Волновые поля в анизотропных упругих средах с усложненными свойствами и методы конечно-элементного динамического анализа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ И ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ С ЕСТЕСТВЕННОЙ И НАВЕДЕННОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

§ 1. Постановка задач. Принципы предельного поглощения и предельной амплитуды.

§ 2. Энергетика однородных волн. Энергетические принципы выделения единственных решений.

§ 3. Обобщенная ортогональность однородных решений в волноводах

§ 4. Спектральные задачи для упругих волноводов. Общие схемы МКЭ

§ 5. Вынужденные колебания упругих волноводов. Разложения по однородным решениям в континуальных и дискретизированных по

МКЭ задачах

§ 6. Примеры КЭ расчетов задач для упругих волноводов

§ 7. Плоские объемные волны в безграничной анизотропной среде

§ 8. Фундаментальные решения в R3.

§ 9. Фундаментальные решения для плоских задач.

§ 10. Фундаментальные решения для антиплоских задач.

§ 11. Теорема существования поверхностных волн.

2 ВОЛНЫ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ И ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ

§ 12. Перенос энергии однородными акустоэлектромагнитными волнами

§ 13. Колебания электроупругих волноводов

§ 14. Фундаментальные решения в электроупругой среде.

§ 15. Плоские волны в безграничной термоэлектроупругой среде.

3 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

§ 16. Классические и обобщенные постановки основных задач.

§ 17. Свойства собственных частот термоэлектроупругих тел.

§ 18. КЭ аппроксимации задач термоэлектроупругости.

§ 19. Задачи акустоэлектроупругости и их КЭ аппроксимации.

4 БЛОЧНЫЕ И СЕДЛОВЫЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

§ 20. Особенности учета демпфирования в пьезоэлектрическом анализе

§ 21. Специфика КЭ уравнений акустоэлектроупругости.

§ 22. Учет главных граничных условий и уравнений связей.

§ 23. Шаговые по времени схемы интегрирования уравнений МКЭ для нестационарных задач

§ 24. Прямые методы решения СЛАУ с седловыми матрицами.

§ 25. Задачи на собственные значения.

§ 26. Методы: разложения по модам для динамических задач.

§ 27. Явно-неявные схемы интегрирования по времени КЭ уравнений акустоэлектроупругости.

§ 28. Введение дополнительных степеней свободы в контактных задачах с жесткими штампами

Диссертационная работа посвящена исследованиям волновых полей в ряде динамических задач линейной теории анизотропной упругости с усложненными свойствами. Рассматриваются два основных типа усложнения задач: задачи теории упругости с подвижными источниками волн и связанные задачи с усложненными определяющими соотношениями, такие, как задачи электроупругости, термоэлектроупру-гости и акз^стоэлектроупругости. Центральным методом анализа волновых полей в волноводах и в телах конечных размеров выбран метод конечных элементов, для которого предлагаются специальные эффективные алгоритмы.

В первой группе предметом изучения являются задачи о гармонических колебаниях анизотропных упругих полуограниченных сред под действием осциллирующих источников, перемещающихся с постоянной скоростью. Такие задачи названы задачами В. Частным случаем этих задач при нулевой скорости осциллирующих источников являются обычные задачи о гармонических колебаниях, которые здесь названы задачами А. Наоборот, при нулевой частоте осцилляции ио — 0, но при ненулевой скорости источника w ф О имеем задачи Bq с только движущимися нагрузками.

Интересом к проблематике задач В автор обязан своему научному руководителю кандидатской диссертации и научному консультанту этой работы проф. A.B. Белоконю. A.B. Белокоиь, по-видимому, впервые начал всесторонне изучать задачи теории упругости А, В и Bq во взаимосвязи. На примере двумерной задачи для упругой полосы в [17, 18] им был сформулирован общий принцип соответствия, развита методика анализа дисперсионных соотношений, выявлена связь принципа предельного поглощения с выбором однородных волн по направлениям их векторов групповых скоростей, установлены энергетические соотношения для досейсмических режимов движения, изучены вопросы единственности и разрешимости задач В в энергетических классах.

До работ A.B. Белоконя [17, 18] задачи В теории упругости изучались довольно эпизодически и обособленно. L.M. Кеег в [238] рассмотрел задачу В для упругой изотропной полуплоскости при малых скоростях движения. В [238] была отмечена несимметричность волнового поля даже при симметричной нагрузке, а также достаточная близость характеристик волновых полей задачи В при безразмерных скоростях, меньших 0.4, к соответствующим в задаче А. Аналогичные задачи В, но в трехмерном варианте, т.е. задачи В для изотропного полупространства, исследовались A.C. Ставровским в [163], а затем В.А. Бабешко, Е.В. Глушковым и Н.В. Глушковой в [10] (см. также [11]), где большое внимание было уделено также асимптотике волновых полей в дальней зоне. Задача В для полупространства с цилиндрической полостью изучалась в [99]. Во всех этих исследованиях рассматривались только дозвуковые режимы движения. Сверхзвуковые режимы движения в задачах В для однослойного и двуслойного полупространств и слоя в аниплоской постановке изучались Б.М. Бах-рамовым, А.Усманалиевым и И.Г. Филлиповым [171, 172, 178]. Задачи

A, В для балок и плит, лежащих на упругом основании, исследовались

B.Н. Терентьевым и А.П. Филипповым [164, 165].

Гидродинамический аналог задач А, В блестяще изложен Дж. Лайтхиллом в [112]. В качестве основного примера в [112] рассмотрены корабельные волны. Представлены также внутренние волны, генерируемые движущимся источником в стратифицированной жидкости. Изучение задач В в [112], как и в [17, 18], основано на принципе соответствия. Применению принципов предельного поглощения и предельной амплитуды в задаче акустики для полосы была посвящена работа [224].

В продолжение исследований задач А, В теории упругости во взаимосвязи A.B. Белоконем и автором в [26] были изучены особые случаи пересечения дисперсионных кривых в задаче для изотропной полосы, жестко защемленной по одному основанию. В [27] была рассмотрена трехмерная задача для акустического слоя, а в [28] для неоднородного по глубине упругого слоя. В [28] были получены формулы для смещения корней дисперсионных уравнений в комплексную область при введении малого трения, получены асмптотики дальнего поля и энергетические соотношения при досейсмическом режиме движения. Отмечено, что движение нагрузки в задаче В приводит к образованию в изотропном слое зон с различным числом распространяющихся волн. Много позже резонансные свойства упругого однородного изотропного слоя в задаче В были изучены в [214].

Автором были изучены задачи .4, В для изотропной упругой плоскости и полуплоскости [128, 129], где при различных режимах движения были получены асимптотики дальних полей и прямыми вычислениями установлены энергетические соотношения для цилиндрических волн. Отмеченные выше исследования были подытожены в [130], где было уделено также большое внимание взаимосвязи различных принципов выделения единственных решений в задаче В. Были сформулированы энергетические принципы излучения для подвижного и неподвижного наблюдателей в подвижной системе координат, установлена взаимосвязь принципа предельного поглощения, энергетических принципов, принципа предельной амплитуды (см. также [127]) и принципа причинности. Следует подчеркнуть, что представленные в [130] результаты касались в основном задач А, В только для изотропных упругих сред.

Исследования задач А, В, выполрюнные A.B. Белоконем, были собраны в материалах трех глав докторской диссертации [19]. Помимо перечисленных выше результатов в [19] представлены также контактные задачи для упругой полосы, задачи А, В для упругого анизотропного слоя (см. также [23]) и задачи для вязкоупругих сред (см. также [35, 36] и др.)

В последние годы задачами Bq и В активно занимались в Нижегородском филиале Института машиноведения РАН. В многочисленных исследованиях, выполненных А.И. Весницким, В.П. Болди-ным, C.B. Крысовым, A.B. Метрикиным, Г.А. Уткиным и др. изучались различные эффекты, вызванные движущимися объектами, в основном, в направляющих системах типа струны, балки и пластины [41, 56, 57, 58, 100, 173]. (Привести более или менее полный список публикаций здесь не представляется возможным ввиду очень большого числа работ.) В этих работах изучались различные эффекты волнообразования, в том числе и для нестационарных задач, причем особенно важными представляются исследования, касающиеся возможности генерации движения источников заданного типа. Следует подчеркнуть, что работ по задачам Bq в. В для струн, балок, пластин и оболочек имеется чрезвычайно большое число, и имеются как монографии, посвященные данным вопросам [71, 103, 218], так и обширные обзоры [185] и др.

Первая глава диссертации обобщает исследования автора задач А, В, выполненные после [130]. В противоположность [130] в главе 1 рассматриваются анизотропные упругие среды. Учет анизотропии позволяет сравнить эффекты "наведенной анизотропии", вызванные движением, т.е. эффекты наблюдаемой различности пространственных направлений по волновым свойствам, с обычной анизотропией. После формулировки и классификации рассматриваемых задач в § 1 дается обобщение принципа предельной амплитуды, учитывающее возможную постоянную предельную составляющую решения, и доказывается, что принципы предельной амплитуды и предельного поглощения эквивалентны в нерезонансных ситуациях как для задач А, так и для задач В. Представленный в § 1 результат существенно усиливает аналогичный результат, полученный ранее автором в [127].

Центральную роль в главе 1 играет второй параграф. В нем рассматривается континуальная лагранжева система, лагранжева плотность которой является квадратичной формой от характерных параметров-функций и их первых частных производных по пространственным переменным и времени. Для такой системы для задач А и В даются единообразные доказательства эквивалентности кинематического и энергетического определений вектора групповой скорости для основных типов распространяющихся однородных волн: плоских, цилиндрических и сферических волн в безграничной среде, волн в волноводах, плоских и цилиндрических волн в слое. При этом для задач В получены два набора энергетических характеристик, измеряемых подвижным и неподвижным наблюдателями. Для этих характеристик сформулированы энергетические принципы излучения в подвижной системе координат. Отмечено, что при сверхзвуковых режимах движения обычна ситуация, когда энергия медленной волны, измеряемая подвижным наблюдателем, оказывается отрицательной. Это, однако, не мешает корректно сформулировать энергетический принцип излучения не только для неподвижного наблюдателя, но и для подвижного наблюдателя. Оба этих энергетических принципа излучения в нерезонансных ситуациях оказываются эквивалентными принципу предельного поглощения. В заключение § 2 отмечается применимость полученных результатов для задач анизотропной теории упругости и приводятся соответствующие формулы для энергий и потоков энергий упругих волн.

В § 3 получена общая форма соотношений ортогональности для нормальных волн в волноводах для той же континуальной лагранжевой системы общего вида, что и в § 2. Из этой общей формы, как частные случаи, следуют известные для задач А соотношения ортогональности упругих волн в волноводах, а также получаются и новые соотношения, справедливые и для задач В. Конечно же, основная идея доказательства соотношения ортогональности не нова [86] и базируется на законе сохранения энергии в ограниченном объеме волновода.

Задачи А, В для упругих волноводов рассматриваются в следующих трех параграфах первой главы (§§ 4-6). Здесь оказываются существенными математические результаты, полученные при исследованиях соответствующих задач А в работах В.А. Бабешко, И.И. Воровича, П.Е. Краснушкина, Ю.А. Устинова и др. [9, 61, 62, 63, 106, 107, 68]. (Более подробная библиография по исследованиям задач А для упругих волноводов имеется в [63, 68].) Между тем оказывается, что далеко не все свойства, справедливые для задач А1 переносятся и на задачи В. В частности, нарушаются многие свойства симметрии спектра. Несмотря на эти обстоятельства, задачи В для упругих волноводов удается исследовать по схемам, близким к применяемым для задач А.

В § 4 после перехода к обобщенной постановке спектральной задачи на сечении волновода получена квадратичная задача на собственные значения для волновых чисел. Путем удвоения размерности эта квадратичная задача сводится к линейной задаче с эрмитовыми, но не положительно определенными, билинейными квадратичными формами. Изучены спектральные свойства задачи на сечении и получены соотношения ортогональности для нормальных мод. Для численного определения волновых чисел и форм нормальных колебаний предлагается использовать метод конечных элементов (МКЭ) в классической лагранжевой формулировке. § 6 иллюстрирует возможности МКЭ на примере расчета спектральных характеристик упругой полосы, жестко защемленной по основанию. Анализировались возможности МКЭ в нахождении вещественных и комплексных корней, а также двукратных вещественных корней при линейных, квадратичных и кубических лагранжевых конечных элементах (КЭ). Отмечена хорошая точность определения волновых чисел при использовании квадратичных КЭ.

Для решения задач В о вынужденных колебаниях упругих волноводов в § 5 намечена схема метода однородных решений. Метод использует нормальные волны и соотношения ортогональности между ними и по форме мало отличается от соответствующего для задачи А. Естественно, что имеется и конечномерная реализация метода однородных решений по МКЭ, которая также приведена в § 5. Отметим однако, что используемые здесь соотношения ортогональности для задач

В не приведены к формам соотношений /-ортогональности для расширенных векторов перемещений-напряжений, обычно используемым при решениях задач А [68]. Эти новые соотношения ортогональности, по-видимому, более удобны при практической реализации, особенно, в случае МКЭ. В этом смысле представленные в §§ 4-6 исследования представляют интерес и для обычных задач А для волноводов.

Четыре параграфа диссертации с § 7 по § 10 посвящены изучению упругих волн в безграничных анизотропных средах для задач В. Удивительно, что эти важные и интересные проблемы до сих пор были обойдены вниманием. Между тем, для задач А аналогичные вопросы изучены уже достаточно подробно (см. § 8).

Для задач В оказались не изученными даже характеристические волновые поверхности плоских волн. Этим вопросам и посвящен весь седьмой параграф. В § 7 вводятся все основные характеристики плоских волн и устанавливаются соотношения между ними, обобщающие известные для задач А. Картинки сечений поверхностей фазовых, обратных и групповых скоростей в § 7 иллюстрируют многообразие случаев возможного поведения характеристик плоских волн в задачах В, особенно при качественно различающихся режимах движения.

Установленные в § 7 свойства плоских волн позволяют исследовать волновые поля в задачах В от точечных источников, т.е. фундаментальные решения (ФР) • Методика преобразования интегральных форм ФР несколько отличается для пространственного и плоского случаев. ФР в безграничном пространстве изучаются в § 8. Здесь ФР, записанные в форме обращения преобразования Фурье в виде трехмерного интеграла, удается разложить на квазистатическую и динамические составляющие. Статическую составляющую удается свести к одномерному интегралу по конечному отрезку в специальной повернутой системе координат. Динамические составляющие преобразованы к двумерным интегралам по полусфере. Для этих составляющих многомерным методом стационарной фазы построены асимптотики дальних полей. Показано, что в дальней зоне поле перемещений разделяется по кинематике на отдельные сферические волны. С использованием общих результатов § 2 получены простые формулы для осредненных по периоду колебаний векторов потоков энергий сферических волн для подвижного и неподвижного наблюдателей. Анализируя полученные результаты, в § 8 отмечено, что в задаче В движение источника может приводить к существенным изменениям в кинематике и энергетике волновых полей: нарушению начальной симметрии, изменению числа волн в различных зонах пространства, распространению при сверхсейсмических режимах движения быстрых и медленных волн в ограниченных коническими поверхностями зонах и др.

В §§ 9, 10 снова рассматриваются ФР, но теперь в К2 соответственно для плоских и антиплоских задач. Здесь первоначально в форме обращения преобразования Фурье имеем представления ФР в виде двумерных интегралов. Эти представления удается преобразовать к интегралам по конечным отрезкам, однако, подынтегральные выражения в них содержат функции интегральных синуса и косинуса. Асимптотики дальних нолей теперь строятся по одномерному методу стационарной фазы, а с использованием результатов § 2 получаются энергетические формулы для цилиндрических волн. Отмечается значительное сходство итоговых формул, описывающих кинематику и энергетику дальних полей, для двумерных и трехмерных задач. Приведенные в §§ 9, 10 результаты обобщают полученные ранее результаты [130] на случай произвольной допустимой анизотропии упругой среды. Не имеется здесь и ограничений на режим движения источника.

В заключение первой главы в § 11 рассматриваются вопросы существования поверхностных волн в задаче В. Удается достаточно просто обобщить теорему Лоте-Барнета задачи А и показать, что в задаче В для произвольного направления произвольного среза упругого кристалла возможны лишь ситуации, когда существует одна рэлеев-ская волна, когда нет прямых рэлеевских волн и когда существуют две рэлеевские волны.

Таким образом, представленные в первой главе результаты выявляют многие закономерности и особенности волновых процессов в неограниченных и полуограниченных анизотропных упругих средах при действии подвижных осциллирующих источников возмущений.

Во второй главе диссертации по методикам, развитым в первой главе, исследуются некоторые задачи типа А для пьезоэлектрических сред.

В § 12 устанавливаются энергетические соотношения для основных типов распространяющихся однородных волн в пьезоэлектрических кристаллах. Вначале в § 12 выписывается лагранжева плотность для пьезоэлектрической среды без использования приближений квазиэлектростатики, т.е. при учете полной связанности упругих и электромагнитных полей. Показывается, что данная лагранжева плотность удовлетворяет всем общим требованиям, наложенным ранее в § 2 на лагранжевы системы. В связи с этим, для плоских, сферических и цилиндрических волн в безграничных пьезоэлектрических кристаллах, однородных волн в пьезоэлектрических волноводах, цилиндрических волн в пьезоэлектрическом слое и т.п. справедливы энергетические соотношения из § 2. Некоторые особенности здесь связаны с тем, что введенный лагранжиан пьезоэлектрической среды основан на функции плотности свободной энергии и выражается через ненаблюдаемые электромагнитные потенциалы. Получаемые из этого лагранжиана энергия и поток энергии отличаются от обычно используемых плотности внутренней энергии II и соответствующего вектора потока энергии Р. Однако, осредненные энергетические характеристики оказываются одинаковыми, и поэтому для энергии (и^)) и потока энергии (Р(5)} выполняются общие соотношения для всех основных типов распространяющихся волн. Далее показывается, что общие энергетические соотношения выполнены также и для акустоэлектрических волн в пьезоэлектриках в приближениях квазиэлектростатики. В завершение § 12 отмечается справедливость важной для дальнейшего теоремы вириала о равенстве средних кинетических и внутренних энергий для волн в пьезоэлектрических средах.

В § 13 рассматриваются задачи для пьезоэлектрических волноводов. Схема анализа упругих волноводов из §§ 4-6 здесь переносится на пьезоэлектрические волноводы. Источники волн теперь предполагаются только осциллирующими с частотой ш, но не перемещающимися вдоль оси волновода, От обычных методик метода однородных решений схема из § 13 отличается упоминаемыми ранее другими наборами неизвестных функций со своими формами соотношений ортогональности. На этих наборах неизвестных основывается и вариант МКЭ решения спектральных задач для пьезоэлектрических волноводов, что отличает материал данного параграфа от аналогичных исследований пьезоэлектрических волноводов по МКЭ, проводимых ранее [242].

В § 14 методика §§ 7-10 применяется для нахождения и анализа ФР в безграничной пьезоэлектрической среде. Оказывается, что специфическая связанность механических и электрических полей, обусловленная приближениями квазиэлектростатики, порождает отдельное поле так называемого несвязанного электрического потенциала. В остальном, анализ ФР в пьезоэлектрической среде близок к соответствующему анализу для упругой среды, как при упрощении интегральных представлений, так и при нахождении асимптотик дальнего поля. Доказанные ранее энергетические соотношения для сферических и цилиндрических волн в пьезоэлектрических кристаллах позволяют определить также и энергетику дальнего поля. Кинематический и энергетический анализ дальнего поля существенно отличает материал § 14 от исследований ФР электроупругости, проведенных ранее А.О. Ватульяном и В.Л. Кубликовым [54]. Следует отметить также, что представленные в § 14 результаты охватывают как пространственный, так и плоский случаи.

Несколько особняком в ряду исследований главы 1 и 2 выглядит § 15, в котором изучаются плоские волны в безграничной термоэлектро-упругой среде. Связанность полей различной природы в термоэлектро-упругости имеет ту особенность, что входящие в уравнения коэффициенты имеют существенно различные порядки. В связи с этим, эффективный численный анализ здесь удается провести лишь при удачном способе обезразмеривания и при применении асимптотических подходов. Приемлемый способ обезразмеривания, предложенный автором, и излагается в § 15. Описываемые далее асимптотические методы близки к изложенным в [210] для термоупругих волн. Конкретные же численные расчеты проводились А.Ю. Кирютенко [52, 97], и здесь опущены. Проведенный анализ для среды класса 6тт показал, что плоские тер-моэлектроупругие волны можно классифицировать следующим образом. Имеется одна чисто упругая сдвиговая БН волна без дисперсии и затухания, две модифицированные квазиэлектроупругие волны, подверженные дисперсии и затуханию, и одна модифицированная квазитепловая волна, также, естественно, с дисперсией и затуханием. В конце § 15 отмечается, что учет температурных факторов изменяет качественную картину, обуславливая дисперсию и затухание электроупругих волн, но количественно эти эффекты крайне незначительны, что может служить обоснованием для рассмотрения электроупругих задач без учета температурных полей.

Вторая часть диссертационной работы посвящена исследованиям связанных динамических задач электроупругости для тел ограниченных размеров. Эти задачи изучаются в двух последних главах диссертации. В третьей главе рассматриваются различные математические вопросы и строятся конечно-элементные аппроксимации задач пьезоэлектричества, термопьезоэлектричества и акустоэлектроупру-гости. В четвертой главе излагается комплекс симметричных алгоритмов для осуществления всех основных типов конечно-элементного анализа реальных пьезоэлектрических устройств: статических задач, определения частот электрических резонансов и антирезонансов, решения задач об установившихся колебаниях и нестационарных задач.

Как видно, МКЭ является центральным методом диссертационной работы, используемым как для анализа задач для упругих волноводов при подвижных возмущениях и гармонических задач для электроупругих волноводов, так и для численного решения важных для практики задач для тел конечных размеров, составленных в общем случае из упругих, электроупругих и акустических сред.

Перейдем к более подробному описанию содержания третьей главы. Предварительно отметим важные особенности задач электроупругости по сравнению с более изученными задачами для упругих тел. Частично эти особенности уже отмечались при изложении материала второй главы.

В задачах электроупругости появляются дополнительные полевые электрические характеристики, и, таким образом, увеличивается число независимых переменных задач.

Электроупругие тела обладают существенной анизотропией как относительно упругих, так и относительно электрических свойств.

Электродированные поверхности, являясь эквипотенциальными, порождают граничные условия, сходные с граничными условиями некоторых контактных задач теории упругости, причем в большинстве задач электроупругости такие граничные условия присутствуют.

Различие в порядках скоростей упругих и электромагнитных волн позволяет перейти к постановкам задач электроупругости в электростатическом приближении. При этом нестационарные процессы в электроупругих телах будут характеризоваться с одной стороны конечностью скоростей распространения упругих волн и связанных с ними возмущений, ас другой стороны — мгновенным изменением квазистатического потенциала и через связанные граничные условия — мгновенным изменением механических полевых характеристик на границе.

Вышеизложенное объясняет как привлекательность в научном плане исследований динамических задач электроупругости, так и отягощающую их сложность. Для задач электроупругости здесь примем следующую терминологию, удобную для дальнейшего. Задачи, в которых на всех электродированных поверхностях задаются известные потенциалы, будем называть V'-задачами, а задачи, в которых имеются электроды, на которых потенциалы изначально не известны, а для их определения задаются токи I или заряды Q, назовем I- или Q-задачами.

Отметим, что общим вопросам математического характера для краевых и начально-краевых задач электроупругости для тел конечных размеров посвящено достаточно небольшое число работ.

Простое доказательство единственности классических решений динамических задач электроупругости, базирующееся на энергетических соотношениях, как и ряд математических результатов (принцип Гамильтона, ортогональность нормальных мод V-задач для ограниченных тел и др.) имеется в монографии В. Новацкого [149].

Фундаментальные решения статических V'-задач для пьезоэлектрических материалов при некоторых ограничениях на константы были построены в [39]. ФР в электроупругих средах для двумерных гармонических задач были построены в [54, 55, 264], где также развивалась техника метода граничных элементов для задач электроупругости и решались тестовые задачи. Для динамических нестационарных задач электроупругости различные формы ФР приводились в [50, 239, 254]. Исследованиям ФР задач электроупругости в динамических случаях был посвящен и § 14 настоящей работы.

Проблемы существования и единственности обощенных решений статических V- и Q-задач электроупругости исследовались в работе A.B. Белоконя и И.И. Воровича [21]. В этой работе были даны строгие обобщенные постановки трехмерных статических V-задач электроупругости и методами функционального анализа доказаны основные теоремы о разрешимости и единственности, а также обоснованы приближенные методы. Для обоснования приближенных методов авторы [21] построили вариационные принципы, имеющие свойства минимальности. Именно, определив электрический потенциал через поле перемещений в общей операторной форме, авторы получили слабые формулировки только через функции механических перемещений. Данные результаты распространены на статические Q-задачи и на У-'задач и о гармонических колебаниях, для которых установлено также наличие дискретного спектра и ряд соотношений ортогональности.

В более поздней работе [22] A.B. Белоконем и И.И. Воровичем были доказаны основные теоремы о разрешимости и единственности нестационарных пространственных Т/-задач и установлена сходимость метода Бубнова-Галеркина. В отличие от [21], здесь авторы не использовали операторное выражение потенциала через вектор перемещений, исследуя начально-краевые задачи электроупругости для единого четырехмерного вектора (трехмерного вектора перемещений и потенциала электрического поля) и проводя доказательства по схеме, аналогичной [63].

Позже В.Н. Мельник, также с использованием галеркинских приближений, доказал теоремы существования и единственности для нестационарных плоских [119] и осесимметричных [120] У-задач.

Метод разложения по собственным функциям (метод Фурье) для нестационарных V- и Q-задач электроупругости рассматривался О.Ю. Жарием в [83, 84]. В [84] вычислены также динамические коэффициенты электромеханической связи (КЭМС) в определении А.Ф. Улитко [82, 123, 170] и найдены максимально достижимые КЭМС для нестационарных задач. Важным результатом работ [83, 84] явилось установление следующего факта. В решении по методу Фурье потенциал электрического поля, в отличие от перемещений, помимо ряда по системе собственных функций содержит еще и несвязанную составляющую, определяемую из решения неоднородной задачи электростатики. Эту компоненту О.Ю. Жарий назвал несвязанным потенциалом и указал, что причиной его появления является свойство мгновенного изменения электрического поля, вытекающее из приближения квазиэлектростатики.

Еще в меньшей степени изучены математические вопросы линейной теории термоэлектроупругости. Теоремы существования, взаимности и основные вариационные принципы были установлены в [149, 215, 228, 250]. В [209] была построена теория термоэлектроупругости, допускающая конечную скорость распространения тепловых волн, и доказаны теоремы взаимности. Комплексное математическое исследование задач термоэлектроупругости с кратковременной памятью и ненулевым током проводимости было проведено Г.А. Шинкаренко [182, 183]. В его более ранних работах (см. ссылки в [182]) были осуществлены аналогичные масштабные исследования задач электроупругости без учета поля температур. Отметим, что интерес к задачам тер-моэлектроупругости (пироэлектричества) резко возрос за последние годы. Однако, последние публикации посвящены, в основном, решениям отдельных задач, и по этой причине обзора этих работ здесь не приводится.

Исследования, приведенные в главе 3, касаются различных математических проблем задач термопьезоэлектричества и служат базой для излагаемых далее конечно-элементных методов и алгоритмов.

В § 16 даются постановки динамических задач для ограниченных термоэлектроупругих и электроупругих тел, а также пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Допускается достаточно широкий набор типов граничных условий: классические главные и естественные условия; механические и электрические контактные краевые условия, включающие контакт с жесткими штампами и электроды, запитывае-мые генераторами тока; тепловые условия конвективного теплообмена и др. Таким образом, здесь рассматриваются комплексные Уф-задачи, что является более общими постановками, чем в отмеченных ранее работах. Используя для функций, удовлетворяющих граничным условиям контактного типа, функциональные пространства из [20], в § 16 даются слабые постановки задач. Развивая подход [21], получено операторное представление электрического потенциала через поля перемещений, температуры и значения потенциала и (или) заряда на границе. Это представление позволяет осуществить редукцию в задачах термоэлектроунругости, исключив в них поле электрического потенциала. Такая операция, естественно, облегчает дальнейшее исследование задач термоэлектроупругости.

Используя полученные слабые постановки, в § 17 определяются свойства собственных частот термоэлектроупругих тел. Стандартными методами доказывается дискретность спектра и полнота системы собственных функций для электроупругих тел и пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Для этих задач приводятся также минимаксные принципы Куранта-Фишера. Для более общих термоэлектроупругих задач отмечаются лишь свойства вещественной части спектра.

Далее в § 17 устанавливаются важные и интересные свойства увеличения или уменьшения собственных частот электроупругих тел и собственных значений пироэлектрических тел без пьезоэффекта при изменении их модулей и механических, электрических и температурных граничных условий.

В § 18 строятся аппроксимации задач термопьезоэлектричества по МКЭ. Для нестационарных задач используется полудискретный подход с КЭ дискретизацией только по пространственным переменным. Применяются классические лагранжевы КЭ формулировки с неизвестными степенями свободы, совпадающими с неизвестными полевыми функциями. КЭ аппроксимации здесь записываются с расчетом на дальнейшую программную реализацию для как можно более широкого класса задач. В связи с этим из рассмотрения не исключаются неоднородные главные граничные условия. Особо отмечается известная для электроупругости проблема связанных степеней свободы {184], когда на электродах требуется обеспечить одинаковые значения электрического потенциала (см. также § 22).

Далее в § 18 обсуждается использование для термопьезоэлектрического анализа изопараметрических КЭ, процедур численного интегрирования, а также приводятся некоторые хорошо известные базовые КЭ для трехмерных, плоских и осесимметричных задач. Материал этого параграфа служит основой для излагаемых далее в главе 4 разрешающих алгоритмов МКЭ.

Среди разнообразных типов пьезоэлектрических устройств важный класс составляют пьезоизлучатели и пьезоприемники акустических волн. У этих устройств механической нагрузкой является рабочая акустическая (жидкая или газообразная) среда. Математическая модель, описывающая работу пьезопреобразователей во взаимодействии с акустической средой, должна включать в себя области с различными физическими свойствами: пьезоэлектрическими, упругими и акустическими. Задачи с набором таких областей называются задачами акустоэлектроу пру гости. Формулировкам и особенностям задач аку-стоэлектроупругости посвящен § 19. Здесь же отметим, что в задачах акустоэлектроупругости возникают следующие дополнительные проблемы: моделирование контакта твердотельной структуры и акустической среды [203]; введение затухания в акустическую среду и моделирование бесконечно удаленных границ акустической среды. Эти проблемы в большей степени проявляются не на этапе постановки задачи, а в дальнейшем при построении расчетных схем. В § 19 предлагается один из способов решения первых двух проблем. В жидкую среду, моделируемую в рамках акустического приближения, вводится линейное демпфирование, но при этом граничные условия для акустической среды удовлетворяются приближенно с точностью до членов второго порядка малости по коэффициенту акустического демпфирования. В качестве неизвестной полевой функции в акустической среде в § 19 выбран потенциал скоростей, что позволило при использовании полудискретных лагранжевых аппроксимаций собрать систему конечно-элементных уравнений в симметричном виде. Предлагаемая в § 19 система МКЭ акустоэлектроупругости с вычислительной точки зрения представляется более удобной, чем принятые в ряде известных КЭ пакетов [195, 196, 268].

Построенные в §§ 18, 19 КЭ системы уравнений электроупругости, термоэлектроупругости и акустоэлектроупругости позволяют перейти к рассмотрению методов и алгоритмов решения этих КЭ уравнений. Следует подчеркнуть, что МКЭ, как метод решения современных инженерных задач, включает в себя как важнейшую часть разрешающие алгоритмы и технологию их реализации. Поэтому для задач специфической структуры, какими и являются задачи электроупругости, рассмотрение МКЭ будет далеко не полным без разработки методов и алгоритмов решения КЭ уравнений. Предваряя изложение материала четвертой главы, как раз и посвященной алгоритмам МКЭ для задач электроупругости, дадим вначале краткий обзор, касающийся разработки и использования для решения задач электроупругости прямых численных методов, особенно, МКЭ.

Динамические задачи электроупругости для неканонических областей в общем случае не поддаются решению чисто аналитическими методами и требуют применения прямых численных методов. Основными семействами среди таких методов для решения краевых и начально-краевых задач для неоднородных составных областей являются: методы конечных разностей (МКР), к которым отнесем также и вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ) и, в меньшей степени, метод граничных элементов (МГЭ). Эти же методы являются основными и для решения динамических задач электроупругости.

Впервые среди прямых численных методов для решения динамических задач электроупругости был использован, по-видимому, МКР [247]. В монографии H.A. Шульги и A.M. Болкисева [184] подробно описан ВРМ для решения задач электроупругости в случае установившихся колебаний и приведены результаты ряда расчетов.

Применительно к нестационарным задачам разностные схемы разрабатывались также в [125, 121, 122]. В этих работах для плоских и осе-симметричных задач электроупругости на основе энергетических вариационных подходов были построены разностные схемы, дан их анализ с установлением порядка точности и продемонстрированы результаты некоторых расчетов.

Разностная схема, являющаяся аналогом схемы распада разрывов С.К. Годунова, тестировалась в [181] на примере одномерной нестационарной задачи для стержня, однако, при более простых для расчетов граничных условиях /-задачи.

Возможности применения МГЭ для задач электроупругости исследовались А.О. Ватульяном и В.Л. Кубликовым [54, 55, 264], а для задач термоэлектроупругости — А.О. Ватульяном и А.Ю. Кирютенко [52, 53]. В [54, 55, 264] были получены граничные интегральные уравнения (ГИУ) для плоских задач электроупругости об установившихся колебаниях в оригинальной форме, допускающей алгоритмическую реализацию, и проведены конкретные расчеты. Простейшая нестационарная антиплоская задач электроупругости решалась по МГЭ лишь в [76], где осуществлена также регуляризация ГИУ по методу [249].

Наиболее же разработанным и подходящим для решения необходимых для практики задач электроупругости следует признать МКЭ.

Вывод уравнений МКЭ из энергетических вариационных принципов впервые был проведен, по-видимому, в [190]. В последующих многочисленных публикациях МКЭ получил серьезное дальнейшее развитие. Были использованы различные типы КЭ, разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей, созданы специализированные [5, 196, 268] и универсальные [192, 212] КЭ программы, позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и антирезонансов, КЭМС и т.п. В [215] дан обзор исследований, выполненных с использованием МКЭ до 1980 г., а в [184] — до 1990 г.

На сегодняшний день число публикаций, посвященным работам и применению МКЭ для расчетов пьезоустройств, чрезвычайно велико, и привести полный перечень работ в рамках данного введения не представляется возможным. Упомянем здесь лишь некоторые публикации и их авторов.

В СССР и на постсоветском пространстве применением МКЭ в электроупругости активно занимались С.М. Балабаев и Н.Ф. Ивина [13, 89, 14], A.M. Болкисев и H.A. Шульга [43, 184], Р.-Й. Ю. Кажис и Л.Ю. Мажейка [90, 91, 92, 93, 94], Г.Г. Писаренко, И.Е. Гордиен-ко, С.П. Ковалев, В.М. Чушко и др. [98, 70, 154], Г.А. Шинкаренко [182, 183]. Отметим при этом, что в работах Р.-Й. Ю. Кажиса и Л.Ю. Мажейки центральное внимание было уделено расчетам переходных процессов для двумерных F-задач электроупругости. Для интегрирования по времени системы МКЭ в этих работах была использована неявная схема Ньюмарка. Среди последних работ отметим разработку КЭ пакета Feapiezo A.A. Ерофеевым и С.А. Ерофеевым [81], а также пакета ACELAN в РГУ, о чем речь пойдет ниже.

Зарубежные работы по МКЭ в электроупругости еще более многочисленны. Помимо перечисленных ранее, можно отметить статьи Н. Allik, K.M. Webman, J.T. Hunt [191], D. Boucher, M. Lagier, C. Maerfeld [202], P. Challande [207, 208], D.R. Cowdrey, J.R. Willis [213], G. Hayward, J.A. Hossack [220, 225], Y. Kagawa, T. Yamabuchi [230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237], R. Lerch [244, 245], M. Naillon, R.H. Coursant, F. Besnier [252], H.S. Tzou, C.I. Tseng [262], V. Tomikawa, H. Miura, S.B. Dong [263], а также работы J.-N. Decarpigny, R. Bossut, P. Tierce, B. Hamonic и др. авторов, входящих в коллективы разработчиков пакетов ATILA (см. в [196] список из 54 работ) и PZFlex [187, 268].

Анализируя эти публикации, можно отметить, что к настоящему времени МКЭ в электроупругости разработан до уровня готовых программных продуктов и накоплен значительный опыт в практике расчетов по МКЭ разнообразных пьезоэлектрических устройств. С другой стороны, процесс разработки МКЭ для задач электроупругости происходил в основном в направлении распространения на эти задачи обычных подходов МКЭ, принятых для задач структурного анализа. При этом старались свести к минимуму количество необходимых изменений в алгоритмической реализации различных блоков МКЭ. Такие методики привели к ряду ограничений в пьезоэлектрическом конечно-элементном анализе.

Кроме этого, практика развития программного обеспечения показывает, что наличие программных продуктов для обслуживания каких-либо потребностей совсем не препятствует разработкам аналогичных программных средств, и наверное, во всех предметных областях, где имеется какое-то программное приложение, существует и множество других конкурирующих программных средств. Все эти соображения и привели к решению в 1997 г. о разработке конечно-элементного пакета ACELAN, ориентированного на расчеты пьезоэлектрических устройств. Работа над пакетом ACELAN выполнялась под руководством проф. A.B. Белоконя на кафедре математического моделирования РГУ. Различные этапы разработки ACELAN отражены в [1, 3, 4, 5] и в других публикациях.

Специально для пакета ACELAN автором был разработан комплекс оригинальных алгоритмов решения матричных задач МКЭ, возникающих при КЭ аппроксимациях задач электроупругости, термоэлек-троупругости и акустоэлектроу пру гости. Эти алгоритмы учитывают специфику КЭ уравнений, возникающих при расчетах пьезоэлектрических устройств. Именно, строятся и используются алгоритмы для симметричных матриц седловой структуры и блочные алгоритмы с блоками, отвечающими полям различного физико-механического типа. Всем этим проблемам и посвящена четвертая глава диссертации.

В § 20 обсуждаются исключительно важные для реальных расчетов проблемы учета демпфирования (затухания) при проведении пьезоэлектрического анализа по МКЭ. Анализируются принятые в различных КЭ пакетах подходы и отмечаются их недостатки. Предлагается новый способ учета демпфирования во всей твердотельной структуре, согласованный с развиваемым далее методом разложения по модам. Предлагается обобщение этого способа учета демпфирования, включающее как частный случай подходы, реализованные в ANS YS и COSMOS/M.

В § 21 обсуждается специфика КЭ уравнений акустоэлектроупру-гости, полученных ранее в §§ 18, 19. Отмечается, что КЭ матрицы в этих уравнениях имеют специфическую структуру симметричных сед-ловых матриц. Дается классификация блочных и обычных смешанных алгоритмов, указывается, что блочные алгоритмы могут оказаться необходимыми для реализации некоторых режимов пьезоэлектрического анализа. Далее в § 21 обсуждается ряд решений по пьезоэлектрическому анализу, принятых во всемирно известном КЭ пакете ANS YS. Среди прочего отмечается отсутствие в ANS YS одномерных пьезоэлектрических конечных элементов. Это, однако, не является ограничением на проведение расчетов пьезоэлектриков в ANSYS по одномерным моделям, так как в заключение § 21 предложена обратная "электромеханическая аналогия" для моделирования одномерных стержневых пьезоэлектрических и акустических КЭ эквивалентными упругими элементами с пружинами с отрицательными (!) коэффициентами жесткости и заданными в отдельных узлах матрицами демпфирования. С использованием предложенной методики одномерными квазиупругими конечными элементами пакета ANSYS могут быть промоделированы по одномерным теориям динамические процессы, протекающие в многослойных средах с различными физико-механическими свойствами (пьезоэлектрические, упругие и акустические слои). Таким образом, последняя часть материала § 21 расширяет стандартные средства пьезоэлектрического анализа ANS YS.

В § 22 для наиболее общего нестационарного случая приводятся два различных способа учета главных граничных условий и линейных уравнений связи. Оба эти способа сохраняют симметричные седловые структуры КЭ матриц, но один из них сохраняет еще и размеры КЭ матриц, которые они имели без учета этих форм граничных условий. Отмечается, что в разных ситуациях может оказаться удобной тот или иной способ учета главных граничных условий и уравнений связи, а описанный ранее в литературе метод учета граничных условий на Q-электродах здесь становится просто частным случаем общей методики.

В § 23 рассматриваются схемы прямого интегрирования по времени задачи Коши для системы дифференциальных уравнений МКЭ в электроупругости. Предлагаются альтернативные формулировки явно-неявных модификаций методов Ныомарка и Вильсона, записанные в едином виде. Эти альтернативные формулировки не используют векторов скоростей и ускорений на текущем временном шаге и поэтому предпочтительны для задач электроупругости и термоэлектроупруго-сти, когда в общей системе уравнений отсутствуют вторые и/или первые производные по времени у некоторых из полевых функций. Кроме того, данные альтернативные формулировки имеют эффективную матрицу жесткости К6?? симметричной седловой структуры, в том числе и при модели учета демпфирования из § 20.

В неявных шаговых схемах интегрирования по времени нестационарных задач из § 23 на каждом временном слое необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с одной и той же симметричной седловой матрицей. СЛАУ с матрицей такой же структуры надо решать и в статических задачах электроупругости. В § 24 для этих целей предлагается метод окаймления для седловых матриц, реализующий метод квадратного корня. Практика расчетов в АСЕЬАК [4, 5] показала эффективность данного алгоритма в КЭ задачах электроупругости.

В § 25 обсуждаются задачи на собственные значения. Выделяются два класса задач: задач об определении частот электрических резо-нансов и задач об определении частот электрических антирезонансов. Формулируются свойства собственных частот и собственных векторов. Описываются различные подходы к решению возникающих задач на собственные значения для разреженных матриц, основанные на прямых и обратных итерациях. Отмечается необходимость блочных алгоритмов для методов, использующие сдвиги и обратные итерации.

В § 26 классический в структурном анализе метод разложения по модам (метод суперпозиции мод) распространяется на динамические задачи электроупругости. Основной особенностью является наличие несвязанного электрического потенциала, который надо находить из отдельной СЛАУ. Другая особенность связана с учетом затухания. Оказывается, что обычное модовое затухание здесь оказывается согласованным именно с моделью демпфирования, предложенной в § 20. В остальном метод разложения по модам в пьезоэлектрическом КЭ анализе повторяет аналогичный хорошо известный метод разложения по модам для структурного анализа. В § 26 метод суперпозиции мод представлен как для задач о гармонических колебаниях, так и для нестационарных задач. Эффективность метода иллюстрируется на примере расчета гармонических колебаний пьезотрансформатора продольно-продольного типа и определения его АЧХ и коэффициента трансформации. В примере сравниваются одномерные, двумерные и трехмерные модели с разложением по модам и без него. Выводятся также согласованные приближенные формулы для определения коэффициентов демпфирования, допустимых в А^УБ, и коэффициентов демпфирования новой модели из § 20, обеспечивающие приблизительную эквивалентность обеих моделей учета демпфирования на задаваемом частотном интервале.

Метод разложения по модам давно завоевал достойное место в практике динамических расчетов задач теории упругости. Можно надеяться, что представленный в § 26 материал будет способствовать реализации этого метода и для задач электроупругости в различных КЭ пакетах.

§ 27 продолжает исследования шаговых по времени схем интегрирования для нестационарных задач. Используется явный для структурных степеней свободы метод центральных разностей. При этом электрический потенциал на каждом временном слое нужно определять, решая СЛАУ, т.е. из неявной процедуры. Такой явно-неявный метод близок к предлагаемому в [268]. Оригинальным является метод диа-гонализации эффективной матрицы масс для элементов, отражающих связи твердотельной структуры и акустической среды.

Последний параграф диссертации (§ 28) развивает методики конечно-элементного анализа на контактные задачи с жесткими штампами. Такие контактные задачи являются еще линейными задачами. Новые особенности связаны со специфическими граничными условиями контакта с жесткими штампами. Уравнения связей здесь включают дополнительные неизвестные, отвечающие за углы поворотов штампов. Описывается методика учета этих граничных условий, а также ее реализация в ANSYS на примере расчета собственных частот прямоугольного упругого тела с жестким массивным штампом. Существенно, что данный в § 28 метод учета граничных условий с жесткими массивными штампами записан в форме симметричного алгоритма и поэтому может быть включен в общий комплекс симметричных седловых алгоритмов КЭ анализа пьезоэлектрических устройств из главы 4.

Как отмечалось выше, алгоритмы главы 4 были разработаны для пакета ACELAN. В работе над проектом ACELAN принимала участие большая группа разработчиков под руководством проф. A.B. Белоко-ня: О.Н. Акопов, В.А. Еремеев, Н.В. Курбатова, К.А. Надолин, A.C. Скалиух, А.Н. Соловьев и др. Результаты этой работы отражены в публикациях [1-5, 24, 25] и др. Авторство в реализации описанных алгоритмов в ACELAN и в разработке важнейших модулей КЭ программы принадлежит вышеназванным коллегам, а поэтому результаты многочисленных тестовых расчетов, выполненных в ACELAN, не включены в настоящую диссертацию.

В концентрированном виде результаты диссертации представлены в заключении.

Основными публикациями, отражающими материал диссертации, являются следующие работы: [1,4,5,24-26, 28-32, 52, 73, 80, 127, 131

Введение 25

146] (всего - 31 наименов.)

В работах [1, 4, 5, 24, 25, 80] диссертанту принадлежит разработка КЭ алгоритмов, представленных в главе 3, в [52] — способ обезразмери-вания системы уравнений термоэлектроупругости и идея применения асимптотических разложений из работы [210] в задаче о термоэлектро-упругих волнах, в [73] — "обратная электромеханическая аналогия", разработка одномерной КЭ модели для ANS YS и основное содержание, за исключением численных расчетов. Результаты работ [26, 28] принадлежат обоим авторам, в [29 32] A.B. Белоконю принадлежит выбор направлений и некоторых методов исследований.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами Минобразования (№015.03.01.16 с 1998; №1.5.64 в 1993-95 гг. — гранты по программе "Университеты России"; №95-0-4.3.-11; №94-4.5.-41 — гранты по фундаментальным исследованиям в области естественных наук), РФФИ (№№99-01-01001; 97-01-01000; 94-01-01259), CRDF (№REC-004), НИР ЕЗН РГУ (№№1.1.99Д; 1.18.96).

Автор выражает искреннюю признательность и огромную благодарность своему научному консультанту, проф. A.B. Белоконю за постановку ряда задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение 245 свойств симметрии волновых полей, присущих задачам с только осциллирующими воздействиями. Отмечены общие особенности волновых полей, привносимые движением источников: генерация быстрых и медленных волн при сверхсейсмических режимах; перенос медленными волнами отрицательной энергии, измеряемой подвижным наблюдателем, появление за счет движения дополнительных зон с различным числом распространяющихся сферических и цилиндрических волн и т.д.

Изучены связанные задачи электроупругости, акустоэлектроупру-гости и термоэлектроупругости для тел ограниченных размеров. Для этих задач получены следующие результаты.

• Даны обобщенные постановки всех основных задач, построены их конечно-элементные аппроксимации. (§§ 16, 18, 19.)

• Доказана дискретность спектра и полнота системы собственных функций электроупругих тел и пироэлектрических тел без пье-зоэффекта. Установлены свойства увеличения или уменьшения собственных частот электроупругих тел и собственных значений пироэлектрических тел при изменениях их модулей и граничных условий. (§ 17.)

• Предложен комплекс взаимосвязанных блочных и седловых симметричных алгоритмов для решения матричных задач метода конечных элементов, возникающих при различных типах и этапах связанного пьезоэлектрического анализа: для статических задач, задач об установившихся колебаниях и для исследования нестационарных процессов. Дан новый способ учета демпфирования в пьезоэлектрических средах, согласованный с методом разложения по модам. Выявлены возможности конечно-элементного пакета АШУБ для исследования одномерных задач электроупругости и задач с жесткими массивными штампами. (§§ 20—28.)

1. Акопов ОН., Белоконь A.B., Еремеев В.А., Надолин К.А., Наседкин A.B., Скалиух A.C., Соловьев А.Н. Об опыте разработки конечно-элементного пакета ACELAN для расчета пьезоэлектрических устройств // Тр. Межд. научн.-практич. конф.

2. Фунд. пробл. пьезоэлектрич. приборостроения" (" Пьезотехника-99"), Ростов-на-Дону, Азов, 14-18 сент. 1999. Ростов н/Д, 1999. Т. 2. С. 241-251.

3. Алексеева Л.А. Фундаментальные решения в упругом пространстве в случае бегущих нагрузок // ПММ. 1991. Т. 55. Ш 5. С. 840848.

4. Алъшиц В.И., Даринский A.B., Шувалов А.Л. Теория отражения акустоэлектрических волн в полубесконечной пьезоэлектрической среде. III. Резонансное отражение // Кристаллография. 1991. Т. 36, № 2. С. 284^297.

5. Аронов Б. С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. Д.: Энергоатомиздат, 1990. 272 с.

6. Бабешко В.А. Об условиях излучения для упругого слоя // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 3. С. 547 549.

7. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Возбуждение упругих волн движущимся гармоническим источником / Кубан. ун-т. Краснодар, 1985. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 3.09.85, №6470-85Деп.

8. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

9. Бакулин A.B., Тюриков Л.Г. Поле точечного источника в упругой однородной анизотропной среде // Акуст. ж. 1996. Т. 42. К2 6. С. 741-747.

10. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний пьезо-керамических цилиндров произвольных размеров // Прикл. механика. 1989. Т. 25, № 10. С.37-41.

11. Балабаев С.М., Ивина Н.Ф. Анализ пьезопреобразователей комбинированным методом конечных и граничных элементов // Акуст. журн. 1996. Т. 42, № 2. С.172-178.

12. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. Новосибирск: Наука, 1982. 239 с.

13. Баранский К.Н. Физическая акустика кристаллов. М.: Изд-во МГУ, 1991. 143 с.

14. Белоконъ A.B. К теории динамических задач с подвижными возмущениями для неоднородной упругой полосы // Докл. АН СССР.1981. Т. 261, № 5. С. 1079-1082.

15. Белоконъ A.B. Колебания упругой неоднородной полосы, вызванные движущимися нагрузками // ПММ. 1982. Т. 46, № 2. С. 296302.

16. Белоконъ A.B. Колебания и волны в полу ограниченных и ограниченных телах / Дисс. на соиск. уч. степ, д.ф.-м.н. Ростов-на-Дону,1987. 450 с.

17. Белоконъ A.B. К теории динамических контактных задач для упругих тел ограниченных размеров // Изв. РАН. МТТ. 1992. № 2. С. 77-84.

18. Белоконъ A.B., Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории электроупругих тел/ /Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: ДГУ, 1979. С.53-67.

19. Белоконъ A.B., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.1982. № 2. С.29-32.

20. Белоконъ A.B., Ворович И.И. О некоторых закономерностях образования волновых полей в анизотропном слое при пульсирующей движущейся нагрузке // Мех. и научн.-техн. прогресс. Т. 3. М.,1988. С. 215-222.

21. Белоконъ A.B. Еремеев В.А., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости // ПММ. 2000. Т. 64, № 3. С. 381-393.

22. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Распространение волн в изотропной жестко защемленной упругой полосе от движущихся осциллирующих нагрузок // Прикладная механика. 1986, Т. 22, 34е 9. С. 90-97.

23. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Модельная задача на распространение волн от движущихся пульсирующих нагрузок в упругом слое / Ростов-н/Д ун-т. Ростов н/Д, 1986. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 11.05.86, №3359-В86.

24. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Волны в неоднородном по толщине слое, вызванные движущимися нагрузками // ПММ. 1987. Т. 51, № 2. С. 305-313.

25. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Общие энергетические теоремы и принципы излучения для однородных волн / / Динамич. задачи мех. сплош. среды, теор. и прикл. вопросы вибрац. просвечивания Земли: Матер, per. конф. Краснодар: Куб. гос. ун-т, 1992 С. 13-14.

26. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Энергетика волн, генерируемых подвижными источниками // Акуст. ж. 1993. Т. 39, JV2 3. С. 421-427.

27. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. Колебания термоэлектроупругих тел ограниченных размеров // Современные проблемы механики сплошной среды. Сб. научн. статей. Ростов-на-Дону: МП "Книга", 1995. С.31-46.

28. Белоконъ A.B., Наседкин A.B. О некоторых свойствах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров /} ПММ. 1996. Т. 60, № 1. С. 151-158.

29. Белоконь A.B., Шехов В.П. Задача о движении по вязкоупругой полосе штампа, находящегося под действием нагрузки, гармонически изменяющейся во времени / Ростов н/Д ун-т. Ростов н/Д, 1979. 25 с. Деп. в ВИНИТИ 11.12.79, №4303-79Деп.

30. Белоконь A.B., Шехов В.П. Смешанные задачи теории вязкоупру-гости с движущимися штампами // Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов н/Д: Изд-во Рост, унта, 1983. С. 231-246.

31. Бирюков C.B. Обобщенный импеданс в теории поверхностных волн в пьезоэлектриках // Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 9. С. 1175-1184.

32. Бирюков C.B., Гуляев Ю.В., Крылов В.В., Плесский В.П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука, 1991. 416 с.

33. Бицадзе Л. П. Некоторые решения уравнений электроупругости // Тр. ин-та прикл. математики Тбилисского ун-та. 1985. № 16. С. 2033.

34. Бобровницкий Ю.И. Соотношение ортогональности для волн Лэм-ба // Акуст. ж. 1972. Т. 18, № 4. С. 513-515.

35. Болдин В. П. Машины и приборы волнового принципа действия // Волновая динамика машин / АН СССР. Ин-т машиновед. Горьк. фил. М.: Наука, 1991. С. 30-44.

36. Болкисев A.M. Диссипация энергии при гармоническом нагруже-нии вязкоупругого пьезокерамического материала // Прикл. механика. 1987. Т. 23. № 3. С. 48-53.

37. Болкисев A.M. Конечно-элементный анализ деформированного состояния пьезоэлектрического двигателя // Прикл. механика. 1993. Т. 29, № 8. С.69-72.

38. Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Современное состояние электродинамики движущихся сред. (Безграничные среды) // Эйнштейновский сборник 1974. М.: Наука, 1976. С. 179-275.

39. Боровиков В.А. Дальнее поле движущегося осциллирующего источника в случае резонанса // ПММ. 1998. Т. 62, № 2. С. 243-256.

40. Бреховский Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

41. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей. М.: Мир, 1988. 262 с.

42. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: Мир, 1983. 136 с.

43. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982. 296 с.

44. Ватульян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости // ПММ. 1996. Т. 60. № 2. С. 309-312.

45. Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т. 37, № 5. С. 135-142.

46. Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин А.В. О формулировке граничных интегральных уравнений связанной термоэлектроупругости // Интегродифференциальные операторы и их приложения. Межвуз. сб. науч. трудов / ДГТУ, Ростов-на-Дону. 1996. С. 19-25.

47. Ватульян А.О., Кубликов В.Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т. 53, № 6. С. 1037-1041.

48. Ватульян А.О., Ку бликов В. Л. Метод граничных элементов в электроупругости // Механика деформируемых тел. Межвуз. сб. науч. тр. / ДГТУ, Ростов-на-Дону. 1994. С. 17-21.

49. Весницкий А.И., Каплап Л.Э., Уткин Г.А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками // ПММ. 1983. Т. 47.№ 5. С. 863-866.

50. Весницкий А.И. Волновые эффекты в упругих системах // Волновая динамика машин / АН СССР. Ин-т машиновед. Горьк. фил. М.: Наука, 1991. С. 15-30.

51. Весницкий А.И., Метрикин A.B. Переходное излучение в периодически неоднородной упругой направляющей // Изв. АН СССР. МТТ. 1993. № 6. С. 164-168.

52. Волъмир A.C., Куриное Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. М.: Машиностроение, 1989. 248 с.

53. Ворович Е.И., Соколова Н.Ф., Тукодова О.М., Феданова Ю.В. Построение нейтральных кривых для анизотропной полосы // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 5. С. 61-66.

54. Ворович И. И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 4. С. 817-820.

55. Ворович И. И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы И Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 5. С. 1076-1079.

56. Ворович И.И., Вабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

57. Вшивцев A.C., Татаринцев A.B., Чесноков Е.М. Функция Грина волнового уравнения при наличии анизотропии среды // Физика Земли. 1994. № 9. С. 80-87.

58. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

59. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Распространение волн в поперечно-неоднородных пьезоактивных волноводах // Акустич. журн. 1985. Т. 31, № 3. С. 314-319.

60. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных волноводов. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1993. 144 с.

61. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208 с.

62. Горшков А.Г., Пожуев В.И. Пластины и оболочки на инерционном основании при действии подвижных нагрузок. М.: Изд-во МАИ, 1992. 136 с.

63. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.

64. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1983. 333 с.

65. Дитк/ин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. 407 с.

66. Докучаев С.А., Наседкин A.B. Реализация МГЭ в нестационарных задачах электроупругости для среды класса 6mm // Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. III Межд. конф. Ростов н/Д, 7-9 окт. 1997. Ростов н/Д: МП "Книга", 1997. Т. 1. С. 111-115.

67. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. М.: Наука, 1982. 424 с.

68. Дьяконов Е.Г. О некоторых классах седловых градиентных методов // Вычислит, процессы и системы. Вып. 5. М.: Наука, 1987. С. 101-115.

69. Дюво Г. Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Мир, 1980. 384 с.

70. Ерофеев С.А., Ерофеев A.A. Интеллектуальное конечно-элементное моделирование и расчет элементов и устройств функционирования электроники в среде Feapiezo-2 // Тр. IV Межд. симп. "Интеллектуальные системы" (интелс'2000). М., 2000. С. 182-183.

71. Жарий О.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. К.: Выща шк., 1989. 184 с.

72. Жарий О.Ю. Метод разложения по собственным функциям в задачах динамической электроупругости J J ПММ. 1990. Т. 54, № 1. С. 109-115.

73. Жарий О.Ю. Модовая теория электромеханического преобразования энергии в пьезоэлектрических телах // ПММ. 1991. Т. 55, № 2. С. 330-337.

74. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

75. Зильберглейт A.C., Копилевич Ю.И. Спектральная теория регулярных волноводов. Л., 1983. 302 с.

76. Зильберглейт A.C., Копилевич Ю.И. О спектре нормальных волн регулярных неоднородных анизотропных упругих волноводов / Препр. № 1111 Физ.-техн. ин-та им. A.B. Иоффе. Л., 1987. 62 с.

77. Зильберглейт A.C., Копилевич Ю.И. Дисперсионная теория нормальных волн регулярных упругих волноводов / Препр. JV2 1112 Физ.-техн. ин-та им. A.B. Иоффе. Д., 1987. 60 с.

78. Ивина Н.Ф. Численный анализ собственных круглых пьезокера-мических пластин конечных размеров // Акуст. журн. 1989. Т. 35, № 4. С. 667-673.

79. Кажис Р.-Й.Ю. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Мокслас, 1986. 216 с.

80. Кажис Р.-Й.Ю., Мажейка Л.Ю. Расчет неоднородных электрических и акустических полей в измерительных пьезопреобразова-телях методом конечных элементов // Научн. тр. вузов ЛитССР. Радиоэлектроника. 1983. Т. 19, № 1. С. 25-35.

81. Кажис Р.-Й.Ю., Мажейка Л.Ю. Расчет нестационарных электроакустических полей в измерительных пьезопреобразователях методом конечных элементов // Научн. тр. вузов ЛитССР. Ультразвук. 1985. № 17. С. 3-13.

82. Кажис Р.-Й.Ю., Мажейка Л.Ю. Исследование переходных процессов в плоских пьезоизлучателях методом конечных элементов // Дефектоскопия. 1986. № 12. С. 3-11.

83. Кажис Р-Й.Ю., Мажейка Л.Ю. Анализ нестационарного режима пьезопреобразователей методом конечных элементов // Акуст. журн. 1987. Т. 33, № 5. С. 895-902.

84. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

85. Кессених Г.Г., Шувалов Л.А. Поток энергии и групповая скорость звуковых волн в пьезоэлектрических кристаллах // Кристаллография. 1976. Т. 21, № 5. С. 1022-1023.

86. Кирютенко А.Ю. Динамические задачи термоэлектроупругости / Автореферат дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.-м.н. Ростов-на-Дону, 1999. 18 с.

87. Ковалев С.П., Кузьменко В.А., Писаренко Г.Г., Чутко В.М. О построении численного решения задач электроупругости / / Проб л. прочности. 1979. № 8. С. 90-92.

88. Колодяжная Т.Е., Селезнев М.Г., Селезнева Т.Н. Задача о воздействии движущейся осциллирующей нагрузки на упругое полупространство, содержащее заглубленную цилиндрическую полость // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № б. С. 83-88.

89. Кононов A.B., Метрикин A.B. Эффект переходного излучения в двумерной упругой системе // Изв. АН СССР. МТТ. 1994. № 6. С. 95-100.

90. Коробейник Ю.Ф. О вычислении нулей и полюсов мероморфной функции // Совр. пробл. мех. сплошной среды. Сб. научн. статей. Ростов н/Д: МП "Книга", 1995. С. 117-123.

91. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наук, думка, 1985. 176 с.

92. Кохманюк С.С., Янютин Г.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. К.: Наук, думка, 1980. 232 с.

93. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1984. 400 с.

94. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

95. Краснушкин П.Е. Вынужденные колебания бесконечной упругой полосы Ц Докл. АН СССР. 1979. Т. 244, № 2. С. 325-329.

96. Краснушкин П.Е. О возбуждении нормальных и присоединенных волн в бесконечной слоистой упругой полосе // ПММ. 1979. Т. 43, № 5. С. 877-886.

97. Краснушкин П.Е. Резонансы в упругом бесконечном цилиндре и трансформация комплексных волн в незатухающие // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 1. С. 44-48.

98. Крейн М.Г., Лангер Т.К. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуумов / Приложение теории функций в мех. спл. среды. Тр. Межд. симп.

99. Тбилиси, 17-23 сент. 1963. Т. 2. Мех. жидкости и газа, мат. методы. М.: Наука, 1965. С. 283-322.

100. Кузнецов C.B. Продольные упругие волны в анизотропных средах // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 4. С. 76-78.

101. Лавриненко В.В. Пьезоэлектрические трансформаторы. М.: Энергия, 1975. 112 с.

102. Лайтхилл Дж. Волны в жидкости. М.: Мир, 1981. 598 с.

103. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

104. Малый В.Н. Явное выражение для корней трансцендентных характеристических уравнений // Изв. АН СССР. МТТ. 1992. 5. С. 56-57.

105. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972. 437 с.

106. Масловская Л. В. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач. // ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29, № 1, С. 67-74.

107. Масловская Л. В., Филиппович А. П. Полу смешанный метод конечных элементов в задачах о деформации пологих оболочек // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25, № 8. С. 1235-1245.

108. Мельник В.Н. О существовании и единственности обобщенных решений в связанных нестационарных задачах двумерной электроупругости // Динам, сплош. среды. 1990. № 90, С.60-73.

109. Мельник В.Н. Существование и единственность обобщенных решений в связанных нестационарных задачах двумерной электроупругости // Вопр. вычисл. и прикл. мат. 1990. № 88, С. 123-134.

110. Мельник В.Н., Москалъков М.Н. О связанных электроупругих нестационарных колебаниях пьезоэлектрического цилиндра с радиальной поляризацией // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28, № 11. С.1755-1756.

111. Мельник В.Н., Москалъков М.Н. Разностные схемы и анализ приближенных решений для двумерных нестационарных задач связанной электроупругости // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 7. С. 1220-1229.

112. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электроупругость / Гринченко В.Т., Улит,ко А.Ф., Шульга H.A. К.: Наук, думка, 1989. 280 с.

113. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

114. Москалъков М.Н. Исследование разностной схемы решения задачи излучения звука цилиндрическим пьезовибратором // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 7. С. 1220-1226.

115. Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991. 560 с.

116. Наседкин A.B. Принципы предельного поглощения и предельной амплитуды в стационарных задачах теории упругости // Известия СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1986. № 4. С. 42-46.

117. Наседкин A.B. Антиплоская деформация полупространства под действием движущейся пульсирующей нагрузки / Ростов-н/Д унт. Ростов н/Д, 1986. 35 с. Деп. в ВИНИТИ 05.12.86, №8301-В.

118. Наседкин A.B. Движение с дорелеевской скоростью осциллирующей нагрузки по упругой полуплоскости / Ростов-н/Д ун-т. Ростов н/Д, 1986. 29 с. Деп. в ВИНИТИ 05.12.86, №8302-В.

119. Наседкин A.B. Распространение волн в полу ограниченных упругих средах под действием подвижных пульсирующих нагрузок / Дисс. на соиск. уч. степ, к.ф.-м.н. Ростов-на-Дону. №ГР 01860135668, Инв. №04870017941, 1987. 230 с.

120. Наседкин A.B. Общие теоремы о переносе энергии однородными волнами // ПММ. 1993. Т. 57, № 5. С. 105-112.

121. Наседкин A.B. Перенос энергии однородными акустоэлектромаг-нитными волнами в пьезоэлектрических средах // Кристаллография. 1995. Т. 40, № 5. С. 783-788.

122. Наседкин A.B. Полудискретные схемы методов конечных и граничных элементов для операторов нестационарной электроупругости // Интегродифференциальные операторы и их приложения. Межвуз. сб. науч. трудов / Ростов-на-Дону, ДГТУ. 1996. С. 105110.

123. Наседкин A.B. Альтернативные формулировки методов Ньюмар-ка и Вильсона // Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. II Межд. конф., Ростов н/Д, 19-20 сент. 1996 г. Т.2. / Ростов-на-Дону, МП"Книга". 1996. С. 115-119.

124. Наседкин A.B. Новая улучшенная формулировка принципа предельной амплитуды // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып. 3. Межвуз. сб. научн. тр. / ДГТУ, Ростов н/Д. 1998. С. 71-75.

125. Наседкин A.B. Схемы конечноэлементного анализа пьезоэлектрических устройств, взаимодействующих с акустической средой // Математика в индустрии. Тр. Межд. конф. (29 июня 3 июля 1998 г.), Таганрог: ТГПИ, 1998. С. 239-241.

126. Наседкин A.B. К расчету по МКЭ пьезопреобразователей, нагруженных на акустическую среду // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естесгв. науки. 1999. № 1. С. 48-51.

127. Наседкин A.B. Определение спектральных характеристик упр}'-гих волноводов методом конечных элементов // Современные проблемы математического моделирования. Тр. VIII Всеросс. шк.-семинара / Ростов-на-Дону: Изд-во Рост. гос. ун-та, 1999. С. 181— 188.

128. Наседкин A.B. Общая форма соотношений ортогональности однородных решений в волноводах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 104-106.

129. Наседкин A.B. Конечно-элементный анализ спектральных задач для упругих и электроупругих волноводов с гармоническими подвижными источниками // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 40-46.

130. Наседкин A.B. Новая модель учета демпфирования для конечно-элементного пьезоэлектрического анализа // Современные проблемы механики и прикладной математики. Материалы Шк.-семинара. Воронеж, 25-30 сент. 4.2. Воронеж: ВГУ, 2000. С. 319323.

131. Незлин M.B. Волны с отрицательной энергией и аномальный эффект Допплера // УФН. 1976. Т. 120, № 3. С. 481-495.

132. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

133. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир, 1986. 160 с.

134. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высш. шк., 1985. 392 с.

135. Осипов И.О. О волновых полях и остроугольных кромках на волновых фронтах в анизотропной среде от точечного источника // ПММ. 1972. Т. 36. № 5. С. 972-934.

136. Партон В.З., Кудрявцев В.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

137. Пирс Дою. Почти все о волнах. М.: Мир, 1976. 176 с.

138. Прудько Н.И. Метод определения комплексных упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических констант пьезокерамики // Акуст. журнал. 1985. Т. 22. № 3. С. 146-150.

139. Пьезокерамические преобразователи: Справочник / Под ред. С.И. Пугачева. JL: Судостроение, 1984. 256 с.

140. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

141. Рисс Ф., Секефальди-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 587 с.

142. Савельев Л.М. Прямое интегрирование уравнений движения в методе конечных элементов ]/ Прочность и долговечность элементов летательных аппаратов. Межвуз. сб. ] КуАИ, Куйбышев, 1984. С. 37-44.

143. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

144. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. 664 с.

145. Синицын А.П. Метод конечных элементов в динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1978. 230 с.

146. Ставровский A.C. Об одной модификации задачи Лэмба // Вестн. Моск. ун-та. 1975. № 5. С. 86-95.

147. Терентьев В.Н. Подвижные пульсирующие нагрузки в трехмерных задачах теории упругости // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С.327-332.

148. Терентьев В.Н., Филиппов А.П. Вынужденные установившиеся колебания бесконечных балок, лежащих на упругом полупространстве // Прикладная механика. 1965. Т. 1, № 9. С. 107-114.

149. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 504 с.

150. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / Под ред. Купрадзе В.Д. М.: Наука, 1976. 664 с.

151. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных интегральных уравнений в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Каз. ун-та, 1986. 296 с.

152. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

153. Улитко А.Ф. К теории электромеханического преобразования энергии в неравномерно деформируемых пьезокерамических телах // Прикладная механика. 1977. Т. 13, № 10. С. 115-123.

154. Усманалиев А. Воздействие сдвигового пульсирующего напряжения на поверхности упругого полупространства и слоя // Изв. АН Узб. ССР. Сер. Технич. наук. 1980. № 2. С. 46-50.

155. Усманалиев А., Бахрамов Б.М. Некоторые задачи для упругого слоя при воздействии пульсирующей сдвиговой упругой волны // Докл АН Узб. ССР. 1981. С. 15-17.

156. Уткин Г.А. Постановка задач динамики упругих систем с движущимися по ним объектами // Волновая динамика машин / АН СССР. Ин-т машиновед. Горьк. фил. М.: Наука, 1991. С. 4-14.

157. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 386 с.

158. Федорюк М.В. Соотношения типа ортогональности в твердых волноводах // Акуст. ж. 1974. Т. 20, № 2. С. 310 -314.

159. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

160. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М.: Мир, 1978. Т. 1. 547 с.

161. Филиппов И.Г., Бахрамов Б.М. Некоторые задачи волновой динамики сплошных сред и вырожденных упругих систем. Ташкент: Фан, 1981. 160 с.

162. Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1961. 160 с.

163. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

164. Чебан В.Г., Форня Г.А. Решение задачи о распространении электроупругой волны в пьезокерамическом стержне // Изв. АН МССР. Математика. 1990. № 1. С.55-59.

165. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 7. С.1252-1260.

166. Шинкаренко Г. А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 2. С.317-326.

167. Шулъга Н.А., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук, думка, 1990. 228 с.

168. Якушев Н.Э. Динамика деформируемых систем под воздействием движущей нагрузки. Ч.З. // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань, 1985. № 19. С. 158-171.

169. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, таблицы, графики. М.: Наука, 1977. 344 с.

170. Abboud N.N., Wojcik G.L., Vaughan U.K., Mould JPowell D.J., Nikodym L. Finite element modeling for ultrasonic transducers // Proc. SPIE Int. Symp. Medical Imaging. 1998.

171. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solid. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973. 425 p.

172. Alemany G., Pardo L., Jimenez В., Carmona F., Mendiola J., Gansalez A.M. Automatic iterative evaluation of complex material constants in piezoelectric ceramics //J. Phys. Ser.D.: Appl. Phys. 1994. V. 27. P. 148-155.

173. Allik ff., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectric vibration // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1970. V. 2, № 2. P. 151-157.

174. Allik H., Webman K.M.7 Hunt J.T. Vibration response of sonar transducers using piezoelectric finite elements //J. Acoust. Soc. Amer. 1974. V. 56, № 6. P. 1782-1791.

175. ANSYS. Basic Analysis Procedures Guide. Rel.5.4 / ANSYS Inc. Houston, 1997.

176. ANSYS. Commands Ref. Rel.5.4 / ANSYS Inc. Houston, 1997.

177. ANSYS. Elements Ref. Rel.5.4 / ANSYS Inc. Houston, 1997.

178. ANSYS. Theory Ref. Rel.5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

179. ATILA. Finite-element code for piezoelectric and magnetostrictive transducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual. / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.

180. Auld B.A. Acoustic fields and waves in Solids. New York: J. Wiley,1973. V. 1. 423 p., V. 2. 414 p.

181. Barhett D.M., Lothe J. Consideration of the existence of surface wave (Rayleigh wave) solutions in anisotropic elastic crystals //J. Phys.1974. V. 4, № 5. P. 671-686.

182. Ben-Meiiahem A., Sena A. Seismic source theory in stratified anisotropic media // J. Geophys. Res. 1990. V. 95 № BIO. P. 1539515427.

183. Berlincourt D., Jaffe H., Shiozawa L.R. Electro elastic properties of the Sulfides, Selenides and Tellurides of Zincand Cadmium // Phys. Rev. 1963. V. 129, № 3. P. 1009-1017.

184. Biot M. General theorems of the equivalence of group velocity and energy transport // Phys. Rev. 1957. V. 105, № 4. P. 1129-1137.

185. Boucher D., Lagier M., Maerfeld C. Computation of the vibrational modes for piezoellectric array transducers using a mixed finite element-perturbation method // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1981. V. SU-28, № 5. P. 318 -330.

186. Boujot J. Mathematical formulation of fluid-structure interaction problems // Math. Modeling and Numer. Anal. 1987. V. 21. P. 239260.

187. Brazier-Smith P.R., Scott F.M. On the determination of the roots of dispersion equation by use of winding number integrals //J. Sound and Vibr. 1991. V. 145, № 3. P. 503-510.

188. Burridge R., Chadwick P., N orris A.N. Fundamental elastodynamic solution for anisotropic media ellipsoidal slowness surfaces // Proc. Roy. Soc. London. A. 1993. V. 440. № 1910. P. 655-681.

189. Chadwick P., Seet L. T. Wave propagation in a transversely isotropic heat-conducting elastic material // Mathematica. 1970. V. 17. P. 255274.

190. Challande P. Finite element method applied to piezoelectric cavities study: influence of the geometry on vibration modes and coupling coefficient // J. Mec. Theor. et Appl. 1988. V. 7, № 4. P. 461-477.

191. Challande P. Optimizing ultrasonic transducers based on the finite element method // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec. Freq. Contr. 1990. V. 37, № 2. P. 135-140.

192. Chandrasekharaiah D.S. A generalized linear thermoelasticity theory for piezoelectric media // Acta Mech. 1988. V. 71, № 1-4. P. 39-49.

193. Chandrasekharaiah D.S., Keshavan H.R. Thermoelastic plane waves in a transversely isotropic body // Acta Mech. 1991. V. 87, № 1/2. P. 11-22.

194. Chen H.C., Taulor R.L. Solution of eigenproblems for damped structural systems by the Lanczos algorithm // Comput. and Struct. 1988. V. 30, № 1/2. P. 151-161.

195. COSMOS/M. V.2.0. Advanced Modules Manual. ASTAR. / Strustural Research & Analysis Corp., 1997.

196. Cowdrey D.R., Willis J.R. Application of the finite element method to the vibrations of quarz plate //J. Acoust. Soc. Amer. 1974. V. 56, № 1. P. 94-98.

197. Dieterman H.A., Metrikine A. Critical velocities of a harmonic load moving uniformly along an elastic layer // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1997. V. 64. P. 596-600.

198. Ddkmeci. Vibration of piezoelectric crystals // Int. J. Eng. Sci. 1980. V. 18. № 3A. P. 431-448.

199. Eason G., Fulton Sneddon I.N. The generation of waves in an infinite elastic solid by variable body force // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1956. V. 248. № 955. P. 575-607.

200. Fried I., Malkus D.S. Finite element mass matrix lumping by numerical integration with no convergence loss // Intern. J. Solids and Structures. 1975. V. 11. № 4. P. 461-466.

201. Fryba L. Vibration of solids and structures under moving loads. Prague, Czechose. Acad. Sci., 1972. 484 p.

202. Hanyga A. Point source in anisotropic elastic medium // Gerlands Beitr. Geophysik. Leipzig. 1984. V. 93. № 6. P. 463-479.

203. Hay ward G., Bennett J. Assessing the influence of pillar aspect ratio on tlie behavior of 1-3 connectivity composite transducers // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec. Freq. Contr. 1996. V. 43, № 1. P. 98-107.

204. Hinton E., Rock T., Zienkewicz O.C. A note on mass lumping and relating processes in finite element method // Intern. J. Earthquake. Eng. and Struct. Dyn. 1976. V. 4. № 3. P. 245-249.

205. Holland R. Representation of dielectric, elastic and piezoelectric losses by complex coefficients // IEEE Trans. Son. Ultrason. 1967. V.SU-14. № 1. P. 18-20.

206. Holland R., EerNisse E.P. Accurate measurements of coefficients in ferroelectric ceramics // IEEE Trans. Son. Ultrason. 1969. V.SU-16. № 4. P. 173-181.

207. Hoogstraten H. W., Kaper B. Propagation of sound waves in a moving medium //J. Eng. Math. 1971. V.5. № 4. P. 295-305.

208. Hossack J. A., Hay ward G. Finite-element analysis of 1-3 composite transducers // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec. Freq. Contr. 1991. V. 38, № 6. P. 618-629.

209. Hughes T.J.R., Liu W.K. Implicit-explicit finite elements in transient analysis: stability theory // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1978. V. 45. № 2. P. 371-374.

210. Hunt J.T., Knittel M.R., Barach D. Finite element approach to acoustic radiation from elastic structures //J. Acoust. Soc. Amer. 1974. V. 55, № 2. P. 269-280.

211. Ie§an D. On some theorems in thermopiezoelectricity //J. Therm. Stresse. 1989. V. 12, № 2. P. 209-223.

212. Ingebrigtsen K.A., Tonning A. Elastic surface wave in crystals // Phys. Rev. 1969. V. 184, № 3. P. 942-951.

213. Kagawa Y. A new approach to analysis and design of electromechanical filters by finite-element technique //J. Acoust. Soc. Amer. 1971. V. 49, № 2 (Part.l). P. 1348-1356.

214. Kagawa Y. Finite element simulation of transient heat response in ultrasonic transducers // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1992. V. SU-39, № 3. P. 432-440.

215. Kagawa Y., Arai II. Finite element simulation of energy-trapped electromechanical resonators //J. Sound and Vibr. 1975. V. 39, JY® 3. P. 317-335.

216. Kagawa Y., Gladwell G.M.L. Finite element analysis of flexire-type vibrators with electrostrictive transducers // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1970. V. SU-17, № 1. P. 41-49.

217. Kagawa Y., Yamabuchi T. Finite element simulation of two-dimensional electromechanical resonators // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1974. V. SU-21, № 4. P. 273-280.

218. Kagawa Y., Yamabuchi T. A finite element approach to electromechanical problems whith an application to energy-trapped and surfaces free devices // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1976. V. SU-23, № 4. P. 263-272.

219. Kagawa Y., Yamabuchi T. A finite element approach for a piezoelectric circular rod // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1976. V. SU-23, № 6. P. 379-385.

220. Kagawa YYamabuchi T. Finite element simulation of a composite piezoelectric ultrasonic transducer // IEEE Trans. Sonics Ultrasonics. 1979. V. SU-26, № 2. P. 81-88.

221. Keer L.M. Moving and simultaneously fluctuating loads on an elastic half-plane // J. Acoust. Soc. Amer. 1970. V. 47 (Part.2), № 5. P. 13591365.

222. Khutoryansky N.M. Sosa Horacio Dynamic representation formulas and fundamental solutions for piezoelectricity // Int. J. Solids and Strust. 1995. V. 32. № 22. P. 3307-3325.

223. Koshiba M., Karakida S., Suzuki M. Finite-element analysis of Lamb wave scattering in an elastic plate waveguide // IEEE Trans. Son. and Ultrason. 1984. V. SU-31, № l.P. 18-25.

224. Lagasse P.E. Higher-order finite-element analysis of topographic guides supporting elastic surface waves //J. Acoust. Soc. Amer. 1973. V. 53, № 4. P. 1116-1122.

225. Lagasse P.E. Finite element analysis of piezoelectric elastic waveguides // IEEE Trans. Son. and Ultrason. 1973. V. SU-20, № 4. P. 354-359.

226. Lerch R. Finite element analysis of piezoelectric devices by two- and three-dimensional finite elements // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec. Freq. Contr. 1990. V. 37, № 3. P. 233-247.

227. Lerch R. Exact computer modelling: a tool for the design of imaging transducers // Acoustic. Imaging. 1992. V. 19. P. 175-186.

228. Lighthill M.J. Group velocity //J. Inst. Math, and Applic. 1965. V. 1, № 1. P. 1-28.

229. Lloyd P., Redwood M. Finite-difference method for the investigation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators //J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V. 36, № 2. P. 346-361.

230. Lothe J., Barhett D.M. On the existance of surface-wave solutions for anisotropic elastic half-spaces with free surface //J. Appl. Phys. 1976. V. 47, № 2. P. 428-453.

231. Mansur W.J., Brebbia C.A. Further developments on the solution of the transient scalar wave equation, Ch.4 / Topics in boundary element research (Ed. Brebbia C.A.). V. 2. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 87123.

232. Mindlin R.D. Equations of high frequency vibrations of thermo-piezoelectric crystal plates // Int. J. Solids Structures. 1974. V. 10, № 6. P. 625-637.

233. Musgrave M.J.P. Cristal acoustics: introduction to elastic wave propagation and vibrations in crystals. Holden-Day, San-Francisco, 1970.

234. Naíllon M., Coursant R.H., Besnier F. Analysis of piezoelectric structures by a finite element method // Acta Electrónica. 1983. V. 25, № 4. P. 341-362.

235. Newmark N.M. A method of computation for structural dynamics // ASCE. J. Eng. Mech. Div. 1959. V. 85. P. 67-94.

236. Norris A.N. Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and poroelectric solids // Proc. Roy. Sos. London. A. 1994. V. 447. № 1929. P. 175-188.

237. Paul H.S., Renganathan K. Free vibration in a pyroelectric layer of hexagonal (6mm) class //J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78, № 2. P. 395-397.

238. Paul H.S.y Raman G.V. Wave propagation in a hollow pyroelectric circular cylinder of crystall class 6 // Acta Mech. 1991. V. 87, № 1/2. P. 37-46.

239. Rao S.S., Sunar M. Analysis of distributed thermopiezoelectric sensors and actuators in advanced intelligent structures // AIAA J. 1993. V. 31, JV« 7. P. 1280-1286.

240. Smits J. G. Iterative method for accurate determination of the real and imaginary parts of the materials coefficients of piezoelectric ceramics // IEEE Trans. Son. and Ultrason. 1976. V. SU-23, № 6. P. 393-402.

241. Smith R.R., Hunt J.T., Barach D. Finite element analysis of acoustically radiating structures with applications to sonar transducers // J. Acoust. Soc. Amer. 1973. V. 54, № 5. P. 1277-1288.

242. Stone G.O. High-order finite elements for inhomogeneous acoustic guiding structures // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techn. 1973. V. MTT-21. P. 538-542.

243. Sturrock P. A. In what sense do slow carry negative energy ? //J. Appl. Phys. 1960. V. 31, № 11. P. 2052-2056.1. Литература 271

244. Tzou H.S., Tseng C.I. Distributed piezoelectric sensor/actuator design for dynamic measurement/control of distributed parameter systems: a piezoelectric finite element approach //J. Sound and Vibr. 1990. V. 138, № 1. P. 17-34.

245. Tomikawa V., Miura E., Dong S.B. Analysis of electrical equivalent circuit elements of piezo-tuning forks by the finite element method // IEEE Trans. Son. Ultrason. 1978. V.SU-25. P. 206-212.

246. Vatulian A.O., Kublikov V.L. Boundary element method in electroelasticity // Boundary Elem. Commun. 1995. V. 6. P. 59-61.

247. Vavrycuk V., Yomogida K. SH-wave Green tensor for homogeneous transversely isotropic media by higher-order approximations in asymptotic ray theory // Wave Motion. 1996. V. 23. № 1. P. 83-93.

248. Wang C. Y., Achenbach J.D. Elastodynamic fundamental solution for anisotropic solids // Geophys. J. Int. 1994. V. 118. № 2. P. 384-392.

249. Wilson E.L., Farhoomand I., Bathe K.J. Nonlinear dynamic analysis of complex structures // Earthq. Eng. Strucr. Dyn. 1973. V. 1. P. 241252.

250. Wojcik G.L., Vaughan D.K., Abboud N., Mould J. Electromechanical modeling using explicit time-domain finite elements // Proc. IEEE Ultrason. Symp. 1993. V. 2. P. 1107-1112.

251. Yang J.S. A few properties of the resonant frequencies of a piezoelectric body // Arch. Mech. 1992. V. 44. № 4. P. 475-477.