Разработка конечно-элементных моделей тонкостенных пьезоэлектрических устройств тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правахрукописи

ДАНИЛЕНКО Алексей Сергеевич

РАЗРАБОТКА КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ТОНКОСТЕННЫХ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

01.02.04 - МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2004

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент Наседкин Андрей Викторович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Калинчук Валерий Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Карякин Михаил Игоревич

Ведушая организация Институт проблем механики РАН

Защита диссертации состоится «28» декабря 2004 г. в 16 часов 50 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «25» ноября 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время в технике широко используются устройства, принцип действия которых основан на прямом и обратном пьезоэффектах. Постоянно расширяющаяся область применения преобразователей из пьезокерамики объясняет интерес к моделированию и расчетам данных устройств.

Актуальность темы диссертационной работы определяется важностью задач, посвященных расчету пьезоактивных элементов различных типов. В связи с широким применением в технических устройствах пьезоэлементов, работающих на ярко выраженных одномерных модах колебаний, весьма актуальными являются вопросы построения широкого набора одномерных конечных элементов для расчета электрических и механических полей, возникающих в пьезоактивной среде, а также сопряжения одномерных пьезоэлектрических элементов с двумерными и трехмерными структурами.

Предметом исследования настоящей диссертационной работы являются одно- и многослойные пьезоизлучатели, работающие на толщинных или продольных модах колебаний; биморфные балки и пластины с различными электродными покрытиями. Интерес, связанный с такими объектами, вызван необходимостью проведения серий расчетов при оптимизации геометрии устройств и формы возбуждающих электрических воздействий. В частности, расчет АЧХ биморфных балок при различной геометрии электродного покрытия в двумерной постановке требует во много раз большего времени, чем при использовании одномерных элементов. При этом, как будет показано далее, в соответствующих частотных интервалах одномерные теории дают результаты, практически не отличающиеся от соответствующих результатов, построенных с помощью двумерных моделей.

Цель диссертации состоит в разработке широкого набора конечных элементов (КЭ) для моделирования различных одномерных мод колебаний, которые помимо самостоятельного использования можно было бы применять в различных конечно-элементных пакетах, например, в КЭ комплексе ACELAN, ориентированном на расчет пьезоустройств. Данный пакет разработан на кафедре математического моделирования

РГУ (http://www.math.isu.ru/acelan/).

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующих основных результатах, полученных автором:

- разработан набор новых пьезоэлектрических КЭ с ближней и дальней связанностью электрических степеней свободы для пьезоэлементов канонической формы при основных типах колебаний (толщиные колебания дисков и пластин, продольные движения стержней, изгибные движения балок, биморфов, пластин и т.д.);

- установлена квазиупругая аналогия для редуцированных формулировок одномерных пьезоэлектрических КЭ;

- для предложенных КЭ построены элементные матрицы симметричной седловой структуры в виде, допускающем модели учета демпфирования, принятые в пакете ACELAN;

- разработана техника соединения одномерных и двумерных КЭ с различным числом степеней свободы.

Практическая ценность состоит в интеграции одномерных пьезоэлектрических КЭ в пакет ACELAN. Одномерные КЭ могут использоваться для оптимизации геометрии и возмущающих электрических импульсов пьезоизлучателей, нагруженных на акустическую среду; для расчетов пьезоэлектрических биморфов с различными электродными покрытиями, а так же для расчетов составных устройств с рабочими элементами, функционирующими на основных одномерных модах колебаний.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгого аппарата динамической теории электроупругости, применением вариационного принципа Гамильтона для получения слабых постановок, сопоставлением результатов с результатами, полученными другими авторами в частных случаях, а также большим количеством численных экспериментов, проведенных для различных моделей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на V международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1999 г.), международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (Ростов-на-Дону, 2001 г.), XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2003 г.), 6 Hellenic-European Conference on Computer Mathematics and its Applications. (Афины, 2003 г.), Х международной конференции «Математические модели физических процессов» XXI International Congress of Theoretical and Applied Me-

chanics (Варшава, 2004 г.), III Школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, 2004 г.), и в полном объеме на семинарах кафедр теории упругости и математического моделирования РГУ.

Работа выполнена при поддержке гранта программы «Университеты России» (015.03.01.16, 2001), гранта РФФИ (02-01-00840) и гранта по поддержке ведущей научной школы (НШ-2113.2003.1)

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в работах [1-10], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертационной работы составляет 142 страницы, включает 34 рисунка и 12 таблиц. Библиографический список содержит 151 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, проведен обзор публикаций по моделированию электроупругих сред, расчету пьезоустройств и методу конечных элементов; сформулированы цели работы и дана краткая аннотация всех глав диссертации.

Пьезоэлектрический эффект был открыт в 1880 году Джексом и Пьером Кюри. К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении свойств взаимодействия механических и электрических полей в пьезоактивных материалах, созданы разнообразные технические устройства, работа которых основана на пьезоэлектрическом эффекте. Пьезоэлектрические элементы идеальны при использовании в качестве электромеханических преобразователей из-за простоты изготовления и относительно низкой себестоимости. Пьезоэлементы распространены повсеместно: от бытовых пьезозажига-лок, до сложнейших медицинских приборов, систем неразрушающего контроля и смарт-устройств. Столь широкое применение пьезоматериалов объясняет большой интерес к построению моделей пьезоэлементов, их расчету и оптимизации.

К настоящему времени даны строгие математические постановки задач электроупругости при различных типах граничных условий, сформулированы различные вариационные принципы, предложены и обоснованы численные методы решения. Систематическое изложение теории и методов электроупругости дается в работах Бабешко В.А., Бе-локоня А.В., Воровича И.И., Гринченко В.Т., Кудрявцева Б.А., Партона В.З., Сеника Н.А., Улитко А.Ф., Шульги Н.А., Mason W.P., Mindlin R.D., Nelson D.F., Nowacki W., Tiersten H.F. и многих других авторов. В работах Гетмана И.П., Устинова ЮА. применен метод однородных решений для исследования колебаний плит и волноводов. В работах Белоконя А.В., Гринченко В.Т., Соловьева А.Н. разработан метод суперпозиции, применяемый для анализа колебаний тел канонической формы. Динамические же задачи злектроупругости для неканонических областей в общем случае не поддаются решению чисто аналитическими методами и требуют применения прямых численных методов.

Возможности применения МГЭ для задач электроупругости исследовались Ватуль-яном А.О., Кирютенко А.Ю., Кубликовым В.Л.. Наиболее же разработанным и подходящим для решения необходимых для практики задач электроупругости следует признать МКЭ.

Первое применение метода конечных элементов показано в 1950 году в работе Turner M.J., Clough R. W., Martin H.C., Topp L.J. Для пьезоэлектрических сред вывод уравнений МКЭ из энергетических принципов проведен впервые в 1970 г. Allik H., Hughes T.J.R. В последующих многочисленных публикациях МКЭ получил серьезное дальнейшее развитие. В СССР и на постсоветском пространстве применением МКЭ в электроупругости активно занимались Балабаев С.М., Ивина Н.Ф., Болкисев A.M., Шульга Н.А Кажис Р.-Й. Ю., Мажейка Л.Ю., Шинкаренко Г.А и многие другие. Из работ последнего времени необходимо отметить пакет ACELAN, разрабатываемый на кафедре математического моделирования РГУ под руководством Белоконя А.В. В группу разработчиков входят Еремеев ВА, Курбатова Н.В., Надолин КА, Наседкин А.В., Ска-лиух А.С., Соловьев А.Н. и другие.

Зарубежные работы по МКЭ в электроупругости еще более многочисленны. Помимо перечисленных, можно отметить работы Kagawa Y., Yamabuchi Т., Lerch R., Tzou H.S., Tseng C.I., Kim J., Lee J.-K., разработчиков пакетов ATILA, САРА и PZFlex. Конечные элементы для пьезоэлектрических стержней, многослойных балок и пластин приме-

нительно к задачам расчета сенсоров и актюаторов разрабатывались Chandrashekhara К., Crawley E., Gaudenzi P., Kagawa Y., Saravanos DA., Stewart J.T., Tauchert T.R. и другими авторами.

Необходимо отметить, что к настоящему времени МКЭ в электроупругости разработан до уровня готовых программных продуктов и накоплен значительный опыт в практике расчетов по МКЭ разнообразных пьезоэлектрических устройств. Однако процесс разработки МКЭ в «тяжелых» КЭ пакетах для задач электроупругости происходил в основном в распространении на эти задачи обычных подходов МКЭ. Это привело к ряду ограничений в пьезоэлектрическом КЭ анализе. Одним из ограничений является отсутствие одномерных пьезоэлектрических конечных элементов. В [3] предложена обратная «электромеханическая аналогия» для моделирования пьезоэлектрических и акустических КЭ эквивалентными упругими элементами с пружинами с отрицательными коэффициентами жесткости и заданными в отдельных узлах матрицами демпфирования. Такой подход расширяет возможности одномерного моделирования пьезоустройств, однако, не снимает проблемы построения специальных одномерных пьезоэлектрических конечных элементов.

Основной целью данной работы как раз является построение широкого набора одномерных элементов.

Первая глава посвящена постановкам задач акустоэлектроупругости и их КЭ аппроксимациям, принятым в пакете ACELAN.

В первом разделе главы приведены континуальные постановки задач акустоэлек-троупругости, включающие в себя полевые уравнения, определяющие соотношения со специфическим методом учета демпфирования в электроупругой среде и различные типы граничных условий. Введены понятия -задачи (когда на электродах заданы заряды) и ^-задачи (когда заданы электрические потенциалы).

Во втором разделе на базе континуальных постановок сформулированы слабая постановка задач акустоэлектроупругости и конечно-элементная аппроксимация, ориентированная на ACELAN, которая имеет вид

Mä+Ca+Ka = F, (1)

где а - вектор узловых степеней свободы. Матрицы масс М т, демпфирования См и жесткости К„„ те же, что и в структурном анализе. Матрицы К„г и К^, отражают пьезоэлектрические и диэлектрические свойства. Матрицы М^,, Сгг, К^ описывают поведение акустической среды, а - ее контакт с твердым телом. Векторы , ^ формируются в результате учета механических и электрических воздействий, - коэффициент затухания в пьезоэлектрической среде, £„ - параметр, отражающий диссипацию в акустической среде.

Третий раздел посвящен описанию симметричных форм разрешающих уравнений для задачи (1) с соответствующими начальными и граничными значениями. Представлены как методы решения задач об установившихся колебаниях, так и методы решения нестационарных задач.

Вторая глава посвящена построению одномерных конечных элементов, описывающих различные одномерные колебания пьезоэлектрических тел.

В первом разделе рассмотрена модель толщинных пьезожестких колебаний одномерной структуры, в которой электрическое поле параллельно направлению движения, а торцы электродированы. Построена слабая постановка и соответствующая ей КЭ аппроксимация для линейных лагранжевых КЭ со степенями свободы механических перемещений ик, 11 я и электрического потенциала Ф4, Ф„ в узлах хк и . Локальные объекты для данного КЭ имеют вид:

Л,

К"' = —

с е -с -е

е -э э

-с -е с е

-е э е -з

Ме/ =

аАр

■а; ^

а

"2 0 1 0' ик

0 0 0 0 Ф*

1 0 2 0 > ит

0 0 0 0 фт

V» л.

ь £ =К = 2 '

(2)

Построена КЭ аппроксимация для элементов с единственными узловыми степенями свободы механических перемещений и . На примере этой модели сформулирова-

Рис.1 *<0

¡ЛШШШд >

Рис.2

на квазиупругая или обратная электромеханическая аналогия. Продемонстрировано, что (-задачу (на электродах задан заряд () можно моделировать упругой средой с плотностью р и модулем упругости в граничных точках которой кроме

цних механических сил действуют силы Рщ ~(е/ э){) при Х = Хк и Ру, =-(е/э)(£ при Х = Хт (Рис. 1). Также показано, что ^-задачу (когда задана разность потенциалов V) можно промоделировать упругой средой с плотностью р и модулем упругости С , в граничных точках которой помимо возможных внешних активных механических сил действуют силы = -(еА) / при Х~Хк и ^я=(е^/ЛуГпри Х = хт, а также связывающей точки Хк и Хт пружиной с отрицательным (!) коэффициентом жесткости к = ~{егА^1( эАу), т.е. «антипружиной» (Рис. 2).

Во втором разделе главы описано моделирование чисто упругих и акустических одномерных КЭ, необходимых для расчета многослойных излучателей, нагруженных на акустическую среду. Соответствующие матрицы для чисто упругого тела получаются из (2) вычеркиванием четных строк и столбцов, отвечающих электрическому потенциалу. Матрицы для акустических сред можно получить как матрицы чисто упругого тела с

«плотностью» и «модулем упругости» . Представлены также матрицы

связи упругих и акустических КЭ и матрицы для задания импедансных граничных условий. Данный набор КЭ позволяет моделировать при толщинных колебаниях как пьезоэлектрические, так и акустические среды квазиупругими одномерными элементами.

В третьем разделе главы рассмотрено моделирование изгиба полностью электроди-рованной биморфной пластины. Потенциальная (П) и кинетическая (К) энергии пластин задаются следующими формулами

п ^^/(>04 -¿^/рл,-а/^л,, ,

(3)

ьи}

Е"

1+/?

1 (¡.

1А1

где ~ 12' 5„(1-»/2)'г 4э3з~"У" 5п+512'

^л =<^31 = Л, 6 - длина, толщина и ширина биморфа, V - раз-

ность потенциалов между электродами, q - распределенная нагрузка по поверхности,

г.*

- прогиб срединной поверхности, 5ц = 5/|, 5|2=5|2 - упругие податливости,

пьезомодуль, Э33 - диэлектрическая проницаемость. Использованием вариационного принципы Гамильтона, стандартной КЭ аппроксимации функции прогиба V/ и формулы (3), получены следующие КЭ матрицы биморфной балки

(4)

Если разность потенциалов V на электродах неизвестна, то для ее определения требуется дополнительное уравнение

(5)

где Q - известный заряд на электроде. Если же изначально известна разность потенциалов V, то (5) может использоваться для вычисления возникающего заряда.

Как и в случае толщинных колебаний, показана обратная электромеханическая аналогия. Однако тут для 0-задачи появляется винтовая пружина, а для ^-задачи пружина или антипружина отсутствуют.

Далее в третьем разделе предложен вариант внесения электрического потенциала в набор узловых степеней свободы, что позволяет использовать одинаковые элементные матрицы как в случае Р-задач, так и в случае Q-задач.

В четвертом разделе главы рассмотрены модели изгиба биморфов при других видах электродных покрытий. Отмечено, что случай свободного электрода является частным случаем Q-задачи при Q = 0. Случай отсутствия всех электродов или только срединного

получается из V-задачи заменой в (4) Е на Еп* =l+4/?/(Su(l-v2)) при V — 0 ( Fee; = 0). При этом если отсутствует только срединный электрод, то заряд и разность потенциалов связаны простым линейным соотношением, то есть, нет необходимости разделять V- и Q-задачи.

В пятом разделе описана модель изгиба биморфа, которая учитывает растяжение срединной линии. Данная модель имеет в качестве узловых перемещений два перемещения по ортогональным осям, что необходимо для стыковки одномерных моделей с уже существующими в ACELAN двумерными элементами. Отмечается, что если ставится задача отыскания только прогиба биморфа, то она может решаться отдельно от задачи растяжения срединной линии.

В шестом разделе главы приведены формулы изменения элементных матриц при переходе к глобальной системе координат. Данная процедура не требуется, если рассматривается отдельная одномерная задача, однако она необходима в случае, когда одномерный пьезоэлемент является частью более сложного устройства.

Седьмой раздел подытоживает результаты предыдущих разделов второй главы. В нем описываются различные типы КЭ, характерные для анализа тонкостенных пьезоэлектрических устройств.

Как следует из раздела 2 первой главы, в общем случае уравнения электроупругости для КЭ с номером при учете демпфирования по модели, принятой в пакете ACELAN, можно представить в виде:

Ml-V'1 +C«-VeJ +К1 -V" +K« = F:>, (6)

м; • &+к% ■ и"-къ-Ф« = У , (7)

Если предположить, что узловые потенциалы для отдельных КЭ известны (V-задача для КЭ), то из (6) получаем уравнения движения МКЭ для определения узловых перемещений

М1 • ü"+С1 ■ м'1+к:. vJ=rj - к;; (8)

Если же для отдельных КЭ известны заряды (Q-задача для КЭ), а следовательно, векторы , то из (6), (7) легко получить:

М* •V'1 +С*-V" +К< -и* (9)

где

к>К<КГ1-<> К= К<КУКК (11)

Заметим, что к КЭ формулировке (8) с учетом (10) можно добавить выражения:

&К/, К^ = К> -К^ (12)

Таким образом, для отдельного пьезоэлектрического КЭ можно дать пять различных формулировок: связанная формулировка (6), (7); редуцированная формулировка (8)

с матрицами С^, К^ для ^-задачи; редуцированная формулировка (8), (12) с матрицами С^, Кщ и матрицей (-К^), описывающей «антипружину», для задачи; редуцированная формулировка (9) с матрицами С^, К^ для ^-задачи; и редуцированная

формулировка (9), (10) с матрицами С^, К^ и матрицей описывающей «пружину», для 0-задачи. При этом, для всех формулировок, кроме первой, можно привести соответствующую квазиупругую аналогию.

Для отдельных КЭ редуцированные формулировки обычно не используются, так

как

или обычно не известны. Однако, для одномерных задач электроупругости электрический потенциал можно выразить через механические перемещения еще на этапе рассмотрения континуальной задачи. В одномерных задачах для пьезомягких мод, ксгда электрическое поле перпендикурярно направлению распространения колебаний, как, например, при изгибе биморфов в разделах 3, 4, существенны формулировки (8) для ('-задач и (9), (10) - для 0-задач с матрицами Сш, Кт и матрицей К, . Наоборот, для одномерных пьезожестких мод, когда электрическое поле параллельно направлению распространения колебаний, как, например, при толщинных колебаниях из разделов 2,3 или при продольных колебаниях продольно поляризованного стержня, существенны формулировки (9), (12) для 7-задач

с матрицами и матрицей

(-К.) и формулировка (9) - для 0-задач.

Для одномерных задач редуцированные формулировки можно предложить для целой группы элементов. Отличительной особенностью таких подходов для группы КЭ является то, что теперь матрицы К, связывают только узлы, выбранные представителями электродированных участков, а матрицы или получаются ан-самблированием соответствующих элементных матриц по всей группе элементов.

В результате получаем, что для одномерных КЭ можно предложить целый набор формулировок: одну связанную формулировку и четыре редуцированных формулировок для отдельных КЭ, а также еще четыре редуцированных квазиупругих формулировки для группы КЭ с дальними связями граничных степеней свободы. Важность последних формулировок была отчетливо видна из материалов предыдущих разделов главы 2.

Третья глава посвящена проблеме соединения одномерных и двумерных конечных элементов с различными наборами узловых степеней свободы. Достаточно часто в различных пьезоэлектрических устройствах отдельные составные части работают на ярко выраженных одномерных модах колебаний. Такие части удобно моделировать одномерными конечными элементами, в то время как остальные части моделируются двумерными КЭ. Из этого вытекает проблема соединения одномерных и двумерных КЭ с различным числом степеней свободы.

В первом разделе главы предложена модель учета стыковки одно- и двумерных КЭ. В двумерных КЭ в качестве узловых степеней свободы выступают смещения по осям координат их) иу. В одномерных балочных элементах к ним добавляется еще и угол поворота сечения . В точке соединения Рис. 3 необходимо связать у с узловыми перемещениями двумерных

КЭ (Рис. 3). Для этого предлагается считать балку жестко скрепленной с ребром двумерного элемента, выходящим из узла контакта. Угол поворота ребра ЫЫ двумерного элемента относительно узла Ызадается соотношением

Уг -^)со8(аг)-(м,2 -«1)5т(а2))( (13)

где И^,, „I и* -смещения узловой ^соответственно, Я2 - угол наклона ребра ЫЫ в исходной геометрии.

Для более корректного учета связи угла поворота одномерного ребра с линейными смещениями узлов двумерного конечного элемента предложена модификация описанного выше подхода. Угол у предлагается считать равным у = \!2{уг где У у - поворот выходящего из N ребра Ж другого двумерного КЭ.

Во втором разделе описан метод учета уравнений связи в уравнениях МКЭ и особенности этого метода при использовании связи, заданной (13).

В третьем разделе описаны особенности использования одномерных элементов и условий их контакта с двумерными КЭ в пакете АСЕЬАЫ. Пакет АСЕЬАЫ ранее имел только двумерные элементы. Добавление одномерных КЭ потребовало определенных изменений в основных модулях пакета, а так же в форматах хранения и передачи данных между модулями.

В препроцессоре АСЕЬАЫ потребовалась организация ввода дополнительной информации о геометрии поперечного сечения одномерных КЭ и сохранение признака одномерности соответствующих ребер. В триангуляторе -добавление процедур разбиения ребер, имеющих признак одномерности. Наибольшим изменениям подверглись процедуры ансамблирования КЭ и учета граничных условий. В процедуру ансамблирования добавлен блок формирования локальных матриц для одномерных элементов. В процедуру учета граничных условий добавлен блок учета стыковки одно- и двумерных элементов, реализующий метод, описанный выше.

Следует отметить, что автору принадлежат идеи изменения модулей комплекса и реализация предложенных изменений в части ансамблирования КЭ и учета граничных условий. Реализация препроцессора, триангулятора и постпроцессора 2Б-версии АСЕЬАЫ принадлежит другим коллегам, работающим над проектом АСЕЬАЫ.

Четвертая глава посвящена построению модели изгиба биморфной пластины с различными видами электродных покрытий в двумерной постановке. Как и в одномерной модели, КЭ аппроксимация для полностью электродированной пластины получается из сзриационного принципа Гамильтона, для применения которого кинетическая и потенциальная энергии записаны в виде

К = ^ (14)

где V ~ \+ß ' ^ " заданные усилия на боковой поверхности, и -

растяжение срединной поверхности. Отмечено, что при и = 0 выражение (15) совпадает с соответствующим выражением, полученным в работе Ватульяна А.О., Гетмана И.П. и Лапицкой Н.Б. Такой вид потенциальной энергии позволяет строить КЭ, моделирующие изгиб, без учета растяжения срединной поверхности. Подробный вид матриц МКЭ здесь не приводится из-за их громоздкости. Приведем лишь выражение матриц и векторов МКЭ через интегралы от известных функций формы

(16)

где N - вектор функций формы.

Далее построено дополнительное уравнение для ^-задачи

М 2

fjÄNiß

h

V = -2Q

(17)

и отмечено, что добавление (17) к (16) позволяет моделировать ^-задачу заданием главного граничного условия V = У0 . Как и в случае изгиба балки, построены аппроксимации при других типах электродного покрытия, для которых справедливы рассуждения, проведенные при описании балок.

Пятая глава посвящена различным численным экспериментам, проведенным с построенными КЭ.

В первом разделе описаны расчеты трехслойного пьезоизлучателя, нагруженного на воду, проведенные с помощью одномерных элементов растяжения-сжатия. Приведены частоты резонансов и антирезонансов, а так же результаты решения нестационарных задач о возбуждении импульсов давления при подаче электрического воздействия на электроды. Приведены графики давления в жидкости, полученные при различных задаваемых на электродах потенциалах. Предложено электрическое воздействие (Рис. 4) и отвечающее ему давление в жидкости (Рис. 5) с небольшими отрицательными значениями. Такие давления подходят для медицинских приложений, и были рассчитаны для структуры силовой антенной решетки литотриптора ЛУ-1.

Рис. 4 Рис. 5

Во втором разделе главы приведены численные эксперименты с КЭ изгибных колебаний. Моделируется биморф длины / = Ы0 1 (м), высоты А = 2-10 3 (м), изготовленный из пьезокерамики ПКР-8 при различных видах заделки и подаваемых электрических возмущениях. Сначала рассматривается консольно заделанный биморф. Для него определены частоты резонансов и антирезонансов; построены АЧХ на отрезке частот от /ь = 0(Гц), /с =Ы04 (Гц). Отмечено хорошее совпадение результатов, полученных с помощью одномерных КЭ и с помощью двумерных КЭ пакета А№У8. Далее рассмат-рен шарнирно опертый биморф, для которого найдены аналогичные характеристики. В Табл. 1 и 2 приведены частоты электрического резонанса и антирезонанса для шарнирно опертого биморфа, полученные с помощью одномерных моделей при разбиении по длине на 20 элементов (колонка 3), а так же с помощью двумерных моделей А№У8 (колон-

ки 1 и 2). Данные в колонке 1 получены при разбиении по длине на 20, по высоте на 4 элемента, а в колонке 2 - при разбиении на 40 и 8 элементов соответственно.

Табл.1

Табл. 2

На Рис. 6 и 7 приведены АЧХ ((V) и V(Q) с учетом демпфирования. Сплошной линией на графиках представлено решение, полученное с помощью одномерной модели. Крупным пунктиром - решение, полученное в А№У8 при таком же разбиении, а мелким пунктиром - решение для двумерной модели А№У8, но при измельченном в два

Рис. 6 Рис. 7

раза разбиении. Необходимо отметить, что результаты, полученные с помощью одномерных моделей, лучше совпадают с результатами, полученными с помощью двумерной модели в А№У8 при вдвое измельченном разбиении; т.е. применение одномерной модели позволяет получать более точный результат при меньшем числе элементов.

Далее показаны две первые моды колебаний шарнирно опертого биморфа и приведена таблица прогибов середины биморфа, полученных при помощи одномерных и двумерных моделей. Отмечена высокая точность одномерных моделей.

Для тестирования одномерных КЭ при неполном электродном покрытии была рассмотрена задача для пьезотрансформатора, изображенного на Рис. 8. На левом крае

трансформатора задан известный потенциал, а на правом - нулевой заряд.

Рис.8 Основными характеристи-

ками данного устройства являются частоты резонанса, которые приведены в Табл. 3. В колонке 3 приведены частоты, полученные с помощью одномерных КЭ при разбиении каждого из трех участков на 10 элементов; в колонках 1 и 2 -с помощью двумерных КЭ при разбиении каждого участка на 10 элементов по длине и на 4 по высоте (колонка 1) и на 20 по длине, 8 по высоте (колонка 2).

Табл.3

3 третьем разделе продемонстрированы результаты расчетов структур, составлен-—I ных из одно- и двумерных элементов. Например, рассмотрена модель пьезоустройства, приведенная на Рис.

Рис. 9 9. В АСЕЬАЫ Левая часть моделируется двумерными КЭ,

а правая - одномерными; в А№У8 обе части моделируются двумерными КЭ. Результаты прогибов правого конца биморфа под действием подаваемой на электроды разности потенциалов или приложенной к правому концу сосредоточенной силы по вертикали приведены в Табл. 4.

Тип нагрузки Прогиб правого края биморфа (м) Отклонение (%)

А^УБ

Разность потенциалов -1.1503Е-03 -1.1595Е-03 -0.79

Сила -5.8614Е-05 -5.7715Е-05 1.56

Табл.4

Приведенные выше и другие результаты, имеющиеся в Гл 5, свидетельствуют об эффективности применения одномерных конечных элементов в пьезоэлектрическом конечно-элементном анализе при расчете реальных пьезоэлектрических устройств.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построен и программно реализован набор одномерных КЭ, моделирующих работу многослойных пьезоизлучателей, нагруженных на акустическую среду.

2. На основании серии расчетов многослойного излучателя силовой антенной решетки литотриптора ЛУ-1 предложена эффективная для медицинских применений форма электрического импульса.

3. Построены одномерная и двумерная КЭ модели изгибных колебаний биморфов с различными видами электродных покрытий и проанализированы АЧХ биморфов для различных моделей.

4. Предложены квазиупругие или обратные электромеханические аналогии для пьезоэлектрических элементов растяжения-сжатия и изгиба, позволяющие моделировать пьезоэлектрические и упругие КЭ чисто упругими КЭ. Выделены КЭ с дальней связью электрических степеней свободы.

5. Предложена модель соединения одномерных и двумерных упругих и пьезоэлектрических КЭ с различным набором степеней свободы.

6. Разработанные КЭ допускают модели учета демпфирования, принятые в пакете ACELAN, и имеют матрицы симметричной седловой структуры. Созданные одномерные КЭ в рамках единой методологии внедрены в пакет ACELAN.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Даниленко А.С., Наседкин А.В. Исследование импульсных характеристик многослойных пьезоизлучателей по МКЭ // Совр. пробл. мех. спл. среды. Тр V Межд. конф, г. Ростов н/Д, 14 окт. 1999 г. Т. 2. / Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2000. С. 93-98

2. Даниленко А.С. Расчеты эффективных пьезоизлучателей импульсных акустических волн // Мат. мод и выч. эксп. в мех. и физ. Тез. докл. межд. конф. Секции аспирантов, магистрантов и студентов РГУ. Ростов-на-Дону, 3-9 дек. 2001. г. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР», 2001 С. 10

3. Даниленко А С, Наседкин А.В. Разработка конечных элементов для стержневых и балочных пьезоэлектрических преобразователей // Бюник Донецького университету. Сер А: Природнич1 науки. 2002. Вип 1. С.127-130.

20 №25 6 5 8

4. Belokon A.V., Danilenko A.S., Nasedkin A.V., Skaliukh A.S., Soloviev A.N. New finite element models for composite and non-uniform polarization piezoelectric structures // XXXI Summer School-Conf "Advanced Problems in Mechanics". June 22 - July 2, 2003, StPetersburg (Repino), Russia. АРМ

2003. Book ofAbstracts. St.Petersburg, 2003. P. 27.

5. Danilenko A.S., Nasedkin A.V. Quasi-elastic finite elements for piezoelectric bimorfbeams and plates // HERCMA-2003. 6 Hellenic-European Conference on Computer Mathematics and its Applications. Sept. 25-27,2003. Athens, Hellas. Book ofAbstracts. Part II. 2003. P.6.

6. Даниленко A.C., Наседкин А.В. О моделировании биморфов пьезоэлементов для пакета ACELAN // Мат. мод. физ. процессов. Тр. X Межд. конф., Таганрог, 2004. С. 184-188.

7. Belokon A.V., Danilenko A.S., Nasedkin A.V., Skaliukh A.S., Soloviev A.N. New family of finite element models for composite and non-uniform polarization piezoelectric structures // XXI Int. Congress of Theoretical. And Applied. Mechanics. August 15 - 21, 2004, Warsaw, Poland. Abstracts Books. Warszawa: IPPT PAN, 2004. P.213.

8. Даниленко А.С. О соединении одномерных и двумерных конечных элементов с различным числом степеней свободы // Тр. асп. и соиск. РГУ. Том X. Ростов-на-Дону, 2004. С. 15-17.

9. Даниленко А.С., Наседкин А.В. Специальные формы одномерных конечных элементов для пьезоэлектрического анализа // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Естественные науки.

2004. Спецвыпуск. С. 78-82.

10. Даниленко А.С. К использованию одномерных конечных элементов в ACELAN // Мат. мод., выч. мех. и геофиз. Тр. III Школы-семинара, Ростов-на-Дону, 2004, С. 75-77.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 22.11.04 г. Подписано в печать 22.11.04 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 553. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,0. Усл.печ.л. 1,0. Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02 98 г.

Введение

Глава 1.КЭ аппроксимации задач акустоэлектроупругости на 16 примере реализации в пакете АСЕЬА№

1.1. Континуальные постановки задач акустоэлектроупругости

1.2. Слабые постановки и конечно-элементные аппроксимации 22 задач акустоэлектроупругости

1.3. Симметричные формы разрешающих уравнений

Глава 2. Одномерные конечно-элементные модели 33 колебания пьезоэлектрических тел

2.1. Конечно-элементные модели толщинных колебаний 33 пьезоэлектрических тел

2.2. Конечно-элементные модели толщинных колебаний 39 многослойных структур, нагруженных на акустическую среду

2.3. Конечно-элементные модели изгибные колебания полностью 43 электродированных биморфов

2.4. Конечно-элементные модели изгибных колебаний биморфов при 51 различных типах электродных покрытий

2.5. Расширенная модель изгибных колебаний

2.6. Переход к глобальным координатам

2.7. Общий вид связанных и редуцированных формулировок

Глава 3. Соединение одномерных и двумерных конечных 66 элементов с различным числом степеней свободы

3.1. Модель учета стыковки одномерных и двумерных конечных 66 элементов

3.2. Учет уравнений связи в МКЭ

3.3. Особенности использования одномерных элементов и условий 74 их контакта с двумерными КЭ в пакете АСЕЬАИ

Глава 4. Двумерные конечно-элементные модели изгиба 82 электроупругих пластин

4.1. Двумерные конечно-элементные модели изгиба электроупругих 82 пластин

Глава 5. Численные эксперименты

5.1. Численные эксперименты с конечными элементами толщинных 97 колебаний

5.2. Численные эксперименты с конечными элементами изгибных 105 колебаний

5.3. Численные эксперименты с условием контакта 1Р и 2Р 116 элементов с различным набором степеней свободы

Пьезоэлектрический эффект был открыт в 1880 году Джексом и Пьером Кюри. Они заметили, что в некоторых кристаллах при механическом воздействии на них появляется электрическая поляризация, причем степень ее пропорциональна величине воздействия. Позже Кюри открыл инверсионный пьезоэлектрический эффект — деформирование материалов, помещенных в электрическое поле. Эти явления называют прямым и обратным пьезоэлектрическими эффектами [35, 70]. К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении свойств взаимодействия механических и электрических полей в пьезоактивных материалах, созданы разнообразные технические устройства, работа которых основана, на пьезоэффекте.

Для последующего понимания целесообразно ввести следующее общепринятое в зарубежной практике условное деление типовых пьезоэлементов в зависимости от их конфигурации: пластина (plate), диск (disc), кольцо (ring), брусок (bar), стержень (rod), цилиндр (cylinder). Существуют также гибкие пьезокерамические элементы: пластинчатые (plate bender) и дисковые (disc bender), которые, в свою очередь, подразделяются на юниморфы (unimorph), то есть однослойные, и биморфы (bimorph) — двухслойные.

Пьезоэлектрические элементы идеальны при использовании в качестве электромеханических преобразователей. Они достаточно широко используются для изготовления пьезокерамических компонентов, узлов и устройств [29, 46, 61]. Все изделия, изготовленные на базе пьезокерамики, подразделяют на следующие основные группы: генераторы, датчики (сенсоры), актюаторы (пьезоприводы), преобразователи и комбинированные системы.

Пьезокерамические генераторы преобразуют механическое воздействие в электрический потенциал, используя прямой пьезоэффект. Примерами могут служить искровые воспламенители нажимного и ударного типов, применяемые в разного рода зажигалках и поджигающих системах, а также твердотельные батареи на основе многослойной пьезокерамики, применяемые в современных электронных схемах.

Пьезокерамические датчики преобразуют механическую силу или движение в пропорциональный электрический сигнал, то есть также основаны на прямом пьезоэффекте. В условиях активного внедрения компьютерной техники датчики являются незаменимыми устройствами, позволяющими согласовывать механические системы с электронными системами контроля и управления. Выделяются два основных типа пьезокерамических датчиков: осевые (механическая сила действует вдоль оси поляризации) и гибкие (сила действует перпендикулярно оси поляризации). В осевых датчиках в качестве пьезоэлементов используют диски, кольца, цилиндры и пластины. В качестве примеров можно привести датчики ускорения (акселерометры), датчики давления, датчики детонации, датчики разрушения и т. п. Гибкие датчики строятся на основе последовательных (слои керамики имеют противоположную направленность поляризации) и параллельных (направленность поляризации слоев совпадает) пьезокерамических биморфов. Наиболее распространены датчики силы и ускорения.

Актюаторы строятся на принципе обратного пьезоэффекта и поэтому предназначены для преобразования электрических величин (напряжения или заряда) в механическое перемещение (сдвиг) рабочего тела. Актюаторы подразделяются на три основные группы: осевые, поперечные и гибкие. Осевые и поперечные актюаторы имеют еще общее название — многослойные пакетные, так как набираются из нескольких пьезоэлементов дисков, стержней, пластин или брусков) в пакет. Они могут развивать значительное усилие (блокирующую силу), но при очень малых отклонениях рабочей части. Такие актюаторы также называют мощными.

Гибкие актюаторы (биморфы) развивают незначительную блокирующую силу при малых отклонениях рабочей части. Гибкие актюаторы применяются в печатающих головках струйных принтеров в качестве активаторов [76, 92], за счет которых происходит выброс чернил.

Пьезокерамические преобразователи [39, 41] предназначены для преобразования электрической энергии в механическую. Так же как и актюаторы, основываются на принципе обратного пьезоэффекта. Преобразователи в зависимости от диапазона частот подразделяются на три вида:

• звуковые (гаже 20 кГц) — зуммеры, телефонные микрофоны, высокочастотные громкоговорители, сирены и т. п.;

• ультразвуковые — высокоинтенсивные излучатели для сварки и резки, мойки и очистки материалов, датчики уровня жидкостей, дисперсионные распылители, генераторы тумана, ингаляторы, увлажнители воздуха. Значительной группой выделяются так называемые ультразвуковые измерители расстояния в воздушной среде (Air Transducers), являющиеся пьезокерамическими компонентами. Они используются в качестве измерителей расстояния для автотракторной техники, сенсоров наличия и движения в охранных системах, в уровнемерах, для дистанционного контроля и управления, в устройствах отпугивания птиц, зверей, сельскохозяйственных вредителей и т. д.;

• высокочастотные ультразвуковые — оборудование для испытания материалов и неразрушающего контроля, диагностика в медицине [16, 17, 39] и промышленности, линии задержки и т. д.

Комбинированные пьезоэлектрические системы состоят из нескольких элементов перечисленных выше типов. В качестве примеров таких систем можно привести эхолоты, пьезотрансформаторы [109], смарт-материалы, состоящие из сенсоров и актюаторов. Такие материалы используются для гашения нежелательных колебаний, минимизации прогибов, задания определенной формы колебаний [73, 110, 114, 115, 117, 126, 133, 139, 145]. Проблемы гашения колебаний также решаются с помощью применения пьезоэлектрических пленок [143, 149].

Как уже говорилось ранее, многие из современных технических конструкций, работа которых основана на пьезоэффекте, создаются на базе многослойных элементов, в частности, на основе биморфных пьезоактивных пластин [7, 27, 41, 132, 138]. Популярность таких устройств обусловлена высокой эффективностью преобразования ими электрической энергии в механическую и акустическую, простотой конструкции, а также низкой себестоимостью при производстве.

Настолько широкая область применения пьезокерамических материалов объясняет необходимость углубленного изучения закономерностей статического и динамического деформирования пьезокерамических тел.

К настоящему времени осуществлена общая постановка трехмерных краевых задач электроупругости для различных вариантов физически реализуемых граничных условий [31, 35, 57, 61, 62, 77]. В работах [12, 13, 35, 61] дана строгая математическая постановка задач электроупругости, сформулированы вариационные принципы, обоснованы приближенные методы решения. Систематическое изложение теории и методов электроупругости дается в работах Бабешко В.А., Белоконя A.B., Воровича И.И. [12, 13], Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульги H.A. [34, 35], Сенника

H.A. [75], Мэзона У. [61, 62], Новацкого В. [68], Партона В.З., Кудрявцева Б.А. [70], Tiersten H.F. [141], Nelson D.F. [131].

В настоящее время продолжаются попытки проведения точного анализа и расчета задач, основанных на использовании трехмерных уравнений теории пьезоэлектричества [93, 147], однако точные решения трехмерных уравнений электроупругости получены лишь для некоторых преобразователей простой геометрии и структуры [20, 48 и др.]. Динамические же задачи электроупругости для неканонических областей в общем случае не поддаются решению чисто аналитическими методами и требуют применения прямых численных методов. Основными семействами среди таких методов для решения краевых и начально-краевых задач для неоднородных составных областей являются: методы конечных разностей (МКР), к которым отнесем также и вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).

Впервые среди прямых численных методов для решения динамических задач электроупругости был использован, по-видимому, МКР [124, 125]. В монографии H.A. Шульги и A.M. Болкисева [81] подробно описан ВРМ для решения задач электроупругости в случае установившихся колебаний и приведены результаты ряда расчетов.

Применительно к нестационарным задачам разностные схемы разрабатывались также в [58-60]. В этих работах для плоских и осесимметричных задач электроупругости на основе энергетических вариационных подходов были построены разностные схемы, дан их анализ с установлением порядка точности и продемонстрированы результаты некоторых расчетов.

Разностная схема, являющаяся аналогом схемы распада разрывов С.К. Годунова, тестировалась в [78] на примере одномерной нестационарной задачи для стержня, однако, при более простых для расчетов граничных условиях.

Возможности применения МГЭ для задач электроупругости исследовались А.О. Ватульяном и B.J1. Кубликовым [25, 26, 146], а для задач термоэлектроупругости - А.О. Ватульяном и А.Ю. Кирютенко [23, 24]. В [25, 26, 146] были получены граничные интегральные уравнения (ГИУ) для плоских задач электроупругости об установившихся колебаниях в оригинальной форме, допускающей алгоритмическую реализацию, и проведены конкретные расчеты. Простейшая нестационарная антиплоская задача электроупругости решалась по МГЭ лишь в [44], где осуществлена также регуляризация ГИУ по методу [127].

Наиболее же разработанным и подходящим для решения необходимых для практики задач электроупругости следует признать МКЭ.

Первое применение метода конечных элементов показано в 1956 году в работе M.J. Turner, R. W. Clough, Н.С. Martin, L.J. Topp [144]. В 1963 году Ray Clough вводит понятие «метод конечных элементов». С этого момента МКЭ начинает набирать популярность. Для пьезоэлектрических сред вывод уравнений МКЭ из энергетических принципов проведен впервые в 1970 году Allik H., Hughes T.J.R. [83]. В последующих многочисленных публикациях МКЭ получил серьезное дальнейшее развитие. Были использованы различные КЭ, разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей, созданы специализированные [1, 89, 148] и универсальные [85, 86] КЭ программы, позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и антирезонансов, КЭМС и т.п. В [104] дан обзор исследований, выполненных с использованием МКЭ до 1980 г., а в [81] - до 1990 г.

На сегодняшний день число публикаций, посвященных работам и применению МКЭ для расчетов пьезоустройств, чрезвычайно велико, и привести полный перечень работ не представляется возможным. Упомянем здесь лишь некоторые публикации и их авторов.

В СССР и на постсоветском пространстве применением МКЭ в электроупругости активно занимались С.М. Балабаев и Н.Ф. Ивина [8, 9, 49], A.M. Болкисев и H.A. Шульга [19, 81], Р.-Й. Ю. Кажис и Л.Ю. Мажейка [50-54], Г.Г. Писаренко, И.Е. Гордиенко, С.П. Ковалев, В.М. Чушко и др. [33, 55, 71], Г.А. Шинкаренко [79, 80]. Отметим при этом, что в работах Р.-Й. Ю. Кажиса и Л.Ю. Мажейки центральное внимание было уделено расчетам переходных процессов для двумерных V-задач электроупругости. Для интегрирования по времени системы МКЭ в этих работах была использована неявная схема Ньюмарка. Среди последних работ отметим разработку КЭ пакета Feapiezo A.A. Ерофеевым и С.А. Ерофеевым [47], а также пакета ACELAN (ACoustoElectric ANalysis) в РГУ.

В работе над проектом ACELAN принимала большая группа разработчиков под руководством проф. A.B. Белоконя: О.Н. Акопов, В.А. Еремеев, Н.В. Курбатова, К.А. Надолин, A.B. Наседкин, A.C. Скалиух, А.Н. Соловьев и др. Результаты этой работы отражены в публикациях [1-6, 11, 14, 18, 64—67] и др. Специально для пакета ACELAN A.B. Наседкиным был разработан комплекс оригинальных алгоритмов решения матричных задач МКЭ, возникающих при КЭ аппроксимациях задач электроупругости и акустоэлектроупругости [2, 14, 15], и новая методика учета демпфирования [18,67].

Зарубежные работы по МКЭ в электроупругости еще более многочисленны. Помимо перечисленных ранее, можно отметить статьи Н. Alik, K.M. Webman, J.T. Hunt [84], D. Boucher, M. Lagier, С Maerfeld [95], P. Challande [96, 97], D.R. Cowdrey, J.R. Willis [102], G. Hayward, J.A. Hossack [106, 108], Y. Kagawa, T. Yamabuchi [111, 113], R. Lerch [120, 121], M. Naillon, R.H. Coursant, F. Besnier [130], H.S. Tzou, C.I. Tseng [145], V.

Tomikawa, H. Miura, S.B. Dong [142]. Из публикаций последнего времени стоит отметить статьи J. Kim, В. Ко, J.-K. Lee, С.-С. Cheong [114], Naidu А., Soh С. К. [129], а также работы J.-N. Decarpigny, R. Bossut, P. Tierce, В. Hamonic и других авторов, входящих в коллективы разработчиков пакетов ATILA (в [89] приведен список из 54 работ), САРА [116, 121, 122] и PZFlex [148, 82].

Более подробно можно остановиться на работах, посвященных конечно-элементному моделированию пьезоактивных стержней, многослойных балок и пластин.

Первой работой, в которой был получен конечный элемент для моделирования изгиба пьезоэлектрической балки, по-видимому, является работа [112]. Для моделирования толщинных смещений пьезоэлектрических актюаторов в [134] применены тригонометрические аппроксимации по толщинной координате и обычные кончено-элементные полиномиальные аппроксимации по продольным координатам.

Конечно-элементный расчет актюаторов с учетом начальных смещений проведен в [137]. Актюаторы в этой работе представляли собой балочные структуры из кремния и кварца. В [138] для расчетов актюаторов использовался комбинированный метод граничных-конечных элементов с геометрической нелинейностью для описания больших деформаций.

Биморфный актюатор со сложной формой электродов на торцевой поверхности изучался с использованием моделирования по МКЭ в [150]. Аналитическое решение для колебаний биморфного актюатора с разрезными электродами было построено в [132]. При этом полученные по аналитическим формулам результаты были сравнены с рассчитанными в пакете ANS YS.

Конечно-элементные модели актюаторов для многослойных балок и пластин строились в большом числе работ, как например, в [94, 98, 99, 118,

119, 123, 135, 151], причем в работах [99, 118, 119, 123] учитывались также и температурные эффекты. В работах [132, 140, 117] рассмотрены конечно-элементные модели активных многослойных материалов с распределенными сенсорами и актюаторами.

Анализируя эти публикации, можно отметить, что к настоящему времени МКЭ в электроупругости разработан до уровня готовых программных продуктов и накоплен значительный опыт в практике расчетов по МКЭ разнообразных пьезоэлектрических устройств. С другой стороны, процесс разработки МКЭ для задач электроупругости происходил в основном в распространении на эти задачи обычных подходов МКЭ, принятых для задач структурного анализа. При этом старались свести к минимуму количество необходимых изменений в алгоритмической реализации блоков МКЭ. Такие методики привели к ряду ограничений в пьезоэлектрическом конечно-элементном анализе.

Одним из ограничений является отсутствие одномерных пьезоэлектрических конечных элементов. В [41] предложена обратная «электромеханическая аналогия» для моделирования пьезоэлектрических и акустических КЭ эквивалентными упругими элементами с пружинами с отрицательными коэффициентами жесткости и заданными в отдельных узлах матрицами демпфирования. Такой подход расширяет возможности одномерного моделирования пьезоустройств, однако, не снимает проблемы построения специальных одномерных пьезоэлектрических конечных элементов. Поэтому основной целью данной работы и является построение таких элементов.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. В первой главе приводятся континуальные постановки задач акустоэлектроупругости, из которых строятся слабые постановки, а затем и аппроксимации МКЭ, рассматриваются различные варианты

Заключение

В диссертационной работе исследованы задачи о толщинных колебаниях пьезоактивных дисков и многослойных структур на базе таких дисков; задачи об изгибных колебаниях биморфных пьезоэлектрических пластин с различными электродными покрытиями.

К основным результатам работы можно отнести:

1. Построен и программно реализован набор одномерных КЭ, моделирующих работу многослойных пьезоизлучателей, нагруженных на акустическую среду.

2. На основании серии расчетов многослойного излучателя силовой антенной решетки литотриптора ЛУ-1 предложена эффективная для медицинских применений форма электрического импульса.

3. Построены одномерная и двумерная КЭ модели изгибных колебаний биморфов с различными видами электродных покрытий и проанализированы АЧХ биморфов для различных моделей.

4. Предложены квазиупругие или обратные электромеханические аналогии для пьезоэлектрических элементов растяжения-сжатия и изгиба, позволяющие моделировать пьезоэлектрические и акустические КЭ чисто упругими КЭ. Выделены КЭ с дальней связью электрических степеней свободы.

5. Предложена модель соединения одномерных и двумерных упругих и пьезоэлектрических КЭ с различным набором степеней свободы.

6. Разработанные КЭ допускают модели учета демпфирования, принятые в пакете АСЕЬАЫ, и имеют матрицы симметричной седловой структуры. Созданные одномерные КЭ в рамках единой методологии внедрены в пакет АСЕЬА1М.

1. Акопов О.Н., Белоконь A.B., Надолин К.А., Наседкин A.B., Скалиух A.C., Соловьев А.Н. Статический анализ пьезоэлектрических устройств в ACELAN. I. Структура и возможности // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IV

2. Международной конференции Ростов-на-Дону, 27-28 октября 1998. Ростов-на-Дону: Издательство СКНЦ ВШ, 1999. Т. 1. С. 1417.

3. Бабаев А.Э., Моисеенков Ю.Б. Нестационарные колебания тонкостенной биморфной электроупругой полосы // Докл. АН Украины. 1994. № 12. С. 54-58.

4. Белоконь A.B. VIII всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотация доклада. Екатеринбург, 2001. С. 447-448.

5. Белоконь A.B., Еремеев В.А., Наседкин A.B., Соловьев А.Н. Блочные схемы метода конечных элементов для динамических задач акустоэлектроупругости // ПММ. 2000. Т.64. № 3. С. 381393.

6. Болкисев A.M. Конечно-элементный анализ деформированного состояния пьезоэлектрического двигателя // Прикладнаямеханика. 1993. Т. 29, № 8. С. 69-72.

7. Ватулъян А. О., Гетман И.П., Лапицкая КБ. Об изгибе пьезоэлектрической биморфной пластины // Прикладная механика. 1991. Т. 27, № 10. С. 101-105.

8. Ватулъян А. О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. О формулировке граничных интегральных уравнений связаннойтермоэлектроупругости // Интегродифференциальные операторы и их приложения. Межвузовский сборник научных трудов. ДГТУ, Ростов-на-Дону, 1996. С. 19-25.

9. Ватулъян А. О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т. 37, № 5. С. 135-142.

10. Ватулъян А. О., Кубликов B.JT. Метод граничных элементов в электроупругости // Механика деформируемых тел. Межвузовский сборник научных трудов. ДГТУ, Ростов-на-Дону, 1994. С. 17-21.

11. Ватулъян А.О., Кубликов B.JI. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т. 53. № 6. С. 10371041.

12. Ватулъян А.О., Рынкова A.A. Моделирование изгибных колебаний пьезоэлектрического биморфа // IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии":

13. Сборник научных трудов. Кисловодск. 2000. Т. 2. Часть 1. С. 3437.

14. Гайджуров 77.77. Конечно-элементный анализ собственных частот и форм объемно-стержневых систем. Известия ВУЗов СевероКавказский регион. Технические науки. 2003. Приложение №3. С. 83-87.

15. Ганополъский В.В., Касаткин Б. А., Леуша Ф.Ф Пьезокерамические преобразователи: Справочник. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

16. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит // ПММ. 1979. Т.43. №5. С. 924-932. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: РГУ. 1993. 144 с.

17. Даниленко A.C., Наседкин A.B. Разработка конечных элементов для стержневых и балочных пьезоэлектрическихпреобразователей // Bîchhk Донецького ушверситету. Сер.А: Природнич1 науки. 2002. Вип.1. С. 127-130.

18. Даниленко A.C., Наседкин A.B. Специальные формы одномерных конечных элементов для пьезоэлектрического анализа // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. Спецвыпуск. С. 78-82.

19. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

20. Дудкина С.И., Гавриляченко C.B., Данцигер А.Я., Панич А.Е. Пьезоактивные материалы. Физика. Технология. Применение в приборах. Выпуск 9. Ростов-на-Дону: Издательство РГУ, 1991. С. 47-51.

21. Ерофеев A.A. Пьезоэлектронные устройства автоматики. JL: Машиностроение. 1982. 210 с.

22. Жиров В.Е., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1977. Вып. 17. С. 62-67.

23. Ивина Н. Ф. Численный анализ собственных частот круглыхпьезокерамических пластин конечных размеров // Акустический журнал. 1989. Т. 35. № 4. С. 667-673.

24. Кажис Р.-Й. Ю. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Мокслас, 1986. 216 с.

25. Красилъников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1984. 400 с.

26. Мельник В.Н., Москалъков М.Н. Разностные схемы и анализ приближенных решений для двумерных нестационарных задач связанной электроупругости. // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 7. С. 1220-1229.

27. Москалъков М.Н. Исследование разностной схемы решения задачи излучения звука цилиндрическим пьезовибратором. // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 7. С. 1220-1226.

28. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультроакустике. М.: Изд-во иностр. лит. 1952. 447 с.

29. Мэзон У, Терстон Р. Физическая акустика. М.: Мир. 1974.

30. Наседкин A.B. Альтернативные формулировки методов Ньюмарка и Вильсона // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды II Международной конференции, Ростов-на-Дону, 19-20 сентября 1996 г. Т.2. / Ростов-на-Дону: МП "Книга", 1996. С.115-119.

31. Наседкин A.B. К расчету по МКЭ пьезопреобразователей, нагруженных на акустическую среду // Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки. 1999. №1. С. 48-51.

32. Наседкин A.B. Особенности учета демпфирования в конечноэлементном пьезоэлектрическом анализе // Материалы Международной научно-практической конференции

33. Фундаментальные проблемы пьезоэлектрическогоприборостроения" ("Пьезотехника-2000"), Москва, 27 ноября 1 декабря 2000 г. / Москва: МИРЭА, 2000. С. 154-158.

34. Наседкин A.B. Схемы конечноэлементного анализа пьезоэлектрических устройств, взаимодействующих сакустической средой // Математика в индустрии: Труды Международной конференции (29 июня 3 июля 1998 г.), Таганрог: ТГПИ, 1998, С. 239-241.

35. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989.

36. Рогачева H.H. Активное гашение вибраций на основе пьезоэффекта // Исследования по теории пластин и оболочек. 1992. №25. С. 25-30.

37. Рынкова A.A. Изгибные колебания электроупругих пластин сразрезными электродами: Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2001.

38. Сенник H.A. Моделирование и расчет электроупругих полей пьезокерамических оболочек и пластин: Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. М., 1984.

39. Уарова Р., Стерликова А. «Капля по требованию», или Непрерывная струя? Разновидности струйной печати. Digital Printing Magazine № 2. 2003 г. С. 24-31.

40. Улитко А.Ф. О некоторых особенностях постановки граничных задач электроупругости // Современные проблемы механики и авиации. М.: 1982. С. 290-300.

41. Чебан В.Г., Форня Г.А. Решение задачи о распространении электроупругой волны в пьезокерамическом стержне. // Известия АН МССР. Математика. 1990. № 1. С. 55-59.

42. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 7. С. 1252-1260.

43. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 2. С. 317-326.

44. Шулъга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наук. Думка, 1990. 228 с.

45. Abboud N.N, Wojcik G.L., Vaughan D.K., Mould J., Powell D.J., Nikodym L. Finite element modeling for ultrasonic transducers // Proc. SPIE Int. Symp. Medical Imaging. 1998.

46. Allik H., Hughes T.J.R. Finite element method for piezoelectricvibration // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1970. № 2. P. 151-157.

47. Allik H., Webman K.M., Hunt J.T. Vibration response of sonar transducers using piezoelectric finite elements // Journal of the Acoustical Society of America. 1974. V. 56, № 6. P. 1782-1791.

48. ANSYS. Basic Analysis Procedures Guide. Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

49. ANSYS. Commands Reference Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

50. ANSYS. Elements Reference Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

51. ANSYS. Theory Reference Release 5.4. Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 1997.

52. ATILA. Finite element code for piezoelectric and megnetostrictive transducer and actuator modeling. V.5.1.1. User's Manual / Lille Cedex (France): ISEN, 1997.

53. Beurer G., Kretschner J. Function and performance of a shear modepiezo printhead, in Proc. IS&T's NIP 13 // International Conference on Digital Printing Technologies. 1997. P. 621-624.

54. Bisegua P., Maceri F. An exact three-dimentional solution for simply sup-ported rectangular piezoelectric plates // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1996. № 3. P. 628-638.

55. Blandford G.E., Tauchert T.R., Du Y. Self-strained piezothermoelastic composite beam analysis using first-order shear deformation theory // Composites. B. 1999. V.30. P. 51-63.

56. Boucher D., Lagier M., Maerfeld C. Computation of the vibrational modes for piezoelectric array transducers using a mixed finite element-perturbation method 11 IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1981. V. SU-28, № 5. P. 318-330.

57. Challande P. Finite element method applied to piezoelectric cavités study: influence of the geometry on vibration modes and coupling coefficient // Jornal de Mecanique theorique et appliquée. 1988. V. 7, №4. P. 461-477.

58. Challande P. Optimizing ultrasonic transducers based on the finite element method // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1990. V. 37, № 2. P. 135-140.

59. Chandrashekhara K., Agarwai A.N. Active vibration control of laminated composite plates using piezoelectric devices: a finite element approach // Journal of Intelligent Material System and Structures. 1993. V. 4. P. 496-507.

60. Chandrashekhara K., Tenneti R. Thermally induced vibration suppression of laminated plates with piezoelectric sensors and actuators // Smart Materials and Structures. 1995. V. 42 . P. 281-290.

61. Chee C.Y.K., Tong L., Steven G.P. A mixed model for composite beams with piezoelectric actuators and sensors // Smart Materials And

62. Structures. 1999. № 8. P. 417-432.

63. Cosmos/M. V.2.0. Advanced Modules Manual. ASTAR. / Structural Research & Analysis Corp., 1997.

64. Cowdrey D.R., Willis J.R. Application of the finite element method to the vibrations of quartz plate // Journal of the Acoustical Society of America. 1974. V. 56, № 1. P. 94-98.

65. Ddkmeci. Vibration of piezoelectric crystals // International Journal for Engineering Sciencies. 1980. V. 18. № 3A. P. 431-448.

66. Ha S.K., Keilers C., Chang F.-K. Analysis of Laminated Composites Containing Distributed Piezoelectric Ceramics // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1991. V. 2. P. 60-71.

67. Hayward G., Benett J. Assessing the influence of pillar aspect ratio on the behavior of 1-3 connectivity composite transducers // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1996. V. 43, № l.p. 98-107.

68. Ho-Le K. Finite element mesh generation methods: a review and classification// Computer-Aided Design. 1988. V. 20. № 1. P. 27-38.

69. Hossak J.A., Hayward G. Finite-element analysis of 1-3 composite transducers // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1991. V. 38, № 6. P. 618-629.

70. Hsu Y.-H., Lee C.-K., Hsiao W.-H. Optimizing piezoelectric transformer for maximum power transfer // Smart Materials and Structures. 2003 № 3. P. 373-383.

71. Hwang J.K., Choi C.-H., Song. C.K., Lee J.M. Identification of a thin plate with piezoelectric actuators and sensors // Trans. ASME. Journal of Vibration and Acoustics. 1998. № 3. C. 826-828.

72. Kagawa Y. Finite element simulation of transient heat response in ultrasonic transducers // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1992. V. SU-39, № 3. P. 432-440.

73. Kagawa Y. A new approach to analysis and design of electromechanical filters by finite-element technique // Journal of the Acoustical Society of America. 1971. V.49, No. 2 (Part.l). P. 13481356.

74. Kagawa Y., Yamabuchi T. Finite element simulation of two-dimensional electromechanical resonators // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1974. V. SU-21, № 4. P. 273-280.

75. Kim J., Ko B., Lee J.-K, Cheong C.-C. Finite element modeling of a piezoelectric smart structure for the cabin noise problem // Smart Materials and Structures. 1999 № 8. P. 380-389.

76. Kim J., Varadan V.V., Varadan V.K. Finite element modeling of dtructures including piezoelectric active devices // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997. № 40(5). P. 817-832.

77. Landes H., Kaltenbacher M., Lerch R. CAP A Users manual. Department of sensor technology, Friedrich-Alexander-University of Erlanger-Nuremberg, 2000.

78. Lee C.K. Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensor/actuators. Part I: Governing equations and reciprocal relations. // Journal of the Acoustical Society of America. 1990, № 87(3). P. 1144-1158.

79. Lee H.J., Saravanos D.A. Coupled layerwise analysis of thermopiezoelectric composite beams // American Institute of

80. Aeronautics and Astronautics Journal. 1996. V.34, No.6 . P. 12311237.

81. Lee H.J., Saravanos D.A. Generalized finite element formulation for smart multilayered thermal piezoelectric composite plates // International journal of solids and structures. 1997. V. 34, No.26. P. 3355-3371.

82. Lerch R. Exact computer modeling: a tool for the design of imaging transducers // Acoustic Imaging. 1992. V. 19. P. 175-186.

83. Lerch R. Finite element analysis of piezoelectric devices by two- and tree-dimensional finite elements // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1990. V. 37, № 3. P. 233-247.

84. Lerch R., Landes H. CAPA Users manual. / Institute of Measurement Technology, University of Linz, A-4040 Austria. 1997.

85. Liew K.M., He X.Q., Ng T.Y., Kitipornchai S. Finite element piezothermoelasticity analysis and active control of FGM plates with integrated piezoelectric sensors and actuators // Computational Mechanics. 2003. V. 31. P. 350-358.

86. Lloyyd P., Redwood M. Finite-difference method for the investigation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators Part I-II // Journal of the Acoustical Society of America. 1966. V. 39, 346361.

87. Lloyyd P., Redwood M. Finite-difference method for the investigation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators Part III // Journal of the Acoustical Society of America. 1966. V. 40, 82-85.

88. Luo Q., Tong L. An accurate laminated element for piezoelectric smart beams including peel stress // Computational Mechanics. V. 33. 2004. P. 108-120.

89. Mansur W.J., Brebbia C.A. Further developments on the solution ofthe transient scalar wave equation, Ch.4 / Topics in boundary element research (Ed. Brebbia C.A.). V. 2. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 87-123.

90. Mehlhorn K., Näher S. LEDA, a Platform for Combinatorial and Geometric Computing // Comm. ACM. 1995. V.38. № 1. P. 96-102.

91. Naidu A.S.K., Soh C.K. Damage severity and propagation characterization with admittance signatures of piezo transducers // Smart Materials and Structures. 1999 V 13, № 2. P. 380-389.

92. Naillon M., Coursant R.H., Besnier F. Analysis of piezoelectric structures by a finite element method // Acta Electrónica. 1983. V. 25, №4. P. 341-362.

93. Nelson D.F. Electric, optic and acoustic interactions in dielectric. New York: J. Wiley, 1979.

94. Ng T.Y., He X.Q., Liew K.M. Finite element modeling of active control of functionally graded shells in frequency domain via piezoelectric sensors and actuators // Computational Mechanics. V. 28. 2002. P. 1-9.

95. Pradhan S.C., Reddy J.N. Vibration control of composite shells using embedded actuating layers // Smart Materials and Structures. 2004 № 13. P. 1245-1257.

96. Raoeluaona F., Dulmet B. Finite element analysis using trigonometric interpolations for quazi-thickness piezoelectric resonators // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1994. P. 965-968.

97. Robbins D.H., Reddy J.N. Analysis of piezoelectrically actuated beams using a layer-wise displacement theory // Computers And Structures. 1991. V. 41 .P. 265-279.

98. Ruppert J. A Delaunay Refinement Algorithm for Quality 2-Dimensional Mesh Generation // Journal of Algorithms. 1995. V. 18. № 3. P. 548-585.

99. Stewart J.T. Finite element modeling of resonant microelectromechanical structures for sensing applications // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1994. P.643-646.

100. Stewart J.T. Geometricaly non-linear finite element modeling of resonant microelectromechanical structures subjected to electrostatic loading // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1995. P. 511514.

101. Sugavanam S., Varadan V.K., Varadan V. V. Modeling and control of a lightly damped T-beam using piezoceramic actuators and sensors // Smart Materials and Structures. 1998. 7. № 6. C. 899-906.

102. Suleman A., Venkayya V.B. A simple finite element formulation for a laminated composite plate with piezoelectric layers // Journal of Intelligent Material System and Structures. V. 6. 1995. P. 776-782.

103. Tiersten H.F. Linear piezoelectric plate vibrations. New York: Plenum Press, 1969.

104. Tomikawa V., Miura H., Dong S.B. Analysis of electrical equivalent circuit elements of piezo-tuning forks by finite element method // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1978. V. SU-25, № 3. P. 206212.

105. Tsuomi N., Yasushi O., Mitsuru E. Vibration sensing and control of a flexible beam using piezoelectric films. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. 1997. V. 63. № 615. P. 3728-3734.

106. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // Journal of Aero Science, 23 (9), Sept. 1956.

107. Tzou H.S., Tseng C.I. Distributed piezoelectric sensor/actuator design for dynamic measurement/control of distributed parameter systems: a piezoelectric finite element approach // Journal of Sound and

108. Vibration. 1990. V. 138, № 1. P. 17-34.

109. Vatulian A.O., Kublikov V.L. Boundary element method in electroelasticity // Boundary Elements Communications. 1995. V. 6. P. 59-61.

110. Vel S.S., Batra R.C. Exact solution for the cylindrical bending of laminated plates with embedded piezoelectric shear actuators // Smart Materials and Structures. 2001 № 2. P. 240-251.

111. Wojcik G.L., Vaughan D.K., Abboud N., Mould J. Electromechanical modeling using explicit time-domain finite elements // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1993. V. 2. P. 1107-1112.

112. Yang J., Liu Y. Boundary formulation and numerical analysis of elastic bodies with surface-bonded piezoelectric films // Smart Materials and Structures. 2002 № 2. P. 308-311.

113. Yokoyama H., Wakatsuki N., Kudo S. Piezoelectric servo-actuator of LiNbC>3 with an Integrated sensor // IEEE Ultrasonics Symposium Proceedings. 1998. P. 551-554.

114. Zallo A., Gaudenzi P. Finite element models for laminated shells with actuation capability // Computers And Structures. 2003. V. 81. P. 1059-1069.