Нелинейные явления при распространении поверхностной электроупругой волны в пьезоэлектрической среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



пкъч.ьг иачщзкь штьими!» иыицгмцвь 1м.и8:>8пь5

л Л ---, „ „ SUnuiqp.fl ¡цаиЦпШцпЦ

црц иЬРО-ЬЗЬ 1МЬ5М13Цг

Л^дш^й ЬрЬшурйЬрр иц^п^ЬЦшршЦшС ^рш^иуртй* иЧцЦЬрЬшурш^й ^ЬЦшршшпшй^шЦшй ш^цэ^ шшршййшй г^Ьщрпи?

1Хши(1Шц|\ттр]тиС{1 - 11.02.04 - ^фпр^шдфит. ьц^Оц ЛирйС^ ЛфлиО^Цш

ЗффЦш ишрЫш 111)1.^п^шпр}! 1иицфйш0|1

Ыщдйшй штЬСш^пиш^шй

тсатмм»

ЬРЬЧХГЬ - 1997р.

ИНСТИТУТ МЕХАНИК!-! НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЬМИИ НАУК

На правах рукописи

АВЕТИСЯН АРЛ СЕРГЕЕВИЧ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭЛЕКТРОУПРУГОЙ ВОЛНЫ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

Специальность - А.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени доктора физнко математических наук

ЕРЕВАН - 1997 г.

Работа выполнена в Институте Механики Национальной Академии Наук Республики Армения

Официальные оппоненты:

Григорян Эдвард Хосровович- доктор физико-математических

наук

Саркисян Самвел Оганесович- доктор физико-математических наук, профессор

Саакян Степан Геворгович- доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Институт прикладных проблем физики

HAH Армении

Защита диссертации состоится 30-ого января 1998 года в 14-00 на заседании специализированного Совета Д-047 по адресу: г. Ереван, пр. Маршала Баграмяна 24/6.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института Механики Национальной Академии Наук Республики Армения

Автореферат разослан 20-ого декабря 1997 года

Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук, профессор Р. М. Киракосян

Р. Ду^ f

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

актуальные научно-технические проблемы связаны с изучением закономерностей колебаний и распространения волн в твердых деформируемых средах Это, в частности, проблемы сейсморазведки, электроразведки, динамики энергетических сооружений, задачи безконтактного контроля элементов конструкции и дефектологии и др , которые в настоящее время особенно важны из-за интенсивного развития измерительного приборостроения, электротехники. Развитие вышеуказанных разделов и отраслей науки и техники привело к интенсивному развитию новых разделов физики, лежащих на стыке с механикой сплошной среды и изучают связаные электромагнитоупругие процессы, происходящие в твердых деформируемых средах. Это объясняется тем, что "вещество", с которым имеет дело механика сплошных сред, содержит составляющие, также являющиеся объектом исследования электродинамики. Динамическое взаимодействие механического и электромагнитного полей в ньезодиэлек-трнках может описываться как линейными, так и нелинейными соотношениями. Этим вопросам посзящрно предлагаемое исследование, актуальность которого в области электромагнитоупрутости продик-тована также необходимостью дальнейшего развития общей теории механики деформируемого твердого те\а и связанных полей, включающей в себя вопросы построения математических моделей, разработки аналитических, численных методов решения конкретных, практических задач.

Цель работы состоит - в рамках современного интенсивно развивающегося научного направления исследования связанных полей, развивать линейную теорию электроупрутости пьезоэлектрических кристаллов и исследовать вопросы распространения нелинейных поверхностных волн в электроупругой среде. Дана математическая постановка задачи разделения разных электроупругих полей в линейной теории электроупругости. Предложен вариант полного описания через материальные координаты, задачи нелинейной элекгромагнито-упрушсти в случае электроупругой среды ограниченной вакуумом. Развиты общие методы решения задач связанных полей для нелинейной электроупругости. Уточнена постановка задачи электроупрутости при наличия начального электроупрутого состояния в теле.

Методы исследования и достоверность полученных результатов. В диссертации использовались традиционные методы математической физики и алгебры. Достоверность полученных резуль-

татов базируется на строгом и обоснованном использовании математических методов и на сравнении полученных результатов с результатами других исследователей.

Научная новизна. Нелинейная краевая задача электромагни-тоупрутости мя граничающих электроупругой среды и нематериальной области сформулирована в лагранжевых (материальных) координатах. На основе анализа уравнений линейной электроупругости получены необходимые условия разделения плоской и антиплоской деформации и на модельной задаче исследованы возможные типи локализаций сдвиговой электроупругой волны, которые используются в задаче нелинейного распространения поверхностной волны в качестве волнового сигнала.

Представляя амплитуды волн как функции медленных координат и пользуясь методом возмущений, распространяющееся волновое поле представляется в виде последовательных приближений входного волнового сигна\а. При распространении волнового сигнала нелинейность приводит к последовательному возбуждению высших гармоник волны, к искажению формы волны и к образованию нераспространяющего фона (электроакустическое детектирование). Происходит перекачка волновой энергии в высшие гармоники волны. Показана возможность изменения естественной анизотропии среды при наличии начального механического или электрического нагружений, его количественное и качественное влияния на распространение поверхностных электроупругих волн малой амплитуды.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы включались в программы, докладывались, обсуждались и были опубликованы в материалах следующих семинаров, конференции и симпозиумов:

- конференций молодых ученых и специалистов Института механики АН Арм ССР (Арзакан - 1983, 1986, 1990, Кировакан-1988),

- вторая Всесоюзная научно-техническая конференция "Прочность, жесткость и технологичность изделий из КМ" (Ереван-1984),

- Всесоюзные симпозиумы "Теоретические вопросы магнито-упругости" (Цахкадзор-1984, Ереван-1989),

- Всесоюзная конференция по механике неоднородных структур ¡Львов- 1991),

Всесоюзная конференция по композиционным материалам (Ленинакан-1987),

- конференций, молодых ученых и специалистов Института механики АН УССР (Киев - 1989, 1991),

- Всесоюзные совещания-семинары "Инженеро-физические проблемы новой техники" (Звенигород-1990, Москва-1992),

- Всесоюзные конференций "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых тел" (Горис-1987, Бюракан-1991),

- Всесоюзная конференция "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький-1989),

- 27-th and 28-th Polish Solid Mechanics Conferences (Rytro-1988, Kozubmk-! 990),

- 13-th International Congress on Acoustics (Belgrad-1989),

- IUTAM Symposium on the Mechanical Modelling of New Electromagnetic Materials (Stockholm-1990),

- Международная конференция по теоретической и прикладной механике (Ереван-1994),

- Международное совещание "Инженеро-физические проблемы новой техяики" (Москва-1994),

- На семинаре "Волновые процессы" Института механики НАН Армении диссертация была обсуждена по главам в 1996 году и вцелом доложена 7-го мая 1997 года,

- На общем семинаре Института механики НАН Армении диссертация ойс\ ждалась 2-го октября 1997 года

Публикации.; Г1о результатам диссертации автором опубликованы 24 работ

Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 223 страницы, из них 22 стр введения, э стр заключения, 19 стр. списка литературы из 176 наименований. Имеются 21 рисунков, 6 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится постановка проблем линейной и нелинейной электроупругости, обзор исследований связанных с задачами динамической теории электромагнитоупругости, в виде краткого содержания формулируется актуальность и научная новизна предлагаемой диссертационной работы.

Глава !. Учитывая существующую анизотропию пъезоэлек-трических кристаллов в первом параграфе приводится вывод пондеромоторных напряжений в случае анизотропной электроупругой среды, где при виртуальном смещении поверхности электроупругого элемента из анизотропного вещества, его кристаллографические оси, кроме удлинения, исплтывают также поворот, в

результате чего полная вариация напряженности электрического поля определяется двумя слагаемыми

1 г\

—I к

Для тензора напряжений получается представление

= [5в-.Е] (1)

Т1к =

г дУ л

Е

+ВД-) (2)

которое применимо при любой зависимости Г> от Е, определяет напряжение внутри вещества и отсутствует в нематериальной среде.

Во втором и третьем параграфах сформулированы материальные соотношения, уравнения электродинамики и уравнения движения среды нелинейной теории злектромагнитоупругости в лагранжевых координатах. Наряду с напряжениями П иола-Кирхгофа

в материальных координатах Лагранжа представляются также характеристики электромагнитного поля

(4)

ахт

¿1

что позволяет представить уравнения движения среды и уравнения электромагнетизма в инвариантном виде

У и г '

аск а-

дЮ

—-- = 0, (?)

СХр

* 011 о(р тЩ ас] аск

я, , . СЧ> ,* aii С(Р

Я.т = ~ - U-Í -- ^ (8J

гхт (Жк

где fm!dj = + oíhó¡m - ó¿jd/r¡1.

Обращая внимание на то, что нелинейность в теория электро-магнитоупругости имеет как физическое, так и геометрическое происхождения, в третьем параграфе рассматриваются возможные упрощенные варианты формулировки нелинейных уравнений и соотношений электромагнитоупругости диэлектриков, учитывая или только геометрическую, пли только физическую нелинейность задачи.

В физически нелинейной задаче предполагается, что удлинения н сдвиги настолько малы, что искажениями поверхностей и координатных линий можно пренебречь. Тогда, используем линейные: уравнения и граничные условия электроупругости

|* = В^-% ,9)

V ('/•:;: - rj) = 0: Л (//" - П</}) ^ 0: ^ (101

и нелинейные материальные соотношения д\я термодинамических напряжении ТИ:, индукций электрического поля j0t и магнитного ноля В-к..

В геометрической нелинейной задаче необходимо учесть координатные и поверхностные искажения и пользуемся линейными материальными уравнениями электромагнитоупругости

Т=с ЁИь + е^

ч Ч™ fo. *"' fc

r-, ^", ^ф ,, су

^-'-аТ'"*;

Здесь лагранжевы напряжения индукции электрического и магнитного полей определяются соответственно формулами (3), (5) и

(6).

Одна из основных особенностей задач электромагнитоупругости заключается в том, что в ограниченных средах (в телах) задачи электромагнитоупругости, по существу, являются контактными. Фактически имеются сопряженные: внутреннее электромаг-нитоупругое и внешнее электромагнитное поля.

Четвертый параграф первой главы посвящен формулировке граничных условий в нелинейной электроупругости и особен-

ностям формулировки уравнения электромагнетизма для внешней нематериальной среды (вакуум).

Учитывая, что с деформированием электромагнитоупругой среды "деформируется" также внешняя вакуумная область, вводится отображение недеформированной вакуумной области на деформи-рованную область, занимаемой вакуумом. Принимая в качестве координатной поверхности во внешней области деформированную поверхность электромагнитоупругой среды, и в качестве "упругого перемещения" в каждой точке вакуумной области - упругое перемещение соответствующей точки недеформированной поверхности электромагнитоупругой среды

- й(хк^) (рис.1) становится возможной запись в

лагранжевых координатах также уравнений электромагнетизма в вакууме.

X

незеформхровына* логерхноси рамен сред

Рис. 1.2 Изменение областей при деформировании электроупругой среды

Тогда закон "движения" для нематериальной среды записывается в виде £,{"){х1,,1)=-х/ +ы|°'(*,,/) и уравнения электромагнетизма во внешней среде имеют вид

Ш

¿и

= 0,

«Зс.

сХ

С)

= ■о (12)

сх сх

р р

относительно лагранжевых характеристик электромагнитного по\я

= ¡13)

дхт

Глава 2 посвящена вопросам постановки краевых задач линейной электроупругости и особенностям распространения поверхностных сдвиговых волн в пьезодиэлектрических кристаллах.

В первом параграфе приводится формулировка линейной краевой задачи электроупругости при разных граничных условиях.

Второй параграф посвящен вопросу возможности разделения задач плоской и антиплоской деформаций в линейной электроупругости пьезокристаллов. Обычно в качестве волнового сигнала в практике используются или злектроупругий сигнал с плоским

пилчм деформации ^,лу /),,лу/)■ О, л\,,ч| п\п

электроупругий сигнал с антиплоским полем (чисто сдвиговой) деформаций |О; О; ыа(лу х;./), , .г/(. /)| Возможность воз-

буждения только одного из указанных электроупругих волновых полей в пьезоэлектрической среде связана в первую очередь с анизотропией пьезокрис.талла и определяется структурой матриц равновесных физических свойств кристаллов.

Показано, что разделение двумерного электроупругого поля

(«Длу л-., ./}. «Д.гулу/), глДлулу/), Цлу ху ,на электроак-плоское поле иу{хр,0, <р{хр,ху

и не электроактивное поле ^ип{хр,хг 0,0,0| возможно для

пьезоэлектриков тех криста\лографических классов, у которых упругие и пьезоэлектрические постоянные удовлетворяют условиям

Срар ~ е0аг ~ Ргаг = 1'уар ~ ^ С ^

Если же выполняются условия

тивное

то двухмерное электроупругое поле разделяется на несвязанные неэлектроактивное плоское и^{хр,ху,1^,иу,.г^,и электроактивное антиплоское 0, 0, ^л^.дг^/Ц поля. Очевидно, что в разных плоскостях деформирования (х^ху ) плоская и антиплоская задачи разделяются для разных кристаллографических классов пьезоэлектриков.

- при а = \, Р = 2, у = Ъ плоскостью деформирования будет координатная плоскость х2х3. Условия (14) принимают вид

С 52 ~ СЯ = С.и ~ С62 ~ С63 ~ С64 ~ ®

= = С35 = е3* =0 (16)

и выполняются для пьезодиэлектриков класса 3т тригональной, класса 2тт ромбической, класса 4тт тетрагональной и классов 6тт, 6т2 (обычная ориентация: т1лг,) гексагональной симметрии. Для, этих классов электроактивная плоская задача и,{х2,х},1), ср(х2,х„1)| разделяется от неэлектроактивной антиплоской задачи и уравнения плоского деформирования для всех указанных классов можно представить в едином виде

. ¿^и, с'и, . с?и, . с^и. с я + <-'и —г + с24 -- ' + ^24 -^-г +

I . \ с?и, . с^ю / . . \ с?<р с?и,

+ ^ , ' + с* — + {с,, + с2Л ^ =

4 ' сх2ех} сх\ 4 ' дх2дх3 от

д2и, с2и, . / . ч с? и, + -Г, + + + «?*)"-^ +

сх3 ох2 ох 2 4 7 дх2дх,

сх] " дх] ох~

(17)

* с и, . С Ц. . С Ц. { . , \

А-" у«Л' ~ ' Л - ' '

дх~2 " СХ~, " дх~1 4 * ' СНГ , дх~2 " дх'3

Значения электромеханических коэффициентов со звездочками приведены в табл.1 для соответствующих классов.

Таблица

* 4 * С24 »

Зя; С,, о. - си е22 С/у е.а % 1С я

2 тт С 22 Суу 0 0 ?32 С 1! С, Я

4 тт Си С/3 0 0 е31 е33 £ и £

6 тт С/1 с,з 0 0 е!5 С31 ем с II 1 а и с; п

6 т2 С,, с,з 0 е22 0 0 0 £ и

32 Сц с,з - с и - - - 2

222 С22 С23 0 - - - * й я г**

• У'') си ги '1 - -

42 т Си С/1 0 ! _ .. .1 _.... - ■ - с.

622 Си С/3 0 - - 5 О ч

43т Си СГ2 0 | - • - - о

Условия (15) в данном частном случае выполняются для пьечо-диэлектриков класса 32 тригональной, класса 222 ромбической, классов 422, 42т тетрагональной, класса 622 гексагональной и классов 23, 43т кубической симметрии. Тогда в координатной плоскости л--,д.'л уравнения электроактивной антиплоской задачи представляются в виде

« г'и. , г'и, « г'и, , г*2т

ы ----- + <■« + <■:» +

< л- ,ГХ ; Г'Х ; {.V

сх;

/ * « \ с'Ф д'и,

у ' сх 2ах, ел

♦ с^и. / . , \ д2и, . д1<р , д2^

<-'н ~Г7 + къ- + - ~ - —у = О

дх2 4 ' сх.ск2 ас, ах3

Значения электромеханических коэффициентов со звездочками приведены в табл.2.

Таблица 2

С,4 <4 с*66 * ех * £ 22 4

32 Си Си е11 ~еи 2 ■ еы -2е„ 0 £ и £ 33 2 ОТ « от Г) к 2 к к г* ел о

222 0 С55 с66 е25 0 е.зб £ 22 £ 33

422 0 С.Ц с66 - е,4 0 0 £ и £ 33

42т 0 Си с66 еи 0 еж £ и £ 33

622 0 С44 - еи 0 0 £ц £зз

43т(23) 0 С^ Си ей 0 £ и С 11

3 т Си Си <-ц - е,, •> я =1 5 ¿2 р- и Л V

2 тт 0 С55 сбб - - - - -

Атт 0 Си С (Я ) * - - •

бтт 0 Си <•„ - О.' 2 - - - - -

6т2 0 Си <•„ ~ <•/.' 2 - * * - -

Аналогично исследована возможность разделения указанных деформационных полей во всех плоскостях ХрХу и выведены

уравнения линейной электроупругости для всех пьезоэлектрических сред.

Очевидно, что возможность разделения плоского и антиплоского полей деформации по анизотропии материала это необходимое, но недостаточное условие для того, чтобы иметь только

одного из этих деформационных полей. Для этого нужно следить также за характером нагрузки в каждой отдельной задаче элекгро-упругости.

В третьем параграфе приводятся исследования распространения всех возможных сдвиговых поверхностных электроупругих волн в двухслойной пьезоэлектрической структуре с разными электромеханическими условиями. Разные по характеру поверхности у = -/ь, // = о и у - допускают различные локализации волновой энергии вблизи их, в зависимости также ог соизмеримости между толщинами слоев 1ц. />-, и длиной распространяющейся волны к. В модельной структуре слой-полупространство предельной волной может быть или объемно-поверхностная волна, или поверхностная волна на границе двух склеенных полупространств (рис.2). Исследования этих волн необходимы при решении задач о распространении нелинейных электроупругих поверхностных сдвиговых волн, где данные волны рассматриваются в качестве волнового сигнала.

рис.2

Глава 3. Исследуются нелинейные динамические эффек-ты -генерация высших гармоник волнового сигнала, взаимодейст-вие волн, изменения формы волны и деформационного по\я при распространении электроупругого сдвигового поверхностного сигнала Исходя из общих уравнений нелинейной электроупругости, приведенных в гл.1, нелинейное распространение поверхностных волн в пьезодиэлектрическом полупространстве и во внешней нематериальной области (вакуум) описываются с помощью квазилинейных волновых уравнений.

г г т & ип д2<Р .л 1

г 1 д2 Ф .. г 1

д2^

<2с;<5е

и нелинейных граничных условий на поверхности раздела сред

хр = о

д<р

аск

„и

I -I <да„ I 1

(20)

В7

ду/

И

= — + ~ = 0

сх,

сх.

Нелинейные по деформациям и электромагнитному полю выражения Л^Д*] и С7Ж[*] (где - 1;7) получаются подстановкой материальных соотношений в уравнения электромагнитоупругости и в граничные условия соответственно.

Естественно, что эти нелинейные выражения будут разными при учете физической или геометрической нелинейностей. Учитывая малость нелинейности в кристаллах, ограничиваемся приближением заданного волнового электроупругого сигнала. Нелинейность уже не допускает простых периодических волновых решений и приводит к ангармоническим эффектам - к последовательному возбуждению гармоник волнового сигнала

1п (г,!) ~ 1оп > т) ' ^¡Щсап1 - кг), где амплитуды генерационных

гармоник функции медленных переменных ч =е г и г =еТ

Воспользуясь методом возмущений, задача исследования генерации высших гармоник распространяющегося поверхностного электроупругого сигнала

Гд(лг,..М .г) = ,г)схр(?т0)

т = /

получается в виде неоднородной краевой задачи

1 1 п = / 1 1И = 1 ^

тсс.

од \

+ ' • г)ехр(|Ля) + кл

- £ - г)Г + £(ь</> +

.....«21>

х т - !

- II . г)лй_(с . г),хр(/йп) + к .с

Вследствие двухфононного взаимодействия возникает нерас-иространяющееся электроупругое поле (электроакустическое детектирование), для определения которого решается краевая задача

•'/1 = 1

В?^' (Рт,<Ро\\ = ЫНо}^ г|2 (22)

Вклад в каждую гармонику волны характеризуется соответствующими коэффициентами при ехр/7т&) Из условия сущегтво-вания невековых решений получается бесконечная система нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений относительно комплексных амплитуд волны

а0 ОХ

I {«шИвяЛ0п *т + ¿тпЛ0г,Л0т-„} /23)

Здесь a¡( = £t_ - групповая скорость; коэффициенты апт и dmn -^ г

комплексные, причем при т - п < 0 надо полагать dm = О. Эти коэффициенты выражаются физическими постоянными материала.

Исследование полученной нелинейной системы для п-первых гармоник, при заданных входных условиях, производится в следующих параграфах настоящей главы на конкретных примерах.

Во втором параграфе исследовано распространение поверхностных электроупругих сигналов конечной ама\итуды в предварительно поляризованной керамике. Все типы электроупругих колебаний в керамике связаны с квадратичной по электрическому полю нелинейностью в материальных соотношениях (физическая нелинейность).

Характер генерации гармоник зависит от типа возмущенного волнового сигнала. Поверхностная волна Рэлея не генерирует при распространении поверхностной электроупругой волны. Происходит только генерация высших гармоник неэлектроактивной рэлеев-ской волны.

При распространении антиплоского электроупругого волнового сигнала (волна Гуляева-Блюстейна) 00

¿¿.-0(л-,г/,/,£г) = Y}yüm{^z)exr{- ndy)exfiinú) + /сс

n=1 (24)

p ОС

(pü(x,y,l,4,r) = — ¿ Щы(£г)[елр(- паку) - ехр{- /пАу)]слр((71<9) + иг. £и <1=1

гдеог = -у/Г-- vi /с}, Г,о =С.^/р,

Сf = C^l + х'\ X1 - efs / (¿i 1^44) & = l''x ~ (й1 " фазовая функция, vK и vB - скорости поверхностных волн Рэлея и Гуляева-Блюстейна, соответственно, - комплексные амплитуды волны, происхо-

дит двухфононное взаимодействие, вследствие чего появляются волны с частотами 0, 2со, 3(0 и т.д.

Возникает ^распространяющееся электроупругое поле,

содержащее как антиплоскую, так и плоскую деформации (рис.3).

£

При этом Ц0(¡*$1)зО. <рю(у,£,т) = \Уш(у^,т).

а) У10(уаЦ

б) W10(y,x,t)

Рис.3 Акустическое детектирование при распространении сдвигового волнового сигнала

Для исследования эволюции амплитуд волны получается бесконечная система нелинейных уравнений

V а1\.

- £>.

'тпШ0пЮ0п*т + ^т^Оп^От

-Л

т ' -л ' ' | тп ип тп ип

(25)

Г8" <л

коэффициенты Ъ„п и (причем йш =0 при п>т) - комплектные, зависят от физическтчч характеристик материала. П^ов^ден количественный анализ взаимодействия двух первых гармоник при входных условиях

р,{0, т) = А,(г). Р;((К г) = О, в,((К г) - 3, /' 2, 0:(0, г) - О где рт(с,т) - модуль и 0(с,т) - фача комплексных амплитуд \\'1)т(и,т) взаимодействующих гармоник. Получены решения системы нелинейных уравнений

Ф, , 1 Ф, _

— +

-Р^р^хМ.О, - 20, + />,)

дд а, от

гв, I гв, _

г£ гт гв,

-П,р:ът{в: - 20, + 8',)

(26)

Л а, гГ р]

в аналитическом виде и численно (рис.4)

РЛ$> 0 = Ш-Ро[- ~ <г)1а1Л -

у \а2 / у

где групповые скорости а3 и постоянные Ип, описываются физическими постоянными материала

Рис.4. Изменение модулей амплитуд первых двух гармоник

Очевидно, что изменения фаз амплитуд первых двух гармоник электроупругой сдвиговой поверхностной волны протекают со

ризует меру перекачки волновой энергии из первой во вторую гармонику и зависит от коэффициента электромеханической связи поляризованной керамики — / При изменении % от

0,1 до 0,5, А монотонно убывает от значения 0,85 до 0,55.

В третьем параграфе исследовано распространение волнового сигнала конечной амплитуды в пьезоэлектрике класса 6тт с учетом геометрической нелинейности. Конечные деформации поверхности электроупругой среды "деформируют" внешнюю нематериальную область (вакуум), вследствие чего в вакууме уравнения электромагнетизма также становятся нелинейными. В этом случае волновым сигналом может быть или волна Рэлея (неэлектроупругая волна), при распространении которой происходит только последовательная генерация высших гармоник чисто упругого плоско-деформированного поля, не индуцируя ни электроактивного антиплоского, ни магнитоупругого полей, или волна Гуляева-Блюстейна.

сдвигом г) - #,(<?, г) = 3, / 2. Величина

характе-

При распространении последней происходит последовательная генерация высших гармоник антиплоского электроупругого поля, вследствие чего первичный волновой сигнал (2-1) с амплитудой г) - Д,ехр{£ - адх) приобретает вид

cadl¿v-(j)-ra~—F~ifiiAlx-o)\ \pui-kaÁ

Г '

ф,у,1, 5 i) =—AW^-foM«^!* ~ olí

41

+

23)

+

М + а—— <ч{- М

Вследствие самовоздействия волнового сигнала возникает поправка - электроупругая волна, отстающая от основного волнового

сигнала Ф^чоч распространения на "тт '2 Нроднородтхть й-\*ны р глубь полупространств имеет иной характер по сравнению с основным волновым сигналом (рис.5)

При этом скорость изменения амплитуды а„ больше скорости распространения линейной поверхностной волны Гуляева-Ьлю-

f i 4 Ь(>

стеина (■ ,, 1 ~ г-----

1 " к ' ной электроупругой волны

- и меньше скорости сдвиговой объем-

cj/

+ Z

Рис.5. Виды затухания волны по глубине полупространства

Гармоническая форма первичной волны при распространении растягивается и искривляется (рис.6).

«5 1« 0 5 Ю

Рис.6. Искажение формы гармонического волнового сигнала.

При распространении антиплоская электроупругая волна возбуждает (генерирует) только сдвиговую компоненту плоского деформированного поля

\г(х, у,(, £ г) = 17,0 (у, £ г) + и12(у, £ т)ехр(Ъ'в) где характеризует акустическое детектирование, а

",АУ'€>Т) соответствует двухкратной частоте входного волнового сигнала.

Глава 4. Электроупрутие волны малой амплитуды в пьезоэлектрической среде с начальным электроупругим состоянием (статические нелинейные эффекты). В первом параграфе этой главы иа основе нелинейных уравнений электромагнитоупругости выведены линеаризованные по малым возмущениям материальные

уравнения электроупругой среды -

^ цтк

+ е

ах,.

О«

Г.А

ту о

л.

д<р

дц - дц>

= ---^ —

СХ.

г

Ач

~ ду . _ си,

(29)

Ртк

+ а_

• т &тк ту

Ли,.

где вместо линейных термодинамических постоянных выступают их эффективные аналоги, зависящие от начального электроупругого состояния.

-('¡¡¡¡т + ^ т,,п8¡1,

- О

' гпц ггип^ ^ * тцЬ1 } ^ тпц

сх_ ах.

- о ~ л

« сф

£ ~ £ + / —--£ ——-

тд тп mruJ ^ тпр

схп

= (^Лш - -

Начальное статическое электроутгругпе состояние изменяет тензор магнитной проницаемо!,ш Iреды, и при наличии н.;чоль ного, сопровождающего электроупругое состояние магнитного поля, возникают добавочные слагаемые в материальных соотношениях, свойственные линейной магнитоупрушети.

-Хинеаризуются также нелинейные материальные уравнения внешней вакуумной области

№ = И - ^

(31)

~ ПК/

ах. <х.

£0 1-Х ^ Ь0 1Хк

«и = ь(г) - п{е)

•^т ту о г*тл *

сасп

■«и - / л«-'

Но

Здесь эффективные "пьезомодули" вакуума и коэффициенты электрической и магнитной проницаемости обусловлены геометрической нелинейностью

ПЦ)

- - 4л -

тп ь0

= ив(8д8т -4А» -

(32)

Рассмотрены варианты упрощения приведенных соотношений.

Во втором параграфе обсуждаются особенности начального электромагнитоупругого состояния в геометрически нелинейной задаче электроупругости в зависимости от вида нагружения элек-трупругого слоя и от характера краевых условий на бесконечно удаленных торцах слоя.

Начальное электроупругое состояние в геометрически нелинейной задаче пьезоэлектрического слоя при наличии внешнего электрического поля определено в случаях, когда оба боковые торцы слоя дг, = ±оо и л*3 = ±оо механически свободны или когда один из них свободен, а друтой закреплен.

В третьем параграфе приводится исследование о распространении поверхностной сдвиговой волны в слое, находящейся во внешнем электрическом поле. Начальное электроупругое состояние вносит изменения и в уравнения, и в граничные условия задачи сдвиговых электроупругих волн, что приводит к качественным и количественным изменениям решения

Щх,у,1) = Лехр - х2 -цу1-ку ехр(кх-а1)

\ Щ} + Е„

■и

<р(х.у,/) = ^А гх[\ -х2 "ГГ1-/>У +

<р(х.у,/) = ^А гх[\ -х2

( >)

(

<Р-]{х, У, /) - Лцсхр(ку) + А ехр(кх - йУ)

где Л,

-1 ' п. i £„

I У

-и

/ г

-и

Сравнительные графики приведены в рис У.

В зависимоста от величины внешнего электрического поля изменяется также фазовая скорость волны.

О

ШУ)

Характер затухания электрического

потенциала з зависимости от НаЧс1ЛЫ1иГО íiíJ.lH

1 • напряженность начал»,ною ноля

2 - наиряжснносп. мочального псая

3 - напряжен носп, начальною i тля ! 0

Рис У

Характер затухания упругого

перемещения в мвиптоости от

В четвергом параграфе исследовано распространение электро-упрутих сдвиговых поверхностных волн в растяженном усилиями р0 по горцам = ±сс слоя.

Возникает однородное начальное электроупругое состояние в

слое

¿'м = О,

&Ч = о.

.<-' = о

Е„

О

■Сп

И'„ - о. ач\ _ с„(с„ -с„)

= о, $ = о ¿ - о, = о

£',, = <г - О

/л-,

р, остальные —— = О дх„

ác3 Л(С,) где л(си) = С/А, + - 2С;,СП -с-;/:„ > о, и

дсрй

= О

сАр

Ос, ах, ск,

которое нарушает естественную трансверсальную изотропию

пьезокристалла. Решения в этом случае уже представляются в виде и)(х1,х2,*) =

х ехщ(кх{ - ол)

2 _ -

А, ел:р{- ку1х2) + У72 У Вхехр(- ку2х2)

С

55

/2^44

Ч4У\ -?15

Л1 ехр{~ кухх2) + В1ехр(— ку2х2)

х в*/*'(/¿V, - й/}

<Р (*1,Х2>') = Л0ехр

ь\\

-М 1гХ2

\Ь22

ехрг(кх} - ах)

с фазовой скоростью на отрезках определения р

а а у ') с

Р

или

где а, Ь, с, - безразмерные параметра:

С

а = — С

55

7

Х\ =

Л-

£22С44

'44 ¿22 е24

При отсутствии начального состояния фазовая скорость определяется на интервале (0, с^ / р).

В заключении диссертации приведены основные результаты: - На основе анализа основных уравнений линейной теории электроупругости получены необходимые и достаточные условия, при которых задача электроупругости разлагается на две несвязанные краевые задачи:

1. электроактивная задача плоской деформации

*/?>') А (р{ха,х!},1^ и неэлектроактивная задача антиплоской деформации |(},0,

2. неэлектроактивная задача плоской деформации |иа ,хр\ха .х£,/|,0, (р(х.а н неэлектроактивная

задача антиплоской деформации ¡0,0,иу |д:в,л-^,I

Проведена классификация кристаллографических пассов всех симметрий, для которых возможно разделение этих задач Сопряженность электрического и механического полей значительно сужает множество тех кристаллографических классов, для которых возможно разделение.

- На примере слоистой пьезоэлектрической структуры анализируются виды и количественное описание возможных локализации сдвигового электроупругого волнового поля в рамках .линейной теории электроупрутости. Показывается, что в электроупругой задаче Ляпа может быть как объемно-поверхностная волна, так и поверхностная волна на границе раздела двух пьезоэлектрических полупространств.

В рассмотренных проблемах нелинейной теории электроупрутости:

- Предложен вариант отображения внешней номачуриальппГг

деформированной области' на внешнюю область до деформации Это дает возможность сформулировать внешнюю задачу электромагнетизма (в вакууме) в материальных координатах Лагранжа Получены материальные соотношения внешней нематериальной среды

- На основе введения определений обобщенных индукций электрического и магнитного полей по аналогии обобщенных механических напряжений сформулирован упрощенный вариант краевой задачи нелинейной электроупругости относительно новых искомых ве,личин, которые тождественны с истинными термодинамическими напряжениями и индукциями при не очень больших деформациях.

- Учитывая характер происхождений нелинейностей в формулировке общей задачи нелинейной электроупрутости, сформулированы физически нелинейная и геометрически нелинейная задачи электроупрутости.

- Учитывая слабость нелинейности твердых деформируемых сред. волновое э\ектроупругоо поле представляется приближением заданного волнового сигнала, где амплитуда волны представляется как функция от медленно изменяющихся координаты и времени. При распространении волнового сигнала многофононное взаимодействие приводит к генерации высших гармоник поверхностной волны.

- Высшие гармоники описываются комплексными амплитудами, относительно которых из условия существования нетривиальных решений получена бесконечная система нелинейных (квазилинейных) дифференциальных уравнений.

Доказана лемма о существовании нетривиальных решений при удовлетворении граничных условий в полученных рекуррентных краевых задачах.

- Решена задача распространения поверхностных электроупругих волн при учете физической нелинейности среды (электро-стрикция в керамике). Обсужден вопрос о возможном возбуждении электроупругого волнового сигнала. Решена укороченная система нелинейных дифференциальных уравнений и получена картина перекачки волновой энергии из первой основной гармоники во вторую гармонику поверхностной сдвиговой волны.

Получена форма нераспространяющегося электроупругого фона (электроакустическое детектирование). При сдвиговом волновом сигнале образуется и плоское деформированное и антиплоское электроупругое детектирование.

Решена задача о распространении поверхностной волны в пьезо кристалле класса бтт с учетом геометрической нелинейности. Получено уравнение эволюции амплитуд сдвигового волнового сигнала.

Акустическое детектирование здесь имеет постоянную сдвиговую и затухающую продольную компоненты упругого перемещения.

- Получена картина искажения волнового поля в поверхностном виде и по уровням. Гармоничная форма волны при распространении растягивается и искривляется.

- На основе основных уравнений нелинейной электроупругости исследованы особенности начального электроупругого состояния в геометрически нелинейной задаче.

Показано, что в модели бесконечного электроупругого слоя начальное электроупрутое состояние, возникающее под электрическими или механическими нагрузками, зависит от условия на бесконечно удаленных торцах слоя.

- Выведены .линеаризованные материальные соотношения электроупругости с учетом начального электроупругого состояния, как для материальной деформируемой среды, так и для нематериальной - вакуумной области. Линеаризованные соотношения получаются подобно материальным соотношениям классического пьезоэффекта. Аналогичные материальные уравнения

получаются также для линеаризованной задачи магни то упругости диэлектрика.

- В задаче распространения поверхностных волн малой амплитуды в нелинейном пьезодиэлектрике обнаружено, что в задаче Рэлея возможны только количественные изменения, а в задаче Блюстейна изменяется как величина фазовой скорости, так и возможность существования поверхностной сдвиговой электроупругой волны.

Начальное электроупругое состояние, создаваемое внешним электрическим полем, приводит к изменению закона затухания характеристик поверхностной волны по глубине полупространстъ. Волновое поле становится более неоднородной.

- В предварительно растяженном, геометрически нелинейном пьезоэлектрическом слое изменяется область определения скорости распространяющейся поверхностной сдвиговой волны.

Основные результаты по содержанию диссертационной работы изложены в следующих публикациях:

1. Аветисян A.C., Геворкян A.B. О поверхностных волнах на границе раздела полупространств из пьезоэлектрического и >\.-ктр''»1ро!(одящего материалов,- Б кн. Исслчлоаани« по механике твердого деформируемого тела, Ереван, Изд АН АрмССР, 1983. вып 2, с. 77-83

2 Аветисян A.C. Поверхностные сдвиговые волны в пьезоэлектрическом полупространстве с д и эле ктри ч ее к и м слоем,- В кн. "Теоретические вопросы магнитоупрутости"' Матер. 11] Всесоюзн симпозиума, Ереван, 1984, с. 7-10

3. Аветисян A.C. О поверхностных волнах в пьезоэлектрике при наличии электропроводящей среды вблизи его границы.-Материалы II Всесоюзной научно-технической конференции "Прочность, Жесткость и технологичность изделии из КМ" Ереван, 198.1, т.1,с

4. Аветисян A.C. К задаче распространения сдвиговых волн в пьезоэлектрической среде,- Изв. АН АрмССР, Механика, 1985, т. 38, № 1, с. 12-19

5. Аветисян A.C. О постановке осесим.четрнчной задачи электроупругости - В кн. Механика деформируемого твердого тола. Ереван, Изд. АН АрмССР, 1986, с. 5-12

6.Аветисян A.C. Пилосян Х.К. Распространение электроуть ругих сдвиговых волн в пьезоэлектрическом слое,- В кн. Механика деформируемого твердого тела, Ереван, Изд. АН АрмССР, 1986, с.13-18

7. Аветисян A.C. Поверхностные электроупругие волны Лява в случае неоднородного пьезоэлектрического слоя.- Изв. АН АрмССР, Механика, 1987, т. 40, № 1, с. 24 - 29

8. Аветисян A.C., Белубекян М.В. Распространение поверхностных волн в пьезоэлектрической среде при наличии внешнего электрического поля,- В кн. "Проблеиы динамики взаимодействия деформируемых сред"Изд. АН Арм ССР, Ереван, 1987, с. 85-91

9. Аветисян A.C., Белубекян М.В. Нелинейные поверхностные электроупругие волны в керамике.- Изв. АН АрмССР, Механика,

1988, т. 41, № 4, с. 9 - 18

10. Аветисян A.C. О распространении электроупругой монохроматической волны в неоднородном пьезоэлектрике.- Изв. АН АрмССР, Механика, 1988, т. 41, № 5, с. 34 - 40

11. Аветисян A.C. Распространение волн в нелинейном элек-троупрутом слое,- В кн. "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении", Горький, 1989, ч.1, с.32

12. Аветисян A.C. Влияние начального напряженного состояния на распространение поверхностных электроупругих волн.- В кн. "Теоретические вопросы магнитоупругости" Ереван, Изд. ЕГУ,

1989, с.13-17

13. Аветисян A.C. О нелинейном характере электроупругой волны в неоднородном диэлектрике,- Тез. докл. III Всес. конф. "Механика неоднородных структур" Львов, 1991, ч. 1, с.6

14. Avetisyan A.S. Neleconlinear surface troelastic waves on a polarized ceramic.- Proceedings of 27-th Polish Solid Mechanics Conference, Rytro, 1988, p. 23-25

15.Avetisyan A.S. Nonlinear surface electroacoustic waves on an electroelastic solid - Proceedings of 13-th International Congress on Acoustics, 1989, p. 83

16. Аветисян A.C. Об основных уравнений нелинейной электроупругости пьезоэлектрического диэлектрика.- Изв. АН Армении, Механика, 1990, т. 43, № 4, с. 41 - 51

17. Аветисян A.C. Многоволновое взаимодействие при распространении поверхностных электроупругих волн в нелинейном пьезоэлектрике.- Изв. АН Армении, Механика, 1990, т.43, № 5, с. 11-20

18. Avetisyan A.S. Some spesificity of electroacoustic wave propagation in nonhomogeneous piezodielectric.- Proceedings of 28-th Polish Solid Mechanics Conference, Kozubnic, 1990, p. 13-15

19. Avetisyan A.S., Sarkisyan S. V. About electromagneto-elastic vibration and waves propagation in nonhomogeneous media.-

Proceedings of ИЛ'ЛМ Simp. Mechanical Modelling of the new Electromagnetic Matenals, Sweden, 1990, p. 387-393

20. Аветисян A.C. Движущейся источник на поверхности пьезоэлектрического полупространства - В кн. Механика деформируемого твердого тела, Ереван Изд. API Лрм ССР, , 1990, с. 12 -17

21. Аветисян A.C. Об устойчивости волнового процесса в поперечно неоднородном упругом слое,- В кн. "Инженеро-Физнческие проблемы новой техники". Москва, Изд. МГТУ, 1494 с.82

22. Аветисян A.C. Влияние начального электроупругого состояния (геометрическая нелинейность) Hd распространение ¡юли малой амплитуды.- Изв. АН РА, Механика, 1995, т. 48, Ns 1, с. 34 - 41

23. Аветисян А. С. Поверхностные электроупругие волны конечной амплитуды в пьезодиэлектрической среде,- Изв. АН РА, Механика, 1995, т. 48, № 2, с. 27 - 37

24. Аветисян A.C., Маргарян Дж.М. Электроупругие поверхностные волны сдвига на границе раздела двух пьезоэлектрических полупространств.- Изв. АН РА, Механика, 1994, т. 47, № 3-4, с. 31-37

ШГФйФйМГ

ú¿ q£nujJiG bpbunjpübpp ujjbqntiblimpiuliujG iSJigiuilujjpmiS üuiljbpbinijpiujfiü tlblpnpiuiumuüqiuliiuú ui[]ipfi muipiu&tfiuG qbiqpniü

UmhúmGiuligmi t]blpnpiuiumuáquiliujG hi n¿ Gjmpiu^uiü iSJiguiiluijpbpJi huiúuíp n¿ qínujJiG fcLbljmpmúwqúfmwwnmúqw^wümpjuiü bqpiujfiû [uür^ipp ¿Ьии^Ьрщфий t i_iuqpiuüdjuaQ ((ijnipmljwü) IjnpjiJiüwmúbpm}: irtjiuinji тйЬйшцЦ n¿ qôuijûmpjiuû íauqmüp, pGüiuplp|uiö bû tlbliinpiuumuiáqiu-IpuGnipjiuG n¿ qíaujtiü hqpwjjiü fuütyiji iqiupqbgiJutû iï{i piuGJi qtiqpbp, qpiuügfig jmpuipiuü¿]mpmü hu»2iUi umGb[nil IjiuiS ^JiqJiljiuljmü, Ijwú n¿qchujQmpjniGp: Q-¿nujfiG tlbljwpujiuniuáquiliiuGiupjuiú hiuilwu^PB^ûbpJi ijbpiruöiitpjLuiip, ummgi[w¿r bû biupp bi hiulpiihiupp i}b.$>npi5iug}iiuGbpfi luGjiuui-ùmû mûhpmdb2in iqiujüuiGGbpp ti ünqb^jlifi ¡uQijpmü ш.штШш1фрфи& t tibl{uipiuiunuiáqiuliiuü uiuhjjfi Uuilibphinij-puyJiG lujjipji aifcrpujGuigüuiG Ьйшршфзр àbibpp, fiú¿£ рпщ t тошфи iSuil)bpbintjpuy}iû шфр)! muipiuôrôiuû n¿ qöuijfiü }uüí}pniú î>}imiupl}b^ Û2i}m& injiujji u»i^iujJiQ luqrpuQ^uiGûbp:

Oquii^hpiil qpqnnii5Gbp}i йЬршфд bi iuQip]i ]LUjGnLjpp GbpljuijuigGbinil npiqbu quiGiju»! фпфп^ифщ IjnprjjiGimnGbpfi фт011д}1Ш, miupuiô^ari tiblpnpiu-luniuúqiuljiuú qiajmp ûbplpxijiugi[niû t luQipwjjiû iuqijiuÜ2iuü}i hiurmpquiljuiCi iínmiupl}iui$Gbp[i inbupni|: UjJipiujJiG uiqqiuG2iuG[i muipiu&ûiuG ¡íüpmgpmú n^qöuijGmpjntüp pbpniú t hu^nprpuliiuû hwpünü[iíjiuübp}i qpqnúuiG, iujjip}i mbupfi ¿biuujinJunipjiuG hi ¿mvupm£n}nri ttblpnpmuiniuüquiljmü фп0}1 ábtiuvjnpúiuü: GGi) npmtf, umhp}i \Siulitpbuujpiuj{i6 iu]]ip|i шшрш£л!и»й tjbiqpmtS wmujuJÜniü t ¿тшршсЗфщ hwpp tjb.^npüiugjiiu: Sbqji t niGbGnuî i«ijipiuj(iû tûbpq}iiuj]i ilbpwpiuTÍumií luQipJi hiupünGJiljiuGbpli iSJijbi: UiJipiujliG hiupü'nü{il¡ iuqqwÛ2iuGp iniupiu&üiuG рСршдртй ùbinil ûqilniiî t ti щпрфиСй РЬрфий bü pi[iuplp|iuö bpbimjpGhpJi рщйшЦшЦшй tHutuúüiuuJipmpjruüübpp üJiiujG (ûjmpji tiblpnpiuumpjîligfiiu), Ipuú »SJiiujG ЬрЦрш^шфш^идй (tibljinpiuiumuûqiulpuû iSj^w^JPi1 ilbjiui^np ijb^npùwgjiiuûbp) n^qöiuj-GnipjniGGbpJi hu^^unürnü qbuipbpniú:

O-jitiblpnptitjGbpli tlbl^inpiuiiiuqG}iuiuiumuàqiut}iuûmpjiuû n¿ qfriujJiG bqpmjJiG Juûqfipp jiuin фпрр qpqnniiSGbpJi qduijQuigûb[m Ujiçmgnij тигшЮиифрфнй t ûuijuûiuliwû tlblimpiuumuiáqiuljuiü фбшЩ) luqqbgtupjniGp фпрр LwjGnijpnil úiul}bpbinijpwj{iG uqfipfi шшрш&ишй Juûqpnui (иишифЦ nj qduijjiû bpbmijp): önijg t трф"0 uipimupJiG iSbjuwG}iljm^iuG Ijiuiî t^bljmpwljmü pbnümi|npúwü lífigognij üjnipji pGiuljiuG luGJiqmnpnujJiiujli фпфп}итр]1ий hGuipiuilnpmpjmGp. tyiiu piuGiutpuljwü bi пршЦш^шй wqijbgnipjniGGbpp tlbljinpiuiumuôqiuliiuû tíuiljbpbinijpiujfiG qW2inli ¿biiui{npüiuG bi qàxuj[iG t[bl]inpiuumuióqwliiuGmpjujG Juûqpfi hiuiîbiîiuin luniujiugiuôr фпфп[ип1р]п10йьр[1 ¿шфс: