Изгибные колебания электроупругих пластин с разрезными электродами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Постановка задач о колебаниях ограниченных 12 электроупругих тел

1.1. Общая постановка задач электроупругости

1.2. Постановка задач электроупругости для плит с внутренними 17 электродами

1.3. Вариационная постановка задач электроупругости

1.4. Исследование структуры полей у края внутреннего электрода

Глава 2. Построение моделей изгиба пластинчатых биморфных 30 элементов с внутренними электродами

2.1. Формулировка краевой задачи на основе гипотез кирхгофовской 30 прикладной теории деформирования (модель I)

2.2. Формулировка краевой задачи на основе осреднения (модель II)

2.3. Формулировка краевой задачи на основе вариационного 48 принципа (модель III)

Глава 3. Исследование задач изгиба биморфов

3.1. Об оптимальном выборе электродного покрытия

3.2. Колебания пластины-полосы

3.3. Изгиб круглой пластины 76 Заключение 82 Список литературы 85 Приложение

К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении свойств взаимодействия механических и электрических полей в пьезоактивных материалах, созданы разнообразные технические устройства, работа которых основана на пьезоэлектрическом эффекте [54, 63]. Наряду со ставшими традиционными областями применения (излучатели и приемники звука в гидроакустике, элементы зажигания, пьезотрансформаторы, линии задержки сигналов и полосовые фильтры, различные измерительные устройства [37, 60, 67]), следует упомянуть относительно новые области, в частности, использование керамических пьезоприводов в конструкциях микроволновых двигателей и волновых гироскопов, в устройствах деформируемых зеркал адаптивной оптики, использование сопряженных поверхностных и объемных волн в устройствах акусто-электроники [42, 105, 107]. В последнее время довольно часто предметом исследования становятся задачи, связанные с адаптивным контролем статического и динамического поведения слоистых пьезоэлектрических балок [88, 110], пластин [32, 97, 114, 130] и оболочек [53, 80, 111]. Все более актуальны задачи моделирования, контроля и управления конструкциями с использованием пьезоэлектрических устройств, пьезокерамических актуаторов и сенсоров, например, с целью погашения нежелательных колебаний [68, 102, 112, 119, 124], изменения амплитуд механических напряжений [47], достижения минимального прогиба [32, 97] или заранее заданной формы колебаний [101]. Последние задачи особенно актуальны при проектировании оптических элементов, в частности, зеркал с управляющими пьезоэлементами [17, 100, 105]. Задачи об управлении находят свое приложение и в авиации при решении проблемы подавления колебаний авиационной панели [93], гашении колебаний конструкций газотурбинных двигателей на критических скоростях [121]. Проблемы гашения колебаний конструкционно также решаются с помощью нанесения активного ограничивающего пьезоэлектрического, вязкоупругого слоев [116], применения пьезоэлектрических пленок [110].

С проблемами управления колебаниями конструкций, в частности, слоистых пластин, неразрывно связаны задачи оптимизации. Например, в [95, 104] проведен анализ наилучших вариантов выбора количества и размещения пьезоэлектрических датчиков и приводов. В [99] поставлена задача оптимального размещения пьезоэлектрических накладок для регулирования статических прогибов слоистой пластины. В задачах о контроле посредством выбора оптимального значения электрического сопротивления [122] или оптимальной величины электрического напряжения [97] обеспечивается достижение максимального значения коэффициента демпфирования. В [101, 120] вводятся концепции самонастраивающихся адаптивных пьезоэлементных систем, при этом ставится задача управления с отслеживанием заданных показателей движения.

Многие из современных технических конструкций, работа которых основана на пьезоэффекте, создаются на базе многослойных элементов, в частности, на основе биморфных пьезоактивных пластин [6, 13, 15-22, 84, 118]. Популярность таких устройств обусловлена высокой эффективностью преобразования ими электрической энергии в механическую и акустическую, простотой конструкции, а также низкой себестоимостью при производстве. Биморфные пластины из пьезокерамики нашли широкое применение в гидроакустической технике, при создании аудио- и видеаппаратуры, систем связи, компьютерной техники, сигнальных и охранных устройств, авиационных и автомобильных приборов.

Постоянно расширяющиеся области применения пьезокерамических материалов определяют необходимость дальнейшего углубленного изучения закономерностей статического и динамического деформирования пьезокерамических тел.

К настоящему времени осуществлена общая постановка трехмерных краевых задач электроупругости для различных вариантов физически реализуемых граничных условий [31, 54, 63]. В работах [9, 10, 54, 63] дана строгая математическая постановка задач электроупругости, сформулированы вариационные принципы, обоснованы приближенные методы решения. Постановке задач электроупругости посвящены работы многих авторов [51, 77, 78]. Систематическое изложение теории и методов электроупругости дается в монографиях Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульги Н.А. [34, 54], У. Мэзона [78], Новацкого В. [62], Партона В.З., Кудрявцева Б.А. [63].

В настоящее время продолжаются попытки проведения точного анализа и расчета задач, основанных на использовании трехмерных уравнений теории пьезоэлектричества [89, 91, 98], однако точные решения трехмерных уравнений электроупругости получены лишь для некоторых преобразователей простой геометрии и структуры [14, 39, 52 и др.].

В развитии методов решения трехмерных задач электроупругости для пьезоэлектрических плит и оболочек существенную роль сыграли общие представления решений, особенно, однородные решения. Метод однородных решений в электроупругости разработан в работах Гетмана И.П., Жирова В.Е., Кос-модамианского А.С., Jle Хань Чау, Ложкина В.Н., Мадорского В.В., Сторожева В.И., Устинова Ю.А. Космодамианский [29, 30, 38, 39, 47, 52]. Для анализа колебаний тел канонической формы (прямоугольный цилиндр) довольно часто применяется метод суперпозиции. Это направление в электроупругости представляют работы Белоконя А.В., Вовка Л.П., Гринченко В.Т., Карлаша В.Л., Мелешко В.В., Соловьева А.Н. [8, 34, 40, 54, 75, 76]. Широкое применение находят асимптотические методы, в частности, предложенный Партоном В.З. и Кудрявцевым Б.А. [63]. При численных расчетах большой популярностью пользуются метод граничных элементов и метод конечных элементов [94, 104, 115]. Развитию метода граничных элементов в электроупругости посвящены работы Ватульяна А.О., Кубликова В.Л., Соловьева А.Н. [16]. Отметим также применение пакета численного анализа ANSYS и ACELAN [19], основанных на использовании метода конечных элементов для решения конкретных задач электроупругости.

Традиционно в механике деформируемого твердого тела в отдельный класс выделяются задачи со смешанными граничными условиями специального типа, отражающими условия контакта деформируемой среды с абсолютно жестким телом (штампом) и условия на математическом разрезе в сплошной среде (моделирование трещин). Постановка смешанных задач этого класса для керамических сред базируется на классической формулировке смешанных граничных условий для механических переменных сопряженного поля, дополненных основными или смешанными граничными условиями для электрических составляющих [7, 49, 65]. Точные решения [49] позволили установить сильную концентрацию электрического поля вблизи конца трещины с тем же корневым характером особенности, что и для механических напряжений. К задачам со смешенными граничными условиями относятся и задачи, предметом которых являются пьезоэлектрические тела с разрезными электродами [19-22, 25]. Здесь на границе электродированной и неэлектродированной частей терпят разрыв основные электрические характеристики.

Использование на практике выводов из теоретических решений конкретных задач невозможно без предварительного упрощения их трехмерной постановки. Математические трудности решения краевых задач электроупругости для тел произвольной геометрии и поляризации естественным образом заставляют авторов работ вводить ряд упрощающих гипотез геометрического и физического характера.

Среди методов, позволяющих упростить трехмерные уравнения и свести их к двумерной задаче электроупругости, отметим метод асимптотического интегрирования уравнений линейной теории пьезоэлектрических сред [39, 47, 51]. В [63] предложен матричнооператорный способ приведения трехмерной задачи к двумерным уравнениям. В ряде работ эта проблема решается с помощью разложения искомых функций в степенные ряды [38, 39, 108], в ряды Фурье [80].

Значительные математические упрощения получаем при исследовании плоских статических задач электроупругости. Здесь применение интегрального преобразования Фурье и метода интегралов типа Коши позволяет получить завершенное решение задач для полуплоскости и полосы с толщинной и планар-ной поляризациями [23, 24, 74, 80].

В связи с тем, что работа многих технических устройств основана на применении пьезоактивных элементов в форме тонкостенных конструкций -пластин и оболочек, изготовленных из поляризованной пьезокерамики [44, 63, 82, 124], практически важной задачей статики и динамики керамических сред является развитие прикладных теорий деформирования тонкостенных пьезо-элементов. Особенностями этих теорий по сравнению с аналогичными для чисто упругих элементов является то, что гипотезы для механических переменных необходимо дополнить адекватными им гипотезами для электрического поля. Эти последние формулируются по-разному для различных видов поляризации тонкостенных пьезоэлементов и условий подвода к ним электрической энергии (наличие или отсутствие электродных покрытий) [53, 54, 56, 74, 94].

При создании прикладных теорий деформирования пластин и оболочек из пьезокерамических материалов, по аналогии с теорий упругости часто принимаются упрощения, основанные на использовании различных методов приведения трехмерных задач статики и динамики электроупругого тела к двумерным задачам для пластин и оболочек [51, 54, 63, 69, 80, 108]. Наиболее часто применяемыми являются гипотезы, положенные в основу так называемой кирх-гофовской прикладной теории деформирования тонкостенных пьезоэлементов [54]. В результате задачи деформирования тонкостенных пьезоэлементов по данной теории сводятся к интегрированию систем уравнений, аналогичных обычной теории пластин и оболочек. Следствием такого подхода явилось установление закономерностей в распределении электрического поля по толщине тонкостенных элементов, адекватных классическим гипотезам Кирхгофа-Лява для механических переменных, в зависимости от типа поляризации элементов толщинная поляризация или поляризация в срединной плоскости) и наличия электродных покрытий на лицевых поверхностях элементов. Гипотезы кирхго-фовской прикладной теории деформирования использованы, в частности, при построении моделей, предложенных в работах [15, 19, 20, 53, 94, 108] и в настоящей диссертации. На основе этой теории получены решения ряда конкретных задач, в первую очередь задач об установившихся колебаниях круглых и прямоугольных пластин, цилиндрических и сферических оболочек под действием внешнего гармонического во времени электрического поля. Решения названных задач анализировались не только с позиций определения резонансных частот, форм колебаний и характера распределения сопряженного поля при заранее выбранном электродном покрытии элементов, но и с позиций оптимального подвода электрической энергии через разрезные электроды для усиления (подавления) отдельных мод колебаний [25, 42, 43, 53]. Эффективность нормальных мод колебаний оценивалась, как правило, по значению динамических (эффективных) коэффициентов электромеханической связи.

Однако, простейшие модели не всегда "улавливают" сложный характер распределения физических полей вблизи разрыва граничных электрических условий, в частности, при использовании конструкции с разрезным электродом. Поэтому работы многих авторов посвящены построению уточненных теорий пьезокерамических пластин и оболочек. В [69] уточненная теория строится с помощью асимптотического метода Гольденвейзера. Уточнение теории происходит за счет усложнения гипотез распределения механических смещений [71], введения дополнительных гипотез о распределении электрического потенциала [19,22, 56, 74].

Предметом исследования настоящей диссертационной работы являются биморфные пластины с внутренними разрезными электродами. Актуальность темы диссертации определяется важностью задач, посвященных расчету пьезо-активных элементов различных типов. В связи с широким применением пластинчатых пьезопреобразователей, в частности, биморфов, в технических устройствах, все более актуальными становятся вопросы разработки эффективных моделей и методов расчета электрических и механических полей, возникающих в пьезоактивной среде. Интерес, связанный с данным предметом исследования, вызван возможностью оптимизации конструкции и повышения эффективности возбуждения определенных мод колебаний за счет разрезания электрода, а так же посредством выбора размера и геометрии электродного покрытия. В силу смешанных условий сопряжения у края электрода, физические поля обладают в этих точках особенностями, так называемыми концентраторами, которые необходимо учитывать в расчетах на прочность. В частности, нормальная компонента вектора электрической индукции в окрестности края электрода имеет корневую особенность. Подобные проблемы возникают в задачах о контакте твердых тел с пластинами и оболочками [22], которые решаются путем построения уточненной теории, приводящей к повышению порядка разрешающей системы уравнений.

Поэтому целью диссертации является разработка достаточно простых моделей колебания и изгиба биморфных пьезоэлектрических пластин с разрезными электродами, которые качественно учитывали бы характер распределения физических полей в окрестности края электрода.

В связи с темой диссертации отметим ряд работ. В результате применения схем [15, 54], основанных на простейших гипотезах без учета особенностей распределения электрических полей, получается модель кусочно-однородной пластины переменной жесткости [20, 22]. Различные области жесткости соответствуют электродированной и неэлектродированной областям, при этом скачок нормальной компоненты вектора электрической индукции на внутреннем разрезном электроде принимает некоторое постоянное значение. В [17-19] предложена модель изгибных колебаний двухслойной пластины с разрезным внутренним электродом, построенная с использованием вариационного уравнения Гамильтона для пьезоэлектрической среды, которая более адекватно учитывает структуру полей у края. В диссертационной работе уточнены условия сопряжения предложенной модели; на ее основе проведен анализ некоторых конкретных задач.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

1. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука. 1986. 336 с.

2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Уточненные уравнения теории тонких пластин для динамических задач // Прикл. мех. (Киев) 1994. 30, № 6. С. 80-87.

3. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа. 1971. 288 с.

4. Аронов Б.С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. Л.: Энергоатомиздат. 1990.

5. Аронов Б.С., Никитин Л.Б. О расчете колебаний изгиба пьезокерамиче-ских пластин // Акустический журнал. 1981. Т. 27. Вып. 5. С. 687-696.

6. Бабаев А.Э., Моисеенков Ю.Б. Нестационарные колебания тонкостенной биморфной электроупругой полосы // Докл. АН Украины. 1994. № 12. С. 54-58.

7. Бежанян В.А., Улитко А.Ф. Контактная задача электроупругости для полуплоскости при наличии сцепления // Докл. АН УССР. Сер. А. 1986. №6. С. 16-20.

8. Белоконь А.В. Об одном методе решения задач для тел конечных размеров//ДАН СССР. 1977. Т. 233. § 1.С. 56-59.

9. Белоконь А.В., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамическойтеории электроупругости // Изв. СКНЦ ВШ. Сер. естеств. наук. 1982. № 2. С. 29-39.

10. Белоконь А.В., Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории электроупругих тел // Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск. Изд-во ДГУ. 1979. С. 53-67.

11. Белоконь А.В., Наседкин А.В. О некоторых свойсвах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров // ПММ. 1996. Т. 60, № 1. С. 151-158.

12. Белубекян М.В., Мкртчян А.Р. О вынужденных колебаниях поперечно-поляризованной пластинки-полосы // 4 Межд. совещ.-семин. "Инж.-физ. пробл. нов. техн." Москва. 21-23 мая, 1996. Тез. докл. Москва. 1996. С. 126-127.

13. Богатырев А.И., Вовк И.В., Олейнык В.Н. Излучение звука пьезокерами-ческой круглой биморфной пластиной // Акустический вестник. 2001. Т. 4. № 1.С. 3-10.

14. Борисейко В.А., Улитко А.Ф. Электроупругие колебания толстостенной пьезокерамической сферы // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Респ. межвед. сб. 1974. Вып. 14.

15. Ватульян А.О., Гетман И.П., Лапицкая Н.Б. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27, № 10. С. 101-105.

16. Ватульян А.О., Кубликов В.Л. Метод граничных элементов в электроупругости // Механика деформируемых тел. Межвузовский сб-к научных трудов. Ростов-на-Дону.: Изд-во ДГТУ, 1994. С. 17-21.

17. Ватульян А.О., Лапицкая Н.Б., Наседкин А.В., Скалиух А.С., Соловьев А.Н. Управление поверхностью секционированной биморфной пластины // Прикл. механика и техн. физика. 1995. Т. 36. №4. С. 131-136.

18. Ватульян А.О., Рынкова А.А. Изгибные колебания биморфных пьезоэлектрических пластин с внутренними электродами // 6-ая международная конференция "Математические модели физических процессов и их свойства": Сб-к научных трудов. Таганрог. 2000. С. 73-77.

19. Ватульян А.О., Рынкова А.А. Изгибные колебания пьезоэлектрического биморфа с внутренним разрезным электродом // Прикл. механика и техн. физика. 2001. № i.e. 184-189.

20. Ватульян А.О., Рынкова А.А. К вопросу о расчете изгибных колебаний пьезоэлектрической биморфной пластины с разрезным электродом // Дефектоскопия. 1998. № 3. С. 61-66.

21. Ватульян А.О., Рынкова А.А. Математическая модель изгиба пьезоэлектрической плиты // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Межвузовский сб-к научных трудов. Выпуск 4. Ростов-на-Дону.: Изд-во ДГТУ, 1999. С. 18-22.

22. Ватульян А.О., Рынкова А.А. Моделирование изгибных колебаний пьезоэлектрического биморфа // IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии": Сб-к научных трудов.Кисловодск. 2000. Т. 2. Часть 1. С. 34-37.

23. Вековищева И.А. Плоская задача электроупругости для пьезоэлектрической пластинки // Прикл. механика. 1973. 11, № 2. С. 85-89.

24. Вековищева И.А. Распределение деформаций и электрического поля в электроупругом полупространстве при прямом пьезоэффекте // Прикл. механика. 1973. 9, № 12. С. 48-52.

25. Вовкодав И.Ф., Карлаш B.JL, Улитко А.Ф. Анализ несимметричных колебаний тонких пьезокерамических дисков с разрезными электродами // Прикл. механика. 1979. 12, № 2. С. 77-82.

26. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. 1974. 456 с.

27. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир. 1999. 247 с.

28. Воронков В.А., Данилов В.Н. К вопросу о выборе модели расчета электроакустического тракта ультразвукового преобразователя // Дефектоскопия. 1996. №1. С. 27-32.

29. Гетман И.П. Статические и динамические задачи для неоднородных по толщине толстых плит из пьезоактивных материалов // Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону. 1982. 150 с.

30. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43, № 5. С. 923-932.

31. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: РГУ. 1993. 144 с.

32. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение. 1980. 412 с.

33. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка. 1981. 284 с.

34. Данилов В.Н. К расчету электроакустического тракта прямого преобразователя дефектоскопа в режиме излучения // Дефектоскопия. 1996. № 1. С. 17-26.

35. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука. 1982. 568 с.

36. Ерофеев А.А. Пьезоэлектронные устройства автоматики. Л.: Машиностроение. 1982. 210 с.

37. Жиров В.Е. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты // Прикл. математика и механика. 1977. 41, № 6. С. 1114-1121.

38. Жиров В.Е., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1977. Вып. 17. С. 62-67.

39. Карлаш В.Л. Вынужденные высокочастотные колебания тонких пьезокерамических круговых дисков // Прикл. мех. (Киев) 1995. 31, № 5. С. 7580.

40. Карлаш B.JI. Особенности планарных колебаний круговых пьезокерами-ческих дисков на высоких частотах // 3 Междунар. совещ.-семин. "Инж.-физ. пробл. нов. техн". Тез. докл. Москва. 1994. С. 109.

41. Карлаш B.JI. Резонансные колебания и напряженное состояние пьезоке-рамических кольцевых секторов // Прикл. мех. (Киев) 1993. 29, № 2. С.53-61.

42. Карлаш B.JI., Улитко А.Ф. Исследование колебаний пьезокерамических элементов методом пьезотрансформаторного датчика // Экспериментальные исследования тонкостенных конструкций. Киев.: Наукова думка. 1984. С. 178-196.

43. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Михайленко В.В., Михайленко С.В. Резонансные контурные колебания пьезокерамической пластины с автоподстройкой частоты // Прикл. мех. (Киев) 1995. 31, № 4. С. 48-54.

44. Кикучи Е. Ультразвуковые преобразователи. М.: Мир. 1972. 424 с.

45. Ковальчук А.В. Колебания кусочно-однородной пьезокерамической цилиндрической оболочки // Тр. 2 Всеукр. конф. мол. учен. Киев 16-18 мая 1995 г. Математика. Киев. ун-т. Киев. 1995. С. 209-214.

46. Космодамианский А.С., Ложкин В.Н. Асимптотический анализ электроупругого состояния тонкого пьезоэлектрического слоя // Прикл. механика. 1978. Т. 14. №5. С. 3-8.

47. Кошур В.Д. Адаптивная трансформация деформационных волн в слоистых пьезоэлектрических композитах // Сиб. шк.-сем.: "Мат пробл. мех. сплош. сред" . Новосибирск, 15-19 дек. 1997. Тез. докл. Новосибирск. 1997. С. 82-83.

48. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Ракитин В.И. Механика разрушения пьезоэлектрических материалов: Осесимметричная трещина на границе с проводником // Прикл. математика и механика. 1975. 39, № 2. С. 352-362.

49. Ложкин В.Н. Низкочастотные колебания пьезокристаллических пластин // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 7. С. 89-93.

50. Ложкин В.Н. Электроупругое состояние пьезоэлектрического полу слоя // Мат. физика. Киев. 1981. § 29. С. 91-95.

51. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты // Прикл. механика и техн. физика. 1976, №6. С. 138-145.

52. Маценко Т.Л. Нестационарные колебания многомодового цилиндрического пьезоизлучателя, имеющего секцию с разомкнутыми электродами // Прикладная механика (Киев). 1999. 35. № 4. С. 73-79.

53. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. Киев: Наукова Думка. 1989. 279 с.

54. Михайленко В.В., Михайленко С.В. К нахождению коэффициентов ЭМСв задачах электроупругих колебаний пьезоэлектрических тел // Докл. АН УССРБ. 1991. №8. С. 88-92.

55. Мкртчян Л.Р. Об отделении планарных и поперечных колебаний тонких пьезоэлектрических пластин // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1997. 50. №3-4. С. 101-110.

56. Мкртчян П.Р. Изгиб круглой пьезокерамической плиты осесимметричной нагрузкой // Ред. ж. Изв. АН Респ. Армении. Мех. Ереван. 1992. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 23.4.92 1366-1392.

57. Мовсиян Л.А. Волны изгиба и другие для одной пьезоэлектрической пластинки // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1997. Т. 50. № 2. С. 21-26.

58. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 512 с.

59. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. М.: Изд-во иностр. лит. 1952. 447 с.

60. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872 с.

61. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир. 1986. 160 с.

62. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука. 1988.

63. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981. 688 с.

64. Подильчук Ю.Н., Ткаченко В.Ф. Контактная задача электроупругости дляплоского эллиптического штампа // Теор. и прикл. мех. (Киев). 1998. № 28. С. 40-52.

65. Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Об одной плоской смешанной динамической задаче электроупругости // Изв. АН СССР, МТТ. 1990. № 1. С. 80-85.

66. Пьезокерамические преобразователи: Справочник / Ганопольский В.В., Касаткин Б.А., Леуша Ф.Ф. и др. JL: Судостроение, 1984. 256 с.

67. Рогачева Н.Н. Активное гашение вибраций на основе пьезоэффекта // Ис-след. по теории пластин и оболочек. 1992. № 25. С. 25-30.

68. Рогачева Н.Н. Уравнения состояния пьезокерамических оболочек // Прикл. математика и механика. 1981. 45, № 5. С. 902-911.

69. Рушицкий Я.Я., Хотенко И.М. Линейные волны в двухфазных пьезоэлек-триках // Докл. Нац. АН Украины. 1995. № 3. С. 41-43.

70. Рушицкий Я.Я., Хотенко И.Н. О нелинейных волнах в двухфазных пьезоэлектрических порошках // Прикладная механика (Киев). 1998. 34. № 8. С. 49-57.

71. Рынкова А. А. Об одной модели изгиба пьезоэлектрической пластины с разрезным электродом // 5-ая международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды". Тез. докл. междунар. научно-техн. конф. Ростов-на-Дону. 1999. Т.1. С. 162-166.

72. Рынкова А.А. Колебания пьезоэлектрического слоя с внутренним электродом // Труды VI межд. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, 12-14 июня 2000 г. Изд-во СКНЦВШ. Ростов-на-Дону. 2001. Т.2. С. 131-134.

73. Саркисян JI.B. О сдвиговых колебаниях пьезоэлектрического полупространства, на граничной поверхности которого прикреплен упругий проводящий слой // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1997. 50. № 3-4. С.115-119.

74. Соловьев А.Н. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамических тел прямоугольного сечения // Прикл. механика. 1984. Т. 20. № 9. с. 1235-1240.

75. Соловьев А.Н. Плоские смешанные задачи теории электроупругости для прямоугольной области. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону. 1987. 157 с.

76. Улитко А.Ф. О некоторых особенностях постановки грапничных задач электроупругости // Современные проблемы механики и авиации. М.: 1982. С. 290-300

77. Физическая акустика / Под. ред. У. Мэзона, Р. Терстона. М.: Мир. 1966. Т. 1.-Т. 7, 1974.

78. Филыитинский M.JL, Бардзокас Д. Концентрация напряжений в составной пьезокерамической пластине с отверстиями // Прикл. мех. (Киев). 1998,- 34, № 1. С. 98-110.

79. Хома И.Ю. О представлении решений уравнений равновесия пьезоэлектрического трансверсально-изотропной сферической оболочки // Прикладная механика (Киев). 1999. 35. № 7. С. 59-68.

80. Шачнев В.А. Уравнения изгиба пьезоэлектрической пластины // Научн. тр./Моск. лесотехн. ин-т. 1991. № 242. С. 213-225.

81. Шульга М.О., Евсейчик Ю.Б. Вынужденные колебания пьезокерамиче-ского сферического сегмента // Докл. Нац. АН Украины. 1994. № 3. С. 64-67.

82. Шульга Н.А., Болкисев, Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Науко-ва Думка. 228 с.

83. Якубова Л.П. Теоретические и экспериментальные исследования пьезо-чувствительности биморфного элемента при вибрационном нагружении // Техн. диагн. и неразруш. контроль. 1998. № 3. С. 61-63.

84. Akella Padma, Chen Xin, Cheng Welying, Hughes Declan, Wen John T. Modeling and control of smart structures with bonded piezoelectric sensors and actuators // Smart Mater, and Struct. 1994. 3. № 3. c. 344-383.

85. Bambill D.V., Reyes J.A., Laura P.A. A note on transverse axisymmetric vi-brationas of annular plates of non-uniform thickness // Sound and Vibr. 1996. №4. C. 584-589.

86. Batra R.C., Ghosh K. Deflaction control during dynamic deformations of a rectangular plate using piezoceramic elements // AIAA Journal. 1995. № 8. C. 1547-1548

87. Baz A. Boundary control of beams using active constrained layer damping // Trans. ASME J. Vibr. and Acoust. Trans. ASME J. Vibr., Acoust.Stress and Rel. Des. J. 1997. 119, № 2. C. 166-172.

88. Bisegua P., Maceri F. An exact three-dimentional solution for simply supported rectangular piezoelectric plates // Trans ASME. J. Appl. Mech. 1996. № 3. C. 628-638.

89. Bugdayci N., Body D.B. A two-dimensional theory for piezoelectric layers used in electro-mechanical transducers. Part 1. Derivation. // Int. J. Solids Struct. 1981. V. 17. No. 12. P. 1159-1178.

90. Chen Cang-Qing, Shen Ya-Peng Tree-dimentional analysis for the free vibration of finite-length orthotropic piezoelectric circular cylindrical shells // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust., Stress and Rel. Des. J. 1998. - 120. № 1. C. 194-198.

91. Chen Т., Lin F.Z. Boundary integral formulations for three-dimentional anisotropic piezoelectric solids // Comput. Mech. 1995. 15. № 6. C. 485-496.

92. D'Crus Jonathan Active supperession of aircraft panel vibration with piezo-ceramic strain actuators // J. Aircraft. 1998. 35. № 1. C. 139-144.

93. De Faria Altredo Rocha, De Almeida Sergio Frascino Muller Axisymmetric actuation of composite cylindrical thin shells with piezoelectric rings // Smart Mater, and Struct. 1998. 7. № 6. C. 843-850.

94. Dunn Barry, Garsia Ephrahin Optimal placement of a proof mass actuator for active structural acoustic control // Mech. Struct, and Mach. 1999. 27. № 1. C. 23-35.

95. Fang Youliang, Wu Zhe Numerical analysis of optimal control on composite plate deformation // J. Beijing Univ. Aeron. and Astronaut. 1999. 25. № 2.С. 176-179.

96. Fukunaga Hisao, S. Hideki, M. Yasushi Static deformation control of a laminated composite plate with piezoelectric actuators // JSME. Int. J.A. 1998. -41. №2. C. 267-273.

97. Gao Jianxin, Shen Yapeng, Wang Zikuen Three dimentional exact analysis for free vibration of simply-supported piezoelectric composite laminates // Lixue xuebao = Acta. mech. sin. 1998. 30. № 2. C. 168-177.

98. Haga Keigo, Fukunaga Hisao, Sekine Hideki Optimal placement method of piezoelectric actuators for static deformation control of composite structures // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng., A. 1998.- 64. № 623. C. 1970-1975.

99. Halevi P. Bimorphs piezoelectric flexible mirror: graphical solution and com-pavition with experiment // J. Opt. Soc. Amer. 1983. V. 73, N. 1. P. 110-113.

100. Hollkamp Joseph J., Starchville Thomas F. A self-tuning piezoelectric vibration absorber // AIAA/ASME Adapt. Struct. Forum Hilton Head S.C. Apr. 2122 1994. Washington, 1994. C. 521-529.

101. Hwang J.K., Choi C.-H., Song. C.K., Lee J.M. Identification of a thin plate with piezoelectric actuators and sensors // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust., Stress and Rel. Des. J. 1998. - 120. № 3. C. 826-828.

102. Irschik H.,Schlacher K. Eine Faltungsintergraldar-stellung fur piezoelektrisch induzierte Schwingungen: Biegeschwingungen geschichteter Platten // Elec-trotechn. und Inform. 1996. № 7-8. C. 520-525.

103. Kang Young Kyu, Park Hyun Chul, Agrawal Brij Optimization of piezoceramic sensor/actuator placement for vibration control of laminated plates // AIAA Journal. 1998. 36. № 9. C. 1763-1765.

104. Kapania Rakeshh K., Mohan P., Jakubowski A. Control of thermal deformations of spherical mirror segment // J. Spacecraft and Rockets. 1998. 35. № 2. C. 156-162.

105. Ladeveze Pierre. La theorie exacte de flexion des plaques // C. R. Acad. Sci. 2. Fasc. b. 1998. 326. № 7. C. 407-414.

106. Lee Seung S., White Richard M. Piezoelectric cantilever acoustic transducer // J. Micromech. and Microeng. 1998. 8. № 3. C. 230-238.

107. Ling-Hui He Axisymmetric response of circular plates with piezoelectric layers: an exact solution // Int. J. Mech. Sci. 1998. 40. № 2. C. 1265-1279.

108. Main John A., Garsia Ephrahim, Howard Doug Optimal placement and efficiently of paired piezoactuators in beam and plates // Smart Mater, and Struct. 1994.-3.№3. C. 373-381.

109. Nishigaki Tsuomi, Odavara Yasushi, Endo Mitsuru Vibration sensing and control of a flexible beam using piezoelectric films // Nihon Kikai gakkai ron-bunshu. С = Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1997. 63, № 615. C. 3728-3734.

110. Pletner Baruch, Abramovich Haim Consistent methodology for the modeling of piezolaminated shells // AIAA Journal. 1997. 35, № 8. C. 1316-1326.

111. Ray M.C. Optimal control of laminated plate with piezoelectric sensor and actuator layers // AIAA Journal. 1998 36. № 12. C. 2204-2208.

112. Renshaw A.A. Natural frequencies of circular plates shear and rotary inertia //Sound and Vibr. 1996. № 5. С. 1122-1124.

113. Ryou Jung-Kyu, Park Keun-Young, Kim Seung-Jo Electrode pattern design of piezoelectric sensors and actuators using genetic algorithms // AIAA Journal. 1998-36. №2. C. 227-233.

114. Saravanos Dimitris A. Mixed laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures// AIAA Journal. 1997. 35, № 8. C. 1327-1333.

115. Shen I.Y. A variational formulation, a work-energy relation and damping mechanisms of active constrained layer treatments // Trans. ASME J. Vibr. and Acoust. Trans. ASME J. Vibr., Acoust.Stress and Rel. Des. J. 1997. -119, №2. C. 192-199.

116. Shuo Hung Chang, Du B.C. Optimization of asymmetric bimorphic disk transducers applications // J. Acoust. Soc. Amer. 2001. 109, № 1. C. 194-202.

117. Sugavanam S., Varadan V.K., Varadan V.V. Modeling and control of a lightly damped T-beam using piezoceramic actuators and sensors // Smart Mater, and Struct. 1998. 7. № 6. C. 899-906.

118. Takigami Tadao, Oshima Kazuhiko, Hayakawa Yoshikazu Tracking control of a cantilever beam using self-sensing actuators based on virtual bridge circuit // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng., A. 1998. - 64. № 624. C. 2931-2938.

119. Tang P., Palazzolo A.B., Kascak A.F., Montague G.T. Active vibration control of rotating machinery with a hybrid piezohydraulic actuator system // Trans. ASME J. Eng.

120. Tano Masato, Guo Shijie, Kanemitsu Yoichi Пассивный контроль колебаний посредством пьезоэлектрических материалов с электрическими элементами сопротивления // Ebara Eng. Rev. 1999. № 183. С. 11-16. Яп.

121. Tsou H.S., Zhong J.P. A linear theory of piezoelectric shell vibrations // J. Sound and Vibr. 1994. 175, № 1. C. 77-88.

122. Wang Y., Stater J.C. A comparison of conventional and impedance methods for modeling piezoelectric materials in smart structures // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust., Stress and Rel. Des. J. 1998. - 120. № 3. C. 685-688.

123. Wang Zikung, Chen Geng-Chao A general solution and the application of space axisymmetric problem in piezoelectric material // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1994. - 15. № 7. C. 615-626.

124. Yang S.M., Bian J.J. Vibration suppression experiments on composite laminated plates using an embedded piezoelectric sensor and actuator // Smart. Mater, and Struct. 1996. № 4. C. 501-507.

125. Yang S.M., Lee Y.J. Interaction of structure vibration and piezoelectric actuation // Smart Mater, and Struct. 1994. 3. № 4. C. 494-500.

126. Yang Shengyuan, Huang Wenhao Piezoelectric constitutive equations for a plate shape sensor/actuator // AIAA Journal. 1997. 35, № 12. C. 1894-1895.

127. Yu Yi-Yuan On the ordinary, generalized, and pseudovariational equations of motion in nonlinear elasticity, piezoelectricity and classical plate theories // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1995. 62, № 2. C. 471-478.