Исследование свойств интегральных представлений функций, голоморфных в кратнокруговых областях, и их приложение к решению пространственной краевой задачи Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.55

Якшина Анна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В КРАТНОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ, И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМ АН А

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

М/

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете и в Благовещенском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Нелаев А.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Хабаровский государственный технический университет

Защита состоится «26» февраля 2004 года в 11 часов на заседании Диссертационного Совета КМ212.056.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. - математический анализ при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, д. 27, к. 343

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

профессор Шлык В.А.

кандидат физико-математических наук,

доцент Копаев А.В.

Ученый секретарь диссертационного Совета,

доктор физико-математических наук, профессор

Фролов Н.Н.

2004-4 27860

Общая характеристика работы Актуальность темы. Диссертационная работа относится к теории интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных и теории многомерных краевых задач. Актуальность исследования обусловлена тем, что в последние годы описан широкий класс прикладных задач в математической физике, гидроаэродинамике, теории вероятностей и др., которые с помощью соответствующего преобразования Фурье приводятся к пространственным краевым задачам. Теория решения краевых задач развивалась Ф.Д. Гаховым, Н.И. Мусхелишвили, B.C. Владимировым и другими учеными г

В одномерном случае основой решения краевых задач линейного сопряжения является интеграл типа Коши, введенный в рассмотрение на базе классической интегральной формулы Коши. Существует много различных обобщений формулы Коши на голоморфные функции нескольких комплексных переменных: формулы Мартинелли - Бохнера, Бергмана -Вейля и другие. Наиболее общее интегральное представление для голоморфных функций в Сп (п>2) было получено М. Лере. Но для приложений важно иметь представления, использующие специфические особенности задач, в которых они применяются.

Среди таких интегральных представлений выделяется класс представлений, введенный А.А. Темляковым в пространстве С2 для ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей. Представления А.А Темлякова оказались очень удобными по двум причинам: во-первых, благодаря тому, что последний внутренний интеграл в них есть либо интеграл Коши комплексного переменного и (интегральное представление Темлякова I рода), либо линейный дифференциальный оператор этого интеграла (интегральное представление Темлякова II рода); во-вторых, ядро интеграла в формулах Темлякова является голоморфной функцией

двух комплексных переменных. Тесная связь этим представлений с ин-

- БИ5ЛМОТСКЛ | 3 Cflmptypr

09

.....- тиинй

тегралом Коши одного комплексного переменного позволила при изучении интегралов Темлякова и образованных на их основе интегралов типа Темлякова использовать хорошо разработанную теорию интеграла типа Коши одного комплексного переменного.

Развитие теории интегральных представлений Темлякова и введенных на их основе Л. А. Айзенбергом интегралов типа Темлякова велось в двух направлениях. Во-первых, были продолжены работы по распространению интегральных представлений Темлякова на более широкие классы двоякокруговых областей и обобщению на случай п (п > 2) комплексных переменных. На этом пути польские математики Ор1а1 и I. 81йак получили интегральную формулу для введенного ими класса ограниченных выпуклых полных п-круговых областей типа (Т), которая включает в себя п представлений. В частном случае, при п = 2, она совпадает с интегральными представлениями Темлякова. И.И. Баврин, используя созданный им метод интегродифференцильных операторов, установил для областей типа (Т) интегральные представления более общей операторной природы. Затем им же была решена задача полного распространения интегралов Тем-лякова на области типа (Т), а также получены операторные обобщения классической интегральной формулы Коши для одного и многих комплексных переменных. Во-вторых, изучая свойства интегралов типа Темлякова в пространстве С2, Г Л. Луканкин указал приложение математического аппарата этих интегралов к постановке и решению краевых задач. Г.Л. Луканкиным совместно с В.И. Богановым, СЮ. Колягиным и другими была разработана теория краевых задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных. Определившаяся тенденция применения комплексного анализа к решению краевых задач в дальнейшем развивалась О.Д. Алгазиным, рассмотревшим в пространстве двух комплексных переменных задачи Гильберта и Шварца, А.В. Копаевым, решившим в пространстве- одностороннюю задачу Римана и задачу Гильберта,

АЛ. Краснощековым, осуществившим постановку и решение в случае ограниченной и неограниченной определяющих областей в С2 пространственной задачи Римана, в краевом условии которой содержались производные.

Важно отметить, что AJ3- Латышев, разработав методы аналитического решения граничных задач для стационарных и нестационарных модельных кинетических уравнений, применил теорию многомерных краевых задач (в частности, пространственной краевой задачи Римана) к решению конкретных физических проблем. Под руководством А.В. Латышева были решены различные краевые задачи для уpat нений переноса.

А.Т. Хвостовым с помощью предложенного им впервые в пространстве метода линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка было начато исследование дифференциальных свойств интегралов типа Темлякова. В дальнейшем в работах А.В. Нелаева этот метод был уточнен, распространен на общий случай п (п > ^ комплексных переменных и дополнен рядом новых принципиальных положений. В настоящее время развиваемый А.В. Нелаевым метод, известный как методлинейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, является одним из эффективных средств изучения свойств различных классов функций в пространствах в том числе определяемых интегралами типа Темлякова, Темлякова - Баврина, Коши -Баврина.

Цель работы.

1. Вывод новых дифференциальных свойств функций, представи-мых интегралом типа Темлякова I рода и интегралом типа Темлякоьа -Баврина I рода ^го ( к е ЭД порядка с определяющей двоякокруговой областью типа А.

2. Наведение групповой структуры на множестве интегродиффе-ренциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга.

3. Исследование дифференциальных свойств интеграла типа Ко-ши — Баврина второго порядка в случае бикруга

4. Изучение граничных свойств функций, представимых интегралом типа Темлякова - Баврина первого порядка с n-круговой (п > 2)- определяющей областью типа А, и применение разработанного математического аппарата к постановке и решению краевой задачи Римана в пространстве С" (п > 2).

Методы исследования. Основными методами исследования являются развиваемый А. В. Нелаевым метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами и аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов; используется теория групп.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, опубликованы и заключаются в следующем:

1. Установлена формула связи между частными производными интеграла типа Темлякова I рода (случай определяющей двоякокруговой области типа А) и его плотностью. Это соотношение применяется затем для вывода формулы дифференциальной зависимости между интегралом типа Темлякова - Баврина I рода к-го порядка с определяющей -двоякокруговой областью типа А и граничными значениями его плотности.

2. Наведена групповая структура на множестве интегродифферен-циальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга, а именно доказано, что это множество является свободной неабелевой группой с континуальной системой образующих.

3. Получены дифференциальные свойства класса функций двух комплексных переменных, определяемых интегралом типа Коши - Баври-на второго порядка в случае бикруга. В числе установленных свойств -дифференциальная связь с интегралом типа Коши, обобщенные условия

Коши - Римана, квазибигармоничность действительной и мнимой частей изучаемых функций.

4. Проведено исследование свойств интеграла типа Темлякова -Баврина первого порядка с определяющей п-круговой (п > 2) областью типа А. Результаты использованы при постановке и решении пространственной краевой задачи Римана в классе функций

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных, теории операторов, теории квазианалитических в смысле А.А. Темлякова функций, теории многомерных краевых задач, а также служат основой для новых исследований.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [15], список которых приложен в конце автореферата.

Апробация • работы. По материалам диссертации были сделаны доклады и сообщения на II Международной конференции, посвященной 80-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (г. Москва, 2003 [13]), на заседании зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2003 [6]), на IV научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ "Станкин" - ИММ РАН» (г. Москва, 2001 [10]). Результаты исследовательской работы обсуждались на научных конференциях преподавателей и аспирантов МПГУ и МГОУ (1999 - 2003 г.г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 11 параграфов,- заключения и списка литературы, содержащего 118 наименований. Общий объем работы 136 страниц.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность, цели, новизна, теоретическое и практическое значение работы, дается обзор литературы по теме диссертации..

Первая глава (§§1-4) носит вспомогательный характер, ее материал является фундаментом для дальнейших исследований. Она посвящена интегральным представлениям Темлякова, свойствам интегралов - типа Темлякова и обзору основных положений метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

В первом параграфе определяются - интегральные представления Темлякова; рассматриваются интегралы типа Темлякова I и II рода:

в случае двоя >0,с3>о};

>

и = с,2,+с2г,с*, ф(|,*п)= где {"(т.^т^е ц, то есть определена

о

на топологическом произведении

непрерывна по совокупности переменных, 2л - периодична по t и по комплексному переменному т| удовлетворяет условию Гельдера.

Указаны свойства функций, определяемых этими интегралами: голоморфность в областях Б.

Е^^.ОеС2: с.Щ-с^^иЕ^^.^еС2: с^-с.^м),

неголоморфность, вообще говоря, в области •

0-={(2„2а)еС2: с^г^+с,^,] > 1, [с^г,] —с,|2,| < 1},

непрерывность во всем пространстве С2, за исключением окружностей особенностей

Второй параграф посвящается обзору основных положений развиваемого А.В. Нелаевым метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

В третьем параграфе приводится сводка результатов исследования интегралов типа Темлякова, полученных в 60 — 70-х годах методом линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка А.Т. Хвостовым и А.В. Нелаевым.

В четвертом параграфе установлено новое дифференциальное свойство интеграла типа Темлякова с двоякокруговой определяю-

щей областью D типа А, сформулированное в следующей теореме.

Теорема 4.1. Функции, представимые интегралом типа Темлякова I рода с определяющей двоякокруговой областью D типа А, в области D" удовлетворяют дифференциальному соотношению

Далее (в п. 2°), формула дифференциальной связи (1) распространяется на интеграл типа Темлякова - Баврина I рода Ь-го порядка (к е 14) с определяющей двоякокруговой областью D типа А:

в котором

I

ф(1,л) = (м,г|)1т, функция т{т,иг\)

принадлежит классу ц;

- вещественные параметры, принадлежащие промежутку

[0,1], У,, 8»,

б|г) - неотрицательные числа, удовлетворяющие условиям у1 > 1,

ик =с1е1"1" •••£*''" г, +С2£18:" .

Результат изложен в теореме.

Теорема 4 2. Интеграл (2) в области Б" удовлетворяет дифференциальному равенству

Во второй главе диссертации (§§ 5 - 8), во-первых, наводится групповая структура на множестве интегродифференциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга, во-вторых, методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами проводится исследование дифференциальных свойств функций, представи-мых интегралом типа Коши - Баврина второго порядка вне определяющей области пространства

В пятом параграфе показано, что множество О интегродифферен-циальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга, относительно операции произведения (суперпозиции) операторов образует свободную неабелеву группу с континуальной системой образуощих.

Поиску применений указанных операторов к решению функциональных уравнений посвящен шестой параграф.

Седьмой параграф содержит обзор основных результатов проведенного А.В. Нелаевым исследования поведения в пространстве С2 интеграла

с определяющей областью единичным бикругом

Поясним введенные в интеграле (4) обозначения: плотность ^.т.с;,,^) непрерывная по совокупности переменных функция, определенная на тсь дологическом произведении Д, х Д( хТ*, Д,=[0,2л], Д>=[0, ]];

Т! ={((;1,5,)еС2: |<5,| = 1|, удовлетворяющая условию Гельдера,

не зависящему - любые положительные числа с условием

- любые неотрицательные числа с условием - фиксированные по

произволу ТОЧКИ ИЗ и2 ;

V, = X5-. [г- 2, + (1 - Г )• < ] + (1 - ^ )• , V = 1,2.

Функции, определяемые интегралом (4), голоморфны в бикруге 11' и, кроме того, в области II"* = {(г^г^еС2: |2,|>1, |22|<1| - если

ст,=6,=0, или в области 1Н" ={(21,2,)еС2: [< 1» |г2|>1} - если а2 = 8, = 0. В области II" = {(г,, г,)е С2: |?,| >1, |гг| > 1} и в областях

и"* (при ст, > 0) И и*~ (при С; > О ) интеграл (4) представляет собой

непрерывные, неголоморфные, вообще говоря, функции.

В восьмом параграфе изучены дифференциальные свойства частного случая интеграла (4) - интеграла типа Коши - Баврина второго порядка:

- произвольная непрерывная на остове Т2 функция, удовлетворяющая условию Гель-дера.

Доказано следующее предложение.

Теорема 8.1. Интеграл (5) и соответствующий ему интеграл типа Коши - Баврина первого порядка

в области неголоморфности связаны дифференциальным соотношением

Г-1'к.^)+Я)[ф(гл)]=р(2„г!)) (6)

Следствие 8.1. Учитывая полученную ранее формулу связи интеграла типа Коши — Баврина первого порядка с соответствующим ему интегралом типа Коши:

(2га) Д^-гД^-г,) заключающуюся в следующем:

Рр(2,.) + к[р(21 • )] = »2 2).

устанавливаем дифференциальную зависимость между интегралом (5) и

СООТВеТСТВуЮЩИМ емл/ инте.гпяттом типя Котттм'

(Р + кХ(г + Я. , )]] = , ) ^ (7)

На основе формулы (7), учитывая голоморфность интеграла типа Коши, заключаем, что в области неголоморфности для интеграла типа Коши - Баврина второго порядка выполняется система дифференциальных уравнений:

(8)

которую назовем обобщенными условиями Коши-Римана для интеграла

(5).

Установлено, что действительная и мнимая части функций, определяемых интегралом типа Коши - Баврина второго порядка являются обобщенно-сопряженными и квазибигармоническими в области неголоморфности функциями.

В третьей главе (§§ 9 — 11), во-первых, продолжено исследование по развиваемой А.В. Нелаевым теории интегралов типа Темлякова - Баврина, а именно, рассматриваются интегралы типа Темлякова — Баврина I рода первого порядка с особо заданной компонентой и в ядре интеграла в пространстве во-вторых, установлено их применение к

постановке и решению задачи Римана (§11).

В параграфе девять вводится в рассмотрение интеграл типа Темля-кова - Баврина 1 рода первого порядка:

с определяющей n-круговой (п > 2) областью D типа А:

D = {zеC°:c1|z1| + --+c,jz.|< 1,с, >0,...,с, >о}.

В интеграле (9) плотность <?(0,ri)= Jf(x,6,r|)dcol, f(T,9,r|)en, то есть определена и непрерывна по совокупности переменных на множестве М = {т,е,л: х е Д, 0 < 9Ь 5 2я, |п| = 1, h = 2,...,п),

Д = {т = (т„т1,...,т,):т1+т2+ — + т> =1,т, >0,т2 SO.....т. >0},

27t - периодична по 0Ь, h ~ 2,...,п, и удовлетворяет по г) условию Гель-дера Я, (о < а S l): |f(t,e,ri')-f(t,e,n*)j < К]г)' - Tif. где константы К>0 и а не зависят от т и 0;

uv(k( = c^z, +c2e6,z,e"'°' н-----(-c.e'-z.e"18,, (10)

где k - натуральное число с условием 2 < k < п -1. Будем предполагать, что в (10) показатели 5,,82,...,5. представляют собой набор из нулей и единиц, причем нулю равны 8V ,SV ,...,5>t, v, < v2 <••• < v„, а единице -

все остальные показатели.

Отметим, что интеграл (9) совпадает с интегралом, изученным учеником A.B. Нелаева-А.Е. Луковниковым, в случае к = 1, то есть когда компонента и имеет вид:

u = uv(D =c1z,+c2ez2e:'e' +—+c.ez„e">-.

Далее, для определенности положим v, = 1 и с, = 1. Десятый параграф посвящен разработке математического аппарата интеграла типа Темлякова - Баврина I рода первого порядка.

Функции, определяемые интегралом (9), обладают следующими свойствами:

1) голоморфны в областях D, Е,, Е, , j=2,...,k;

2) непрерывны во всем пространстве С" за исключением точек окружностей особенностей

но проявляют в своем поведении в ней определенные обобщенно-аналитические свойства: в областях выполняется система

4) имеют конечные предельные значения в точках окружностей

при стремлении точки z к точке 2, е В, из областей О И Е,, или при

стремлении точки z к точке 2, еВУ( ИЗ областей О И Е„ , ^2,...,к.

Изучен характер поведения предельных значений интеграла (9) в точках окружностей особенностей В,, В„ . Установлено, что интеграл (9)

исчезает на множестве бесконечно удаленны точек областей

Введено понятие класса функций к которому, в частности, относятся функции, определяемые интегралом типа Темлякова - Баврина I рода первого порядка в случае области D типа А.

В параграфе одиннадцатом рассмотрен.) задача Римана: 1) Однородная: Пусть в пространстве С" задана ^круговая область

D типа А. Требуется найти функцию класса (т,'), обращающуюся в

нуль в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним из области ,

удовлетворяющую в точках окружности В, краевому условию

V. *1 /

= 0, ш=1,...,п;

j = 2,...,k.

г(зО=с(ть)г&).

где функция G(rj,) определена и удов-

«d1 ме*

летворяет условию Гельдера Н. (О < а £ l) на окружности Bj, причем

нигде на В не обращается в нуль и ее индекс as= IndG^,)^ 0 . 2) Неоднородная: Пусть в пространстве

С" задана п-круговая область D типа А. Требуется найти функцию f(z) класса ("Г,'), обращающуюся в нуль в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним из области Е, удовлетворяющую в точках окружности В, краевому условию

r&bGfoJrGO+gfo),

где функции определены и удовлетворяют условию Гель-

дера на окружности нигде на не

обращается в нуль.

Их решения находятся в виде интеграла (9), плотность которого определяется указанным способом.

В заключении указаны возможности постановки пространственной задачи Римана на окружности особенностей Br , j = 2,...,k.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту МГОУ А.В. Нелаеву за постоянное внимание к работе и заведующему кафедрой математического анализа МПГУ профессору СЮ. Колягину за всестороннюю поддержку во время обучения в аспирантуре.

Работы автора по теме диссертации 1. Нелаев А.В , Якшина А.С. О неоднородной краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруго-вых областях // Математика, Компьютер. Образование: Сб. науч. тр. 2001. Т. 8. №2. С. 415-423.

2. Нелаев А.В., Якшина А.С. О решении пространственной задачи Римана. в некотором классе функций, голоморфных в n-круговых областях // Тезисы докладов VI Международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии». Краснодар. 2001. С. 299.

3. Нелаев А.В., Якшина А.С. Исследование свойств одного класса функций двух комплексных переменных. М. 2000. Деп. в ВИНИТИ 20.112000; №2938-В00.16 с.

4. Нелаев;А.В., Якшина А.С. Об однородной краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруго-вых областях // Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. 2001. С. 80 - 88.

5. Нелаев А.В., Якшина А.С. Пространственная неоднородная краевая задача Римана для функций, голоморфных в n-круговых областях // Тезисы докладов Международной юбилейной научно-практической конференции, посвященной 70-летию МПУ «Народное образование в XXI веке». Москва. 2001. Т. 2. С. 42 - 43.

6. Нелаев А.В., Якшина А.С. О группе интегродифферёнциальных операторов Баврина // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж. 2003. С. 167 - 168.

7. Нелаев А.В., Якшина А.С. О группе интегродифферёнциальных операторов голоморфных функций, специфических для поликруга // Тезисы, докладов X Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино. 2003. С. 145.

8. Якшина А.С. Об одном классе функций, квазианалитических вне бикру-га // Науч. тр. МПГУ. 2001. С. 65 - 67.

9. Якшина А. С Исследование дифференциальных свойств - некоторых классов интегралов в С2 // Математика. Компьютер. Образование! Сб. науч. тр. 2001. Т. 8. № 2. С. 424 - 432.

10. Якшина А.С. О свойствах одного класса интегралов в С2 // Тезисы докладов IV научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного-центра математического моделирования МГТУ «Станкин» — ИММ РАН». Москва. 2001. С. 30. '

11. Якшина Л.С. Об одном классе ассоциированных с бикругом квазианалитических функций // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж. 2001. С. 293.

12. Якшина А.С. О свойствах и применениях классов функций'многих комплексных переменных // Тезисы докладов XI Саратовской- зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов. 2002. С. 234 - 235.

13. Якшина А.С. Дифференциальная связь одного класса интегралов с интегралом типа Коши // Тезисы докладов П Международной конференции, посвященной 80-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования». Москва. 2003. С. 126 -127.

14. Якшина А.С. Об интегродифференциальных операторах И.И. Баврина и их приложении к решению функциональных уравнений// Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. № 5. С. 1189 - 1194.

15. Якшина А.С. О дифференциальных свойствах интегралов типа Темля-кова и типа Темлякова - Баврина // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. № 6. С. 1432-1435.

Якшина Анна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В КРЛТНОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ, И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ЛР № 040326 от 19 декабря 1997 г.

Формат бумаги 60x84 1/16

Бумага тип. N1 уч.-изд. л. 1,12

Тираж 100 экз. Заказ № 1155

Издательство Благовещенского государственного педагогического университета.

Типография Благовещенского гос. пед. Университета 675000, Амурская обл., г. Благовещенск, ул. Ленина, 104.

РНБ Русский фонд

2004-4 27860

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Исследование дифференциальных свойств интеграла типа Темлякова методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

§ 1. Интегральные представления Темлякова и интегралы типа

Темлякова.

§ 2. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

§ 3. Дифференциальные свойства интеграла типа Темлякова с двоякокруговой областью типа А.

§ 4. Дифференциальная связь между интегралами типа Темлякова и типа Темлякова - Баврина и их плотностями.

ГЛАВА II. Интегродифференциальные операторы И.И. Баврина.

Исследование дифференциальных свойств интеграла типа

Коши-Баврина.

§ 5. О группе интегродифференциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга.

§ 6. Применение интегродифференциальных операторов, специфических для поликруга, к решению функциональных уравнений.

§ 7. Интегралы типа Коши - Баврина в случае бикруга и общий анализ их поведения в пространстве С.

§ 8. Исследование интегралов типа Коши - Баврина второго порядка методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

ГЛАВА III. Интегралы типа Темлякова - Баврина в случае п-круговых областей (n > 2) типа (Т) и их применение к решению пространственной краевой задачи Римана.

§ 9. Интегральные представления и интегралы типа Темлякова

Баврина в случае п > 2 комплексных переменных.

§ 10. Свойства интегралов типа Темлякова - Баврина.

§ 11. Постановка и решение пространственной краевой задачи Римана

В настоящее время теория функций многих комплексных переменных является быстро развивающимся разделом современной математики. В работах научных школ академиков Н.Н. Боголюбова, B.C. Владимирова, Ю.В. Линника её результаты были применены в построении квантовой теории поля [1] и в математической статистике [4].

Как известно, в одномерном комплексном анализе важную роль играет классическая интегральная формула Коши. Существует много различных обобщений формулы Коши на голоморфные функции нескольких комплексных переменных: формулы Мартинелли - Бохнера, Бергмана -Вейля и другие ([1], [5]). Наиболее общее интегральное представление для голоморфных функций многих комплексных переменных было получено М. Jlepe. Но для приложений важно иметь представления, использующие специфические особенности тех задач, в которых они применяются.

Среди таких интегральных представлений выделяется класс представлений, введённый А.А. Темляковым (см., например, [92] - [94]) в пространстве С2 для ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей.

Представления А.А. Темлякова оказались очень удобными по двум причинам: во-первых, благодаря тому, что последний внутренний интеграл в них есть либо интеграл Коши комплексного переменного и (интегральное представление Темлякова I рода), либо линейный дифференциальный оператор этого интеграла (интегральное представление Темлякова II рода); во-вторых, ядро интеграла в формулах Темлякова является голоморфной функцией двух комплексных переменных. Такая тесная связь интегральных представлений Темлякова с интегралом Коши одного комплексного переменного позволила при изучении интегралов Темлякова и образованных на их основе интегралов типа Темлякова использовать хорошо разработанную теорию интеграла типа Коши одного комплексного

• переменного.

Основы теории интегральных представлений Темлякова были заложены в работах учеников А.А. Темлякова: JI.A. Айзенберга (см. [6], [7], [8]), впервые введшего в 1958 году понятие интегралов типа Темлякова и изучавшего их поведение в пространстве С2; Г.Л. Луканкина (см., например,

46], [47], [48], [49], [51], [53], [55]), положившего в 1963 году начало исследованиям по применению математического аппарата интегралов типа Темлякова к постановке и решению многомерных краевых задач; В.И. Боганова (см., например, [20], [22], [23], [24]), включившегося в 1967 году в разработку совместно с Г.Л. Луканкиным теории задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных. Параллельно велись работы по распространению интегральных представлений Темлякова на более широкие классы двояко круговых областей и в пространство С" (п > 2). На этом пути в 1963 году польские математики 3. Опиаль и Й. Сичак (Z. ф Opial, J. Siciak) [102] получили интегральную формулу, включающую п п > 2) представлений для введенного ими в рассмотрение класса ограниченных выпуклых полных n-круговых областей типа (Т). В 1965 году ученик А.А. Темлякова И.И. Баврин (см., например, [9], [10], [И], [12], [14], [15], [16], [17]), с помощью созданного им метода интегродифференциальных операторов, установил для областей типа (Т) интегральные представления более общей операторной природы, которые затем им же подверглись дальнейшему операторному обобщению, а также получил ряд операторных обобщений классической интегральной формулы Коши одного комплексного переменного.

Существенным вкладом в развитие теории интегралов типа Темлякова явилось установленное учеником А.А. Темлякова А.Т. Хвостовым в 1967 году ([95] - [97]) с помощью предложенного им метода линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка явление квазианалитичности интегралов типа Темлякова вне области голоморфности.

Оказавшийся эффективным, этот метод был взят на вооружение учениками И.И. Баврина и Г.Л. Луканкина- В.В. Гагиевым, В.А. Гусаковым, А.В. Латышевым, В.Л. Литвинюком, С.Ю. Колягиным, А.В. Нелаевым и др. Началось исследование дифференциальных (квазианалитических в смысле А.А. Темлякова) свойств различных модификаций интегралов типа Темлякова, а так же интегралов типа Темлякова - Баврина.

Постепенно метод линейных однородных дифференциальных операторов сам стал объектом исследования. Начиная с 1973 года в цикле работ А.В. Нелаева первоначальная версия метода подвергается ряду уточнений (см., например, [83], где уточнены рамки применимости основополагающего правила действия операторами на интегралы с переменными пределами интегрирования — обобщения правила Лейбница)', пополняется новыми положениями (например, конструктивно решён [77] вопрос об условиях коммутативности применяемых в нём операторов); распространяется на общий случай n > 1 комплексных переменных. Существенно развитый (см., например, [71]), метод известен ныне как метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

В работах А.В. Нелаева этим методом было проведено эффективное исследование ряда классов интегралов в одномерном и многомерном комплексном анализе (подробный библиографический обзор, по состоянию на 1998 год, приведён в [66]). Установленные результаты составили основу развиваемой теории квазианалитических в смысле А.А. Темлякова функций, которая находит применения, например, в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

В настоящей работе с его помощью получен ряд результатов: найдена формула дифференциальной связи между интегралом типа Темлякова I рода с двоякокруговой определяющей областью типа А и его плотностью; далее это свойство распространено на интеграл типа Темлякова - Баврина I рода k-го порядка. В этом состоит первое направление проведённого исследования.

Вторым направлением диссертационного исследования является изучение групповой структуры множества интегродифференциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга, и поиск их приложений при решении функциональных уравнений.

В третьем направлении исследования рассматриваются дифференциальные свойства интеграла типа Коши - Баврина второго порядка в случае бикруга. К их числу относятся формула дифференциальной связи между интегралом типа Коши - Баврина второго порядка и соответствующим ему интегралом типа Коши, обобщённые условия Коши -Римана, квазибигармонические свойства действительной и мнимой частей функций, определяемых этим интегралом.

Четвёртое направление исследования заключается в постановке и решении однородной и неоднородной краевых задач Римана в пространстве С" (п > 2). История развития указанного направления уходит своими корнями в работы Г.Л. Луканкина ([46], [47], [48], [50], [54], [55]), и его учеников (В.И. Боганова ([19], [20]), И.Н. Виноградовой ([27], [28], [29]) и др.). Им удалось сформулировать и решить краевые задачи линейного сопряжения в классе функций двух комплексных переменных, определяемых интегралом типа Темлякова - Баврина первого порядка с определяющей областью типа А в пространстве С . Далее исследования были продолжены А.В. Нелаевым (см., например, [67], [73], [75], [86]), который разработал математический аппарат интеграла типа Темлякова с n-круговой (п > 2) определяющей областью типа А и применил его к постановке и решению пространственных краевых задач. Затем вместе со своим учеником А.Е. Луковниковым ([59], [60], [61], [62]) им были изучены свойства интеграла типа Темлякова - Баврина I рода первого порядка с п-круговой n > 2) определяющей областью типа А, в структуру ядра которого входит компонента u = c,z, + c2ez2e-'02 +--- + cn8zne"'0n, и сформулированы и решены однородная и неоднородная задачи линейного сопряжения в классе функций, определяемых этим интегралом. В настоящей диссертации продолжена разработка математического аппарата интеграла типа Темлякова - Баврина I рода первого порядка с n-круговой (п > 2) определяющей областью типа А, в ядро которого входит компонента

Uv(k) = c165'z1 +c2852z2e"'02 +. + cne5"zne-i0", где показатели 8,,.,5П представляют собой набор из нулей и единиц, причём нулю равны SV(,5V2,.,5Vk (v, < v2 <••• < vk), а единице — все остальные показатели, к - натуральное число, причём 2 < к < п -1. Далее с его помощью осуществлена постановка и решение пространственной краевой задачи Римана.

Перейдём к изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава носит обзорный характер, её материал является фундаментом для дальнейших исследований. Она посвящена интегральным представлениям Темлякова, свойствам интегралов типа Темлякова и основным положениям метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

В первом параграфе определяются области класса (Т), рассматриваются интегральные представления Темлякова, на их основе вводятся интегралы типа Темлякова I и II рода с двоякокруговой определяющей областью типа А: zJ—Jdt J^dn,

4k2i i Ni, n-u

4л21 о |nl=. (n-u)2 где (p(t,Ti) = jf(T,t,n)dT, f(x, t,r|)e(i, u = c,z,+с2г2еи; здесь же о сформулированы общие свойства (голоморфность, непрерывность, формула для вычисления указанных интегралов в области неголоморфности) функций, определяемых интегралами типа Темлякова.

Методу линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, развиваемому А.В. Нелаевым, его истории и основным положениям посвящен второй параграф. С помощью указанного метода устанавливается ряд результатов не только в первой, но и во второй главе.

В третьем параграфе даётся обзор свойств интеграла типа Темлякова в случае двоякокруговой области типа А вне областей голоморфности, полученных в 60 - 70-х годах методом линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка А.Т. Хвостовым и А.В. Нелаевым.

В четвёртом параграфе методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами устанавливаются новые дифференциальные свойства интеграла типа Темлякова I рода и интеграла типа Темлякова - Баврина I рода k-го порядка. Среди них формула связи частных производных интеграла типа Темлякова I рода с его плотностью, которая далее распространяется на интеграл типа Темлякова - Баврина I рода k-го порядка.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию групповой структуры множества интегродифференциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга, и дифференциальных свойств интеграла типа Коши - Баврина вне определяющей области пространства С2 методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

В пятом параграфе показано, что множество Q интегродифференциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга, относительно операции произведения (суперпозиции) операторов образует свободную неабелеву группу с континуальной системой образующих.

Поиску применений указанных операторов к решению функциональных уравнений посвящен шестой параграф.

В седьмом параграфе исследуется поведения в пространстве С интегралов с определяющей областью бикругом - интеграла

2га) о о T^bi -vi)-k2-v2) и его частного случая - интеграла типа Коши - Баврина второго порядка

2га)2 i Ь где vv =x5v •[t°vzv+(l-t°w)-z'vJ+(l-x5v)-z;, v = 1,2; Т2 - остов бикруга

U2 = {(Zl,z2)eC2: |zi|<l,|z2|<l}. л

Это исследование предваряет анализ поведения в пространстве С интеграла типа Коши - Баврина первого порядка.

Изучение интеграла типа Коши - Баврина второго порядка методом линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами продолжено в восьмом параграфе: установлена формула дифференциальной связи между интегралом типа Коши - Баврина второго порядка и соответствующим ему интегралом типа Коши; выведены обобщённые условия Коши - Римана; показано, что действительная и мнимая части интеграла типа Коши - Баврина второго порядка являются квазибигармоническими функциями четырёх действительных переменных.

В третьей главе диссертации продолжена, начатая А.В. Нелаевым [85] и А.Е. Луковниковым [59], разработка математического аппарата интегралов типа Темлякова - Баврина первого порядка с n-круговой (п > 2) определяющей областью D типа А, который далее применяется к постановке и решению пространственной краевой задачи Римана (однородной и неоднородной).

В девятом параграфе вводится в рассмотрение интеграл типа Темлякова - Баврина:

Fv(k)(z) = -i-idcjdcojdco0 jlf^&Uld

2тг) 1 о J J |n]=lTl-Uv(k) где uv(k) = c,88lz,+c285nZ2e",92+--« + cn85nzne"'0n, показатели 8j,82,.,5n представляют собой набор из нулей и единиц, причём нулю равны 5Vj ,6V2 ,.,5Vk, v, < v2 < ••• < vk, а единице - все остальные показатели, к натуральное число с условием 2 < к < п -1.

В десятом параграфе изучается поведение этого интеграла в пространстве С". На основе установленных свойств (голоморфность, характер поведения предельных значений в точках окружностей особенностей и др.) вводится в рассмотрение класс функций (т,').

Одиннадцатый параграф посвящён постановке и решению однородной и неоднородной краевых задач линейного сопряжения в классе функций (т/).

В Заключении указаны возможности постановки и решения пространственных краевых задач Римана на окружностях особенностей отличных от В,.

В конце диссертации приводится список литературы, насчитывающий 118 наименования.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [103] -[118].

По материалам диссертации были сделаны доклады и сообщения на IV 1 научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН» (г. Москва, 2001 [112]), на Второй Международной конференции, посвящённой 80-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства.

Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (г. Москва, 2003 [116]). Результаты исследовательской работы обсуждались на научных конференциях преподавателей и аспирантов МПГУ и МГОУ (1999 -2003 г.г.).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту МГОУ А.В. Нелаеву за постоянное внимание к работе и заведующему кафедрой математического анализа МПГУ профессору С.Ю. Колягину за всестороннюю поддержку во время обучения в аспирантуре.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В проведённом исследовании получены, во-первых, формула дифференциальной связи между интегралом типа Темлякова I рода с двоякокруговой определяющей областью типа А и его плотностью, которая является обобщением соответствующей формулы для интеграла типа Темлякова I рода в случае единичного гиперконуса. Далее показано, что производные интеграла типа Темлякова - Баврина I рода k-го порядка с определяющей областью типа А удовлетворяют дифференциальному соотношению, связывающему их с плотностью этого интеграла. Указанное равенство обобщает соответствующую формулу для интеграла типа Темлякова - Баврина I рода первого порядка в случае единичного гиперконуса.

Во-вторых, наведена групповая структура на множестве интегродифференциальных операторов И.И. Баврина, специфических для поликруга.

В-третьих, изучено поведение интеграла типа Коши - Баврина второго порядка с определяющей областью единичным бикругом в пространстве С : найдены формула дифференциальной связи с соответствующим интегралом типа Коши, обобщённые условия Коши - Римана, показана квазибигармоничность действительной и мнимой частей функций, представимых интегралом типа Коши - Баврина второго порядка.

В-четвёртых, исследованы свойства в пространстве Сп (п > 2) интеграла типа Темлякова - Баврина I рода первого порядка Fv(k)(z) с п-круговой определяющей областью типа А, в случае, когда компонента uv(k) имеет вид u v(k) = с.е8' z, + с2е62 z2e"i92 + •. + cn£5" zne-i0", где показатели 5,,.,8П заданы особым способом. Далее математический аппарат этого интеграла применяется к постановке и решению пространственной задачи Римана (однородной и неоднородной), краевое условие которой задано на окружности особенностей В,.

В параграфе десять было отмечено, что интеграл Fv(kj(z), кроме областей D и Е,, голоморфен ещё в (к - 1)-ой области

Ev. ={zeCn: cv. zv. -|z,|-----с vrl

-C

V:+l

•c„|zn|>l}, непрерывен во всём пространстве С" за исключением окружности особенностей В, и ещё (к-1)-ой окружностей особенностей

Bv. ={zeCn: z = (о,.,0, z v.,0,.,o}|zVj| = с;'}, по которой как раз и происходит сопряжение областей D и Ev., j = 2,.,k . В этом же параграфе были найдены предельные значения интеграла типа Темлякова - Баврина I рода первого порядка с определяющей областью типа А при стремлении точки z к точке, принадлежащей окружности особенностей Bv., j = 2,.,k, и доказано, что они удовлетворяют условию Гёльдера. Далее, показано, что интеграл типа Темлякова - Баврина исчезает на множестве бесконечно удалённых точек при стремлении из областей Ev. j = 2,.,k.

Основываясь на установленных свойствах, краевое условие однородной и неоднородной задачи Римана можно сформулировать для предельных значений на окружностях особенностей Bv., j = 2,., k.

1. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука. 1964. 411 с.

2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977.640 с.

3. История отечественной математики. Киев: Наукова думка. 1970. Т. 4. кн. 1.С. 193-295.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968.511 с.

5. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз. 1962. 419 с.

6. Айзенберг JI.A. О граничных свойствах функций аналитических в двоякокруговых областях // Уч. зап. МОПИ. 1960. Т. 96. С. 15 38.

7. Айзенберг JI.A. О поведении вне области интеграла типа Темлякова I рода, взятого по границе выпуклой двоякокруговой области // Уч. зап. МОПИ. 1959. Т. 77. Вып. 5. С. 37 43.

8. Айзенберг J1.A. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций многих комплексных переменных // Уч. зап. МОПИ 1959. Т. 77. Вып. 5. С. 13 35.

9. Баврин И.И. Интегральные представления голоморфных функций // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 166. Вып. 10. С. 3 47.

10. Ю.Баврин И.И. Интегро-дифференциальные операторы и интегральные представления в выпуклых областях // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 2. С. 3 27.

11. Баврин И.И. К интегральным представлениям голоморфных функций // Уч. зап. МОПИ. 1967. Т. 188. Вып. 11. С. 3 -28.

12. Баврин И.И. К теории интегральных представлений голоморфных функций//Докл. АН СССР. 1968. Т. 180. № 1. С. 12 14.

13. Баврин И.И. Общие интегральные представления // Докл. АН СССР. 1969. Т. 186. №2. С. 247-250.

14. М.Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей. 1991.200 с.

15. Баврин И.И. Операторы и интегральные представления голоморфных функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Сб. тр. 1973. Вып. 15(1). С. 3-44.

16. Баврин И.И. Операторы и обобщённые интегральные формулы Коши, Шварца и Пуассона в случае поликруга // Математический анализ и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. 1981. С. 3 21.

17. Баврин И.И., Матросов B.JL, Яремко О.Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях и их приложения. М.: Прометей. 2000. 414 с.

18. Боганов В.И. Задача линейного сопряжения функций класса (Т) двух комплексных переменных // Уч. зап. МОПИ. 1970. Т. 269. Вып. 14. С. 49 -53.

19. Боганов В.И. Интеграл типа Темлякова и некоторые краевые задачи // Уч. зап. МОПИ. 1967. Т. 188. Вып. 11. С. 57-79.

20. Боганов В.И., Луканкин Г.Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176, № 1. С. 16 19.

21. Боганов В.И. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова // Уч. зап. МОПИ. 1967. Т. 188. Вып. 11. С. 29-56.

22. Боганов В.И. О поведении интеграла типа Темлякова I рода в точках остова области D типа А // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 166. С. 81 85.

23. Боганов В.И. О поведении интеграла типа Темлякова I рода вне области аналитичности // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 166. Вып. 10. С. 61 80.

24. Боганов В.И. Об интегралах типа Темлякова и «подвижных» областях голоморфности // Уч. зап. МОПИ. 1969. Т. 225. Вып. 12. С. 59 71.

25. Боганов В.И. Об интегральных представлениях Темлякова // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1. С. 25-37.

26. Виноградова И.Н. О некоторых свойствах интеграла типа Темлякова -Баврина // Уч. зап. МОПИ. 1970. Т. 269. Вып. 14. С. 85 96.

27. Виноградова И.Н. О поведении интеграла типа Темлякова Баврина в точках окружности особенностей // Уч. зап. МОПИ. 1970. Т. 269. Вып. 14. С. 77 - 84.

28. Виноградова И.Н. О решении некоторых краевых задач // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Сб. тр. 1972. Вып. 15(2). С. 198-216.

29. Владимиров B.C. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих комплексных переменных // Изв. АН СССР. 1965. Т. 29. С. 807-834.

30. Гагиев В.В. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова Баврина // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1. С. 124- 153.

31. Гагиев В.В. О «подвижных» областях голоморфности интегралов типа Темлякова // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Сб. тр. 1972. Вып. 15 (2). С. 153 164.

32. Гагиев В.В. О свойствах некоторых интегралов и их приложений к решению краевой задачи сопряжения в пространстве С2. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М. 1974. 139 с.

33. Гильмутдинов Р.З. О некоторых классах квазианалитических функций в Cn (n > l) // Математический анализ и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр. 1980. С. 54-60.

34. Гусаков В.А. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова Баврина // Уч. зап. МОПИ. 1969. Т. 225. Вып. 12. С. 7 - 26.

35. Гусаков В.А. Об интегралах типа Темлякова Баврина I рода // Уч. зап. МОПИ. 1970. Т. 269. Вып. 14. С. 65 - 68.

36. Гусаков В.А. Поведение интегралов типа Темлякова Баврина I рода вне области голоморфности // Уч. зап. МОПИ. 1969. Т. 225. Вып. 12. С. 27 - 58.

37. Какичев В.А. Краевые задачи для функций, аналитических в биобластях // Вестник Новгородского университета им. Ярослава Мудрого. Новгород. 1995. № 1.С. 110-114.

38. Колягин С.Ю. О поведении некоторых интегралов в бесконечноудалённых точках пространства С // Математический анализ и теория функций: Респ. сб. тр. 1974. Вып. 3. С. 125 130.

39. Кукушкин Б.Н. Аналитичность интегралов типа Темлякова и функциональная связь их производных с плотностями в случае гиперконуса // Математический анализ и теория функций: Респ. сб. тр. 1975. Вып. 5. С. 148- 153.

40. Латышев А.В. Интегралы типа Темлякова Баврина I рода 2-го порядка в случае гиперконуса // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Сб. тр. 1973. Вып. 15 (1). С. 67 - 75.

41. Латышев А.В. Поведение некоторых интегралов вне области голоморфности // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1.С. 61 -71.

42. Латышев А.В. Характеристические свойства интегралов типа Темлякова — Баврина I рода 2-го порядка в случае гиперконуса // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1. С. 52 60.

43. Литвинюк В.А. Об одном дифференциальном свойстве интегралов типа Темлякова Баврина // Математический анализ: Межвуз. сб. науч. тр. 2000. С. 92-98.

44. Луканкин Г.Л. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1.С. 10-24.

45. Луканкин Г.Л. О некоторых краевых задачах для функций двух комплексных переменных // Уч. зап. МОПИ. 1970. Т. 269. Вып. 14. С. 23-48.

46. Луканкин Г.Л. О некоторых краевых задачах теории аналитических функций двух комплексных переменных // Уч. зап. МОПИ. 1964. Т. 137. Вып. 8. С. 83-88.

47. Луканкин Г.Л. О некоторых свойствах интеграла типа Темлякова I рода в точках остова области D типа А // Уч. зап. МОПИ. 1966. Т. 166. С. 49 60.

48. Луканкин Г.Л. О неоднородной задаче линейного сопряжения // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Сб. тр. 1973. Вып. 15(1). С. 45-52.

49. Луканкин Г.Л. О поведении интеграла типа Темлякова I рода в точках остова области D типа А//Докл. АН СССР. 1965. Т. 161. № 1. С. 39 42.

50. Луканкин Г.Л. О представимости функций интегралом Темлякова вне некоторой двоякокруговой области // Уч. зап. МОПИ. 1964. Т. 137. Вып. 8. С. 82- 120.

51. Луканкин Г.Л. Об интеграле типа Темлякова I рода // Уч. зап. МОПИ. 1964. Т. 137. Вып. 8. С. 77-82.

52. Луканкин Г.Л. Об однородной задаче линейного сопряжения // Уч. зап. МОПИ. 1970. Т. 269. Вып. 14. С. 15 22.

53. Луканкин Г.Л. Пространственная задача линейного сопряжения // Вестник Международной академии наук высшей школы. 1998. №. 4(6). С. 82 -90.

54. Луковников А.Е. Исследование свойств интегральных представлений голоморфных функций в С" и решение многомерных краевых задач линейного сопряжения. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М. 2000. 142 с.

55. Луковников А.Е. О решении некоторых дифференциальных уравнений с формальными производными в классе квазианалитических функций в С"// Тезисы докладов VII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна. 1999. С. 211.

56. Луковников А.Е., Нелаев А.В. Краевые задачи линейного сопряжения в Сп для функций, голоморфных в кратнокруговых областях. М. 2000. Деп. в ВИНИТИ 4.10.2000, № 2542-В00. 19 с.

57. Луковников А.Е., Нелаев А.В. О задачах линейного сопряжения голоморфных функций двух комплексных переменных. М. 2000. Деп. в ВИНИТИ 4.10.2000, № 2543-В00. 21 с.

58. Луковников А.Е., Нелаев А.В. Пространственная краевая задача линейного сопряжения функций, голоморфных в двоякокруговыхобластях // Тезисы докладов IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология». Чебоксары. 2001. С. 17.

59. Милованов В.Ф. Свойства одного класса интегралов в пространстве С . Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уссурийск. 1984. 117 с.

60. Нелаев А.В. Дифференциальные свойства функций, определяемых интегралами типа Темлякова Баврина // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1. С. 154- 163.

61. Нелаев А.В. Задача линейного сопряжения для функций, голоморфных в круговых областях из С" // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж. 2001. С. 198 199.

62. Нелаев А.В. Интегральные представления и порождаемые ими классы квазианалитических функций // Вестник МПУ. 1998. № 3 4. С. 16 - 28.

63. Нелаев А.В. Исследование поведения интегралов типа Темлякова и интегралов типа Темлякова Баврина в пространстве Сп // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1975. Вып. 5. С. 75-86.

64. Нелаев А.В. К теории краевых задач линейного сопряжения в Сп для функций, голоморфных в кратнокруговых областях. М. 2000. Деп. в ВИНИТИ 4.10.2000, № 2541-В00. 13 с.

65. Нелаев А.В. К теории операторных аналогов интеграла типа Коши. I // Комплексный анализ и его приложения: Сб. науч. тр. М. 1988. Деп. в ВИНИТИ 11.05.1988, № 3728-В88. С. 53 94.

66. Нелаев А.В. К теории операторных аналогов интеграла типа Коши. II // Многомерный комплексный анализ: Сб. науч. тр. М. 1989. Деп. в ВИНИТИ 28.12.1989, № 7714-В89. С. 48 73.

67. Нелаев А.В. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами в исследовании комплексных интегралов в

68. С" // Математика. Компьютер. Образование: Сб. науч. тр. 2000. Т. 7. № 2. С. 444-451.

69. Нелаев А.В. Метод мажорирующей плотности в разложении комплексных интегралов в обобщённые степенные ряды // Тезисы докладов VII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна. 1999. С. 244.

70. Нелаев А.В. Неоднородная краевая задача линейного сопряжения голоморфных функций для случая кратнокруговых областей Сл // Тезисы докладов IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология». Чебоксары. 2001. С. 19.

71. Нелаев А.В. О квазианалитических свойствах функций, определяемых обобщённым аналогом интеграла типа Коши в области U" // Многомерный комплексный анализ и его приложения: Сб. науч. тр. М. 1995. Деп. в ВИНИТИ 31.03.1995, № 885-В95. С. 31 39.

72. Нелаев А.В. О краевой задаче линейного сопряжения голоморфных функций в С" // Актуальные проблемы математики и методики её преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. 2001. С. 68 76.

73. Нелаев А.В. О поведении интеграла типа Темлякова Баврина произвольного порядка вне определяющей области // Математический анализ и теория функций: Респ. сб. тр. 1974. Вып. 3. С. 68 - 84.

74. Нелаев А.В. О применении метода линейных дифференциальных операторов в теории функций комплексных переменных // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1974. Вып. 4. С. 59 — 64.

75. Нелаев А.В. Об аналитичности в пространстве С функций, определяемых интегралом типа Темлякова Баврина // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1. С. 164 - 168.

76. Нелаев А.В. Об интегральных представлениях аналитических функций многих комплексных переменных, методе исследования иквазианапитических свойствах некоторых классов интегралов. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М. 1974. 133 с.

77. Нелаев А.В. Об интегральных формулах для функций нескольких комплексных переменных, аналитических в круговых областях и свойствах некоторых интегралов // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1. С. 179- 193.

78. Нелаев А.В. Об обобщённом аналоге двойного интеграла типа Коши и некоторых его квазианалитических свойствах вне бикруга // Избранные проблемы многомерного комплексного анализа: Сб. науч. тр. М. 1992. Деп. в ВИНИТИ 15.12.1992, № 3544-В92. С. 55 73.

79. Нелаев А.В. Об одном методе решения дифференциальных операторных задач в С" // Тезисы докладов X Саратовской зимней математической школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов. 2000. С. 98 99.

80. Нелаев А.В. Об одном операторном методе // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 2. С. 99 106.

81. Нелаев А.В. Обобщённые условия Коши Римана для одного класса функций вне бикруга // Многомерный комплексный анализ и его приложения: Сб. науч. тр. М. 1995. Деп. в ВИНИТИ 31.03.1995, № 885-В95. С. 40-48.

82. Нелаев А.В. Операторная связь между некоторыми интегралами // Математический анализ и теория функций: Сб. тр. 1973. Вып. 1. С. 169 -178.

83. Нелаев А.В. Пространственная краевая задача линейного сопряжения для функций, голоморфных в кратнокруговых областях Сп // Математика. Компьютер. Образование: Сб. науч. тр. 2001. Т. 8. № 2. С. 406 414.

84. Нелаев А.В. Разложение интегралов типа Темлякова в обобщённо -степенные ряды // Математический анализ и теория функций: Респ. сб. тр. 1974. Вып. 3. С. 95-116.

85. Пелевина Т.А. Вторая формула дифференциальной связи интегралов типа Темлякова I и II рода вне области аналитичности // Современные проблемы комплексного анализа и его приложения: Сб. науч. тр. М. 1988. Деп. в ВИНИТИ 24.11.1988., № 8308-В88. С. 89 101.

86. Попова Ю.Н. О квазианалитических свойствах операторного аналога интеграла типа Коши специального вида // Современные проблемы комплексного анализа и его приложения: Сб. науч. тр. М. 1988. Деп. в ВИНИТИ 19.10.1988, № 8308-В88. С. 110- 123.

87. Сечкин Г.И. Операторный метод Баврина и интегральные представления, связанные с группами и полугруппами операторов // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217. № 4. С. 770 773.

88. Сечкин Г.И. Группы операторов для выпуклых и звёздных областей и их приложение к решению функциональных уравнений // Математический анализ и теория функций: Респ. сб. тр. 1973. Вып. 2. С. 60 67.

89. Темляков А.А. Интегральное представление аналитических функций двух комплексных переменных // Уч. зап. МОПИ. 1954. Т. 21. С. 7-21.

90. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120. № 5. С. 976 979.

91. Темляков А.А. Интегральные представления // Уч. зап. МОПИ. 1960. Т. 96. С. 3-14.

92. Хвостов А.Т. Исследование некоторых интегральных представлений аналитических функций двух комплексных переменных // Уч. зап. МОПИ. 1970. Т. 269. Вып. 14. С. 54 64.

93. Хвостов А.Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова вне области аналитичности // Уч. зап. МОПИ. 1967. Т. 188. Вып. 11. С. 113-136.

94. Хвостов А.Т. Обобщённые условия Коши Римана интегралов типа Темлякова//Уч. зап. МОПИ. 1967. Т. 188. Вып. 11. С. 137 - 172.

95. Чернова М.И. О дифференциальных свойствах интегралов типа Темлякова в случае гиперконуса // Современные проблемы комплексного анализа и его приложения: Сб. науч. тр. М. 1988. Деп. в ВИНИТИ 19.10.1988, № 8308-В88. С. 102- 109.

96. Begehr Н., Dai D. Q. Spatial Riemann problem for analytic functions of two complex variables. (English. English summary) Z. Anal. Anwendungen 18 (1999), no. 4, 827-837.

97. Bungart L. Holomorphic functions with values in locally convex spaces and applications to integral formulas. Amer. Math. Soc., Trans., Ill, № 2. 1964. 317-344.

98. Gleason A.M. The abstract theorem of Cachy Weyl, Pacific J. Math., 12, №2. 1962.511 -525.

99. Opial Z., Siciak J. Integral formulas for functions holomorphic in convex n-circular domains // Zesz. Nauk. Univ. Jagiell. 1963. V. 9. № 77. P. 67 75.

100. Нелаев A.B., Якшина A.C. О неоднородной краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруговых областях // Математика. Компьютер. Образование: Сб. науч. тр. 2001. Т 8. № 2. С. 415 423.

101. Нелаев А.В., Якшина А.С. Исследование свойств одного класса функций двух комплексных переменных. М. 2000. Деп. в ВИНИТИ 20.11.2000, №2938-В00. 16 с.

102. Нелаев А.В., Якшина А.С. Об однородной краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных вкратнокруговых областях // Актуальные проблемы математики и методики её преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. 2001. С. 80 88.

103. Нелаев А.В., Якшина А.С. Однородная задача Римана для функций двух комплексных переменных, голоморфных в двоякокруговых областях // Тезисы докладов VIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино. 2001. С. 206.

104. Нелаев А.В., Якшина А.С. О группе интегродифференциальных операторов Баврина // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж. 2003. С. 167- 168.

105. Нелаев А.В., Якшина А.С. О группе интегродифференциальных операторов голоморфных функций, специфических для поликруга // Тезисы докладов X Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино. 2003. С. 145.

106. Якшина А.С. Дифференциальные свойства некоторых классовлинтегралов в С // Науч. тр. математического факультета МПГУ: юбилейный сборник 100 лет. 2000. С. 113 117.

107. Якшина А.С. Исследование дифференциальных свойств некоторых классов интегралов в С II Математика. Компьютер. Образование.: Сб. науч. тр. 2001. Т. 8. -№ 2. С. 424 432.

108. Якшина А.С. О дифференциальных свойствах некоторых классов интегралов, ассоциированных с двоякокруговой областью D типа А // Актуальные проблемы математики и методики её преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. 2001. С. 137 142.л

109. Яншина А.С. О свойствах одного класса интегралов в С // Тезисы докладов IV научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин». Москва. 2001. С. 30.

110. Якшина А.С. Об одном классе ассоциированных с бикругом квазианалитических функций // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж 2001. С. 293.

111. Якшина А.С. Об одном классе функций квазианалитических вне бикруга // Науч. тр. МПГУ. 2001. С. 65 67.

112. Якшина А.С. О свойствах и применениях классов функций многих комплексных переменных // Тезисы докладов XI Саратовской зимней математической школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов. 2002. С. 234 235.

113. Якшина А.С. Об интегродифференциальных операторах И.И. Баврина и их приложении к решению функциональных уравнений // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. № 5. С. 1189 1194.

114. Якшина А.С. О дифференциальных свойствах интегралов типа Темлякова и типа Темлякова Баврина // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. № 6. С. 1432- 1435.