Некоторые вопросы приближения целыми функциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0034744 Ю

На правах рукописи

Мамадов Рашид

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШ АНБЕ- 2 0 0 9

003474410

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: доктор физ.-мат.наук,

академик АН РТ Шабозов Мирганд Шабозович

доктор физ.-мат.наук, профессор Вакарчук Сергей Борисович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физ.-мат.наук,

член-корреспондент АН РТ Рахмонов Захрулло Хусейнович

кандидат физ.-мат.наук Юсупов Гулзорхон Амиршоевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Таджикский государственный

педагогический университет им. С.Айни

Защита состоится 2009 г. в 9.00 часов на заседании

диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни 299/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Ветпь теории аппроксимации, использующая в качестве аппарата приближения целые функции, является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современного математического анализа. Ее бурное развитие связано с работами С.Н.Бернштейна, Н.Винера, Н.Пэлн, Н.И.Ахисзера, С.М.Николького, опубликованными в сороковых годах прошлого столетия. В последующем данная тематика нашла отражение в работах А.Ф.Тимана, В.М.Тихомирова, Г.Г.Магарил-Ильяева, И.И.Ибрагимова, Ф.Г.Насибова, С.Б.Вакарчука и многих других. Введение Г.Г.Магарил-Ильяевым понятия средней размерности и определение на этой основе понятия среднего поперечника позволило решать экстремальные задачи теории аппроксимации на прямой, имеющие оптимизационный характер. Оказалось, что во многих случаях экстремальными в указанном выше смысле являются пространства целых функций конечной степени.

Другой тип задач связан с изучением аппроксимативных характеристик целых трансцендентных функций, когда они выступают в качестве объекта полиномиальной аппроксимации. Благодаря работам А.В.Батырева, Л.Б.Уа^а, А.Л.ЛесМу, З.М.БЬаЬ, И.И.Ибрагимова, Н.И.Шихалиева, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова и других была установлена связь между характеристиками роста целых трансцендентных функций и скоростью стремления к нулю последовательностей их наилучших полиномиальных аппроксимаций в некоторых банаховых пространствах аналитических в круге функций.

Дальнейшему развитию этой тематики и посвящена данная работа.

Цель работы:

1. Нахождение новых соотношений, связывающих между собой характеристики роста целых трансцендентных функций, и их наилучшие полиномиальные приближения в банаховых пространствах Бергмана с весом.

2. Получение новых точных неравенств типа Джексона-Стсчкина в случае аппроксимации в среднем пространствами целых функций конечной степени на прямой.

3. Вычисление точных значений средних поперечников классов функций, заданных модулями непрерывности на прямой.

Метод исследования. В работе использованы метод теории аналитических функций, конструктивной теории функции вещественного переменного, конструктивной теории функций комплексного переменного, а также некоторые подходы к решению экстремальных задач теории аппроксимации на прямой, предложенные Г.Г.Магарил-Ильяевым и С.Б.Вакарчуком.

Научная новизна исследований.

Найдены новые связи между наилучшими полиномиальными

приближениями целых трансцендентных функций и характеристиками их роста — порядком р и типом а в банаховых пространствах Бергмана с весом.

Получены новые точные неравенства тина Джсксоиа-Стсчкина, связывающие наилучшие приближения функций в среднем на прямой пространствами целых функций конечной степени, и модули непрерывности высших порядков, вычисленные для производных аппроксимируемых функций.

— Вычислены точные значения средних поперечников некоторых классов функций, заданных усредненными модулями непрерывности.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быт использованы при решении ряда задач конструктивной теории функций комплексного переменного и конструктивной теории функций вещественного переменного.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (г.Хорог, 2000-2005 гг.), на семинарах по вопросам теории функций в Таджикском государственном национальном университете (г.Душанбе, 20042008 гг.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураена (г.Душанбе, 16-октября 2007 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-лсгию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (г. Душанбе, 29-30 мая 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 49 наименований и занимает 77 страниц машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает па номе]) параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Содержание диссертации

Во введении дастся краткая характеристика изучаемой проблемы н приводятся основные результаты работы.

В первой главе диссертации установлены связи между наилучшими полиномиальными приближениями

Е„(/Ь„, = и* {||/ - Р^Ь,,, : Рп-1(я) € Р.,-4

!

целой трансцендентной функции /(.:) в носовом пространство Бергмана Вч -. I < ([ < ос, п такими ее характеристиками, как порядок роста и тип. Указанное банахово пространство состоит и;? аналитических и круге |г| < 1 функций /(.:), для которых

11Л|Д„-, =

где

2тг, , . „

V |:|<1 / V"

!\ V" (1 \1'"

^ Ц 1Ыт"с1.хс1у = (/п-(г)М«(г; ЯЛ- < ос,

ч 1/ч

/ 1 21 У"1 Л/7(г;/) = ( —/ |/(ге")Г'л| ,

7(г) - положительная измеримая весовая функция, а интегралы понимаются в смысле Лебега.

В первом параграфе первой главы изложены основные сведения и предварительные результаты о целых функциях. В частности, приведены определения порядка р и типа а целой функции

/(-) = Ё 71=0

через величину

М(г) — тах {|/(г)| : = г} ,

а именно:

-р—1п1пА/(г) -р—1п М(г) п р = 1ип---—, а = 1ш1-—, 0 < р < ос

г г—»-х г г—>х рр ' '

и основные соотношения между ними. Приведены также некоторые формулы, устанавливающие связь между ростом целых функций и скоростью убывания коэффициентов их степенных разложений в ряд Тейлора:

р = [оер)1>» = ТЩГ/(1/р . |с„11/".

1ПГ—Т

Ы

Во втором параграфе первой главы установлены новые соотношения, связывающие между собой наилучшие полиномиальные приближения целых трансцендентных функций с их порядком роста и типом. Используя равенство Парсеваля, для /(г) € получено соотношение

1

к=п „

являющееся основным инструментом для доказательства теорем 1.2.1-1.2.3.

о

В пространство Дг.-н которое является гильбертовым, получен ряд теорем, используемых в дальнейшем при рассмотрении аппроксимативных характеристик целых функций в пространствах 1 < ц < оо. Так,

в теореме 1.2.1 получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция /(г) € В-2П была целой. В теореме 1.2.2 доказано условие, являющееся необходимым и достаточным для того, чтобы функция /(г) 6 Д2.7 была целой трансцендентной конечного порядка р € (0, оо). В теореме 1.2.3 получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция /(г) € В2г, была целой трансцендентной конечного порядка р € (0, оо) и нормального типа а 6 (0, оо). Все перечисленные соотношения содержат величину наилучшего полиномиального приближения Еп(/)в%1.

Теоремы 1.2.1-1.2.3 обобщают некоторые из ранее полученных А.А.ЛесМу, И.И.Ибрагимовым и Н.И.Шихалиевым, С.Б.Вакарчуком результатов, связанных с полиномиальной аппроксимацией целых трансцендентных функций.

В параграфе 1.3 рассмотрен общий случай, когда функция /(г) принадлежит банахову пространству В,-,1 < д < оо. При получении приведенных далее результатов использовались неравенства типа С.М.Никольского в комплексной плоскости и некоторые элементы конструктивной теории функций комплексного переменного.

Теорема 1.3.1. Для того, чтобы функция /(г) € Вчп, 1 < у < со, была целой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось предельное равенство

Шп | =0.

Теорема 1.3.2. Пусть /(г) 6 1 < д < оо. Для того, чтобы /(г) была целой трансцендентной функцией конечного порядка р 6 (0, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

г \Чч

/г""+17(Г)С/Г1 • Е;НГ)

Пт < 1п

Теорема 1.3.3. Пусть /(г) € В,1П, 1 < </ < оо. Для того, чтобы /(г) была целой трансцендентной функцией конечного порядка р 6 (0, оо) и нормального типа а 6 (0, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Пт (ре)"1 ■ п • г'"+17(г)<й

-1/,,1 р/п

I = СТ.

о

Отмстим, что из приведенных теорем 1.3.1-1.3.3 вытекают некоторые результаты, ранее полученные С.Б.Вакарчуком и С.И.Жиром.

В заключение параграфа 1.3 рассмотрен следующий »опрос. Пусть /(.:) € Вч*. произвольная функции. Требуется оценить ее тейлоровские коэффициенты.

Теорема 1.3.4. Пусть f(z) 6 В,1П, 1 < q < оо. Тогда для коэффициентов с„(/) этой функции справедлива оценка

Ы<е / n(r)dr\ • J n(r)M^(rJ)dr\

[I \/n J tl -1/T, J

В параграфе 1.4 рассмотрен вопрос об обобщенном порядке роста целых функций и его связи с их полиномиальной аппроксимацией в пространстве Д/л>1 < 9 < Пусть V — класс функций h(x) > О, х € [а,+оо), а > 0, удовлетворяющих условиям:

1) функции h(x) дифференцируемы на полуоси [а, +оо), строго монотонно возрастают и стремятся к оо при а; —» оо;

2) для произвольной функции ■у(х) такой, что 7(1) —> 0 при х —» ос. имеет место равенство

lim ЩЕШ = L (1)

я-00 h(x)

Через Vo обозначим множество функций h(x) <Е Р, которые

удовлетворяют более сильному условию, чем (1):

с€(0'+ос)-

то есть являются функциями медленного роста.

Под обобщенным порядком роста целой функции

№ = tck(f)zk, к—0

согласно С.К.Балашов)', понимают величину

, ^ -i—a (In М(г))

где а(.г) е Va, ß(x) s V. Полагая, например, = Ina; и ß(x) — г., из (2) получим традиционное определение порядка р целой функции f(z). Основное содержание параграфа 1.4 составляет

Теорема 1.4.1. I. Пусть a(x),ß{x) <Е V, F(x,c) '= В'1 (са(х)) и для всех с £ (0,оо) выполнено условие

—— dh\F(x,c) 1 „

hm -—--- = -, 0 < р < оо;

(lux р

т) - некоторое фиксированное конечное положительное число. Тогда для функции f(z) € Bq-, 1 < </ < ос. равенство

т— а(п/р) _

П

является необходимым и достаточным для того, чтобы f(z) была целой трансцендентной функцией обобщенного порядка р/ (а, ß) = Т].

II. Пусть а(х), ß(x) QVo и для любого с G (0, оо) выполнено условие

d In F(x, с) . .

dlQX = 0(1) при х -f оо.

Тогда для любой функции /(г) € B,ln, 1 < q < оо, условие

т— Q(n) с

lim 1! = ^ >

TI—»ОС

где Ç — некоторое фиксированное конечное положительное число, является необходимым и достаточным для того, чтобы f(z) была целой трансцендентной функцией обобщенного порядка р¡{а, ß) =

Во второй главе диссертации рассматриваются экстремальные задачи наилучшего приближения фуикций f(x) 6 L2(R), R = (—оо, +оо), целыми функциями конечной степени.

В первом параграфе второй главы даются необходимые для дальнейшего понятия и определения и краткая история вопроса.

Напомним, что для любого неотрицательного вещественного числа а через На обозначается множество всех целых функций конечной степени, не превосходящей ст.

Пусть Li{R) -■ банахово пространство функций f(x), определенных ча всей вещественной оси R, с конечной нормой

/+ ос N1'2

11/11 = ( / l/(s)l2d* I •

Для любой целой функции f(z) через /(х) обозначим ее сужение на R. Множество всех целых функций /(2) Ç Н„ таких, что f(x) € L2(R). называется пространством Винера-Пали и обозначается символом \V„. Известно, что любая функция

m = 4= ]ei:"v(u)du, где Iр(и) 6 ¿2[—сг, сг], принадлежит пространству И'« и имеют место равенства

Il/Il..', = WfÏÏLiW) = Ы\Ы-<г.,т]-8

В работе В.К).Попона показано, что результаты Н.И.Черны:; о наилучше/} константе в неравенстве типа Джсксона-Стечкина для наилучших приближений 27г-периодической функции подпространствами тригонометрических полиномов имеют соответствующие аналоги и для функций f(x) € ["¿{В), когда в качестве аппарата приближения используются элементы пространства \\'„.

Во второй главе диссертации продолжены исследования В.Ю.Попова, С.Б.Вакарчука в этом направлении и доказаны неравенства между наилучшими приближениями функций / 6 W„ и модулями непрерывности высших порядков этих функций, причем все полученные результаты являются неулучшаемыми.

Всюду в дальнейшем символом

МЛ = ML L2(R)) = inf {||/ - 5,11 : 9а € W„)

обозначим наилучшее приближение функции f(x) 6 ¿2(^2) целыми функциями g„(z) из пространства IV„. Величина

"«(/, t) = ш,„{/; t, L2(R)) =f sup {|| д;;7(х)|| : \h\ < <} (3)

называется модулем непрерывности т-го порядка функции f(x) € ¿¿(В), где

есть конечная разность т-го порядка функции f(x) с шагом h. в точке х. Нам в дальнейшем понадобится следующая

Лемма. Пусть /(:г) € L2{R) и <f(x) се преобразование. Фурье в смысле L-2{R), то есть

1 +ОС

/(*) = -яг I

где ¡р(х) 6 L-2(—ос, +оо). Тогда функция

F„(f,x) = -L / if(t)eirtdt

является целой функцией из класса И'„, наименее уклоняющейся от /(х) в смысле метрики Ь2{Щ- Более того

\|и>" j

\1/2

Пусть ¿2'\fí.) множество функций f(x) 6 L'¿(R), у которых существуют абсолютно непрерывные производные (г — 1)-го порядка и производные

f{r)(x) € Ь2(П) . Если Щи) .....преобразование Фурье функции f(x) € L$\R),

то из (4) следует, что

М><т

откуда

АЛЛ < <т-МЛ/(г)). (5)

Далее в параграфе 2.2 рассмотрена задачи об оценках наилучших приближений Aa(f) через интегральный модуль непрерывности (3). Основными результатами параграфа 2.2 являются следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть а > 0 и т, г € N. Тогда для 0 < h < -к ja и любой не эквивалентной пулю функции f(x) € L^\R) справедливо неравенство

< h ] — 1/2 , h i. 1/2 ^(/)<|2т«72'/(1-С05^)"^| ■U^m(f^t)dt\ . (б)

Для любых фиксированных т, г € N и а > т неравенство (6) в классе всех функций f[x) € иеулучишемо.

Следствие 2.2.1 Яри выполнении условий теоремы 2.2.1 справедливо неравенство

При т = 1 из (7), в свою очередь, вытекает неравенство

1)апсе другим путем доказанное в работе И.И.Ибрагимова и Ф.Г.Насибова. Неулучшаемость (8) была доказана В.Ю.Поповым. .

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.1. Тогда справедливо неравенство

í h r1/2f" т- 11/2

A„U) < 2'V'- ■ /(1 - cos ot)m sin ~tdt • j / w?„(/w; t) sin j-tdt . (9)

Следствие 2.2.2. При выполнении условий теоремы. 2.2.2 справедливо неравенство

_ 1/2

АЛЛ < ■ £ ■ JulUirh t) sina/rfij . (10)

В частности, из (10) при т — 1 получаем результат В.К).Попова

1 („Ч"

ЛЛЛ<~(§ / U2 (fi'ht) sin atdtj .

Следующее утверждение является обобщением теоремы 2.2.1

Теорема 2.2.3. Пусть а > 0; т, г б N и 1/г < р < 2. Тогда для произвольного 0 < h < тт/а и любой не эквивалентной нулю функции f(x) £ L^(fi) имеет место неравенство

I h ) -!/'' f h } '/Р

^(/)<2-'"/V'J/(l-coSai)mp/2rfiJ ■ j/wS,(/w;i)rfiJ - (П)

которое является неулучишемым.

Следствие 2.2.3 При выполнении условий теоремы 2.2.3 справедливо неравенство

МЛ<

гдеГ(и) - гамма-функция Эйлер*..

В третьем параграфе второй i лавы доказаны теоремы, характеризующие скорость сходимости наилучших приближений целыми функциями и структурные свойства самих функций.

Теорема 2.3.1. Для любого а > 2, тп, € N и произвольной функции /(а1) € Ь'>{Щ. не .эквивалентной нулю, с.щшведливо неравенство

la \1'2

AM) < 1Ст ■ I 2 / <•&(/; *)з bin <rfcÜ 1 , (12)

где

[m/2] - целая чаешь числа т/2. При любых фиксированных т и а > т константа Кш в классе всех функций /(х) € In(R) неулучшаема.

Из теоремы 2.3.1 вытекает

Следствие 2.3.1. Яус?7»> а > 2 и г € N. Тогда для любой функции

Неравенство (13) вытекает из соотношения (5).

Теорема 2.3.2. Для произвольной функции }(х) е ¿2(Д), не эквивалентной пулю, любых а > 2 и т е N при условии выпуклости функции ш„,(/; Ь) на всей оси справедливо неравенство

меньшей на всем классе функций f{x) £ 1/2 (-Я)-

В заключительном четвертом параграфе второй главы найдены точные значения бернштейновских, колмогоровских и линейных средних поперечников.

До недавнего времени пространство \Уа было изолированным и в некотором смысле уникальным аппаратом приближения в Введение Г.Г.Магарил-Ильяевым определения средней размерности, явившегося определенной модификацией соответствующего понятия, данного ранее В.М.Тихомировым, позволило определить асимптотическую структуру подпространств, подобную поперечникам, где роль размерности выполняет средняя размерность. В результате этого оказалось возможным сравнивать аппроксимативные свойства подпространств \Уа с аналогичными характеристиками других подпространств из Ьг(Л) той же средней размерности и решать в Ь2{К) экстремальные задачи теории приближения, имеющие оптимизационное содержание.

Прежде, чем ввести необходимые характеристики; приведем ряд определений. Пусть ШЬ2{П.) есть единичный шар в Ь2{К) : ШЬ2(1{) = {/ € Ь2(И) : 11/11 1}; £гп(£2(-П)) является совокупностью всех линейных подпространств в ¿2(Л);

— есть наилучшее приближение множества С С Ь2(Я.) множеством А С ¿2(Я). Под Ат, Т > 0, понимаем сужение множества А С Ь2{В) на отрезок [-Т, Г], а под Ыпс(Ь2{Я)) понимаем те 3 € Ып(Ьо(П)), для которых множество {3 Г\ШЬ2(Н))г предкомпактпо в Ь2([-Т, Т}) при любом Т > 0.

(13)

£т„(12(Л)) = е Ьт(Ь2(П)) : &тЗ < га}, л е N. д(А, С, ЫЯ)) = 8ир{шГ{||з: - 2/11 : у € А} : а; € С}

Если $ е Ыпс{Ьг(Щ) а Т, е > 0, то существуют такие п € Z+ и И 6 Ыпи{Ь2(\-Т,Т})), для которых

(л))г,м, Ь([-т,т])) <е.

Пусть

= тш{п е 2+ : 3.1/ € ип„(Ь2{-Т,Т},(1((3(~}№Ь2(Н))Т, М, Ь2[-Т,Т)) < е}.

Данная величина, как доказал Г.Г.Магарил-Ильяев, не убывает но Т и не возрастает по £. Величину

Ш(3, Ь2(Я)) = Иш{1т1гп/{А(^, £2(Я))/(2Т): Т оо} : £ 0},

где 3 € Ыпс{Ь2{Я)), называют средней размерностью подпространства 3 в Ь2{К). Известно, что

Ь2{Я)) = а/ж.

Пусть Ш - центрально-симметричное подмножество из Ь2{Щ и V > 0 является произвольным числом. Тогда под средним поперечником по Колмогорову множества Ш в Ь2{Щ понимают величину

¿„(9Л,£2(Д)) =

= тЯ8ир{т£{||/-у5|| '• V 6 : / € 9Л} : 3 С Ыпг{Ь2(11)) ,Шх{3, Ь2{Я)) < и}.

Подпространство, иа котором достигается внешняя точная нижняя грань, называется экстремальным. Средним линейным поперечником множества ШТ в Ь2{Я.) называют величину

¿ЛШ, Ь2{Н)) = тфир{||/ - Л/|| : / е ЯП} : (Х,Л)},

где точная нижняя грань берется по всем парам (X, Л) таким, что X есть нормированное пространство, непрерывно вложенное в Ь2{К)\ 9Л С Л'; Л : X —> ¿2(/?) является непрерывным линейным оператором, для которого 1тпк е Ыпс{Ь2(В)) и (И,т{1тА, Ь2(Щ) < /л Пару (X, Л), па которой достигается нижняя грань, называют экстремальной. Величину

Ьи(т,Ь2(Я)) =

= кир{нир{р > О : ЗС\рЫ2{Я.) С 2Я} : 3 6 Ыпс(Ь2{Я)),Шт(3, Ь2(Л)) > и,

называют средним поперечником по Бернштейпу множества Ш в Ь2(П). Последнее условие, налагаемое на3 при вычислении внешней точной верхней грани, означает, что рассматриваются только те подпространства, для которых справедлив аналог теоремы В.М.Тихомирова о поперечнике шара.

Этому требованию удовлетворяет, например, пространство если а > иж. Между перечисленными экстремальными характеристиками множества 9Л имеют место следующие неравенства

ь„(уя, l2(r)) < ¿„(ОТ, l2(r)) < ¿„(ОТ, l2(r)).

Точные значения средних поперечников некоторых классов функций вычислены в работах Магарил-Ильяева и С.Б.Вакарчука.

Пусть Ф(£), t > 0, — произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Символом И-^'^Ф), г S N, обозначим множество функций f(x) 6 L2\r), r-тые производные которых удовлетворяют

условию

/u^(/ír>, 0 sin Jídi < Ф2(Л) о h

для любого h £ (0, 7г].

Теорема 2.4.1. Пусть для заданного А € (0,1) и для всех чисел ц € (0, оо), h S (0,7г] функция Ф(£) удовлетворяет условию

л , I" Хя

Ф2 (-ft) /(1 - cosf)"1 sin ~dv < Ф2(/г) /(1 - cosr)msin Tdv, (15) \fi / ¿¡ ¡i ¡j A

где

(1 — cos и), d= {(1 — cost'), если 0 < v < тг; 2 ссли v > тг}. Тогда для любого и > 0 имеют место следующие равенства

где 7Г„ - любой из средних поперечников: бернштейновский Ьи{-). колмого-ровский или линейный ()„(•);

*ир{ЛМ ■■ / е П^Ф)}.

При атом пара (¡^{К), Л^/), где А„л/ определяется из условия

где$з -•• преобразование Фурье в Ь2(П), — характеристическая функция интервала (—итт.глг), будет экстремальной для среднего поперечника 6 а проащхтство является экстремальным для среднего поперечника по Колмогорову (/„(•)■

Благодаря понятию сродной размерности, теорему 2.4.1 в определенном смысле можно рассматривать как распространение результатов Н.Айиуллоева с 27г-перподического случая на случай аппроксимации на всей числовой прямой Д. Н.Айнуллоевым было показано, что при пг = 1 ограничению (15) удовлетворяет, например, степенная функция Ф.(£) =

7Г2

где — + 1 < а < 3. Из доказанной теоремы вытекает 8

Следствие 2.4.1. Пусть т = 1, А € (0,1), V > 0, г € N — произвольные числа. Тогда справедливы следующие равенства

= ЛЛИ^Ф)) =

(1 - л2)л2о~1

• 2 ^ \2 S ~2

1/2

_1

2nr~V2 • гЛ+а-1/2'

где ъи — любой из средних поперечников Ь„(-)> ^(О мл«

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям академику АН РТ М.Ш.Шабозову и профессору С.Б.Вакарчуку за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Опубликованные работы

1. Мамадов Р. О наилучших среднеквадратичсских приближениях целыми функциями экспоненциального типа в L-i(R) // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с. 70-75.

2. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в // Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.76-81.

3. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. О наилучшем полиномиальном приближении целых функций в весовых пространствах Бергмана Д,-, 1 < q < ос // ДАН РТ, 2007, т.50, №5, с.401-408.

4. Мамадов Р. О полиномиальной аппроксимации целых функций в весовых пространствах Бергмана // ДАН РТ, 2009, т.52, №3, с.291-294.

5. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. О точных значениях средних п-поперечников некоторых классов функций// ДАН РТ, 2009, т.52, Х!5.

Сдано в 23.05.09 г. Подписано в печать 27.05.09 г. Формат 60x84. Гарнитура литературная. Тираж 100 экз. Цена договорная

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» ул.Дж.расулов 6/1

Введение.

Глава I. О связи наилучших полиномиальных приближений целых трансцендентных функций и их основные характеристики

§1.1. Основные сведения о целых функциях и характеристические величины целой функции конечной степени.

1.1.1. Определение характеристических величин целой функции

1.1.2. Связь между ростом целых функций и скоростью убывания коэффициентов их степенного разложения.

§1.2. О шкалах характеристики целых функций в пространстве #2,7) определяемых через наилучшее полиномиальное приближение

§1.3. О характеристиках целых функций в весовом пространстве

1 < д < оо.

§1.4. Об обобщенном порядке роста целых функций и их связь с полиномиальной аппроксимацией целых функций в весовом пространстве Бергмана.

Глава II. Классы целых функций конечной степени и их наилучшее приближение в весовом пространстве

Бергмана ВЪ1,1 < (? < оо.:.

§2.1. Определение классов Бернштейна Ва и Винера-Пэли ]Уа и наилучшее приближение в этих пространствах.

§2.2. Основные теоремы о наилучшем приближении целых функций

§2.3. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в Ьо{В).

§2.4. Точные значения средних поперечников некоторых классов функций.

Теория приближения целыми функциями является одним из наиболее активно развивающихся направлений в современной математике, имеющая важные приложения в различных ее областях.

Бурное развитие этой теории в действительной области благодаря работам С.Н.Бернштейна [5] Н.Винера и Н.Пэли [16], Н.И.Ахиезера [2], С.М.Никольского [33] в пятидесятых годах прошлого столетия, побудило интерес к ее проблемам в комплексной области. Позже, работами М.В.Келдыша [25], Дж.Кореваара [26], Р.П.Боаса [7], И.И.Ибрагимова [19;20], И.И.Ибрагимова и Н.П.Шихалиева [23;24], Ф.Г.Насибова [32], С.Б.Вакарчука [8-15], полностью сформулировалась теория наилучшего приближения целыми функциями как раздел теории функций в комплексной области.

В последнее время методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения функций целыми функциями, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что теория приближения на всей оси R = (—оо, +оо) целыми функциями по характеру и качеству результатов не уступает соответствующей теории полиномиального приближения на конечном промежутке [а, Ъ]. Первые результаты, связанные с полиномиальной аппроксимацией целых трансцендентных функций, были получены С.Н.Бернштейном в случае равномерного приближения алгебраическими многочленами действительной на отрезке [—1,1] функции f(x), которая являлась сужением на [—1,1] целой трансцендентной функции f(z) (см., например, [5], стр.176). Это в дальнейшем дало своеобразный толчок к исследованию связей между характеристиками роста максимума модуля целой трансцендентной функции и скоростью стремления к нулю последовательности ее наилучших полиномиальных приближений в С[—1,1] (см.,например, [36]). Распространение указанных исследований на случай произвольной замкнутой области в комплексной плоскости С было начато А.В.Батыревым [4] и продолжено в работах других математиков. М.Н.Шеремета [48;49] обобщил классические характеристики роста целых функций. С.Б.Вакарчук и С.И.Жир [13;14], используя введенные М.Н.Шереметом [48] обобщенные характеристики роста, получили ряд содержательных результатов в этом направлении.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию исследований, начатых в указанных работах. Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий — на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе. Положим

1. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2. В сб.: Применение функционального анализа в теории приближений, 1986, 143 с.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965.

3. Балашов С.К. О связи роста целой функции обобщенного порядка с коэффициентами ее степенного разложения и распределением корней // Изв.вузов.Математика, 1972, №8, с. 10-18.

4. Батырев A.B. К вопросу о наилучшем приближении аналитических функций полиномами // ДАН АН СССР, 1951, т.76, №2, с.173-175.

5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. — М., 1952, т. I II, с. 11-104.

6. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций. — М.: Наука, 1985.

7. Боас Р.П. (Boas R.P.) Inequalities for function of exponential type, Math. Scand., 1956, V.4, p. 29-32.

8. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении в единичном круге функций // Укр.матем.журн., 1990, т.42, №6, с.838-843.

9. Вакарчук С.Б. Точные значения средних N — поперчников классов аналитических в верхней полуплоскости функций в пространстве Харди // Укр.матем.журн., 1994, т.46, №7, с.814-824.

10. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в некоторых банаховых пространствах I // Укр.мат.журн., 1994, т.47, №9, с.1123-1133.

11. Вакарчук С.Б. О сильной асимптотике средних N — поперечников классов функций, аналитических на вещественной прямой // Изв.вузов, Математика, 1996, №1, с.1-4.

12. Vakarch.uk S.B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 -approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes // East Journal on Approximation, 2004, V.10, №1-2, p.27-39.

13. Вакарчук С.В., Жир С.И. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций // Мат.физика, анализ, геометрия, 2002, т.9, №4, с.595-603.

14. Вакарчук С.В., Жир С.И. Некоторые вопросы полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций // Укр.мат.журн., 2002, т.54, №9, с.1155-1162.

15. Вакарчук С.В., Жир С.И. О полиномиальной аппроксимации целых трансцендентных функций в комплексной плоскости. Зб1рник праць 1нститута математики НАН Украши, Кшв: 1н-т математики НАН Украши, 2005, 336 с.

16. Винер Н., Пэли Н. Преобразование Фурье в комплексной области. — М., 1964, 267 с.

17. Гварадзе М.И. Об одном классе пространств аналитических функций // Мат.заметки, 1977, т.21, №2, с. 141-150.

18. Giroux A. Approximation of entire functions over bounded domains //J. Approximation Theory, 1980, V.28, №1, p.45-53.

19. Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе целых функций экспоненциального типа // Успехи мат.наук, 1957, т.12, №3, с.323-328.

20. Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе целых функций конечной степени // Изв. АН СССР, 1959, т.23, №2, с.243-256.

21. Ибрагимов И.И.Теория приближения целыми функциями. — Баку, 1979.

22. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР, 1970, т. 194, №5, с.1013-1016.

23. Ибрагимов И.И., Шихалиев Н.П. О наилучшем полиномиальном приближении в одном пространстве аналитических функций // ДАН СССР, 1976, т.227, №2, с.280-283.

24. Ибрагимов И.И., Шихалиев Н.П. О наилучшем приближении в среднем аналитических функций в пространстве < 1) // Специальные вопросы теории функций, 1977, вып. 1, с. 84-96.

25. Келдыш М.В. О приближении голоморфных функций целыми функциями // ДАН СССР, 1945, т.47, с.243-245.

26. Korevaar J. An inequality for entire functions of exponen type // New archive voot Wiskunde, 1949, V.23, №2, p.55-62

27. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. — М., 1956, 632 с.

28. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальные восстановление соболевских классов функций на прямой / / Матем.сборник, 1991, т. 182, №11, с.1635-1656.

29. Магарил-Ильяев Г.Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // ДАН СССР, 1991, т.318, №1, с.35-38.

30. Мамадов Р. О наилучшем среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа в L2{R) // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с.70-75.

31. Мамадов Р. О полиномиальной аппроксимации целых функций в весовых пространствах Бергмана // ДАН РТ, 2009, т52. , №3, с.

32. Насибов Ф.Г. К теории приближения целыми функциями // Приближение функций линейными операторами и сходимость рядов Фурье. Баку: Азерб. ин-т нефти и химии, 1987, с.26-45.

33. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Тр. Матем.института им. В.А.Стеклова АН СССР, 1951, т.38, с.358-380.

34. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв.вузов, Математика, 1972, №, с.65-73.

35. Pinkus A. n-width in Approximation Theory Berlin: Springer - Verlag, 1985, 292 p.

36. Reddy A.R. Approximation of an Entire Functions //J. Approximation Theory, 1970, V.3, №2, p.128-137.

37. Reddy A.R. Best polynomial approximation to certain entire functions //J. Approximation Theory, 1972, V.5, №11, p.97-112.

38. Reddy A.R. A contribution too best Approximation in the Lo Norm // J. Approximation Theory, 1974, V.ll, №1, p.110-117.

39. Тихомиров B.M. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976, 304 с.

40. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в £2(0, 27т) // Мат.заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

41. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа в L2(R) // Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.76-81.

42. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. О наилучшем полиномиальном приближении целых функций в весовых пространствах Бергмана Дуг, 1 < q < 00 // ДАН РТ, 2007, т.50, №5, с.401-408.

43. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.В., Мамадов Р. Точные значение средних поперечников некоторых классов функций // ДАН РТ, 2009, т.52 , е.

44. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом.пространстве Бергмана // ДАН РТ, 2007, т.50, №1, с. 14-19.

45. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо // ДАН России, 2006, т.410, №4, с.461-464.

46. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов функций в весовых пространствах Бергмана Вчл // ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.

47. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре, Итоги науки и техники, Математический анализ, М., т.23, 1985. // Изв.вузов. Математика, 1967, №2, с. 100-108.

48. Шеремета М.Н. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов ее степенного разложения // Изв.вузов.Математика, 1967, №2, с. 100-108.

49. Шеремета М.Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и коэффициентами их степенных разложений // Изв.вузов.Математика, 1968, №6, с.115-121.