Нестационарная механика электроупругих полей в анизотропных пьезокерамических телах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ШЛЯХИН ДМИТРИЙ АВЕРКИЕВИЧ

НЕСТАЦИОНАРНАЯ МЕХАНИКА ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ПОЛЕЙ В АНИЗОТРОПНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ТЕЛАХ

Специальность: 01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

31 ОКТ 2013

005536391

Самара - 2013

005536391

Работа выполнена на кафедре «Сопротивления материалов и строительной механики» ФГБОУ ВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный консультант: — заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Сеницкий Юрий Эдуардович Официальные оппоненты: - заслуженный деятель науки и техники РФ,

доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Строительная механика» ФГБОУ ВПО «Волгоградского государственного архитектурно—строительного университета» Игнатьев Владимир Александрович;

- заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор кафедры «ТСТ» ФГБОУ ВПО «Саратовского государственного технического университета» Овчинников Игорь Георгиевич;

- доктор физ - мат. наук, профессор, зав. кафедрой «ПМиИ» ФГБОУ ВПО «Самарского государственного технического университета» Радченко Владимир Павлович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Пермский национальный

исследовательский политехнический университет»

Защита диссертации состоится 23 декабря 2013 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.217.02 ФГБОУ ВПО «Самарский государственный техни ческий университет» по адресу: 443010, г. Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд 33.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим на правлять по адресу: Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244, Главный кор пус, на имя ученого секретаря диссертационного совета Д 212.217.02.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного тех нического университета по адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18, корп. №1.

Автореферат разослан ^ / , / 0 2013 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.217.02

Денисенко А.Ф

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При создании современных приборов и конструкций наряду с традиционными материалами используются среды, в которых механические процессы тесно связаны с физическими явлениями другой природы. В настоящее время большое практическое применение получили пьезоэлектрические системы, работающие на эффекте связанности электроупругих полей напряжений. Возможность создания искусственных керамических материалов, обладающих данными свойствами и имеющих ряд преимуществ по сравнению с естественными кристаллами, привело к широкому использованию пьезокерами-ки с наведенной поляризацией при конструировании преобразующих элементов различного назначения. В частности, такие тела находят свое применение в машиностроении, ультра- и гидроакустике, приборостроении, радиоэлектронике, в различных управляющих устройствах.

Наиболее распространенными конструктивными элементами пьезокерамиче-ских преобразователей являются тела канонической формы в виде толстостенных и сплошных цилиндров конечных размеров, а также круглых толстых и тонких пластин при различной поляризации материала. Для описания их работы в реальных условиях и расширения функциональных возможностей возникает необходимость углубленного анализа нестационарных процессов, без которого невозможно понять эффект взаимодействия механических и электрических полей напряжений.

Исследования в данном направлении опираются на фундаментальные труды В. Фойгта, заложившего основы линейной теории пьезоэлектричества. В современном изложении механика связанных электроупругих полей представлена в работах У. Мэзона, Д. Берлинкура, Л.Д. Ландау, Ю.В. Новожилова, Ж. Можена, В.З. Партона, Б.А. Кудрявцева, В. Новацкого, Ю.А. Устинова, Дж. Барроута, Ю.В. Соколкина, A.A. Панькова и др. Теоретические исследования известных ученых В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, H.A. Шульги посвящены определению частот и форм собственных колебаний пьезокерамических цилиндров методом разложения по базисным функциям. Большой вклад в разработку прикладных теорий для тонких электроупругих пластин и оболочек внесли Н.Т. Адельман, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, Т.Н. Вовкодав, Н.Ф. Ивина, В.Л. Карлаш, В.В. Мелешко, Р.Д. Миндлин, H.A. Сенник, Ю. Ставски, М.Л. Фильштинский и другие.

Однако, несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных анализу электроупругих процессов в пьезокерамических телах, можно отметить, что существующие методы расчета на нестационарные воздействия далеко не совершенны и большинство из них являются приближенными. При этом значительная часть работ связана с исследованием тел с вырожденной геометрией и

одномерным распределением электроупругого поля, а также с приведением динамических задач к квазистатическим. С другой стороны, проведение натурных экспериментов представляет собой сложную и трудоемкую задачу, связанную с большими затратами времени и материальных ресурсов.

В связи с этим на первый план выходят методы, позволяющие получить замкнутые решения нестационарных начально-краевых задач теории электроупругости для тел конечных размеров в трехмерной постановке. С их помощью появляется возможность проведения качественной и количественной оценки связанности электромеханических полей напряжений в пьезокерамических элементах конструкций. Данный подход позволяет получить точные, в рамках используемых моделей, расчетные соотношения в наиболее общем виде, а также алгоритмизировать и автоматизировать проводимые исследования. Кроме того, аналитические методы расчета дают возможность нахождения новых закономерностей при анализе полученных результатов, что существенно повышает теоретический уровень инженерных расчетов.

Таким образом, разработка эффективных аналитических методов и алгоритмов расчета электроупругих систем, испытывающих произвольное нестационарное силовое и электрическое воздействие, выявление новых связей между характером внешнего воздействия и процессом деформирования пьезокерамических элементов конструкций, представляет в настоящее время одну из актуальных проблем современной науки в области механики деформируемого твердого тела.

Целью диссертационной работы является разработка нового теоретического подхода к решению проблемы динамического расчета анизотропных пьезокерамических тел конечных размеров при действии электромеханической нагрузки, а также проведение качественного и количественного анализа электроупругих процессов в исследуемых системах.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и построены новые решения связанных начально-краевых задач теории электроупругости для цилиндров и дисков при различной поляризации материала, а также исследовано напряженно-деформированное состояние биморфных элементов в рамках прикладной теории для тонких пластин.

Методы исследований. Для решения поставленных линейных динамических задач используется наиболее эффективный аппарат аналитического исследования в виде обобщенного метода конечных интегральных преобразований, позволяющий строить замкнутые решения при наиболее общих условиях загружения и закрепления пьезокерамических тел.

Научная новизна работы состоит в создании нового подхода, позволяющего с помощью базовых расчетных соотношений описать работу типовых элементов пьезокерамических преобразователей резонансного и нерезонансного классов. Данное направление, в отличие от существующих методик расчета, дает воз-

можносхь получать точные решения связанных динамических задач теории электроупругости, позволяющие научно обосновать конструктивные решения проектируемых приборов.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан метод расчета и построены новые замкнутые решения связанных динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при аксиальной и окружной поляризации материала;

2. Разработан и реализован новый алгоритм расчета вынужденных осесимметричных изгибных колебаний сплошной толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины;

3. Построены новые замкнутые аналитические решения связанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффекта для пьезоке-рамического бесконечно длинного цилиндра при радиальной поляризации материала;

4. Разработана математическая модель расчета и на ее основе построены замкнутые решения несвязанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при радиальной поляризации материала;

5. Получены расчетные соотношения, позволяющие учесть влияние характеристик внешней цепи (измерительного прибора) на форму и величину индуцируемого электрического импульса в пьезокерамических системах прямого пьезоэффекта;

6. Представлены новые решения динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для тонкой круглой биморфной пластины постоянной и ступенчато переменной толщины (теория Тимошенко), используемые в резонансных изгибных преобразователях;

7. Разработана математическая модель и построено замкнутое решение для расчетов электроакустических ультразвуковых преобразователей закрытого типа повышенной мощности;

8. На основании полученных расчетных соотношений в среде МаИ1сас1-13 разработано программное обеспечение, позволяющее провести численный анализ электромеханических процессов в пьезокерамических телах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью, в пределах сформулированных допущений, математической постановки, а также методами решения рассматриваемых начально-краевых задач электроупругости, совпадением численных результатов в частных случаях с известными решениями и экспериментальными данными, а также соответствием качественных результатов расчета физической картине исследуемых процессов.

Практическая ценность работы определяется возможностью использования полученных автором решений, разработанных алгоритмов и программных средств при проектировании новых, а также улучшения технических характеристик существующих, пьезокерамических динамических преобразователей. Полученные результаты позволяют значительно сократить объем дорогостоящих исследований на моделях, а также обосновать рациональную программу экспериментов.

Представленные методы расчета и их программная реализация нашли применение при модернизации прибора ударного действия «Устройство для определения прочности бетона» (патент № 1778675 СССР), разработанного испытательным центром «Самарастройиспытания» и предназначенного для определения марки материала непосредственно на строительной площадке, а также при проектировании ультразвуковых электроакустических преобразователей закрытого типа (патент №71496 РФ Н04Я, автор ООО «Аврора» г.Волгоград). На основании проведенных исследований были получены также патенты на полезные модели связанные с преобразованием механической энергии в электрическую с помощью толстой кольцевой пьезокерамической пластины. Результаты внедрения прикладных исследований подтверждены соответствующими актами. Полученные в работе результаты используются в учебном процессе при подготовке аспирантов Самарского государственного архитектурно-строительного университета.

На защиту выносятся:

1. Новый теоретический подход динамического расчета анизотропных пьезокерамических тел при действии силовой и электрической нагрузки;

2. Методы расчета и аналитические решения связанных динамических осе-симметричных задач для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при аксиальной и окружной поляризации материала;

3. Алгоритм расчета вынужденных осесимметричных изгибных колебаний сплошной толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины;

4. Решения связанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффекта для пьезокерамического бесконечно длинного цилиндра при радиальной поляризации материала;

5. Математическая модель расчета и замкнутые решения несвязанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при радиальной поляризации материала;

6. Замкнутые решения динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для тонкой круглой биморфной пластины постоянной и ступенчато переменной толщины в постановке теории Тимошенко;

7. Математическая модель и замкнутое решение для расчетов электроакустических ультразвуковых преобразователей закрытого типа повышенной мощности;

8. Численный анализ электромеханических процессов в пьезокерамических телах конечных размеров.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Современные проблемы строительного материаловедения» ( СамГАСУ, Самара, 1995); 50-53,57- 69 Областных научно-технических конференциях СамГАСУ (Самара, 1993-1996, 2000-2013 ); 3,4 - ой научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Инженерн. академ. Рос-сии.(СамГТУ, 1993,1994 ); И- й Международном симпозиуме « Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 1996 ); Международной конференции «Численные и аналитические методы расчета конструкций (СамГАСУ, Самара, 1998 ); XXI Международной конференции по теории пластин и оболочек ( Саратовский гос. тех. ун-тет, Саратов, 2005 ); VI Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи».( СамГТУ, 2009); V Международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры» ( Казахстан, Актобе, Актюбинский гос. ун-тет им. К. Жубанова, 2009 ); IV Международной научно-технической конференции « Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» ( Пенза, 2009 ); Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки» (Тамбов, 2011); IX Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, МГСУ, 2012); Третьей Международной конференция «Математическая физика и ее приложения» (СамГТУ, Самара 2012).

Полностью диссертация была представлена: на семинаре кафедры «СМиСМ» СГАСУ ( зав.каф. Сеницкий Ю.Э., д.т.н., профессор), на семинаре кафедры «ТСТ» Саратов, гос. тех. ун - т» ( рук-тель Овчинников И.Г., д.т.н., профессор), на расширенном семинаре кафедры «ПМиИ» СамГТУ ( зав.каф. Радченко В.П., д.ф. - м.н., профессор).

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» по Мероприятию 1 «Проведение фундаментальных исследований в рамках тематических планов» с номерами государственной регистрации 01200850035, 01201052567, 01201255597.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 34 научных работах, в том числе в 1 монографии, 17 научных работах в периодических науч-

ных изданиях, рекомендованных ВАК России для докторских диссертаций, и в 2 авторских свидетельствах на полезную модель.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка используемой литературы и приложения, общим объемом 314 страниц машинописи, 130 рисунков, 8 таблиц. Список литературы содержит 243 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, сформулирована цель работы, научная новизна и дается краткое описание по главам.

В первой главе представлены области применения пьезокерамических преобразователей различного функциональное назначение ( рис.1 ). В основе их работы используется одно и тоже физическое явление - преобразование механической энергии в электрическую и наоборот (соответственно прямой и обратный пьезоэффекты).

Кроме того, проведен обзор литературы по рассматриваемой проблеме, позволяющий проанализировать современное состояние рассматриваемых вопросов исследования.

1- Приборы для контроля технических процессов, трансформаторы, двигатели;

2- Приемники звука в гидро- и ультраакустике; генераторы высокого напряжения;

3- Приборы для контроля качества, преобразователи для дефектоскопии и расходометрии;

4- Запоминающие устройства, стабилизаторы;

5-Линии задержки и матрицы для запоминающих устройств;

6- Микроэлектроника;

7- Фильтры акустических волн, стабилизаторы частот;

8- Многоканальное телевидение, дисперсные каналы связи;

9- Радиолокационные устройства

Рис.1

В целом, представленный обзор показывает, что большинство задач электроупругости решено с помощью приближенных вариационных и численных методов расчета, а для того чтобы дать количественную оценку связанности электрических и механических полей напряжений в элементах конструкций необходимо иметь результаты, обладающие высокой степенью точностью. Очевидно, здесь особое место занимают методы позволяющие строить замкнутые решения. В связи с этим для реализации сформулированных в диссертационной работе начально-краевых задач в качестве математического аппарата используется наиболее эффективный метод неполного разделения переменных в виде конечных интегральных преобразований, являющийся наиболее общей формой разложения по собственным функциям и позволяющий понизить размерность исходных расчетных соотношений. При этом метод конечных интегральных преобразований в отличие от преобразования Лапласа, применяемого в задачах динамики для тел конечных размеров по времени, не требует проведения сложной процедуры обращения.

Во второй главе работы приведены соотношения линейной теории электроупругости. В цилиндрической системе координат электроупругое состояние пьезокерамического тела (рис.2) при исследовании нормальных осесимметрич-ных и крутильных кососимметричных вынужденных колебаний описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, включающей:

¡г

в

а.

Ь

Рис.2.

= ^ + + = Е^-%гайф* ; (2)

гл» г*

3) Уравнения состояния:

С7д =СХ£д -ех£;, д. =7/х£г+е7'х£д; (3)

где <Тд , , /•"* - соответственно тензоры механических напряжений и деформаций, а также вектор перемещений .Р* = [£/*,^Г*,у*]Г; вектора индукции, напряженности и потенциал электрического поля (г = ; С,е,Т] — упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические постоянные пьезокерамическо-го материала, который описывается с помощью пяти модулей упругости Ст„, трех пьезомодулей (т,л = 1,5) и двух коэффициентов диэлектрической проницаемости £п,£ъз\ - время; р- объемная плотность материала.

Начальные условия определяются перемещениями и скоростями движущегося материального тела при = О :

01 * ;г.=0

где Я0,Я0- известные вектора перемещений и их скоростей.

В случае исследования нормальных осесимметричных и крутильных косо-симметричных электроупругих волн деформирования для каждой поверхности г, = 0, И и г, = а, Ь необходимо использовать соответственно два и одно механические, а также одно электрическое условия.

Механические граничные условия определяются с помощью уравнений состояния ( 3 ), а также компонент вектора перемещений: - на поверхности тела заданы напряжения д* и (или) перемещения р*:

к=Ч*, (5)

Электрические граничные условия зависят от способа подвода (съема) электрической энергии к пьезокерамическому телу. Данная операция осуществляется с помощью электродного покрытия, нанесенного на его поверхности.

В случае исследования задач обратного пьезоэффекта электрическая нагрузка задается в виде разности потенциалов к(?,):

ф*=±У%)/2. (6)

Для поверхности, не покрытой электродами, используется условие отсутствия нормальной составляющей вектора электрической индукции:

пБ=0. (7)

В случае действия механической нагрузки и подключении образца к измерительному прибору с электрической проводимостью У* разность потенциалов определяется с помощью следующей зависимости:

= (8)

где 5 - площадь электродированной поверхности.

Однако для упрощения ( 8 ), как правило, рассматривается случай подключение образца к измерительному устройству с большим входным электрическим сопротивлением ( У* -» 0 - режим холостого хода ), что приводит к уменьшению количества свободных зарядом на электродированных поверхностях и их влиянием на пьезокерамический элемент можно пренебречь, т.е. используется приближенное граничное условие ( 7 ).

В третьей главе рассматриваются связанные задачи динамики для пьезоке-рамических элементов в случае аксиальной поляризации материала.

При исследовании толстостенного цилиндра замкнутое решение строится для случая действия на торцевых и цилиндрических поверхностях нормальных напряжений, являющихся произвольными функциями соответствующей координаты и времени (п. 3.1). Кроме того, предполагается, что на торцевых электродированных плоскостях известны радиальные перемещения, и они подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением. Неэлектроди-рованные цилиндрические поверхности свободны от касательных напряжений. В такой постановке задача моделирует работу пьезоэлементов трансформирующих механическое воздействие в соответствующий электрический сигнал.

Математическая формулировка рассматриваемой начально - краевой задачи в безразмерной форме включает:

- систему линейных дифференциальных уравнений движения ( 1 ), электростатики ( 2 ) относительно компонент вектора перемещений и, Ж и потенциала электрического поля ф:

ЬртЫ(г,г,1)= 0 (р,т = Ц) ; (9)

- механические ( 5 ) и электрические ( 7 ) краевые условия:

г = 0,г = \,к сг;7=<7> А=0 (г = г,г), (10)

^ = С/(г,г,/) = СДе(г,0 (е = 1,2),

г = 1,к агг = 0 ;

- начальные условия ( 4 ), где ¿^„-дифференциальные операторы в частных производных, ф = ф*еъъ1(спЬ),

Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований (КИП), используя последовательно синус- и косинус-преобразования Фурье по переменной z и обобщенное преобразование по радиальной координате г,

которое было разработано Ю.Э. Сеницким*. При этом каждый раз предварительно выполняется процедура стандартизации (приведение граничных условий по соответствующей координате к однородным ).

Трансформанты Ñ'{r,n,t), С(а,„,«,/) и формулы обращения соответствующих преобразований имеют вид:

L 00 _

5(г,!.,<)= \p{n,z)Ñ'{r,Zj)iz . ЛГ = ' ( 1 1 }

О "=°

1 00 С(Л,,И,0= Г7(Л„,г)гЛ Л'-=ХСА'Х„г2. ( 12)

t

где Ñ = HP+Ñ', R = Hk+R*, Нр,Нк -трехкомпопентные стандартизирующие вектор - функции, Р = [я ] - диагональная матрица 3-го порядка ( ди = sin ./„z, а22 = а33 = eos jnz,), Y = [к,,К2,о] , Л: = [к, „К J, -положительные параметры, образующие счетное множество (/ = 1,2,3...; и = 0,1,2...); Q„,||^,„¡ - квадрат

нормы ядра преобразований.

Следует отметить, что обобщенное конечное интегральное преобразование, в отличие от метода Фурье, позволяет определить в процессе решения все компоненты, входящие в формулы обращения, без какой-либо априорной информации. Кроме того, ядровая вектор-функция в прямом 7(/^п,г) и обратном К(Л,п,г) преобразовании содержит различное число компонент вследствие использования

вырожденного КИП.

В результате получаем расчетные соотношения для функций U JV,ф в виде

спектральных разложений по найденной системе собственных функций

которыми являются линейные комбинации обычных и модифицированных

функций Бесселя:

Jf{r,z,t) = HP +^а-1р(п,г{нк +^о{л1п,п,()к{л!п,г)к1п12 ■ (13)

я=0 L ¡=1

* Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований/Ю.Э. Сеницкий//-Саратов: Изд-во Сарат. ун-а, 1985. -174 с.

Круговые частоты осесимметричных колебаний цилиндра сот связаны с

рованными торцевыми плоскостями пьезокерамического цилиндра определяется равенством:

Численные результаты расчета представлены для пьезокерамического цилиндра состава ЦТС-19 (материал группы цирконата-титоната-свинца) при мембранном закреплении торцевых поверхностей ( и, = и2 = 0 ) в случае действия на

них равномерно распределенной гармонической нагрузки интенсивностью qQ и частотой в: = = д05тй> .

На рисунке 3 приведены графики, характеризующие изменения собственных значений Л1п осесимметричных колебаний пьезокерамического и керамического, имеющего аналогичные упругие характеристики, сплошного цилиндров от высоты Ь. Результаты расчета показывают, что пьезокерамический образец, вследствие связанности электроупругих полей, имеет более высокие значения Хт по сравнению с аналогичными величинами для упругого элемента.

Характер изменения вертикальной и горизонтальной и(1,Ь/2,() ком-

понент вектора перемещений, а также разность потенциалов между электроди-рованными поверхностями У(г) пьезокерамического цилиндра ( 1 = 1; к = 0 ) во времени для различных частот вынужденных колебаний приведены на рисунке 4. Результаты расчета показывают, что при действии гармонической нагрузки допущение об установившемся режиме, используемое при исследовании динамических задач, справедливо только в случае, когда частота вынужденных колебаний существенно меньше первой частоты собственных колебаний. При высокочастотном внешнем воздействии вследствие наложения отраженных волн деформирования наблюдается более сложная зависимость изменения напряженного-деформированного состояния системы во времени.

На рисунке 5 приведены осциллограммы изменения во времени перемещений и разности потенциалов между электродированными плоскостями при различных значениях высоты цилиндра Ь [к = 0, 0«Лп). Результаты расчета показывают, что увеличение £ приводит к росту деформаций. Однако, если увеличение высоты цилиндра до Ь = 1 сопровождается ростом амплитудного значения электрического импульса, то когда I > 1 характер данной зависимости меняется и наблюдается уменьшение максимальных величин диаграммы « У(/) ч- г ». Дан-

потенциалов между электроди-

(14)

ная особенность объясняется влиянием на функцию 1/(/) также угла поворота торцов цилиндра.

К

V

2

/ 1 _

1

0.1 0 2 0.3 0.4 0 5 06 0 7 0« 0.9 1

0.2 0.3 0.4 0.5

Рис.3. Зависимость от высоты Ь пьезокерамического (сплошная линия ) и керамического (штрих-пунктирная кривая) цилиндров: 1- п = 1, 2- П — 2

^(1,0,/У9о,с/(1,1/2, Г^д,

1

3

5 10 15 20 25 30 35 40

а) 0 = 0,5/1,!

б) 0 = 0,8^,

Рис.4. Графики изменение перемещений и разности потенциалов во времени :

1-Ж(1,0,/), 2-1/(1,Г/2,г), 3-К(<)

10 12

^(1,0.^,1/(1,1/2,(У9о/(/У?р

3 0.4 2 1

1 02 V

2 "0.2 /

а) 1 = 1

б) 1 = 1.5

Рис.5. Графики изменение перемещений и разности потенциалов во времени:

1-1Г(1Дг), 2-С/(1,1/2,г), 3-К(0

Аналогичным образом исследовалась задача обратного пьезоэффекта для полого толстостенного цилиндра (п.3.2), когда его торцевые, шарнирно закрепленные в аксиальной плоскости, электродированные поверхности загружены нестационарной электрической нагрузкой У'(г,,ґ,).

Проведен анализ частот собственных колебаний соіп , полученных с помощью разработанного алгоритма расчета и метода конечных элементов. Разница между точными и приближенными результатами достигает 10 %.

В п.3.3 исследуются установившиеся изгибные осесимметричные колебания толстой жестко закрепленной пьезокерамической пластины, подключенной к измерительному прибору с большим входным сопротивлением, в случае действия на ее торцевую поверхность нормальных напряжений ( рис. 6).

О

Рис.6

Математическая формулировка рассматриваемой краевой задачи в безразмерной форме включает:

- систему дифференциальных уравнений движения ( 1 ), электростатики ( 2 ) относительно амплитудных компонент вектора перемещений II, ¡V и потенциала электрического поля ф:

ЬртЩг,г)=0 (р,т = \,з) ; (15)

- механические ( 5 ) и электрические ( 7 ) краевые условия:

г = 1,0 £/(и) = г(и) = 0, Д.=0 (16)

и(0,г)< со, Ж(0,г)<ао, ^(0>2)<°о,

г = 0, Ь о-„]г=1 = Ч , о-2.|;=0 = 0 , й, = 0, где ч = д' / Сх,

Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований Ханкеля по координате г при использовании следующих трансформант и формул обращения:

1г- °°

Л(и,г) = }Р(п,г)г^(г,г^г > Л'* = , ( 17 )

О п=О

где Ы = НР+М\ Р = [а„.р\ (оп=йзз =Л(лД °22 , Л" корни такого

трансцендентного уравнения: ./[ (./„) = О (« = 0,1,2...; у0 = о).

Для реализации данного метода исходная краевая задача заменяется новой, в которой заданы смешанные краевые условия, а именно, на пьезокерамическую пластину, цилиндрическая поверхность которой закреплена в радиальной плоскости, действует известные нормальные д (г) и неизвестные касательные К (г) напряжения. Причем касательные напряжения, приложенные к цилиндрической поверхности пластины, определяются в процессе решения задачи из условий отсутствия вертикальных перемещений при г = 1 и уравновешенности пласти-

£ 1

ны при действии осесимметричной нагрузки г = - •

о о

В результате использования конечного преобразования Ханкеля ( 17 ) получаем расчетные соотношения для амплитудных функций в виде спектральных разложений следующего вида:

ос

Щг,г)=Нр+^Пп1Р(п,гЩп,г) ■ ( 18 )

о-0

Заключительным этапом данного исследования является определение функ-

т

ции к(г), представляемой в виде такого многочлена к(2) = ^Акгт~к , который

1

позволяет удовлетворить условию отсутствия вертикальных перемещений цилиндрической поверхности пластины в т-1 точках.

Здесь следует обратить внимание, что при определении напряженного состояния электроупругих систем в точках пересечения торцевых и цилиндрических поверхностей, с помощью разложений ( 3 ), ( 18 ), наблюдается расхождение рядов. Для решения данной проблемы в угловых точках (г = 1, г = 0,ь) при определении функции к(г) нарушалось условие парности касательных напряжений справедливое для классической теории упругости.

Численные результаты расчета представлены для пьезокерамического цилиндра, изготовленного из материала состава ЦТС- 19.

В таблице 1 приведены собственные значения Лт свободных осесимметрич-ных колебаний элемента, изготовленного из пьезокерамики, и обычного керамического материала, имеющего аналогичные упругие характеристики. Расчеты выполнялись для различных значений относительной толщины Ь при образовании одной полуволны вдоль радиуса пластины (и = 1) .

Связанность механических и электрических полей напряжения приводит к созданию более «жесткой» системы и увеличению соответствующих значений Ли • При этом для толстых элементов (¿ = 1) данное свойство оказывает влияние на весь спектр собственных колебаний, а когда ¿ < 0.4- только на первые частоты колебаний ( £ = 1) с несущественным изменением его более высокочастотной части.

Таблица 1

Л, Тео рия электроупругости Теория упругости

¿ = 0.1 ¿ = 0.2 ¿ = 0.4 ¿ = 1 ¿ = 0.1 ¿ = 0.2 ¿ = 0.4 ¿ = 1

5 = 1 0.389 0.726 1.199 1.764 0.349 0.648 1.057 1.500

х = 2 3.229 3.206 3.109 2.381 3.228 3.206 3.104 2.237

5=3 15.147 8.131 4.945 3.283 15.140 8.119 4.928 3.203

Графики изменения вертикальной компоненты вектора перемещений УК{г, г) по координате г пьезокерамического и керамического элементов (¿ = 0.4) отражает рисунок 7. Расчеты выполнялись при действии равномерно-распределенной гармонической нагрузки интенсивностью с частотой вынужденных колебаний 0 = 0.5Ли-

^МЧ 1Г(г,г)/д,

а) пьезокерамическая пластина б) керамическая пластина

Рис.7. Изменение вертикальной компоненты вектора перемещений по радиальной координате: 1-г = 1, 2-г = £/2, 3-2 = 0

Следует отметить, что связанность электрических и механических полей напряжения оказывает, как в качественном, так и количественном отношениях заметное влияние на деформированное состояние рассматриваемых пластин. В пьезокерамическом элементе наблюдается уменьшение перемещений с более равномерным сжатием по высоте сечения.

На заключительном этапе исследования элементов при аксиальной поляризации материала ( п. 3.4 ) проводится анализ влияния характеристик внешней цепи с электрической проводимостью У* на форму и величину индуцируемого

электрического импульса. Решения начально-краевой задачи электроупругости осуществляется при действии известных механических перемещений торцов цилиндра х IV'(1) и неизвестного электрического потенциала К*(с,).

Полученные расчетные соотношения для компонент вектора перемещений и потенциала, а также условие (8), позволяют получить интегро-дифференци-альное уравнение и начальное условие относительно функции (/(г):

(19)

dlV(r)

'¡' ri А'..," t

cosXm{t~r)dz - М'

\Rm" ■ V /+ЗЛ,,.0Г(г)

м >So ol dT~

t = 0: К(0) = 0, где v(t) = enV(t)/(Cub).

В дальнейшем рассматривается случай, когда частота вынужденных колебаний существенно меньше низшей частоты собственных колебаний («|Г|). Это допущение позволяет без большой погрешности из бесконечной суммы ряда, входящей в левую часть ( 19 ), оставить только первое слагаемое. Тогда общий интеграл данного уравнения имеет вид:

»1=1

где Вт (/), E(t) - частные и общее решения (19 ).

В качестве примера рассмотрим сплошной пьезокерамический цилиндр (1 = 1) состава ЦТС-19, у которого вертикальные перемещения торцевых поверхностей изменяются по гармоническому закону с частотой 0 и амплитудой IV,,:

На рисунке 8 представлены результаты, характеризующие влияние электрической проводимости У* на разность потенциалов V(t). При внешнем воздействии с частотой 0 = 0. l/t10 уменьшение электрической проводимости Y*

V(,)/IV0

7

1 ж А \\ \ у 1

а)6? = О.Ц0 б) <9 = 0.4Я10

Рис.8. Влияние электрической проводимое™ измерительного прибора на V (?) во времени:

1-Г = 1, 2-У = 0.5, 3-7 = 0\Y = Y' рС

li4®^')

, штриховая линия - изменения нагрузки

приводит к росту амплитудных значений разности потенциалов, а в случае # = 0.4/1)Ц величина У" не оказывает существенного влияние на к(г).

Результаты исследований проведенных в третьей главе диссертации были использованы при модернизации переносного измерительного прибора «Устройства для определения прочности бетона», разработанного испытательным центром «Самарастройиспытания» (СГАСУ) и предназначенного для определения класса материала конструкции непосредственно на строительной площадке. Принцип работы устройства заключается в преобразовании механического импульса, возникающего при соударении измерительной части прибора (рис.9) с деформируемой преградой, в электрический сигнал с помощью сплошного пье-зокерамического цилиндра с аксиальной поляризацией материала. При этом амплитудные значения механической ударной нагрузки и индуцируемого электрического напряжения пропорциональны упругим деформациям в зоне контакта, которые зависят от модуля упругости исследуемого материала.

На основании полученных расчетов теоретически обоснованно были выбраны: состав пьезокерамики, геометрические размеры пьезокерамического цилиндра, скорость соударения бойка с преградой, электрические характеристика вольтметра.

В четвертой главе исследуются нестационарные задачи для пьезокерамического толстостенного цилиндра при радиальной поляризации материала. Данный вид поляризации формирует наиболее сложную систему дифференциальных уравнений, которую автору не удалось проинтегрировать в общем виде. Поэтому в настоящей главе рассматриваются задачи в более упрощенной постановке, а именно исследуются связанные динамические задачи для бесконечно длинного цилиндра, а также несвязанные нестационарные задачи прямою и обратного пьезоэффекгов для элемента конечных размеров

В п.4.1 при исследовании длинного щшиндра рассматривается случай, когда электродированные цилиндрические г» - а, Ь поверхности загружены динамической нагрузкой (нормальными напряжениями) д2(/) и электрическим потенциалом !'(/). Решение начально-краевой задачи осуществляется методом обобщенных конечных интегральных преобразований по радиальной

1- пьсюкерамический цилиндр,

2- металлический корпус,

3-боек,

4- фторопластовая прокладка

Рис.9. Расчетная схема ударника

координате. В результате получаем расчетные соотношения для функций и,ф в

виде спектральных разложений по найденной системе собственных функций КХ,К2, которыми являются линейные комбинации обычных и модифицированных функций Бесселя:

Щг^Нр+^в^Щ^гЩ2 (Р = 1.2). (21)

¡=1

где Л(г,г) = [и,фХ, А'(/1,,г)= [А'!,/:^, К1;- норма ядра преобразований.

Численные результаты расчета, представленные для пьезокерамического цилиндра состава ЦТС-19 в случае действия механической нагрузки: = ^08тйг, показывают, что связанность электроупругих полей напряжений оказывает наименьшее влияние на деформированное состояние толстостенного элемента (0.1 <¿<0.3 ) при низкочастотном внешнем воздействии. Данный вывод позволяет определить область применения несвязанных задач теории электроупругости при проектировании пьезокерамических преобразователей конечных размеров с радиальной поляризацией материала.

В п.4.2 н 4.3 проводится исследование несвязанных задач прямого и обратного пьезоэффекта.

В задаче прямого пьезоэффекта при действии на внешнюю (г, =Ь) цилиндрическую поверхность динамической нагрузки в виде нормальных напряжений д'(г„г.) используется допущение, что индуцируемое в пьезокерамической среде электрическое поле не оказывает влияния на механические напряжения. Таким образом, в уравнениях движения ( 1 ) следует исключить компоненты вектора напряженности электрического поля Ег=Е,=0. На втором этапе исследования рассматривается задача электроупругости ( 2 ), считая известными ( найденными ) компоненты вектора перемещений II,IV.

При анализе несвязанной задачи обратного пьезоэффекта рассматривается случай действия на внешнюю цилиндрическую электродированную поверхность потенциала (внутренняя цилиндрическая поверхность заземлена и же-

стко закреплена). Для решения используется допущение, что механические деформации не оказывают влияние на электрическое поле. Таким образом, в равенстве ( 2 ) следует исключить компоненты вектора перемещений и" = IV* = 0 . На втором этапе исследования рассматривается начально-краевая задача теории упругости, считая известным потенциал ф .

В обоих случаях ( прямой и обратный пьезоэффекты ) при решении начально-краевой задачи теории упругости решение осуществляется методом интегральных преобразований, используя последовательно синус- и косинус-

преобразования Фурье с конечными пределами по переменной г и обобщенное конечное интегральное преобразование по радиальной координате г .

Интегрирование дифференциального уравнения электростатики осуществляется также методом интегральных преобразований, используя последовательно конечные косинус-преобразование Фурье по переменной г и преобразование Ханкеля по координате г .

В результате получаем расчетные соотношения для функций и,\У,ф в виде спектральных разложений по найденной системе собственных функций, которыми являются линейные комбинации обычных и модифицированных функций Бесселя.

Численные результаты расчета задачи прямого пьезоэффекта представлены для пьезокерамического цилиндра состава ЦТС- 19 с мембранным закреплением его торцов (£/[ = и2 = 0) при действии на внешней цилиндрической поверхности гармонического воздействия q{z,t)=q{z)sm(k ■

Графики изменения амплитудных значений электрического потенциала ф по радиальной координате представлены на рисунке 10 {к = 0.2 , 1 = 2, в = 0.3/},,). В случае действия внешней нагрузки по всей поверхности д(г)=д0 потенциал по высоте существенно не меняется, т.е. при исследовании можно пренебречь аксиальной составляющей вектора напряженности электрического поля. Действие нагрузки на нижней половине приводит к образованию неоднородного электрического поля по толщине и высоте цилиндра.

\

1(5)

V,

4м

а) на всей поверхности б) на нижней половине

Рис.10. Изменение амплитудных значений потенциала ф по Г :

1-г = 0, 2-г = £/4, 3-г = 1/2, 4-г = 3£/4, 5-г = А

Численные результаты расчета задачи обратного пьезоэффекта представлены для пьезокерамического цилиндра из состава ЦТС- 19 с мембранным закреплением его торцов при действии на внешней цилиндрической поверхности следующего воздействия: у(г,г)= к(г)зтй.

Графики изменения амплитудных значений радиальной С/(1,г,г) и вертикальной ж(1 ,г,<) компонент вектора перемещений внешней боковой поверхности по высоте цилиндра (¿ = 1, £ = 0.5, О = 0.2/1,,) при различных случаях загружения приведены на рисунке 11. Результаты расчета показывают, что вид приложенной нагрузки оказывает наиболее существенное влияние на характер изменения радиальных перемещений. Причем, в случае действия потенциала на нижней поверхности ( рис.11, а , кривая 3 ) участок от 0 до 0.6/, испытывает растяжение, а при г > 0.61 - сжатие. Наибольшие вертикальные перемещения торцевых поверхностей наблюдаются при распределении нагрузки по всей поверхности (рис.11, б , кривая 1).

Полученные в настоящей главе результаты находят свое применение, в частности, при проектировании преобразователей трансформирующих высокочастотные электромеханические радиальные колебания в электрический сигнал (пьезотрансформаторы) или поступательное ( вращательное ) движение (пьезо-двигатели ).

а) [/(и<) б) 1,г,/)

Рис.11. Изменение по высоте цилиндра амплитудных перемещений : 1,2,3 — нагрузка по всей поверхности, на верхней и нижней трети, на нижней половине

Пятая глава посвящена анализу крутильных колебаний пьезокерамического цилиндра при окружной поляризации материала. В этом случае построение замкнутых решений динамических задач методом разделения переменных возможно, когда торцы рассматриваемого элемента неэлектродированы и свободны от механических напряжений ( п.5.1 ) или заземлены и жестко закреплены (н.5.2).

Математическая формулировка рассматриваемых начально-краевых задач в безразмерной форме включает:

- дифференциальное уравнение движения ( 1 ), электростатики ( 2 ) относительно тангенциальной компоненты вектора перемещений V и потенциала электрического поля ф :

LpmN(r,z,t) = 0 (р,т = 1,2); (22)

- механические ( 5 ) и электрические ( 6 ), ( 7 ) краевые условия:

z = 0,L aze = 0, = 0 или v = 0, ^ = 0, (23)

r = \,k ar0 = q , Dr= 0 или агв = 0, ^ = +К/2 ;

- начальные условия ( 4 ), где JV(r, z, г) = [v(r, z, t), ф(г, z, t)J , v = v* /b .

В обоих случаях закрепления рассматриваются задачи прямого и обратного пьезоэффекта при действии на внешней цилиндрической поверхности тангенциальных напряжений или электрического потенциала, являющихся произвольными функциями аксиальной координаты и времени.

В такой постановке решение осуществляется методом интегральных преобразований, используя последовательно синус- или косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной z и обобщенное конечное преобразование по радиальной координате г.

В результате получаем расчетные соотношения для функций V, ф в виде спектральных разложений по найденной системе собственных функций Кх, К2,

которыми являются линейные комбинации бесконечных рядов относительно радиальной координаты:

(24)

где к(л1п,г)=[кх,к24, ¡¡АГ^Ц- норма ядра преобразований, Р(п,г)= ««/„г при =° и р(п,г) = 5т/яг при У^=(и = 0 .

Анализ полученных расчетных соотношений показывает, что условия закрепления торцевых поверхностей не оказывают влияние на крутильные колебания Л!п (¡' = 1,2,3...; « = 1,2,3...). В случае отсутствия механических напряжений при

г-0,1 по сравнению с жестким закреплением частотный спектр становится более полным и дополняется величинами Л.,0 . Кроме того, собственные значения Л,п (п = 1,2,3...) элемента с незакрепленными и неэлектродированными цилиндрическими поверхностями вычисляются по формуле: А1п = тт/Ь .

Заключительным этапом исследования элементов с окружной поляризацией материала (п.5.3) является анализ напряженно-деформированного состояния пьезокерамического цилиндра со смешанными краевыми условиями на его торцах, а именно, торцевые жестко закрепленные плоскости не покрыты электрода-

ми. В этом случае построенное решение справедливо для установившегося режима вынужденных колебаний.

Решение осуществляется с помощью косинус—преобразования Фурье по координате г . Для этого исходная краевая задача заменяется новой, в которой на цилиндрических поверхностях пьезокерамического цилиндра действуют известные силовая или электрическая нагрузки, а на торцевых плоскостях- неизвестные потенциалы £,(/-), .у2(г), которые определяются в процессе решения задачи из условия отсутствия электрической индукции О, при г = 0,Ь . В результате получаем расчетные соотношения для амплитудных значение функций

Построенные алгоритмы расчета находят свое применение при конструировании пьезоустройств, позволяющие обеспечить точные угловые перемещения.

В шестой главе исследуются биморфные тонкие пластины постоянной, а также ступенчато переменной толщины и жесткости. Использование гиперболической системы уравнений С.П. Тимошенко, которая является двухмодовой аппроксимацией дифференциальных уравнений теории упругости ( 1 ), позволяет расширить возможности классической теории в части определения спектра высших частот и форм колебаний, а также изучения напряженно-деформированного состояния элементов большей толщины. Изгибные осесимметричные колебания возбуждаются за счет подведения к электродам электрического напряжения V * (г,, ) или при действии нормальных механических напряжений q*(r,,t,), являющихся произвольными функциями радиально координаты и времени. Условия закрепления цилиндрической поверхности пластины могут быть произвольными.

Математическая формулировка рассматриваемых задач в безразмерной форме включает:

- систему дифференциальных уравнений движения относительно компоненты вектора перемещений Ж и угла поворота (// :

ЬртЩг,1) = Ар {р,т = 1,2), (25)

где ^у(г,г)= [(7(г,0,у(г,г)Х, Лр - вектор внешней нагрузки;

— механические краевые ( 5 ) и начальные ( 4 ) условия.

В случае исследования задачи обратного пьезоэффекта используется гипотеза о линейном характере изменения электрического потенциала ф по высоте сечения и, следовательно, о постоянном значении компоненты вектора напряженности Е2. При анализе задачи прямого пьезоэффекта рассматривался случай подключения биморфной пластины к измерительному прибору с большим входным сопротивлением (электрический холостой ход ). Тогда нормальная компонента

вектора напряженности Е: определяется из условия отсутствия тока смещения на лицевых электродах = 0 .

В п.6.1 рассматривается случай, когда к системе внутренних и внешних электродов различными способами ( рис.12 ) подведен электрический потенциал I* (?,,?,), возбуждающий осесимметричные поперечные колебания в биморф-ной пластине постоянной толщины. Внутреннюю цилиндрическую поверхность считаем жестко закрепленной, а внешнюю - свободной от механических напряжений.

Рис.12. Расчетные схемы

В результате решения задачи методом обобщенных конечных интегральных преобразований получаем расчетные соотношения для функций в виде

спектральных разложений по найденной системе собственных функций КиК2,

которыми являются линейные комбинации обычных и модифицированных функций Бесселя:

1=1 /=1 Численные результаты получены для кольцевой биморфной пьезокерами-ческой пластины состава ЦТС-19 при действии следующего гармонического электрического воздействия: к(г,і)=у0х(г)5та .

Экспериментальные исследования биморфных пьезокерамических пластин постоянной толщины показали неэффективность использования сплошных электродов при подводе к ним высокочастотного электрического воздействия. Для решения данной проблемы используются круговые разрезные электроды, подключенные в противофазе к источнику электрического напряжения, что приводит к существенному увеличению амплитудных значений вертикальных перемещений

Анализ полученных расчетных соотношений позволяет выделить компоненту трансформанты нагрузки, которая дает возможность определить количество и размеры круговых разрезных электродов при различных частотных характеристиках электрического воздействия из условия Ип (Л,) тах :

т-1

с1г I г=г

е,« + е„

(27)

где п — количество разрезных электродов, г„,_1 — граница между соседними электродами.

На рисунке 13 штрих — пунктирными линиями обозначены графики « Ж (1, + 1», справедливые для различного количества кольцевых электродов, позволяющие наиболее эффективно преобразовать энергию внешнего воздействия (сплошная линия справедлива для сплошного электрода ). При этом данные для разрезных электродов следует увеличить соответственно в 10 (рис.13, а, 0 = 0.8^, два электрода - гх =0.78) и 20 (рис.13, б, в = Ъ\, три электрода -г, = 0.9, /-2 =0.53) раз. Замечаем, что использование двух электродов по сравнению со сплошным покрытием позволяет увеличить амплитудные значения аксиальной компоненты вектора перемещений при соответствующей частоте вешнего воздействия в 15 раз, наличие трех электродов при 0 = ЗА, в 40 раз. Использование данного эффекта позволяет улучшить электроакустические параметры ультразвуковых преобразователей.

(фук.

\ \

1 .. (У \ 1 /' ""'Я. ^

\\ А / / .....•■' ч

\ » Ч /

а) 9 = 0.8^ 6)0 = 3^

Рис. 13. Изменение г) во времени Ь = 0.2, к = 0.2 (к\ = [/г, я]/ Ъ )

Биморфный элемент ступенчато переменной толщины и жесткости состоит из металлической подложки ( И* ) и двух наклеенных на нее пьезокерамических элементов (я <Ь), имеющих толщину /г* (рис.14). Изгибные осесимметричные колебания возбуждаются за счет подведения к электродам электрического К*(г.) ( п.6.2 ) или силового </'(/-,,;,) (п.6.3 ) напряжений. Цилиндрическая поверхность подложки принимается жестко закрепленной.

Особенность постановки задачи заключается в том, что система дифференциальных уравнений движения составляется для всего электроупрутого элемента, что позволяет учесть резкое изменение, в виде скачка, градиента изгибающих

моментов и поперечной силы ( касательных и нормальных механических напряжений) в зоне нерегулярности структуры пластины (г, = а ).

Использование обобщенного метода конечных интегральных преобразований по радиальной координате позволяет получить расчетные соотношения для функций \V,y/ в виде (26).

Численные результаты представлены для биморфной пластины, состоящей из стальной подложки и аксиально поляризованных пьезокерамических пластин состава PZT- 4 (зарубежный аналог состава ЦТС).

Эффективность электромеханического преобразования энергии биморфных пластин оценивается с помощью динамического коэффициента электромеханической связи kd , который, как правило, представляет отношение резонансных частот, вычисляемых для различных электрических краевых условий на электродном покрытии. Расчетные соотношения, построенные в настоящей работе, позволяют определить меру преобразования энергии с помощью более очевидной характеристики, а именно, вертикальных перемещений пьэзоэлемен-та, величина которых определяется соответствующей компонентой трансформанты нагрузки. В этом случае зависимость коэффициента kd от радиуса пьезокерамических пластин р{р = а/Ь ) определяется по формуле:

На рисунке 15 представлены графики изменения kd для первых двух мод собственных колебаний при жестком закреплении биморфа. Сплошная и пунктирная кривые соответствуют первому и второму номеру частот. В случае, когда основной вклад в напряженно-деформированное состояние пластины вносит первая частота собственных колебаний при проектировании ультразвуковых преобразователей отношение радиусов подложки и пьезопластины необходимо принимать равное 0.7. При работе конструкции, использующую вторую резонансную частоту, данное отношение равно 0.4 или 0.85.

На рисунке 16 показаны осциллограммы изменения во времени перемещений центра пластины W(0,t) в случае действия электрического потенциала v(t) V(, sinflr , (9 = 0.8/1!). Сплошными линиями обозначены результаты, полученные с учетом особенностей в точках окружности радиусом р , а пунктирными — без учета.

На основании построенного алгоритма удается получить качественно новые результаты. В настоящем примере учет изменения градиента касательных и нормальных напряжений в точках окружности радиусом р приводит, в случае р = 0.9 к уменьшению перемещений практически на 60%. В случае р = 0.5 на-

блюдается противоположная картина. Данная особенность дает возможность уточнить работу изгибных преобразователей ступенчато переменной толщины.

Проведен сравнительный анализ частот и форм ( диаметра нулевых окружностей ) собственных колебаний, вертикальных перемещений незакрепленной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости, полученных на основании построенного алгоритма расчета и экспериментальных данных ООО «Аврора». Разница в численных значениях составляет не более 8%.

Рис.14. Расчетная схема

/ \

л /Ч у А . >

У V

Рис. 15. Зависимость к^ от р

«'(О

А V

V/ \

а) ¿> = 0.9 б) р = 0.5

Рис. 16. Изменение во времени

Построенный алгоритм позволяет также подобрать для металлической подложки различной толщины высоту пьезокерамических пластин, позволяющих наиболее эффективно преобразовать электрическую нагрузку в механические перемещения.

В п.6.4 разработана математическая модель акустического ультразвукового преобразователя и на ее основе построен алгоритм расчета.

В настоящее время широкое распространение получили воздушные ультразвуковые преобразователи с частотой колебаний от 2 до 100 кГц , которые применяются для измерения расстояний до объекта, способного отражать ультразвук, а также для бесконтактного обнаружения неподвижных или движущихся объектов. При этом наиболее эффективными являются конструкции закрытого типа, которые изолированы от окружающей среды и, следовательно, могут при-

меняться в случае наличия в воздухе пыли и агрессивных паров. Одного данные системы, по сравнению с открытыми преобразователями имеют ограниченные электроакустические параметры. Для устранения этого недостатка, ООО «Аврора» предложило новое техническое решение ультразвукового резонатора, а автор настоящей диссертации разработал научно обоснованную методику расчета.

Данная конструкция имеет легкую плоско-сферическую диафрагму с жестко прикрепленным, посредством клея, биморфным пьезоэлементом и обладает высокими эксплуатационными характеристиками ( рис.17 , 1 - кольцевая пластина, 2 - сферическая оболочка, 3 - биморфная пластина).

Использование решений для биморфной пластины ступенчато переменной толщины, кольцевой анизотропной пластины, пологой сферической оболочки в постановке теории Тимошенко позволяет подобрать геометрические размеры преобразователя с заданной частотной характеристикой. В частности были разработаны конструкции, имеющие первую резонансную частоту собственных осесимметричных колебаний 2.5 кГц и 40 кГц.

На рисунке 18 показаны формы собственных колебаний к\'\/л,г) преобразователя при частоте собственных колебаний щ = 2.5 кГц. Здесь интересно

2 / ----- 1 /

3 1 ^

Рис.17. Расчетная схема

Рис.18. Формы колебаний

К^г

отметить, что плоско-сферическая диафрагма, незакрепленная бимофная пластина и укомплектованный преобразователь имеют одинаковую первую частоту собственных колебаний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований можно сформулировать основные полученные результаты:

1. Разработан новый подход, позволяющий с помощью базовых расчетных соотношений описать работу типовых элементов пьезокерамических преобразо-

вателей резонансного и нерезонансного классов, подверженных действию динамической осесимметричной электромеханической нагрузки.

2. Разработан метод расчета и построены новые замкнутые решения связанных осесимметричных нестационарных задач электроупругости в трехмерной постановке для пьезокерамических цилиндров конечных размеров:

— при аксиальной поляризации материала, полученные расчетные соотношения позволяют удовлетворить смешанные механические краевые условия на торцевых плоскостях и произвольные — на цилиндрических поверхностях;

— в случае окружной поляризации материала механические и электрические условия на торцах элемента удовлетворяются в наиболее общей постановке.

3. Представлен новый метод расчета и построено решение для установившегося режима изгибных колебаний жестко закрепленной толстой круглой пластины при аксиальной поляризации материала.

4. Построены новые аналитические решения связанных динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамическо-го бесконечно длинного цилиндра при радиальной поляризации материала;

5. Разработана математическая модель расчета и на ее основе построены замкнутые аналитические решения несвязанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при радиальной поляризации материала.

6. Получены расчетные соотношения, позволяющие учесть влияние характеристик внешней цепи (измерительного прибора) на форму и величину индуцируемого электрического импульса в пьезокерамических системах прямого пьезо-эффекта.

7. На основании модели Тимошенко предложен новый подход и построены замкнутые решения динамических осесимметричных задач для тонкой круглой биморфной пластины постоянной, а также ступенчато переменной толщины и жесткости, используемые в резонансных изгибных преобразователях:

— в случае исследования электроупругого элемента постоянной толщины разработана методика подбора геометрических размеров круговых разрезных электродов, позволяющая повысить электроакустические параметры ультразвуковых преобразователей;

— при анализе работы конструкции ступенчато переменной толщины и жесткости удается учесть влияние резкого изменения, в виде скачка, градиента изгибающего момента и поперечной силы в зоне нерегулярности ее структуры;

— предложена новая формула определения динамического коэффициента электромеханической связи, характеризующего степень эффективности преобразования электроупругой энергии.

8. Разработана расчетная модель ультразвукового акустического преобразователя закрытого типа повышенной мощности, позволяющая определять геомет-

рические размеры конструкции и физические характеристики используемого материала при создании пьезорезонаторов заданной частоты.

9. На основании построенных алгоритмов расчета разработано программное обеспечение, позволяющее проводить анализ динамических электроупругих процессов в типовых элементах пьезокерамических преобразователей.

10. Результаты части прикладных исследований, представленные в диссертационной работе, внедрены в испытательном центре «Самарастройиспытания» Самарского государственного архитектурно-строительного университета и в научно-производственном предприятии ООО «Аврора» ( г. Волгоград ), что подтверждено соответствующими актами, представленными в приложении 1 диссертации.

11. Представленные в диссертационной работе теоретические исследовании внедрены в учебный процесс при подготовке аспирантов Самарского государственного архитектурно-строительного университета по специальности «Строительная механика», что нашло отражение в соответствующих учебных программах и подтверждено актом в приложении 1 диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

МОНОГРАФИЯ

1. Шляхин Д.А. Нестационарная механика электроупругих полей в элементах конструкций/ Д.А. Шляхин. - Самара: СГАСУ, 2012. - 190 с.

ПУБЛИКАЦИИ В ЖУРНАЛАХ, РЕКОМЕНДОВАННЫХ ВАК РОССИИ

2. Сеницкий Ю.Э., Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для толстой круглой анизотропной пьезокерамической пластины / Ю.Э.Сеницкий, Д.А. Шляхин // Изв. РАН. Механика твердого тела. -1999.-№1,-С. 78-87.

3. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией/Д.А. Шляхин // Прикладная механика и техническая физика.-2009.-Т.50.-№1.-С.12-21.

4. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиалыю поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин// Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2009. - №1. - С.73- 81 .

5. Шляхин Д.А. Динамическая осесимметричная задача прямого пьезоэффекта для анизотропного пьезокерамического радиалыю поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Прикладная механика и техническая физика. -2010. - Т. - 51. -№1. - С.153— 161.

6. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамиче-ской тонкой биморфной пластины/ Д.А. Шляхин // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2013. - №2. -С.77- 85.

7. Шляхин Д.А. Несвязанная осесимметричная динамическая задача обратного пьезоэффекта для радиально поляризованного цилиндра / Д.А Шляхин //Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Серия: Физико-мат. науки. - 2010. -№5 (21).-С. 190-203.

8. Шляхин Д.А. Несвязанная осесимметричная динамическая задача электроупругости для радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин// Вестник Самарск. гос. ун-та.Естественнонаучн. серия.— 2011,—№2(83).-С. 116— 129.

9. Шляхин Д.А. Осесимметричная задача теории упругости для круглой жест-козакрепленной пластины/Д.А. Шляхин// Известия вузов. Строительство. -2011. -№7. — С.З- 9

10. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины/ Д.А. Шляхин// Вестник Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучн. серия. - 2011. - №8(89). - С.142- 152.

11. Шляхин Д.А. Вынужденные колебания пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала/ Д.А. Шляхин //Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Серия: Физико- мат. науки. - 2012. - №1 (26). — С. 198- 207.

12. Шляхин Д.А. Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса при определении прочности бетона ударно-акустическим методом/Д.А.Шляхин//Вестник МГСУ. -Москва,- 2012,-№5.-С. 133- 138.

13. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины /Д.А.Шляхин// Вестник Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучн. серия. - 2012. - №6(97). -С. 124- 135.

14. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости [Электрон, ресурс ] / Д.А. Шляхин// Инж. вестник Дона. - 2013. - №1. - Режим доступа http://ivdon.ru.

15. Шляхин Д.А. Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса в задачах прямого пьезоэффекта/ Д.А Шляхин // Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Серия: Физико—мат. науки. - 2013. - №1( 30). - С. 288-296.

16. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой пластины ступенчато переменной толщины и жесткости/Д.А. Шляхин// Известия вузов. Строительство. — 2013. — №4. — С. 13— 20.

17. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача обратного пьезоэффекта для круглой биморфной пластины ступенчато-переменной толщины и

жесткости / Д.А.Шляхин// Вестннк Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучн. серия. -2013. -№6 (107). -С. 133- 140.

18. Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины/ Д.А Шляхин // Вестник Оренбург, гос. ун-та. -2013. - №9. - С.228 -233.

ПУБЛИКАЦИИ В СБОРНИКАХ НАУЧНЫХ ТРУДОВ И ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ

19. Зубков В.А., Шляхин Д.А. Ударно-акустический метод определения прочности бетона/ В.А. Зубков, Д.А. Шляхин // Совр. пробл. строит, материаловедения. Академ, чтения РААСН : Мат-лы к Междунар. конф. Част 1. -СамГАСА. Самара. - 1995. -С. 125- 129.

20. Сеницкий Ю.Э., Шляхин Д.А. Влияние физико-механических характеристик пьезокерамических материалов на величину и форму электрического импульса/ Ю.Э. Сеницкий, Д.А. Шляхин // Совр. пробл. строит, материаловедения. Академ, чтения РААСН: Мат-лы к Междунар. конф. Част 3. -СамГАСА. Самара,- 1995.-С. 22-26.

21. Шляхин Д.А.Нестационарная осесимметричная задача для короткого анизотропного пьезокерамического цилиндра/ Д.А. Шляхин // Труды междунар. конф. « Числен, н аналит. методы расчета констр.». -Самара: 1998. -С.168- 173.

22. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пьезокерамической пластины / Д.А. Шляхин //Труды XXI Междунар. коиф. по теории пластин и оболочек. -Саратов: Саратов, гос. тех. ун— тет, 2005.-С.242-249.

23. Шляхин Д.А. Исследование нестационарных осесимметричных волн кручения в пьезокерамическом цилиндре/ Д.А. Шляхин // Тез. докл. обл. 65- й науч. - техн. конф. -Самара: СГАСУ, 2008, - С. 119- 120.

24. Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для пьезокерамического аксиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн. - Тамбов: Грамота , 2008. -№1(8). - С. 236-239.

25. Шляхин Д.А.Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн. - Тамбов: Грамота , 2008. - №7(14). - С. 240- 242.

26. Шляхин Д.А. Динамическая задача прямого пьезоэффекта для длинного радиально поляризованного пьезокерамического цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн.-Тамбов: Грамота, 2008. -№12(19). - С.241-246.

27. Шляхин Д.А. Несвязанная динамическая задача прямого пьезоэффекта для радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн. - Тамбов: Грамота , 2009. - №6(25). - С. 230- 232.

28. Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для длинного ради-ально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Труды VI Всерос. научн. конф. с междунар. участием «Математ. моделир. и краевые задачи». -Самара: СамГТУ, 2009. - С.215-218.

29. Шляхин Д.А.Динамическая задача электроупругости для пьезокерамиче-ского цилиндра с окружной поляризацией. / Д.А. Шляхин // Труды VI Всерос. научн. конф. с междунар. участием «Математ. моделир. и краевые задачи». — Самара: СамГТУ, 2009. - С.218- 220.

30. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные нестационарные колебания короткого пьезокерамического цилиндра/ Д.А. Шляхин// Мат. V Междунар. конф. « Проблемы диф. уравнений, анализа и алгебры». -Казахстан. Актобе: Актюбинский гос. ун-т им. К. Жубанова, 2009. - С.254-257.

31. Шляхин,Д.А. Динамическая задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра закрепленного по торцам/ Д.А. Шляхин// Мат. IV Международ, научно—техн. конф. « Аналит. и числен, методы моделир. естественнонаучн. и со-циальн. проблем». — Пенза, 2009. — С. 162— 165.

32. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные продольно-поперечные колебания тонкой круглой пьезокерамической пластины/ Д.А Шляхин // Мат-лы 67- й Всероссийск. науч. - техн. конф. по итогам НИР 2009 года « Традиции и инновации в стр—ве и арх—ре», СГАСУ, Самара, 2010. — С. 119—120.

33. Шляхин Д.А. Установившиеся крутильные колебания пьезокерамического цилиндра с жестко закрепленными неэлектродированными торцами/ Д.А. Шляхин // Материалы Международн. научно—практич. конф. « Актуальные проблемы науки», Тамбов, 2011. — С.197—200.

34. Шляхин Д.А. Влияние электрических краевых условий на деформированное состояние пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала / Д.А Шляхин // Мат-лы 69-й Всероссийск. Научн. - технич. конф. по итогам НИР 2011 года «Традиции и инновации в стр-ве и арх-ре »,

СГАСУ, Самара, 2012. -С.29- 30.

ПАТЕНТЫ НА ПОЛЕЗНУЮ МОДЕЛЬ

35. Патент №124459 РФ Н02И/ Пьезоэлектрическое устройство для преобразования энергии/ Шляхин Д.А., Литиков А. П.- опубл. 20.01.2013. Бюл. №2.

36. Патент №130164 РФ Ш / Пьезокерамический генератор / Шляхин Д.А., Литиков А.П., Тюрников В.В. - опубл. 10.07.2013. Бюл. №19.

h

Подписано в печать 26.09.13. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Уч. изд. л. 2. Усл. печ. л. 1.97. Тираж 100 экз. Per. № 67. ФГБОУ ВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный

университет» 443001, г. Самара, ул. Молодогвардейская,194. Автореферат отпечатан с разрешения диссертационного совета Д.212.217.02 ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» ( протокол № 52 от 19 сентября 2013 г. )

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

05201450328

ШЛЯХИН ДМИТРИЙ АВЕРКИЕВИЧ

НЕСТАЦИОНАРНАЯ МЕХАНИКА ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ПОЛЕЙ В АНИЗОТРОПНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ

ТЕЛАХ

01.02.04.-Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Сеницкий Ю. Э.

Самара 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 6

Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ....................................................15

Глава 2. СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ.................................................. 29

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ АКСИАЛЬНОЙ

ПОЛЯРИЗАЦИИ МАТЕРИАЛА ....................................... 41

§3.1. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА

3.1.1. Постановка задачи .......................................................... 43

3.1.2. Построение общего решения............................................ 45

3.1.3. Численный анализ результатов...........................................59

§ 3.2. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБРАТНОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА

ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА

3.2.1. Постановка задачи............................................................ 72

3.2.2. Построение общего решения............................................. 73

3.2.3. Численный анализ результатов.......................................... 77

§ 3.3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ ИЗГИБНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ ТОЛСТОЙ КРУГЛОЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ

3.3.1. Постановка задачи ......................................................... 82

3.3.2. Построение общего решения............................................ 84

3.3.3. Численный анализ результатов ..........................................93

§ 3.4. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ НА ФОРМУ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА В ЗАДАЧАХ ПРЯМОГО

ПЬЕЗОЭФФЕКТА.............................................................101

3.4.1 .Постановка задачи ...........................................................102

2.4.2. Построение общего решения ............................................103

3.4.3. Определение разности потенциалов между электродированными поверхностями ................................................................107

3.4.4. Численный анализ результатов .......................................... 109

Глава 4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ПРИ

РАДИАЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ МАТЕРИАЛА ............. 115

§ 4.1. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ДЛИННОГО ЦИЛИНДРА

4.1.1. Постановка задачи .......................................................... 117

4.1.2. Построение общего решения ...........................................118

4.1.3. Численный анализ результатов ......................................... 124

§ 4.2. НЕСВЯЗАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПРЯМОГО

ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА

4.2.1. Постановка задачи ..........................................................137

4.2.2. Построение общего решения начально-краевой задачи теории упругости..................................................................... 139

4.2.3. Построение общего решения краевой задачи электростатики ... 146

4.2.4. Численный анализ результатов ....................................... 149

§ 4.3. НЕСВЯЗАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОБРАТНОГО

ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА .161

4.3.1. Постановка задачи ..........................................................162

4.3.2. Построение общего решения краевой задачи электростатики ...164

4.3.3. Построение общего решения начально - краевой задачи теории упругости ..................................................................... 165

4.3.4. Численный анализ результатов .........................................169

Глава 5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО

ЦИЛИНДРА С ОКРУЖНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ МАТЕРИАЛА. 175 §5.1. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА С

НЕЗАКРЕПЛЕННЫМИ ТОРЦАМИ

5.1.1. Постановка задачи ..........................................................176

5.1.2. Построение общего решения............................................ 178

5.1.3. Численный анализ результатов......................................... 185

§ 5.2 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ

ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОГО ПО ТОРЦАМ ЦИЛИНДРА

5.2.1. Постановка задачи .......................................................... 196

5.2.2. Построение общего решения ............................................ 198

5.2.3. Численный анализ результатов .......................................... 200

§ 5.3 УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРА С ЖЕСТКО

ЗАКРЕПЛЕННЫМИ НЕЭЛЕКТРОДИРОВАННЫМИ ТОРЦАМИ

5.3.1. Постановка задачи .......................................................... 206

5.3.2. Построение общего решения ............................................207

5.3.3. Численный анализ результатов ..........................................211

Глава 6. ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

СОСТАВНЫХ БИМОРФНЫХ СИСТЕМ ........................ 216

§6.1. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА

ОБРАТНОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ТОНКОЙ БИМОРФНОЙ ПЛАСТИНЫ С РАЗРЕЗНЫМИ КРУГОВЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ .218

6.1.1. Постановка задачи .......................................................... 219

6.1.2. Построение общего решения ............................................222

6.1.3. Численный анализ результатов ..........................................226

§ 6.2. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ОБРАТНОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ТОНКОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ СТУПЕНЧАТО ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

И ЖЕСТКОСТИ

6.2.1. Постановка задачи .......................................................... 234

6.2.2. Построение общего решения ............................................237

6.2.3. Численный анализ результатов ..........................................241

§ 6.3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА

ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ТОНКОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ СТУПЕНЧАТО ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

И ЖЕСТКОСТИ

6.3.1. Постановка задачи .......................................................... 251

6.3.2. Численный анализ результатов ..........................................254

§ 6.4. ДИНИМАЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО

УЛЬТРАЗВУКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЗАКРЫТОГО ТИПА

6.4.1. Постановка задачи ....!...................................................... 261

6.4.2. Построение общего решения.............................................. 265

6.4.3. Численный анализ результатов..........................................270

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................... 278

ЛИТЕРАТУРА ...........................................................................280

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ......................................................................... 298

ПРИЛОЖЕНИЕ 2........................................................................ 308

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. При создании современных приборов и конструкций наряду с традиционными материалами используются среды, в которых механические процессы тесно связаны с физическими явлениями другой природы. В настоящее время большое практическое применение получили пьезоэлектрические системы, работающие на эффекте связанности электроупругих полей напряжений. Возможность создания искусственных керамических материалов, обладающих данными свойствами и имеющих ряд преимуществ по сравнению с естественными кристаллами, привело к широкому использованию пьезокера-мики с наведенной поляризацией при конструировании преобразующих элементов различного назначения. В частности, такие тела находят свое применение в машиностроении, ультра- и гидроакустике, приборостроении, в авиации при гашении колебаний, в различных измерительных и управляющих устройствах.

Наиболее распространенными конструктивными элементами пьезокерами-ческих преобразователей являются тела канонической формы в виде толстостенных и сплошных цилиндров конечных размеров, а также круглых толстых и тонких пластин при различной поляризации материала. Для описания их работы в реальных условиях и расширения функциональных возможностей возникает необходимость углубленного анализа нестационарных процессов, без которого невозможно понять эффект взаимодействия механических и электрических полей напряжений.

Изучение напряженно-деформированного состояния пьезокерамических тел связано с построением математических моделей в трехмерной постановке, адекватно описывающих электромеханические процессы, а также с непосредственным исследованием динамических начально-краевых задач электроупругости. Вместе с тем, существующие методы расчета пьезоэлектрических элементов конструкций на нестационарные воздействия далеко не совершенны и большинство из них являются приближенными. При этом значительная часть

исследований связана с разработкой численных методов решения, а также с приведением этих задач к статическим или квазистатическим. С другой стороны проведение натурных экспериментов также представляет собой сложную и трудоемкую задачу, связанную с большими затратами времени и материальных ресурсов.

В связи с этим на первый план выходят методы, позволяющие получить замкнутые решения нестационарных начально - краевых задач теории электроупругости для тел конечных размеров в трехмерной постановке. С их помощью появляется возможность проведения качественной и количественной оценки связанности электромеханических полей напряжений в пьезокерамических элементах конструкций. Данный подход позволяет получить точные, в рамках используемых моделей, расчетные соотношения в наиболее общем виде, а также алгоритмизировать и автоматизировать проводимые исследования. Кроме того, аналитические методы расчета дают возможность нахождения новых закономерностей при анализе полученных результатов, что существенно повышает теоретический уровень инженерных расчетов.

Таким образом, разработка эффективных аналитических методов и алгоритмов расчета электроупругих систем, испытывающих произвольное нестационарное силовое и электрическое воздействие, выявление новых связей между характером внешнего воздействия и процессом деформирования пьезокерамических элементов конструкций, представляет в настоящее время одну из актуальных проблем современной науки в области механики деформируемого твердого тела.

Целью диссертационной работы является разработка нового теоретического подхода к решению проблемы динамического расчета анизотропных пьезокерамических тел конечных размеров при действии электромеханической нагрузки, а также проведение качественного и количественного анализа электроупругих процессов в исследуемых системах.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и построены новые решения связанных начально-краевых задач теории электроупругости для

цилиндров и дисков при различной поляризации материала, а также исследовано напряженно-деформированное состояние биморфных элементов в рамках прикладной теории для тонких пластин.

Методы исследований. Для решения поставленных линейных динамических задач используется наиболее эффективный аппарат аналитического исследования в виде обобщенного метода конечных интегральных преобразований, позволяющий строить замкнутые решения при наиболее общих условиях загру-жения и закрепления пьезокерамических тел.

Научная новизна работы состоит в создании нового подхода, позволяющего с помощью базовых расчетных соотношений описать работу типовых элементов пьезокерамических преобразователей резонансного и нерезонансного классов. Данное направление, в отличие от существующих методик расчета, дает возможность получать точные решения связанных динамических задач теории электроупругости, позволяющие научно обосновать конструктивные решения проектируемых приборов.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан метод расчета и построены новые замкнутые решения связанных динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при аксиальной и окружной поляризации материала;

2. Разработан и реализован новый алгоритм расчета вынужденных осесимметричных изгибных колебаний сплошной толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины;

3. Построены новые замкнутые аналитические решения связанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффекта для пьезо-керамического бесконечно длинного цилиндра при радиальной поляризации материала;

4. Разработана математическая модель расчета и на ее основе построены замкнутые решения несвязанных нестационарных осесимметричных задач пря-

мого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при радиальной поляризации материала;

5. Получены расчетные соотношения, позволяющие учесть влияние характеристик внешней цепи (измерительного прибора) на форму и величину индуцируемого электрического импульса в пьезокерамических системах прямого пье-зоэффекта;

6. Представлены новые решения динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для тонкой круглой биморфной пластины постоянной и ступенчато переменной толщины (теория Тимошенко), используемые в резонансных изгибных преобразователях;

7. Разработана математическая модель и построено замкнутое решение для расчетов электроакустических ультразвуковых преобразователей закрытого типа повышенной мощности;

8. На основании полученных расчетных соотношений в среде МаЛсасИЗ разработано программное обеспечение, позволяющее провести численный анализ электромеханических процессов в пьезокерамических телах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью, в пределах сформулированных допущений, математической постановки, а также метода решения рассматриваемых начально-краевых задач электроупругости, совпадением численных результатов в частных случаях с известными решениями и экспериментальными данными, а также соответствием качественных результатов расчета физической картине исследуемых процессов.

Практическая ценность работы определяется возможностью использования полученных автором решений, разработанных алгоритмов и программных средств при проектировании новых, а также улучшения технических характеристик существующих, пьезокерамических динамических преобразователей. Полученные результаты позволяют значительно сократить объем дорогостоящих исследований на моделях, а также обосновать рациональную программу экспериментов.

Представленные методики и их программная реализация нашли применение при модернизации прибора ударного действия, предназначенного для определения марки материала непосредственно на строительной площадке «Устройство для определения прочности бетона» ( патент №1778675 от 11.06.1993), а также при проектировании ультразвуковых электроакустических преобразователей закрытого типа ( патент №71496 от 10.03.2008). Результаты внедрения прикладных исследований подтверждены соответствующими актами, приведенными в приложении 1 к диссертационной работе.

Полученные в работе результаты используются также в учебном процессе при подготовке аспирантов Самарского государственного архитектурно-строительного университета по специальности 05.23.17 - «Строительная механика» при изучении следующих учебных дисциплин: «О постановке и решении краевых задач динамики для упругих элементов конструкций, взаимодействующих с сопряженными полями гидроупругости, термоупругости, электроупругости», «Экспериментальные методы в строительной механике». Соответствующий акт приведен в приложении 1.

На основании проведенных исследований были получены два патента на полезные модели, связанные с преобразованием механической энергии в электрическую с помощью толстой кольцевой пьезокерамической пластины.

На защиту выносятся:

1. Новый теоретический подход динамического расчета анизотропных пьезо-керамических тел при действии силовой и электрической нагрузки;

2. Методы расчета и аналитические решения связанных динамических осе-симметричных задач для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при аксиальной и окружной поляризации материала;

3. Алгоритм расчета вынужденных осесимметричных изгибных колебаний сплошной толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины;

4. Решения связанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффекта для пьезокерамического бесконечно длинного цилиндра при радиальной поляризации материала;

5. Математическая модель расчета и замкнутые решения несвязанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при радиальной поляризации материала;

6. Замкнутые решения динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для тонкой круглой биморфной пластины постоянной и ступенчато переменной толщины в постановке теории Тимошенко;

7. Математическая модель и замкнутое решение для расчетов электроакустических ультразвуковых преобразователей закрытого типа повышенной мощности;

8. Численный анализ электромеханических процессов в пьезокерамических телах конечных размеров.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Современные проблемы строительного материаловедения» ( СамГАСУ, Самара, 1995 ); 50-53,57-69 Областных научно-технических конференциях СамГАСУ ( Самара, 1993- 1996, 2000-2013 ); 3,4 - ой научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Инженерн. академ. России.(СамГТУ, 1993,1994 ); II- й Международном симпозиуме « Динамические и технологические