Условия голоморфности функций многих комплексных переменных, связанных с группами преобразований области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АЩШ'Л'НАУК СССР CISMFCÎCOS ОТДВШИЕ ШСГПГГУТ J'ATE:IAïlHn

Иа правах рукоплсп

Сэг-'зноа Азшсснндр Шйййясзгхч

УДК 517.553:517.9ЕЗ. G

усдовга гадокогешш! шаш пюпк шмшшк

ПЕРЕМЕШИХ, СВ2ВШШ С ГШПАШ ПРЕОБРЛЗОЗ/ЛШ СБЛАСГН

01.01.01 - ттскаггггзсняй еналкз

Лвторв}вра?

ддссертащзя i-:a сокашш::э ученой стопе;"? к?лдгда?а ф::з::1:о-гпхг с:.*ат тос ксс nay:;

Новосибирск - 1989

"олн'зна па кафедре математически • и.-м государственного университета им--'.... .... ода.

..кучный рукзоодитеяь: доктор фгсшко-матеиатнческих

иаук, профессор G.G. КУТАТЕДАДЗЕ.

Официальные оппоненты: доктор физико-гаатеыаткческих

паук, профессор C.J1. КЕШАЯЬ, кандидат физико-катекатичесюк наук B.W. ГИЧЕЗ.

, Бгдуцее учрездение: 1'ссковск:й государственный педагогический 5->icTüTy* sa.B.Ii. Леши а.

Защита дкссервгацгш состоитеп "

1989 г.

„с__часоо иа еаседанин спзциалплпрспашг ого совета

I К 002.23.02 по прггсундеша ученой степени кандггдада $попко-гшеиаггачоекпх наук в Институте ттекз -икв СО АН СССР (630030, Ноооскбнрск-90, Университетский пр., 4).

С диссертацией можно ознакомяться в библиотеке 1астнтуга ыатшаткяа СО АН СССР.

Апторефераг разослан " ___ " _____________ 1969 г

Ученый секретарь шещшлизированного совета* кандвдат физико-иатекатяческих Q наук

В.Б. ИЗАНОЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Исследование голоморфных функций и их граничных значений является классически» направлением э теории функций многих комплексных переменных. Истоки данного напраз-[ения восходят к работам Пуанкаре (1907) и Гаргогса (1906), в гсторых они обнаружили эффект продолзаемости функций. Пуанка-е, пользуясь разложением функции на сфере на сферические гар-оники, показал» что все функция голоморфные з окрестности раницы шара в С£, голоморфно продолжаются внутрь этого шара, артога получил аналогичный результат для ограниченных облас-ей в С" со сзязныи дополнение». Дальнейшее развитие твори? оломорфных функций связано с работами А. Вейля, А. Картена» гл, Лере и др.

Последние десятилетия отмечены бурным развитием многомерно комплексного анализа и а особенности теории граничных гачений (достаточно упомянуть июгочкеленные результаты о го-»морфнон продолжении с многообразий Коши-Римана).

Шогиэ ванные классы комплексных областей обладает одно-дной структурой (т.е. имеют транзитивную группу аналитичес-х автоморфизмов). Инвариантность пространств непрерывных в мыкании области функций, голоморфных внутри области и их едов на границе, относительно действия группы аналитических гоморфизнов области, дает предпосылки для применения к воп-:аи голоморфного продолжения методов гармонического анализа геории представлений групп Ли. Плодотворность применения готовых методов убедительно продемонстрирована в классичес-: работах С.Бохнера, А.Картана, Хуа-Ло-кена, а в созреыен -I период - Е.Стейна, Г.Вейсса, У.Рудика, С.Хелгассна и др.

3

В настоящее время теория голоморфных функций и их граничных значений далека от завершения и активно развивается. Вопроси, связанные с ней, актуальны в комплексном анализе.

Мет .тика исследований. Работа основала на применении методов гармонического анализа, чнтегральннх представлений и теории представлений групп Ли.

Нага т>аботн. Диссертационная работа посе тшна получении критершв голоморфности и существования голоморфного продолжения фушащй, классификации инвариантных относительно стационарной содгрушш нуля группы алалитических автоморфизмов функциональных пространств на границах Шилова огоакиченнюс симметрических областей первого тала.

Няапядя новизна, работа. Все результаты диссертации является побкмн.

1. Полутон критерий голоморфности функции, заданной в ша-рогш слое из €•'' .

2. В терминах одномэрного голоморфного продолжения найдены критерии существования голоморфного продолжении функций с комплексной сфера.

3. Получены критерии существования у функций голоморфного продолжения дая ограниченных областей с границей кгасоа Ск .

4. Полностью классифицированы инвариантные относительно стационарной подгруппы пуля группы аналитических автоморфизмов подпространства пространства интегрируемых с квадратом функций на границах Шилова двух основных серий ограниченных сишетрк-веских областей.

Практическое и те этическое значение. Работа косит тео-

ретичесЕлД характер и похе.т найти прянененяз э теории функций икотах комплексных переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладизлшгаь на Всесоюзной шкояе-седанарэ "Комплексна® анаяин н игль»агл-ческая фкзкка" (г.Красногрск, К67), на 1У школа молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (г.Новосибирск, 1987)„та научно-исследовательских сеьгмгарах йисчгтуш ынтеитикв СО Ш СССР, Института физики СО Ш СССР (хчрраснохргх), Московского государственного университета и Омск-го государственного университета.

. Пуо'яикпцми. Основные реь^льта-*а дкссврдарга Офблътшш в рабитгх £9-12].

Объём работу. Диссертация нзяочена на 96 о. н яз

введения, трех глав я списка дгг-гл^ра из 41 напменсвштпл,

сззср содязинм рдвогн

Первая глава посвящена изучения

£ Я

подпространств в ¿. (С ) . Получен кр^т&^кй гоясморфнл функции о заданной з паровом слоэ из .

СорвдЯ параграф ссдората необходим* сйредезшшя я кзко--торкз псп&гогательнда результаты.

Пуегь И'р,р - с;т53ч:ио на едгаппауэ ефору "Г т С" пространс*ва осаг гараютгсесиэс од^чрсйан» тканомо«». ыевдкх пслнук степень Р по порекеннст г1,..., г„ л полку» степень по перег-ге..ныи 14I, . Цо^еэ К^ е Н(р>у) обозначил сферпческуз функции, однозначно садел.тгяув условней киварпаш-исстй йтиосктельно стационарной подгрупга* гоадст е=(1,0,...,0) и ::ор?.'лров'гой Ц Кр1Ц = КР1 (Ь) . Пус?ь Мр) - прост-

ранство, состоящее из всех линейных комбинаций функций вида с(г)-his) , где с(г) _ радиальная функция, Н(/>,?>

и cii)-h(&) е ¿?.(Сп) . Ортогональный проектор ¿.(С*) на обозначим через Щц .

Пространство X с будем называть унитарно-инва-

риантным, если для всех f*X и всех ueUin) функция f»u «X. \ . '

Пусть

где

СрГ (и = -£— J flz-ue)kpi({u:ib)cljuuu) i/o)

и ¡л - нормированная мера Хаара на унитарной груше. Основным результатом первого параграфа является

ТЕОРЕМА 1.3. ¿J ( С"} - замкнутая линейная оболочка функций , где у, и. eU(п) и р. <f >, 0 содер-

'Ш f . * ,

Или, говоря на языке унитарно-инвариантных пространств, йшймальное замкнутое унитарно-инвариантное подпространство в

' & Л

<L { С ), содержащее все функции )p<i , V£ if'-.'J ъ о , сщеряит ^ .

Пусть Я. - аиаяигичесгай диск в , т.е. Я = f ( В*) , В1 - единичный круг в С , f : ß* -> СЛ - голоморфное отобрааение класса С1 ( Б') , и цусть Я* - аналитический . диск, параметризованный отобраяением f (~) : ß 1 —». с" . Через ЭЯ обозначим границу Шилова диска Я . Пусть

результаты. Во втором пах .графе для случал единичного шара доказана достаточность рдгд семейств комплексных прямое. Приведет! примеры довольно широких семейств прямых не являющихся достаточными.

Пусть 0-т , п _ группа всех унитарных преобразований з С" вида

2 =

А 0 1 , А г U{m) & £ U(n-tn) . О &

Теорем! 2.3 усиливает результат У. Годика.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть - сеней сто о комплексных прямик» не преходяща через О „ которое 0-т - инвариантно для некоторого фиксированного >n а

U (Ans") =r Sn,

Л

Пусть V - произвольная окрестность единицы унитарной группы U(n) , CeveHcvuo комплексных прямых определим ра -венетвоы

= U vraö) , V{J-J = {*Г(Л): да,}.

ъГбУ

Тогда 3-v достаточно для голоморфного продолжения.

Результат й. Глоо'езнага следуем из тоорекы 2.3 (я = 2 « т = I).

ТЕ0РЕИ1 2.5. Зафиксируем £ е (О, I). Пусть Г - подпространство б С" размерности n-i и Ä - паровой слой з Г :

$1 = [ г с Г : +

Обозначим через множество всея комплексных прямых, пе-. Семейство З-л поста? очно для голоиорф -кого продолжения со сфзры 5П в шар в" .

К ч;ресно, что не является достаточным для <2' = { г ь Г : и! < ± } (пример 2.4).

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть ^(г; = г//г/ проекция <С"Ч{?} на и шояестйо М с £п \ {0 } удовлетворяет условие:

1) если г « М , то к е М для всех т£: , = 1 ;

2) заднканме ^(У) млеет положительную лебегову меру

р II

на о

Тогда семейство всех комшсксных пря'-ясс, пересекающих

а достаточно для голоморфного продолжения со сферы .

В третьей параграфе второй главы рассматривается ограниченные области в С" с границей класса С4 . Теореш 3.2 п 3.3 усиливают результат Е. Стаута [7] . Йс доказательства используют идея А.М. Кстыаноаа [I, с.264^ , а шдашо, получение теореш об одномерном голоморфном продолаенш с пэыоцьг. проективной версии формулы Ыг рткнейш-Еохнера.

ТЕОРЕМА 3.2. Допусти«, что область Я- свялпа . Пусть V - произвольное открытое подаяоиество в Л м 3-у ■■ семейство всех комтшексных прямьк, пересекаащж: V . Тогда достаточно для голоморфного продолжения с границы Э51 . ТЕОРЕМА 3.3. Пусть с" \ {Яи22] связно. Пусть У - от крессе поддаожество единичной сфорц . Обозначим через семейство комплексных прямых, пересекающих .

, в ада ^ и + , * е с } гЛе а е » ^ е I/ . Тогда достаточно для голоморфного продолжения с "ЭЛ . Большинство результатов первой и второй главы получены

10

= / /г^/ < /г/< ¡ь/11

Я- !• ьлгЭя гоч'З/г

и « С(&а) . Будем говорить, что £ <? Ня , если »¿гя

лобого и. е ие>) сужение , где "-Я - обрм

аналитического диска К при унитарном преобразовании и

допускает непрерывное продолжении и и ( Д. и ЪЯ) г голо-

МОрЙНОГ) В 1л Я .

По втором параграфе первой главы изучаются унитарно-ии-вариангные пространства . Доказаны:

'ГЕОРЫЛА 2.1. Пусть о / Я и Э Я . Зафиксируем нытурадь-ное чисдо У , и пусть для всех наборов целых неотряцатель-ных чисел , ..., к„ , таких» что *-...*■!<„-/'/ , функции ..... € .Тогда ^ « Ид .

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть либо £ Н^ п Сг (52д) , либо / е Нл Я Н(.* . Тогда, если функция завис!« только о? |г[ , то ^ постоянна в .

В третье» параграфе первой главк доказан критерий голоморфности функция, заданной в шаровом слое из С" . Рассмотрены обобщения этого критерия и приведен« необходимые примера. Основной результат сформулирован а теореме 3.1«

ТЕОРЕМА 3.1. Предположи.!, что аналитический диск /1 удовлетворяет условиям: I) О $ КиЪ!\ , И) "ЗК не подерется н:ч в кагсой койпавксной прямой в С" , проходящей «ереа 0 » Пусть либо / б Ня Л С) 0 дкбо ^ е л .

Тогда фуик^я £ голоморфна а . ■

Другим: словами, вкпозненкэ условий ¿; л и) в-ччет впличенпя Ня п с Н,-йй ) и л с:

7

Зторая глава посвящена нзу'-енкв услозий при которых не-прерызная функция допускает голохг-фное продолжение с границу ЪЯ. области Я- у область. Центральное место ь этой главе ьангпдае? свойство одномерного голоморфного продолжения.

Будем говорить, что функция е С(о51) допускает голоморфное продолжение вдоль комплексной прямой А , если дня сукония гХ-^/Э-ЙЛЛ существует функция Рл , непрерывная в (Я идЯ)П А и голоморфная в Л Л Л „ такая, что

г. - Р I ЭЛ л Л • Скажем, что семейство комплексных прямых л л

достаточно для голоморфного продолжения, если всякая фунацад £ « С ( Э-52 ) , допускающая голоморфное продолжение вдоль зсех пряыьк из дам:5го сеиейстЕа, принадлежи г? пространству А[дЗ.) , т.е. имеет продолжение непрерывное с & и Э.51 л голоморфное в

Первый результат в даетом направлении принадлежит К.Л. Аграновскому к Р.З» бальскоцу. В работе [2] доказано, что множество всех прямых, пересекающих единичный иар в С", достаточно для голоморфного продолгегчз со сферы . Затем Е. (5гауу [7] распространил этот результат на произвольные

о

области с границей класса. С" . Дальнейшие исследования "или направлены на поиск более узких достаточных семейств прямых. Стиетт результаты У. 1удкна ( [&] , теореиа 12.3.II), МЛ-'. Аграновского [3] , Й. Глобев;./ка . [4] , Е. Гринберга [5] . У. ,-удич доказал, что в случае единичного лара достаточным является семейство всех касательных прямых к сфсре фиксированного радиуса г < * с центром в нуле. й. Пяобев-ник в случае л = 2 указал довольно узкие подмножества этого семейства также являющиеся достаточными.

Ьорвый параграф второй главы содсргкт вспомогательные В

= п

г-1 ^

г

х

где

^ = 2_ Ми^ЬгА.-.г^Шг..^.»-б^-.*-*). 1 .....

¿7 = 0, * ; 4 ¿г,уг ; Сг ■>■ ^ -¿г ■

Здесь ) - определитель минора матрч-

цы И , полненного пересечением первых ¿г столбцов л строк, соответствующих элементам ¡гноаествн ^ 1,..., , ¿о ••

} » , ) - определитель ми-

нора матрицы 2 , полученного шресечсш*ен последних столбцов и строк, соответствующих элементам множества { ^ л-*

ТЕОРЕМА 2.7. Пусть К1 и 2. Тогда регулярное нредсуовде-.кие имеет простой спектр* Пространство .кладыпается

в прямую сумму неприводими: /ч - инвариантных подпространств

© ^>

где сумшрование ведется по всея представлениям , сигнатуры которых шеи вид

{5 ^ , ; з;, га, о, ..., а, , Гл)

и Ъ принимает значения 0, л, . ..) /тип ( , )

Старший весовой вектор га пространства Н£ равен

Теоремы 2.1 и 2.7 дают описание псех /< - инвариантных подпроетр: :стз в (Ъй^) и

. Любое такое

подпространство есть ¿г - замыкание алгебраической суммы некоторого набора пространств Н^ « где £ принадлежит спектру ;регулярного представления.

Пространства Н£ состоят из К^ - гармонических поли-нойов, т.е. обцих репеннй всех уравнений О (1) = 0, где Ь - произвольный - инвариантный дифференциальный оператор с пзстоянныш коэффициентами, аннулирующий константы.

ТЕ0Р1ША 2.9. Спектр регулярного представления простой только при т в I, 2, П .

Теорема 2.Э показькт(5Т, что при 2 < т <п-1 разложение пространства ¿?(3 ] на неприводимые ортогональные К -инвариантные подпространства существенно неоднозначно.

В третьем параграфе гретьей главы изучаются некоторые представления эквивалентные регулярному. Найдены дифференциал ышо операторы, действующие в пространстве старших векго -ров.

В заключение автор выранает кскреншш признательность саоьцу научноцу руководителю профессору С.С. Кутателедзе за всестороннюю поддераку, а такае доктору физико-иатекадичес-ких наук М.Л. Аграноаскоцу за плодотворные обсуждения материала диссертации.

с использованием гармонического анализа функций на сфере 5" (граница Шилова единичного шара ). Третья глава посвя-цена вопросам гармонического анализа на границ:« Шилова ограниченных симиетричес" сс областей первогс типа.

Пусть ОД (>гцп) - ограниченная симметрическая сбл&ать первого типа,

Д = I" Ъ * МяЦгпкп, С) ; г'м'- гг'х)]

о,

Условие больше нуля сзна^чет, что ормитова патрица положительно определена. 8 частности, -■ В." . Гранту Шллоза области О", будем обозначать через

3 первой параграфе даются ш:обход:&ы-э определения, приводя гея известные теоремы и полнены зспсиогательнь.- результаты.

Пусть К =№>?)* ¡/СО - группа действующая на по правилу Д(2) = ^ , /г - * К . Грущу

К можно представить в виде К// Кд , где К^ - 1/е»)* I(п1 я Кд - 1ст,*-1Г(г>) подгруг.тш левых и правых •■к;ггар--цх сдвигов. Определим представление группы К в ) по

правилу: 7гг&)$ ~ ¿'к , !'/( . Представление 7Г будем называть ре/улярныа.

Во втором параграфе третьей главы дана полная класскфд-кацяя К - инвариантных подпространств в пространства^ I

иСдО"^} и 30" ) • Исследован вопрос о простоте

спектра Регулярного представления.

2 л

йзетор $ * С ) называется Кя - фгаитныа, есяя векторное пространство ] ] , натянутое на орбиту > £«К^ вектора ^ конечномерно. Вектор ^

называется !<% - финитным типа 8 » если представление группы на £ Г(к13 ^ , поровденное представлением

7Г , раялагается е конечное число копий, эквивалентных представлению 8 . Обозначим через подпространство

в Цг( , состоящее из всех Кд - финитна, векторов типа $ . Пусть К^ - множество классов эквивалентности коьечномеркгк унитарных неприводимых представлений группы Кд , для кавдого из которых пространство непусто.

Известно [8, с.440] , что

= © Ь7 . г. ^

Зафиксируем ¿Г е .

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть /и = . Тогда регулярное представление илеет простой спектр. Пространство Н"'1 расо

кладываотся в прямуи сумму неприводимых К - инвариантных подпространств И£ ,

и;" = © и£,

где суммирование ведется по всем представлениям £ & К. , сигнатура (сц,... , ) которых удовлетво-

ряе-д1 условиям:

б) * «, + •= Гг+____+ .

В каадга пространств Н содержится единственный смрший весовсй вектор ^ , имеющий ьид

ЛИТЕРАТУРА

Айзенберг Л.А., 2каков А.П. Интегральные представление ft ^отеты в многомерном комплексном анализе. - Новосибирск: Наущ{ 1979. - 368 е.

2. Аграновский М.Л., ВальскиЯ Р.Э, Максимальность инва-ркадт^ых алгебр функций // Сиб. кат. гуря. -1971. - T.I2,

^ г С.3-12.

3. Аграновский и.Л. Инвариантные пространства функций ц§ рруппе Гейзенберга // Сиб. кат. аури. - 1987. - Т.28,

8 - С.6-27.

C*lo8evni& J. On hlomoxpbie. extensions ft от spheta ifl £*// Pioe. Soc. BJinl. - 1Э82. - V*>l.94A.-P.m-iZO.

5. £. Zfiunc/azg values of hiltmoipltic. fuiittiMi RaJon ttahsform 'OflJ ihe one Jimensionot extension piopt%tg . - iSgC. ( РъъргклЪ )

6. рудии У. Теория функций в единичном шаре на С* • -M.J Мир, 1984. - 456 с,

7. Sioui E.L. The ¿очис/аъд. vaiues of zpilc. 4-ил ut Ions of sew-ezef ew»y>£e;t trttti ai£es // Duhe. Mnth. J. - - Vol. 4е/. - P. 10S -108 .

8. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. - М.: Мир, 1987. - 736 с.

РАБОТЫ АВТОРА ПО TEJB ДИССЕРТАЦИИ

9. Аграновский Н.Л., Семенов A.M. Голоморфность на уни-та{но-инварнантном семействе кривых в €" ' // Скб. мат. .'-■. •.. Есурн. - 1988. - Т.29, » I. - C.I92-I96. >

10. Семенов А. Ы. Голоморфное продолжение со сфер в С"

15

// Сиб. шг. щурн. - 1989. - Т.30, В 3. - С. 124-130»

11. Аграновский М.Л., Семенов A.M. Замечание об одномерной голоморфной ародснщениы // Комплексный анализ и математическая физика! Тез« докл. / Всесош. школы-семинара, Красноярск, нваь 1987 г. - Красноярску 1987. - С.б.

12. Сецсноэ A. IS. Голоморфное продолжение со сфер в С" d Комплексная анализ и ыагчтткческая физика: Тез. доisL

/ Всесооз. школы-семинара^ Красноярск, вшь 1987 г. - Красноярск, 1987. - C.SSo