Оптимизация асимптотических разложений в центральной предельной теореме тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.21

и

Соболев Виталий Николаевич

ОПТИМИЗАЦИЯ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ

Специальность 01.01.05 - 48 5 6 0 69

теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010 г.

? А ОЕВ 2011

4856069

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Сенатов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Круглов Виктор Макарович

доктор физико-математических наук, профессор

Хохлов Юрий Степанович

Ведущая организация Санкт - Петербургское отделение

Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 4 марта 2011 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математичекий факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 4 февраля 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85, доктор физико-математических наук,

профессор ' В.Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Изучение распределений сумм независимых случайных величин - одна из традиционных задач теории вероятностей. Ее актуальность связана с тем, что, с одной стороны, суммы таких величин часто встречаются в практических задачах, с другой стороны, эти распределения являются свёртками распределений слагаемых, а свертки в явном виде вычисляются лишь в исключительных случаях и даже в этих случаях расчеты по полученным формулам связаны с преодолением существенных технических трудностей. Сказанное объясняет актуальность получения приближённых формул для распределений сумм независимых случайных величин. Фундаментальным результатом в этом разделе теории вероятностей является центральная предельная теорема (ЦПТ), которая утверждает, что при достаточно широких условиях сумма многих независимых случайных величин имеет приближённо нормальное распределение.

В работе рассматривается простейшая схема суммирования, в которой исходные случайные величины Х2, ... независимы, одинаково распределены и их второй момент конечен. При выполнении последнего условия без ограничения общности можно считать, что математические ожидания исходных случайных величин равны нулю, а их дисперсии - единице. Для этой схемы суммирования ЦПТ утверждает, что при п —> оо

= Р < я) Ф(аг), -оо < х < оо,

причем эта сходимость равномерна по всем действительным х, то есть при больших п функции распределения Рп(х) можно заменять на Ф(ж). Здесь и далее

X

Ф(х) = J<p(u)du, —оо < х < оо, - функция распределения

_Э0 2 стандартного нормального закона, ¡р(и) = ^Ь^е-^ - ее плотность.

Замена функций распределения Рп(х) на Ф(х) обоснована лишь в том случае, когда известна оценка разности Р„(х) и Ф(х), поэтому одной из актуальных задач в теории суммирования независимых случайных величин является задача о точности аппроксимации в ЦПТ или, как иногда говорят, о скорости сходимости в ЦПТ.

Содержательные оценки близости Рп(х) и Ф(х) можно получать лишь для случайных величин Х1, Х2, ..., у которых существует

1

момент порядка выше второго, и самым известным результатом о точности аппроксимации в ЦПТ является теорема Берри-Эссеена, которая утверждает, что

sup |ВД-Ф(1)|<с4,

— 00<Х«30 v

00

где 0з = Е |Xi|3 = J |ж|3 dF(x) - третий абсолютный момент исходных

случайных величин Х\, Х2, ... , а - с > 0 постоянная.

История улучшения верхних оценок постоянной с насчитывает не одно десятилетие. Среди последних работ по этой тематики отметим работы В.Ю. Королева, И.Г. Шевцовой1 и И.С. Тюрина2. Нижняя оценка с ^ = 0,4097... была получена К.-Г. Эссееном3 в 1956

г. Последняя оценка вместе с неравенством I (для распределений с нулевым средним и единичной дисперсией) показывает, что точность оценки Берри-Эссеена невелика: для того, чтобы р(Гп, Ф) ^ 10~3 необходимо п ^ 160000. для п порядка нескольких сотен оценка Берри-Эссеена мало содержательна.

Малая точность оценки Берри-Эссеена связана с тем, что она справедлива для очень широкого класса распределений исходных случайных величин; в некоторых случаях скорость сходимости в ЦПТ оказывается существенно выше, чем в теореме Берри-Эссеена. Так, из

одной теоремы И.А. Ибрагимова4 следует, что если у распределения ■

00

Р1 конечен момент 0т+2 = Е|Х1|т+2 = J \х\т+2 йГ(х), где т -

—ос

оо

натуральное число, и моменты а^ — ЕХ( = J х$<1Р{х) совпадают

— 00

с соответствующими моментами нормального закона Ф(т) для

^Королев В.Ю.. Шевцова И.Г. Уточнение неравенства. Берри-Эссеена с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам. /'/ Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, в. 1, с. 25-56.

^Тюрин И.С. О скорости сходимости в теореме Ляпунова. // Теория вероятностей и се применения, 2010, т. 55, в. 2, с. 250-270.

"'Essen C.-G. A moment inequality with an application to the central limit theorem. // Skand. Aktu-arrietidskr., 1956, vol. 39, p. 160-170.

^Ибрагимов И.А. Об асимптотических разложениях Чебышева-Крамера. // Теория вероятн. и ее примен., 1967, т. 12, выпуск 3, с. 596-619.

j = 1,2, ...,то + 1, то при некоторой гладкости F(x)

р{РП1Ф) = о(~^ ,71-00, (1)

и известны5 явные оценки этой величины О (^71) .

Таких оценок уже при не очень больших т хватило бы для большинства практических расчетов, однако применению этих оценок препятствует упомянутое условие на совпадение моментов a j, j — 1,2, ...,т + 1, с соответствующими моментами нормального закона, а это условие является необходимым для справедливости (1). Однако, последнее ограничение можно обойти, если апроксимировать Fn{x) суммами функции Ф(:г) и слагаемых, которые убывают при росте п как ^ и быстрее, и связанных с моментами aj, j ^ 3, функции распределения F(x). Такие суммы называются асимптотическими разложениями Fn(x),

Исследованиями асимптотических разложений в ЦПТ занимались В.Ю. Бенткус, А. Бикялис, Й.П. Грам, Б.В. Гнеденко, И.А. Ибрагимов, Г. Крамер, А.А. Марков, Л.В. Осипов, В.В. Петров, Ю.В. Прохоров, Л.В. Розовский, Л. Саулис, В.А. Статулявичус. П. Сурвила, В.В. Ульянов. П.Л. Чебышев, К.В.Л. Шарлье, Ф. Эджворт, К.-Г. Эссеен. Они получили важные результаты, которые, однако, обладали существенным недостатком: оценки точности аппроксимации, которую гарантируют асимптотические разложения, было невозможно доводить до численных значений.

Первые результаты с явными оценками точности появились в конце 20-го века в работах R. Shimizy6 и V. Dobric, В.К. Ghosh7, в которых к нормальному закону Ф (х) добавлялось только одно слагаемое. Точность такой апроксимации (при некоторых дополнительных условиях) есть О(^), п —> оо, причем для величин О были указаны явные оценки.

Асимптотические разложения более высокой точности с явными оценками были получены в самом конце 20-го века и их построение было связано с использованием сопровождающих зарядов. Основная идея состояла в следующем. Функции распределения Fn(x) нормированных сумм, введенные выше, суть многократные

^Сенатов В.В. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения. М.: Книжный дом Либроком, 2009, с. 90.

6Shimizu R. On the remainder term for the central limit theorem. Ann. Inst. Stat. Math., 1974, V.26, p. 195-201.

^Dobric V., Ghosh B.K. Some analogs of Berry-Esseen bound for first order Chebychev-Edgeworth expansions., Stat. Deris., 1996, V.14, №4, p. 383-404.

3

нормированные свертки распределения F(x) исходных случайных величин, то есть Fn(x) = Г*п{хл/п), где *п означает свертку п одинаковых распределений. Если для данной функции распределения F(x) подобрать заряд (знакопеременную меру) с функцией распределения G(x) такой, что многократные нормированные свертки Gn(x) — Gm(x\fn) вычисляются достаточно просто и такой, что функции Fn(x) и Gn(x) при росте п сближаются друг с другом быстрее, чем они сближаются с функцией распределения нормального закона Ф(ж), то в качестве аппроксимации для Fn(x) можно взять функции Gn{x) или асимптотические разложения последних. Функции Gn{x) естественно назвать сопровождающими для Fn(x). Для некоторых функций распределения F(x) сопровождающие заряды для Fn{x) можно подобрать так, чтобы Gn(x) были функциями распределения, однако, в общем случае приходиться использовать заряды.

Выбирать заряды с указанными выше свойствами можно различными способами. Основное требование к ним, как подсказыает упоминавшаяся выше теорема Ибрагимова, состоит в том, чтобы они имели достаточное количество моментов, и первые несколько моментов совпадали с соответствующими моментами функции распределения F(x).

В.В. Сенатов8 для распределений F(x) с конечным абсолютным моментом порядка т + 2, где то > 2 - целое число, строил сопровождающие функции распределения Gn(x), используя функции распределения G с плотностями

ТП+1 Л

9(х) = ф) + ^Н,{х)Ф), (2)

s=3

где Нд(х) — (х)/<р(х) , s = 0,1,2,.. , - многочлены

00

Чебышева-Эрмита, а числа 9S = в¡(F) = J Hs(x)dF(x) ,s —

-00

3, ...,m+ 1, - моменты Чебышева-Эрмита функции распределения F(x). Моменты 9S (F) можно вычислять по формуле

BS(F) gs_2j(F)

si j\2i (s - 2;)! '

^Сенатов В.В. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения. М.: Книжный дом Либроком, 2009, с. 128.

4

/оо

х3~2НЕ{х) - обычные моменты функции

эо

распределения Г. Для моментов Чебышева-Эрмита справедливы равенства

= (//2/(г)Уа) ,5 = 0,1,2....Ш+-2, 4 ' {=0

где / - характеристическая функция функции распределения F, г -мнимая единица, аналогичные равенствам

гЧ(^) = (Я*))(,)|(_о ,а = 0,1,2,...ш + 2,

для моментов и

= (1п /(*)){а)| , 5 = 0,1,2, ...т + 2,

для семиинвариантов. Характеристическая функция заряда с плотностью (2) есть

г ( т+1й \

9(«)=е"4 + , (3)

то есть эта характеристическая функция есть произведение характеристической функции ¡2 стандартного нормального закона и отрезка ряда Тейлора функции е1 !2}(Ь) в окрестности нуля.

С помощью таких зарядов были получены (при соответствующих ограничениях) асимптотические разложения для функций распределения Рп(х) и асимптотические разложения в локальных формах ЦПТ. Точность аппроксимации, которую гарантируют эти разложения, составляет О (^¿75), п —► оо, для величин О (^¿75) были указаны явные оценки, в которых участвовала величина абсолютного момента ^ порядка т + 2. При этом налагались ограничения, состоящие в том, что все значения 5 = 3,...,т + 1, невелики, а о;(енки остаточных частей разложений были очень громоздкими. Упомянутые ограничения на значения моментов можно ослабить, но для этого суммы Х\ + ... -г Хп случайных величин необходимо разбивать на блоки, содержащие по несколько слагаемых.

А.Е. Кондратенко9 использовал заряды, определяющиеся с помощью семиинвариантов, а именно, заряды с характеристическими функциями

^Кондратенко А.Е. Точность аппроксимации свёрток распределений асимптотическими разложениями. Кандидатская диссертация. М.: МГУ, 2001.

5

т+1

ff(i) = e

то есть с характеристическими функциями, которые суть е в степени, совпадающей с разложением In fit) в отрезок ряда Тейлора в окрестности нуля. С помощью таких зарядов были получены разложения, аналогичные тем, что упоминались выше и с более простыми оценками остаточных частей, но класс распределений F, для которых можно использовать такие заряды, был достаточно узким. В частности, при т = 3 требовалось, чтобы величина = а4 - 3 была меньше нуля, то есть оц < 3, что является очень сильным ограничением.

Здесь надо отметить, что построением асимптотических разложений с использованием семиинвариантов в середине 1960-х занимался В.В. Петров10. Сопровождающие заряды он не использовал, ограничения на значения семиинвариантов у него отсутствовали, но при этом оценки точности разложений содержали величины, для которых утверждалось лишь их существование.

Комбинируя идеи построения приведённых выше зарядов, В.В. Сенатов рассмотрел заряды с характеристическими функциями g(t) = e-|2el(«)3 ,g(t) = е-!2+1(«)3 (1 + |(й)4) ,

= + . , (4)

С помощью этих зарядов были получены асимптотические разложения в случае, когда распределение F имеет конечный момент /?m+2i Для те = 2,3,4 и 5, эти разложения гарантировали точность О (^7з)' 0Денки остаточных частей разложений были относительно просты, а единственное ограничение для т > 4 на моменты состояло в том, что вц = с*4—3 < б (и это ограничение можно ослабить, разбивая суммы случайных величин на блоки из нескольких слагаемых).

Цель работы. Целью диссертации является решение следующих задач, связанных с оптимизацией асимптотических разложений в ЦПТ:

1. Снять ограничения на значения моментов в асимптотических разложениях, для которых известны явные оценки остаточных частей.

2. Построить асимптотические разложения с явными оценками остаточных частей, точность которых выше О (^щ), п —> оо.

^Петров В.В. О локальных предельных теоремах для сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 1964, т. 9, в. 2, с. 343-352.

6

3. Исследовать возможность построения асимптотических разложений в ЦПТ, которые дают сколь угодно высокую точность аппроксимации, если исходное распределение имеет достаточное количество моментов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Предложен новый вид сопровождающих зарядов, которые позволяют строить асимптотические разложения в ЦПТ без ограничений на моменты исходных случайных величин. С помощью этих зарядов получены новые асимптотические разложения в ЦПТ, гарантирующие точность аппроксимации п —* оо, с явной оценкой остатка.

2. Получены новые формы асимптотических разложений в ЦПТ, которые дают сколь угодно высокую точность аппроксимации, если исходное распределение имеет достаточное количество моментов. Эти формы разложений дают наилучшие из оценок остаточных частей, известных в настоящее время.

3. Получена новая формула для многочленов, участвующих в асимптотических разложениях Эджворта-Крамера. Получено новое представление для моментов Чебышева-Эрмита.

Методы исследования. В работе используются метод характеристических функций, в частности, формулы обращения для преобразования Фурье, метод сопровождающих зарядов, а также другие методы теории вероятностей и математического анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы специалистами в теории вероятностей и смежных областях, таких как математическая статистика, теория случайных процессов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством чл.-корр. РАН, проф. А. Н. Ширяева (мех-мат МГУ, 2010 г.), на семинаре "Прикладные задачи теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания" под руководством проф. Ю.С. Хохлова, проф. В.В. Рыкова, проф. A.B. Печинкина (РУДН, 2010 г.), на семинаре "Теория риска и смежные вопросы" на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. В.Ю. Королева

7

(ВМК МГУ, 2010 г.), на "VIII Международных Колмогоровских чтениях" (Ярославль, 2010 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы в журналах из перечня ВАК, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и пункты, заключения и списка литературы, включающего 96 наименований. Общий объем диссертации составляет 138 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводятся необходимые обозначения и известные результаты, которые используются при построении асимптотических разложений. Здесь же рассматриваются известные асимптотические разложения вида Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера.

В первой главе излагается история использования зарядов при построении асимптотических разложений. Здесь же вводятся заряды, которые используются при построении трех асимптотических разложений, о которых пойдёт речь ниже. Это - заряды с характеристическими функциями вида

[т/2]

g(t) = e , т = 4,5,6,

/со

H2k+i{%)dF{x) - нормированные моменты

■00

Чебышева-Эрмита исходных случайных величин с функцией распределения F(x). Мы сохраняем для этих чисел то же самое обозначение, что и для моментов Чебышева-Эрмита, это не приведет к недоразумениям. Для этих зарядов и для функции распределения F(x) исходных случайных величин моменты нечетных порядков 2к + 1, к — 1,.... [т/2], совпадают.

Во втором пункте главы 1 вводятся ограничения на функцию распределения исходных случайных величин. Основное ограничение, которое используется при построении асимптотических разложений для плотностей рп{х) функций распределения нормированных сумм случайных величин Fn(x) с общей функцией распределения F{x), состоит в следующем.

Условие 1. Пусть у исходных случайных величии с нулевым

средним, единичной дисперсией и функцией распределения Р(х)

существует конечный абсолютный момент порядка т + 2, где т

- целое число, т > 2, и существует число V > 0 такое, что

для характеристической функции /(¿) функции распределения Р 00

выполняется условие J |/(4)|УсЙ < оо. —00

Условие, связанное со сходимостью указанного интеграла, гарантирует существование непрерывной плотности р„{х) = Рп{х) функции распределения нормированной суммы исходных случайных величин при всех п ^ и и гарантирует выполнение строгого неравенства

а (Г) = шах {|/ (¿)| -Л^Т}< 1 для любого Т > 0. При построении всех асимптотических разложений, полученных в

диссертации, используется пара где неотрицательная четная

,2

функция ц (¿), е" ^ /х (£) ^ 1 и число Т > 0 таковы, что |/ (¿)| < д (¿} при < Т. С помощью пары Т) определяются числа IVп

-ТУЙ

Для распределений ^ с конечным третьим моментом можно £

положить ц (¿) = е~ *, Т = Для распределений с конечным четвертым моментом пару (р,Т) можно подобрать так, что Вк,п~1 В к при п —► оо, I, к е {0,1,2,...}, где Ви - к-й абсолютный момент стандартного нормального закона, делённый на \/27г.

Во втором пункте главы 1 рассматриваются также некоторые алгебраические формулы и преобразования, необходимые в дальнейшем для построения асимптотических разложений. Доказываются две вспомогательные леммы.

В следующих двух пунктах первой главы сформулированы и доказаны теоремы 1-3.

Теорема 1. Пусть справедливо условие 1 при т — 4. Тогда для любых действительных х и п^ тах(и,6)

Рп(х) = ф(х) + $гМх)ф{х) + %Щ(х)ф(х) + &Н6(х)ф(х)+

+&Н5(х)ф(х) + ^в$Н7(х)ф(х) + зЗт,Щ{х)ф{х) + нрп{х), где

|р 11^РДб,п-1 , , |М5|В8 , , вУМвм ,

\Щт\Щ Ъ -^ г „2 -I 2г? 2 п2 +

9

4! ri

Br,„-i

^ 2n6/2

fl(3)|

-+

пУ* 1 2п®72~ Г ~ 2П5/2

+ + I\fitWdt.

т

Здесь и далее величины Ц^+гЦ определяются равенствами

4+1

Ц^+гЦ = Для чётных к, а для нечётных к - этой же

8=1

формулой, в которой верхний предел суммирования заменяется на ^г +1, величины 0(с+2-2; заменяются на их абсолютные значения для 3 > 1, а для з = 0 вместо аь+2 используется абсолютный момент

(к)

порядка к + 2. Величины определяются этой же формулой, в

которой слагаемые, связанные с моментами порядков к + 1 и к + 2 опускаются. Величины Ьк{и) определяются равенствами

00

Lk{u) = ^Уtke~~i2/2dt, к = 0,1,....

(5)

Отметим, что последние четыре слагаемых в оценке величины \Rp„(x)\ при росте п убывают экспоненциально быстро.

В теореме 2 рассматриваются разложения рп (х) при m = 5. В главной части этого разложения участвуют многочлены Чебышсва-Эрмита вплоть до двенадцатого порядка, а остаточная часть разложения есть О (^572), п —► оо, и указана явная оценка этой величины О (^д)-

Теорема 3. Пусть справедливо условие 1 при т = 6. Тогда для любых действительных х и n ^ max (и, 8) рп(х) = ф(х) + ^Яз (х)ф(х) + %Н4(х)ф(х)+

, I Ре , n^lOl

^ I Tfi т п 2п

Я6 (х)ф(х)+

+-^Щ(х)ф(х) + + Н7(х)ф(х)+

§ + (в3ве + е4в5 - f) ^н9(х)ф)+ в& + &н8{х)ф(х) + (2=1)2

+ +

+ ^Нп(х)ф(х) + £г2Н15(х)ф(х) + Rpnix),

§95 + в4 «Г

гс*е

ю

\в3в5\вя,„ "I ^ г

2 I 1Г6 ЩВи

+ !+

_ а.

2

)

4 п3

+

"зР

Г 2

В10.„_

№1

»3^41 В18

4! п3

НЙ, ,

3! "I*

9?В„,П_ 4 "ТЫ?

+ |0зМз|

П-1 . |й4й7[Вг

+

1Кэд||Дц.,-а , е4%|в13,„-2 , |К3>|Йа».п

^572 Г 'Л „7/2 01_7,'2

1 + + |

+ 12гИ

+

Р^7|В15

3!п9/2

+

N^14 , 2г? Г

"6 2 ^1(?3<?5|В14,п

2

З'.п7/2

+

д(5)|

В 13,п-2

¡Ж

В

Й12.гг-2

' +

+

1Я I "з В! 7

+

2 п5

+

2 2

+

+ + +

1 ^72 I"

2тг2

+

+ п3'2 2 и'2 +

Р^ХюСГЧ/п) , \е3\В1ЩТу/п\

+

3

+

Оценки остаточных частей асимптотических разложений, представленные в этих теоремах, достаточно громоздки, однако, это не мешает их применению, поскольку все вычисления достаточно просты, а сумма большого количества слагаемых, например, в оценке теоремы 3, оказывается достаточно малой величиной. Это иллюстрируется с помощью "модельного" распределения, у которого функция распределения Р имеет плотность р(х), равную е-1-1 при

I > -1 и 0 при х < —1; для него можно взять ц{р) = (1 + ¿2) а в качестве Т - любое положительное число. В этом случае оценка остаточной части разложения (в которой величины Вк,п-1 заменяются их асимптотическими значениями Вк и можно переходить к пределу при Т —► со) теоремы 3 не превосходит величины

482,5 , Ц2 , 718 , 7065 , 1814

пз "Г „7/2 -Г -¿Г "Г пз/2 1- „5

. 1348

которая уже при п > 78 не более Ю-3.

Соответствующие оценки остаточных частей разложений для функций распределения, о которых пойдет речь в главе 3, заведомо лучше оценок рассматриваемых в теоремах 1-4. В то же время для функций распределения нормированных сумм случайных величин,

и

имеющих указанное выше "модельное" распределение, теорема Берри-Эссеена гарантирует точность аппроксимации нормальным законом порядка 10~3 для п > 987 755.

Вторая глава диссертационной работы называется "О новых формах асимптотических разложений в ЦПТ".

В этой главе рассматриваются асимптотические разложения плотностей рп (х) распределений нормированных сумм независимых случайных величин в предположении, что условие 1 выполнено для натурального т > 2, при этом ограничения сверху на величину т не налагаются. Эти разложения дают сколь угодно точные представления плотностей рп(х), если у исходных случайных величин существует достаточное количество моментов.

Хорошо известны два типа таких разложений, это разложения Грама-Шарлье и разложения Эджворта-Крамера. В втором пункте второй главы рассматривается связь между этими разложениями.

Так называемые короткие разложения Грама-Шарлье для плотностей при выполнении условия 1 можно записать в виде

ш+1

рп{х) = ф) + 0и)Н1{х)ф) + 1=3

Зт-З

+ £ в1т+1\рп)Щ(хМх) + 11, (6)

¡=т+2,1^3т-4

и для величины Д = О (^75), п —> оо, можно указать явную оценку.

Для величин и I ^ 3, известны формулы, дающие их

выражения через п и числа в^^Р), 3 < $ ^ т + 1.

Разложения Эджворта-Крамера при выполнении условия 1 можно записать в виде

т-1 „ / ч

Рп(х) = ф) + ^?Ш.ф)+11, (7)

где И = 0(^75), п —оо, а К^{х) -многочлены, являющиеся линейными комбинациями многочленов Чебышева-Эрмита с коэффициентами, зависящими только от моментов распределения исходных случайных величин и не зависящими от п. Разложение (7) можно получить из разложения (6). Для этого нужно заметить,

что величины б1(Рп)Н1(х)ф) и 6<1ГП+1\Рп)Н1(х)ф) при I ^ 6 суть суммы слагаемых, которые при росте п стремятся к нулю с разными скоростями, их можно записать в виде сумм величин где { ^ | - [|] , а числа С{Р) не зависят от 12

п, затем сгруппировать указанные слагаемые с одним и тем же значением j, j = 1 ,...,т— 1, а слагаемые ^j-Hi(x)ip(x) с j ) m перенести из главной части разложения в остаточную часть R из (7). Разложение (7) можно получать не обращаясь к разложению (6). Так, в частности, упоминавшиеся результаты В.В. Петрова были получены без обращения к разложениям Грама-Шарлье.

Взглянув на главную часть разложения теоремы 3, легко заметить, что среди величин C(F), введённых выше, присутствуют (с некоторыми коэффициентами) собственно величины 6j = 6j(F), j ^ 3, произведения пар fy, в том числе квадраты, произведения троек этих величин, в том числе кубы, и т. д. Это наводит на мысль сгрупировать слагаемые ~^Ht(x)(p{x) в главной части разложения по количеству сомножителей (моментов Чебышева-Эрмита исходного распределения), формирующих величины C(F).

В третьем пункте "Одна новая форма асимптотических разложений" второй главы получена новая форма асимптотических разложений с явной оценкой остатка, основанная на вышеупомянутой идее группировки слагаемых. Для этого вводятся числа

Os,i= Y^ 5 = 1,2,...,m- 1, 1 = 3a,...,m- 1 + 2s, (8)

ti+...+t,=i

где суммирование ведется по наборам неотрицательных целых чисел ti,...,ts таким, что t\ + ... + ts = I и tj ^ 3, j = 1,m — 1, и величины

1|в,.«||= £ (9)

u+...+ts=i

где суммирование ведется по тем же наборам неотрицательных целых чисел ti,...,ts, что и в (8) .

Теорема 4. При выполнении условия 1 для любого п ^ max (v, 771 + 1) при все действительных х

т-1 m-l+2sp.

рп(х) = ф) + ^С$п ¿2 1щЩх)ф) + П, (Ю)

5=1

l—3s

где

I

1

ут/2

II01

тп—1 1 m+2—s

£ к

5=2 ' (=3 Bm+2s,n-l +

+ 1

Г.-1 + д(т+1) Дп+3,п-1 , 0т+3 +

-i+2s-i 1 х

S) -Sm+2s+l,n-l 1

Vl+2 у/п

m—1 ^

+ (T+^y? I|öi-m-l+2s|| СзДп+25+2,п-1 j +

S=1 /

00 m-1 m-l+2si

I— л r/t—x m—li-^s«^ »

a-(T) / |/(i)rÄ+ 1 e-^ + ^Ci £

у ^ s=l i=3s

При m = 2 сумму по 2 ^ s ^ m — 1 e оценке величины R следует опустить.

В теореме 4 используется идеальная метрика (3 = (¡(F, Ф). Идеальные метрики (s, s > 0, введенны В.М. Золотарёвым11. Расстояние = (^(F, Ф) можно определить как

оо

Сз(^,Ф) = sup

Jи(х) (F(dx) - Ф(dar))

: и £ > ,

где $з - множество комплекснозначных дважды дифференцируемых функций и(х), —со < х < оо, таких что, — и^(у)\ < |х — у\

для любых действительных х и у.

Для остаточной части разложения теоремы 4 в диссертации приводится ещё одна оценка.

В этой же части доказываются другие представления разложения из теоремы 4. Так,

разложению (10) можно придать вид т-1 1 ^ С3

рп{х) = ф) + + д - (И)

или

т-2 ^ т—1—}

рп[х) = ф) + -+3,(1)^(1) + Я, (12)

.7=0

где величины Я - те что и в утверждении теоремы 4.

Отметим, что ^ —► ^ при п оо. В предположении существования восьмого момента исходного распределения (это то же условие, что в теореме 3) вторая из оценок остаточной части разложения теоремы 4 для экспоненциального распределения, рассмотренного выше, даёт

^Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

(при замене величин их асимптотическими значениями Вь и

при переходе к пределу при Т —► оо) величину

307 , 830 п3 "Т" Я7/2 >

которая уже при п > 74 позволяет гарантировать точность не хуже Ю-3, а при п > 156 - не хуже 10~4.

В четвертом пункте второй главы рассматривается связь между новой формой разложений и разложениями вида Грама-Шарлье. В нем доказана

Теорема 5. Для нормированных моментов Чебышева-Эрмита справедливо представление

, 1'/з]

5 = 1

Формула (13) делает многие известные на данный момент утверждения о величинах 0г(-Рп) достаточно очевидными. Например, из (13) следует соотношение в1(Рп) = О (п1/21;,/3|), I ^ 3, при п —> оо. Далее в этом пункте доказана

Теорема 6. Разложение, представленное в теореме 4, можно записать в виде разложения Грама-Шарлье

т+1

Рп(х) = <р{х) + ^ЧРпЩ(х)<р{х) +

1=3

Зт-З

+ £ 0[Г1)ШН1(х)ф) + Я!

где величина Я - та же, что и в утверждении теоремы 4, а Цт+^(Рп) - усеченный квазимомент Чебышева-Эрмита.

Усеченный квазимомент Чебышева-Эрмита можно вычислять по формуле

е\т+1\Рп) п1 (ел* (вЛ

I! ^ к0\к31..кт+1Ы/2 "Л'!

где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел ко, кз, ...,кт+\, что 3&з + ... + (т + 1) кт+\ = I, к0 + к3 + ... + кт+1 = п и к3 + ... + кт+г >

Формула (14) отличается от формулы для квазимомента #|т+1'(.Рп) Чебышева-Эрмита наличием дополнительного ограничения

15

кг 4-... + кт+1 > то есть формула (14) содержит меньшее число

слагаемых по сравнению с аналогичной суммой для квазимоментов Чебышева-Эрмита.

В пятом пункте второй главы указывается явная связь между новой формой разложений и разложениями вида Эджворта-Крамера (7). В нём показано, как разложения вида (10) позволяют получать разложения Эджворта-Крамера с новой явной формулой для многочленов К^{х), участвующих в (7). Для этого величины С®

представляются в виде С® = ^с^п*1 и доказывается

к=1

Теорема 7. Многочлены К^х), з = 1,2, ...,ттг— 1, участвующие в разложении Эджворта-Крамера (7), допускают следующее представление

[¥Ь-з*

к—О 1=1

Также в этом пункте доказывается то, что многочлены К^{х), $ = 1,2,...,т—1, участвующие в разложении Эджворта-Крамера (7), допускают следующее представление

}-1 [I]

з=о г=о

В шестом пункте главы 2 находится явный вид коэффициентов с^, которые участвуют в построении многочленов К^х) из теоремы 7.

В главе 3 показано как строить асимптотические разложения для функций распределения, используя результаты глав 1 и 2. Для

/|/(*)П

этого в условии 1 ограничение / |/(£)|"сЙ < оо можно заменить

ОС

более слабым: условием Крамера и сходимостью интеграла I ш-л.

1

В этом случае справедливы формулы обращения для функций распределения. Применительно к теореме 4 формула обращения для функций распределения имеет вид

ВД -ф{х) = ^~ -М, -оо<х<оо. (15)

/7Г ] —II

-оо

Сравнивая (15) с представлением

00

р„{х) - 1р{х) = J

е-Их

(И,

—00

используемым при доказательстве теоремы 4, нетрудно понять, как из разложений теоремы 4 для плотностей рп{х) можно получить разложения с явной оценкой остатка для функций распределения Рп(х). При переходе от разложений для рп{х) к разложениям для Еп(х) происходит замена знака перед всеми слагаемыми, кроме слагаемого Ф(х), на противоположный, а каждый многочлен Чебышева-Эрмита Н^х) из главных частей разложений для рп{х) заменяется на многочлен Н^^х). Применительно к остаточной части разложения величины 1, Ь[ должно заменить на величины

00

Вк-1,п-и соответственно, а слагаемые " (Т) J |/(£)|у<й и

т

00 00 на слагаемые и |

т Ту/Л

Далее в главе 3 указан способ построения разложений для решетчатых распределений. Проводится сравнение разложений, полученных с использованием и без использования сопровождающих зарядов. А также приводятся численные иллюстрации, некоторые из которых рассмотрены выше.

В заключительной части работы проводится сопоставление построенных асимптотических разложений и разложений Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Владимиру Васильевичу Сенатову за постоянное внимание к данной работе и полезное обсуждение ее результатов.

Публикации автора по теме диссертации

1. Соболев В.Н. Об асимптотических разложениях в центральной предельной теореме // Теория вероятн. и её примен., 2007, т. 54, в. 3, с. 490-505.

2. Соболев В.Н. Об асимптотических разложениях в ЦПТ // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика., 2010, № 28, в. 3(18), с. 35-47.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (се экз. Заказ № 3

Введение

Обозначения и предварительные сведения 3 Асимптотические разложения для распределений и плотностей с использованием многочленов Чебышева-Эрмита

Краткое содержание и основные результаты диссертации

Глава 1. Построение асимптотических разложений с помощью зарядов

1.1 Заряды

1.2 Предварительные замечания о построении разложений для плотностей гладких распределений

1.3 Асимптотические разложения для распределений с моментами порядка не более восьмого. Формулировки теорем

1.4 Доказательства теорем

Глава 2. О новых формах асимптотических разложений в

2.1 Предварительные рассуждения

2.2 Разложения Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера

2.3 Одна новая форма асимптотических разложений

2.4 Новая форма разложений и разложения Грама-Шарлье

2.5 Новая форма разложений и разложения Эджворта-Крамера

2.6 О коэффициентах полиномов из разложения Эджворта-Крамера

Глава 3. Некоторые следствия глав 1 и 2. Численные иллюстрации.

3.1 Асимптотические разложения для функций распределения

3.2 Асимптотические разложения для решетчатых распределений

3.3 Сравнение разложений, полученных с использованием и без использования сопровождающих зарядов

3.4 Некоторые численные результаты

Обозначения и предварительные сведения

Пусть Х\, Х2, . - независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним MXi = 0 и единичной дисперсией DXi —

1. Обозначим через Р общее распределение этих случайных величин, через Рп - распределение нормированной суммы (Xi + . + Хп) где п - натуральное число. Пусть F(x) - функция распределения, a f (t) - характеристическая функция распределения Р. Обозначим через Fn(x) функцию распределения распределения Рп, через fn (t) его характеристическую функцию и через рп (х) плотность распределения Рп, если она существует. Мы предполагаем, что все используемые в дальнейшем абсолютные моменты M|Xi|fc существуют. Далее для удобства мы будем использовать не сами моменты, а величины а>к — -^r1". Рк — ki , которые будем называть нормированными моментами. Из наших предположений следует, что ао = 1 , = 0 , а2 = §. Через Ф(х) обозначим функцию распределения стандартного нормального закона с плотностью <р(х) = 2

-^е-^". Через Рк{Ф) обозначим соответствующие нормированные величины для стандартного нормального закона. Так, cx2j{(p) — ^JI Аля J =0,1,2,.

Когда это не будет вызывать недоразумений, будем опускать аргументы функций у величин, указанных выше.

Многочлены Чебышева-Эрмита. В данной работе под многочленами Чебышева-Эрмита [8, стр. 55] будем понимать многочлены, которые определим с помощью формулы Родрига [71, стр. 55]:

А: = 0,1, 2,. (1) ср{х)

Здесь стоит заметить, что в разных источниках многочлены Чебышева-Эрмита определяются по разному. Во многих работах (например, [6, стр. 75]) т2 вместо рассмотренной нами функции f(x) = используют функцию е~х . Функции подобного вида мы видим у Й.П. Грама [89, стр. 71] Фп (х) =

D™e~x . Все известные современные авторы придерживаются одного из этих определений. Чебышев же в [77, стр. 337] использовал обобщающую эти два случая запись. Так, он рассматривал многочлены, которые можно получить

1 si с помощью формулы Родрига, если вместо <р(х) = 2 взять функцию вида е~кх2, где к некоторый параметр. Данный вид функций возникал у него вевязи с рассмотрением плотности вероятности • Выбор автором плотности распределения нормального закона в качестве определяющей функции связан с удобством ее использования в рассматриваемой задаче. Исторически его можно подкрепить работой Г. Крамера [30, стр. 248], в которой при построении асимптотических разложений формула (1) имеет вид ipW (ж) = (—1 )kHk{x)(p(x). Она явно присутствует в работе [85, стр. 5] К.-Г. Эссеена, используется в работе В.А. Статулявичуса [67]. В.В. Петров [46] использует формулу (1) в виде Ф^ (х) = (—l)k~1FIk~i{x)cp(x).

В своей монографии [7] 'Теория ортогональных многочленов'' (Обзор достижений отечественной математики) Я.Л. Геропимус достаточно подробно говорит о появлении и развитии многочленов Чебышсва-Эрмита. В работе Е.П. Ожиговой "Шарль Эрмит 1833-1901" [37] (отвстсвенный редактор А.П. Юшкевич) имеется гл. 4 "Ортогональные полиномы", в которой в частности рассматривается вклад Ш. Эрмита и других учёных в исследовании данных многочленов. В данной работе не ставятся задачи подробного изучения исторических аспектов, поэтому вслед за Я.Л. Геронимусом и Е.П. Ожиговой дадим краткую историческую справку, а за более подробным описанием, как и за более подробным списком ссылок, отошлем читателя к названным выше работам [7, 37].

Я.Л. Геропимус [7, стр. 34] пишет, что многочлены Чебышсва-Эрмита всгречаются у П.С. Лапласа [91]. В 1859 г. они были достаточно подробно изучены П.Л. Чсбышевым. Так, П. Л. Чсбышев нашел представление Родрига для этих многочленов, которое дано выше. В работе [77] он использовал разложение интеграла f^ ^z^-du по многочленам, впоследствии получившим его имя. В 1864 г. многочлены были рассмотрены Ш. Эрмитом [90, стр. 293-308]. Начиная с работы 1880 г., Н.Я. Сонин обобщил многочлены Чебышева-Эрмита, рассмотрев вес е~х2 |ж|2с , с > — ^, —оо < х < +оо (вес здесь понимается как функция, к которой применяется формула Родрига [7, стр. 34]), нашел для этих многочленов производящую функцию и установил связь между ними и многочленами Чебышева-Лаггера [71, стр. 219]. В работе 1884 г. A.A. Марков применил обобщенные Н.Я. Сониным многочлены при разложении в непрерывную 2 2 с дробь интеграла 6 du. A.A. Марков обубликовал довольно много работ по по теории ортогональных многочленов [36]. Интересно, что в работе под названием "Об одной задаче Лапласа" A.A. Марков называет . 1 «jfe —fj, функции вида jß^k ¿^l как функциями Чебышева-Эрмита [36, стр. 556] так и функциями Лапласа-Чебышева-Эрмита [36, стр. 563].

Многочлены Чебышева-Эрмита могут быть получены с помощью многочленов Якоби путем предельного перехода. Впервые это заметил К.А. Поссе. Используя данный переход, он нашел дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют многочлены Чебышева-Эрмита, и производящую функцию.

Производные классических многочленов (к которым относятся рассматриваемые нами многочлены ) образуют систему, ортогональную в том же интервале, только с другим весом. Доказательство этого факта имеется в работе Н.Я. Сонина (1887 г.) и работе Г. Хана (1935 г.). Классической книгой по теории ортогональных многочленов является монография Г. Сеге, впервые изданная в 1939 г., русский перевод [60] которой вышел в 1962 г. с предисловием и дополнениями Я.Л. Геронимуса. Также можно отмстить кииги, в которых достаточно подробно рассматриваются многочлены Чебышева-Эрмита, - П.К. Суэтин [71, гл. 5], Д. Джексон [11, гл. 9] и П.П. Лебедев [33].

Ш. Эрмит определял многочлены Чебышева-Эрмита с помощью производящей функции

00 4.к к=0

Для них [36, стр. 556] справедливо интегральное представление

00

Нк{х) = J (х + iy)k(p(y)dy, оо где к = 0,1,2,., а г - мнимая единица.

Сразу же стоит отмстить справедливость следующих равенств

00 (й)к (р(г)е~ихсИ = нк(х)(р(х), -00 < ж < оо , к = 0,1,2,. л/27Г J и оо со

1 J Hk(x)<fi{x)eltxdx = (itf ip{t), -оо < t < оо , к = 0,1, 2,., л/2тг оо которые в несколько иных записях представлены в [81, стр. 37,38], а также в [63, стр. 137, 149] и [71, стр. 177] соответственно.

В [35, стр. 103] доказываются неравенства

Я*(®)| < к = 0,1,2,.

В [19, стр. 08] представлена другая оценка: если положить и = | или и = в зависимости от того, четно к или нечетно, то

1#ь(д01 < и п 1 9

Л! ^ 2и1>\ ' ~~ ' ' 5 " '

Если заметить, что в последнем неравенстве г/ целое, а а2и{ф) = 2^1 ПРИ ^ = 0,1,2,., то данное неравенство можно записать в виде , к = 0,1,2,.

Для многочленов Чебышева-Эрмита известна и явная формула [46]: и з= о

Так,

Н0{х) = 1, Н\(х) = ж, Я2(ж) = я2 - 1, Я3(ж) = ж3 - Зх,

НА{х) = х4 - 6х2 + 3, #5(я) = ж5 - 10ж3 + 15ж .

В работе [25] приведено доказательство формулы обращения и о к которая представлена в [19, стр. 69] как пример разложений ^ по многочленам Нк(х).

Известно [19], что для многочленов Чебышева-Эрмита справедлива рекуррентная формула

Нк+2{х) = хНк+1(х) -(к + 1)Нк(х), дифференциальное уравнение

Щ(х) - хН'к(х) - кНк(х) = 0, запись в виде определителя

Нк(х) = х к-1 О О

1 х к-2 О

0 1 х к~3 0 0 1 х

О О О О

О О О О х и формула сложения й?+-+о^)*:/2 тт ( алхл+.+апхп. к+--+3п=к которая для двух слагаемых может быть записана в виде

2кНк (х + у) = ^ к\

3\1?з щНй(х)Нк{х)Н^у)Нк{у).

3\ +02+Зг+ЗА=к

Многочлены Чебышева-Эрмита являются многочленами Аппсля [60, стр. 420]. Так для них справедливо равенство

Щ(х) = кНк-х{х).

Моменты и нормированные моменты Чебышева-Эрмита. Определим моменты Чебышева-Эрмита с помощью следующей формулы

00 вк = (-!)*/Нк{х)р{х)дх , к = о, 1,2,. оо

С точностью до знака формула для моментов Чебышева-Эрмита встречается в работах [8, стр. 206], [85, стр. 4], [30, стр. 248], [81, стр. 21]. Однако, достаточно долго моменты Чебышева-Эрмита не имели широкого применения. Их серьезное применение начинается с работы В.В. Сеиатова [61], в которой данные характеристики и получили свое название. У нас моменты Чебышева-Эрмита будут всегда делиться на соответствующий их порядковому номеру факториал. Поэтому далее будут использоваться нормированные моменты Чебышева-Эрмита вк{Р) (вместо вк(Р) будем часто писать определяемые формулой

Ok(P) = Hk{x)P{dx) , к = 0,1,2,. — 00

Для данных моментов справедлива формула

4P) = .

Отсюда видно, что вь{Р) существует тогда и только тогда, когда существует соответствующее o>k{P), и наоборот.

Для любого распределения Р справедливо равенство 9q(P) — 1. Приведем формулы для некоторых ): 9i(P) = О, в2 = a2(jp)a0(ip) - a0(p)a2{ip) = | - § = 0, a3{p)aQ(tp) - = ,

6*4 = - a2(p)a2(<p) + = Щ ~ = a4 - |,

5 = a5(p)a0((p) - a3(p)a2((p) + ai(p)aA(ip) = a5 - a2((p)a3 = a5 - , в6 = a6{p) - aA(p)a2(ip) + a2(p)(X4(<p) - о;0(р)о;б(^) = a6 - + ^ ,

07 = a'7 - + азс^М = «7 - + |ci'3 .

Здесь 6k находились из первоначальных предположений с*о = 1, a;i = О, а2 = а a2j(<p) =

В работе A.B. Кондратенко [26, стр.62] из приводившейся выше формулы обращения для многочленов получена формула обращения для моментов, которая применительно к atfc(P) и Ott(P), имеет вид т мр) = Y.a^)6k-2j{p) ■ j=о

Рассмотрим некоторые из этих выражений: о(р) = 0o(P)<*oM = в0 = 1, ai(p) - 0i(P)ao(yO = 0i = 0, ö2(P)ao(ip) + в0(Р)а2((р) = а2((р) = 1, а3(р) = 0з(Р)<*оЫ + 0i(P)a2(<p) = Яз ,

4(р) = 4P) + 02(P)a2(ip) + a4(tp) = 64{Р) + = Ö4(P) + |, as(p) = Ö5(P) + 03(P)a2M = ^s(P) + ^3(P), p) = Ö6(P) + ö4(P)a2(¥>) + «вЫ = ¿б(Р) + \0a (P) + £,

7(p) = ^7(P) + в5{Р)а2(<р) + вз(РЫ<р) = в7{Р) + \въ{Р) + ±ЧР) •

Нормированные моменты Чебышева-Эрмита можно выразить следующим образом через характеристическую функцию: - * ^ г=о

Это представление аналогично равенствам мп = * 0 для нормированных моментов и 1 (1п/«))(*) ~~ ^ Л!

7=0 для нормированных семиинвариантов.

У стандартного нормального закона вк(Р) = 0 для к = 1,2,3,. и

90(Р) = 1.

Наряду с 9к{Р) будут использоваться величины аналогичные предложенным В.В. Сенатовым в [61, стр. 135] - = Рк + , где второе слагаемое в правой части последнего равенства вычисляется по формуле:

I]-2

3 = 1

НЙ-1

Дадим выражения для некоторых из этих величин, используемых нами в дальнейшем:

Ш\ = 04,-Ъ. над = & + 1 2

1 1 $> + аг(¥>) |<*з| = + § |«з| 1

Е ( 1У ^ ( У) «6

3=2 /?6 + а2(уО Ы + - = /?е + 5 Ы + ^ ,

1] I +

3=1

3=2 /?7 + «г(^) М + «4(у) |<*з| = @7 + | |а5| + I |о£з| , надк^к 1 Р8 + ас2{<р) |«б| + ац((р) \а4\ 4- - =

Из нормированных моментов Чсбышева-Эрмита исходного распределения Р можно получить нормированные моменты Чебышева-Эрмита распределения Рп, используя формулы где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел .,21, что З73 + . + = I и 70 + ,7з + ••■ +М = п, 31 = п = Часто выражение (2) записывают в виде в1[Рп) = ^ (п - (¿3 + Л ' (3) где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел п, ■■■Ль что + . + = зъ + . + 31 < п. Формулу (2) можно преобразовать к виду ^-& # (4)

Щ пЧ'1 ^ (п -(], + . + тоз!" л! ' ' где суммирование ведется по таким же как в (3) наборам неотрицательных целых чисел ^з,.,—

Поскольку могут существовать не все моменты исходного распределения, то возникает необходимость ввести понятие квазимомента Чебышева-Эрмита [63, стр. 136]. Нами в дальнейшем будут использоваться нормированные квазимоменты Чебышева-Эрмита уровня т распределения Рп, которые будем обозначать в^п\Рп). Их можно получить из формулы (4) для 0/(Ртг), если в ней положить 6j = 0 при j > т. То есть в правой части формулы берутся те слагаемые, в которых присутствуют моменты Чебышева-Эрмита только с номерами, не большими га. Это можно записать с помощью формул о\т\Рп) = Е• (5) где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел ]0,Ух, :.,.7т, что + . + тзт = 1 и ^ + зъ + . + зт = п. Или формул в Ы п\

0я Л

Зз в,

Зт п т ^/2

6) где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел .,3т: что З.73 + . + тзт = I ,?з + ■■■+ зт ^ п.

Формулы для некоторых из описанных выше величин и используемых в дальнейшем приведены ниже: ез(Рп) = , 04(Рп) = & , ^б(Рп) = ^ , б(Рп) = ¿Г [0в + (п ~ 1)|] , е7(Рп) = [07 + (п - 1)0304] ,

08(Рп) = [^8 + (П - 1) (0305 + |)] , 09(Рп) = ^72 [^9 + (П - 1) (0306 + 0405) + (П - 1)(П - 2)|

0ю(Ргг) = ¿4 [010 + (П - 1) (^307 + 0406 + + (п - 1)(п - 2)§£?4] ,

011 (Рп) = Ж- [011 + Ы ~ 1) (0308 + 0407 + 050б) + п-1)(п-2) (|05 + 0з|)] ,

012 (Рп) = ¿Г [012 + (П " 1) (0309 + 0408 + вБв7 + ?) + тг - 1)(п - 2) (§вв + 030405 + I) + (п - 1)(п - 2)(п - 3)| .

Заряды. Зарядом мы будем называть знакопеременную меру, то есть счетноаддитивнуго функцию С}(А), определенную на борелевских подмножествах действительной прямой, такую, что = 1 и которая может принимать отрицательные значения. Все заряды, которые будут использоваться в работе, имеют плотности, обозначаемые в дальнейшем через q(x). Для зарядов будут рассматриваться числовые и функциональные характеристики, аналогичные тем, что используются для распределений. Здесь стоит заметить, что поскольку заряд - знакопеременная мера, то определение абсолютного момента заряда будет иным: оо

Ш)= I \х\кЫх)\(1х, к = 0,1,2,

-оо

Характеристическую функцию заряда Q условимся обозначать следующим образом: оо g(t)= j eitxq(x)dx. — 00

Асимптотические разложения для распределений и плотностей с использованием многочленов Чебышева-Эрмита

Рассмотрим в историческом контексте, насколько это возможно, основные известные результаты, связанные с точностью асимптотических разложений в ЦПТ.

Поскольку справедливы следующие равенства оо

J Hk(x)Hi(x)<p(x)dx = 0, при к, I — 0,1,2, .и к ^ I, оо оо

J Hl(x)<p(x)dx — к\, при к = 0,1,2,. , оо многочлены Чебышева-Эрмита образуют в R ортогональную систему с весом <р(х), то функции действительного переменного h(x) формально можно сопоставить ряд

00

------------~ ^скнк(х), ^ ---к=О где Ск - коэффициенты Фурье, которые находятся по формуле

00 сь = Ь. J h{x)Hk(x)(p{x)dx. оо

Для всех функций /¿(ж), таких, что xkh{x)ip{x) G L(—оо;+оо). данные коэффициенты существуют.

Впервые подобное разложение появилось в 1859 году у П. Л. Чсбышева [77]. В своих работах их использовал А. А. Марков [36] (см., например, стр. 568). Для сходимости ряда достаточно потребовать [1, стр. 431], чтобы функция h(x) была кусочно-гладкой на R и сходился интеграл оо

J |ж| h2(x)(p(x)dx. Тогда ряд сходится к h{x) в точках ее непрерывности оо и к (Н(х — 0) + к(х + 0)) /2 в точка разрыва. Для сходимости ряда к Н(х) в точке х необходимо и достаточно [19, стр. 67], чтобы при к оо выполнялось следующее условие

00

Ш / Н{х)х - у[у) (НыШМ - нк(х)нк+1(у)) ч>Шу - о. оо

В настоящее время известно достаточно много таких разложений. Например, , -*>^Ы)к1?ктт Г ^ . П л гг г ^ соб^х) = е 2 (2к)\ 2к^ ' БШ( ^ = 6 5 (2к 4-1)! Н2к+1^ ' к=0 ^ к=0 ^ ''

Существует связь между коэффициентами данного разложения и коэффициентами разложения функции по многочленам хп. Она определяется соотношениями Нильса Нильсона, представленными, например, в [19, стр. 69]. Так, пусть оо оо

Н(х) = ^^скНк(х) и Н{х) = ч^2скхк . к=О к=0

Тогда имеют место следующие соотношения оо 00 к\Ск = (та + 2э)\сп+2з и к\ск = ^а^Ы (та + 2^\Сп±2^ о о=о

Очень часто оказывается удобнее рассматривать ряд не по многочленам Чебышсва-Эрмита, а по функциям вида Нк(х)<р(х) [11, стр. 197]. Ряд по данным функциям имеет вид оо ^2скНк(х)(р(х) к= О где коэффициенты ск находятся по формуле оо Н J h(x)нk(x)dx оо

Ряды такого рода называются рядами Грама-Шарлье. Разложение Грама-Шарлье, вообще говоря, нерегулярно, то есть может существовать такой номер, что разложение до пего дает лучшую аппроксимацию, нежели разложение до следующего за ним слагаемого.

Для плотности функции распределения [30, стр. 248], функции распределения и характеристической функции случайной величины Х\ такие формально выписанные ряды, с точность до обозначения коэффициентов, имеют следующий вид:

00 р(х) = ф) + ]ГОкНк(х)ф), (7) к=3 оо

F(x) = Ф(х) - Y^OkHk-^xMx), (8) к=3 оо f(t) = e-i2 + ]T0k(it)ke-? / (9) к=3

Отметим, что у Г. Крамера [81, стр. 21] разложение Грама-Шарлье записывается в несколько ином виде: произведение Нк(х)(р(х) везде заменяется на (—1 )к(р(к\х). В [8, стр. 206, 207] можно встретить оба представления. Одно используется для плотности, а второе для функции распределения. Правда, для функции распределения (см. также [85, стр. 4]) используются величины ф(к\х) — (—l)k~1Hk-i(x)(p(x). Мы используем эти разложения в удобной для нас форме. Поэтому в данной работе к ^ 1, заменяется на произведение (х)ср(х), а

1 )к<р(к)(х) на Hk(x)ip(x). С некоторыми практическими применениями рассматриваемых разложений можно ознакомится в пояснительной части сборника [4, I].

В данных выше суммах отсутствуют слагаемые с к = 1,2, поскольку наложенные на распределение Р ограничения однозначно определяют значения в\(Р) — 02{Р) = 0, а 0о(Р) = 1 для любого распределения Р.

Г. Крамер [30. стр. 249] говорит, что если оо

J e?dF(x) < оо , 00 то ряд (8) будет сходиться при любом х к сумме F(x). Если, кроме того, функция плотности р(х) имеет ограниченную вариацию на (—со; оо) , то ряд для плотности (7) сходиться к р(х) в каждой точке непрерывности р(х). Если эти условия не выполнены, то разложения могут расходиться [30, стр. 286].

При изучении нормированных сумм случайных величин появляется новая переменная - количество слагаемых в сумме. Для таких величин (например, для плотности рп (х)) Ф. Эджворт использовал разложение следующего вида

Рп(х) = ip(x) + ^-^¡Г-Ф), к—1 где полиномы lsk-i{x) являются линейными комбинациями многочленов Чсбышева-Эрмита степеней не выше ЗА; — 1, а коэффициенты определяются только первыми к + 2 моментами распределения F(x). Разложения такого вида называются разложениями Эджворта-Крамера (в [5, стр. 230,228] Крамера-Эджворта). Г. Крамер [30, стр. 254] говорит, что ряды подобного вида ввел Ф. Эджворт [84]. Для функций распределения данное разложение имеет вид: к=1 П

Ю.В. Прохоров пишет [55, стр. 7], что "П.Л. Чебышеву принадлежит идея изучения асимптотического поведения разности Fn(x) — Ф(х) , и им оо же было дано для этой разности формальное разложение" ''где к—1

Qk{x) - многочлен, коэффициенты которого зависят только от к + 2 первых моментов функции распределения F(x)'''.

B.B. Петров в работе "Предельные теоремы классического типа для сумм независимых случайных величин" [51, стр. 17] также говорит, что "замысел асимптотических разложений в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин принадлежит П.Л. Чебышеву и нашел воплощение в работах Г. Крамера, К.-Г. Эссеепа и других авторов" и приводит следующий результат К.-Г. Эссеена.

Если М \т+2 < оо для некоторого целого выполнено условие

С) Крамера lim sup|/(i)| < 1, то i|-+oo т,рк(-ф). ( 1 \

П —> ОО, k=1 ^ где Рк(—Ф) = Рзк-1(х)(р[х), а Р^к-1(х) - полином степени Зк — 1 относительно х с коэффициентами, зависящими только от моментов случайной величины Х\ до порядка т + 2 включительно. Разложения для разных конкретных значений т и при. различных условиях, накладываемых на исходные величины, были получены Г. Крамером (см., например, [80, 81]) и рассматривались К.-Г. Эссеном [85]. Достаточно подробно этот вопрос изложен в монографиях [82], [8, гл. 8] и [49].

Явные формулы для Рк(—Ф) в терминах семиинвариантов в 1962 году получены В.В. Петровым в [46]. Многочлены Ф) допускают следующее представление [40]: где суммирование ведется по всем наборам целых неотрицательных чисел Л:-чЭк таким, что л + 2^'2 + ••• 4- Ау* = к и л + П + ••• + jk = т + 2, а 7нормированный семиинвариант (кумулянт). Последняя формула позволяет понять присутствие Ф в обозначении Рк{—Ф). Для выражения 7к шхк через нормированные моменты ак — можно использовать следующую формулу [92]: где суммирование производится по тем же наборам, что и в предыдущем равенстве.

Эти формулы использовались Л. В. Осиповым при построении асимптотических разложений в работе [39]. В [42], являющейся уточнением результата из [39], при условии (Зт+2(Р) < оо для т ^ 1, т 6 Ъ им доказывается неравенство, которое при условии БХ = 1 имеет следующий вид: ' т ад) - ф(х) 1 й(1+М)) Ы<0г(1+|Я|) 11+1*1> \|г|>1/(15/?3) ) ) где с(т) - постоянная, которая зависит только от га. Л.В. Осипов замечает, что если при этом дополнительно выполняется условие (С) Крамера,

16 то третье слагаемое в правой части данного неравенства есть величина 0(е~5п): Ô > 0, а также приводит следующую оценку В.А. Статулявичуса [67, стр. 650] sup |/(f)| < exp (-9^(2^7-1)0 • i|>7 4 7

В самой работе В.А. Статулявичуса [67, стр. 649] имеется асимптотическое разложение при flm+2(F) = M I^Yil771"1"2 < оо для m ^ 1, m € Z и р(х) ^ С < оо, которое при условии DX = 1 выглядит следующим образом то—1 ад - Ф(х) + X^ÇfcOrMs) + к=1

ШК)ехр ' (10) где û!i(SPTi,7r/?3) - некоторая функция, для которой имеется оценка снизу; Ci, С2 - константы, для которых приведены оценки сверху; Qk(%) -многочлены, формулы для коэффициентов которых приведены в статье и отсутствуют здесь в силу достаточно большого объема вспомогательных обозначений; = {Дн, Сц, % = 1,2,.} - набор непересекающихся интервалов Ац длины и положительных консант С и ^ оо.

Формула (10) является следствием представленных в той же работе асимптотических разложений по дробям Ляпунова характеристической функции и функции распределения нормированной суммы последовательности независимых случайных величин, также исследуемых автором в его более ранних работах [65, 66].

В работе [42] JI.B. Осиновым в предположении справедливости условия (С) Крамера и M ¡Xip^2 < оо доказана следующая оценка m] ад - фы к=1 где е(х) - некоторая положительная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности. Оценка подобного характера представлена им в работе [38]. Похожая оценка для плотностей для абсолютно непрерывного

17 распределения с ограниченной плотностью была найдена В.В. Петровым в [48].

Таким образом,

1 + И) т+2 ад .(, к=1 о п т/2 П оо, и равномерно по х справедливо равенство т

Л=1

Л.В. Осипов [42] отмечает, что при выполнении условия (С) Крамера неравномерные оценки рассматривались в [39], [85], [2], [70]. Приведенные выше оценки из [42] являются уточнением основного результата из [39]. Полученные П. Сурвилой в [70] оценки в предположении выполнения условия (С) Крамера и М|Х1|т+2 < оо имеют меньшую точность относительно переменной х, чем оценки в [42] и [39]:

1 + \х\т+1) т ад) - ф(х) к=1 о (^д) , п 00

В работе [70] П. Сурвилы, также как и в работах В.А. Статулявичуса [65, 66, 67], представлены доказательства асимптотических разложений по дробям Ляпунова. Другие разложения, принадлежащие П. Сурвилс, можно найти в его более ранних работах [68, 69]. Подобные разложения по дробям Ляпунова представлены в работе В. Пипирас [52]. Однако, в [52] они используются для построения различных оценок в центральной предельной теореме.

А. Бикялис [2] доказал, что при выполнении условия (С) Крамера и М |Х1|3 < оо имеет место соотношение ад = ф(х) + + О ^ , п - оо .

Отметим, что в работе [3] А. Бикялис получил оценки остаточного члена в асимптотических разложениях для степени характеристической функции и ее производных. Эти оценки продолжают подобные исследования Г. Крамера [29, стр. 90], В.А. Статулявичуса [65], К.-Г. Эссеена [85]. В качестве вспомогательных подобные разложения можно встретить в работах

А. Бикялиса [3], А. Кароблис [22], В.В. Петрова [48, 49], А. Сурвилы [68]. Работа К.-Д. Крузе [31] в некотором смысле обобщает эти исследования.

Разложение со слагаемым порядка п"1,12 представлено в работе Ю.В. Линника [34].

Л.В. Осипов [41, стр. 332] в 1971 г. при выполнении условия (С) Крамера и существовании конечного абсолютного момента степени т 4- 2 получил следующее разложение при п —> оо т ад = + + к=1

00 / т+2 \ п ( + ¿^ЙЯ^М*) <1Р{у) + о ,

V Л=0 / где формальная запись Н-.\{х)^р{х) заменяется Ф(:с), функции Рк(—Ф) определены выше и являются суммами производных -£хФ{х) с коэффициентами, зависящими от начальных моментов случайной величины Хъ а функция Рт+1(-Ф) = Рт+1(~Ф) - {-1)т+*ат+зНт+2{х)р{х) выражается через первые т + 2 моментов величины Х\. Напомним, что ат+1В наших обозначениях равно .

Как отмечает В.В. Петров в [51, стр. 18] методы и результаты Л.В. Осипова были в дальнейшем использованы и развиты Л.В. Розовским (см., например, [57]), П. Холлом и другими (см. также [93, стр. 184-185]).

В работе [18, стр. 19] П.Г. Инжевитовым получена неравномерная оценка остаточной части разложения в локальной предельной теореме для плотностей, которая является аналогом оценки остатка Л.В. Осипова [42] асимптотического разложения в интегральной предельной теореме, приведенной выше. Так, если (Зт+2{Р) < оо для т ^ 1, га Е Ъ и Т)Х = 1, а для некоторого п = щ плотность рПо (х) ^ о при всех х, то существует постоянная С1, зависящая от щ, со и Р (х), такая что рп (х) ^ 1 при п ^ щ и всех х и, кроме того, т с=1 у|>л/п(1+|х|) f \y\m+3dF(y)+ y|<0»(l + |®|) sup \m\ + i Ji|>l/(12M|Xaf) для всех n ^ 2no + m + 3 и всех x. Константа c(m) положительна.

П.Г. Инжевитов отмечает, что существование плотности рП{) (х) влечет условие lim \f(t)\ ~ 0. Поэтому sup|/(t)| < 1 для любого S > 0 и У sup \f(t) \ + тЬ убывает быстрее, чем п р при любом р > 0. В этой же фб J работе П.Г. Инжевитов сравнивает найденную им оценку с неравномерной оценкой А. Кароблиса [22, стр. 132] (см. ниже).

И.А. Ибрагимов [16] в 1967 г. рассмотрел необходимые и достаточные условия аппроксимации Fn{x) заданным отрезком ряда Чебышева то

Ф(ж) 4- До этой работы были известны достаточные условия, fc=i полученные Г. Крамером [8, стр. 235]. И.А. Ибрагимов рассмотрел произвольную числовую последовательность = 0, /¿2 = 1, /^з, по которой построил полиномы Qk{x) таким образом, чтобы их коэффициенты выражались через /х3,., fjf.+2 так, как коэффициенты классических полиномов Qk{x) выражаются через семиинварианты Аз,., А&+2, обозначив их через 7Г\, тто, ., 7Г/с, ■■■■ Он привел несколько различных необходимых и достаточных условий равномерной сходимости по х при п —> со, отличающихся точностью аппроксимации. Приведем одно из его утверждений. Для того чтобы при п со равномерно по х ад = ф(з) + ф)£9Ш+ к—1 m = l,2,.,0<Ä<l, (11) необходимо, а для распределений, удовлетворяющих условию (С) Крамера, и достаточно, чтобы

1) Был конечен абсолютный момент порядка m + 2, и сх{ = щ , г = 1,2, .,т + 2 ;

2) I \x\m+2 dF(x) = 0(z-s), zoo. x\>z

Так же он доказал следующее утверждение, связанное с данным разложением. Для того, чтобы выполнялось соотношение (11), где теперь О < 6 ^ 1, необходимо, а для распределений, удовлетворяющих условию (С) Крамера, и достаточно, чтобы т+2 f(t) = ехр -|2 + + о (|*Г2+5) ,¿-00. к=3

Отметим, что JI. В. Розовский [58] уточнил один из результатов И.А. Ибрагимова [16].

Достаточно подробно необходимые и достаточные условия сходимости рассмотрел А. Кароблис [20, 21, 22]. Например, в его работе [22] в теоремах 3-6, 8-11 сформулированы и доказаны различные варианты необходимых и достаточных условий сходимости. При построении асимптотических разложений с неравномерной оценкой остаточного члена А. Кароблис [22] использует понятие сопряженного момента ps+i = sup f |x|s+1 dF{x) + z [ \x\s dF(x). z>0J J x\>z

А. Кароблис отмечает, что "впервые такую характеристику при s = 2 использовал К.-Г. Эссеен [88]", а слагаемые, входящие в нее, "совпадают с величинами, использующимися в необходимых и достаточных условиях И. А. Ибрагимова". Используя ps А. Кароблис [22] доказывает (сравните оценку остаточной части с (10)), что при существовании у исходных случайных величин конечного сопряженного момента порядка т + 2 и существовании целого числа N ^ 1 такого, что maxpjv (х) ^ С < оо, равномерно по х для х любого / = 1,2,., т + 1 справедливо неравенство

1 + х)1

771—1

Рп(х) - ф) к=1 С., йй§)' (^ + *Сп<™supexp , где CSji - постоянная, зависящая от s и Z, и

Q= {t ■ |í| x 1, m = l,m = 2k,keN

32ecx(?7i+l) \am+2J J ' U 771 = + 1, fc € N '

В работе [53] Ю.В. Прохоров показал, что для обширного класса дискретных распределений асимптотическое разложение сохраняет свою силу и указал порядок убывания остаточного члена в терминах о-малого. Он рассматривал функцию F(x) = pFi(x) + (1 — p)F2(x), Fi(x) — функция распределения некоторой случайной величины с Pm(Fi) < +00 (т ^ 3, т £ Z), F2(x) - это функция дискретного распределения случайной величины с возможными значениями z, zq, zi,., zM (/a > 1), a 0 < p < 1. Вводятся следующие величины = (zk — z) / (zq — z) , к — и требуется, чтобы следующее неравенство имело лишь конечное число решений в целых числах гk, s: max |Afc - < . i 1—-г, ^ > 0.

Тогда mm(/í,m—2) ад = Ф(») 4- Е + к=1 п —► оо , где £о - любое число строго большее е , а функции Рк{~Ф), как написано в оригинале, линейная комбинация производных функции Ф(ж) с коэффициентами, зависящими только от моментов распределения Р(х).

В другой его работе [54] присутствует следующая теорема. Если случайные величины имеют математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице, а также существует такой номер по, что в разложении = а^Яп^х) 4- ЬПоЗПо(х) на абсолютно непрерывную

Ипа{х) и сингулярную ¿?По(ж) части коэффициент аПо положителен, то при существовании т + 2 момента у исходных случайных величин справедливо равенство оо оо т—1

Мх) - <р(х) к=1

Mf)'

Отметим также, что параграф 3 работы [55] Ю.В. Прохорова полностью посвящен "асимптотическому разложению, основанному на нормальном распределении".

Вплоть до недавнего времени основной недостаток всех асимптотических разложений, за одним исключением для биномиального распределения [96, стр. 129-130], состоял в том, что оценки точности, которые они гарантируют, нельзя было доводить до численных результатов.

В работе [96, стр. 129-130] для биномиального распределения Я. Успенский приводит асимптотическое разложение, которое, как нам кажется, в удобной форме, представлено в [56, стр. 184]. В [56] для всякой функции Я (х) вводятся величины Я ( ¿А + — ) - Я , ^ а через РхГ1 обозначается вероятность того, что число успехов (обозначамос через га) в схеме Бернулли удовлетворяет неравенствам А ^ т ^ ¡1. Далее для данной схемы будем придерживаться стандартных обозначений: п - число испытаний в схеме Бернулли, р - вероятность успеха в одном испытании, д = 1— р- вероятность неуспеха, а = л/прд- среднеквадратичное отклонение, гк — {к — пр) /и - нормированные величины. Тогда справедливо разложение где и при npq ^ 25

Р\и = Фаи ~ ^Аи + и>, ф (х) = У р (хг е-^2/2 ] 3\л/2ттрд 4 & '

0.13 4- 0.18 \д — р\ + еЪпт/2 прд

Отметим, что если независимые одинаково распределенные величины Х\, Х2, . принимают значения —р/у/м и д! у/рд с вероятностями д и р, 0 < р < 1, р + д = 1, то эти случайные величины имеют нулевое среднее, единичную дисперсию и для них справедливо предыдущее разложение [63, стр. 95].

Первые явные оценки точности в общем случае были получены Р. Шимицу [95], В. Добрик и Б.К. Гошем [83]. В этих разложениях к нормальному закону добавлялось слагаемое, убывающее как 1 /л/п и были получены оценки точности которые убывают как 1 /п.

В работе [95] для абсолютно непрерывного распределения Р с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и конечным четвертым моментом (здесь аз = МХ^, щ = МХ*), плотность которого представляет собой функцию ограниченной вариации р(х) и полная вариация равна М < оо, доказывается следующее разложение ад = ф(х) - £^=н2(хЫх) + к (х), где вир |7ГnR« (*)| < у + Z-n/2a<) + 2^+

1 - 2)' min Г2 6щМ2 . Ьп/2

4^/71 L а с = с(а4) = a4log ^ - ^ I L = ,и к= [3 щМ2].

В 1999 г. В.В. Сенатов [61] построил с помощью вспомогательного заряда асимптотическое разложение для рп(х), для которого была получена и явная равномерная оценка точности данной аппроксимации. Это было сделано для гладких симметричных распределений с известными т + 2 первыми моментами. В дальнейших работах (см., например, [62]) ограничения па симметрию были сняты.

В 2001 г. А.Е. Кондратенко [26] получил явные оценки точности аппроксимации плотности и функции распределения нормированных сумм п независимых случайных величин с распределением F, для которого известны первые т -f 2 моментов, с точностью п~т/2 при помощи их асимптотических разложений по многочленам Чебышева-Эрмита. Как отмечает сам автор, в ходе построения аппроксимаций возникают "ограничения на всевозможные, в том числе и новые, характеристики аппроксимируемого распределения". Так, например, при выполнении условия Крамера и достаточно сильных ограничениях па моменты исходных случайных величин им [26, стр.96] получен следующий результат: ад) = Ф(,о - £ .

3j3+.+mim+i<3m-2 mjm—1 m\J n3/233+.+m/2jm+1 ТЬП) где i = 3, .,га, - г-й семиинвариант распределения Fn{x), а еп - наше обозначение остатка, для которого в работе приведена явная формула,

24 которая опущена у пас по двум причинам: громоздкости и наличия дополнительных необщепринятых обозначений, которые в свою очередь требовали бы дополнительных пояснений.

В 2009 г. вышла в свет монография В.В. Сенатова "Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения"' [63], в которой предложены новые подходы для построения асимптотических разложений, основанные на использовании сопровождающих зарядов, с помощью которых получены разложения с явными оценками точности. Многие из этих результатов будут рассмотрены нами в дальнейшем. В [63] асимптотические разложения были получены и без использования сопровождающих зарядов, что позволяет сиять ограничения на моменты, но оценки остаточных частей были очень громоздки. Уточнения этих разложений будут получены в главе 2.

Изложим некоторую теоретическую часть из данной работы, которая позволит взглянуть на приведенные выше результаты различных авторов с единой точки зрения и понять не только общую логику их построений, но и связь одних разложений с другими.

Любое разложение можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое, которое выписывается в явном виде, называется главной частью разложения, а второе, для которого указывается лишь его оценка, - остаточной частью разложения. Например, если (5т+2 < оо и выполнены некоторые условия гладкости распределения исходных случайных величин, то

Зт—3 >

Рп(х) = ф) + ^ вк{Рп)Нк(х)ф) + Я, к=3, кфЪтп-А где В, - остаточная часть разложения. Главная часть данного разложения представляет собой отрезок ряда Грама-Шарлье для плотности распределения рп(х). Точность такой аппроксимации О (п~т/2), то есть Я — О (п~т/2) при п —> оо. При этом необходимо, чтобы у исходного распределения существовало, как минимум, 3т — 3 первых момента. Как отмечает В.В. Сенатов [63, стр. 124], еще в двадцатых годах двадцатого века Г. Крамер (см., например, [30, стр. 253]) обратил внимание па то, что разложения Эджворта гарантируют такую же точность разложения при предположении существования не более т+2 моментов (в [16] показано, что при четных т для равномерной по х аппроксимации с точностью О (п~т/2) необходимо существование т + 2 моментов исходного распределения). В.В. Сенатов предполагает, что из-за замечания Г. Крамера исследователи стали уделять основное внимание разложениям Эджворта, которые в настоящее время называются разложениями Эджворта-Крамера. В то же время можно получать разложения типа разложений Грама-Шарлье с меньшим числом моментов. Так В.В. Сенатов приводит разложения, которые называет короткими разложениями Грама-Шарлье: т+1 Зт—З

Рп(х) = ф) + ¿Гек(рп)нк (х)ф) + в^+1\рп)нк{х)ф) + я. к=3 к=т+2, /с^Зт-4

Для получения такого разложения моменты Чебышева-Эрмита порядков, больших т+1, представляются в виде следующих сумм Ок(Рп) = в^+1\рп) + вк,т(Рп), где вк,т(Рп) = О (п~т/2) при П

00, а величины #[т+1^(Рп) связаны с моментами порядков не выше т +

1, после чего все слагаемые, содержащие члены 9к,т{Рп), переносятся в остаток, поскольку их порядок убывания по т не меньше порядка убывания остаточной части разложения. При этом вид остатка меняется, а скорость стремления к нулю - нет.

Величины вкп+1\Рп) также пред ставимы в виде сумм 0^п+1\рп) — Щ?1^^ (Рп)~^~@к,т(Рп)) в которых величины 9к,т(Рп) имеют скорость убывания при росте п не ниже скорости убывания остатка При желании их можно перенести в остаточную часть. После подобного преобразования вид остатка вновь изменится, оставляя скорость убывания остаточной части неизменной. Новое разложение можно записать в виде т+1 Зт-З рп{х) = ф) + ^вк(Рп)Нк(х)ф) + £ ё{™+1(Рп)Нк(х)ф) + я. к=3 к=т+2, кфЗт-А

Данное разложение с точностью до группировки слагаемых представляет собой разложение Эджворта-Крамера, которое после упомянутой группировки можно записать в виде:

771—1

3=1 где, как было указано выше, полиномы Къ3-\{х) являются линейными комбинациями многочленов Чебышева-Эрмита степеней не выше З7 — 1, а

20 коэффициенты определяются только первыми j + 2 моментами или семиинвариантами распределения F(x).

Краткое содержание и основные результаты диссертации

В данной работе получены явные оценки точности аппроксимации распределения Рп асимптотическими разложениями. С точки зрения практического улучшения оценок и снятия ограничений глава 1 данной работы тесно связана с работами В.В. Сенатова [61, 24] и А.Е. Кондратенко [24, 26], глава 2 является обобщением и уточнением результатов представленных в монографии В.В. Сенатова [63].

Необходимость изучения асимптотических разложений связана с тем, что сама ЦПТ, в которой распределение Рп аппроксимируется нормальным законом, имеет довольно малую точность. Так, из одной нижней оценки постоянной в известной теореме Берри-Эссеиа [78] следует, что для того, чтобы теорема Берри-Эссепа гарантировала точность аппроксимации порядка Ю-3 число слагаемых в нормированных суммах должно быть более 160 тысяч [63, стр. 71].

До недавнего времени (см. выше) оценки точности асимптотических разложений для распределений сумм независимых случайных величин формулировались в терминах 0(п~к) , о{п~к), как, например, в работах И.А. Ибрагимова [16] и Л.В. Осипова [41], или в них использовались константы, для которых гарантировалось лишь их существование или утверждалось существование некоторой функции г(п) —> 0 при п —> оо [48, 42]. Такие оценки непригодны для получения конкретных численных значений, в^ то же время практическое применение данных разложений часто требует конкретных численных значений оценок остаточных частей. Исключением из сказанного являлись лишь работы R. Shimizy [95] и V. Dobric, В.К. Ghosh [83], в которых исследовались так называемые короткие асимптотические разложения и в которых налагались достаточно сильные ограничения на распределения исходных случайных величин.

Возможно, первой статьей, в которой подробно рассмотрены такие вопросы, является статья В.М. Золотарева [15] (см. также [14, стр. 225]). В ней автор делит поток публикаций на две группы. "Одна относится к категории фундаментальных исследований, направляющих развитие этих дисциплин, а другая, значительно более обширная, посвящена решению конкретных задач".

В свою очередь вторую группу он делит на три категории. "Первый уровень отвечает предельным теоремам, устанавливающим вид возможных предельных аппроксимаций и условия их выбора. . Второй уровень соответствует разнообразным уточнениям предельных теорем первого уровня. . Третий уровень объединяет те уточнения предельных теорем, которые допускают принципиальную возможность их использования при числовых подсчетах. уточнения третьего уровня разумно, в свою очередь, разделять на две категории - на формальные уточнения, практическая ценность которых оказывается невысокой, и реальные уточнения, способные обеспечить нам достаточно полную информацию о действительной погрешности приближения в типичных ситуациях".

После публикации [15] мы видим оживление в исследованиях. Надеемся, что и данная работа позволит сделать еще один шаг по превращению формальных уточнений в реальные.

При построении асимптотических разложений нам представляется естественным получать разложения Грамма-Шарлье для рп(%) без использования вспомогательных зарядов (хотя формально можно сказать, что мы использовали заряд с характеристической функцией д(¿) = е-*2/2). При таком построении асимптотическое разложение рп(х) находится с помощью интегрирования (преобразования Фурье) разложения характеристической функции /п • А само разложение получается с помощью многократного применения преобразования, аналогичного преобразованию Абеля. Каждое из этих преобразований добавляет в главную часть разложения /п члены более высокого по п порядка, тем самым уменьшая порядок остатка. Однако, оно же и увеличивает количество слагаемых в оценке остатка.

Применение зарядов позволяет сократить как выкладки, так и количество слагаемых в оценке остаточной части разложений. Возможно поэтому такой подход часто [16, 53, 24] применялся при построении асимптотических разложений. Однако, при использовании зарядов проявляются, по крайней мере, две трудности.

Первая из них состоит в сложности априорного выбора наиболее подходящего для решения задачи заряда. Связано это с тем, что проблемы, возникающие из-за использования различных зарядов, проявляют себя в разных местах доказательств. Так, например, для зарядов, примененных Ю.В. Прохоровым [53], легко выписывалось обратное преобразование Фурье характеристической функции заряда, однако, возникали трудности при поиске этого же преобразования для свертки зарядов. У зарядов, рассмотренных А.Е Кондратенко [26] и В.В. Сенатовым [61, 62], все с точностью наоборот. Отметим, что при использовании зарядов одно из этих обращений всегда более сложно.

Вторая трудность, связанная с зарядами, состоит в том, что их нельзя использовать без некоторых ограничений на исходные случайные величины (например, па моменты распределения данных величин), так как иначе характеристическая функция заряда). При применении различных зарядов могут возникать разные ограничения.

Наилучшие результаты получаются при сочетании идей построения разложений без зарядов с известными подходами, использующими заряды. При этом удастся получить точно такие же главные части разложений, ио с более точными и менее громоздкими оценками остатка. Уже при незначительной длине разложений преимущество этого способа становится очевидным. Так, чтобы избежать упомянутых ограничений, в работе используются заряды с характеристическими функциями д(/") = е-г-/2+£02ь.+1(гг)2Ь+1 только с нечетными степенями переменной (И) более второй, а члены разложения с четными степенями более второй будем получать с помощью преобразования, подобного преобразованию Абеля.

В главе 1 диссертации с помощью описанного выше метода получены асимптотические разложения в ЦПТ для независимых одинаково распределенных случайных величин Х\, Х2,. , у которых конечны моменты (Зт+2, т = 4,5,6. Эти разложения занимают промежуточное место между разложениями Эджворда-Крамера и короткими разложениями Грамма-Шарлье [62].

Утверждения теорем 1 и 2 главы 1 отличаются от соответствующих результатов, приведенных в [62], главным образом тем, что в теоремах 1 и 2 нет ограничения 9^{Р) ^ 6, присутствующего в [62]. Аналога теоремы 3 в [62] нет.

Как говорилось выше, построение разложений с помощью зарядов дает меньшее число членов в оценке остаточной части разложения, но влечет интегралы дп(х) расходящимися (д{£) определенные ограничения па моменты исходного распределения. Новый вид асимптотических разложений решает обе трудности одновременно. При построении таких разложений не используются дополнительные ограничения, а так же оценка остатка сравнима с оценкой остатка разложений, построенных с помощью зарядов. Техника построения предложенных асимптотических разложений в основном повторяет техники, используемые нами при построении известных видов разложений как с помощью зарядов, так и без них.

В главе 2 получен новый вид асимптотических разложений в ЦПТ с явной оценкой остаточной части разложения для независимых одинаково распределенных случайных величии Х1,Х2,.-. , у которых конечны моменты (Зт+о, т ^ 2. Формула для оценки остатка обладает рядом преимуществ по сравнению с известными на данный момент формулами остатка для аналогичных разложений. Найдена новая формула для моментов Чебышева-Эрмита #/(Ртг). Вводится понятие (формула) усеченных квазимоментов Чебышева-Эрмита ^!т+1\Рп)- С помощью данных формул для 0/(Рп) и Цт+1\Рп) указывается связь между новыми асимптотическими разложениями и короткими разложениями Грама-Шарлье, которая позволяет получать запись новых разложений в виде разложений Грама-Шарлье с явной оценкой остатка. Найдены новые формулы для многочленов К^х), з = 1,2, .,т — 1 , участвующих в разложении Эджворта-Крамера. С помощью этих формул устанавливается связь между новыми асимптотическими разложениями и разложениями Эджворта-Крамера.

В главе 3 указано как, используя результаты глав 1 и 2, строить асимптотические разложения для функций распределения. В ней указан способ построения разложений в локальной форме ЦПТ для решетчатых распределений. Проводится сравнение разложений, полученных с использованием и без использования сопровождающих зарядов. А также приводятся некоторые численные иллюстрации.

В заключительной части работы проводится сопоставление построенных асимптотических разложений и разложений Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера.

В работе используются метод характеристических функций, метод метрических расстояний (по терминологии В.М. Золотарева), метод сопровождающих зарядов, а также другие методы теории вероятностей, математического и функционального анализа. Для построения разложений используется, аналогичное преобразованию Абеля, преобразование

71—1 п - дп = (f-9)j=о

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях:

1. Соболев В.Н. Об асимптотических разложениях в центральной предельной теореме // Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 54, в. 3. с. 490-505.

2. Соболев В.Н. Об асимптотических разложениях в ЦПТ // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика., 2010, № 28, в. 3(18), с. 35-47.

Результаты диссертации докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством чл.-корр. РАН, проф. А. Н. Ширяева (мех-мат МГУ, 2010 г.), на семинаре "Прикладные задачи теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания" под руководством проф. Ю.С. Хохлова, проф. В.В. Рыкова, проф. A.B. Печинкина (РУДН, 2010 г.), на семинаре "Теория риска и смежные вопросы" на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. В.Ю. Королева (ВМК МГУ, 2010 г.), на "VIII Международных Колмогоровских чтениях" (Ярославль, 2010 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Владимиру Васильевичу Сенатову за постоянное внимание к данной работе и полезное обсуждение ее результатов.

Заключение

Предложенные асимптотические разложения обладают рядом преимуществ перед существующими в контексте известных и применяемых на данный момент методов исследования при решении рассматриваемой задачи. Так, данные асимптотические разложения при условии существования достаточного количества моментов у исходного распределения могут быть выписаны любой длины, что позволяет гарантировать сколь угодно высокую точность аппроксимации. При этом ограничения, которые налагаются на исходное распределение, в сравнении с аналогичными разложениями слабее. А для остаточной части разложения имеются явные оценки точности.

Оценка остаточной части предложенного разложения имеет понятную структуру и, при сравнении с аналогичными известными оценками, является предпочтительней. Разложения данного вида имеют непосредственную связь как с разложениями вида Грама-Шарлье, так и с разложениями вида Эджворта-Крамера. Эта связь дает возможность получать разложения вида Грама-Шарлье с явными оценками остатка и разложения Эджворта-Крамера. Как известно, для разложений вида Эджворта-Крамера ие существует явных оценок остаточной части разложений для любого порядка убывания по га. Это говорит о сложности структуры такого вида разложений для современных методов исследования и современной постановки задачи. Для разложений вида Грама-Шарлье существуют оценки остатка как для конкретных значений порядка убывания по п, так и общие формулы для разложений любого порядка убывания по п.

Как было показано выше, при нахождении разложений Грама-Шарлье конкретной длины (фиксированного порядка убывания по п) можно использовать заряды, а можно обойтись без них. Наилучшие оценки в этом случае достигаются при использовании сопровождающих зарядов. Разложения Грама-Шарлье конкретной длины, полученные без использования вспомогательных зарядов, имеют большее количество слагаемых в оценке остаточной части разложения, но не имеют лишних ограничений на исходное распределение. В главе 1 был предложен компромиссный вариант сопровождающих зарядов, при использовании которого количество слагаемых в остаточной части разложения меньше, чем в оценке остатка разложений без зарядов, и при этом отсутствуют ограничения на моментные характеристики исходного распределения по сравнению с разложениями, полученными с использованием зарядов. Известные формулы разложений Грама-Шарлье любой длины (любого порядка убывания по п) с явной оценкой остатка получены без помощи сопровождающих зарядов. Получение на данный момент общей формулы асимптотических разложений с использованием зарядов вызывает технические трудности.

Предложенное в главе 2 разложение возникло из желания получать разложения вида Грама.-Шарлье любой длины (любого порядка убывания по п) с явной оценкой остатка, сопоставимой с оценкой остатка разложений Грама-Шарлье, которую дает метод сопровождающих зарядов. Новый вид разложений позволяет выписывать разложения любой длины (любого порядка убывания по п) с наилучшей на сегодняшний момент оценкой остатка. При этом, при перестановке слагаемых можно получить разложение вида Грама-Шарлье. Количество слагаемых в таком разложении Грама-Шарлье будет не больше, чем в известных на данный момент разложениях вида Грама-Шарлье в ЦПТ.

1. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, т.1, 1962.

2. Бикялис А. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. // Литов. мат. сб., 1966, 6, JV* 3, с. 321-3-16.

3. Бикялис А. Об остаточных членах в асимптотических разложениях для характеристических функций и их производных. // Литов. мат. сб., 1967,' 7, № 4, с. 571-382.

4. Большее Л.Н. Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

5. Бхаттачария Р.Н., Ранга Pao Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982.

6. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

7. Геропимус Я.Л. Теория ортогональных многочленов. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

8. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.

9. Гнеденко Б.В. Предельные теоремы для сумм независимых слагаемых и цепей Маркова. // Украинский математ. журнал, 1949, т. С, 1, с. 5-20.

10. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.,Л.: ОНТИ-ГТТИ, 1934.

11. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948.

12. Золотарев В.М. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. // Теория вороятн. и ее примен., 1966, т. 11, в. 1, с. 108-119.

13. Золотарев В.М. Идеальные метрики в проблеме аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 1977, т. 22, в. 3, с. 449-465.

14. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величии. Ы.: Наука, 1986.

15. Золотарев В.М О реальных уточнениях предельных теорем теории вероятностей. // Тр. МИ АН СССР, 1988, т. 182, с. 24-48.

16. Ибрагимов И.А. Об асимптотических разложениях Чебышева-Крамера. // Теория вероятн. и ее примен., 1967, т. 12, выпуск 3, с. 596-619.

17. Ибрагимов И.А., Лшшик Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

18. Инжевитов П.Г. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин. Кандидатская диссертация. Л.: ЛГУ, 1983.

19. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

20. Кароблис А. Об асимптотических разложениях в локальных теоремах. // Литов. мат. сб., 1972, XII, № 4, с. 53-68.

21. Кароблис А. Об асимптотических разложениях в локальных теоремах. // Литов. мат. сб., 1972, XII, Л'® 4, с. 69-73.

22. Кароблис А. Неравномерная оценка остаточного члена в локальных предельных теоремах. // Литов. мат. сб., 1975, XV, № 1, с. 131-155.

23. Колмогоров A.II. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории ' вероятности. // Вестник МГУ, 1953, т. 10, с. 29-38.

24. Кондратенко А.Е., Сенатов В.В. Об оценке точности асимптотических разложений в ЦПТ. // Доклады АН РФ, 2001, т. 378, № 6, с. 748-750.

25. Королев В.Ю., Шевцова И.Г. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенстве Бсрри-Эссеена. // Теория вероятн. и ее примен., 2009, т. 54, в. 1, с. 671-695.

26. Королев В.Ю., Шевцова И.Г. Уточнение неравенства Ворри-Эссеспа с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, в. 1, с. 25-56.

27. Крамер Г. Случайные величины н распределения вероятностей. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1947.

28. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

29. Крузе К.-Д. Асимптотические разложения для производных преобразований Фурье. // Литов. мат сб., 1983, XXIII, № 2, с. 98-109.

30. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000.

31. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

32. Лшпшк Ю.В. О точности приближения к гауссову распределению сумм независимых переменных случайных величин. // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1947, т. 11, №2, с. 111-138.

33. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

34. Марков A.A. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей. Л.: Издательство академии наук СССР, 1951.

35. Ожигова Е.П. Шарль Эрмит 1882-1901. Л.: Наука. 1982.

36. Осипов Л.В. Об асимптотическом разложении в центральной предельной теореме. // Доклады АН СССР, 1966, т. 168, №3, с. 522-523.

37. Осипов Л.В. Асимптотические разложения в центральной предельной теореме. // Вестник ЛГУ, 1967, > 19, с. 45-61.

38. Осипов Л.В. Об асимптотических разложениях функции распределения суммы независимых решетчатых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 19G9, т. 14, в. 3, с. 468-470.

39. Осипов Л.В. Об асимптотических разложениях для распределения сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, выпуск 2, с. 328-338.

40. Осипов Л.В. Об асимптотических разложениях функции распределения суммы случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена. // Вестник ЛГУ, 1972, № 1, с. 51-59.

41. Петров В.В. Локальная теорема для плотностей сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, выпуск 3, с. 349-357.

42. Петров В.В. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величии. // Теория вероятн. и ее примен., 1959, т. 4, выпуск 2, с. 220-224.

43. Петров В.В. Локальные предельные теоремы для сумм одинаково распределенных независимых слагаемых. Сб. "Предельные теоремы теории вероятностей". Ташкент: Изд. АН УССР, 1963, с. 148149.

44. Петров В.В. О локальных предельных теоремах для сумм независимых случайных величин. // Теория вороятн. и ее примен., 1964, т. 9, в. 2, с. 343-352.

45. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

46. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. ¡VI.: Наука, 1987.

47. Пипирас В. Об остаточных членах асимптотического разложения функции распределения суммы независимых случайных величин. // Литов. мат. сб., 1970, X, № 4, с. 135-159,

48. Прохоров Ю.В. Некоторые уточнения теоремы Ляпунова. //Изв. АН СССР. Серия математическая, 1952, т. 1G, № 3, с. 281-292.

49. Прохоров Ю.В. Локальная теорема для плотностей. // Доклады АН СССР, 1952, т. 83, .VaG, с. 797800.

50. Прохоров Ю.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Кандидатская диссертация. М., 1952.об. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теорем£>1, случайные процессы. .VI.: "Наука", 1987.

51. Розовский Л.В. Асимптотические разложения в центральной предельной теореме. // Теория вероятн. и ее примен., 1975, т. 20, в. 4, с. 810-820.

52. Розовский Л. В. О свойствах асимптотических разложений. // Матем. заметки, 1977, т. 22, № 6, с. 907-914.

53. Рыжик И.М., Градштсйн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

54. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 19G2.

55. Сенатов В.В. Применение моментов Чсбышева-Эрмита в асимптотических разложениях, // Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 1, с. 191-192.

56. Сенатов В.В. Об асимптотических разложениях в центральной предельной теореме с явными оценками остаточных членов. // Теория вероятн. и ее примен., 2006, т. 51, в. 4, с. 810-816.

57. Сенатов В.В. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения. AL: Книжный дом "Либроком", 2009.

58. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Физматгиз, 1958, т. 1.

59. Статулявичюс В.А. Об асимптотическом разложении характеристической функции суммы независимых случайных величин. // Литов. мат. сб., 1962, П, .Л1' 2, с. 227-232.

60. Статулявичюс В.А. Об асимптотическом разложении характеристической функции суммы независимых случайных величин. Сб. "Предельные теоремы теории вероятностей". // Ташкент: Изд. АН УССР, 1963, с. 123-130.I

61. Статулявичюс В.А. Предельные теоремы для плотностей и асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин. // Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, в. 4, с. 645-659.

62. Сурвила П. Остаточный член в асимптотическом разложении для плотностей. // Литов. мат. сб., 1962, II, Ха 2, с. 233-250.

63. Сурвила П. Экстремальные свойства предельных теорем. Сб. '"Предельные теоремы теории вероятностей". // Ташкент: Изд. АН УССР, 1963, с. 160-162.

64. Сурвила П. Асимптотические разложения для функций распределения нормированной суммы независимых случайных величин. // Литов, мат. сб., 1965, V, 1, с. 143-155.

65. Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

66. Суэтин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М.: Наука, 1988.

67. Тюрин И.С. О точности гауссовской аппроксимации. // Доклады РАН, 2009, т. 429, №3, с. 312-316.

68. Тюрип И.С. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова. // УМН, 2009, т. 63, в. 3, с. 201-202.

69. Тюрин И.С. О скорости сходимости в теореме Ляпунова. // Теория вероятн. и ее примел., 2010, т. 55, в. 2, с. 250-270.

70. Ульянов В.В. К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме, // Теория вероятн. и ее примен., 1978, т. 23, в. 3, с. 68-1-687

71. Чебышсв П.Л. О разложении функции одной переменной, в полном собрании сочинений П.Л. Чебышева. M.-JL: Изд. АН СССР, 1947, т. 2, с. 335-341

72. Шевцова И.Г. Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной продельной теореме для сумм независимых случайных величин. Кандидатская диссертация. М.: МГУ, 2006.

73. Шевцова И.Г. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссеена-Каца. // Теория вероятн. и ее примен., 2010, т. 55, в. 2, с. 271-304.

74. Cramer Н. On an asymptotic expansion occurring in the theory of probability. // The Journal of the London Mathematical Society, 1927, V. 2, Part 4, № 8, p. 262.

75. Cramer H. On the composition of elementary errors. // Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1928, vol. 11, p. 13-74, p. 141-180.

76. Cramer H. Random variables and probability distributions. // Cambridge university press, 1970, third edition.

77. Dobric V., Ghosh B.K. Some analogs of Berrv-Esseen bound for first order Chebychcv-Edgeworth expansions. // Statistics and Decisions, 1996, vol. 14, № 4, p. 383-404.

78. Edgcworth F.Y The law of error. // Camb. Phil. Soc. Proc., 1905, 20, p. 36-141.

79. Esseen C.-G. Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the La pace-Gaussian law. // Acta Math., 1945, vol. 77, p. 1-125.

80. Esseen C.-G. A moment inequality with an application to the. central limit theorem. // Skand. Aktuarri-etidskr., 1956, vol. 39, p. 160-170.

81. Esseen C.-G. On mean central limit theorems. // Trans. Roy. Inst. Technol., Stockholm, 1958, 121, p.1-31.

82. Esseen C.-G. On the remainder term in the central limit theorem. // Arkiv for Math., 1969, 8, 2, p. 7-15.N

83. Hermite C. Oeuvres de Charles Hermite. Paris: Gauthier-Villais, Tome 2, 1908.

84. Laplace P.S. Traité de mécanique céleste. Paris : Duprat, 1798-1825, IV, livre X.

85. Lukacs E. Applications of Faa di Brtino'sformula in mathematical statistics. // Amer. Math. Monthly, 1955, 62, 5, p.340-348.

86. Petrov V.V. Limit theorems of probability theory sequences of independent random variables. Clarendon press, Oxford, 1995.

87. Senatov V.V. Normal Approximation: New Results, Methods and Ploblems. VSP, Utreclit, 1998.

88. Shimizu R. On the remainder term for the central limit theorem. // Ann. Inst. Stat. Math., 1974, vol. 26, jV* 2, p. 195-201.

89. Uspensky J. Introduction to mathematical probability. N.-Y.: McGrow-Hill Book Co, 1937.