Точность аппроксимации свёрток распределений асимптотическими разложениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

I Введение

1.1 Обозначения и предварительные сведения

1.1.1 Многочлены Чебышева-Эрмита

1.1.2 Моменты Чебышева-Эрмита и разложения, связанные с многочленами Чебышева-Эрмита

1.1.3 Заряды

1.2 Асимптотические разложения для распределений и плотностей

1.3 Постановка задачи

1.4 Этапы построения оценки

II Вспомогательные заряды

III Случай малого числа моментов 19 III. 1 Некоторые общие рассуждения III. 1.1 Преобразование разности плотностей

III.1.2 Запас заряда

III. 1.3 Оценка на бесконечности 22 III. 1.4 Оценка ряда Тейлора характеристической функции

111.2 Случай пяти моментов

111.2.1 Оценка слагаемого /ц с использованием (3$(G)

111.2.2 Определение символа и его свойства

111.2.3 Оценка слагаемого 1ц без использования /^(G)

111.2.4 Оценка слагаемого /

111.2.5 Аппроксимация плотности заряда

111.2.6 Случай равномерного распределения

111.3 Случай шести моментов

111.3.1 Условия на семиинварианты, значение запаса

111.3.2 Оценка слагаемого 1ц

111.3.3 Оценка слагаемого /

111.3.4 Аппроксимация плотности заряда

III.3.5 Случай экспоненциального распределения

III.4 Обсуждение численных результатов

111.4.1 Сравнение результатов аппроксимации R и Е

111.4.2 Явный остаточный член при аппроксимации Е

111.4.3 Оптимизация 1\

111.4.4 Оптимизация 1\

111.4.5 Случай «3 =

111.4.6 Второй способ "обхода" ограничения в определении 5'2-заряда

111.4.7 Некоторые замечания об ограничении

111.4.8 Вычисление многочленов Чебышева-Эрмита

IV Связь между моментами, семиинвариантами и моментами Чебышева—Эрмита

IV. 1 Влияние моментов Чебышева-Эрмита на скорость сходимости моментов нормированных сумм

IV.2 Теоремы обращения

IV.3 Взаимные выражения

IV.3.1 Ряд Тейлора сложной функции

IV.3.2 Выражения моментов и семиинвариантов

IV.3.3 Выражения моментов Чебышева-Эрмита 66 IV.4 Влияние семиинвариантов на скорость сходимости моментов нормированных сумм

IV.5 Влияние моментов исходного распределения на скорость сходимости моментов нормированных сумм

IV.6 Влияние совпадения начальных моментов с нормальными на скорость сходимости моментов нормированных сумм 71 IV.6.1 Теоремы о максимуме 71 IV.6.2 Влияние на семиинварианты 73 IV.6.3 Влияние на моменты Чебышева-Эрмита 73 IV.6.4 Влияние на моменты

IV.7 Сходимость моментов нормированных свёрток зарядов друг к другу 74 IV.7.1 Теорема о максимуме при дополнительном ограничении 74 IV.7.2 Сходимость семиинвариантов 75 IV.7.3 Сходимость моментов Чебышева-Эрмита 75 IV.7.4 Сходимость моментов

V Случай произвольного числа моментов

V.1 Предварительные замечания

V.1.1 "Тройки" многочленов Чебышева-Эрмита

V.1.2 Определение множества "=<;"

V.2 Слежение по степеням п

V.2.1 Оценка слагаемого /ц

V.2.2 Оценка слагаемого /

V.2.3 Аппроксимация плотности заряда

V.3 Слежение по степеням t 87 V.3.1 Оценка разности характеристических функций

V.3.2 Оценка слагаемого 1ц

V.3.3 Оценка слагаемого I

V.3.4 Аппроксимация плотности заряда

V.4 Замечания об оценке функции распределения

V.4.1 Случай справедливости формулы обращения

V.4.2 Случай выполнения лишь условия Крамера

V.4.2.1 Оценка слагаемого Г

V.4.2.2 Оценка слагаемого Гц

V.4.2.3 Оценка слагаемого Г2 98 V.4.2.4 Аппроксимация функции распределения заряда

1.1 Обозначения и предварительные сведения

Пусть Х\, Х2,. независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным вторым моментом. Будем считать EXl = 0, а DXi = 1, это не ограничивает общности. Пусть F(x) — функция распределения Xi, f(t) —- характеристическая функция Xi, a Fn(x), рп(х) и fn(t) — функция распределения, плотность, считаем её существующей, и характеристическая функция случайной величины (Xi +Х2 Н-----Ь Хп)/у/п, соответственно, где п является натуральным числом. Будем считать, что существуют все моменты которые нам понадобятся. Через ctk(Fn), к = 0,1,., обозначим к-й момент распределения (Х\-\-Х2-\-----\-Хп)/у/п, f3k{Fn) — к-й абсолютный момент, а через Xk(Fn) — к-й семиинвариант. Для упрощения обозначений будем опускать аргументы у характеристик распределений в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений. Через Ф(ж) будем обозначать функцию распределения стандартного нормального закона, ср(х) его плотность, /3& — k-ii абсолютный момент.

Нумерацию теорем, лемм, определений и формул будем вести в соответствии с номерами глав, в которых они приведены.

Все вычисления будем проводить с округлением в худшую сторону.

1. И. С. Березин, Н.П. Жидков, Методы вычислений, Т. 1, М.: Физматгиз, 1959, 464 стр.

2. Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей., М.: Наука, 1969, 400 стр.

3. Б. В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, M.-JL: Гостехиздат, 1949, 264 стр.

4. И. С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений., М.: Физматгиз, 1963, 1100 стр.

5. И.А.Ибрагимов, Об асимптотических разложениях Чебышева-Крамера, Теория вероятностей и ее применения 12(3) (1967), 596-619.

6. И. А. Ибрагимов, Ю.В. Линник, Независимые и стационарно связанные случайные величины, М.: Наука, 1965, 524 стр.

7. Ж. Кампе де Ферье, Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель, Функции математической физики (справочное руководство)-, пер. с франц. Н.Я. Виленкина, М.: Физматгиз, 1963, 104 стр.

8. М. Кендалл, А. Стюарт, Теория распределений; пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова, М.: Наука, 1966, 588 стр.

9. Г.Крамер, Случайные величины и распределения вероятностей; пер. с англ. под ред. А.Н. Колмогорова, М.: Гос. изд. иностр. лит., 1947, 144 стр.

10. Г. Крамер, Математические методы статистики-, пер. с англ. под ред. А.Н. Колмогорова, М.: Мир, 1975, 648 стр.

11. В. П. Леонов, А.Н. Ширяев, К технике вычисления семиинвариантов, Теория вероятностей и ее применения 4(3) (1959), 342-355.

12. Е. Лукач, Характеристические функции; пер. с англ. В. М. Золотарёва, М.: Наука, 1979, 423 стр.

13. Л. В. Осипов, Об асимптотических разложениях для распределения сумм независимых случайных величин, Теория вероятностей и ее применения 16(2) (1971), 328-338.

14. В. В. Петров, Суммы независимых случайных величин, М.: Наука, 1972, 416 стр.

15. Ю.В. Прохоров, Некоторые уточнения теоремы Ляпунова, Известия АН СССР. Серия математическая 16(3) (1952), 287-292.

16. Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов, Теория вероят-иостей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы., М.: Наука, 1987, 397 стр.

17. В. В. Сенатов, Применение моментов Чебышева-Эрмита в асимптотических разложениях, Теория вероятностей и ее применения 46(1) (2001), 190—192.

18. В. И. Смирнов, Курс высшей математики., Т. 1, М.: Физматгиз, 1958, 472 стр.

19. В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т. 2, пер. с англ. Ю.В. Прохорова, М.: Мир, 1984, 751 стр.

20. У. Хохштрассер, Ортогональные многочлены, в Справочнике по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (под ред. М. Абрамовица и И. Стиган), М.: Наука, 1979, 578-606

21. П. Л. Чебышев, О разложении функции одной переменной, в Полном собрании сочинений П. Л. Чебышева, т. 2 "Математический анализ", М.-Л.: Изд. Академии наук СССР, 1947, 335-341

22. Сборник научных программ на Фортране. Руководство для программиста; пер. с англ. С. Я. Виленкина, Выпуск I. Статистика, М.: Статистика, 1974, 316 стр.

23. В. von Bahr, On the convergence of moments in the central limit theorem, Ann.Math. Statist 36(3) (1965), 808-818.Работы автора по теме диссертации

24. А. Е. Кондратенко, Связь скорости сходимости моментов нормированных сумм с моментами Чебышева-Эрмита, Теория вероятностей и ее применения 46(2) (2001), 383-386.

25. А. Е. Кондратенко, В. В. Сенатов, Об оценке точности асимптотических разложений в ЦПТ, Доклады Академии наук 378(6) (2001), 748-750 (А.Е. Кондратенко принадлежат доказательства теорем 3, 4).