Двумерные краевые задачи электроупругости для пьезоэлектрических тел с вырезами и включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ШИЯДЕР

Валентин Константинович

УДК 539.3

ДВУМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

ЭЛ ЕКТРОУП РУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ВЫРЕЗАМИ И ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Специальность 01. 02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЛЬВОВ 19 89

Работа выполнена во Львовском ордена Ленина политехническом институте имени Ленинского комсомола.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А1АРТЫНОВИЧ Т. Л,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математичссчих паук,

профессор ФИЛЬШТИНСКИП Л. А.,

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник ГАЧКЕВИЧ А. Р.

Ведущая организация:

Киевский государстзеппнй университет имени Т. Г. Шевченко.

Защита состоится » _ 1989 г. а ^ ^°час.

ка заседании специализированного Совета К 016. 59.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических и кандидата технических наук Института прикладных проблем механики и математики АН УССР по адресу: 29С000, Львов-центр, ул. Матейко, 4.

С диссертацией можно ознакомиться з библиотеке Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (г. Львов-53, ул. Научная, 3 «б»).

Отзывы на автореферат просим направлять по адресу: 290053, ГСП, г. Львоа-53, ул. Научная, 3 «б», ученому секретарю специализированного Совета. \___

Автореферат разослан ■Л/'уОу 1чГ0ЛС\__1ЭВЭ г.

Ученый секретарь специализированного Совета ШЕВЧУК П. Р.

Актуальность проблемы. Всё более широкое применение в различных отраслях современной промышленности находят конструкционные элементы из анизотропных по физико-механическим свойствам пьезоэлектрических материалов и композитов на их основе. Одновременно в электротехнике, электронике, приборостроении ряд современных технических устройств содержит функциональные элементы, работающие на эффекте связанности механических и электрических полей. В результате воздействия различных физико-механических полей, в частности статического силового поля, в таких элементах, содержащих криволинейные вырезы (цилиндрические полости) и инородные включения, возникают неравномерные связанные электро-механические поля. Поэтому детальное изучение указанных полей является важной составной частью проектирования и разработки изделий из пьезоэлектрических материалов.

Общие метода решения задач концентрации механических напряжений в анизотропных телах .с криволинейными вырезами и упругими анизотропными включениями содержатся в работах М.И.Задворняна, Г.Б.Колчина, С.ГДехницкогс, Т.Л.Мартыновича, И.А.Прусова, З.Л.Рвачева, Г.Н.Савина, В.Л.Саркисяна, Л.А.Филыптинского, Г.П.Черепанова и других авторов. Решение задач теории электроупругого тела связано с дополнительными трудностями, обусловленными эффектом связи механических и электрических полей, а также анизотропией материала. Известные результаты в этом направлении получень-в работах Д.Д.Бипадзе, В.А.Борисейко, И.А.фековищевой, 3.И.Голо-лобовс, Б.Т.Гринченко, В.Ё.Жирова, ВЛ.Карл ала, В.Г.Карнаухова, А.С.Космодамианского,' Б.А.Кудрявцева, В.К.Доккина, В.З.Партона, Н.А.Сенька, А.Ф.Улитко, Л.А.Филыптинского и других авторов.

Я настоящему времени достаточно полно изучена задача распределения механических напряжений к напряженностей электрического поля в пьезоэлектрическом теле с цилиндрическим ггруговым (эллиптическим) отверстием и таким же упругим анизотропным включением. Определение напряженного состояния и взаимовлияния механического и электрического полей вдоль криволинейного выреза (включения), отличного от кругового и эллиптического,' составляет значительные трудности математического характера. Поэтому проблема построения эффективного' аналитического решения краевых задач двумерной теории электроупругости пьезоэлектрического тела с вырезали и включениями представляет значительный'теоретический и прикладной интерес.

Целью настоящей работы является дальнейшая разработка эффер тивного аналитического метода решения двумерных задач статической теории электроупругости для пьезоэлектрического тела и на его основе исследование сопряженных механического и электрического- поле ' и их взаимовлияния вблизи вырезов и упругих включений (продольны! сдвиг, плоская задача).

Методика исследований. В работе получила дальнейшее развитие методика решения двумерных задач теории упругости однородного пр; молинейно-анизотропного тела, разработанная Т.Л.Мартыновичем. Пр! ложенный эффективный аналитический алгоритм основан на использов' нии аппарата теории функций обобщенного комплексного переменного Гр&чичные условия задач представлены з форме интегральных соотношений. Получен общий вид комплексных потенциалов, описывающих электромеханические соля для конечной и бесконечной многосвязных областей. Задачи сведены к решению-систем линейных алгебраически: уравнений..

Научная новизна работы состоит в следующем:

- разработана методика решения двумерных задач статики электроупругого тела, содержащего криволинейные вырезы довольно общего вида и упругие инородные включения;

- на основании разработанной методики получены численные резуль таты распределения механических напряжений и налряженностей элек трического поля в пьезоэлектрических телах (пластинах) с треугол нкм, прямоугольным, трапецеидальным вырезами и включениями (продольный сдвиг, плоская задача);

- проведено исследование взаимовлияния сопряженных механическог и электрического- полей в пьезоэлектрических телах (пластинах);

- проведено исследование влияния упругого (жесткого) включения концентрацию электромеханических полей в пьезоэлектрических тела (пластинах).

Достоверность разработанной методики и полученных в работе результатов обеспечивается фиэической обоснованностью задач, математической строгостью решения, применением теоретически обосно ванных численных методов, совпадением некоторых частных решений известными в литературе, полученными другими авторами различными методами.

Практическая ценность. Предложенная методика может быть использована при определении двумерных связанных механических и электрических полей в пьезоэлектрических телах с вырезами и упру гими анизотропными включениями при различных силовых воздействия

Эта методика и полученные в работе результаты для пьезоэлектрических пластик с треугольным, прямоугольным., трапецеидальным отверстиями к упругими анизотропными включениями используются при проектировании и разработке изделий, что подтверждается документом, приложенным к диссертации.

На защиту выносятся:

- методика решения двумерных задач статической теории электро-упругостк для пьезоэлектрических тел, содержащих криволинейные вырезы и упругие инородные включения (продольный сдвиг, плоская задача) ;

- применение разработанной методики к решению новых практически важных задач исследования сопряженных механических и электрических полей в пьезоэлектрических телах с вырезам и включениями (продольный сдвиг, плоская задача);

- результаты численного анализа, сделанные выводы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международном симпозиуме "Прочность материалов и элементов конструкций при звуковых и ультразвуковых частотах нагружекия" (Киев, 1984), на Всесоюзной конференции "Моделирование - 85. Теория, средства, . применение" . (Киев, 1985), на Второй Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1ЭБ7), на Первом Всесоюзном. симпозиуме "Механика и физика разрушения композитных материалов и конструкций" (Ужгород, 1988), к а. научных конференциях Львовского политехнического института (1934-1988), на научных семинар ;х кафедры ст£ зительной механики Львовского политехнического ияст. гута (1988), кафедрьт теоретической и прикладной механики Киевского госуниЕерситета (1988), отдела теории физико-механических полей ИШММ АН УССР (Львов, 1988).'

Публикации. По материалам диссертации опубликовано II печатных работ.

Объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, библиографического списка литературы, включавшего 134 наименования, приложения и сопровождается 35 рисунками. Общий объём работы - 153 страницы.

, СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Зо введении обосновывается актуальность выбранной темы исследований, дан анализ современного состояния проблема;, кратко излагаются содержание и основные результаты работы.

В первой главе приведены основные уравнения ачтиплоской де-

формации (продольного сдвига) однородного пьезоэлектрического тел; Исследованы разрешимость краевых задач продольного сдвига и структура комплексных потенциалов для конечной и бесконечной многосвяЗ' ных областей.

Для цилиндрического пьезоэлектрического тела, находящегося в состоянии продольного сдзига относительно координатной плоскости аЮг » поле перемещений характеризуется соотношениями = 0 , гг- гг(ж,г), . Область, занятую телом в плоскости э^Ог ,

обозначим через £ , а её границу - через X

й^+Ьшф + ХСкб-*) ^К\Ск\2<1 (I)

На контуре <£ области $ заданы механические напряжения и нормальная составляющая вектора электрической индукции 5 равна нули -

^ СС5(П,Х) -У сов(п, г) = К/Ч (2)

сов (п,а:) + Х)г (3)

(Я - внешняя нормаль к контуру X ).

Аналитически задачи сводятся к нахождении комплексных потенциалов Ф/^-) переменных ^ } ¿-1,2) , которые на X удовлетворяют граничным условиям (2) и (3), записанным в виде интегральных соотношений

-, \rndz = ¿7 . (4)

' X X X

Здесь

2 V _

£ I ЪЪ^Ъ + <*№)<*%] ,

= £ [Оуф/г^- - С,. Ф^ИЩ ]

Р(£) - произвольная голоморфная функция в области ¡3 ,

= корни характеристического уравнения, сг ~ постоян-

ные, выражающиеся через электроупругие характеристики пьезоэлектрической среды.

Пусть $ - бесконечная область с отверстием, ограниченным контуром X (I). Механические напряжения при достаточном удале-

(5)

(6)

нии от отверстия являются однородными, а потенциал электрического - поля постоянным.

£ - Л

гс £

\\ ¿Л \ \ 2 .г - 4С

/ е г* ® 1 сс

Рис. I

Рис. 2

Аналитические функции на границах 2й областей Р®

допускают представления ("г,- -»■ £/.)

2^**2^б"

О'* 1,2)

Г.О) ГшО

(7)

2 '

. Правые части представлений (7) не могут быть аналитически продолжены вне единичной окружности £ без предварительной реализации, которая заключается в выполнении следующих условий

+ 2, Х*0 «г.о

где Ру - корни уравнений

(8)

(9)

причем ) >/ ,

Рассматриваемые задачи приведены к решению систем линейных алгебрбичэских уравнений относительно неизвестных коэффициентов ! Зр' в представлениях комплексных потенциалов (7).

Проведен численный анализ электромеханических полей з пьезоэлектрической среде (сегнетова соль) с прямоугольной, трапецеидальной туннельными полостями. Для треугольного цилиндрического выреза исследовано взаимовлияние механического и электрического полей. Результаты расчетов представлены в виде графиков распределения механических напряжений и напряженностей электрического поля.

На рис. I, 2 изображены графики изменения механических напряжений ^ вдоль контуров прямоугольного ( С1 = 0,4649, С2 = 0, 03 = - 0,1306, N = 3) и трапецеидального ( С, = - 0,02143, Сг = 0,10204, С3 = - 0,15063, Н = 3) вырезов.

Вторая глава диссертации посвящена определению напряженно- деформированного состояния кусочно-однородного пьезоэлектрического тела. Решена вторая основная задача прямого пьезоэлектрического эффекта, когда на контуре <£ области д5 задано смещение вдоль оси Оу и нормальная составляющая вектора электрической

напряженности равна нулю (3). Граничные условия представлены в форме соответствующих интегральных соотношений .

^ШсПГ- ¡ЯВ)с(г=0. цо)

х £. г

Здесь

£ [+] ЦТ)

■I'1 ' *

постоянные Су зависят от электроупругих характеристик среды.

Решена задача прямого пьезоэлектрического эффекта для пьезоэлектрической среда с абсолютно жестким включением, диэлектрическая проницаемость которого очень мала. Численное решение получено для среда (сегнетова соль) с абсолютно жестким цилиндрическим включением трапецеидального поперечного сечения. Результаты вычислений представлены в виде трафиков распределения механических напряжений и напряженностей электрического поля.

На основе разработанной методики решения задач продольного сдвига однородного пьезоэлектрического тела исследовано налряженно--деформированное состояние, кусочно-однородного тела, которое в плоскости хО? занимает области и ¿з™ , соответствующие

различным пьезоэлектрическим материалам, разграниченных линией X (I). На X выполняются условия идеального механического контак-

и условия электрического контакта

tf'-tf',' ' ENFf (13)

•Prie. 3 Рис. 4

Функци.. ^^(tf), (/' 1,2} ■ на границах областей и.мег;•.• вид (7), а на границах областей pj2' для функций имеют место представления

cfdt^cTtfdtp,

(I4)

при соблюдении условий регулизации

2Л-/ к /V m-*

2А? ^ Ci'-Vit-VM). Î15)

определяются из решений уравнений (9); ) ) < / . Зада'-ги определения электромеханических полей приведены к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных, коэффициентов в представлениях комплексных потенциалов

(7), (14),

На рис. 3, 4 показано влияние упругого (жесткого) треугольного = 0,25 • §2к ; <5^- символ Кронекера) цилиндрического включения (кварц) на распределение механических напряжений ( Ы. = 1,2)

и напряженностей электрического поля ^л"" ( = 1,2) в пьезоэлектрической среде (сегнетова. соль) вдоль линии спая <£ . Кривые, обозначенные индексом I, характеризуют напряжения и напря-

женность электрического поля в пьезоэлектрической среде с упругим включением, 2 - в. среде с жестким ядром, 3 - напряжения и напряженность электрического поля во включении.

На примере туннельного прямоугольного включения проанализировано взаимовлияние сопряженных электромеханических полей.

В третьей главе методика, примененная при решении задач продольного сдвига, обобщена ка плоские задачи .статической теории -электроупругости для пьезоэлектрического тела с криволинейным вырезом. Рассмотрена первая краевая задача прямого пьезоэлектрического эффекта, когда на контуре <2? (I) области <5 заданы усилия , 2„

и нормальная составляющая вектора электрической индукции равна нулю ' *

(17)

Здесь обозначено

. (18)

(19)

N , Т - нормальная и касательная составляющие внешних усилий Хп , 2„ ; ¡¡^("з») - аналитические функции, по которым определяется электроупругое состояниечяластины; ^ ( д = 3, 4, 5) -

- корни соответствующего характеристического уравнения; Я? - ,

- величины, зависящие от электроупруг,их характеристик пьезоэлектрической пластины.

Для бесконечной пластины' с отверстием, описываемом уравнением (I), функции срК^-Ф^д допускают представления

= *ОСг?>) , (1* 1 (20)

Рис. 7

Рис. Б

Постоянные С0 определяются кз условий на бесконечности, велкчи ны ^ определяются кз условий однозначности механических смещений и потенциала электрического поле.

Комплексные потенциалы ^(tfi) (. Р = 3, 4, 5) на границах областей ( $ = 3, 4, 5) имеют вид соотношений, аналогичных представлениям (7),

Решение задач сведено к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений аналитически) функций ( V1 = 3, 4, 5).

Проведен численный анализ напряженного состояния пьезоэлектрической пластины (пьезокерамика PZT-S ) с трапецеидальна! вырезом в предположении, что главные направления-упругости пластины и ьырзза составляют между собой произвольный угол. Установлено, что изменение ориентации отверстия (поворот на угол ) при

чистом сдвиге ( — г ) приводит к изменению максимальных значений механических напряжений (5& и налрякенностей электрического поля £# и не .10 -г 15%.

С целью оценки влияния электрического поля на поле механических напряжений - проведены числовые расчеты для пьезоэлектрической пластины, из пьезокерамики PETS с квадратным отверстиг ем ( - 0,140360 б3к ), находящимся под действием растягивающих усилий ( £ ) . "На рис. 5 линии, обозначенные индексом I, соответствуют механическим, напряжениям,-вычисленным с учетом взаимовлияния электромеханических полей, а линии с индексом 2 -- механическим напряжениям, вычисленным без учета взаимовлияния. На рис. б показан график распределения напряженности электрического поля fp э той же пластине.

Влияние кризизны контура отверстия на величины механических напряжений &в и налрякенностей электрического поля е пластине из пьезокерамики PZT-5 с прямоугольным отверстием показано на рис. 7, 8. Сплошные.линии соответствуют случаю, когда приведенная кривизна в угловых точках к =15, штриховые - & =30.

В четвертой главо диссертации исследуется напряженное состояние кусочно-однородной пластины. Решена вторая основная задача прямого пьезоэлектрического эффекта, "когда на контуре X' (I) заданн перемещения

dV, ^dCux + iv--) (2i)

и нормальная составлккщ&я вектора электрической индукции равнэ.

ли (17). есь

" £ {(р*Кр, * ] (22)

величины р} , - зависят-от-электроупругих характеристик

еды.

Решена задача прямого пьезоэлектрического эффекта для пьезс-ектрической пластинки с абсолютно жестким ядром,, диолектркч-э-ая проницаемость которого очень мала... Численные результат!,:, ■едставленные в виде графиков распределения механических нштря-ний и напряженностей электрического поля, получены для гогаетин-: (пьезокерамика Р1Т~5 } с прямоугольным .и треугольник нключэ-:ями.

Решена первая основная задача для пьезозлектрическзл пласта с упругим анизотропным включением. Область, занятую плести->й, обозначим через 0Р> и включением - через . Величины

индексом I вверху относятся к пластине, с индексом 2 - к вклинит.

Условия сопряжения на линии контакта двух областей . «еют вид •

МС1) +сТ<1>- Н^'+сТ*1,'

7 - '

Е0)=£сг) г г ~ •

На границах областей ¡3^ ( \) = 3, 4, 5; ы. =1,2)

змплексше потенциалы Ф^'О.^ ) (г^' имеют вид (7), (14).

Задачи приведены к решению систем линейных алгебраических равнений.

Для изучения взаимовлияния электромеханических полей рас-иотрена задача о чистом сдвиге (Т^ г) пьезоэлектрической истины с треугольным вырезом, в которое- впаяно упругое анизо-ропное включение.

Рассмотренные задачи доведены до числа и результаты пред-гавлены в виде графиков.

На рис, 9, 10 представлены графики распределения мехакиче-ких напряжений ( Ы. = Г, 2) и напряженностей электрического оля Е^ ( =< = I, 2). в пластине (пьезокерамика Р2Т-5~ ) с вадратным включением (пьезокерамика } с закруглёнными

глами вдоль . Линии, обозначенные индексом I,. характеризуют

распределение напряжений о^ и напряженность электрического полк £р1) в пластине с вырезом, 2 - в пластине с упругим ядром, 3 - в пласт-ине с жестким ядром, 4 - механические напряжения б® и напряженность электрического поля Е^ в ядре, 5 - пластина, и ядро из одного материала.

В заключении кратко сформулированы полученные результаты и выводы по работе. . .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

I. В работе разработана аналитическая методика решения двумерных задач статической теории электроупругости пьезоэлектрического тела с упругим анизотропны!/ включением (продольный сдвиг, плоская задача)".

Граничные условия представлены е форме соответствующих интегральных соотношений. Задачи сведены к системам линейных ачге-

браических уравнений.

2. Решены задачи продольного сдвига-пьезоэлектрического тела с туннельной полостью криволинейного поперечного сечения и таким же упругим анизотропным включением.

3. С целью оценки влияния электрического поля на распределение механических напряжений по контуру цилиндрического криволинейного выреза (включения),, проведен численный анализ электромеханических полей при антиплоской деформации.

4. Для определения связанных электромеханических полей разработан аналитический алгоритм решения плоской задачи пьезоэлектрического тела с криволинейным вырезом (включением).

5. Для изучения влияния электрического поля на поле механических напряжений проведен численный анализ связанных электрических полей в пьезоэлектрической пластине с криволинейным вырезом (включением).

6. Решена плоская задача для пьезоэлектрической пластины с . криволинейным вырезом в предположении,, что главные направления

упругости пластины и выреза составляют между собой произвольный укол.

7. На основании численного анализа установлено:

- в пьезоэлектрических телах (пластинах) при силовом воздействии наряду с полем механических напряжений, возникает неравномерное электрическое поле значительной напряженности. 3 результате учета влияния электрического поля на поле механических напряжений, величины максимальных напрядений (продольный сдвиг) и бэ (плоская задача) изменяются на 15 ^ 30%. Для пьезоэлектрической среды

. (сегнетова соль) с треугольным ( С2 = 0,25 62х ) цилиндрическим, вырезом при продольном сдвиге (/в=0) максимальное значение уменьшилось на 17% по сравнению со значением з угловых точ-

ках, вычисленных без учета влияния электрического поля. Для пьезоэлектрической пластины из пьезокерамики PITS с квадратным отверстием ( С3 = 0,140360 <5^ ) величина максимальных напряжений бд увеличилась на 26%;

- концентрация механических напряжений, максимальное значение которой наблюдается вблизи угловых точек криволинейных вырезов, вызывает существенную концентрацию электрического поля в угловых точках выреза. На величину и характер сопряженных электромеханических полей значительно влияет направление внешних силовых факторов и ориентация выреза. Замена растягивающих усилий

ка б пьезоэлектрической пластине (пьезокерамика Т£7-5)

с прямоугольным вырезом (Я^-а/ё—Ъ , сторона а параллельна оси Оз;) приводит к уменьшению максимальных значений ,

соответственно в 1,33; 1,2; 1,8 раза. Происходит также перемена знака напряжений к напряженностей электрического поля Е0 , Ер . Поворот трапецеидального выреза на угол относительно глазных осей при чистом сдвиге ( = г ) в той же пластине приводит к изменению максимальных значений , Eg и Ef на* 10 ■=■ 1Ъ%:

- наличие упругого (жесткого) включения снижает концентрацию сопряженных механического и электрического полей и приводит к качественному и количественному перераспределению электромеханических полей. В пьезоэлектрической среде (сегнетова соль) цилиндрическое треугольное включение (кварц) при антиплоской деформации (р-£/2) уменьшает максимальные значения , Es a En t 2,5 т 3

раза по сравнению со свободным вырезом и приводит к перемене знача. В пьезоэлектрической пластине (пьезокерамика PETS' ) с прямоугольным отверстием ( а/в = 3 J , подкрепленным упругим включением (пьезокерамика PZT-.4' ) максимальные значения бе к £f уменьшаются б 3 ; 3,5 раза. Случай упругого включения является • промежуточны»; между абсолютно жестким ядром и свободным вырезом.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ ' . В СЛВДУЮЩХ РАБОТАХ:

1. Мартынович Т.Л., Шиндер В.К. Двумерные краевые задач'»: электроупругости для пьезоэлектрической среды // Прочность материалов и элементов конструкций при звуковых к ультразвуковых частотах нагруженкя. Тезисы докладов Международного симпозиума (Киев, 1984). - КиеЕ: Наукова думка, 1984.- С.87-83.

2. Шиндер В.К. Граничные условия в интегральной форме задачи

о напряженном состоянии тонких пьезоэлектрических пластин // Вести. Львов.политехи.т та. Резервы прогресса в архитектуре к строительстве. - 1984. - И83. - С.80-82.

3. Мартынович Т.Л., Шиндер В.К., Задворняк М.И. Математическое моделирование электромеханических полей в пьезоэлектрической среде при ачткплоской деформации с помощью теории потенциала .// Моделирование-85. Теория, средства, применение. - Тезисы докладе? Всесоюзной научно-технической конференции. КиеЕ, 19Э5 г. - КиеЕ, 1985. - Ч. II. - С.19-20.

4. Шиндер В.К. Об изгиба тонких пьезоэлектрических пластин// Вестн. Львов, политехи, ин-та. Резервы прогресса в архитектуре и строительстве. - I9t£. - №193. - С.67-89.

.5. Шиндер В.К. Продольный сдвиг пьезоэлектрической среды с туннельным вырезом. - Львов: Львов, политехи, ин-т, 1966. - 2 с. - Деп. в ВНЙИЙС, № 6548.

5. Задворняк М.й., Исаев Ю.И., Ткаченко П.А., Шиндер В.К. К расчету электромеханических полей з анизотропной средз с упругим анизотропным включением при внешнем силовом гоздзйствин // Механика неоднородных структур. Тезисы дскл. II Всесоюзной п. Львов, 2-4 сентября, IS67 г. - Дьвоз,1987. - Ч.- C.I0I.

7. Шиндер В.К. Продольный сдвиг пьезоэлектрической среды с квадратный туннельным вырезом // Вестн. Львов, полите»:.ин-та. Резервы прогресса з архитектуре и строительстве. -1987. - ,'4212.-

3. Мартынович Т.Д., Шиндер З.К. Продельный сдвиг пьззо-, электрической среды со свободным туннельным вырезом прямоугольного поперечного сечения. - Львов: Львов.политехи.ин-т, 1388. - 19 с. -.Деп. в УкрНИИШИ 23.01.1983; :?191 - Укдв.

9. Мартынович Т.Л., Шиндер З.К. Расчет электромеханически:-: • полей в пьезоэлектрической пластинке с прямоугольным отверстием.

- Львов: Львов, политехи. ин-т,1388. -18с. - Деп. з УкрНШНТЛ 10.02.1988, К14 - Ук88.

10. Мартынович Т.Л., Шиндер В.К. Концентрация электроупругих полей в композитной.пьезоэлектрической среде с упругим анизотропным включением при внешнем силовом воздействии /'/ Механика я физика разрушения композитных материалов и конструкций. Тезисы докладов 1-го Всесоюзного симпозиума, Ужгород, 21-23 сент. 1988 г.

- Ужгород, 1988. - С.54.

11. Шиндер В.К. Растяжение пьезоэлектрической пластинки с квадратны«/, отверстием // Вестн. Львов, политехи.ин-та.- Резервы прогресса в архитектуре и строительстве. - 1988. - $223. -С.106-

-G. IC9-II2.

- 108.