Весовые пространства функций с весами полиномиального роста тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

003466409

На правах рукописи

Ахтямов Наиль Тагирович

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ С ВЕСАМИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

0 9ДПР2:09

Уфа — 2009

003466409

Работа выполнена в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Мусин И.Х.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Мерзляков С.Г.

кандидат физико-математических наук Исаев К.П.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

Защита состоится " 24 " апреля 2009 г. в 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан "¿3" марта 2009 г.

Ученый секретарь

совета Д 002.057.01 по защите

докторских и кандидатских диссертаций, >1 у

кандидат физико - математических наук /у C.B. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств целых функций в С", бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси и последовательностей. Изучаемые пространства являются локально выпуклыми пространствами Фреше и задаются с помощью весовых функций полиномиального роста. Акцент в работе сделан на изучение ситуаций, когда зазор между весовыми функциями может быть небольшим. Например, логарифмическим.

В работе рассматриваются следующие основные вопросы:

1. описание сильного сопряженного пространства к изучаемым пространствам в терминах преобразования Лапласа ( Фурье-Лапласа);

2. анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в весовых пространствах целых функций;

3. проблема базиса в весовом пространстве целых функций;

4. разрешимость неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

Описание сопряженных пространств в терминах преобразований Далласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и комплексного анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков - Г. Полиа, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Мартино, В.В. Напалкова, Б.А. Тейлора, P.C. Юлмухаметова, В.В. Жаринова, Г.И. Эскина,

A.M. Седлецкого, A.B. Абанина, C.B. Поленова, И.Х. Мусина, В.Й. Луценко,

B.А. Ткаченко, Р. Майзе, Ф. Хаслингера, Роевера (J.W. de Roever) и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряжеппое пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций, удовлетворяющих определенным мажорантам роста. Тем самым многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из теории аналитических функций. В теории операторов свертки, теории приближения функций, вопросах представления функций рядами экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Маль-гранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А.Тейлора, A.M. Сед-лецкого, P.C. Юлмухаметова, A.C. Кривошеева, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Ха-бибуллина, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, A.B. Абанина, С.Н. Мелихова,

К. Беренстейна и др., в теории дифференциальных уравнений - в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, JI. Хёрмандера, В.П. Баламодова, А. Мар-тино, В.В. Напалкова, И.Х. Мусина, Роевера, Д. Струппы и др.

Цели работы. 1. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Лапласа к новым весовым пространствам целых функций в С".

2. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа к новым весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой.

3. Изучить вопрос о сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых весовых пространствах целых функций.

4. Исследовать проблему базиса в введённых весовых пространствах целых функций.

5. Изучить вопрос о разрешимости неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

6. Исследовать топологические свойства введённых пространств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. В терминах преобразования Лапласа дано описание сопряженного пространства к весовому пространству целых функций в С" в случае, когда весовые функции имеют полиномиальный рост порядка большего единицы. При этом зазор между весовыми функциями может быть логарифмическим. Ранее подобные задачи для весовых пространств целых функций не изучались.

Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного изучалась в работах Л. Эренпрайса [22], Б.А. Тейлора [30], B.C. Ткаченко [17], Ф. Хаслингера [24], C.B. Попёнова [14], [15]. Наиболее общий результат получен в работе C.B. Попёнова [14], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно ||z|| зазор между весовыми функциями. В отличие от их работ, в нашем случае допустим более узкий зазор между весовыми функциями (он может быть логарифмическим). Однако, уменьшая зазор, мы вынуждены оперировать весовыми функциями (специального) полиномиального роста.

2. В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопряженные пространства к счетно-нормированным пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида

где (р - выпуклая функция па числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, a w - неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +оо) с определенными свойствами.

Отметим, что для пространств бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида <р(х) — 7tiuj(|i|) в случае, когда w(r) = 1п(1 +г) данная задача была решена И.Х. Мусиным (также и в многомерном случае). В более общей ситуации подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций не изучались.

3. Доказано существование базисов в весовых пространств целых функций в С", определённых с помощью выпуклых в С" функций <рш, имеющих при [|z|| > R (где R > 0 - некоторое число) вид:

/ ч , ч MINI)

<Pm(z) = ф) +

т

где ip - выпуклая функция в С" полиномиального рост порядка большего единицы a h - непрерывная неубывающая положительная функция на [0; +оо) с определенными свойствами.

Отметим, что вопросами существования и построения базисов в счётпо-гильбертовых пространствах занимались многие математики - М.М. Драги-лев [1], B.C. Митягин [8], В.П. Захарюта [3], В. П. Кондаков [6], Д. Фогт (D. Vogt) [31], П.Б. Джаков [21] и др. В книге А. Пича [13] по ядерным локально выпуклым пространствам был поставлен вопрос (см. п. 10.2.4.): "Каждое ли ядерное пространств Фреше обладает базисом?". Интерес к проблеме базиса усилился после появления примеров ядерных пространств Фреше, не имеющих базиса, построенных в работах Н.М. Зобина и B.C. Митягина [4], К. Бессаги (С. Bessaga) [20] и Дж. Таскинена (J. Taskinen) [29]. В весовых пространствах целых функций в С" данная проблема рассматривалась Ф. Хас-лингером [24] для случая весовых функций <pm{z) = rmp(z), где rm —> го > 0 при т —* оо, р - выпуклая функция в С", преобразование Юнга-Феихеля которой принимает всюду в Сп конечные значения. При условии существования базиса в ядерном пространстве Фреше конструктивный способ построения базиса имеется в работе Митягина и Хенкина [9]. Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы Митягина-Хенкина [9] и Д. Фогта [31] и полученный результат по описанию сопряженного пространства.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного и функционального анализа (теория двойственности). Особо выделим усовершенствованный P.C. Юлмухаметовым метод Л. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в теории целых функций, теории аппроксимации функций, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном Федеральном Университете, Московском, Башкирском, Нижегородском, Казанском, Сыктывкарском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, VI Региональной школе - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам (2006 г.), Уфимской международной конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (2007 г.), Международных школах-конференциях по математике и физике в г. Уфе в 2005, 2007 г.г., Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Якты-куль, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 96 страницы. Библиография - 54 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1. Для и — (щ,...,ип) € С",г; = (^,...,уп) е С" полагаем < и,V >= щу1 + ■■■ + ИпЩ, 1М| - еклидова норма в С". Через Н(Сп) обозначаем совокупность целых функций в С".

Для локально выпуклого пространства X через X' обозначим множество линейных непрерывных функционалов на X, через X* - сильное сопряженное пространство.

С функцией <р, выпуклой в С" и удовлетворяющей условию

Ч>(£)

свяжем пространство

ад = {/ 6 Я(С»): ||/||„ = 8ир !М < .

гее е^1 '

С нормой || -1| пространство Е(р) - банахово. Пусть числа ц и р таковы, что 1 < ц< р.

Пусть Ф = {^т}т=1 _ совокупность выпуклых функций в С", удовлетворяющих следующим условиям:

1) ЗА > О ЗВ > 0 \/т е N ЗСт > 0 ЗБт > 0:

С„,| ИI* - А» < Чф) < А\\г\\" + В , 2 е с1;

2) За > 0 Ут е N ЗЪт > 0:

<Рт{г) - 4>т+1(2) > оЦ1 + ||г||) - Ьт, г е С".

оо

Очевидно, Е((рт+1) С Е(1рт). Положим Е(Ф) = Е('рт). С обычными

т= 1

операциями сложения и умножения на комплексные числа Е{Ф) становится линейным пространством. Наделим Е(Ф) топологией проективного предела пространств Е(<рт). Очевидно, Е(Ф) - пространство Фреше.

Пусть Ф* = {</4}™=1, где <р*т(X) = вир№(Де < > -<Ап(0) ~ преобразование Юнга-Фенхеля функции >рт. Поскольку <Рт(г) < <Рт+1(2) + Ът всюду в С", то для любого т £ N пространство Е{<р*т) непрерывно вложе-

оо

но в Е((р*т+1). Пусть Р(Ф") — и Е((Рт)- С обычными операциями сложе-

ш=1

ния и умножения на комплексные числа Р(Ф*) становится линейным пространством. Наделим Р(Ф*) топологией индуктивного предела нормированных пространств Е(<Рп). Отметим, что для каждого т е N вложения

гт : Е((рт+1) Е(<рт), зт : Е{ч>*т) Е(ч>*тн)

вполне непрерывны. Это следует из предположений оФ, а также леммы 1.5.

Лемма 1.5. Существует число /г > 0 такое, что для любого т € N при некотором 1т > 0

^-н(г) ~ М*) > А1п(1 + |И|) -1т, г 6 С".

Таким образом, Е(Ф) является пространством (М*), а пространство Р(Ф*) - пространством (ЬМ*).

Преобразованием Лапласа функционала S е Е'(Ф) называется функция S(X) = (S,e<A'z>), ЛеС".

Пространство Е*(Ф) допускает следующее описание.

Теорема 1.3. Отображение L : S £ Е*(Ф) S устанавливает топологический изоморфизм пространств Е*(Ф) и Р(Ф*).

Теорема 1.3 доказана в п. 1.5. Её доказательство основано на теореме P.C. Юлмухаметова (см. [19]), работе Попенова C.B. [15], а также на полноте полиномов в Е(Ф), свойствах преобразования Лапласа функционала из Е'(Ф). А именно, справедливы следующие теоремы, доказанные в разделах 1.3 и 1.4:

Теорема 1.1. Множество полиномов плотно в Е(Ф).

Теорема 1.2. Пусть S G Е'(Ф). Тогда S - целая функция в С", причем для любого а Е Z"

(DaS){z) = {S, z 6 С",

и при некоторых тп g N и С > О

|S(z)| < Се^г\ z е С".

Теорема 1.3 находит применение в разделах 1.7, 1.8 при изучении линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве Е{Ф) и исследовании проблемы базиса в этом пространстве.

В разделе 1.6 изучается ядерность пространства Е(Ф).

Доказана

Теорема 1.4. Пространство Е(Ф) - ядерное.

При доказательстве этой теоремы используется следующий критерий ядер-ности ([13]):

Теорема В. Локально выпуклое пространство Е - ядерное тогда и только тогда, когда для любой абсолютно выпуклой окрестности пуля U существует окрестность нуля V и конечная положительная мера Радона на слабо компактном множестве такие, что

INIи< \<y,x>\dß(y), ЧхеЕ. J V

Здесь <-,->- двойственность между Е и Е'.

В разделе 1.7 изучена проблема существования базисов в Е(Ф) в специальном случае весовых функций, а именно, когда система Ф состоит из выпуклых в С" функций (рт таких, что при |]г|| > К (где Я > 0 - некоторое число) функции <£>„г имеют вид:

/ ч Щ4) <рт{г) = ф) + -^-М,

где ц> - выпуклая функция в С™, удовлетворяющая условию: существуют положительные числа Др, Д-, СО^ такие, что для 1 < р. < р

СМ11 - < ¥>(*) < + , г € С",

Л - непрерывная неубывающая положительная функция на [0, +оо) такая, что:

. А(г)

г—+оо 1п(1 + г)

b)УЬ>1 Л(Ьг^) = 0(Л(г)), г->+оо;

c) Ц\\г[\)=0(ф)), л->оо.

В этих предположениях доказана

Теорема 1.5 В пространстве Е(Ф) существует базис.

В разделе 1.8 главы 1 изучаются сюръективность линейного дифференциального оператора конечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве Е(Ф) и задача спектрального синтеза в ядре этого оператора. Как известно (см., например, [12], [7] и библиографию там), сюръективность линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, операторов свертки в различных классах аналитических функций часто благодаря использованию преобразования Лапласа и методов функционального анализа эквивалентна проблеме деления [22], [25] в подходящих пространствах целых функций.

Пусть Р(г) = ^ аага - полином степени Ы, Р(Б) = ^ ааО° - соот-

\а\<Ы [а|<ЛГ

ветствующий полиному Р(г) дифференциальный оператор конечного порядка.

Пусть Е -множество экспоненциальных полиномов вида (¿(г) е<7>,г> (ф - полином), принадлежащих ядру оператора Р{В). Пусть V/ - множество всех решений уравнения Р(£>)(/) = 0, принадлежащих пространству Е(Ф).

Основные результаты этого раздела - следующие две теоремы.

Теорема 1.8. Оператор Р{В) сюръективен в Е(Ф).

Теорема 1.9. Линейная оболочка множества Е плотна в ]У.

Глава 2. В главе 2 изучаются пространства бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенные по системам весовых функций вида

ад(Ы)

<р(х)-тт(\х\) и <р(х) + -^(шбР!),

где <р - выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего едипицы, а ш - неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +оо) с определенными свойствами:

Пусть заданы числа /¿и р такие, что 1 < ц < р .

Пусть ip - выпуклая функция на числовой оси такая, что при некоторых положительных А, В, С, D всюду на R.

А\х\^-В <<p{x)<C\x\'' + D.

Пусть w - неотрицательная непрерывная функция на [0; Н-оо) такая, что

1) Ц1 + г) = O(to(r)), г +оо;

2) w(r2) < а + /3w(r) при некоторых а > 0, /3 > 2. Для каждого т € N введем нормированное пространство

sup ■ J({SL <

xeR,o<k<m eW mwW

Поскольку V/ e Em+i(<p, w) имеет место неравенство

Pm{f) < Pm+\{f),

то вложения im : Em+l(ip,w) —► Em(ip,w) непрерывны. Несложно показать, что эти вложения вполне непрерывны.

Пусть E((p,w) - проективный предел пространств Em(ip,w) . Согласно определению из [16] это пространство типа (М*). Отметим, что для любого Л е С функция /д (х) = е~,Ах принадлежит E(ip, и>).

Преобразованием Фурье-Далласа функционала S € E*(ip, w) называется функция

5(Л) = {Sx,e~iXx), А € С. Пусть P(<p*,w) - индуктивный предел пространств

Pm(v*,vj) = {F € Я(С) : \\F\\m = sup ^ + |г|^е¥>.(1тг)+тш{,/тг|) < Здесь <р*(у) = sup(x?/—<р(х)) - преобразование Юнга-Фенхеля функции <р(х).

X€R

Отметим, что в силу вполне непрерывности вложений

jm ■ Pm{<p*,w) -+ Pm+i(<p*,w),

P((p*,w) является пространством типа (LN*) [16].

Пространство E*(ip, w) допускает следующее описание в терминах преобразования Фурье-Лапласа:

Теорема 2.2. Отображение L : S —► S устанавливает топологический изоморфизм пространств E*{ip,w) и P{tp*,w).

В разделе 2.3 рассмотрено другое весовое пространство E{ip,w) : Пусть w - неотрицательная непрерывная функция на [0; +со) такая, что 1) 1п(1 + г) = o(w(r)), г —> +оо;

2) tu(r2) < a + (hu(r) при некоторых a > 0, /3 > 2.

Для каждого m £ N введем нормированное пространство

£mM = {f£Cm(R)-.Pm(f)= sup В|<4

Заметим, что для любого номера т справедливо включение £m+l{v,v) С £т{<Р,и)-

Поскольку V/ 6 £m+i(ip,w) имеет место неравенство pm(f) < pm+i(I), то вложения гт : £m+l((p,cj) —> £m(iр,ш) непрерывны. Более того, эти вложения вполне непрерывны (см. [2]).

Введем пространство £(<р, и) как проективный предел пространств £т(ц>, и). Согласно определению из [16] это пространство типа (М*). Отметим, что для любого A G С функция f\(x) = e~lXx принадлежит £(<р,ш).

Пусть V{<p*,bi) - проективный предел пространств

Шт = SÜß.....1 „„,.,„ < 00}.

7>mfo>» = {F е Я(С) :

1Ж1

zeC (1 + |2|)meV(M2)-

Очевидно, вложения jm : Тт((р*,ш) —> Vm+i(jp*,u) вполне непрерывны, пространство Т(Ф*,и>) является пространством (LN*).

Справедливо следующее описание пространства £*(tp,u>) в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

Теорема 2.3. Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм пространств £*(<р,ш) и V(>p*,u)).

В разделе 2.4 изучен вопрос о ядерности пространства £((р,ш).

А именно, доказана

Теорема 2.4. Пространство £(ср,ш)— ядерное.

Глава 3. Различные весовые пространства последовательностей изучались в работах Коган Г.А., Карпова A.B., Кима В.Э., Вахромеевой A.B. (см. напр. [5] и библиографию там) В нашем случае существенным отличием является то, что рассмотрен многомерный случай с более общими весовыми функцииями.

Пусть ip = - семейство выпуклых функций, действующих из К"

в R , таких, что: <Рт{х)

1) lim ^ ~ +оо \/т 6 N, где [|х|| = у/х* + ... + х*. 1И1-00 |]z||

2) Vm S N найдутся числа ат > О, Ът £ К такие что

<Рт{х) ~ Vm+lW > OmM ~Ьт Vm € N.

Пусть <f^(x) — sup(< x,y > —<Pm(y)) ~ функция, сопряженная по Юнгу с ysR"

<Рт-

Обозначим

%) = {/ : Z71 -> С : pm(f) = sup Щ < оо}.

aeZ" e^w

Ясно,что A{<pm+i) С для любого номера т.

Нетрудно показать, что вложения im : A{ipm+{) —+ A{ipm) вполне непрерывны.

00

Образуем множество A(ip) = Р| A(ipm).

m=1

Наделим его топологией проективного предела нормированных пространств А{ц>т)- Таким образом, А{ф) - это пространство (М*). Пусть

Р{ч>т) = {F € Я(С") : F(z + 2тгк) = F{z) Vfc € Z" Vz € С" :

II

Введем пространство

\\Пт = «Up ¡F}*ll < 00}. zec» exp(^(Jmz))

m=l

Наделим его топологией индуктивного предела пространств P(ip^). Ясно, что P(tp*) - пространство (LN*). Теорема 3.1. Отображение

F : S -* S[z) = S(exp(-i <a,z >))aeZ»

устанавливает топологический изоморфизм между пространствами A*(tp) и

Наложим дополнительное условие на ip = (^m)^ : Vm 6 N Vfl > 0 ЗСд,т > 0 : Vx € R" VÎ G R" : ||Ç|| < R <^m+1(x + 0 < <pm(x) + CR,m. Для произвольного конечного набора J мультииндексов h € Z" определим линейный непрерывный оператор L : А(</?) —» А{ф) следующим образом:

heJ

где Sh(f) = /(a + h). В этих предположениях справедлива Теорема 3.2. Оператор L сюръективен.

Диссертант выражает благодарность доктору физико-математических наук Мусину Ильдару Хамитовичу за постановку задачи и внимание к работе.

Список литературы

[1] Драгилсв М.М., Кондаков В.П., Об одном классе ядерных пространств // Математические заметки, 1970, Том 8 №2, С.169-179.

[2] Жаринов В.В., Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS И УМН. 1979. Т. 34, выл. 4(208). С. 97-131.

[3] Захар юта В. П. О базисах и изоморфизме пространств функций, аналитических в выпуклых областях многих переменных // Теория функций и функциональный анализ. Харьков. 1967. №5. С. 5-12.

[4] Зобин Н.М., Митягин B.C., Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функцион. анализ и его прил. Т. 8, № 4. 1974. С. 304-313

[5] В. В. Напалков, В. Э. Ким, "Изоморфизм между пространствами решений дискретного уравнения свертки и уравнения свертки на пространстве целых функций", Матем. заметки, 80:5 (2006), 733-750

[6] Копдаков В. П., Замечания о существовании безусловных базисов в ■ весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. матем. журн. Т. 42, №6. 2001. С. 1300-1313.

[7] Кривошеев A.C., Напалков В.В., Комплексный анализ и операторы свертка Ц УМН. Т. 47, выпуск 6(288). 1992. С. 3-58.

[8] Митягин B.C., Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // УМН. Т. 16, №4. 1961. С. 63-132.

[9] B.C. Митягин, Г.М. Хенкин, Линейные задачи комплексного анализа // УМН. 1971. Т. 26. №4. С. 93-152.

[10] Мусин И.Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т.64, №6. с.181-204.

[11] Мусин И.Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в R" // Математический сборник. 2004. Т. 195. №10. С. 83-108.

[12] Напалков В.В., Уравнения свертки в многомерных пространствах, М.: Наука, 1982. 240 с.

[13] Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства, М.: Мир. 1967. 266 с.

[14] Попёнов С.В., О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Ст // Матем. заметки. Т. 40, №3. 1986. С. 374-384.

[15] Попенов С.В., Об одном весовом пространстве целых функций // В сб: Исследования по теории аппроксимации функций. 1986. С. 89-96. Уфа. БФАН СССР, 1986.

[16] Себаштьян-и-Сильва Ж., О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1, №1. С. 60-77.

[17] Ткаченко B.C., Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста // Матем. сб. Т. 102, №3. 1977. С. 435-456.

[18] Хёрмандер JI., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных М.: Мир, 1966.

[19] Юлмухаметов Р.С., Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. 1996. Т. 60. №4. С. 205-224.

[20] Bessaga С., A nuclear Frechet space without basis 1. Variation on a theme of Djakov and Mitiagin // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math., Astronom., Phis. 1976. V. 24, №7. P. 471-473.

[21] Djakov P.B., Некоторые замечания об ядерных пространсвах Фреше без базиса // Serdica - Bulg. Math. J. 2 (1976), 171 -176.

[22] Ehrenpreis L., Solution of some problems of division. IV. // Amer. J. Math. 1960. V. 82. P. 522-588.

[23] Ehrenpreis L., Fourier analysis in several complex variables New York: Wiley - Interscience publishers, 1970.

[24] Haslinger F., Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J. 1986. V. 35. P. 193-208.

[25] Malgrange В., Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst.Fourier (Grenoble). 1955-56. V. 6. P. 271-355.

[26] Roever J.W. de., Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V. 9, №6. P. 996-1019.

[27] Roever J.W. de., Complex Fourier transformation and analytic Junctionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.

[28] Struppa D.C., Convolution equations and spaces of ultradifferentiable functions // Isr. J. Math. 1986. V. 54, №1. P. 60-70.

[29] Taskinen J., A Frechet-Schwartz space with basis having a complemented subspace without basis // Abstracts conf. "Nuclear Frechet Räume". Oberwolfach, 1990. P.ll.

[30] Taylor B.A., The fields of quotients of some entire functions. Entire functions and related parts of analysis // Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1968. P. 468-474.

[31] D. Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzreihenraume von endlichem Typ und ihre Folgerungen // Manuscripta Math. 1982. V. 37. №3. V. 269-301.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ахтямов Н.Т., О весовом пространстве целых функций в С" // Матем. заметки. Т. 83, вып 4. 2008. С. 483-492.

2. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству целых функций в С™ // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 35. Казань, 2007.

3. Ахтямов Н. Т., Описание сопряженного к весовому пространству бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Казань, 2006.

4. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству последовательностей // Международная зимняя школа-конференция по математике и физике. Сборник трудов. Т. 1, математика. Уфа. РИО БашГУ, 2005.

5. Ахтямов Н. Т., Мусин Й.Х., Дифференциальные операторы в весовом пространстве целых функций // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1. Уфа, РИЦ БГУ, 2008.

АХТЯМОВ Наиль Тагарович

ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ С ВЕСАМИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

Специальность: 01.01.01 Математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 19.03.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр,- отт. 1,0. Уч. - изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ №90.

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

Введение

1 Весовое пространство целых функций нескольких комплексных переменных

1.1 Пространства Е(Ф) и Р(Ф*).

1.2 Вспомогательные утверждения.

1.3 Полнота многочленов в Е(Ф).

1.4 О преобразовании Лапласа функционалов из Е'(Ф).

1.5 Описание пространства Е*(Ф).

1.6 Ядерность пространства Е(Ф).

1.7 О существовании базисов в Е(Ф) в специальном случае весовых функций.

1.8 Дифференциальные операторы в пространстве Е{Ф).

2 Весовое пространство бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой

2.1 Пространство Е(<р, м).

2.2 Описание пространства Е*((р, т).

2.3 Пространство ¿(<р,си).

2.4 Описание пространства £*(<р, ш).

2.5 Ядерность пространства £(</?, со).

3 Весовое пространство последовательностей

3.1 Пространство А(ф).

3.2 Описание пространства А*(<р).

3.3 Разностный оператор в пространстве А{(р).

В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств целых функций в Сп, бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси и последовательностей. Изучаемые пространства являются локально выпуклыми пространствами Фреше и задаются с помощью весовых функций полиномиального роста. Акцент в работе сделан на изучение ситуаций, когда зазор между весовыми функциями может быть небольшим. Например, логарифмическим.

В работе рассматриваются следующие основные вопросы:

1. описание сильного сопряженного пространства к изучаемым пространствам в терминах преобразований Лапласа (или Фурье -Лапласа);

2. анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в весовых пространствах целых функций;

3. проблема базиса в весовом пространстве целых функций;

4. разрешимость неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

Описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и комплексного анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков: JI. Шварца, Р. Пэли, Г. Полна, Н. Винера, Л. Эренпрайса, JI. Хёрманде-ра, А. Мартино, B.C. Владимирова, В.В. Напалкова, Б.А. Тейлора, P.C. Юлмухаметова, В.В. Жаринова, Г.И. Эскина, A.M. Седлецко-го, A.B. Абанина, C.B. Попенова, В.А. Ткаченко, Ф. Хаслингера, И.Х. Мусина, В.И. Луценко, Р. Майзе, Роевера (J.W. de Roever) и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций, удовлетворяющих определенным мажорантам роста. Тем самым многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из" теории аналитических функций. В теории операторов свертки, теории приближения функций, вопросах представления функций рядами экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А.Тейлора, A.M. Седлецкого, P.C. Юлмухаметова, A.C. Кривоше-ева, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, A.B. Абанина, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, С.Н. Мелихова, К. Беренстейна и др., в теории дифференциальных уравнений - в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, В.П. Паламодова, В.В. Напалкова, И.Х. Мусина, Роевера, А. Мартино, Д. Струппы и др.

Цели работы.

1. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Лапласа к новым весовым пространствам целых функций в Сп.

2. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой с малым зазором между весовыми функциями.

3. Изучить вопрос о сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых весовых пространствах целых функций.

4. Исследовать проблему базиса в введённых весовых пространствах целых функций.

5. Изучить вопрос разрешимости неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

6. Исследовать топологические свойства введённых пространств.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Среди них отметим модифицированный P.C. Юлмухаметовым метод JI. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство. "

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. В терминах преобразования Лапласа дано описание сопряженного пространства к весовому пространству целых функций в Сп в случае, когда весовые функции имеют полиномиальный рост порядка большего единицы. При этом зазор между весовыми функциями может быть логарифмическим. Ранее подобные задачи для весовых пространств целых функций не изучались.

Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного пространства изучалась в работах JI. Эренпрай-са [41], Б.А. Тейлора [53] , B.C. Ткаченко [33], Ф. Хаслингера [46], C.B. Попёнова [28], [29]. Наиболее общий результат получен в работе C.B. Попёнова [28], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно \\z\\ зазор между весовыми функциями. В отличие от их работ, в нашем случае допустим более узкий зазор между весовыми функциями (он может быть логарифмическим). Однако, уменьшая зазор, мы вынуждены оперировать весовыми функциями (специального) полиномиального роста.

2. В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопряженные пространства к счетно-нормированным пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида где (р - выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, а ги - неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +оо) с определенными свойствами.

Отметим, что для пространств бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида (р(х) — ти)(\х\) в случае, когда ш(г) = 1п(1+г) данная задача была решена И.Х. Мусиным (также и в многомерном случае). В более общей ситуации подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций не изучались.

3. Доказано существование базисов в весовых пространствах целых функций в Сп, определённых с помощью выпуклых в Сп функций 1рт, имеющих при ||<гг|| > Я (где Я > 0 - некоторое число) вид: где (р - выпуклая функция в Сп полиномиального рост порядка большего единицы а h - непрерывная неубывающая положительная функция на [0; -f оо) с определенными свойствами.

Отметим, что вопросами существования и построения базисов в счётно-гильбертовых пространствах занимались многие известные математики - М.М. Драгилев [9], B.C. Митягип [21], В.П. Захарюта [13], В. П. Кондаков [17], Д. Фогт (D. Vogt) [54], П.Б. Джаков [40] и др. В книге А. Пича [27] по ядерным локально выпуклым пространствам был поставлен вопрос (см. п. 10.2.4.): „Каждое ли ядерное пространство Фреше обладает базисом". Интерес к проблеме базиса усилился после появления примеров ядерных пространств Фреше, не т имеющих базиса, построенных в работах Н.М. Зобина и Б.С. Митя-гина [14], К. Бессаги (С. Bessaga) [39] и Дж. Таскинена (J. Taskinen) [51]. В весовых пространствах целых функций в Сп данная проблема рассматривалась Ф. Хаслингером [46] для случая весовых функций (fmiz) — rmP(z)i где гт —> Го > 0 при т —> оо, р - выпуклая функция в Сп, преобразование Юнга-Фенхеля которой принимает всюду в Сп конечные значения. При условии существования базиса в ядерном пространстве Фреше конструктивный способ построения базиса имеется в работе Митягина-Хенкина [22]. Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы Митягина-Хенкина [22] и Д. Фогта [54] и полученный результат по описанию сопряженного пространства.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм та же, что и в соответствующих разделах.

1. Ахтямов Н.Т., О весовом пространстве целых функций в Сп // Матем. заметки. Т. 83, выи 4. 2008. С. 483-492.

2. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству целых функций в Сп // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 35. Казань, 2007.

3. Ахтямов Н. Т., Описание сопряоюенного к весовому пространству бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Казань, 2006.

4. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству последовательностей // Международная зимняя школа-конференция по математике и физике. Сборник трудов. Т. 1, математика. Уфа. РИО БатГУ, 2005.

5. Ахтямов Н. Т., Мусин И.Х., Дифференциальные операторы в весовом пространстве целых функций // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1. Уфа, РИЦ БГУ, 2008.

6. Владимиров B.C., Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, №1. С. 75-100.

7. Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных М.: Наука, 1964.

8. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснашрнпые гильбертовы пространства, М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1958. 472 с.

9. Драгилев М.М., Кондаков В.П., Об одном классе ядерных пространств // Математические заметки. 1970. Том 8. №2. С. 169179.

10. Дьедонне Ж7~Шварц JL, Двойственность в пространствах (F) и (LF). Сб. Математика, 1958, 2, №2, С. 77-107.

11. Евграфов М.А., Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

12. Жаринов В.В., Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97-131.

13. Захарюта В.П. О базисах и изоморфизме пространств функций, аналитических в выпуклых областях многих переменных // Теория функций и функциональный анализ. Харьков. 1967. №5. С. 5-12.

14. Зобин Н.М., Митягин Б.С., Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функцион. анализ и его прил. Т. 8, № 4. 1974. С. 304-313

15. В. В. Напалков, В. Э. Ким, "Изоморфизм между пространствами решений дискретного уравнения свертки и уравнения свертки на пространстве целых функций", Матем. заметки, 80:5 (2006), 733-750.

16. Колмогоров А.H., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

17. Кондаков В. П., Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. матем. журн. Т. 42, №6. 2001. С. 1300-1313.

18. Коробейник И.Ф., О бесконечно дифференцируемых решениях линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка // Сиб. матем. ж. 1965. Т. 6, №3. С. 516-527.

19. Коробейник Ю.Ф., Абсолютно представляющие системы эк(> понент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференци- руемых функций // Доклады АН. 2000. Т. 372, №1. С. 17-20.

20. Кривошеев A.C., Напалков В.В., Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. Т. 47, выпуск 6(288). 1992. С. 3-58.

21. Митягин B.C., Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // УМН. Т. 16, №4. 1961. С. 63-132.

22. B.C. Митягин, Г.М. Хенкин, Линейные задачи комплексного анализа // УМН. 1971. Т. 26. №4. С. 93-152.

23. Мусин И.Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т.64, №6. С. 181-204.

24. Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

25. Эдварде Р., Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.

26. Эскин Г.И., Обобщение теоремы Палея-Винера-Шварца // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 185-188.

27. Юлмухаметов Р.С., Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. 1996. Т. 60. КЧ. С. 205-224.

28. Bessaga С., A nuclear Frechet space without basis 1. Variation-on-a theme of Djakov and Mitiagin // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math., Astronom., Phis. 1976. V. 24, №. P. 471-473.

29. Djakov P.B., Некоторые замечания об ядерных пространсвах Фреше без базиса // Serdica Bulg. Math. J. 2 (1976), 171 -176.

30. Ehrenpreis L., Solution of some problems of division. IV. // Amer. J. Math. 1960. V. 82. P. 522-588.

31. Ehrenpreis L., Fourier analysis in several complex variables New York: Wiley Interscience publishers, 1970.

32. P.V. Fedotova, I. Kh. Musin., Approximation by polynomials in a weighted space of infinitely differentiable functions // arXiv: math. С A /0508524 vl.

33. Hansen S., Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Transactions of the AMS. V. 264, №1. 1981. P. 235-250.