как уне отмечалось, нельзя совершить голоморфное

продолжение функция, сохраняв матричную зарясь вида (I). Тем не менее, голоморфное продолжение возможно, если продолжить вбе элементы >f Lj ( ^) матрицы ( %f >»

С другой стороны не всякая матрица, элементы которой го-

ломорфные функции от нескольких переменных (£,)>•,...

*•• , монет бить" представлена в виде (I). Поэтому

такое определение голоморфной функции имело бы существенный

недостаток - зависимость определения от точек.

Определение голоморфных функций от одной и нескольких

матриц было введено еще И.А.Лаппо-Данилевскпм. с помощью

рядов, которые являются частным случаем рядов (3), когда

«л* 41о) А1^

коэффициентые матрицы -О. > > • • • > , •• •

комплексные числа и % 0 — 0 .Но понятия абсолютной сходимости рядов, введенные им и нами, различны. Точнее, из абсолютной сходимости рядов в нашем смысле, оледует абсолютная сходимость в смысле И.А.Лаппо-ДаниДевского.

Приведём основной результат главы 2, который подтверждает гипотезу, сформулированную выше.

Теорема 5.1. Полная ограниченная матричная .

область Рейнхарта Э С (И ^ [Ш * СпЗ является областью голоморфности тогда и только тогда, когда она логарифмически выпукла.

В главе 3 (§§6-8) изучается задача Каратео-

дорн - Фейера в

Пусть Р (X) полиномиальное отображение вида ■

Р(2) = Оо+О^ 2 + •С*<Ц»п* тЗ-^фхф)

где , . 4 :>

Обозначим через -.Л. «(/С) совокупность голоморфных в Т

функций от матриц

таких, что ( £) : С и предельные значения

. ^ (2) при 2 OL , ЗС. е ЧТ^, леяат в ^WijL ^ ^ • где

•т е ^ сV4 х ml 1W, о < ^ <оо(.

Пусть ^Г (.) - произвольная (С - однородная норма в

(Dim«-ml , в которой шар - строго выпуклое

.множество, CSS V - )

Задача: найти отображение

для которого .К^ (il) £ ( Щ ) при всех (¿eApCt).

При- VVI'эта задача известна как. классическая задача Каратеодорл-Фейера.

Основным результатом § 6 является следующий аналог известной теоремы-Каратеодори-Фейера в обобщенном единичном круге.

Теорема 6.2. Пусть полиномиальное отобраяение Имеет вид (4). Тогда найдется рациональное отобраяение

At .zV-

где Л >0 , A-, ^ ft xfo] . такое, что . о

И ILR*=;I I ЕП Set). Кроме того, если

GlCi r C|,QJ =CJCl ( в частности,

Cj диагональш), то £.(2) единственно и среда отображений £ Лр CÛ) оно к только оно дает наименьшее значение функционалу iír .

С помощью теоремы 6.2 в п. 6.4 дано описание множе-

. ства коэффициентов ограниченных- отображений из С [ Иг * В (L Lm К ml .

Рассмотрим теперь поливоммальное отображение Р(%) !

Си. mm ' " : а" ' - ' '

—■* vL степени не ваше К . Обозначим через

Ар(^) совокупность голоморфных в отображение

t ^ * ^ —♦ , даа которых многочлен Тейлора стелена.

К. совпадает о Р (?) .

Постановка задачи: найти отображение ILêAçW) миними81руп5еефункционалiK^SUj) 9.9. такоё отображение, д*я которого ГК-Ц ¿lijj^ ' при всех е. Лр(?Ъ) •

При VI s ty = »та задача также переходит в классическую задачу Каратвадоря-Фейера. В случав, когда VI—£,

fy^i и ^ - поджкруг, близкая задача реоева Пфис-теромА/.

Следующая теорема решает эту аадачу в случае, когда задана линейная часть отображения.

Теорема. 7« I. Пусть ^ - ограниченная полная

1) Pfiater А. // líath, Ahh. 1962^ ВД46. Но 3. 243-262.

круговая область в (Е^ , а Р : —*- (£"!. полиномиальное отображение вида

Р( 2) = а^ + аа)21+- •• + г ^,

где СЬ^ ((I — 0,1, ...Д) - векторы из а"1 . Тогда найдется отображение

^ ^ такое, что и.

для некоторого

^еП)^ и»

для воех В , 0 ~ 6 ~ 2 0Г . Среди всех отображе- +

нп*. е. Ар (ф) отображение ; ^ дает наименьшее значение для- . . '

Отметим,, что в теореме. 7.1 в отличие от классического случаяУ1:=.И1=:1. (а также от случая » Щ?!»

изложенного в теореме 7.2) нельзя утверждать'единственно- * ■•■ ста отображения £ ., дающего минимум' функционалу —у (соответствующий пример приведен в

П.7.2). 4 '"'•''..,

Единствепность функции в теореме 7.1 можно утверждать в случае, когда - шар в (£ ., где , а ~ автоморфизм шара.

За-лотим, что г.таплстзирупдее отображение не обязано принимать г.мкслмалыше ло. модулю значения на о ¡еру мости,

лекащоЗ -на комплексной прямой. Ой этой говораг сдедулцее обобщение теорема 7.1.

Предложение 7.1. Пусть Ъ - такая область

в (П^ , что шесте с любой точкой 5£ — ( „., Sf^J

она содержит множество {(^"t >

, ^ - положительные целде чнсха, - отображение вяда

где

- векторы нз vL . . Тогда найдется отобраса-

■ еле t

.(ю^м.

чг д.»,-. •м ич.

(Ц^, ^ такое, что Я ^Ар ОЪ) с

дед некоторого & — , • • ^и.)^^ 11 ^ №в:

1(1Г . Сред» всех отображений |еЛр(Ф)

отображение дает наименьшее значение для

Возможно, в в общем случае мишшизирупцее отобрасеше достигает максимального по модулю значения на некотором множестве вида

• - 21 -ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ К ъ и

Основным результатом § 7 является следующая теорема, которая решает поставленную задачу по заданному начальному однородному многочлену-отображению.

Теорема 7.3. Пусть % - ограниченна* полная ' круговая область в , (С ^ и полиномиальное отображение

р ; С."4

имеет вид

. Ц5||г К.

и. , и. - векторы из Ч. . Тогда существует рациональное отображение

■а . | Ц. ¿У* ) | 4 = Д, для некоторого & е

и для всех , О ^ 2.6Г* ' Среди Бсех отображе-

ния отображение Я. . дает наименьшее значе-

ние функционалу ^ —> 1| .

Далее, с помощью результатов п.п. 7.2 и 7.3 в § 8 вычисляется нор:-;а минимизирующего функционала (п.8.1) и

дается описание множества коэффициентов ограниченных отоб-

(л.С.2). .

3 I, 2 С'/ло гегпзаио,' что сиредеденле голоморфных

...,....... , ....(...,-. ¡;.с :: -.7,34но иогет работать в глобальных

рассмотрениях (интегральная формула Рисса - Херглоца и Невандинны, интерполяционные задачи Невашшнш - Пива и т.п.).

Глава 4 (§§9 - II) посвящена другим применениям этого определения к некорректным задачам комплексного анализа.

В § 9 получен аналог известной формулы Карлемана для функций от одной (п.9.1) и нескольких (п.9.3) матриц. Отметим, что многомерные аналоги формулы Карлемана были приведены в работах Л.А.Айзенберга, А.и.Кытыанова, H.H. Тарханова и др. Кроме того, в п. 9.2 доказывается теорема о спектральном разложении &вя голоморфных функций от tнескольких матриц, которая используется в п. II.3.

Основным результатом § 9 является следующий аналог формулы Карлемана.

Теорема 9.1. Для любой функции faieHW) и всякой матрицы W G" верна формула:

А

где G - ограниченное множество * Ш] - матриц . "W , ^ - односвазная область с кусочно-гдадкой границей, содержащая все собственные значения

Vfi'G. л- множество положительной лебеговой меры наП)Т$) i Функция такая же, что и в классической формуле Карлемана, . .

§ 10 посвящен вопросу о возможности голоморфного продолжения в матричную область, функций, заданных fia

части границы Шилова. При этом не предполагается, что данная область является оболочкой голоморфности этой части границы.

Различные решения такой задачи для одномерного случая предлагались в работах Г.Зина, В.А.ФокагФ.М.Куни.Д.Патила, М.Г.Крейна, П.Я.Нудальмана и А.Стейнера, для многомерного - в работах Л.А.Айзенберга, А.М.Кытманова, Н.Н.Тарханова и др. Обзор, всех этих результатов приведен в книга Л.А.Айзенберга "Формулы Карлемана в комплексном анализе". Н.: Наука. 1990. +

Обозначим через F . ( значения интеграла типа

Бохнера - Хуа Ло-кена в s. { I- 0|, т.е.

KWf гег

Известно, что существует ортонормированная мономиальная

система | , где р£ Я , оС- целочисленный

вектор длины Уу\ , по которой разлагаются функции в

- . Для заданной через | ^ \ обозначим подсистему в ' | Ц]^ , состоящую из функций, не входящих

в разложения функции р "" ( 2) .

Имеет место следующий аналог формулы Сохоцкого. Теорема 10.1. Если е (Ь) и . ^ ортогональна к системе функций { ^ \ »то Р С ^ . причем почтя всюду на 5 существуют радиальные пределы функций г~ и „

почти всюду.

Теорема Ю.З. Дая того, чтобы функция /чЦ продолжалась до функции из класса ) необходимо н

достаточно, чтобы была ортогональной к системе функций | и = в .

Из теорем 10.1 в 10.3 следует основной результат четвертой главы.

Теорема 10.4. Пусть Г С $ - открытое множество, 1чЧГ)~ функция заданная на Г и ортогональная к системе • Тогда для того, чтобы £ голоморфно продолжалась в С* необходимо и достаточно, чтобы голоморфно продолжалась в Т + . .

При теореаа 10.4 дает следующий результат: .

если Г - открытая дуга на единичной окружности и

иЧГ),

то для того, чтобы Д- голоморфно продол«-. жалась в единичный круг Ц. необходимо н достаточно, чтобы интеграл типа Коаш от <|- , заданный.вне Ц. , голоморфно продолжался через Г в Ц. , так как в 8Тоы ' случае семейство ^ \ мояно считать пустым.

Это утверждение представляет собой теореыу Л.А.АСзен-берга^.

Заключительный, одиннадцатый параграф посвящен задаче экстраполяции голоморфных функций от матрац. В п.11.1 доказывается теорша о кратной экстраполяции -

голоморфных функций, которая будет использована в п.Ы.З. В п.11.3 получены форыулы для экстраполяции .голоморфных функций от одной и нескольких матриц.

IГайзенберг"£"АТ.""кнтманов А.Ы. Препринт * 50 М. Институт физишШ.АН СССР. Красноярск. 1990. 44 с.

- -¿Ь -

В заключение автор выражает глубокую благодарность I.А.Айзенбергу и А.Садуллаеву за полезные обсуждения, зоветы и поддержку при подготовке рукописи диосертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПР ТМВ ДИССЕРТАЦИЙ

Худайберганов Г. О задаче Каратеодори-Фейера в (С"" . // Докл. АН УзССР. 1979. № 6. С.8-10 (соавтор Даутов Ш.А.). I. X у д а й б е р г а н о в Г. Задача Каратеодори -Фейера в (С11 . // Докл. АН УзССР. 1985. * 5. . С,5-7. . .

.Худайберганов Г. О некоторых аналогах теорем Каратеодори-Фейера и Шура в а"-.// . Докл. АН УзССР. 1986. # 8. С.6-8. ;. X у д а й б е р г а н о в Г. Задача Каратеодори-Фейера в "обобщенном единичном круге"• // Докл. ' АН.УзССР,- 1986. Л 12. С.4-6. •: X у д а й б е р г а - н о в Г. Формула Карлемана для функций от матриц.// Докл.АН УзССР. 1987. Д 2. С.9-11.

. X у д а й б е р Г' а н о в Г.' 0. задаче Каратеодори-Фейера в . // Шатен, заметки. 1987.. Т.42.

. <5 3. С.358-368. • '.'■•. . X у д а й б е р г а н о в Г. О задаче Каратеодори-' Фейера г. иногомерном комплексном анатазе//Сибир-сг-'.й ."¡птоматпчоский гурлал. 1982. Т.23.Д2. . С,5Ь .(статор Даутов Ш.А.)

8. Худайберганов Г. Формула Кардемана дня

функций от патриц.// Сибирский ыатематический кур-: над. 1988. 1.28. * I. С.207-208.

9. X у д а й й е р г а н о'в Г. Задача Кара'теодори - 1

Фейера в обобщенном единичном ируге//Сибирский математический журнал. 1988. Т.29. А 6. С.160-166.

10. X у д а й 6 е р г а н о в Г. Голоморфные функции от

матриц и некоторые связанные с ними геометричес- . кие задача комплексного анализа. Препринт Института физики СО АН СССР. Красноярск. 1987. .36 с.

11. X у д а й б е р г а н о в Г. Степенные рады к голо-

морфные функции от нескольких матриц. Препринт * Института физики СО АН СССР. Красноярск. 1988.37 о.

12. I у дай б е р г а но в Г. О краткой экстраполяции

функций, голоморфных в произведении полуплоскостей, или голоморфных функций от матриц.// Известия вузов. Математика. 1988. * 6, С.4-10 (соавтор А»-зевверг 1.А.).

13. X у д а I б е р г а н о в Г. Задача коэффициентов

Каратеодори. Тез. дом. 2-го интернац. симпозиума. й?ославия. 1988.(май).

\

14. X уда й б е р г а в о в Г. Задйча Неванлинш-Дика

в С х • Твз» Докл. Мвадунар. ковфер. ГДР. 1988 (декабрь).

15. X у д а й 6 е р г а н о в Г. Степенные рада ж голо-

морфные функции от нескольких матриц.// Труда 3-■втбрвац. симпозиума. Математич. вестник. Югосжа-ввя. 1988. I 3-4/ 0.241-248. " > •

16. X у д а й б е р г а а о в Г. Теорема Каратеодори-

Фейера в (£ (И * К.] . Тез. докл. Меаду народ, ковф, "Комплексный анализ и приложения". Варна. Болгария. 1987^ С.125.

17. ХУД айберганов Г, Задача Кврзтеодори—

Фейера в (Ц11- . Тез. докл. Мевдународ. конф. "Комплексный анализ и приложения в дифф. уравн. с часта, производными". 1980. ГДР (Галле).С.69 (соавтор Даутов И.А.).

18. X у д а й б е р г а н о в Г; 0 задаче Каратеодори-

ФеЗера в » Тез. докл. Международ. ков|.

"Комплексный анализ и приложения". Варна. Болгария. 1985. С.31.

19. I у д а й б е р г а й о в Г. Голоморфные функции от

матриц и некоторые связанные оними геометрические задачи комплексного анализа I. // Узб. матем. кур-.нал. 1991. й 2. 0.42-47. ,

20. Худай берганов Г. -Голоморфные функции от

• матриц и некоторые связанные с ними геометрияе-

. . ские задачи комплексного анализа П. // Узб. матем. . журнал. 199Г.Й 4.' С.5.1-59.

21. Худай б орган о в Г. .0 возможности голоморф-

ного продолжения в матричную область функций, заданных па кускб ее границы Шилова. Препринт

• Института физики СО АН СССР. Красноярск. 1991. 17 о.