Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций

Фам Чонг Тиен

Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Фам Чонг Тиен АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций»

Автореферат диссертации на тему "Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций"

На правах рукописи

Фам Чонг Тиен

КАНОНИЧЕСКИЕ ВЕСОВЫЕ СИСТЕМЫ В ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ И ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону-2013

005058814

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет" на кафедре математического анализа.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Абаиии Александр Васильевич

Официальные оппоненты:

Мелихов Сергей Николаевич доктор физико-математических наук, доцент ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет" профессор кафедры алгебры и дискретной математики

Брайчев Георгий Геирихович

кандидат физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО "Московский педагогический государственны й университет" декан математического факультета

Ведущая организация:

ФГБ УН "Институт математики с вычислительным центром" УНЦ РАН (Уфа)

Защита состоится "02" апреля 2013 г. в 15 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан

февраля 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.208.29

Кряквин В. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных и пространства голоморфных функций с равномерными весовыми оценками. Весовые шкалы таких пространств широко применяются в теории аппроксимации и интерполяции, теории роста целых функций и их приложениях, теории двойственности различных функциональных пространств, теории распределений и ее обобщениях, анализе Фурье, уравнениях в частных производных, в математической и теоретической физике. Эти пространства интенсивно изучались с различных точек зрения многими математиками (К. D. Bierstedt, J. Bonet, J. Taskinen, W. H. Summers, A. Beurling, G. Björck, H. Komatsu, C. Roumieu, R. Meise, В. A. Taylor, R. Braun, Ю. Ф. Коробейник, А. В. Абанин, В. В. Напалков, И. X. Мусин и др.). Наиболее известными примерами этих пространств являются весовые пространства голоморфных функций, пространства ультрадифференцируемых функций, весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, используемые для определения теории ультрараспределений.

Одной из важнейших проблем для таких пространств является описание их свойств и операторов в них в терминах весовых функций, их определяющих. Для эффективного изучения этой проблемы требуется выбрать оптимальные или канонические, в определенном смысле, классы весовых функций. Например, для изучения разных задач, касающихся теорий ультрараспределений и пространств ультрадифференцируемых функций, наиболее подходящими оказались весовые функции в смысле Брауна - Майзе - Тейлора. Именно, в терминах таких весов был окончательно решен вопрос о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении, проводилось сравнение классических теорий ультрарасиределений, найдены критерии разрешимости уравнений в частных производных и свертки и установлены условия наличия у соответствующих операторов линейных непрерывных правых обратных. А для исследований многих вопросов в весовых пространствах голоморфных функций существенную роль играют понятия канонических весовых функций и весовых систем. Например, в терминах таких весов изучались композиционные операторы и вопрос о двойственности весовых пространств голоморфных функций. В связи с этим тематика диссертации нам представляется актуальной.

Цели работы.

• исследование класса почти субаддитивных весов в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, используемых в определении классических теорий ультрарас-

пределений;

• изучение класса медленно меняющихся весов в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, которые играют существенную роль в задаче о справедливости а,налогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа;

• введение понятия канонических, в определенном смысле, весовых последовательностей, используемых для определения пространств целых функций, удовлетворяющих равномерным весовым оценкам; получение достаточных условий каноничности для рассматриваемых весовых последовательностей;

• применение полученных результатов к исследованию следующих задач:

— задача об описании класса мультипликаторов в весовых пространствах целых функций многих переменных;

— интерполяционная задача в весовых пространствах целых функций одной неременной;

— задача об удобном для приложений описании сопряженных к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций с помощью преобразования Фурье - Лапласа.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального, вещественного и комплексного анализа, а также методы теории двойственности. В частности, используются операторные методы комплексного анализа, плюрисубгармонические функции, теоремы об открытом отображении и замкнутом графике, выпуклые функции, обращение правила Лопиталя, основы теории ультрараспределений и ультрадифференцируемых функций.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к разрешимости уравнений типа свертки, а также к изучению теории весовых пространств голоморфных функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ряде ведущих российских и зарубежных научных центров.

Апробация работы. Материал неоднократно докладывался на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета (руководители - профессор Ю. Ф. Коробейник и профессор А. В. Аба-нин), на студенческих научных конференциях факультета математики, меха-

ники и компьютерных наук, на международной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование" (Волгодонск, 2009 и 2011 гг.), на международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (Владикавказ, 2010 г.), на международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование"(Владикавказ, 2010г), и на международной конференции "Finite or infinite dimensional complex analysis and applications"(Ханой, Вьетнам, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ, список которых приведен в конце автореферата. В совместных с научным руководителем публикациях [1]—[3], [G], [7] А. В. Абанину принадлежат постановки задач и окончательная редактура текста, а автору диссертации — основные результаты и их доказательства.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из G9 наименований. Объем диссертации составляет 114 страниц машинописного текста.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе диссертации исследуются классы почти субаддитивных и медленно меняющихся весов в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, используемых в теории ультрарасиределений и теории ультрадифференцируемых функций.

Пусть ш - вес или весовая функция в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, то есть, непрерывная неубывающая на [0, оо) неотрицательная функция, для которой выполнены следующие условия:

(а) ш(2£) = 0(^(£)) при £ оо;

(7) 1п(£) = о(ш(£)) при Ь —> оо;

(6) <рш(х) := ш{ех) выпукла на [0, оо).

Обозначим через множество всех таких весовых функций. По каждому весу и> 6 образуем следующие пространства

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1.

V[u)(Rn) := {9 G V(Rn) : |Ы|/( < оо при всех h > 0},

V^(Rn) := {g G V(Rn) : ||g|| h < oo при некотором h > 0}.

Здесь, ||p||A := [ Ш)\екшт^,д(0 := [ g(x)e'i<x^>dx - преобразование

JR" JRN

Фурье функции g и T>(M.N) - пространство всех бесконечно дифференцируемых в функций с компактными носителями. Семейства и (2?{ш}(К-¥))шеп составляют теории ультрараспределений Брауна - Майзе -Тейлора.

Как известно, теория Брауна - Майзе - Тейлора эквивалентна классической теории Румье - Коматсу, которая строго шире, чем теория Берлинга -Бьорка1.

Пусть S := {a G О. : а — субаддитивный вес}. Тогда в соответствии с работами Г. Бьорка2 и И. Циоранеску - JI. Жидо3 семейство (1>((Г)(Млг))(Г(Е5 задает теорию Берлинга - Бьорка и перечисленные выше сравнения классических теорий ультрараспределений можно переформулировать в терминах весовых функций следующим образом. Класс всех весов задает теорию Брауна - Майзе - Тейлора, эквивалентную теории Румье - Коматсу, а его подкласс, состоящий из субаддитивных весов, определяет теорию Берлинга - Бьорка, которая строго уже, чем у Румье - Коматсу.

Таким образом, класс всех субаддитивных весов, определяющий теорию Берлинга - Бьорка, не достаточен для построения теории Брауна - Майзе -Тейлора. Поэтому вместо этого класса можно попытаться рассмотреть чуть более широкий класс всех почти субаддитивных весов, который играет существенную роль в изучении пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа. Напомним, что функция / : [0, оо) -4 [0, оо) называется почти субаддитивиой, если при каждом q > 1 найдется С > 0 такое, что:

fix + у) < q(f(x) + f{y)) + С, Vx, У > 0.

В связи с этим первой задачей главы 1 диссертации является исследование достаточности класса всех почти субаддитивных весов для построения теории ультрараспределений Брауна - Майзе - Тейлора. Для решения этой задачи в первой части настоящей главы приводятся краткий обзор известных классичеких теорий ультрараснределений и их сравнение. Затем, во второй доказывается достаточность класса всех почти субаддитивных весов для построения теории Брауна - Майзе - Тейлора. Именно, справедлива следующая теорема.

Теорема А. Подмножество Л5 всех почти субаддитивиых весов является достаточным для задания теории улътрараспределений Брауна -

1 Braun R., Meise R., Thy/or В. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math.—1990.—V. 17—P. 206-237.

2fi/ördc G. Linear partial differentia] operators and generalized distributions // Ark. Mat. —1966,—V. 6,—P. 351-407.

3С/ог5пе.чсп J., Zsidti L. u- ultradistributions anil their applications to operator theory // In "Spectral Theory Banach Center Publications. Warsaw.—19S2.-V. 8.-P. 77-220.

Майзе - Тейлора подмпоэ/сеством весовых функций.

Отметим, что доказательство теоремы А проводится с помощью следующей основной леммы.

Основная лемма. Для любого веса и> существует почти субаддитив-иый вес V такой, что < > 0.

Весовые функции используются также для определения пространств уль-традифференцируемых функций. В третьей части главы 1 рассматривается класс медленно меняющихся весовых функций, необходимость которого впервые, по-видимому, возникла в процессе решения задачи Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа. Именно, в работах Д.А.Абаниной4 5 была решена задача о продолжении по Борелю для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Ру-мье нормального типа и было установлено, что в случае таких пространств нормального типа, соответствующих данному весу и, аналог теоремы Бореля верен тогда и только тогда, когда и> медленно меняется.

Итак, медленное изменение веса — необходимое и достаточное условие справедливости аналогов теоремы Бореля о продолжении для пространств Берлинга и Румье нормального типа, им (весом) задаваемых.

В связи с этим результатом второй задачей главы 1 является отыскание двух зон устойчивости медленно меняющихся весов, которые непосредственным образом связаны с наличием или отсутствием аналога теоремы Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа. Основные результаты, касающиеся этой задачи, содержатся в следующих теоремах, в которых использованы обозначения:

а символом SV обозначен класс всех медленно меняющихся весов. Теорема В. Справедливы следующие утверэюдепия:

(1) Всякий вес и>, для которого ги < оо, является медленно меняющимся.

(2) Если гш = оо, то существует такой вес а ф SV, что a(t) < u(t) при всех t.

Теорема С. Справедливы следующие утверэюдепия: (1) Всякий веси, для которого tu > 0, не является медленно меняющимся.

"'Abam'/ia D. A. On Corel's theorem for spaces of ultra<liffercntiab]e functions of mean type // Hesult. Math.—2003.—V. 44.— I\ l!l.r)-213.

5 Абапииа Д. Д. Об аналогах теореми Бореля для мрострапетп ультрадифференцируемых функций норматьиого типа !/ Изв. вузов. Математика.-2003.8,— С. 03-60.

ru := lim Sud—s—. t,., hm sup

lnw(i) In t '

(2) Если tu = 0, то имеется медленно меняющийся вес а, для которого to(t) < a(t) при всех t > О и u(t) = o(a(t)) при t —> оо.

Отметим, что доказательства первых утверждений теорем В и С проводятся отличным от работы Д. А. Абанина® методом, основанном на применении обобщенного правила Лопиталя и его обращения.

Глава 2.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию канонических, в определенном смысле, весовых последовательностей, используемых для определения пространств целых функций, удовлетворяющих равномерным весовым оценкам.

Для непрерывной вещественнозначной функции tp вР введем следующее весовое пространство

E{tp) := {/ G Я(О') : ||/||„ := sup ^ < оо},

которое является банаховым с нормой Ц.Ц^, где Н(СР) - семейство всех целых функций в Ср.

Через V будем обозначать множество всех tp таких, что соответствующее пространство E(ip) является неисчезающим в Ср. Напомним, что класс Е С Н(СР) называется неисчезающим в Ср, если для любой точки Zq G Ср существует функция / G Е с /(го) ф 0. Элементы V называются весами.

Будем говорить, что вес ip подчинен весу ф (tp -< ф), если имеется такая постоянная С > 0, что tp(z) < ф(г) + С для всех z G С1'. Если tp -< ф и ф -< tp, то ip и ф называются эквивалентными (tp ~ ф). Ясно, что Е(<р) Е(ф), когда tp < ф, и E(tp) = Е(ф), когда tp ~ ф. Для <р G V определим логарифмически правильный (или, просто, правильный) вес tp следующим образом

tp(z) := sup{log |/(z)| : / G B(tp)}, z G C",

где B(tp)~ единичный шар в E(tp). Заметим, что Tp = log(etp)~, где (ev)~-а,ссоциированная7 функция с е^. Вес tp называется каноническим, если tp ~ Тр, или, что то же самое, tp < Тр. Отметим, что канонические веса играют существенную роль в изучении многих задач, решаемых с помощью весовых пространств голоморфных функций.

Через V"T обозначим семейство всех последовательностей Ф = (tpn)^=1, члены которых tpn принадлежат V и удовлетворяют условию подчиненности

вАбаннн Д. А. О зонах устпйчиносги в задаче Уитни о п|юдолженни для ультрадифферснцируемых функций // Мат.

зачетки.-2002—Т. 71, № 2,—С. 163-1G7.

7ß/ersteiit К. D., П/inrt. J., Tuskinen J. Associated weights and spates of holomorphic functions // Studia Math.—1998.—V. 127,— P. 137-108.

<рх -< ц>2 < ■ ■■■ Для каждой Ф € определим локально выпуклое простран-

оо

ство /(Ф) := Е{ир„), наделенное естественной индуктивной топологией.

п= 1

Элементы У^ называются индуктивными весовыми последовательностями.

В "двойственном" проективном случае, когда ц)\ >- крг X ..., будем рассмат-

ривать пространство Фреше Р{Ф) := р) Е(<рп)\ топология в Р(Ф) задается

71=1

системой норм (|| • Ясно, что такое пространство может быть исче-

зающим в некоторых точках (более того, тривиальным), хотя каждое Е((рп) является неисчезающим в С. В этой связи отметим, что /(Ф)- неисчезаю-щее в Ср пространство для любой последовательности Ф € У^. Имея в виду сказанное, обозначим через У^ множество весовых последовательностей Ф таких, что </?1 >- ц>2 ^ ••• 11 -Р(Ф) является неисчезающим в С1'. Элементы У^ называются проективными весовыми последовательностями.

Следует заметить, что насколько нам известно, для весовых пространств индуктивного и проективного вида до сих пор не вводилось "четкое" понятие канонических весовых последовательностей, хотя некоторые индуктивные и проективные весовые последовательности с определенными свойствами использовались в разных вопросах, касающихся операторов свертки, интерполяции, проективного описания индуктивных топологий, достаточных множеств и продолжения бесконечно дифференцируемых функций с замкнутых множеств. В связи с этим основными целями главы 2 являются следующие:

• введение понятия канонических индуктивных и проективных весовых последовательностей;

• получение достаточных условий каноничности для весовых последовательностей обеих типов.

Следует отметить, что проективный случай более сложен и его исследование имеет некоторые особенности. Заметим также, что вводимые нами определения канонических весовых последовательностей (индуктивной и проективной) основаны на понятии ассоциированных весовых функций.

В первом параграфе настоящей главы вводятся и обсуждаются понятия канонических весовых последовательностей, которые определяются следующим образом.

В индуктивном случае будем говорить, что последовательность Ф € У^ подчинена последовательности Ф = {фп)™=х € У^ (Ф -< Ф), если для любого п € N имеется такое число то € М, что <рп -< грт. Если Ф -< Ф и Ф -< Ф, то Ф и Ф называются эквивалентными (Ф ~ Ф). Индуктивную весовую последовательность Ф назовем канонической, если Ф ~ Ф, где Ф := Ор,,);^.

В проективном случае будем говорить, что последовательность Ф G У-^ подчинена последовательности Ф G V^ (Ф -< Ф), если для каждого п £ М имеется такое т G N, что ц>т < грп. Как и в индуктивном случае, Ф и Ф из V^ называются эквивалентными (Ф ~ Ф), если Ф -< Ф и Ф -< Ф. Проективную весовую последовательность Ф назовем канонической, если Ф ~ Ф, где Ф := Юп=1 и £,(*) := sup{log \f(z)\ : / € Р(Ф) П В{<рп)} (п G N).

В четвертом параграфе получены достаточные условия каноничности весовых последовательностей. Остановимся на результатах последнего параграфа подробнее (см. ниже теоремы D и Е).

Невозрастающую С1 - функцию р : [0, оо) —> (0,1] будем называть регулярной функцией расстояния, если

p'(t) —» 0 при t —> оо и log р(е*) вогнута на Е.

Положим p(z) := p{\z\) для г € О' (peN). Будем говорить, что функция <р является р—медленно меняющейся в Ср, если существует Со G [0, оо) такое, что

\ф) - ¥>(С)| < Со для всех z,C € С" с \z - CI < p(z).

Теорема D. Пусть р — регулярная функция расстояния и Ф = (<pn)%Li ~ индуктивная весовая последовательность, состоящая из р - медленно меняющихся плюрисубгармонических функций. Если для каждого п G N существуют такие числа те € N и Dn > 0, что

1 + \z\2

tpn{z) + log ^ < ipm(z) + Dn для всех z е С,

то Ф является канонической.

Будем говорить, что проективная весовая последовательность Ф является слабо приведенной, если при каждом k е N имеется такое число п G N, что Р(Ф) плотно в E(tpп) по норме || • Ц^..

Теорема Е. Пусть р — регулярная функция расстояния и Ф = {<pn)%Li ~ слабо приведенная проективная весовая последовательность, состоящая из р - медленно меняющихся плюрисубгармонических функций. Если для каою-дого п G N существуют такие числа т G N и Dn > 0, что

1 + \z\2

'Pm(z) + log-r-r— < <pn{z) + Dn для всех Z G Cp,

P\Z)

то Ф является канонической.

На наш взгляд, следует особо отметить, что доказательства теорем D и Е основаны на полученном во втором параграфе главы 2 обобщении известной

теоремы Хермандера о продолжении голоморфных функций с оценками роста с комплексной плоскости во все пространство Ср и его приложениях к построению семейств целых функций со специальными оценками в третьем параграфе. Сформлируем основные результаты из этих двух параграфов, предварительно заметив, что для всякой регулярной функции расстояния существуют такие постоянные Ац и Во, что

\p'(t)\ < Ап, p{t) < Bap{t + p(t)) для всех t > 0.

Теорема F. Пусть p — регулярная функция расстояния, ip - р—медленно меняющаяся плюрисубгармоиическая функция в С1' и Со — постоянная из условия медленного изменения tp. Тогда для всякой комплексной плоскости Е в С1' размерности к и голоморфтой на Е функции /, для которой

log |/(2)| < ф) (zeE), существует целая функция F в О' такая, что F\% = f и

log\F(z)\ < ф) + (2р - k) log ~

+ 2-log(l + |z|2) + ^-log(l + 4)+M,

где d-£ - расстояние от начала координат doY, и М - абсолютная константа, которая зависит от Ао, Во, Со,р, к и не зависит от tp, Е, /, р.

Это обобщение имеет самостоятельный интерес и может быть использовано в теории целых функций многих переменных и ее приложениях. В частности, с его помощью в третьей части этой главы строятся семейства целых функций, играющие важную роль в теории уравнений свертки, интерполяции, продолжении бесконечно дифференцируемых функций с замкнутых множеств и проективном описании индуктивных топологий.

Предложение G. Пусть р - регулярная функция расстояния, tp -р-медлепио меняющаяся плюрисубгармоиическая функция в Ср и Сц- константа из условия медленного изменения ¡р. Тогда существует семейство Q = {(?£ : £ € О'} целых функций в Ср таких, что выполняются следующие условия:

9d0 = ЖКЧ G CP,

lflf(*)l < -^гг-ч (1 + \z\2fp+1ev{z) для всех z е С",

1 л ~ p2p(z) 11

где М - абсолютная постоянная, зависящая только от Ао, Во и Со-

Доказательства теоремы F и предложения G проводятся с помощью метода L2 - оценки для решения д - задачи8.

8Х<7рмаг/дрр Л. Введение п теорию функций нескольких комплексных переменных.—М.: Мир, 19G7.—280 с.

Глава 3.

В третьей главе диссертации рассматриваются применения канонических весовых последовательностей к двум задачам в теории весовых пространств целых функций и к одной задаче в теории двойственности весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций. Материал третьей главы разбит на три параграфа, соответствующих этим трем задачам.

В нервом параграфе изучается задача об описании класса мультипликаторов в весовых пространствах целых функций. Ранее она исследовалась в работах Ю. Ф. Коробейника9 10 и А. В. Абанина11 в связи с изучением достаточных множеств. Напомним общую постановку задачи.

Пусть Е, F- локально выпуклые пространства целых функций в <СР такие, что E,F Н(СР); при этом Я(СР) наделяется естественной топологией равномерной сходимости на компактах С. Целая функция ß называется мультипликатором из Е в F, если ßf G F для любой / G Е. Обозначим через Л4(Е, F) множество всех мультипликаторов из Е в F. Нас интересует описание классов М{1{Ф),1(Ф)) иуИ(Р(Ф), Р(Ф)), где Ф и Ф - некоторые индуктивные или проективные весовые последовательности. Следует отметить, что для индуктивного10 и для проективного11 случаев описание таких классов мультипликаторов было установлено при некоторых ограничениях на весовые функции, вызванных использованием теоремы Хермандера о разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана с весовыми оценками. Поэтому в силу полученных результатов второй главы, основной целью настоящего параграфа является получение полного описания класса всех мультипликаторов для индуктивных и проективных весовых пространств целых функций многих переменных в более общей ситуации, чем в упомянутых работах.

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема Н. Пусть Ф и Ф — две индуктивные или две проективные весовые последовательности. Если Ф является канонической, то справедливо следующее представление

00 00

Л4(/(Ф),/(Ф)) = р| U Е[$т-ч>п)

71—1 m= 1

9 Коробейник Ю. Ф. Непрерывные мультикликаторы функциональных пространств // Теория функций и приближений: Межвуз. науч. eG. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.—1987.—С. 30-40.

10Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Anal. Math.— 198Í).—Т. 15.—Р. 105-114.

пДбанин Л. Л. Густые щюстранства и аналитические мультипликаторы // Изв. вузов. Северо - Кавказ, регион. Естеств. науки.-1994.4.—С. 3-10.

или, соответственно,

00 00

М(Р(Ф),Р(Ф))= П и Е(фт - <рп)

т=1п=1

Доказательство теоремы Н проводится методами из упомянутых работ10,11.

Во втором параграфе главы 3 рассматривается интерполяционная задача в индуктивных весовых пространствах целых функций одной переменной, которая была изучена Ю.Ф. Коробейником в ряде работ12 13. Приведем общую постановку задачи об интерполяции.

В вышеупомянутых работах исследовалась интерполяционная задача вида

/ы-1\Хк)=<1к,к= 1,2,...,

где Л = {Аь}^ - последователность попарно различных точек области С комплексной плоскости, не имеющая предельных точек в С? (такие по-следователности называются далее разрео/сеппыми или дискретными в (?); {я1ь}ь=1 ~ последовательность натуральных чисел (не обязательно различных), > 1, к = 1,2,...; {(1ь}1°=1 - заданная последовательность комплексных чисел. Эта задача называется простой, если = 1, к £ N. Решение / исследуемой задачи разыскивалось в полном отделимом локально выпуклом пространстве (ЛВП) Е, непрерывно вложенном в пространство Н(С1) всех аналитических в области функций с топологией равномерной сходимости на компактах С.

Следует отметить, что в упомянутых статьях разрешимость простой интерполяционной задачи в индуктивных весовых пространствах голоморфных функций была доказана при сложных условиях густоты и финитной насыщенности относительно дискретной последовательности точек, которые непросто проверяются в общем случае1:!. В связи с этим, основной задачей этого параграфа является получение, при помощи канонических весовых последовательностей, более простого и более общего, но сравнению с полученными в упомянутых работах, результата для этой простой интерполяционной задачи в случае целых функций.

Основной результат содержится в следующей теореме, в которой для Ф,Ф € У1^ использованы следующие обозначения:

/(Ф - Ф) := {/ € Я (С) : Уп > 1 Зт > 1 : ||< оо};

ГФ := = : Зп > 1 ЗЬ < оо : |4| < Ьеф"(Хк\ к = 1, 2,...|.

12 Коробе. П пик Ю. Ф. Об одном классе интериоляционных задач // Изв. ну зов. Математика.—1987.—№4,—С. 30-44.

13Коробк-йник Ю. Ф. Интерполяционные задачи и густые множества // Сиб. мат. журн.—19У0.—Т. 31, № б.—С. Ж)-й!).

Теорема I. Пусть Ф, Ф - индуктивные весовые последовательности из и Ф является канонической; А = - дискретная последова-

тельность точек в С. Предполоэ/сим, что последовательность функций {£¿•(2)}^! из пространства /(Ф - Ф) такова, что А^- - нуль Ск{%) кратности тпри любых к > 1 и последовательность {£к(2)(г — Ак)-"1*}^, где ть = ти,к, ограничена в 1(Ф — Ф). Пусть, наконец,

Тогда простая интерполяционная задача разрешима в 1{Ф) для любой последовательности (I из Гф.

Доказательство теоремы I проводится по методу, предложенному Ю.Ф. Коробейником в своей работе13 для исследования интерполяционной задачи.

Наконец, в третьем параграфе исследуется задача об удобном для приложений описании сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных в пространстве с помощью преобразования Фурье - Лапласа. Отметим, что эта задача ранее рассматривалась Б. А. Тейлором14, С. В. Попеновым15, И. X. Мусиным16.

Общая постановка рассматриваемой задачи формируется следующим образом.

Пусть Ф = (ф, 1)^=1 _ последовательность выпуклых функций фп в М^, удовлетворяющих следующим условиям:

Пусть О = - последовательность неубывающих функций шп таких,

что и!п(ех) выпукла на М, logí = о(и!п(Ь)), Ь —> оо, и

Положим ip„(t) := шп(ег), n е N. Для данной функции ф : R^ —> R, подчиненной условию |а;| = о(ф(х)) при х —> оо, обозначим ф(х) := ф*(—х), х € RN, где ф*— сопряженная по Юнгу к функции ф.

Для весовых последовательностей Ф и О образуем следующие функциональные пространства

14Tayloг В. A. Analytically uniform spaces of infinitely ditferentiable functions // Comm. Pure Appl. Math.—1971.—V. 24.— P. 39-51.

ir'Myrnn II. X. Попеноп С. .73. О весопом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в К". // Уф. мат. жури.— 2010.—Т. 2, № З.-С. Г.4-02.

16ЛГугшг II. X. О преобразовании Фурье - Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб.—2000.—Т. 191, № 10.-С. 57-86.

\х\ = о(фп(х)) при х —» оо, Vn е N; Vn е N 3Ьп > 0 : фп+1{х) < фп{х) + Ьп, Ух е M.N.

Vn е N 3Cn > 0 : wn{t) < cün+1(t) + Cn, Vi e [0, оо).

:= {/ G С00^^) : ||/||n < 00} ,

РмШ := {/ S H(CN) : pn(f) < 00} , 00 00 С(П)(Ф) := Р(«)(ф) := U

il—1 n= 1

Здесь нормы ||/||„ и pn(f) определяются следующим образом:

ll/lln := sup sup -, ,, . .. ,

xétL»aeN» exp(y)*(|a|) + 1pn(x))

Pn(f) := sup --.

zeC" exp(ipn(Imz) + LOn(\z\))

Наделим пространство С(о)(Ф) топологией проективного предела банаховых пространств (?/>„), то есть, топологией, задаваемой семейством норм (|| • ||П,п G N), а пространство Р(п)(Ф) — топологией индуктивного предела банаховых пространств Р(ип){Фп)-

Для функционала Т € (С(п)(Ф))' определим преобразование Фурье - Лапласа Т но формуле T(z) := Г(ег<'г>), z е CN.

Нас интересует вопрос о том, при каких условиях на весовые последовательности Ф и Q, преобразование Фурье - Лапласа Т устанавливает топологический изоморфизм между сильным сопряженным пространством (С(п)(Ф)){, и пространством Р(п)(Ф).

В своей работе17 И. X. Мусин изучал этот вопрос и привел следующие условия на последовательностях Ф и Î2:

ipn{x) = ф{х) — nlog(l + |ж|) и шп(х) =ш(пх),

где

|х|" = 0(ф(х)) и -ф(х) = 0{\х\") при х оо,

ф выпукла, a lj определяется с помощью некоторой последовательности положительных чисел, удовлетворяет некоторым естественным условиям и ui(t) = 0(t) при t —> 00.

Основной целью настоящего параграфа является получение с помощью результатов второй главы нового, более общего по сравнению с установленным в вышеупомянутой работе17, результата для задачи об описании сопряженного к весовому пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций

17Мусин И. X. О преоГфазопапии Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в R" // Мат. сб.-2004. —Т. IBS, № 10,—С. 83-108.

в R^. Именно, вместо последовательностей Ф и fl в работе17 будем рассматривать последовательности из классов Ф^^ и которые определяются следующим образом:

Пусть v > 1, /i € (1, f], cr G [1,--] и Ф^, - совокупность всех последовательностей Ф = (фп)^=1 выпуклых функций в R^ таких, что

= 0(фп(х)) и ipn(x) = 0{\х\") при х оо, Vn G N; За > 0; Vn G N 36ri > 0 : фп(х) - ipn+i(x) > aln(l + |х|) - bn, \/х 6 RN.

fij - множество всех последовательностей О, = (а;^)^! неубывающих функций на [0, оо) таких, что

Lun(ex) выпукла на К и шп{0) = 1, Vn G N; logi = o(wn(t)) и 0jn{t) = 0{t") при t -» оо, Vn G N; Vn G N 3Cn > 0 : w„(t) + ln(l + i) < un+1(t) + Cn, Vi G [0, oo). Основным результатом в третьем параграфе является следующая теорема:

Теорема J. Для любых весовых последовательностей Ф G Ф^ и П G fij. отобраэ/сеиие

устанавливает топологический изоморфизм между пространствами

(с{п)(Ф)); оР(п)(Ф).

Отметим, что пространства, исследованные И. X. Мусиным в своей работе17, являются частными случаями рассматриваемых нами пространств. При этом, доказательство теоремы J не претерпевает по сравнению с этой работой существенного изменения.

Диссертант выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А. В. Абанину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируемых функций // Владикавказский математический журнал.—2008.—Т. 10, № 2.—С. 3-8.

[2] Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Класс почти субаддитивных весов достаточен для построения теории ультрараснределений Румье - Коматсу // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 3. Исследования но математическому анализу.— Владикавказ, 2009.—С. 22-33.

[3| Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Продолжение голоморфных функций с оценками роста. // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу.—Владикавказ, 2010.—С. 132-145.

[4] Фам Чонг Тиен. Описание сопряженного к пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных в R-^ // Математический анализ и математическое моделирование: Труды международной конференции молодых ученых.—Владикавказ, 2010.—С. 121-122.

[5] Фам Чонг Тиен. Описание сопряженного к пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных в R^ // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.—2011.—№ 6,—С. 1923.

[6] Abanin А. V., Pham Trong Tien. Continuation of holomorphic functions with growth conditions and some its applications // Studia Math.—2010.— V. 200.—P. 279-295.

[7] Abanin A. V., Pham Trong Tien. Almost subadditive weight functions form Braun-Meise-Taylor theory of ultradistributions // J. Math. Anal. Appl.—2010.— V. 363.-P. 296-301.

Сдано в набор 18.02.2013. Подписано в печать 18.02.2013. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,9. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 1802/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61 .ru e-mail: info@copy61.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Фам Чонг Тиен, Ростов-на-Дону

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201355126

ФАМ ЧОНГ ТИЕН

КАНОНИЧЕСКИЕ ВЕСОВЫЕ СИСТЕМЫ В ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ И ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01. - вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата

физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Александр Васильевич Абанин

Ростов - на - Дону - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1. Классы весов, используемые в теории ультрараспределений и ультрадифференцируемых функций 23

1.1 Теории ультрараспределений и их сравнение 23

1.1.1 Общее понятие теории ультрараспределений 24

1.1.2 Классические теории ультрараспределений Румье - Коматсу и Берлинга - Бьорка 25

1.1.3 Расширение теории Берлинга - Бьорка 26

1.2 Класс почти субаддитивных весов достаточен для построения теории Брауна - Майзе - Тейлора 29

1.2.1 Основная лемма 29

1.2.2 Заключительные замечания 36

1.3 Зоны устойчивости медленно меняющихся весов в аналогах теоремы Бореля 37

1.3.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов 37

1.3.2 Вспомомательные результаты 42

1.3.3 Доказательство теоремы 1.11 46

1.3.4 Доказательство теоремы 1.12 49

Глава 2. Весовые системы, используемые в теории пространств

целых функций 51

2.1 Основные понятия канонических весов и весовых последовательностей 52

2.2 Теорема хермандеровского типа о продолжении голоморфных функций с сохранением оценок роста 56

2.3 Семейства целых функций со специальными оценками 67

2.4 Достаточные условия каноничности 75

Глава 3. Приложения к некоторым конкретным задачам в теории весовых пространств бесконечно дифференцируемых и целых функций 81

3.1 Классы мультипликаторов весовых пространств целых функций 82

3.2 Разрешимость интерполяционных задач в весовых пространствах целых функций 89

3.2.1 Общая интерполяционная задача 89

3.2.2 Простая интерполяционная задача в индуктивных пределах весовых пространств целых функций 91

3.3 Описание сопряженного к весовому пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций в М^ 98

3.3.1 Постанока задачи и формулировка основного результата 98

3.3.2 Вспомогательные результаты 100

3.3.3 Схема доказательства теоремы 3.12 104

Список литературы 107

Введение

тельно решен вопрос о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении, проводилось сравнение классических теорий ультрараспределений, найдены критерии разрешимости уравнений в частных производных и свертки и установлены условия наличия у соответствующих операторов линейных непрерывных правых обратных. А для исследований многих вопросов в весовых пространствах голоморфных функций существенную роль играют понятия канонических весовых функций и весовых систем. Например, в терминах таких весов изучались композиционные операторы и вопрос о двойственности в банаховых весовых пространств голоморфных функций. В связи с этим тематика диссертации нам представляется актуальной.

Цели работы:

• исследование класса почти субаддитивных весов в смысле Брауна -Майзе - Тейлора, используемых в определении классических теорий ультрараспределений;

• изучение класса медленно меняющихся весов в смысле Брауна -Майзе - Тейлора, которые играют существенную роль в задаче о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа;

• применение полученных результатов к исследованию следующих задач:

— задача об описании класса мультипликаторов в весовых пространствах целых функций многих переменных;

— интерполяционная задача в весовых пространствах целых функций одной переменной;

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального, вещественного и комплексного анализа, а также методы теории двойственности. В частности, используются операторные методы комплексного анализа, плю-рисубгармонические функции, теоремы об открытом отображении и замкнутом графике, выпуклые функции, обращение правила Лопиталя, основы теории ультрараспределений и ультрадифференцируемых функций.

Апробация работы. Материал неоднократно докладывался на на-

учном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета (руководители - профессор Ю. Ф. Коробейник и профессор А. В. Абанин), на студенческих научных конференциях факультета математики, механики и компьютерных наук, на международной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(Волгодонск, 2009 и 2011 гг.), на международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ, 2010 г.), на международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование" (Владикавказ, 2010г), и на международной конференции "Finite or infinite dimensional complex analysis and applications"(Ханой, Вьетнам, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [63,64,69], главы 2 — в [65,68], и главы 3 — в [65-68]. В совместных с научным руководителем публикациях [63-65,68,69] А. В. Абанину принадлежат постановки задач и окончательная редактура текста, а Фам Чонг Тиену — основные результаты и их доказательства.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 69 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Объем диссертации - 114 страниц машинописного текста.

Обзор главы 1. В первой главе диссертации исследуются классы почти субаддитивных и медленно меняющихся весов в смысле Брауна -Майзе - Тейлора, используемых в теории ультрараспределений и теории

ультрадифференцируемых функций.

Пусть и - вес или весовая функция в смысле Брауна - Майзе - Тейлора, то есть, непрерывная неубывающая на [0, оо) неотрицательная функция, для которой выполнены следующие условия:

(а) а>(2£) = О(си^)) при Ь -> сю;

(7) 1п(£) = о(а;(£)) при £ —>• оо;

(<5) <рш(х) := оо(ех) выпукла на [0, оо).

Обозначим через множество всех таких весовых функций. По каждому весу о/ Е образуем следующие пространства

: = {д Е V{RN) : ||р||л < оо при всех к > 0},

:= {д Е Т>{ШМ) : ||р||л < оо при некотором к > 0}.

Здесь, ||А := [ Ш := [ д{х)е~г<^>ах - преобразо-

JШ.N JшN

вание Фурье функции д и - пространство всех бесконечно диф-

ференцируемых в М^ функций с компактными носителями. Семейства (Х>(и,)(Мдг))а,€п и составляют теории ультрараспределений

Брауна - Майзе - Тейлора (общее понятие теории ультрараспределений приведено в работе [51]).

Отметим, что в [48] было доказано, что теория Брауна - Майзе - Тейлора эквивалентна классической теории Румье - Коматсу, которая строго шире, чем теория Берлинга - Бьорка.

Пусть 5 := {а Е Г2 : а — субаддитивный вес}. Тогда в соответствии с [39] и [51] семейство задает теорию Берлинга - Бьорка

и перечисленные выше сравнения классических теорий ультрараспределений можно переформулировать в терминах весовых функций следующим образом. Класс всех весов задает теорию Брауна - Майзе - Тейлора, эквивалентную теории Румье - Коматсу, а его подкласс, состоящий из субаддитивных весов, определяет теорию Берлинга - Бьорка, которая строго уже, чем у Румье - Коматсу.

Таким образом, класс всех субаддитивных весов, определяющий теорию Берлинга - Бьорка, не достаточен для построения теории Брауна -Майзе - Тейлора. Поэтому вместо этого класса можно попытаться рассмотреть чуть более широкий класс всех почти субаддитивных весов, который играет существенную роль в изучении пространств ультрадиф-ференцируемых функций нормального типа. Напомним, что функция / : [0, оо) —> [0, оо) называется почти субаддитивной, если при каждом q > 1 найдется С > 0 такое, что:

fix + у)< q(f(x) + f(y)) + С, \/х, у> 0.

В связи с этим первой задачей главы 1 диссертации является исследование достаточности класса всех почти субаддитивных весов для построения теории ультрараспределений Брауна - Майзе - Тейлора. Для решения этой задачи в § 1.1 настоящей главы приводятся краткий обзор известных классичеких теорий ультрараспределений и их сравнение. Затем, в § 1.2, доказывается достаточность класса всех почти субаддитивных весов для построения теории Брауна - Майзе - Тейлора. Именно, справедлива следующая теорема.

Теорема А. Подмножество AS всех почти субаддитивных весов является достаточным подмножеством весовых функций.

Отметим, что доказательство теоремы А проводится с помощью следующей основной леммы.

Основная лемма. Для любого веса и существует почти субаддитивный вес у такой, что < > 0.

Весовые функции используются также для определения пространств ультрадифференцируемых функций. В § 1.3 рассматривается класс медленно меняющихся весовых функций, необходимость которого впервые, по-видимому, возникла в процессе решения задачи Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа. Именно, в [35] и [8] была решена задача о продолжении по Борелю для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа и было установлено, что в случае таких пространств нормального типа, соответствующих данному весу си, аналог теоремы Бореля верен тогда и только тогда, когда и медленно меняется.

В связи с этим результатом второй задачей главы 1 является установка двух зон устойчивости медленно меняющихся весов, которые непосредственным образом связаны с наличием или отсутствием аналога теоремы Бореля о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций Берлинга и Румье нормального типа. Основные результаты, касающиеся этой задачи, содержатся в следующих теоремах, в которых использованы обозначения:

ш(г) 1па>(г)

ги := Итэир—2—-, Ьи := Ьтэпр ,

*-*» 1п (£) ¿->оо

а символом 5У обозначен класс всех медленно меняющихся весов.

Теорема В. Справедливы следующие утверждения: (1) Всякий вес и, для которого гш < оо, является медленно меняю-

щимся.

(2) Если гш = оо, то существует такой вес <7 £ БУ, что сг(£) < ш(£) при всех £.

Теорема С. Справедливы следующие утверждения: (1) Всякий вес и, для которого > 0, не является медленно меняю-

(2) Если = 0, то имеется медленно меняющийся вес а, для которого < с"(£) при всех £ > 0 и — о(<т(£)) при Ь —»• оо.

Отметим, что доказательства первых утверждений теорем В и С проводятся отличным от [7] методом, основанном на применении обобщенного правила Лопиталя и его обращения.

Обзор главы 2. Вторая глава диссертации посвящена исследованию канонических, в определенном смысле, весовых последовательностей, используемых для определения пространств целых функций, удовлетворяющих равномерным весовым оценкам.

Для непрерывной вещественнозначной функции (р в Ср введем следующее весовое пространство

которое является банаховым с нормой Ц.Ц^, где Н(СР) - семейство всех целых функций в Ср.

Пространства данного вида рассматривались во многих работах и в разных направлениях (см., например, [36]- [38], [41]- [43], [46]).

Через V будем обозначать множество всех </? таких, что соответствующее пространство Е(<р) является неисчезающим в Ср. Напомним, что

щимся.

класс Е С Н(СР) называется неисчезающим в Ср, если для любой точки го € Ср существует функция / Е Е с /(го) ^ 0. Элементы V называются весами.

Будем говорить, что вес </? подчинен весу ф (<р < ф), если имеется такая постоянная С > О, что <р(г) < ф(г) + С для всех г € Ср. Если

называются эквивалентными (<р ~ ф). Ясно, что Е(<р) Е(ф), когда (р -< ф, и Е(<р) = £'('0), когда ср ~ ф. Для (р 6 V определим логарифмически правильный (или, просто, правильный) вес Тр следующим образом

Тр(г) := зир{1оё |/(г:)| : / € %)}, г € 0\

где В(<р)~ единичный шар в Е(<р). Заметим, что Тр = 1од(е1ргде ассоциированная функция с е9 в смысле [38]. Вес называется каноническим, если (/? ~ </?, или, что то же самое, ф < Тр. Отметим, что канонические веса играют существенную роль в изучении многих задач, решаемых с помощью весовых пространств голоморфных функций.

Через У^ обозначим семейство всех последовательностей Ф = (<£>п)^1, члены которых <рп принадлежат V и удовлетворяют условию подчиненности <р\ -< ¡р2 ~< ■■■■ Для каждой Ф Е У^ определим локально выпуклое

оо

пространство /(Ф) := Е(<рп), наделенное естественной индуктивной

71 = 1

топологией. Элементы У^ называются индуктивными весовыми последовательностями.

В "двойственном" проективном случае, когда У >~ • ■■, будем рас-

сматривать пространство Фреше Р(Ф) := Е((рп); топология в -Р(Ф)

71=1

задается системой норм (Н-Ц^)^. Ясно, что такое пространство может быть исчезающим в некоторых точках (более того, тривиальным), хотя каждое Е{^рп) является неисчезающим в Ср. В этой связи отметим, что

/(Ф)- неисчезающее в Ср пространство для любой последовательности Ф Е УИмея в виду сказанное, обозначим через У^ множество весовых последовательностей Ф таких, что (р\ >- <р2 >~ ■•• и Р(Ф) является неисчезающим в Ср. Элементы У^ называются проективными весовыми последовательностями.

Следует заметить, что насколько нам известно, для таких весовых пространств индуктивного и проективного вида до сих пор не вводилось "четкое" понятие канонических весовых последовательностей, хотя некоторые индуктивные и проективные весовые последовательности с определенными свойствами использовались в разных вопросах, касающихся операторов свертки, интерполяции, проективного описания индуктивных топологий, достаточных множеств и продолжения бесконечно дифференцируемых функций с замкнутых множеств (см. [1], [20], [21], [34], [38]). В связи с этим основными целями главы 2 являются следующие:

• введение понятия канонических индуктивных и проективных весовых последовательностей;

• получение достаточных условий каноничности для весовых последовательностей обеих типов.

В § 2.1 вводятся и обсуждаются понятия канонических весовых последовательностей, которые определяются следующим образом.

В индуктивном случае будем говорить, что последовательность Ф Е У^ подчинена последовательности Ф = (фп)™=1 Е У^ (Ф -< Ф), если �