Задача факторизации и пространства модулей голоморфных расслоений над римановыми поверхностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАЛЕНИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КНСТИУТ ИМЕНИ В.А.СТЕКЛОВА

На правгх рукописи

ГДОРГАДЗЕ Григорий Карлович

УДК 517.53/5?

ЗАДАЧА ФАКТОРИЗАЦИИ И ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ ГОЛОМОРФНЫХ РАССЛОЕНИЯ НАД РШАНОШИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнении

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наус

Иоскез

- 1932

Работа выполнена

в отдела математического моделирования <• Института кибернетики АН Республики Грузия

Научный руководитель: доктор физико-иатематических наук, профессор Р.В.ШКРЕЛИДЗЕ

Официальные оппоненты:

доктор физкко-ыатеыатичаских паук, профессор В.А.ГОЛУБЕВА

кандидат .йизико-ыатеыатическкх наук, доцевт В.П.ЛЕКСИН

Ведущая организация: Тбилисский математический институт ии.А.Разиэдзэ АН Республики Грузия

Защита состоится

Д. /1Шу/а1 1оо2 года в

14 часов на заседании специализированного совета Д 002.38.01 при Матемзтическом институте ии.Е.А.Стеклова РАН (г.Ыосква, 117966, ГСП-1, ул.Вавилова, 42)

Автореферат разослан О/С/п-Л^иЗ 1Э92 года ^

Ученый секретарь специализированного совета доктор фигико-иэтеыатическнх наук

А.К.ГУЩИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тсчч. Работа посватана исследованиям аналп-_ тической теории дифференциальных урзвнений нэ римановых поверхностях. Простнаство модулей римановых поверхностей и пространство модулей голоморфных расслоений над ршановми поверхностями яеляется ваЕныал составляющими топологической квантовой теории поля. Результаты, полученные для сферы Рипанз с выколотыии точками, иояно применить в конфоризой теории поля. Анализ на отмеченных рииановых поверхностях и С - систены дифференциальных уравнений, введенные в диооертации, иозно применять для исследования иногйх задач современной матеаатичеокой физики. В чзогнооти, они язлл-птоя чзстьп иатематичеокоЛ) апаратз кзанэозоЛ калибровочной тоо-рии поля. В приложении указано применение С -систем дифференциальных уравнений в двумерной теории Лнга-Уиллса. Одни из результатов, полученных в диссортации, Ы0И20 использовать для изучепия действий Черка-Саймонса и, следовательно, полю применять для исследования инвариантов З-ийрннх многообразий. Полученные з диссертации результаты позволяв? полногсьз исследовать связности з голоморфных^главных расслознийз: пзд риМановими поверхностс.':!.

Цель работа;.исследованко систем дифференциальных уравнения с регулярными ссобкми точками при поиоси пространства модулей голоморфных расслоения над компактными римановкин поверх ост пая любого рола И связь пространства модулей голоморфных расслоений с задачей факторизации.

!1етост исследования. Использовались современные матоды теории аналитических дкффзргяцпальшлЕ уравнений, применена теория функций комплексного переменного, особенно теории пучкоз я мации комплексах структур, метол! злгзбраичзскс топологии -.1

алгебраической геометрии.

Нб^чиэя новизна. В диссертации получены следующие основные результата:

1. По -зиенга задачи Ркыана-Гильберта и соответствующей факторизации патрица-пункции явно строится голоморфное векторное расслоение над сферой Рииана. При помоет теории пучков исследуется граничная задача и топология пространства реаенкй. Получен критерий устойчивости частных индексов и доказанаконформная инвариантности чаезшх индексов для двумерной задачи Риыана-Пшь-берта.

2. Для устойчивых голоморфных векторных расслоепий на ри-манових поверхностях рода 2 доказано существование системы дифференциальных уравнений, которая имезт одну регулярную особую точку. Это даст возможность охарактеризовать ванный класс связносге!! в голоморфных векторных расслоениях. Объяснена причина керазрешшости задачи факторизации матриц-функций нз компактных риизлтоых поверхностях произвольного рода.

3. Ксследувтся связности в голоморфных главных расслоега-ях. Для этого вводятся О -систолы дифференциальных уравнений. Доказывается, что для любого устойчивого голоморфного главного расслоения суцаствует й-система дифференциальных уравнений, из которой индуцируется данное расслоение. Ставится проблема Рима-на-Гилъберта для таких систем.

4. Доказывается, что пространство раиеняй однородной задачи Рииана-Вмьберта для римаковых поверхностей рода I в точности совпадает с пространством реиений уравнения Богомольного, хорошо известного в теории Янга-Ниллое-Хягса. Доказано такае, что решения двумерного уравнения Янга-1'.кллса являются связностя-ми главного расслоения, ииающши одну регуляртуп особую точку.

Указанные типа результаты являются новыми к могут суть использованы для исследований в теории функций комплексного пороченного, квантовой тоории Янга-Ниллса на рпмановых поверхностях любого рода.

Теоретическое и практическое значение исследования. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшем развитии аналитической теории дифференциальных уравнении на рниановых поверхностях, при исследовании связностей в голоморфных расслоениях над римановыии поверхностями и для изучения автоморфных функций, а также при исследовании киральшх полей, хорошо известных в теоретической физике.

Апробаиия тоботы. Результаты диссертации докладывались в разное время на семинарах в Институте кибернетики АН Республики Грузия, на семинаре отдела теории функции комплексного переменного Математического института иу.А.Размадзе АН РГ, на семинара "Фуксовыа системы и приложения" МГУ им.и .В.Ломоносова, на семинаре отдала обыкновенных дифференциальных уравнения Математического института иц.З.А.Стеклова Российской АП.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2рех глав и приложения. Объем'работы 92 стр. машинописного токе-га. В списке литературы 76 наименовании.

СОГ-ЕРШШЕ РАБОТЫ

В главе I рассмотрен*? различные постановки задачи Римана--Гильберта и топологические вопросы, связанные с ней. При помо-цн петли где Т"*с С) максимальный тор, стро-

ится голоморфное векторное расслоение Е. над СР и мультиин-декс К полиостьо характеризует голоморфный тип Ь .

Решениями задачи Римана-Гяльберта будут элементы группы :<ого'-'о-

- б -

логии , где т пучок ростков голоморфных сече-

ний расслоения £ . Обозначим через ^к петли, которые сопряжены с петлей о!*. . Векторное расслоение, индуцированное Ь , устойчиво то: \а и только тогда, когда для любой пар

индексов 1,3 . Расслоение Еш1£ определяет матрицу-функцию . В § 3 доказывается следующая теореиа.

Тсорома 1.3.3. Размерность первой группы когомологии (СР' с коэффициентами в пучке 0(Е*ЛЕ) равно коразмерности

Рк .Я:

53М.-1)» если Е неусточиво,

а^н'ССр'.бСЕЛЕЬл.^^

О , если £ устойчиво.

Из теоремы 1.3.3. вытекает

. Следствие 1.3.1. Голоморфная эйлерова характеристик расслоения СР' равна^г.. 4мрг-(к1 (>^Р ).

Г ^ т 1 ^/з у

Следствие 1.3.2. Кндякс задачи Риыана-Шьберта шчисляет-

ся по формуле

асо = МЧС Р1, - д.- Н'ССР', .

Для частных индекоов двумерной задачи Римана-Гильберте ьыводится формула

где С,(Е) - число Чарна расслоения Ь . а А кососииыетри-ческое проипведение Е и его солряненногз расслоения Е*. При помоци этих формул доказывается.

Теорба 1.3.Д. Частные индексы !<«.задачи Риаана-

-Пмьберта являются инвариантами при конфоршнх преобразованиях сфера Ричана = \ .

В § 1,4 используется техника деформации комплексных струк-

typ и утверждение о том, что для любого големорфного векторного расслоения над сферой Римана йуществует вереалшэя и эффективная деформация. На основа этого докзаапы необходимый и достаточные условия устойчивости частных индексов задачи Римапа-Гиль-берта. Справедливы следуюззие эквивалентные утверндения.

Теорема 1.4.2. Расслоение (Е,рг,СР') устойчиво тогда и только тогда, когда выполняется условие

H'(CP\O(EJ£)) = 0. ........... .

Следствие 1.4.1. Расслоение(Е,рг,СР()- уотойчиво тогда Я только тогда, когда отображение Кодаира-Спеноера

h :Го5 -H'CCF'.OCEhJE)) ..... ....

тривиально,- где £ - пространство параметров деформации и TIS его касательное расслоение в нуле.

Следствие 1.4.2. Если расслоение (EjP>",CP') достаточно

близко к расслоению (E.fXP') из теоремы 1.4.2 , тогда ото-

-1

браяение Кодаира-Спенсера тривиалшо.

В § 1.5 исследовано пространство связноотей голоморфных • векторных расслоений над CP' t указана связь проблемы Римана--Пчльберта и задачи Римана-Гильберта, которая применяется в следующих главах.

Сформулируем результаты главы 2. Для харастеризации голоморфных векторных расслоений над сферой Римана достаточно целочисленного вектора так как любая потля S'^GLta Одопускэет факторизация следующего вида ^(H^iOoUOjUt) j где f.U) и ftjU) являются соответственно граничными значениями голоморфных функций £нутря и вне единичного круга

S" и US' .

Для описания голоморфно эквивалентных расолоений над ри-ианознми поверхностями рода I дискретного параметра не дос-

гаточно, и возникает пространство модулей голоморфных расслоений, размерность которого равна + 1 .

Обозна ч;ш где X риманова поверх-

ность произвольного рода и 1 локальный параметр, а черезХ0 обозначим дополнения в

X . Ясно, чтоХ»Л&=&={«Х 1*мЦ. Если -*С1(п,€) петля; тогда существует взаимно однозначное соответствие меаду пространством двойных смежных классов

ьчи^о^ц^хуисца),

где

пространства граничных значений ОЦЬ'О-значных голоморфных функций соответственно внутри в вне $х и п-остранствоы модулей голоморфных векторных расслоений над X .

Голоморфному векторному расслоению Е соответствует класс

петли

. Для нахождения

петли применяются связности со на векторной расслоении Е , и рассматривается система дифференциальных уравнений на X . с одной регулярной особой точкой ос. .

Представление ыонодромии

4^-СЦк.С)

этой системы индуцирует тривиальное векторное ресслоение над некомпактной ринановой поверхностью ХЧХс*) , которое при подходящем продолжении попадает в клэсс голоморфно эквивалентных расслоений расслоении Е . В § 2.2 доказывается существование системы дифференциальных уравнений с указанными свойствами.

Теорема 2.2.2. ПустьЁ-*Х устойчивое расслоение в смысла Ыавфорда, тогда оуцествует система дифференциальных уравнений вида , ииеюцая в заданной точке X« регулярную осо-

бенность, и, если I петля, обходящая точку Хо , то она при представлении ыоподрошш р переходит в ехр(21и^(£)). 1 где 1 единичный элемент в , а - рациональное

число, определяющее нормированный класс Черна.

О нахождении петли, соответствующей устойчивому расслоению Е , говорится в следующем предложении, которое доказывается в § 2.3.

Предложение 2.3.1. Если р полуустойчивое расслоение над риыановой поверхностью X рода 2, тогда_существуе! ко-

цикл Н'и » определяющий Ё , который является верхней треугольной матрицей-функцией с диагональю

Каядол голоморфное векторное расслоение Е имеет каноническую фильтрацию (фильтрация Хардера-Нарасиихана)

О =£0с Е,с • сЁг =Е такую, что Я=Е;/£.< - полуустойчивые расслоения, ¿.=1,- -,г я Г1Р,Ьг(Г2)> >Г(Ь-) .

Следующая теорем^ является основным результатом § 2.3.

Теорема 2.3.1. Пуоть Е голоморфное векторное раоолоэние над римановой поверхностью рода 2^2. Тогда коцикл » определяющий Е г имеет следующий блочно треугольный вид

1^-йп, о ... о \

4>гы=/ о ; • • 0

о о

Гдв *

— г V °

1= 1,...,г

"г^-Д

V

В главе 3 вводами понятие С -системы дифференциальных

уравнения. Она определяется следувдим образом. Пусть G кеы-

в.

пзктная связная группа Ли и il е@ алгебра Ли. Обозначим чэреэ и ¿fc соответственно хошшексификашш G и Ч . Определим оператор:

по формуле , | Л. ..... ;

в рассмотрим Q -систему

где д\ является Ус -значиой I-формой на X и j:X->G неизвестная гла. .кая функция.

В § 3.2 определяется регулярность особой точки G -системы и приведены все необходима сведения об устойчивых голэморф-вых Сс -расслоениях и доказана следующая основная таоремз главы 3.

Теорема З.ЗЛ. Устойчивое голоморфное главное Gc -pafc-слоание имеет связность Q , которая в данной точке имеет регулярную особенность.

В терминах G -системы дифференциальных уравнений могно поставить проблему Римена-Вшьбзрта о восстановлении G -системи о регулярными особыми точками, если задано голоморфное главное Gc -расслоение.

В прилохешш применяются результаты гаав I и 2 о 8адаче Рнмана-Г^льборта в доковываются следующие результаты.

Теорема I. Скзгпрзоз пала ф явлпотоп реиенвов уравнения Богомольного

Т>ыф-1*Рмф = 0

тогда и только тогда, когда ф является решением краевой задачи Римано-Шьберта.

Связность, построенная в теореме 3.3.4, интергретируется следующим образом.

Теорема 2. Связность б из теорема 3.3.4 калибровочно эквивалентна связности Янга-Миллсе.

Автор вырахает глубокую благодарность за руководство работой своему научному руководителю член-корр.РАН Р.В.Лэмкрели-дзе и сотрудникам отдела обыкновенных дифференциальных уравнений Математического института ии.В.А.Стеклова РАН. А также Г.Н.Хии-пиашвюш за внимание к работе и за советы, которыми айтор пользовался во время работы над диссертацией и зав.отделом математического моделирования Института кибернетики АН РГ ГД.Бери-пвили за поддержку и многократные поощрительные беседа.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕ1Е ДИССЕРТАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы /следующих работах!

1. Георгадзе Р.К. О некоторых топологических аспектах задачи Ринана-Гильберта.//Сооб.АН ГрузССР, 1989,-5.134, й 1,0.33-36. ■

2. Гиоргедзе Г.К. О топологических свойствах частных индексов задача Римаи-йльберта./Друды Тбилисского гос.университета. 1989, - т.284, - с.5-22.

3. Гиоргадзе Г.К. Голоморфные связности на векторных расслоениях и проблема Римана-Гильберта.//Сооб.АН ГрузССР. 1989,

'- т.135, - te 3, с.485-488.

4. G,iorja<be G-k. .On Ike monoiromy of principai UnMtS on

RiMbn s«ri«es/Bu«.AcaJ.Scien.G«orgi». 1931,