Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Мусин, Ильдар Хамитович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Уфа
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
МУСИН ИЛЬДАР ХАМИТОВИЧ
ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
01.01.01 - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Уфа - 2004
Работа выполнена в Институте математики с ВЦ Уфимского Научного Центра Российской Академии Наук
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Жаринов В.В. доктор физико-математических наук, профессор Юлмухаметов Р.С. доктор физико-математических наук, профессор Кривошеее А.С.
Ведущая организация: Институт математики и механики Уральского отделения Российской Академии Наук
Защита состоится 11 июня 2004 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Институте математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН по адресу:450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН.
Автореферат разослан " ^ " мая 2004 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в Rn В этих пространствах изучаются следующие вопросы:
1. проблема описания сильного сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа;
2. полиномиальная аппроксимация;
3. интегральные представления решений однородных линейных дифференциальных уравнений в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами;
4. разрешимость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами;
5. представление функций рядами экспонент.
В диссертации также изучаются:
проблема интегральных представлений с экспоненциальным ядром функций, аналитических в трубчатых областях;
сюръективность линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки, в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из R";
преобразование Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста с носителями в замкнутых неограниченных множествах, содержащихся в выпуклых открытых острых конусах в Е".
Большую часть работы занимает описание сопряженных пространств для введенных весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа. Полученное описание оказалось полезным при изучении третьего, четвертого и пятого вопросов в этих весовых пространствах.
Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков - Г. Полна,
«-ос НАЦИОНАЛЬНА* I БИБЛИОТЕКА )
Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёр-мандера, А. Мартино, В.В. Напалкова, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова, В.В. Жаринова, Г.И. Эскина, Ю.И. Любарского, С.В. Попенова, В.И. Лу-ценко, А.В. Абанина, В.А. Ткаченко, Р. Майзе, Ф. Хаслингера, Роевера (J.W. de Roever), Б. Берндтссона, М. Лангенбруха и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций с определенными мажорантами роста. Тем самым многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, вопросы представления функций рядами экспонент и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из теории аналитических функций. В теории операторов сверг-ки, теории приближения функций, вопросах представления функций рядами экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А.Тейлора, A.M. Седлецкого, Р.С. Юлмухаметова, А.С. Кривошеева, С.Г. Мерзляко-ва, Б.Н. Хабибуллина, К. Беренстейна, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, А.В. Абанина, С.Н. Мелихова и др., в теории дифференциальных уравнений - в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, В.П. Па-ламодова, А. Мартино, В.В. Напалкова, Роевера и др.
Цели работы. 1. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа к новым весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций в
2. Исследовать проблему полиномиальной аппроксимации в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций.
3. Получить описание ядер линейных дифференциальных операторов в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами, действующих в введеных весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в К*1 (фундаментальный принцип).
4. Изучить сюръективность линейных дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций, и линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки, в пространствах бесконечно дифференцируемых функ-
ций в выпуклых областях из К?.
5. Изучить вопрос о представлении элементов весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций на прямой рядами экспонент.
6. Исследовать проблему представления интегралами Фурье-Лапласа функций, аналитических в трубчатых областях.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории аналитических функций: представление целых функций заданного роста рядом Лагранжа, д-метод, модифицированный Р.С. Юлмухамето-вым метод Л. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство, а также методы функционального анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
В терминах преобразования Фурье-Лапласа получено описание сопряженного пространства к счетно-нормированному пространству бесконечно дифференцируемых функций в К", построенному по системе Ф весовых функций выпуклая функция с определенными свойствами. Ранее подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в в ситуации, когда зазор между весовыми функциями - логарифмический, не изучались. Показано, что изучаемое весовое пространство не является локализуемым аналитически равномерным пространством, что не позволяет напрямую использовать методы, разработанные Л. Эренпрайсом и др., при изучении проблемы фундаментального принципа в этом пространстве.
В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопряженные пространства к счетно-нормированным пространствам бесконечно дифференцируемых функций в К", построенным по системе Ф весовых функций с определенными свойствами и некоторым семействам логарифмически выпуклых последовательностей положительных чисел, удовлетворяющих естественным ограничениям. Эти весовые пространства могут не быть локализуемыми аналитически равномерными пространствами.
Для решений однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, принадлежащих введенным весовым пространствам бесконечно дифференцируемых
функций в К"(п > 2), получены интегральные представления (фундаментальный принцип).
Найдены достаточные условия сюръективности линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, действующих в определенных весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, а также - сюръективности линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки, в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях Rn.
Получено представление элементов определенных весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций на прямой в виде рядов экспонент.
Получены весовые варианты теорем типа Пэли-Винера для функций, аналитических в трубчатых областях над острыми открытыми выпуклыми конусами в R". Ранее подобные результаты были известны для случая, когда конус - октант.
Получено описание преобразования Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста с носителями в замкнутых неограниченных множествах, содержащихся в выпуклых открытых острых конусах в R", дополняющее известные результаты B.C. Владимирова и Роевера.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут иметь применения в комплексном анализе, при изучении задачи Коши для дифференциальных операторов, в тауберовой теории.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева, в Нижнем Новгороде (1997), Международной конференции по теории аппроксимации и ее применениям, посвященной памяти В.К. Дзядыка в Киеве (1999), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2000, 2002), на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" в Уфе (2000), на 11-ой летней Санкт-Петербургской международной конференции по математическому анализу в Международном Институте имени Л. Эйлера (2002), на семинарах по ТФКП под руко-
водством В.В. Напалкова и И.Ф. Красичкова-Терновского в Башкирском государственном университете, на семинарах под руководством В.В. Напалкова в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36] - [49].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 94 наименования. Объём диссертации - 226 страниц.
Содержание диссертации
Первая и вторая главы диссертации посвящены описанию сопряженных пространств к еще мало изученным весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций в R" в терминах преобразования Фурье-Лапласа n аппроксимации полиномами в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в R". В третьей главе изучается задача об описании ядер дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами, действующих в этих весовых пространстах. В ходе рассмотрения этой задачи были исследованы смежные вопросы теории аналитических функций многих комплексных переменных. В четвертой главе изучается сюръективность линейного дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, а также рассматривается вопрос о сюръек-тивности линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки, в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из К.п. В пятой главе рассматривается задача о представлении аналитических функций (функций, аналитических в трубчатых областях, целых функций экспоненциального роста) с определенными свойствами интегралами Фурье-Лапласа. Там же дополняются результаты B.C. Владимирова и Роевера по преобразованию Фурье-Лапласа -обобщенных функций медленного роста. В шестой главе изучается задача о представлении бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, принадлежащих одному из введенных весовых пространств, рядами
экспонент.
Далее для локально выпуклого пространства Е через Е' обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов на Е, через Е* -сильное сопряженное к Е пространство. Для и = (ui,...,u„), v = (vi,...,vn) € C(R") полагаем (u,v) = i^Ui + ... + unv„, ||u||. = -----|un|2. Для открытого множества С С" H(Q) - пространство функций, голоморфных в Q.
Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций в R", о которых дальше пойдет речь, были введены под влиянием работы Б.А. Тейлора [1]. По семейству Ф выпуклых функций tp В Ж", для которого выполнены следующие условия:
Ф1. Для любых <ри*Р2 G Ф'найдется функция <рз 6 Ф такая, что min(yi(x),¥>2(£)) > <Рз(х)> х € R".
Ф2. Для любого м£ Ф • lim = +оо.
||х||
ФЗ. Для любого <р\ € Ф найдутся число I? > 0 и й G Ф такие, что sup (р2(х + у) + »7||x|| < Pi(x),
им было определено линейное пространство <£(Ф) бесконечно дифференцируемых функций таких, что для любых
W(/)= ^/(zjlexp^^i)) < оо.
Семейство норм tmtV задает на £(Ф) локально выпуклую топологию. Отметим, что пространство <£(Ф) инвариантно относительно сдвигов и дифференцирования. Условие Ф2 гарантирует, что экспоненты е,<ж^>, где С€ С, принадлежат <£(Ф). Поэтому для любого функционала Т Е <£'(Ф) корректно определена функция T(Q = Т(е,<*'^>), С S С1., Отображение Т G £'(Ф) —> Т называем преобразованием Фурье-Лапласа.
Обозначим через % совокупность вегцественнозначных функций <р в
Kfß(x)
п таких, что lim ,. .. = +оо, а через Ф — подмножество И, состоящее
х-+оо ||a;|j
из выпуклых функций. Пусть <р* преобразованиеЮнгафункции 6 Л: tp*(x) = sup ({ж, у) - <р(у)), х € Rn. Положим = <р'(-х), х 6 R".
Б.А. Тейлор [1] отметил, что пространство С(Ф) при помощи преобразования Фурье-Лапласа может быть отождествлено с пространством целых функций F вС„ удовлетворяющих следующему условию роста: существуют числа такие, что
|F(*) < А{ 1 + ||г||)техр(£(/т *)), z е С".
До Б.А. Тейлора специальные случаи пространств <Е(Ф) рассматривались Л. Эренпрайсом [2] и Л. Хёрмандером [3]. И для этих специальных случаев ими было получено описание сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа.
Полученное описание сопряженного пространства для <Е(Ф) оказалось полезным при изучении самых разных задач. Например, оно было использовано Л. Эренпрайсом [2] при изучении единственности задачи Ко-ши для дифференциальных операторов, К. Беренстейном и Дж. Лесмесом [4], В.В. Напалковым [5] при изучении единственности задачи Коши для операторов свертки.
Главы 1, 2. В первых двух главах работы изучаются пространства, построенные по типу пространства и "пространств, определяемых операторами свертки" [1], но имеющие более жесткую структуру. В первой главе описание сопряженных пространств к этим пространствам приводится для случая одного переменного. Отдельное рассмотрение этого случая связано с возможностью применения специальных методов теории целых функций одного переменного. Вторая глава ориентирована на случай многих переменных. Введем теперь эти пространства и рассмотрим каждое из них в отдельности.
Пусть - функция из класса Введем пространство
- проективный предел банаховых пространств
т £ N. Для каждого m6N простран с£ыв-о(вл о ж е н о в £т(Ф) вполне непрерывно [6, §5, п. 5.4J, поэтому, в соответствии с определением из [7], £(р) - пространство (М*). Очевидно, £(<р) инвариантно относительно дифференцирования. Топология может быть также задана с
помощью семейства норм
P"/(»)|(l + llx||)"
?p,m(/) = SUp
ieR",|a|<p
exp(v(x))
Пусть (р £ Ф. Отметим, что для функций из семейства Ф = {<£>(х) — т!п(1 + ||ж||)}тоем, участвующего в определении пространства £(<р), не выполняется условие вида ФЗ. Поэтому нельзя гарантировать инвариантность пространства £(<р) относительно сдвигов. Например, для случая п = 1 и <р(х) = х4 функция }{х) = е1*-*2 принадлежит классу £(<р), а функция д(х) = /(х + 1) не лежит в £(<р)
Для Ф £.71. введем линейное пространство (¡(ф) — и (¡¿т^')> гДе
m£Z+
QmW = (/ е Я(С"): = sup
I/WI
(1 + ||*||)»»exp(i&(/m z))
< оо|.
Снабдим Q(V>) естественной топологией индуктивного предела. Очевидно, Я(ф) - пространст(]£<^*()огласно определению из [7]).
Отметим, что для линейных непрерывных функционалов Т над £(<р), а также и над другими, далее определяемыми, пространствами бесконечно дифференцируемых функций, будут корректно определены функции T(z) = Т(е{<^>) и T(z) = Т{е~,<(-г>), z е С".
Через (ft > 0) обозначим класс функций <р : R" —>■ R, для которых при некоторых С > Q,D € R <р(х) > С7ЦзеЦ#4 — D, х 6 R".. Имеет место
Лемма 2.1.1. Пусть ц > 6 7£м. Тогда:
1.найдется Mv чТ*сЛ> т а ко е, ч \<p*f(y) —oyj'(ae) | <cMv# и
||y-®||<(i + ||x||)^;
2. для любого тбИ найдется постоянная Ат > 0 такая, что для любого х 6 R"
gp(ß,*> - Ш - mln(l + Hill))) - „•(*) < Д. + + ||х||).
Основным результатом первого раздела первой главы (напомним, что в ней рассматривается случай только одного переменного) является
Теорема 1.1.4. Пусть ц > 1, tp G Ф ПИ^. Тогдаотображение I : Т 6 £*(<?) —> устанавливает топологический изоморфизм между пространствами
Биективность отображения / получаем из следующего утверждения.
Теорема 1.1.3. Пусть Пусть функция U ёЯ(С) удовлетворяет
при некоторых С > 0,N G N неравенству
\U(z)\ < С{ 1 + exp(<p'(Im z)), z G С.
Тогда существует единственный функционал Т G £'(tp) такой, что Т(ехр(-ггО) = U(*), z€ С. Причем, |Т(/)| < CxCqN+2,2(f) , f € £(<р),
где не зависит от U.
Доказательство единственности в теореме 1.1.3. основано на полноте полиномов в £ [tp). Справедлива
Теорема 1.1.1. Пусть ¡р(=Ф. Тогда многочлены плотны в £{tp).
Отметим, что в некоторых случаях полиномы будут плотны в £(tp) без предположения о выпуклости функции tp Ç.1Z. Справедлива
Теорема 1.1.2. Пусть ц > 1, <р G Тогда многочлены плотны в £(tp).
Рассмотрим случай нескольких переменных. Для р > l,fi G (1,/»] через ФЛ/1 обозначим множество функций tp из Ф, для которых существуют числа Ар > OjB^Cy > 0такие, что всюду в R" С^ЦхЦ*1 — Dv < tp(x)<AJx\\" + B4,.
Следующая теорема - основной результат раздела 2.1.
Теорема 2.1.1. Пусть р > 1,ц G (1,р]т tp G Ф^- Тогдаотображение устанавливает топологический изоморфизм между пространствами £* (tp) и Q(tp).
Сюръективность отображения Л следует из результатов Г.И. Эскина [8], B.C. Владимирова [9], [10] в случае <р(х) = ||а:||р (р > 1) и СВ. По-пенова [11]. Инъективность А устанавливается на основе теоремы 2.1.2, утверждающей, что многочлены плотны в £ (у) при условии, что tp € Иц {ц > 1). Отметим, что если функция <р £Ф - радиальная, то справедливо
Предложение 2.1.1. Пусть <р(х) = t>(|jx||), zdev - функция одной переменной из класса Ф. Тогда многочлены плотны в £(у).
На базе пространства £{ф) построим новые весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций.
Пусть возрастающая последовательность М положительных чисел Mo = 1, Mi, Мг,..., удовлетворяет условиям: n). Mi < Мк.гМм, Vfc 6 N;
t'2).. существуют числа Hj > 1,Н2 > 1 такие, что для любого к £ Z+ Мм < НуЩМк',
найдутся числа такие, что для любого
мк > QiQ^kl
С. послеповя^еттьностью (Mfc)|l0 ассоциируется функция w на [0, оо): tu(r) = sup In— . Для г > 0; tu(0) = 0. Она непрерывна на [0,оо) [12]. Из тог()ксч1() tti(r) = 0 для г € [0, Mi], и из условия 13) следует, что найдется число
- плюрисубгармоническая функция в
Пусть введем нормированные пространства
С (р гтА — I f а • п т- ,„„ - ,
Пусть Наделим топологией про-
m=le>0f c>0 |/(z)| 1
предела пространств
При описании сопряженного пространства для б?^ случаи одного и многих переменных рассматриваются отдельно.
При п = 1 накладывается по одному дополнительному условию и на и на последовательность М. В предположении, что последовательность (М/с)%10 удовлетворяет условиям ¿1), ¿3), а также условию
г'2). существуют числа > 1, Нг > 1 такие, что V Аг, гтг 6 <
НхН^*"1 МкМт, получен следующий основной результат раздела 1.2.
Теорема 1.2.1. Пусть а > 1, <р € Ф, функция ф — <р* удовлетворяет условию: существует постоянная Аф > 0 такая, что
1^(21) - < Аф(1 +1^1 + кг!)0"1!!! -х2|, хих2 е к. (0.1)
Тогда отображение 2 : Т Е —> 'Г устанавливает топологический изоморфизммеждупространствами и Рф.
Сюръективность 2 в теореме 1.2.1. получена с помощью представления целых функций из Рф в виде ряда Лагранжа. Идея воспользоваться таким приемом взята из работы Р.С. Юлмухаметова [13]. Для реализации этой идеи строится специальная целая функция. При этом используются результаты Р.С. Юлмухаметова [14] и М.И. Соломеща [15], [16].
В случае многих переменных при условии, что возрастающая последовательность М положительных чисел Мо = 1, М\, удовлетворяет условиям получен следующий основной результат раздела 2.2.
Теорема 2.2.1. Пусть <р Е Ф^ц, где р > 1,/л € (1,р]. Тогда отображение В : Т 6 —> Т устанавливает топологический изоморфизм между пространствами С^ и Р$.
Б.А. Тейлором [1] на базе пространств <£(Ф) были введены "пространства, определяемые операторами свертки", и на основе описания сопряженного для <Е(Ф) было изучено преобразование Фурье-Лапласа линейных непрерывных функционалов над этими пространствами. Определение этих пространств в общем случае довольно громоздко. В качестве
модельного для такого типа пространств может выступать пространство <9(Ф) функций / 6 С00^") таких, что для любых е > 0, у> 6 Ф
ГуМ) ~ Эйр
£:НМ|Л|ехр(^(х))
< оо,
положительных чисел ¿3). Семейство норм
где возрастающая последовательность М
удовлетворяет условиям г^е задает на С5(Ф) локально выпуклую топологию.
Несмотря на то, что пространство Су не входит в класс "пространств, определяемых операторами свертки", идеи работы [1] оказались полезными при описании пространства в^,. При этом был использован результат Р.С. Юлмухаметова [17], обобщающий результат Л. Хермандера [18, теорема 4.4.3.] о продолжении аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство.
Рассмотрим еще одно пространство бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, для которого в первой главе было получено описание сопряженного пространства.
Пусть возрастающая последовательность М положительных чисел помимо условий , удовлетворяет условию
Пусть (ет)т=1 ' строго убывающая к нулю последовательность положительных чисел, а а - положительное число. Пусть <р £ И. Для краткости полагаем
Для каждого тбй введем нормированные пространства
С обычными операциями сложения и умножения на комплексные числа 00
~ П ^."»(о1) является линейным пространством. Наделим пространство топологией проективного предела пространств Положим гут(|.г|) = гу((о- + ет)_1|г|), 2бС,т£Е
Для феПи каждого т 6 N определим нормированные пространства
Пусть Рф(<т) = и Рф<т((т). Наделим пространство Рф(о) топологией индуктивного предела пространств Рф<т{а).
В указанных предположениях относительно (А/*))^ справедлива
Теорема 1.3.1. Пусть а > 1, <р (Е Ф, функция ф = <р* удовлетворяет условию: существует постоянная Аф > 0 такая, что
№(*х) - 1АЫ1 < А>(1 + |*х| + |*а|)в'1|*1 ~ *а|» *ь*2 е К.
Тогда отображение"? : Т € О* (сг) —> Т устанавливает топологический изоморфизммеждупространствамиОф(<т) и Рф(<т).
Глава 3. Здесь изучается проблема интегральных представлений решений однородных линейных дифференциальное уравнений конечного порядка в частных производных, принадлежащих пространствам €((р) и Отметим, что из теорем 2.1.1 и 2.2.1 и результатов работы [19] следует, что являются аналитически равномерными простран-
ствами (AU-пространствами [2, С. 8]).
Л. Эренпрайсом [2] и, независимо, В.П. Паламодовым [20] было показано, что элементы ядер линейных дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами, действующих в определенных аналитически равномерных пространствах [2, С. 96], допускают естественное интегральное представление. Для примера рассмотрим пространство С°°(КП) бесконечно дифференцируемых функций в с обычной топологией. Пусть - полином в - линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами (где £) = Тогда удовлетворяет уравнению тогда и только тогда, когда справедливо представление
/(*) = £ ^ <ыо, г 6 к".
Здесь J € N, d3 (д- дифференциальные операторы в частных производных на С с постоянными коэффициентами, - алгебраические многообразия, содержащиеся в нулевом множестве полинома Р, меры Радона имеют носители, содержащиеся в ii^, и удовлетворяют условию роста, обеспечивающему сходимость интегралов в указанном представлении для всех г 6 R". Аналогичные интегральные представления были получены Л. Эренпрайсом для решений из определенных локализуемых аналитически равномерных пространств (LAU-пространств) [2] и В.П. Паламодовым [20] для решений, принадлежащих специальным классам функций и распределений. Ими же подобные представления получены и для решений однородных систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами [2], [20] (в корректной форме в [20]). Такие интегральные представления принято называть фундаментальным принципом.
С. Хансен [21] ввел более широкий, чем в [2], класс пространств (названный также LAU-пространствами), для которых справедлив фундаментальный принцип. LAU-пространство может быть нестрого определено как локально выпуклое пространство X, сильное сопряженное X* которого изоморфно пространству X* целых функций, рост которых на бесконечности контролируется семейством весов, удовлетворяющих некоторым техническим условиям. Известно, что, если Х - LAU-пространство, то замкнуто относительно сдвигов, дифференцирования и умножения на полиномы [21].
Проблема описания ядра оператора свертки, действующего в LAU-пространстве H(D) [21] функций, голоморфных в произвольной выпуклой области D из С", изучалась А.С. Кривошеевым [22], [23].
В главе 3 проблема фундаментального принципа рассматривается в скалярном случае (одно уравнение и одна неизвестная функция) для пространств когда принадлежит классу
Справедлива
Теорема 3.1.1. Пусть <р принадлежит классу ФР)(1 (р > £ (1,/г]). Тогда£(<р) не является LAU-пространством,
Отметим, что для некоторых tp G ФАЛ (р > 1,Ц G (1>р]) и после-
довательностей (Л/*)£10 пространство С>у также может не принадлежать классу локализуемых аналитически равномерных пространств, для которых справедлив."фундаментальный принципа" Эйлера. Например, если <р(х) = ||х||2, Мк = ((к + I)!)7, к € 7 > 1, то пространство не инвариантно относительно сдвигов, и поэтому Су, не является локализуемым аналитически равномерным пространством. Таким образом, и в случае пространств (?„, возможны ситуации, при которых "фундаментальный принцип" Эйлера нельзя получить из результатов работы [21].
В то же время пространства £ (у?) и не подпадают под класс пространств, для которых фундаментальный принцип был получен В.П. Па-ламодовым. В этот класс пространств включаются пространства гладких функций в Я", для которых сопряженное пространство посредством преобразования Фурье-Лапласа может быть реализовано как пространство целых функций в С", удовлетворяющих;весовым оценкам, определяемым с помощью возрастающей последовательности мажорант Кт вида Кт(г) — Дт(г) ехр(/т(у)) (г = ж + гу), где Кт - вещественнозначныеположительные функции в С, 1т - выпуклые функции в Ш™, обладающие определенными свойствами. В частности, каждая функция 1т удовлетворяет неравенству вида вир ехр(/т(4)) < Ствхр^то+^у)), у 6 К",
где 6т > 0,Ст > 0 - некоторые числа. Это неравенство в обоих наших случаях не выполняется.
Таким образом, изучение проблемы фундаментального принципа для линейных дифференциальных операторов в частных производных конечного порядка, действующих в пространствах £(ф) И является содержательной задачей.
Перейдем к формулировке результатов. Пусть Р(г) — Х^а!«™0«»20 ~ полином от п переменных степени т > 1, Р(О) = 5Г|а|<т Пусть
N 6 С (||7У|| = 1) - нехарактеристический вектор для Р. Пусть Здг - оператор, действующий на функции голоморфные на произвольном
открытом множестве П С С, по правилу: (9дг/)(г) = ^/(г 4- А7У)|д-0)
г € П. Пусть Р(г) = ^'(^•••■/^'(г), где Рг,... ,РГ — неприводимые
полиномы, ... ,(r € N. Для * = 1,... ,г пусть
Vi = {z € С : Pt{z) « О, * 0. ВД Ф 0 при j^i}.
Следующие два результата дают общий вид решений однородных линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами конечного порядка, принадлежащих пространствам £(<р) и Gv.
Теорема 3.2.1. Пусть р > 1,/î 6 (1 ,р] и <р G Фр,^. Функция и € £{ч>) является решением уравнения P(D)u = 0 тогда и только тогда, когда справедливо представление
«(*) = NY jVteMdtiiAС), z 6R",
где меры Радона dfiij имеют носители, содержащиеся в Vi, и таковы, что найдется положительная непрерывная функция h в G1.,удовлетворяющая при любом m € N условию (1 + |lzl|)mexp(y*(#e z)) = o(ft(z)), Цг|| оо, такая, что для всех i = 1,... ,r;j = 0,... ,li — 1 fv h(z)\dnij\[z) < oo.
Теорема 3.2.2. Пусть <p € где p> 1,ц € (l»p]- Функция и из G^ является решением уравнения P{D)u — 0 тогда и только тогда, когда справедливо представление -
Ф) = NY jf e^dfi,iiO, х 6 R",
где меры Радона dnij имеют носители, содержащиеся в V{, и таковы, что
найдется положительная непрерывная сЬункиия h в С?.удовлетворяющая при любом m € N у exp(^p*(Rej£) + u>ft(||z||))?= о(Л(я)), оо,
такая, что для всех
При доказательство теорем 3.2.1 и 3.2.2 существенную роль играет нижеформулируемая теорема 3.2.3, которая имеет самостоятельное значение и может применяться и в других ситуациях. Дело в том, что
центральный результат работы [21] - Division and Extension Theorem -в нашей ситуации не пригоден. Указанный результат из [21] является ключевым в решении проблемы фундаментального принципа для LAU-пространств и в скалярном случае формулируется следующим образом [21, С. 240].
Теорема F. Существуют дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами и алгебраические многообразия ilj,j = 1 ,...,J, и существует постоянная М > 0 такая, что утверждения (Div) и (Ext) справедливы для произвольной плюрисубгармонической функции (р в С: (Div) Для любой целой функции v : С —»■ С
Обратно, если целая функция g : С" —»• С удовлетворяет
то существует целая функция v такая, что
(Ext) Для любой целой функции g : С1 —> С существует другая целая функция /:€"-> С такая,- что dj(dt)(f(z) — ff(z))|nj =0, j — 1,... , J и sup + ||z||)-M < max sup \g{z)\e~^z). '
Отметим еще, что ранее С. Хансеном был получен такой результат о продолжении голоморфных функций с оценками [24, Теорема 2.3].
Теорема Н. Пусть (р - плюрисубгармоническая функция С такая, что
удовлетворяет условию
Тогда найдутся функция g € Я(С), число М > 0, не зависящее от
f, такие, что - = 0, » = 1.....r;i = О,. ..,/< — 1, и
sup Ш\е-"М(2 + \\z\\)-M <1. »ее
При изучении проблемы фундаментального принципа в случае пространства £(<р) нельзя пользоваться ни теоремой Н, ни теоремой F, а в случае пространства можно пользоваться теоремой F лишь в отдельных случаях. Наш результат формулируется следующим образом.
Теорема 3.2.3." Пусть и - плюрисубгармоническая функция в С" такая, что при некоторых М > 0, d > О
|«Ы - «(*i)| < М, если \\z2 - Zl\\ < (1 + ll^ll)-".
Пусть функция f £ Я(С) удовлетворяет условию
sup |(ЗД(г)|е",'М <1, 1 < г < г,0 < j < U ~ 1.
Тогда найдутся функция g £ Щр1), число а > 0, не зависящее от f, и число Ь > 0, не зависящее от f и от и, такие, что d*N(f — <?)(z)|v =
Эта теорема доказана в п. 3.2.4. Доказательство этой теоремы основано на лемме 3.2.1, которая является усилиением леммы 3.1 работы [24].
Для С е е, d > о пусть ии = D(C, (1 + ||C!l)-m(<i+2))-Лемма 3.2.1. Пусть / 6 Д(С),С £ C,d > 0. Пусть пересечение шара с множеством Vi не пусто. Тогда найдется функция g £ H(U^d)
такая; что - g)(z)lvtnu<d = г = 1, • • • ,r;j = 0,... ,li - 1, и для
любогог £ U^
\g(z)\ < С( 1+ |И|Г ^тах^ ^
где постоянные С>0и~у>0не зависят от f и
Глава 4. В разделе 4.1 данной главы получено достаточное условие сюръективиости линейного дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве Су(ст) при дополнительных предположениях на последовательность М = При этом изначально предполагается, что у? € Ф; функция "ф — <р* удовлетворяет условию (0.1), а возрастающая последовательность М положительных чисел Мо — 1, Л/1, Л/21 • • • 1 - условиям »1), ¿3), £3). Дополнительных условий на последовательность (М*,)]^ два:
И г {Мы-А* 1
Из условия i5), в частности, следует, что lim I —г;— I* =1.
n-too \ Мк J
В ряде случае условие £5) легко проверить (см. лемму 4.1.1 в диссертации). В частности, последовательности ((п 4- ((n + 1) (р > 1) - возрастающие и удовлетворяют условиям £j) - £5).
00
Пусть L{z) = ¡C dicZk - целая функция, удовлетворяющая условиям:
LI. V е > 0 3 Се> 0 : V г 6 С \L{z)\ < Сс ехр(еиф|));
L2. для z 6 С вне некоторого множества S непересекающихся кружков D(Xj, rj) = {z 6 С : \z — A¿| < r^}, j — 1,2, •.. , таких, что:
Sl. lim А,- = oo¡
при любом e > 0 имеет место неравенство |L(;z)| > с£ ехр(—eu>(|z|)), где се > 0 - некоторая постоянная.
В этих предположениях относительно ¡p, М и функции L справедлива
Теорема 4.1.1. Для любого д G з(х), х G ПК, разрешимо в С^(ет).
G,p(a) уравнение £ dkikf^(x) =
Из результатов по сюръективности линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в классах
бесконечно дифференцируемых функций на вещественной прямой с весовыми оценками на производные любого пор'ядка можно отметить работу Ю. Ф. Коробейника [25], в которой, однако, изучалось пространство, существенно отличающееся по своей структуре от пространства
В разделе 4.2 изучается вопрос о сюръективности линейных операторов, действующих в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из К" и являющихся возмущениями операторов свертки. Для открытого множества й С К" через £(0.) обозначаем пространство бесконечно дифференцируемых функций /(х) ^с
топологией, определяемой системой норм где
хек>|<лг
К пробегает совокупность всевозможных компактных подмножеств из П, а N - множество всех неотрицательных целых чисел.
Определение [26, глава 16}. Пара (-Хь-Хг) непустых открытых в Е" множеств Х\,Хз таких, ч <4- $ирр р Сь1 -X}, а е т с яр-выпуклой для носителей, если для любого и € ¿'{Х^) Иэ^зирр V, К" \ = ¿{¡¿(вирр ц*1>,Жп\ Хг).
Определение [26, глава 16]. Распределение называется об-
ратимым, а функция й называется медленно убывающей, если для каждого о > 0 существует такая постоянная 6 > 0, что яир |й(£ + »7)| >
(Ъ + ||£||)-ь для любого С 6 К".
Пусть /1*/ - свертка распределения (1 £ £'(1КП) и (функции / £ £(Хх).
Согласно [26, теорема 16.5.7] уравнение ¡л * / = д имеет решение / из £{Х\) для каждой функции'^ 6 £(-Хг) тогда и только тогда, когда /х € £'(К") обратимо, апара (Хь-Хг) являетс^выпуклой для носителей.
В разделе 4.2 рассматривается следующая ситуация. Пустьц € £'(КП) - обратимое распределение, носитель которого ъирр ц - выпуклое множество с непустой внутренностью. Пусть .АГа - открытое выпуклое множество. Положим Х\' = Хг+вирр/х. Отметим, что пара (Х1,Х2) является ¡Лг выпуклой для носителей. Распределение ц порождает оператор свертки А : £{Х{) £{Х2), действующий по правилу (Л/) (х) = (ц*/)(х), х б К". Пусть оператор В : ¿(ХО —>• £(Х2) линеен и для любого выпуклого компакта в Х2 существуют выпуклый к о 13Г фгте^аорр-^) и число такие, что для любого такого, что окрестность ком-
пакта К, предкомпактна в X,, и для любого N2 € Z+ найдется число с = c(e,N2) > 0 такое, что \\Bf\\K.tNj < с||/№1+ТЛ, / 6 ОД).
В этих предположениях относительно А и В, X¡ и Х2 справедлива
Теорема 4.2.1. Оператор А + В : £(Xi) сюръективен.
Отметим, что Мерзляковым С.Г. в [27] изучалась задача о замкнутости образа возмущений операторов свертки в пространствах голоморфных функций многих переменных.
Глава 5. Генчевым в [28] был рассмотрен весовой вариант теорем Пэли-Винера для случая функций, аналитических в октанте Т : Im Zi¡ < 0,k — 1,2,... ,n Затем в работе Генчева и Хейнига [29] результаты работы [28], касающиеся интегральных представлений Фурье-Лапласа функций, аналитических в октанте, и целых функций экспоненциального типа, были развиты на случай более общих весов. Также в этих работах были получены весовые версии теоремы об острие клина. В разделе 5.1 эти результаты распространяются на случай голоморфных функций в трубчатых областях над острыми выпуклыми конусами в Rn и целых функций экспоненциального типа с более общими характеристиками роста, чем в указанных работах. Также получена весовая версия теоремы об острие клина в более общей ситуации, чем в [28], [29]. Приведем лишь некоторые результаты раздела 5.1.
Введем ряд обозначений. Если Г - открытый выпуклый конус в R", b - выпуклая в /"однородная степени 1 функция, то 11(Ь,Г) = {£ € R" : — < £,у >< Ь(у) Vy 6 Г1}. Через Тр обозначается трубчатая область над конусом Г: Тг = Rn + iT. Числа р, q >1 связаны равенством i + j = 1.
Далее в формулировках утверждений С - открытый выпуклый острый [30, С. 73] конус з R" с вершиной в нуле, a(z) - неотрицательная выпуклая непрерывная в Tj¡ однородная степени 1 функция. Положим b(y) = a(iy), у € С. Через V¿(Tc) обозначим пространство функций, голоморфных в TC и удовлетворяющих при любом £ > 0 оценке
|Дг)| < с, ехр (ф) + фЦ), ^ > 0, г € Тс. Теорема 5.1.3. Пусть функция f € Pa(Jc) имеет граничные значения
/0(х) = lim f(x + iy) почти всюду в R". Предположим, что при р > 2 17с -
J |/о(х)Пк1|п(р"2) dx < оо. Тогда справедливо представление
R»
f(z) = j, ехр(—t < z,t >)g(t) dt, z 6 Tc, -ЩЬ,С)
где g e I/^^supp g Ç -U(b,C).
Теорема 5.1.4. Пусть функция f G VaÇlc) имеет граничные значения fa(x) = lim f(x + iy) почти всюду в M", причем f0 G i^(Rn), 1 < p < 2.
Тогдасправедливопредставление
/(z) = J ехр(-г < г, t >)g(t) dt, z G Tc,
где при p = 1 g Ç C(R") и supp g Ç -U(b,C), a в случае p > 1 g G
R'
При доказательстве теоремы 5.1.3 используется неравенство Харди-Литтлвуда [28], [31]. При р > 2 для измеримой в R" функции и, удовлетворяющей неравенству J, \u(t)\p\\t\\"^p~2^ dx < оо, оно имеет вид R"
Jjû{t)rdt<cpJ\u{t)mn<p-*i<b,
где Ср > 0 - некоторая постоянная. При доказательстве теоремы 5.1.4 используются неравенство Хаусдорфа-Юнга [32, С. 201] и еще одно неравенство Харди-Литтлвуда [28], [31]
/ |й(*)П1'1Г(р"2> dt<£pj |и(0Г dt. « e 1 < P < 2.
где Cp > 0 - некоторая постоянная. Помимо них важную роль играет
Теорема 5.1.1. Пусть д 6 7>а(Тс) и для любого f.£-RT?' limp(2:) < М. Тогда\д{х + tj/)| < Мехр(а(»у)), х + iy ^Тс-.
Имеет место весовая версия теоремы об острие клина..
Теорема 5.1.5. Пусть a\{z) и аг(г) - неотрицательные выпуклые непрерывные в T-q и Т_л, соответственно, однородные степени 1 функции. Пусть f{ 6 Vai{T-c),h € /Ра)(1с) и для почти всех X € R" существуют граничные значения fi(x) — lim /i(x + tj/), /2(1) = lim fi{x + iy). Пусть
у€С ■ »€-С
fl(x) = fi(x) почти всюду в R' , и fa удовлетворяют либо условиям теоремы 5.1.3, либо условиям теоремы 5.1.4.
Тогдаfi(z) it /2(2) продолжаются аналитически до одной и той же целой функции 'f(z), причем справедливо представление
/(2) = Jcxp{—i < z,t >)g{t) dt,.z e С",
где К = (-U(bltC)) П (-Ufa, -С)), ВД = a,(iy) для y e С/62Ы = аг{1у) для y d —C, g.удовлетворяютутвержИдешяммттщрем5LE3 или
5.1.4, соответственно и supp g С К.
В случае С — R" теоремы 5.1.3 - 5.1.5 были получены Генчевым [28]: В разделе 5.2 изучается преобразование Фурье-Лапласа обобщённых функций, носитель которых лежит в замкнутом выпуклом неограниченном множестве, содержащемся в остром выпуклом открытом конусе С в Rn. Преобразование Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста, носители которых ограничены со стороны конуса, изучено B.C. Владимировым [10]; [30].' В [33] дано описание преобразования Фурье-Лапласа более узких классов обобщенных функций, а именно, обобщенных функций, носитель которых лежит в двумерном гиперболоиде
^ = {х = (ц, х2) G R2 : X! > У/х\ + ц2}, ц>0.
Пусть Ъ(х)_ - непрерывная вогнутая позитивно однородная степени 1 функция в С такая, что Ь[х) > 0-для х G С, Ь{х) = 0 для х; лежащих
на границе конуса С. Для фиксированного (х > 0 пусть D^ = {х 6 С : Ь(х) > fi}. Пусть Г = int С*. Для у Е. Г Дг(у) ^ расстояние до границы
' < £ х >
конуса Г. Положим 6*(f) = inf —— , % G Г. Для а >0,ß > 0 пусть
H^f(r) — пространство функций, голоморфных в Тг, с конечной нормой
хес Ь(х)
IO./3
II/IIS
!/(*)! expfrb*(y))
!етА1+\\г\Щ1 + А^(у)) '
Пусть Я„.Ь(Г) = Я^(Г). Наделим топологией индуктив-
ного предела пространств Н^(Г)., Пусть - пространство обоб-
щенных функций медленного роста с носителем в Справедлива
Теорема 5.2.2. Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизммеждупространствами£*(2?^) и Н^ь(Г).
Роевер в [34] привел описание преобразования Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста, носитель, которых лежит в произвольном замкнутом выпуклом неограниченном множестве и с непустой внутренностью в К°, не содержащем прямую. По множеству и можно, единственным образом определить открытый выпуклый конус Г в К° и выпуклую позитивно однородную степени 1 в Г функцию к так, что и = {£ € К" : — < >< Щ € Г}. Пусть открытые выпуклые конусы Гк,в Яп исчерпывают конус Г изнутри, к = 1,2,... . Пусть
- проективный предел пространств функций, голоморфных в с конечной нормой
Через Ц,{Г) - обозначим индуктивный предел пространств Те-
орема 5.6 из [34] утверждает, что преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами 5* (Г/) обобщенных функций медленного роста с носителем в ¡7 и Уь(Г). Таким образом, в случае, когда и = теорема 5.2.2 несет больше информации о росте преобразований Фурье-Лапласа вблизи границы конуса Г.
Глава 6. Здесь рассматривается вопрос о представлении функций из класса (7„,(сг) рядами экспонент. Предполагаем, что <р 6 Ф и функция ф = <р* удовлетворяет условию (0.1). Указанное представление получено при дополнительных предположениях о последовательности М = (Мь)|10.
Пусть возрастающая последовательность М положительных чисел Мо = 1, МиМ2,... удовлетворяет помимо условий ц), г'2'), г3), г5) еще ОДНОМУ:
г^). V з > 1 ¡¡тп-ц-оо (^г1)" > 1.
Так как субгармоническая функция ф[1т г) + ш(а-1|.г|) удовлетворяет (см. лемму 1.2.9 в диссертации) условиям теоремы 6 из [14], то существует такая целая функция К, что:
1). Все нули (расположенные в порядке неубывания их модулей) функции N - простые и круги
где с1 - некоторое поло^д^ттьное число, попарно не пересекаются.
2). Вне множества у при некоторых положительных А, Со
|ф(1т г) + 1|*|) - 1п |ЛГ(*)|| < А 1п(1 + И) + С0. Теорема 6.1.1. Любая функция / € ^(«т) представляется в виде ряда
абсолютно сходящегося в топологии пространства <7^(ег). Здесь
с, е с V з е N.
Данный результат получен на основе изучения свойств последовательности М, теоремы 1.3.1, изучения слабо достаточных множеств для РФ{(Г) и результата работы [19].
Рассмотрим функцию (она введена в главе 4)
В главе 4 доказана
Лемма 4.1.4. Для любых .5 > 0,5 6 (0,1) существует постоянная > 0 такая, что для всех г > О
Пользуясь этой леммой и свойствами функции 1(э) (глава 6), можно показать, что в рассматриваемом случае пространство представ-
ляет собой индуктивный предел нормированных пространств
Р^Пт) = I
/ G Я(С) : n^,m(f) = sup
\т\
zee exp(ip(Im z) + 7mu>(^))
< oo> >
)
где 0 < jm < 1 и г jyme—nip и m-too. Это означает, что в рассматриваемом случае пространство Р^О7) относится к классу пространств, в которых слабодостаточные множества (минимального типа) изучались А.В. Абаниным [35].
В диссертации приведено независимое доказательство слабой достаточности м н о ж е 5 = пей функции N для пространства Р^(сг) (см. [47]).
Автор благодарен члену-корреспонденту РАН В.В. Напалкову за поддержку, полезные обсуждения и замечания.
Литература
[1] Taylor B.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24, №1. P. 39-51.
[2] Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley - Interscience publishers, 1970.
[3] Hormander L. La transformation de Legendre et la theoreme de Paley-Wiener // Comptes Rendus des Seances de l'Academie des Sciences. 1955. V. 240. P. 392-395.
[4] Berenstein C.A., Lesmes J. The Cauchy problem for convolution operators. Uniqueness // Mich. Math. J- 1979. V. 26. P. 333-349.
[5] Напалков В.В. Задача Коши для операторов свертки // Исследования по теории приближения функций. Уфа, БФ АН СССР, Отдел физики и математики, 1987. С. 176-186.
[6] Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS IIУМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97-131.
[7] Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1, № 1. С. 60-77.
[8] Эскин Г. И. Обобщение теоремы Палея-Винера-Шварца // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 185-188.
[9] Владимиров B.C. Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т.' 27, №1. С. 75-100.
[10] Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.
[11] Попенов С.В. Об одном весовом пространстве целых функций // В сб: Исследования по теории аппроксимации функций. 1986.
С. 89-96. Уфа. БФАН СССР, 1986.
[12] Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М.: ИЛ, 1955.
[13] Юлмухаметов Р.С. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях // Матем. сб. 1986. Т. 130(172), №4(8). С. 500-519.
[14] Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. V. 11, №3. P. 257-282.
[15} Напалков В.В., Соломещ М.И. Оценка изменения целой функции при сдвигах ее нулей. Доклада: АН. 1995. Т. 342, №6, С. 739-741.
[16] Соломещ М.И. К теореме Р.С. Юлмухаметова об аппроксимации субгармонических функций // Деп. в ВИНИТИ 24.07.92, №2447 -В92. Ин-т математики УрО РАН. Уфа, 1992, 14 с.
[17] Юлмухаметов Р.С. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. 1996. Т. 60, №4.
С. 205-224.
[18] Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1966.
[19] Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций // ДАН СССР. 1982. Т. 264, №4. С. 827-830.
[20] Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1971.
[21] Hansen S. Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Transactions of the AMS. 1981. V. 264, № 1. P. 235-250.
[22] Кривошеее А.С. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства С* // Известия РАН. Серия матем. 1994. Т. 58, №1. С.71-91.
[23] Кривошеев А. С. Интерполяция с оценками в С* и ее применение // Матем. сборник. 2001. Т. 192, №9. С. 39-84. .
[24] Hansen S. On the "Fundamental Principle" of L. Ehrenpreis // В кн.: Partial differential equations. Banach center publications. Warsaw. PWN-Polish Scientific Publishers. 1983. V. 10. P. 185-203.
[25] Коробейник И.Ф. О бесконечно дифференцируемых решениях линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка // Сиб. матем. ж. 1965. Т. 6, №3. С. 516-527.
[26] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986.
[27] Мерзляков С.Г. О возмущении операторов свертки в пространствах голоморфных функций // Матем. сб. 1995. Т. 186, №3. С. 103-130.
[28] Genchev T.G. A weighted version of the Paley-Wiener theorem // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1989. V. 10. P. 389-395.
[29] Genchev T.G., Heinig H.P. The Paley-Wiener theorem with general weights // J. Math. Anal, and Appl. 1990. V. 153, №2. P. 460-469.
[30] Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
[31] Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
[32] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
[33] Зиновьев Ю.М. Неунитарные представления МН(2), группы ах + Ь и преобразование Лапласа // Теоретическая и математическая физика. 1979. Т. 38, №2. С. 153-162.
[34] Roever J.W. de. Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V. 9, №6. P. 996-1019.
[35] Абанин А. В. Достаточные множества и абсолютно представляющие системы // Дисс... доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.
Работы автора по теме диссертации
[36] Мусин И. X. О преобразовании Лапласа одного класса обобщенных функций медленного роста // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 94, №3. С. 386-392.
[37] Мусин И.Х Теоремы типа Пэли-Винера для аналитических функций в трубчатых областях. Матем. заметки. 1993. Т. 53 (4). С. 92-100.
[38] Musin I.Kh. On the Fourier-Laplace representation of analytic functions in tube domains. Collectanea Mathematics. 1994. V. 45 (3). P. 301-308.
[39] Мусин 'И.Х. Об одном классе сюръективных операторов // Тезисы докладов Международной конференции-по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева. Нижний Новгород, 2-5 июня 1997. Нижний Новгород: изд-во ННГУ. 1997. С. 45-46.
[40] Musin I. Kh. On the Fourier-Laplace transform of functional on a weighted space of infinitely differentiable functions // Pbb: funct-an@xxx.lanl.gov /9911067.
[41] Мусин И. Х. Об одном классе бесконечно дифференцируемых функций // Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". I. Комплексный анализ. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2000. С. 123-126.
[42] Мусин И.Х. Уравнения свертки в некоторых классах распределений медленного роста // Материалы международного семинара-совещания "Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики". Уфа: БашГУ, ИМВЦ УНЦ РАН. 2000. С. 33-34.
[43] Мусин И. X. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Ма-тем. сб. 2000. Т. 191, №10. С. 57-86.
[44] Мусин И. X. Теорема типа Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций // Изв. РАН. Сер. матем.
2000. Т. 64, № б. С. 181-204.
[45] Мусин И. X. Сюръективность линейного дифференциального оператора в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. заметки. 2002. Т. 71 (5). С. 713-724.
[46] Мусин И.Х. О некоторых аналитически равномерных пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Издательство ЦВВР. Ростов-на-Дону. 2002. С. 150-151.
[47] Мусин И. X. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Матем. заметки. 2003. Т. 73 (3). С. 402-415.
[48] Musin. I.Kh. On a weighted spaces of infinitely differentiable functions // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. Издательство МГУ. 2003. С. 208-209
[49] Мусин И.Х. Описание ядра дифференциального оператора // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Издательство Казанского математического общества. Казань. 2003. Т. 19. С. 157-158.
гОС. НАЦИОНАЛЬНА«
библиотек* С.П(Т1»1У>г OS КО »ft
Мусин Ильдар Хамитович
ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Подписано в печать 28.04.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печл. 2,07. Уч.-изд.л. 1,87. Тираж 100 экз. Заказ 299.
Редакционно-издательский отдел Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа,ул.Фрунзе, 32.
Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.
Pli 436
11
Основные обозначения и определения.
Введение
Глава 1. Весовые пространства бесконечно дифференцирумых функций на числовой прямой.
1.1. Пространство
1.1.1. Определение пространства £{ф) (40). 1.1.2. Полнота многочленов в £(ср) (41). 1.1.3. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов из £'{<р) (48). 1.1.4. Описание £* (ср) при условии, что р е ФП7гм,/г > 1 (50).
1.2. Пространство
1.2.1. Предварительные сведения (54). 1.2.2. Вспомогательные утверждения (58). 1.2.3. Описание С?* при дополнительном условии на <р* (69).
1.3. Пространство С>(сг)
1.3.1. Предварительные сведения (83). 1.3.2. Вспомогательные утверждения (86). 1.3.3. Описание (2* (а) при дополнительном условии на у* (90).
Глава 2. Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций вК".
2.1. Описание £*(</?) при условии, что (р € ФР)М (р > 1,// Е (1,р]) . . 98 2.1.1. Предварительные сведения (98). 2.1.2. Вспомогательные утверждения (99). 2.1.3. О полноте многочленов в £{ф) (100).
2.1.4. Описание £*{ф) (104).
2.2. Описание при условии, что ср е Фр^ (р > 1,// € (1,р]) • • • 107 2.2.1. Введение (107). 2.2.2. Вспомогательные утверждения (110). 2.2.3. Описание сопряженного к (111).
Глава 3. Экспоненциальное представление решений однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных
3.1. Предварительные сведения.
3.2. Описание ядер дифференциальных операторов.
3.2.1. Формулировка результатов (126). 3.2.2. Локальное продолжение (130). 3.2.3. Специальное покрытие Сп (134). 3.2.4. Доказательство теоремы 3.2.3 (136). 3.2.5. Описание ядер дифференциальных операторов, действующих в (138). 3.2.6. Описание ядер дифференциальных операторов, действующих'в (142).
Глава 4. О сюръективности линейных оператора в пространствах бесконечно дифференцируемых функций
4.1. О сюръективности в линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами
4.1.1. Введение (146). 4.1.2. Один способ проверки выполнения условия V2 (150). 4.1.3. Пример целой функции, удовлетворяющей условиям L1 и L2 (153). 4.1.4. Вспомогательные утверждения (155). 4.1.5. Доказательство теоремы 4.1.1 (161).
4.2. О возмущении операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Еп
Глава 5. Теоремы типа Пэли-Винера для функций, голоморфных в трубчатых областях
5.1. Весовой вариант теорем Пэли-Винера для функций, голоморфных в трубчатых областях.
5.1.1. Предварительные сведения (173). 5.1.2. Применение неравенств Харди-Литллвуда и Юнга в задачах о представлении аналитических функций интегралами Фурье-Лапласа (174). 5.1.3. Представление интегралами Фурье-Лапласа функций, аналитических в трубчатых областях, граничные значения которых удовлетворяют более общим характеристикам, роста (184).
5.2. Описание преобразования Фурье-Лапласа одного класса обобщенных функций медленного роста с носителем, лежащим внутри острого выпуклого открытого конуса в Еп.
5.2.1. Постановка задачи (189). 5.2.2. Голоморфные функции классов ь и (191).
Глава 6. Представление функций из (^(сг) рядами экспонент
6.1. Разложение функций из С\Д<т) в ряды экспонент.
6.1.1. Введение (198). 6.2.2. Примеры последовательностей из класса Ш (201). 6.1.3. Вспомогательные утверждения (202).
6.1.4. Слабо достаточные множества для Рф(а) (206). Список литературы
Основные обозначения и определения
Сп - п-мерное комплексное пространство точек 2 = ,гп), г,- 6 С у.= 1,. ,п).
Мп - п-мерное вещественное пространство точек х = [хг,. ,а?п)> К 0' = 1,. ,п).
Для точки 2 = (^1,. , где г,- = я,- + г^-, х,, у, £1, .7 = 1,. , п, будет также использоваться запись -г. = х + гу, где х — (жх,
У — {У\т- • При этом х = Яе г - вещественная часть г, у = 1т г -мнимая часть г.
Для и = («х,. ,ип), у — (г>1,. , г>п) е СП(ЕП) полагаем (гг, г?) = «1^1 + . . . + ипУп, ||и||:= \f \ui\2 н-----Ь |ип|2.
Для £ е Еп(Сп),г > 0 £>(£,г) = {и е МП(СП) : ||и - < г} -открытый шар в МП(СП) радиуса г с центром в точке £ е Е"(СП).
Пусть X - некоторое топологическое пространство и А - его подмножество. Символом дА обозначается граница множества А, А - замыкание А, 1п1А - внутренность А.
Для мультииндекса а = ,ап) 6 используются следующие сокращения: \а\ = а\ Н------+ ап, а\ = а>1\.ап\, га = г"1 (г = ,4)6С"), ха = х?.х%" {х = {хъ. ,хп) 61"), -д^Гд» = («X.
Для открытого множества в!" (Сп) Т>{0) - пространство всех бесконечно дифференцируемых функций в Еп (Сп), носители которых лежат в П, наделенное обычной топологией.
Для открытого множества О С С" Н(0.) - пространство функций, голоморфных в О,, с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах Г2.
Для открытого множества О, С К™ в ряде случаев через 8обозначаем пространство бесконечно дифференцируемых функций /(х) в
Q с топологией, определяемой системой норм \\f\\KN = sup \Daf(x)\, xeK,\a\<N где К пробегает совокупность всевозможных компактных подмножеств Q, а N - множество Z+ всех неотрицательных целых чисел.
Для локально выпуклого пространства Е через Ег обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов на Е, через Е* - сильное сопряженное к Е пространство.
1Z - совокупность функций <р : Мп —> R таких, что lim „ ,, = +00. х—>оо |[ж||
Ф - подмножество 71, состоящее из выпуклых функций. Для р > G (1 ,р] ФP)At - множество функций <р из Ф, для которых существуют числа А > 0,В,С > О,D такие, что С||ж||м — D < ip(x) < А\\х\\р + В, х е Rn.
Для [L > О - множество функций <р : Rn —К, для которых существуют числа С > О, D > 0 такие, что </?(ж) > — D, ж Gl".
Преобразование Юнга <£>* функции v? £ ^ определяется по формуле р*{х)= sup ((х,у) - ip(y)), гсбЕп.
В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в Мп. В этих пространствах изучаются следующие вопросы:
1. проблема описания сильного сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа;
2. полиномиальная аппроксимация;
3. интегральные представления решений однородных линейных дифференциальных уравнений: в частных производных конечного порядка с постоянными коэффициентами;
4. разрешимость обыкновенных линейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами;
5. представление функций рядами экспонент.
В диссертации, также изучаются: проблема интегральных представлений с экспоненциальным ядром для функций, аналитических в трубчатых областях; сюръективность линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки, в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях из Еп; преобразование Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста с носителями в замкнутых неограниченных множествах, содержащихся в выпуклых открытых острых конусах в Е".
Большую часть работы занимает описание сопряженных пространств для введенных весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа. Полученное описание оказалось полезным при изучении третьего, четвертого и пятого вопросов в этих весовых пространствах функций.
Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских: и зарубежных математиков - Г. Полиа, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л1 Хёр-мандера; А. Мартино, В.В: Напалкова, Б.А. Тейлора, P.G. Юлмухаметова, В.В. Жаринова; F.ffi Эскина, Роевера (J:W. de Roever), Ю:И. Любарского, В;А. Ткаченко; C.B. Попенова, В.И. Луценко, Р. Майзе, Ф. Хаслингера, Б. Берндтссона; М. Лангенбруха, Н. Линдхольма и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций с определенными^ мажорантами роста; Тем самым многие проблемы теории операторов свертки, теории дифференциальных уравнений; теории аппроксимации функций, вопросы представления функций рядами экспонент и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из теории целых или аналитических функций. В теории* операторов! свертки, теории аппроксимации функций, вопросах представления функций : рядами, экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Шварца, Л. Хёр-мандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А. Тейлора, P.C. Юлмухаметова; A.C. Кривошее-ва, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, A.M. Седлецкого, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, A.B. Абанина, К. Беренстейна, Д. Струппы и др., в теории дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами- в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хермандера, В.П. Паламодова, А. Мартино, B.Bi Напалкова; Роевера, К. Беренстейна и др.
Структура работы такова. Первая и вторая главы диссертации посвящены описанию сопряженных пространств к: еще мало изученным весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций: в Rn в терминах преобразования Фурье-Лапласа и аппроксимации полиномами в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в Rn. В третьей главе изучается задача об описании ядер дифференциальных операторов в частных производных с постоянными коэффициентами (фундаментальный принцип), действующих в этих весовых пространс-тах. В ходе рассмотрения этой задачи были исследованы смежные вопросы теории аналитических функций многих комплексных переменных. В четвертой главе изучается сюръективность линейного дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, а также рассматривается вопрос о сюръективности линейных операторов, являющихся возмущениями операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых областях Еп. В пятой главе рассматривается задача о представлении: аналитических функций (функций, аналитических в трубчатых областях, целых функций экспоненциального роста) с определенными свойствами интегралами Фурье-Лапласа. Там же дополняются результаты B.C. Владимирова и Ро-евера по преобразованию Фурье-Лапласа обобщенных функций медленного роста. В шестой главе изучается задача о представлении бесконечно дифференцируемых функций на числовой оси, принадлежащих одному из введенных весовых пространств, в виде рядов экспонент.
Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций в Rn, о которых дальше пойдет речь, были введены под влиянием работы Б.А. Тейлора (Taylor В.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable iunctions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24. №1. P. 39-51).
Пусть - совокупность вещественнозначных функций лр в Еп таких, что lim -г—— = +оо. x-voo ||ж||
Через Ф обозначим подмножество 71, состоящее из выпуклых функций. Пусть лр* - преобразование Юнга: функции лр £ 71 (также называемое преобразованием Юнга-Фенхеля, реже - преобразованием Лежандра): tp*(x) = sup{(х,у) - ip(y)), х е Г. yeRn
Положим <fi(x) = (f*(—x), x G Mn. Отметим, что G Ф.
Пусть Ф - семейство выпуклых функций в Еп, для которого выполнены следующие условия:
Ф1. Для любых (fi,(f2 € Ф найдется функция </з3 G Ф такая, что mm(<pi(x),ip2(x)) х GW1.
Ф2. Для любого tp е.Ф lim = +00.
Х-ЮО ||ж[|
ФЗ. Для любого <pi G Ф найдутся число 77 > 0 и ^ € Ф такие, что sup + 2/) + f7lMI < х € Мп.
Il»l<i
По семейству Ф Б.А. Тейлором [94] было определено линейное пространство (Е(Ф) бесконечно дифференцируемых функций / в R" таких, что для любых m G Ъ+,лр 6 Ф tmAf)= SUP \Daf{x)\exp{-ip(x))<oo. xeRn,\a\<m
Семейство норм tm>v задает на (£(Ф) локально выпуклую топологию.
Условие Ф2 гарантирует, что экспоненты ег<х£> ^ где £ g Сп, принадлежат (£(Ф). Поэтому для любого функционала Т G (Е'(Ф) корректно определена функция Т(£).= T(eI<x,i>), £ G Сп, называемая преобразова
4. нием Фурье-Лапласа функционала Т. Отображение Т G £'(Ф) —> Т также называем преобразованием Фурье-Лапласа.
Б.А. Тейлор [94] отметил, что пространство линейных непрерывных функционалов над (£(Ф) при помощи преобразования Фурье-Лапласа может быть отождествлено с пространством целых функций F в Сп, удовлетворяющих следующему условию роста: существуют <р G Ф, числа
А > 0, т Е Ъ+ такие, что
А{ 1+ Р||)техр(£(/тв г)), г.е Сп:
Заметим, что на практике удобнее считать, что функции из семейства Ф вместо условий Ф1 и ФЗ удовлетворяют менее ограничительным условиям Ф1' и ФЗ':
Ф1'. Для любых найдутся (рз £ Ф и аЕ М такие, что тт(<р1(х),(р2(х)) > ср3(х) + а, х е Еп,
ФЗ'. Для любого 1р1 6 Ф найдутся положительные числа 77, с? и е Ф такие, что вир <р2(х + у) 4- г)\\х\\ < ср!(х) + х Е 1".
Ну1<1
Это никак не отражается на описании сопряженного пространства.
Отметим, что пространство <£(Ф) инвариантно относительно дифференцирования. Кроме того, оно инвариантно относительно сдвигов. Это важное свойство пространства (£(Ф) следует из условия ФЗ и существенно используется при описании сопряженного пространства к <2(Ф).
До Б.А. Тейлора специальные случаи пространств ^(Ф) рассматривались Л. Эренпрайсом [75] и Л. Хёрмандером [82] в связи с различными вопросами анализа. В частности, в [75, Глава 5] отмечено, что в случае, когда Ф = {<р(ех)}е>0, где (р - положительная выпуклая функция в удовлетворяющая условию Ф2, пространство преобразований Фурье-Лапласа функционалов из (Е'(Ф) состоит из целых функций для которых существуют числа 6, с, N такие, что
6(1 + |И|)*ехр(<£(с 1т z)), г Е Сп.
Полученное описание сопряженного пространства для пространства £(Ф) и использованный при этом подход оказались полезными при изучении самых разных задач. Например, они были использованы Л. Эренпрайсом [75, Глава 9] при изучении единственности задачи Коши для' дифференциальных операторов, К. Беренстейном и Дж. Лесмесом [71], В.В1 Напалковым [41], [42] при изучении единственности задачи Коши для операторов свертки, Б.А. Тейлором в связи с описанием сопряженных пространств для введенных им на базе пространств (£(Ф) более общих "пространств, определяемых операторами свертки" [94], Д. Струппой при изучении проблемы квазианалитичности в весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций в.Кп [93].
Перейдем к обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм та же, что и в соответствующих разделах.
1. Абанин А. В. Достаточные множества и абсолютно представляющие системы // Дисс. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1995.
2. Абанин A.B. О некоторых признаках слабой достаточности // Матем. заметки. 1986. Т.40, №4. С.442-454.
3. К. Беренстейн, Д; Струппа. Комплексный анализ и уравнения в свертках. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 54. М.: ВИНИТИ, 1989.
4. Н. Винер, Р. Пэли. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.
5. Владимиров B.C. Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, №1. С. 75-100.
6. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.
7. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
8. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные та-уберовы теоремы для обобщенных функций. М.: Наука, 1986.
9. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции (Пространства основных и обобщенных функций). М.: Физматгиз, 1958.
10. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF). Сб. Математика, 1958, 2, №2, С. 77-107.
11. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.
12. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97-131.
13. Зиновьев Ю.М. Неунитарные представления М#(2), группы ах + Ь и преобразование Лапласа // Теоретическая и математическая физика. 1979. Т. 38, №2. С. 153-162.
14. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
15. Коробейник И.Ф. О бесконечно дифференцируемых решениях линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка // Сиб. матем. ж. 1965. Т. 6, №3. С. 516-527.
16. Коробейник Ю.Ф. Абсолютно представляющие системы экспонентс мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Доклады АН. 2000. Т. 372, №1. С. 17-20.
17. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958.
18. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, выпуск 6(288). С. 3-58.
19. Кривошеев A.C. Представление решений однородного уравнения свертки в выпуклых областях пространства Сп // Известия РАН. Серия матем. 1994. Т. 58, №1. С.71-91.
20. Кривошеев А. С. Интерполяция с оценками в Сп и ее применение // Матем. сборник. 2001. Т. 192, №9. С. 39-84.
21. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.
22. Кутателадзе С.С. ДАН СССР. 1977. Т. 233, №66. С. 1039-1041.
23. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
24. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.
25. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М.: ИЛ, 1955.
26. Маннанов М.М. Описание одного класса аналитических функционалов // Сиб. матем. ж. 1990. Т. 31, №3. С. 62-72.
27. Мерзляков С.Г. О возмущении операторов свертки в пространствах голоморфных функций // Матем. сб. 1995. Т. 186, №3. С. 103-130.
28. Мусин И. X. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т. 191, №10. С. 57-86.
29. Мусин И. X. Теорема типа Пэли-Винера для весового пространства бесконечно дифференцируемых функций // Изв. РАН. Сер. матем.2000. Т. 64, №6.С. 181-204.
30. Мусин И. X. Сюръективность линейного дифференциального оператора в весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Матем. заметки. 2002. Т. 71. Вып. 5. С. 713-724.
31. Мусин И. X. О представлении бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент // Матем. заметки. 2003. Т. 73. Вып. 3. С. 402-415.
32. Мусин И. X. О преобразовании Лапласа одного класса обобщенных функций медленного роста // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 94, №3. С. 386-392.
33. Мусин И:Х. Теоремы типа Пэли-Винера для аналитических функций в трубчатых областях. Математические заметки. 1993. Т. 53 (4). С. 92-100.
34. Мусин И. X. Об одном классе бесконечно дифференцируемых функций // Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". I. Комплексный анализ. Уфа. 2000. С. 123-126.
35. И.Х. Мусин. О некоторых аналитически равномерных пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Издательство ЦВВР, Ростов-на-Дону. 2002. С. 150-151.
36. Мусин И.Х. Описание ядра дифференциального оператора // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Издательство Казанского математического общества. Казань. Т. 19. 2003. С. 157-158.
37. Мусин И.Х. Об одном классе сюръективных операторов // Тезисы докладов Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева. Нижний Новгород, 2-5 июня 1997. ННГУ. 1997. С. 45-46.
38. Напалков В.В. Задача Коши для операторов свертки // Исследования по теории приближения функций. Уфа, БФ АН СССР, Отдел физики и математики, 1987. С. 176-186.
39. Напалков В.В. Задача Коши для операторов свертки // Вестник УГА-ТУ. 2000, №2. С. 47-51.
40. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т. 51, №2. С. 287-305.
41. Напалков В.В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций // ДАН СССР. 1982. Т. 264, №4. С. 827-830.
42. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.
43. Напалков В.В. Достаточные множества в одном классе целыхфункций // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа, БФ АН СССР, Отдел физики и математики, 1980.С. 110-115.
44. Напалков В.В., Попенов C.B. О преобразовании Лапласа на весовом пространстве Бергмана целых функций в Сп. Доклады РАН. 1997. Т. 352 (5). С. 595-597.
45. Напалков В.В., Соломещ М.И. Оценка изменения целой функции при сдвигах ее нулей. Доклады РАН, 1995, Т. 342, №6, С. 739-741.
46. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1971.
47. Попенов C.B. О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Сш // Матем. заметки. 1986. Т. 40, Ко 3. С. 374-384.
48. Попенов C.B. Об одном весовом пространстве целых функций // В сб: Исследования по теории аппроксимации функций. 1986.С. 89-96. Уфа. БФАН СССР, 1986.
49. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М,: Мир, 1967.
50. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
51. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.
52. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1, №1. С. 60-77.
53. Соломещ М.И. Операторы типа свертки в некоторых пространствах аналитических функций: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1995.
54. Соломещ М.И. К теореме P.C. Юлмухаметова об аппроксимации субгармонических функций // Деп. в ВИНИТИ 24.07.92, №2447 -В92. Ин-т математики УрО РАН. Уфа, 1992, 14 с.
55. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
56. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; JI.: Гостехиздат, 1948.
57. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.: Наука, 1970.
58. Хермандер JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1966.
59. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986.
60. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.
61. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.
62. Эскин Г.И. Обобщение теоремы Палея-Винера-Шварца // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 185-188.
63. Юлмухаметов P.C. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях // Матем. сб. 1986. Т.130(172), №4(8). С. 500-519.
64. Юлмухаметов P.C. Аппроксимация субгармонических функций // Analysis Mathematica. 1985. V. И, №3. Р. 257-282.
65. Юлмухаметов P.C. Приближение субгармонических функций // Матем. сб. 1984. Т. 124(166), №3(7). С. 393-415.
66. Юлмухаметов P.C. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. 1996. Т. 60 , №4.С. 205-224.
67. Berenstein С.А., Dostal М.А. Analytic uniform spaces and their applications to convolution equations //Lecture notes in Math. №256. Springer-Verlag. Berlin. 1972.
68. Berenstein C.A., Lesmes J. The Cauchy problem for convolution operators. Uniqueness // Mich. Math. J. 1979. V. 26. P. 333-349.
69. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat. 1965. V. 6. P. 351-407.
70. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results in Mathematics. 1990. V. 17. P. 205-237.
71. Braun R. W., Meise R., Vogt D. Characterization of the linear partial differential operators with constant coefficients which are surjective on non-quasianalytic classes of Roumieu type on // Math. Nachr. 1994. V. 168. P. 19-54.
72. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley Interscience publishers, 1970.
73. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division. IV. // Amer. J. Math. 1960. V. 82. P. 522-588.
74. Genchev T.G. A weighted version of the Paley-Wiener theorem // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1989. V. 10. P. 389-395.
75. T.G. Genchev, H.P. Heinig. The Paley-Wiener theorem with general weights // J. Math. Anal, and Appl. 1990. V. 153, № 2. P. 460-469.
76. Hansen S. On the "Fundamental Principle" of.L. Ehrenpreis // B kh.: Partial differential equations. Banach center publications. Warsaw. PWN-Polish Scientific Publishers, 1983. V. 10. P. 185-203.
77. Hansen S. Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Transactions of the AMS. 1981. V. 264, №1. P. 235-250.
78. H.P. Heinig, G.J. Sinnamon. Fourier inequalities and integral representation of functions in weighted Bergman spaces over tube domains // Indiana Univ. Math. J. 1989. №38. P. 603-628.
79. L. Hôrmander. La transformation de Legendre et la théorème de Paley-Wiener // Comptes Rendus des Seances de l'Academie des Sciences. 1955. V. 240. P. 392-395.
80. Korobeinik Yu.F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely differentiate functions // Studia Mathematica. 2000. V. 139, №2. P. 175-188.
81. Malgrange B. Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1955-56. V. 6. P. 271-355.
82. Meise R., Taylor B.A., Vogt D. Equivalence of slowly decreasing conditions and local Fourier expansions // Indiana Univ. Math. J. 1987.V. 36. P. 729-756.
83. Momm S. Closed ideals in nonradial Hormander algebras // Arch. Math. 1992. V. 58. P. 47-55.
84. Musin I.Kh. On the Fourier-Laplace representation of analytic functions in tube domains. Collectanea Mathematica. 1994. V. 45 (3). P. 301-308.
85. Musin I. Kh. On the Fourier-Laplace transform of functionals on a weighted space of infinitely differentiable functions // Pbb: funct-an@xxx.lanl.gov /9911067.
86. I. Kh. Musin. On a weighted spaces of infinitely differentiable functions // Международная конференция "Колмогоров и современная математика". Тезисы докладов. Издательство МГУ. 2003. С. 208-209
87. М. Plancherel and G. Polya. // Fonctions entieres et integrates de Fourier multiples // Comment. Math. Helv. 1937. №9. P. 224-248.
88. Roever J.W. de. Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V. 9, №6. P. 996-1019.
89. Roever J.W. de. Complex Fourier transformation and analytic functionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.
90. Struppa D.C. Convolution equations and spaces of ultradifferentiable functions // Isr. J. Math. 1986. V. 54, №1. P. 60-70.
91. Taylor B.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24, №1. P. 39-51.
