Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Алексеев, Дмитрий Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи УДК 517.51
Алексеев Дмитрий Владимирович
Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита.
Специальность 01.01.01 — математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2006
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,
доцент В. М. Федоров
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Б. И. Голубов
кандидат физико-математических наук Т. Ю. Куликова
Ведущая организация: Московский государственный институт
электронной техники (Технологический университет)
Защита диссертации состоится 17 февраля 2006г. в 16ч. 15м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан 17 января 2006г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор
Т. П. Лукашенко
200£>ft M 04
Общая характеристика работы Актуальность темы
Понятие наилучшего приближения ввёл П. Л. Чебышев1 в 1854 г. Он рассматривал задачу о нахождении полинома Р„(х) степени не выше п такого, что разность /(х) — Рп{х) наименее уклоняется от нуля на заданном отрезке [о,Ь]. Им же было впервые введено расстояние между функциями как максимум модуля разности Согласно его определению наилучшего приближения
П Л. Чебышев исследовал задачу о нахождении наилучшего приближения для данной функции /,
Позднее, наряду с классическими постановками, возникли задачи о выяснении соотношений между структурными свойствами функций и порядком их приближения алгебраическими полиномами. В этих работах, с одной стороны, находится скорость стремления к нулю наилучших приближений при тех или иных условиях на функцию. Такие результаты получили впоследствии название прямых теорем теории аппроксимации. С другой стороны, исследуются свойства функции по последовательности её наилучших приближений Такие результаты получили название обратных теорем.
Уже в первых работах этой серии, Ш Ж. Валле-Пуссеном2 и А Лебегом3 были получены результаты, показывающие связь дифференциальных свойств функций и скорости стремления к нулю последовательности их наилучших приближений
Впоследствии, Д. Джексон4 получил прямые теоремы о приближении непрерывных функций на конечном отрезке действительной оси, а именно: если функция /(х) непрерывна на отрезке [—1,1] и имеет ограниченную производную /(г)(х) порядка г, то найдутся такие алгебраические полиномы Рп-\{х) степени не выше п — 1, что при всех х € [—1,1] имеют место неравенства
'Чебышев П Л , Теория механизмов, известных пол названием параллелограммов., Собр соч , M , Л : Изд-во АН СССР, 1947, т. 2, с. 23-51
'Vallée Poussin Ch de la, Sur !a convergence des formules d'interpolation entre ordonées equidistances., Bull.Acad Belgique, 1908
3Lebesque H , Sur les intégrales singliéres , Ann de la Faculté des Sei de l'Université de Toulouse, 1909.
4Jackson D , Über die Genauuigkeit der Annäherung stetiger durch ganze rationable Functionen gegenbenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung, Preisschrift und Inaugural-Dissertation, Göttingen, 1911.
Jackson D , The theory of approximation , Amer. Math. Soc Colloquium Publication 11,
En(f)c = En(f)cla,b) = л inf \\f - PnWciaM-
ndlT n_ ^ tl
degPnCn
I fix) - Pn-i(*)| < Cr (l/n)rw(/(r),l/n),
1930.
"ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ
• НАЦИОНАЛЬНАЯ i БИБЛИОТЕКА i
где положительная постоянная Сг зависит только от г, а ш(/(г),5) является модулем непрерывности функции /<г)(я) на отрезке [—1,1], то есть
Почти одновременно с ним С Н Бернштейн5 доказал обратную теорему при помощи неравенства для модуля производной алгебраического полинома
В вышеуказанных работах рассматривалось и приближение 27г—периодических функций тригонометрическими полиномами на периоде. Для этого случая были получены аналогичные прямые и обратные теоремы. В дальнейшем, с помощью этих теорем Ш. Ж. Валле-Пуссеном6 при 0 < а < 1 и А. Зигмундом7 при а = 1 были получены необходимые и достаточные условия принадлежности классам Н1+а, т е. классам 2тг—периодических функций, обладающих г—ой непрерывной производной € С*[0,27г], такой, что при а < 1
где Сз,С4— некоторые положительные постоянные
В дальнейшем, более общие результаты получали Н И. Ахиезер8, С Б Стеч-кин9, Р Салем10, А Ф Тиман и М Ф Тиман11, П Л Ульянов12
5Берпштейн С H , О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, 1912, Собр.соч , Изд. АН СССР, 1952,т 2, с 11-104
6Vallée Poussin Ch. de la, Leçons sur l'approximation des (onction d'une variable réelle , Gautier-Villas, Paris, 1919.
7Zygmund A , Smooth fonctions , Duke Math. Journal, 1945, 12, №l,p 47-76
'Ахиезер H И , Лекции по теории аппроксимации , M , Л Гостехиздат, 1947
9Стечкин С Б , О порядке наилучших приближений непрерывных функций , Изв АН СССР, сер матем., 1951, т. 15, с. 219-242.
Стечкин С Б , О теореме Колмогорова-Селиверстова , Изв АН СССР, сер матем , 1953, т 17, с. 499-512
'°Salem R , Sur certaines fonctions continues et les propriétés de leur séries de Fourie , С r Acad. sci., 1935, v.201, p. 703-705.
"Тиман A Ф , Теория приближения функций действительного переменного , Москва, Физматгиз, 1960
Тиман МФ , Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах Ьр., Мат сб , 1958, т 46, с 125-132
Тиман А Ф , Тиман M Ф , Обобщенный модуль непрерывности и наилучшие приближения в среднем , ДАН СССР, 1950, т 71, с. 17-20.
|2Ульяиои П Л , Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках , Мат сб , 1970, т 81, с 104-131
|/(p>(* + ft)-/(r)(*)KC,|ft|e,
а при а = 1
|/<г>(* + h) + /(г)(* - h) - 2/<r>(s)| ^ Ct\h\,
M К Потапов13 получил структурную характеристику классов функций, имеющих степенной порядок наилучшего приближения с весами Якоби (1 - ®)а(1 + х)" на отрезке [—1,1] в метрике Lp, 1 < р < оо, при помощи операторов обобщенного сдвига. В. М. Федоров14 рассмотрел структурную характеристику этих классов с весами хае~х^, у ^ 1, на полуоси и с весами |zjae~'x' , 7 ^ 2, на всей оси в метрике Lp, 1 ^ р < оо с помощью обычного сдвига
Вышеприведенные результаты относились к приближению полиномами (алгебраическими и тригонометрическими) функций одной действительной переменной Приближение функций нескольких переменных было рассмотрено ещё в работах Д. Джексона15 и С. Н. Бернштейна . С. Н. Бернштейном были получены прямые теоремы для приближения 2л--периодических функций п переменных на n-мерном кубе [0,2я-]" А Ф Тиманом17 была доказана аналогичная теорема для интегральной метрики Lp[0,2п]" Т. Ю. Куликовой18 были получены прямые и обратные теоремы аналогичные приведенным в данной работе для случая приближения с весами Лагерра и Якоби в метрике пространства ¿2
В работе С M Никольского19 были введены классы #£(Rn), названные впоследствии классами Никольского С M Никольским была получена их конструктивная характеристика, т. е. условия на наилучшие приближения функции /, необходимые и достаточные для принадлежности функции вышеназванным классам Впоследствии, конструктивная характеризация классов Я£(К") была использована для доказательства теорем вложения функциональных пространств.
Вложение одного нормированного пространства в другое определяется следующим образом- Пусть Ei, Е2 — нормированные пространства с нормами ||-||i, ||-||2 соответственно Говорят, что пространство Ег вложено в пространство Е\ (обо-
13Потапов M К , О структурных и конструктивных характеристиках некоторых классов функций, Труды МИАН СССР, 1974, 131, с. 211-231
Потапов M К , О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения, Труды МИАН СССР, 1975, 134, с 260-277.
|4Федоров В M , Приближение функций алгебраическими многочленами с весом Чебышева-Эрмита, Изв. ВУЗов, мат., 1984, № 6, с. 55-63.
Федоров В M , Некоторые вопросы теории приближений, Канд диссертация, М., 1983, с 56-121.
l5Jackson D, The theory of approximation , Amer. Math. Soc Colloquium Publication 11, 1930.
16Бернштейн С H , О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, 1912, Собр.соч , Изд АН СССР, 1952, т 2, с 11-104
17Тиман А Ф, Теория приближеиия функций действительною переменного, Москва, Физматгиз, 1960
|8Куликова Т Ю., Приближение функций в метрике Li с весом Лагерра., Вестник Моек ун-та, сер 1, матем , 1998, № 2, с 65-66
Куликова Т Ю , Приближение функций в метрике Lj с весом Якоби , Изв ВУЗов, матем, 1999, № 4, с. 73-76.
''Никольский С M , Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных , Тр МИАН СССР, 1951, т 38, с. 244-278
значается Е^ ■—► Е\ ) если Ег С Е\ в теоретико-множественном смысле и существует постоянная с0 такая, что ЦхЦг < С0Ц1Ц1 выполнено для любого х € Е2.
Первые теоремы вложения для функциональных пространств ^(К") были получены С Л. Соболевым20 и дополнены В И. Кондрашовым21 и В П. Ильиным22 Позднее С М. Никольским23 были доказаны неравенства для целых функций конечной степени, которые были использованы С. М Никольским24 для доказательства теорем вложения классов Щ. О. В. Бесовым25 были введены классы Врв(Кп), являющиеся обобщением классов Никольского. Для них были доказаны теоремы вложения, аналогичные теоремам для классов Щ(Кп). В дальнейшем результаты С. Н. Никольского и О В. Бесова были обобщены в работах Л Д Кудрявцева26, С. В Успенского27, А. А. Вашарина28, П И. Лизоркина29 и
20Соболен СЛ., Об одной теореме функционального анализа , Матем сб , 4(46), 1938, 471-497.
Соболев С Л , Некоторые применения функционального анализа в математической физике , ЛГУ, 1950, 1-255; Новосибирск, 1962, 1-255.
21 Кондратов В И , О некоторых свойствах функций пространства Ьр., ДАН СССР, т.48, 1945, 563-566
22Ильин В П., О теореме вложения для предельного показателя , ДАН СССР, т96, 1954, 905-908
23Никольский С М , Некоторые неравенства для целых функций конечной степени мно-1 их переменных и их применение., ДАН СССР, 1951, т76, №6, 785-788
24Никольский С М , Неравенства для целых функций конечной степени и их применение и теории дифференцируемых функций многих переменных , Тр МИАН СССР, 1951, т38, с.244-278
Никольский С М , Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях , Матем сб. 33(75), №2, 1953, 261-326
Никольский С М , Теорема вложения для функций с частными производными, рассмат-ринаемыми в различных метриках, Изв АН СССР, сер матем , 22, 1958, с 321-336.
25Бесов О В , О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. - ДАН СССР, 1959, т 126, №2, с 1163-1165
Бесов О В , Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с 1еоремами вложения и продолжения Тр. МИАН СССР, 1961, т60, с 48-81
26Кудрявцев Л Д , О продолжении функций и вложении классов функций , ДАН СССР, 1956, т 107, №4, с 501-504
Кудрявцев Л Д , Прямые и обратные теоремы вложения Приложения к решению вариационным методом чллиптических уравнений , М , Л Изд-во АН СССР, 1959 (Тр МИАН СССР, т 55)
27Успенский С В., О теоремах вложения для весовых классов , Тр. МИАН СССР, 1961, т60, с.282-303.
Успенский С В , О граничных свойствах функций из «весовых» классов ЦГ'а р., ДАН СССР, 1961, т.138, №4, с 785-788
28Вашарин А А , Граничные свойства функций, имеющих конечный интеграл Дирихле с несом., ДАН СССР, 1957, т.117, №5, с 742-744
Вашарип А А , Граничные свойства функций класса У?!} а и их приложение к решению одной краевой задачи математической физики, Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т23, с 421-454
29Личоркип П И , Граничные свойства функций из весовых классов , ДАН СССР, 1960, г 132, №3, с 514-517
др
В 1960 К. И. Бабенко30 предложил новый метод приближения — гиперболическим углом. Допустим, заданы числа 71,... ,7т > О, N 6 Z и функция / = f(x 1,... ,жт) € 1/2([0,27г]т). Тогда наилучшим приближением / гиперболическим углом называется E^(f) = inf ||/ - Р||2> где нижняя грань берется по полиномам Р вида
Р- c*i.. кт exp[t(fcia;i + ... + fcm®m)].
Полученные оценки для приближения классов функций с доминирующей смешанной производной позволили получить асимптотически точные оценки поперечников соответствующих классов Т. Ю. Куликовой31 были получены оценки для случая приближения с весами JIareppa и Якоби в метрике пространства Li
В 1962 году Я. С. Бугров32 получил оценки уклонения частичных «угловых» сумм многомерного ряда Фурье. М. К Потапов33 ввел метод приближения «углом» функций многих переменных и доказал прямые и обратные теоремы этим методом для метрики Lp, 1 < р ^ оо.
Задача о поперечнике функционального класса впервые была поставлена А. Н Колмогоровым в 1936 году34 в следующем виде- пусть X — некоторое ограниченное множество в банаховом пространстве В, тогда поперечником этого множества называется величина
dn(X)= inf sup inf ||а;-у||в.
d»m(Z,„)^n sgx Vfebn
A. H. Колмогоров нашёл поперечники W£2 в периодическом и непериодическом случаях Впоследствии, идеи А. Н Колмогорова были продолжены в рабо-
30Бабенко К И О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами , ДАН СССР, 1960, т 132, с.982-985.
Бабенко К И О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами., ДАН СССР, 1960, т. 132, с. 247-250.
31Куликова Т Ю , О приближении функций гиперболическим углом в метрике ¿з„ Мат. заметки, 1999, т 65, вып. 3, с 471-474.
32Бугров Я С , Приближеиие тригонометрическими полиномами функций многих переменных , Труды научного объединения преподавателей физ-мат ф-тов пед ин-тон Дальнего Востока, 1962, т 1(Математика), с 28-49.
33Потапов М К , О приближении «углом» , Proceedings of the Conference on Constructive Theory of Functions Budapest, 1969, p. 371-399.
Погапов M К , Изучение некоторых классов функций при помощи приближения «углом»., Тр. МИАН СССР, 1972, т 117, с 256-300.
14Колмогоров А Н , Uber die Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktiondassen, Ann of Math 37 (1936), p 107-110
Колмогоров А H , О наилучших приближениях функций заданного функционального класса , 1936, Математика и механика. Избр тр , М , Наука, 1985, с 186-189.
тах У Рудина35 , С Б Стечкина36, Б. С. Кашина37, В М. Тихомирова38 и др В А. Авиловым39 были получены точные оценки поперечников весовых классов Никольского с весом Чебышева-Эрмита в метрике Li
Одним из методов, используемых для оценки поперечников функциональных классов, является метод приближения гиперболическим углом, о котором уже говорилось выше Основываясь на результатах С А. Теляковского40, с помощью этого метода В H Темляков41 получил оценки поперечников классов функций представимых в виде свертки, а также поперечников классов Никольского
Цели работы
• Доказать прямые и обратные теоремы для случая приближения функций одной и нескольких действительных переменных в метрике Lp, 1 ^ р ^ оо с весом Чебышева-Эрмита.
• Доказать теоремы вложения весовых функциональных пространств, подобных классам Никольского и Бесова.
• На основе этого получить асимптотические аценки для поперечников соответствующих функциональных классов.
3SRu(lin W, L2—approximation by partial sums of orthogonal developments., Duke Math. J . 1952, Vol 19, p. 1-4.
36Стечкин С Б , О наилучшем приближении заданных классов функций любыми полиномами , УМН, 1954, т. 9, № 1, с 133-134
37Кашин Б С , Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов функций., Или АН СССР, 1977, т. 41, с. 334-351.
Кашин Б С , О колмогоровских поперечниках октаэдров , ДАН СССР, 1974, т 214, с 1024-1026
38Тихомиров В M , Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений , Успехи мат наук, i960, т. 15, вып 3, с 81-120
39 Абилов В А , Абилов M В Приближение функций в пространстве ехр( — |х|2)),
Мат заметки, т 57 , вып 1, 1995, с. 3-20
Абилов В А , Абилов В.Ф , Некоторые вопросы сходимости кратных рядов Фурье-Эрмита, Жур. выч мат и мат. физ., 2001, т. 41, № И, с. 1637-1657.
Абилов В.А , Абилов М.В , Керимов M К , Некоторые вопросы сходимости двойных рядов Фурье-Эрмита, Жур. выч мат и мат. физ , 2001, т 44, № 2, с. 213-230
40Теляковский С А , Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами , Мат.сб., 1964, т 63, с 426-444
Теляковский С А , Две теоремы о приближении функций алюбраическими многочленами , Мат сб , 1966. 70, № 2, с. 252-265
4|Темлякоп В H , Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной , ДАН СССР, 1979, т 248, № 3, с. 527-531.
Темляков В H , Приближение функций с ограниченной смешанной разностью тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций , Изв АН СССР, сер матем., 1982, т 46, с. 171-186
Методы исследования
В работе используются методы конструктивной теории функций, а также связь задач о вложении функциональных классов с полиномиальными приближениями функций.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1 Получены прямые и обратные теоремы в случае приближения полиномами функций одной и нескольких действительных переменных в метрике Ьр, 1 ^ р ^ оо с весом Чебышева-Эрмита.
2 На основе доказанных в предыдущем пункте прямых и обратных теорем получены теоремы вложения разных метрик и разных измерений для весовых функциональных пространств. Для вышеуказанных теорем доказана компактность вложения соответствующих функциональных пространств.
3 Получены прямые и обратные теоремы в случае приближения «гиперболическим углом» функций нескольких действительных переменных с доминирующей смешанной производной, что позволило получить оценки Кол-могоровских поперечников соответствующих функциональных классов
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы специалистами в области конструктивной теории функций, функционального анализа и уравнений с частными производными.
Апробация диссертации
Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней школе по теории функций (Воронеж, 1997, Воронеж, 1999), кафедральном семинаре кафедры теории функций и функционального анализа под. рук член-корреспондента РАН П Л Ульянова (Москва 1998, Москва 2001) кафедральном семинаре кафедры математической терии интеллектуальных систем под рук академика АТН РФ В Б Кудрявцева (Москва, 2000), на семинаре по теории приближений в Математическом институте им. В.А Стеклова Российской академии наук под рук профессора С. А. Теляковского(Москва, 1999).
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата ([1]-[4]).
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения и 6 глав Текст диссертации изложен на 122 страницах Список литературы содержит 77 наименований.
Содержание работы Глава 1. Введение.
Во введении приводится исторический обзор исследований, связанных с приближением полиномами функций одной и нескольких переменных, с теоремами вложения функциональных пространств, с оценкой поперечников функциональных классов Формулируются основные результаты, полученные в диссертации
Глава 2. Приближение полиномами с весом Чебышева-Эрмита на действительной оси.
Во второй главе формулируются и доказываются прямые и обратные теоремы для случая приближения с весом Чебышева-Эрмита функций одной переменной
Основные обозначения.
Пусть р(х) = ехр(—ж2/2) — весовая функция Чебышева-Эрмита и ЬР,Р(Ж) есть множество функций /, измеримых по-Лебегу в К и таких, что конечна норма
оо \
I \Нх)р(х)\Чх\ , 1<р<оо;
-оо /
зяир |/(ж)/э(ж)|, р = оо.
еК
Пусть 7/, есть оператор обобщённого сдвига, заданный на функциях из следующим образом.
оо — оо
при /г ^ 0.
Замечание. В М Федоров42 рассматривал этот же оператор обобщённого сдвига с параметром ц> — ахссо5(е~н).
42Федоров В М , Приближение алгебраическими многочленами с весом Чебышева-Эрмита , Изв ВУЗов, матем., 1984, № 6, с. 55-63.
Обобщенные модули гладкости определяются следующим образом:
Ukp(f,6) = sup \\(Thl - 7) •... • (Thk - I)f\\ , • PP
4(f,8)= sup II (Th — /)'
thi<f, и
» "p.P
1 А^ /4
где I — тождественный оператор. Пусть £> = ~ дифференциальный
оператор, заданный на множестве Лр(£>) функций / € ЬР1Р(Щ, таких, что существует /*, равная / почти всюду и /* и локально абсолютно непрерывны (абсолютно непрерывны на каждом отрезке действительной прямой) и при этом
хМ— и ^ Л принадлежат классу Ьр<р. Классы порядка I > 2 определяются ин-ах
дуктивно, как Лр(1>') — множество функций, принадлежащих Лр(1)), таких, что
Df € Лрр'"1).
В дальнейшем будем говорить, что Л не превосходит В с константой и обозначать это А-< В, если существует константа с, зависящая, быть может, от р, I, такая, что А ^ сВ.
Прямые и обратные теоремы.
Пусть <р„ — множество алгебраических полиномов с действительными коэффициентами, степень которых не превосходит п — 1, а
Яп(/)р,р= „»£ Ц/-Р„||р,р
— наилучшее приближение функции / полиномами с весом Чебышева-Эрмита. ТЕОРЕМА 2.2.1 При 1 < р < оо,/ 6 ЬР,Р(К),гг,Г = 1,2,... выполнено неравенство
ВД)Р,, Г<4(/,1/п).
Теорема 2.2.2 является обратной к теореме 2.2.1. ТЕОРЕМА 2.2.2 При 1 ^ р оо,/ € ЬР>Р(Е.),М,1 = 1,2,... выполнено неравенство
п~ 1
Из теорем 2.2.1 и 2.2.2 вытекает одно важное Следствие. При 0 < а < I условия шр(/,<5) ^ 5а и Е„{/)р,р ■< ~ равносильны
Глава 3. Приближение функций нескольких переменных с весом Чебышева-Эрмита.
В третьей главе рассматривается аппроксимация многочленами функций нескольких действительных переменных. Доказаны прямые и обратные теоремы теории приближений.
Основные определения.
Пусть р(х) = ехр(-1— весовая функция, а ЬР,Р{ЯН) — множество измеримых по-Лебегу функций N переменных /(хх,...,хслг), таких, что конечна следующая норма-
11/11р.Р =
1/р
J \f(x)p(x)\pdx 1 , прир/оо;
R" /
esssup|/(x)p(x)|, при p = оо.
.еГ
Определим на функциях /, принадлежащих LPiP(Rn), оператор обобщённого сдвига по I-й переменной Т^ следующим образом:
оо
Thf{x 1, ...,a;jv) =--== У /(xi, ...,xj_i,u,xi+i, ..., ж;\г)е " dy,
— оо
где и = e~h(xi + ул/е2Ь -1).
Пусть A=5g|-y—^iglj — дифференциальный оператор. Этот оператор задан на ЛР(Д) — множестве функций / 6 LP,p(Rn), таких, что существует функция д, равная / почти всюду и такая, что при почти всех значениях переменных (®i,...,xj_i,®i+i, ...,xjv) € RN_1 существует J^-, абсолютно непрерывная по xi
на любом конечном отрезке и, кроме того, ff € i.p,p(RN). Пусть
ЛР(£>Г) = {/ е AP(D,),Df G Лр(ЯГг)} , г = 2,3...,
= {/е Ар (А?): D?J е ЛрС^1;-.;;-1)}
— смешанные дифференциальные классы.
Пусть П^1'Jj (f,6i, ■■■,6к)р,р — обобщённый модуль гладкости, заданный на функциях / € Z-p,p(MJV) следующим образом:
....«о™ = ^р ц(/-т^г •...(/К'*
tssl,.. ,,fe
Пусть — множество полиномов
"1-1 ПЦ-1
/,=0 1к= о
где коэффициенты аг. .¡к не зависят от ягм,..., жхь и принадлежат как функции от остальных N — к переменных. Обозначим
К\:Х = {А = где Р'п\ е фп',}-
1=1
Будем обозначать
К\'.:.П\(/)р,Р = ч Н/-Р|1Р,Р
"к
и называть наилучшим приближением «прямоугольником», а ::&(/),.,= ^ У-А\\р,Р
X
— наилучшим приближением «углом» по переменным х,,,..., х,к. Основные результаты.
В работе доказана следующая прямая теорема для приближения функций / € Ьр1Р(Ку) «прямоугольником»:
ТЕОРЕМА 3.1.2 Пусть 1 ^ и < г2 < ... < гк ^ ЛГ, п,, г3 6 N при у = 1,...
1 < р ^ оо. Тогда выполнено
1=1 ^
Доказана и соответствующая теорема для случая приближения «углом»-
ТЕОРЕМА 3.1.3 Пусть 1 ¿1 < ... < гк ^ N. п, € К, г = 1,..., к, 1 ^ р ^
Тогда выполнено.
Соответствующая им обратная теорема
ТЕОРЕМА 3.1.4 Пусть 1 < ix < i2 < ... < ik < N, n, € N, i = I,...,k, 1 ^ p ^ oo. Тогда выполнено:
* ч т
Глава 4. Неравенства для норм многочленов.
В четвертой главе доказываются некоторые вспомогательные неравенства, которые потребуются в следующей главе для доказательства теорем вложения
Неравенства разных метрик.
ТЕОРЕМА 4.1.2 Пусть 1 ^ р ^ р' < оо, Рп 6 m„m, тогда
Неравенства разных измерений. ТЕОРЕМА 4.2.1 Пусть 1 т < п и
Р,(х) = Рв1 V
Зафиксируем щ ... и„-т и определим
Qs — Qa\.. »m • ■ ' ^m) — Pn(xii • • • i ®m> • • ■ j ^n-m)-
Тогда
При вСвХ Uly . , . yXln—m
wqaW < ( П •••.«--«).
\.=m+1 /
Глава 5. Классы функций Н,В и теоремы вложения.
В данной главе вводятся весовые классы, аналогичные классам Никольского и Бесова Для введенных классов доказываются теоремы вложения разных метрик, разных измерений, а также компактность соответствующих вложений.
Основные определения.
Пусть г = (Г1,.. .,гт),г, = т, +а„г, 6 Ъ+ ,0 < а, < 1. Пусть
Л.Л1' а,<1;
\2, а, = 1.
Определим класс Яр,р(Мт) как множество функций / € Ьр,р(№.т), таких, что существует М > 0, для которого при всех 6 6 (0,1) выполнены неравенства
П?1 РГ1 /, б)р,р < лм"1,..., «¡¡г № /, ^ мга™. (1)
Введем в пространстве Я;>р(Ит) нормы 3\\/\\н = ШР,Р + 41/11/.. 3 = 1,2,3, где полунормы 3 Ц/Ць определены следующим образом:
1. 1||/||/, = т| выполяется неравенство (1)}
тп
2 211/1и = вир где через обозначается
(п1,...,пт)е№п>=1
т£ \\/ — Рп,\\р,р — наилучшее приближение функции / по г-й переменной.
3||/||/> = 8иРа*||<Эв||р,р, ГДе нижняя грань берется по всем сходя-{Р*} а
оо
щимся в Ьр,р(Ет) рядам £ Я" сумма которых равна / и таким, что
Доказывается эквивалентность введенных таким образом норм (Теорема 5.1 1) Классы В и эквивалентные нормы.
В этом разделе рассматриваются классы Врвр(Жт), являющиеся обобщением классов Яр|р(®т). Пусть заданы числа 1 ^ р,в ^ оо, г = (гх,... ,гт),
™ „ ^ , , [1, при 0 < а, < 1; . , г, = т3 +а}, т, <= 2+, 0 < а, < 1, к, = < ,] = !,...,т.
12, при а, = 1;
Будем считать, что / принадлежит классу Вр<в<р(Кт), если конечна хотя бы одна из норм >||/||в = + л Н/Ць, 3 = 1,2,3, 'где
т /1 , , \в\1/в
1 111/11» = Е(/«-1-'в,(п?,ФГ</,0) ) ;
2 2Н/Н> = (Е«"[Е^™ аЧгт(/),„) J , где К\\::Х(/)„., =
= т£ ||/ — Р„||р,р — наилучшее приближение / по переменным
ЯпбФп^-.-Х хг1,..., хг)г, а > 1;
(°° \ив
3- 3||/||ь = т£ ( о'||<2|||р,*> ] > гДе нижняя грань берется по всем ря-\1=о /
оо
дам X) Ясходящимся к / по метрике пространства ЬР,Р(Кт), таким,
что 01 е •
Замечание. При 9 — оо вышеупомянутые нормы в точности совпадают с соответствующими нормами классов Яр>р(Кт), т.е. можно считать классы Нр р(ит) частным случаем классов Вр^р(Кт).
Теорема вложения разных метрик.
Определение. Пусть Е\ и. Еъ — банаховы пространства наделенные нормами II ' 11^1 и II ' Нвг соответственно Пусть Е\ С Ег в теоретико-множественном смысле и существует константа Со такая, что для любого х € выполняется неравенство ||ж||в2 ^ соНхЦ^. Будем тогда говорить, что пространство Е\ вложено в пространство Еъ и обозначать это Е\ Ег-
Поскольку классы Нр>р являются частным случаем (при 6 = оо) классов Вр,е,р< то теоремы вложения будут сформулированы для последних
ТЕОРЕМА 5.3.1 Пусть 1^р<р1^оо, г = (п,....гт), ¿"¡г) 5 £ > г' = М-.-.^т), ^ = «г,. Тогда, если
т е
' .....> - .....'
«-> в;,,„(*"•).
/ € B;ifij,(Rm), то / 6 Bp ¡p(Rm) и ||/|| 1 ||/||вг- Rm
р,6 ' pi ,е,рч '
Определение. Будем говорить, что tp = ¡р(хi,...,xm) есть след функции / = f(xi,.. ■ ,х„) на Rm(l ^ т < п) и обозначать это <р = /fa™, если функцию / можно изменить на множестве меры нуль в Rm, так, что при некоторых 1<р^оои<5>0 выполнены следующие условия.
1 При всех («1,... ,wn-m) € Rn_m таких, что |и*| < S функция
f(-,u 1,... ,un-m) принадлежит Lp,p(Rm) как функция первых тп переменных;
2. f(x*,0) = ¥>(z*), для всех х* = (xi,...,xm) е Rm 3 ИЛх*,«)-^)!!^ 0(M<i)
|u|->0
ТЕОРЕМА 5.4.1 Пусть f е ВТр>в<р{R"), г = (п,...,г„), п,...,г„ > О, 1 ^ р, 9 ^ с», 1 ^ тп < п. Пусть <р = /|jr»» — след функции /. Тогда
<р € В^ДRm),
п
еде г' = (лт1,., .,хтт),л-= 1 - ^ Е г>0ы
ш+1 J
IMk,e„><Rm> - ^"^...„(R")-14
Другими словами теорема утверждает, что
Обратная теорема вложения разных измерений. ТЕОРЕМА 5.5.1 Пусть г = (гь...,г„), п,...,г„ > 0, 1 < р, в < оо,
п
х = 1 — ~ > 0, г' = (хг1,... ,жгт), 1 < т ^ п. Тогда для любой
]=т+1 '
у 6 Бр в ,, (Кт) существует / € (К"), такая, что !■ Ч> = /1кт
и является, таким образом обратной к теореме 5.3.1. Компактность вложения классов Н'р(Ш.т).
ТЕОРЕМА 5.6.1 Пусть 1 ^ р < оо и С - ограниченная по-
следовательность. Тогда существует / 6 #£1Р(Кт) и подпоследовательность {/,„ }°11, сходящаяся к / по норме Щ1Р(Шт) при всех г' = (г'ь..., г'т), таких.
Глава 6. Приближение функций гиперболическим углом.
В данной главе вводится класс функций с доминирующей смешанной производной и доказываются оценки сверху наилучшего приближения функций из этого класса гиперболическим углом.
Основные определения.
Определим класс функций с доминирующей смешанной производной следующим образом — это множество функций / из 1^(11^), таких, что
2 =< (К")'
Другими словами теорема утверждает, что
что гг < п,...,г'т <гт. Кроме того
Н/11 я- Ж™) 0»рШ1я- /И™)-
оо
— оо
и при этом
ИП^-М^ПМ''.
где I — наименьшее целое, большее тах(гх,...,га), г, > 0, г = 1,..., N.
Пусть 7 = (71,... ,7лг), где 1 = 71 = ... = 7„ < 7„+1 ^ ... ^ Через {М) будем обозначать множество ЛГ-мернкх векторов к с целыми неотри-
N
цательными координатами кг ...fc.iv, таких, что Ц к?' ^ М. Пусть функция /
1=1
принадлежит ЬР,Р(Ш.М). Наилучшим приближением функции / гиперболическим углом (М) будем называть величину
к кйАФ (М-)
Основные результаты.
ТЕОРЕМА 6.1.1 Пусть / € ЗЯ^Дй"),»-! = ... = »•„< г„+1 ^ ... < г*. Выберем 7 следующим образом: 71 = ... = 7„ = 1,7^+1 = "Т^1) • • • >7^ = 7Ъг<Эа
с константой, не зависящей от / и М.
ТЕОРЕМА 6.1.2 Пусть / 6 5Я^(,(Клг),п = ... = г„ < г,^ 1 ^ ... ^ Гц. Выберем 7 следующим образом: 71 = ... =71/ = 1,1 < 7^+1 < ...
• <7* < 7*. 7огда
^(/)р,р 1 М-^ОоеМ)""1 • с константой, не зависящей от / и М.
ТЕОРЕМА 6.1.3 Пусть / € ЯЯ^И^.п = ... = г„ < г„+1 < ... ^ г^. Выберем 7 следующим образом■ 71 = ... =71/ = 1,1 < 7^+1 < •••,1 <7лг < Тогда
^ м-Г1 (1о8М)(-1)/2 • И/Н^де«, с константой, не зависящей от } и М.
Глава 7. Оценка поперечников классов функций с доминирующей смешанной производной.
В седьмой главе доказываются оценки Колмогоровских поперечников на основе доказанных в предыдущей главе оценок на наилучшее приближение полиномами
Основные определения.
Определение.Пусть X — Банахово пространство и В с X — ограниченное множество. Обозначим через
<1т{В)х = т/ вирр(6, Л),
шш А—П1
поперечник по-Колмогороеу множества В в пространстве X. Основные результаты.
ТЕОРЕМА 7.1.1 Пусть 0 < п = ... - г„ < г„+1 < ... ^ гц. Тогда где С не зависит от т.
ТЕОРЕМА 7.1.2 Пусть 0 < п = ... = г„ < г„+1 ^ ... < гк- Тогда
где С не зависит от т.
Таким образом, полученные оценки поперечников функциональных классов являются при р — 2 точными по порядку
Благодарности.
Автор выражает свои искренние благодарности кандидату физико-математических наук, доценту Владимиру Михайловичу Федорову за руководство работой, а также доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Константиновичу Потапову за внимание к работе.
Публикации автора по теме диссертации.
[1] Алексеев Д.В , Приближение полиномами функций одной переменной в метрике Чебышева-Эрмита.// Вестник Моск. Ун-та, 1997, № 6, стр. 68-71.
[2] Алексеев Д.В., Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита.// Изв ВУЗов, матем., 2000, № 6, стр. 3-9.
[3] Алексеев Д.В , Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной.// Воронежская зимняя математическая школа' «Современные методы теории функций и смежные проблемы»., Тезисы докладов, стр. 14, г. Воронеж, 1999г.
[4] Алексеев Д.В , Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита и теоремы вложения,// Воронежская зимняя математическая школа" «Теория функций, функциональный анализ и приложения» , Тезисы докладов, стр. 55, г. Воронеж, 1997г.
гооса
»"1104
Д. В. Алексеев
Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 17с.
Оригинал макет изготовлен издательской группой механико-математического факультета МГУ
Подписано в печать 2006 г.
Формат 60x90 1/16. Объем 1,0 усл.печ.л. Заказ 4 Тираж 100 экз.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, г. Москва, Ленинские горы.
Лицензия на издательскую деятельность ИД № 04059 от 20.02.2001 г.
Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета
1 Введение
2 Приближение полиномами с весом Чебышева-Эрмита на действительной оси.
2.1 Основные определения и обозначения.
2.2 Эквивалентность К-функционала и обобщенного модуля гладкости.
2.3 Прямые и обратные теоремы.
3 Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита.
3.1 Определения. Основные результаты.
3.2 Доказательство теоремы 3.1.1.
3.3 Приближение "углом'и "прямоугольником".
3.4 Доказательство теоремы 3.1.2.
3.5 Обратная теорема.
4 Неравенства для норм многочленов.
4.1 Неравенства разных метрик.
4.2 Неравенства разных измерений.
Классы функций Н,В и теоремы вложения.
5.1 Классы функций Н и эквивалентные нормы.
5.2 Классы В и эквивалентные нормы.
5.3 Теорема вложения разных метрик.
5.4 След функции и теорема вложения разных измерений.
5.5 Обратная теорема вложения разных измерений.
5.6 Компактность вложения классов Щ^Ж171).
Приближение функций гиперболическим углом.
6.1 Основные определения и результаты.
6.2 Доказательства теорем 6.1.1-6.1.3.
Оценка поперечников классов функций с доминирующей смешанной производной.
7.1 Основные определения и результаты.
7.2 Доказательство теорем 7.1.1-7.1.2.
Глава
Понятие наилучшего приближения ввёл П. Л. Чебышев ([70]) в 1854 г. Он рассматривал задачу о нахождении полинома Рп(х) заданной степени п такого, что разность наименее уклоняется от нуля на заданном отрезке. Им же было впервые введено расстояние между функциями как максимум модуля разности.
Согласно его определения
Еп (/) С = En{f)c[a,b} = Hlin II/ - Рп I levari. Л. Чебышев исследовал задачу о нахождении наилучшего приближения для данной /.
Позднее, наряду с классическими постановками, возникли задачи о выяснении соотношений между структурными свойствами функций и порядком их приближения алгебраическими полиномами. В этих работах, с одной стороны, находится скорость стремления к нулю наилучших приближений при тех или иных условиях на функцию. Такие результаты получили впоследствии название прямых теорем теории аппроксимации.
С другой стороны, исследуются свойства функции по последовательности её наилучших приближений. Такие результаты получили название обратных теорем.
Уже в первых работах этой серии, Ш. Ж. Валле-Пуссеном [77] и А. Лебегом [73] были получены результаты, показывающие связь дифференциальных свойств функций и скорости стремления к нулю последовательности их наилучших приближений.
Впоследствии, Д. Джексон ([71], [72]) получил прямые теоремы о приближении непрерывных функций на конечном отрезке действительной оси, а именно: если функция f(x) непрерывна на отрезке [—1,1] и имеет ограниченную производную f^(x) порядка г, то найдутся такие алгебраические полиномы Рпх(ж) степени не выше п — 1, что при всех х € [-1,1] имеют место неравества где положительная постоянная Сг зависит только от г, a uj(f^,S) является модулем непрерывности функции f(x) на отрезке [—1,1], то есть
Почти одновременно с ним С. Н. Берштейн [12] доказал обратную теорему при помощи неравенства для модуля производной алгебраического полинома. Суть её состоит в следующем: пусть f(x) <Е С([— 1,1]) и пусть En(f) — наилучшее приближение /(ж) многочленами степени не выше ш f{r\5)= sup /(Г)М-/(Г)Ы • п — 1, то есть inf ( sup \f(x)-Pn(x)\). Пусть выполнены неравенства
En(f) < Mn'(r+a\ где r e Z, 0 < a < 1 и постоянная M не зависит от п. Тогда f(x) имеет непрерывную производную порядка г на интервале (—1,1) и для любого отрезка [а,Ъ) с (—1,1) существует С2 = C2(a,b) > 0, такая, что
М (f{r\S)^C2MSa, где w[a,b](/^\<5>) есть модуль непрерывности функции / на отрезке [а, Ь].
В вышеуказанных работах рассматривалось и приближение 27г—периодических функций тригонометрическими полиномами на периоде. Для этого случая были получены аналогичные прямые и обратные теоремы. Позднее,с помощью этих теорем Ш. Ж. Валле-Пуссеном ([78]) при О < a < 1 и А. Зигмундом([80]) при a = 1 были получены необходимые и достаточные условия принадлежности классам Щ+а, то есть классам 2тт—периодических функций, обладающих г—ой непрерывной производной /М е С[0, 27г]*, такой, что при а < 1 а при а = 1 /г) + - К) - 2^\х)\ ^ СМ, где С3, С4— некоторые положительные постоянные.
В дальнейшем, более общие результаты получали Н. И. Ахиезер [8], С. Б. Стечкин ([47],[48]), Р. Салем ([76]), А. Ф. Тиман и М. Ф. Тиман ([58], [59], [60]), А. А. Конюшков ([27]) , П. Л. Ульянов([62]).
М. К. Потапов ([40] —[41]) получил структурную характеристику классов функций, имеющих степенной порядок наилучшего приближения с весами Якоби (1 — х)а(1 + х)Р на отрезке [—1,1] в метрике Lp, 1 < р < оо, при помощи операторов обобщенного сдвига. В. М. Федоров ([65] —[66]) рассмотрел структурную характеристику этих классов с весами хае~х1, 7 ^ 1, на полуоси и с весами |ж|ае-1а!17, 7 ^ 2, на всей оси в метрике Lp, 1 ^ р < оо с помощью обычного сдвига.
Остановимся на одном частном случае — приближении полиномами на всей действительной оси с весом Чебышева-Эрмита, то есть, в метрике пространства LP)P, заданного следующим образом: пусть р(х) = ехр (—х2/2) — вес Чебышева-Эрмита и LP,P есть множество функций /, измеримых по Лебегу в Е и таких, что конечна норма ции / по норме || • \\PiP алгебраическими полиномами степени не выше п - 1. Пусть Th — оператор обобщённого сдвига, заданный на функциях из LP;P по формуле: оо
Thf(x) = -~ J f(e-h(x + yVe2h-l))p2(y)dy при h ^ 0. Пусть = sup \\(Th-I)kf\ обобщенные модули гладкости (I — тождественный оператор).
Во второй главе доказывается прямая теорема для случая приближения функций одной переменной с весом Чебышева-Эрмита (теорема 2.3.1):
Теорема 2.3.1 (см. гл. 2)
При 1 ^ р ^ сю, / € LP:P, n, I = 1,2,. выполнено неравенство
Заметим, что результаты теорем 2.3.1 и 2.3.2 были, в случае I = 1 получены В. М. Фёдоровым ([65]).
Вышеприведённые результаты относились к приближению функций одного действительного переменного. Приближение функций нескольких переменных было рассмотрено ещё в работах Д. Джексона [72] и С. Н. Бернштейна [12]. В них рассматривалось приближение 2тг-периодических функций п переменных на п—мерном кубе [0,27г]п по а также обратная к ней (теорема 2.3.2): Теорема 2.3.2 (см. гл. 2)
При 1 ^ р ^ сю, / е LPjP, iV, £ = 1,2,. выполнено неравенство
71=1 средством полиномов вида fl-1 ^п-1
Pvx.vn^ Щ Н-----ЬЖгА), i=-i/i+l й„=~1/„+1 то есть приближение "прямоугольником". С. Н. Бернштейном были получены прямые теоремы следующего вида: Пусть / <Е С#[0,27г]п — непрерывная 27г—периодическая функция и
SUP |/(яъ ••• + . ,хп) - f(xi,. . ,жп)| модуль непрерывности функции по к-й переменной. Тогда для наилучшего приближения / "прямоугольником"
-Vn(f) = SUP \f(xU ■ ■ • , ®n)
Ж1,.,Жпб[0,27г] г/i-l г/„-1
- J] • • ■ X +----Ь Xnkn) |
Ai=—fi+1 kn=—un+l выполнены неравенства: l—l где С — некоторая константа, зависящая только от размерности п. А. Ф. Тиманом ([58]) была доказана аналогичная теорема для интегральной метрики Lp[0,27г]*. Т. Ю. Куликовой ([28],[29]) были получены прямые и обратные теоремы аналогичные приведенным в данной работе для случая приближения с весами JIareppa и Якоби в метрике пространства
Ь2
В 1962 году Я. С. Бугров в [16] получил оценки уклонения частичных «угловых» сумм многомерного ряда Фурье. М. К. Потапов ([42]-[43]) ввел метод приближения «углом» функций многих переменных и доказал прямые и обратные теоремы этим методом для метрики Lp, 1 < р ^ оо. Суть этого метода состоит в следующем: функция / приближается функциями вида
В работе С. М. Никольского [34] были введены классы Щ, названные впоследствии классами Никольского. Классы Щ, определяются следующим образом: Пусть 1 < р < оо, г = (п,., rm), rk = pk + oik,Pk £ ^ и a.k G (0,1], А; = 1,. ,m. Тогда Щ состоит из функций /, имеющих в Lp[0,27r]m обобщенные частные производные порядка рк по переменной Xk и удовлетворяющие соотношениям где М — некоторая постоянная, не зависящая от h. С. М. Никольским была получена конструктивная характеристика классов Hp, то есть условия на наилучшие приближения функции /, необходимые и достаточные для принадлежности функции вышеназванным классам. Он доказал ([34]), что f е Щ тогда и только тогда, когда существует постоянные не зависящие от / и щ,., пт, такие, что
Заметим, что ранее этот результат был получен С. Н. Бернштейном [13] в случае пространства непрерывных функций. Впоследствии, конструктивная характеризация классов Щ была использована для доказательства теорем вложения функциональных пространств. п rrij-1 ^ ^ ^ ckj{% 1) • ■ • 1 1) 1) • • • 1 5 J j=l kj=0
В третьей главе данной работы рассматривается приближение функций нескольких переменных с весом Чебышева-Эрмита.
Введем необходимые определения: Будем называть наилучшим приближением "прямоугольником" величину
П1-1 71 к 1 к±ь(Пр,Р = ы ия^■ • • • ciu где нижняя грань берется по всем функциям ^.^(zi,., xn), принадлежащим Lp,p(M.N) и не зависящим от переменных х^,. :х{к. Наилучшим приближением "углом" будем называть величину к rij-l
Ynl::ikk(f)p,p = inf \\f(xi, сЧх%\\Р,Р>
C»j>3~L>->k j=Q Uj=0 где нижняя грань берется по всем функциям cv.(xi,., xn), j = 1,., к, принадлежащим LPiP(Rn) и не зависящим от Ху. Обобщенным смешанным модулем гладкости назовем величину: fit" А (Л • • • ■ = sup II' -if. (JZ - if /||№ hx\<Sx,.,\hk\<6k где Tlh — оператор обобщенного сдвига по переменной х^ а I — тождественный оператор.
Получены прямые теоремы для случая приближения "прямоугольником":
Теорема 3.1.2 (см. гл. 3)
Пусть 1 < < %ч < . < ik ^ N,rij,rj е N, яри j = 1,2,., fc; 1 ^ p ^ oo. Тогда выполнено:
II.м и углом :
Теорема 3.1.3 (см. гл. 3)
Пусть 1 ^ ii < . < ik ^ N, щ G — 1, 2,., к, 1 ^ р ^ оо. Тогда выполнено: 1 1 Ynl'.'.'.nk(f)p,p - • • • >
Получена теорема, являющаяся обратной, замыкающей две вышеприведенные теоремы: Теорема 3.1.4 (см. гл. 3)
Пусть 1 ^ ii < %2 < . < i/. ^ N, щ,., щ £ N, 1 ^ р < оо. Тогда выполнено:
11 1 щ пк
Р Ti\ пк ni.nkf-^ ^ 1 °
1=1 Sh=l
В четвертой главе данной данной работы доказываются вспомогательные неравенства для норм многочленов в разных метриках. Основными результатами третьей главы являются следующие теоремы: ТЕОРЕМА 4.1.4 (см. гл. 4)
Пусть 1 < р < р' ^ оо, Рп е , тогда т 4 2р 2р' ^ ^ Л=1
Рп\\Р>Р ^ ШпА р Р \\Рп
ТЕОРЕМА 4.2.1 (см. гл. 4)
Пусть 1 ^ т < п, Р8{х) = PSlSn(xi.xn) G Зафиксируем щ . ип-т и определим
Эти неравенства используются в пятой главе при рассмотрении вопросов, связанных с теоремами вложения.
Вложение одного нормированного пространства в другое определяется следующим образом: Пусть Е\,Е2 — нормированные пространства с нормами || • ||i, || • Ц2 соответственно. Говоря, что пространство Е2 вложено в пространство Е\ (обозначается Е2 ^ Е\ ) если Е2 С Е\ в теоретико-множественном смысле и существует постоянная со такая, что ||ж||2 < со||ж||1 выполнено для любого х € Е2.
Первые теоремы вложения для функциональных пространств были получены С. JI. Соболевым [45],[46] и дополнены В. И. Кондра-шовым [26] и В. П. Ильиным [21]. В окончательном виде эти теоремы вложения выглядят следующим образом:
Тогда при всех п—т
Если функция / б WHRn) и
1 < р < р' < со,
ТО
Wlp(Rn) М- W[f{Rn), где [р] — целая часть р. Это значит, что выполняется неравенство
1М1и>])(е») ^ cII/IIw<(E»)5 где с не зависит от / (теорема вложения разных метрик). Если функция / е Wp(Rn) и
71 ТП
О ^ р = 1---1-—, 1 < р < р' < оо,
Р Р то
Wp(Rn) ^ W"]f](Mm), где [р] — целая часть р. Это значит, что существует след функции / Rm= <£>, принадлежащий к классу W^(Mm) и выполняется неравенство c\\f\\wi,(Rn)> где с не зависит от / (теорема вложения разных измерений).
Позднее С. М. Никольским ([33],[34]) были доказаны неравенства для целых функций конечной степени. Было показано, что для любой целой, экспоненциального типа v = (щ,., ъ>п) функции gv е Lp(Rn) выполнены неравенства
А 1-1
1Ык(к») < 2П Д v] 4\\gv\\Lp(Rn), 1 ^р < q < оо;
3=1 п—т
Ы\ьрф*) < 2n~m Д р]Ы\ьРт, 1 < т < п.
Эти неравенства были использованы С.М.Никольским ( [34] ,[37] и [38]) для доказательства теорем вложения классов Щ. Приведем окончательный результат для изотропных классов H^W1) (для анизотропных классов Щ{Еп) теоремы вложения имеют аналогичный вид).
Теорема (С. М. Никольский [39]) Пусть 1 < р < р' < оо, 7i, г е N 0 < р = г — ттД — -т). Тогда
О. В. Бесовым в работах [14],[15] были введены классы 1^(МП), являющиеся обобщением классов Никольского. Для них был доказаны теоремы вложения, аналогичные теоремам для классов Н. В дальнейшем результаты С. М. Никольского и О. В. Бесова были обобщены в работах Л. Д. Кудрявцева ([30],[31]), С. В. Успенского ([63],[64]), А. А. Ваша-рина ([19],[20]), П. И. Лизоркина([32]) и др.
В четвертой главе данной работы для обобщенных весовых классов Никольского и Бесова доказываются теоремы вложения разных метрик: Теорема 5.3.1 ( см. гл. 5 ) Пусть 1<р<р1<оо, г = (ri,., гт),
HrJRn) т
- — — ] У) — > 0, г' = (ri
Р Pl J Tj ' к 1
4 7 3=1
••>rm)> r'j — нгг Тогда, если
Другими словами теорема утверждает, что g В* в и разных измерений:
Теорема 5.4.1 ( см. гл. 5 )
Пусть f б ВТрАр{Жп), г = (п,. ,r„), п > 0, р, в ^ оо, 1 < т < п. Пусть <р = /|Еш — след функции /. Тогда
Ч> G ^.„СП, п где г' = (нгъ ., xrm), Е "
Р т+1
Другими словами теорема утверждает, что (R") м- .BJ^ (Мт).
В I960 К. И. Бабенко([9]-[10]) предложил новый метод приближения — гиперболическим углом. Пусть заданы числа 71,.,7т > О,N € Ъ и функция / = /(ж 1, .,жт) Е 1/р([0, 27г]т) (К. И. Бабенко рассматривал случай р — 2). Тогда наилучшим приближением / гиперболическим углом называется Ejj(f) = inf ||/ — Р||р, где нижняя грань берется по полиномам Р вида
Р = ch.km exp[i{kiXi + . + kmxm)).
Для приближения гиперболическим углом классов функций с доминирующей смешанной производной им были получены следующие оценки:
Теорема (К. И. Бабенко, [9]) Пусть f € 5Я£, п. = . = r„ < rv+1 ^ . ^ щ. Выберем 7 следующим образом: 71 = . = 7^ = 17^+1 = . •, = Тогда
EUf)2 d H/IUjBj^M-^OogM)^-1)/2 с константой, не зависящей от f и М.
Позднее С. А. Теляковским ([51]) был предложен метод выбора 7, позволяющий получить более точные оценки, кроме того, им были получены результаты для произвольного 1 ^ р ^ оо. ТЕОРЕМА (С. А. Теляковский, [51] )
Пусть f е SHp,ri = . = г у < 7v+i < . ^ Г]у- Выберем 7 следующим образом: 7l = . = lv = 1,1 < ъ+1 < ., 1 < jN < Тогда
EUfkp =< ll/IUjaj^M-^pogM)^1)/2 ■ с константой, не зависящей от f и М.
Полученные оценки для приближения классов функций с доминирующей смешанной производной позволили получить асимптотически точные оценки поперечников соответствующих классов.
Задача о поперечнике функционального класса впервые была поставлена А. Н. Колмогоровым в 1936 году ( [24],[25]) в следующем виде: пусть X — некоторое ограниченное множество в банаховом пространстве В, тогда поперечником этого множества называется величина dn(X) = inf sup inf \\x — у\\вdirn(Ln)^n хеХУ^п
A. H. Колмогоров нашёл поперечники W£2 в периодическом и непериодическом случаях. Впоследствии, идеи А. Н. Колмогорова были продолжены в работах У. Рудина ([75]), С. Б. Стечкина ([49]), Б. С. Кашина ([22],[23]), В. М. Тихомирова ([61]) и др. В. А. Абиловым в [1] — [3] были получены точные оценки поперечников весовых классов Никольского с весом Чебышева-Эрмита в метрике Ь2.
Одним из методов, используемых для оценки поперечников функциональных классов, является метод приближения гиперболическим углом, о котором уже говорилось выше. С. А. Теляковский ([51] — [52]), В. Н. Темляков ([53]- [56]) и др. получили оценки поперечников классов функций представимых в виде свертки и классов с доминирующей смешанной производной. В седьмой главе данной работы приведены аналогичные теоремы для случая обобщенных классов. Определим класс функций с доминирующей смешанной производной следующим образом:
SH* (THN) — это множество функций / из LPtP, таких, что
00
J f(x)p2(xj)dxj = О, где j = l + N, оо и при этом
3=1 3 =1 где I — наименьшее целое, большее max(ri,., r^), ri,., гдг > 0. Теорема 7.1.1(см. гл. 7)
Пусть 0 < 7*1 = . = rv < rp+1 < . ^ rjv- Тогда где С не зависит от т. Теорема 7.1.2(см. гл. 7)
Пусть 0 < 7*1 = . = rv < rv+i ^ . ^ гдг. Тогда
Cm-^ilogmf-1^-^ < dm(SHlP(M.N))L2,p, где С не зависит от т.
Таким образом, для случая р = 2 полученные оценки являются точными.
Автор выражает свои искренние благодарности кандидату физико-математических наук, доценту Владимиру Михайловичу Федорову за руководство работой, а также доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Константиновичу Потапову за внимание к работе.
Глава 2
Приближение полиномами с весом Чебышева-Эрмита на действительной оси.
1. Абилов В. А., Абилов М. В., Приближение функций в пространстве L2(RN]exp{-\x\2)), Мат. заметки, т. 57 , вып. 1, 1995, с. 3-20.
2. Абилов В. А., Абилов В. Ф., Некоторые вопросы сходимости кратных рядов Фурье-Эрмита, Журнал вычислительной математики и математической физики, 2001, т. 41, № 11, с. 1637-1657
3. Абилов В. А., Абилов М. В., Керимов М. К., Некоторые вопросы разложения функций в двойные ряды Фурье-Эрмита., Журнал вычислительной математики и математической физики, 2004, т. 44, № 9, с. 1596-1607.
4. Алексеев Д.В., Приближение полиномами функций одной переменной в метрике Чебышева-Эрмита., Вестник Моск. Ун-та, 1997, № 6, сс. 68-71.
5. Алексеев Д.В., Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита., Изв. ВУЗов, матем., 2000, № 6, сс. 3-9.
6. Алексеев Д.В., Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной, Воронежская зимняя математическая школа: "Современные методы теории функций и смежные проблемы"., Тезисы докладов, с. 14, Воронеж, 1999 г.
7. Алексеев Д.В., Приближение функций нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмита и теоремы вложения. Воронежская зимняя математическая школа: "Теория функций, функциональный анализ и приложения"., Тезисы докладов, с.55, Воронеж, 1997 г.
8. Ахиезер Н.И., Лекции по теории аппроксимации., М., Л.:Гостехиздат, 1947.
9. Бабенко К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами., ДАН СССР, 1960, т. 132, сс. 982-985.
10. Бабенко К.И. О приближении периодических функций многих переменных тригонометрическими многочленами., ДАН СССР, 1960, т. 132, сс. 247-250.
11. Бейтмен А.,Эрдейи Г., Целые трансцендентные функции, т. 2, с. 156, М. "Наука", 1974.
12. Бернштейн С.Н., О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, 1912, Собр.соч., Изд. АН СССР, 1952, т. 2, сс. 11-104.
13. Бернштейн С.Н., О свойствах однородных функциональных классов, Собр.соч., Изд. АН СССР, 1952, т. 2, сс. 421-432.
14. Бесов О.В., О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. — ДАН СССР, 1959, т. 126, № 2, сс. 1163-1165.
15. Бесов О.В., Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Тр. МИАН СССР, 1961, т. 60, сс. 48-81.
16. Бугров Я.С., Приближение тригонометрическими полиномами функций многих переменных., Труды научного объединения преподавателей физ.-мат. ф-тов пед. ин-тов Дальнего Востока, 1962, т. 1 (Математика), сс. 28-49.
17. Бугров Я.С., Приближение классов функций с доминирующей смешанной производной., Мат. сборник, 1964, т.64, №3, с.410-418.
18. Бугров Я.С., Конструктивная характеристика классов функций с доминирующей смешанной производной., Тр. МИАН СССР, 1974, т. 131, сс. 25-32.
19. Вашарин А.А., Граничные свойства функций, имеющих конечный интеграл Дирихле с весом., ДАН СССР, 1957, т. 117, № 5, сс. 742744.
20. Вашарин А.А., Граничные свойства функций класса WJ и их приложение к решению одной краевой задачи математической физики., Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т. 23, сс. 421-454.
21. Ильин В.П., О теореме вложения для предельного показателя., ДАН СССР, т. 96, 1954, сс. 905-908.
22. Кашин Б.С., Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов функций., Изв. АН СССР, 1977, т. 41, сс. 334-351.
23. Кашин Б.С., О колмогоровских поперечниках октаэдров., ДАН СССР, 1974, т. 214, сс. 1024-1026.
24. Колмогоров А.Н., Uber die Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionclassen, Ann. of Math. 37 (1936), pp. 107-110.
25. Колмогоров A.H., О наилучших приближениях функций заданного функционального класса., 1936, Математика и механика: Избр. тр., М., Наука, 1985, сс. 186-189.
26. Кондрашов В.И., О некоторых свойствах функций пространства Ьр., ДАН СССР, т. 48, 1945, сс. 563-566.
27. Конюшков А.А., Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье., Мат. сб., 1958, т. 44, сс. 5384.
28. Куликова Т. Ю., Приближение функций в метрике Ь2 с весом Ла-герра., Вестник Моск. ун-та, сер. 1, матем., 1998, № 2, с. 65-66
29. Куликова Т. Ю., Приближение функций в метрике Ь2 с весом Яко-би., Изв. ВУЗов, матем, 1999, № 4, с. 73-76.
30. Кудрявцев Л.Д., О продолжении функций и вложении классов функций., ДАН СССР, 1956, т. 107, № 4, сс. 501-504.
31. Кудрявцев Л.Д., Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений., М., Л.: Изд-во АН СССР, 1959 (Тр. МИАН СССР, т. 55).
32. Лизоркин П.И., Граничные свойства функций из весовых классов., ДАН СССР, I960, т. 132, № 3, сс. 514-517.
33. Никольский С.М., Некоторые неравенства для целых функций конечной степени многих переменных и их применение., ДАН СССР, 1951, т. 76, № 6, сс. 785-788.
34. Никольский С.М., Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных., Тр. МИАН СССР, 1951, т. 38, сс. 244-278.
35. Никольский С.М., Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гёльдера., Сиб. Мат. Журн.,1963, т. 4, № 6, сс. 1342-1364.
36. Никольский С.М., Теорема о представлении одного класса дифференцируемых функций многих переменных посредством целых функций экспоненциального типа., ДАН СССР, 1963, т. 150, сс. 484-487.
37. Никольский С.М., Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях., Матем. сб. 33(75), № 2, 1953, сс. 261-326.
38. Никольский С.М., Теорема вложения для функций с частными производными, рассматриваемыми в различных метриках, Изв. АН СССР, сер. матем., 22, 1958, сс. 321-336.
39. Никольский С.М., Приближение функций нескольких переменных и теоремы вложения., М., "Наука", 1969.
40. Потапов М.К., О структурных и конструктивных характеристиках некоторых классов функций, Тр. МИАН СССР, 1974, 131, с. 211-231.
41. Потапов М.К., О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения, Тр. МИАН СССР, 1975, 134, с. 260-277.
42. Потапов М.К., О приближении "углом"., Proceedings of the Conference on Constructive Theory of Functions. Budapest, 1969, pp. 371-399.
43. Потапов M.K., Изучение некоторых классов функций при помощи приближения "углом"., Тр. МИАН СССР, 1972, т. 117, сс. 256-300.
44. Потапов М.К., Вложение классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости., Тр. МИАН СССР, 1974, т. 131, сс. 550553.
45. Соболев C.JI., Об одной теореме функционального анализа., Матем. сб., 4(46), 1938, сс. 471-497.
46. Соболев C.JL, Некоторые применения функционального анализа в математической физике., ЛГУ, 1950,сс. 1-255; Новосибирск, 1962, сс. 1-255.
47. Стечкин С.Б., О порядке наилучших приближений непрерывных функций., Изв. АН СССР, сер. матем., 1951, т. 15, сс. 219-242.
48. Стечкин С.Б., О теореме Колмогорова-Селиверстова., Изв. АН СССР, сер. матем., 1953, т. 17, сс. 499-512.
49. Стечкин С.Б., О наилучшем приближении заданных классов функций любыми полиномами., УМН, 1954, т. 9, № 1, сс. 133-134.
50. Стечкин С.Б.,Субботин Ю.Н., Сплайны в вычислительной математике., М„ "Наука", 1976, сс. 15-16.
51. Теляковский С.А., Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами., Мат.сб., 1964, т. 63, сс. 426444.
52. Теляковский С.А., Две теоремы о приближении функций алгебраическими многочленами., Мат.сб., 1966, 70, № 2, сс. 252-265.
53. Темляков В.Н., Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной., ДАН СССР, 1979, т. 248, № 3, сс. 527-531.
54. Темляков В.Н., О приближении функций нескольких переменных с ограниченной смешанной разностью., ДАН СССР, 1980, т. 253, № 3, сс. 544-548.
55. Темляков В.Н., Приближение функций с ограниченной сиешанной производной., Тр. МИАН СССР, 1986, т. 178.
56. Темляков В.Н., Приближение функций с ограниченной смешанной разностью тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций., Изв. АН СССР, сер. матем., 1982, т. 46, сс. 171-186.
57. Темляков В.Н., Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций., Изв. АН СССР, 1985, т. 49, сс. 986-1030.
58. Тиман А.Ф., Теория приближения функций действительного переменного., Москва, Физматгиз, 1960.
59. Тиман М.Ф., Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах Lp., Мат. сб., 1958, т. 46, сс. 125-132.
60. Тиман А.Ф., Тиман М.Ф., Обобщённый модуль непрерывности и наилучшие приближения в среднем., ДАН СССР, 1950, т. 71, сс. 1720.
61. Тихомиров В.М., Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений., Успехи мат. наук, 1960, т. 15, вып. 3, сс. 81-120
62. Ульянов П.Л., Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках., Мат. сб., 1970, т. 81, сс. 104-131.
63. Успенский С.В., О теоремах вложения для весовых классов., Тр. МИАН СССР, 1961, т. 60, сс. 282-303.
64. Успенский С.В., О граничных свойствах функций из "весо-вых'классов W' ДАН СССР, 1961, т. 138, № 4, сс. 785-788.
65. Федоров В.М., Приближение алгебраическими многочленами с весом Чебышева-Эрмита., Изв. ВУЗов, матем., 1984, № 6, сс. 55-63.
66. Федоров В.М., Некоторые вопросы теории приближений, Канд. диссертация, М., 1983, с. 56-121.
67. Фройд Г., Об аппроксимации с весом алгебраическими многочленами на действительной прямой., ДАН СССР , 1970 , т. 191 , № 2 , сс. 293-294.
68. Фройд Г., Об одном неравенстве марковского типа., ДАН СССР, 1971, т. 197, № 4, сс. 790-793.
69. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г., Неравенства., М., ИЛ, 1948 г.
70. Чебышев П.Л., Теория механизмов, известных под названием параллелограммов., Собр. соч., М., Л.: Изд-во АН СССР, 1947, т. 2, сс. 23-51.
71. Jackson D., Uber die Genauuigkeit der Annaherung stetiger durch ganze rationable Functionen gegenbenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung., Preisschrift und Inaugural-Dissertation, Gottingen, 1911.
72. Jackson D., The theory of approximation., Amer. Math. Soc. Colloquium Publication 11, 1930.
73. Lebesque H., Sur les integrates singlieres., Ann. de la Faculte des Sci. de l'Universite de Toulouse, 1909.
74. Peetre J., A theory of interpolation in normed spaces, Notes Universidade de Brasilia, 1963.
75. Rudin W., L2—approximation by partial sums of orthogonal developments., Duke Math. J., 1952, Vol. 19, pp. 1-4.
76. Salem R., Sur certaines fonctions continues et les proprietes de leur series de Fourie., C.r. Acad, sci., 1935, vol. 201, pp. 703-705.
77. Vallee Poussin Ch. de la, Sur la convergence des formules d'interpolation entre ordonees equidistances., Bull.Acad.Belgique, 1908.
78. Vallee Poussin Ch. de la, Lecons sur l'approximation des fonction d'une variable reelle., Gautier-Villas, Paris, 1919.
79. Weierstrass K., Uber die analytsche Darstellbarkeit sogenannter willkurlicher Functionen einer reelen Veranderlichen, Matematische Werke, vol. 3, Mayer & Muller, Berlin, 1903, pp. 1-37
80. Zygmund A., Smooth functions., Duke Math. J., 12(1945), № 1, pp. 47-76.
