Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций

Антоненкова, Ольга Евгеньевна

Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Антоненкова, Ольга Евгеньевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Брянск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций»

Автореферат диссертации на тему "Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций"

На правах рукописи УДК 517.55

АНТОНЕНКОВА ОЛЬГА ЕВГЕНЬЕВНА

ВОСПРОИЗВОДЯЩИЕ ЯДРА, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01.- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шамоян Файзо Агитович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кисляков Сергей Витальевич;

кандидат физико-математических наук, доцент Виденский Илья Викторович.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

Защита состоится «/.{ » декабря 2005 года в на заседании

диссертационного совета К 212.199.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И. Герцена по адресу: 191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1, ауд. Л.Я.(,.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена.

Автореферат разослан « Н » 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, У к. ф.-м. наук _Емельянов А.П.

гооьл

2/2 07

225101%

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Методы, разработанные при исследовании этих пространств, нашли существенное применение в современной теории функций и функциональном анализе. Они оказались важными как при исследовании свойств рядов и интегралов Фурье, так и в других разделах гармонического и комплексного анализа. Поэтому представляется актуальным исследование свойств многомерных пространств типа Харди и Бергмана. Актуальность данной тематики подтверждается и тем, что в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом публикуется много научных статей в этом направлении. Кроме того, в последнее время было издано несколько монографий по теории пространств Бергмана, операторов Теплица и функциональным пространствам аналитических функций.

Цель работы. 1) Построить линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств п-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций.

2) Описать преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

3) Дать характеризацию тех символов, при которых оператор Теплица с соответствующим символом действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций.

4) Решить задачу Глисона в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

5) Построить линейный ограниченный проектор и получить описание сопряженных пространств к весовым анизотропным пространствам голоморфных в поликруге функций.

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют воспроизводящие ядра, посредством которых получены интегральные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

— построен линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств «-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

- получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной ноомой:

- описаны те символы, при которых теплицев оператор действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

- решена проблема Глисона в исследуемых пространствах голоморфных в шаре функций.

- построен линейный ограниченный проектор из весовых пространств измеримых в поликруге функций на соответствующее пространство голоморфных функций и на этой основе получено описание линейных непрерывных функционалов в изучаемых пространствах.

Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые анизотропные пространства голоморфных в шаре и в поликруге функций со смешанной нормой, изучается поведения теплицевых операторов в анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций, решается проблема Глисона в рассматриваемых пространствах. Впервые охарактеризовано преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в классических весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой типа пространств Бергмана.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в многомерном гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут бьггь использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут быть использованы специалистами комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов представления и описания двойственных пространств, вопросов аппроксимации, при изучении операторов сдвига в весовых пространствах аналитических функций.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа, теории интегро-дифференциальных операторов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

- построение линейных ограниченных проекторов из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств п-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

- описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ар^{со) при всех наборах 0<р,д<+оэ\

характеризация тех символов на единичной сфере, при которых соответствующий оператор Теплица действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

- решение задачи Глисона в пространствах Ар,д(со) при всех 0<р,д<+<ю;

- построение линейных ограниченных проекторов и описание сопряженных пространств весовым пространствам голоморфных в поликруге функций.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2002 - 2005 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003 г.); на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.); на 12-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004 г.); на международной конференции «Систему компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2004, 2005 гг.); на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 135 страниц. Библиография содержит 44 наименования.

Во введении приводится обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы, а также 1фаткое содержание диссертации.

В 40-х годах прошлого столетия М.М. Джрбашяном были введены

весовые классы Ар(а). В этих работах были исследованы вопросы интегральных представлений, свойств корневых множеств и др. Существенную роль при этом играли воспроизводящие ядра вида:

В случае же единичного шара пространства такого типа впервые были рассмотрены в 70-х годах У. Рудиным и Ф. Форелли. В дальнейшем исследования в этом направлении были продолжены в работах У. Рудина, Кехе-Жу и др. В 1961 году в работе А. Бенедека и Р. Понцоне впервые были введены в рассмотрение пространства Лебега со смешанной нормой. Основополагающие свойства этих пространств изложены в известной монографии О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского. В работах Ф.А. Шамояна были введены весовые анизотропные пространства голоморфных в

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

поликруге U" = |z = (zi,...,zn)eC" :|zy|<l,y = 1,и| функций и исследованы

вопросы двойственности и интегральных представлений в указанных пространствах. Эти исследования были продолжены в работах Ф.А. Шамояна и его учеников О.В. Ярославцевой и H.A. Часовой.

Важную роль при исследовании вопросов, связанных с пространствами аналитических функций, играет построение линейных ограниченных проекторов из весовых пространств измеримых функций на соответствующие пространства голоморфных функций. Классическим примером ограниченного проектора служит интеграл типа Коши, отображающий пространство Лебега LP на единичной окружности (1 < р < +оо ) на соответствующее пространство Харди в круге. Дальнейшее развитие этой теории связано с теорией сингулярных операторов. Указанные результаты позволяют описать линейные непрерывные функционалы в исследуемых пространствах. В конце 80-х годов прошлого столетия С. Гадбойз установил существование ограниченного проектора в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой и нашел другое представление линейных непрерывных функционалов в этих пространствах при существенных ограничениях на вес и показатели pnq.

Важность рассматриваемых нами интегральных представлений для решения ряда задач комплексного анализа хорошо известна, для примера укажем на работы Джрбашяна М.М., Рудина У., Форелли Ф., Шамояна Ф.А., Коренблюма Б.И., Хеденмалма X., Кехе-Жу.

В пространствах голоморфных в круге функций гладких вплоть до единичной окружности исследования ограниченности теплицевых операторов, связанные с вопросами деления, впервые независимо проведены В.П. Хавиным и Ф.А. Шамояном в 1971 году. В дальнейшем эти исследования были продолжены в одномерном случае - в работах Ж.Р. Кахана, Ф.А. Шамояна, H.A. Широкова, Е.М. Дынькина, В.В. Пеллера, C.B. Хрущева, а в многомерном случае - в классах голоморфных в поликруге функций - в работах Ф.А. Шамояна и его учеников A.B. Арутюнян, H.A. Часовой, - в пространствах голоморфных в шаре функций - в работах А.Б. Александрова и П.Р. Ахерна, Р. Шнейдера.

Перейдем к обзору основных результатов диссертации по главам. Введем сначала необходимые для обзора результатов работы обозначения и определения.

Пусть В„ =iz = (z1.....z„): Ylzif <ll - открытый единичный шар в п-

1 W J

мерном комплексном пространстве С", Sn - граница шара В„, Н(Вп) -множество всех голоморфных в В„ функций.

Символом Q обозначим множество измеримых неотрицательных на (ОД) функций а, для которых существуют положительные числа ma},MCÛ,qCÛ,

причем тш,цт е (ОД), такие, что та < <Мю при всех г е (ОД), Яе^Д].

Важным примером таких функций являются функции &>(/)=где -оо<а<+оо, ге(ОД). Можно доказать, что каждая функция соеП допускает представление

а)(х)= ехр|^(лс

где х е (ОД), т}(х), е(дс) - измеримые ограниченные функции. При этом

НУЧт) ЧУЯа>)

Не ограничивая общности, предполагается, что т/(х)=0, хе(0,1). Далее обозначим

ат =■

torn,,

In Мп

В дальнейшем при теП всегда будем предполагать, что 0 < Рт < 1.

Пусть ®еП, 0< р,д<+ж>, обозначим через Ьр'я(&) пространство измеримых в Вп функций /, для которых

М^й =

ДО-Л ¡МГМС)

<+00,

где с1сг(£) - нормированная мера Лебега на сфере 5„. Подпространство Ьр'д(со), состоящее из голоморфных в Вп функций, обозначим через Ар'9(а), а из и-гармонических в В„ функций - через Ир'ч(а). Если я>(г)=/а, то подпространство Ар,<1(а>) обозначим через Ар'ч(а), где а>~ 1, если же о(/)=1, то через АР'9(В„). При р = д пространства АР'Р(В„) и Ар'р(а) мы обозначим через АР(В„) и Ар(а) соответственно. НР(В„), 0<р<+°о - класс Харди в В„.

В первой главе диссертации «Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций» строится линейный ограниченный проектор из пространства Ьм (со) на соответствующее пространство голоморфных в Вп функций Ар'1 (со) при ©еП, 1 +оо, атакже из пространства ЬР'4(со) на

пространство Ар'9(ф), при 0< р,д <+<х>. Кроме того, здесь дается полная характеризация линейных непрерывных функционалов в пространствах Ар'д (а) при со е О и 0 < р,д < +оо.

В § 1.1 главы I введены основные обозначения и установлены вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

В § 1.2 главы I строится линейный ограниченный проектор, отображающий пространство Lp,q(a>) на Ap'q(a>) при \<p,q<+oa, а также пространство hp'q{m) на Ap'q(a>), при 0< p,q<+cc. Основные результаты этого параграфа содержатся в теоремах 1.1-1.4.

Теорема 1.1. Пусть сое П, 1 < р,д < -но, а>ат. Тогда оператор

Ч.ИИ-СМ jffiffffU*.

вп (Н^ОГ

отображает пространство Lp'q(a>) на пространство Ар'ч{а), при этом справедлива оценка:

¥а{1\\ЛРЧт)ЩА\1Р^{а1у

Здесь и в дальнейшем С(п,а)= + а + а чере3 q будем обозначать

Ци + 1)Г(а +1 j

положительную константу, не зависящую от f.

Отметим, что в частном случае, когда 1<p,q<+x> и а>(х)=ха, а>-1, этот результат получен в работе С. Гадбойза. В случае другого ядра справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.2. Пусть а е Q, 1 < p,q < -юо, а>ат. Тогда оператор

вп \1~МТ

отображает пространство Lp,q{а) в пространство Ар'9(аа), где ( ta )Я

<эа (i)=^ J , при этом справедлива оценка:

МЬЩ^СШ^У

При других показателях р и q для классов hp'q(a)) получим следующий результат

Теорема 13. Пусть а>еС1, 0<p,q£l, а> * +и

min \p,q)

'--Ц-1. Тогда KP

оператор

вп Ч--МТ

отображает пространство йр,?(а>) на пространство Ар'д(а>), при этом справедлива оценка:

¡¿МаР'Ц^-СННР'Ч^У

Теорема 1.4.Пусть аеС1. Предположим:

1. если\<р<+к>, 0<#<1,/яо

2. если 0<р<1, 1<д< +оо, то а> а<0 + + п

'и

-1.

Тогда оператор

Вп \l~MF

отображает пространство Ир'9(а) на пространство Ар'9(о)), при этом справедлива оценка:

М^аР'Цо,) * СЫнР,«^)-Хорошо известно, что если тш{р,#}<1, то каждый линейный непрерывный функционал на Ьр'4(со) нулевой, в тоже время, Ф2() (/)=/(г0)

является линейным непрерывным функционалом на Ар,я(й>), где 20 -фиксированная точка из В„, в этой связи возникает вопрос о полной характеризации таких функционалов на Ар'9(а>) при всех 0 < р,д < -к».

В следующих двух параграфах устанавливаются теоремы, позволяющие нам дать полный ответ на указанный вопрос.

В § 13 главы I получено полное описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Ар'я(а) при 1 <р,д<+оо, а еП. Отметим, что в работе Гадбойза С. было получено отличное от нашего представление линейных непрерывных функционалов в этих пространствах при значительных ограничениях на показатели р и д и на весовую функцию 0.

В остальных же случаях метод, разработанный им, не проходит, и естественно возник вопрос об описании линейных непрерывных

функционалов в пространствах Ар'ч(а) при всех значениях 0< р,д<-нх> и

Для формулировки полученных результатов введем понятие интегро-дифференциального оператора Римана-Лиувилля. Пусть / - голоморфная в +00

Вп функция, /(г)= ^/¿(г) - однородное разложение функции /, положим *=О

+0° Г(а + к + 1)

z = (zi,...,z„)e B„, a>-1, Г - хорошо известная функция Эйлера. Пусть далее £ = ..,£„), z = (zx,...,z„)eB„, положим ег(С)=

Теорема 1.6. Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на Ap'q(a>), 1<p,q<+оо, саеП и g(z)=<&(e2), zeB„. Тогда g - голоморфна в Вп и

(+а 4 П Щ)

t е (0,l). Кроме того, Ф представим в виде

Ф</)= Um J/(рС)Ш)*<т(С) />-»1-0 J

*>п

при этом существуют положительные константы С], С2 > 0, такие, что

со

iar+i.

(2)

Обратно: любую функцию g, такую, что Da+lgе Ар,ч (а>а) можно представить в виде g(z)=ф(ez), геВ„ при некотором

при

этом верна формула (1) и оценки (2).

В § 1.4 главы I получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ар'ч{со) при 0<пип{/>,9}^1, ©еП.

Пусть 0<р,д<], обозначим через А$9 класс аналитических в Вп функций для которых

О)'

'(1-Н)

£>"+,g(z)|<+oo,

где а > -

ат+1 . ( 1

- + и—1 Я KP ,

-1.

Если же 0<р<\, 1 < д < +оо, то через Х^ обозначим множество всех голоморфных в Вп функций g, для которых

11%* -

®«(1 -г)

sup

Da+Xg{rz\

<+00,

«а» f 1 ,

где — + —- = 1, a> + и--1

Я Я 4 KP .

А если 1<р<+оо, 0<#<1, то обозначим через Л£'д множество голоморфных в Вп функций g, таких, что

1 _1

<+оо,

0«{1-г)

1 1 , аа +1 ,

где — + — = 1, а>—---1.

Р Р Ч

Пусть пространство Л^'9, где 0<р,<?<+оо, совпадает с пространством Л£'9, если 0<р<1, 1<<7<+<зо, с пространством если 1 <р< +оо,

0<#<1, и с пространством , если 0<р,дй\.

Теорема 1.7. Пусть 0<р,д<+ю, юеО. Тогда если Ф - линейный

непрерывный функционал на Ар'9(а>), и g(z)=Ф{ez), г е Вп, то g е ¡^¿ч и Ф представим в виде

Ф(/)= Шр \fteWfyote) (3)

¿>->1-0 _

при этом существуют положительные константы С\, С2 > 0, такие, что

СМ^Я (4)

Обратно: любая функция gehP¿q по формуле (3) порождает линейный

непрерывный функционал на Ар'9{со), для которого справедливы оценки (4).

Оператором Теплица с символом А называется следующий интегральный оператор:

НИМ-

где £ = ..,(;„)<-$„, г = (г,.....:л)еБя.

Во второй главе «Теплицевы операторы в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций» исследуется поведение теплицевых операторов в пространствах Ар'9(со) и в пространствах Харди-

Соболева Н%(Вп).

В § 2.1 главы П мы опишем те символы А, при которых операторы действуют в пространствах Ар'9(а), 0< р,д<1, 1< р,д<+к>, а>-1.

В том случае, когда /е(0,1) пространство будем

обозначать

Теорема2.1.Пусть 0<р,д<1, кеН1(Вп).

А) Если ц<р, то следующие утверждения равносильны:

1) действует в пространстве Ар,9(а);

2) ИеЛр>д.

Б) Пусть д> р, тогда если оператор действует в пространстве

Ар'9(а), то кеЛ%'д. И для любой функции И е Л%р оператор

действует в пространстве Ар'ч(а).

В том случае, когда показатели 1< р,д<-ю получаем следующий результат:

Теорема 2.2. Пусть 1 < <-н», ИеН1(В„). Тогда, если является

ограниченным оператором в пространстве Ар'9(а), то в Ар (а),

р'= Р , ц - ^ . Обратно: если А - мультипликатор пространства р-1 д-1

Р' $

Аа' (а), то действует в пространстве Ар'9(а), где

А«'4' (а)={ге Н(В„ ): в А™ («)}.

В § 2.2 главы П исследуется ограниченность теплицевых операторов в пространствах Харда-Соболева в шаре.

+00

Пусть /(г)= ^/¿(г) - однородное разложение функции /еН(Вп), *=О

обозначим через Яа следующий оператор:

+00

*в/М-К*+1 Г/М

*=0

в том случае, когда а-1, /?'/(*)=/(2)+ У 2,• -У—(г).

Пусть НР(В„), 0<а<+со - пространство Харди-Соболева в В„,т.е.

^(^-{/еЯ^,):)*«^

Теорема 2.3. Пусть ИеН1(Вп), \<р<+со, тогда следующие утверждения равносильны

1) Т^ действует в пространстве Н§ {Вп);

2) АеЯ®(5„).

Утверждение о том, что если А е Я°°(В„), то действует в пространстве Н%(в„) доказано ранее Александровым А.Б.

1\нр(в„)

Пусть 0 <р,д <+оо, пространством Ар'9(в„) назовем пространство аналитических в шаре функций, для которых

<+«5,

(«)

где 0 < а < +оо.

Теорема 2.4. Пусть кеН1(В„), 1<р,д<+аа, тогда следующие утверждения равносильны:

1) Т^ действует в пространстве А£'9(ВП);

2)кеНЛ(В„).

В § 23 главы П решается проблема Глисона в пространствах Ар,ч{а) при всех 0 < р,д < +со, а > -1.

Теорема 2.5. Пусть 0<р,д<-нх>, а>-\, /е Ар'ч(а) и аеВ„. Тогда

можно построить функции g¡((a,z)e Ар'9(а), такие, что

/(г)-/(а)= Л(2к~ак)8кМ, к=1

при этом gjc(a,z) выражаются в явном виде через/

Пусть £/" = {? = (г].....2„):|гу|<1,_/ = 1,«} - единичный поликруг в п-

мерном комплексном пространстве С", Т" = = = = 1,п) -

его остов.

Через Ьр'9(со), р = {р\,...,рп), д = {я\.....д„), \йpj,дj <+<*>, ]' = \,п,

й(г)=(й^(?]),...,(/„)), у = и будем обозначать пространство

измеримых на и" функций/, для которых

1И11?>Цт)=1И1хл.....ло^-^ц,...,^) =

1 л

Ы1-0 I»

.га я

ш.

Рп

л—

••¿и»

А.

<+ос.

Тогда пространство Ар'9(ф) определим как подпространство Ьр,9(3), состоящее из голоморфных в и" функций. В том случае, когда У = 1,«, эти пространства были введены в рассмотрение в работе Шамояна Ф.А. и Ярославцевой О.В.

В третьей главе «Ограниченные проекторы и линейные непрерывные функционалы в весовых анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций» строится ограниченный проектор из пространства

измеримых в поликруге функций 1Р'9(з) на соответствующее пространство

голоморфных в ип функций Ар'9(3), ¿>(/)=(ю^ ),...,в том случае,

когда у = 1 ,п принадлежат классу функций О, правильно

изменяющихся на интервале (0,1), а р = {р\,—,рп), Ч = (ц\.....Чп) такие, что

l<Pj,qj<+co, ] = \,п. На этой основе дается полное описание

преобразования Коши линейных непрерывных функционалов на

пространствах Ар'9(3) при всех наборах р = {р\.....р„), д = (д^,...,дп),

\<>р],д]<+да, 7 = 1,и.

В § 3.1 главы Ш введены основные обозначения и построен ограниченный проектор из пространства Ьр'9(3) в пространство Ар'9(За),

t J

, а так же из пространства

где За={оа.....тап), ^

Ьр'9 (3) на пространство Ар'9(3).

Теорема 3.1. Пусть 3 = (0у>,..,а„), оуеП, 7 = 1,и, р = {р\,-,Р„).

Я = ......Чп). « = («1.....ос„), а^ >сса., 7 = 1,п. Тогда

оператор

и» (1

отображает пространство Ьр'9(3) в пространство Ар'9(За), причем

\Та{/\АМШ * Фл^/Угцау

taj

Где За = {(Оа,...,соа>11 соа. (i)=аМ —щ

, t e(0,l).

В § 3.2 главы III получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ар,9(3) при р = {р[,...,рп)> q = {qh...,g„), l<Pj,gj<-Kx>, 7 = 1,и, где 3 = Ц,...,©„), Wj -положительные функции, суммируемые на интервале (0,1). Отметим, что при Pj = qj, j-\,n наш результат совпадает с ранее известным результатом Шамояна Ф.А., Ярославцевой О.В.

Теорема 3.2. Пусть р = {р\,.-,р„), q = {ql,...,q„), где l<Pj,qj <+»,

3 = (ф\,...,соп), 0)j еQ, 7 = 1,п, g(z)=<D(ez), zeU". Тогда, если Ф -линейный

непрерывный функционал на Ар'ч(3), то функция # голоморфна в 11", причем Оа+^еАр'^'(За) при <Х}>аш., За = (®а] ,...,оап), где

Р]

f СА j J

• Р' = (р'и-,Рп). q'= {q[,.,q'n), р) =

i-l

Ii — q'i = —-—, j = l,n и Ф представим в виде: qj-l

Ф(У)= и? -А- ¡/(рС)Ш^гпп(С), (5)

р^ 1-0 (2я-)и г;

при этом существуют положительные константы С\, С2, такие, что

5ерно м обратное: любая функция g, такая, что Оа+^еАр'9 (та) по формуле (5) порождает линейный непрерывный функционал на Ар'д(т), для которого справедливо представление Ф(ег)=g(z), г е 1]п и оценки (6).

Публикации по теме диссертации

1. Антоненкова O.E. Об ограниченности некоторых интегральных операторов в весовых пространствах голоморфных в полупространстве функций // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XIV». - Воронеж. -2003.-С. 7-8.-0,06пл.

2. Антоненкова O.E. Ограниченные проекторы и описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в полшфуге функций со смешанной нормой // Деп. в ВИНИТИ 29.01.2004. -№167-В2004. - 43 с. - 2,69 пл.

3. Антоненкова O.E., Шамоян Ф.А. Ограниченные проекторы в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. - Смоленск. - 2004. - С. 116-118. - 0,12/0,06 пл.

4. Антоненкова O.E. Описание линейных непрерывных функционалов в некоторых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. - Саратов. -2004.-С. 12-13.-0,09 пл.

5. Антоненкова O.E. Об ограниченности некоторых интегральных операторов в весовых пространствах аналитических в бидиске функций со смешанной нормой // Тезисы докладов. XXVI Конференция молодых ученых механико-

математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. - Москва. - 2004. -С. 14-15.-0,06 пл.

6. Антоненкова O.E. Об ограниченности теплицевых операторов в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой // Материалы международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики». - Казань. - 2004. - С.235-236. - 0,06 п.л.

7. Антоненкова O.E. Теплицевы операторы в пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой и некоторые их приложения // Вестник Брянского государственного университета. - № 4(2004): Естественные и точные науки. - Брянск: Изд-во БГУ, 2004. - С. 78-83. -0,56 п.л.

8. Антоненкова O.E. Теплицевы операторы в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. - Смоленск. -2005.-С. 112-114.-0,09 п.л.

9. Антоненкова O.E., Шамоян Ф.А. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Успехи мат. наук - 2005. - Т. 60. - Вып. 4. - С. 217-218.-0,12/0,06 п.л.

Издательство Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского 241036, Брянск, ул. Бежицкая, 14 Лицензия: ЛР № 020070 от 25.04.97

Подписано в печать «4.4. » М 2005 г. Формат 80 х 84 1/16. Печать ризографическая. Бумага офсетная. Тираж 100 экз.

Отпечатано в подразделении оперативной полиграфии БГУ

№2 6292

РНБ Русский фонд

2006-4 28207

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Антоненкова, Ольга Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций.

§1.1. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений.

§ 1.2. Ограниченные проекторы в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

§1.3. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q{p) при 1 < p,q<+ оо.

§ 1.4. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ар,д(а>) при 0 < min{/?,^}< 1.

ГЛАВА II. Теплицевы операторы в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций.

§2.1. Теплицевы операторы в пространствах Ap'q(a).

§2.2. О теплицевых операторах в пространствах Харди-Соболева.

Введение диссертация по математике, на тему "Воспроизводящие ядра, преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах голоморфных функций"

Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Методы, разработанные при исследовании этих пространств, нашли существенное применение в современной теории функций и функциональном анализе. Они оказались очень важными как при исследовании свойств рядов и интегралов Фурье, так и в других разделах гармонического и комплексного анализа. Поэтому представляется актуальным исследование свойств многомерных пространств типа Харди и Бергмана. Актуальность данной тематики подтверждается и тем, что в последние годы, как в нашей стране, так и за рубежом публикуется много научных статей в этом направлении. Кроме того, в последнее время было издано несколько монографий по теории пространств Бергмана, операторов Теплица и функциональным пространствам аналитических функций.

4) Решить задачу Глисона в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой.

Методы исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

- построен линейный ограниченный проектор из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств «-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

- получено полное описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

- решена проблема Глисона в исследуемых пространствах голоморфных в шаре функций.

Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые анизотропные пространства голоморфных в шаре и в поликруге функций со смешанной нормой, изучается поведения теплицевых операторов в анизотропных цро-странствах голоморфных в шаре функций, решается проблема Глисона в рассматриваемых пространствах. Впервые охарактеризовано преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в классических весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой типа пространств Бергмана.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут быть использованы специалистами комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов представления и описания двойственных пространств, вопросов аппроксимации, при изучении операторов сдвига в весовых пространствах аналитических функций.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами и адекватным использованием основных, общеизвестных положений и методов комплексного и функционального анализа, теории интег-ро-дифференциальных операторов.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

- построение линейных ограниченных проекторов из весовых анизотропных пространств измеримых в шаре функций на соответствующее пространство голоморфных функций, а также из весовых пространств w-гармонических в шаре функций на пространство аналитических функций;

- описание преобразования Коши линейных непрерывных функционалов в пространствах Ap,q(o)) при всех наборах 0 < p,q< +00;

- характеризация тех символов на единичной сфере, при которых соответствующий оператор Теплица действует в пространствах Харди-Соболева и в весовых пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой;

- решение задачи Глисона в пространствах Ap,q{co) при всех 0 < p,q < +00;

- построение линейных ограниченных проекторов и описание сопряженных пространств к весовым пространствам голоморфных в поликруге функций.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2002 - 2005 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003 г.); на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.); на 12-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004 г.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2004, 2005 гг.); на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [2] - [10].

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Антоненкова, Ольга Евгеньевна, Брянск

1. Александров А.Б. Теория функций в шаре // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1985. - Т. 8.-С. 115-186.

2. Антоненкова О.Е. Ограниченные проекторы и описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Деп. в ВИНИТИ 29.01.2004. №167-В2004. - 43 с.

3. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Ограниченные проекторы в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск. -2004. - С. 116-118.

4. Антоненкова О.Е. Об ограниченности теплицевых операторов в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой // Материалы международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики». Казань. - 2004. - С.235-236.

5. Антоненкова О.Е. Теплицевы операторы в пространствах голоморфных в шаре функций со смешанной нормой // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск. -2005.-С. 112-114.

6. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Успехи мат. наук 2005. - Т. 60. - Вып. 4. - С. 217-218.

7. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. - 480 с.

8. Виноградов С.А. Свойства мультипликаторов интеграла Коши-Стилтьеса и некоторые задачи факторизации аналитических функций // Теория функций и функциональный анализ. М., ЦЭМИ АН СССР. - 1976. - С. 5-39.

9. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984. 469с.М.Джрбашян М.М. О каноническом представлении мероморфных в единичномкруге функций // ДАН Арм.ССР. 1945. - Т.З. - №1. - С. 3-4.

10. Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций // Со-общ. ин-та математики и механики АН Арм.ССР. 1948. - Вып. 2. — С. 3-35.

11. Дынькин Е.М. Гладкие функции на плоских множествах // Доклады АН СССР. 1973. -Т. 208. -№ 1. - С. 25-27.

12. Пеллер В.В., Хрущев С.В. Операторы Ганкеля. Наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Успехи мат. наук 1982. - Т. 38. - № 1.-С. 53-124.

13. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из С". — М.: Мир, 1984. 456 с.

14. Сенета Е. Правильно изменяющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 141 с.

15. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. -М.: Мир, 1973.-342 с.

16. Хавин В.П. Пространства аналитических функций // Мат. анализ. 1964. Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. М. - 1966. - С. 76-164.

17. Хенкин Г.М. The approximation of functions in pseudoconvex domains and a theorem of A.L. Leibenson // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astron. Phys. -1971.-V. 19.-P. 37-42.

18. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сиб. мат. журн. 1990. - Т. 31. - № 2. - С. 197-215.

19. Шамоян Ф.А., Ярославцева О.В. Непрерывные проекторы, двойственность и диагональное отображение в некоторых пространствах голоморфных функций со смешанной нормой // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1997. - Т. 247. - С. 268-275.

20. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. Диагональное отображение в обобщенных пространствах Харди в поликруге // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2003. - Т. 303. -С. 218-222.

21. Шамоян Ф.А. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций // Изв. АН Арм.ССР. Серия Математика. 1973. - Т. 8. - №6 - С. 474-494.

22. Шамоян Ф.А., Арутюнян А.В. Теплицевы операторы в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Доклады АН Армении. — 1990.— Т. 91.-№4.-С. 147-151.

23. Шамоян Ф.А., Часова Н.А. О теплицевых операторах в пространствах Хар-ди-Соболева // Интегральные преобразования и специальные функции. — 2003. — Т. 4. -№ 1.-С. 46-54.

24. Широков Н.А. Обобщение теоремы Литтлвуда-Пэли // Зап. научн. семин. ЛОМИ.- 1972.-Т.30.-С. 179-180.

25. Ahern P.R., Sehneider R. Holomorphic Lipshitz functions in pseudoconvex domains // Amer. J. Math. 1979. - V. 101. - P. 543-565.

26. Ahern P., Bruna J. Maximal and area Integral characterizations of Hardy-Sobolevspaces in unit ball of С" II Rev. Math. Ieroamericana. 1988. - V. 4. - P. 123153.

27. Aleksandrov A.B. On the boundary decay in the mean of harmonic functions // Алгебра и анализ. 1995. - Т. 7. - Вып. 4. - С. 507-541.

28. Benedek A., Panzone R. The spaces LP with mixed norm // Duke Math. J. 1961. -V. 28.-№3.-P. 301-324.

29. Djrbashian M.M., Shamoyan F.A. Topics in the theory of Ap spaces. Leipzig: Teubner-Texte, 1988. - P. 200.

30. Forelli F., Rudin W. Projection spaces of holomorphic functions in balls // Indiana Univ. Math. J. 1974. - V.24. - P. 596-602.

31. Fefferman C., Stein E. Hp spaces of several variables // Acta Math. 1972. - V. 129.-P. 137-193.

32. Gadbois S. Mixed norm generalization of Bergman spaces and duality // Proc. Amer. Math. Soc.-1988-V. 104.-№ 4. P. 1171-1180.

33. Hedenmalm H., Korenblum В., К. Zhu. Theory of Bergman spaces, Springer 2000, New York, Heidel, 285 p.

34. Jevtic M. On the Carleson measure characterization of BMOA functions on the unit ball // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. - V. 114. - № 2. - P. 379-386.

35. Kehe Zhu. The Bergman spaces, the Bloch spaces, and Gleason's problem // American Math. Soc. 1988. - V. 309. - №1 - P. 253-266.

36. Kahane J.P. Best approximation in L1(t) II Bull. Amer. Math. Soc. 1974. - V. 80(5).-P. 788-804.

37. Nikolski N.K. Operators, Functions, and Systems // AMS. Math. Surv. and monograph. 2002. - V. 92. - P. 461.

38. Shamoyan F.A. Teoplitz operators and division by inner function in some spaces of analytic functions // Amer. Math. Soc. Transl. 1986. - V. 133. - P. 4-9.

39. Shirokov N.A. Division and multiplication by inner functions in spaces of analytic functions smooth up to boundary // Complex analysis and spectral theory. Lecture Notes in Math. V. 864. - Sptinger-Verlad. - 1981. - P. 413-439.