Электроупругие колебания и волны в пьезокерамических полых цилиндрах и шарах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА

1.1. Уравнения движения сплошной пьезоэлектричеЬкой среды.

1.2. Определяющие соотношения для пьезоэлектрических материалов.

1.3. Термодинамический потенциал электрической энтальнии; естественные граничные условия.

ГЛАВА 2. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛОМ ПЬЕЗОКЕРАМИ

ЧЕСКОМ ЩЛИЦЦРЕ

2.1. Пьезокерамический циливдр с осевой поляризацией .19'

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Решение краевой задачи /2.7/,/2.8/; вывод дисперсионного соотношения

2.1.3. Анализ дисперсионного соотношения

2.2. Пьезокерамический цилиндр с радиальной поляризацией

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Вывод дисперсионного соотношения

2.2.3. Анализ дисперсионного соотношения

ГЛАВА 3. НЕО СЕ СИ ММЕТРМ ЧНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛОМ ПЬЕЗОКЕРАМИ

ЧЕСКОМ ЦШШВДРЕ.

3,1. Пьезокерамический цилиндр с осевой поляризацией

3.1 Л, Постановка задачи.^

3,1.2. Решение задачи /3.5/,/3.6/; вывод дисперсионного соотношения

3.1.3. Анализ дисперсионного соотношения

3.2. Пьезокерамический цилиндр с радиальной поляризацией

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Решение задачи /3.23/,/3.24/; вывод дисперсионного соотношения.

3.2.3. Анализ дисперсионного соотношения

3.3.Пьезокерамический цилиндр с окружной поляризацией .'/•';

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Решение задачи /3.39/, /3.40/; вывод дисперсионного соотношения.

3.3.3. Анализ дисперсионного соотношения

ГЛАВА 4. СОБСТВЕННЫЕ ОСЕСШМЕТШЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГО

ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ШАРА,ПОЛЯРИЗОВАННОГО В РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ

4.1. Постановка задачи

4.2. Решение задачи /4.7/, /4.8/; вывод частотного уравнения.

4.3. Анализ частотного уравнения

Свойства пьезокерамических материалов подвергаться электрической поляризации под действием механических напряжений /прямой пьезоэффект/ и деформироваться под действием электрического поля /обратный пьезоэффект/ лежат в основе многочисленных устройств, которые применяются в различных областях науки и техники 3,48^2.2,3^"]. Область применения этих материалов быстро растет, особенно в последние годы, в связи с появлением материалов с большими коэффициентами электромеханической связи и малым затуханием ультразвуковых волн, а также эффективных методов их возбуждения ]Л48/|Ч], это создало условия для применения пьезоэлектрических материалов не только в качестве резонаторов для излучения и приема акустических волн, для контроля и стабилизации частоты, в качестве линий задержки и т.д., но и в ряде новых радиотехнических устройств: полосовых фильтров электрических импульсов, элементов кодирования и дэкодирования сигналов, устройств для усиления, сжатия и запоминания импульсов и т.д.

Сопряженность электрического.поля и упругих деформаций,анизотропия упругих и электрических свойств пьезоэлектрических материалов существенно усложняют анализ волновых явлений по сравнению' с чисто упругим материалом. Это приводит к тому, что хорошо разработанные аналитические методы теоретического исследования динамических процессов в упругих материалах, становятся применимыми лишь в некоторых частных случаях, в зависимости от симметрии свойств материала, направления поляризации /если материалом является поликристаллический сегнетоэлектрик/ или направления среза /если материалом является монокристалл/ и т.д.

Прежде всего это одномерные задачи для элементов простейшей геометрии: стержней, колец, дисков и т.д. Они подробно исследованы в монографиях У.Мэзона , Е.Кикучи , Бергмана [ 3] и да.

Одним из наиболее исследованных является класс задач о распространении поверхностных волн - акустоэлектрических волн Рэлея /т.н. "жестких" Рэлеевских волн/ и волн Елюстейна-Гуляева /акустоэлектрический аналог волн Лява/. Интерес к этому классу задач возрос после появления встречно-штыревого преобразователя /ВШП/, благодаря которому появился эффективный метод возбуждения поверхностных акустических волн /ПАВ/ J . ПАВ оказались более удобными в использовании, чем объемные волны, поскольку они обеспечивают простой доступ на любом участке волновода. Подробный перечень работ, посвященных этой проблеме можно найти в монографиях У.Мэзона [4б] , М.К.Балакирева и Й.А.Гилинского

4] Э.Дьелесана и Д.Руайе E^&J , а также обзорах И.А.Викторова [И] , Б.А. Кудрявцева [32] f, Г.Кайно и Дж. Шоу [21] , Олинера [47] .

Задачи о радиальных колебаниях цилиндров и щаров рассмотрены в работах ВФА,Борисейко и А.Ф.Улитко [ , Г.А.Коломийца и А.Ф.Улитко [23,24"] ,в.Н. Дазуткина£35]р.Н. Лазуткина , А.И. Михайлова [ЗС] 7 AdelmanaNJ.TvSWsU^Vv S&p\ Е . [ 58,5О]

Распространение акустоэлектрических волн Лэмба исследовано в работах О.В.Боровкова, И.Я.Кучерова и И.П.Голямина t

Е.А.Косачевской и Л.Я.Косачевского [2б] 9 КосмодамианскогоА.С. А.С. и Ложкина В.НХ27] , Космодамианекого А.С., Пестренко Т.П. и Сторожева В.И. [28] , Космодамианского А.С. и Сторожева В.И.

2.9] , Н.Я.Коцаренко и И.Я.Кучерова [31] , В.В.Мадор-ского и Ю.А.Устинова

42,43] ,3.L Bleu stew, И.КТГег^еп.Г&7 М. S. Cheng, j С. Т. Sun. \<ЬЪ\^1кедаш1 S.} I.Uedct, S. Ko6ayaski\(>h~\} Ganguly SX [65],Lawsoit A. W. [ejJ^indh'n R.D. [69 -72] JUSMul, D.R RajuXl7],Q.Ht Schmidt [79], Ttsrsien. H.F. [81,83,84]

И. F. Tiers-ten. j А7. P. Mmcfh'n, [ 82Д, J. Ze/e«.&? I663

Акустоэлектрические крутильные волны в полом цилиндре из -кварца исследованы в работе h.s.w . Задачи о распространении акустоэлектрических волн в сплошном круговом цилиндре, поляризованном в продольном направлении,рассматриваются в работах Н.Ф.Ивиной и Б.А.Касаткина /осесимметрич-ная задача/ и H.S.Pauf Г 753 /неосесимметричная задача/.

Осесимметричная задача на вынужденные электроупругие колебания толстостенного пьезокерамического шара при механическом возбуждении его поверхностей рассматривается в работе В.А.Бори-сейко и А.Ф.Улитко [ Т]

Из приведенного обзора следует, что в научной литературе отсутствуют работы по исследованию распространения осесимметрич-ных и неосесимметричных акустоэлектрических волн в полых пьезо-керамических цилиндрах с различными направлениями предварительной поляризации пьезокерамики. Не исследована также задача о собственных электроупругих колебаниях полого пьезокерамического шара.

На основании изложенного выше анализа, сформулируем цель настоящей диссертационной работы, состоящей в постановке осесим-метричных и неосесимметричных задач о распространении акустоэлектрических волн в полом пьезокерамическом цилиндре при различных направлениях /осевом, радиальном и окружном/ поляризации пьезокерамики и осесимметричной задачи о собственных электроупругих колебаниях полого шара, поляризованного в радиальном направлении; численно-аналитическом исследовании указанных задач и изучении влияния пьезоэффекта на динамические характеристики волноводов и резонаторов.

Таким образом,на защиту выносятся следующие положения: - постановка и разработка эффективного способа решения осесимметричных и иеосесимметричных задач о распространении акусто-электрических волн в полом пьезокерамическом цилиндре при различных направлениях поляризации и осесимметричной задачи о собственных электроупругих колебаниях полого пьезокерамического шара;

- исследование качественного и количественного влияния пьезо~ эффекта на динамические характеристики рассмотренных волноводов и резонаторов.

Перечисленные выше задачи описываются системами однородных уравнений в частных производных с однородными граничными условиями, которые после отделения части пространственных переменных», сводятся к системе однородных обыкновенных дифференциальных урав-яений по радиальной координате. Ввиду того, что коэффициенты получаемой системы являются аналитическими, то и решение этой системы также будет аналитическим и его можно представить степенными рядами . Аналогичным способом в работах Н.А.Шульги\53,5-^], Н.А.Шульги и Е.А.Рамской исследовано распространение осесимметричных^неосесимметричных упругих волн в ортотропных цилиндрах. В конечном итоге задача сводится к решению системы однородных алгебраических уравнений, из условия существования нетривиального решения которой получается дисперсионное /частот*, / соотношение ное/ соотношение. Дисперсионное /частотное/ анализируется численно с применением ЭВМ.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит ИЗ страниц машинописного текста, 19 рисунков и библиографический список, включающий 86 наименований.

В первой главе приводятся основные соотношения линейной динамической теории пьезоэлектричества в случае малых деформаций " среды.

Во второй главе рассматриваются осесимметричные задачи о распространении акустоэлектрических волн в полом пьезокерамическом цилиндре при осевой и радиальной поляризации пьезокерамики. Случай окружной поляризации не рассматривается поскольку в этом случае осесимметричные волны являются чисто упругими. Для решения поставленных задач предлагается способ, основанный на представлении амплитуд бегущих волн степенными рядами по радиальной координате. Полученное дисперсионное соотношение анализировалось численно. Изучается влияние сопряженного электрического поля на динамические характеристики волновода.

В третьей главе исследуются неосесимметричные акустоэлектрические волны в полом пьезокерамическом цилиндре при осевой, радиальной и окружной поляризации пьезокерамики. Дисперсионные соотношения, получаемые в результате решения этих задач анализируются численно, при этом изучается влияние сопряженного электрического поля на динамические характеристики волноводов.

В четвертой главе исследуется осесимметричная задача о собственных электроупругих колебаниях полого пьезокерамического шара, поляризованного в радиальном направлении. Поверхности шара свободны от механических воздействий и покрыты тонкими короткозамк-нутыми электродами. После отделения части пространственных переменных решение задачи .ищется в виде рядов по степеням радиальной координаты. Частотное уравнение анализируется численно, при этом изучается влияние пьезоэффекта и относительной толщины шара на спектр собственных частот.

Основное содержание диссертации изложено в рабо тахрАг1 6 SMo.sssfc] и апробировано на семинарах отдела электроупругости Института механики АН УССР, на Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе", г. Киев /1982/, на У1 Советско-польском симпозиуме по неклассическим проблемам механики тонкостенных конструкций, г. Киев /1983 г./, на

X научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР, г. Киев /1984/, на Ш Всесоюзном симпозиуме "Теоретические вопросы магнитоупругости", Ереван /1984/, на семинаре кафедры теории упругости и вычислительной математики Донецкого госуниверситета /1984/, на семинаре при механико-математическом факультете Киевского госуниверситета /1984 /.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Н.А.Щульге.

Основные результаты и выводы проведенных в диссертации исследований следующие:

1. Дана постановка, развит способ решения и исследованы новые пространственные задачи электроупругих колебаний и волн в полых пьезокерамических телах цилиндрической и сферической формы,

2. Изучены осесимметричные волны в полом пьезокерамическом направлениях цилиндре, поляризованном в осевом и радиальном, боковые поверхности которого свободны от механических воздействий и покрыты тонкими короткозамкнутыми электродами. При этом установлено; а/ в случае осевой поляризации пьезокерамики влияние пьезоэффекта проявляется как в количественном так и в качественном отношении. Максимальное расхождение в частотах, вызываемое учетом сопряженного электрического поля на рассматриваемой части спектра (О О^ Re^^, o.GOr ^ о < Т т^, ^ о.да ) составляет около 70^; б/ в случае радиальной поляризации влияние связанности полей /упругого и электрического/ менее существенно, чем при осевой поляризации,' Наибольшее расхождение в частотах, вызываемое учетом пьезоэффекта, наблюдается в первой дисперсионной ветви и составляет на рассматриваемой части спектра около 23%.

3. Изучены не9:есимметричные волны в полом пьезокерамическом цилиндре, поляризованном в осевом, радиальном и окружном направлениях, при тех же граничных условиях» При этом установлено: а/ При осевом и окружном направлениях предварительной поляризации пьезокерамики влияние сопряженного электрического поля на спектр нормальных волн весьма существенно и приводит к его как количественной, так и к качественной перестройке. Максимальное расхождение в частотах на рассматриваемой части спектра наблюдается для нормальных волн, которые и при рождении являются связанными акустоэлектрическими ,и составляет 68% в случае осевой поляризации ( = и 45% в случае окружной (m=l) ; б/ в случае радиальной поляризации влияние связанности полей на характер дисперсионных ветвей значительно меньше. Наибольшее расхождение в частотах, вызываемое учетом пьезоэффекта, наблюдается для первой нормальной волны, которая рождается как чисто упругая. Величина этого расхождения составляет около 24%

4. Изучены собственные осесимметричные электроупругие колебания полого пьезокерамического шара, поляризованного в радиальном направлении,' поверхности которого свободны от механических воздействий и покрыты тонкими коротко замкнутыми электродами. Проведенный анализ влияния сопряженного электрического поля на зависимость собственных частот от геометрического параметра г к позволяет сделать вывод, что это влияние на большей части спектра незначительно ( о ^ ® ^ 8 , о ^ £ ^ о .в). Максимальное расхождение, вызываемое учетом пьезоэффекта составляет 25%, В области малых £ с приемлемой погрешностью допустимо вычисление первых семи частот по прикладным теориям не учитывающим пьезоэффект.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокриста$ах. Новосибирск : Наука, 1982, 236 с.

2. Боровков О.В., Булах П.В., Кучеров И.Я. Исследование распространения упругих волн в слоистых пластинах.- Укр. физ. журн., 1975, 20, №12, с. 2058-2060

3. Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке и технике. М.: ИЛ", 1957, 726 с.

4. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффэ Г. Пьезокриста&ческие и пьезо-магнитные материалы и их применение в преобразователях.- В кн.: Физическая акустика, М.: Мир, т.1, ч.А, 1966, с. 204-326

5. Борисейко В.А. Связанные электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сферы в сжимаемой жидкости.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1972, вып. 12, с.ГП-115

6. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сферы.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1971, вып. II, с. 86-89

7. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сферы.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1974, вып. 14, с. I2I-I26

8. Боровков О.В., Кучеров И.Я. Электрическое поле, сопровождающее упругие волны в пьезокерамической пластине.- Укр. физ. журн., 1975, 20, №4, с. 591-595

9. Викторов И.А. Ультразвуковые волны Лэмба.- Акуст. журн., 1965, II, вып. I, с. I-I8

10. Викторов И.А. Физические основы применения Ультразвуковых волн Релея и Лэмба в технике, М.: Наука, 1966,

11. Викторов И.А. Типы звуковых поверхностных волн в тведых телах.- Акуст. журн., 1979, 14, вып. I, с. I-I7

12. Голямина И.П. К вопросу о колебаниях по толщине поляризованных пластин титаната бария.- Акуст. журн., 1955, I, вып. I, с. 40-47

13. Григоренко А.Я., Лоза И.А., Шульга Н.А. Распространение осе-симметричных волн в пьезокерамическом полом Цилиндре.- Докл. АН УССР, Сер. А, 1983, №3, с. 34-37

14. Григоренко А.Я., Лоза И.А., Шульга Н.А. Распространение не-осесимметричных акустоэлектрических волн в полом цилиндре.-Прикл. механика, 1984, 20, №6, с. 24-29

15. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.- Киев: Наук, думка, 1981, 284 с.

16. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах.- М.: Наука, 1982, 424 с.

17. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков.- М.: Наука, 1968, 464 с.

18. Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Нормальные волны в анизотропном пьезоактивном волноводе.- Дефектоскопия., 1975, №4, с. 27-32

19. Кайно Г., Шоу Дж. Акустические поверхностные волны.- Успехи физ. наук, 1974, ИЗ, вып. I, с. I5I-I79

20. Кикучи Е. Ультразвуковые преобразователи. М.: Мир, ТГ972, 424 с.

21. Коломиец Г.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания пьезокерамических тел.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1969, вып. 8, с. 15-24

22. Коломиец Г.А., Улитко А. Ф. Связанные электроупругие колебания толстостенных пьезокерамических цилиндров.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1970, вып. 9, с. 5-13

23. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах, М.: И.Л., 1955, 192 с.

24. Косачевская Е.А., Косачевский Л.Я. Сдвиговые волны в пьезо-керамическом слое.- Теорет. и прикл. механика, Респ. межвед. темат. научн.-техн. сб., 1977, вып. 8, с. II3-II5

25. Космодамианский А.С., Ложкин В.Н., Асимптотический анализ электроупругого состояния тонкого пьезокерамического слоя.-Прикл. механика, 1978, 14, №5, с. 3-8

26. Космодамианский А.С., Петренко Т.П., Сторожев В.И. Пространственные упругие колебания и нормальные волны в анизотропных пьезокристаллических пластинах.- Докл. АН УССР, Сер.А, 1982, W2, с. 33-36

27. Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Пространственные колебания анизотропных пластин с учетом сопряженных температурныхи электрических полей.- В кн: научн. совещ. по тепл. напряжениям в элементах конструкций: Тез. докл. Киев: Наук, думка, 1980, с. 51

28. Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Колебания пьезокристаллических пластинок с многосвязной границей.- Тез. докл. III Всесоюзн. симп." Теоретические вопросы магнитоупругости", Ереван, 1984, с. 103-104

29. Коцаренко Н.Я., Кучеров И.Я., Островский И.В., Протопопова Л.Ф.,

30. Федорченко A.M. Электронное затухание и усиление волн Лэмба

31. Кудрявцев Б.А. Механика Пьезоэлектрических материалов.- М.: Наука, 1978, т.П, с. 5-66

32. Кучеров И.Я.,Островский Й.В. Взаимодействие поперечных ультразвуковых волн с носителями заряда в пластинах пьезополупро-водников.- ФТТ, 1970, 12, №6, с. 21-26

33. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение. М.: ШГ, 1949, 718 с.

34. Лазуткин В.Н. Колебания полого пьезокерамического шара. Акуст. журн., 1971, 17, Р4, с. 588-592

35. Лазуткин В.Н., Михайлов А.И. Колебания пьезокерамических цилиндров конечных размеров с поляризацией по высоте.- Акуст. журн., 1976, 22, вып. 3, с. 393-399 "

36. Лазуткин В.Н., Цыганов Ю.В. Аксиально-симметричные колебания и электрический импенданс пьезокерамических колец с радиальной поляризацией.- Акуст.журн., 1971, 17, №3, с. 394-399

37. Лоза И.А. 0 спектральных свойствах полого пьезокерамического волновода, поляризованного по толщине.- Труды X научн. конф. молодых ученых Института механики АН УССР, 1984, Ч. 2 , с. 242246 , Рукопись деп. в ВИНИТИ 30.07.84 №5535-84 Деп.

38. Лоза И.А. Распространение неосесимметричных акустоэлектрических волн в полом пьезокерамическом цилиндре с окружной поляризацией.- Тез. докл. III Всесоюзн. симп. "Теоретические вопросы магнитоупругости", Ереван, 1984, с. I09-III

39. Лоза И.А. , Шульга Н.А. Осесимметричные колебания полого шара при радиальной поляризации.- Прикл. механика, 1984, 20, №2, с. 3-8

40. Ляв А. Математическая теория упругости.- 0НТИ, М.-Л., 1935, 676 с.

41. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Симметричные колебания пьезоэлектрических пластин.- Изв. АН Арм.ССР, Механика, 1976, 29, №5, с. 51-58

42. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисиммери-чных колебаний пьезоэлектрической плиты.- Журн. прикл. мех.и техн. физ., 1976, Р6, с. 138-145

43. Махорт Ф.Г. О теории деформирования поляризующихся и намагничивающихся тел.- Прикл. механика, 1980, 16, №3, с. 22-31

44. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинах.- Физ. акустика: Принципы и методы. Пер. с англ., 1966, IA, с. 140-203

45. Олинер А., Фарнелл Дж., Джерард Т. и др.- Поверхностные акустические волны.-М.: Мир, 1981.- 390 с.

46. Рамская Е.И., Шульга Н.А. Исследование скоростей и форм распространения осесимметричных волн вдоль ортотропного полого цилиндра.- Прикл. механика, 1983, 19, №3, с. 25-30

47. Рамская Е.И., Шульга Н.А. Распространение упругих волн в ортотропном полом цилиндре.- Прикл. механика, 1983, 19, №9, с. 9-13

48. Сиротин Ю.И. j Шаскольская М.П. Основы криста^Ьфизики# Наука, 1975, 680 с.

49. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976, 616 с,

50. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезо керамических тел.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975, вып. 15, е. 9099

51. Шульга Н.А. Распространение осесиммтричных упругих волн в ортртропном полом цилиндре.- Прикл. механика, 1974, 10, №1, с. 14-18

52. Шульга Н.А. Собственные колебания трансверсально-изотропной полой сферы.- Прикл. механика, 1980, 14, №12, с. 108-III

53. Шульга Н.А., Григоренко А.Я., Лоза И.А. Осесимметричнные электроупругие волны в полом пьезокерамическом цилиндре.-Прикл. механика, 1984, 20, PI, с. 26-32

54. GO. QmbardarFerris С. P. И'/aire propagation, in. a. piezoelectric -two-layered cylindicctl shelf with, hexagonal Symmetry: some implications for long 6one.J. Qсо test. Soc. Gmer.; 1978; 63, rrs3f p. T31- 792

55. Cheng N".S.} Sun C.T. Wcnre propagation in. tvro-Layered piezoelectric plates .J* (2 сои sir. Soc. О me г. 197£~, £7. a/23. p. £32- 638

56. Q>h. Ike да mi S.? Ue-da TtJ Коваyash-i S. Frequency spectra of resonant iritirations in disk plates of P§Ti Oz piezoelectric ceramic. — J. Cfcoust. Soc. Qmer., 2,44

57. G-anguly S.U. Vibrations of a I thick infinite plcrle of piezoelectric crystal. Pev. roun?. set. techn. Ser. rrtec. appl., 137£, 2£J /VJ?^ ^ $-££-£71

58. Кода Т. Thickness vi€rations of piezoelectric oscillating crcfstal/s. Physics, 1932, 70-80

59. Lctwsoyi A. W. The vi6rc?tions o-f piezoelectric plates. PhifS. Rev.; 1942, us C2,p. 7/-75"

60. Mason ty. P. Pie-zoelectrisitcf, its history and application, ~J. Qcoust. Soc. Ctmer.j 4981, 7oj p. 15G1- <f£66

61. Mmdhn P.P. Forced thick tiess- shecfr and fleocc/rai. plates, J. Oppl. Phys.y 19£2,2^р. 83-8872. iTlindlin R. D. Coupled piezoelectric у/б rations cf plates. Tnt J. Solids and Struct; 1974J 10, £43-££~9

62. Pa if I U.S. Vi6rat ions of Circutqn Cylindical Shells ef piezoelectric Silver Jodide Crystals. J. Cfcoust. Soc. Qmer. y 196G; WT7-W8o

63. Fhi/l H.S.j Yen t rate swara S./f. Torsional wav-e propagation in a fin i fe piezoelecrtric cylindrical shells. Fhx:. Indian tfcrt. Sci. Ctcad y № 77 A4Z, "Г&2

64. Tiersien H. F~. Linear- ptezoeled-ric plate vibrations. Elements of linear- "theory of piezoelectrici ty ctnd the. yi'6rations cf piezoelectrcb places. Now. York • Яепит fress; 1969. -2 OSл

65. Tiersten H.F., Mind It 'n P. P. Forsed К'вrations of Pi&zo -eleciric Crystal Plates. 6?ppl. Mathem., 1962,j/£ 20;/?. -Г07

66. J. Tiers fen H.K Vcty-e propaya -fion in crn t'nft'ntte pt'ezo-efecirtc plcr-fe. J. tfcousl-. Сое. (Япег^ r 1

67. T/ers+en H.F. Tfrt'ctrness Yt'6 ret-f tons of /ve?e?e/ec/r^c plate. J. C?coi/s./. Soc. a/° £

68. Wilson L tf, Morrison J. A. №евес+гс'с rocf<z of /гегемоне?/ cry sic? I symmetry, tfucrr?.

69. JT?ech. cuncf Math.; ?977,2о^ voJ,^ p. Ze7~2,S£

70. Be. Z<*!e»k« X 77?c ^//^^e e/ecWes thefrequency ef AT-cut yvarts ptcrte. Tn+. J. So /с cf W SI rue f. /97Sj </J, 8; f>. 871- 876.