Динамические смешанные задачи для пьезоактивных неоднородных структур тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Лыжов Вячеслав Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2013

005542527

Работа выполнена в комплексном отделе механики, химии, физики и нанотехнологий Федерального государственного бюджетного учреждения науки Южного научного центра Российской академии наук

Научный доктор физико-математических наук, профессор

руководитель: Калинчук Валерий Владимирович

Официальные Пряхииа Ольга Донатовна

оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Суворова Татьяна Виссарионовна

доктор физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВПО

РГУПС, профессор

Ведущая ФГБОУ ВПО "Нижегородский государственный университет

организация: им. Н.И. Лобачевского" (НИИ механики)

Защита состоится 24 декабря 2013 г. в 12-00 на заседании диссертационного совета 212.101.07 при ФГОУ ВПО "Кубанский государственный университет" по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская 149, ауд 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская 149.

Автореферат разослан «23» ноября 2013 г. Ученый секретарь диссертационного совета

Зарецкая М.1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования.

Развитие элементной базы и применение новых технологий инициирует потребность совершенствования методов проектирования и расчета электронных устройств и оборудования в приборостроении, машиностроении и акустоэлектронике, что, в свою очередь, определяет необходимость рассмотрения связанных задач электроупругости. Минитюаризация и применение тонких сегнетоэлектрических пленок с одной стороны, наличие внешних электрических полей и начальных напряжений с другой стороны требуют использования строгих математических методов, позволяющих осуществлять строгий учет всех внешних воздействий и внутренних напряжений.

Немаловажной представляется проблема совершенствования математических моделей, позволяющих исследовать динамические процессы, протекающие в неоднородных пьезоактивных средах, выявлять новые закономерности и создавать принципиально новые типы устройств, основанных на использовании выявленных новых физических эффектов.

Цель исследования

Основная цель исследования заключается в разработке эффективных методов решения связанных задач со смешанными граничными условиями для неоднородных пьезоактивных сред; создании соответствующих алгоритмов и их реализации в виде программного обеспечения; исследовании влияния начальных напряжений на дисперсионные и интегральные характеристики динамических процессов в пьезоактивных средах; выявлении новых закономерностей; моделировании многоэлектродных акустоэлектронных устройств; моделировании устройств на тонких сегнетоэлектрических пленках.

Научная новизна результатов работы

Для небольшого количества электродов (менее 20) предложен и реализован строгий метод, позволяющий исследовать тонкие вопросы процесса взаимодействия электродов с предварительно напряженной пьезоактивной средой. Исследованы особенности распределения полей при взаимодействии ПАВ с многоэлекгродными

структурами, изучено влияние начальных напряжений на динамические характеристики волнового процесса на поверхности среды.

Для многоэлектродных структур с большим (более 30) количеством электродов предложен и реализован эффективный приближенный метод, позволяющий с достаточной точностью исследовать динамику и основные параметры волнового процесса.

Для решения задачи о колебаниях тел с покрытием из тонких сегнетоэлектрических пленок развит метод, основанный на результатах феноменологической теории, учитывающей возникновение напряжений в тонкой пленке за счет деформации несоответствия (misfit strain) из-за разницы параметров решетки пленки и подложки. Метод реализован на структуре BST0.8/Mg0. Исследовано влияние толщины пленки на область существования и фазовые скорости распространяющихся поверхностных акустических.

В ходе исследования получены условия существования поверхностных акустических волн для ряда неоднородных пьезоактивных структур, находящихся в начальном напряженном состоянии, разработана методика определения электрических, механических полей и динамических характеристик для систем планарных электродов на неоднородной пьезоактивной подложке. В процессе выполнения исследований показано, что в зависимости от вида и величины начальных напряжений изменяются скорости поверхностных волн и частотные диапазоны их существования. Изучены особенности распределения физических полей в зависимости от геометрических параметров задачи для пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве. Установлено, что при уменьшении толщины слоя существенно увеличивается неоднородность распределения электрического поля и возникает новый максимум нормальной компоненты электрической индукции на границе раздела пьезоэлектрик - диэлектрик, обусловленный наличием механических напряжений. Исследовано влияние начальных напряжений на фазовые скорости волн Гуляева-Блюштейна, а также на коэффициент электромеханической связи среды.

Научное и практическое значение результатов работы.

Разработка и уточнение методов учета влияния различных видов и величины начальных напряжений на характеристики устройств на пьезоактивной подложке имеет важное практическое значение. Такие модели могут быть использованы для разработки

методов определения напряжений в элементах конструкций и неразрушающего контроля. Актуальной является также проблема расчета устройств на тонких сегнетоэлектрических пленках, учитывающих отличие свойств таких пленок от объемных образцов.

Важной практической задачей является развитие методов моделирования акустоэлектронных устройств, выполненных из неоднородных пьезоактивных материалов и использующих в качестве возбуждающего или принимающего элемента многоэлектродные структуры. Используемые методы исследований и полученные результаты нашли свое применение при выполнении работ по плановой НИР №г/р 01201354242, грантам РФФИ 05-08-65499, 06-01-00726, 09-01-00695, 10-08-01082, 11-08-00884-а, 12-08-31219 мол_а.

Методы исследования

Методы исследования задач о колебаниях неоднородных полуограниченных электроупругих тел с системой поверхностных планарных электродов основаны на построении и изучении интегрального представления решения краевой задачи с использованием методов операционного исчисления. Интегральное представление волновых механических и электрических полей используется для построения интегрального уравнения, решение которого для системы небольшого количества электродов строится методом фиктивного поглощения. Для большого количества электродов развит эффективный приближенный метод.

Достоверность результатов

Достоверность результатов диссертационной работы основана на использовании строгих математических методов электроупругости; на использовании определяющих соотношений линеаризованной теории распространения упругих волн; на детальном исследовании свойств ядер интегральных представлений для разработки устойчивых численных алгоритмов; на сравнении результатов решения рассмотренных задач с точными решениями и результатами других исследователей.

На защиту выносится:

1. математическая модель, описывающая процесс взаимодействия многоэлектроднои структуры (количество электродов менее 20) с неоднородной предварительно напряженной пьезоактивной средой, основанная на использовании метода фиктивного поглощения;

2. математическая модель, описывающая процесс взаимодействия многоэлектродной структуры (количество электродов более 20) с неоднородной предварительно напряженной пьезоактивной средой, основанная на использовании приближенного метода решения интегрального уравнения на системе отрезков;

3. алгоритмы и программы, реализующие разработанные модели, для исследования закономерностей взаимодействия многоэлектродных структур с неоднородными предварительно напряженными пьезоактивными средами, изучения особенностей поверхностных волновых полей;

4. математическая модель, описывающая динамику гетероструктуры с покрытием из тонкой сегнетоэлектрической пленки, основанная на использовании феноменологической теории, учитывающей возникновение напряжений за счет деформации несоответствия (misfit strain) из-за разницы параметров решетки пленки и подложки и линейной деформации подложки при изменении температуры;

5. результаты анализа влияния начальных напряжений на характеристики волнового поля, инициированного многоэлектродными структурами;

6. условия существования поверхностных акустических волн для ряда неоднородных пьезоактивных структур, находящихся в начальном напряженном состоянии;

7. методика определения электрических, механических полей и динамических характеристик для систем планарных электродов на неоднородной пьезоактивной подложке;

8. закономерности влияния вида и величины начальных напряжений в неоднородных пьезоактивных средах на скорости поверхностных волн и частотные диапазоны их существования;

9. закономерности распределения физических полей в зависимости от геометрических параметров задачи для пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве;

10. закономерности влияния начальных напряжений на фазовые скорости волн Гуляева-Блюштейна, а также на коэффициент электромеханической связи среды;

11. закономерности влияния параметров пленки на область существования и фазовые скорости распространяющихся поверхностных акустических волн.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на XI международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007), Всероссийской конференции "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела" (Пермь, 2008), XIV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, Азов, 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011), международной конференции «Современные проблемы механики», посвященной 100-летию Л.А Галина (Москва, 2012), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), а также на семинарах отдела волновых процессов НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. и на семинарах комплексного отдела механики, химии, физики и нанотехнологии ЮНЦ РАН.

Публикации

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 13 публикациях, из них 5 работ - в рецензируемых изданиях из списка ВАК РФ.

Личный вклад автора

Выбор темы, цели и задачи, а также возможные пути проведения исследований проводились совместно с научным руководителем В.В. Калинчуком. Обсуждение полученных результатов, их анализ и формулировка выводов, выявление особенностей и общих закономерностей осуществлялись автором диссертационной работы совместно с научным руководителем В.В. Калинчуком и ведущим научным сотрудником Т.И. Белянковой. Автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для пьезоактивных сред с многоэлектродными структурами в плоской и антиплоской постановках, разработка алгоритмов и программ для анализа свойств ядер интегральных операторов, численная реализация предложенных методов и подходов, а также разработка методов визуализации полученных результатов с целью поиска особенностей и общих закономерностей.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 121 наименования. Общий объем работы составляет 106 страниц машинописного текста, включая 42 рисунка и 3 таблицы. Содержание работы

Во введении приводится обзор современного состояния вопроса в литературе и обоснование актуальности учета начальных напряжений и решения задач в строгой математической постановке для исследования динамических процессов в электроупругих средах. Существенный вклад в разработку различных вопросов по теме исследования внесли В.А. Бабешко, Т.И. Белянкова, М.А. Балакирев, Д.И. Бардзокас,

A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.А. Викторов, И.И. Ворович, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, В.Т. Гринченко, JI.A. Игумнов, Д.А. Индейцев,

B.В. Калинчук, C.B. Кузнецов, В.А. Кудрявцев, Е.В. Ломакин, Ж. Можен, Н.Ф. Морозов, A.B. Наседкин, В. Новацкий, В.З. Партон, О.Д. Пряхина, Д. Руайе, H.A. Сеник, А.Н. Соловьев, A.B. Смирнова, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Дж. Фарнелл, M.JI. Фильштинский, H.A. Шульга, J.C. Baumhauer, L. Bergman, K.Bragger, J. Heising, R.B. Hetnarski, Q.H. Qin, S. Shen, H.F. Tiersten, R.N. Thurston и другие исследователи.

В первой главе приводятся определяющие соотношения динамики преднапряженной пьезоэлектрической среды, дана постановка краевых задач о колебаниях неоднородного пьезоактивного полупространства.

Актуальная конфигурация (АК) рассматривается в виде наложения малых возмущений на некоторое начальное конечное деформированное состояние (НДС), которое предполагается однородным. Используются линеаризованные уравнения движения электроупругости и квазиэлектростатики

> —у, VD = 0,

dt (О

компоненты линеаризованных тензора напряжений и вектора индукции имеют вид ди, . дер

©,„ = С,

Пар

cbr„ т дх„

k,l,s,p = 1,2,3. (2)

ou.

дхр дхр

В выражениях (2) коэффициенты при частных производных играют такую же роль, что и обычные упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические модули, но зависят как от свойств материала подложки, так и от вида и величины начальных напряжений:

<С = УА„> = 1,2,3,

(3)

У1

Здесь С,ь , ер№ - упругие и пьезоэлектрические модули, р,р - компоненты диэлектрической проницаемости, V, = 1 + 31, 51 - относительное удлинение элементарного объема в направлении ¿-ой оси, Р1р - компоненты тензора напряжений Кирхгофа в начальном деформированном состоянии. Параметры начального напряженного состояния Р1р определяются из решения задачи для начально-

деформированного состояния.

Из выражений (3) следует, что различные виды начального напряженного состояния могут приводить к изменению класса симметрии кристалла, поэтому при построении математической модели рассматривается материал класса 2тш, в рамках которого удается описать кристаллы классов бтга, 4тт и 2тт, а также пьезокерамику в условиях воздействия начальных напряжений.

. х2

Ьм

XI

'........ '-^-¿У ' Я1 щ а2 Ь2 ак г слой М [1] г ь « °к а N-1 Ь N-1 Ьм

слой 1 ц у'

полупространство Хз

Рис.1. Геометрия задачи о колебаниях слоисто неоднородного пьезоактивного полупространства под действием системы поверхностных планарных электродов.

Модель акуетоэлектронного устройства представляет собой систему из N тонких протяженных электродов с заданными потенциалами на поверхности слоисто неоднородного пьезоактивного полупространства (рис. 1). Поверхность внешнего слоя свободна от механических напряжений. На внутренних границах между слоями предполагается непрерывность полей смещений и напряжений, потенциала и нормальной компоненты электрической индукции. На бесконечности учитываются условия излучения Зоммерфельда.

В большинстве случаев можно считать продольные размеры электродов в значительной степени превосходящими поперечные. Если к тому же свойства подложки однородны вдоль оси хз, можно считать все параметры независящими от координаты хз и рассматривать плоскую задачу для волн типа Рэлея или антиплоскую для волн типа Лява и Гуляева-Блюштейна.

Во второй главе получены элементы матрицы функции Грина и представление решений сформулированных краевых задач для основных типов пьезоактивных подложек - однородного с учетом вакуума, слоисто-неоднородного полупространства, пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве. С помощью преобразования Фурье задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для получения аналитического представления решения системы, рассматривается аналогичная вспомогательная задача с известным распределением нормальной компоненты электрической индукции й2*(х1). Решение полученной системы ОДУ строится традиционным способом. Возвращаясь в пространство оригиналов, можно выписать выражения для полей смещения и потенциала в любой точке подложки через распределение напряжений и индукции на поверхности. Например, для сдвиговой задачи они имеют вид:

и3 (*,.*2) = ?(а)Кз,(а,хг)еч"'с1а + 1Д'(а)К,г(а,х2)е'"Ыа, (4)

2.71 2я ^

1 °° 1 00

V (*„*2) = ^ ¡т;г(а)К41(а,хг)е-'"'с1а + — ¡о;(а)К,2(а,х2)е"""с1а . (5)

Здесь Т32 (х;) и (х/) - распределение механических напряжений и электрической индукции на поверхности, К„,„ - компоненты матрицы функции Грина, описывающие

структуру и свойства материала подложки. Выражения для всех рассмотренных случаев получены в аналитическом виде.

Выражение для потенциала из (5) можно использовать в качестве интегрального уравнения (ИУ) для определения Дг (xi). В случае отсутствия механических напряжений на поверхности, ИУ будет иметь вид:

— }D'2(a)Kt2(afl)e-""Ula = <p{xl$). (6)

Однозначная разрешимость уравнения (6) определяется свойствами функций К„т(о-) — они имеют счетное количество чередующихся нулей и полюсов на

вещественной оси и убывают при а —» со как О

Для многоэлектродных структур интегральное уравнение представляется в виде

м M

k{S) = ±\K{ay>-da

Для его решения используются два метода. Первый - метод фиктивного поглощения, позволяющий с высокой точностью исследовать динамику неоднородных преднапряженных сред. Второй - приближенный, позволяющий исследовать динамику многоэлектродных структур на поверхности неоднородных сред.

При использовании метода фиктивного поглощения функция К(а) представляется в виде:

*„(«) = *(«)П», П(«) = П(«2-у1){аг-zlY (8)

it=i

Здесь zk (к = 1,2,..И Ук (к = 1,2,...,п2) - вещественные полюсы и нули функции К(а) соответственно. Остальные zk {к = щ + l,...,iV) и ук (к = я2 + Л^ > тах^,^}) - комплексные полюсы и нули функции К{а), лежащие в полосе |lma| < Е0. Далее используется техника, предложенная в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной, позволяющая свести уравнение (7) к уравнению

М агт м 2Ы

М 2Ы

т=1 ¿=1

относительно неизвестной функции, /я, которая связана с решением исходного уравнения (7) соотношением

Для решения уравнения (10) в диссертации используется численный метод Бубнова-Галеркина. Сочетание метода фиктивного поглощения с численными методами позволило обобщить его на среды типа многослойного полупространства и исследовать тонкие вопросы влияния начальных напряжений на динамику пьезоактивной неоднородной среды.

При использовании приближенного метода функция распределения заряда д„(х1) под электродом с номером п представляется в виде разложения по ортонормированной системе функций {^(х,),^ = \,2,...,М}, определенных на отрезке [а„,6„], который совпадает с положением самого электрода:

<?,(*,)с11)

м

Используя представление (11), интегральное уравнение (6) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений:

Характерный вид распределения Э2'(х1) для многоэлектродной структуры при однополярном режиме возбуждения приведен на рис. 2. Влияние начальных напряжений на решение интегрального уравнения (6) носит сложный характер и проиллюстрировано графиками на рис. 3 и 4.

2 N

(10)

0.005 0.000 -0.005 -0.010 -0.015

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Xl

Рис. 2. Распределение плотности заряда для системы 9-ти электродов на поверхности пьезоэлектрического полупространства. Сплошная линия - вещественная часть, пунктирная - мнимая.

Aq, xic*

'.............

-6 -

-10 -J-1-7-Т-t-1-

-15 -10 -5 0 5 10 Xl 15

Рис. 3. Влияние начальных напряжений на распределение плотности заряда для системы 9-ти электродов (абсолютное изменение). Сплошная линия — вещественная часть, пунктирная - мнимая.

q

Г) Л А ЛЛ г in г\ С\ А

Aq, xlO

1 ...А

С 1 г }

5ч

0.0008 -,-

0.0004 -

0.0000 .....

-0.0004 --0.0008 --

-15 -10 -5 0 5 10 х, 15

Рис. 4. Влияние начальных напряжений на распределение плотности заряда для системы 9-ти электродов (относительное изменение). Сплошная линия — вещественная часть, пунктирная — мнимая.

В третьей главе рассматриваются результаты решения уравнения (6) для различных видов пьезоактивных структур. С целью изучения особенностей распределения полей многоэлектродных систем и влияния краевых эффектов на характеристики устройств были решены задачи для одного электрода, 3-х, 5-ти, 7-ми, 9-ти электродных структур и так далее в сторону увеличения количества электродов. Результаты расчетов показали, что для однополярного режима возбуждения форма распределения поверхностных зарядов под внутренними электродами близка по форме и абсолютной величине к распределению зарядов под центральным электродом. Влияние краевых эффектов, приводящее к существенному изменению формы распределения зарядов, было выявлено только для 3-4 крайних электродов.

Прямое решение уравнения (б) для многоэлектродных (более 30) систем связано со значительными вычислительными затратами. Для уменьшения количества подлежащих определению неизвестных, при построении системы уравнений (12) было сделано допущение, что распределение зарядов под внутренними электродами совпадает с распределением зарядов под центральным электродом:

к = к = ... = См_Ак - См_2к (13)

Учитывая равенства (13) систему уравнений (12) можно переписать в виде:

1 3 М « 1 N М <°

^1,1,С„к\К22(а)Ф+к(а)ф-п(а)с1а + — £ \К11(а)Ф1{а)Ф:{а)с1а +

¿Л п-1*=1 1п

А (14)

+¿1? с« 1

Анализ возможности замены решения строгой задачи для большого количества электродов на решение задачи по упрощенной схеме выявил следующий недостаток: в месте стыковки решения для крайних электродов с периодической структурой из внутренних электродов возникала ошибка, растущая с увеличением количества электродов в системе и достигающая 40% уже для 25 электродов. Указанная ошибка связана с несимметричностью распределения зарядов под нецентральными электродами и с некоторым изменением абсолютных значений д„(хС) по мере приближения к краю электродной структуры. Для уменьшения разницы между точным и приближенным решениями, значения распределений зарядов Ч„(х\) П°Д нецентральными электродами были дополнительно домножены на весовую функцию »(л:,). В качестве весовой функции была выбрана сплайновая аппроксимация зависимости отклонения распределения заряда под электродом от распределения

8д, %

-25---19.....15-11 —•—1

Рис. 5. Отклонение распределения заряда под электродами по сравнению с центальным электродом, построенные в относительных координатах для некоторых электродных структур.

заряда под центральным электродом =| Ч„(хі)~Чт^о.^і) І ■ Рис- 5

представлен график весовой функции »(х,), построенной в относительных

координатах х* = . Ее вид однозначно определяется частотой колебаний и

Хтах

структурой подложки и не зависит от количества электродов.

Окончательно, предлагаемая схема расчета многоэлектродных систем сводится к последовательному решению двух вспомогательных задач - для одного и семи электродов. Учет 3-х крайних электродов позволяют хорошо описать краевые эффекты, а периодическая система между ними взвешивается согласно функции распределения заряда »(*,) под всей электродной структурой. Вид функции и^Хі) определяется из решения контактной задачи для одного электрода. Ошибка расчета электрического поля по такой упрощенной схеме не превышает ~і-4 % и обусловлена в основном несимметричностью влияния электродной системы на нецентральные электроды. При этом вычислительные затраты на построение решения могут быть уменьшены в десятки раз в зависимости от количества электродов в моделируемой системе.

8Ч, %

30 20 10 0 -10 -20 -30 -40

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

-vi

Рис. 6. Ошибка расчета электрического поля электродной структуры по упрощенной методике по сравнению с точным решением. Пунтирная линия - результат для первоначальной модели, сплошная - для модифицированной.

На рис.6 представлены графики, иллюстрирующие эффективность

— \ \ <, \ V- ^ і 1 * л Л Л і і .

\ \ ^ \ К V ,„ у г [ 1 , Л ' ' / /

использования приближенного метода с использованием весовой функции и без нее. Нетрудно видеть, что использование весовой функции в значительной степени повышает эффективность метода.

В четвертой главе рассмотрены вопросы моделирования устройств с использованием гетероструктур на тонких пьезоэлектрических пленках. Исследовано качественное изменение структуры механических и электрических полей при уменьшении толщины пьезоэлектрического слоя до размеров, характерных для устройств на сегнетоэлектрических пленках. Между электродами задавалась единичная разность потенциалов, материальные константы были взяты для объемного образца. Так как диэлектрическая проницаемость пленки намного выше, чем материала подложки, электрическое поле в основном локализуется в слое между электродами. Это приводит к увеличению электрической индукции в зазоре по мере уменьшения толщины слоя, структура распределения становится более однородной, что иллюстрируется графиками на рис. 7.

На границе раздела «пьезоэлектрик-диэлектрик» при уменьшении толщины происходит увеличение касательных механических напряжений Т32, что влечет за собой появление нового максимума нормальной компоненты электрической индукции Вг-

Рис. 7. Изменение структуры распределения нормальной компоненты электрической индукции £>2 при уменьшении толщины пьезоэлектрического слоя.

При исследовании особенностей поведения электроупругих тел с покрытиями из тонких сегнетоэлектрических пленок в зависимости от концентрации компонентов твердого раствора и деформации несоответствия пленки по отношению к подложке использованы два подхода.

В рамках первого подхода используются результаты феноменологической теории Ландау, основной задачей которой является получение термодинамического потенциала. При конкретизации вида термодинамического потенциала могут быть построены определяющие соотношения и получены соответствующие материальные константы для сегнетоэлектрической пленки в некотором заданном состоянии.

30

АГ,

20

10

0

-10

0.0 0.4 0.8 Ш" 1.2 1.6 (о 2.0

Рис. 8. Изменение скорости ПАВ при учете деформаций, характерных для тонких сегнетоэлектрических пленок, в рамках линеаризованной теории электроупругости и в рамках феноменологической теории.

С другой стороны, фиксированные деформации среды для сегнетоэлектрической пленки позволяют использовать линеаризованную около конечного начального деформированного состояния теорию электроупругости. Деформации в среде определялись по изменению параметров решетки в пленке по сравнению с объемным образцом. Проведено сравнение результатов расчета фазовых скоростей ПАВ с использованием констант, полученных из феноменологической теории и констант,

/

\ \ \ \

/ '"77" а \

ь

г

рассчитанных исходя из линеаризованной теории динамики преднапряженных электроупругих сред.

На рис. 8 приведена зависимость изменения фазовых скоростей ПАВ от безразмерной частоты для различных наборов материальных параметров: а) объемный образец BST08 на подложке MgO; b) пленка BST08/Mg0, h < 40 nm (линеаризация около НДС); с) пленка BST08/Mg0, h > 105 nm (линеаризация около НДС); d) пленка BST08/Mg0 (феноменологическая теория с учетом misfit strain). Константы для объемного образца твердого раствора BST08 в естественном состоянии также были взяты из феноменологической теории. При наличии сжимающих в плоскости подложки напряжений (с, d) фазовая скорость ПАВ увеличивается, при наличии растягивающих напряжений (Ь) - уменьшается. В области низких частот эффект изменения скорости незначителен, но с ростом частоты изменение скорости становится существенным. Точка выхода второй моды со' смещается в сторону высоких частот по мере увеличения сжимающих напряжений.

Полученные результаты позволяют сделать вывод об адекватности предложенных в работе подходов к описанию динамических процессов в пьезоэлектрических структурах с покрытием из тонких сегнетоэлектрических пленок. Изменение динамических характеристик в обоих моделях под действием сжимающих напряжений качественно совпадает. Окончательно выбор расчетной модели можно будет сделать только после проверки на лучшее совпадение с экспериментальными данными.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации, обсуждаются возможные направления продолжения исследований.

Результаты, выносимые на защиту:

1) Разработан численно-аналитический метод решения связанных краевых задач, позволяющий с высокой точностью учитывать динамические свойства среды и рассматривать структурно неоднородные полуограниченные структуры в условиях начального напряженного состояния. Разработаны соответствующие численные алгоритмы и программное обеспечение, реализующие названный метод.

2) Исследовано влияние начальных напряжений на область существования и скорости ПАВ, на структуру механических и электрических полей, на интегральные динамические характеристики для пьезоактивных подложек различной конфигурации.

3) Исследованы особенности распределения электрических полей многоэлектродных систем на поверхности неоднородного пьезоактивного полупространства в различных режимах возбуждения.

4) Предложена упрощенная модель расчета многоэлектродных структур, позволяющая учесть краевые эффекты и моделирующая исходную систему с ошибкой, не превышающей 3-4%.

5) Исследовано влияние толщины пьезоэлектрического слоя на структуру механических и электрических полей в подложке и на интегральные характеристики устройства.

6) Проведено сравнение результатов моделирования тонких сегнетоэлектрических пленок для материальных констант, полученных из феноменологической теории и из линеаризованной теории электроупругости.

Публикации по теме диссертации в журналах, рекомендуемых ВАК РФ

1. Белянкова Т.И., Лыжов В.А. Некоторые особенности динамики слабо неоднородных пьезоактивных структур // Вестник ЮНЦ РАН. 2010. Т. 6. №2. С. 3-10.

2. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Лыжов В.А. Связанная смешанная задача для системы электродов на поверхности преднапряженного электроупругого структурно неоднородного полупространства // ПММ. 2010. Т. 74.Вып. 6. С. 897910

3. Шейдаков Д.Н., Лыжов В.А., Михайлова И.Б. Потеря устойчивости сжатого пористого стержня с однородным покрытием //Вестник ЮНЦ РАН. 2011, Т.7, № 1, С.5-12.

4. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Лыжов В.А. Роль размерных параметров в формировании волновых полей в неоднородных пьезоактивных структурах // Вестник ЮНЦ РАН. 2011, Т.7, № 3, С.3-12.

5. Белянкова Т.И., Лыжов В,А. Моделирование предчапряженных функционально градиентных материалов и покрытий // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2019-2021

Публикации по теме диссертации в иных изданиях

1. Белянкова Т.Н., Лыжов В.А., Калинчук В.В. Волны на поверхности пьезоактивного полупространства в условиях неоднородного начального напряженного состояния // Труды X международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2007. Т. 2. С. 59-63.

2. Белянкова Т.И., Лыжов В.А. Об учете констант III порядка в задачах динамики электроупругих тел // Труды XI международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 26-29 ноября 2007 г. Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2008. Т. 2. С. 27-31.

3. Лыжов В.А., Тукодова О.М., Ворович Е.И. Взаимодействие многоэлектродных структур с пьезоактивными средами И Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 13-15 октября 2009 г. Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2009. Т. 2. С. 138-142.

4. Лыжов В.А., Тукодова О.М., Ворович Е.И. Взаимодействие многоэлектродных структур с предварительно напряженными электроупругнми средами // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV международной конференции, Азов, 19-24 июня 2010 г. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2010. Т. 1. С. 211-214

5. Лыжов В.А. Особенности взаимодействия системы электродов с преднапряженной электроупругой средой // VI научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН: тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 19-30 апреля 2010 г. Ростов-на-Дону: Издательство ЮНЦ РАН, 2010. С. 389.

6. Лыжов В.А. Эффективный приближенный метод исследования многоэлектродных структур // Тезисы докладов международной конференции «Современные проблемы механики», посвященной 100-летию Л.А. Галина. Москва, 2012 г. С. 51-52.

7. Лыжов В. А., Тукодова О. М, Ворович Е. И., Агаян К.Л. Эффективный приближенный метод построения связанных полей многоэлектродных структур // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012 г. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2012. Т. 2. С. 129-133

8. Лыжов В.А. Динамические свойства наноразмерных сегнетоэлектрических пленок // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (г. Ростов-на-Дону, 15—18 октября 2013 г.). Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. Т. 2. С. 76-80.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1.0 уч.-изд.-л. Заказ № 3242. Тираж 100 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Южный научный центр Российской академии наук

04201454287

иси

Лыжов Вячеслав Александрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ

СТРУКТУР

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук,

профессор Калинчук В. В.

Ростов-на-Дону 2013

Содержание

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................4

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ

ПЬЕЗОАКТИВНОЙ СРЕДЫ................................................................................17

1Л. Определяющие соотношения динамики преднапряженных

электроупругих сред.................................................................................17

1.2. Основные виды граничных условий для электроупругих тел с электродами...............................................................................................20

1.3. Однородное начальное напряженное состояние...................................23

1.4. Краевые задачи о возбуждении поверхностных акустических

волн в неоднородной пьезоактивной среде............................................24

1.4.1. Краевая задача для однородного пьезоэлектрического полупространства......................................................................................25

1.4.2. Краевая задача для неоднородного пьезоэлектрического полупространства......................................................................................30

1.4.3. Краевая задача для пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве.......................................................31

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИИ НЕОДНОРОДНОЙ ПЬЕЗОАКТИВНОЙ СРЕДЫ.............................................33

2.1. Решение краевой задачи для пьезоэлектрического полупространства......................................................................................33

2.1.1. Функция Грина для однородного полупространства............................33

2.1.2. Волна Гуляева-Блюштейна......................................................................37

2.2. Решение краевой задачи для неоднородного пьезоэлектрического полупространства.................................................40

2.2.1. Функция Грина, трехмерная постановка................................................40

2.2.2. Влияние вида и величины начальных напряжений на свойства функции Грина..........................................................................................44

2.2.3. Влияние типа неоднородности на свойства функции Грина................51

2.3. Решение краевой задачи для пьезоэлектрического слоя на

диэлектрическом полупространстве.......................................................54

ГЛАВА 3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ

ВОЛН ПЛАНАРНЫМИ ЭЛЕКТРОДНЫМИ СТРУКТУРАМИ......................57

3.1. Метод фиктивного поглощения решения интегрального уравнения для полупространства..............................................................57

3.2. Численная реализация метода....................................................................60

3.3. Распределение поверхностных зарядов под парой электродов

на поверхности пьезоактивного полупространства.................................62

3.4. Распределение поверхностных зарядов под многоэлектродной системой на поверхности пьезоактивного полупространства................65

3.5. Приближенный метод решения краевой задачи для электродной структуры с большим (более 30) количеством электродов....................................................................................................68

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТЕЛ С

ПОКРЫТИЯМИ ИЗ ТОНКИХ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ПЛЕНОК.................................................................................................................74

4.1. Влияние расстояния между электродами на особенности распределения механических и электрических полей в подложке......................................................................................................74

4.2. Влияние толщины слоя на особенности распределения механических и электрических полей в подложке..................................78

4.3. Моделирование тел с покрытиями из тонких сегнетоэлектрических пленок....................................................................81

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................92

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.....................................................................................94

Введение

Развитие элементной базы акустоэлектроники, проблемы создания и использования современных искусственных композитных материалов, работающих в экстремальных условиях под действием постоянных динамических нагрузок и физических полей, предъявляют повышенные требования к применяемым методам расчета и математическим моделям. Минитюаризация и применение тонких сегнетоэлектрических пленок с одной стороны, наличие внешних электрических полей и начальных напряжений с другой стороны требуют использования строгих математических методов, позволяющих осуществлять строгий учет всех внешних воздействий и возникающих внутренних напряжений, выявлять новые закономерности и создавать принципиально новые типы устройств, основанных на использовании выявленных физических эффектов.

Исследованию различных аспектов динамики контактного взаимодействия деформируемых твердых тел посвящены работы [2 - 14,1920, 22 - 27, 29, 31, 32, 34 - 36, 39, 42, 43, 51 -59, 63-68, 74 - 76, 84, 89 и др.]. Исследования основаны на сведении краевых и начально-краевых задач теории упругости и математической физики к интегральным уравнениям (ИУ) или к системам интегральных уравнений (СИУ) первого рода, для решения которых используется широкий круг методов: асимптотические методы, метод факторизации, вариационно-разностный метод, метод фиктивного поглощения, метод граничных элементов, метод коллокаций, метод комплексных потенциалов и др.

При исследовании динамики многослойных сред осцилляция символа ядра интегрального оператора существенно затрудняет использование численных методов (вариационно-разностный, коллокаций, граничных элементов и т.д.). Более эффективными, особенно на больших частотах колебания штампов, являются метод факторизации [2, 4, 34 - 35], развитый в ряде работ В.А.Бабешко, и метод фиктивного поглощения, предложенный

В.А. Бабешко и развитый в цикле работ В.А.Бабешко и О.Д.Пряхиной [10, 11, 27, 35, 59, 74, 75]. Он был успешно использован при изучении контактного взаимодействия массивных жестких штампов, упругих балочных плит и инерционных систем со средами типа слоя или пакета слоев, а также при исследовании ИУ и СИУ задач контактного взаимодействия электродов с аналогичными типами электроупругих сред. Позднее этот метод был обобщен на среды типа слоисто-неоднородного или функционально-градиентного полупространства [4,5,9,53-55]. Использование в рамках метода численных процедур для решения позволило эффективно исследовать широкий класс задач теории упругости, электро-, термо- и магнитоупругости для преднапряженных сред.

Впервые понятие предварительно напряженного упругого тела ввел Коши в 1828 году. Отдельные аспекты подхода, основанного на наложении малых деформаций на конечные деформации в 1894 году были изложены Фингером. Исследование влияния начальных напряжений, обусловленных воздействием гравитационного поля Земли, на скорость релеевских волн было предпринято в 1898 году проф. Бромвичем. Систематизированное изложение линеаризованной теории наложения малых деформаций на конечные в 1927 году дал А. Ляв. Общие вопросы механики преднапряженных упругих тел постоянно находили место в исследованиях как отечественных, так и зарубежных ученых, что нашло отражение в многочисленных публикациях, достаточно подробный обзор которых приведен в монографиях [46,52,53].

В этих работах реализованы различные подходы к линеаризации нелинейных уравнений теории упругости. Построены различные варианты теории наложения малых деформаций на конечные деформации, в той или иной мере адекватно учитывающие особенности динамических процессов, проистекающих в реальных, подверженных большим силовым воздействиям, телах.

Вопросам распространения волн в предварительно напряженных полуограниченных телах посвящено значительное количество работ отечественных и зарубежных авторов [30, 33, 37, 38„ 40, 41, 44, 46, 61, 73]. Несмотря на то, что проблема распространения волн на поверхности предварительно напряженных тел является сложной и трудно реализуемой экспериментально, она представляет значительный интерес для разработки методов оценки напряженного состояния контролируемых объектов. Особенности распространения поверхностных волн в предварительно напряженных телах при различных видах начального напряженного состояния исследовались в [20, 46, 53, 54, 62, 85, 93, 94, 96, 105 и др.].

Фундаментальные проблемы механики связанных электроупругих полей освещены в монографиях Викторова И.А. [33] (1981), Бабешко В.А. [2] (1984), Новацкого В. [71] (1986), Бирюкова С.В., Гуляева Ю.В., Крылова В.В., Плесского В.П. [28] (1991), Гетмана И.П., Устинова Ю.А. [37] (1993), Воровича И.И., Бабешко В.А., Пряхиной О.Д. [35] (1999). Различные проблемы механики связанных электроупругих полей в отсутствие начальных напряжений, в т.ч. проблемы, связанные с динамическим контактным взаимодействием массивных электродов с электроупругими средами, рассмотрены в [12, 15, 16, 18, 45, 51, 52, 58, 59, 71, 72, 77, 78, 79, 82, 91,93,98, 99, 100, 101, 105, 108, 109, 118, 120 и др.].

Изучение особенностей проявления начальных напряжений в электроупругой среде впервые, по-видимому, предпринято в работе К.Ы.ТЬигзШп, К.Вп^ег [115]. Последовательное построение линеаризованной теории динамических процессов в предварительно напряженной электроупругой среде, основанное на линеаризации нелинейных уравнений электродинамики сплошной среды дали ВаитЬаиег, Н.Р.Тле^еп [86, 116, 117]. Линеаризованные уравнения движения и уравнение вынужденной электростатики приведены в декартовой системе координат в традиционном для физической акустики компонентном представлении тензорных и векторных величин. В работах [47, 49, 50, 60, 83,

90, 95, 97 102, 103, 104, 113, 114, 119] при исследовании процессов распространения волн в различных кристаллах рассмотрены эффекты, связанные с учетом констант третьего порядка. Изучение влияния НДС на скорости ПАВ и акустоупругие эффекты второго порядка предпринято в [70, 88, 97, 102, 103, 104, 118]. Влияние сильных начальных электрических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [47, 49, 50, 83, 95, 117]. Сочетание совместного воздействия механических напряжений и сильных начальных электрических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [117]. Ряд выявленных в отмеченных выше работах закономерностей использован при разработке теоретических основ и экспериментальных методов определения нелинейных упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических констант различных кристаллов [90, 97, 104, 120].

В литературе активно обсуждаются подходы к описанию слоисто неоднородных и функционально градиентных сред, определению эффективных свойств материалов сложной структуры. В работах Thurston R.N., Brugger К. [115] (1964), Cho Y., Yamanouchi К. [90] (1966), Baumhauer J.C., Tiersten H.F. [86] (1972), Tiersten H.F. [116] (1981), Gafka D. [95] (1991), Tanimoto T., Yamamoto K., Morii T. [114] (1994), Chai J.F., Wu T.T. [88] (1996) исследуется влияние начальных напряжений на скорости распространяющихся волн. В работах C.Q. Ru [109] (2000), R.Q. Ye, L.H. Не [121] (2001), X.F. Li, K.Y. Lee [101] (2004), Z.B. Kuang, Z.D. Zhou, K.L. Zhou [100] (2004), F. Narita, Y. Shindo, M. Mikami [108] (2007), B.B.L. Wang, Y.G. Sun, J.C. Han [119] (2009), Q. Jiang, C.F. Gao, Z.B. Kuang [97] (2010) предлагаются различные подходы для расчета электрических и механических полей электродных систем на пьезоактивной подложке, изучается распределение электрического поля, его поведение вблизи границ электродов, для некоторых задач получены аналитические решения.

Одним из перспективных и бурно развивающихся направлений является работа по созданию и изучению устройств на сверхтонких, в

часности, наноразмерных сегнетоэлектрических пленках: Scott J.F [110] .(1999), Mukhortov V.M., Golovko Yu. I., Tolmachev G.N., Klevtzov A.N. [106] (2000), Dawber M., Rabe K.M., Scott J.F. [92] (2005), Nagarajan V., Jia C. L., Kohlstedt H., Waser R. and Ramesh R. [107] (2005). В работах V. В. Shirokov, V. V. Lemanov [111,112] (2006, 2009), Широков В.Б. [80,81] (2010, 2013) развивается феноменологическая теория тонких сегнетоэлектрических пленок. Исследование наноразмерных пьезоактивных гетероструктур осложняется отсутствием адекватных моделей, одновременно учитывающих сложную структуру материала, связанность полей различной природы, наличие остаточных напряжений, отличие параметров тонких пленок от объемных образцов.

Основной целью данной работы является разработка адекватной математической модели структурно неоднородной электроупругой среды, позволяющей исследовать влияние различных параметров на динамические характеристики рассматриваемых пьезоактивных тел. Применение эффективных методов решения динамических задач для неоднородных электроупругих структур со сложными смешанными граничными условиями позволит производить более точную оценку характеристик устройств, работающих в различных, в том числе экстремальных, условиях. Предлагаемый в работе подход позволяет эффективно исследовать особенности динамики разномасштабных структур. В рамках работы поставлены и решены следующие задачи:

• исследование условий возникновения, особенностей формирования и локализации волновых полей в неоднородных электроупругих средах;

• изучение свойств, поведения и динамической прочности электроупругих материалов при различных размерных параметрах и начальных напряжениях;

• определение влияния различных факторов на поведение пьезоактивных тел - геометрических параметров, условий возбуждения, наличие начальных напряжений, отличие материальных констант тонких пленок от объемных образцов.

Изучение зависимости динамических свойств подобных неоднородных структур от геометрических размеров позволяет прояснить вклад данного фактора в результирующие характеристики устройств, сформулировать закономерности при уменьшении толщины пьезоэлектрического слоя до микро- и наноразмерных пленок, исследовать распределение полей электрической индукции и механических напряжений. Полученные результаты могут стать основой для сравнения с экспериментальными данными в целях оценки влияния начальных напряжений и изменения материальных параметров тонких сегнетоэлектрических пленок по сравнению с объемными образцами.

Цель исследования заключается в разработке эффективных методов решения связанных задач с разнородными граничными условиями в строгой математической постановке; создании соответствующих алгоритмов и их реализации в виде программного обеспечения; исследовании влияния начальных напряжений на дисперсионные и интегральные характеристики динамических процессов и выявлении закономерностей; моделировании многоэлектродных акустоэлектрических устройств и устройств на тонких сегнетоэлектрических пленках.

Научная новизна результатов работы

В ходе исследования получены условия существования поверхностных акустических волн для ряда неоднородных структур, находящихся в начальном напряженном состоянии, разработана методика определения электрических, механических полей и динамических характеристик для систем планарных электродов на неоднородной пьезоактивной подложке. Показано, что в зависимости от вида и величины начальных напряжений изменяются скорости поверхностных волн и частотные диапазоны их существования. Исследованы особенности распределения физических полей в зависимости от геометрии задачи для пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве. Обнаружено, что при уменьшении толщины слоя существенно увеличивается неоднородность распределения

электрического поля и возникает новый максимум нормальной компоненты электрической индукции на границе раздела пьезоэлектрик-диэлектрик, обусловленный наличием механических напряжений.

Для небольшого количества электродов (менее 20-30) предложен строгий метод, позволяющий исследовать тонкие вопросы процесса взаимодействия электродов со средой. Исследованы особенности распределения полей при взаимодействии ПАВ с многоэлектродными структурами. На основании полученных результатов предложен эффективный приближенный метод построения решения краевой задачи, позволяющий с достаточной точностью исследовать структуры с большим количеством электродов.

При решении задачи о колебаниях тел с покрытием из тонких сегнетоэлектрических пленок для учета различий материальных параметров пленки и объемного образца применены результаты феноменологической теории.

Актуальность темы исследования определяется необходимостью разработки строгих математических моделей, позволяющих исследовать динамические процессы, протекающие в пьезоактивных средах, выявлять новые закономерности и создавать принципиально новые типы устройств, основанных на использовании выявленных физических эффектов.

Научное и практическое значение результатов работы.

Разработка и уточнение методов учета влияния различных видов и величины начальных напряжений на характеристики устройств на пьезоактивной подложке имеет важное практическое значение. Такие модели могут быть использованы для разработки методов определения напряжений в элементах конструкций и неразрушающего контроля. Актуальной яв�