Гранично-элементное моделирование динамики однородных трехмерных электроупругих и анизотропных упругих тел

Марков, Иван Петрович

Гранично-элементное моделирование динамики однородных трехмерных электроупругих и анизотропных упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Марков, Иван Петрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Гранично-элементное моделирование динамики однородных трехмерных электроупругих и анизотропных упругих тел»

Автореферат диссертации на тему "Гранично-элементное моделирование динамики однородных трехмерных электроупругих и анизотропных упругих тел"

На правах рукописи

МАРКОВ ИВАН ПЕТРОВИЧ

ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОДНОРОДНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ И АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005550087 ; Нижний Новгород-2014

005550087

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (НИИМ Нижегородского университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Игумнов Леонид Александрович

Официальные оппоненты: Соловьев Аркадий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, Донской государственный технический университет, заведующий кафедрой

Волков Иван Андреевич доктор физико-математических наук, профессор, Волжская государственная академия водного транспорта, заведующий кафедрой

Ведущая организация: Институт проблем машиностроения

РАН, г. Нижний Новгород

Защита состоится 30 июня 2014 г. в 12:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского и на сайте https://diss.unn.ru/369

Автореферат разослан 30 мая 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 кандидат физико-математических наук Горохов В.А.

Актуальность работы.

Для современной техники теория упругости с сопряженными полями играет важную роль при решении возникающих задач. Многие проблемы инженерной практики сводятся к исследованию деформируемых тел и сред при статических или динамических нагружениях с учетом существенной анизотропии материала и связанности механических и немеханических полей.

В работе формулируются соответствующие трехмерные краевые и начально-краевые задачи, для решения которых развивается подход в рамках линейных постановок. Развивается метод граничных элементов (МГЭ), который является распространенным универсальным численно-аналитическим методом решения широкого круга задач теории упругости с сопряженными полями.

Успех применения граничных интегральных уравнений (ГИУ) обеспечен результатами, полученными в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений в работах: С.Г. Михлина, В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гегелиа, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бурчуладзе и других. Первое решение плоских нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах Т.A. Cruse и F.J. Rizzo в 1968г. Первый МГЭ-подход во временной области, был представлен в работе W.J. Mansur.

Распространение традиционного МГЭ-подхода непосредственно во временной области на решение трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах Н.М.Хуторянского.

Формулировка М. Schanz и Н. Antes, базирующаяся на методе, предложенном С. Lubich, позволила разрабатывать не традиционным способом применение МГЭ во временной области.

МГЭ признанно эффективен для анализа изотропных упругих конструкций. При работе с анизотропными материалами возникают

известные трудности при выводе и реализации фундаментальных решений. Вычисление статических фундаментальных решений с помощью интерполяционного подхода было впервые описано в работе R.D. Wilson и Т.А. Cruse. Статическое фундаментальное решение в сочетании с R.D. Wilson и Т.А. Cruse и представления C.Y. Wang и J.D. Achenbach дают возможность эффективной численной реализации.

МГЭ в электроупругости тесно связан с анизотропными материалами. Фундаментальные решения для динамической электроупругости были получены A.N.Norris (1994).

Цель работы состоит в создании гранично-элементного методического и программного обеспечения на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток для решения начально-краевых трехмерных задач динамики анизотропных и электроупругих однородных тел при смешанных краевых условиях, а также в проведении численных исследований динамики упругих анизотропных и электроупругих трехмерных тел.

Методика исследований основана на точных граничных интегральных уравнениях в пространстве изображений по Лапласу для прямого подхода трехмерных линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости; построении динамических фундаментальных анизотропных упругих и электроупругих решений на базе использования интегрального преобразования Радона; на численном моделировании в изображениях по Лапласу методом граничных элементов; на применении метода коллокации и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа.

Достоверность исследований основана на строгом соответствии исходных начально-краевых задач в частных производных линейных

теорий анизотропной упругости и электроупругости системе используемых точных граничных интегральных уравнений в изображениях по Далласу; на применении корректно построенных дискретных аналогов регуляризованных ГИУ; на применении оттестированных подходов к вычислению анизотропных фундаментальных решений; на тщательно проработанных алгоритмах численной реализации гранично-элементного подхода; на анализе сеточной и шаговой сходимостей получаемых ГЭ-решений и их сравнении с аналитическими результатами и с решениями других авторов.

Научная новизна работы заключается в следующем: гранично-элементное моделирование статических и динамических краевых/начально-краевых задач смешанного типа трехмерных линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости реализовано на основе матриц Грина в форме Радона и шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа; в использовании комбинированного подхода к вычислению анизотропных функций Грина в точках интегрирования; в оригинальном программном обеспечении, реализующем в рамках ГЭ-подхода согласованную модель аппроксимации на основе четырехугольных элементов; в гранично-элементном решении статических анизотропных упругих и электроупругих задач; гранично-элементном моделировании стационарных задач анизотропной теории упругости; шаговом ГЭ-моделировании решения задачи о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец трехмерного анизотропного упругого Г-образного однородного тела; решении нестационарной трехмерной электроупругой задачи для Г-образного тела со смешанными краевыми условиями; ГЭ-моделировании динамического прогиба композитной балки.

Практическая значимость диссертационного исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для численного моделирования статики и динамики однородных трехмерных анизотропных упругих и электроупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласа; шаговом гранично-элементном моделировании задачи о действии нестационарной силы на анизотропное упругое или электроупругое трехмерное однородное тело; ГЭ-решении с помощью полученной методики трехмерной краевой электроупругой динамической задачи смешанного типа.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Развитие и создание гранично-элементного методического и программного обеспечения решения краевых/начально-краевых задач статики и динамики трехмерных однородных электроупругих и анизотропных упругих тел на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения преобразования Лапласа.

2. Гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия:

- о действии давления внутри сферической полости в анизотропном пространстве;

- смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью;

- о действии разности потенциалов, приложенных к торцам однородного электроупругого Г-образного тела;

- о действии равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда на призматическое электроупругое тело;

- о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства;

- контактная задача Герца для электроупругого полупространства;

3. Гранично-элементное моделирование следующих динамических задач:

- о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела;

- о действии одноосной стационарной растягивающей нагрузки на упругое анизотропное призматическое тело;

- о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного анизотропного трехмерного упругого тела;

- о действии нестационарной нормальной силы на упругую композитную балку;

- о действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое тело.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на XII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008), XIV Нижегородской сессии молодых ученых - математические науки (Н. Новгород, 2009), XV Нижегородской сессии молодых ученых - математические науки (Н. Новгород, 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н. Новгород, 2011), XVIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2012), XIX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2013), форуме молодых ученых (Н. Новгород,

2013), XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2013), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), XX Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Вятичи,

2014), III Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014)» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школе (Саров, 2014).

Публикации. Опубликовано 19 работ [1-19], из них 13 по теме диссертации. В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций, опубликовано 6 работ в соавторстве [1-6]. Результаты работ [1-6] принадлежат И.П. Маркову кроме постановок задач и постпроцессорных представлений результатов исследований.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 180 наименований. Общий объем диссертации составляет 168 страниц машинописного текста, включая 235 рисунков и 69 таблиц.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-3367.2008.8 2008-2009 гг.; № НШ-4807.2010.8. 2010-2011гг.; № НШ-2843.2012.8 2012-2013гт.; № НШ-593.2014.8 2014-2015гг.); средствами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2011 - 2013 годы (ГК №14.740.11.0872 от 29 апреля 2011г., ГК

№14.В37.21.1137 от 13 октября 2012г., ГК №14.В37.21.1249 от 14 сентября 2012г., ГК№14.В37.21.0471 от 3 сентября 2012г., ГК №14.В37.21.1495 от 1 октября 2012г., ГК №14.В37.21.1866 от 4 октября 2012г., ГК №14.В37.21.1902 от 4 октября 2012г.); грантами РФФИ (проект № 12-08-00984-а, № 12-08-31572-мол_а, № 12-08-00698-а, № 13-08-00531-а, № 13-08-00658-а, № 14-08-00811-а, 14-08-31410-мол_а (руководитель проекта)).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ, в основном посвященный применению граничных интегральных уравнений и метода граничных элементов к решению статических и динамических трехмерных краевых/начально-краевых задач линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости; обоснование актуальности темы диссертационного исследования; формулировки целей работы и основных положений, выносимых на защиту. Во введении приведен перечень конференций и публикаций, где были представлены основные результаты диссертационной работы; содержится информация о структуре и объеме работы; приведены сведения об источниках финансирования работ, проводимых по теме диссертационного исследования.

В первом параграфе главы I даны основные соотношения линейной анизотропной теории упругости, представлена математическая постановка начально-краевой задачи. Приведены уравнения движения сплошной электроупругой среды, записан закон Гаусса для случая квазистатического электрического поля. Выписаны физические соотношения, определяющие связанность упругого и электрического полей. Приведены связанные дифференциальные уравнения в частных производных движения линейной электроупругой среды. Описаны сокращенные обозначения, которые позволяют ввести обобщенные тензоры и векторы,

объединяющие электрические и упругие переменные. Сформулирована обобщенная начально-краевая задача, позволяющая рассматривать задачи анизотропной теории упругости и электроупругости с единых позиций.

Во втором параграфе записан вид обобщенной начально-краевой задачи после применения интегрального преобразования Лапласа по временной переменной при отсутствии объемных сил и нулевых начальных условиях. На основе теоремы взаимности Бетти и формулы Сомильяны приведены ГИУ прямого подхода в пространстве изображений по Лапласу. Представлена гранично-элементная дискретизация на основе регуляризованных ГИУ. Приведена гранично-элементная методика решения ГИУ на основе согласованной поэлементной аппроксимации, позволяющая получить решения, параметризованные комплексным параметром преобразования Лапласа. Кратко описан метод квадратур сверток для численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Его частный случай в форме шагового метода используется для получения решения во временной области.

Третий параграф содержит краткое описание программного комплекса гранично-элементного моделирования трехмерных краевых задач анизотропной упругости и электроупругости на базе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток.

В главе II представлены выражения анизотропных динамических фундаментальных решений (функций Грина) для линейных теорий упругости и электроупругости. Описаны различные подходы к вычислению статической части функций Грина. Приведены выражения статических функций Грина для трансверсально изотропных упругих и электроупругих сред. Проведено тестирование численной реализации подходов к построению статических фундаментальных решений. Приведены полутоновые трехмерные визуализации статических функций Грина на единичной сфере для упругих материалов с различной степенью анизотропии и для полностью анизотропного электроупругого материала.

Проведен ряд численных экспериментов для верификации численной реализации схемы вычисления динамических анизотропных фундаментальных решений.

В первом параграфе даны выражения динамических анизотропных фундаментальных решений в пространстве изображений по Лапласу в виде суммы сингулярной и регулярной частей для упругих и электроупругих сред, полученные на основе метода с применением интегрального преобразования Радона. Описаны следующие подходы к построению статических анизотропных упругих и электроупругих функций Грина: интегральный, полиномиальный, с применением рядов Фурье и интерполяционный. Приведенные выражения статических функций Грина для трансверсально изотропных упругих и электроупругих сред использовались для тестирования численной реализации методов построения статических фундаментальных решений. Представлены трехмерные визуализации в виде поверхностей компонент анизотропной упругой статической матрицы Грина в точках на единичной сфере для четырех различных анизотропных материалов: монокристалла алюминия, ниобата бария-натрия, сапфира и углепластика. Для электроупругой среды визуализации приведены для полностью анизотропного материала. Для установления работоспособности и корректности численной реализации схемы построения динамических анизотропных фундаментальных решений проведен ряд численных экспериментов.

Во втором параграфе для верификации предложенной гранично-элементной методики решения статических задач линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости с интерполяционным способом вычисления функций Грина решены две модельные задачи. Полученные ГЭ-решения приведены в сравнении с аналитическими результатами и результатами других авторов. Проведен тест на вычислительную эффективность описанных методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений при

непосредственном применении в разработанном гранично-элементном программном комплексе. Установлено, что интерполяционный подход имеет наибольшую эффективность для практического применения.

Глава III содержит результаты гранично-элементного моделирования трехмерных задач статики и динамики анизотропных и электроупругих однородных тел.

В первом параграфе решены следующие статические упругие задачи: о действии давления внутри сферической полости, расположенной в неограниченной анизотропной упругой среде; смешенная задача о полости внутри анизотропного упругого куба. Рассмотрены две стационарные задачи: о действии нагрузки на торец однородного анизотропного Г-образного упругого тела; об одноосном растяжении упругого анизотропного призматического тела. Полученные на разных ГЭ-сетках результаты позволяют сделать вывод о наличии сеточной сходимости; ГЭ-решения приведены в сравнении с аналитическими решениями и результатами других авторов. Решена задача анизотропной упругой динамики о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного анизотропного упругого тела. Даны сравнения полученных ГЭ-решений с конечно-элементными (КЭ) и ГЭ-решениями других авторов, полученных по приближенному методу с двойным использованием теоремы взаимности. Помимо сеточной сходимости исследована сходимость по параметру шагового метода обращения преобразования Лапласа. Представлены решения задачи о динамическом изгибе композитной балки от действия нестационарной силы. ГЭ-решения сравнивались с данными по динамическому эксперименту и КЭ-решениями, полученными в программных комплексах конечно-элементного моделирования «Динамика-3»* и ANSYS (лицензия ANSYS Academic Research, Customer Number 623640).

" Сертификат соответствия Госстандарта России № РОСС RU.ME20.H00338

Продемонстрировано хорошее соответствие полученных численных решений результатам эксперимента.

Второй параграф посвящен гранично-элементному моделированию задач электроупругости. Решены следующие статические задачи: о действии разности потенциалов, приложенной к Г-образному однородному электроупругому телу; о действии вертикальной силы или заданной поверхностной плотности заряда на торец призматического электроупругого тела; о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства; контактная задача Герца для электроупругого полупространства и контактная задача Герца с дефектом. Проведено сравнение полученных гранично-элементных решений с известными аналитическими решениями и результатами других авторов. Дано решение задачи электроупругой динамики о совместном действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени и электрического потенциала на однородное Г-образное электроупругое тело. Исследована сеточная и шаговая сходимость. На рис. 1-2 приведено сравнение полученных ГЭ-решений для перемещений и электрического потенциала с ГЭ-решениями других авторов, полученных по приближенному методу с двойным применением теоремы взаимности.

0.2 0.4 О <

— ГЭ-решение

- ГЭ-решение других авторов

Рис. 1

.41-1-1-1---

О 0.2 0,4 0.(> О.К

С .

- ГЭ-решение

- ГЭ-решение других авторов

Рис. 2

х 10'

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационном исследовании.

Основные результаты и выводы

1. Развито и создано гранично-элементное методическое и программное обеспечение решения краевых/начально-краевых задач статики и динамики трехмерных однородных электроупругих и анизотропных упругих тел на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения преобразования Лапласа.

2. Проведено гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия:

- о действии давления внутри сферической полости в анизотропном пространстве;

- смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью;

- о действием разности потенциалов, приложенных к торцам однородного электроупругого Г-образного тела;

- о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства;

- контактная задача Герца для электроупругого полупространства;

3. Проведено гранично-элементное моделирование следующих динамических задач:

- о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела;

- о действии одноосной стационарной растягивающей нагрузки на упругое анизотропное призматическое тело;

- о действии нестационарной нормальной силы на упругую композитную балку;

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Марков И.П. Применение граничных интегральных уравнений к решению трехмерных краевых задач упругопластики // Вестник ННГУ. Сер. Механика. - Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. - 2011. - Вып.4(4) С. 1611-1612.

2. Игумнов JI.A., Марков И.П., Пазин В.П., Ипатов A.A. Гранично-элементное построение решений для трехмерной матрицы Грина // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз.сб. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. Вып.75(2). С.123-129.

3. Игумнов Л.А., Марков И.П., Пазин В.П. Гранично-элементное решение краевых задач трехмерной анизотропной теории упругости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. -Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. - Вып. 1(3). -С. 115-119.

4. Игумнов Л.А., Марков И.П. Гранично-элементное моделирование трехмерных краевых задач электроупругого равновесия // Проблемы

прочности и пластичности. Межвуз.сб. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. - 2013. - Вып. 75(3). С. 185-191.

5. Игумнов JI.A., Марков И.П. Гранично-элементный расчет электромеханических полей трехмерной пьезоупругой керамики // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. - Вып. 3(1).

6. Игумнов Л.А., Марков И.П. Применение метода граничных элементов для анализа динамики анизотропных упругих тел // Проблемы прочности и пластичности. Межвуз.сб. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. Вып. 76(1). С. 65-69.

Другие публикации

7. Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю. Методы квадратур сверток, Дурбина и граничного элемента в динамических задачах упругих тел // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XII международной конф., г. Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008г. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». - 2008. - Т. - С. 95-98.

8. Марков И.П., Лаганкин A.C., Ильин A.C., Литвинчук С.Ю. Графическая визуализация результатов гранично-элементного моделирования динамики упругих тел // 14 Нижегородская сессия молодых ученых - математические науки. Н.Новгород: Гладкова О.В., 2009 г. - С. 33-34.

9. Марков И.П., Пазин В.П., Литвинчук С.Ю. Перемещения и напряжения в анизотропной и электроупругой среде от действия сосредоточенного источника // 15 Нижегородская сессия молодых ученых - математические науки. - Н.Новгород: Гладкова О.В., 2010 г. - С. 52.

Ю.Марков И.П. Применение граничных интегральных уравнений к решению трехмерных краевых задач упругопластики // Современные методы механики - X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая

Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского, 2011.— С. 104-105

11 .Игумнов Л.А., Марков И.П. Применение метода ГИУ для решения краевых динамических упругопластических задач в трехмерной постановке. Электронное методическое пособие. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011 — 21 с

12.Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Матрица Грина трехмерной теории термоупругости // Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. - М.: ООО "ТР-Принт" - 2012. - Т.1. - с.88

1 З.Игумнов Л.А., Марков И.П., Аменицкий A.B., Петров А.Н. Волны от действия ударной силы по телу на полупространстве в пороупругой постановке // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. - М.: ООО "ТР-Принт" - 2013. -Т.1.-С.8

14.Марков И.П. Интерполяционное построение матриц Грина // Форум молодых ученых: Тезисы докладов. Том 1. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. - С. 78-79

15.Игумнов Л. А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Построение матриц Грина и гранично-элементное моделирование трехмерных краевых задач упругого равновесия с сопряженными полями // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. 23 сентября - 26 сентября 2013г. Санкт-Петербург, Россия. Труды. Том 1. (Тезисы докладов). Отпечатано копировально-

множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. С. 94-96

16.Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Белов А.А. Гранично-элементные схемы с переменным шагом в трехмерных краевых задачах пороупругой динамики // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. г.Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013г.: в 2т. Т.П. Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2013. С. 91-95.

17.Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю. Применение метода граничных элементов для решения трехмерных задач равновесия анизотропной теории упругости с сопряженными полями // Материалы XX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Т.1. - М.: ООО "TP-Принт" - 2014. - с.89

18.Igumnov L.A., Markov I.P., Ipatov A.A., Litvinchuk S. Yu. Using the Boundary-Element Method for Analyzing 3-D Problems of Equilibrium of Anisotropic Elasticity with Conjugated Fields // 2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.38-39

19.Игумнов Л.А., Марков И.П. Гранично-элементное моделирование динамики трехмерных анизотропных и электроупругих тел // Математика и математическое моделирование: сборник материалов VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школы. Саров, 8-11 апреля 2014. Саров: ООО «Интерконтакт». 2014. С.23.

Подписано в печать 29.04.2014 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ № 259. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в отделе дизайна и цифровой РИУ ННГУ им. Н.И.Лобачевского 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Марков, Иван Петрович, Нижний Новгород

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» (НИИМ Нижегородского университета)

На правах рукописи

04201459328 МАРКОВ ИВАН ПЕТРОВИЧ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Игумнов Леонид Александрович

Нижний Новгород - 2014

Содержание

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................................................................................................4

Глава I. Постановки задач, метод, методика решения и программная реализация.... 14

1.1. Математическая модель..............................................................................................................................14

1.2. Гранично-элементная методика........................................................................................................18

1.2.1. Граничное интегральное уравнение..................................................................................18

1.2.2. Гранично-элементная дискретизация..............................................................................19

1.2.3. Метод квадратур сверток..............................................................................................................23

1.3. Программная реализация..........................................................................................................................24

Глава II. Фундаментальные решения и модельные задачи равновесия....................................28

2.1. Анизотропные фундаментальные решения..............................................................................28

2.1.1. Построение статических фундаментальных решений................................30

2.1.2. Статические функции Грина для трансверсально изотропных сред..............................................................................................................................................................31

2.1.3. Численные примеры построения статических функций Грина... 35

2.1.4. Интерполяционный подход................................................................................................44

2.1.5. Динамические функции Грина, численные примеры................................53

2.2. Модельные задачи равновесия..................................................................................................................61

2.2.1. Однородный упругий анизотропный куб под действием нагрузки

на часть торца............................................................................................................................................61

2.2.2. Однородный электроупругий куб под действием одноосной нагрузки....................................................................................................................................................64

2.2.3. Эффективность методов построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений............................................................69

Глава III. Гранично-элементное моделирование............................................................................................72

3.1. Анизотропные упругие задачи............................................................................................................72

3.1.1. Статическая задача о действии давления внутри сферической полости......................................................................................................................................................72

3.1.2. Статическая задача об анизотропном кубе с полостью............................76

3.1.3. Действие стационарной горизонтальной нагрузки на торец

Г-образного однородного упругого анизотропного тела............................79

3.1.4. Одноосное стационарное растяжение упругого анизотропного призматического тела....................................................................................................................81

3.1.5. Действие нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела................86

3.1.6 Динамический изгиб композитной балки................................................................100

3.2. Анизотропные электроупругие задачи........................................................................................104

3.2.1. Равновесие однородного электроупругого Г-образного тела под действием разности потенциалов, приложенных к торцам......................104

3.2.2. Равновесие призматического электроупругого тела, под действием равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда......................................................................106

3.2.3. Задача о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства..............................................................................124

3.2.4. Контактная задача Герца для электроупругого полупространства 132

3.2.5. Задача об одновременном действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое анизотропное тело..................................................138

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................................................................................................153

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................................................................................154

Введение

Для современной техники теория упругости с сопряженными полями играет важную роль при решении возникающих задач. Многие проблемы инженерной практики сводятся к исследованию элементов конструкций, ответственных узлов и деталей машин и оборудования, а в научном плане - к исследованию деформируемых тел и сред при статических или динамических нагружениях с учетом существенной анизотропии материала и связанности механических и немеханических полей.

В работе формулируются соответствующие трехмерные краевые и начально-краевые задачи, для решения которых развивается подход в рамках линейных постановок. С разнообразием подходов по решению динамических задач теории упругости можно познакомиться в ряде монографий [17, 21, 23, 25, 26, 59, 63, 64, 72, 73, 76, 78, 82, 102, 103, 156]. В работе развивается метод граничных элементов (МГЭ), который является распространенным универсальным численно-аналитическим методом решения широкого круга задач теории упругости с сопряженными полями. В качестве обобщающих работ по упругой статике и динамике можно привести следующие [1, 3, 4, 12-15, 20, 22, 25, 47, 61, 62, 74, 75]. Изучению процессов распространения волновых полей в средах со сложными свойствами и разработке соответствующих методов исследования посвящены следующие работы [8, 16, 22, 47, 68, 71, 96, 105, 111, 120, 123, 141]. В большинстве работ краевые и начально-краевые задачи теории упругости сводятся к интегральным уравнениям, для 'решения которых имеется широкий круг численных методов. С аналитическими методами решения задач динамической теории упругости можно познакомиться в монографиях [4, 18, 24, 44, 75,83, 84].

Для решения динамических задач теории упругости большее значение имеют методы интегральных преобразований. В работе они важны в сочетании с методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Впервые метод интегральных преобразований при решении динамических начально-краевых задач теории упругости применен Лэмбом в 1904г. Развитие метода интегральных преобразований можно проследить но публикациям [5, 27-31, 45, 48, 67, 69, 70, 85-95, 97, 109, 120, 140, 153, 166, 177].

Относительно динамических задач анизотропной теории упругости отметим работы В.А.Свекло [79-81], В.С.Будаева [9, 10], И.Г.Филипова [101], В.А.Сарайкина и Л.И.Слепяна [77], Ю.Э.Ссшщкого [86, 89, 91], А.Ф.Федечева [100] и других. Впервые МГЭ появился в работе II.И. Мусхелишвили в 1937 г., хотя метод потенциала можно отсчитывать, например, с работ И.Ньютона.

Успех применения ГИУ обеспечен результатами, полученными в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений в работах: С.Г. Михлина [60], В.Д.

Купрадзе, Т.Г. Гегелиа, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бурчуладзс [98] и других. Вопросам построения ГИУ статических задач теории упругости и разработке МГЭ посвящены работы А.Я. Александрова [2], IO.JI. Бормота (1977), Ю.В. Верюжского [11], Р.В. Гольдштейна [19], М.И. Лазарева [49], IO.A. Мельникова [58], О.П. Николаева [65], В.З. Партона и П.И. Перлина [66], А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского [99], Г.И. Яха [104], T.A. Cruse [116], J.C. Lâchât и J.O. Watson [50, 129], F. Paris и E. Alarcon (1980), F.J. Rizzo и D.J. Shippy [158] и многих других авторов. В ходе развития метода ГИУ и МГЭ сформировались рекомендации по использованию граничных элементов высокого порядка и для вычисления коэффициентов дискретного аналога ГИУ применять численное интегрирование с помощью формул Гаусса, а сингулярные интегралы сводить, например, к несобственным с помощью метода понижения особенности, и вычислять несобственные интегралы стандартными квадратурными формулами.

Первое решение плоских нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах Т.А. Cruse и F.J. Rizzo в 1968г. В работе G.V. Narayanan и D.E. Beskos [147] было предложено применять совместно с МГЭ для решения нестационарных динамических задач метод Дурбина [119].

Первый МГЭ-подход во временной области, был представлен в работе W.J. Mansur [136, 137]. Обобщение его подхода дано в работе Н. Antes [108]. Применение МГЭ для решения произвольных двумерных нестационарных динамических задач теории упругости было осуществлено в работах J. Niwa [149] и G.D. Manolis [135]. Использование МГЭ для задач с включениями и полостями описано в работе S. Hirose [125].

Формулировка М. Schanz и Н. Antes [161], базирующаяся на методе, предложенном С. Lubich [133], позволила разрабатывать не традиционным способом применение МГЭ во временной области. Существенным преимуществом этого подхода является возможность использования для анализа волновых процессов, не зная фундаментального решения в явном времени [159, 160].

МГЭ признанно эффективен для анализа изотропных упругих конструкций. Однако при работе с анизотропными материалами возникают известные трудности при выводе и реализации фундаментальных решений. Часто используемым методом получения фундаментальных решений в динамических задачах теории упругости является преобразование Фурье, которое в изотропном случае позволяет получить конечные выражения для фундаментальных решений в частотной области, но в анизотропном

случае оно приводит к решениям, выражающимся через бесконечные интегралы. Работы V.T. Buchwald [113], M.J. Lightiii [132] и M.J.P. Musgrave [146], впоследствии использованные в работе M.J.P. Musgrave [145] для сред с общей степенью анизотропии, а Payton [155] для грансверсально изотропных сред являются основополагающими в этом направлении. Также свой вклад внесли Tsvankin и Chesnokov [171], R. Burridge и ко. [114], M.N. Kazi-Aoual и др. [127] и II. Zhu [180]. Тем не менее, во всех этих работах фундаментальные решения в неявном виде требуют вычисления бесконечных интегралов и не подходят для эффективного применения в МГЭ. Интегральные представления на данный момент имеются для упругих статических анизотропных задач (J.L. Synge (1957)). Вычисление статических фундаментальных решений с помощью интерполяционного подхода было впервые описано в работе R.D. Wilson и Т.A. Cruse [179]. Полиномиальный метод построения анизотропных и электроупругих функций Грина был предложен в работах Е. Pan, Г. Топоп и др. [151, 170]. Попытки разработать эффективные схемы для вычисления фундаментальных решений с использованием альтернативных аналитических форм - с использованием представления через ряды Фурье-были предприняты в работах Y.C. Shiah и др. [162-164]. C.Y. Wang и J.D. Achenbach [173,174] подошли к задаче нахождения динамической функции Грина в анизотропных средах с помощью интегрального преобразования Радона, получив выражение для фундаментальных решений в частотной области через интегралы, определенные на поверхности единичной сферы для трехмерных задач и на единичной окружности для двухмерных задач. Статическое фундаментальное решение и представления C.Y. Wang и J.D. Achenbach дают возможность эффективной численной реализации. В работе М. Kogl, L. Gaul (2003) [121] развит МГЭ для решения нестационарных задач теории упругости со связанными полями на основе приближенного метода с двойными использованием теоремы взаимности.

МГЭ в электроупругости тесно связан с анизотропными материалами. Ознакомиться с методами определения констант электроупругих материалов можно в работе И.А. Паринова и др. [106]. Первое трехмерное фундаментальное решение статического электроупругого оператора произвольной анизотропии было получено W.F.J Deeg (1980). Фундаментальные решения для динамической электроупругости были получены A.N.Norris (1994) [107, 150], а решения во временной области были получены Н.М. Хуторянским и II. Sosa (1995). Для МГЭ ценность представляет подход с представлением матрицы Грина на базе использования интегрального преобразования Радона.

Цель работы состоит в создании гранично-элементного методического и программного обеспечения на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур сверток для решения начально-краевых трехмерных задач динамики электроунругих и анизотропных упругих однородных тел при смешанных краевых условиях, а также в проведении численных исследований динамики упругих анизотропных и электроупругих трехмерных тел.

Научная новизна работы заключается в следующем: гранично-элементное моделирование статических и динамических краевых/начально-краевых задач смешанного типа трехмерных линейных теорий анизотропной упругости и элекгроупругости реализовано на основе матриц Грина в форме Радона и шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа; в использовании комбинированного подхода к вычислению анизотропных функций Грина в точках интегрирования; в оригинальном программном обеспечении, реализующем в рамках ГЭ-подхода согласованную модель аппроксимации на основе четырехугольных элементов; в гранично-элементном решении статических анизотропных упругих и электроупругих задач; гранично-элементном моделировании стационарных задач анизотропной теории упругости; шаговом ГЭ-моделировашш решения задачи о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец трехмерного анизотропного упругого Г-образного однородного тела; решении нестационарной трехмерной электроупругой задачи для Г-образного тела со смешанными краевыми условиями; ГЭ-моделировании динамического прогиба композитной балки.

Достоверность исследований основана на строгом соответствии исходных начально-краевых задач в частных производных линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости системе используемых точных граничных интегральных уравнений в изображениях по Лалпасу; на применении корректно построенных

дискретных аналогов регуляризованных ГИУ; на применении оттестированных подходов к вычислению анизотропных фундаментальных решений; на тщательно проработанных алгоритмах численной реализации гранично-элементного подхода; на анализе сеточной и шаговой сходимостей получаемых ГЭ-решений и их сравнении с аналитическими результатами и с решениями других авторов.

Практическая значимость диссертационного исследования состоит в создании методического и программного обеспечения для численного моделирования статики и динамики однородных трехмерных анизотропных упругих и электроупругих тел с использованием интефалыюго преобразования Лапласа; шаговом гранично-элементном моделировании задачи о действии нестационарной силы на анизотропное упругое или электроупругое трехмерное однородное тело; ГЭ-решении с помощью полученной методики трехмерной краевой электроупругой динамической задачи смешанного типа.

Основные положения, выносимые на защиту

2. Гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия:

- о действии давления внутри сферической полости в анизотропном пространстве;

- смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью;

- о действии разности потенциалов, приложенных к торцам однородного электроупругого Г-образного тела;

- о действии равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной плотности заряда на призматическое электроуиругое тело;

- о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого полупространства;

- контактная задача Герца для электроупругого полупространства;

3. Гранично-элементное моделирование следующих динамических задач:

- о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного однородного упругого анизотропного тел�