Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной

Амвросьева, Анна Владимировна

Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Амвросьева, Анна Владимировна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной»

Автореферат диссертации на тему "Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной"

005002/4* *<Ф/~

На правах рукописи

АМВРОСЬЕВА АННА ВЛАДИМИРОВНА

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛАСТИН С ТРЕЩИНОЙ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

1 7 НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург- - 2011

005002744

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Мусалимов Виктор Михайлович Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ефремов Леонид Владимирович кандидат технических наук, доцент Иванов Андрей Юрьевич

Ведущая организация: Институт физики прочности и

материаловедения Сибирского отделения

РАН

Защита состоится "8" декабря 2011 в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, г. Санкт-Петербург, Большой пр., В.О., д. 61

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН. Автореферат разослан «#» 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

профессор

Дубаренко В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В настоящее время пьезокерамика все чаще используется в технических устройствах, например, в создании биморфов для пьезоэлектрических схватов, зондов для литографии и другое. (Смирнов А.Б., Голубок А.О., W.S. Hwang, Н.С. Park). Функциональные детали из пьезокерамики обычно выполнены в виде стержней или пластин. Как показывают опыты, иьезопластины работают в условиях циклических и статических нагрузок. Поэтому расчеты напряженно-деформированного состояния этих пластин, а также учет наличия трещин и использование средств механики разрушения для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений являются основой прогнозирования работоспособности и надежности конструкции на их основе.

B.З., Морозов Е.М., Кудрявцев Б.А., Фильштинский М.Л и другие. Хеланном К., Керштеином И.М., Клюшниковым В.Д., Ломакиным Е.В., Шестериковым

C.А. и другими были обоснованы экспериментальные подходы к классической механике разрушения.

Пьезокерамические элементы, обладающие упругими и электромеханическими свойствами, активно используются в качестве электромеханических преобразователей. Пьезокерамические

преобразователи основаны на действии пьезоэлектрических эффектов: прямой пьезоэффект (образование электрических зарядов на поверхности тела при его механической деформации) и обратный пьезоэффект (это образование деформации при наложении разности потенциалов на его

поверхности). Этим свойством обладают некоторые кристаллы, которые относятся к типу сегнетоэлектриков.

В робототехнике системы с такими свойствами используются как средства для прецизионных перемещений миниатюрных изделий. Проблема оценки прочности элементов пьезокерамических систем и их надежности при наличии трещин относятся к разряду актуальных.

Целью диссертационной работы является исследование напряженно-деформированного состояния нагруженных пьезоэлектрических пластин с трещинами, оценивание их прочности, долговечности и надежности.

Задачи исследования. Для досгижения этой цели в диссертации были поставлены и решены задачи:

1. Осуществить постановку и решение задач о напряженно-деформированном состоянии пьезокерамических пластин.

2. Разработать алгоритм расчета коэффициентов интенсивности напряжений для пьезокерамических пластин с трещиной.

3. Разработать критерий разрушения пластин с учетом связанности полей.

4. Разработать программу расчета долговечности и надежности пьезокерамических пластин при работе в системе схватов.

Методы_исследования. Основные результаты работы получены

аналитически, численными методами теории упругости, классической механики разрушения и механики связанных полей в твердых телах, а также с использованием программных пакетов АпвуБ 13.0 и МаГЬаЬ 7.0.1.

Научная_новизна и практическая ценность работы диссертации

заключается в следующем:

1. Впервые поставлены и решены задачи о напряженно-деформированном состоянии пьезокерамических пластин, используемых в качестве конструктивных элементов схватов.

2. Рассчитаны коэффициенты интенсивности напряжений для пьезокерамических пластин с внутренними и поверхностными трещинами. Установлено, что в заданных условиях коэффициент интенсивности напряжений для трещин нормального отрыва А'/ и коэффициент интенсивности напряжений для трещин продольного сдвига Кц сравнимы по порядку.

3. Впервые построен критерий разрушения с учетом связанности полей.

4. Впервые предложена новая характеристика трещиностойкости «скорость освобождения энергии ускорений», численное значение которой определяется частотой колебательности процесса роста трещин.

5. Разработана программа расчета долговечности и надежности пьезокерамических пластин и оценен их ресурс при работе в системе схватов.

6. Впервые предложена зависимость для связи параметров критерия Коффина-Мэнсона и параметров закона распределения Вейбулла.

Материалы диссертационной работы использованы в практических занятиях кафедры Мехатроники СПб НИУ ИТМО по дисциплине «Теория надежности».

На защиту выносятся следующие положения.

1. Метод решения задач о напряженно-деформированном состоянии пьезокерамических пластин.

2. Алгоритм расчета коэффициентов интенсивности напряжений для пьезокерамических пластин с трещиной.

3. Новый критерий разрушения пьезокерамических пластин с учетом связанности полей.

4. Частотная характеристика трещиностойкости.

5. Программа расчета долговечности и надежности пьезокерамических пластин при работе в системе схватов.

Апробация работы. Основные положения диссертационный работы докладывались на конференциях: Конференция Молодых Ученых (20082011), Девятая сессия международной школы, посвященная памяти В.П. Булатова, Санкт-Петербург (2009), 7Ш EUROMECH Solid Mechanics Conference, Лиссабон, Португалия (2009), XV International Colloquium Mechanical Fatigue of Metals, Ополе, Польша (2010), XXXIX Неделя Науки СПбГПУ, Международная научно-практическая конференция, Санкт-Петербург (2010), Профессорско-преподавательский состав, Санкт-Петербург (2011), XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь (2011), X Всероссийский съезд rio фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, 24-30 августа 2011, Нижний Новгород, на семинарах ИПМаш РАН, кафедры Мехатроники СПб НИУ ИТМО, кафедры Триботехники ПИМаш. Работа выполнена в рамках программы Минобрнауки РФ, проект ПНР 1.2.1/1147

Публикации. По материалам диссертационных исследований опубликовано 11 работ, из них 3 - в журналах из перечня ВАК, 2 - в иностранных изданиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 147 наименований. Диссертация изложена на 104 страницах, включает 44 рисунка и 11 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, определены цели и задачи исследований, научная новизна, практическая ценность и основные положения выносимые на защиту.

В первой главе кратко приведено описание процесса поляризации в кристаллах и пьезокерамических материалах. Дано описание конструкций -биморфов, и обосновано использование методов механики разрушения для постановки и решения задач о напряженно-деформированном состоянии и

разрушении пластин - составляющих элементов Оиморфов и использующихся для изготовления схватов.

Вторая глава посвящена решению задачи о напряженно-деформированном состоянии пьезоэлектрических пластин. На рис. 2.1 представлена схема включения биморфа, собранного из двух пластин.

а) б) в)

Рис. 2.1 Схема включения биморфа (1 - заделка, 2 - пьезобиморф):

а) последовательное, б) параллельное; в) обе пластины возбуждаются в направлении поляризации.

В данной работе рассматривается двухпальцевый пьезоэлектрический схват, (Смирнов А.Б. и Крушинский И.А.), который состоит из двух биморфов (рис. 2.2).

В таблице 2.1 приведены расчетные схемы, используемые в диссертационной работе для анализа напряженно-деформированного состояния пластин.

Рис. 2.2 Пьезокерамический схват.

Таблица 2.1

2А

~1Т

Пластина с электродироеанными поверхностями

Пластина, нагруженная силой Р

;|к р

2222Шк

Ш-

ЮЛ,

Пластина. нагруженная силой Рис электродироеанными поверхностями

Пластина, нагруженная силой Р

При постановке и решении задач о напряженно-деформированном состоянии были использованы определяющие уравнения пьезоэлектричества (Новацкий В., Бардзокас Д.И., Морозов Е.М. и другие)

В соотношениях (2.1) и (2.2) приняты обозначения: ец -

компоненты тензоров механического напряжения и деформаций, £>,, Е^ -

компоненты векторов электрической индукции, напряженности

электрического поля, с|4/, е^, с*- - соответственно обозначают модуль

упругости пьезосреды, измеряемые при постоянной напряженности электрического поля, пьезоэлектрические постоянные и диэлектрические проницаемости, измеряемые при постоянных деформациях.

Пьезоэлектрическая керамика с определенными пьезоэлектрическими свойствами аналогична по свойствам ромбической системе класса тт2 кристалла. Здесь речь идет о двух взаимно перпендикулярных плоскостях симметрии (плоскостями х,лг. и х.хз) и с двукратной осью симметрии, параллельной оси х,, и для этой системы справедлива система уравнений:

= ^ + ^ = (2.3)

дх, дхг дх{ дхъ

§ + ^ = 0 (2.4)

ах, дх, дх,

I/ и I/ о с с/

0-ц = —> = -ГТ' = = *-2'5)

д-Ц _<?£_ _

т ! ' " а г ' °и " _ - а "

охг дх1 охрхг

где функции и{х1,х1) и <р{х,л'3) связаны уравнениями (Морозов Е.М., Бардзокас Д.И.)

+ + + = (2.6)

дх1 ох, Зх, сЦ ¿Ц дх*.

л \ ( с/ о ао <р „ о ср п

-= (2.7)

где ¿,,,¿33, пьезомодули.

Рассмотрены четыре варианта нагружения пластины, занимающей область 0<х, <£, |х,|{/1 (таблица 2.1).

Далее приведены результаты расчетов для пластины: длина Ь = 100 мм, Ь/=80 мм, высота 1г - 2,5 мм, ширина Ь = 22 мм, приложенное электрическое напряжение к поверхностям пластины У~±80В, пьезомодули ЛзГ -174-Ш12Кл/Н, с133=374-10'12Кл/Н, приложенная сила Р=5Н.

1. Для пластины с злектродированными поверхностями с х}=±И (поляризация по оси х ) (позиция 1 табл. 2.1), с пьезомодулем с1я и с

граничными условиями <р\х%=±к = ±У{), получены решения.

V у

и =с1 —х)=1,09-10 л/, и =-«/„ —= 11,97-10""л, ' 31 п ' 1 И

еи = I = 0,547-10"° .м, а„ = • £,, = 2,9 104 Д-. п ' м*

2. Для пластины, нагруженной силой Р на крае х, = £ с неэлектродированными поверхностями х3-±Ь (позиция 2 табл. 2.1) и с граничными условиями 03(л,,±/1) = 0, получены решения.

сти ~~~Тх1хз = 17,48-10й а13=-А/,2-х32) = 4-105 Д. I м 21 м

РчЕ

= -^-(1 - ^Х/-2 + х])х, = 52,05 • ЮЛи,

где / = — = 28,6-10"12ai4 - момент инерции поперечного сечения балки

единичной ширины, ¿,,=0,29 - безразмерный коэффициент, sf¡ - упругая h

податливость, лг, =L¡. jr, = —.

3. Для пластины, нагруженной силой Р на крае .т = L с электродированными поверхностями л, = ±h (позиция 3 табл. 1.1), с пьезомодулем dM и dn, и с граничными условиями <р|ч.±4 = ±К0, получены решения.

аи =~~7х1хз =17.48-106 4- = 4-

/ лг 21 м

И. + + =54,1-10^,

п ¿I

щ = ^ + - /;х, + = 17,2 • 10 "'л/,

3 33 h 2/ 3 1 3 ;

4. Для пластины длиной / консольно закрепленной на стойке под углом а к вертикали и нагруженной силой Р на расстоянии a от заделки перпендикулярной его оси получены решения.

=0,19/> = 0,95 Я.

Д X =-^[я cos «sin or/2 ] + ^^i2 cosíjrb - Я &in a cos a (/- 6)'J-

горизонтальное перемещение точки

Третья глава посвящена развитию методов оценки трешиностойкости, постановке и решению задач механики разрушения пьезокерамических пластин.

В главе приведен смешанный критерий разрушения Gt=Gl+Ga, (3.1)

который выражается через коэффициенты интенсивности напряжений так

(3.2)

(1 -v)/E v '

К, - коэффициент интенсивности для трещины нормального отрыва; К„ - коэффициент интенсивности для трещины поперечного сдвига. Е - модуль упругости. Из (3.1) следует 2 2

- + (3.3)

GM, и62= GM

/t/(1 + 4j ) ,т/(1 + 4г) Введены обозначения

(3.5)

о2 = D2TT4(1 + 4jy2), Ь1 = £>2ЖЛ(1 + 4/) (3.6)

В (3.4) пьезомодуль d, интенсивность освобождения энергии G (скорость освобождения энергии) и длина трещины / связаны зависимостью, вычисляющую пьезофизическую величину D2, которая имеет размерность «напряжение в квадрате». Из (3.2) и (3.3) вытекает силовой критерий

К2, + = const, const - —- (3.7)

' 1-v £GC V '

Показано, что характеристики трещиностойкости (Gt = 2у) и частота

колебательности со процесса роста трещины определяют скорость

освобождения энергии ускорений - новую частотную характеристику

трещиностойкости Г = уа> .

На основании расчетов напряжений в первой главе и учитывая

поправочный коэффициент для конечного тела найдены

коэффициенты интенсивности напряжений для трещины в пьезопластине.

Из множества рассмотренных задач в диссертации (растяжение, сжатие, чистый изгиб, поперечный изгиб), в автореферате представлено только четыре задачи с поверхностной трещиной.

1. Для пластины с электродированными поверхностями с х3=±А (поляризация по оси х ) (позиция 1 табл. 1.1) с граничными условиями

<р\х =±/) = ±К0 поправочный коэффициент берется из расчетов для задачи

чистого изгиба, потому что нагружение биморфа напряжениями ои аналогично нагружениго моментами М (парой сил) (рис. 3.1):

1 ц

) м у Л

Рис. 3.1 Трещина, расположенная на поверхности пластины

" "3® " "т" "•»* " «•»• \llla Рис. 3.2 Напряжение в кончике трещины На рис. 3.2 приведено решение данной задачи с помощью пакета ¿\nsys

13.0.

К _____ и^-й Г, П 1П1 ^

= ¿ = 0,547 40^, сп = еп • £33 = 2,9-10" —,

1 "Г , ч >// + *, /V/ > *(/ + *) , ,

л/ж/;// V/-* ¡^^Г'-х-

(3.8)

где о = -—х, М = М N = сг,, • 5,

2. Для пластины, нагруженной поперечной силой Р на крае х =!, с неэлектродированными поверхностями д-, =±/г (позиция 2 табл. 1.1) и с граничными условиями /)3(х1,±А)-0 поправочный коэффициент берется из решения задач для поперечного изгиба (рис. 3.3):

-----4

Рис.3.3 Трещина, расположенная на поверхности пластины

4ж1

и V

-еЬс ■

(3.9)

3 Р

2Ыт1я1 л'

ЗР (Л 4

где г=- 1 —-х'

3. Для пластины, нагруженной силой Р на крае х1 = I с электродированными поверхностями хх=±Ь (позиция 3 табл. 1.1) и с граничными условиями <р1гы = ±У рассчитаны эффективный коэффициент интенсивности напряжений:

= К; + К1,

/Г, =7,2-10

(3.10)

- эффективный коэффициент интенсивности напряжений

4. Для пластины длиной / консольно закрепленной на стойке под углом а к вертикали и нагруженной силой Р на расстоянии а от заделки перпендикулярной его оси (позиция 4 табл. 1.1), поправочный коэффициент берется из решения задачи о трехточечном изгибе (Хеллан К., Шестериков С.А.):

[Л

Рис. 3.4 Трещина, расположенная на поверхности пластины

К, = 3,75 —= 6,1 • 103 —

/(л-/)* Л,2

Четвертая глава посвящена расчету усталости пьезопластин. Сопротивление разрушению при циклическом деформировании существенно зависит от характера нагружения и деформационных свойств материала. Пьезоэлектрические (пьезокерамические) пластины находятся в условиях жесткого нагружения - при постоянных амплитудах деформации. При фиксированной циклической деформации напряжения от цикла к циклу снижаются; затем размах напряжений стабилизируется, и он определяет долговечность элемента. Долговечность, в свою очередь, определяется числом циклов до разрушения.

Для решения задачи о долговечности пьезопластин без трещины используется зависимость

К.] = 0,375йгя, (4.1)

где ст., - предел усталости, <тн - предел прочности; и зависимость Коффина-Мэнсона

Щ-Ь—)

6 (4.2)

где <3"тах - максимальное напряжение, Е- модуль упругости, /V - число циклов до разрушения, I и % - константы.

Для решения задачи о долговечности пьезопластин с трещиной используется закон Пэриса, где существенную роль играет размах коэффициента интенсивности напряжений А К, который связан с размахом напряжений Дет

~ = С;(Л/0",где (4.3)

-¡дт- -текущая интенсивность роста трещины;

п - числовой параметр, изменяющийся обычно в пределах от 2 до 8; С^ - зависящая от п размерная константа материала.

Для расчета ^-циклической долговечности были приняты значения п - 4

и С, =5-КГ13--^—-г (К. Хеллан).

IМПа4м\

Получено значение уУ = 0,5-10:' цикла.

Далее обоснован подход к решению проблемы надежности рассматриваемой системы. Установлено, что значительную ошибку в расчеты вносят погрешность физико-механических свойств пьезокерамики и не четко определенная геометрия пластин. Всё это говорит о том, что

целесоооразно использовать вероятностный подход при определении надежное™ пластин.

Для описания усталостных отказов используется распределение Вейбулла (Ефремов Л.В., Светлицкий В.В.).

Критерий Коффина-Мэнсона можно преобразовать к виду:

I п Л' ---(4.4)

В диссертации закон распределения Вейбулла преобразован к виду

что позволило связать его параметры с параметрами критерия Коффина-

Мэнсона (4.4). Приравниваются 1пИ и 1п(—), где /« - масштабный

'о

коэффициент, связывающий время и число циклов колебаний, тогда

* (4.6)

'о °тах

Данное выражение связывает параметры критерия Коффина-Мэнсона и закона распределения Вейбулла, то есть физические параметры и параметры распределения.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

коэффициент интенсивности напряжений для трещин продольного сдвига Кц сравнимы по порядку.

3. Впервые построен критерий разрушения с учетом связанности полей.

6. Предложена зависимость для связи параметров критерия Коффина-Мэнсона и параметров закона распределения Вейбулла.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях из перечня ВАК:

1. Амвросьева A.B., Мусалимов В.М. Усталостное разрушение миниатюрного пьезоэлектрического схвата. // Известие вузов. Приборостроение. Т. 54 №1,2011. С. 145-148.

2. Амвросьева A.B., Мусалимов В.М. Связанные поля перемещений в нагруженной пьезокерамической консоли с трещиной. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011 №4 (4). С. 1347-1348.

3. Амвросьева A.B., Мусалимов В.М. Расчет усилий в клеммных соединениях. // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Выпуск 48. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. С.81-86.

Прочие публикации:

4. Амвросьева A.B. Смешанный критерий прочности для пьезокерамических конструкций // Сборник трудов XVII Зимней школы по механике сплошных сред. - Пермь, 2011. С. 23-24.

5. Амвросьева A.B. Смешанный критерий разрушения пьезоэлектрика. // Сборник трудов XXXIX Недели Науки СПбГПУ, 6-11 декабря 2010. -

СПб: Издательство Политехнического университета, 2010. С. 6-7.

6. Амвросьева А.В.. Мусалимов В.М., Дудьева Е.П. Механизм разрушения клеммы с плоскопружинным зажимом. // Сборник трудов Девятой сессии международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы машин и механизмов».- СПб: ИПМАШ РАН,

2009.С. 145-149.

7. A. Amvrosieva, V. Musalimov. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs. Proceedings of XV International Colloquium Mechanical Fatigue of Metals, Opole, 2010. C. 13-14.

8. A. Amvrosieva, V. Musalimov. Fracturing Mechanism the Push-Wire Connector. Proceedings of 7lh EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, 2009. Pap_0138_MS-06.

9. Амвросьева A.B. Эквивалентный стержень с двумя степенями неопределенности в задаче механики разрушения для трещины продольного сдвига. // Сборник трудов VI Всероссийский межвузовской конференции молодых ученых. - СПб: СПБГУ ИТМО,

2010. С. 142-143.

10. Амвросьева А.В. Механизм разрушения клеммы с плоскопружинным зажимом. // Сборник трудов VII Всероссийский межвузовской конференции молодых ученых. - СПб: СПБГУ ИТМО, 2009. С. 73-77.

11. Амвросьева А.В. Расчет усилий в клеммных соединениях. У/ Сборник трудов V Всероссийский межвузовской конференции молодых ученых. - СПб: СПБГУ ИТМО, 2008. С. 81-86.

12. Мусалимов В.М., Ротц Ю.А., Астафьев С.А., Амвросьева А.В. Расчет надежности упругих подвесов микромеханических приборов. Учебное пособие по дисциплине «Теория надежности». Издательство, СПб НИУ ИТМО, 20II. 120 С.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении "Университетские телекоммуникации" 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49. Тел. (812)2334669. Объем 1 печ. л. Корректор Мусалимов В.М. Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Амвросьева, Анна Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.

1.1 Пьезоэффект.

1.2 Использование пьезоэффекта в технических системах (пьезопластины).

1.3 Определяющие уравнения связанных полей в твердых телах.

1.4 Три типа трещин.

2. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН.

2.1 Пьезокерамическая пластина как функциональный элемент схвата.

2.2 Основные двумерные задачи уравнений пьезоэлектричества.

2.3 Постановка и решение двумерных задач для пьезопластин.

2.3.1 Напряженно-деформированное состояние электродированной пластины.

2.3.2 Напряженно-деформированное состояние загруженной неэлектродированной пластины.

2.3.3 Напряженно-деформированное состояние электродированной пластины при действии дополнительных сил.

2.3.4 Задача о горизонтальном перемещении концевого сечения наклонной пластины.

2.4 Выводы по главе 2.

3. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН С ТРЕЩИНОЙ.

3.1 Основные двумерные задачи механики разрушения.

3.2 Энергетический критерий разрушения.

3.3 Постановка и решение двумерных задач для пьезопластин.

3.3.1 Напряженно-деформированное состояние пластины с внутренней трещиной.

3.3.2 Напряженно-деформированное состояние пластины с поверхностной трещиной.

3.4 Постановка и решение задач для пьезопластин с помощью программного пакета Атуз 13.0.

3.4.1 Напряженно-деформированное состояние пластины с поверхностной трещиной, с электродированными поверхностями, на которых заданы электрические напряжения.

3.4.2 Напряженно-деформированное состояние пластины с поверхностной трещиной, на которую действует поперечные силы.

3.4.3 Напряженно-деформированное состояние пластины с поверхностной трещиной, с электродированными поверхностями, на которых заданы электрические напряжения и действует поперечные силы.

3.5 Выводы по главе 3.

4. РАСЧЕТ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН.

4.1 Расчет пластин на усталость.

4.2 Расчет надежности пластин при циклических нагрузках.

4.3 Выводы по главе 4.

Введение диссертация по механике, на тему "Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной"

В настоящее время пьезокерамика все чаще используется в технических устройствах, например, в создании биморфов для пьезоэлектрических схватов для проецирования, зондов для литографии и другое. (Смирнов А.Б., Голубок А.О.). Функциональные детали из пьезокерамики обычно выполнены в виде стержней или пластин. Как показывают опыты, пьезопластины работают как в условиях циклических нагрузок так и статических, и для расчетов напряженно-деформированного состояния (НДС) привлекают средства механики разрушения.

Среди работ, которые посвящены вопросам проектирования пьезокерамических биморфов (Andrew J Moskalik, Diann Brei, Hwang W.S), практически не встречаются работы по расчетам на прочность, долговечность и разрушению данных систем. Общие вопросы механики разрушения для пьезокерамики развивают в своих работах Партон В.З., Морозов Е.М., Кудрявцев Б.А., Филыитинский M.JI и др. Хеланном К., Керштейном И.М., Клюшниковым В.Д., Ломакиным Е.В., Шестериковым С.А. и др. были обоснованы экспериментальные подходы к классической механике разрушения. Поэтому необходимо использовать достижения механики разрушения для оценки работоспособности биморфов в условиях статики и динамики.

Пьезокерамические элементы обладают упругими и электромеханическими свойствами и активно используются в качестве электромеханических преобразователей. Пьезокерамические преобразователи основаны на действии пьезоэлектрических эффектов: прямой пъезоэффект (образование электрических зарядов на поверхности тела при его механической деформации) и обратный пъезоэффект (это образование деформации при наложении разности потенциалов на его поверхности). Этим свойством обладают некоторые кристаллы, которые относятся к типу сегнетоэлектриков, а также пьезокерамика.

В робототехнике системы с такими свойствами используются как средства для прецизионных перемещений миниатюрных изделий. Проблемы оценки прочности элементов при наличии трещин относятся к разряду актуальных. Целью является исследование напряженно-деформированного состояния нагруженных пьезоэлектрических пластин с трещинами, оценивание их прочности, долговечности и надежности.

Для достижения этой цели в диссертации были поставлены и решены задачи:

3. Разработать критерий разрушения пластин с учетом связанности полей.

В первой главе обоснована актуальность работы, определены цели и задачи исследований, научная новизна, практическая ценность и основные положения выносимые на защиту. Кратко приведено описание процесса поляризации в кристаллах и пьезокерамических материалах. Дано описание конструкций - биморфов, и обосновано использование методов механики разрушения для постановки и решения задач о напряженно-деформированном состоянии и разрушении пластин - составляющих элементов биморфов и использующих для изготовления схватов.

Во второй главе рассмотрены задачи о напряженно-деформированном состоянии пьезоэлектрических пластин.

Третья глава посвящена задаче механике разрушения пьезокерамических пластин. На основании расчетов напряжений в первой главе и учитывая поправочный коэффициент для конечного тела У — , найдены коэффициенты интенсивности напряжений для трещины, возникающей в пьезопластине.

В четвертой главе представлены расчеты на усталость и надежность пьезопластин. Сопротивление разрушению при циклическом деформировании существенно зависит от характера нагружения и циклических деформационных свойств материала. Пьезоэлектрические пластины находятся в условиях жесткого нагружения - при постоянных амплитудах деформации. При фиксированной циклической деформации напряжения от цикла к циклу снижаются; затем размах напряжений стабилизируется, и он определяет долговечность элемента.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.

1.1 Пьезоэффект

Среди работ, которые посвящены вопросам проектирования пьезокерамических актюаторов с использованием пьезопластин (Andrew J Moskalik, Diann Brei, Hwang W.S), практически не встречаются работы по расчетам на прочность, по долговечности и разрушению данных систем. Только общие вопросы механики разрушения для пьезокерамики развивают в своих работах Партон В.З., Морозов Е.М., Кудрявцев Б.А. и др [102]. Поэтому необходимо использовать достижения механики разрушения для оценки работоспособности пьезопластин в условиях статики и динамики.

Пьезокерамические элементы, рассмотренные в данной работе, обладают упругими и электромеханическими свойствами и активно используются в качестве электромеханических преобразователей. Пьезоэлектрические преобразователи основаны на действии пьезоэлектрического эффекта, открытого братьями Кюри в 1880 г. Прямой пьезоэффект - это образование электрических зарядов на поверхности тела при его механической деформации. Обратный пьезоэффект - это образование деформации при наложении разности потенциалов на его поверхности. Пьезоэффект получил свое название от греческого "piezo" - давлю. Этим свойством обладают некоторые кристаллы, которые относятся к типу сегнетоэлектриков (название происходит от наиболее характерного кристалла этой группы - сегнетовой соли NaK4H4064H20).

Поляризация [146]. В течение многих лет такие природные кристаллы как кварц и турмалин были единственными представителями пьезоэлектрических материалов, и на их базе были созданы многие устройства. В последние десятилетия, и особенно начиная с середины 60-х годов 20 века, стали разрабатываться искусственные пьезокерамические материалы, основанные на оксидах металлов, которые постепенно стали не только вытеснять природные кристаллы, но и предоставлять возможность конструкторам использовать прямой и обратный пьезоэлектрический эффект в новых отраслях науки и техники.

Пьезоэлектрическая керамика обладает "перовскайт" кристаллической структурой, каждая частица которой состоит из "малого" иона четырехвалентного металла (обычно титана или циркония) в кристаллической решетке, "большого" иона двухвалентного металла (обычно свинца или бария), а также ионов кислорода 02 (рис. 1.1а). При температуре выше критической, так называемой точки Кюри, каждый кристалл имеет простую кубическую симметрию, не обладающую дипольным моментом. При температурах ниже точки Кюри каждый кристалл приобретает (в зависимости от композиции материала) тетрагональную или ромбоэдрическую симметрию с дипольным моментом. Дипольные моменты различно ориентированы относительно в разных керамических зернах, и даже относительно в разных областях в отдельном зерне (рис. 1.16). а)

Рис. 1.1 Кристаллическая структура обычной пьезоэлектрической керамики а) Температура выше точки Кюри (кубическая решетка, симметричное расположение положительных и отрицательных зарядов) б) Температура ниже точки Кюри (тетрагональная решетка, кристалл имеет электрический диполь)

Первоначально было обнаружено, что материалы на основе титаната бария (ВаТЮЗ) обладают пьезоэффектом. Дальнейшие разработки оказали, что материалы группы цирконата-титаната-свинца - ЦТС ("РгТ") обладают большей чувствительностью и более высокими рабочими температурами. Это в значительной степени предопределило вытеснение материалов титаната бария материалами ЦТС во многих сферах применения пьезокерамики.

Пьезокерамика физически прочна, химически инертна, не подвержена воздействию влажности и других атмосферных явлений, в производстве относительно дешева. По физическим свойствам это поликристаллический сегнетоэлектрик, представляющий собой химическое соединение или твердый раствор (порошок) зерен (кристаллитов). По химическому составу это сложный оксид, включающий ионы двухвалентного свинца или бария, а также ионы четырехвалентного титана или циркония. Путем изменения основного соотношения исходных материалов и введения добавок синтезируют разные составы пьезокерамики, обладающие определенными электрофизическими и пьезоэлектрическими характеристиками. В последние годы разрабатываются новые пьезокерамические материалы со свойствами, позволяющими в некоторых случаях использовать их вместо более дорогостоящих пьезоэлектрических кристаллов. Значительные исследования проводятся по созданию пьезокерамических композитных материалов, а также многослойной керамики [145]. Пьезоэлектрическую керамику, подобно обычной керамике, изготавливают горячим прессованием и литьем под давлением, поэтому форма пьезокерамических элементов может быть разнообразной. Для проявления пьезоэффекта пьезокерамические элементы необходимо поляризовать (в отличие от монокристаллических сегнетоэлектриков). Так как распределение доменов в пьезокерамическом материале носит случайный характер, поэтому керамический элемент не имеет общей поляризации (рис. 1.2 а). а) б) в)

Рис. 1.2 Поляризация пьезоэлектрической керамики а) случайное распределение доменов до поляризации; 6) поляризация в направлении электрического поля постоянного тока; в) остаточная поляризация после отключения электрического поля.

Сначала поверхности пьезоэлемента (чаще всего параллельные) металлизируют серебром или медью методом вжигания или ультразвуковым лужением. Затем пьезоэлементы поляризуют в специальных ваннах, наполненных силиконовой жидкостью при температуре 100-130 С. Поляризация заключается в том, что на электроды подают в течение несколько часов высокое постоянное напряжение (в зависимости от толщины пьезоэлемента от 0,5кВ до 10 кВ). Направление поляризации (от плюсового электрода к минусовому), перпендикулярное поверхностям электродов и совпадающее с координатной осью, условно получило индекс «3», остальные два перпендикулярных направления получили индекс «1» и «2» (рис. 1.3)

Рис. 1.3 Пьезокерамическая пластина с параллельными электродами.

При подаче на электроды пьезоэлемента напряжения, совпадающего по знаку с напряжением поляризации пьезоэлемента, он удлиняется, если же противоположного знака - то он укорачивается [127].

Области, в которых поляризованные заряженные частицы образуют диполи одинаковой ориентации, называются доменами. Если на сегнетоэлектрик начнет действовать внешнее электрическое поле, домены начнут постепенно ориентироваться в направлении действия поля. В первый момент, когда внешнее поле еще не в состоянии повлиять на переориентацию противоположно направленных доменов, изменение поляризации будет протекать линейно, как у обычного диэлектрика (на рис. 1.4 —по участку прямой ОА).

Рис. 1.4 Схематическое изображение петли гистерезиса для поляризации

При возрастании напряженности электрического поля начнут переориентироваться в положительном направлении домены, направленные в противоположную сторону. Возрастание поляризации будет протекать по нелинейному закону, все время увеличивая эффект поляризации (участок АВ). При дальнейшем увеличении напряженности поля будет достигнуто такое состояние, при котором все домены будут ориентированы в одном положительном, направлении (отрезок ВС). Если теперь постепенно уменьшать напряженность электрического поля и, кривая не совпадает с кривой р поляризации, а будет изменяться по кривой СБ. При уменьшении поля до нуля домены не возвратятся в исходное состояние, а останутся в ориентированном положительном направлении состоянии. Отрезок ОБ будет представлять остаточную поляризацию. Отрезок ОЕ — величина спонтанной поляризации или то же самое, что поляризации насыщения.

Чтобы поляризация стала равной нулю, т. е. сегнетоэлектрик был бы полностью деполяризован, надо приложить некоторое отрицательное электрическое поле. Это поле носит название коэрцитивного поля Е (отрезок ОБ). По величине коэрцитивного поля судят о «жесткости» сегнетоэлектрика. Если оно велико, сегнетоэлектрик называют сегнетожестким, если мало — сегнетомягким. При дальнейшем увеличении поля в отрицательном направлении все домены ориентируются в этом направлении (участок БО). При повторном изменении направления поля цикл завершается (участок НС), образуя петлю.

Таким образом, в зависимости от направления поля знак спонтанной поляризации может быть изменен под влиянием этого поля. Это свойство сегнетоэлектриков — их существенная особенность.

Механическое сжатие или растяжение, оказываемое на поляризованный пьезоэлектрический керамический элемент, вызывает изменение дипольного момента, в свою очередь создающего электрическое напряжение. Сжатие элемента вдоль оси поляризации или растяжение, оказываемое в плоскости, перпендикулярной направлению поляризации, генерирует потенциал той же полярности, что и напряжение поляризации. Если сила растяжения приложена вдоль оси поляризации, или элемент сжимается перпендикулярно оси поляризации, то полярность потенциала противоположна полярности напряжения поляризации. Таким образом, пьезокерамический элемент преобразует механическую энергию растяжения или сжатия в электрическую энергию и по сути дела является генератором. Это свойство использовано для создания устройств поджига горючих жидкостей.

При подаче напряжения с противоположной напряжению поляризации полярностью элемент станет короче и толще. Если к пьезокерамическому элементу приложить напряжение, совпадающее по полярности с напряжением поляризации, то элемент удлинится, а его диаметр станет меньше.

Если приложить переменное напряжение, то диск будет удлиняться или укорачиваться циклически в соответствии с частотой приложенного напряжения. Преобразование электрической энергии в механическую отражает принцип двигателя - электрическая энергия преобразуется в механическую. Этот принцип заложен в основу создания пьезокерамических моторов, звуковых и ультразвуковых генерирующих устройствах и других изделиях. Рисунок 6 демонстрирует, что величина сжимающей силы и генерируемого пьезокерамическим элементом напряжения (электрического потенциала) находятся в линейной, прямо пропорциональной зависимости. Это же относится к приложенному напряжению и развиваемой деформации [146].

Степень поляризации может быть также определена из уравнения Р = -с1Т, где с1 - пьезомодуль, а Т - величина сжимающей силы, действующей на пьезокерамический элемент (со знаком "минус" отражает величину силы растяжения).

Важнейшее требование, предъявляемое к пьезоэлементам [14] - высокое значение пьезомодуля с1, который в упрощенном виде представляет собой отношение относительно механической деформации 5 к напряженности приложенного к пьезоэлементу электрического поля Е: с1 = —. Для Е пьезокерамической пластины с параллельными электродами напряженность электрического поля Е и электрическое напряжение и связаны формулой, г и и аналогичной для конденсатора Е = —, где п - толщина пьезоэлемента. к

Все изделия, изготовленные на базе пьезокерамики, подразделяют на следующие основные группы: генераторы, датчики, актюаторы, преобразователи и т.д.

Прямой пьезоэффект. Технические устройства, основанные на принципе прямого пьезоэффекта (таблица 1.1):

Таблица 1.1

Прямой пьезоэффект

Пьезокерамические датчики

Датчик ускорения

Датчик линейного ускорения

Сейсмодатчик

Пьезокерамический генератор

Уравнение прямого пьезоэффекта [145]:

Р = -Лгсг + е,хЕ (1.1)

Р - поляризованность образца; е0 = 8,85 • 10-12 ~ электрическая постоянная;

X - диэлектрическая восприимчивость пьезоматериала, где х ~ Ег '•> ег = 3200 - относительная диэлектрическая проницаемость. Обратный пьезоэффект. Технические устройства, основанные на принципе обратного пьезоэффекта (таблица 1.2):

Таблица 1.2

Обратный пьезоэффект

Пьезокерамичес кие преобразователи Пьезотрансфор-маторы Пьезокерамические генераторы Актюаторы в * - . . Ир ^Г

Уравнение обратного пьезоэффекта [145]:

Л а /7

---[-а. Е

1.2)

А-деформация пьезоэлемента;

0 - первоначальная длинна пластины; сг - механическое напряжение в образце;

Ер -модуль Юнга; с1п - пьезомодуль;

Е - напряженность поля;

-коэффициент мультипликации.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

4.3 Выводы по главе

Произведен расчет долговечности пьезокерамического схвата на основании закона Пэриса. Разработана методика расчета долговечности с использованием компьютерных технологий. Предложена зависимость для связи параметров критерия Коффина-Мэнсона и параметров закона распределения Вейбулла. С целью перехода к оценке надежности пластин в системе «биморф-схват».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2. Рассчитаны коэффициенты интенсивности напряжений для пьезокерамических пластин с внутренними и поверхностными трещинами. Установлено, что в заданных условиях коэффициент интенсивности напряжений для трещин нормального отрыва К] и коэффициент интенсивности напряжений для трещин продольного сдвига Кп сравнимы по порядку.

3. Впервые построен критерий разрушения с учетом связанности полей.

Цель диссертационной работы, заключающаяся в исследовании напряженно-деформированного состояния нагруженных пьезоэлектрических пластин с трещинами, оценивание их прочности, долговечности и надежности, достигнута.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Амвросьева, Анна Владимировна, Санкт-Петербург

1. Аветисян A.C. К задаче распространения сдвиговых волн в пьезоэлектрической среде // Изв. АН АрмССР.Сер. «Механика». 1985. Вып.38 №1. С.12-19.

2. Агранович З.С., Деревянко Н.И. Электроупругие поля прямого пьезоэффекта при деформировании пьезоэлектрических тел // Приют. Мех. 1974. Т. 10. №9. С.3-8.

3. Акопов О.Н. и др.//Математическое моделирование. 2011. Т. 13, №2, С.51-60.

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек Москва, Наука, 1974.

5. Амвросьева A.B. Механизм разрушения клеммы с плоскопружинным зажимом.// Конференция молодых ученых, апрель 2009.

6. Амвросьева A.B. Расчет усилия в клеммных соединениях.// Конференция молодых ученых, апрель 2008.

7. Амвросьева A.B. Смешанный критерий прочности для пьезокерамических конструкций.// XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 2011. С. 23

8. Амвросьева A.B. Эквивалентный стержень с двумя степенями неопределенности в задаче механике разрушения для трещины продольного сдвига.// Конференция молодых ученых, апрель 2010.

9. Амвросьева A.B., Мусалимов В.М. Расчет усилия в клеммных соединениях. //Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Выпуск 48. СПб: 2008, с.81-86.

10. Амвросьева A.B., Мусалимов В.М. Усталостное разрушение миниатюрного пьезоэлектрического схвата.// Приборостроение №1 СПб.: Изд-во СПБГУИТМО, 2010, 145-148с.

11. Амензаде Ю.А. Теория упругости Москва, Высшая школа, 1972.

12. Аппель П. Теоретическая механика. Т.1,2. Москва, Гостехиздат, 1960.

13. Афонин С.М. Деформирование, разрушение и механические характеристики составного пьезопреобразователя. Механика твердого тел. №6, 2003 -97-101 с.

14. Афонин С.М. Параметрическая структурная схема и передаточные функции составного пьезопреобразователя. Механика твердого тела. №4, 2004-150-160 с.

15. Афонин С.М. Статические и динамические характеристики многослойного электроупругого тела. Механика твердого тела. №6, 2009 -149-168с.

16. Бабешко В.А., Глушков Е.И., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно упругих сред Москва, Наука, 1989 - 344с.

17. Баженов В.М., Куценко Г.В., Улитко А.Ф. Распространение плоских электроупругих волн в пьезокерамической среде // Докл. АН УССР. Сер. А. 1977. №2. С 124-128.

18. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах -Новосибирск, Наука, 1982 239с.

19. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры Москва, УРСС, 2003 - 376с.

20. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Волны Рэлея в полупространстве с конечной системой поверхностных электродов // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1996. №1. С.45-51.

21. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., Сеник H.A., Фильштинский M.JI. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей.

22. Введение в теорию термопьезоэлектричества. Т.1. Москва, URSS, 2010 - 312с.

23. Бардзокас Д.И., Зобнин Д.И., Сеник H.A., Фильштинский M.J1. Задачи по теории термопьезоэлектричества с подробными решениями Москва, URSS, 2005- 176с.

24. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. О критериях электромеханического разрушения пьезоэлектриков, инициируемого краями электродов / Пробл. Прочности. 1994. №7. С. 42-46.

25. Бардзокас Д.П., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Распространение волн в электромагнитоупругих средах Москва, УРСС, 2003 - 336с.

26. Бардзокас Д.И., Партон В.З., Теокарис П.С. Интегральные уравнения теории упругости для многосвязной области с включениями // Прикл. мат. и мех. 1989. Т.53. №3. С. 485-495.

27. Бардзокас Д.И., Родригес Р., Фильштинский M.J1. Растяжение пьезокерамического биморфа с трещиной, пересекающей границу раздела фаз // Мех. композит, материалов. 1997. Т.ЗЗ. №4. С.482-288.

28. Бардзокас Д.И., Сеник H.A. Возбуждение поверхностными электродами симметричных и антисимметричных волн Лэмба в пьезополосе // Прикл. мат. и мех. 1993. Т.57. №6. С.91-99

29. Бардзокас Д.И., Фильштинский М.Л. Концентрация электроупругих полей в составной пьезокерамической пластине с отверстием, пересекающим границу раздела материалов // Мех. композит, материалов. 1999. Т.35. №3. С. 359-366.

30. Бардзокас Д.И., Фильштинский М.Л. Дифракция волны тверд, тела. 1997. Т.35. №3. С. 77-84.

31. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде Москва, Мир, 1986-502 с.

32. Белоконь A.B., Наседкин A.B., Соловьев А.Н.//ПММ. 2002. Т. 66, №3, С.491-501.

33. Белоконь A.B., Наседкин A.B., Даниленко А.С.//Вестник Самарского

34. Государственного университета. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54). С.56-65.

35. Белоконь A.B., Скалиух A.C. Математическое моделирование необратимых процессов поляризации Москва, Физматлит, 2011 - 328 с.

36. Белоконь A.B. О моделировании пьезоэлектрических в конечно-элементном пакете ACELAN// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011 №4 (4).

37. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях // Физическая акустика. Т.1. Методы и приборы ультразвуковых исследований. Ч. А. М. Москва, Мир, 1966, С. 204-326.

38. Бирюков С.Б. Расчет электродных преобразований поверхностных волн в пьезоэлектриках // Ж. техн. Физики. 1980. Т.50. №8. С. 1655-1662.

39. Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Улитко А.Ф. Соотношение пьезокерамических оболочек, поляризованных вдоль одной из координатных линий // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1980. Вып.20. С.3-6.

40. Борисковский В.Г., Партон В.З. Динамическая механика разрушения // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Серия «Механика деформируемого твердого тела». 1983. Т.16. 84с.

41. Броек Д. Основы механики разрушения Москва, Высшая Школа, 1980.

42. Быков В.А., Васильев В.Н., Голубок А.О. Учебно-исследовательская минилаборатория по нанотехнологии на базе сканирующего зондового микроскопа NanoEducator./ЛРоссийские нанотехнологии -СПб.:2009, №5-6.

43. Васильченко К.Е., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. // Вычислительные технологии. 2005. Т.10, №1, С. 10-20.

44. Ватульян А.О. Кубликов B.J1. О граничных интегральных уравнения в электроупругости //Прикл. мат. и мех. 1989. Т.53. Вып. 6. С.1037-1041.

45. Вековищева И.А. Плоская задача теории электроупругости для пьезоэлектрической пластинки / Прикл. мех. 1975. Т.П. №2. С. 85-89

46. Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний и теории дифракции Москва. Наука, 1977 - 416 с.

47. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости Москва, Наука, 1979 - 319 с.

48. Гилинский И.А., Попов В.В. Возбуждение акустоэлектрических волн в пьезоэлектриках внешними источниками // Ж. техн. физики. 1976. Т.46. №11. С.2232-2242.

49. Голдсмид Г.Дж. Задачи по физике твердого тела Москва, 1976 - 429с.

50. Горышник JT.JL, Кондратьев С.Н. Теория электродных преобразователей упругих поверхностных волн в пьезоэлектриках // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23. №1. С.151-159.

51. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций // Электроупругость. Т. 5. Киев.: Наук. Думка, 1989. 279с.

52. Гусев О.В. Акустическая эмиссия при деформации монокристаллов тугоплавких металлов Москва, Наука, 1982 - 108 с.

53. Дельсан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для области сигналов Москва, Наука, 1982 - 240 с.

54. Ермаков C.B., Сенник H.A. Возбуждение и структура сдвиговых поверхностных волн в упругом полупространстве с пьезоактивным слоем // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №4. С. 63-71.

55. Ерофеев A.A. Пьезоэлектронные устройства автоматики Ленинград, Машиностроение, 1982 - 212 с.

56. Ефремов JI.B. Практика вероятностного анализа надежности техники с применением компьютерных технологий СПб, Наука, 2008 - 216 с.

57. Желудев И.С Физика кристаллических диэлектриков Москва, Наука, 1968.

58. Ингленд А. Трещина между двумя разными средами // Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. 1965. Т. 32. №2. С .165-168.

59. Качанов J1.M. Основы механики разрушения Москва, Наука, 1974.

60. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин В.Е. Основы экспериментальной механики разрушения. Москва, МГУ, 1989 - 40 с.

61. Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами Киев, Наук, думка, 1983 - 277 с.

62. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела Москва, 1978 - 791с.

63. Коврижкин А.К., Сударев A.B., Мусалимов В.М. Перераспределение напряжений в массиве пород в зависимости от технологических операций в очистном забое /Проблемы механики горных пород, Новосибирск, 1971. С. 570575.

64. Кокунов В.А., Кудрявцев Б.А., Сенник H.A. Плоская задач электроупругости для пьезоэлектрического слоя с периодической системой электродов на поверхностях / Прикл. мат. и мех. 1985. Т. 49. №3. С. 489-491.

65. Космодамианский A.C., Кравченко А.П., Ложкин В.Н. Действия точечного электрического заряда на границе пьезоэлектрической полуплоскости, ослабленной эллиптическим отверстием // Изв. АН АрмССР. Серия «Механика». 1977. Т. 30. №1. С. 13-20.

66. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н. Обобщенное плоское напряженное состояние тонких пьезоэлектрических пластин / Прикл. мех. 1975. Т. 11. №5. С. 45-53.

67. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления -Москва, Наука, 1965.

68. Краут С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела Москва, Мир, 1987 - 328 с.

69. Крушинский И.А. Разработка и исследование мехатронного пьезоэлектрического схвата с микропозиционированием и очувствлением. Диссертация канд. техн. Наук: 05.02.05./Крушинский И.А. СПб, 2008. - 255с.

70. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Серия «Механика твердого тела». 1978. Т. 11. С. 5-66.

71. Кудрявцев Б.А. Электроупругое состояние полуплоскости из пьезокерамики с двумя граничными электродами / Пробл. прочности. 1982. №7. С. 56-69.

72. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. О волнах Гуляева-Блюстейна в пьезоэлектрических средах // Прикл. мат. и мех. 1985. Т. 49. №5. С. 815-821.

73. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Сенник H.A. Механические модели пьезоэлектриков для электронного машиностроения // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Серия «Механика твердого тела» 1984. Т. 17. С. 3-62.

74. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Сенник H.A. Соотношения электроупругости для пьезокерамических пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига // Физ.-хим. механика материалов. 1984. №1. С. 3-10.

75. Кудрявцев Б.А., Ракитин В.И. Трещина Гриффитса в пьезоэлектрической среде // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1979. №1. С. 125-132.

76. Кучеров И .Я., Федорченко А.Н. Влияние пьезоэффекта на упругие волны в ограниченных кристаллах // Укр. физ. ж. 1971. Т. 16. №9. С. 1567-1569.

77. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое применение Москва, Иностр. Литература, 1949 - 718 с.

78. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред Москва, Физматгиз, 1959.

79. Лепендин A.A. Исследование распределений интервалов времени между соседними импульсами акустической эмиссии разрушении пористого железа // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред Пермь:2011. С. 196.

80. Лехницкий С.Т. Теория упругости анизотропного тела Москва, Наука, 1977 -416с.

81. Лобачева A.M. Упругие чувствительные элементы микромеханических приборов: динамика и надежность: Дис. . канд. техн. наук. СПб, 2007. 115с.

82. Лойбер Дж. Ф., Си Дж. Функция Грина для трещин в неоднородных материалах // Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. 1967. Т. 34.1. С. 131-133.

83. Лурье А.И. К теории толстых плит // Прикл. мат. и мех. 1942. №6. С. 151162.

84. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации -Москва, Мир, 1980 608 с.

85. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов -Москва, Мир, 1970 443 с.

86. Мартыненко B.C., Партон В.З., Сенник H.A. Возбуждение сдвиговой волны в пьезоэлектрическом цилиндре системой поверхностных электродов // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №3. С. 105-110.

87. Механика связанных полей в элементах конструкции: В.5 т. // Электроупругость. / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, H.A. Шульга. Под ред. А.Н. Гузя. Киев: Наук, думка, 1989. Т. 5. 280 с.

88. Михлин С.Т., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости СПб, Изд-во СПбУ, 1994 - 271 с.

89. Морачковский O.K., Фильштинский М.Л. Взаимодействие волн напряжений с трещинами в анизотропной среде в условиях антиплоской деформации // Докл. АН УССР. Серия А. 1985. №6. С. 42-45.

90. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения Москва, Наука, 1990.

91. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин Москва, Наука, 1984-256 с.

92. Мусалимов В.М., Дик O.E., Тюрин А.Е. Параметры действия энергетического спектра вейвлет-преобразований / Известие Вузов. Приборостроение. Т. 52 №5 СПб.: Изд-во СПБГУИТМО, май 2009, с. 10-15.

93. Мусалимов В.М., Ротц Ю.А, Астафьев С.А., Амвросьева A.B. Расчет надежности упругих подвесов микромеханических приборов. Учебное пособие по дисциплине «Теория надежности». Издательство, СПбГУИТМО, 2011. 201с.

94. Новацкий В. Теория упругости Москва, Мир, 1975 - 872 с.

95. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах Москва, Мир, 1986- 160с.

96. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек Москва, Судпромгиз, 1962.

97. Нот Дж. Основы механики разрушения Москва, Металлургия, 1978.

98. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения -Москва, Машиностроение, 1988 239 с.

99. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Динамическая антиплоская задача для пьезоэлектрической среды / Тр. Моск. ин-тахим. Маш. 1974. №56. С. 3-13.

100. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел Москва, Наука, 1988 - 47.2 с.

101. Партон В.З., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Об одном критерии электрического разрушения диэлектриков в сильно неоднородных полях // Докл. АН СССР. 1988. Т.298. №3. С. 611-615.

102. Партон В.З., Мустафаев Дж.М., Сеник H.A. Методы механики разрушения и пробой диэлектриков Баку, Ин-т физики АН АзССР. Препринт. 1991. №7. - 24 с.

103. Партон В.3., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. В 2 частях. Часть 1. Основы механики разрушения Москва, 2008 - 327с.

104. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. Специальные задачи механики разрушения Москва, 2008 - 192с.

105. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости -Москва, Наука, 1977 312 с.

106. Партон В.З., Фильштинский М.Л. Общие представления сопряженных электромагнитных и механических полей в пьезоэлектрической среде // Докл. АН СССР. 1989. Т. 308. №1. С. 53-55.

107. Переломова Н.В., Тагиева М.М. Задачник по кристаллофизике Москва, Наука, 1972.

108. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения на базе компьютерных технологий СПб, БХВ-Петербург, 2007 - 464с.

109. Писаренко Г.Г. Прочность пьезокерамики Киев, Наук. Думка, 1987 -231 с.

110. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов. Киев, "Вища школа", 1986, -638 с.

111. Подстригач Я. С. Термоупругость электропроводных тел Киев, Наукова Думка, 1977-248с.

112. Половинкина И.Б., Улитко А.Ф. К теории равновесия пьезокерамических тел с трещинами // Тепловые напряжения в элементах конструкции. 1978. Вып. 18. С. 10-17.

113. Прагер В. Введение в механику сплошных сред Москва, Иностр. литература, 1963.

114. Разумовский И.А., Чернятин A.C. Методика оценки нагруженности конструкций с поверхностными трещинами // Сборник трудов конференции «Проблемы машиноведения», посвященной 70-летию ИПМАШ РАН. Москва, Изд-во ИПМАШ РАН. С. 427-430

115. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушению Москва, Мир, 1993.

116. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела Москва, Наука, 1979.

117. Райе Дж., Си Дж. Плоские задачи о трещинах, расположенных на границе двух различных сред //Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикл. мех. 1965. Т. 32. №2. С 186-192.

118. Светлицкий В.А. Статическая механика и теория надежности. Москва, Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004 504 с.

119. Седов Л.И. Механика сплошной среды Москва, Наука, 1983. Т. 1 - 536 с.

120. Седов Л.И. Механика сплошной среды Москва, Наука, 1983. Т. 2 - 584 с.

121. Сеник H.A. Волны Рэлея в пьезоэлектрическом полупространстве с парой поверхностных электродов // Известия РАН. Мех. тверд. Тела. 1992. №4. С 1061154.

122. Серенсен C.B. Исследование малоцикловой прочности при высоких температурах Москва, Наука, 1975 - 123 с.

123. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение. Т. 2. Москва, Мир, 1975. С. 83-201.

124. Сирота Д.И. Физика твердого тела. Сборник задач с подробными решениями Москва, URSS, 2009 - 182с.

125. Слепян Л.И. Механика трещин Ленинград, Судостроение, 1990 - 296 с.

126. Сонин A.C. Беседы о кристаллофизике Москва, Атомиздат, 1976 - 240 с.

127. Смирнов А.Б. Мехатроника и робототехника. Систем микроперемещений с пьезоэлектрическими приводами СПб, Изд-во СПбГПУ, 2003 - 160 с.

128. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов Москва, Высшая школа, 1975 -471 с.

129. Смирнов В.И. Пороговые характеристики хрупкого разрушения твердых тел Санкт-Петербург, 2008.

130. Тамм И.Е. Основы теории электричества Москва, Наука, 1976 - 616 с.

131. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости Москва, Наука, 1969.

132. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1975. Вып. 15. С. 90-99

133. Филынтинский Л.А., Филыптинский М.Л. Растяжение составной пьезокерамической пластины, ослабленной трещинами-разрезами / Прикл. мех. 1993. Т. 29. №12. С. 66-71.

134. Филыптинский М.Л. Управление разрушением пьезокерамического тела стрещиной // Динамика и прочность машин: Респ. межвед. сб. Харьков. 1987. Вып. 15. С. 159-166.

135. Фильштинский M.JI. Динамическая реакция пьезокерамического полупространства с трещиной продольного сдвига на действие сосредоточенных усилий // Теор. и прикл. мех. Киев; Донецк: Вища школа, 1989. Вып. 20. С. 50-55.

136. Фильштинский M.J1. Динамическое нагружение пьезокерамического полупространства с трещиной // Акуст. Журнал. 1993. Т. 39. Вып. 5. С. 921-928.

137. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения Москва, Наука, 1974.

138. Хеллан К. Введение в механику разрушения Москва, Мир, 1988 - 364 с. 139. Andrew О Moskalik, Diann Brei. Force-deflection behavior of piezoelectric C-block actuator arrays // Smart Mater. Struct., 1999, Vol. 8. P. 531-543

139. A. Amvrosieva,V. Musalimov. Fatigue fracture of miniature piezoelectric grabs. Труды XV International Colloquium Mechanical Fatigue of Metals, Opole, 2010.

140. A. Amvrosieva,V. Musalimov. Fracturing Mechanism the Push-Wire Connector. Труды 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, 2009.pap0138MS-06.

141. Rene de Borst, Jacky Mazars, Gilles Pijaudier-Cabot, Jan G.M. van Mier. Size Effects Quasibrittle Fracture: Apercu of Recent Results // Fracture Mechanics of Concrete Structures, 2001, Vol. 2. P. 651-658.

142. R.E. Cooper. A fracture energy spectrometer for polymers. Journal of materials science, 14 (1979), P. 1257-1260.

143. Steven P. Gross, Jay Fineberg, M. Marder, W.D. McCormick and Harry L. Swinney. Acoustic Emissions from Rapidly Moving Cracks // Physical review letters. 1993, Vol. 71, N19. P. 3162-3165.

144. Yoshikawa H., Fundamentals of mechanical reliability and its application to computer aided machine design, CIRP Annals, 24, 97, 1975.

145. X.P. Xuang, J.B. Zhang, W.C. Cui, X.J. Leng. Fatigue crack growth withoverload under spectrum loading. // Elsevier. Theoretical and Applied Fracture Mechanics 44 (2005). P. 105-115.

146. О пьезокерамике и перспективах ее применения Электронный ресурс. -www.kazus.ru ресурс Интернет.

147. Биморфные пьезоэлектрические элементы Электронный ресур. -www.compitech.ru ресурс Интернет.1. МИНОБРНАУКИ РОССИИфедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего1. УТВЕРЖДАЮ»

148. Кронверкский пр , д 49, г Санкт-Петербург, 19710! Тел (812) 232-97-04 Факс (812) 232-23-07 e-mail od@mail ifmo iu http //www ifmo ru1. Г.

149. Об использовании результатов диссертационной работы АМВРОСЬЕВОЙ Анны Владимировны на тему «Напряженно-деформированное состояние пьезоэлектрических пластин с трещиной».

150. И.О. зав. каф. Мехатроники