Оценки точности асимптотических разложений в предельных теоремах для решетчатых распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 519.2

КАРЫМОВ Дмитрий Николаевич

ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИАСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ РЕШЕТЧАТЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

В.В.Сенатов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Круглов,

доктор физико-математических наук, профессор Г.И.Ивченко.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

математического института имени В.М.Стеклова.

Защита диссертации состоится "17" декабря 2004 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В .Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 17 ноября 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Впервые асимптотические разложения в теории вероятностей появились в 1883 и 1914 годах в работах Дж.Грама1 и К.Шарлье2. Изучая логарифм характеристической функции биномиального распределения, они получили асимптотические разложения, которые сейчас называются рядами Грама-Шарлье типа А и В. Ряд Грама-Шарлье типа А, дающий аппроксимацию плотности распределения впоследствии был модифицирован и получил название ряда Эджворта-Крамера. Он оказался достаточно удобным при исследовании скорости сходимости гладких вероятностных распределений к нормальному закону в центральной предельной теореме. Ряд Грама-Шарлье типа В, дающий аппроксимацию функции распределения целочисленной неотрицательной случайной величины, широкого распространения не получил. По мере того как изучение асимптотических разложений гладких распределений давало все новые и новые результаты, заметных успехов в изучении асимптотических разложений дискретных распределений достигнуто не было. В результате появилась гипотеза о том, что для применения асимптотических разложений наиболее неудобными распределениями являются дискретные распределения, среди дискретных распределений самыми «плохими» являются решетчатые, а среди решетчатых - биномиальное распределение. По-видимому, этим частично объясняется повышенный интерес к задаче аппроксимации биномиального распределения. Задача стала популярной после работы3 Ю.В .Прохорова 1953 года и остается актуальной и сейчас.

1 Gram J. P. J. reine und angew. Math. 1883, Bd 94, S. 41-73.

2 Charlier С V. L. Arkiv. Mat. Astr. Fys. 1913/1914, Bd 9, № 25, S. 1-17.

3 Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального распределения. Успехи математических наук, 1953, т. 8, № 3, с. 135-142.

В 1983 году ПКорня4 и Э.Л.Пресман5 предложили при рассмотрении пуассоновской функции распределения отказаться от условия неотрицательности параметра X. При отрицательном параметре Д возникает уже не вероятностное распределение, а заряд (знакопеременная мера, мера со знаком). В 1986 году Ю.Круопис в своей работе6 предложил использовать такие пуассоновские заряды для аппроксимации решетчатых распределений, и показал, что свертка всего двух зарядов дает лучшую аппроксимацию биномиального распределения, чем классические пуассоновская и нормальная аппроксимации. Он также указал, что применение большего числа зарядов дает более точную аппроксимацию, но его метод, основанный на выравнивании нескольких первых моментов исходного распределения и аппроксимирующего заряда, был слишком сложным для рассмотрения аппроксимаций большим числом зарядов. Вслед за этим появился целый ряд работ, посвященных аппроксимациям свертками пуассоновских зарядов, но используемые методы оставались довольно сложными. В 1993 году в своей докторской диссертации7 К.А. Боровков указал один простой способ получения таких аппроксимаций для биномиального распределения. В 1997 году вышла, по-видимому, единственная работа8, в которой указано асимптотическое разложение распределения в свертку пуассоновских зарядов. Разложение указано для распределений целочисленных

4 Komya P. Distribution of aggregate claims in the Individual Risk Theory model. Society of Actuaries: Transactions, 1983, v. 35, pp. 823-858.

3 Presman E. L. Approximation of binomial distributions by infinitely divisible ones. Theory Prob. Appl, 1983, v. 28, pp. 393-403.

6 Круопис Ю. Точность аппроксимации обобщенного биномиального распределения свертками пуассоновских мер. Литовский математический сборник;Л9р6, т. 26, № 1, с. 53-69.

7 Боровков К. А. Точность аппроксимации и асимптотические разложения для распределений некоторых случайных процессов. Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. н. Москва, РАН, Математический институт им. В. А. Стеклова, 1993.

8 Якшявичус Ш. О некотором способе разложения вероятностей решетчатых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, № 2, с. 294-307.

неотрицательных случайных величин, имеющих большую вероятность сосредоточенную в точке нуль, и удовлетворяющих дополнительному условию на вероятности в других точках. К сожалению, ШЛкшявичус позиционировал этот результат лишь как следствие одной из последних теорем, и работа осталась практически незамеченной.

Таким образом, несмотря на то, что тематика исследования асимптотических разложений для решетчатых случайных величин была открыта еще в 1883 году, работы П.Корня, Э.Л.Пресмана и Ю.Круописа в 80-х годах вновь привлекли к ней внимание, и последние 20 лет она является бурно развивающимся направлением современной теории вероятностей. Эта область особенно важна для статистических задач, в которых наличие простого асимптотического разложения с явными выражениями для погрешности аппроксимации позволило бы получать более точные значения статистических оценок и решать вопрос об уровне значимости ошибки. Цель работы.

1. Исследование сходимости в теореме Пуассона и получение асимптотического разложения для достаточно широкого класса решетчатых распределений.

2. Получение явного вида оценок точности аппроксимации начальными членами асимптотического разложения.

3. Получение неравномерных оценок в теореме Пуассона.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Найден новый метод получения асимптотических разложений решетчатых распределений в свертки пуассоновских зарядов.

2. С помощью упомянутого метода указаны асимптотические разложения для более широкого класса решетчатых распределений, чем было известно ранее.

3. Для наиболее известных вероятностных метрик получены явные оценки погрешности аппроксимации сверткой конечного или бесконечного числа членов разложения.

4. Получены новые результаты в известной задаче аппроксимации биномиального распределения, которые не покрываются результатами других авторов.

5. В задаче о пуассоновской аппроксимации обобщенного биномиального распределения получены явные выражения для неравномерных оценок погрешности аппроксимации.

Методы исследования. В первой главе, посвященной сверткам пуассоновских зарядов, используется аппарат тригонометрических рядов Фурье в совокупности с методом характеристических функций. Также используются некоторые факты из теории вероятностных метрик. Во второй главе, посвященной неравномерным оценкам в теореме Пуассона, используется некоторая модификация метода характеристических функций.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Получение простого способа разложения в свертки пуассоновских зарядов, подходящего для наиболее широкого на данный момент класса решетчатых распределений имеет несомненную теоретическую ценность. Простота метода и полученные при этом явные выражения для погрешности аппроксимации позволяют применять полученные результаты в практических задачах теории вероятностей и математической статистики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

1. VIII Международном семинаре «Дискретная математика и ее приложения» (февраль 2004г.).

2. Семинаре кафедры математической статистики МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством академика РАН Ю.В. Прохорова (март 2004г.).

3. Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ им. М.В.Ломоносова (май 2004г.).

4. VI Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (июнь 2004г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура диссертации. Диссертация состоит из краткого описания ее содержания, двух глав и списка литературы. Первая глава состоит из списка обозначений и 4 разделов, вторая глава состоит из 3 разделов. Некоторые разделы разбиты на подразделы. Полный объем диссертации 74 страницы. Библиография включает 28 наименований. В диссертации имеются 4 таблицы с результатами вычислений и 6 графиков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе диссертации приводятся результаты, относящиеся к асимптотическим разложениям решетчатых распределений в свертки зарядов специального вида, называемых далее пуассоновскими. Такие разложения ранее были известны лишь для достаточно узкого класса распределений. Важным обстоятельством является простота метода получения разложений, основная идея которого, без указания условий, необходимых для корректности переходов, приводится ниже.

Пусть F(x) - функция распределения и /(f) - характеристическая функция целочисленной случайной величины. Пусть /(f) не обращается в нуль и имеет L витков вокруг нуля на отрезке [-я,я]. Тогда функция е'л f (f) является 2я -периодичной и главная ветвь ее логарифма In f(t) — itL также 2я -периодична. Рассмотрим ее тригонометрический ряд

in /(o-at-SV*.

к--а

где Лк =— |<Г"* (1п . Можно показать, что все коэффициенты Лк -

-ж

действительные числа. При условии сходимости тригонометрического ряда к

СО

значению функции в точке нуль получается Лк = 0. Тогда

Ь*-®

ДО = е" ехр{1п/(0 - Щ=а* ехр{ £ V* = "Ш-

¿»-«о ¿^-оо

Пуассоновским зарядом с действительным показателем Л и целым параметром растяжения к будем называть заряд, имеющий характеристическую функцию ехр{Д1(е'4-1)}. Функцию распределения такого заряда обозначим Иногда вместо термина заряд используют

термины мера со знаком, знакопеременная мера.

Выше получено представление характеристической функции в виде (бесконечного) произведения характеристических функций вырожденного распределения и пуассоновских зарядов. Если обозначить Ек(х) функцию распределения с единичным скачком в точке к, то можно перейти к разложению для функции распределения

Одна из доказанных в работе теорем имеет вид Теорема. Пусть Р(х) - функция распределения целочисленной случайной величины, имеющей первый момент. Пусть /(/) - ее характеристическая функция, /(/) не обращается в нуль и делает Ь витков вокруг нуля на отрезке [-я, я]. Пусть 1п /(/) - главное значение логарифма /(*),

- коэффициенты Фурье тригонометрического ряда функции 1п /(7) - ИЬ на отрезке [-я,я].

Тогда распределение Р(х) можно представить в виде свертки

Если обозначить

ил

t€/i40) К/МО)

то для любого множества А целых чисел и любого х имеет место локальная равномерная оценка

£S(A)J Z Л12+ Z 4?-

£слк имеет второй момент, то для любого 0 <айя выполнено неравенство

< ±S(A)(a£\ | + M^l J £ Л2+( I Л)'

^ I» \*«/<и{0) *e-M°) ,

u неравенство для расстояния полной вариации Y^F-E^Yl'P^i

ЫА

/ (

¿S(A)

д 7W у у*«-м<>1 ылит vj \ktAu(o] j

а при x*L справедлива и такая неравномерная оценка

5

~Ь\ у к€Ло{ 0) \*«<М0) у

во

£слм и - натуральное число и ряд £ к"Хк абсолютно сходится, то

*—»

имеет место следующее равенство для разницы между семиинвариантами свертки и исходного распределения

*е/4 *«/МО)

Свойства функции Б(А) (ограниченность, оценки сверху и т.д.), входящей множителем в правые части вышеприведенных неравенств подробно обсуждаются в диссертации.

Полученные теоремы были применены к задаче об аппроксимации биномиального распределения и привели к нескольким новым результатам. В работе имеется сравнительный анализ оценок точности полученных аппроксимаций биномиального распределения с оценками других авторов, из которого следует, что новые оценки не покрываются существующими результатами даже в такой многократно исследованной задаче. Приведено несколько таблиц с результатами вычислений, показывающих, что новые оценки с доказанной асимптотикой убывания вполне можно использовать уже при двух десятках слагаемых. В отдельном подразделе рассмотрена задача о понижении трудоемкости вычислений, в частности показано, что от сверток пуассоновских зарядов можно без потери порядка точности аппроксимации переходить к конечным линейным комбинациям пуассоновских распределений, сдвинутых вдоль оси ординат.

Перейдем к результатам главы 2. В процессе доказательства теорем первой главы использовался метод получения неравномерных оценок, которые часто возникают в центральной предельной теореме, но являются крайне редкими в классической теореме Пуассона. Оценки, не использующие заряды, были выделены в отдельную главу. Пусть имеются индикаторы независимых случайных событий /,,...,/„. Обозначим рк = Р{1к = 1} = 1 - Р{/4 =0}, Ойркй 1 при к = 1,..., п. Распределение суммы таких индикаторов называют обобщенным биномиальным распределением,

п

обозначим соответствующую функцию распределения =

¿ы

Величину скачка функции распределения В(х) в точке к обозначим Ьк. Мы будем также использовать обозначения

п м 8

Обозначим через

к = 0,1,2.....

к\

величины скачков пуассоновской функции распределения с параметром Я 5: 0 и через

Юг

обозначим соответствующую функцию распределения. Примером полученных теорем главы 2 может служить следующий результат. Теорема.При Л = гф и к'к2 +Я выполнено неравенство

1 * 11 2 {к-2)1' \к-2)

и при к>\ + Хе

I V ) ¡^ 2 V (¿.цг^!.^

В диссертации подробно обсуждается вопрос о точности приведенных оценок.

Отметим, что единственные известные автору неравномерные оценки в теореме Пуассона содержатся в учебнике9 А. А. Боровкова. Они относятся к случаю одинаково распределенных индикаторов и даны в терминах О(.), что ограничивает возможность их применения в практических задачах.

9 Боровков А. А. Теория вероятностей. Едиториал УРСС, Москва, 2003.

9

Заключение.

1. Дано асимптотическое разложение в свертки пуассоновских зарядов для распределений из достаточно широкого (наиболее широкого на данный момент) класса решетчатых распределений. Получены новые результаты в задаче аппроксимации биномиального распределения и обобщенного биномиального распределения.

2. Предложен новый метод получения асимптотических разложений, позволяющий получать явные оценки точности аппроксимации конечными отрезками разложения. Метод позволяет строить «длинные» разложения при существовании всего двух первых моментов исходного распределения в отличие от методов, основанных на выравнивании конечного числа моментов.

3. Впервые получен явный вид неравномерных оценок в теореме Пуассона для обобщенного биномиального распределения.

Решение упомянутых задач стало возможным благодаря совместному применению метода характеристических функций и аппарата тригонометрических рядов.

Автор выражает глубочайшую благодарность Владимиру Васильевичу Сенатову за постановку задач и всестороннюю поддержку. Также хочется поблагодарить Владимира Гавриловича Михайлова за целый ряд полезных замечаний.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Карымов Д.Н. "О разложениях решетчатых распределений в свертки пуассоновских зарядов", Теория вероятностей и ее применения, 2004, т. 49, в. 3, стр. 589-596.

2. Карымов Д.Н. "О точности аппроксимации в предельной теореме Пуассона", Дискретная математика, 2004, т. 16, в. 2, стр. 148-159.

3. Карымов Д.Н. "Несколько замечаний о точности аппроксимации в теореме Пуассона", материалы VIII Международного семинара

«Дискретная математика и ее приложения», Москва, МГУ, 2004, стр. 197200.

4. Карымов Д.Н. "Об асимптотическом разложении в теореме Пуассона", тезисы VI Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» в журнале Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004 т. 11, в. 2, стр. 238.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 8.11.04

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 48

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001 г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

124 03 9

Содержание.

О содержании работы.

Глава 1. Разложение решетчатых распределений в свертки пуассоновских зарядов.

Используемые обозначения главы 1.

Введение к главе 1.

Основные результаты.

Аппроксимация биномиального распределения.

Теорема о разложении биномиального распределения.

Сравнение результатов работы с результатами других авторов.

Сравнение с результатами других авторов. Численные результаты.

Понижение сложности вычислений.

Доказательства результатов главы 1.

Доказательство замечания 1.

Доказательство теоремы 1.

Доказательство замечания 2.

Доказательство замечания 3.

Доказательство теоремы 2.

Доказательство теоремы 3.

Доказательство теоремы 4.

Доказательство замечания 6.

Доказательство теоремы 5.

Глава 2. Неравномерные оценки в теореме Пуассона.

Введение к главе 2.

Полученные результаты.

Доказательства результатов главы 2.

Доказательство теоремы 1.

Доказательство теоремы 2.

Доказательство теоремы 3.

Доказательство теоремы 4.

Доказательство теоремы 5.

Доказательство теоремы 6.

к главе 1 в этой главе изложены некоторые результаты, связанные со свертками зарядов специального вида, называемых далее пуассоновскими. Рассмотрены некоторые теоретические аспекты, важные для понимания существа дела, но оставшиеся в тени в работах других авторов. Так, например, указан простой способ получения асимптотических разложений в сверки пуассоновских зарядов, подходяпщй для широкого класса решетчатых распределений. Показана аналогия между такими разложениями и классическими для теории вероятностей разложениями Грама-Шарлье типа А и В и рядами ЭджвортаКрамера. Основным объектом изучения этой работы являются распределения решетчатых случайных величин. Напомним, что случайная величина называется решетчатой, если она принимает только значения вида a hk, где а и /г О фиксированные, к 0, ±1, ±2, Так как простым сжатием и сдвигом оси координат любая решетчатая случайная величина может быть переведена в целочисленную, то в дальнейшем рассматривается только этот частный случай решетчатых величин. При этом подразумевается, что любой результат может быть применен к общему случаю достаточно использовать обратное преобразование оси координат. Пусть F{x) функция распределения целочисленной случайной величины, f{t) соответствующая ей характеристическая функция. Очевидно, что f{t) является 2л"-периодичной непрерывной функцией. Разложение fit) в тригонометрический ряд имеет вид /(0= к=-<х.А ик Х В правой части равенства стоят линейные комбинации функций е которые являются характеристическими функциями распределений, сосредоточенных в одной точке. Обозначим фунщию распределения с единичным скачком в точке к Е{х). Тогда из разложения характеристической функции в тригонометрический ряд по экспонентам следует хорошо известное представление распределения в виде смеси вырожденных распределений: itk Fix) Y,PkE,{x). Это самое простое и естественное "асимптотическое разложение" для целочисленных распределений. Как ни странно, разложение в свертку пуассоновских зарядов может быть получено аналогично. Пусть fif) не обращается в нуль. Это позволяет нам рассматривать только главную ветвь ее логарифма 1п/(/). Если f{t) не имеет витков вокруг нуля на отрезке [-ж,7г], то hif(t) также является 2--периодичной непрерывной функцией. Посмотрим, что получится, если разложить ее в тригонометрический ряд по экспонентам. Приведенную ниже цепочку рассуждений следует воспринимать лишь как демонстрацию основной идеи полученных в работе результатов, мы не будем указывать условия, необходимые для корректности следующих ниже равенств и переходов. Разумеется, при доказательстве теорем этот недостаток будет устранен. Итак, 1 где Ге""* In f{t)dt, вообще говоря, комплексные числа. Из равенства 2-. f{t) следует, что действительные числа. Тогда т ехр{1п/(0} ехр{ к=-со 00 Я,е"}, /(0) 1 ехр{Х;Л}, А=-со fit) ехр{ Х Я,е"} ехр{ Л,(е" -1)} ft ехр{4(" Л=-00 t=-00 Л=-СО Заметим, что в правой части стоят функции, похожие на характеристические функции пуассоновских распределений, но в нашем случае величины Я не обязательно являются положительными. Определение. При кО пуассоновским зарядом с действительным показателем Я и параметром растяжения к, к целое, будем называть У! заряд, имеющий в точке kl, О, вес, равный е При к 0 пуассоновский заряд будем считать совпадающим с вырожденным распределением EQ{X). Функцию распределения пуассоновского заряда (знакопеременной меры, меры со знаком) обозначим i.,* Так как ехр{А<;(е* -1)} является характеристической функцией заряда Р) /(х), то, как следствие разложения логарифма характеристической функции в тригонометрический ряд Фурье по экспонентам, получается разложение А=-оо Заметим, что если характеристическая функция f{t) имеет ненулевое число L витков вокруг нуля, то мы можем рассмотреть распределение Е_1 F{x), характеристическая функция которого равна f{t)e и не имеет витков вокруг нуля на отрезке [-к, ж]. Arg{f{ж)e-)- Arg{f{-K)e) (Argifi)) тгЬ) (Argifi-)) L) Arg{f{7t)) Argifi-ж)) 2nL 0.Тогда E.L*F{x)= и, следовательно, Jt=-oo Y{*Px„ki) А=-оо где Xk=— \e{\nf{t)-itL)dt. Заметим, что для корректности всех указанных переходов достаточно условия, состоящего в том, что/(f) не обращается в нуль и распределение имеет первый момент. Введенные пуассоновские заряды являются простейшими Я* обобщениями пуассоновского распределения P(jc)= —е Мы просто отказались от условия X О и ввели растяжение оси ординат в к раз (при отрицательном к это означает композицию растяжения и отражения). Ниже приведены графики, показываюпще распределение веса пуассоновского заряда при положительном и отрицательном показателе распределения. График 1. Величины скачков АР,* при Д 1, 0 0 -1 1( 2k з|к 4k 5k 6k 7k -2 -3 График 2. Величины скачков APjx) при Л -1 Отметим, что при к и положительном показателе X пуассоновский заряд является обычным пуассоновским распределением. Такие заряды сохраняют многие свойства пуассоновского распределения. Так, например, Р азложение в свертку пуассоновских зарядов аналогично представлению распределения целочисленной величины в виде смеси вырожденных распределений. Продемонстрируем аналогию с классическими разложениями для случайных величин. В 1883 и 1913/1914 годах Дж. Грам и К. Шарлье в своих работах [8] и [9] рассмотрели логарифм характеристической функции биномиального распределения с параметрами пир. Разложив \nf(t) в ряд по степеням t, они получили разложение, которое теперь называют разложением ГрамаШарлье типа А для плотности распределения: .w=<w(i+E.W), гк\ где ф(х) -хЧ2 плотность нормального распределения. -х/2 многочлены Чебышева-Эрмитта. dx Впоследствии одна модификация разложения Грама-Шарлье типа А стала известна под названием ряда Эджворта-Крамера. Разложив In/(f) в ряд по степеням р, Дж. Грам и К. Шарлье получили представление для величин скачков функции распределения, которое теперь называется разложением Грама-Шарлье типа В: Н,{х) {-\)е" )t=i л! ak где A/x() величина скачка функции P- в точке л:. Основной проблемой при использовании этих разложений является то, что оценки точности аппроксимации, которые дают конечные отрезки этих рядов, формулируются в терминах О от числа слагаемых, что не позволяет использовать такие оценки на практике. Попытки устранить этот недостаток есть лишь в последних работах по данной тематике. Ранее показано, что разложение в свертку пуассоновских зарядов получается при разложении In fit) в ряд по степеням е". По-видимому, сейчас нельзя ответить на вопрос о том, почему Дж, Грам и К. Шарлье рассматривая 2п -периодичную функцию, разложили ее в ряды по степеням t и но не рассмотрели возможно более естественное разложение по степеням е. Тем не менее, можно считать, что предпосылки для открытия разложений в свертки пуассоновских зарядов существовали еще около 100 лет назад, однако первые шаги в этой области были сделаны значительно позже. Пуассоновские заряды появились впервые в работах П. Корня [10] и Э. Л. Пресмана [11] в 1983 году. В 1986 году Ю. Круопис предложил использовать свертки пуассоновских зарядов для аппроксимации решетчатых распределений (см. [16] и [17]). Ю. Круопис пользовался методом, основанном на выравнивании первых п моментов исходного распределения и свертки из п пуассоновских зарядов. В отличие от использованного выше, его метод работает и в случае, когда In/(f) обращается в нуль, но он довольно сложен, так как для каждого п требуется доказывать отдельную теорему. Так, Ю. Круопис ограничился рассмотрением аппроксимаций свертками не более трех зарядов, указав, что для большего числа зарядов вычисления становятся слишком громоздкими. Тем не менее, он показал, что свертка всего двух зарядов /,*Р_,(л:) приближает биномиальное распределение с лучшей точностью, чем нормальное и пуассоновское приближения. Сравнивая результаты Ю. Круописа о приближении биномиального распределения сверткой -Pi, i д iC) представляемой работе оценки (см. теорему 5 при iV 2), можно прийти к выводу, что оценки из теоремы 5 точнее лишь в довольно узкой зоне пуассоновской аппроксимации пр С, тогда как результаты Ю. Круописа оказываются лучше в более широкой зоне нормальной аппроксимации. Однако формулировка теорема 5 говорит о приближении биномиального распределения любым количеством зарядов, что позволяет достигать любой точности аппроксимации. Впоследствии результаты Ю. Круописа были усилены А. Д. Барбу и В. Чяканавичусом, которые в своей работе [2] использовали метод Стейна-Чена. По-видимому, для свертки небольшого числа зарядов оценки, полученные этим методом, превосходят остальные по 10 точности, но применение этого метода для большого числа зарядов затрудняется возрастаюш;ей сложностью доказательства и оценок. Один из самых простых способов получения аппроксимации биномиального распределения был предложен в докторской диссертации К. А. Боровкова. Мы покажем здесь идею его метода, поскольку она позволяет по-новому взглянуть на пуассоновские заряды. Обозначим О, X О, ВрЛ)= f.<р\\-ру-\ кк/л к=0 „\п-к 0<х<п, 1, х>п. функцию распределения биномиального закона. Известно, что оценку точности сходимости в классической теореме Пуассона можно получить при помощи метода каплинга (coupling). Пусть Л пр, тогда к=\ к=\ При этом функция распределения Бернулли Bp{x) имеет лишь два ненулевых скачка в точках О и 1 и приближается пуассоновским законом Р с точностью 0{р). В итоге получаем Var(5„-Pj) 0(«p). К. А. Боровков предложил рассмотреть свертку двухточечного распределения Вр{х) с пуассоновским распределением на четных числах Р j О При этом получается распределение, имеющее ненулевые скачки во всех неотрицательных целых точках действительной оси. При надлежащем выборе параметров оно может быть приближено пуассоновским законом Р уже с точностью 0{р). Тогда Var(5, Р„,, Р„ Уаг(П Ч5,д Р;, J П *Л nVB, Р, -Р) 0(пр) при А= р/{\-р), 2 р 1п(1 Так получается приближение с лучшей точностью, однако вместо В в оценке фигурирует свертка В*Р„2(). Чтобы избавиться от "лишнего" пуассоновского распределения, свернем распределения в левой части последней цепочки равенств с зарядом Var(5,„ Р Р д Var(5 Р„, Р Р„ Р_,) Var(B„ Р„, Р) Var Р_„, 0(«У )(1 0(пр)). Полученная в итоге точность лучше точности аппроксимации обьиным пуассоновским законом, а пуассоновский заряд использовался для того, чтобы "обнулить" сдвиг исходного распределения на пуассоновс1сую случайную величину. 11 Заметим, что последний шаг в рассуждениях, приведенных выше, несколько проще, чем использованный самим К. А. Боровковым. Многие авторы (см. ссылки в [3], [5] и [21]) в качестве дальнейшего развития результатов Ю. Круописа рассматривали сложный пуассоновский заряд вида £o(x) V 00 1 (jc)- В работе показано, что, по-видимому, заряд вида еУ\—G*{x), где Д 0 G{x) функция распределения некоторого заряда, является не обобщением разложений в свертку пуассоновских зарядов, а лишь изменением порядка суммирования. В своей работе [23] Ш. Якшявичус рассмотрел целочисленные распределения на положительной полуоси, удовлетворяющие условию AF(A:)<(—£:)*AF(0). Взяв производящую функцию распределения (p{z) AF(A:)z*, он, обозначив производные главной ветви ее логарифма в нуле (7 =—r-ln(z)|_Q, получил разложение /(г) ГТехр{—(е"* -1)}. Этот dz \ji к\ свой результат он поместил как следствие одной из последних теорем. В итоге, работа осталась незамеченной именно теми математиками, которым была бы, наверное, наиболее интересна. На самом деле, есть несомненное родство между используемым нами методом и изучением производных логарифма производящей функции, которым занимался Ш. Якшявичус. Заметим, что при наложенных им условиях на распределение F{x) имеет место равенство Я, f In/(0 —cfe""* ln(")" cf z"* I n z llog(z)U=. 00 Итак, Ш. Якшявичус получил разложение J[*W- Очевидно, что к=\ для распределений, полученных из начального сдвигом на целое число 00 получается разложение F(x) (-E *P][*/)(x). По-видимому, работа Ш. Якшявичуса является единственной на данный момент, в которой для частного случая AF(A:)<(—5)*AF(0), получено исследуемое в нашей работе разложение. Также отметим, что определенные выше величины Д являются коэффициентами ряда Лорана логарифма производящей функции 12 nax\F(x)-(,E,*Y\Pj,Xx)\< keA 4sM) M неравенство для расстояния полной вариации кЫ <S(A) a w/?w jc 7 Z справедлива и такая неравномерная оценка ksA \x-L SiA) max Если и натуральное число и ряд к"Я абсолютно сходится, то имеет к=- место следующее равенство для разницы между семиинвариантами конечной свертки и исходного распределения K{F)-K{E,*YVP,)= Ч- Для биномиального распределения теорема принимает такой вид Теорема. Пусть 0<р< п и N натуральные числа. Обозначим Л=(-Г7(г)* при к>0 и S(N) S{N,n,p) exp Тогда имеет место равенство к 1-/7 Р лг.1 2(1-Р) (N m-lp) к=\ \-р Л)=КРЛ) равномерная локальная оценка max p.w-n*4w t=l N+r \2 \-lp —S{N)n{-\ \-p равномерная интегральная оценка 2(l-2p) оценка для расстояния полной вариации max p.«w-n*4.*w *=1 1-/7 14

1. Barbour A. D. Topics in Poisson approximation.

2. Barbour A. D., Cekanavicius V. Total variation asymptotics for sums of independent integer random variables. Annals of Probability, 2002, v. 30, p. 509-545.

3. Barbour A. D., Chryssaphinou O. Compound Poisson approximation: a user's guide. Annals of Applied Probability, 2001, v. 11, p. 964-1002.

4. Barbour A. D., Hall P. On the rate of Poisson convergence. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1984, v. 95, pp. 473-480.

5. Cekanavicius V. Doctor dissertation. Vilnius, Vilnius University, 1997.

6. Cekanavicius V., Kruopis J. Signed Poisson approximation: a possible alternative to normal and Poisson laws. Bernoulli, 2000, v. 6(4), p. 591-606.

7. Charlier С. V. L. Arkiv. Mat. Astr. Fys. 1913/1914, Bd 9, № 25, S. 1-17.

8. Gram J. P. J. reine und angew. Math. 1883, Bd 94, S. 41-73.

9. Le Cam L. Remargues sur le theoreme limit central dans les espaces localement convexes. In: Les Probabilities sur les Structures Algebriques. C.N.R.S., Paris, 1970, pp. 233-249.

10. Боровков А. А. Теория вероятностей. Едиториал УРСС, Москва, 2003.

11. Боровков К. А. Точность аппроксимации и асимптотические разложения для распределений некоторых случайных процессов. Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. н. Москва, РАН, Математический институт им. В. А. Стеклова, 1993.

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Ленинград, ГОНТИ НКТП СССР, 1939.

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. Москва, Мир, 1965.

14. Круопис Ю. Аппроксимации распределений сумм решетчатых случайных величин. Литовский математический сборник, 1986, т. 26, № 3, с. 455467, № 4, с. 692-704.

15. Круопис Ю. Точность аппроксимации обобщенного биномиального распределения свертками пуассоновских мер. Литовский математический сборник, 1986, т. 26, № 1, с. 53-69.

16. Михайлов В. Г. Явные оценки в предельных теоремах для сумм случайных индикаторов. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994, т. 1, № 4, 580-617.

17. Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального распределения. Успехи математических наук, 1953, т. 8, № 3, 135-142.

18. Шоргин С. Я. Аппроксимация обобщенного биномиального распределения. Теория вероятностей и ее применения, 1977, т. 22, № 4, с. 867-871.

19. Якшявичус Ш. О некотором способе разложения вероятностей решетчатых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, №2, с. 294-307.

20. Ивченко Г. И. О сравнении биномиального и пуассоновского законов. Теория вероятностей и ее применения, 1974, т. 19, № 3, с. 612-615.Работы автора по теме диссертации:

21. Карымов Д. Н. О разложениях решетчатых распределений в свертки пуассоновских зарядов. Теория вероятностей и ее применения, 2004, т. 49, №. 3, с. 589-596.

22. Карымов Д. Н. О точности аппроксимации в предельной теореме Пуассона. Дискретная математика, 2004, т. 16, №. 2, с. 148-159.

23. Карымов Д. Н. Несколько замечаний о точности аппроксимации в теореме Пуассона. Материалы VIII Международного семинара «Дискретная математика и ее приложения», Москва, МГУ, 2004, с. 197-200.

24. Карымов Д. Н. Об асимптотическом разложении в теореме Пуассона. Тезисы VI Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» в журнале Обозрение прикладной и промышленной математики, 2004, т. 11, № 2, с. 238.