Динамические задачи для слоистых пьезоактивных сред с электродами-включениями

Самойлов, Максим Викторович

Динамические задачи для слоистых пьезоактивных сред с электродами-включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Самойлов, Максим Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамические задачи для слоистых пьезоактивных сред с электродами-включениями»

Автореферат диссертации на тему "Динамические задачи для слоистых пьезоактивных сред с электродами-включениями"

На правах рукописи

Самойлов Максим Викторович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ СРЕД С ЭЛЕКТРОДАМИ-ВКЛЮЧЕНИЯМИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ЛЕН 2012

Краснодар-2012

00505671О

005056710

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Пряхина Ольга Донатовна

Официальные оппоненты: Суворова Татьяна Виссарионовна

доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО РГУПС, профессор Павлова Алла Владимировна доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО КубГУ, профессор

Ведущая организация: Южный научный центр РАН

Защита состоится «21» декабря 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: г. Краснодар, ул. Ставропольская,

(г. Ростов-на-Дону)

149.

Автореферат разослан «/6 » ноября 2012

г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Зарецкая М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Неослабевающий интерес к механике связанных полей различной физической природы продиктован широким спектром практических приложений пьезоэлектрических устройств, работающих на прямом и обратном пиро- и пьезоэффектах. Сложился ряд самостоятельных направлений функциональной электроники, среди которых особое место принадлежит акустоэлектронике. Наиболее распространенные материалы, используемые в акустоэлектронике - пьезоэлектрики. Большинство современных пьезоэлементов, являющихся составной частью различных конструкций, создаются на основе слоистых структур. Разработка и использование слоистых пьезоэлементов позволяет значительно расширить выбор материалов и уменьшить стоимость таких устройств, сохраняя при этом эффективность их технических характеристик. В связи с изложенным выше, исследования колебаний пьезоактивной слоистой среды при различных условиях возбуждения, наличия систем поверхностных и внутренних электродов и учета связанности тепловых, электрических, механических полей, представляются весьма актуальными.

Целью настоящей работы является построение математических моделей, описывающих колебания многослойных полуограниченных

термоэлектроупругих и электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов, с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и разработка методов их исследования.

Методика исследований базируется на классических положениях теории термоэлектроупругости и формулировке краевых задач. В ходе исследования использовались двухмерные и одномерные интегральные преобразования Фурье, общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, методы теории функций комплексного переменного. Предложенный О.Д. Пряхиной и A.B. Смирновой метод построения блочных матриц, являющихся Фурье-образами ядер систем

интегральных уравнений для слоистых упругих сред, и рекуррентная процедура представления их элементов в виде отношения целых функций, развит на случай краевых задач термоэлектроупругости. К решению полученных интегральных уравнений динамических смешанных задач применен метод фиктивного поглощения.

Научная новизна заключается в следующем: предложен эффективный аналитический метод построения блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих сред с поверхностными и внутренними электродными покрытиями; построены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики пьезоактивных материалов с учетом связанности полей при любом сочетании электродов-включений и произвольном количестве слоев; получены рекуррентные формулы вычисления блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений для слоистых пьезоэлектриков класса бтт гексагональной сингонии; разработаны алгоритмы и программные средства, проведен численный анализ построенных решений для конкретных задач.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в медицине, измерительном приборостроении, акустоэлектронике, дефектоскопии, авиастроении и других областях. Полученные в ходе исследования результаты могут быть использованы при конструировании пьезоэлементов различной конфигурации (биморфов, триморфов), при создании материалов с заданными свойствами.

Работа выполнялась в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашение №14.В37.21.0869 по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»); НИР КубГУ по заданию Минобрнауки по теме «Математическое и компьютерное моделирование волновых процессов в приложении к проблемам развития инфокоммуникационных технологий в области создания компонентной базы гигагерцового диапазона и пьезоэлектромеханических систем волнового

мониторинга композитных материалов» (№ 1.2737.2011 от 23.11.2011 г.). На практическую значимость исследований указывает также поддержка грантами РФФИ: «Механика связанных полей для слоистых пьезоэлектриков с многоэлектродными структурами» (№ 11-08-00135); «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники» (№ 09-01-96501_р_юг).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием принципов классической механики и физики, адекватных моделей, строгих математических методов решения и контролем выполнения граничных условий. Также проводилось аналитическое и численное сравнение полученных результатов настоящего исследования с более простыми примерами, которые рассмотрены как в данной диссертационной работе, так и в известных работах других авторов.

На защиту выносятся:

1. Математические модели, описывающие динамические процессы в слоистых термоэлектроупругих и электроупругих средах с внутренними и поверхностными электродами-включениями и с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и методы их исследования.

2. Алгоритм построения матрично-функциональных соотношений и блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред при наличии внутренних электродных покрытий.

3. Рекуррентная процедура построения элементов матриц-символов Грина и их определителей для различных моделей слоистых сред с внутренними и поверхностными электродами.

4. Новые аналитические представления элементов матрицы Грина для биморфного и триморфного пьезоэлектриков в виде отношения целых функций.

5. Реализация метода фиктивного поглощения применительно к задачам электроупругости.

6. Алгоритмы и программы для исследования особенностей колебаний слоистых пьезоэлектрических сред с электродами-включениями.

7. Результаты численного анализа решений динамических задач о сдвиговых колебаниях биморфных и триморфных пьезоэлектриков, содержащих внутренние электроды.

Апробация работы. Основные результаты настоящих исследований обсуждены на следующих конференциях и семинарах: Международной научно-практической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании» (г. Одесса, 2008 г.); V, VI, VIII, IX Всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2008, 2009, 2011, 2012 гг.); IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов ФКТиПМ «Прикладная математика XXI века» (г. Краснодар, 2009 г.); Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (г. Одесса, 2009 г.); XXIX Российской школе, посвященной 85-летию со дня рождения академика В.П. Макеева (г. Миасс, 2009 г.); IV Российской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2009 г.); седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.); VII Международной конференции «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (г.Ереван, 2011 г.); конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2011 г.); Международной научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте» (г. Одесса, 2011 и 2012 гг.). В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре кафедры интеллектуальных информационных систем Кубанского государственного университета.

Публикации. Результаты выполненных по теме диссертации исследований содержатся в 19 публикациях, в том числе в 2 статьях, которые

были опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В представленных в журналах и сборниках работах О.Д. Пряхиной и A.B. Смирновой принадлежит постановка и выбор метода исследования. В совместной работе с Масловым Р.Г. ему принадлежит построение решения задачи для слоистой среды с трещиной. Автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред с электродными структурами, разработка рекуррентных процедур, позволяющих строить элементы блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, разработка алгоритмов численной реализации построенных решений конкретных задач, проведение вычислений и анализ полученных результатов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 170 страниц, в том числе 13 страниц списка использованной литературы и 37 страниц приложений. Список использованной литературы включает 122 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается тематика проведенных в диссертации исследований. Дается краткий обзор важнейших работ по теме диссертации, формулируются цель и научная новизна работы, обосновывается ее актуальность, практическая значимость и достоверность. Кроме того, перечисляются работы, выполненные по результатам исследований, и проводится разделение принадлежности последних диссертанту и другим соавторам указанных работ. Также описываются структура и содержание диссертации. Отмечается, что значительный вклад в рассматриваемую тематику внесли ведущие российские и зарубежные исследователи -

В.А. Бабешко, М.А. Балакирев, Д.И. Бардзокас, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. и Н.В. Глушковы, В.Т. Гринченко, Э. Дьелесан, А.И. Зобнин, В.В. Калинчук, В.А. Кудрявцев, A.B. Наседкин, В.З. Партон, О.Д. Пряхина, Д. Руайе, H.A. Сеник, А.Н. Соловьев, A.B. Смирнова, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, M.JI. Фильштинский, H.A. Шульга, F. Ashida, L. Bergman, J. Heising, R.B. Hetnarski, Q.H. Qin, R.D. Mindlin, W. Nowacki, S. Shen и другие ученые.

В первой главе дается постановка начально-краевых задач термоэлектроупругости в линейном приближении.

В пункте 1.1 приводятся основные уравнения и соотношения связанных задач. В пункте 1.2 рассматриваются начальные условия и тепловые, электрические, механические граничные условия. В пункте 1.3 для электроупрутих тел приводится система дифференциальных уравнений, которая является частным случаем общей задачи.

Во второй главе строится решение задачи для пакета термоэлектроупругих слоев при наличии внутренних и поверхностных электродов, дается общая схема построения матрично-функциональных соотношений (МФС) и блочной матрицы-символа Грина. На основе полученных представлений строятся многомерные системы интегральных уравнений (СИУ).

В пункте 2.1 рассматривается задача о гармонических колебаниях термоэлектроупругого слоя, занимающего область |х3| <h, -оо < х1гх2 < °о. К верхней и нижней электродированным границам слоя приложена механическая нагрузка tke~'0)l и гкё~ш (к = 1,2,3). На границах слоя известна плотность распределения электрических зарядов dxe~10*, d2e~,cyt и распределение теплового потока g^e"', Sie '"" (- частота колебаний, t - время). Необходимо определить горизонтальные и вертикальные w1e~'a'!, w2e~'ta w3e'"0< перемещения, электрический потенциал (рё~1°* и температуру Ое ,й",

как на поверхности слоя, так и внутри него. Далее в работе общий для всех характеристик множитель е~"°' опущен.

В связи с тем, что физико-механические параметры исследуемых материалов имеют большой числовой диапазон, в работе произведено их обезразмеривание. С учетом этого для кристаллов класса бтт гексагональной сингонии или пьезокерамики, поляризованной вдоль оси хъ (перпендикулярной к поверхности среды), решение системы дифференциальных уравнений, записанной в безразмерном виде, строилось методом интегральных преобразований с использованием разбиения исходной задачи на две -симметричную и кососимметричную. Не останавливаясь на деталях, общее решение для термоэлектроупругого слоя получено в матричном виде

W(a,Дд:з,Q) = B+(a,Д^,n)T(a,^)+B_(a,Дд:з,Q)R(«,/?), (1) где ХУ = (ТГ1гТГ2,1Г3, Ф,0), Т = (7], Т2, Тъ, Д, и Ы = Ц, Д2, Д3, И2, С2) -трансформанты Фурье безразмерных расширенных векторов \* = {™1,™2,-н>3,<р, в), и г = (г1,г2,г3,с?2,^2).

Матрицы В± в общем случае имеет структуру

Га2т[ + рггт ар{гп^ - п1) ±гат2 ±гат3 гат\

В+

-¡акг

чагг

-;ог5Г

-ФЧ

-¡Рч

±к2 +Г-Г

±к!

±Г*

(2)

Здесь функции тщ, кк ,

)

{к—1,...,4) и п+ зависят от

безразмерной частоты колебаний О и физико-механических параметров среды, а а и Р являются параметрами интегрального преобразования Фурье по переменным х1 и х2.

В пункте 2.2 приводится процедура построения МФС и блочной матрицы-символа Грина для многослойной термоэлектроупругой среды в случае разрывных граничных условий.

Рассматривается задача о гармонических колебаниях пакета N термоэлектроупругих слоев. Электродированая поверхность среды подвергается механическому, тепловому и электрическому воздействию. На границах смены физико-механических свойств имеются электродные покрытия, которые занимают всю область раздела. Нижняя грань пакета жестко сцеплена с недеформируемым основанием, теплоизолирована, металлизирована и закорочена.

Для построения решения данной задачи предварительно рассматриваются две вспомогательные краевые задачи.

Задача 1. Колебания пакета термоэлектроупругих слоев под действием заданных на его электродированной поверхности векторе механической нагрузки и известных нормальных составляющих векторов электрической индукции и теплового потока. Предполагается, что слои жестко сцеплены между собой и их границы неэлектродированы.

Чтобы воспользоваться специальным решением (1), производится формальное разъединение слоев и вводится следующая локальная система координат:

1=1

Тогда решение задачи 1 для ¿-го слоя (в трансформантах Фурье) будет определяться формулой

Расширенные векторы ХУд., Т<:_1 и Тд. введены аналогично векторам \У, Т и I*, рассмотренным в п. 2.1. Векторы Тк характеризуют взаимодействие между слоями, Т0 - вектор, заданный на поверхности среды. Матрицы

Далее производится сшивка решений с помощью удовлетворения условиям стыковки

В± (х^ ) имеют структуру (2).

В результате получаем решение задачи 1 в следующем виде:

щ(4*)) = [в+ (*«)-В {К)в+ {-ик)

к(*-1)ото •

Здесь приняты обозначения

(Ау-к) = В_ {-Им_к) - К, (И„_к+1), к = 1,2,...,М-1,

К! (V ) = в+ (V) - В_ (А^ )БГ1 (АЛг)В+

Кт (Ллг+1-т) =в+ (АЛг+1_т)-В_ (Ь^+1_т)¥т1В+ (-/гу+1_,„), т = 2,3,.. , К00=1, Ки=(-1)*П^ы(/%)В+Н), к = 1,2,

I=к

Как частный случай получаем МФС, определяющее связь между расширенными векторами перемещений и напряжений на поверхности среды

(3)

Задача 2. Колебания пакета термоэлектроупругих слоев при условии, что поверхность среды является свободной от механических усилий, непроводящей и поддерживается при постоянной температуре. Плоскости раздела слоев электродированы и при переходе через границу расширенный вектор напряжений терпит разрыв. На нижней грани пакета слоев по-прежнему выполняются условия жесткой заделки, металлизации и теплоизоляции.

Для построения решения задачи 2 предварительно рассмотрен случай, когда колебания среды обусловлены вибрацией границ только одного

электрода, расположенного в плоскости л^ = -1гр. Тогда на границах раздела

слоев ' = —Ик, кфр имеют место непрерывные условия для расширенных векторов перемещений и напряжений. В плоскости расположения электрода расширенные векторы перемещения непрерывны, а напряжения - терпят разрыв. Скачок расширенного вектора напряжений Д^ задается в виде

Здесь знак «± » соответствует верхней и нижней границам электрода, а сами векторы ^ введены аналогично вектору 1, рассмотренному в п. 2.1.

Взяв суперпозицию решений задач для одного электрода для всех р = \,2,...,Ы — получаем МФС, связывающие расширенные векторы напряжений и перемещений с вектором скачков на всех границах раздела

Т = ЬАТ, и = УДТ, (4)

где Т = {Т1,Т2,...,Т^_1}, и = {^(й2),^(/ь),...^ЛГ(йЛГ)}

АТ = {АТ1,АТ2,...,АТЛг_1} - многомерные векторы, Ь = ||Ь, | 1 , У = ||У;/||Л' -

II ^ II/,7=1 II 1

блочные матрицы, элементы-матрицы которых вычисляются по формулам

Ь,=

^М^ЛГ-1'

^=J,

4 =

-К, Я^К^., г < у, -К^К^^-КJ, г > ].

г >7,

Здесь матрицы Сд^, , даются формулами

^Лр =К~(А1,А2,...,АР)-КЛГ_Р(АР+1,АР+2,...,АЛГ),

I, к = т,

1-1

К*7П -

п ФГ!(АкЛ.-Л)В_(/%), И», /=*+1

I, к = т,

/, \ т+1 1=к

а Кт, Фт — определяются из рекуррентных соотношений

Ф1=0, Фт=К-т_1{Ъ1,}12,...,кт_1)-Ъ+(Нт), т=2,Ъ,...,М.

Матрицы Рт и Кт приведены ранее.

Учитывая построенные решения (3) и (4) на поверхности среды и в плоскостях расположения электродов имеем МФС общей задачи с блочной матрицей-символом Грина

\¥=кд, (5)

0 = {1Ь,АТ1,ДТ2,...,АТ^1}, W = {Wi(/l),W2(Aг)>...,WДг(Ay)}.

Элементами блочной матрицы-символа К = Цк^Ц^ являются матрицы-функции размерности 5x5

кн = (Ък )К(Мо, к = 1,2,.. „Ы,

КЬг,=У(к-1)(т-1)> к,т = 2,3,..„И.

Полученные представления позволяют исследовать динамику различных моделей термоэлектроупругих сред и их частных случаев. Для однородной среды, содержащей системы поверхностных и внутренних электродов, следует принять физико-механические параметры всех слоев равными.

В пункте 2.3 строятся многомерные СИУ смешанной задачи о колебаниях пакета термоэлектроупругих слоев, вызванных совместным действием поверхностного электрода и системой внутренних электродов.

Вводится в рассмотрение матричный интегральный оператор

с ядром

к(х1,х2) = -1т { |К{а,р)е-^+рх^аа(1р.

Тогда СИУ на основе МФС (5) можно представить в виде

j=l т=1

N-1 Р

«(,+1)1 (По )'+ И И К('+1)(7+1) ) = (*1 >*2 ) > (*1>*2 ) е >

7=1 т=1

и = 1,2,...,/>, /,7=1,2,...

Здесь ~~ области, занимаемые поверхностным и внутренними

электродами; Р) — количество электродов в г-ой плоскости; контуры интегрирования , <52, выбираются в соответствии с принципом излучения на

бесконечности; векторы \у0 и задаются аналогично вектору

рассмотренному в п. 2.1, и считаются известными на поверхности и в /-ой плоскости раздела слоев соответственно; - скачок расширенного вектора напряжений.

Матрицей-символом ядра СИУ является блочная матрица

к(^Н!кС=1

с элементами

кп =КЛ,(/г1), К1(у+1) =

к( 1+1)1 = клг-/ (^+1) К,о, К(<+1)(У+1) = •

Матрицы, участвующие в представлениях К^ приведены в п. 2.2.

В третьей главе рассматриваются задачи электроупругости о сдвиговых колебаниях многослойных пакетов, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов. Строятся аналитические представления элементов матриц-символов Грина и их определителей в виде отношения целых функций. Получены рекуррентные формулы для вычисления элементов матрицы Грина для многослойного пакета электроупругих слоев без нарушения сплошности.

В пункте 3.1 рассмотрена вспомогательная задача о колебаниях одного слоя толщиной 2/г. На лицевых электродированных границах слоя заданы

сдвиговые напряжения т(х1,±1г) = т1 и нормальные составляющие векторов электрической индукции (х15±/г) = £/, (/ = 0,1). Необходимо определить функции амплитуд сдвиговых смещений и> и электрического потенциала <р . В качестве электроупругого материала рассмотрена пьезокерамика, поляризованная вдоль оси дг3, параллельной поверхности среды (класс 6/йот гексагональной сингонии).

По аналогии с термоэлектроупругой задачей, рассмотренной в 2.1, вводятся безразмерные амплитудные параметры. Решение построено в матричном виде

™(а,х2,П) = В+ (а,х2,П)()0 (а) + В_ (а^П)«^ (а), (6)

\У = (^,Ф), сМад).

Вектора № и Qj - трансформанты Фурье векторов ■м(х1,х2) = {и',^} и Я, ={Г(,г/, }. Элементы матриц В± получены в виде отношения двух функций

В±(А)=

щ (А) ее п* (А)

(7)

ее пх (А) е е (А)-£ п2(1г) п\ {Щ = "Го (А)/Аю , "2 (А) = 4) (А)/А2о (А),

и&(й) = сЬ(2«гй), яй»(Л)=-1, Л10(А)=о-(1 + *^)8Ь(2о-А), «2о(й) = сЬ(2аА), %,(А) = -1, Д20(А) = а8Ь(2аА).

Здесь сг = \1а2 - к2 , = С12Д1 + к"о к-ц =е2/г - коэффициент

электромеханической связи; а - параметр интегрального преобразования Фурье по переменной л^; П, е и £• - безразмерные частота колебаний, пьезоэлектрический коэффициент и диэлектрическая проницаемость.

Если граничные условия на поверхности сохраняются, а нижняя грань слоя жестко сцеплена с недеформируемым основанием, металлизирована и заземлена, то на поверхности среды (х2 = А) имеем

\У(А) = К1 (А)О0, ^ (А) = В+ (А) + В_ (А^"1 (Л)В_(Л).

Элементами матрицы Грина являются

(А) = пп (А), 1® (А) = 4} (А) = (А),

(*) = * 2^2«п (А) - ^Ац (А) «2! (А)/Д21 (А).

Здесь

Ип(А) = 8Ь(2стА)ДСГ(1+Л-о | , «21 (Ь)=&Ъ(2аЬ)/а,

Дп(А) = сЬ(2сгА), Д21(А)=сЬ(2аА).

В пункте 3.2 рассматривается задача о колебаниях пакета N

плоскопараллельных электроупругих слоев толщины Н = 2^ кк , занимающего

к=1

объем -со-сд^Лз <+°°» -Н<х:2<0 (Аа - полутолщина А:-го слоя). На верхнюю электродированную грань пакета х2 = 0 действуют механическая и электрическая нагрузки . Нижняя грань пакета х2 = —Н металлизирована, жестко сцеплена с недеформируемым основанием и закорочена = 0.

На границах смены физико-механических свойств слоев находятся электродные покрытия, которые предполагаются бесконечно тонкими, плоскими и невесомыми. В областях расположения электродов векторы с\к = {тк,с1к}, характеризующие взаимодействие между слоями, претерпевают разрыв, который определяется вектором А({к = {Дг^Дг/^} • Кроме того, при переходе через электрод-включение должны выполняться условия непрерывности для перемещений и электрического потенциала. Компонентами скачка расширенного вектора напряжений Ад^. являются

Д гк (*!) = 4 (*! )-тк(х1), Мк ) = (х1) - с/к (Х1), где знак «±» соответствует верхней и нижней границам электрода.

Для построения решения задачи вводилась локальная система координат и использовалось решение (6) для каждого слоя отдельно. Затем производилась

(8)

сшивка решений с помощью удовлетворения условиям стыковки. В результате для определения расширенного вектора перемещений имеем

N-1

ск Здесь

=®^(Алг) = В_(-Л№) = -В+(Ааг), 8к=ск/ск+1, к = 12,...,N-1,

(К) = {ьк,ък+х,...,нм ) = в+(л*) +в_ ,

С,=В_(\), к = \,2,...,Ы.

Матрицы КЛг_Л+1(/гА) есть не что иное, как матрицы-символы Грина пакетов И-к +1 слоев без включений (А = 1,2,...,ЛГ), а В± имеют вид (7). Матрицы , ГЧ^, для краткости здесь не приводятся (У01=1 -

единичная матрица).

Соотношения (8) являются искомыми МФС, связывающие перемещения и электрический потенциал с напряжениями, электрической индукцией и их скачками.

<]Л

Полагая в (8) х\-Ьк и проведя несложные преобразования, построена

система МФС, служащая в дальнейшем основой для построения СИУ динамической смешанной задачи

У = ки, V = (\\'1,\У2,...,\УЛГ), и = (О0,Дд1,ДО2,...,ДОлг_1). (9) Элементами блочной матрицы К = |КЬи|| к,т = \,...,Ы являются матрицы-функции

Ки = IК1т = ВДЙОР^Ь^, ки = к^адои, г к

К*7Я

(К )П 1>*А» +В_(ЙА )Р(М)т ) Ьт_!, (к <т),

\ 5=2

+ > (к>т). В последних матричных выражениях приняты следующие обозначения:

т-1

П Г^ 'С,, к>т, РЬ, = П

Ъкт

1=к I, к = т,

Если на поверхности среды и на границах раздела слоев имеются системы электродов, занимающие соответственно области (/=1,2,...,М0), (& = 1,2,...,N — 1, т = 1,2,...,Мк), то с помощью интегральных операторов

К(5)я = Щ*! - , ) = ГК(а)е"*"' йа,

МЧо/>АЧьи) = Ек./1(5о/)Чо/+ X ЕКл^^^Чь- (./' = 1,2,.

/=1 к=1 т=1

получим многомерную СИУ смешанной задачи

МЧо/>АЧь,) = ,иго,•(*[)> / = 1,2,...,М0, (10)

Ч+1(<1о/>АЧ*т) = 'и>,(л:1), и =1,2,-,Мр, р = 1,2.....ЛГ-1.

Здесь 50, - области контакта электродов с поверхностью среды, -

области, занимаемые электродами-включениями в плоскостях х^ = -Ър;

N-1

М= X Мк - общее количество электродов в среде, а М0 - количество ¿=1

электродов на поверхности; рп — заданные амплитудные векторы,

имеющие своими компонентами сдвиговые перемещения и электрический потенциал. Выбор контура 3 диктуется принципом излучения на бесконечности. В принятых обозначениях СИУ (10), имеет размерность М+М0.

Уравнения (10) позволяют исследовать различные аспекты динамических процессов, протекающих в слоистых пьезоэлектрических материалах с учетом связанности механических и электрических полей при любом сочетании и

расположении систем поверхностных и внутренних электродов. Решение этих уравнений строится с использованием аналитических и численных методов.

В пункте 3.3 исследуется задача о сдвиговых колебаниях /У-слойпой электроупругой среды, когда слои жестко сцеплены между собой и неэлектродированы. Рассматриваются частные случаи двух- и трехслойной среды без внутренних электродных покрытий.

Для многослойного пакета электроупругих слоев предложена рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы Грина

= *+,уЛ|(^+1)|| в виде отношения целых функций, удобном для численного анализа. Приведем рекуррентную формулу для вычисления элемента :

+8к"п (Ч) 4^к2^п~к) —V) -

-2екгк1^(Ик+1,...,ИМ) + ) -

-1

+к

г22~к) ,...,Ъя)уекхг% (//¿)["Го ф-к) (А*+1»-, йу) + Определитель матрицы КЛимеет вид

1 ) = (А* (^+1,...,Ад,)Ап ) +

-*1

+ЕкЩ\{К) екЧ2Кп~к)

"и )А1(^) )+ ~к) (Л*+1.....Адг )АП (Ьк)]}.

Здесь функции Ап, А10, пп, п2, и,+0 приведены в п. 3.1; %к - в п. 3.2; ек и ек - безразмерные пьезоэлектрический коэффициент и диэлектрическая проницаемость А:-го слоя.

Решение задачи для пьезоэлектрической двух- и трехслойной среды с внутренним электродным покрытием приводится в пункте 3.4.

Исследование динамических характеристик проводится согласно алгоритму, описанному в п. 3.2. МФС (9) для биморфа в этом случае упрощается

Кц<?0 + К^АСЬ = ^ ), К21О0 + К^ДС^ = \У2 (/22 ),

К„ =В.2(Ь1,Ь2)> К12

К21=Я1К1(Л2)ГГ1(/г[Л)В-(Л1), К22=аК1(А2)Р1-1(/г,Л)В+(Л1)-

Для пакета двух пьезоэлектрических слоев, в котором верхняя граница является непроводящей, а внутренний электрод занимает область -а<х1 <а, получена следующая система интегральных уравнений

-а -а

] кп (Х1 - ^Г, + ) к22 (х, - ^ = <р1{х1).

-а -а

Здесь ядрами интегральных уравнений являются

к,(Х) = ^г\1и(а)е-'а*с1а, К22 = |Ы.

2Ж д II И

Если считать, что микронной толщины электроды не влияют на механические свойства электроупругой среды А Г[ = 0, то имеем одно интегральное уравнение

I *22 (*1 - = <Р\ (л-1),

\хЛ<а.

(П)

Для пьезоэлектрического трехслойного пакета с системой поверхностных и внутренних электродов имеем МФС вида

у = ки, у = и = (д0,АО!,дд2).

Элементами блочной матрицы К являются матрицы-функции

К„ =К3(/г1Л,йз), К22 =-я1К2(й2,А3)Р1-1В_(-А1),

К33 = {Ь )г2-1с2г1-1г2с21в_ {-Ь2 ),

К12 = -^С^Г1^ (А2,/73), К13 = -^С^С^Щ (к3),

К23 = -^2в_(-л,)гг1с2г2-1к1(й3), ку. = к], о*/).

Здесь В^1 =¥{Х{Ь,Л,ЬЪ), Щ1 = Щ1(к2.къ).

Для трехслойной среды СИУ строится аналогично предыдущему.

Элементы матриц К,-, для биморфа (г,у'= 1,2) и триморфа (г,] = 1,2,3) построены в виде отношения целых функций. В качестве примера приведем элементы матрицы К22(й1,/г2,...,АЛГ) =||1уУАш| для двухслойного (N = 2) и трехслойного (Лг = 3) пакета

. Алг) + й^т (^1) Длг-1 (Аг,Ллг) |

¿11 =-81 кг = ¿22 = -&

+Я1 (^¿•Г2»1о (М- ¿'ГЧ (Л,) Аю )) 4-1 (Л2V)

Здесь Л+(й1) = -£-11и1+0(й1)и2 (/?[); функции щ, Д10 и Дш

приведены в п. 3.1, а (/,7 =1,2), - в п. 3.3.

Для построения решения СИУ методом фиктивного поглощения необходимо знать не только особенности элементов матриц-символов, но и их определителей. Кроме того, знание нулей определителя блочной матрицы-символа позволяет исследовать условия локализации волновых процессов в электроупругих средах. В пункте 3.5 для вычисления определителей блочных матриц Грина для различных моделей сред предварительно построены формулы в виде произведения некоторых матриц, что позволило уже на стадии аналитических преобразований исключить общие сомножители, используя свойства матриц-функций, входящих в (9). Установлено, что в случае расположения электродов на всех границах раздела слоев с1е1К представим в виде отношения целых функций

П(-^)«2+ иММ <?о*о,

с!е1К = —---- *=1

АиИПМЫ Оо=0-

к=2

В этой формуле в числителе каждый из сомножителей зависит от геометрических и физико-механических параметров только одного слоя, поскольку Дп - знаменатель элементов матриц-символов Грина для

однослойной среды, а (Ик) - числитель определителя и знаменатель элементов обратной матрицы Грина. Функция Д1Л, - знаменатель элементов матрицы Грина ТУ-слойной среды без внутренних электродов.

Отметим, что в случае (20 = 0, нулями с1е! К являются совокупностью нулей определителей матриц-символов однослойных сред толщиной 2Ък (к = 2,...,Ы) и полюсов определителя матрицы-символа для одного слоя толщины 21\, являющихся корнями трансцендентных уравнений Дп(/^) = 0,

7?! (Ик) = 0. В случае среды без внутренних электродов или, когда электроды расположены не на всех стыках слоев, формулы имеют другую структуру.

В четвертой главе метод фиктивного поглощения применяется к решению некоторых типов интегральных уравнений и их систем, ядра которых описываются функциями Грина, построенными в главе 3. Его суть состоит в таком преобразовании интегральные уравнения, после которого оно оказывается по своим свойствам сходной с СИУ статической задачи или задачи для среды с сильным поглощением. Такие интегральные уравнения хорошо решаются приближенно. Для получения решения исходного уравнения динамической задачи решение уравнения для среды с поглощением служит базовым. По сравнению с другими подходами метод позволяет строить решения с высокой точностью одновременно во всех точках области задания интегральных уравнений, включая границу, и применим для любых частот.

В пункте 4.1 дается общая схема метода фиктивного поглощения, основы которого заложены в работах В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной, строятся функциональные представления решения СИУ.

В соответствии с методом фиктивного поглощения СИУ = Г с помощью новой неизвестной вектор-функции , которая вводится соотношением <1 = Чо + Фо^ преобразуется к виду Кц0=Г-К<р0, где К -интегральный оператор с сильно осциллирующим и медленно убывающим ядром. Вектор-функция q0 строится таким образом, что допускается представление q0=Lt (Ь - некоторый линейный оператор). В результате приходим к системе

81 = Г-Кф0, 8 =КЬ (12)

с экспоненциально убывающим с ростом аргумента матричным ядром.

Свойства этого ядра, обладающего сильным затуханием, таковы, что обратный оператор в_1 сравнительно легко строится приближенными методами решения задач статики или для сред с поглощением. Поэтому описываемый метод назван В.А. Бабешко методом фиктивного поглощения.

Решение уравнения (12) ( = Б 1(Г-Кф0) содержит произвол, вносимый вектор-функцией ф0, который устраняется из дополнительной системы уравнений

УБ -1(Г-К<ро) = 0.

Здесь V - оператор преобразования Фурье. Из этой системы отыскиваются неизвестные составляющие вектора ф0, которые вносятся в представление для вектора 1, а затем в д0=Ы. После этого я = Яо+Фо Дает решение всей задачи.

В качестве ф0 используются системы дельта-функций, что облегчает вычисление ряда интегралов при построении решений указанных задач.

В пункте 4.2 строятся решения интегрального уравнения (11) и системы интегральных уравнений типа свертки с разностным ядром, обладающим весьма общими свойствами (пункт 4.3).

Решение уравнения (11) для правой части /(л^)^ имеет следующую структуру:

д{х,) = К-\0)20(х1) + еВ(-а~* ]Цх{а~хх)4в + (13)

+е-*(««,)Д1ф + х1)^В + ±г1(=рх1)+±ск±г2(р^х1к).

7-1 к=1 7=1

Неизвестные коэффициенты ск определяются из линейной алгебраической системы уравнений

^ск/1(а,х1к)=/2(а) + /2(-а), а = =,, 1 = 1,2,..., п.

к=1

Здесь г0(х1), г^а^), г2(а,х1), /1(а,х1к), /2(а) - некоторые функции; а - параметр преобразования Фурье по переменной х1; ххк - точки, делящие интервал (0, а) на равные части; :к, рк (к = 1,2,..., п) -соответственно вещественные и комплексные нули и полюса подынтегральной функции ядра К [а), расположенные выше контура 8 .

В этом решении функция Л"(а) = Х22 (а)Д121 (а) представлена аппроксимацией

Ча2+В2к=\а - рк

где с - коэффициент, характеризующий поведение К[а) на бесконечности, В - параметр аппроксимации.

В пятой главе исследуются дисперсионные свойства элементов матриц-символов Грина разномодульных двухслойных и трехслойных пакетов слоев. Проводится численный анализ поведения скачка электрической индукции при переходе через внутренний электрод в биморфном пьезоэлементе.

В пункте 5.1 представлены результаты численного анализа построенных графиков нулей и полюсов элементов матриц-символов исследуемых задач при различных сочетаниях параметров слоев. Исследуется влияние глубины расположения электрода 21\, общей толщины пакета Н , безразмерной частоты

П и коэффициента на поведение дисперсионных кривых. Построенные кривые нулей и полюсов позволяют правильно выбирать положение контура интегрирования при построении решения интегральных уравнений методом фиктивного поглощения. Также для заданной частоты колебаний количество полюсов определяет количество волн, распространяющихся в среде от источника возмущений. В качестве исследуемых материалов рассматривались различные сочетания следующих пьезоэлектриков: 2пО, СйБе, Сс1Б, ВаТЮъ, РХЕ-5, Р2Т-5, ЦГС-19.

В пункте 5.2 проводится численный анализ решения интегрального уравнения (11), построенного в главе 3 методом фиктивного поглощения. Решение строилось с использованием асимптотических и дисперсионных свойств символа ядра интегрального уравнения. Изучалось влияние на поведение амплитуды скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции при переходе через электрод следующих факторов: вида материала

(однородный или составной пакет), ширины электрода 2а, значений О, Н , 2А,. К рассмотренным в п. 5.1 материалам были добавлены монокристалл 2пБ и пьезокерамика Р2Т - 4.

Рис. 1 Рис. 2

На рис. 1 представлены графики дисперсионных кривых действительной составляющей амплитуды скачка электрической индукции Дпри изменении частоты колебаний. На рис. 2 аналогичная зависимость, но для мнимой составляющей Дг/1. Частота колебаний, полутолщины слоев и ширина электрода приведены на рисунках в безразмерном виде. Исследования показали, что при уменьшении частоты колебаний уменьшается осцилляция и поведение функций ЫеД^ и 1т Дс^ стремится к равномерному. Функция скачка резко возрастает при приближении к краям электрода. Это объясняется тем, что решение (13) обладает корневой особенностью в окрестности краев электрода. Заключение содержит основные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ 1. Построена математическая модель динамических процессов в термоэлектроупругом пакете слоев с системой поверхностных и внутренних электродов с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей.

2. Предложен эффективный метод исследования динамических задач термоэлектроупругости и электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Разработана рекуррентная процедура построения матрично-функциональных соотношений и вычисления элементов блочной матрицы Грина для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред с внутренними и поверхностными электродами.

4. Для конкретных задач получены новые аналитические представления элементов блочной матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций.

5. Построен и программно реализован математический алгоритм исследования дисперсионных свойств элементов матрицы Грина, знание которых необходимо для решения интегральных уравнений методом фиктивного поглощения. Изучено поведение дисперсионных кривых в задачах о колебаниях двухслойной и трехслойной пьезоэлектрической среды с внутренними электродными покрытиями.

6. Разработан и реализован в виде пакета компьютерных программ алгоритм расчета амплитуды скачка электрической индукции, позволяющий проводить быстрый параметрический анализ. Изучено влияние различных параметров пьезоактивных материалов на поведение амплитуды скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции на внутреннем электроде.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Самойлов М.В. О взаимодействии механических, электрических и температурных полей в пьезоактивных материалах // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании: Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2008. Т. 21. С. 41 - 42.

2. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Исследование напряженно - деформированного состояния материалов акустоэлектроники // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. Т. 2. С. 134 - 136.

3. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Колебания пьезоактивных материалов с учетом сопряжения механических, электрических и температурных полей // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2009. С. 256-258.

4. Самойлов М.В. К моделированию прочностных свойств термоэлектроупругих материалов // Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар: Кубанский государственный университет, 2009. С. 51 - 53.

5. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. К определению динамических характеристик материалов с учетом связанности полей // Современные направления теоретических и прикладных исследований: Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2009. Т. 2. С. 85 - 87.

6. Самойлов М.В. К исследованию напряженно-деформированного состояния термоэлектроупругого слоя с учетом связанности полей // Ресурс и диагностика материалов и конструкций: Материалы IV Российской научно-технической конференции. Екатеринбург: ИМАШ УрО РАН, 2009. С. 75.

7. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Моделирование в задачах мониторинга прочностных свойств термоэлектроупругих элементов конструкций // Наука и техника: Тезисы докладов XXIX Российской школы, посвященной 85-летию со дня рождения академика В.П. Макеева. Миасс: МСНТ, 2009. С. 60.

8. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. К прогнозированию прочности и работоспособности материалов электроники и радиоэлектроники // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып. 3. С. 557-558.

9. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. Интегральные уравнения для полиморфных пьезоэлектриков с системой электродов // Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2010): Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара: СамГТУ, 2010. Ч. 2. С. 221 - 224.

10. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. К моделированию волновых процессов в составных пьезоэлектрических средах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. Вып. 3. С. 452 - 453.

11. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В., Маслов Р.Г. Учет связанности физических полей в динамических задачах для многослойных сред // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 1. С. 54 - 60.

12. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. Математическое моделирование свойств пьезоэлектрического биморфа с внутренними электродами // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VIII Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2011. С. 185- 187.

13. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. К исследованию колебаний многослойной среды с множественными включениями // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред: Труды VII Международной конференции. Ереван: Институт механики HAH РА, 2011. С. 363 - 365.

14. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Исследование динамики слоистых электроупругих сред // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов. Самара: Издательство «Универс групп», 2011. С. 90-91.

15. Пряхина О.Д., Самойлов M.B. К определению динамических характеристик трехслойного пакета с внутренними электродными покрытиями // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте: Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2011. Т. 8. С. 47 - 50.

16. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Исследование колебаний биморфного пьезоэлемента // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18. Вып. 2. С. 320 - 321.

17. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. Эффективный метод исследования динамики слоистых электроупругих сред // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. Ч. 4. С. 1719 -1720.

18. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Антиплоские колебания трехслойного пьезокерамического материала без дефектов на стыке слоев // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды IX Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Кубанский государственный университет, 2012. С. 233 -235.

19. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Динамическая задача о гармонических колебаниях составных электроупругих сред // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте: Сборник научных трудов SWorld. Одесса: КУПРИЕНКО, 2012. В. 2. Т. 3. С. 34 - 37.

Самойлов Максим Викторович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ СРЕД С ЭЛЕКТРОДАМИ-ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бумага тип. № 2. Печать трафаретная. Тираж 110 экз. Заказ № 1012

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, Центр "Универсервис", тел. 21-99-551

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Самойлов, Максим Викторович

Введение.

1 Общие положения линейной теории термоэлектроупругости.

1.1 Основные уравнения и соотношения связанных задач.

1.2 Начальные и граничные условия.

1.3 Уравнения для электроупругих сред.

2 Метод построения блочной матрицы-символа Грина для слоистых термоэлектроупругих сред с электродами-включениями.

2.1 Решение вспомогательной задачи о колебаниях однослойной среды.

2.2 Построение блочной матрицы-символа Грина для многослойной термоэлектроупругой среды в случае разрывных граничных условий.

2.3 Системы интегральных уравнений для термоэлектроупругой среды при наличии поверхностных и внутренних электродов.

3 Сдвиговые колебания слоистых электроупругих сред с электродами-включениями

3.1 Вспомогательная задача о колебаниях электроупругого слоя.

3.2 Колебания слоистых пьезоэлектриков, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов.

3.2.1 Построение матрично-функциональных соотношений.

3.2.2 Переход к динамической смешанной задаче.

3.3 Построение элементов матрицы-символа Грина для слоистой электроупругой среды без нарушения сплошности.

3.3.1 Колебания двухслойного пакета.

3.3.2 Колебания трехслойного пакета.

3.3.3 Рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы-символа для многослойного пакета электроупругих слоев.

3.4. Построение элементов блочной матрицы-символа Грина для слоистых пьезоэлектриков с электродами-включениями.

3.4.1 Аналитическое представление элементов матрицы Грина для биморфного пьезоэлемента.

3.4.2 Аналитическое представление элементов матрицы Грина для триморфного пьезоэлемента.

3.5 Построение определителей матриц-символ Грина для различных моделей сред.

4 Применение метода фиктивного поглощения к решению динамических смешанных задач электроупругости.

4.1 Общая схема построения решения.

4.2 Метод фиктивного поглощения для решения одного интегрального уравнения.

4.3 Метод фиктивного поглощения для решения системы интегральных уравнений.

5 Особенности колебаний слоистых электроупругих сред с электродами-включениями

5.1 Построение дисперсионных кривых.

5.2 Численный анализ решения интегрального уравнения задачи о сдвиговых колебаниях биморфного пьезоэлемента.

Введение диссертация по механике, на тему "Динамические задачи для слоистых пьезоактивных сред с электродами-включениями"

История развития пьезоэлектричества началась более 180 лет назад, но практическое применение - только с 1917 года. В настоящее время создано большое количество элементов пьезоэлектронной техники, на основе которых сконструированы эффективные устройства радиоэлектроники [3, 31, 62, 64, 93, 103], акустики [38, 63, 93], автоматики [58], вычислительной [55] и измерительной [4, 56, 60] техники.

Технология производства пиро- и пьезоэлементов на современном уровне науки и техники достаточно проста, это позволяет значительно снизить стоимость преобразователей на их основе. Высокая радиационная стойкость и исключительная стабильность при взаимодействии с агрессивными средами позволяет использовать пьезоэлектрические устройства во многих сложных радиационных и химических условиях. Пьезокерамика, изготовленная из некоторых марок цирконат-титаната свинца, не теряет своей работоспособности при температуре до 300 — 400 °С, а элементы созданные на основе кобальта способны выдерживать температуру до 700 °С и выше.

Современные требования по энергосбережению и адаптивности к компьютерным системам управления и контроля, все чаще заставляют производителей техники и оборудования обращаться к поиску новых технологических решений. Это стимулирует миниатюризацию устройств пиро- и пьезоэлектроники. К таким технологиям можно отнести применение пьезокерамических элементов в изделиях коммутации электрических сигналов, что привело к качественно новому уровню производства кнопок, клавиатур, выключателей, переключателей и интегрированных изделий на их основе [103, 104]. В отличие от существующих сенсоров, емкостных, индуктивных и других пьезокнопки не требуют дополнительного источника питания, а также позволяют размещать на одном металлическом листе большое количество кнопок, что дает возможность объединить их в клавиатуры с различными схемами соединения.

Технические преимущества оборудования в сочетании с достоинствами пьезокерамики, кратко описанными выше, позволили пиро- и пьезоэлектрическим устройствам хорошо себя зарекомендовать на рынке бытовой и промышленной техники. Именно поэтому исследования пьезоэлектрических материалов и различных элементов, основанных на свойствах пиро- и пьезоэлектриков, отражены в многочисленных публикациях российских и зарубежных ученых [27 - 30, 35, 37, 42, 43, 46, 52 - 54, 65, 91, 92, 95, 100, 102, 105, 109, 110, 111 - 113, 118 - 121]. В монографиях [32 - 34, 50, 61, 106] на современном уровне излагаются математические методы решения широкого класса задач электроупругости для мономорфных тел. Задачи о колебаниях полиморфных электроупругих тел в настоящее время изучены недостаточно подробно [31, 47 - 49, 57, 72, 94, 95, 107]. Математические модели сплошной среды на основе современных представлений термоэлектроупругости исследованы еще меньше [36, 41, 67, 108, 114 - 117, 122]. Однако, полученные успехи на научном фронте, позволили перейти от использования известных материалов к целенаправленному созданию материалов с заданными свойствами.

Заметим, что задачи теории термоэлектроупругости, в том числе динамические контактные задачи со смешанными граничными условиями, являются усложнением задач теории упругости. Благодаря этому здесь в полной мере возможно использование разнообразных методов и приемов исследования распространения упругих волн в сплошных средах.

Огромный вклад в развитие методов исследования упругих сред внесли: Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.А. Амензаде, В.А. Бабешко,

A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. и Н.В. Глушковы,

B.В. Калинчук, JI.A. Молотков, A.B. Павлова, Г.И. Петрашень, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, О.Д. Пряхина, М.Г. Селезнев, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Ю.А. Устинов и целый ряд других исследователей [1, 2, 6, 9, 12, 17, 20, 21, 25, 26, 39, 40, 44, 45, 51, 66, 101]. В работах И.И. Воровича и

В.А. Бабешко [12, 51] детально изложены вопросы единственности решений интегральных уравнений динамических контактных задач, обладающих на вещественной оси тем свойством, что преобразования Фурье их ядер имеют особенности типа нулей, полюсов и точек ветвления.

В механике деформируемого твердого тела традиционно наиболее интересными и в то же время трудными для моделирования и решения являются задачи со смешанными граничными условиями. К ним можно отнести задачи, предметом которых являются пьезоэлектрические слоистые тела, содержащие внутренние электроды или включения.

Созданная академиком РАН В.А. Бабешко теория «вирусов» вибропрочности определила новую стратегию исследования термоэлектроупругих, электроупругих и упругих сред, содержащих совокупности неоднородностей [5, 13, 14, 16]. По сути, теория локализации вибрационного процесса состоит в том, что при некоторых сочетаниях неоднородностей (плоских трещин и тонких включений, внутренних электродов) и для определенных соотношений их размеров и частот волновой процесс может оказаться локализованным в зоне неоднородности или может привести к разрушению. Одной из основных задач указанной теории является установление условий локализации волнового процесса [5, 7 — 10]. Фундаментальные результаты по теории «вирусов» вибропрочности, выявлению условий локализации и развитию принципиально новых подходов к их изучению получены В.А. Бабешко и О.М. Бабешко в работах [13, 14, 16].

Важной составной частью в определении волноводных свойств материалов и конструкций является сведение дифференциальных уравнений с частными производными термоэлектроупругости и электроупругости со смешанными граничными условиями к системам интегральных уравнений, которые строятся на основе матрично-функциональных соотношений, связывающих основные динамические характеристики изучаемых задач. В работах О.Д. Пряхиной и A.B. Смирновой [73 — 79] предлагается универсальный метод построения указанных соотношений для слоистых полуограниченных упругих сред, позволяющий учитывать наличие внутренних неоднородностей (дефектов) различного типа при произвольном их количестве и сочетании. Данный метод основан на специальном представлении решения для одного слоя. Затем производится сшивка решений путем удовлетворения граничным условиям. Вводятся специальные матрицы, описывающие расположение неоднородностей в среде, и строятся искомые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики задачи. На основе этого метода краевые задачи для слоистых сред со смешанными граничными условиями сводятся к многомерным системам интегральных уравнений. Предложенный в работах [74, 75] метод построения блочных матриц-символов большой размерности, основанный на введении специальных матриц, связанных с типом неоднородностей и их положением в слоистой среде, позволяет преобразовать блочные матрицы-символы большой размерности к блочным треугольным матрицам. Это дало возможность построить элементы матриц-символов Грина для различных задач в виде отношения целых функций. В настоящей диссертационной работе предложен эффективный алгоритм построения матрично-функциональных соотношений и блочных матриц-символов Грина для различных моделей термоэлектроупругих и электроупругих сред при наличии внутренних электродных покрытий и учете связанности полей.

В настоящее время существует несколько основных методов, которые удобно использовать при решении получаемых систем интегральных уравнений. К ним в первую очередь принадлежат такие методы как метод факторизации [15 - 20, 21], метод ортогональных полиномов [99], метод собственных функций [59], асимптотические методы [1], вариационно-разностный метод [21] и другие.

В диссертационной работе для решения полученных интегральных уравнений выбран метод фиктивного поглощения, который был предложен

В.А. Бабешко для динамических смешанных задач [11] и в дальнейшем нашел свое развитие в работах [10, 22- 24, 50, 52, 61, 91]. Одним из основных достоинств метода фиктивного поглощения является возможность использовать при решении динамических задач теории электроупругости полученные ранее решения соответствующих статических задач. При этом такое использование в методе оказывается естественным и не возникает необходимости дополнительного решения какой-либо статической задачи. Другим достоинством данного метода является сохранение верного описания поведения решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ, включая угловые точки, которые являются концентраторами напряжений.

Целью настоящей работы является построение математических моделей, описывающих колебания многослойных полуограниченных термоэлектроупругих и электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов, с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и разработка методов их исследования.

Научная новизна заключается в следующем: предложен эффективный аналитический метод построения блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих сред с поверхностными и внутренними электродными покрытиями; построены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики пьезоактивных материалов с учетом связанности полей при любом сочетании электродов-включений и произвольном количестве слоев; получены рекуррентные формулы вычисления блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений для слоистых пьезоэлектриков класса 6тт гексагональной сингонии; разработаны алгоритмы и программные средства, проведен численный анализ построенных решений для конкретных задач.

Актуальность исследований в области механики связанных полей различной физической природы продиктована широким спектром практических приложений пьезоэлектрических устройств, работающих на прямом и обратном пиро- и пьезоэффектах. Сложился ряд самостоятельных направлений функциональной электроники, среди которых особое место принадлежит акустоэлектронике. Наиболее распространенные материалы, используемые в акустоэлектронике - пьезоэлектрики. Большинство современных пьезоэлементов, являющихся составной частью различных конструкций, создаются на основе слоистых структур. Разработка и использование слоистых пьезоэлементов позволяет значительно расширить выбор материалов и уменьшить стоимость таких устройств, сохраняя при этом эффективность их технических характеристик. В связи с изложенным выше, исследования колебаний пьезоактивной слоистой среды при различных условиях возбуждения, наличия систем поверхностных и внутренних электродов и учета связанности тепловых, электрических, механических полей, представляются весьма актуальными.

Работа выполнялась в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашение №14.ВЗ7.21.0869 по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»); НИР КубГУ по заданию Минобрнауки по теме «Математическое и компьютерное моделирование волновых процессов в приложении к проблемам развития инфокоммуникационных технологий в области создания компонентной базы гигагерцового диапазона и пьезоэлектромеханических систем волнового мониторинга композитных материалов» (№ 1.2737.2011 от 23.11.2011 г.). На практическую значимость исследований указывает также поддержка грантами РФФИ: «Механика связанных полей для слоистых пьезоэлектриков с многоэлектродными структурами» (№ 11-08-00135); «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники» (№ 09-01-96501рюг).

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию динамических смешанных задач о колебаниях термоэлектроупругих и электроупругих пакетов слоев, при наличии электродов на их стыках. Основные результаты, полученные при исследовании, заключаются в следующем:

1. Построена математическая модель динамических процессов в термоэлектроупругом пакете слоев с системой поверхностных и внутренних электродов с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Самойлов, Максим Викторович, Краснодар

1. Александров В. М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

2. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1971. 288 с.

3. Андреев H.H. Расчет пьезоэлектрического передатчика // Труды Всесоюзного заочного энергетического института. 1951. № 1. С. 5 12.

4. Аронов B.C. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. Л.: Электроатомиздат, 1990. 272 с.

5. Бабешко В.А. Динамика сред при наличии совокупности неоднородностей или дефектов и теория вирусов вибропрочности // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 1998. № 1. С. 24 26.

6. Бабешко В.А. Задача о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей/ В.А. Бабешко, A.B. Павлова, C.B. Ратнер, Р. Вильяме // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 625-628.

7. Бабешко В.А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324 327.

8. Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318 321.

9. Бабешко В.А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерном случае // ДАН. 1994. Т. 335. № 1. С. 55 58.

10. Бабешко В.А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // Докл. РАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475 478.

11. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 62 65.

12. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

13. Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и неоднородностей) // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5 9.

14. Бабешко В.А. Теория «вирусов» вибропрочности для совокупностей включений // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. №3. С. 21 -23.

15. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 1 4.

16. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 1 5.

17. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 1 5.

18. Бабешко В.А., Бабешко О.М. О представлении решений в методе факторизации // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. № 1. С. 5 9.

19. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // Докл. РАН. 2003. Т.392. №2. С. 1-5.

20. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Зарецкая М.В., Павлова A.B. Дифференциальный метод факторизации для блочной структуры // Докл. РАН. 2009. Т. 424. № 1. С. 36 39.

21. Бабешко В.А., Глушков Е.В., ЗинченкоЖ.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

22. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 477 484.

23. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 4. С. 725 733.

24. Бабешко В.А., Пряхина ОД. Об одном методе в теории динамических контактных задач для круглых штампов // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 2. С. 22-28.

25. Бабешко В.А., Пряхина ОД., Смирнова A.B. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3-10.

26. Бабешко В.А., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамических задач для многослойных сред с разрывными граничными условиями // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. Юбилейный выпуск. С. 80 82.

27. Бабешко В. А., Сыромятников П.В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

28. БаеваА.И., Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 32. С. 64 79.

29. Баева А.И., Калоеров С.А. Электроупругое состояние тела с конечным числом плоских трещин или жестких включений // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 57 72.

30. Баженов В.М., Улитко А.Ф. Исследование динамического поведения пьезокерамического слоя при мгновенном электрическом нагружении // Прикладная механика. 1975. Т. 2. № 1. С. 22 27.

31. Балакирев М.К, Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. Новосибирск: Наука, 1982. 240 с.

32. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., СеникН.А., Фильштинский M.JJ. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т. 1. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М.: КомКнига, 2005. 312 с.

33. Бардзокас Д. И., Зобнин А.И., СеникН.А., Фильштинский М.Я. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т. 2. Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел. М.: КомКнига, 2005. 376 с.

34. Бардзокас Д. И., Кудрявцев Б. А., СеникН.А. Распространение волн в электромагнитных средах. М.: Едитормал УРСС, 2003. 336 с.

35. Бежанян В.А., Улитко А.Ф. Контактная задача электроупругости дляполуплоскости при наличии сцепления // Докл. АН УССР. Сер. А. 1986. №6. С. 16-20.

36. Белоконь A.B., Наседкин. A.B. Расчет некоторых типов задач термоэлектроупругости // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион, специальный выпуск. 2004. С. 52-55.

37. Бирюков С.В., ГорышникЛ.Л. Теория взаимодействия поверхностных волн в пьезоэлектриках с электродными структурами // ЖТФ. 1980. Т. 50. № 8. С. 1647- 1654.

38. Богородский В.В. Подводные электроакустические преобразователи. Д.: Судостроение, 1984. 258 с.

39. ВатульянА.О. О некоторых закономерностях поведения решений в термоэлектроупругости // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. 1999. № 3. С. 28-31.

40. Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 222 с.

41. ВатульянА.О. Тепловой удар по термоэлектроупругому слою // Вестник Донского государственного технического университета. Ростов н/Д: ДГТУ. 2001. Т. 1. № 1 (7). С. 82 88.

42. ВатульянА.О., Гетман И.П., ЛапицкаяН.Б. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27. № 10. С. 101-105.

43. ВатульянА.О., Домброва О.Б., Жиров В.Е. Обратные задачи для неоднородно поляризованных пьезоэлектрических стержней // ПММ. 2007. № 1.С. 93-101.

44. ВатульянА.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 5. С. 135 142.

45. ВатульянА.О., Ковалева В. В. Вариационный принцип термоэлектроупругости и его применение в задаче о колебаниях тонкостенного элемента // ПМТФ. 2002. № 1. Т. 43. С. 196 201.

46. Ватулъян А. О., Кубликов В.Л. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1037 1041.

47. Ватулъян А.О., Рынкова A.A. Изгибные колебания пьезоэлектрического биморфа с внутренним разрезным электродом // ПМТФ. 2001. № 1. С. 184-189.

48. Ватулъян А. О., Рынкова A.A. К вопросу о расчете изгибных колебаний пьезоэлектрической биморфной пластины с разрезным электродом // Дефектоскопия. 1998. № 3. С. 61 66.

49. Ватулъян А. О., Рынкова A.A. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложениях // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 4. С. 114 122.

50. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 231 с.

51. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

52. Ворович И.И., Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Об электроупругих колебаниях слоя // Прикладная механика. 1990. Т. 26. С. 82 90.

53. Гилинский И.А., Попов В.В. Возбуждение акустоэлектрических колебаний металлическими электродами // Радиоэлектроника. 1978. Т. 22. № 2. С. 392 402.

54. Глущенко Ю.А., Калоеров С.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного полупространства // Теоретическая и прикладная механика. 2001. № 33. С. 83 90.

55. Джагупов Р.Г., Ерофеев A.A. Пьезоэлектрические устройства вычислительной техники, систем контроля и управления. СПб.: Политехника, 1994. 608 с.

56. Домаркас В.И., Кажис Р.-И.Ю. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс: Минтис, 1975. 258 с.

57. Дъелесан Э., РуайеД. Упругие волны в твердых телах. М.: Наука, 1982.424 с.

58. Ермолов И.Н. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля. М.: Машиностроение, 1986. 280 с.

59. ЖарийО.Ю., Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Высшая школа, 1989. 184 с.

60. Кажис Р.-И. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Мокслас, 1986. 216 с.

61. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. М.: Физматлит, 2006. 272 с.

62. Кикуч Е. Ультразвуковые преобразователи. М.: Мир, 1972. 424 с.

63. Королев М.В., Карпелъсон А.Е. Широкополосные ультразвуковые пьезопреобразователи. М.: Машиностроение, 1982. 158 с.

64. Кременчугский JI.C., РойцинаО.В. Пироэлектрические приемные устройства. Киев: Наук, думка, 1982. 363 с.

65. Мадорский В.В., Устинов Ю. А. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты // ПМТФ. 1976. №6. С. 138- 145.

66. Подилъчук Ю.Н. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных координатах // Прикладная механика. 2003. № 2. С. 14 55.

67. Подилъчук Ю.Н., Коваленко И.Г. Термоэлектроупругое состояние пьезокерамического тела со сфероидальной полостью, находящегося в равномерном тепловом потоке // Прикладная механика. 2005. № 11. С. 57-66.

68. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. К моделированию волновых процессов в составных пьезоэлектрических средах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. Вып. 3. С. 452-453.

69. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова A.B. Эффективный метод исследования динамики слоистых электроупругих сред // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. Ч. 4. С. 1719- 1720.

70. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 87 97.

71. Пряхина ОД., Смирнова A.B. К исследованию волноводных свойств пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Изв. РАН. МТТ. 2009. №3. С. 55-65.

72. Пряхина ОД., Смирнова A.B. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Докл. РАН. 2006.1. Т. 411. № 3. С. 330-333.

73. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию резонансных свойств сред с неоднородностями различной природы // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. №3. С. 34-41.

74. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами // Изв. Вузов Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 29 31.

75. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы Грина многослойных сред // Вестник ЮНЦ РАН. Т. 4. № 1.2008. С. 3-7.

76. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

77. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Исследование динамики слоистых электроупругих сред // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов. Самара: Издательство «Универс групп», 2011. С. 90-91.

78. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Самойлов М.В. Исследование колебанийбиморфного пьезоэлемента // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18. Вып. 2. С. 320 321.

79. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Самойлов М.В. К прогнозированию прочности и работоспособности материалов электроники и радиоэлектроники // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып. 3. С. 557 558.

80. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Самойлов М.В., Маслов Р.Г. Учет связанности физических полей в динамических задачах для многослойных сред // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 1. С. 54 60.

81. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., ТукодоваО.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости // ПММ. Т. 62. Вып. 5. 1998. С. 834-839.

82. Пряхина ОД., Тукодова О.М. Об одной плоской смешанной динамической задаче электроупругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 1.С. 80-85.

83. Пугачев С.И. Пьезокерамические преобразователи. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

84. Рогачева H.H. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней // ПММ. 2007. № 4. С. 544 560.

85. Рушицкий Я.Я., Хотенко И.М. Линейные волны в двухфазных пьезоэлектриках // Докл. Нац. АН Украины. 1995. № 3. С. 41 43.

86. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев.: Наук, думка, 1976. 284 с.

87. ХомаИ.Ю. О представлении решений уравнений равновесия пьезоэлектрического трансверсально-изотропной сферической оболочки // Прикладная механика. Киев. 1999. № 7. С. 59 68.

88. Хуторянский Н.М., Coca X.А., Зу В. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости // Прикл. проблемы прочности и пластичности. 1997. № 56. С. 183 195.

89. Шарапов В. М., Мусиенко М.П., Шарапова Е.В. Пьезоэлектрические датчики. М.: Техносфера, 2006. 632 с.

90. Шермергор Т.Д., Стрельцова H.H. Пленочные пьезоэлектрики. М.: Радио и связь, 1986. 136 с.

91. ШляхинД.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 1. С. 73 82.

92. Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук, думка, 1990. 228 с.

93. Якубова Л.П. Теоретические и экспериментальные исследования пьезочувствительности биморфного элемента при вибрационномнагружении // Техн. диагностика и неразрушающий контроль. 1998. № 3. С. 61-63.

94. Ashida Fumihiro, Tauchert Theodore R. A general plane-stress solution in cylindrical coordinates for a piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 2001. V. 38. N 28 29. P. 496 - 498.

95. Bergman L. Zur Frage der Eigenschwingungen piezoelektrischer Quarzplatten bei erregung in der Dickenschwingung // Ann. d. Phys. 1935. N 21. P. 553-563.

96. Cheeseman B.A., Santare M.H. Thermal Residual Stress and Interphase Effects on Crack Inclusion Interactions // J. of Composite Materials. 2002. V.36.N5.P. 553-569.

97. Fabien Josse, Donald L. Analysis of the excitation, interaction and detection of bulk and surface acoustic waves on piezoelectric substrates // IEEE Trans, on Sonics and Ultrasonics. 1982. V. 29. N 5. P. 261 273.

98. Hollkamp Joseph J., Starchville Thomas F. A self-tuning piezoelectric vibration absorber // AIAA/ASME Adapt. Struct: Forum Hilton Head S.C. Washington: 1994. P. 521 529.

99. Majhi M.C. Discontinuities in generalized thermoelastic wave propagation in a semi-infinite piezoelectric rod // J. Techn. Phys. 1995. V. 36. N 3. P. 269-278.

100. Norris Andrew N. Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and piroelastic solids // Proc. Rog. Soc. London. 1994. N 29. P. 175- 188.

101. Paul H.S., Renganathan K. Free vibration of a pyroelectric layer of hexagonal (6mm) class I I J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78. N 2. P. 395 -397.

102. QinQ.H., MaiY.W., YuS.W. Some problems in plane thermopiezoelectric materials with holes // Int. J. Solids and Stuct. 1999. V. 36. N 3. P. 427 -439.

103. ShenS., Kuang Z.B. An active control model of laminatedpiezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. N 13. P. 1925 1947.

104. ThibautW., Christian L. Asymptotic behavior of piezoelectric plates // ICTAM 2004: 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Warszawa: 2004. P. 336 337.

105. Tseng C.C., White R.M. Propagation of piezoelectric and elastic surface waves on the basal plane at hexagonal piezoelectric crystals // IEEE J. of Applied Physics. 1967. V. 38. N 11. P. 4274 4230.

106. Wang Q. Wave propagation in a piezoelectric coupled solid medium // ASME. J. Appl. Mech. 2002. V. 69. N 6. P. 819 824.

107. WangYun, Xu Rong-qiao, Ding Haojiang Free vibration of piezoelectric annular plate // J. Zhejiang Univ. Sci. 2003. V. 4. N 4. P. 379 387.

108. YangX.X., ShenS., KuangZ.B. The degenerate solution for piezothermoelastic materials // Eur. J. Mech. 1997. V. 16. N 5. P. 779 793.