Энергия электроупругих волн, возбуждаемых поверхностным гармоническим источником в пьезоэлектрической полуограниченной среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

о и •■>

_ -' п ■ ■

и»

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СЫРОМЯТНИКОВ Павел Викторович

УДК 539.3

ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ВОЛН , ВОЗБУЖДАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТНЫМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ИСТОЧНИКОМ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ

01. 02. 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Краснодар 1996

Работа выполнена в Кубанском государственном университете

Научные руководители: - член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Бабешко В.А. - доктор физико-математических наук, профессор Глушков Е.В.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян А.О. - кандидат физико - математических наук, доцент Стоян В.П.

Ведущая организация - Кубанский государственный

технологический университет

Защита состоится "_"_1996 г. в_часов

на заседании диссертационного совета К 063. 73. 02 по физико-математическим наукам в КубГУ по адресу : 350640 , г. Краснодар, ул. Ставропольская,149, ауд._.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А.Евдокимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие в последние десятилетия теории краевых задач электроупругости, предметом которой является изучение связанных электрических и механических полей, объясняется в первую очередь успехами и потребностями техники с применением электроупругих материалов.

Общие вопросы теории элекроупругости, физические модели, постановка краевых задач и математический аппарат достаточно полно отражены в работах В.А. Бабешко , М.К. Балакирева , A.B. Белоконя , И.И.Воровича, И.А. Гилинского, Э. Дьелесана, Р. Милсона, В. Новацко-го, У. Кэди, У. Мэзона, Д. Руайе, М. Редвуда, X. Тирстена, Ю.А. Устинова, А.Ф. Улитко, Дж. Фарнелла, Р. Холланда и других отечественных и зарубежных авторов.

Краевые задачи электроупругости являются весьма сложными математическими задачами, решение которых, как правило, не имеет явного представления.

В то же время самые разнообразные пьезоэлектрические материалы и структуры на их основе интенсивно используются в радиотехнике , акустоэлектронике , интегральной оптике в качестве активных элементов з различных устройствах обработки сигналов на объемных и поверхностных волнах.

Теория преобразователей на' объемных волнах сравнительно проста и хорошо разработана. Использование поверхностных электроупругих волн предоставляет более широкие по сравнению с объемными возможности для обработки сигналов и разработки новых функциональных устройств. Однако строгий расчет преобразователей на поверхностных волнах приводит к необходимости решения систем интегральных уразнений динамической теории электроупругости, что в

пространственной постановке и для произвольной области контакта является сложной математической и вычислительной задачей, многие аспекты которой на сегодняшний день находятся еще в стадии разработки. Поэтому весьма актуальным является как развитие инженерных методов расчета таких преобразователей, так и эффективных приближенных методов решения пространственных динамических краевых задач электроупругости, в рамках которых только и возможно создание наиболее адекватной модели преобразователей на поверхностных акустических волнах (ПАВ).

Расчет преобразователей на ПАВ на практике обычно проводится в рамках плоской постановки. Рассмотрение пространственной задачи о возбуждении акустоэлектронных волн в пьезоэлектрической среде позволяет учесть многие эффекты, теряющиеся в плоской постановке: пространственные характеристики излучения поверхностных и объемных волн, дифракцию и потери на распространение, неколлинеарность фазовых и групповых скоростей в анизотропных пьезоматериалах, неточность ориентации подложки и электродной структуры и т.п.

Одним из основных критериев при сравнении устройств на ПАВ различных физических реализаций является так называемый уровень вносимых потерь, определяемый в основном потерями мощности при преобразованиях электрического сигнала при излучении и приеме. Проблема реализации низкого уровня вносимых потерь, оптимального электрического согласования преобразователя приводит к

необходимости детального анализа излучения энергии поверхостным источником: распределения энергии по типам волн и пространственным характеристикам излучения, определяемым как геометрией источника, его математической моделью, так и структурой пьезоэлектрической подложки.

Анализ перечисленных факторов необходим для создания преобразователей с заданными характеристиками, но, кроме этого чисто при-

кладного значения, исследование энергетических процессов в пьезо-электриках представляет интерес для теории электроупругости в целом.

Цель работы: исследование пространственного и частотного распределения мощности и ее составляющих по типам волн для заданного поверхностного гармонического источника в однородной и многослойной пьезоэлектрической среде с произвольной анизотропией.

Методика исследований основывается на выделении из интегрального представления решения пространственной динамической краевой задачи электроупругости для сред с произвольной анизотропией полей поверхностных и объемных волн и анализе на их основе энергетических характеристик и диаграмм направленности поверхностного гармонического источника.

Исходными являются линейные уравнения динамической электроупругости в квазистатическом приближении для граничащего с вакуумом диэлектрического сегнетоэлектрика и заданные в ограниченной области механические напряжения или электрические заряды. Методом интегрального преобразования Фурье краевая задача в частных производных приводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от параметров преобразования. Решение последней выражается через символ Фурье матрицы Грина К и символ поверхностных механических и/или электрических нагрузок О. Выделяемые из интегрального представления асимптотики объемных волн и волн релеевского типа определяются особенностями символа матрицы Грина: стационарными точками показателей экспонент и полюсами соответственно.

Асимптотические выражения волновых полей объемных и поверхностных волн в дальней зоне сравнительно легко позволяют определить соответствующие им векторы плотности энергии Умова-Пойн-тинга.

Смещения, потенциал и вектор Умова-Пойнтинга в ближнем поле получаются численным интегрированием по зонам комплекснознач-ности и вычетам элементов символа матрицы Грина. Определение суммарного потока мощности, отдаваемого поверхностным источником в подложку и ее распределение по типам волн осуществляется интегрированием вектора плотности энергии по области приложения поверхностной нагрузки, а для волн релеевского типа помимо этого и интегрированием по боковой поверхности цилиндра большого радиуса.

Научная новизна. Новыми являются разработанные в диссертации методы:

- построения символа матрицы Грина,граничащего с вакуумом однородного анизотропного пьезоэлектрического полупространства, слоя, многослойного полупространства и многослойного пространства с произвольной анизотропией каждого слоя;

- выделения полей и численного построения в дальней от источника зоне асимптотик поверхностных и объемных волн в пьезоэлектрическом полупространстве, волн в слое, электрического поля в вакууме;

- получения осредненного вектора Умова-Пойнтинга для пьезоэлектрического полупространства и слоя с произвольной анизотропией в дальней зоне, осредненного вектора Пойнтинга для вакуума;

- расчета суммарной мощности поверхностного источника и ее распределения на мощность объемных и поверхностных волн для пьезоэлектрического полупространства, распределения мощности между модами - для слоя;

- расчета пространственного распределения мощности поверхностного источника в пьезоэлектрическом полупространстве, слое и вакууме.

Разработанными методами получены новые численные результаты:

- амплитудные и энергетические диаграммы направленности волн, возбуждаемых поверхностными гармоническими источниками в пьезоэлектрическом полупространстве и слое ;

- баланс мощности сосредоточенных механических и электрического источников в пьезоэлектрическом полупространстве и слое ;

- амплитудные и энергетические диаграммы направленности объемных и поверхностных волн, возбуждаемых встречно-штыревым преобразователем (ВШП) в полупространстве, баланс мощности ВШП как функции частоты, числа электродов и приближенной математической модели ВШП;

- дифракционные искажения пучка поверхностных волн в произвольном направлении на поверхности пьезоэлектрического полупространства, дифракционное ослабление мощности пучка ПАВ;

- асимптотическое уточнение фазовых скоростей поверхностных и объемных волн для пьезоэлектрического полупространства и нормальных мод - для слоя;

- анализ поляризаций волн релеевского типа в дальней зоне и пространственной ориентации соответствующего им вектора Умова-Пойн-тинга для полупространства и слоя;

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные в диссертационной работе методы обладают высокой степенью универсальности и могут быть использованы для исследования волновых и энергетических процессов в многослойном полупространстве или слое, возбуждаемом произвольным поверхностным источником механических напряжений и/или электрических зарядов. При этом каждый слой

пространственного волновода может быть пьезокристаллом с произвольной анизотропией.

Практическое значение разработанных методов состоит в возможности их непосредственного приложения для детального анализа излучения применяемых в акустоэлектронике преобразователей на поверхностных акустических волнах при широких возможностях задания структуры пьезоэлектрической подложки, геометрии и модели источника.

Достоверность результатов, как качественных, так и количественных, подтверждается многочисленными сопоставлениями всех промежуточных и некоторых конечных расчетов с опубликованными данными других авторов и проверкой конечных выражений на модельных примерах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах лаборатории прикладных проблем НИИМ и ПМ при КубГУ и кафедры математического моделирования КубГУ ; на II Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984); на региональных конференциях "Динамические задачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1986, 1990, 1992), на IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела" (Одесса, 1989); на Всесоюзной научно-технической конференции "Фазированные антенные решетки и их элементы" (Казань, 1990).

В окончательном виде диссертационная работа была доложена на семинаре кафедры математического моделирования Кубанского госуниверситета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения, списков литературы и обозначений. Текст занимает стРч включая 11? ¿Ррис., 4 таблицы. Список литературы содержит 138 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность темы, определены цели исследования, приведен обзор литературы по теме диссертации, изложены основные этапы решения, краткое содержание работы и положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается постановка задачи об установившихся колебаниях граничащего с вакуумом многослойного пьезоэлектрического полупространства, возбуждаемых поверхностными гармоническими источниками механических нагрузок и/или электрических зарядов, выводу символа матрицы Грина многослойного полупространства и вакуума .

Рассматривается пьезоэлектрическое полупространство, занимающее в декартовой системе координат {х,,х2)х3} объем -со < хих2 < =о , х3 < 0 . Полупространство граничит с вакуумом. Электрический потенциал в вакууме <р° удовлетворяет уравнению Лапласа

Д<?° = 0 , х3 > 0 . (1)

В квазистатическом приближении напряженность электрического поля в вакууме и электрическая индукция I)" выражаются через

потенциал следующим образом :

щ = ; = -; х3>0; 0 = 1,2,3) , (2)

где £„ - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Определяющие уравнения для установившихся колебаний однородной пьезоэлектрической среды в тензорной записи имеют вид:

Здесь - тензор механических напряжений, и, - компоненты вектора перемещений, Б) - компоненты вектора электрической индукции, <р - электрический потенциал в пьезоэлектрике , С^,- тензор модулей упругости, еку -пьезоэлектрический тензор, - тензор диэлектрической проницаемости, р - плотность, о - круговая частота.

В конечной области Г2 = иПгп плоскости х3 = О заданы механичес-

т

кие напряжения ор = = 1,23) и/или поверхностная плотность распределения электрического заряда изменяющиеся по гармоническому закону е-™1 (в силу линейности задачи этот множитель опущен).

Условия на границе раздела вакуум-пьезоэлектрик х3 = О следующие:

Ф°(х1,х2) -<р(х,,х2) > -°°£Х1,Х2£°° (4)

О , (х„х2)гП

цДх„х2) , (х,,х2) еП , (] = 1,2,3) 0 , (х^хг) ¿П

312 1 ' г 1чДх,.х2), (х„х,)бП

На границах раздела слоев х3 = х(3;) выполняются условия непрерывности смещений, потенциала, напряжений и нормальной компоненты электрической индукции:

и|!>(*Г>) = и'1+1>(х'1+1)); ф(Ч(хГ) = Ф<1+1>(хГ>; = о|!!+1)(х(з+1)) ; (5)

^(х<1+1)) = ^^"(хГ1') ; X« = о ; хГ1) = - ; (1 = Щ.

Для однозначной разрешимости задачи (1)-(5) требуется выполнение условий на бесконечности

Ч),«?, ф° -» 0 ПрИ Н = д/х? + Хг + Х3 -» =о (6)

и условий излучения, определяемых принципом предельного поглощения.

Решение краевой задачи (1)-(6) состоит в применении к дифференциальным уравнениям и граничным условиям двухмерного преобразования Фурье Га а по переменным х,,х2.

В символах Фурье краевой задаче в частных производных (1)-(6) соответствует краевая задача для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка с коэффициентами, зависящими от параметров аиа2,а> и материальных констант. Решение последней

задачи можно представить в виде

и, = Кч(а1,а2,х3,о)д^а„а2) , (У= М) , (7)

где Кц = Г„11аг[кц] - символ Фурье матрицы Грина к0 = Ра1„г^] -символ Фурье поверхностных нагрузок .

Решение исходной задачи (1)-(6) и, (и4 = <р) имеет интегральное представление :

"¡(Х),х2,х3) = к;т(х, -£,х2 -•п,х3)чт(5>л)^с1л = (8)

а

= ЛЯ К№(а1,а2,Хз)дт(а1>а2)е-'(1"-+«'^>с1а1аСх2 , 0,т = М).

Здесь к;т(х1,х2,х3) - матрица Грина многослойного полупространства или слоя; ГиГ2 - контуры интегрирования, почти всюду совпадающие с вещественной осью и отклоняющиеся в комплексную плоскость только при обходе вещественных полюсов и точек ветвления элементов матрицы К,т согласно принципу предельного поглощения.

Контактные напряжения и плотность поверхностных зарядов в общем случае неизвестны и определяются из решения интегральных уравнений вида

Як]т(*1-£,х2-т),х3№тК1пдап=Г)(х1,х2) , х3 = 0, (х„х2)еП, а т = 1,4), (9)

п

где ^(х^хг) - заданный вектор смещений и потенциала в области контакта П . В данной работе не рассматриваются вопросы, связанные с решением интегральных уравнений (9), и вектор поверхностных нагрузок или плотность зарядов q4 считаются заданными.

Количество осредненной за период колебаний энергии Е, переносимой электроупругими волнами через некоторую поверхность Б, рассчитывается по формуле

Е = Цр^Б , 0 = 1,2,3). (10)

5

Здесь

^ = -у1т(ико*ч+ч>о;) , &к = й) - (11)

осредненный вектор Умова-Пойнтинга; ^ - вектор нормали к Б.

Интегральное представление (8) играет ключевую роль при изучении волновых и энергетических процессов в пьезоэлектрическом полупространстве или слое, вызванных поверхностными нагрузками

При заданных поверхностных нагрузках решение рассматриваемых в работе задач сводится к построению символа матрицы Грина Кц(а,,а2,х3,о) и разработке и реализации эффективных методов расчета интегралов (8),(10).

Большая часть первой главы посвящена методам построения символа матрицы Грина пьезоэлектрического полупространства, слоя, многослойного полупространства и многослойного пространства.

Символ Фурье матрицы Грина однородного пьезоэлектрического полупространства удовлетворяет следующей краевой задаче ;

А;К + А2К' + К" = 0 ; (12)

В1К|Хз,о + В2К'|Хз,0 = Е .

Здесь штрих означает дифференцирование по х3 " Е-единичная матрица, А1,А2,В1(В2-комплексные матрицы, размерности 4x4, зависящие от параметров «цос^ш и материальных констант полупространства. Общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравне-

ний (12) имеет вид:

К>(х3) = 1ъ-„ех'лГ*„т , Цт,п = М) , (13)

где И-матрица неизвестных коэффициентов; собственные значения; соответствующие им собственные векторы (И ^ - j-я компонента вектора ), являющиеся решениями собственной проблемы

(А - ?.Е)Ь = 0 (14)

с матрицей А :

А =

'О Е ^

— А2>

(15)

В отличие от изотропного случая, явный вид собственных векторов Ьп и собственных значений >.„ уравнения (14) для пьезоэлектрика с

произвольной анизотропией отсутствует и их значения определяются

а,

численно, кроме того, они дополнительно зависят от угла у = агс^— .

Щ

Из восьми собственных значений X^ в случае полупространства оставляются четыре, удовлетворяющие условию убывания на бесконечности или одному из принципов излучения, в качестве которого выбран принцип предельного поглощения. Затем находится матрица N

N = £(В,:В2) • (Ь1:Ь2:Ь3:Ь<)]"1, (16)

после чего можно выразить К в виде (13).

Матрица К для слоя выводится аналогично, но в уравнениях (12) к условиям при х3 = 0 добавляются условия на нижнем основании слоя при х3 = -С (¿-толщина слоя) аналогичного вида, и в формировании матриц N и К участвуют все восемь решений системы (14) Х„,Ь„.

Формально несложно получить из (4), (5) систему матричных соотношений , через которые выражается символ матрицы Грина много-! слойного полупространства. Однако прямое решение такой системы оказывается неэффективным в силу больших размерностей матриц и наличия растущих экспонент в элементах системы.

В диссертационной работе приводится рекуррентный метод расчета матрицы Грина многослойного пьезоэлектрического полупростран-

ства, каждый слой которого может обладать произвольной анизотропией. Метод, разработанный как обобщение известного алгоритма для многослойного изотропного полупространства, существенно использует блочно-диагональную структуру матрицы системы и не содержит растущих экспонент ни на одном из этапов вычислений.

В диссертационной работе также получены алгоритмические выражения для символа матрицы Грина многослойного пьезоэлектрического пространства и символа вектор-функции Грина для вакуума над многослойным полупространством.

Завершают первую главу примеры контрольных расчетов: кривых фазовых скоростей ПАВ для полупространства (Y-срез, LiNb03 ), коэффициента электромеханической связи ПАВ, углов отклонения потока энергии ПАВ, параметра анизотропии и эффективной диэлектрической проницаемости. Для слоя с жестко защемленным основанием рассчитаны дисперсионные кривые (YZ-срез) и для двух фиксированных нормированных частот Д, = соЦ/р приведены сечения дисперсионных поверхностей плоскостью С2„ = const, в том числе и комплексно-значные.

Во второй главе получены асимптотики объемных волн в пьезоэлектрическом полупространстве , поверхностных волн в полупространстве и слое и электрического потенциала над полупространством или слоем в дальней от поверхностного источника зоне.

Вывод асимптотик объемных волн в однородном полупространстве и нижнем слое многослойного полупространства основан на методе стационарной фазы.

Интегральное представление (8) в сферических координатах

Xj = Rcospsiny , х2 = Rsin(3sinvy , x3 = Rcos»|/ , (17)

R = f 0sPs.27t" ;

принимает вид ;

um(R,P,v) = -i¥¿ ¿ JjKSQ.e^-'da.da, , (ш,1 = М) ,

- - -

n-1 ¡-I D(»

где

(19)

eí?» = i(Im l„ eos v - (o, cos P + az sin (3) eos y) ; 6(„2' = Re eos y - i[(a, cos P + a2 sin (5) sin v + Im eos y] ' ejf* = Re \n eos y - i(a, eos P + a2 sin p) sin 4/ .

Фазовые функции интегралов в (18) определены в областях , связанных с показателями экспонент в (13) >,п(о,,а2,ю)

D"': (a¡,a2) е D^" о ReX„ = 0 & Im\ * О ; (20)

Df: («„cc^eD*? oReX„ *0 & ImX„ #0 ; D(n3>: (a,,a2) s D¡f o ReX„ * 0 & XmX„ = 0 .

Уравнения относительно стационарных точек a0 = {аоа,аог} в D'„11

dX,

имеют вид:

дК

да.

— = icos ptgv/

да-

■ = i sin ptgy .

(21)

Главный член асимптотики интегралов по D*," в (18) при R -> оо в

невырожденной стационарной точке а0 имеет вид: "„'(R.P.V)

И K.ínl(а0)(í(a0) expfiR ImG^a,,) + -f sgnQ(„" (a0)) x R 4

(22)

xdei

(§<""(ao>)

(1 + 0(R~')) , R->® , (n = 1,4) ,

где

§<?> =Im

да{ áx¡doí2 ^n(ctp) dX("o)

V da2da¡

dai

(23)

а вепб^' - разность между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы Э(„" .

Асимптотики интегралов в (18) по О®, Б"1 выводятся по методу перевала, но их вкладом можно пренебречь по сравнению со вкладом и(„" в интеграле (18) в силу их более быстрого убывания при И -> =с.

COS V'

/

Формула (22) описывает исследуемую в работе асимптотику

объемных волн в пьезоэлектрическом полупространстве при R оо,

— < U» £ я. 2

Асимптотика обобщенных поверхностных волн в пьезоэлектрическом полупространстве и слое определяется вкладом вычетов в полюсах Кц и также выводится с помощью метода стационарной фазы,

но уже для одномерных интегралов .

Представление (8) в цилиндрических координатах

Xi = Г COS Р , х2 = Г sin р t х3 = Z J т ~ ^/х? + У?2 , (24)

0^=0 cosy , a2 = asiny; y = arctg — ( а = -Ja2, + af

ai

переписывается в виде;

Iя

u(r,P,z) = ~j'{K(a,e,z)Q(a,e)ae(asi"MadT + (25)

4л о г 1 2*

+ —j JjK(a,6,z)Q(a,8)aeiasin,dadT , «г

где б = г+(3 + -^. Контур Г обходит особенности К в соответствии с

принципом предельного поглощения .

Применяя лемму Жордана и теорему о вычетах, интеграл (25) можно представить в виде:

3

U(r,P,z) = U+ + llj +■ U" + 4¡ + £( ug,+ + U¡jb ) , (26)

pi

где

u+ = ^2b(9""'z)e'''e't,|rsm,dx > " (27)

k O

< = -У { К(а,е,г)Р(а,б)е-г""с1т ; (28)

" и

Ь1(в,«,7) = ге5К^(о,в0",2)От(а,е«)а|аеув,1)) , (¡,т=М). (29)

Здесь 5(6"°) - к-я кривая вещественных полюсов К]|Т1 в плоскости Ооцс^. Последняя сумма в (26) появляется в случае полупространства и описывает интегралы по берегам разрезов, определяемых точками ветвления к ¡{а,у) : 0 < к,(а,у) < к2(а,у) 2 к3(а,у) < £(а;у). Кривые к((а,у) явля-

ются границами областей О-11 (20) . Вид аналогичен и+, .

Асимптотики интеграла и+ (27) при чисто действительных Е,(0) строятся при г-»® по методу стационарной фазы.

Стационарные точки т0(Р) удовлетворяют уравнению

(30)

Главный член асимптотики и+ (27) ( и аналогичной для и" ), утренней невырожденной точкой т0 , имеет вид;

геяК^Са.е, г)<Зт(а,6)а[0=5(0о) ехрПгк(т0) + -!^пк"(т0)1 х

определяемой внутренней невырожденной точкой т0 , имеет вид;

u* = , ^ resKJm(a.e,z)Qm(a,e)a|a=wexp[irk(T0) + -^ ■у2яг|к"(т0)|

х (1 +■ 0(г"')) , г->® , (j,m = M) . (31)

Здесь k(t) = 5(9)sinх ; sgnk"(t0) - знак второй производной к(т0).

Вклад интегралов по мнимым осям uf (28) , комплексных полюсов и интегралов по берегам разрезов u(bfl± в (26) имеет при г -> °о больший порядок убывания по сравнению с вкладом и* (31).

Основной вклад в асимптотику (31) и1 (27), определяющую обобщенные поверхностные волны в дальней зоне, дают вещественные полюса 4т матрицы К. Окончательный вид их вклада в и1 (27) при г оо следующий:

и4(г,М) = -Д= I ff^exp[irk(T0) + 3!LSgnk"(T0)](l + Oír"1)) . (32)

В случае слияния двух невырожденных стационарных точек т£ЧР) в особых направлениях Ps главный член асимптотик смещений й потенциала в их окрестностях может быть выражен следующим образом:

i

u(r, р, г) = cxp(irA(p) + i —)л/лг 6

-

( 2 V

2Ь —

Ik "У

P=Ps.

V(S) ,

где V(S) - функция Эйри,- вектор b имеет вид (29),

А(Р) = ^[k(t(0l)(P),P) + k(T<02>(P).P)],S = -г'В(Р),В(Р) =

4 (k( r(02> CP), Р) - (Р), р) 4

(33)

Данное приближение справедливо, когда

В(Р) = СКг , г «> . (35)

В последнем параграфе второй главы численно исследуются асимптотики объемных волн в полупространстве и поверхностных волн в полупространстве и слое. Асимптотики объемных волн (22) рассчитаны в плоскости симметрии "У-среза для сосредоточенных электрического и трех взаимно перпендикулярных механических источников . При этом для квазипоперечных волн обнаружены вырожденные направления асимптотики (22), в которых определитель матрицы в™ (23) обращается в ноль, а для квазипоперечной волны , поляризованной в плоскости симметрии, найден интервал многозначности решения (21), соответствующий катастрофе типа ласточкин хвост в теории катастроф. Сопоставляются скорости сферических у(,) = ¡о/в('° и плоских объемных волн V в плоскости симметрии. Асимптотические уточнения скоростей объемных волн не превышают значений соответству-

ющих плоских волн V в интервале однозначности решений уравнений (21): у(,)(Р,ч>) 2 у(Р,у). Строгое равенство выполняется в направлениях чистых мод. В интервале многозначности у^ < у,или 2 у;0=1Д).

При расчете диаграмм направленности обобщенных поверхностных волн для полупространства, основанных на формулах (31), обнаружены особые направления р8 , являющиеся точками слияния двух невырожденных стационарных точек То'(Р), и интервалы многозначности решений (30). Вблизи особых направлений р5 асимптотика смещений и потенциала описывается формулой (33). Рассчитаны поляризации поверхностных волн в дальней зоне и распределение смещений и потенциала по вертикальной координате.

В случае слоя с жестко защемленным основанием той же геометрии для выбранной в данной работе частоты П0 = 2 имеется две моды, для каждой из которых были проведены расчеты по формулам (32), (33), полностью аналогичные расчетам поверхностных волн в полупространстве. Для первой моды асимптотическое решение имеет осо-

бые направления, также являющиеся точками слияния стационарных точек, и интервалы многозначности. Асимптотики (32) для второй моды особенностей не имеют. Рассчитаны поляризации волн на поверхности слоя, пространственное распределение смещений в слое, потенциала в слое и в вакууме. Сравниваются скорости плоских V и цилиндрических у<0 = ю/к(т10т>) волн. Для волн релеевского типа в полупространстве исследуется скорость сходимости решения, полученного численным интегрированием п+(27),к асимптотическому решению (31).

Найденные интервалы многозначности составили : для объемных волн и 3,2°, для полупространства « ОД83°, для слоя (на частоте П0 = 2) »4,4°.

Максимальные отклонения асимптотического уточнения скоростей у« от скорости соответствующих плоских волн V достигают значений: для объемных волн в плоскости симметрии - 3,36 % ; для поверхностных волн - 0,85 % ; для волн в слое - 5,3 % .

В третьей главе получены выражения для осредненной за период колебаний полной мощности произвольного поверхностного гармонического источника , мощности объемных и поверхностных волн, возбуждаемых поверхностным источником, вектора Умова-Пойнтинга и плотности потока мощности объемных и поверхностных волн в дальней зоне , мощности электрического поля в вакууме , связанного с поверхностными волнами .

Интегральное представление полной мощности поверхностного источника Е получено интегрированием потока осредненного вектора Умова-Пойнтинга (11) через замкнутую поверхность , содержащую

источник, и с учетом граничных условий (4) имеет вид ;

2« _

Е = ~1т 1Гк(,(а,г,0)Ц(а,г)О1(а',7)аа*1г , (У = 1,4). (36)

8л

Мощность волн релеевского типа Ег определяется вкладом полюсов

2« _

Ег - -—Im ji2rcsKjl(a,y,0)Qi(a,Y)Q*(a*,yj|a=ík(í)adT , (¿1 = M). (37)

4л ok

Мощность объемных волн Etf определяется зоной комплекснознач-ности подынтегрального выражения в (36), ограниченной кривой к(у);

2д*№ _

Ev = -Дъп| fKij(a,y.O)Qj(a,r)Q;(a,.r)adadr ,(i.j = l,4). (38)

8,1 о о

Другой подход к расчету Ег и Ev , также развитый в работе , заключается в расчете потока осредненного вектора Умова-Пойнтинга объемных и поверхностных волн через полусферу и боковую поверхность цилиндра большого радиуса соответственно . При этом

2яя

Ev = JJev(R,p,4<)R'!sra4'di(fdp (1 + 0(Н~') ) , R -»со J (39)

о« 2

2« о

Ег = | |er(r,p,z)rdzdp ( 1 + 0(г"') ) , г -» оо f (40)

о

где ev(R,p,v) - плотность потока мощности объемных волн через полусферу ; ег(г, р, z) - плотность потока мощности поверхностных волн через боковую поверхность цилиндра .

Плотности ev , ег выражаются через проекции вектора Р (11) на нормали к соответствующим поверхностям :

ev = Pk(R,p,v|/)nk(P,vi/) , nk = (cos Р sin \|/,sin Psin у, cos у} f (41)

er =Pk(r,p,z)nk(p,|) .

Вектор P (11) выражается через асимптотики u, <p и их производных в дальней зоне, полученные на основе формул (22) для ev и (31)-(33 ) для ег. Часть энергии Е (36) распределяется в вакууме. Полный поток Е° осредненного вектора Пойнтинга

Рк° = = (42)

2 2 дх.к

через плоскость х3 = +0 выводится аналогично Е (36) : 2*

E° i -^Im f fe0G(a,y)G-(a',Y)dadY , (43)

•' 871 or

где G(a,y) = Gj(a,y,0)Qj(a,y)a * (j = 1,4) ; Gj- символ вектор-функции

Грина в вакууме. Мощность электрического поля в вакууме, переносимая поверхностными волнами, Е? также может быть получена интегрированием потока Р° через боковую поверхность цилиндра большего радиуса:

2к®

Е? = 11 (г, Р, г)гс1гс1р ( 1 + 0(г"') ) , г °о , (44)

о о

где

е? = Рк°(г, р, ф „ (Р, |) , (к = 1,2,3) - (45)

плотность потока мощности электрической энергии через боковую поверхность цилиндра. Другое выражение для Е? аналогично (37) :

2* Ш!

Е; = -^-1ш|е01Х;ге5[С(а,у)О,(а,,г)^=и(г)с1г . (46)

Для полной мощности поверхностного источника Е (36) должно выполняться условие энергетического баланса

Е = Е„ + Ег + Е° (47)

как при расчетах по формулам (37), (38), (43), так и при расчетах по формулам (39), (40), (44). Однако практическая применимость асимптотических выражений (39), (40), (44) для слагаемых полной мощности (47) наталкивается на проблемы технического характера, связанные с появлением в случае анизотропных сред вырожденных и особых направлений в асимптотиках (22), (31), (32).

Построение асимптотик объемных волн и соответствующих им плотностей энергии е, (41) реализовано в данной работе только для Р = 0 в (17) (что соответствует плоскости симметрии), суммарный поток мощности объемных волн Е, рассчитывался по формуле (38). .

Для волн релеевского типа расчет мощности Е, на основе формул (37) и (40) реализован в полном объеме. Асимптотики ег (41) вблизи особых направлений р5 являются интегрируемыми и выводятся аналогично невырожденному случаю, но уже на основе формулы ( 33 ).

Заключает третью главу серия нормированных диаграмм направленности мощности объемных волн R2cv|p,0 в плоскости симметрии,

волн релеевского типа г е,]г=_о , г е°| .интегралов Ёг(р) , Ё°(р) о

Ё,(Р) = |er(r,P,z) t dz , г -> оо , (48)

—во +00

Ё°(р) = Jcj(r,p,z) г dz , !-><*> (49)

о

для полупространства и слоя. Для поверхностных волн в полупространстве и слое рассчитаны пространственное распределение er(z), e°(z) ( при р = const), отношения электрических и механических составляющих сг[____о , Ёг(р) к суммарным значениям.

В случае полупространства доля электрической мощности с(г0,|2=ч) в общей е,|г._о (41) вблизи поверхности раздела z = 0 колеблется от 2 до 15% , отношение электрической мощности в вакууме с<г0,[г=чО к суммарной ег|г=_о примерно в сто раз меньше. Доля электрической мощности в вакууме над слоем может иметь значения в пять-десять раз выше, чем в случае полупространства.

При возбуждении точечными источниками плотности мощности волн релеевского типа сг(Э)[1=_0 (41) близки к подобным - ЁДР) (48). Более заметно это проявилось в случае слоя.

В случае полупространства отклонения в плоскости среза вектора Умова-Пойнтинга Р релеевских волн от вектора нормали достигает «11,5° , отклонение от плоскости среза примерно на порядок меньше . В случае слоя отклонения доходят до * 32° (первая мода) и также лежат в основном в плоскости среза (отклонение от плоскости среза примерно в 10 раз меньше). Для второй моды отклонения не превышали 3,4° .

Приводятся линии уровня поверхностей 1шКц , примеры поведения Kjj в зоне комплекснозначности, таблицы баланса Ev (38) и Ег

(37) в суммарной мощности Е (47) сосредоточенных поверхностных источников для полупространства и распределение мощности Е, (37)

между модами - для слоя ( без учета ). Наименьшее отношение Ег / Еу в случае полупространства выполняется для электрического источника (13,87/86,13), наибольшее - для вертикального источника (58,43/41,57). Отношение мощностей Е® / Е(гг> первой Е'," и второй Е® мод в суммарной мощности в слое (на частоте П0 = 2) колеблется в зависимости от типа точечного возбуждения от 52,2/44,8 до 82,5/17,5 .

Погрешности асимптотического расчета мощности Ег (40) по отношению к интегральным выражениям (37) для полупространства колеблются от 1,5 до 4,1 % ( когда существует интервал многозначности и особые направления асимптотического представления (31)). В случае слоя для первой моды они составили 10,5 % - 44,7 % (также существует интервал многозначности и особые направления), в тоже время для второй моды погрешности не превышали 0,91 % ( нет особых направлений и интервала многозначности ). Большие погрешности для первой моды можно объяснить как большой величиной самого интервала многозначности («4,4°), так и тем, что внутри него, по-видимому, необходимо использовать асимптотическое представление, содержащее по крайней мере более одного члена acимптoтичqcкoгo ряда.

В четвертой главе приближенно исследуются волновые поля , возбуждаемые в пьезоэлектрическом полупространстве встречно-штыревым преобразователем и, в частности, дифракционные искажения пучка поверхностных акустических волн на поверхности полупространства. Строгий расчет ВШП приводит к необходимости решения интегрального уравнения типа (9), что в пространственной постановке является весьма сложной задачей даже для небольшого числа электродов, в то время как реальные ВШП содержат • их от нескольких десятков до нескольких сотен.

В данной главе рассматриваются две модели заданного распределения поверхностного заряда на электродах: электростатическое при-

ближение Энгана для однородной периодической системы электродов и простейшая модель 5 -источников .

В первом случае образ Фурье плотности распределения поверхностного заряда ч4(х,,х2) в конечной области (х,,х2)е!) следующий;

04(а„а2) =

Ve.Tr

ж/Г"

2

(50)

где 1п(а,) = 1

яп^+сс,) 2т|-(г„ -с^)

2л + 1 г ,„ г„ =- ; - длина и

ширина системы электродов; V- приложенная разность потенциалов ; е» = 7£п6зз _е1з ! 8 - период решетки по XI ; К - эллиптический интег-

рал первого рода; 9 = сог

; к - степень металлизации; Рп- поли-

номы Лежандра.

Для того же ВШП , моделируемого 5-источниками , при поочере-

дном изменении знака на электродах

<34(а.,,а2) = 1ЛУ

2

5Щ V

(51)

где N -число электродов ; V = а 1 _ ^у -

г)

Для однородного ВШП с центральной частотой ^ = 30 МГц, состоящего из четырех пар электродов с шириной апертуры = 50Хо , ориентированного в направлении оси Ъ У-среза ниобата лития и моделируемого выражениями (50) или (51), построены диаграммы направленности мощности продольных и сдвиговых объемных волн е„ (41) в плоскости симметрии, мощности релеевских волн е^,^ (41), частотное распределение мощности Е(Г) = Е„({) + Ег(0 в диапазоне О < 1: 5 60 МГц и зависимость Е(Л) = Е„(Ы) + ЕГ(И) (47) от числа пар электродов N на центральной частоте преобразователя.

Диаграммы е„й2 и егг (41) с использованием источников (50) и (51) близки к подобным, зависимости же Е(1) и £(N1 существенно раз-

личаются, так как модель 5-источников (51) дает значительно меньший относительный вклад объемных волн в Е (47), чем модель (50). Сопоставление диаграмм направленности для источника (50) с

опубликованными данными других авторов для той же конфигурации в случае плоской задачи дает их хорошее качественное совпадение. Баланс Е(М) с увеличением N быстро сходится к аналогичным данным для плоского случая.

При распространении поверхностных волн до выходного преобразователя доходит не вся излученная энергия, часть потерь энергии обусловлена дифракцией поверхностных волн. Для анализа дифракционных явлений на поверхности полупространства, связанных с конечной шириной акустического пучка , в работе были рассмотрены изменения при удалении от источника однородного пучка поверхностных волн, описываемые с помощью метода углового спектра и параболического приближения, используемых в скалярной теории дифракции, интегральным представлением (27) и асимптотическими выражениями (31) .

В параболическом направлении на поверхности полупространства (5 = 21,8°, вблизи которого кривая фазовых скоростей ПАВ близка к точной параболе, интегральное представление, метод углового спектра и параболическая теория приводят к сходным результатам, хорошо согласующимся с экспериментом. В непараболическом направлении Р = 0 , лежащем в интервале многозначности асимптотического представления (31), все три теории дают существенно различающиеся дифракционные профили. Метод углового спектра не дает наблюдаемого в эксперименте в широких пределах изменения параметров двойного пика у дифракционных профилей. Это известное несоответствие обычно объясняется недостаточной точностью определения материальных констант подложки. При использовании интегрального

представления (27) в ближней зоне двойной пик уверенно проявляется, хотя и для больших, чем в эксперименте, значений нормированного расстояния В„:

= а I 1 + тКР) I Х0СР) (у) , (52)

где И - расстояние до наблюдаемого профиля; Х0(Р) - длина поверх-

ностной волны; л®) - параметр анизотропии ; ЧЧР&Р)-К5'(Р))* .

(53)

£(Р) - кривая релеевских полюсов.

Недостаточность имеющихся экспериментальных данных не позволяет уверенно утверждать, что интегральное представление (27) верно описывает дифракционные поля в непараболическом направлении р = 0 при конечной точности задания материальных констант.

С практической точки зрения представляет интерес дифракционное ослабление мощности пучка поверхностных волн, приближенно определяемое как

«1^)= -10 ^

?Г

£

\ и3(к,х2) ахг

(54)

в зависимости от материала, среза и выбранного направления распространения р.

В параболическом направлении р = 21£° расчеты , произведенные согласно перечисленным выше теориям, точно соответствуют известной так называемой универсальной кривой дифракционных потерь. В непараболическом направлении р = 0 интегральное представление (27) и метод углового спектра дают очень близкие результаты для всего диапазона 0,01 < < 10 . В интервале 0,01 < < 0,5 дифракционные потери систематически ниже предсказываемых универсальной кривой, в интервале 0,5 <10 они сходятся к универсальной кривой с убывающими отклонениями, не превышающими 0,5 дБ.

Результаты асимптотической теории (40) хорошо согласуются как с универсальной кривой, так и с кривыми, полученными названными выше методами для % > 1 .В непараболическом направлении (3 = 0 , когда 8 < < 20 , дифракционные профили , полученные по асимптотическим выражениям (31) и интегральному представлению (27) , незначительно различаются в интервале ±(0,15 - 0,2) ширины апертуры.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертации , которые состоят в следующем:

1) разработан численно-аналитический метод построения символа матрицы Грина граничащего с вакуумом пьезоэлектрического полупространства, слоя, многослойного полупространства и многослойного пространства; при этом каждая структура и ее составляющие могут обладать произвольной электроупругой анизотропией ;

2) развит асимптотический метод расчета волновых полей в дальней зоне пьезоэлектрического полупространства (объемные и поверхностные волны ) и слоя , электрического поля в вакууме, связанного с поверхностными волнами в полупространстве и волнами в слое, а также определяемых этими полями вектора Умова-Пойнтинга и его потоков ;

3) развит приближенный численный метод расчета полей поверхностных волн в ближней зоне пьезоэлектрического полупространства;

4) развиты два численных метода расчета полной мощности поверхностного гармонического источника и вклада в нее мощности объемных и поверхностных волн для полупространства или распределения мощности между модами для слоя: на основе интегрального представления полной мощности и ее составляющих и с использованием асимптотического представления вектора Умова-Пойнтинга в дальней зоне;

- 5) принцип Зоммерфельда, формулирующий условия выбора мнимых X (14), определяющих построение символа матрицы Грина (13) для однородного или многослойного полупространства, может оказаться неприменимым или недостаточным даже в тех направлениях в плоскости среза, для которых кривые медленностей (обратных скоростей) объемных волн являются зеркально-симметричными относительно плоскости среза. Для правильного выбора собственных значений >. (14) достаточно привлечь принцип предельного поглощения;

6) решение уравнения относительно стационарных точек (21) для квазипоперечных волн в плоскости симметрии (УЕ геометрия) имеет интервал многозначности, порождающий многозначность асимптотического представления (22) для объемных волн. Многозначность появляется и у решения уравнения (30) и соответствующих асимптотик для поверхностных волн в полупространстве (31) и волн в слое (32);

7) асимптотика объемных волн в анизотропном полупространстве (22) может иметь вырожденные направления, определяемые нулями определителя матрицы (23). Асимптотики волн релее'вского типа (31), (32) для среза, не являющегося трансверсально-изотропным, также могут иметь вырожденные направления, определяемые нулями второй производной фазовой функции к"С^т1) в (31), (32). В данном случае У-среза особые направления для поверхностных волн в полупространстве и волн в слое совпадали с концами интервалов многозначности и порождались слиянием двух невырожденных стационарных точек;

8) получен баланс мощности Е (47) ( без учета Е° ) и проанализировано соотношение энергии объемных Еу (38) и поверхностных Е,(37) волн для трех точечных механических и электрического источников в полупространстве, распределение энергии Ег (37) между модами - для слоя;

гч

9) оценены погрешности расчета мощности Ег (40) по отношению к интегральным выражениям Е, (37) для полупространства и слоя;

10) получены оценки величины вклада в суммарную мощность волн релеевского типа электрической составляющей мощности, распределенной в вакууме и в пьезоэлектрике, для полупространства и слоя;

11) получены асимптотические уточнения сферических объемных волн в полупространстве и цилиндрических волн релеевского типа в полупространстве и слое;

12) проанализировано влияние на энергетические диаграммы направленности объемных су (41) и поверхностных е, (41) волн, суммарный баланс излучаемой ВШП мощности Е (47) (без учета Е^) приближенных математических моделей распределения зарядов (50) и (51), сопоставлены энергетические балансы однородного ВШП (на центральной частоте ВШП) в зависимости от числа электродов преобразователя для соответствующих пространственных и плоских задач;

13) сопоставлены с известными экспериментальными данными дифракционные профили ПАВ в ближней и дальней зоне в параболических и непараболических направлениях на поверхности пьезоэлектрического полупространства, полученные с помощью интегрального (27) и асимптотического представлений (31), метода углового спектра и параболического приближения, исследовано дифракционное ослабление пучка ПАВ перечисленными методами.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гладской И.Б., Глушков Е.В., Нагорный С.В., Сыромятников П.В. Поверхностные волны в кристаллах с произвольной анизотропией //Вторая Всесоюзная конференция по теории упругости : Тез. докл. Тбилиси- Мецниереба , 1984.

2. Глушков Е.В., Сыромятников П.В. Анализ волновых полей , возбуждаемых поверхностным гармоническим источником в анизотропном полупространстве . Краснодар: Кубанский гос . ун-т , 1985. Деп. в ВИНИТИ 07.08. 85, № 5861 - 85'Деп.

3. Сыромятников П.В. Расчет характеристик поверхностных акустических волн// Динамические задачи механики сплошной среды ; Тез. докл. per. конф. Краснодар, 1986 .

4. Отчет о НИР (заключительный ) Разработать для использования в организациях Миннефтепрома СССР методику исследования внутреннего строения Земли... Руководитель : Бабешко В.А., Глушков Е.В.; № ГР 1860067283; ИНВ № 02880060225 . Краснодар, 1987. Ответственные исполнители : Глушкова Н.В., Сыромятников П.В., Фурманюк О.С.

5. Сыромятников П.В. Диаграммы направленности встречно-штыревых преобразователей//Смешанные задачи механики деформируемого тела. IV Всесоюзная конференция, 26-29 сентября 1989 г.: Тез. докл. Одесса, 1989.

6. Сыромятников П.В. Излучение встречно-штыревых преобразователей на подложке из ниобата лития//Динамические задачи механики сплошной среды: Материалы докл. per. конф. Часть L Краснодар, 1990.

7. Сыромятников П.В. Дифракция поверхностных акустических волн на пьезоэлектрическом полупространстве// Динамические задачи механики сплошной среды: Материалы докл. per. конф . Краснодар, 1992.

8. Бабешко В.А., Сыромятников П.Б. К проблеме исследования локализации в электроупругих средах // ДАН. 1995. Т. 345. № 1.