Интегральные представления голоморфных функций в пространстве С2 и их приложение к решению краевых задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Интегральные представления голоморфных функций в полукруговых и двоякокруговых областях.

§ I. Интегральные представления голоморфных функций в полных выпуклых областях Хартокса.

§ 2. Интегральные представления голоморфных функций в двоякокруговых областях.

Глава II. Поведение функций класса М в пространстве С2.■,.

§ 3. Области голоморфности функций класса М

S\>S2j

§4. Представление повторными интегралами в области неголоморфности функций класса М

KSbS2 J

Глава III. Аналоги формул Сохоцкого для функций класса

§ 5. Связь функций классов м

SbS2j и Q в пространстве С

§ 6. Предельные значения функций класса Р

KSbS2j на множествах особенностей.

Глава IV. Приложение функций классов М a,a, fi^

S\> д2) к решению краевых задач и дифференциальных уравнений.

Теория интегральных представлений функций многих комплексных переменных возникла в конце прошлого века. Эта область особенна богата важными приложениями и имеет связь со многими раделами математической и теоретической физики |~I¿].

С самого начала развития этой теории и до настоящего времени одной из основных ее проблем была и остается задача о построении интегральных представлений для функций многих переменных, голоморфных в наперед заданной области голоморфности.

В 1936 годубнла установлена формула Бергмана-Вейля с голоморфным ядром, которая, однако, полностью не решила проблему интегрального представления из-за узости областей для которых она имеет место.

В 1943 году была получена формула Мартинелли-Бохнера, которая имеет место практически для всех областей, но ядро представления неголоморфно.

В 1955 года lepe [21*] получил наиболее общую интегральную формулу с голоморфным ядром, которая все еще не охватывает всего множества классов областей.

В связи с работами B.C. Владимирова [l3 , , усилился интерес к интегральным представлениям функций, голоморфных в неограниченных областях. На этом пути можно отметить работы Гиндикина [1б] , Айзенберга , обобщение Ярмухамедовым формулы Мартинелли-Бохнера [30] .

В последние годы усилился интерес к решению краевых задач для голоморфных функций многих комплексных переменных.

Задачу линейного сопряжения для трубчатых областей рассмотрел B.C. Владимиров, для бицилиндрических областей -В.А. Какичев, им же рассмотрена двумерная краевая задача типа задачи Римана, содержащая интегро-ди§ференциальные операторы £19] . Задачи линейного сопряжения для двоякокруговых областей вида К ' С (Ъ < | * i ¡ 1 < i, С 7 Of cí7 0; (г) ^ ( 1Ь гл)j были рассмотрены Г.Л. Луканкиным [23] и В.И. Богановым Qll] .

В настоящей работе рассматриваются области из пространно ства С двух комплексных переменных следующих видов:

I. Ограниченная полная двоякокруговая область Я) с центром граница которой ф(М) = í -4>o[i2il)z0, о\ ¿ Rij Ф0 (R<) = о дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне / Ь[Ф] ? & . L&>} - определитель Леви {7*] / называется областью класса

II. Область-О- в с2 называется областью Хартокса или полукруговой областью с плоскостью симметрии j (2); 0 если вместе с каждой точкой этой области принадлежат и все точки вида , Область Хартокса называется полной, если (2*, A^JcIX для всех|АМи

III. Будем говорить, что неограниченная полная двоякокруговая область & с центром (о,о) принадлежит класс у 7 если параметризующие ее границу функции и t¿(u>) ложительны, непрерывно дифференцируемы и связаны соотношением

Оо ;

ПОf

Ъъ M tD Zj (cd) tUu>)

Б котором г/(о)=о, о, <(*)=<*>

Для областей ¿д^СТ) А. А. Темляков [2б] получил интегральные представления голоморфных функций л Лп

0.1/ 0 < Лтг

9 о /0.2/

Y-r * vt где Lpl-f4^^/^^ , и"г1СтГ' ' ^r;

Формулы /0.1/ и /0.2/ были названы [27] интегральными предетавленияш Темлякова I и II родов. Позднее Бавриным [б] получено интегральное представление Темлякова III рода i in о О

Укажем на некоторые свойства интегралов /0.1/, /0.2/ и /0.3/.

I. Ядро интегралов /0.1/ и /0.3/ совпадает с ядром Ковш одного комплексного переменного (Л , а интеграла /0.2/ является значением оператора Ь от этого ядра. ъ-и

0.3/

2. Плотность представления /0.2/ совпадает со значением f-на , а в /0.1/ и /0.3/ соответственно с

Определение 0.1. Класс функций î(t,éfi) / / на множестве Д={(гД,ч): ^^^ /

И УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ условию c?^oi±-f /поЬ равно мерно относительной жЬ / -к /, будем обозначать символом (.¿р^).

На основе интегральной формулы /0.1/ был рассмотрен [4] интеграл типа Темлякова I рода ЛЯ

Л*С й

0.4/ J для гиперконуса К , где , и лж

Vtf^ » I J S - (l

0.5/

Lt для гипершара : /2-г/ где II ~ + ^в .

Определение 0.2. Функции, определяемые интегралами /0.4/ и /0.5/ при (?) € С будем называть пункциями классов 0. ж 0. . Для функций классов 0 и & имеют место теоремы |4*] : Теорема 0.1. Если пункция и) , то интеграл /0.4/ представляет собой голоморфную функцию в области К ,

Теорема 0.2. Вне области К интеграл /0.4/ является а/ неголоморфной непрерывной пункцией в области 8 б/ голоморфной функцией в областях непрерывной функцией в замкнутой области Е1 ОЕ^ в/ интеграл /0.4/ представляет собой непрерывную функцию в С^ за исключением точек окружности особенностей

Области К , £ , Е1 , ^^ , а также множества В1 и В^ можно иллюстрировать в абсолютном октанте /рис. 01/.

Интеграл типа Темлякова /0.4/ был успешно применен для постановки и решения следующей краевой задачи линейного сопряжения [2з] .

Краевая задача 0.1. Требуется найти функцию класса О. , обращающуюся в нуль на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек, удовлетворяющую в точках окружности особенностей В1 краевому условию

-(с^о) = + + , /0-6/ где (r(s0) и - непрерывные на В>* заданные функции.

Для функций ■((%) класса (2- доказана \22~\ .

Теорема 0.3. если ty(£,-è,V) £ Lip\(à) , то в точках границы гипершара нормальная производная интеграла /0.5/, взятого по границе гипершара*?^, совершает скачок, а именно, имеет место следующая формула 4

-l

1 ^JCT-Wlf '

0.7/ о

В работе 8] для областей (Т) получено интегральное представление 4тг . <¿-1) Лтг О

ООО

JT /

0.6/

0 |*ы

ИИ ^ в котором значение функции -}- определяется значением оператора , заданного на двумерном множестве j ' jb exp [t< *,(r)e 'Та Я^1]

10

Данная диссертация посвящена получению новых интегральных представлений для полукруговых и двоякокруговых областей пространства С2 двух комплексных переменных и их применению для постановки и решения краевых задач.

В ней получены следующие результаты:

1. Интегральная формула /0.8/ распространена на неограниченные полные двоякокруговые области.

2. Получены интегральные представления с ядрами Коши для полукруговых областей . Заметим, что полученные ранее интегральные формулы с ядрами Коши не выходили за рамки п-круговых областей.

3. Разработан математический аппарат для решения двумерных краевых задач типа задачи Римана с краевыми условиями, содержащими частные производные. Заметим, что в этом направлении решена только краевая задача 0.1.

4. Получены системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют исследованные в данной работе классы пункций.

5. Ранее полученные интегральные представления, формулы Шварца и Пуассона для областей Ю € (т) применены для постановки и решения краевых задач математической физики, содер-жа«ще частные производные высших порядков. В этом направлении решены только задачи Дирихле, Шварца и Гильберта.

6. Уточнена и конкретизирована формула /0.7/ скачка нормальной производной интеграла /0.5/. Рассотрены некоторые следствия результатов исследования настоящей работы для функции одного комплексного переменного , которые представляют определенный интерес.

Перейдем к более детальному изложению содержания диссертации.

II

В I I, для полукруговых областей Х1&С , получены аналоги интегральных представлений /0.1/, /0.2/ и /0.3/. Так, например, аналог формулы /0.1/ имеет вид

Г ГХГГ Г го о где -^(тД,) - параметрические уравнения границы?Х2. ,§<-ес£ . Л^1 • Л=Л(г,-Ь) некоторая весовая.функция,

Ъ ' ж

- уравнение границы Отметим некоторые свойства интеграла /0.9/.

1. Внутренний интеграл в /0.9/ является интегралом Коши одного комплексного переменного и1 .

2. Интегральная формула /0.9/ выражает значение функции

2) внутри области-О- через значение на^-^- .

В § 2, для неограниченных выпуклых двоякокруговых областей г п с N получены интегральные формулы, которые распространяют и обобщают интегральное представление /0.8/.

Рассмотрим теперь в С2 ограниченные двоякокругове области

12

В этом же параграфе получено интегральное представление для областей К (,р>» Ц , которое восстанавливает функцию в области по значению ¿££7 на множестве и имеет вид 4

Г» Г Г

А9 ¿к г ^ и Д <0

0.10/ где 0 = С? ¿сх? , б> ¿о«) ; & ¿¿Я 7

11 в 1 с?*1

Гх €

Полученные в главе I интегральные представления допускают ряд приложений / §§ 3 - 8/ Рассмотрим их.

Заменяя в интегральной формуле /0.10/ выражение ^-¿[Д на произвольную функцию ¿(^г^ ^^рд и, интегрируя по параметрам тЦ , , , , получим интеграл

13

ЧлЧ dt dt vo.ii/

Ъ-Иъ л Ы

В главе III изучаются функции класса , ) представимых интегралом /0.11/. Заметим, что при £<¡-0 , %Jb - 0 t

Л^о и Jфункции класса И ( t^ffa) совпадают с классом функций Q , изученных в [i] и j4j .

В § 3 показано, что функции класса голоморфными в и области , а также в областях

Г,=[а): -Л 2*1- 1 >01 *д/г»/ п = {сг) -Ль М-1 ^ и неголомор^ными в области ь^и^ОР^^о есть> по существу, функции класса И ( ^Дд) по сравнению с функциями класса й осуществляют аналитическое продолжение из области К в область К^/ч»^) / К С К /.

Дальнейшие исследования в этом параграфе связаны с поведением функций класса М ( Ь^^х) вне области голоморфности.

В § 4 показано /теорема 4.1/, что область неголоморфности сНкО^с^иР^ОР*) функций класса Ж^'Дг) единственным образом разбивается на множества Ек , к= 1,.,11 /рис. 4.1/, в каждом из которых функции класса М ( представишь: отличными друг от друга интегральными формулами.

Полученные формул ел. позволяют вычислять функция":класса И в каждой точке области неголоморфности. Следует отметить, что

14 п функции класса Ы , в отличие от функций класса I I в области неголоморфности Е представимы одной интегральной формулой. Кроме того здесь показано, что функции класса

М (^'Др.) непрерывны в простанстве С2, в то время как функции класса О, имеют окружности особенностей /теорема 0.2/. В § 5 устанавливается связь функций класса С с функциями (ц>) класса О. /теорема 5.1/. Например, с»+от -М), 0[й=¡к^ где

§ ь посвящен изучению функщ р( ¿ДО •Как щий Ь [£3 - I4 классе дни класса Р С , показали исследования /теорема 6.1/, функ

1 к ^ % ции класса г ^ ¿2у , в отличие от функции класса п V. 1 непрерывны в С за исключением точек множеств

С< = {£»):|г<|=/,1 ,

Здесь же получены формулы предельных значений /аналоги формул Сохоцкого/ функций класса из областей Е^ ,

Еч и К (А/на множестве Сл . м / о!,]6

В главе 17, изученные свойства функцийклассов I I и^^ и Р^т'Дд) позволяют поставить и решить пространственные /двумерные/ краевые задачи с краевыми условиями, заданными на Ск . Краевые условия этих задач содержат частные производные от искомых функций.

15

Здесь же получены решения некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных в выше указанных классах функций.

В § 7 поставлена краевая задача 7.1 с краевым условием где Kl-'i , Х-1 , либо /сс./ , Х- 0 , либо £-0 Д:| . L ^ ^[jf^f^OJ ¿/ - предельные значения функций f(2) класса М (^Д^) при JC-Х - о } функций f-* D[iJ при ¡С-Х на множестве С1 , (г (5°)- заданная на окружности непрерывная функия класса Lip X . Решение краевой задачи 7.1 сводится к решению полных особых интегральных уравнений /7.3/ и /7.4/, относящихся как к нормальному типу, так и к исключительным случаям.

Краевая задача 7.2. Найти в С2 функцию класса М ( 0-, <%) удовлетворяющую на множестве С< — ; %Л-С>} краевому условию

1[ПгЯ f г$(г), где (2°)€ С, , , J ^о) и - непрерывные на функции, удовлетворяющие условию L Lpj. i о на /.

Решение краевой задачи 7.2, в отличие от решения краевой задачи 7.1, получено здесь в явном виде.

В § В, используя метод линейных дифференциальных операторов, разработанный в [2reJ , показано, что функции класса

16

И С в кавдой подобласти неголоморфности , к= I,

2,.,II, удовлетворяют разным системам диффернциальных уравнений в частных производных 2-го и 3-го порядков. Так, например

I. В областях Е, . В, И

Ч)

0.12/

0.13/

2. В областях Е5 , Е^ и Ед

Ми^па^мДу^го,

3. В областях Е^и где у- {{ + 1 .

Отметим, что/0.12/ и/0.13/ представляют переопределенные

0.14/ системы с одной искомой пуншей 'Л Ч) £ М (ц^), а система /0.14/ - с двумя искомыми функциями {'(г) и £ .

Отмеченные факты не имеют место для функций класса б? , исследованных в ¡28] - [23] .

В главе У, свойства функций классов 0- и 0- , позволяют поставить и решить некоторые краевые задачи математической

17 п2 физики в пространстве о .

В § 9 продолжено исследование поведения производной по нормали интеграла /0.15/. Показано, что нормальная производная совершает в фиксированной точке (2°) при переходе через 1)$) скачок, равный где

- плотностиь интеграла /0.5/. Полученный результат уточняет, конкретизирует исследования в¡22] и характеризует интеграл/о.5/ как потенциал простого слоя.

Известно [3] , что задача Дирихле для бигармонических функций в общем случае неразрешима. Условия разрешимости для всей границы области изучались итальянскими математиками Севери ж РИЩА . Условия, полученные ими, оказались очень сложными. Более простые условия разрешимости задачи Дирихле получены Л.А. Айзенбергом для двоякокруговых областей простр ранства С . Они приводятся в § 10, где сформулирована и решена задача Неймана для гипершара и гиперконуса.

Краевая задача 10.1. Найти бигармоническую функцию Ы(%)

5) - (Xi, fa) / в области и, удовлетворяющую на границе области Г-\(г)| г<\| f Ъц\ = f] условию 111 Г

0.16/ где С(г^0Д) действительная функция, заданная на Г и, удовлетворяющая условию ¿-¿рд .

18

Пусть ~ голоморфная в £ функция и

Яе[Д~и(2-) есть решение задачи. Тогда условие /0.16/ эквивалентно краевому условию задачи Шварца

-с(г.,и, вО на гиперповерхностях о I где

0.17/

0.18/

П1 и определяется интегралом

1 Л Л

У № - {

0.19/ С Л О о

J и1 е

При выполнении условий разрешимости задачи Дирихле,решение краевой задачи 10.1 сводится к решению многомерного интегрального уравнения Фредгольма II рода Я

ЧпЧ ей

Ь-Ко ° о где искомая функция Л

Лит

ЧПг(-} J те ей\—Чг—аъ, =

ООО

1М-1

19

Здесь же решается задача Неймана для гипершара с аналогичным краевым условием /0.16/, которое можно переписать

Ре р - с(То}-1о;@о), /0.21/

Соотношение /0.21/ есть краевое условие задачи Шварца эквивалентная задаче Дирихле и поэтому, в отличие от задачи Неймана для гиперконуса, здесь дополнительного условия разрешимости /0.18/ не требуется.

Решение задачи Неймана для гипершара также сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма II рода с последующим исследованием ее разрешимости.

В § II, операторный метод построения интегральных представлений в [?] , позволяет решить краевые задачи математической физики , содержащие частные производные высших порядков .

Краевая задача ПЛ. Найти бигармоническую в области

59 ест) функцию и по краевому условию заданному на 19) к) и [и(*)]|Р = сСМ/бО

0.22/ где к - любое натуральное число, определяющее порядок старшей производной, С(г,-Ь,&) и + ¿¿срд(Л).

Из свойств операторов /11.1/ сДл - гГ

0.23/ следует, что краевое условие /0.22/ можно записать в виде

1Шд [Ш =

0.24/

С*) где и-* и/ , Ь д Е^ - голоморфная в $ функция. Пусть есть решение задачи Шварца /0.24/, тогда

Ах

I О) = А

-и J о к есть решение краевой задачи 11.1.

Приведем некоторые следствия из краевой задачи ПЛ.

1. Пусть Ю-о . В этом случае /0.22/ есть условие задачи Дирихле

2. Пусть КЫ , , 2) - гипершар. В этом случае /0.22/ есть краевое условие третьей /смешанной/краевой задачи

- С (?о,-Ц (9,

-+

Краевая задача II.2. Найти бигармоническую функцию

3 обласш ^ -{С^МЗ-П-Иг*!^} с краевым условием на окружности особенностей 6-7" { (2-) : а,

1. Г а а

0.25/

21 где непРеРывная действительная функция класса 1ср (Л.) О < X ^ 4 /, заданная на В л . \ и А

Ь ^ и \ д л. - операторы из /11.1/. Отметим, что и А % Л А I гА А и Г

А А являются обратными по отношению к опера

С-к,^ о

Ь А £ И 1 Д

И 1 А А торам ь д Л

Краевое условие /0.25/ есть задача Шварца для функции

У ^ДГ 1 голоморфной в К . решение которой дается формулой £5] N ( )

А А где %[г) и ^Ьг(^определяются соотношениями /11.9/ и /11.10/.

Замечание 0.1, Краевая задача II.I имеет место для всех областей и краевое условие /0.22/ задается по всей границе области 5) .

Замечание 0.2. Краевая задача 11.2 имеет место только для областей $ £ С т) тила А, т.е. для областей вида граница Г = [ О) : С | гЛ и ЛI - 1 ] которой в абсолютном октанте задается прямой линией. Краевое условие /0.25/ задается не по всей границе Г , а на ее двумерной части В>, .

22

1. Боганов В. И. Некоторые свойства интегралов типа Темля-кова // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1967. Т. 176, № I. С. 29-55.

2. Боганов В.И. Интеграл типа Темлякова и некоторые краевые задачи // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1967. Т. 188. С. 56-79.

3. Владимиров B.C. методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1963.

4. Владимиров B.C. Обобщение интегрального представления Коши-Бохнера // Изв. АН СССР. 1969. Т. 33, № I. С. 90-118.

5. Владимиров B.C. 0 представлении Коши-Бохнера // Изв. АН. СССР. Т. 36. С. 534-539.

6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи./Щ. ::Физматгиз, 1963.

7. Гиндикин С.Г. Аналитические функции в трубчатых областях // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 6. С. 1205-1208.

8. Гусаков В.А. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова-Баврина // Докл. АН СССР. 1968. Т. 179, № 6. С. II6I-II63.

9. Гусаков В.А. Поведение интегралов типа Темлякова-Баврина вне области голоморфности // Ученые зписки Моск. обл. пед. ин/та им. Н.К. Крупской. 1969. Т. 225. С. 27-58.

10. Какичев В.А. Двумерная краевая задача типа задачи Римана, содержащая инегро- дифференциальные операторы // Изв. АН Арм. ССР. 1977. Т. 12, № 3. С. 189-203.

11. Какичев В.А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных. Изд-во Тюменского ун-та. 1978.

12. Лере Ж. Дифференциальное и интегральное исчисления на132комплексном аналитическом многообразии. М.: Мзд-во иност. лит., 1961.

13. Луканкин Г.1. 0 поведении нормальной производной интеграла Темлякова // Ученые записки Моек обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1962. Т. 7. С. 88-124.

14. Луканкин ГЛ. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1973. T.I. С. 10-24.

15. Мусхелишвили Н.М. Сингулярные интегральные уравнения. . М.: Физматгиз, 1968.

16. Темляков A.A. Интегральные представления функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. 1957. № 21. С. 89-92.

17. Интегральное представление аналитических функций двух комплексных переменных // Ученые записки Моек обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1959. № 77. С. 3-12.

18. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962.

19. Хвостов А.Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова методом линейных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1969. Т. 186, 16. С. II6I-II63.

20. Хвостов А.Т. Исследование интегралов типа Темлякова вне области голоморфности // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та им. Н. К. Крупской. 1967. Т.188. С. II3-I36.

21. Дзебисов Х.П. Об областях неголоморфности интегралов типа Темлякова // Респ. сб. трудов Ъяатем. анализ и теория функций" Моск. обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1974.Т. 3. С. I3I-I45.

22. Дзебисов Х.П. О решении некоторых краевых задач // Респ.35.134сб. трудов "Матем. анализ и теория функций" Моск. обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1974. Т. 4. 67 89-123.

23. Дзебисов Х.П. Свойства функций в пространствах С и С , определенных некоторыми интегралами // Респ. сб. трудов "Матем. анализ и теория функций" Моск. обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1975. Т.5. С. 102-119.

24. Дзебисов Х.П. Функциональная связь интегральных представлений дифференциальными операторами // Тезисы докл. конф. по итогам научно-исслед. работы Сев.-Осет. гос. ун-та. 1981. С. 151.

25. Дзебисов Х.П. О "подвижных" областях голоморфности интегралов типа Темлякова-Баврина // Респ. сб. трудов "Матем. анализ и теория функций" Моск. обл. пед. ин-та им. Н.К. Крупской. 1974. Т. 2. С. 81-96.

26. Дзебисов Х.П. Интегральное представление голоморфных функрций в полукруговых областях пространства С двух комплексных переменных. Орджоникидзе. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 10.01.83 № 1263-83.