О мощности критерия знаков в случае распределения Лапласа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

0Э4616328

Московских! государственный университет им. М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

КОРОЛЕВ Роман Анатольевич

О МОЩНОСТИ КРИТЕРИЯ ЗНАКОВ В СЛУЧАЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛАПЛАСА

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

" 9 ДЕК 2010

Москва — 2010

004616328

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Бенинг Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Зейфман Александр Израилевич

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник НИИ математики и механики имени Н.Г. Чеботарева Чупрунов Алексей Николаевич

Ведущая организация Институт проблем информатики

Российской академии наук (ИПИ РАН)

Защита состоится 24 декабря 2010 года в 11:00 ч. на заседании диссертациониого совета Д 501.001.44 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК МГУ http://www.cmc.msu.ru в разделе Наука — Работа диссертационных советов — Д 501.001.44.

Автореферат разослан 24 ноября 2010 года.

Ученый секретарь диссертациониого совета профессор

Н.П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1774 году Пьер-Симои Лаплас в своей статье «Sur la probabilité des causes par les événements» (см. p] и литературу там) предложил естественный вероятностный закон для ошибки измерений в такой формулировке: логарифм частоты ошибки есть линейная функция абсолютного значения ошибки. Назвав этот закон первым законом для ошибки измерений, который исторически является первым вероятностым распределением с неограниченным носителем, Лаплас уже через 4 года в своей фундаментальной работе «Théorie Analytique» (см. [*] и литературу там) рассматривает второй вероятностный закон, который гласит: логарифм частоты ошибки измерений есть квадратичная функция ошибки. Именно этот второй закон благодаря хорошим аналитическим свойствам будет детально исследоваться все последующее время, получит название «нормальное распределение» и займет главное место в теории вероятностей вследствие центральной предельной теоремы. Лишь спустя почти 150 лет известный экономист и математик Дж. Кейнс (см. I1] и литературу там) напомнит о существовании первого закона для ошибки измерений и получит его вновь из предположения, что наиболее вероятное значение измеряемой величины есть ее медиана. Следом за ним известный математик Э. Уилсон (см. [*] и литературу там) с помощью непараметрических методов покажет на одном примере, что распределение отклонений от медианы измерений является скорее первым законом Лапласа, нежели нормальным законом. Спустя еще почти 50 лет в научной литературе (см. [х] и литературу там) все чаще стали появляться пожелания использовать первый закон Лапласа в качестве основного распределения для экономических, биометрических и демографических данных в противовес нормальному распределению.

В наши дни первый закон Лапласа называют распределением Лапласа. Это распределение задается характеристической функцией (см. обзор в

lKotzS., KozubowskiT. J., PodgorskiK. The Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to communications, economics, engineering, and finance. — Birkhauser Boston, USA, 2001.

работе [2] и литературу там)

или плотностью

1{х) = <7>0, хек1.

Другое название — двойное экспоненциальное распределение — указывает на возможность получения его как разности двух независимых одинаково распределенных экспоненциальных величин, которые часто используются для описания продолжительности жизни наблюдаемых объектов. Недавно В.Е. Бегагагом и В.Ю. Королёвым было показано (см. работу [2]), что распределение Лапласа естественно возникает как предельное распределение асимптотически нормальных статистик в случае выборок случайного объема.

В прикладных областях экономики и науки популярность распределения Лапласа как математической (вероятностной модели) обусловлена тем, что его хвосты тяжелее, чем у нормального распределения. Так в теории связи в задачах обнаружения постоянного сигнала в качестве вероятностной модели некоторых типов импульсных помех выбирают распределение Лапласа, (см. [3], [4], [5]). В работе [6] распределение Лапласа рассматривается как модель для речевого сигнала в задачах кодирования и декодирования аналоговых сигналов. Использованию распределения Лапласа в задачах на разрушение

2 БенингВ.Е., Королёв В.Ю. Некоторые статистические задачи, связанные с распределением Лапласа. // Информатика и её применения, 2008, т. 2, вып. 2, с. 19-34.

3 Dadi М. I., MarksR. 3. II. Detector relative efficiencies in the presence of Laplace noise. 11 IEEE Thins. Aerospace Electron. Systems, 1987, AES-23(4), p. 568-582.

4 MarksR. J., WiseG.L., HaldemanD. G., WhitedJ.L. Detection in Laplace noise. // IEEE Trans. Aerospace Electron. Systems, 1978, AES-14(6), p. 866-871.

5 Miller J. H., Thomas J. B. Detectors for discrete-time signals in non-Gaussian noise. // IEEE Trans. Inform. Theory, 1972, IT-18(2), p. 241-250.

6 Duttweiler D. L., Messerschmitt D. G. Nearly instantaneous companding for nonuniform-ly quantizied PCM. // IEEE Trans. Comm., 1976, COM-24(8), p. 864-873.

устройств и излом материалов посвящена работа [7]. Работы [8] [9] обсуждают применение распределения Лапласа в аэродинамике, где градиент скорости ветра по отношению к периоду времени моделируется с помощью смесей распределения Лапласа и нормального распределения, распределение ошибки в навигации с использованием распределения Лапласа исследуется в [10].

Возросший иитерес к распределению Лапласа делает актуальным его использование в математической статистике. Нерегулярность распределения Лапласа порождает известные трудности при использовании его в задачах проверки статистических гипотез. Однако развитые в последние десятилетия асимптотические методы проверки статистических гипотез (см. [и], [12], [13], [14] и литературу там) позволяют теперь решать многие из подобных задач. Одна из них — задача сравнения мощности асимптотически наиболее мощного критерия с мощностью наилучшего критерия — рассматривается в диссертации.

Пусть в принадлежит открытому множеству 0 С К1, содержащему ноль, п € N. Рассмотрим задачу проверки простой гипотезы

Н0 : в = 0 (1)

против последовательности сложных близких альтернатив вида

Н„д : 9 = 4=' 0 < 1 < С > °> (2)

л/п

7 Epstein В. Application of the theory of extreme values in fracture problems. //J. Amer. Statist. Assoc., 1948, vol.43, No. 243, p. 403-412.

8 Jones P.N. McLachlan G. J. Laplace-normal mixtures fitted to wind shear data. // J. Appl. Statistics, 1990, vol. 17, No. 2, p. 271-276.

9 KanjiG. K. A mixture model for wind shear data. //J. Appl. Statistics, 1985, vol. 12, No. 1, p. 49-58.

10 HsuD.A. Long-tailed distributions for position errors in navigation. // Appl. Statist., 1979, vol.28, No. 1, p.62-72.

11 Чибисов Д.М. Вычисление дефекта асимптотически эффективных критериев. // Теория вероятн. и ее примен., 1985, т. 30, вып. 2, с. 269-288.

12 BcningV. Е. Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses. — VSP, Utrecht, 2000.

13 Chibisov D. M. An asymptotic expansion for distributions of C(a) test statistics. // Lecture Notes in Statistics, 1980. vol. 2. p. 63-96.

14 Chibisov D.M., VanZwetW. R. On the Edgeworth Expansion for the Logarithm of the Likelihood Ratio. I. // Теория вероятн. и ее примен., 1984, т. 29, вып. 3, с. 417-^439.

с неизвестным параметром t, на основе выборки Х„ = (Xi,... ,Хп), состоящей из независимых и одинаково распределенных наблюдений, имеющих плотность

р{х.в) = ¿е-1*-"1, х,9 ёК1. (3)

Распределение случайной величины Xi будем обозначать Ре, а п-кратпое произведение таких распределений при гипотезе Но и альтернативе Нпд обозначим, соответственно, через г^о и 1,1.1 ■

Для любого фиксированного t € (О, С] согласно лемме Неймапа-Пирсона наилучший критерий для проверки гипотезы Но (см. (1)) против простой альтернативы

(4)

в случае распределения Лапласа (3) основан на логарифме отношения правдоподобия

п

м*) = £(1*ы*<-&г1/21)- (5)

¿=1

Обозначим через /3*(i) мощность такого критерия уровня а € (0,1). Заметим, что поскольку t неизвестно, то мы не можем использовать статистику An(i) для построения критерия проверки гипотезы Но против альтернативы Н„д. Однако ß„{t), это так называемая огибающая функция мощности, дает верхнюю границу для мощности любого критерия при проверке гипотезы Но против фиксированной альтернативы Нп>( (см. (4)), t > 0, и может служить стандартом при сравнении различных критериев. Рассмотрим критерий уровня а € (0,1), основанный на знаковой статистике вида

Тп = ^itsigniXi), (6)

обозначим ЧбрбЗ Рп (t) его мощность. Очевидно, статистика (6) пе зависит от неизвестного параметра t и может быть использована для проверки гипотезы Но против альтернативы Нпд. В диссертации вычисляется предел вида

r(t) = lim y/ü{ß*{t) - ßn(t)). (7)

Число r(f) имеет статистическую интерпретацию в термипах дополнительного числа наблюдений, необходимых критерию для достижения той же мощности, что и наилучшего критерия. В работе [12] получена общая теорема, дающая достаточные условия для справедливости представления

r{t) = ±eb'p(bt)D(A{t)\A(t)=bt), (8)

где bt = — а), Ф:(ж) — функция распределения, предельная для

распределений логарифмов отношения правдоподобия Лn(t) при гипотезе Но, р(х) = (A(t), A(i)) — случайный вектор, предельный для

(^nAn{t), Л„(i)), A„(f) = Sn(t) - Лn(t), Sn(t) - монотонное преобразование статистики Гп, не меняющие мощности критерия, вида

i ™ i2 <Sv>(*) = -^'^Tsigntfi) ~ Y

Однако достаточные условия из этой теоремы не выполняются в случае распределения Лапласа. Так теорема 3.2.1 работы [12] не может непосредственно быть применена к случаю распределения Лапласа, поскольку достаточное условие 3 (ii) (см. с. 79 работы [12]) - аналог условия Крамера (С) - не выполняется для характеристической функции решетчатой статистики S„(i). Также в связи с нерегулярностью распределения Лапласа статистика Д n(i) допускает нерегулярное стохастическое разложение порядка п-1/4 в отличие от случая п-1/2 в формулировке теоремы 2.1 работы [и].

В диссертации доказана общая теорема, обобщающая условие теоремы из работы [12], и распределение Лапласа является частным случаем применимости этой теоремы.

Цель работы. Целью данной диссертации является вычисление предела (7) для нормированной разности мощностей асимптотически оптимального критерия знаков и асимптотически наилучшего критерия в случае распределения Лапласа. При этом получена общая теорема, частным случаем которой является распределение Лапласа. Получены также асимптотические разложения для распределений логарифма отношения

правдоподобия как при гипотезе, так и при альтернативах. Проведена численная аппроксимация для мощности критерия и для дефекта асимптотически оптимального критерия знаков в случае распределения Лапласа.

Научная новизна. Все полученные б диссертации результаты являются новыми. Вычислен предел нормированной разности мощностей асимптотически оптимального критерия знаков и асимптотически наилучшего критерия в задаче проверки простой гипотезы против последовательности односторошгих сложных локальных альтернатив в случае распределения Лапласа, а также получен дефект критерия знаков. Получены общие достаточные условия для справедливости формулы для предела нормированной разности мощностей критериев, в случае когда статистика асимптотически оптимального критерия имеет решетчатое распределение. Распределение Лапласа при этом является частным случаем.

Методы исследования. В работе используются методы математического и функционального анализа, а также методы теории вероятностей, в частности, методы сходимости условных моментов и условных мер, зависящих от параметра (см. [и], [12], [13]), неравенство сглаживания для расстояния Леви между распределениями (см. [13], [15], [16], [17]), метод характеристических функций-

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают практическое применение для построения асимптотически оптимальных критериев, проверки гипотез на основе наблюдений в случае распределения Лапласа и вычисления дефекта критериев.

15 ЗолотаревВ. М. Оценки различия распределений в метрике Леви. // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1971, т. СХН, с. 224-231.

16 ЗолотаревВ.М., СенатовВ.В. Двусторонние оценки метрики Леви. // Теория вероятн. и ее примем., 1975, т. 20, вып. 2, с. 239-250.

17 Абрамов В. А. Оценка расстояния Леви-Прохорова. // Теория вероятн. и ее примен., 1976, т. 21, вып. 2, с. 406-410.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском сешшаре "Теория риска и смежные вопросы" па факультете ВМиК МГУ (руководители В.Е. Бенинг и В.Ю. Королёв), на семинаре Школы математических наук Пекинского университета (май 2009 г.), на XXVIII международном научном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (31 мая - 5 июня 2009 г., Закопане, Польша), на семинаре 32-й Финской летней школы теории вероятностей (июнь 2010 г.) и нашли свое отражение в трудах упомянутых семинаров и конференций.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б статьях (1, 2, 3, 4, 5, 6) в журналах, входящих в список ВАК «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и издаиий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, содержащего 3 таблицы и 7 рисунков, и списка литературы, содержащего 54 наименования. Объем работы 131 страница.

Благодарности. Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук, профессора Бешшга Владимира Евгеньевича, которому автор выражает искреннюю признательность.

Содержание работы

Введение освещает актуальность темы, описывает объекты исследования и основные результаты диссертации.

В первой главе формулируется задача проверки простой гипотезы об одномерном параметре сдвига против последовательности односторонних сложных локальных альтернатив в случае распределения Лапласа па основе независимых одинаково распределенных наблюдений. Эвристически выводятся формулы для предела нормированной разности мощностей асимптотически наилучшего и асимптотически оптимального критериев и для дефекта асимптотически оптимального критерия.

При этом порядок разности мощностей критериев оказывается п~1/2 в случае распределения Лапласа в отличие от регулярного случая, когда этот порядок есть п-1. Получены предельные теоремы для последовательностей функций распределения статистики, на которой основан критерий.

Рассмотрим снова задачу проверки простой гипотезы Н0 (см. (1)) против последовательности односторонних сложных локальных альтернатив Н„д (см. (2)), где параметр t неизвестен. Согласно фундаментальной лемме Неймана-Пирсона для любого фиксированного t 6 (О, С] существует наиболее мощный критерий для проверки простой гипотезы Но (см. (1)) против простой альтернативы Hnit (см. (4)), который основан на логарифме отношения правдоподобия

A*(t) = ¿(¿(Xi.in-1/2)-^^)), (9)

i=1

где l(x, в) = \ogp(x, 9), и отвергает гипотезу Но в случае, если

Л„(*) > Cn,t,

причем критическое значение сП)4 выбирается из условия (предположим непрерывность распределения A„(f))

Рп,о(Л„(г) > Cntt) = а,

где а € (0,1) - фиксированный уровень значимости. Мощность наилучшего критерия /^(i) вычисляется по формуле

Ш = Pn,t/vs(An(i) > <v,it).

Функция P„(t) называется огибающей функцией мощности, поскольку /3*(i) дает верхнюю границу для мощности любого критерия при t > 0. Критерий, основанный на Лп(£), нельзя применить для сложных альтернатив ввиду неизвестности параметра t € (0, С], в регулярном случае существует алгоритм построения критериев, не зависящих от t и имеющих ту же предельную мощность, что и /S*(t), при п —>■ оо. Этот подход основан на стохастическом разложении логарифма отношения правдоподобия An(f)

An(i) = tLM (10)

где

Ln} = - 3 = 1,2,...,

¿=i

zW<*>= J^M**' * =1'2'-

и I = E0(i'1'(Xi))2 — фишеровская информация. При этом в выражении (10) опущены неслучайный член члены более высокого

порядка малости, чем п""1/2, и использован хорошо известный факт, состоящий в том, что

е0iw(Xi) = о, Е0г(2)№) = -I.

Рассмотрим вместо критерия, основанного на Лn(t), критерий, основанный па Ln^ из выражения (10). Хорошо известно, что

£(Л„(i) | Но) i2/), Cn,t ^ Ct = tVlua - ii2/,

C(An(t) | HM) N^fl^l), ß*n{t) -f /T(i) = - «*),

,/?n(i) jö*(i) = - u.), (11)

где ßn(t) — мощность критерия, основанного на статистике C(hn(t) I Ho), £(An(i) I H„it) — распределения Лn(t) при соответствующих гипотезах, N — нормальный закон с собтветствующими параметрами и иа = Ф-1(1 - а).

Критерии, для которых выполняется (11), называются асимптотически наиболее мощными (AHM). Таковы, например, критерии основанные на статистиках L\l\ An(io), где to > 0 фиксировано, оценках максимального правдоподобия и т.п. Для сравнения таких критериев можно использовать следующие члены асимптотического разложения ßn{t), то есть представления типа

ßn(t) = ß*(t) + -^h^t) + \(t) + ••■ . (12) yj TL Tl

Асимптотическим разложениям в статистике посвящены работы [18] и [19].

18 Pfanzagl J. Asymptotic expansions in parametric statistical theory, in: Developments in Statistics, Ed. by P.R. Krishnaiah, New York-London, Academic Press, 1980, vol.3, p. 1-97.

19 BickelP. J. Edgeworth expansions in nonparametric statistics. // Ann. of Statist., 1974, vol.2, No. 1, p. 1-20.

Было замечено, что в формуле (12) при выполнении естественных условий регулярности для AHM критериев совпадают и члены hi(t), различия наступают в членах порядка п-1. Этим вопросам посвящены работы [и], [12], [18]. При этом величина

r(t) = lim n{ß*(t) - ßn(ij)

71—УОО

допускает статистическую интерпретацию в терминах необходимого числа наблюдений и позволяет находить асимптотический дефект (см. [п], [12],

П)

В работе [12] рассмотрен общий случай в терминах общего статистического эсперимента и приведена общая теорема, дающая достаточные условия для существования предела r(t).

Теорема 1. (Bening, 2000) Пусть выполнены условия регулярности (см. теорему 3.2.1 из работы f12]) и 0 < а < 1. Тогда

г = lim r'2(ß: - ßn) = \еър{Ь) D(A I А = b),

п—юэ I

где b = — a), $1(2;) — функция распределения, предельная для

логарифма отношения правдоподобия Ап при гипотезе Но (выше было $i(a;) = ^ j), р{х) = (ж) и тп —i- 0 — малый параметр (выше было

т~п = п~1/2), (Д, Л) — случайный вектор, предельный для (т~1Ап, Ап), An = Sn — Ап, Sn — монотонное преобразование статистики AHM критерия Тп, не меняющее мощности критерия.

Рассмотрим теперь случай распределения Лапласа (см. (3)). Для этого семейства не выполняются естественные условия регулярности, поскольку у р(х,в) (см. (3)) не существует производной по в в точке в = х. Справедлива следующая

Теорема 2. В случае распределения Лапласа (см. (3)) справедливы следующие соотношения: фишеровская информация равна 1 и

£(A„(i) I Н0) £(A„(i) I Hn,t)

20 Hodges J. L., Lehmann E. L. Deficiency. // Ann. Math. Statist., 1970, vol.41, No. 5, p.783-801.

и поэтому

ß*n[i) -» ß*(t) = 4t~ua), П 00.

Эта лемма показывает, что отсутствие дифференцируемости по 9 функции р(х, 0) (см. (3)) в точке в = х качественно не влияет на порядок альтернатив вп (равный п_1//2) и вид предельной мощности ß*(t). Однако стохастическое разложение для Л„(i)

, п п

Л n(t) = -Д Y, si9"(Xi) + 2^2 (Xi- in-1/2)l[oitn-i/2](.Xj). (13) * ¿—1 i=i

содержит решетчатую статистику и оказывается нерегулярным. Действительно, рассмотрим следующее монотонное преобразование (t > 0) знаковой статистики Тп (см.(6))

Sn(t) = tTn - ¿t2,

тогда

1 "

An(t) = S„(t) - A„(t) = --t2 - (Xt - tn-^lp^-i/^Xi),

2 i=-1

и справедлива следующая

Теорема 3. Для распределения Лапласа (см. (3)) выполнены следующие соотношения

C{fßAn(t) I Но) ^(О,^),

(о^З f2 .

где Л/г — двумерный нормальный закон с соответствующими параметрами.

Как видно, порядок величины An(t) равен т„ = п-1/4 в отличие от регулярного случая п-1/2. Из этой теоремы также следует, что случайные величины tfnAn(t) и Л„(i) асимптотически независимы, и поэтому, применяя формально указанную выше теорему 1, имеем

r(t) = lim Mß*n(t) - ßn(t)) = - t)D(A(t) I Л(t) = et) =

1 t2 = - i)DA(i) = J<p(ua - t), (14)

где Л(£), A(t) независимые нормальные случайные величины соответственно с параметрами и (0, Строгое доказательство

этой формулы содержится в главе 3.

Величина г(<) тесно связана с асимптотическим дефектом. Найдем асимптотическое представление для дефекта (¿п (см. [12], [20]) критерия, основанного на статистике Т„ (см. (6)), который определяется как разность кп — тс, где к„ число наблюдений, необходимых критерию, основанному на статистике Тп для достижения той же мощности, что и критерий, основанный на Л„(t), при одинаковых альтернативах in-1/2. Предполагая, что dn непрерывная переменная, получаем равенство для её определения

Pn(f) = Pkn(Wknn~i). (15)

Из теорем 2, 3 следует, что в случае распределения Лапласа для мощностей /?*(£) и /?„(£) справедливы представления

/Ш = Ф(й - иа) + —V(t - ua)h*{t) + о(п-1'2),

у/п

Pn(t) = - иа) + -~=<p{t - ua)h{t) + о(тГ1/2),

где h*{t) и h(t) некоторые полиномы по i и и„. Из этих соотношений и равенства (15) следует, что кп оо , ^ —>■ 1 и

г 2{h'(t) - h(t)) , „ dn = \/n v K ' t-— + o(Vn) =

= t) + = + Таким образом, в отличие от регулярного случая, в котором d„ —► d < оо (см. [и], [12]), то есть существует конечный асимптотический дефект, в случае распределения Лапласа дефект dn стремится к бесконечности со скоростью у/п.

Для критерия, основанного на статистике Тп, в первой главе доказана следующая

Теорема 4. В случае распределения Лапласа (см. (3)) для любого 0 ^ 5 < | справедливо соотношение

п5(Рп(*) ~ &,(*)) °> п оо, й < t ^ С, С > 0.

Во второй главе доказана формула (14) для предела нормированной разности мощностей асимптотически оптимального критерия знаков и асимптотически наилучшего критерия в случае распределения Лапласа с помощью асимптотических разложений для мощностей критериев. Проведен численный анализ аппроксимации для мощностей обоих критериев. Для критериев численно исследована точность аппроксимации функций мощности их асимптотическими разложениями до порядка п-1. Численно исследовано поведение дефекта критерия знаков. Результаты расчетов в виде таблиц и графиков приведены в приложении.

В следующей теореме строится асимптотическое разложение для мощности критерия, основанного на знаковой статистике Тп.

Теорема 5. Для мощности /3„(£) равномерно по t € [0,С], С ^ О, справедливо следующее асимптотическое разложение

Ь2

¡Зп{1) = ФЦ - иа) - ф - иа) +

£ /¿2 ¡3

+ 2п ^ " "аН ¥ ~~ 4"^ ~ Па~~

- + иа1 ~ Ш2 + 24е„(1 - еп) - 3)^ + 0{п-3'2),

+ О^2),

где

П + 1 ч/ПКа

п + 1 л/пиа

где [у] — целая часть числа у £ К1.

Получено также асимптотическое разложение для критерия, основанного на Ап(4).

Теорема 6. Для мощности /3£(£) критерия уровня а € (0,1), основанного на логарифме отношения правдоподобия Л,г^) справедливо

асимптотическое разложение

1 -иа(^-иа+ - иа) + 0(п~э'2).

Полученные асимптотические разложения для мощностей критериев (теоремы 5, б) позволяют непосредственно вычислить предел их нормированной разности. Кроме того, данные разложения могут быть использованы для численной аппроксимации соответствующих мощностей.

Теорема б дает упрощенную формулу для вычисления мощности наилучшего критерия, и, как замечено в проведенных в диссертации численных расчетах, эта аппрокимация дает вполне приемлемое приближение даже для малых п. Численная аппроксимация была проведена также для мощности критерия знаковой статистики и для дефекта знаковой статистики. Приложение диссертации содержит графики и таблицы результатов численных расчетов.

В третьей главе в терминах общего статистического эксперимента сформулирована и доказана общая теорема, позволяющая получать предел нормированной разности мощностей асимптотически оптимальных критериев и наилучшего критерия. В отличие от предшествующих работ (см. [и], [12]) данная формула справедлива в случаях, когда порядок отклонения мощностей может отличаться от п.-1, и когда условие Крамера (С) или его аналог может не выполняться для характеристической функции статистики, лежащей в основе асимптотически эффективного критерия. В качестве примера применения данной теоремы в последнем параграфе диссертации рассматривается случай распределения Лапласа.

Теорема 7. В случае распределения Лапласа (см. (3)) предел нормированной разности мощностей критериев, основанных на статистиках Ап (см. (5)) и Тп (см. (6)), в задаче проверки гипотезы Но (см. (1)) против альтернативы Нпд (см. (2)) для заданного уровня значимости а € (0,1) вычисляется по формуле

Ит - Ш) = геь'0[А(<)|Л(<) = Ь(]р(М = -=-*>(«„ -

ъ—Юо £ О

1

/ 2/3 /2 \ (A(t),A(t)) -ЛЦО.^О,-^2),

bt — tua — t2/2, p(x) = <p{x+tt и ip(x) и ua — плотность и квантиль уровня 1 — а стандартного нормального распределения.

Приложение содержит таблицы и графики численных расчетов, проведенных в главе 2.

Основные результаты работы

1. Для случая распределения Лапласа вычислен предел нормированной разности мощностей асимптотически оптимального критерия, основанного на знаковой статистике, и асимптотически наилучшего критерия, основанного на логарифме отпошения правдоподобия. Получены асимптотические разложения для функции распределения логарифма отношения правдоподобия при гипотезе и альтернативе.

2. В терминах общего статистического эксперимента сформулирована и доказана общая теорема о формуле для предела нормированной разности мощностей критериев. Эта теорема применена к случаю распределения Лапласа.

3. I [олучены численные оценки точности аппроксимации функций мощности критерия знаков и асимптотически наилучшего критерия в случае распределения Лапласа их асимптотическими разложениями до порядка п-1, а также численные оценки для асимптотического дефекта критерия знаков. Построены таблицы для значений мощностей критериев и дефекта.

Список публикаций по теме диссертации

1. КоролевР. А.. ТестоваА.В., БешшгВ. Е. О мощности асимптотически оптимального критерия в случае распределения Лапласа. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика, 2008, выи. 8. №4(64), с. 5-23.

2. КоролевР. А., БешшгВ. Е. Асимптотические разложения для мощностей критериев в случае распределения Лапласа. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика, 2008, вып. 3(10), №26(86), с. 97-107.

3. КоролевР.А. О численной аппроксимации мощностей критериев в случае распределения Лапласа. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика,

2009, вып. 1(12), №8, с.59-76.

4. Королев Р. А. Формула для предела нормированной разности мощностей критериев в случае распределения Лапласа. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика, 2010, вып. 1(16), №9, с.5-24.

5. БешшгВ.Е., КоролевР.А. О предельном поведении мощностей критериев в случае распределения Лапласа. // Информатика и её применения, 2010, т. 4, вып. 2, с. 63-74.

6. KorolevR. A., BeningV. Е. On the power of an asymptotically optimal test for the case of Laplace distribution. // Banach Center Publications,

2010, V. 90, p. 27-38.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от01.12.99 г. Подписано к печати 23.11.2010 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 540. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

1. Асимптотическая задача проверки статистических гипотез

1.1. Асимптотический подход в задачах проверки статистических гипотез.

1.2. Случай распределения Лапласа.

1.3. Порядок разности мощностей критериев в случае распределения Лапласа.

2. Асимптотическая аппроксимация для мощностей критериев в случае распределения Лапласа

2.1. Асимптотические разложения для мощностей критериев

2.1.1. Асимптотические разложения для мощности критерия, основанного на знаковой статистике

2.1.2. Асимптотическое разложение для мощности критерия, основанного на логарифме отношения правдоподобия

2.2. Численная аппроксимация мощностей критериев.

2.2.1. Аппроксимация мощности критерия, основанного на знаковой статистике

2.2.2. Аппроксимация мощности критерия, основанного на логарифме отношения правдоподобия.

2.2.3. Аппроксимация для дефекта критерия, основанного на знаковой статистике.

2.3. Предел для нормированной разности мощностей критериев в случае распределения Лапласа.

2.3.1. Формула для разности мощностей критериев

2.3.2. Доказательство вспомогательных лемм.

3. Формула для предела нормированной разности мощностей критериев

3.1. Основная теорема

3.2. Доказательство основной теоремы.

3.3. Проверка достаточных условий теоремы в случае распределения Лапласа.

В 1774 году Пьер-Симон Лаплас в своей статье «Sur la probabilité des causes par les événements» (см. [38] и литературу там) предложил естественный вероятностный закон для ошибки измерений в такой формулировке: логарифм частоты ошибки есть линейная функция абсолютного значения ошибки. Естественность этого вероятностного закона он объяснял так: «Чем дальше результат измерения от истинного значения, тем менее вероятным он должен быть, при этом такое уменьшение вероятности не может быть постоянным. Поскольку нет причин считать, что с ростом ошибки сами вероятности и последовательные разности между вероятностями убывают по-разному, то следует приравнять отношения двух бесконечно близких разностей вероятностей и двух бесконечно близких вероятностей. Интегрирование этого равенства показывает, что вероятность ошибки выражается как экспоненциальная функция самой ошибки независимо от ее знака». Назвав этот закон первым законом для ошибки измерений, который исторически является первым вероятностым распределением с неограниченным носителем, Лаплас уже через 4 года в своей фундаментальной работе «Théorie Analytique» (см. [38] и литературу там) рассматривает второй вероятностный закон, который гласит: логарифм частоты ошибки измерений есть квадратичная функция ошибки. Именно этот второй закон благодаря хорошим аналитическим свойствам будет детально исследоваться все последующее время, получит название «нормальное распределение» и займет главное место в теории вероятностей вследствие центральной предельной теоремы. Лишь спустя почти 150 лет известный экономист и математик Дж. Кейнс (см. [38] и литературу там) напомнит о существовании первого закона для ошибки измерений и получит его вновь из предположения, что наиболее вероятное значение измеряемой величины есть ее медиана. Следом за ним известный математик Э. Уилсон (см. [38] и литературу там) с помощью непараметрических методов покажет на одном примере, что распределение отклонений от медианы измерений является скорее первым законом Лапласа, нежели нормальным законом. Спустя еще почти 50 лет в научной литературе (см. [38] и литературу там) все чаще стали появляться предложения использовать первый закон Лапласа в качестве основного распределения для экономических, биометрических и демографических данных в противовес нормальному распределению.

В наши дни первый закон Лапласа называют распределением Лапласа. Это распределение задается характеристической функцией (см. обзор в работе [2]) или плотностью

1{х) = —^ехр(-^Н-), СГ > 0, Ж6Е1. (2) а у 2 а )

Другое название — двойное экспоненциальное распределение — указывает на возможность получения его как разности двух независимых одинаково распределенных экспоненциальных величин, которые часто используются при описании продолжительности жизни наблюдаемых объектов (см., например, [2]). Приведем рассуждения из работы [2]: пусть X и X' — независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F(x). Характеристическую функцию, соответствующую функции распределения обозначим /(я). Тогда характеристическая функция случайной величины X — X' имеет вид

Еехр{гзХ^} = Еехр{гв(Х - X')} = /(*)/(-*) = №№ = 1/М12, ^ е к1 черта сверху означает комплексное сопряжение). Последняя характеристическая функция вещественна, следовательно, распределение, ей соответствующее, является симметричным в том смысле, что для любого х > 0

Р(Х(Я> < -х) = > х).

Распределение, соответствующее характеристической функции |/(5)|2, называется сверточной симметризацией распределения Р(х), а случайная величина соответственно, называется сверточной симметризацией случайной величины X (см., например, [2]).

Рассмотрим случайную величину X со стандартным показательным (экспоненциальным) распределением

Р(Х < ж) = (1 - е~х)1{х ^ 0) = Е{х). (3)

Здесь символом 1(А) обозначается индикаторная функция множества А. Как известно, функции распределения Е{х) соответствует характеристическая функция f(s) = S е м1.

1 — ÎS

Тогда в соответствии с приведенным выше определением сверточной симметризации функции распределения Е(х) соответствует характерическая функция s)|2 = l-isl+is = что совпадает с характеристической функцией распределения Лапласа с сг2 = 2 (см. (1)). Таким образом, распределение Лапласа является сверточной симметризацией экспоненциального (показательного) распределения.

Приведем рассуждения из работы [2], которые обосновывают возможность использования распределения Лапласа в задачах теории вероятностей и математической статистики в качестве предельного закона в случае выборок случайного объема. Рассмотрим случайные величины iVi, N2, ■ ■ ■, Xi, Х2, ■ • ■, определенные на одном измеримом пространстве (П, J7). Пусть на J- задана вероятностная мера Р. Пусть случайные величины Nn для любого п ^ 1 принимают только натуральные значения и не зависят от последовательности Х\,Х2,. Обозначим через Тп — Тп{Х\,., Хп) некоторую статистику, для каждого п ^ 1 определим случайную величину T/vn)

TNn(uj) = Т^Х^ш),XNM{u)) для каждого элементарного исхода со Е Q. Статистику Тп назовем асимптотически нормальной, если существуют числа ç > 0 и \i G К1 такие, что при п —> оо

P(çv^(Tn - у) < х) Ф(х), (3) где Ф (ж) — функция распределения стандартного нормального закона.

Асимптотически нормальные статистики существуют в большом числе, например, в работе [2] указаны «выборочное среднее (при условии существования дисперсий), центральные порядковые статистики или оценки максимального правдоподобия (при достаточно общих условиях регулярности) и многие другие статистики». В работе [2] доказана лемма о необходимых и достаточных условиях сходимости распределений асимптотически нормальных статистик, построенных по выборкам случайного объема, к заданному распределению F(x).

Лемма 1. (Бенинг, Королёв 2008) Пусть {dn}n^i — некоторая неограниченно возрастающая последовательность полоэюительных чисел. Предположим, что Nn —У оо по вероятности прип —^ оо. Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (3). Для того чтобы существовала такая функция распределения F(x), что

Р(sy/d^(TNn -у)<х)=> F{х) (п оо), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция распределения Н(х), удовлетворяющая условиям

Н{х) = 0, х < 0; роо

F{x) = / Ф{ху/у)Ш{у\ SGR1; J о

P(iVn < dnx) Н(х) (п оо).

Хорошо известно (см., например, [2]), что распределение Лапласа можно представить в виде масштабной смеси нормальных законов с нулевым средним при обратном показательном смешивающем распределении, т.е. для любого х G R1 роо

L{x) = / Ф (x^)dQ(y), J о где Q(x) — функция распределения обратного показательного распределения

Q(ж) = е~5/х, 6> 0, х > 0 и L(x) — функция распределения распределения Лапласа, соответствующая плотности (2) с а2 = 1/5.

Напомним, что обратное показательное распределение — это распределение случайной величины где случайная величина V имеет показательное распределение (см., например, [2]), и там же указано, что «обратное показательное распределение является частным случаем распределения Фреше, хорошо известного в асимптотической теории экстремальных порядковых статистик как предельное распределение II типа».

Лемма 1 позволяет получить теорему (см. [2]), дающую необходимые и достаточные условия сходимости к распределению Лапласа распределений асимптотически нормальных статистик, построенных но выборкам случайного объема.

Теорема 2. (Бенинг, Королёв 2008) Пусть <; > 0 любое и {с/п}п^1 есть некоторая неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел. Предполоэюим, что АГП —> оо по вероятности при п —> оо. Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (3). Для выполнения

Р-1л)<х)=> Ь(х) (п оо), необходимо и достаточно, чтобы

Р(]УП < йпх) <2(ж) (п оо).

Приведем из работы [2] пример ситуации, в которой случайный объем выборки имеет предельное обратное показательное распределение Сд(х). Пусть У15У2,. — независимые одинаково распределенные случайные величины с одной и той лее непрерывной функцией распределения. Пусть т — произвольное натуральное число. Обозначим

N(171) — шт{п ^ 1 : тах К- < тах У^}.

Случайная величина N(171) имеет смысл количества дополнительных наблюдений, которые надо произвести, чтобы текущий (но т наблюдениям) максимум был перекрыт. Распределение случайной величины N(171) было найдено С. Уилксом, который показал (см. литературу в работе [2]), что распределение величины N(171) является дискретным распределением Парето:

771

Р(Щт) > к) = т + кг к > 1. (4)

Пусть теперь N^(171), N^(171),. — независимые случайные величины с одним и тем же распределением (4). Тогда в работе [2] показано, что для любого X > О lim Pfi max N^(m) < x) = e~m/a\ n-*oo \n l^j^n /

Таким образом, предел есть функция распределения обратного показательного распределения для S — т. Поэтому, если положить

Nn = max 7Vü)(m), (5)

1 <Kn то теорема 2 для dn = п дает распределение Лапласа в качестве предельного распределения регулярных статистик.

Теорема 3. (Бенинг, Королёв 2008) Пусть т — произвольное натуральное число. Предположим, что iV^(m),. — независимые случайные величины с одним и тем же распределением (4), и случайная величина Nn определяется формулой (5). Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (3). Тогда

P(s^/n(TNn - fx) < х) L(x) оо), где L{x) — функция распределения распределения Лапласа с плотностью вида (2) с а2 — 1/т.

Также в работе [2] указано, что «в предельных теоремах для геометрических случайных сумм распределение Лапласа играет ту же роль, что нормальное распределение в классической теории». Геометрические случайные суммы играют важную роль при исследовании процессов спекулятивной деятельности. Распространению распределения Лапласа также способствует его представление в виде масштабной смеси некоторых других хорошо известных распределений вероятностей. Например, в работе [2] показано, что распределение Лапласа можно представить в виде масштабной смеси симметризованного распределения Рэлея-Райса, если смешивающее распределение является х2-распределением с одной степенью свободы (см. [2], следствие 3.2).

Привлекательность распределения Лапласа в качестве вероятностной модели при решении конкретных прикладных задач во многом обусловливается также его экстремальными энтропийными свойствами. Этим свойством часто мотивируется выбор распределения Лапласа в качестве распределения погрешностей измерений, в которых точность изменяется от измерения к измерению случайным образом (подробнее см. работу [2]).

В прикладных областях экономики и науки популярность распределения Лапласа как математической (вероятностной модели) обусловлена тем, что его хвосты тяжелее, чем у нормального распределения. Так в теории связи в задачах обнаружения постоянного сигнала в качестве вероятностной модели некоторых типов импульсных помех выбирают распределение Лапласа (см. [29], [40], [41]). В работе [30] распределение Лапласа рассматривается как модель для речевого сигнала в задачах кодирования и декодирования аналоговых сигналов. Использованию распределения Лапласа в задачах на разрушение устройств и излом материалов посвящена работа [31]. Работы [36], [37] обсуждают применение распределения Лапласа в аэродинамике, где градиент скорости ветра по отношению к периоду времени моделируется с помощью смесей распределения Лапласа и нормального распределения, распределение ошибки в навигации с использованием распределения Лапласа исследуется в [35].

Возросший интерес к распределению Лапласа со стороны прикладных наук делает актуальным его использование в математической статистике и теории вероятностей. Нерегулярность распределения Лапласа создает известные трудности при использовании его в задачах проверки статистических гипотез. Однако развитые в последние десятилетия асимптотические методы теории проверки статистических гипотез (см. [16], [22], [26], [27] и литературу там) позволяют успешно применять распределение Лапласа в математической статистике. В диссертации исследуется асимптотическое поведение мощности асимптотически оптимального критерия, основанного на знаковой статистике, в случае распределения Лапласа.

Пусть в принадлежит открытому множеству 0 С I1, содержащему ноль, п е N. Рассмотрим задачу проверки простой гипотезы

Н0 : в = 0 (6) против последовательности сложных близких альтернатив вида

Нп,1 : Ö = 0 < i < С, С > 0, (7) у/П с неизвестным параметром t, на основе выборки Хп = (Х\,. ,Хп), состоящей из независимых и одинаково распределенных наблюдений, имеющих плотность р(х,9) = ie-l*-", х,0 GM1.

Распределение случайной величины будем обозначать Р^, а п-кратное произведение таких распределений при гипотезе Н0 и альтернативе Нпд обозначим, соответственно, через РП1о и Рпд. Плотности распределений выборки Хп будем обозначать рп,о(х) и ргад(х).

Согласно фундаментальной лемме Неймана-Пирсона для любого фиксированного t £ (О, С] наилучший критерий для проверки гипотезы Но против простой альтернативы

Н„>4 : * = 4= (8) основан на логарифме отношения правдоподобия

An(t) = ]Г {\Xi\ - \Xi-tn-1/2\). (9) i=1

Обозначим через /3*(t) мощность такого критерия уровня a G (0,1). Заметим, что поскольку t неизвестно, то мы не можем использовать статистику Лn(t) для построения критерия проверки гипотезы Но против альтернативы Нпд. Однако ßn(t), это так называемая огибающая функций мощности, дает верхнюю границу для мощности любого критерия при проверке гипотезы Н0 против фиксированной альтернативы Hn)i, t > 0, и может служить стандартом при сравнении различных критериев. Рассмотрим новый критерий уровня а 6 (0,1), основанный на знаковой статистике вида 1

Тп = ыдп(Х{), (10)

V г'=1 обозначим через ßn(t) его мощность. Очевидно, статистика (10) не зависит от неизвестного параметра t и может быть использована в статистических целях. В диссертации вычисляется предел вида r(t) = lim y/ïifâ(t) - ßn(t)). (И) n—>oo

Число r(t) показывает на сколько в пределе мощность критерия, основанного на статистике (10), отличается от огибающей функций мощности и имеет также статистическую интерпретацию в терминах дополнительного числа наблюдений, необходимых критерию для достижений той же мощности, что дает огибающая функций мощности.

Для вычисления числа r(t) можно было бы формально применить формулу из работы [22] r(t) = ieS(WD(A(i)|A(i) = 6t), (12) где bt = — a), — функция распределения, предельная для последовательности логарифмов отношения правдоподобия An(t) при гипотезе Н0, р(х) = Ф^я), (A(i), A(t)) — случайный вектор, предельный для (^nAn(t), Лn(i)), An(i) = Sn(t) - An(t), Sn(t) — монотонное преобразование статистики Тп вида t n t2 Sn(t) = —7=^sign{Xi) - —.

Vn -=1 ^

Однако достаточные условия из этой работы не выполняются в случае распределения Лапласа. Так теорема 3.2.1 работы [22] не может непосредственно быть применена к случаю распределения Лапласа, поскольку достаточное условие 3 (и) (см. с. 79 работы [22]) -аналог условия Крамера (С) - не выполняется для характеристической функции решетчатой статистики Sn(t). Также в связи с нерегулярностью распределения Лапласа величина A n(t) допускает нерегулярное стохастическое разложение порядка гг-1/4, что приводит к порядку разности мощностей п~1/2 в отличие от случая п"1 в формулировке теоремы 2.1 работы [16]. Отметим, что подобная задача рассматривалась в работах [3], [10] для обобщенного распределения Лапласа. Однако случай обычного распределения Лапласа в этих работах не рассматривался.

Диссертация посвящена вычислению предела (11) и доказательству формулы (12) для предела нормированной разности мощностей асимптотически оптимального (эффективного) и асимптотически наилучшего критериев в случае распределения Лапласа.

Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации.

1. Абрамов В. А. Оценка расстояния Леви-Прохорова. // Теория вероятн. и ее примен., 1976, т. 21, вып. 2, с. 406-410.

2. БенингВ.Е., Королёв В. Ю. Некоторые статистические задачи, связанные с распределением Лапласа. // Информатика и её применения, 2008, т. 2, вып. 2, с. 19-34.

3. БенингВ.Е., ЛяминО.О. О мощности критериев в случае обобщенного распределения Лапласа. / / Информатика и её применения, 2009, т. 3, вып. 3, с. 79-85.

4. Боровков А. А. Теория Вероятностей. — М.: УРСС, 2003, 470 с.

5. БурнашевМ.В. Асимптотические разложения для медианной оценки параметра. // Теория вероятн. и ее иримен., 1996, т. 41, вып. 4, с. 738-753.

6. ВолковЕ. А. Численные методы. —- М.: Наука, 1987, 248 с.

7. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — М.: ГИТТЛ, 1949, 264 с.

8. Золотарев В. М. Оценки различия распределений в метрике Леви. // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1971, т. CXII, с. 224-231.

9. Золотарев В. М., Сенатов В. В. Двусторонние оценки метрики Леви. // Теория вероятн. и ее примен., 1975, т. 20, вып. 2, с. 239-250.

10. ЛяминО.О. О предельном поведении мощностей критериев в случае обобщенного распределения Лапласа. // Информатика и её применения, 2010, т. 4, вып. 3, с. 49-59.

11. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Наука, 1995, 250 с.

12. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М.: Наука, 1987, 320 с.

13. СурвилаП. О локальной предельной теореме для плотностей. // Литовский математический сборник, 1963, т. 3, вып. 1, с. 225-236.

14. ФеллерВ. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1.- М.: Мир, 1984, 528 с.

15. ФеллерВ. Введение в теорию вероятностей и ее прилоэюения. Т. 2.- М.: Мир, 1984, 751с.

16. Чибисов Д. М. Вычисление дефекта асимптотически эффективных критериев. // Теория вероятн. и ее примен., 1985, т. 30, вып. 2, с. 269-288.

17. AkahiraM. Asymptotic Theory of Statistical Estimation. — University of Tsukuba, Japan, 1991, 168 p.

18. AkahiraM., Takeuchi K. Asymptotic Efficiency of Statistical Estimators: Concepts and Higher Order Asymptotic Efficiency. — Springer, New York, 1981, 242 p.

19. AkahiraM., Takeuchi K. N on-Regular Statistical Estimation. — Springer, New York, 1995, 183 p.

20. Albers W., Asymptotic Expansions and the Deficiency Concept in Statistics. — Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1974, 145 p.

21. Apostol Т. M. Mathematical analysis, Second Edition. — Pearson, China, 2004, 492 p.

22. BeningV. E. Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses. — VSP, Utrecht, 2000, 277 p.

23. BickelP. J. Edgeworth expansions in nonparametric statistics. // Ann. of Statist., 1974, vol. 2, No. 1, p. 1-20.

24. BickelP. J., ChibisovD. M., VanZwetW. R. On efficiency of first and second order. // Intern. Statist. Review, 1981, vol.49, p. 169-175.

25. Lehmann E. L., Romano J.P. Testing Statistical Hypotheses, Third edition. — Springer, USA, 2005, 784 p.

26. MarksR. J., WiseG. L., HaldemanD. G., WhitedJ.L. Detection in Laplace noise. // IEEE Trans. Aerospace Electron. Systems, 1978, AES-14(6), p. 866-871.

27. Miller J. H., Thomas J. B. Detectors for discrete-time signals in non-Gaussian noise. // IEEE Trans. Inform. Theory, 1972, IT-18(2), p. 241250.

28. Molenaar W. Approximations to the Poisson, binomial and hypergeomet-ric distribution functions. — Mathematical Centre, Amsterdam, 1970, 160 p.

29. PeizerD.B., Pratt J. W. A normal approximation for binomial, F, beta and other common, related tail probabilities. //J. Amer. Stat, ylssoc., 1968, v. 63, p. 1417-1456 (part I) and p. 1457-1483 (part II).

30. Pfanzagl J. Asymptotic expansions in parametric statistical theory, in: Developments in Statistics, Ed. by P.R. Krishnaiah, New York-London, Academic Press, 1980, vol. 3, p. 1-97.

31. PfaffT., Pfanzagl J. On the Accuracy of Asymptotic Expansions for Power Functions. — Preprints in Statistics, University of Cologne, 1983, No. 81, 64 p.

32. Pitman E. J. G. Some basic theory for statistical inference. — Chapman and Hall, London, 1979, 109 p.

33. Strassen V. The existence of probability measures with given marginals. // Ann. Math. Stat., 1965, V.36, N2, p.423-439.

34. VanZwetW. R. Convex Transformations of Random Variables. — Mathematical Centre, Amsterdam, 1964, 130 p.

35. Королев P. А., ТестоваА. В., БенингВ.Е. О мощности асимптотически оптимального критерия в случае распределения Лапласа. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика, 2008, вып. 8, №4(64), с. 5-23.

36. Королев Р. А., БенингВ.Е. Асимптотические разложения для мощностей критериев в случае распределения Лапласа. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика, 2008, вып. 3(10), №26(86), с. 97-107.

37. Королев Р. А. О численной аппроксимации мощностей критериев в случае распределения Лапласа. / / Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика, 2009, вып. 1(12), №8, с.59-76.

38. Королев Р. А. Формула для предела нормированной разности мощностей критериев в случае распределения Лапласа. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика, 2010, вып. 1(16), №9, с. 5-24.

39. БенингВ.Е., Королев Р. А. О предельном поведении мощностей критериев в случае распределения Лапласа. // Информатика и её применения, 2010, т. 4, вып. 2, с. 63-74.

40. KorolevR. A., BeningV.E. On the power of an asymptotically optimal test for the case of Laplace distribution. // Banach Center РиЫ., 2010, V. 90, p. 27-38.