Моделирование и расчет электроупругих полей пьезокерамических оболочек и пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСШ ДЛЯ ПОЛОСЫ СО

СМЕШАННЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ.

§ I. Постановка задач линейной теории электроулругости.

§ 2. Плоская задача электроулругости для полосы с периодической системой электродов на поверхностях задача I).

§ 3. Плоская задача электроулругости дал полосы с периодической системой электродов на поверхностях задача 2).

ГЛАВА П. МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМРУГИХ ПОЛЕЙ

ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН ИЗ ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ПО

ТОЛЩИНЕ КЕРАМИКИ.

§ I. Основные допущения модели оболочки. Тангенциальные смещения и потенциал электрического поля тонкой оболочки.

§ 2. Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определякхцие соотношения для оболочек.

§ 3. Граничные условия и постановка задач электроупругости тонких оболочек.

§ 4. Упрощенные варианты соотношений электроулругости для пьезооболочек.

§ 5. Многослойные оболочки регулярной структуры.

§ 6. Приближенные решения периодической задачи электроулругости для полосы.НО

§ 7. Сравнительный анализ собственных частот поперечных колебаний полосы.

§ 8. Анализ электроупрутих полей в круглых двух- и трехслойных пластинах. Сравнение теоретических и экспериментальных данных '.

§ 9. Возбуждение поперечных колебаний в полуполосе периодической системой электродов на торце

ГЛАВА. Ш. МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОУПШЖ ПОЛЕЙ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН ИЗ ПЬЕЗОКЕРАМИКЙ, ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВДОЛЬ ОДНОЙ ИЗ КООРДИНАТ

СГОННОЙ .ПОВЕРХНОСТИ.

§ I. Основные допущения модели оболочки. Тангенциальные смещения и потенциал электрического поля оболочки.

§ 2. Приближенные уравнения электростатики, уравнения движения и определяющие соотношения для оболочек

§ 3. Граничные условия, условия сопряжения и постановка задач электроупругости тонких оболочек.

§ 4. Упрощенный вариант соотношений электроупрутости дан пьезооболочек.

Научно-технический прогресс в настоящее время связан с развитием таких отраслей как автоматика, вычислительная техника, радиоэлектроника и др., в которых находят применение функциональные элементы, основанные на использовании пьезоэлектриков. Эти функциональные элементы представляют собой активные среды из полупроводниковых, пьезоэлектрических или ферромагнитных материалов. Обладая высокой помехозащищенностью, технологичностью и повышенной радиационной стойкостью, функциональные пьезоэлект-ронные элементы широко используются для разработки на их основе целых комплексов робототехнических технологических линий и гибких автоматизированных цроизводств, составляющих основу научно-технического прогресса.

Использование автоматических устройств на базе применения пьезоэлектронных элементов является перспективным направлением в решении одной из наиболее актуальных проблем соверменной техники - проблемы мшфоминиатюризации устройств и систем. Решение этой проблемы приобретает особую важность при создании автоматических комплексов, вычислительной техники и измерительных устройств повышенной надежности при ограниченной массе и минимальных габаритных размерах.

В зависимости от своего функционального назначения элементы пьезоэлектронной техники можно разделить на устройства преобразования энергии и устройства обработки информации, предназначенные для её регистрации, хранения и использования. При разработке таких элементов обычно применяются высокоэффективные пьезоак-тивные материалы и, в частности, поляризованная керамика, которая приобретает пьезоэлектрические свойства в результате ее поляризации. Возможность создания пьезоэлектрических элементов на базе пьезокерамики основана на использовании главных эффектов пьезо- и пироэлектричества, состоящих в изменении электрической —» -» индукции I) при изменении электрического поля Е , в зависимости деформации от механических напряжений ^ и в изменении эн^опии ^ от температуры Т . Кроме указанных главных эффектов в пьезокерамике, обладающей симметрией кристалла 6 , наблвдается ряд сопряженных эффектов. Прямой и обратный пьезоэффекты состоят соответственно в изменении индукции й в зависимости от напряжений 6Т. и деформации ¿-^ в зависил "V о мости от напряженности электрического поля Е . Необходимо отметить еще пироэлектрический (зависимость 5 отТ ), электрокалорический (зависимость 5 от Е ) и пьезокалорпческий (зависимость б"- от Т ) эффекты. В активных материалах типа поляризованной керамики наблюдаются также вторичные эффекты, определяющие связь двух величин через третьи.

Характерной особенностью пьезокерамики является её доменная структура, что обуславливает существование нелинейных свойств, связанных со смещением доменных границ под действием значительных механических напряжений и сильных электрических полей. Нелинейные свойства пьезокерамики, проявляющиеся в первичных и вторичных эффектах, приводят к дополнительным эффектам (пьезо-оптический, пьезорезистивный и др.), использование которых открывает широкие возможности при создании разнообразных элементов автоматики и вычислительной техники.

Таким образом, многообразные свойства, присущие пьезоэлектрической среде типа поляризованной керамики, позволяют практически реализовать в одном конструктивном блоке функциональные элементы различного назначения. Дальнейшее расширение функциональных возможностей этих элементов может быть достигнуто посредством комбинации свойств пьезокерамики со свойствами других сред, например, полупроводников и ферромагнетиков.

Среди функциональных пьезоэлектронных элементов наибольший интерес представляют силовые элементы - пьезоэлектрический трансформатор, пьезодвигатель и пьезогенератор. Для этих элементов характерна высокая технологичность изготовления, простота конструкции, низкая себестоимость и высокий к.п.д.

В ряде устройств автоматики и вычислительной техники в качестве основного, базового элемента применяются пьезотрансформа-торы с управляемым или неуправляемым коэффициентом трансформации. Чрезвычайно широкие возможности пьезотрансформаторов позволяют использовать их при создании разнообразных аналоговых и дискретных устройств преобразования сигналов. Обычно трансформатор представляет собой однослойный или многослойный пьезоэлемент в форме пластинки, диска или цилиндра с разделенными электродами, которые образуют две активные секции возбудителя и генератора. Направление поляризации может быть различным;и в зависимости от этого различают пьезотрансформаторы с поперечным способом преобразования продольных волн (вектор поляризации перпендикулярен направлению распространения колебаний) и продольным (вектор поляризации параллелен направлению распространения волн). На рис. 0.1 показаны основные элементарные схемы конструкции пьезотрансформаторов продольно-продольного (0.1.а), поперечно-поперечного (0.1.6) и комбинированного (0.1.в) типов.

При действии входного переменного напряжения иВэс на секг цию возбудителя щюисходит преобразование электрической энергии

X 3 сО

•о со H

Й О fi в механическую энергию акустической волны за счет обратного пъе-зоэффекта. Этот процесс осуществляется в форме упругих колебаний на одной из резонансных частот стоячей волны и приводит к изменению зарядов на выходном электроде секции генератора за счет прямого пьезоэффекта.

Анализ работы пьезотрансформатора проводится, как цравило, на основе эквивалентных схем, параметры которых выражаются через геометрические размеры пьезтрансформатора и константы пьезокера-мики. При этом для построения эквивалентной схемы используется метод электромеханических аналогий и ряд упрощающих предположений относительно характера механических колебаний пластины пьезотрансформатора .

Следует отметить, что на основе пьезотрансформаторов возможно создание разнообразных управляющих устройств, способных выполнять различные функции преобразования сигналов. Для этого в элемент пьезотрансформатора вводится дополнительная секция электродов и связь между секциями осуществляется только механическим путем.

Функционирование пьезотрансформаторов и других систем на их основе происходит в условиях внешних возмущающих и управляющих воздействий и, следовательно, структуру пьезотрансформатора необходимо рассматривать как объект динамического управления, на вход которого подается напряжение возбуждения с заданной амплитудой, частотой и фазой. При этом внутри активной среды пьезотрансформатора набладается сложная картина взаимодействия различных физических эффектов (прямого и обратного пьезоэффектов, вторичных эффектов и эффектов более высокого порядка). Аналитическое описание реальных процессов в пьезотрансформаторах с учетом разнообразных связей между этими эффектами и с учетом их нелинейности является весьма сложной задачей. Поэтому, как отмечалось выше, математический анализ одномерных процессов в структурах типа пьезотрансформаторов цроводится на основе использования эквивалентных схем. Расчет характеристик пьезотрансформаторов по эквивалентным схемам (схемам замещения) связан с рядом упрощающих предположений и поэтому такое моделирование его работы часто дает лишь качественную оценку основных параметров устройства. Причина этого состоит в том, что элемент пьезотрансформатора является объектом управления с распределенными параметрами, работа которого описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных (уравнений электроупругости) и, следовательно, представление пьезотрансформатора на основе эквивалентной схемы, имеющей конечное число сосредоточенных параметров, неизбежно связано с большими погрешностями в расчете [1,2].

Другой класс устройств функциональной пьезоэлектроники образуют пьезоэлектрические двигатели и пьезогенераторы. Основным принципом работы всех конструкций пьезодвигателей является преобразование высокочастотных электрических колебаний в поступательное или вращательное движение (непрерывное или дискретное, шаговое). В настоящее время известно много разнообразных конструкций пьезодвигателей непрерывного или шагового действия, преобразующих электрическую энергию в механическую. Так как передача полезного момента рабочему органу пьезодвигателя осуществляется механически, то основные недостатки конструкций пьезодвигателей связаны именно с наличием контактирующих поверхностей, что исключает возможность их применения в диапазоне больших мощностей. Однако преимущества пьезодвигателей^ по сравнению с обычными электродвигателями, становятся очевидными в, диапазоне малых менее I Вт) мощностей, характерном дуга микродвигателей. В конструкциях пьезодвигателей ротор и статор состоят из одного или нескольких пьезорезонаторов, прижатых силой ? один к другому посредством упругого элемента. Число пьезорезонаторов в пье-зодвигателях может быть различным и геометрически они выполняются в форме пластинок, стержней, дисков, цилиндров и т.д. На рис. 0.2 представлены конструктивные схемы основных вариантов пьезодвигателей [з].

Ротор и статор в конструкциях пьезодвигателей могут изменять свои функции и, таким образом, пьезодвигатель является обратимой системой, т.е. вращение ротора от внешнего двигателя превращает пьезодвигатель в пьезогенератор. Такие пьезогенераторы используются совместно с малоскоростными приводами и генерируют на выходе напряжение высокой частоты. Высоковольтные пьезогенераторы применяются в различных устройствах для создания искровых разрядов при воздействии импульсной механической нагрузки. В конструкциях низковольтных пьезогенераторов применяются также биморф-ные элементы, что позволяет получать достаточно высокие значения выходного напряжения цри незначительной внешней механической нагрузке.

Несмотря на то, что открытие пьезоэлектрического эффекта относится к 1880 году, применение этого явления на практике началось только треть века спустя и связывается с именем Поля Ланже-вена, создавшего с использованием кварцевых пластинок акустический излучатель. Дальнейшие практические исследования пьезоэлектрических материалов показали, что пьезорезонаторы могут эффективно использоваться в качестве фильтров, а с помощью некоторых пьезоэлектрических кристаллов можно стабилизировать частоту в различных радиотехнических устройствах и получать стабильные эталоны времени, например, кварцевые часы. Пьезоэлектрические резонаторы используются также в схемах фильтров с высокой избирательностью. Такие фильтры, применяемые в многоканальной телефонии, где большое число одновременных телефонных переговоров передается по одному проводу, дали возможность создать высокочастотную многоканальную телефонную связь.

Возрастащее применение пьезоэлектрических элементов в указанных областях техники, а также в ряде смежных областей, таких как дефектоскопия, сейсморазведка, метрология и др. выдвигает важную проблему создания надежных и вместе с тем достаточно простых методов расчета электроупругих полей, сопровождающих работу пьезоэлементов. Теоретической базой для изучения сопряженных полей в тонкостенных пьезокерамических оболочках и пластинах, как и вообще в пьезоактивных материалах, являются линейные уравнения пьезоэлектричества. Однако, анализ электроупругих полей в пьезо-среде, основанный на точном решении трехмерных уравнений пьезоэлектричества, связан с серьезными математическими трудностями. Эти трудности обусловлены, главным образом, анизотропией пьезоактивных материалов (например, в случае пьезосреды класса 61П1Т1 её свойства характеризуются пятью упругими постоянными, тремя пьезокоэффициентами и двумя диэлектрическими постоянными) и связью электрических и механических полей, которая является существенной. Сложностями математического характера объясняется тот факт, что в настоящее время известно лишь достаточно небольшое число задач, решенных в рамках точных уравнений электроупругости. Так, анализу электроупругих полей в пьезоэлектрической полуплоскости, поляризованной перпендикулярно к свободной границе, посвящена работа [4], где исследовались особенности статических электроупругих полей, возникающие у краев пары бесконечно тонких электродов конечной длины, расположенных на свободной поверхности. Статическое электроупругое состояние сплошного цилиндра, поляризованного вдоль оси, с частично электродированой поверхностью в условиях антиплоской деформации изучалось в [б]. Некоторые вопросы, связанные с изучением особенностей электроупругих полей вблизи трещин при статическом нагружении пьезосреды, обсуждались в работах [б-9] и некоторых других. Вместе с тем, в настоящее время в литературе отсутствуют данные об исследовании электроупругих полей в пьезокерамических телах типа полосы (плоская задача) и слоя (осесимметричная задача). Необходимость в точном решении таких задач связана, прежде всего, с тем, что они могут быть эталонными дои различных приближенных теорий пластин. В связи с этим; в первой главе диссертации представлено решение двух плоских задач электроупругости для полосы.

Использование решений статических задач электроупругости в практических целях ограничено, т.к. в подавляющем большинстве случаев эксплуатация пьезоэлементов происходит при их динамическом нагружении. В связи с этим очевидна практическая ценность решения динамических задач электроупругости. Авторы работы [ю] рассмотрели задачу об установившихся радиальных колебаниях толстостенной пьезокерамической сферы, в работе [п] исследовались установившиеся колебания толстостенной пьезокерамической сферы, погруженной в сжимаемую жидкость. Расчету полых и заполненных сферических пьезопреобразователей посвящены также работы [12—Хз]. Установивщиеся колебания бесконечно длинного пьезокерамического полого цилиндра с радиальной поляризацией и электродированными поверхностями изучались в [14], колебания радиально поляризованных колец исследовались в [15], решения ряда задач электроупругости для стержней, дисков и колец представлены в [16-21].

Практически важный класс задач цредставляют собой задачи, связанные с изучением условий возбуждения, распространения и приема акустических волн в пьезоэлектрических средах при помощи встречно-штыревых преобразователей. Наиболее последовательная теория поверхностных акустических волн в пьезоактивных средах изложена в монографии [22].

Использование в технических устройствах пьезоэлектрических элементов различного назначения в виде тонкостенных оболочек и пластин открывает возможность и обуславливает необходимость создания приближенных методов расчета электроупругих полей, которые бы учитывали их тонкостенность. Используя эту возможность, рядом авторов были предложены различные приближенные методы расчета электроупругих полей в пьезооболочках и пластинах. Одним из наиболее широко используемых подходов, лежащим в основе построения различных вариантов теории оболочек, является подход, основой которого является принятие ряда обоснованных упрощающих предположений, позволяющих свести трехмерные уравнения пьезоэлектричества к двумерной задаче теории оболочек. Такими предположениями в теории непьезоактивных оболочек являются известные гипотезы Кирхгофа-Лява [23]. .Бдя достаточно широкого класса материалов и нагрузок результаты расчетов по теории оболочек, основанной на указанных гипотезах, хорошо согласуются с эксперименталь-нвми данными. Поэтому естественным является привлечение этих гипотез и для построения теории пьезокерамических оболочек. Однако в случае пьезоактивных оболочек задача усложняется наличием существенной связи между механическими и электрическими полями. В частности, эта связь проявляется в том, что при определенных условиях электрические поля создают дополнительные механические деформации сдвига, пренебрежение которыми может приводить к существенным погрешностям и поэтому возникает необходимость в построении таких вариантов теории оболочек, которые учитывали бы эту специфическую особенность оболочки из пьезокерамики. Простейшая возможность учета дополнительных сдвигов, состоящая во введении дополнительного слагаемого в кинематические соотношения типа Кирхгофа, предложена в работах [24,25]. Кинематические соотношения типа С.П.Тимошенко использовались душ учета сдвигов при осесимметричной деформации пьезокерамических оболочек вращения в работах [26,27]. Уравнения обобщенной теории пьезоэлектрических оболочек с анизотропией общего вида предложены н работе [28] на основе разложения искомых характеристик сопряженного электроупругого поля в ряды по полиномам Лежандра, а в [29] на основе обобщения вариационно-асимптотического метода В.Л.Берди-чевского [зо], получены определяющие соотношения для неэлектро-дированных пьезооболочек, которые в частном случае поляризованной по толщине оболочки совпали с соотношениями, полученными в работе [31]. Пьезокерамические оболочки с различным направлением поляризации и расположением электродов рассматривались в [32-34] с позиций асимптотического анализа трехмерных уравнений электроупругости. Полученные в этих работах результаты также подтверждают принятые в [24,25,31] дополнительные гипотезы душ электрических полей. В частности, отметим следующий результат, полученный в [34]для оболочки, поляризованной вдоль одной из координат срединной поверхности. Оказывается, что с точностью, соответствующей классической теории оболочек, разрешающая система уравнений душ оболочек с электродированными поверхностями Ъ - ± (5/2 имеет восьмой порядок и по виду аналогична обычной теории оболочек [23]. Для случая, когда электроды на указанных поверхностях отсутствуют и оболочка граничит с вакуумом, разре-шавдая система, содержащая механические и электрические величины, имеет десятый порядок. Разрешающие системы уравнений восьмого порядка присущи также и вариантам теории оболочек, предложенных в работах [25,33] для оболочек с электродированными поверхностями. Различный порядок разрешающих систем уравнений для электродированных и неэлектродированных оболочек не позволяет использовать результаты указанных работ для оболочек с частично электродированными поверхностями, поскольку неясна формулировка условий сопряжения для электроупрутих полей при переходе из электродированного участка оболочки в неэлектродированный. В связи с этим практически важный вопрос расчета электроупругих полей некоторых электромеханических преобразователей (например, пьезотрансформаторов поперечно-продольного типа, рис. 0.1.в) остается открытии.

Большое практическое применение в различных технических устройствах находят многослойные пьезоэлементы. Нацример, упомянутый выше вибратор Ланжевена, представляет собой круглый трехслойный диск, внешние слои которого изготовляются из непьезоак-тивного материала (например, стали), а центральный слой - из пьезоактивного (обычно поляризованная по толщине керамика). При разработке низкочастотных пьезоприемников давления используются конструкции, состоящие из упругой и наклееной на неё пьезокерами-ческой пластины, причем размер последней может быть меньше упругой. Часто к использованию многослойных пьезоактивных элементов прибегают в связи с потребностями повышения прочности, для чего используют пассивные упругие слои. Кроме этого, использование многослойных пьезоэлементов с электродироваиными слоями позволяет уцравлять амплитудой колебаний таких элементов. В связи с этим безусловный практический интерес представляет создание приближенных методов расчета электроупругих полей в указанных элементах. Общая теория многослойных элементов с упругими и пьезо-активными слоями до недавнего времени разрабатывалась слабо, а имеющиеся в литературе данные, относящиеся к исследованию электроупругих полей в многослойных элементах, касались или частных задач [35-38] , или относились к рассмотрению слоистых пластин [39-42]. Необходимо отметить работу [43], появившуюся лишь в последнее время, в которой представлены основные соотношения теории электровязкоупругих многослойных оболочек конечного прогиба, полученные на основе использования гипотез Кирхгофа-Лява для механических полей и гипотез для электрических полей, которые ранее предлагались в работе [44].

Важный в практическом отношении класс пьезоэлементов составляют пьезоактивные пластины и оболочки переменной толщины. Использование таких элементов в реально существующих конструкциях открывает дополнительные возможности, связанные с уменьшением их габаритов и веса при сохранении необходимых технических характеристик. Анализ электроупрутих полей кварцевого резонатора в форме двояковыпуклой линзы и диска с фасками выполнен в работе [45] на основе изотропного приближения и метода конечных разностей. Установившиеся колебания пьезокерамической пластины с толщинной поляризацией и линейно-переменной толщиной вдоль одной координаты изучались в работе [4б] в рамках гипотез обобщенного напряженного состояния, а поляризованный вдоль оси стержень линейно переменной толщины был изучен в [47]. Общая теория расчета электроупругих полей в пьезоэлектрических цреобразователях типа тонкостенных оболочек и пластин переменной толщины в литературе, по-видимому, отсутствует.

Широкое использование пьезоэлектрических пластин привело к тому, что специально для них были развиты приближенные методы расчета. Одними из первых в этой области были работы [48-51]¥ В дальнейшем теория пьезоэлектрических пластин предлагалась в работах [б4-5б]. Важными в теоретическом и практическом плане являются исследования электроупругих полей в пьезоэлектрических пластинах, выполненные в [б7-61] на основе асимптотического анализа статических и динамических уравнений электроупругости, а также работы [б2,бз]. В указанных работах, в частности, отмечается возможность построения прикладных теорий пластин, основанных на предположениях классической теории пластин и ведущих к значительно более простым зависимостям, с помощью которых можно определять характеристики пьезоэлементов указанной формы.

Необходимо отметить следующее обстоятельство, использовавшееся при построении различных вариантов теорий пьезокерамических оболочек, основанных на некоторых гипотезах. Принимая гипотезы Кирхгофа-Лява для механических полей, авторы используют различ Принятые в [50,51] гипотезы относительно поведения тангенциальных составляющих напряженности электрического поля по толщине пластины не получили в дальнейшем подтверждения в работах [52,53"], в которых анализ электроупругих полей в пластинах был проведен асимптотическим методом. ные гипотезы для электрических полей, в связи с чем разрешающие системы уравнений различных вариантов теорий оболочек отличаются один от другого. Принятие гипотез Кирхгофа-Лява, как известно, вносит определенные погрешности, порядок которых для упругих оболочек обсуждался в работах ¡30,64,65]. В оболочках из пьезо-активных материалов механические и электрические поля взаимосвязаны и, следовательно, принятие указанных гипотез связано с некоторыми погрешностями. Естественным поэтому является отказ от построения точного решения уравнения электростатики и принятие таких гипотез для электрических полей, которые бы соответствовали принятым механическим. Именно такой подход развивался в упоминавшейся работе [31], где было показано соответствие электрических и механических гипотез. Друтими авторами подобные исследования не проводились и, следовательно, погрешности предложенных ими теорий и области их применения остались невыясненными. Нередко произвол в выборе гипотез для электрического поля приводил к неверным результатам. Так, в работе [27] на примере цилиндрической оболочки из пьезокерамшш показано, что использовавшееся в [66,67] предположение о постоянстве нормальной составляющей напряженности электрического поля приводит к большим погрешностям в том случае, когда деформации оболочки сопровождаются изгибом. Аналогичное предположение использовалось в работе [36] и привело к значительному расхождению теоретических и экспериментальных данных, представленных в [бв]. Указанный недостаток присущ также работе [42], в связи с чем применение результатов этой работы становится сомнительным,по крайней мере>для случая, указанного в [27].

Таким образом, из изложенного выше вытекает необходимость построения такой модели пьезокерамических оболочек, которая при использовании минимального числа гипотез позволяла бы изучать поведение пьезоэлементов из поляризованной керамики для различного расположения электродов и направления поляризации. Построению такой теории, основанной на принятии гипотез только для механических полей, посвящены вторая и третья главы диссертации.

Применяемые в диссертации гипотезы для механических полей ранее широко использовались при построении теорий анизотропных непьезоактивных оболочек, представленных в монографиях [б9,7о] и ряде журнальных статей. Одна из этих гипотез состоит в возможности аппроксимации сдвиговых напряжений 6* , 6Г заданными функциями толщинной координаты. В этих же работах, а также в [71,72] обсуждается вопрос выбора указанных функций. В частности, в [72] представлен анализ полученного в [73] точного решения задачи изгиба ортотропной прямоугольной пластины и проведено его сравнение с решениями на основе приближенных подходов при различном выборе функций, апцроксимирующих распределение сдвиговых напряжений по толщине пластины. Представленные сравнительные данные [72] показывают, что удовлетворительная точность приближенного решения соответствует выбору аппроксимирующих функций в виде квадратной параболы по толщинной координате пластины.

Учет сдвиговых напряжений в ряде случаев необходим при исследовании механических полей в анизотропных оболочках и пластинах. В частном случае трансверсально изотропной оболочки или пластины с осью анизотропии перпендикулярной срединной поверхности теории типа Лява вовсе не учитывают анизотропию материала, в то время как подход O.A. Амбарцумяна [б9,70] и других теорий типа С.П. Тимошенко позволяет проследить влияние анизотропии на основные расчетные зависимости. В частности, дал податливых на сдвиг материалов применение теории типа Лява может приводить к значительным погрешностям в определении прогиба и других величин [б9,70]. Что касается динамических задач теории оболочек и пластин, то учет сдвиговых деформаций в ряде случаев приводит к более точным результатам, чем теории типа Лява. Имеющиеся в литературе данные, посвященные сравнительному анализу влияния сдвигов на собственные частоты поперечных колебаний, показывают, что влияние сдвигов становится пренебрежимо малым для относительно тонких оболочек и пластин при определении низших частот и существенным при определении более высоких частот колебаний, а также для относительно толстых оболочек и пластин при низших частотах колебаний [74-7б].

Принятие гипотез для механических полей [б9,70] позволяет упростить определяющие соотношения теории пьезоэлектричества и уравнение для определения потенциала электрического поля. В диссертации для определения потенциала электрического поля используется предложенный Лурье [77] метод символического интегрирования, позволивший эффективно в символической форме определить решение трехмерного уравнения электростатики, а затем из граничных условий на лицевых поверхностях оболочки получить приближенные уравнения электростатики для тонких оболочек. Ранее этот метод эффективно применялся в задачах термоупрутости тонких оболочек и теории теплопроводности в работах [78-8о].

В теории пьезокерамических оболочек метод Лурье применялся в работах [в1-84], выполненных диссертантом под научным руководством д.ф.-м.н.,проф. В.З.Партона, а также в работе [вб].

Касаясь принятого в диссертации обозначения величин, характеризующих свойства материала оболочки и электроупругие поля, заметим, что в основном эти обозначения соответствуют принятым в работах [16,86-88]. В каждой главе формулы имеют самостоятельную нумерацию, в которой первая цифра указывает номер параграфа, а вторая - номер формулы в данном параграфе. В случае упоминания в тексте формул из других глав впереди номера формулы ставится номер главы, из которой взята формула. Аналогичная нумерация формул сохранена в приложениях и относится к нумерации параграфов.

Автор выражает глубокую признательность д.ф.-м.н.,проф. В.З.Партону за научное руководство работой и д.ф.-м.н.,доц. Б.А.Кудрявцеву за обсуждение изложенных в диссертации результатов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. В рамках линейной теории электроупругости получено решение плоской задачи для поляризованной по толщине пьезокерамичес-кой полосы с периодической системой электродов на поверхностях, находящейся в контакте с невесомым анизотропным диэлектрическим пространством. Изучено влияние схем подключения электродов и диэлектрических свойств внешней среды на распределение электроупругих полей в полосе. Показано, что у краев электрода возникают растягивающие напряжения, имеющие корневую особенность.

Решение указанной задачи использовалось в качестве тестового для оценки точности результатов, полученных на основе предложенных в диссертации моделей пьезооболочек и пластин.

2. С учетом сдвиговых деформаций построены модели, описывающие электроупругие поля пьезокерамических оболочек и пластин с различными направлениями вектора предварительной поляризации и способами расположения электродов. Сравнение точного и приближенного решений задачи электроупругости для полосы с периодической системой электродов на поверхностях показывает, что предложенная модель удовлетворительно описывает электроуггругие поля в полосе везде, за исключением малой области в окрестности края электрода (здесь имеет место лишь качественное согласие). Исследовано влияние сдвигов на собственные частоты поперечных колебаний поляризованной по толщине шарнирно закрепленной полосы и показано, что влияние сдвигов становится существенным при определении высших частот колебаний для относительно тонкой и низших для относительно толстой полосы. Предложенные модели рекомендуется использовать при анализе электроупругих полей оболочек и пластин с частично электродированными лицевыми поверхностями.

3. На основе аналога гипотез Кирхгофа~Лява построены модели, описывающие электроуцругие поля пьезокерамических оболочек и пластин с различными нацравлениями вектора предварительной поляризации и способами расположения электродов. Проанализировано влияние сдвигов, обусловленных пьезоэффектом, и установлен приближенный характер расцределения потенциала электрического поля по толщине оболочки, следующий из решения уравнения электростатики, что позволило определить достоверность гипотез для электрических полей, предложенных рядом авторов. Показано, что для поляризованных по толщине оболочек с электродированными лицевыми поверхностями (задача А1) и для оболочек, поляризованных в направлении одной из координат срединной поверхности, с неэлектродиро-ванными лицевыми поверхностями (задача Б2), распределения тангенциальных смещений линейны по толщине и имеют обычный в теории оболочек вид. Обоснована необходимость учета сдвигов, возникающих вследствие пьезоэффекта, для поляризованных по толщине оболочек с неэлектродированными лицевыми поверхностями (задача Б1) и оболочек, поляризованных вдоль одной из координат срединной поверхности оболочки, с электродированными лицевыми поверхностями (задача А2). В задачах Б1 и А2 распределение тангенциальных смещений линейно по толщине и отличается от задач А1 и Б2 наличием дополнительных слагаемых, пропорциональных сдвиговому пьезомодулю <£15. Указаны случаи, когда эти дополнительные слагаемые играют основную роль. В частности, на примере поляризованной по толщине полуполосы (задача Б1) показана возможность возбуждения в ней поперечных колебаний при помощи системы электродов на торце. Такой способ возбуждения колебаний указан впервые и должен найти приложения в различных областях техники.

Построенные модели пьезоэлектрических оболочек и пластин, основанные на аналоге гипотез Кирхгофа-Лява, рекомендуется использовать для расчета электроупругих полей пьезокерамических оболочек и пластин с полностью электродированными или безэлектродными лицевыми поверхностями.

4. Предложена модель расчета электроупругих полей многослойных пьезокерамических оболочек и пластин регулярной структуры с поляризованными по толщине слоями, основанная на гипотезе прямой нормали для всего пакета в целом. На основе этой модели рассмотрены установившиеся пленарные колебания трехслойного диска с крайними упругими и центральным пьезоактивным слоями. Для композиции "сталь-титанат бария-сталь" представлен расчет первой собственной частоты в зависимости от отношения толщин слоев. Сравнение полученных расчетных данных с имеющимися в литературе экспериментами показывает удовлетворительную согласованность вплоть до отношения суммарной толщины пакета к его диаметру равному я 0,3 и любого отношения толщин слоев.

Предложенная модель находит экспериментальное подтверждение при определении основной частоты поперечных колебаний однослойной цилиндрической оболочки с радиальным направлением поляризации и жестко заделанными торцами.

На примере статического изгиба двухслойной круглой пьезокера-мической пластины (биморфа) показано, что при наличии изгибных деформаций априорное предположение о линейном распределении потенциала электрического поля по толщине слоя приводит к существенным погрешностям в определении механических напряжений. Этот вывод согласуется с имеющимися в литературе данными, относящимися к поляризованной по радиусу однослойной цилиндрической оболочке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Ерофеев A.A. Пьезоэлектронные устройства автоматики. Л. :Ма-шиностроение, 1982. 210 с.

2. Трофимов А.И. Пьезоэлектрические цреобразователи статических нагрузок. М.¡Машиностроение, 1979. 95 с.

3. Вишневский B.C., Карташев И.А., Лавриненко В.В. Эквивалентные схемы пьезоэлектрических двигателей. В кн.: Вестник КПИ. Киев: КПИ, 1976, В 13, с. 56-61 (сер. Радиоэлектроника).

4. Кудрявцев Б.А. Электроупругое состояние полуплоскости из пье-зокерамики с двумя граничными электродами. Пробл. прочности, 1982, $ 7, с. 56-59.

5. Партон В.З. Об одной задаче электроупрутости. В сб. Механика тверд, деформ. тела и родственные проблемы анализа. М. Изд-во Моск. ин-та хим. машиностроения, 1980, с. 3-13.

6. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Ракитин В.И. Механика разрушения пьезоэлектрических материалов. Прямолинейная туннельная трещина на границе с проводником. Прикл. матем. и мех., 1975, 39, Л I, с. 149-159.

7. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Ракитин В.И. Механика разрушения пьезоэлектрических материалов. Осесимметричная трещина на границе с проводником. Приют, матем. и мех., 1975, 39, JS 2,с. 352-362.

8. Половинкина И.Б., Улитко А.Ф. К теории равновесия пьезокерами-ческих тел с трещинами. В сб. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вщ1. 18, Киев: Наукова думка, 1978, с. 10-17

9. Белокопытова Л.В., Фильштинский Л.А. Двумерная краевая задача электроупругости для пьезоэлектрической среды с разрезами. -Прикл. матем. и мех., 1979, 43, .& I, с. 138-142.

10. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сферы. В сб.: Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. II, Киев: Наукова думка, 1971, с. I2I-I26.

11. Борисейко В.А. Связанные электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сферы в сжимаемой жидкости. В сб. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. 12, Киев: Наукова думка, 1972, с. III-II5.

12. Лазуткин В.Н. Колебания полого пьезокерамического шара. -Акуст. ж., 1971, 17, 4, с. 588-592.

13. Кортнев A.B., Дюбченко М.Е. Расчет полых и заполненных сферических пьезокерамических преобразователей. Дальневосточный акуст. сборник (межвузовский). Вып. 4. Владивосток, 1979,с. 62-69.

14. Коломиец Г.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания толстостенных пьезокерамических цилиндров. В сб. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. 9. Киев: Наукова думка, 1970, с. 5-12.

15. Лазуткин В.Н., Цыганов Ю.В. Аксиально симметричные колебания и электрический импеданс пьезокерамических колец с радиальной поляризацией. Акуст. ж., 1971, 17, 3 , с. 394-399.

16. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезо-магнитные материалы и их применение в преобразователях. В кн.: Методы и приборы ультразвуковых исследований, т. I,ч. А / Под ред.;, У.Мэзона. М.:Мир, 1966, с. 204-326.

17. Бречко В.В., Никитенко В.Н. О динамическом коэффициенте электромеханический связи составного металло-керамического цилиндра. Вторая укр. респ. конференция молодых ученых помеханике. Киев 1979. Киев: Наукова думка, 1979, с. 35-38.

18. Сеник H.A. Расчет секционированного пьезостержня. В сб. Совершенствование конструкций машин и аппаратов химических производств. М.: Моск. ин-т хим. машиностроения, 1983,с. 11-15.

19. Вовкодав И.Ф., Улитко А.Ф. Вовкод в Д.П., Ультко А.Т. Радьальнь коливання тонкое п'езокерам L4hoV пластини. -Допов1д1 АН УПСР, 1973, А , 9, с. 830-834.

20. Карлаш В.Л. Исследование несимметричных колебаний поляризованных по толщине пьезокерамических колец. Прикл. механика, 1978, 14, 12, с. 88-94.

21. Карлаш В.Л. Радиальные колебания круглых пьезокерамических пластин с разомкнутыми электродами. Прикл. механика, 1981, 17, 9, с. 83-87.

22. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезо1фИсталлах. Новосибирск: Наука, 1982. 299 с.

23. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л. :Судпромгиз, 1951, 344 с.

24. Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Улитко А.Ф. Соотношения электроуцрутости пьезокерамических оболочек вращения, поляризованных вдоль меридиональной координаты. Прикл. механика, 1979, 15, 12, с. 36-42.

25. Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Улитко А.Ф. Соотношения электроупрутости пьезокерамических оболочек, поляризованных вдоль одной из координатных линий. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. 20. Киев:Наукова думка, 1980, с. 3-6.

26. Гололобов В.И. Осесимметричные гармонические колебания пье-зокерамических оболочек вращения. Прикл. механика, 1982, 18, № 12, с. II5-II8.

27. ЬгшЛеЫлЯ J>.S. KdnùnS d. J)tf»aMÙ> ¿КеМ UwyсллхшлЛсЛ. D.&mwsI. Soc. (Ьшъ, 191-0, Al, S^ p. 1343-1353.

28. Хома И.Ю. Об уравнениях обобщенной теории пьезокерамических оболочек. Прикл. механика, 1981, 17, 2 ,с. II5-II8.

29. Ле Хань Чау. Основные соотношения теории пьезокерамических оболочек. Вестник МГУ, Maтем. и мех., 1982, 6, с. 77-80.

30. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики. М. : Наука, 1983.

31. Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических оболочек. Maтем. физика. Вып. 21. Киев:Наукова думка, 1977, с. 71-76.

32. Рогачева H.H. Соотношения электроуцругости для свободных пьезокерамических оболочек. Изв. АН СССР, МТТ, 1980, 6, с. 134-140.

33. Рогачева H.H. Уточненная теория пьезокерамических оболочек. Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1981, I I, с. 55-63.

34. Рогачева H.H. Уравнения состояния пьезокерамических оболочек. Прикл. матем. и мех. 1981, 45, 5, с. 902-911.

35. Браилов Э.С., Вассергисер М.Е. Оценка характеристик дискового биморфного пьезоэлемента, совершающего изгибные колебания. Акуст. ж., 1980, 26, 4, с. 590-595.

36. Бережков С.С., Кулиев Ю.Н., Конопкин В.Ф., Подобед B.C., Павлов А.Д. О расчете пьезокерамических приемников давления пластинчатого типа. Электронная техника, Сер. 9. Радиокомпоненты, 1971, 6, с. I3I-I37.

37. Cli/w<5"iopfi fcuUioruu.jjzi' piezoe&'cirisctf&bteAnJc, f. 3(М-зог.

38. P'Uiiet S. (ladfiuJU"^ ilusf&'ltuAfL't' fitioeßbotru^cii-zbLtjtfLAWFeüA^^i^wk

39. Партон B.3., Кудрявцев Б.А. Уравнения изгиба трехслойных пьезокерамических пластин. Тр. Моск. ин-та хим. машиностроения, 1975, вып. 65. М., 1975, с. 3-15.

40. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Об установившихся колебаниях в электроупругости. В кн. Современные проблемы механики и авивации. М.¡Машиностроение, 1982, с. 159-172.

41. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит. ПММ, 1979, 43, 5, с. 921-932.

42. QdxZiMM л/vT. ? Sbxvski Fhtuwi ~exiaotioujdekai/Со<ь oi cou^fo^-te, р^*оеЫ>Цс, diuutvu уЬ&ъЛ-tLftmnt iff«. ftuAHt^ /9*0 3; p.

43. Карнаухов В.Г., Киричок Й.Ф., Новикова A.M. Геометрически нелинейная теория вязко-упругих многослойных пьезокерамичес-ких пластин и оболочек. Прикл. механика, 1983, 19, 10,с. 71-77.

44. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Осесимметричные колебания тонкой пьезокерамической сферической оболочки. Прикл. механика, 1974, 10,10, с. 3-10.

45. Веселов Г.И., Постников И.И., Самойлов B.C. К расчету пьезо-элементов высокочастотных кварцевых резонаторов. Радиотехн. и электроника, 1981, 26, 12, с. 2531-2539.

46. Белоконь A.B., Вовк Л.П. Об установившихся колебаниях электроупругой пластины переменной толщины. Прикл. механика, 1982, 18, 5, с. 93-97.

47. Алексеев Б.Н., Дианов Д.Б., Карузо С.П. Стержневой преобразователь конической формы. В сб. Вопросы судостроения, сер. Общетехническая, вып. 31, 1978, ЦНИИ "£умбп, с. 39-47.

48. ТioitfleM, H.F. ^шжъ j>ie^rv>€^exit¿c< pWe^ VUIOÍlb^la. ÍÜumvA <4 U& tUotj bt fiiho4U bi ^ое&АШС jkk*. fl.tf fWtn

49. O. Hc-j! V¿tn¿tcou.'3 f¿t&-0 -djutknX*. <2S14¿{clI tut- D. SihsLb Ouud

50. Вековшцева И.А. Теория изгиба тонких пьезоэлектрических пластин. Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1972, 25, 4, с. 30-39.

51. Вековшцева И.А. Теория изгиба тонких пьезоэлектрических пластин. Вывод естественных щэаевых условий. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1974, 6, с. I08-II3.

52. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н. Электроупрутое равновесие тонкого анизотропного слоя, с учетом пьезоэлектрических эффектов. Прикл. матем. и мех., 1978, 42, 4, с. 731-736.

53. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н. Асимптотический анализ электроупругого состояния тонкого пьезоэлектрического слоя. Прикл. механика, 1978, 14, 5, с. 3-8.

54. Bu.jj0Í4ijú V. OÍ ítyO <h¿)MSMbÍQ\AAÍ ¿ЪЧ,j(oAjtSlb ¿Ib \WJL$(bl<¿Cü.í

55. WII. üpp^Wis.- luí. 3. So&dU «síW./w, n,1, uii-aoi.

56. Bu-tjckujú л/., Р. Ь. ít íwo МлишъСомй ion, fiiío-ttufci¿c ¿üjftt-d tíW ut bíubvc- MLCIILLUCAÍ ,fitail. Deoli/eiton. Ut Д Afok f /Ш,f. И59-ИТ-?.

57. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Об установившихся колебаниях в электроупругости. В кн. Современные цроблемы механики и авиации. М.:Машиностроение, 1982, с. 159-172.

58. Ложкин В.Н. Динамика пьезонристаллических пластин. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1980, 33, 2, с. 47-54.

59. Ложкин В.Н. Электроупругое состояние пьезокристаллического полуслоя. Матем. физика. Вып. 29. Киев:Наукова думка, 1981, с. 91-95.

60. Ложкин В.Н. Низкочастотные колебания пьезокристаллических пластин. Прикл. механика, 1981, 17, 7, с. 89-93.

61. Ложкин В.Н. Электроупругое равновесие тонкого кристаллического полуслоя с электродированными плоскими гранями. Теор. и прикл. механика. Киев-Донецк, Выща школа, Головное изд-во, 1981, вып. 12, с. 42-47.

62. Ложкин В.Н. Асимптотический анализ установившихся колебаний тонких пьезонристаллических пластин. Матем. физика, вып. 31. Киев:Наукова думка, 1982, с. 92-95.

63. Жиров В.Е. Электроуцрутое равновесие пьезокерамической плиты. Прикл. матем. и мех., 1977, 41, 6, с.

64. Жиров В.Е., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. 17. КиевгНаукова думка, с. 62-67.

65. Новожилов B.B., Финкелыптейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек. Прикл. матем. и мех., 1943, 7, 5, с. 331-340.

66. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 512 с.

67. HadUicd J.F., Watsl VdvLtio* ¡4vvoilt -^ъшЫь^е/ Ctettofiß. 3. ftwtni. Äc.iWu 13, f. m-134.

68. WCC<*£UA, Q.E. ViiißiiG*' <0$ ßoM^utiиймИЦ ^olanl^tsL At. awe^., /КЗ}is,rsio-szo.

69. Кулиев Ю.Н., Зацарипный В.П., Конопкин В.Ф., Бычков Л.И., Ротарь И.Ф., Подобед B.C., Пашков Д.П., Аконьян В.А. Пьезо-приемники давления. Изд-во Ростовского ун-та, 1976, 152 с.

70. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.:Физматгиз, 1961. 384 с.

71. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука. 448 с.

72. Пикуль В.В. Общая техническая теория тонких упругих пластин и пологих оболочек. М.:Наука, 1977. 152 с.

73. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М.:Изд-во МГУ, 1975. 526 с.

74. Тарнопольский Ю.М., Розе A.B. Особенности расчета деталей из армированных пластиков. Рига.:Зинатне, 1969, с.

75. ЗдеорукН.И., Горинь В.Ф. Исследование влияния поперечного сдвига на собственные частоты колебаний оболочек вращения. Матем. методы и физико-мех. поля. Вып. 15, Киев: Наукова думка, 1982, с. 95-97.

76. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М. :Наука, 1967. 444 с.

77. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Колебания пластинок. В кн. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник, т. 3. М.: Машиностроение, 1968, с. 370-417.

78. Лурье А.И. К теории толстых плит. Прикл. матем. и мех., 1942, 6, с. I5I-I68.

79. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупрутость тонких оболочек. Киев:Наукова думка, 1978. 344 с.

80. Подстригач Я.С. О применении операторного метода к выводу основных соотношений теории теплопроводности тонкостенных элементов и составных конструкций. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. 5. Киев:Наукова думка, 1965, с. 24-35.

81. Гембара В.М. Уравнения теплопроводности пластин и оболочек переменной толщины. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. 3. Киев:Наукова думка, 1963, с. 9-18.

82. Партон В.З., Сеник H.A. О применении метода символического интегрирования в теории пьезокерамических оболочек. Прикл. матем. и мех., 1983, 47, 2, с. 257-262.

83. Партон В.З., Сеник H.A. Соотношения электроупрутости для многослойных пьезокерамических оболочек с толщинной поляризацией слоев. Изв. АН СССР, МТТ, 1983, 3, с. 124-129.

84. Сеник H.A. Основные соотношения для пьезооболочек переменной жесткости. Пробл. прочности, 1983, JS 4, с. 23-26.

85. Сеник H.A. Приближенный анализ электроуцрутих полей в частично электродированной пьезополосе. Концентрация напряжений. Республиканский симпозиум. Донецк, 31 мая - 2 июня 1983. Тезисы докладов. Донецк, 1983, с. 104-105.

86. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Сеник H.A. Соотношения электроупругости для пьезокерамических пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Физико-химическая механика материалов, 1984, № I, с. 3-10.

87. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел. Тепловые нацряж. в элементах конструкций. Вып. 15. Киев: Науко-ва думка, 1975, с. 90-99.

88. Улитко А.Ф. О некоторых особенностях постановки граничных задач электроупругости. В кн. Современные цроблемы механики и авиации. М.Машиностроение, 1982, с. 290-300.

89. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков. М. :Наука, 1968. 464 с.

90. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М. :Изд-во Московского университета, 1978.

91. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.:Наука, 1976. 614 с.

92. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интезтралов, суш, рядов и произведений. М.:Физматгиз, 1963.92. knteicuv F. О-^ыЦСиллкь 6>/iW)ilJ р. №<-<0S3.

93. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.:Мир, 1980. 608 с.iMeA j к, k} tH.

94. Власов В.З. Избранные труды. Том I. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 528 с.

95. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 356 с.

96. Найфэ А. Методы возмущений. М. :Мир, 1976. 456 с.

97. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Московский университет, 1982. 296 с.

98. Kft/jawÄ, Уаил«Jtt, Т. Fiuilts e(tu*Lut арръоасДfot, а ptiwe&ji'üc, С0ъслау(А^1У ъо1. Г£ЕЕ Зон. UÜmion^ mk} 8U

99. Сеник H.A., Кудрявцев Б.А. Уравнения теории пьезокерамических оболочек. В сб. Механика тверд, деформ. тела и родственные проблемы анализа. М.: Моск. ин-т хим. машиностроения, 1980, с. 70-76.

100. Сибаяма К. Пъезокерамические преобразователи в виде коротких стержней. В кн. Ультразвуковые преобразователи / Под ред. Е.Кикучи. М.:Мир, 1972, с. 309-352.

101. Фильштинский Л.А., Хижняк Л.А. Реакция пьезокерамической оболочки на сосредоточенные воздействия. Прикл. матем. и мех., 1983, 47, 3, с. 478-482.