Динамические смешанные задачи для слоистых пьезоэлектриков тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ои-з4"

Качко Дмитрий Львович

На правах рукописи

ДИНАМИЧЕСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ДЕН 2009

Краснодар 2009

003487517

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Пряхина Ольга Донатовна

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Ватульян Александр Ованесович

кандидат физико-математических наук, доцент

Павлова Алла Владимировна

Южный научный центр РАН (г.Ростов-на-Дону)

Защита состоится «Л%> декабря 2009 г. в М часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан «2 V» ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Смирнова А. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность. В настоящее время интерес к механике связанных полей постоянно возрастает, что обусловлено, прежде всего, расширением сферы применения эффекта взаимодействия между полями самой различной природы. В частности, на протяжении многих лет особое внимание уделяется пьезоэлектрическому эффекту. Это связано с широким применением технических устройств, работа которых основана на взаимодействии механических и электрических полей в пьезоактивных материалах.

Наряду со ставшими уже традиционными областями науки и техники, в которых активно используется пьезоэффект (излучатели и приемники звука в гидроакустике, пьезотрансформаторы, устройства для ультразвуковых томографов, различные измерительные устройства), необходимо отметить относительно новые области. Так, например, в конструкциях микроволновых двигателей в последнее время часто применяются керамические пьезоприводы, началось довольно широкое исследование задач по моделированию конструкций с использованием пьезоэлектрических и пьезокерамических устройств с целью погашения нежелательных колебаний. Такие задачи находят свое применение в авиации для подавления колебаний авиационной панели, гашении колебаний конструкций газотурбинных двигателей на критических скоростях.

Большинство современных технических устройств, использующих пьезоэффект, создаются на базе многослойных элементов, а в качестве пьезоэлектрического материала все чаще применяется пьезокерамика. Это связано с тем, что такие устройства обладают повышенной чувствительностью и температурной стабильностью, высокой эффективностью преобразования электрической энергии в механическую, низкой себестоимостью и простотой конструкции. Тем не менее, задачи о колебаниях слоистых электроупругих сред изучены еще недостаточно.

Задачи со смешанными граничными условиями традиционно считаются наиболее интересными и в то же время являются трудными для моделирования и решения. Постановка смешанных задач для электроупругих сред базируется на

классической формулировке смешанных граничных условий для переменных механического поля, дополненных смешанными граничными условиями для электрических составляющих. Также к задачам со смешанными граничными условиями относятся задачи, предметом которых являются пьезоэлектрические слоистые тела, содержащие внутренние электроды. Тогда на границе электродированной и неэлектродированной частей основные электрические характеристики терпят разрыв.

Целью исследования настоящей диссертационной работы является изучение и построение математических моделей колебаний многослойных полуограниченных электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов.

Методика исследований. Использованные в работе методы опираются на классические положения теории электроупругости и формулировки краевых задач. В ходе исследования использовались интегральные преобразования Фурье, общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитические методы построения матриц-символов Грина для многослойных сред, методы теории функции комплексного переменного. Решения полученных интегральных уравнений смешанных задач строились методом фиктивного поглощения.

Научная новизна заключается в том, что в работе построены решения электромеханических задач для слоистых электроупругих сред с системами поверхностных и внутренних электродов; получены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики, и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих внутренние электроды. Для задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды при наличии на стыке слоев внутреннего электрода построено решение интегрального уравнения методом фиктивного поглощения; получено аналитическое представление элементов блочной матрицы-символа Грина для

слоистой электроупругой среды в виде отношения целых функций; построено решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхности; исследованы дисперсионные свойства элементов матрицы-символа Грина; проведен численный анализ решения интегрального уравнения динамической задачи о сдвиговых колебаниях пьезоактивной среды, содержащей внутренний электрод.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в различных областях современной науки и техники. Например, в таких, как авиастроение, медицина, измерительное приборостроение, геофизика, акустоэлектроника и многих других. Разработанные модели и методы исследования могут быть использованы при проектировании различных пьезоэлектрических преобразователей, при создании материалов с заранее заданными свойствами.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгостью используемых методов решения, адекватностью построенных математических моделей, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление.

Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость, в том числе:

■ Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Динамика множественных дефектов в сварных соединениях конструкций и материалов», проект № 08-08-00144, 2008-2010 гг.

■ Российский фонд фундаментальных исследований и Администрация Краснодарского края, грант «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники», проект №09-01-96501, 2009-2011 гг.

■ Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-22298.2008.1.

Публикации. Результаты выполненных по теме диссертации исследований содержатся в 12 публикациях, в том числе в 3 статьях, которые

были опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК. В работах, выполненных в соавторстве, автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для слоистых пьезоэлектриков с электродными структурами, разработка и численная реализация методов, проведение вычислений и анализ полученных результатов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ряде конференций и семинаров: II Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 г.); XXVI Российской школе по проблемам науки и технологий; XXXVII Уральском семинаре по механике и процессам управления, посвященному 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра «КБ им. академика В.П.Макеева»; XXXVIII Уральском семинаре по механике и процессам управления (г. Миасс, 2006, 2007, 2008 гг.); V и VI Всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2008 - 2009 гг.); XII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2008 г.); IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики КубГУ (г.Краснодар, 2009г.); Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (г. Одесса, 2009 г.). В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре кафедры высоких технологий прогноза и предупреждения ЧС Кубанского государственного университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 141 страницу, в том числе 14 страниц списка использованной литературы и 41 страницу приложений. Список использованной литературы включает 138 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по теме, изучаемой в диссертации, формулируются цель и научная новизна работы, обосновывается ее актуальность, практическая значимость и достоверность. Кроме того, перечисляются работы, выполненные по результатам исследований, и проводится разделение принадлежности последних диссертанту и другим соавторам указанных работ.

Во введении также описываются трудности, возникающие при решении поставленной задачи, дается обоснование выбора метода решения и приводятся преимущества данного метода над другими.

История развития теории и практики пьезоэлектрических устройств тесно связана с именами У. Мэзона, У. Кэди, Л. Бергмана, Г. Тирстена, H.H. Андреева, В.М Шарапова и многих других.

Значительный вклад в рассматриваемую тематику внесли ведущие российские и зарубежные исследователи - В.А. Бабешко, М.А. Балакирев, Д.И. Бардзокас, A.B. Белоконь, O.A. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. и Н.В. Глушковы, В.Т. Гринченко, Э. Дьелесан, А.И. Зобнин, В.В. Калинчук, В.А. Кудрявцев, A.B. Наседкин, В.З. Партон, О.Д. Пряхина, Д. Руайе, H.A. Сеник, А.Н. Соловьев, A.B. Смирнова, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, M.JI. Фильштинский, H.A. Шульга, F. Ashida, L. Bergman, J. Heising, R.B. Hetnarski, Q.H. Qin и другие ученые.

В первой главе кратко представлены общие положения теории электроупругости, в том числе граничные условия, задаваемые в задачах электроупругости, построены решения плоской и антиплоской задач для электроупругого слоя, необходимые для дальнейшего исследования.

В пункте 1.1 приводятся основные соотношения и уравнения линейной теории электроупругости.

Для важного случая пьезоэлектриков класса 6mm гексагональной сингонии, наиболее часто встречающихся в приложениях, приведена система

дифференциальных уравнений в операторном виде, наиболее удобном для дальнейшего анализа

Ц и>,=0, /,7=1,2,3,4. (1)

Здесь - дифференциальные операторы в частных производных, >у = {н/}= у>и',9?} _ расширенный вектор перемещений, имеющий своими компонентами горизонтальные и,у, вертикальные м? перемещения и электрический потенциал.

В плоской задаче электроупругости одна из компонент вектора упругого смещения V равна нулю, а все остальные характеристики механических и электрических полей не зависят от соответствующей координаты. Пусть все характеристики не зависят от у, ось х - направление распространения волны, а ось симметрии пьезоэлектрика совпадает с осью г декартовой системы координат. Тогда из системы (1) получаем систему дифференциальных уравнений

I,(х, г) + 113и>(л:, г) +Ьн(р{ х, г) = 0,

Ьми(х,г) + + ЬгА(р{х, г) = 0, (2)

+ + = 0.

Здесь

¿11 = СПд1 + С4493 + Р0)2 > Аз = ¿31 = (С13 + Сы)дХдЪ '

¿14 = ¿41 = (е31 + е15)0153 ' ¿33 = Смд] + С33Э3 + РСО1 ,

¿34 = ¿43 = + б33^3 > ¿44 = ~ •

В случае антиплоской деформации считаем, что все характеристики не зависят от г, ось х - направление распространения волны, а ось симметрии пьезоэлектрика г параллельна поверхности среды. Тогда система (1) упрощается до системы двух дифференциальных уравнений

Ь}3м>(х,у) + Ьи(р(х,у) = 0, Ь^{х,у) + Ь^(р{х,у) = 0. (3)

Здесь

1^ъ=сАА(д\+д\) + рсо\ A44=-e11(5f+5l). ¿34 = Ln=exi[d\ + d\).

В приведенных соотношениях е/у - пьезоэлектрические постоянные; с,.. -упругие постоянные; еи - коэффициенты диэлектрической проницаемости, р -плотность материала, со - частота колебаний; о1,б2,о3 означает дифференцирование по x,y,z соответственно.

В пункте 1.2 описываются различные формулировки механических и электрических граничных условий. Механические условия могут задаваться как в перемещениях, так и в напряжениях. В ряде задач необходимо задавать смешанные граничные условия. В таком случае, на одной части поверхности задаются перемещения, а на другой - напряжения.

Формулировка электрических граничных условий зависит от способа подвода электрической энергии к пьезоэлектрику. В п. 1.2 формулируются электрические граничные условия для случаев, наиболее часто встречающихся на практике.

Если в электрической среде имеется плоское жесткое включение (стрингер) или внутренний электрод, то в общем случае при переходе через эту неоднородность имеют место условия непрерывности для перемещений и электрического потенциала, и разрывные граничные условия для механических напряжений и нормальной составляющей вектора электрической индукции.

В пункте 1.3 построено решение плоской задачи для электроупругого слоя. Рассматриваются установившиеся колебания электроупругой среды, представляющую собой протяженную полосу (слой) и занимающую область -h<z<h, -(Х><х<<х>. При этом границы электроупругого слоя толщины 2h электродированы, на них заданы механические нагрузки q^-"*, q2e ,ft*,

<\к =\ч\и нормальные составляющие векторов электрической индукции

d\e~iat, d\e~'at; tk={qf,q%,d%}e4B*, ¿ = 1,2. В этом случае имеем систему дифференциальных уравнений (2).

В пункте 1.4 рассмотрена антиплоская динамическая задача о колебаниях электроупругого слоя толщины 2/г, на лицевых поверхностях которого заданы сдвиговые механические напряжения ¿0<г~т

Це и нормальные

составляющие векторов электрической индукции с!0е "'",

е

tk={tk,dk)e ш. Сдвиговые смещения \\>(х,у) и электрический потенциал (р(х,у) будут определяться из системы двух дифференциальных уравнений (3). Решения обеих задач строятся методом интегральных преобразований.

Решение задачи о сдвиговых колебаниях электроупругого слоя построено в матричной форме

= + (4)

, Ч (ьп (Ж) (ТЛ

В+Ы = 11 12 , \¥= , Тк= к , ¿ = 0,1.

Здесь W = Fw, Тк=Р1к, F - оператор преобразования Фурье по переменной х с параметром а.

Элементы матриц В± (}>) = В± (а,у,О.) зависят от параметра а,

приведенной частоты колебаний О. и безразмерных параметров среды е = ,

с44

£п1

с44 /

На поверхности среды при у = к матрица В+ имеет вид

В ±(й) =

Здесь

Гт

\£ £ £

(5)

Д!0(/г)

«1+0(Л) = сЬ(2сг/г), «Го(А) = -1,

^ (А)=!Игу ^ ^ =сЬ ^ • (л) —1,

Д,0(/г) = <7(1 + Ко ]зЦ2о7г), Д20(Л) = аъЪ(2аЬ),

2 &

а= а —-5-, *•„=-,

V 1 + Ко £

Для плоской задачи о колебаниях электроупругого слоя решение имеет вид, аналогичный (4), однако в этом случае матрицы В± имеют структуру

( 2 ± а т{ Нат^ + \ ±;ат3

В± = -/ак*

-'¡агг \ 1 *)

,щ = м-к±м+к, щ = к~к±к+к,

м±к=^, * =1,2,3.

А Д к А±

Здесь Мк0, Кк0, > _ функции, зависящие от физико-механических и геометрических параметров электроупругого слоя, частоты колебаний Г2 и параметра а. Заметим, что расширенные векторы \¥ и Т^ в плоско!! задаче являются трехмерными.

Полученные в пунктах 1.3 и 1.4 решения являются вспомогательными и используются в дальнейших исследованиях.

Во второй главе дается общая постановка и строится решение динамической смешанной задачи для слоистых пьезоэлектриков с разрывными граничными условиями на стыке слоев. Выводятся матрично-функциональные соотношения, на основе которых строятся системы интегральных уравнений (СИУ). Приводится описание метода фиктивного поглощения, необходимого для решения СИУ.

В пункте 2.1 дается постановка антиплоской динамической задачи для слоистых пьезоэлектриков с поверхностными и внутренними электродами. Рассматриваются гармонические колебания пакета из N плоскопараллельных

N

электроупругих слоев. Толщина пакета Н = 2^ \, 1гк- полутолщина к-то слоя.

к=\

Пакет занимает объем -Н<у<0, -со < х,г< +со. Каждый слой пакета характеризуется своими физическими и механическими параметрами. На границах смены физико-механических свойств слоев находятся включения типа внутренних электродов, которые располагаются в областях

= ак<х<Ък, -оо<2<+оо|, ¿ = 1,2,...,N-1.

Поверхность среды в области 5"0 покрыта бесконечно тонким металлическим слоем и подвергается механическому и электрическому воздействию, которое характеризуется вектором 10 = {/0(х),£/0(х)}е~'®',

имеющим своими компонентами составляющую вектора механического усилия и нормальную составляющую вектора электрической индукции, которые либо являются заданными, либо могут определяться из решения контактной задачи. Нижняя грань пакета жестко сцеплена с недеформируемым основанием, металлизирована и закорочена.

На границах раздела слоев вектор ^ имеющий своими

компонентами сдвиговые напряжения и электрическую индукцию, претерпевает разрыв Д^(х) = ^(х)-^(х), к- 1,2,...,Лг-1.

На поверхности среды и на границах раздела слоев имеют место смешанные условия

у = 0: w(x,0) = \у0 (х)еГш, хе50, ^ =0, х£50;

, = - 2У>: = (6)

% 1 [Д^х^О, Хй^, * = 1,2,...,ЛГ-1;

у = -Н: \у(х,-7/) = 0, -оо<х,г<оо.

Если предположить, что на поверхности среды и на границах раздела слоев имеется не один, а несколько электродов, занимающих соответственно

области / = 1,2,...,Л/0 и 5кт, А = 1,2,...,ЛГ — 1; т = 1,2,...,Мк, то смешанные граничные условия (6) запишутся в виде

амплитудные значения заданных и искомых функций.

В пункте 2.2 выводятся матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики, исходя из условий краевой задачи.

Введем для каждого из N слоев локальную систему координат

В случае антиплоских колебаний вектор у/к ={щ,<Рк} удовлетворяет уравнениям вида (3), и задача сводится к определению амплитудных функций сдвиговых смещений (х,у) и электрического потенциала срк (*,.у) в к-ом

слое из системы дифференциальных уравнений размерности 2 х N.

Для построения решения полученной системы необходимо сформулировать однородные граничные условия.

На поверхности среды задается динамическое воздействие, характеризуемое вектором 10; на границах раздела слоев ук = -1ц будут иметь место непрерывные условия для вектора у/к и разрывные для вектора 1к, характеризующего взаимодействие между слоями; на нижней границе пакета выполняются условия жесткой заделки и металлизации.

Решение задачи для к-го слоя в трансформантах Фурье с учетом результатов главы 1 получено в виде

,У = 0:

\\ = п0/(х)с~"°', .г 6 5, =0, х0 50/,

хк=х, ук=у + 2^Ит+Ик, -Ък<ук<Ьк, к = 1,2,...,ЛГ.

от=1

^*и) = -[в+и)Т*-1+В_(л)(Т*+ДТ4)], -\<ук<\, (8)

ск

где Т0 = Л0, Тк = тк, Щ = Fwt, ДТ* = FДtt, ск = 4, / с^, = - Ц.

Условия стыковки слоев и условие на нижней границе пакета электроупругих слоев в преобразованиях Фурье имеет вид

\Удг(-Л„) = 0.

Учитывая эти условия и соотношение (8), получаем рекуррентные формулы для определения векторов характеризующих взаимодействие между слоями

Т* ¿ТО> * = 1,2,..,ЛГ. (9)

Здесь введены следующие обозначения:

.....А^) = В.С-А*) - .....Ад,), А = 1,2,...,ЛГ-1,

Рдд(АЛГ) = В_(-Адг), (10)

Ск+1

к = \,2,...,Ы,

) = Кд'-уы^ъ^ы>■ •• матрицы-символы Грина пакетов

& электроупругих слоев без включений-электродов, определяемые по формуле

(11)

Из (9), полагая последовательно к = ],2,...,А1, определим усилия Тк через поверхностную нагрузку Т0 и скачки ДТ4

Т*=УиТ0+ХХ,тДТ,й. (12)

т=1

Здесь приняты следующие обозначения

Хьн ~

П(*Г'СЛ т>к,

Ык

I, т < к,

Х-кт -

Ч т>

* = 1.

1 г 1 п

¡=к

Зкт -

¥йХ(*-1)т« * > т>

1, т = к,

О, т Ф к,

I, к = 1, I - единичная матрица.

Для вектора \Ук, описывающего смещения точек в к-м слое и

электрическии потенциал, получены соотношения

wiЫ=-RлMW(л)

N-1

ш=1

(13)

N

кт

-В-(Л) А1т,* = 1,

Формулы (12), (13) являются искомыми матрично-функциональными соотношениями при моделировании электроупругого материала пакетом N слоев с внутренними электродами на их стыках, позволяющими построить СИУ смешанной задачи, связывающих перемещения и электрический потенциал со скачками напряжений и электрической индукции.

Из соотношений (12), (13) несложно получить матрично-функциональные уравнения для различных частных задач. Например, для случая идеального контакта между слоями, для случая, когда поверхность свободна от усилий и является непроводящей или для однородного электроупругого слоя.

Положив в (13) ук=1гк и проведя преобразования, получим систему функционально-матричных соотношений

ки = V, У = и = (Т0,ДТ1,ДТ2,...,ДТж_1). (14)

Элементами блочной матрицы К = (К^т), к,т = \,...,Ы являются матрицы-функции

К1т = В-(МР2»Лт-1>

к

п

5=2

К кт ~

к .

(15)

К-кт - ) п

+ Вкт \,{к>т),

\*=г )

Здесь приняты следующие обозначения:

О

кт

1=*-1

I, к = т,

т-\

Р^Шм^ГХ^),

¡=к

Матрицы ¥к,Ск, задаются формулами (10), (11).

Все элементы матриц В±(/^), имеющих структуру (5), зависят от параметра а преобразования Фурье, частоты колебаний О и физико-механических параметров Рк, С'44, , слоя толщины 2Ик.

Полученные матрично-функциональные соотношения остаются справедливыми и в случае плоской задачи электроупругости, когда ось г симметрии кристалла класса 6тт перпендикулярна поверхности среды (керамика, поляризованная вдоль оси г).

В пункте 2.3 осуществляется переход к смешанной задаче. Предположим, что на поверхности среды и на стыках слоев заданы смешанные граничные условия, записанные в локальных координатах

У\=К- "»V, =луо;(х), хе50,; % = 0, х й Я01,

Ук=-Ък' ^кт{х) = ^(к+1)т{х),хеБкт; Мы = 0, хг^,

№дг=0, -00<Х<00.

На основе матрично-функциональных соотношений (14), (15) получена система N интегральных уравнений динамической смешанной задачи относительно неизвестных векторов, имеющих своими компонентами скачки напряжений, электрической индукции на границах электродов, и контактных напряжений, плотности распределения зарядов на поверхности среды. Введем интегральные матричные операторы

к№=\к(х-£Щ4)е14, к(*) = — |К(а)е"/<" с!а,

М„ //-1 А4

= I 1К}(Ы)(^)А1ь„ 1 -1,2,...,Л/.

/=1 к=1 т=1

Блочная матрица К (а) имеет своими элементами матрицы, описываемые формулами (15).

Выбор контура £ диктуется принципом излучения на бесконечности. В принятых обозначениях система интегральных уравнений (СИУ),

лг-1

имеющая размерность М + М0, где Л/ = £ А/,,. - общее количество электродов

к=1

в среде, а М() - количество электродов на поверхности, запишется в виде Ц^о^ЬиЭ^оД*)' ¡' = 1,2,...,М0;

= « = 1,2,...,Л/р,р = 1,2,...,ЛГ-1. (16)

Здесь ^о,- - области контакта штампов-электродов с поверхностью среды, 5 - области, занимаемые электродами-включениями в плоскостях ^ = -й; w0,, \\ рп - заданные амплитудные векторы, имеющие своими

компонентами сдвиговые перемещения и электрический потенциал.

Из СИУ (16) несложно получить интегральные уравнения (ИУ) для частных случаев. Например, если на границах раздела слоев расположено по одному внутреннему электроду, СИУ (16) примет вид

к=1

Решение системы (16) строится с использованием аналитических или численных методов. В данной работе был выбран метод фиктивного поглощения. В пункте 2.4 приведена его общая схема для одного уравнения. Использование данного метода требует знания нулей и полюсов элементов матриц-функций Ккт (а) системы (14). Также необходимо знать асимптотическое поведение элементов этих матриц на бесконечности.

В третьей главе изучаются сдвиговые колебания биморфного пьезоэлемента, строятся аналитические представления элементов блочной матрицы-символа Грина для электроупругой среды класса бтт гексагональной сингонии в виде отношения целых функций. Построено решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхности.

В пункте 3.1 рассматривается электромеханическая задача о колебаниях пакета двух электроупругих слоев толщиной Я = 2ЪХ + 2к2. На верхнюю грань

пакета действует нагрузка с амплитудой 10 = {?0,с/0}е~"и'. На границе раздела слоев имеется внутренний электрод. Нижняя грань пакета закреплена, электродирована и закорочена.

В этом случае система дифференциальных уравнений размерности 2 х n сводится к системе из четырех уравнений. Решением такой системы является ^ (л) = [В+ (л) - В_ (л ^Г1 (А,, к2 )В+ (-А, )]Т0 -

шу2)=(у2)РГ1№^2)(в+(-л1)т0+В_(-А)ДТ). Система матрично-функциональных уравнений (МФУ), служащая основой для построения СИУ имеет вид

КцТ0 + К12ДТ = \¥, (А,), К21Т0+К22ДТ = \У2(й2), (17)

где

к2, =&К1(А2)ЕГ1В_(А1), К22 =Я,К,(Л2)РГ,В+(/71).

(18)

Здесь матрицы ^(Л,,И2), Щ(к2), ,/г2) определяются формулами

(10), (11).

После перемножения матриц в представлениях (18), исключения общих множителей, элементы блочной матрицы К = (Ку) построены в виде

отношения целых функций в пункте 3.2. Полученные формулы позволяют эффективно проводить исследование свойств решений.

В случае, когда механические и электрические характеристики слоев полностью совпадают, матрица К имеет вид

К =

/КП К,2

К

22

( Я. £ ^ 1 £

-я,

£ £2 £ £ ¿Г £

-ч £ к £

1 £ £ £ -¡л £ 4*.-к £ £ )

а ее элементами являются 5Ь[2о-(/71 + /г2)]

<х(1 + к02)д

sh.i2.ah2) 0-(1 + АГо)Д1

П7 =

вЬ[2а(Л1 + И2)] аА2

вЬ (2 ак2)

аА-,

12=-

гЪ(2ак[)вЪ(2аИ2)

сИ(2(т/?1)5Ь(2сг/г2)

А = 2-!

Д! = сЬ[2ег(Л, +Л2)], Д2 =сЬ[2£!'(А1+А2)],

аА-,

2 & а=1а --

„2

.2 _е _ е15

2 '

Кп =

С44£],

В пункте 3.3 предполагается, что поверхность пакета из двух электроупругих слоев с одинаковыми физико-механическими параметрами и с

внутренним электродом ширины 2а на границе раздела слоев свободна от механических нагрузок (/0 = 0) и неэлектродирована (с10 = 0). Тогда система уравнений (17) упрощается, так как Т0=0, и разбивается на два отдельных МФУ.

Если колебания среды вызваны вибрацией внутреннего электрода, тогда можно выписать матричное ИУ для смешанной задачи

]к(х-£)Д1(£)с^ = уу2(х), |х|<а (19)

-а

относительно неизвестного вектора Д1(х) при заданном значении компонент вектора \\'2 (х) в области электрода.

Ядром полученного матричного ИУ является

k(x) = ^-jK22(a)e-iaxda, К 22(а) =

LK г

к ~к £

е е2 1 —¿j —Ь2

\s eL s .

Решением матричного ИУ (19) с правой частью w2 ={Al,A2}e (Al,A2,7/ = const) является вектор-функция At = {Дг,Дс/| с компонентами

Ad(x) = (eAl-£A2)d0(x), (20)

At (х) = Ах [g0 (х) - к-оЧ (х)] + eA2d0 (х), (21)

где g0(x)> do (-т) - решения одномерных ИУ с правой частью е~'щ и символами ядер Lj(a) и L^(а) соответственно.

Можно считать, что полученные по современной технологии микронной толщины электроды не влияют на механические свойства электроупругой среды. Поэтому механические характеристики: перемещения и напряжения не претерпевают разрывов при переходе через внутренний электрод. Электрический потенциал также будет непрерывной функцией во всем объеме тела. При переходе через электрод только нормальная составляющая вектора электрической индукции терпит разрыв. Это означает, что в СИУ (19) можно

положить Д? = 0. В этом случае имеем только одно интегральное уравнение для смешанной задачи

]кй{х-4)Ы(4)с14 = <Рг{х), а, (22)

—а

ко {х)=~~ ¡Ц)(а)е~'ах <1а, = (23)

2 п 8 Е Е

относительно неизвестной функции Дс1(х) при заданном значении потенциала в области |лс| < а.

Решение ИУ вида (22) строится методом фиктивного поглощения п. 2.4 для правой части <р2 = е-"7* и в трансформантах Фурье имеет структуру

ДО(а,17) Ь2М + /2(-а,-7)- I^/,(«,*,)}.

4а2 + В2 I *=1 ]

Коэффициенты ск определяются из системы линейных алгебраических уравнений, приведенной в главе 2. В этом решении подынтегральная функция ядра К(а) = ¿о(а) представлена аппроксимацией

4а2+В2к=\а -рк 2{\ + щ)

где (¿ = 1,2,...,я) - соответственно вещественные и комплексные нули и

полюса функции Ь0(а), расположенные выше контура 3.

Установлено, что в случае уравнения (22) с ядром (23), функция АЛ(х) зависит от частоты колебаний О и является осциллирующей функцией в отличие от соответствующей характеристики электромеханической задачи (20), (21), когда функция скачка напряжений отлична от нуля ( Дг(^) * 0).

Четвертая глава посвящена исследованию дисперсионных свойств элементов матрицы-символа Грина и численному анализу решения интегрального уравнения динамической задачи о сдвиговых колебаниях пьезоактивной среды с внутренним электродом.

В пункте 4.1 описываются и анализируются содержащиеся в приложении А графики кривых нулей и полюсов элементов матрицы-символа Грина для двухслойной среды, причем слои обладают одинаковыми свойствами, а поверхность среды и граница раздела слоев электродированы. Исследовалось влияние на поведение дисперсионных кривых толщины пакета слоев (Я), глубины расположения внутреннего электрода (2 /г,) и коэффициента

электромеханической связи (аГц), зависящего от пьезоэлектрической постоянной (е) и диэлектрической проницаемости среды (е), взятых в безразмерных величинах. В качестве исследуемого материала рассматривались селенид кадмия (Ойе, » 0.016), титанат бария (ВаТЮъ, к^ « 0.28) и ЦТС-19 (к-о «0.558). Знание нулей, полюсов элементов необходимо для построения решения интегральных уравнений методом фиктивного поглощения. Графики дисперсионных кривых также позволяют определять основные параметры электроупругих волн, распространяющихся в исследуемой среде и диапазон частот, в котором пьезоактивные волны не возникают.

В пункте 4.2 изучалось влияние на поведение амплитуды скачка электрической индукции при переходе через электрод следующих факторов: вида исследуемого материала (значения коэффициента электромеханической связи я'д); приведенной частоты колебаний П; ширины электрода 2а; толщины пьезоэлектрика Я = 2\ + 2/г2; глубины расположения электрода 2^.

В качестве исследуемой среды рассматривалось три материала класса бтт гексагональной сингонии: кристалл 2пО ~ 0.099) и две пьезокерамики ВаТЮ} (кЦ «0.28) и ОШ-19 (к] «0.558).

Рис. 1,2 иллюстрируют поведение действительной составляющей амплитуды скачка электрической индукции 11е Дй?(.т) на электроде, расположенном на стыке слоев в двухслойном пакете. Слои имеют одинаковые физико-механические параметры и одинаковую толщину: 2/г, = 2И2 = 0.5; приведенная частота колебаний: на рис. 1 - 0 = 10, на рис. 3 - □ = 3; полуширина электрода а = 1. На всех рисунках кривые 1 - 3 соответствуют значениям к\ =0.099,0.28,0.558. Очевидно, что увеличение к\ приводит к росту амплитуды колебаний функции, а осцилляция значительно не изменяется (рис.1). С уменьшением приведенной частоты колебаний осцилляция уменьшается, и поведение Кег/(х) стремится к равномерному (рис. 2).

Заключение настоящей диссертационной работы содержит основные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ

1. Проведено математическое моделирование динамических процессов в составных пьезоэлектриках с системами поверхностных и внутренних электродов с учетом связности электрических и механических полей.

2. Предложен эффективный аналитический метод исследования динамических смешанных задач электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями

на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные механические и электрические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих поверхностные и внутренние электроды.

4. Методом фиктивного поглощения построено решение электромеханической задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды в случае непроводящей поверхности и при наличии на стыке слоев внутреннего электрода.

5. Получены аналитические представления элементов матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций, необходимые для эффективного исследования пьезоактивных волновых полей в слоистых пьезоэлектриках.

6. Разработаны программные средства для нахождения нулей и полюсов элементов матриц-символов Грина, для исследования особенностей построенных решений динамической задачи для слоистых электроупругих сред с электродными структурами, для визуального представления результатов вычислений в MS Excel.

7. Исследованы дисперсионные свойства элементов блочной матрицы-символа Грина антиплоской динамической задачи для двухслойной пьезоэлектрической среды класса бтт гексагональной сингонии с внешним электродным покрытием и электродированной плоскостью раздела слоев.

8. На основе построенных решений изучены основные закономерности поведения скачка электрической индукции на внутреннем электроде для различных пьезоматериалов в зависимости от глубины расположения электрода, его размеров, толщины пьезоэлектрика и частоты колебаний.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации,

содержатся в 12 публикациях, в том числе в 3 статьях, которые были

опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК:

1. Березин Н.С., Качко Д.Л., Смирнова A.B., Пряхина О.Д. К исследованию прочностных свойств электроупругих материалов // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы II Международной научной конференции. Воронеж: ВГТА, 2007. С. 36.

2. Березин И.С., Качко Д.Л., Смирнова A.B., Пряхина О.Д. Расчет динамических характеристик слоистых сред, содержащих изолированные дефекты // Механика и процессы управления: Труды XXXVII Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра «КБ им. академика В.П.Макеева». Екатеринбург: УРО РАН, 2007. С. 96 - 101.

3. Борисов Д.В., Качко Д.Л., Пряхина О.Д. Исследование прочностных свойств слоистых материалов, содержащих дефекты - включения // Наука и технологии: Труды XXVI Российской школы. М.: РАН, 2006. Т. 1. С. 68 - 72.

4. Качко Д.Л., Кулькова Ж.Ф. Электромеханическое нагружение пьезокерамического слоя с разрезным электродом // Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар: КубГУ, 2009. С. 58 - 59.

5. Качко Д.Л., Кулькова Ж.Ф., Мазин В.А. Динамическая задача для биморфных пьезоэлементов // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всеросс. научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. С. 223-225.

6. Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию динамических электроупругих слоистых материалов с дефектами // Механика и процессы

управления: Труды XXXVIII Уральского семинара. Екатеринбург: УРО РАН, 2008. Т. 1.С. 46-51.

7. Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию колебаний упругих сред с дефектами // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. Т. 2. С. 117-119.

8. Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Колебания электроупругой среды с внутренним электродом // Современные направления теоретических и прикладных исследований: Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2009. Т. 2. С. 92 -93.

9. Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Математическое моделирование свойств материалов и конструкций // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XII Международной конференции. Ростов н/Д: ЦВВР, 2008. Т. 1.С. 119-122.

10.Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Построение корневых и полярных множеств элементов матрицы Грина для электроупругих сред с включениями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып. З.С. 527-528.

11.Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Пьезоактивные волны сдвига в двухслойных электропроводящих средах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 1. С. 44 -53.

12.Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Березин Н.С. К расчету динамических характеристик гексагональных пьезоэлектриков // Известия вузов. Сев.-Кавказ, регион. Естеств. науки. 2009. № 5. С. 30 - 33.

Качко Дмитрий Львович

ДИНАМИЧЕСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бумага тип. № 2. Печать трафаретная. Тираж 100 экз. Заказ № 700 Кубанский государственный университет.

350040 г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

Введение.

1 Общие положения линейной теории электроупругости.

1.1 Основные соотношения и уравнения.

1.2 Граничные условия.

1.3 Плоская задача для электроупругого слоя.

1.4 Антиплоская задача для электроупругого слоя.

2 Динамические задачи для слоистых пьезоэлектриков с внутренними электродами.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Построение основных матрично-функциональных соотношений.

2.3 Переход к смешанной задаче. Вывод системы интегральных уравнений.

2.4 Метод фиктивного поглощения для одного уравнения.

3 Сдвиговые колебания биморфного пьезоэлемента.

3.1 Колебания двухслойной электроупругой среды при наличии внутреннего электрода.

3.2 Аналитическое представление элементов матриц-символов

Грина.

3.3 Решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхности.

4 Особенности колебаний слоистых сред с внутренними электродами.

4.1 Построение дисперсионных кривых.

4.2 Численный анализ решения интегрального уравнения антиплоской задачи.

В настоящее время интерес к механике связанных полей постоянно возрастает, что обусловлено, прежде всего, расширением сферы применения эффекта взаимодействия между полями самой различной природы. В частности, на протяжении многих лет особое внимание уделяется пьезоэлектрическому эффекту. Это связано с широким применением технических устройств, работа которых основана на взаимодействии механических и электрических полей в пьезоактивных материалах.

Наряду со ставшими уже традиционными областями науки и техники, в которых активно используется пьезоэффект (излучатели и приемники звука в гидроакустике, пьезотрансформаторы, устройства для ультразвуковых томографов, различные измерительные устройства [59, 78]), необходимо отметить относительно новые области. Так, например, в конструкциях микроволновых двигателей в последнее время часто применяются керамические пьезоприводы [61], началось довольно широкое исследование задач по моделированию конструкций с использованием пьезоэлектрических и пьезокерамических устройств с целью погашения нежелательных колебаний [94, 126]. Эти задачи особенно актуальны, например, при проектировании зеркал с управляющими пьезоэлементами [41]. Также задачи об управлении находят свое применение в авиации для подавления колебаний авиационной панели, гашении колебаний конструкций газотурбинных двигателей на критических скоростях [55, 58].

История развития теории и практики пьезоэлектрических устройств тесно связана с именами У. Мэзона [25, 78, 107], У. Кэди [76], JI. Бергмана [120], Г. Тирстена [134], Н.Н. Андреева [3], В.М. Шарапова [112] и многих других [25, 26,47, 56, 57, 75, 93, 123,129, 132].

Большинство современных технических устройств, использующих пьезоэффект, создаются на базе многослойных элементов [28], а в качестве пьезоэлектрического материала все чаще применяется пьезокерамика. Это связано с тем, что такие устройства обладают повышенной чувствительностью и температурной стабильностью, высокой эффективностью преобразования электрической энергии в механическую, низкой себестоимостью и простотой конструкции. Именно поэтому задачам электроупругости посвящены исследования многих ученых [15, 20, 27, 47, 48, 53, 60, 77, 95, 100, 104, 108, 111-115, 120, 122, 126, 127, 133, 135-137]. В частности, в работах В.А. Бабешко, О.А. Ватульяна, И.И. Воровича, А.В. Белоконя, В.В. Калинчука, А.В. Наседкина, О.Д. Пряхиной, А.Н. Соловьева, А.В. Смирновой [11, 12, 35, 36, 44, 46, 62, 79, 91, 92] дана строгая математическая постановка задач, сформулированы вариационные принципы, обоснованы приближенные методы решения. Систематически теория электроупругости изложена в монографиях Э. Дьелесана, Д. Руайе [57], М.К. Балакирева, И.А. Гилинского [16], Д.И. Бардзокаса, А.И. Зобнина, Н.А. Сеника, M.JI. Филыитинского [17-19], В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульги [52], В.З. Партона, В.А. Кудрявцева [80]. Менее подробно изучены задачи о колебаниях электроупругих слоистых сред с дефектами [13, 14, 42-45, 49, 96, 97, 116], немного работ посвящено исследованию термоэлектроупругой среды [22, 31, 32, 37-39, 72, 73, 81, 82, 86, 109, 110, 119, 128, 130-132, 138].

Большую практическую важность имеет развитие прикладных теорий деформирования пьезоэлементов. Особенность таких теорий по сравнению с их аналогами для упругих элементов заключается в том, что гипотезы для механических переменных дополняются адекватными предположениями для электрического поля. Последние формулируются в зависимости от вида поляризации пьезоэлементов и условий подвода к ним электрической энергии (наличие либо отсутствие электродных покрытий) [98]. Чаще других применяются гипотезы, которые лежат в основе кирхгофовской прикладной теории деформирования пьезоэлементов. В результате применения данной теории задачи деформирования пьезоэлементов сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений, аналогичных обычной теории упругости.

Но, к сожалению, простейшие модели, построенные при помощи данной теории, не всегда «улавливают» сложный характер распределения механических и электрических полей вблизи разрыва граничных условий, например, при использовании конструкции с внутренним электродом. Поэтому многие ученые посвятили свои работы построению уточненных теорий деформирования пьезоэлементов. Так, например, в [94] с помощью асимптотического метода, за счет усложнения гипотезы распределения механических смещений и введения дополнительных гипотез о распределении электрического потенциала, дано уточнение данной теории.

Как уже отмечалось выше, задачи теории электроупругости, в том числе динамические контактные задачи со смешанными граничными условиями, являются усложнением задач теории упругости. Благодаря этому здесь в полной мере возможно использование разнообразных методов и приемов исследования распространения упругих волн в сплошных средах. Огромный вклад в развитие таких методов внесли В.М. Александров, Б.А. Абрамян, Ю.А. Амензаде, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, ИМ. Ворович, Е.В. и Н.В. Глушковы, В.В. Калинчук, JI.A. Молотков, Г.И. Петрашень, Г .Я. Попов, В.Б. Поручиков, О.Д. Пряхина, М.Г. Селезнев, А.В. Смирнова, Ю.А. Устинов и целый ряд других исследователей [30, 50, 83]. Этой теме посвящены монографии и публикации [1, 2, 4 - 11, 52, 60 - 62, 90, 91, 99, 106, 125]. Интегральные уравнения и их системы, возникающие в подобных задачах, подробно изучались в [5, 7, 33, 34, 40, 46, 61, 85, 89]. Воздействие трещин и полостей на упругое тело рассматривалось в работах [4, 10, 50, 91, 118], колебания упругих сред с неоднородностями типа жестких включений исследовались в [84, 87, 88]. Ряд ученых проводили изыскания в области задач, где из-за находящегося в теле включения на стыке с ним образуются трещины [121, 124].

В механике деформируемого твердого тела традиционно наиболее интересными и в то же время трудными для моделирования и решения являются задачи со смешанными граничными условиями, которые отражают условия контакта деформируемой, в большинстве случаев слоистой, среды с абсолютно жестким телом (штампом, включением) и условия на математическом разрезе в сплошной среде (моделирование трещин). Постановка такого типа смешанных задач для электроупругих сред базируется на классической формулировке смешанных граничных условий для переменных механического поля, дополненных смешанными граничными условиями для электрических составляющих [34, 40, 46, 105]. Также к задачам со смешенными граничными условиями относятся задачи, предметом которых являются пьезоэлектрические слоистые тела, содержащие внутренние электроды или включения [42, 43, 45, 96, 97]. Тогда на границе электродированной и неэлектродированной частей основные электрические характеристики терпят разрыв.

Трудность в решении такого рода задач теории электроупругости связана с тем, что наличие разрывных граничных условий для связанных систем дифференциальных уравнений движения и электрических уравнений Максвелла, рассматриваемых в квазистатическом приближении, приводит к необходимости исследования систем интегральных уравнений, ядра которых наряду с особенностями обладают сильной осцилляцией [1, 7, 12, 34, 40, 46].

Существует несколько основных методов, которые удобно использовать при решении получаемых систем интегральных уравнений. Например, метод интегральных уравнений второго рода [7], метод ортогональных полиномов [99], метод собственных функций [60], метод граничных элементов [34, 40] и другие.

По способу реализации все методы условно делятся на численные и численно-аналитические. Наиболее эффективными при низких и высоких частотах являются методы факторизации [8 — 10] и фиктивного поглощения, выбранный для решения полученных интегральных уравнений в настоящей диссертации. Основы данного метола были заложены В. А. Бабешко в работе [7], в дальнейшем он был развит в [5, 46, 61].

Метод фиктивного поглощения был выбран для решения полученных в диссертации интегральных уравнений, так как он, в отличие от вышеперечисленных методов, является наиболее эффективным при решении не только плоских и антиплоских, но и пространственных задач для широкого спектра частот. Главная идея метода состоит в выделении осциллирующей составляющей решения с тем, чтобы в качестве неизвестной оставалась только неосциллирующая функция. Такой подход подобен решению задач в средах с сильным затуханием колебаний, например, в вязкоупругих средах с неизменяющимися во времени свойствами, что и обусловило название метода. После этого получается типичное интегральное уравнение для среды с поглощением, решение которого с высокой степенью точности можно относительно легко получить, используя один из известных методов, например факторизации. Далее с помощью обратных формул строится решение исходной задачи.

Одним из основных достоинств метода фиктивного поглощения является возможность использовать при решении задач теории электроупругости полученные ранее решения соответствующих статических задач и динамических задач теории упругости. При этом такое использование в методе оказывается естественным и не возникает необходимости дополнительного решения какой-либо статической задачи. Другим достоинством данного метода является сохранение верного описания поведения решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ, включая угловые точки, которые являются концентраторами напряжений.

Другой трудностью, возникающей при решении задач теории электроупругости, является построение матриц-символов Грина, описывающих ядра систем интегральных уравнений. Этот аспект детально рассматривался, в том числе, в публикациях [11, 12, 46, 84, 88, 89]. В данном случае также можно пользоваться и численными, и аналитическими методами. В последние несколько лет наиболее интенсивно развиваются исследования, в которых применяются прямые численные методы. Наиболее эффективным из них является метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем при численной реализации метод граничных элементов [33, 34, 40]. Но применение данных методов должно контролироваться аналитическими методами, обладающими повышенной точностью. Другой причиной, обуславливающей необходимость применения аналитических методов вместо прямых численных, является то, что в фундаментальных решениях систем дифференциальных уравнений зачастую присутствуют быстрорастущие экспоненциальные составляющие, которые в свою очередь приводят к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений, которые возникают при удовлетворении граничных условий.

В данной диссертационной работе были построены матрично-функциональные соотношения, которые позволяют моделировать различные сочетания электродов, включений в слоистых средах, учитывая связь между механическими и электрическими полями. В работе предложен аналитический метод построения блочных матриц-символов Грина для электроупругих многослойных сред при наличии разрывных механических и электрических граничных условий в плоскостях раздела слоев. Данный метод основан на специальном представлении решения для одного электроупругого слоя и применим для произвольного количества слоев и расположения электродов (поверхностных, внутренних). Главным достоинством предложенного метода является построение простых алгоритмов численного анализа, которые возможно применять для широкого диапазона изменения параметров задачи. Предложенный метод отличается от других подходов тем, что не требует численного решения линейных алгебраических систем большого порядка. При этом решение задачи для однородной среды, которая содержит плоские параллельно-ориентированные внутренние электроды рассматривается как частный случай, если принять равенство физико-механических параметров слоев.

Целью исследования настоящей диссертационной работы является изучение и построение математических моделей колебаний многослойных полуограниченных электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов.

Научная новизна заключается в том, что в работе построены решения электромеханических задач для слоистых электроупругих сред с системами поверхностных и внутренних электродов; получены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики, и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих внутренние электроды. Для задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды при наличии на стыке слоев внутреннего электрода построено решение интегрального уравнения методом фиктивного поглощения; получено аналитическое представление элементов блочных матриц-символов Грина для электроупругих сред в виде отношения целых функций; построено решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхности; исследованы дисперсионные свойства элементов матрицы-символа Грина; проведен численный анализ решения интегрального уравнения динамической задачи о сдвиговых колебаниях пьезоактивной среды, содержащей внутренний электрод.

Актуальность темы диссертационной работы определяется все более широким применением пьезоактивных элементов различных типов, в частности имеющих слоистую структуру, в технических устройствах. В связи с этим, все более актуальными становятся вопросы разработки и совершенствования эффективных моделей и методов определения электрических и механических полей, которые возникают в пьезоактивной среде.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в различных областях современной науки и техники. Например в таких, как авиастроение, медицина, измерительное приборостроение, геофизика, акустоэлектроника и многих других. Разработанные модели и методы исследования могут быть использованы при проектировании различных пьезоэлектрических преобразователей, при создании материалов с заранее заданными свойствами.

Работа выполнялась при поддержке РФФИ (проект № 08-08-00144), РФФИ и Администрации Краснодарского края (проект № 09-01-96501), гранта Президента РФ (НШ-2298.2008.1), что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгостью используемых методов решения, адекватностью построенных математических моделей, сравнением с простыми примерами, >■ допускающими аналитическое представление, сравнением результатов с различными предельными случаями.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 141 страницу, в том числе 14 страниц списка использованной литературы и 41 страницу приложений. Список использованной литературы включает 138 наименований.

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию динамических смешанных задач о колебаниях электроупругих слоистых сред, содержащих поверхностные и внутренние электроды. Полученные в работе результаты заключаются в следующем:

1. Проведено математическое моделирование динамических процессов в составных пьезоэлектриках с системами поверхностных и внутренних электродов с учетом связности электрических и механических полей.

2. Предложен эффективный аналитический метод исследования динамических смешанных задач электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные механические и электрические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих внешние и внутренние электроды.

4. Методом фиктивного поглощения построено решение электромеханической задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды в случае непроводящей поверхности и при наличии на стыке слоев внутреннего электрода.

5. Получены аналитические представления элементов матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций, необходимые для эффективного исследования пьезоактивных волновых полей в слоистых пьезоэлектриках.

6. Разработаны программные средства для нахождения нулей и полюсов элементов матриц-символов Грина, для исследования особенностей построенных решений антиплоской динамической задачи для слоистых электроупругих сред с электродными структурами, для визуального представления результатов вычислений в MS Excel.

7. Исследованы дисперсионные свойства элементов блочной матрицы-символа Грина антиплоской динамической задачи для двухслойной пьезоэлектрической среды класса бтт гексагональной сингонии с внешним электродным покрытием и электродированной плоскостью раздела слоев.

8. На основе построенных решений изучены основные закономерности поведения скачка электрической индукции на внутреннем электроде для различных пьезоматериалов в зависимости от глубины расположения электрода, его размеров, толщины пьезоэлектрика и частоты колебаний.

1. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

2. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М: Высшая школа. 1971, 288 с.

3. Андреев Н.Н. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение // Электричество. 1947. № 2. С. 5 13.

4. Бабешко В. А. Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей / В.А. Бабешко, А.В. Павлова, С.В. Ратнер, Р. Вильяме // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 625 628.

5. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475 478.

6. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 62 65.

7. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука. 1984, 256 с.

8. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 1 4.

9. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях// Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 1 5.

10. Бабешко В. А., Бабешко О. М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова А.В. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // Докл. РАН. 2009. Т. 424. № 1. С. 36 39.

11. Бабешко В. А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

12. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

13. З.Баева А.И., Глущенко Ю.А., Калоеров С. А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 32. С. 64 79.

14. Баева А.И., Калоеров С.А. Электроупругое состояние тела с конечным числом плоских трещин или жестких включений // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 57 72.

15. Баженов В.М., Улитко А.Ф. Исследование динамического поведения пьезокерамического слоя при мгновенном электрическом нагружении // Прикладная механика. 1975. Т. 2. № 1. С. 22 27.

16. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. Новосибирск: Наука. 1982. 240 с.

17. Э.Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник Н.А. Распространение волн в электромагнитных средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

18. Ю.Бежанян В.А., Улитко А. Ф. Контактная задача электроупругости для полуплоскости при наличии сцепления // Докл. АН УССР. Сер. А. 1986. № 6. С. 16-20.

19. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969. 344 с.

20. Берлинкур Д., Керран Д., Яффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях / Физическая акустика. Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966. Т. 1. С. 204 326.

21. Бирюков С.В. Расчет электродных преобразователей поверхностных волн в пьезоэлектриках // Радиоэлектроника. 1980. Т. 50. № 8. С. 1655 1661.

22. Борисов Д.В., Качко Д.Л., Пряхина ОД. Исследование прочностных свойств слоистых материалов, содержащих дефекты — включения // Наука и технологии: Труды XXVI Российской школы. М., 2006. Т. 1 С. 68 72.

23. Бородачев Н.М. Контактные задачи теории упругости при динамическом нагружении // Контактные задачи и их инженерные приложения: Докл. конф. М.: НИИМАШ, 1969. С. 160 168.

24. Ватулъян А. О. О некоторых закономерностях поведения решений в термоэлектроупругости // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. 1999. № 3. С. 28 -31.

25. Ватулъян А. О. Тепловой удар по термоэлектроупругому слою // Вестник Донского государственного технического университета. Ростов н/Д: ДГТУ. 2001. Т. 1. № 1 (7). С. 82 88.

26. Ватулъян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 222 с.

27. ЗА.Ватулъян О. А., Ворович И. И., Соловьев А. Н. Об одном классе граничных задач в динамической теории упругости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 373-380.

28. Ватулъян А.О., Гетман И.П., Лапицкая Н.Б. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27. №10. С. 101-105.

29. Ватулъян А. О., Кубликов В.Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1037 1041.

30. Ватулъян А.О., Лапицкая Н.Б., Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Управление поверхностью секционированной биморфной пластины // ПМТФ. 1995. Т. 36. № 4. С. 131 136.

31. Ватулъян А.О., Рынкова А.А. Изгибные колебания пьезоэлектрического биморфа с внутренним разрезным электродом // ПМТФ. 2001. № 1. С. 184 189.

32. Ватулъян А.О., Рынкова А.А. К вопросу о расчете изгибных колебаний пьезоэлектрической биморфной пластины с разрезным электродом // Дефектоскопия. 1998. № 3. С. 61 66.

33. Ватулъян А. О., Рынкова А.А. Моделирование изгибных колебаний пьезоэлектрического биморфа // Математическое моделирование и компьютерные технологии: IV Всероссийский симпозиум. Сб. научных трудов. Кисловодск, 2000. Т.2. Ч. 1. С. 34 37.

34. Ватулъян А. О., Рынкова А.А. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложениях // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 4. С.114 122.

35. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 231 с.

36. Гилинский И.А., Попов В.В. Возбуждение акустоэлектрических колебаний металлическими электродами // Радиоэлектроника. 1978. Т. 22. № 2. С. 392-402.

37. Глущенко Ю. А., Калоеров С. А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного полупространства // Теоретическая и прикладная механика. 2001. №33. С. 83-90.

38. Глущенко Ю. А., Калоеров С. А. Исследование электроупругого состояния анизотропного полупространства с отверстиями и трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 73 -83.

39. Гринченко В.Т. , Улитко А.Ф., Шулъга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электроупругость. Т. 5. Киев: Наукова думка, 1989. 151 с.

40. Даниленко А. С., Наседкин А.В. Разработка конечных элементов для стержневых и балочных пьезоэлектрических преобразователей // Вюник Донецького ушверситету. Сер .А: Природнич1 науки. 2002. Вип. 1. С. 127130.

41. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. 407 с.

42. ЪЬ.Джагупов Р.Г., Ерофеев А.А. Пьезокерамические элементы в приборостроении и автоматике. М.: Машиностроение, 1986. 282 с.56Домаркас В.И., Кажис Р.И. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс: Минтис, 1975. 255 с.

43. Дъелесан Э., Pyaiie Д. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982. 424 с.5%.Ермолов КН. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля. М.: Машиностроение, 1986. 280 с.

44. Ерофеев А.А. Пьезоэлектронные устройства автоматики. JI.: Машиностроение, 1982. 210 с.

45. Жарий О.Ю., Улитко А. Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Высшая школа, 1989. 184 с.61 .Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел. М.: Физматлит, 2002. 240 с.

46. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. М.: Физматлит, 2006. 272 с.

47. Качко Д.Л., Пряхина ОД., Смирнова А.В. Математическое моделирование свойств материалов и конструкций // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XII Международной конференции. Ростов н/Д, 2008. С. 119-122.

48. Качко Д.Л., Пряхина ОД., Смирнова А.В. Построение корневых и полярных множеств элементов матрицы Грина для электроупругих сред свключениями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып. 3 С. 527 528.

49. Кременчугский Л.С., Ройцина О.В. Пироэлектрические приемные устройства. Киев: Наукова думка, 1982. 363 с.

50. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения. М.: Иностранная литература, 1949. 719 с.

51. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты // ПМТФ. 1976. № 6. С. 138 145.

52. Т&.Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. М.: Иностранная литература, 1952. 447 с.

53. Наседкин А.В. Исследование шаговых по времени схем метода конечных элементов для нестационарных задач электроупругости с классическими граничными условиями // Механика деформируемых тел: Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д: ДГТУ, 1994. С. 78 84.

54. Партон В.З., Кудрявцев В.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

55. ЧЫ.Подилъчук Ю.Я. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных координатах // Прикладная механика. 2003. № 2. С. 14-55.

56. Подилъчук Ю.Н., Коваленко И.Г. Термоэлектроупругое состояние пьезокерамического тела со сфероидальной полостью, находящегося в равномерном тепловом потоке // Прикладная механика. 2005. № 11. С. 57 -66.

57. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 345-351.

58. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. К исследованию волноводных свойств пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Изв. РАН. МТТ. 2009. №3. С. 55-65.

59. ЪЪ.Пряхина О.Д., Смирнова А.В. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Докл. РАН. 2006. Т. 411. № З.С. 330-333.

60. Пряхина ОД, Смирнова А.В. Рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы Грина многослойных сред // Вестник ЮНЦ РАН. Т. 4. № 1.2008. С. 3-7.

61. Пряхина ОД., Смирнова А.В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

62. Пряхина ОД., Смирнова А.В., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости // ПММ. Т. 62. Вып. 5. 1998. С. 834-839.

63. Пугачев С.И. Пьезокерамические преобразователи. JL: Судостроение, 1984. 256 с.

64. СегЪиов В.М. Динамические контактные задачи. Киев.: Наукова думка, 1976. 284 с.

65. Скалиух А. С. Смешанные плоские задачи электроупругости для полуограниченных тел // Дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1986. 227 с.101 .Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Иностранная литература, 1955. 668 с.

66. Соловьев А.Н. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамического тела прямоугольного сечения // Прикладная механика. 1984. Т. 20, № 9. С. 1235 1240.

67. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 736 с.

68. Улитко А. Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наукова думка, 1975. № 15. С. 90-99.

69. Улитко А.Ф. О некоторых особенностях постановки граничных задач электроупругости // Совр. проблемы мех. и авиации. М: 1982. С. 290300.

70. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Физматлит, 2003. 128 с.

71. Физическая акустика / Под. ред. У. Мэзона, Р. Терстона. М.: Мир, 1966. Т. 1.-Т. 7.

72. Хома И.Ю. О представлении решений уравнений равновесия пьезоэлектрического трансверсально-изотропной сферической оболочки // Прикладная механика. Киев. 1999. № 7. С. 59 68.

73. Хуторянский Н.М., Coca Х.А., Зу В. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости // Прикл. проблемы прочности и пластичности. 1997. № 56. С. 183 195.

74. Шарапов В.М., Мусиенко М.П., Шарапова. Е.В. Пьезокерамические преобразователи физических величин / под ред. В.М. Шарапова. Черкассы: ЧГТУ, 2005. 631 с.

75. Шермергор Т.Д., Стрелырва Н.Н. Пленочные пьезоэлектрики. М.: Радио и связь, 1986. 136 с.

76. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 1. С. 73 82.

77. Ъ.Шулъга Н.А., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова думка, 1990. 228 с.

78. Якубова Л.П. Теоретические и экспериментальные исследования пьезочувствительности биморфного элемента при вибрационном нагружении // Техн. диагностика и неразрушающий контроль. 1998. № 3. С. 61-63.

79. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Мир, 1974. 288 с.

80. WS.Antipov Y.A., Avila-Pozos О., Kolaczkowski S.T., Movchan A.B. Mathematical model of delamination cracks on imperfect interfaces // Int. J. Solids Structures. 2001. N 38. P. 6665 6697.

81. Ashida Fumihiro, Tauchert Theodore R. A general plane-stress solution in cylindrical coordinates for a piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 2001. V. 38. N 28 29. P. 496 - 498.

82. Fabien Josse, Donald L. Analysis of the excitation, interaction and detection of bulk and surface acoustic waves on piezoelectric substrates // IEEE Trans, on Sonics and Ultrasonics. 1982, V. 29. N 5. P. 261 273.

83. Ingebrigtsen K.A. Surface waves in piezoelectrics // J. of Applied Physics. 1969. V. 40. N 7. P. 2681 2686.

84. HelsingJ. Stress intensity factors for a crack in front of an inclusion // Engn. Fracture Mech. 1999. V. 64. N 2. P. 245 253.

85. Hetnarski R.B. Coupled thermoelastic problem for the half-space.// Bull. Acad. Polon. Sci. Techn. 1964 V. 12. N 1.

86. Hollkamp Joseph J., Starchville Thomas F. A self-tuning piezoelectric vibration absorber // AIAA/ASME Adapt. Struct: Forum Hilton Head S.C. Washington. 1994. P. 521 529.

87. Majhi M.C. Discontinuities in generalized thermoelastic wave propagation in a semi-infinite piezoelectric rod // J. Techn. Phys. 1995. V. 36. N 3. P. 269278.

88. Paul H. S., Renganathan K. Free vibration of a pyroelectric layer of hexagonal (6mm) class // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78. N 2. P. 395 -397.

89. Oin Q.H., Mai Y.W., Yu S. W. Some problems in plane thermopiezoelectric materials with holes // Int. J. Solids and Stuct. 1999. V. 36. N 3. P. 427 439.

90. Shen S., KuangZ.B. An active control model of laminated piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. N 13. P. 1925 1947.

91. Thibaut IV., Christian L. Asymptotic behavior of piezoelectric plates // ICTAM 2004: 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Warszawa. 2004. P. 336 337.

92. Tiersten H.P. Thickness vibrations of piezoeiectrics plates // J. Acoust. Soc. Amer. 1963. N35. P. 53-58.

93. Tseng C.C., White R.M. Propagation of piezoelectric and elastic surface waves on the basal plane at hexagonal piezoelectric crystals // IEEE J. of Applied Physics. 1967. V. 38. N 11. P. 4274-4230.

94. Wang Q. Wave propagation in a piezoelectric coupled solid medium // ASME. J. Appl. Mech. 2002. V. 69. N 6. P. 819 824.

95. Wang Yun, Xu Rong-qiao, Ding Haojiang Free vibration of piezoelectric annular plate // J. Zhejiang Univ. Sci. 2003. V. 4. N 4. P. 379 387.

96. Yang X.X., Shen S., Kuang Z.B. The degenerate solution for piezothermoelastic materials // Eur. J. Mech. 1997. V. 16. N 5. P. 779 793.