Колебания слоистых электроупругих сред с трещинами

Березин, Никита Сергеевич

Колебания слоистых электроупругих сред с трещинами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Березин, Никита Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Колебания слоистых электроупругих сред с трещинами»

Автореферат диссертации на тему "Колебания слоистых электроупругих сред с трещинами"

На правам/рукописи

Березин Никита Сергеевич

КОЛЕБАНИЯ СЛОИСТЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД С

ТРЕЩИНАМИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар 2010

4854254

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Пряхина Ольга Донатовна

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Калинчук Валерий Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент

Павлова Алла Владимировна

НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Южного федерального университета (г.Ростов-на-Дону)

Защита состоится «30» ноября 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Капустин М.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Исследования процессов, протекающих в деформируемых средах, обладающих электромеханическими свойствами, занимают одно из ведущих мест в современной науке, что, в первую очередь, подтверждается широчайшим практическим применением технических устройств в различных сферах научной и производственной деятельности, принцип работы которых основан на пьезоэлектрическом эффекте.

Впервые примененный в эхолокации для генерирования ультразвуковых колебаний, пьезоэлектрический эффект впоследствии был использован в различных устройствах: электроакустической и измерительной аппаратуре, датчиках и системах сверхточного позиционирования, туннельной и атомно-силовой микроскопии, пьезоэлектрических двигателях и генераторах электрического тока, типографской деятельности, динамометрических датчиках и различных медицинских устройствах. Повсеместное распространение получили пьезозажигалки, использующиеся в бытовых и профессиональных целях для получения высокого напряжения на разряднике. Прямой и обратный пьезоэлектрический эффект применяется в устройстве различных электромеханических преобразователей, для чего используются составные пьезоэлементы, предназначенные для электромеханического преобразования деформаций разного типа. В последнее время активно ведутся работы по созданию звуко- и виброизоляционных материалов, использующих пьезоэлектрические свойства для гашения возникающих в них колебаний.

дефекты, наличие которых может оказать существенное влияние на свойства пьезоэлектрика. Кроме того, современные пьезоэлектрические элементы часто имеют многослойную структуру. Все вышеперечисленные факторы привели к тому, что исследования электромеханических свойств различных материалов и изучение влияния на эти свойства межфазных трещин, являются одними из самых актуальных и вместе с тем сложных для моделирования.

Целью настоящей работы является построение математических моделей колебаний слоистых полуограниченных сред, обладающих электроупругими свойствами и содержащих дефекты - трещины, разработка методов их исследования и изучение влияния физико-механических факторов на динамические процессы в этих средах.

Методика исследований. Использованные в работе методы опираются на классические положения теории электроупругости и формулировки краевых задач. В ходе исследования использовались интегральные преобразования Фурье, общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитические методы построения матриц-символов Грина для многослойных сред, методы теории функции комплексного переменного. Решения полученных интегральных уравнений смешанных задач строились методом фиктивного поглощения.

Научная новизна определяется тем, что в работе получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные характеристики рассматриваемых материалов. На основе этих соотношений построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих межфазные трещины. Построены матрицы-символы Грина и получено аналитическое представление их элементов в виде отношения целых функций. Для конкретных материалов, обладающих характерными электроупругими свойствами, проведен анализ дисперсионных свойств среды в случае наличия дефекта-трещины. Проведен

численный анализ влияния электромеханических свойств материалов на амплитуду колебаний скачка перемещений на берегах трещины.

Практическая значимость состоит в возможности применения результатов работы в различных областях науки и техники, в которых используется явление пьезоэффекта (эхолокация, дефектоскопия, изготовление датчиков и механических позиционеров, устройств генерации электрической энергии). Разработанные модели и методы их исследования могут быть использованы при создании материалов, обладающих заданными свойствами, при оценке влияния внутренних дефектов на электромеханические свойства таких материалов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, проверкой этих моделей на частных случаях, согласующихся с результатами других авторов, занимающихся исследованием задач такого рода.

Актуальность и практическую значимость исследования также подтверждает то, что работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, в том числе:

■ Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Динамика множественных дефектов в сварных соединениях конструкций и материалов», проект № 08-08-00144, 2008 - 2010 гг.

■ Российский фонд фундаментальных исследований и Администрация Краснодарского края, грант «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники», проект №09-01-96501, 2009-2011 гг.

■ Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-22298.2008.1.

Публикации. Результаты выполненных по теме диссертации исследований содержатся в 10 публикациях, из которых 2 статьи были опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. В работах, выполненных в

соавторстве, автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для слоистых пьезоэлектриков с внутренними дефектами, разработка и численная реализация методов решения поставленных задач, проведение вычислений и анализ полученных результатов.

Апробация работы. Отдельные части данной работы и основные полученные результаты были представлены на II Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 г.), XXXVII Уральском семинаре по механике и процессам управления, посвященному 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра «КБ им. академика В.П.Макеева» (г. Миасс, 2007 г.), V и VI Всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2005 г., 2008 г., 2009 г.), IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики КубГУ (г.Краснодар, 2009г.), Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (г. Одесса, 2009 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 147 страниц, в том числе 14 страниц списка использованной литературы и 43 страницы приложений. Список использованной литературы включает 143 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по теме, изучаемой в диссертации, формулируются цель и научная новизна работы, обосновывается ее актуальность, практическая значимость и достоверность. Кроме того, перечисляются работы, выполненные по результатам исследований, и

проводится разделение принадлежности последних диссертанту и другим соавторам указанных работ.

Во введении также описываются трудности, возникающие при решении поставленной задачи, дается обоснование выбора метода решения и приводятся преимущества данного метода над другими.

История развития теории и практики пьезоэлектрических устройств тесно связана с именами У. Мэзона, У. Кэди, JI. Бергмана, Г. Тирстена, H.H. Андреева, В.М. Шарапова и многих других.

Значительный вклад в рассматриваемую тематику внесли ведущие российские и зарубежные исследователи - В.А. Бабешко, М.А. Балакирев, Д.И. Бардзокас, A.B. Белоконь, O.A. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. и Н.В. Глушковы, В.Т. Гринченко, Э. Дьелесан, А.И. Зобнин, В.В. Калинчук, В.А. Кудрявцев, A.B. Наседкин, В.З. Партон, О.Д. Пряхина, Д. Руайе, H.A. Сеник, А.Н. Соловьев, A.B. Смирнова, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, М.Л. Фильштинский, H.A. Шульга, F. Ashida, L. Bergman, J. Heising, R.B. Hetnarski, Q.H. Qin и другие ученые.

В первой главе кратко представлены общие положения теории электроупругости, в том числе граничные условия, задаваемые в задачах электроупругости, построены решения плоской и антиплоской задач для электроупругого слоя, являющиеся вспомогательными и необходимыми для дальнейших исследований.

В пункте 1.1 приводятся основные соотношения и уравнения линейной теории электроупругости, выписывается система дифференциальных уравнений для широко используемых пьезоэлектриков класса бтт гексагональной сингонии в операторном виде

О, /J = 1,2,3,4. (1)

Здесь Ьи - дифференциальные операторы в частных производных, w = {if,} = {u,v,w,<p} - расширенный вектор перемещений, имеющий своими

компонентами горизонтальные n,v, вертикальные w перемещения и электрический потенциал.

Если ось симметрии пьезоэлектрика совпадает с осью г декартовой системы координат и направлена перпендикулярно поверхности среды, то из системы (1) получаем систему дифференциальных уравнений плоской задачи Lnu(x,z) + Luw(x,z) + LlA<p(x,z) = 0,

Luu(x,z) + L^w{x,z) + lH<p(x,z) = 0, (2)

L^u(x,z) + L^v{x,z) + Lucp(x,z) = 0.

Здесь

Ai=c„sí+С44З3 + P®2 > Аз = Ai = (ci3 + .

A4 = Al = ieM +')19 А , Аз = С Л + C3353 + Р®2>

Аи = Аз = е15д1 + end¡ > L4A = -£ид1 - S33d3 ■

В случае антиплоской деформации (ось симметрии пьезоэлектрика z параллельна поверхности среды) система (1) упрощается до системы двух дифференциальных уравнений

L^v(x,y) + L14<p(x,y) = 0, L43w(x,y) + L44<p(x,y) = 0. (3)

Здесь

Z33 = cM(d¡+d22) + P6)2, ¿44=-%(Si+5Í). Аи =¿43=^(3? + ^)-В приведенных соотношениях еу - пьезоэлектрические постоянные; с;; -упругие постоянные; £tJ - коэффициенты диэлектрической проницаемости, р -плотность материала, со - частота колебаний; д{,д2,дъ означает дифференцирование по x,y,z соответственно.

Различные формулировки механических и электрических граничных условий описываются в пункте 1.2. Механические условия могут задаваться как в перемещениях, так и в напряжениях. В ряде задач необходимо задавать смешанные граничные условия. В таком случае, на одной части поверхности задаются перемещения, а на другой - напряжения.

Формулировка электрических граничных условий зависит от способа подвода электрической энергии к пьезоэлектрику. В п. 1.2 формулируются электрические граничные условия для случаев, наиболее часто встречающихся на практике.

Если в электрической среде имеется межфазная трещина, то в общем случае при переходе через эту неоднородность имеют место условия непрерывности для механических напряжений и нормальной составляющей вектора электрической индукции, и разрывные граничные условия для перемещений и электрического потенциала.

В пункте 1.3 построено решение плоской задачи для электроупругого слоя. Рассматриваются установившиеся колебания электроупругой среды, представляющую собой протяженную полосу (слой) и занимающую область -h<z<h, -со<х<со. При этом границы электроупругого слоя толщины 2h

_i/vi/ _i(i)t

электродированы, на них заданы механические нагрузки qte , q2e , Ч/t = {qU} и нормальные составляющие векторов электрической индукции

d\e~"ot,dje~'"* \ расширенный вектор tk =\q\,q\,d\}е~ш, £ = 1,2. В этом

случае имеем систему дифференциальных уравнений (2).

В пункте 1.4 рассмотрена антиплоская динамическая задача о колебаниях электроупругого слоя толщины 2h, на лицевых поверхностях которого заданы сдвиговые механические напряжения г0е~'®', т1е~ш и нормальные составляющие векторов электрической индукции d0e~mt, d^e'"'";

={тк^к)е"'"*> ^ = 0,1. Сдвиговые смещения w(x,yj и электрический потенциал <р(х,у) будут определяться из системы двух дифференциальных

уравнений (3). Решения обеих задач получены методом интегральных преобразований в матричной форме

W = B+T0+B_T1, (4)

Здесь \У= Лу, Т^ = Пк, - оператор преобразования Фурье по

переменной х с параметром а.

Для задачи о сдвиговых колебаниях электроупругого слоя

В± =

1 ¿12

» т* =

£ = 0,1.

Элементы матриц В± (>>) = В± (а,у,П) зависят от параметра а, приведенной частоты колебаний и безразмерных параметров среды

1 = Ю10-.

/1-44 / с44 м

На поверхности среды при у = А матрица В± имеет вид

В±(й) =

\ь в £

(5)

Здесь

«Г (А)

= 7ГЙЛ' лй(А) = сЬ(2<гА),

дю(л)

«2+0(й) = сЬ(2ай), Д10(/г) = <т(1 + х-о)®Ь(2(тй), А20(А) = а8Ь(2аЛ),

"ю(А) = - Ь

«¡о(й) = -1,

2 ^ 0" = , а--5

V 1 + к-п2

2 е

ЛГп =

Для плоской задачи о колебаниях электроупругого слоя матрицы В± в решении (4) имеют структуру

а шf ±1сст2 ±тпц

В+ =

-¡акг ±кх

±к;

± ^ + ± у '«1 ±г2 —г3

14=м~к±м+к, к^кк±к;

'Т = як ± К

4=%-, к = 1,2,3.

л:

Здесь Мк0, Кко, Як0, Д* - функции, зависящие от физико-механических и геометрических параметров электроупругого слоя, частоты колебаний и параметра а. Заметим, что расширенные векторы XV и Т4 в плоской задаче являются трехмерными.

Полученные в пунктах 1.3 и 1.4 решения являются вспомогательными и используются в дальнейших исследованиях.

Во второй главе исследуются динамические смешанные задачи об электрическом и механическом нагружении слоистых пьезоэлектрических сред, ослабленных трещинами; дается общая постановка задач; строятся функционально-матричные соотношения, связывающие механические напряжения, электрическую индукцию, перемещения и электрический потенциал, а также их скачки на берегах трещин; строятся системы интегральных уравнений (СИУ) смешанных задач, для решения которых можно применять аналитические или численные методы. Проводится описание метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений с растущими ядрами.

В пункте 2.1 дается общая постановка динамической задачи для слоистых пьезоэлектриков с межфазными трещинами. Для удобства изложения рассматриваются гармонические сдвиговые колебания пакета из N

плоскопараллельных электроупругих слоев. Толщина пакета # = 2^/^,

полутолщина к-то слоя. Пакет занимает объем -Н<у<0, -со<х,:< +со. Каждый слой пакета характеризуется своими физическими и механическими параметрами. На границах смены физико-механических свойств слоев имеются межфазные трещины, которые располагаются в областях

= ак<х<Ьк, -оо<;<+оо|, к = 1,2,...,N-1.

Поверхность среды электродирована (покрыта системой бесконечно тонких электродов) и подвергается механическому и электрическому воздействию, характеризуемому вектором, имеющим своими компонентами составляющие вектора механического усилия и нормальную составляющую вектора электрической индукции. Упомянутые компоненты могут быть заданными, либо определяться из решения контактной задачи. Нижняя грань пакета лежит на недеформируемым основании, имеет с ним жесткую сцепку, металлизирована и закорочена.

На границах раздела слоев вектор у/к, компонентами которого являются сдвиговые смещения \чк точек А:-го слоя и электрический потенциал <рк претерпевает разрыв к\\к = м'к (.г) - м'к (х), к = 1,2,...,7У -1.

На поверхности среды и на границах раздела слоев имеют место смешанные условия

у = 0: -и^О^оМе-^, хеБ0, ^ = 0, д:й;

У = Лъу (6)

%3 [Д>уД*) = 0, х^к, к= 1,2,...,^-1;

у = -н: w(x,-я) = 0, -<c<x<<x1.

Если предположить, что на поверхности среды и на границах раздела слоев имеется не одна, а несколько трещин, занимающих соответственно области Б0!, / = 1,2,...,М0 и , к = 1,2,...,N-1; т = 1,2,...,Мк, то смешанные граничные условия (6) запишутся в виде

у = 0:

где Мк - количество трещин в к -ой плоскости раздела слоев.

Временной множитель ё~ш можно опустить и рассматривать амплитудные значения заданных и искомых функций.

В пункте 2.2 выводятся матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики, исходя из условий краевой задачи.

Введем для каждого из N слоев локальную систему координат к-1

хк=х, Ук=У + 2Т,К+Ьк> -К^Ук^Ь, * = 1,2,...,ЛГ.

т=1

Задача сводится к определению амплитудных функций механических смещений -мк{х,у) и электрического потенциала <рк (-*,>') в к-ом слое из системы дифференциальных уравнений размерности 2 х N,

Для построения решения исходной задачи необходимо вначале сформулировать следующие граничные условия: на поверхности среды задается динамическое воздействие, характеризуемое расширенным вектором ^; на границах раздела слоев ук = -Ьк будут иметь место непрерывные условия для векторов Хк, характеризующих взаимодействие между слоями, и разрывные для вектора у/к; на нижней границе пакета выполняются условия жесткой заделки и металлизации.

Решение задачи для к -го слоя в трансформантах Фурье с учетом результатов главы 1 получено в виде

™Д^ = -[В+ЫТ,_1+В_(Л)Т*], -Ьк <ук<Ик, (8)

ск

где Т0 =Л0, Тк=Пк, ск=ски/с\4.

Так как на границах раздела слоев имеют место разрывные граничные условия для перемещений и электрического потенциала, то условия стыковки слоев имеют вид

Wi(-йt) = Wш(//it+1) + ДWi,

где = _ трансформанта Фурье вектора Ау\'к =

На нижней границе пакета электроупругих слоев

Учитывая эти условия и соотношение (8), получаем рекуррентные формулы для определения векторов Т^, характеризующих взаимодействие между слоями

к = 1,2,..., ЛГ, (9)

Здесь введены следующие обозначения:

= В_ (-//„), (10)

сш

^.м_ы(Ик) = Ки^к+1{Ик,Ик+1,...,И1{)- матрицы-символы Грина пакетов к электроупругих слоев без межфазных трещин, определяемые по формуле

Ы= + »-(«Ч. (11)

Из (9), полагая последовательно к = 1,2,...,N, определим усилия Т^ через поверхностную нагрузку Т0 и векторы скачков на берегах трещин

Т, = ЬИС,Т0 +^Ъкп1стШк . (12)

т=1

Для вектора \¥д., описывающего смещения точек в к-м слое и электрический потенциал, получены соотношения

Щ(л) = ^(л)То + В Ы еЧлДХ^, (13)

т=1

W,(JJ = -I(в+(Л)L(Mm + B_(Л)Lfoи)(cmДWm + <^lmG1T0),

ЛГ-1

-I

ск т=1

Ы = —(с„,Д\Ут + ^ЦТо) . См ш=1 1 '

Здесь введены следующие обозначения

,111 = 1 ,т<к , ,т>к

мь, = п(рг1с,)ст1.

г=к

Заметим, что Ьп = Мп = ^ 1,

1 ,т = 1

- символ Кронекера.

Формулы (12), (13) являются искомыми матрично-функциональными соотношениями при моделировании электроупругого материала пакетом N слоев с межфазными трещинами, позволяющими построить СИУ смешанной задачи (6), (7).

Из соотношений (12), (13) несложно получить матрично-функциональпые уравнения для различных частных задач. Например, для случая идеального контакта между слоями, для случая, когда поверхность свободна от усилий и является непроводящей или для однородного электроупругого слоя, жестко сцепленного с недеформируемым основанием.

В общем случае система функционально-матричных соотношений на поверхности среды при ^ = 1ц и на границах раздела слоев ук = ]\, {к = 2,...,Ыимеет вид

Ки=У, У = и=(Т0,Д\У1,Д\У2,...,Д\Улг_1). (14)

Здесь Тк={Тк,Ок}, -трансформанты

Фурье векторов V! ={1^,^}, ^ = Д\У£={Д1vk,A<pk} соответственно.

являются матрицы-

К^-Ц1, (15)

к=1

Матрицы ^, даются формулами (10), (11).

Все элементы матриц В±(Ик), имеющих структуру (5), зависят от параметра а преобразования Фурье, частоты колебаний и физико-механических параметров рк, с^, е^, слоя толщины 2Ик.

Полученные матрично-функциоиальные соотношения (12)—(14) остаются справедливыми и в случае плоской задачи электроупругости, когда ось г симметрии кристалла класса бтт перпендикулярна поверхности среды (керамика, поляризованная вдоль оси г).

В пункте 2.3 осуществляется переход к смешанной задаче. Предположим, что на поверхности среды и на стыках слоев заданы смешанные граничные условия, записанные в локальных координатах

у1=к1: \ух = т\01(х), хе801; = 0, х<£;

Ук=~Ьк- ^кт{х) = Чы)т{х),хе8кт; Ди^ = 0, хг;

-<о<х<со.

На основе матрично-функциональных соотношений (14), (15) получена система N интегральных уравнений динамической смешанной задачи относительно неизвестных векторов, имеющих своими компонентами скачки перемещений, электрического потенциала на берегах трещины, контактных напряжений, плотности распределения зарядов на поверхности среды.

Введем интегральные матричные операторы

К(5)1= к(*)~/К (аушс1а,

Б 2Л 5

Щ _ N-1 мк

1=1 к=1

Блочная матрица К (а) имеет своими элементами матрицы, описываемые формулами (15).

Выбор контура 3 диктуется принципом излучения на бесконечности. В принятых обозначениях система интегральных уравнений (СИУ),

имеющая размерность М + М0, где М = ^ Мк - общее количество трещин в

к=1

среде, а М0 - количество электродов на поверхности, запишется в виде

ЫЧ 1>АУУкт) = ™оЛх)> *е5о*, 5 = 1,2,...,М0;

= хвБ^, п = \,2,...,Мр,р = \, (16)

Здесь 50| - области контакта штампов-электродов с поверхностью среды, 5 - области, занимаемые трещинами в плоскостях = -Ир; \у05. -

заданные амплитудные векторы, имеющие своими компонентами сдвиговые перемещения и электрический потенциал; X — векторы взаимодействия,

известные на берегах трещин.

Из СИУ (16) несложно получить интегральные уравнения (ИУ) для частных случаев. Например, если поверхность среды свободна от нагрузок, а на границах раздела слоев расположено по одной трещине, СИУ (16) примет вид

к=1

Решение системы (16) строится с использованием аналитических или численных методов. В данной работе был выбран метод фиктивного поглощения. В пункте 2.4 приведена его общая схема для одного уравнения. Использование данного метода требует знания нулей и полюсов элементов матриц-функций КЬп (а) системы (14). Также необходимо знать асимптотическое поведение элементов этих матриц на бесконечности.

В третьей главе изучаются задачи о колебаниях двухслойной электроупругой среды как при отсутствии, так и при наличии дефекта-трещины. Верхняя граница пакета слоев электродирована, нижняя - жестко защемлена, металлизирована и закорочена. Вначале строится решение для одного слоя с жестко защемленной нижней границей, которое в дальнейшем используется в решении для слоистой среды с межфазной трещиной.

В пункте 3.1 строится решение задачи о колебаниях одного электроупрутого слоя толщиной 2й с жесткой заделкой, в пункте 3.2 - для двухслойной среды толщиной Н = 2ЪХ + 2//2 с идеальным контактом между слоями, а в пункте 3.3 - для двухслойной среды с межфазной трещиной.

Система матрично-функциональных уравнений (МФУ), служащая основой для построения СИУ, имеет вид

К11Т0+К12Д\У = \У1 (/*,), К^То+КзгДХУ^, (17)

где

Кц=к2(ЛкЛ). к12 =ВДЙ1)ГГ1(АЛ),

к21 = -гг1(^Л)в+Ю» Кя-игЧмь). (18)

Здесь матрицы ^ (7/[,/г2), К2(А1,//2) определяются по формулам

(10), (11).

После перемножения матриц в представлениях (18), исключения общих множителей, элементы блочной матрицы К = (Ку) построены в виде

отношения целых функций. Полученные формулы позволяют эффективно проводить исследование свойств решений.

В случае, когда механические и электрические характеристики слоев полностью совпадают, а между ними расположена трещина, блочная матрица К имеет структуру

к =

К11 К12 ЧК21 К22У

-я,

-щ ~(а1-а2) а2

£ £ £ £

4 ~(Л1-Л2) -еР2

-еЛ

еЪ

а ее элементами являются 5Ь[2гт(А1 + А2)]

я.

4 =

Л2 =

_8Ь[2а(А1+А2)] оД2

__ сЬ(2о-Л2) сг(1 + к^)^Ц2аЪх)сЦ2аЪ2)

а2 =

Р2 =

сЬ(2«Л2)

а вЬ (2 а\) сЪ (2 а Ъ2)

Д^ =сЬ[2сг(Л1+/г2)],

Л2=сЬ[2а(Л1+А2)],

а- --

1+кК

ЛГП =

В пункте 3.4 предполагается, что поверхность пакета из двух электроупругих слоев с межфазной трещиной ширины 2а свободна от механических нагрузок (/0 = 0) и неэлектродирована (с/0=0). Тогда система уравнений (17) упрощается, так как Т0=0, и разбивается на два отдельных МФУ.

Если колебания среды вызваны вибрацией берегов трещины, то имеем одно матричное ИУ для смешанной задачи

Ша

(19)

относительно неизвестного вектора А\у = {Ди'(х), при заданном

значении компонент вектора (х) = (х),^ (х)} на берегах трещины. Ядром полученного матричного ИУ является

k(x) = — \K2^a)e~iaxda, К22(а) =

2 Kg

(е2

—F2-Fl -eF2 £

-eF0

eF~

2 У

Решением матричного ИУ (19) с правой частью ?1(л:) = 51е щх,

dy (л:) = В2 е

гщх

(Вг,

'2>

т] - const) является вектор-функция

Дw = {Дм'(х), компоненты которой определяются формулами

Д <р(х) = -В2 [v0 (х) + KqUq (х)]+-В^щ (л) ,

£ 1- -1 £ где и0 (.*), \'0 (.г) - решения одномерных ИУ с правой частью ещх и символами ядер ^(а)и^(аг) соответственно.

Если поверхность трещины неэлектродирована, то выполняются условия непрерывности электрического потенциала и нормальной составляющей вектора электрической индукции при переходе через разрез трещины. Это означает, что в СИУ (19) можно положить А<р = 0. В этом случае имеем только

одно интегральное уравнение для смешанной задачи

Ы <а,

(20)

с ядром

2 71 д

относительно неизвестной функции скачка перемещений Дн'(л-) при заданном значении сдвиговых усилий ^ (х) в области |х| < а.

Решение ИУ вида (20) строится методом фиктивного поглощения п. 2.4 для правой части ^ = сГ"1Х и в трансформантах Фурье имеет структуру

/с

Fn(a) k=i

ша F(а,а-хк) + F(-ar,а + хк)

га

Коэффициенты Ск определяются из системы линейных алгебраических уравнений, приведенной в главе 2. В этом решении подынтегральная функция ядра К (а) = , (а) представлена аппроксимацией

где :к, рк (& = 1,2,...,и) - соответственно вещественные и комплексные нули, полюса функции (а), расположенные выше контура 8.

Четвертая глава посвящена исследованию дисперсионных свойств элементов матрицы-символа Грина и численному анализу решения ИУ динамической антиплоской задачи для двухслойной пьезоактивной среды, содержащей трещину. Изучается влияние физико-механических параметров различных материалов, глубины залегания трещины на поведение нулей, полюсов (дисперсионных кривых) элементов матрицы-символа Грина и на поведение скачка перемещений на берегах трещины.

В пункте 4.1 описываются и анализируются графики кривых нулей и полюсов элементов матрицы-символа Грина для двухслойной пьезоактивной среды, содержащей трещину. Исследовалось влияние на поведение дисперсионных кривых толщины пакета слоев (Я), глубины расположения

трещины (2/)[), отношения плотностей слоев (Мх -- ^у ), отношения упругих

зависящего от пьезоэлектрической постоянной (е) и диэлектрической проницаемости среды (е), взятых в безразмерных величинах. В качестве исследуемого материала рассматривались оксид цинка (2п0, к\ «0.10), титанат бария (ВаТЮ3 ,/Сд ~ 0.28) и ЦТС-19 ( к^ » 0.56). Знание нулей, полюсов элементов необходимо для построения решения интегральных уравнений методом фиктивного поглощения. Графики дисперсионных кривых также позволяют определять основные параметры электроупругих волн,

2 а -рк

2 '

постоянных

коэффициента электромеханической связи (к^ ),

распространяющихся в исследуемои среде и диапазон частот, в котором пьезоактивные волны не возникают.

В пункте 4.2 изучалось влияние на поведение амплитуды скачка перемещений на берегах трещины следующих факторов: вида исследуемого

материала (значения коэффициента электромеханической связи к0); приведенной частоты колебаний ширины трещины 2а; толщины

пьезоэлектрика Н = 2ИХ + 2Ь2; глубины залегания трещины 2\\ отношения плотностей слоев (А^) и упругих постоянных

В качестве исследуемой среды рассматривалось три материала класса втт гексагональной сингонии: кристалл оксида цинка (2пО, /сЦ « 0.10), и две пьезокерамики ВаТЮ3 »0.28) и ЦТС-19 (л^ -0.56).

-1: 0= 8.0 к2о= 0.56 Ы=0.400 Ь=0.100 д,=1.0 М,=1.0 —2:0= 8.0 к2о= 0.28 И,=0.400 ^=0.100 д,=1.0 М,=1.0 3: 0= 8.0 к2о= 0.10 М,=Д:400 Ь2=0.100 д,=1.0 М,=1.0

" 1: 0= 3.0 к2о= 0.56 И,=0.250 Ь=0.250 д,=1.0 М,=1.0 2:0= 3.0 к2о= 0.28 И,=0.250 1ъ=0.250 д,=1.0 М,=1.0

................I................I.................................. • ап

) 0. « -I и/ 2-0.02 '4И ■ 0.2 0.4 0.6 О.в Х ^ч.. >

к У/- -0.1 -0.12 • ■0.14 -0.16 -0.1« ............4 N1 1 ......Н 4

Рисунок 1

Рисунок 2

— 1:0=14.0 к2о= 0.10 И1=0.375 Ьг=0.125 д,=2.0 М1=1.0 ! I "1:0=17.0 к2о= 0.10 (1,=0.125 112=0.375 д,=1.5 М1=1.0 "2: £2=14.0 к!.= 0.10 И,=0.375^=0.125д,=2.0 М,=0.5 I; *~2:0=17.0 к!„= 0.10 (1, =0.125 И2=0.375 д,=1.0 М,=1.0

-3:0=14.0 к2о= 0.10 Ь,=0.375 ^=0.125 д,=2.0 М,=0.2 11 ~ 3:0=17.0 кУ 0.10 ^125 Ьг=0.375 д^О.75 М1=1.0

Рисунок 3

¥ ч-/ .....I

Рисунок 4

Рис. 1-4 иллюстрируют поведение действительной составляющей амплитуды скачка перемещения КеДн'(х) на берегах трещины, расположенной на глубине у = -21\. Безразмерные физико-механические параметры, частота колебаний и толщина слоев приведены на рисунках. Полуширина трещины а для всех рисунков равна единице. На рис. 1-2 кривые 1-3 соответствуют значениям Яд =0.56,0.28,0.10. Очевидно, что увеличение параметра приводит к уменьшению значения |11еД1у(х)| (рис.1). С уменьшением частоты

колебаний осцилляция функции скачка перемещений уменьшается (рис. 1 и 2). На рис 3,4 приведены характерные графики, иллюстрирующие поведение функции ЯеДи^д;) в зависимости от параметров Мх (рис. 3) и gí (рис. 4). На всех рисунках скачок перемещений на краях трещины обращается в нуль, что свидетельствует о правильности построенного решения и проведенных вычислений.

Заключение настоящей диссертационной работы содержит основные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ

1. Проведено математическое моделирование динамических процессов в слоистых средах, обладающих пьезоэлектрическими свойствами и содержащих множественные трещины, с учетом связанности электрических и механических полей.

2. Предложен эффективный аналитический метод исследования динамических смешанных задач электроупругости для полуограниченных слоистых сред с межфазными трещинами, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные механические и электрические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих трещины.

4. Методом фиктивного поглощения построено решение электромеханической задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды при наличии межфазной трещины для случая непроводящей поверхности.

5. Для частных случаев получены аналитические представления элементов блочной матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций, необходимые для эффективного исследования пьезоактивных волновых полей в слоистых пьезоэлектриках с внутренними дефектами.

6. Разработаны программные средства, предназначенные для нахождения нулей и полюсов элементов матрицы-символа Грина, для исследования особенностей построенных решений динамических задач о трещинах, для визуального представления результатов вычислений в MS Excel.

7. Проведен анализ дисперсионных свойств элементов блочной матрицы-символа Грина антиплоской динамической задачи для пьезоэлектриков класса бтт гексагональной сингонии с дефектом - трещиной.

8. Изучены основные закономерности поведения скачка перемещений на берегах трещины для различных пьезоматериалов в зависимости от глубины расположения трещины, ее линейных размеров, толщины пьезоэлектрика и приведенной частоты колебаний.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 10 публикациях, в том числе в 2 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендуемых ВАК:

1. Березин Н. С., Петухова A.B., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Гармонические колебания двухслойной среды с межфазной трещиной // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всеросс. научн. конф. молодых ученых и студентов. Т.2. Краснодар: Просвещение-Юг. 2009. С.200 - 202.

2. Березин Н. С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Антиплоская динамическая задача электроупругости для двухслойной среды, ослабленной трещиной // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С. 11 - 17.

3. Березин Н. С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Влияние дефекта на спектральные свойства полуограниченных электроупругих сред // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Труды V Всеросс. школы-семинара. Ростов-на-Дону: Терра-Принт, 2009. С.17-18.

4. Березин Н. С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию НДС материалов и конструкций с дефектами на стыке соединений // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды V Всеросс. научн. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. Т. 2. С. 99 - 101.

5. Березин Н.С. Петухова A.B. К расчету НДС материалов электроники // Прикладная математика XXI века: Материалы IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов КубГУ. Краснодар : КубГУ, 2009. С. 63 - 65.

6. Березин Н.С., Качко Д.Л., Смирнова A.B., Пряхина ОД. К исследованию прочностных свойств электроупругих материалов // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы II Международной научной конференции. Воронеж, 2007, С. 36.

7. Березин Н.С., Качко Д.Л., Смирнова A.B., Пряхина ОД. Расчет динамических характеристик слоистых сред, содержащих изолированные дефекты // Механика и процессы управления: Труды XXXVII Уральского семинара, посвященного 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию С.П. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра «КБ им. академика В.П.Макеева». Екатеринбург, 2007. С. 96 - 101.

8. Березин Н.С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Колебания электроупругой среды с дефектом - трещиной // Современные направления теоретических и прикладных исследований: Сб. научных трудов Международной научно-практической конференции. Т. 2. Одесса: Черноморье, 2009. С. 93 - 94.

9. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Березин Н.С., Качко Д.Л. К расчету динамических характеристик гексагональных пьезоэлектриков // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. 2009. №5. С. 30-33.

10.Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Березин Н. С. Задача о колебаниях пакета трех слоев, содержащего трещину и включение // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды II Всеросс. научн. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2005. Т. 2. С. 133 - 134.

Березин Никита Сергеевич

КОЛЕБАНИЯ СЛОИСТЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ СРЕД С

ТРЕЩИНАМИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бумага тип. №2. Печать трафаретная. Тираж 100 экз. Заказ № 782

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149. Центр "Универсервис", тел. 21-99-551.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Березин, Никита Сергеевич

Введение.

1 Общие положения линейной теории электроупругости.

1.1 Основные соотношения и уравнения.

1.2 Граничные условия.

1.3 Плоская задача для электроупругого слоя.

1.4 Антиплоская задача для электроупругого слоя.

2 Динамические задачи для слоистых пьезоэлектриков с трещинами.

2.1 Общая постановка задачи.

2.2 Построение основных матрично-функциональных соотношений.

2.3 Переход к смешанной задаче. Вывод системы интегральных уравнений.

2.4 Метод фиктивного поглощения для интегрального уравнения.

3 Сдвиговые колебания двухслойной пьезоактивной среды с межфазной трещиной.

3.1 Колебания электроупругого слоя с защемленным основанием.

3.2 Колебания двухслойной электроупругой среды без внутренних дефектов.

3.3 Колебания двухслойной электроупругой среды при наличии дефекта-трещины

3.4 Решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхности.

4. Особенности колебаний электроупругих сред с трещинами.

4.1 Построение дисперсионных кривых.

4.2 Численный анализ решения интегрального уравнения антиплоской задачи.

Введение диссертация по механике, на тему "Колебания слоистых электроупругих сред с трещинами"

В настоящее время интенсивный интерес к механике связанных полей, в частности, электроупругости, продиктован широкими практическими приложениями пьезоэлектрических устройств в технике. При этом подавляющее большинство современных технических устройств, использующих пьезоэффект, создаются на базе многослойных элементов, а в качестве, пьезоэлектрического материала все чаще применяется пьезокерамика. Это связано с тем, что такие устройства технологичны в изготовлении, обладают высокой эффективностью преобразования электрической энергии в механическую, повышенной чувствительностью и термостабильностью, низкой себестоимостью и простотой конструкции. Основным конструктивным элементом ПАВ-устройств служит система электродов, нанесенная на внешние или внутренние границы пьезоэлектрика, при этом обычно требуется порядка десятков и сотен электродов. Строгая постановка, решение и развитие методов решения задач о возбуждении и распространении волн в электроупругой среде, вызванных электрическим воздействием на систему электродов, является одним из важных разделов теории электроупругости.

Впервые пьезоэлектрический эффект был применен в эхолокации и использован в излучателях, в различных устройствах для генерирования ультразвуковых волн с частотами вплоть до 100 Мгц [34, 51, 55, 102]. Позднее явление пьезоэффекта было использовано в датчиках и системах сверхточного позиционирования, например, в туннельной и атомно-силовой микроскопии, в пьезоэлектрических двигателях и генераторах электрического тока, в типографской деятельности для подачи чернил, в различных медицинских устройствах [45, 79, 105]. Повсеместное распространение получили пьезозажигалки, использующиеся в бытовых и профессиональных целях для получения высокого напряжения на разряднике. Пьезоэлектрический эффект широко применяется в устройстве 4 различных электромеханических преобразователей, для чего используются составные пьезоэлементы, предназначенные для электромеханического преобразования деформаций разного типа [79, 104]. В последнее время активно ведутся работы по созданию звуко- и виброизоляционных материалов, использующих явления пьезоэффекта для гашения возникающих в них колебаний [44, 85].

Столь широкое практическое применение пьезоэффекта объясняется тем, что керамические кристаллы, используемые в качестве пьезоэлектриков, обладают высокой механической прочностью и повышенной чувствительностью [55, 104]. Их изготавливают путем отлива, прессовки и выдавливаний, придавая изделиям различную форму. Также они обладают t высокой температурной устойчивостью, Между тем, используемые материалы, в частности, природные кристаллы кварца, часто содержат в себе различные дефекты - трещины, пузыри и другие внутренние неоднородности, наличие которых может оказать существенное влияние на свойства пьезоэлектрика. Помимо этого многие пьезоэлектрические элементы имеют многослойную структуру. Все вышеперечисленные факторы привели к тому, что задачи исследования электромеханических свойств различных материалов, изучение влияния на эти свойства дефектов материалов и описание методов, моделирующих такого рода явления, являются одними из самых актуальных и вместе с тем сложных в последнее время.

Интерес, проявляемый научным сообществом к классу задач, в которых рассматривается явление пьезоэффекта, возник 50-е годы XX века, и непосредственно связан с работами таких зарубежных ученых, как У. Мэзон [55], Д. Берленкур [34], Л. Бергман [118], Г. Тирстен [137], Б. Яффе [113] и других [51, 123]. В нашей стране подобные исследования проводили такие ученые, как H.H. Андреев, В.М. Шарапов, М.К. Балакирев, С.В. Богданов, И.А. Викторов, И.А. Гилинский, Ю.В. Гуляев, В.Е. Лямов, В.З. Партон, В.А. Кудрявцев, В.И. Пустовойт, A.B. Шубников, И.Б. Яковкин, занимавшиеся описанием и моделированием поведения полей различной природы в электроупругих средах [57, 104, 109, 111, 112, 139].

Большое практическое значение при изучения материалов, обладающих электромеханическими свойствами, имеет тот факт, что для построения физико-математических моделей могут быть использованы методы и подходы, разработанные ранее при изучении задач теории упругости, в которых рассматривалось распространение упругих волн в сплошных средах. Большой вклад в развитие теории динамических и статических 'контактных задач теории упругости внесли В.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, A.A. Баблоян, Н.М. Бородачев, A.B. Белоконь, И.Н. Векуа, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, JI.A. Галин, Е.В. и Н.В. Глушковы, В.Т. Гринченко, В.В. Калинчук, А.И. Лурье, М.Д. Мартыненко, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, С.М. Мхитарян, A.B. Наседкин, Г.Я. Попов, Б.Л. Пелех, О.Д. Пряхина, В.Л. Рвачев, B.C. Саркисян, М.Г. Селезнев, A.B. Смирнова, Л.А. Толоконников, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов [2, 4, 6, 8— 10, 12-15, 37-39, 42, 43, 47, 50, 60, 86, 100, 101], иностранные ученые J.D. Achenbach, J. W. Dunkin, D. G. Harkrider, T. Kundu, А. К. Mal, E. N. Trower и ряд других исследователей [114-116, 120-122, 126-128, 136, 138]. Этой теме посвящены многочисленные монографии и публикации [1, 15, 41, 72, 110, 117]. Значительный прогресс достигнут в последнее время в исследовании статических и динамических задач теории упругости для тел, имеющих разрезы и трещины [3, 5, 6, 11, 18, 20, 35, 36, 40, 46, 50, 53, 58, 60-62, 69, 70, 73-77, 83, 84, 88, 91-96, 98, 106-108, 124, 125, 133, 142-143].

Вместе с тем, технический прогресс и внедрение новых технологий предъявляют повышенные требования к более точным моделям для описания поведения тел, обладающих пьезоэлектрическими свойствами. В настоящее время точный расчет и анализ задач электроупругости для сред с дефектами и без них проведен лишь для некоторых преобразователей простой геометрии и структуры [19, 48, 80, 87, 90, 99, 103, 109, 111, 117, 119, 123, 129, 131, 132, 135, 137, 139-141]. Еще меньше исследований посвящено изучению слоистых пьезоэлектриков, содержащих неоднородности различной природы [22-24, 48, 68, 82]. Задачи взаимодействия жестких и деформируемых тел с 1 полуограниченными средами, обладающими электроупругими свойствами и содержащими трещины, все еще остаются мало изученными.

Предметом исследования данной работы являются задачи электроупругости для слоистых пьезоэлектриков класса 6тт гексагональной сингонии, "содержащих трещины, моделируемые математическими разрезами. Можно выделить два основных этапа исследований: построение матриц-символов Грина интегральных уравнений и их систем и непосредственно решение этих уравнений.

Для построения матрицы-символа Грина разработаны как аналитические подходы (наиболее известный из них - матричный метод [1, 64-66, 72, 136]), так и численные методы [42, 43], основанные на прямом численном интегрировании систем дифференциальных уравнений краевых задач. Основные трудности, возникающие при реализации этих методов, вызваны наличием растущих экспоненциальных составляющих в фундаментальных решениях соответствующих систем дифференциальных уравнений, что приводит к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и к плохой обусловленности линейных алгебраических систем, возникающих при удовлетворении граничных условий. Все эти подходы требуют решения систем большего порядка, и чем больше количество слоев в системе, тем больше возникает трудностей вычислительного характера.

В настоящее время для решения интегральных уравнений используются различные подходы: метод факторизации [9, 38], асимптотические методы [2, 3], методы ортогональных полиномов [59, 86], вариационно-разностный, коллокации, сведения к интегральным уравнениям 2-го рода, методы конечных и граничных элементов [56, 81] и другие. Каждый из перечисленных выше методов имеет свои преимущества и недостатки. К достоинствам метода факторизации можно отнести то, что он может быть распространен' на высокие частоты, но действие его ограничено лишь классическими областями контакта - круг, полоса, что является малоэффективным для пространственных задач. Вариационно-разностный и метод коллокации могут быть использованы для пространственных задач, но лишь при низких частотах. Дополнительной трудностью при решении интегральных уравнений, возникающих при моделировании среды, содержащей трещины, является то, что асимптотика ядер этих уравнений оказывается растущей на бесконечности. Это не позволяет сразу применить накопленный теоретический материал для решения контактных задач, в которых ядра соответствующих интегральных уравнений имеют убывающую на бесконечности асимптотику.

В настоящей работе применяется метод решения уравнений и их систем, впервые предложенный В.А. Бабешко [8, 9] и реализованный для ряда задач в работах О.Д. Пряхиной [39, 49, 71], В.В. Калинчука [47, 48] и других исследователей. Основная идея метода, названного методом фиктивного поглощения, заключается в том, что при помощи специального преобразования, интегральные уравнения с сильно осциллирующими и медленно убывающими ядрами сводятся к интегральным уравнениям с ядрами, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. Такое поведение ядер характерно для сред с сильным затуханием и для задач статики. Полученные таким образом уравнения легко могут быть решены с помощью методов факторизации, ортогональных полиномов и т.д. [9, 59, 86]. Данное свойство качественно отличает этот метод от остальных и объясняет, почему именно он был выбран для данного исследования.

Целью настоящей работы является построение математических моделей, описывающих колебания слоистых полуограниченных сред, обладающих электроупругими свойствами и содержащих дефекты-трещины, разработка методов их исследования и изучение влияния физико-математических факторов на распространение волн различной природы в анализируемой среде.

Научная новизна определяется тем, что в. работе получены новые матрично-функциональные уравнения, связывающие основные характеристики рассматриваемых материалов. На основе этих соотношений выведены системы интегральных уравнений, построены матрицы-символы Грина и их элементы в виде отношения целых функций. Для конкретных материалов, обладающих характерными электроупругими свойствами, проведен анализ дисперсионных свойств среды в случае наличия дефекта-трещины. Для двухслойного пьезоэлектрика проведен анализ поведения скачка перемещений на берегах трещины в зависимости от электромеханических параметров слоев, частоты колебаний и глубины залегания трещины.

Актуальность темы диссертационной работы определяется тем, что вследствие быстрого развития технических устройств, в основе работы которых используется явление пьезоэффекта, вопросы разработки и совершенствования эффективных моделей и методов определения взаимосвязи электрических и механических полей, возникающих в пьезоактивной среде, приобретают все большую значимость.

Практическая значимость состоит в возможности применения результатов работы в различных областях науки и техники, в которых используются явление пьезоэффекта (эхолокация, дефектоскопия, изготовление датчиков и механических позиционеров, устройств генерации электрической энергии). Полученные в ходе проведения исследований данные могут помочь в разработке и создании материалов, обладающих заданными свойствами, оценке влияния внутренних дефектов на электромеханические свойства таких материалов.

Практическую значимость исследований также подтверждает то, что работа выполнялась при поддержке РФФИ (08-08-00144), РФФИ и Администрации Краснодарского края (06-01-96600), Гранта Президента РФ (НШ-2298.2008.1).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Работа содержит 147 страниц, в том числе 14 страниц списка использованной литературы и 43 страницы приложений. Список использованной литературы включает 143 наименования.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Заключение

Настоящая диссертация посвящена исследованию динамических смешанных задач о колебаниях электроупругих слоистых сред, содержащих внутренние дефекты-трещины. Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Проведено математическое моделирование динамических процессов в слоистых средах, обладающих пьезоэлектрическими свойствами и содержащих множественные трещины.

2. Предложен аналитический метод исследования динамических смешанных задач электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

5. Для частных случаев получены аналитические представления элементов матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций, необходимые для эффективного исследования пьезоактивных волновых полей в слоистых пьезоэлектриках.

6. Разработаны программные средства, предназначенные для нахождения нулей и полюсов элементов матрицы-символа Грина, для исследования особенностей построенных решений антиплоской динамической задачи, для визуального представления результатов вычислений в MS Excel.

7. Проведен анализ дисперсионных свойств элементов блочной матрицы-символа Грина антиплоской динамической задачи для однородного пьезоэлектрического слоя класса бтт гексагональной сингонии с внутренней трещиной.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Березин, Никита Сергеевич, Краснодар

1. Аки К, Ричарде П. Количественная сейсмология. Tl. М.: Мир, 1983. 519 с.

2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

3. Александров В.М., Пожарский Д.А. К задаче о трещине на границе раздела упругих полосы и полуплоскости. // Изв. РАН. МТТ. 2001. №1. С.86- 93.

4. Бабешко В.А. Новый метод в теории пространственных динамических смешанных задач // Докл. АН СССР. 1978. Т. 242. № 1. С. 62 65.

5. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Вильяме Р. К решению задачи о вибрации и упругого тела, содержащего систему внутренних полостей // ДАН. 2002. Т. 382. №5. С. 625- 628.

6. Бабешко В. А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324 327.

7. Бабешко В. А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноватых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 318 321.

8. Бабешко В. А. Метод фиктивного поглощения в форме преобразования Фурье // ДАН. 1995. Т. 345. № 4. С. 475 478.

9. Бабешко В. А. Обобщённый метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

10. Бабешко В. А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин) // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. 2000. №3. С. 5-9.

11. Бабешко В. А., Бабешко О. М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // ДАН. 2005. Т. 400. №2. С. 192-196.

12. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности // ДАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 1 5.

13. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Метод факторизации решения некоторых краевых задач // ДАН. 2003. Т. 389. № 2. С. 1 5.

14. Бабешко В. А., Бабешко О. М. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях // ДАН. 2003. Т. 392. № 2. С. 1 5.

15. Бабешко В. А., Глушков Е. А., Бабешко В. А., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

16. Бабешко В. А., Павлова А. В., Ратнер С. В. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 36 — 38.

17. Бабешко В. А., Пряхина О. Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 477 484.

18. Бабешко В. А., Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Динамические задачи для сред с нарушением сплошности // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3 — 10.

19. Бабешко В. А., Сыромятников П. В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35 47.

20. БагдоевА. Г., Саакян С. Г. Антиплоская задача распространения трещины с произвольной скоростью в анизотропной неоднородной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 2. С. 145 153.

21. Баева А.И., Калоеров С.А. Электроупругое состояние тела с конечным числом плоских трещин или жестких включений // Теоретическая и прикладная механика. 2002. № 36. С. 57 72.

22. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., Сеник H.A., Филышпинский M.JI. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т.1. Введение в теорию термопьезоэлектричества. М.: КомКнига, 2005. 312 с. '

23. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И., Сеник H.A., Филъштинский M.JI. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. Т.2. Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел. М.: КомКнига, 2005. 376 с.

24. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник H.A. Распространение волн в электромагнитных средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

25. Белякова Т.А., Ломакин Е.В. Трещина в поле сдвига в упругой среде с изменяющимися свойствами при плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. 2000. №2'. С. 147- 152.

26. Березин Н. С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Антиплоская динамическая задача электроупругости для двухслойной среды, ослабленной трещиной // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С.11 17.

27. Березин Н. С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию НДС материалов и конструкций с дефектами на стыке соединений // Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар 2008. Т. 2 С. 99 101.

28. Березин Н.С. Петухова A.B. К расчету НДС материалов электроники // Прикладная математика XXI века: материалы IX объединенной научнойконференции студентов и аспирантов КубГУ. Краснодар : КубГУ, 2009. С. 63-65.

29. Берленкур Д., Керран Д., Жаффе И.Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях. Физическая акустика. Под ред. У. Мэзона. Т. 1. Методы и приборы ультразвуковых исследований, часть А. М.: Мир, 1966. 592 с.

30. Ватульян А.О., Красников В.В. Колебания ортогональной полуплоскости с криволинейной трещиной // Изв. РАН. МТТ. 2002. №5. С.85 90.

31. Ватульян А. О., Суворова O.A. Об обратной задаче для упругого слоя с полостью // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2005. №1. С. 10-16.

32. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

33. Ворович И. И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

34. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина ОД. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 231 с.

35. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы. // ПММ. 1996. Т. 60. Вып.2. С. 282 289.

36. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Блокирование и локализация энергии в упругих слоистых волноводах с дефектами // Акустический журнал. 2006. Т.52. Вып. 3. С. 314 325.

37. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В., Еремин A.A., Михасъкив В.В. Метод слоистых элементов в динамической теории упругости // ПММ. 2009. № 4. С. 622 634.

38. Глушкое Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах // ПММ. 2010. № 3. С. 419 432.

39. Джигунов Р.Г., Борисюк A.M. Современные тенденции и направления развития пьезотехники. Фундаментальные проблемы пьезоэлектроники. Ростов-на- Дону: МП Книга, 1995. Т. 3. С. 5 12.

40. Жуковский В.Д. Медицинские электронные системы. М.: Медицина, 1976.312 с.

41. Зегжда С.А., Морохов Н.Ф., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Изв. РАН. МТТ. №3. 1999. С. 114-120.

42. Калинчук В.В. Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит. 2009. 312 с.

43. Калинчук- В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред. М.: Физматлит, 2006. 272 с.

44. Кардовский И.В., Пряхина О. Д. Метод фиктивного поглощения для плоских задач об интерфейсных трещинах. ДАН. 2006. Т. 410. №6. С. 450 -456.

45. Кардовский И.В., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Решение динамической задачи для трехслойной среды с трещинами // Известия вузов. Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. №3. С. 38 43.

46. Кэди У,- Пьезоэлектричество и его практические применения. М.: Иностранная литература, 1949. 719 с.

47. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. 2 изд., М., 1982. 620 с.

48. Ляпин A.A., Румянцев А.Н., Селезнев М.Г. Динамическая контактная задача для двухслойного полупространства со сферической полостью // ПМТФ. 1991. №3. С. 125 129.

49. Миклашевич H.A., Чигарев A.B. Устойчивость траектории трещины в неоднородной среде трещин // Изв. РАН. МТТ. №4.2002. С. 111 117.

50. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. М.: Иностранная литература, 1952. 447 с.

51. Наседкин A.B. Исследование шаговых по времени схем метода конечных элементов для нестационарных задач электроупругости с классическими граничными условиями // Механика деформируемых тел: Межвуз. сб. научн. трудов. Ростов н/Д: ДГТУ, 1994. С. 78 84.

52. Партон В.З., Кудрявцев В.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 472 с.

53. Плещинский Н.Б., Гусенкова A.A. Комплексные потенциалы с логарифмическими особенностями в ядрах для упругих тел с дефектом вдоль гладкой дуги // Изв. вузов. Математика. 2000. №10. С. 57 67.

54. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

55. Попов Г.Я. Построение разрывного решения динамических уравнений теории упругости для слоистой среды с межфазными дефектами // ДАН. 1999. Т. 364. № 6. С. 769 773.

56. Попов Г.Я. Построение разрывного решения уравнений динамической упругости для конического дефекта // ДАН. 1999. Т. 368. № 5. С. 624-628.

57. Попов Г. Я. Об одном новом подходе к задачам о концентрации упругих напряжений возле трещин // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 148 156.

58. Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328с.

59. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию волноводных свойств пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Изв. РАН. МТТ. 2009. №3. С. 55-65.

60. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. К исследованию динамики пакета упругих слоев с совокупностью жестких включений // Докл. РАН. 2006. Т. 411. № 3. С. 330-333.

61. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы Грина многослойных сред // Вестник ЮНЦ РАН. Т. 4. № 1.2008. С. 3-7.

62. Пряхина ОД., Смирнова A.B. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

63. Пряхина ОД., Смирнова A.B., Березин Н.С. Качко Д.Л. К расчету динамических характеристик гексагональных поьезоэлектриков // Известия вузов. Севю-Кавк. регион. 2009. №5. С. 30-33.

64. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Кардовский И.В., Мазин В.А. О свойствах матриц Грина динамических задач для многослойной среды с трещинами// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. №4. С. 13-17.

65. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости // ПММ. Т. 62. Вып. 5. 1998. С. 834-839.

66. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Аналитический метод решения динамических задач для слоистых сред с включениями // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 87 97.

67. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. К постановке динамических смешанных задач для слоистых сред с дефектами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 29 31.

68. Пряхина О. Д., Смирнова А. В. Эффективный метод решения динамических задач для слоистых сред с разрывными граничными условиями // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 3. С. 499 506.

69. Пряхина О. Д., Смирнова А. В., Березин Н. С. Задача о колебаниях пакета трех слоев, содержащего трещину и включение // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Тез. докл.

70. Всеросс. науч. конф. молодых ученых и студентов. Анапа, 2005. Т. 2. С. 133 134.

71. Пугачев С.И. Пьезокерамические преобразователи. JI.: Судостроение, 1984. 256 с.

72. Рогачева„ H.H. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней // ПММ. 2007. № 4. С. 544 560.

73. Роговой A.A., Столбова О.С. Процедура восполнения напряжений при решении краевых задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов // ПММ. 2010. № 3. С. 478-488.

74. Рушицкий Я.Я., Хотенко И.М. Линейные волны в двухфазных пьезоэлектриках // Докл. Нац. АН Украины. 1995. № 3. С. 41 43.

75. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук. Думка, 1980. 324 с.

76. Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С. 149-158.

77. Самарин А. И. Миниатюрные линейные пьезоэлектрические двигатели // Компоненты и технологии . 2006. №10. С. 10-16.

78. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев.: Наукова думка, 1976. 284 с.

79. Скалиух A.C. Смешанные плоские задачи электроупругости для полуограниченных тел // Дисс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1986. 227 с.

80. Слепян Л.И. Механика трещин. JL: Судостроение. 1981. 296 с.

81. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Иностранная литература, 1955. 668 с.

82. Соловьев АН. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамического тела прямоугольного сечения // Прикладная механика. 1984. Т. 20, № 9. С. 1235 1240.

83. Староселъский A.B., Шифргт Е.И. Рассеяние плоской трещиной нормально падающей поперечной волны // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 3. С. 87-103.

84. Телятников C.B. Интегральные уравнения в упругой динамической задаче с внутренней трещиной // Динамические задачи механики сплошной среды: Тез. докл. регион, конф. Краснодар, 1988. С.143.

85. Тихомиров В.В. Напряженное состояние составного пространства с полубесконечной межфазной трещиной // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 6.С. 51-56.

86. Тихомиров В.В. Полубесконечная трещина, параллельная границе упругого полупространства//Изв. РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 108-114.

87. Тихомиров В. В. Равновесие упругого слоя, ослабленного полубесконечной трещиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 5. С. 57-62.

88. Тихомиров В.В. Трещина в трансверсально-изотропном слоистом композите //Изв. РАН. МТТ. 1997. № 5. С. 163-168.

89. Тихонов А.Н., Самарский А.А Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 736 с.

90. Ткачев Г.В. Динамическая задача о вибрации трещины в упругом слое / Ростовский Государственный университет. — Ростов н/Д, 1979. Деп. в ВИНИТИ 16.07.79, №2595-79.

91. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наукова думка, 1975. № 15. С. 90-99.

92. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. 261 с. ~

93. Уфлянд Я. С. интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Наука, 1967. 420 с.

94. Физическая акустика / Под. ред. У. Мэзона, Р. Терстона. М.: Мир, 1966. T. 1.-Т. 7.

95. Хорошее КГ. Термоэлектроупругое состояние конечной анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами // Вюн. Донц. ун-ту. Сер. А. Природ, науки. 2005. Вип. 2. С. 67 72".

96. Шарапов В.М., Мусиенко М.П., Шарапова. Е.В. Пьезокерамические преобразователи физических величин / под ред. В.М. Шарапова. Черкассы": ЧГТУ, 2005. 631 с.

97. Шермергор Т.Д., Стрельцова H.H. Пленочные пьезоэлектрики. М.: Радио и связь, 1986. 136 с.

98. Шифрин Е.И. Об асимптотическом разложении упругих полей вблизи контура плоской трещины на границе соединения двух материалов // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 6. С. 1045 1055.

99. Шмегера C.B. Начально-краевая задача динамической теории упругости для составной плоскости с нестационарным разрезом на границе раздела //Изв. РАН. МТТ. №5.1997. С. 132- 138.

100. Шульга H.A. Основы механики слоистых сред периодической структуры. Киев: Наукова Думка, 1981. 200 с.111 .Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова думка, 1990. 228 с.

101. Яковкин И.Б. Возбуждение акустических поверхностных волн. Новосибирск: 1980. 91с.

102. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. М.: Мир, 1974. 288 с.

103. Achenbach J.D., Keer L.M., Mendelsohn D.A. Elastodinamic Analysis of edge Crack // J. of Appl. Mech. 1980. V.74.N 3.115 .Achenbach J.D., Khentan R.P. Kinking of crack under dynamic loading conditions // J. Elast. 1979.V.9.N 2.

104. Alterman Z., Karal F. Propagation of elastic waves in layered media by finite differences methods // Bull.Seism.Soc.Amer. 1958. V.58. N 1, P.367-398.

105. Ashida Fumihiro, Tauchert Theodore R. A general plane-stress solution in cylindrical coordinates for a piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 2001. V. 38. N 28 29. P. 496 - 498.

106. Bergman L. Zur Frage der Eigenschwingungen piezoelektrischer Quarzplatten bei erregung in der Dickenschwingung // Ann. d. Phys. 1935. N 21. P. 553-563.

107. Fabien Josse, Donald L. Analysis of the excitation, interaction and detection of bulk and surface acoustic waves on piezoelectric substrates // IEEE Trans, on Sonics.and Ultrasonics. 1982, V. 29. N 5. P. 261 273.

108. Harkrider D.G. Surface waves in multilayered elastic media I. Rayleight and Love waves from buried sources in a multilayered elastic half-space // Bull.Seism.Soc.Amer. 1964. V.54., P. 627-679.

109. Haskell N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bull.Seism.Soc.Amer. 1953.V.43., N 1, P.17-34.

110. Hetnarski R.B. Coupled thermoelastic problem for the half-space // Bull. Acad. Polon. Sci. Techn. 1964 V. 12. N 1.

111. Ingebrigtsen K.A. Surface waves in piezoelectrics // J. of Applied Physics. 1969. V. 40. N 7. P. 2681-2686.

112. Itou S. Three-dimensional wave propagation in a cracked elastic solid // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1978. V. 45. N 4. P. 807-811.

113. Kassir M.K., Bregman A.M. The stress intensity factor for a penny-shaped crack between two dissimilar materials // Trans. ASME. Ser. E.J. Appl. Mech. 1972. V 39. N1. P. 308-310.

114. Keilis-Borok V.I., Neigaus M.G., Shkadinskaya G.V. Applications of the theory of eigen-functions to the calculations of surface waves velocities // Rev.Georh. 1965. V.3 .N 1.

115. Knopojf L. A matrix method for elastic waves problems // Bull.Seism.Soc.Amer. 1964, V.54., P.431-438

116. Majhi M.C. Discontinuities in generalized thermoelastic wave propagation in a semi-infinite piezoelectric rod // J. Techn. Phys. 1995. V. 36. N 3. P. 269278.

117. Paul H. S., Renganathan K. Free vibration of a pyroelectric layer of hexagonal (6mm) class // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78. N 2. P. 395 397.

118. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable in a closed form and their applications // Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific & Technical. 1991. V. 256. P. 246-256.

119. Oin Q.H., Mai Y.W., Yu S.W. Some problems in plane thermopiezoelectric materials with holes // Int. J. Solids and Stuct. 1999. V. 36. N 3. P. 427 -439.

120. Shen S., Kuang Z.B. An active control model of laminated piezothermoelastic plate // Int. J. Solids and Struct. 1999. V. 36. N 13. P. 1925 1947.

121. Sneddon I.N. The stress intensity factor for a flat elliptical crack in an elastic solid under uniform tension // Int. J. Eng. Sci. 1979. V.17. N 2.

122. Sommerfeld A. Vorlesungen uber theretishe Physik // Optik.-Wiesbaden. 1950. V.l.

123. Thibaut W., Christian L. Asymptotic behavior of piezoelectric plates // ICTAM 2004: 21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Warszawa. 2004. P. 336 337.

124. Thompson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified medium // J.Appl.Phys. 1950. V.21, N 1, P.89-93.

125. Tiersten H.P. Thickness vibrations of piezoeiectrics plates // J. Acoust. Soc. Amer. 1963. N35. P. 53 -58.

126. Trower E.N. The computation of the dispersion of elastic waves in layered media // J.Sound.Vibr. 1965. V.2, N 3, P.210-226.

127. Tseng C.C., White R.M. Propagation of piezoelectric and elastic surface waves on the basal plane at hexagonal piezoelectric crystals // IEEE J. of Applied Physics. 1967. V. 38. N 11. P. 4274-4230.

128. Wang Q. Wave propagation in a piezoelectric coupled solid medium // ASME. J. Appl. Mech. 2002. V. 69. N 6. P. 819 824.

129. Wang Yun, Xu Rong-qiao, Ding Haojiang Free vibration of piezoelectric annular plate // J. Zhejiang Univ. Sci. 2003. V. 4. N 4. P. 379 387.

130. Zang W., Gudmundson P. An integral equation method for piece-wise smooth cracks in an elastic half-plane I I Engng. Fracture Mech. 1989. V. 32. N 6. P. 889-897.

131. Zang W., Gudmundson P. Frictional contact problems of kinked cracks modeled by a boundary integral method // Intern. J. Number. Methods in Eng. 1991. V. 31. N3. P. 427-446.