Неравномерные и квазинеравномерные оценки для асимптотических разложений в ЦПТ тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.214.4

0034ЬЬи^

СЮЛЮКИН Александр Викторович

Неравномерные и квазинеравномерные оценки для асимптотических разложений в ЦПТ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- з ЛЕК 2009

Москва, 2009

003486035

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математическог факультета в Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Сенатов Владимир Васильевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Круглов Виктор Макарович,

доктор физико-математических наук, профессор Хохлов Юрий Степанович.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское Отделение математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 11 декабря 2009 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 10 ноября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор """ И.Н.Сергеев

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Асимптотические разложения в центральной предельной теореме впервые появились в работе П. JI. Чебышева "О двух теоремах относительно вероятностей" 1887 года1. В этой работе им был выписан следующий формальный ряд (этот ряд был выписан для вероятностей, нам же будет удобнее использовать плотности вероятностей)

Рп{х) = ф{х) + ±Г-^Щ. (U)

i=i nï

Здесь рп(х) - плотность (если она существует) распределения нормированной суммы (JVi 4- Xi -г... + Хп)п~з независимых случайных величин Xj,j е 1, п, с нулевым средним, единичной дисперсией и общим распределением Р, ф(х)

- плотность стандартного нормального закона, Г i(x, Р) - некоторые многочлены степени 3/, зависящие от первых 1 + 2 моментов распределения Р и не зависящие от п.

Позже Шарлье, по видимому не зная об упомянутой работе П. Л. Чебышева, использовал возможность разложения произвольной функции в формальный ряд по ортогональным с весом ф(х) многочленам, которые сейчас называют многочленами Чебышева-Эрмита, чтобы приближать такими рядами неизвестную плотность распределения2. Для рп(х) этот ряд имеет вид

Рп(х) = ф{х) + f; ^Щ(х)ф(х). (1.2)

1=1

Здесь Hi(x) — (—i = 0,1,... - многочлены Чебышева-Эрмита,

/00

Hi{x)pn(x)dx

■оо

- моменты ЧебышевагЭрмита плотности Pn(z), Рп обозначает распределение, соответствующее плотности р„(ж).

Ф. Эджворт также изучал асимптотические разложения в ЦПТ3 и, вслед за П. Л. Чебышевым, вновь получил ряд (1.1). Все перечисленные исследователи ограничивались поиском формальных разложений, и только в 1920-х Г. Крамер получил первый строгий результат об оценках скорости сходимости

1 Чсбышев II Л. Избранные труды, М., Изд. АН СССР, 1955.

2КендаллМ., СтюартА. Теория распределений, М., Наука, 1966.

3EdgeworthF. Y. The law of error. - Proc. Camb. Philos. Soc., 1905, 20, P. 36-65.

остаточных частей разложений для функций распределения в терминах о-символики4. Начиная с 50-х в след за Г. Крамером асимптотические разложения активно изучались другими исследователями. Упомянем Г. Бергстрема, который, получил ряд (1.1), используя следующее асимптотическое разложение

п

Рп(х) = * И*) - ф^)У{1\

¡=0

называемое теперь разложением Берстрема5. Здесь * - операция свертки плотностей распределений, ф^^х) - плотность нормального распределения

т»

с нулевым средним и дисперсией 1 — рг(х) = р(л/пх), где р{х) - некоторая плотность распределения с нулевым средним и единичной дисперсией. Отметим отдельно известную работу JI. В. Осипова6, в которой он выписал оценку скорости сходимости асимптотического разложения в ЦПТ.

Исследователи периода 50-х - 70-х годов получили важные результаты, обладавшие, однако, одним существенным недостатком: оценки остаточных частой разложений давались в формах, не позволяющих получать явные оценки погрешностей. Первая явная оценка для остаточных частей асимптотических разложений, известная автору, получена Р. Шимицу7 в 1974 году. Долгое время после этого никаких обобщений работы Шимицу не было. Лишь в последние годы появились явные оценки остаточных частей асимптотических разложений. Упомянем работы В.Добрича и Б.К.Гоша8, А.Е.Кондратенко и В. В. Сенатова9.

Основные результаты по исследованию явных оценок асимптотических разложений в ЦПТ были получены В. В. Сенатовым. В. В. Сенатов предложил для аппроксимации плотности рп(х) использовать следующее разложение

рп(х)^ф(х) + ^^Н1(хШх)+ J2 -L-plH^(x) + Rm, (1.3)

1=3 ' i=m+2

ty Зт-4

где в\т\рп) - квазимоменты распределения Рп, которые зависят от моментов

4Крамер Г. Математические методы статистики, М., Мир, 1975.

5BergsromH. On asymptotic expansions of probability functions. — Skandinw. actuarietidskrift, 1951, H. 1-2, P. 1-34.

6 Осипов Л. В. Об асимптотических разложениях функции распределения сумм случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена. — Вестник Ленинград. Унив., 1972, №1, С, 51-59.

7ShimizuR. On the remained term for the central limit theorem. — Springer Netherlands, 1974, V. 26, №1, P. 195-201.

*Dobric V,, Ghosh В. K. Some analogs of the Berry-Esseen bound for first-order Chebyshev-Edgeworth expansions. - Statist. Decisions, 1996, V. 14, №4, P. 383-404.

9Кондратенко A. E., Сенатов В. В. Об оценке точности асимптотических разложений в ЦПТ. — Доклады РАН, 2001, Т. 378, №6, С. 748-750.

распределения Р порядка не выше т-то и вычисляются по формулам

где fco, fc3,..., km - произвольный набор неотрицательных целых чисел, лишь бы выполнялись равенства ко+кз-]-----Ькт = п, 3&з-|-----f-ткт = I, Rm - остаточная часть разложения, которая при некоторых условиях на распределение Р есть О (tj") ! Другие обозначения определены выше. Им были получены явные равномерные оценки остаточных частей разложения (1.3) и остаточных частей некоторых модификаций этого разложения10, однако эти оценки являются довольно громоздкими, некоторые из них содержат десятки слагаемых. Поэтому задача поиска разложений с простыми оценками остаточных частей является достаточно актуальной. Кроме того известные асимптотические разложения для рп(х) с явными оценками остаточных частей обладают недостатком, который состоит в том, что эти оценки являются равномерными по х, то есть в них не учитывается, что точность аппроксимации, которую гарантируют асимптотические разложения, должна увеличиваться при |ж| —+ оо. Задача поиска явных неравномерных оценок, или, хотя бы, оценок у которых некоторые их части неравномерны по х, а другие части быстрее убывают при п —* оо также актуальна.

Цель работы.

Целью диссертации является развитие методов, позволяющих получать асимптотические разложения в центральной предельной теореме и явные оценки их остаточных частей. Основное внимание в диссертации уделено явным неравномерным и квазинеравномерным оценкам остаточных частей разложений.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Получены асимптотические разложения в ЦПТ, названные разложениями Бергстрема-Чебышева. Для разложений Бергстрема-Чебышева для плотностей на Rd, d € N и для распределений на Е выписаны явные равномерные оценки остаточных частей.

10 Сенатов В. В. Центральная предельная теорема: точность аппроксимации и асимптотические разложения, М., Либроком, 2009.

elm)(pn)

i\

SO-r«3*1-----»>

3 t3+-+mfcm=i

• Для разложений Бергстрема-Чебышева для плотностей и для функций распределения на К получено несколько квазинеравномерных оценок остаточных частей. Для короткого разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей получена явная неравномерная оценка остаточной части разложения.

• Показано, что разложения Бергстрема-Чебышева являются предпочтительными перед разложениями Эджворта-Крамера и Грама-Шарлье в смысле получения "хороших" оценок остаточных частей.

Методы исследования.

В диссертации используются методы математического анализа и теории вероятностей. В частности, для построения асимптотических разложений применяется формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме, используется разложение Бергстрема для сверток распределений. При получении неравномерных оценок остаточных частей разложений применяется метод характеристических функций. Также используются новые технические приемы, изложенные в диссертации.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации являются теоретическими. Полученные результаты могут быть использованы в задачах оценки точности аппроксимации распределений асимптотическими разложениями. Разработанные методы могут быть полезны специалистам МГУ им. М.В.Ломоносова, Санкт-Петербургского государственного университета, Математического института им. В.А. Стеклова и Института математики .им. С.Л.Соболева СО РАН.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством члена-корр. РАН А. Н. Ширяева в 2008 году, на семинаре кафедры статистики ВМК МГУ (руководитель-академик Ю. В. Прохоров) в 2008 году, а также на семинаре "Прикладные аспекты теории вероятностей и математической статистики" кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета физико-математических и естественных наук РУДН (руководитель-профессор Ю. С. Хохлов) в 2009 году.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 3 печатные работы из официального перечня ВАК, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 33 наименования. Общий объем работы составляет 69 страниц.

2 Краткое содержание диссертации

Диссертация посвящена оценкам остаточных частей асимптотических разложений в ЦПТ. Изложение ведется в терминах плотностей распределений (о том, как переходить от разложений для плотностей к разложениям для функций распределения говорится в разделе 3.2 диссертации).

Пусть Хь Хг,... - независимые случайные величины с нулевым средним, единичной дисперсией и общим распределением Р. Пусть р(х) - плотность (если она существует) случайной величины Х\ , рп{х) - плотность (если существует) распределения нормированной суммы (Х1 + Хг + ... + Х„)п~з.

В первом параграфе первой главы диссертации дается определение асимптотического разложения в ЦПТ, названного разложением БергстремагЧебышева. Приведен формальный вывод этого разложения.

Обозначим Р(х) - функцию распределения, соответствующую вероятностной мере Р, Ф(х) - функцию распределения стандартного нормального закона, фо(х) - плотность нормального закона с нулевым средним и дисперсией Г>,

/00

хЧ{Р-Щх),зеъ+.

■00

Пусть у распределения Р конечен момент порядка ш+2, т 6 М, пусть для п > т существует плотность рп(х). Правая часть формального равенства

рп(х) = ф(х)+

т т-1 (-1)и+кф^к\х) д д д

Ч+{2+~.+ц=31+к

названа разложением Бергстрема-Чебышева плотности рп(х).

В разделах 1.2, 1.3 доказываются два утверждения о формулах для остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева. В разделе 1.2 доказывается следующая лемма.

Лемма 1.2. Пусть у распределения Р с плотностью р(х) шестой момент конечен, среднее равно нулю, а дисперсия единице. Обозначим (¡>{х) — Р{х)-

Ф(х), тогда для п > 4 верно равенство

м.) - «.> - +- ^м +- ««зиз^ы - +

где

[0,1]хК ' " 4 У

[0,1]хК " 4 7

[0,1]2хК2 " 4 1

[0,1] хК " 4 '

[0,1]2хЕ2 " 4 '

£ г (1-е,)2 (1-е,)2 (1-^)3 (10) / _ см+ама+ЛЛ + п5 J 2! 2! 3! П-А Iа ^ *

[ОД^хК3 "

X + Д4

3=0

В разделе 1.3 доказывается обобщение леммы 1.2 в случае, когда у распределения Р конечен момент порядка т,т>А. Справедлива теорема.

Теорема 1.1. Пусть у распределения Р с плотностью р(х) момент порядка т+3,шбМ, конечен, среднее равно нулю, а дисперсия единице. Обозначим С}{х) = Р(х) — Ф(х), тогда для п > т + 1 верно равенство

Рп(х) = Ф(х)+

- -НГ^ГМ д„д.....А„

¿]+12+...+г1=31+к

где

г? -VУ'^ ; у

т+1 ~ / , п ги-т+1 * 1=1 П 1

V ргт+.-.+т, /^зХ"*0 ^.тг+.-.+т, /1

х '-'то+.-.+т, I з| / Х ит1+...+т4 I ~ / х • • •

т0+т1+...+пц=1, ^ ' '

Зт0+4т1+...+(3+4)т,=2т+г+1

(Л \ "Ч-г т'-1 /

(3 + (* - 2))!) ^ ^т-.+пи-г-1 ^з + у _ Ц)!

I Ф?ТП) (^(^и^л + Е^/Ц) х

(Уъ-.У^!.....гт1)ек,+т< ^ ' '

(а,.....а(,/Зь...,/Зт()е[0,1]х(<+™')

где тп0,тп1, ... ,т4_1 € 2+,т( € N. а величина Яв+1 определяется из равенства

п—т—1 3=0

В первой главе в разделе 1.4 приводятся и доказываются равномерные оценки остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева.

Пусть характеристическая функция /(£) распределения Р такова, что

/оо

\mrdt < оэ, (2.1)

■оо

_(2

для некоторого г/ > 0. Пусть функция е~ < < 1, и число Т > О таковы, что

М*) > |/(*)| Для всех < Т. (2.2)

Обозначим

/оо

\%\>\<1{Р -Ф){х)Ц

00

1 2 в{ = У где j € Л, п € N.

В™ = ^ С ГД6 Ш 6 2+'П 6 " >

а(Т) = тахтах(|/(г)|,еН?).

Замечание 1. Отметим, что справедливо неравенство В{ > Ес-

ли выполнено условие (2.1), то а(Т) < 1 для любого Т > 0 и существует непрерывная плотность рп{х) при всех п > и. Для распределения Р с нулевым средним, единичной дисперсией и конечным четвертым моментом пару ц,Т всегда можно подобрать так11, что —* при п —> оо для любых фиксированных тп и Также отметим, что величина - это расстояние полной вариации с весом а числа В{, зависят и от п, но, для краткости мы эту зависимость указывать не будем.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1.5. Пусть момент порядка тп + 3, тп 6 М, распределения Р с нулевым средним и единичной дисперсией конечен и выполнены условия (2.1), (2.2). Тогда для п > V + тп + 1 существует плотность рп(а;) распределения Р*п\ф1А), А е 33(К), такая, что

Рп{х) = Ф(х)+

„ т-I Д Д Л

М Г~П П' г1 ¡12! ■••»¿!

ь—1 к=0

+ Рт+1!

где для любого х € '

ы 4.С1« чЫ-.ч!

¿1+12+-+»1=2!+т+1

11 Сенатов В. В. Центральная предельная теорема: точность аппроксимации и асимптотические разложения, М., Либроком, 2009.

|Д |Щ+1 г}3(т+1),/*,Т , 1 13 °п-т-1 .

2т+1 а«

+->/пС^+1а»-"-т-1(Т) / тах"(|/(«)|,е-^)Л.

В разделе 2.1 доказывается теорема о неравномерной оценке для короткого разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей. Пусть 6 N - j-e абсолютные моменты распределений Р, Ф соответственно. Обозначим т,- = таеК

Теорема 2.1. Если четвертый момент распределения Р с нулевым средним и единичной дисперсией конечен и выполнены условия (2.1), (2.2), то для тг > 6 + V существует плотность р„(х) и верно разложение

Рп(х) = Ф{х) - -щФ^М + Ъ, где для любого х, не равного нулю,

- ^ (й^ + + + 7В+ +

+ Й5«-^ + 12В*~? + 17В"-зТ + 5+

|Д|3 /|Д|зт3^г |Д1зтзД^ , [Д^Д^Л

18>/п Зу/п 6^/п 72п у

В разделе 2.2 приводятся и доказываются три квазинеравномерные оценки для остаточных членов разложения Бергстрема-Чебышева. Выпишем две из них. Обозначим

4(х) = шах ф{Р(у) € Х+,к,п € N.

Теорема 2.2. Если четвертый момент распределения Р с нулевым средним и единичной дисперсией конечен и выполнены условия (2.1), (2.2), то для п > V + 3 существует плотность рп(х) и верно разложение

Рп(х) = <Кх) - + Й2,

о! луп 1 п

где для любого х, не равного нулю,

,О , < |Д|4 ((!) , ТНЦ-г , ,

+ |ж|4 + |х|з +

/Л /т\ I А |2

2\ф^(х)\ <.а(|)|Д| -I--Г-^--1--^ГП- + -/„по 1--Г

3|®| ) " (3!)2п;

+ 2С" 9пЦх\

+ + ±у/ас£аГ~*(Т) Гшах"(|Л*)1,

(3!)3п5 тг JT

Замечание 2. В приведенной оценке одна часть слагаемых имеет порядок 0 (н?) , при га оо, |а;| —> оо, а другая О ^Д^, п оо.

Теорема 2.4. Если пятый момент распределения Р с нулевым средним и единичной дисперсией конечен и выполнены условия (2.1), (2.2), то для п > ¡/ + 4 существует плотность рп(х) и верно разложение

Рпы=ф(Х) - ++сг^^жм+

где для любого х, не равного нулю,

,» | < |Д|. (^Ш + 25в°п-1 . ,

|Яз1 - ^ + ТГ + "ТГ-""

2|^,(х)1 \Ф^(х)\\ + |х|4 + |х|3 + 3|х|2 + 12\х\ \ +

К-2(|) + ^-2(|)}|Д1з1Д14 е3(!)1ДЦ, 3!4!п1 " (3!)зп1

■ С1 /5^_2|А|З1А|5 ЗВ1М 9В7_2|Д141А15\ п4 V 3!4!|®| 3!4!|®| 3!4!|я|2 }

С3 /В»_,1Д|ЦД14 2^_з1А1з|ДЦ 8Д°_3|АЦ\ п5 V 18|х| 9п4|х|2 27п4|х|3 )

Замечание 3. В приведенном неравенстве слагаемые из первых трех строк имеют порядок О ПРИ п—>оо, |х| —> оо, а оставшиеся слагаемые суть

О(^), п-^оо.

В третьей главе в разделе 3.1 дается определение разложения Бергстрема-Чебышева для плотности рп(х), х € К". Выписывается оценка остаточной части такого разложения.

Пусть Р - распределение на с нулевым средним и единичным ковариационным оператором, рп(х) - плотность (если она существует), соответствующая распределению Р*п(л/пА), А 6 •В(К'г), аг б Ф - нормальное распределение на с нулевым средним и единичным ковариационным оператором, ф(х) - плотность нормального распределения Ф, х € фо(х) -плотность распределения с нулевым средним и ковариационным оператором Д/, О > 0,1-единичный оператор вй^е К*, <Э((Ь) = (Р-Ф)((Ь), х е К''.

|Д|,- = 8ир / |(е,х)Нд(^)|,е€Кй.

|е|=1 Jll^d

Предположим, что распределение Р имеет конечный момент порядка т+ 2, т € М, пусть для 7г > 771 существует плотность рп(х). Мы будем правую часть формального равенства

Рп{х) = Ф{х)+

т т-1 Гф{?1к)(х)[к1 + --- + Ц

/ ■ ■■

+ о(тГ^)

называть разложением Бергстрема-Чебышева для плотности рп{х), х 6

Здесь величина ф^\к\х)[Ь, 1 -1-----Ь Ы] - действие (3/ + А;)-й производной по

Фреше функции ф1_¿(х) на вектор + • ■ • + Л,;. Точнее

31+к

Лг. _ , _. _ , _ ля+к).

СГ(®)[Л1 + --- + Ы} = Ф^7\х) 'Л1 + ---- + /11.....Л1 + --- + Л?

п Л I.

Обозначим

В* = (¿р / ГДе 6 2+> М 6 N.

И*

а(Т) = тахтах

(1/(01, е-1*).

Справедлива теорема.

Теорема 3.1. Пусть абсолютный момент порядка тп 4- 3, тп € М, распределения Р с нулевым средним и единичным ковариационным оператором конечен. Пусть характеристическая функция /(£),£ € распределения Р такова, что

I \m\4t < оо,

для некоторого V > 0. Пусть функция /л(0, < д(0 < 1, и число Т > О таковы, что

МО > 1/(01 Для всех Щ < Т.

Тогда для п > 1У+гп+1 существует плотность рп{х) распределения Р*п(у/пА), А € ®(К<г), такая, что

рп(х) = ф(х)+

¡=1 к=о п 2 V"3' +

где для любого а; € К**

м «а,» чм.-ч!

>1+>2+...+1|=2/+т+1

|Д|т+1 дЗ(т+1 ),(2,Г , ^т+11^13 °п-ш-1 , ,

+ Дт+1,

|<|>Г

В разделе 3.2 приводится определение разложения Бергстрема-Чебышева для функции распределения Рп(х), х € Е. Выписывается равномерная оценка остаточной части такого разложения.

Пусть у распределения Р конечен момент порядка т 4- 2, т € N. Правая часть формального равенства

Рп(х) = Ф(аО+

т т-1 (_1)«+*ф(3'+Ч(а;) д д д

1=1 к-0 П ii.fi.....¡(>3 1 1

«1+12+...+¡(=31+к

названа разложением Бергстрема-Чебышева функции распределения Рп{х).

Теорема 3.3. Если момент порядка т + 3, т Е М, распределения Р с нулевым средним и единичной дисперсией конечен, то для функции распределения Р„(х), п > т+ 1, соответствующей мере Р*п(у/пА),А € ©(К), верно разложение

Рп(х) = Ф(х)+

m m-l (-Ifl+^'^ix) А д д

+ -- Ъ iiüj!...!,! +йт+ь

г=1 fc=o 71 ¡,,¡2.....¿,>з 1 1 '

где для любого i£R

+

li!22! . . .Ij! ti+!2+...+il=2i+m+l

1=1 .¿^>3 П!г2!...гг!

+

I m В3' 1ДК m C'B2' 1 r?m,n = min X) . E > 0 = SUP l/WI. /№ - характеристиче-

\J=0 б'"4 j=o у |t|>£

екая функция Р.

Замечание 4. Если характеристическая функция f(t) распределения Р такова, что lini|t|_too|/(i)| < 1, то число 9 < 1; т}т%п оо.

Также в разделе 3.2 выписывается несколько квазинеравномерных оценок остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева для функций распределения. Например, сформулированы следующие теоремы. Обозначим

Ф{(ж) = тах у>И

Теорема 3.4. Если четвертый момент распределения Р с нулевым средним и единичной дисперсией конечен, то для п > 3 верно разложение

Рп(х)=Ф{х)-^Ф<?]к(х) + П2,

где для любого ж, не равного нулю,

п \ 4! |х|4 |х|4 |х|3

I___ п__I__п_

М2 3|ж|

ч(3)

, Г2Фп-2(|)1Д1з " (З!)2п3

+

, оГ2^-21А|З|Д|4 , .г2виДЦ 24?72,п^з , + л-_ 7.-;--Ь 40„——гг-рг- Н---тз—в--1--^--г

9пЦх\ ' 9тг4|ж|2 ' 2ттг§ ™2

}

Теорема 3.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.4, тогда верна следующая, более точная в смысле убывания по х, оценка для величины #2

' I 4! И7 Ы4 +

23|Ф(114(х)[ 2|Ф(12),(Х)1 |Ф;з4(Х)1' + |х|3 + № + 3|х| 1 +

, г2Фп-2(!)1АЦ г21Д1з|Ак ти,

+ " (3!)2п3 + п| V 3|х|4 +

44фз_2(^ ^Ф^Л

3|х|4 + 3|я|3 + 6\х\2 )

п4 I х8 X8 х~ х7

^В1 2 46|Ф<2^(х)| 45|ф[3^(х)| 43|Ф^(г)Г + 3 з^ + ^ + ^ I +

+ ^ + ^сг^шах{о,1п ^

13 9 I Л | ^гг 1 1 ¿>

2"2 715 Я"ГГ 7Г \ Рз

В разделе 3.3 строятся асимптотические разложения Бергстрема-Чебышева для решетчатых распределений, найдены явные оценки остаточных частей таких разложений. В разделе 3.4 на нескольких примерах показано, как из разложения Бергстрема-Чебышева получать разложения Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера, записанные в терминах псевдомоментов Aj, а не моментов Чебышева-Эрмита и семиинвариантов соответственно. Продемонстрировано, как при переходе от разложения к разложению меняются их остаточные части. Сделан вывод, что разложения Бергстрема-Чебышева являются предпочтительными перед разложениями Эджворта-Крамера и Грама-Шарлье в смысле получения "хороших" оценок остаточных частей.

3 Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук Владимиру Васильевичу Сенатову за постоянное внимание и помощь при подготовке диссертации.

4 Список публикаций автора по теме диссертации

1. Сюлюкин А. В. Об асимптотических разложениях Бергстрема-Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2009, 54-1, с.176-185.

2. Сюлюкин А. В. О квазинеравномерных оценках остаточных частей для разложения Бергстрема-Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2009, 54-2, с.391-399

3. Сюлюкин А. В. О неравномерных оценках остаточных частей для разложения Бергстрема-Чебышева. — Вестник Тверского государственного университета. Серия: прикладная математика, 2009, Вып. 1(12), с. 79-88.

Подписано в печать 03. //. 03 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж -¡00 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

1 Разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей

1.1 Формальные разложения

1.2 Частный случай формулы для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева

1.3 Формула для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева в общем случае

1.4 Равномерные оценки остаточных частей разложения БергстремаЧебышева

2 Неравномерные и квазинеравномерные оценки для разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей

2.1 Неравномерная оценка для короткого разложения Бергстрема-Чебышева

2.2 Квазинеравномерные оценки

3 Некоторые обобщения и дополнения

3.1 Обобщение разложения Бергстрема-Чебышева на многомерный случай

3.2 Разложение Бергстрема-Чебышева для функций распределения

3.3 Разложение Бергстрема-Чебышева для решетчатых случайных величин

3.4 О связи разложения Бергстрема-Чебышева с разложениями ГрамаШарлье и Эджворта-Крамера

Ф.Эджворт также изучал асимптотические разложения в ЦПТ (см. [26]) и, вслед за П. Л. Чебышевым, вновь получил ряд (0.1). Все перечисленные исследователи ограничивались поиском формальных разложений, и только в 1920-х годах Г. Крамер получил первый строгий результат о скорости сходимости остаточных частей разложения (0.1) для функций распределения.Начиная с 50-х в след за Г. Крамером асимптотические разложения активно изучались другими исследователями. Упомянем Г. Бергстрема, который, получил ряд (0.1), используя следующее асимптотическое разложение вообще говоря, П. Л. Чебышев получил ряд для вероятностей. Нам же будет удобно вести изложение в терминах плотностей распределений. n 1=0 называемое теперь разложением Бергстрема (см. [21]). Здесь * - операция свертки распределений, фг_±(х) - плотность нормального распределения с нулевым средним и дисперсией 1 — ^, р\(х) = л/пр(>/пх), где р(х) - некоторая плотность распределения с нулевым средним и единичной дисперсией.Отметим отдельно известную работу Л. В. Осипова [10], в которой он выписал оценку скорости сходимости асимптотического разложения в ЦПТ. Ссылки на других авторов, занимавшихся этой тематикой можно найти в [1], [3], [4], И, И, [И] • Исследователи периода 50-х - 70-х годов получили важные результаты, обладавшие, однако, одним существенным недостатком: оценки остаточных частей разложений давались в формах, не позволяющих получать явные оценки погрешностей. Первая явная оценка для остаточных частей асимптотических разложений, известная автору, получена Р. Шимицу (см. [30]) в 1974 году. Долгое время после этого никаких обобщений работы [30] не было. Лишь в последние годы появились явные оценки остаточных частей асимптотических разложений. Упомянем работы В. Добрича и Б. К. Гоша [25], А. Е. Кондратенко и В. В. Сенатова [8].Остановимся на содержании диссертации.Диссертация посвящена асимптотическим разложениям в ЦПТ, названным разложениями Бергстрема-Чебышева2. Основное внимание в работе уделено развитию методов, с помощью которых можно получать явные неравномерные и квазинеравномерные оценки остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева для плотности Рп(х) (если она существует) распределения нормированной суммы (Х1+Х2+.. .+Хп)п2 независимых одинаково распределенных случайных величин Xj,j 6 1,п, с нулевым средним и единичной дисперсией. Поясним, что под квазинеравномерными оценками для остатков разложений подразумеваются такие оценки, которые представляют собой суммы величин, некоторые из которых равномерны по х, но при росте п убывают быстрее, чем (оптимальные) равномерные оценки остатков, а другие неравномерны по х.В первых трех параграфах первой главы диссертации дается определение формального разложения Бергстрема-Чебышева для плотности рп(%), приводится его формальный вывод, даются примеры нескольких его первых членов. Затем выписываются формулы для остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева. Поскольку полученные формулы достаточно громоздки и при их выводе используются новые технические приемы, сначала строится такая формула для разложения Бергстрема-Чебышева плотности рп(х) такой, что у исходного распределения Р конечен шестой момент.Затем приводится обобщение формулы для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева на случай, когда у распределения Р конечен момент порядка m + 3, m G N. В четвертом параграфе первой главы формулируются четыре теоремы о явных равномерных оценках остаточных частей разло2Предложенное название объясняется тем, что техника получения этих разложений использует работу с многократными сверткам, которая появилась в работе Г. Бергстрема [21], а разложения, в которых используются производные нормального закона, естественно связать с именем П. Л. Чебышсва. жения Бергстрема-Чебышева. В этих теоремах рассматриваются разложения для плотностей распределений нормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и используется условие, гарантирующее существование этих плотностей. Одна из этих теорем дает оценку остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева плотности рп(х) в общем случае, когда у исходного распределения Р конечен момент порядка т + З, т Е N. Три другие теоремы это частные случаи общей теоремы. В них предполагается существование четвертого, пятого, шестого моментов соответственно. Сначала проводится отдельное доказательство теоремы с условием конечности шестого момента, затем доказывается общий случай.В первом параграфе второй главы доказывается теорема, содержащая явную неравномерную оценку короткого разложения Бергстрема-Чебышева. В теореме предполагается конечность четвертого момента и плотность рп(х) аппроксимируется ее разложением Бергстрема-Чебышева ф(х) — 3r^^i_i( ' T )Здесь ф - плотность стандартного нормального закона, ф\\ - третья произп водная плотности нормального закона с нулевым средним и дисперсией 1 — ^, Аз - третий момент распределения Р. Остаточная часть разложения теоремы имеет порядок О (^Ь? ) при п, х —» со.В первом параграфе третьей главы дается определение разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей распределений из Rd, d Е N. Выписана равномерная оценка остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей в случае, когда у исходного распределения Р конечен момент порядка m + 3, т Е N. Во втором параграфе третьей главы диссертации дается определение разложения Бергстрема-Чебышева для функций распределения.Получена равномерная оценка остаточной части разложения БергстремаЧебышева для функции распределения Рп в случае, когда у исходного распределения Р конечен момент порядка т + 3, т € N. Выписано несколько квазинеравномерных оценок для Рп при условии конечности моментов порядка четыре и пять. В третьем параграфе третьей главы строятся асимптотические разложения Бергстрема-Чебышева для решетчатых распределений, найдены явные оценки остаточных частей таких разложений. В четвертом параграфе третьей главы на нескольких примерах показано, как из разложения Бергстрема-Чебышева можно получать разложения Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера, записанные в терминах псевдомоментов Д,-, а не моментов Чебышева-Эрмита и семиинвариантов соответственно. Продемонстрировано, как при переходе от разложения к разложению меняются их остаточные части. Делается вывод, что разложения Бергстрема-Чебышева являются предпочтительными перед разложениями Эджворта-Крамера и ГрамаШарлье в смысле получения "хороших" оценок остаточных частей.В работе используется двойная нумерация формул, лемм и теорем. Первое число указывает на главу, второе — на порядковый номер формулы, леммы, теоремы внутри главы.Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 33 наименования. Общий объем работы составляет 69 страниц.Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Владимира Васильевича Сенатова, которому автор глубоко благодарен за помощь и постоянное внимание.

1. Бхаттачария Р. П., Ранга РаоР. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения, М., Наука, 1982.

2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей, М., Наука, 1988.

3. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, М., Л., ГИТТЛ, 1949.

4. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин, М., Наука, 1986.

5. Ибрагимов И. А., ЛинникЮ.В. Независимые и стационарно связанные величины, М., Наука, 1965.

6. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений, М., Наука, 1966.

7. Кондратенко А. Е., Сенатов В. В. Об оценке точности асимптотических разложений в ЦПТ. Доклады РАН, 2001, Т. 378, №6, С. 748-750.

8. Крамер Г. Математические методы статистики, М., Мир, 1975.

9. Осипов Л. В. Об асимптотических разложениях функции распределения сумм случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена. — Вестник Ленинград. Унив., 1972, №1, С. 51-59.

10. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, М., Наука, 1987.

11. Прохоров Ю. В. Некоторые уточнения теоремы Ляпунова. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1952, 16-3, С. 281-292.

12. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей: основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы, М., Наука, 1967.

13. ФеллерВ. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, М., Мир, 1967.

14. Чебышев П. Л. Избранные труды, М., Изд. АН СССР, 1955.

15. Осмоловский Ю. И. О некоторых свойствах многомерных аналогов многочленов Чебышёва-Эрмита. — Теория вероятностей и ее применения, 2008, Т. 53, М, С. 373-378.

16. Сенатов В. В. Несколько асимптотических разложений в ЦПТ в многомерном случае. — Теория вероятностей и ее применения, 2008, Т. 53, №2, С. 293-306.

17. Сенатов В. В. Об одном многомерном аналоге разложения Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2007, Т. 52, №3, С. 603-610.

18. Сенатов В. В. Центральная предельная теорема: точность аппроксимации и асимптотические разложения, М., Либроком, 2009.

19. Ярославцева Л. С. Неклассические оценки точности приближения асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме. — Теория вероятностей и ее применения, 2008, Т. 53, №2, С. 390-393.

20. Bergsrom, Н. On asymptotic expansions of probability functions. — Skandinw. actuarietidskrift, 1951, H. 1-2, P. 1-34.

21. Cramer H. Half a Century with Probability Theory: Some Personal Recollections. — Annals of Probability. 1976, V. 4, №4, 509-546.

22. CramerH. Studies in the History of Probability and Statistics. XXVIII On the history of certain expansions used in mathematical statistics. — Biometrika, 1972, V. 59, №1, P. 205-207.

23. DasGuptaA. Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer, 2008.

24. DobricV., Ghosh В. К. Some analogs of the Berry-Esseen bound for first-order Chebyshev-Edgeworth expansions. — Statist. Decisions, 1996, V. 14, №4, P. 383-404.

25. EdgeworthF. Y. The law of error. — Proc. Camb. Philos. Soc., 1905, 20, P. 36-65.

26. Kolassa J. E. Series Approximation Methods in Statistics, Third Edition, Springer, 2006.

27. NagaevS. V.} Chebotarev V. I. On the Bergstrem type asymptotic expansion in Hilbert space. — Siberian Advances in Math., 1991, V. 1, №2, P. 130-145.

28. Senatov. V. V. On estimaiton of the approximation error in asymptotic expansions in the central limit theorem. — J. Math. Sciences, 2002, 112(2), P. 4174-4193.

29. Shimizu R. On the remained term for the central limit theorem. — Springer Netherlands, 1974, V. 26, №, P. 195-201.

30. СюлюкинА. В. Об асимптотических разложениях Бергстрема-Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2009, 54-1, с.176-185.

31. СюлюкинА. В. О квазинеравномерных оценках остаточных частей для разложения Бергстрема-Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2009, 54-2, с.391-399.

32. СюлюкинА. В. О неравномерных оценках остаточных частей для разложения Бергстрема-Чебышева. — Вест,ник Тверского государственного университета. Серия: прикладная математика, 2009, Вып. 1(12), с.79-88.