Гранично-элементное моделирование динамики составных вязкоупругих тел на основе модифицированных методов квадратур сверток и дурбина тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Л.

БЕЛОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ

ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННЫХ МЕТОДОВ КВАДРАТУР СВЕРТОК IIДУРБИНА

Специальность 01.02.04-Механика деформируемого твердого тела

Авторефера

диссертации на соискание _

кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2008

003458211

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте механики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского»

Научные руководители: Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, доцент

Баженов Валентин Георгиевич Игумнов Леонид Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук,

профессор Ерофеев Владимир Иванович

Ведущая организация: Южный научный центр РАН (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится 29 декабря 2008 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан 28 ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.166.09 л. Л

доктор физико-математических наук, доцент И^^Н&Е Л.А.Игумнов

Неразрушающий контроль, диагностика и расчеты на прочность технических объектов, сейсморазведка, мониторинг приповерхностных зон земной среды и т.д. требуют разработки эффективных средств, методов и моделей. В связи с этим возникает задача разработки математических методов и применение их в исследованиях по распространению волн в неоднородных телах из вязкоупругих материалов при вибрационных, ударных нагружениях.

Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и метод граничных элементов (МГЭ) являются универсальным численно-аналитическим подходом к решению трехмерных волновых начально-краевых задач теории вязкоупругости. В некоторых случаях (бесконечные и полубесконечные тела и среды) метод ГИУ и МГЭ являются наиболее предпочтительным универсальным подходом к исследованию волн. К настоящему времени сформировались два основных направления развития метода ГИУ и МГЭ для исследования волновых задач: использование интегрального преобразования и построение шаговых процедур. Численные схемы МГЭ на основе интегральных преобразований обладают ограничением на тип решаемых задач (только когда справедлив принцип соответствия). Точность таких схем существенно зависит от параметров метода численного обращения интегрального преобразования. Считается, что для МГЭ наиболее предпочтителен метод Дурбипа. Численные схемы МГЭ, опирающиеся на шаговые процедуры (интерполирование по времени), существенно зависят от выбора шага и применимы только к тем задачам, для которых возможно построение тензора Грина. Так как для волновых задач вязкоупругости тензор Грина во времени в общем случае не существует, то такие численные схемы не эффективны. Однако, возможно построение шаговых схем МГЭ на основе сочетания обоих подходов. Таким сочетанием обладает метод квадратур сверток ориентированный на гранично-временные интегральные уравнения вязкоупругости.

Цель работы состоит в развитии МГЭ-методики на основе метода квадратур сверток и интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики упругих и вязкоупругих составных тел при смешанных краевых условиях; в разработке соответствующих алгоритмов и программ; в исследовании динамического деформирования трехмерных вязкоупругих составных тел; в создании средств визуализации результатов гранично-элементного моделирования.

Методика исследований основана на ГИУ прямого подхода для трехмерной линейной теории вязкоупругости; на интегральном преобразовании Лапласа и численном обращении этого преобразования на основе метода Дурбина; на методе квадратур сверток; на методе граничных элементов, как способе численного решения исследуемых ГИУ. ^

Достоверность исследований основана на эквивалентности исходной краевой/начально-краевой задачи в частных производных математической теории вязкоупругости системе используемых граничных/гранично-временных интегральных уравнений (ГИУ/ГВИУ); на использовании для численных исследований регуляризованных ГИУ/ГВИУ; на детально проработанных алгоритмах МГЭ-подхода и оттестированном программном обеспечении; на сравнении полученных результатов с решениями других авторов.

Научная новизна работы

Гранично-элементное (ГЭ) моделирование с использованием преобразования Лапласа впервые реализовано на основе комбинированных формул метода Дурбина, учитывающих специфику поведения подынтегрального выражения интеграла Меллина на всем частотном диапазоне. Представлены аппроксимации пошагового (по частоте) кусочно-линейного и кусочно-квадратичного поведения, как изображения, так и всего подынтегрального выражения, с возможностью рассмотрения переменного шага

Метод ГВИУ в сочетании с методом квадратур сверток - единственный универсальный численно-аналитический подход решения краевых задач вязкоупругости с использованием шаговой схемы. ГЭ-моделирование на основе метода квадратур сверток развито на случай применения комбинированных формул для вычисления квадратурных коэффициентов. Такая формулировка метода впервые устраняет ограничения традиционного подхода. Разработаны и реализованы случаи, когда весовые коэффициенты метода строятся для переменного пошагового (по углу) кусочно-линейного и кусочно-квадратичного поведения изображения соответствующей свертываемой функции.

Создано программное обеспечение для компьютерного анализа динамики составных вязкоупругих трехмерных тел. Представлены результаты численного моделирования и верификации предложенных методик и схем.

Практическая значимость результатов исследования состоит в развитии методов Дурбина, квадратур сверток, граничных элементов с целью получения устойчивых высокоточных численных решений трехмерной теории вязкоупругости; в создании МГЭ-программного обеспечения для анализа динамики составных трехмерных вязкоупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласа; в создании МГЭ-программного обеспечения для анализа динамики составных трехмерных вязкоупругих тел на основе шаговой схемы; в создании программного обеспечения гранично-элементной визуализвции.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом квадратур сверток и соответствующее программное обеспечение для расчета во времени неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

2. методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина и соответствующее программное обеспечение для расчета неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

3. модифицированные методы квадратур сверток и Дурбина;

4. программное обеспечение по визуализации результатов гранично-элементного моделирования;

5. ГЭ-решение и анализ следующих волновых задач:

- о действии скачка давления на торец составного призматического тела;

- о действии вертикальной силы на поверхности вязкоупругого полупространства;

- о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью (сферическая, кубическая);

- о действии скачка давления внутри полости (сферическая, кубическая), расположенной в упругом полупространстве;

- о штампе на полупространстве;

- о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научной конференции, посвященной памяти профессора А.И. Весницкого (Н.Новгород, 2004); 1Х-Х Нижегородских сессиях молодых ученых (Саров, 2004,

2005) и Х1-ХШ Нижегородских сессиях молодых ученых (Семенов, 2006, 2007, 2008); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н.Новгород,

2006); Всероссийской научно-технической конференции - фундаментальные проблемы машиноведения: новые технологии и материалы (ИМАШ РАН 2007); XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2007); Итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Н.Новгород, 2007г.); VI Всероссийской научно-практической конференции «Машиностроение:

3

наука, техника, образование» (г.Саранск, 2007); XI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2007); XIV международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (г.Москва, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ, 7 из них - в изданиях, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций (список основных публикаций приводится в конце автореферата).

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 155 наименований. Общий объем диссертации составляет 180 страниц машинописного текста, включая 3 таблицы, 400 рисунков.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-6391.1006.8 2006-2007 гг.; № НШ-3367.2008.8 2008-2009 г.г.); ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники», мероприятие 1.12. Развитие системы ведущих научных школ как среды генерации знаний и подготовки научно-педагогических кадров высшей квалификации (XII очередь - Научные школы). Приоритетное направление «Энергетика и энергосбережение» (гос. контракт № 02.445.11.7044, шифр «РИ-112/001/404» 2005 г.); программой Минобразования и науки РФ «Развитие потенциала высшей школы (2006-2008 гг.) проект РНП.2.1.2.3556.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ по применению МГЭ к решению динамических трехмерных задач теорий упругости и вязкоупругости; обоснование актуальности темы диссертационной работы; формулировки целей работы и основных положений, которые выносятся на защиту.

В развитии МГЭ для применения к трехмерным динамическим задачам упругости и вязкоупругости заметную роль сыграли работы таких ученых, как Ш.М. Айталиев, Л.А. Алексеева, В.А. Бабешко, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Р.В. Гольдштейн, Л.А. Игумнов, М.И. Лазарев, А.Н. Соловьев, А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский, И.Ю. Чудинович, J.D. Achenbach, H. Antes, D.E. Beskos, M. Bonnet, H.B. Coda, J. Domínguez, L. Gaul, L.J. Gray, S. Kobayashi, M. Kogl, W. Kress, G.D. Manolis, M. Marrero, A.D. Mesquita, Y. Niwa, G. H. Paulino, M. Shanz, и др.

4

В развитии методов решения соответствующих интегральных уравнений механики деформируемого твердого тела существенные результаты получили В.М. Александров, В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, О.В. Евдокимова, J1.A. Игумнов, В.В. Калинчук, A.M. Линьков, A.B. Манжиров, Н.Ф. Морозов, Д.А. Пожарский, О.Д. Пряхина, А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский и др

В главе I приведена постановка задачи и описано построение ГИУ и ГВИУ прямого подхода. Изложены методы Дурбина и квадратур сверток. В качестве расширения этих методов предложены их модификации.

В первом параграфе рассматривается кусочно-однородное тело Q в трехмерном евклидовом пространстве R1 с декартовой системой координат Ох,х2х}. Граница тела обозначена через Г. Предполагается, что каждая составная часть Qt является изотропным вязкоупругим телом. Динамическое состояние части тела С2, описывается соответствующим дифференциальным уравнением Ламе в перемещениях u\x,t) = {u*,u\,u\). Рассматривается случай пропорциональных функций памяти. Используются функции памяти классических вязкоупругих моделей (Максвелла, Кельвина-Фойгта, стандартного вязкоупругого тела) и слабосингулярной модели с ядром K(t) = кг° /Г(1- а), 0<а<1, Г(1-а) - гамма функция.

Рассматриваются смешанные граничные условия на Г = <ЭП и условия жесткого контакта на внутренних для Q границах. Интегральные представления строятся не только во времени, но и в терминах преобразования Лапласа с параметром р.

Во втором параграфе описаны фундаментальные и сингулярные решения изотропной теории упругости и вязкоупругосги как во времени, так и в изображениях по Лапласу. Дана визуализация поведения их компонент на сфере.

Третий параграф посвящен построению ГВИУ и ГИУ. Обобщенные формулы Сомильяны во времени и в изображениях по Лапласу дают следующие ГВИУ и ГИУ:

ctuj{xJ)+\\Tlj{x,yJ-T)u1(y,v)dvi>s=\\Ulj(x,yJ-T)pj{ytr)dTdls,xeVl=dQt, (1)

Г, О [, о

c(№,(j:,Р)+ fTt(x,y,p)üJ(j/,p)d S= ¡Ui(x-y,p)tJ(y,p)d>S,

Г. ri (2)

/,j = 1,2,3, хеГ, =8Qt, где Ut и Tt — соответственно компоненты тензоров фундаментальных и сингулярных решений уравнения Ламе для D,.

Уравнения (1) являются уравнениями Вольтера по времени, поэтому при построении шаговых схем необходимо использовать сплайн-аппроксимацию по переменной времени. В этом заключается один из основных ГЭ-подходов для решения таких гранично-временных интегральных уравнений. Но, кроме того, это ГВИУ является интегралом свертки по времени, именно этим и определяется разработанный в диссертации подход - построение квадратурных формул численного интегрирования для интегралов свертки. Сочетание (1) и (2) с контактными условиями дает ГВИУ и ГИУ для кусочно-однородных тел.

В четвертом параграфе рассмотрены проблемы численного обращения преобразования Лапласа на основе метода Дурбина. Изложен сопутствующий вопрос о численном интегрировании быстро осциллирующих функций. Предложены модификации метода Дурбина. Базовая формула метода Дурбина на основе метода трапеций с переменным шагом для всей подынтегральной функции выглядит следующим образом:

/(0) = £(/(« + щ) + /(« + н»ы )К '2х,

к=1

/(О « + + Да + )Д, /2,

к-1

где }(р) - изображение по Лапласу функции /(<); р = а + /со; Д, = соы - ш,.

С учетом того, что /(а+1со)е'"° может быть сильно осциллирующей функцией, построены модификации метода. Модификация на основе линейной аппроксимации функции /(а + ко) выглядит следующим образом:

/(0) * + щ) + Да + ;ч /2,

а), ,-й). |(8т1у)^±(№С05У1'-511П1>)г/и'г, приЫ>ш.

2 1е , при|и>|<1Уг

Модификация на основе квадратичной аппроксимации функции /(а + ко) выглядит следующим образом:

/(О)« + Ч) + 2/(а + + Да + со.Ж^ -*>„)'2,

« Г _ _ 1

ID, = {lie" + we" + 3we'" -2ie~" +2w'ie'")/2w\ ii), = e~"72,

Д =2(-ie" -we" + ie~" -we"")/ w', npn|nj<i^ <Z)2 = 1,

D, = -(-3we" - 2ie" + 2w2ie~" + 2ie~" - we'")l2w\ [д = e" /2.

Возможности модификаций метода Дурбина продемонстрированы на численных примерах (аналитическое решение задачи о действии скачка давления на торец составного призматического тела).

Применение в численном моделировании вариантов метода Дурбина (Zhao X. 2004), построенных на основе рассмотрения е'°* как весовой функции, может привести к более худшим результатам, чем использование традиционной формулы метода Дурбина (Durbin F. 1974). Так, если взять 5000 точек по аз на интервале [0,200], то кривая, отмеченная цифрой 1 на рис. 1 - это результат использования традиционного метода Дурбина, и этот результат не отличим от аналитической кривой. Применение вариантов метода Дурбина (Zhao X. 2004) позволяет на этих же точках построить следующие оригиналы искомой функции перемещений: кривая 2 -метод с линейной аппроксимацией спектральной функции, кривая 3 - метод с квадратичной аппроксимацией спектральной функции. Результат демонстрирует заметное затухание, устранить которое можно только увеличением количества точек по частоте.

Рис. 1 Рис. 2

При увеличении частотного интервала на сохраненном числе точек или при уменьшении числа точек по частоте с сохраненной длиной интервала могут возникнуть еще большие неприятности с применением такого варианта метода Дурбина (Zhao X. 2004). На рис. 2 продемонстрировано решение той же самой задачи-с 5000 точками по частоте на интервале [о, 500] (маркировка кривых сохранена). Использование варианта метода Дурбина с переменным шагом не позволяет преодолеть возникающих проблем. На рис. 3 продемонстрированы результаты одного из таких экспериментов, когда выбрано 2000 точек по частоте на интервале [0,200].

Равномерные сетки строились на интервалах [о, 40] и [40,200] из расчета что выбиралось по 1000 точек на каждом интервале.

Использование модификаций метода Дурбина на основе формул (3), (4) позволяет преодолеть отмеченные проблемы. На рис. 4 представлены результаты, построенные на той же сетке, как для примера на рис. 3, но с применением формул (3) и (4). Построенные кривые по формулам (3) и (4) совпали.

Проведенные исследования при других вариантах разбиения частотного диапазона показали, что использование комбинированных формул (3), (4) позволяет без потери точности понизить количество точек интегрирования в разы. Для примера, изображенного на рис. 4, удалось понизить количество точек интегрирования в 2,5 раза.

Рис. 3 Рис. 4

В пятом параграфе дано описание традиционного метода квадратур сверток (ЬиЫсЬ СЬ. 1988). Отмечено, что для численных исследований имеет существенное значение способ вычисления весовых множителей:

ю„(Д/) = — ]/(у{Яе")1 Ы)е""'с1(р,

где At - шаг по времени; y(z) =3/2-2; +г2 /2; п - номер шага по времени, n = 0,N; R — параметр метода.

Традиционный метод использует метод трапеций с постоянным шагом для вычисления такого интеграла. В параграфе представлена следующая формула построения ап на основе переменного шага:

®.(ДО = ^£(/(КДе"")/МУ"Л +f(r(Re""")/At)c-n>%t, -Л)/2.

2л S

Для случаев, когда f(y{Re")lдф'"' - сильно осциллирующая функция, предложено использовать комбинированную формулу, использующую специфику интегрирования таких функций.

Модификация на основе линейной аппроксимации функции /(/(Йе"')/Д/) выглядит следующим образом:

(5)

2л" ¿-I 2

т -ф (5ИШ/М'±(И'С05И'-8И1И'У/Н'2 ПОИ Ы >

0иМ = е И

2 [е при |и|£и>,.

Модификация на основе квадратичной аппроксимации функции /(^-(Ле"")/Д/) выглядит следующим образом:

2л- ;

»^Ё^К^^ЫЛкя«^)/^ (6)

+д

Г Д = (2/е" + и-е" + Зпе"" - г/е"" + 2v^'2/e-'-)/2w^ где при|и]>и>3]Д = 2(-г'г"-и>е™ + /е~"-ре~™)1\^, при]и]£и',

[д = -(-Зи>е" - 2;'е'" + + 21е"" - и,е"")/2>с3,

Ц=е~72,

А = 1.

Д =е™/2.

Возможности построенных модификаций метода квадратур сверток продемонстрированы на численных примерах. На рис. 5 представлены оригиналы искомых функций для следующих параметров схемы: N = 500, А/ = 0,01, ¿ = 501. Цифрой 1 обозначена кривая, построенная по традиционной формуле метода квадратур сверток, цифрами 2 и 3 - кривые, построенные по результатам применения модификации метода с линейным и квадратичным интерполированием функции 7(/(Де")/Д/). Применение метода квадратур сверток с переменным шагом при линейной интерполяции подынтегральной функции не позволяет решить проблему устойчивости численного построения искомой функции на выбранном временном интервале без измельчения расчетной сетки. На рис. 6 показано возникновение численных осцилляций при следующих параметрах схемы: // = 500, Д/ = 0,01 и использовании равномерных сеток на интервалах р:[0, л/2\[ж12,Зя/2],[Зя/2,7л] из расчета выбора соответственно Ь = 125, 1 = 21 и ¿ = 125.

Рис. 5 Рис. 6

Применение комбинированных формул (5), (6) позволяет получить искомый результат на той же сетке (гладкая кривая на рис. 6). Кривые по формулам (5) и (6) неразличимы. В численных экспериментах полагалось, что в формуле (5) »¡ = 3, а в формуле (6) н>2 = 6.

Построение модификаций метода квадратур сверток на основе комбинированных формул (5), (6) позволило преодолеть такие ограничения традиционного подхода, как выбор числа шагов N по времени, совпадающим с числом узлов Ь по углу <р. Использование модификаций позволяет сократить необходимое число точек разбиения для достижения заданной точности. В рассмотренном примере удалось понизить число точек в 2 раза, а при уменьшении шага по времени число точек еще более сократится, т.к. информативная часть функции / при уменьшении шага по времени будет уплотняться к точкам 0 и 2тг (приведен пример с уменьшением количества точек в 3 раза).

В главе II описана методика гранично-элементного решения на основе метода Дурбина и квадратур сверток, и приведены результаты тестовых экспериментов.

В первом параграфе дано описание используемой гранично-элементной дискретизации. В основе ГЭ-моделирования положено регуляризованное ГИУ прямого подхода. ГЭ-дискретизация состоит в разбиении поверхности на биквадратичные ГЭ, причем треугольные элементы рассматриваются как вырожденные четырехугольные. Неизвестные граничные поля интерполируются следующим образом: перемещения - билинейно, а поверхностные силы выбираются постоянными на элементе. Коллокация ГИУ проводится во всех неизвестных узлах ГЭ-сетки. Решение сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Элементы разрешающей матрицы получаются с помощью локального численного интегрирования по Гауссу с использованием приема устранения особенности.

Использован адаптивный алгоритм поэлементного численного интегрирования. Система линейных алгебраических уравнений решается методом Гаусса. Для численного обращения преобразования Лапласа используется метод Дурбина.

Во втором параграфе построены дискретные аналоги на основе метода квадратур сверток. При построении численной схемы использованы все основные алгоритмы ГЭ-моделирования, использованные в первом параграфе. При пошаговом решении задачи на основе метода квадратур сверток возникает следующий дискретный аналог базовых ГИУ:

где Л'(^) - билинейные функции формы.

В третьем параграфе описана программа визуализации ГЭ-моделирования. Программа позволяет формировать полутоновые или многоцветные изображения элементов конструкций, сеточной геометрии, физических полей в различные моменты времени. Исходными данными является геометрическая модель и значения граничных полей.

В четвертом параграфе даны краткие характеристики программной реализации. Программное обеспечение предназначено для расчета динамики составных трехмерных вязкоупругих тел и создано на основе имеющегося пакета программ. Реализация осуществлена на алгоритмическом языке ФОРТРАН.

В пятом параграфе приведены результаты решений тестовых задач. Рассмотрена задача о сферической полости в безграничной вязкоупругой среде. В момент времени 1=0 к границе полости прикладывается давление р~1 при / е [0,1] и р-1 при 1>1. Исследуются перемещения на границе полости. Результаты расчетов по методу Дурбина и квадратур сверток сравниваются с аналитическим решением. Методики продемонстрировали высокую точность - ошибка численных результатов и разброс решений по граничным элементам составил менее 1%.

)/(' ~ ТМт)С1Т » £ (ДОгС/ДО « = 0,//,

Свободный торец

Рис. 7

Рассмотрена задача о действии скачка давления на торец составного

Призматического тела СИЛЫ Р(1) = 14(/) Н1М2, ГДе Закрепленный

1,(0 - правосторонняя функция Хевисайда. Составное призматическое тело имеет жестко закрепленный торец (рис. 7). Рассматриваются подобласти с одинаковыми параметрами материала: Е =2,11Ю"Я/л<!; к=0;

/>=7850 кг/м'; Л=0; =1,055-10"Я/л(!. Каждая из подобластей содержит по 72 элемента и 88 точек на четверти сетки.

На рис. 8, 9 приведены перемещения на свободном торце и в области контакта соответственно. На рис. 10, 11 приведены напряжения, возникающие на закрепленном торце и в области контакта. Цифрами 1 обозначено решение с использованием метода квадратур сверток, цифрами 2-е использованием метода Дурбина, штриховыми линиями - аналитическое решение.

Рис. 8

Рис. 9

Рис.10 Рис.11

Проведены расчеты с учетом вязкоупругих свойств материала. Численно продемонстрировано влияние разномодульности подобластей на волновые поля перемещений и напряжений. Увеличение жесткости второй подобласти приводит к следующему: изменение формы отклика перемещений в точке А - появление временных отрезков с менее резким изменением амплитуды перемещений;

12

существенное изменение формы отклика напряжений в точке С - исчезновение участков постоянных значений напряжений и т.д. Для однородного вязкоупругого тела для разных моделей построены кривые деформации, снятые в точке А. Использование моделей Кельвина-Фойгта, стандартного вязкоупругого тела приводят к тому, что наклон кривой ползучести в начальный момент времени имеет конечную производную, а использование слабосингулярной модели приводит к тому, что наклон кривой имеет бесконечную производную. Если тело составлено так, что О, -упругая подобласть, а П, — вязкоупругая подобласть, то в отклике напряжений в точке С возможно появление перемещений и напряжений другого знака.

Гранично-элементные схемы, построенные на основе метода Дурбина и квадратур сверток, продемонстрировали на модельных задачах возможности получения высокоточных значений граничных перемещений и напряжений. Соответствующий набор параметров схем позволяет получить графически неразличимые численные решения.

В главе III представлены ГЭ-решения прикладных задач.

В первом и втором параграфах представлены задачи о действии вертикальной силы на поверхности упругого и вязкоупругого полупространствах соответственно. Исследуется точка на дневной поверхности полупространства.

Численные результаты для нагрузки хевисайдовского вида, полученные методами квадратур сверток и Дурбина, сравниваются с имеющимся в литературе решением. Приведены результаты расчетов для нагрузки вида Р{1) = Р0{1,(/)-1Д/-а)}, Ра, а - постоянные.

Если для хевисайдовской нагрузки максимум в отклике перемещений приходится на волну Релея, соответствующую скачку подъема силы в начальный момент времени, то для нагрузки в виде разности хевисайдовских сил максимум в отклике перемещений приходится на волну Релея, соответствующую скачку падения силы в момент I = а. Разница величин амплитуд соответствует величине отклика на постоянную (статическую) часть отклика.

Проведены исследования влияния длины импульса нагрузки и вязкости материала на характер поведения отклика перемещений. Использование моделей Максвелла и Кельвина-Фойгта может существенно изменить отклик поверхностных волн, однако имеются диапазоны характерных времен ползучести и релаксации когда изменения в отклике проявляется лишь в уменьшении амплитуды. Использование модели стандартного вязкоупругого тела и слабосингулярного ядра приводит к изменению скорости и амплитуды отклика перемещений. Продемонстрирована

визуализация распространения поверхностных волн на основе полутоновых изображений.

В третьем параграфе представлены задачи о действии вертикальной силы на поверхность полупространства, ослабленного под площадкой приложения силы сферической или кубической полостью. Рассматриваются два варианта нагрузки: хевисайдовского вида и разницы функций Хевисайда. Исследуются граничные перемещения на дневной поверхности полупространства.

Результаты показали, что для сферической и кубической полостей форма отклика в сравнении с задачей для полупространства поменялась. Причем, в ближней зоне форма полости влияет на форму отклика: для сферической полости в отклике проявились два всплеска в головной части поверхностной волны, а для кубической полости в головной части отклика такого разделения нет. Продемонстрирована визуализация распространения поверхностных волн на основе полутоновых изображений.

Четвертый и пятый параграфы посвящены задачам о действии давления внутри сферической или кубической полости, расположенной в упругом полупространстве.

Результаты показали, что максимальные перемещения возникли в точках близких к дневной поверхности полупространства, как для сферической полости, так и для кубической. Кроме того, было проведено сравнение с соответствующими численными решениями задач о полостях в пространстве. Показано, что граничные перемещения в точках полостей ведут себя аналогично граничным перемещениям для задачи о полостях в пространстве до того момента, как волны достигают дневной поверхности полупространства. Продемонстрирована визуализация распространения поверхностных волн на основе полутоновых изображений.

В шестом параграфе приведено численное решение задачи о штампе на полупространстве. Действует вертикальная сила на деформируемый штамп, расположенный на полупространстве (рис. 12). Параметры материалов штампа и полупространства приведены в следующей таблице:

штамп полупространство

Е 3-10 *Н1мг 1,38-108Я/Л<2

V 0,2 0,35

Р 2000кг/ м3 1966кг/м3

Рассматривается нагрузка вида Р(') = ^(1,(0 °0)>

Ра = 1 Н/м\ а = 0,0085с. Перемещения снимаются в точке (2,33; 2,33; 0). За начало координат выбран центр контактной грани штампа. Приведены результаты расчетов, когда штамп и полупространство описываются упругой моделью. Первоначально построено численное решение, полученное другими авторами. Полученное совпадение и дальнейшее исследование позволили установить, что известное из литературы решение зависит от гранично-элементной сетки и дает завышение амплитуды отклика поверхностной волны. Сходимость на выбранных сетках продемонстрирована для модифицированного метода Дурбина на рис. 13, а для метода квадратур сверток - на рис. 14. Исследовались решения на следующих сетках:

Номер сетки Штамп Полупространство

Кол-во элементов Кол-во точек Кол-во элементов Кол-во точек

1 54 56 90 92

2 216 218 360 362

3 24 33 216 241

4 96 113 864 913

Рис. 13 Рис. 14

Номер кривой на графике соответствует номеру сетки, по которой велись расчеты.

Проведены расчеты с использованием метода Дурбина для различных вязкоупругих моделей, рассчитанных по сетке № 4 для различных параметров вязкости. Проведены расчеты для случая, когда штамп и полупространство описываются разными вязкоупругими моделями. Продемонстрирована визуализация распространения поверхностных волн на основе трехмерных и полутоновых изображений.

В седьмом параграфе представлены расчеты по задаче о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы. Решение этой задачи сравнивалось с имеющимся в литературе гранично-элементным решением,

15

построенным для случая когда полупространство, в которое заглублен корпус, моделировалось амортизаторами. Учет взаимодействия корпуса с деформируемым полупространством продемонстрировал качественное совпадение и количественные отличия в искомых граничных полях. Продемонстрирована визуализация распространения поверхностных волн на основе полутоновых изображений. Основные результаты и выводы

1. Развита методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом квадратур сверток и создано соответствующее программное обеспечение для расчета во времени неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

2. Развита методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина и создано соответствующее программное обеспечение для расчета неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

3. Разработаны модификации методов квадратур сверток и Дурбина;

4. Создано программное обеспечение по визуализации результатов гранично-элементного моделирования;

5. Получены ГЭ-решения и проведен анализ тестовых и прикладных волновых задач, в том числе:

- о действии скачка давления на торец составного призматического тела;

- о действии вертикальной силы на поверхности вязкоупругого полупространства;

- о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью (сферическая, кубическая);

- о действии скачка давления внутри полости (сферическая, кубическая), расположенной в упругом полупространстве;

- о штампе на полупространстве;

- о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы.

Основные результаты и защищаемые положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Игумнов JI.A., Белов A.A., Ануфриев A.A. Исследование методом Дурбина фундаментальных и сингулярных матриц-решений трехмерной

модифицированной теории вяз коу пру гости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2004. - Вып. 66.-С. 18-30.

2. Игумнов J1.A., Литвинчук С.Ю., Белов A.A. Численное исследование волновых полей в слоистом полупространстве от действующей по нормали поверхностной сосредоточенной силы // IX Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: тезисы докладов. - Саров. - 2004. - С. 14.

3. Игумнов Л.А., Белов A.A., Литвинчук С.Ю., Ануфриев A.A. Гранично-элементное моделирование динамического деформирования трехмерных элементов конструкций // Волновая динамика машин и конструкций. Всероссийская научная конференция, посвященная памяти профессора А.И. Весницкого, (Н.Новгород, 1-5 июня 2004 г.). Тезисы докладов. - Н.Новгород. -2004.-С. 8.

4. Игумнов Л.А., Белов A.A., Ануфриев A.A., Литвинчук С.Ю., Аменицкий A.B., Ермолаев М.Д. Гранично-элементная методика расчета трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости и вязкоупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2005. - Вып. 67. - С. 91-101.

5. Игумнов Л.А., Белов A.A. Численное решение интегральных уравнений на одиночной плоской волне для начально-краевых задач трехмерной теории упругости конечных тел // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2006. - Вып. 68. - С. 23-28.

6. Белов A.A., Аменицкий A.B. Численное решение граничных интегральных уравнений трехмерной динамической теории упругости с использованием преобразования Лапласа // 10 Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Тезисы докладов. / Н.Новгород: Изд. Гладков О.В. -2005 г.-С. 13-14.

7. Игумнов Л.А., Белов A.A., Литвинчук С.Ю., Аменицкий A.B. Гранично-элементное моделирование нестационарного динамического деформирования трехмерных элементов конструкций // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Механика. / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2006. -Вып. 1(7).-С. 76-89.

8. Игумнов Л.А., Белов A.A., Литвинчук С.Ю. Об исследовании влияния вязкости материала на волновые поля перемещений и напряжений методом граничных элементов // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2006. - Вып. 68. - С. 161-169.

17

9. Белов A.A., Шишкова Е.А. Расчеты динамических задач теории упругости методом граничных элементов // 11 Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки. / Н.Новгород: Издание ИП Гладкова О.В. - 2006 г. - С. 56.

Ю.Белов A.A. Сравнение расчетов динамических задач теории упругости, полученных на основе разных формулировок метода граничных элементов // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т. III (Н.Новгород, 22-28 августа 2006). / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. -2006.-С. 33.

П.Белов A.A., Шишкова Е.А., Аменицкий A.B. Исследование влияния вязкоупругих свойств материала на волновые поля в элементах конструкций // Фундаментальные проблемы машиноведения: Новые технологии и материалы. Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная 20-летию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова. Тезисы докладов. / Н.Новгород: Издание ЗАО «Интек-НН». - 2006. - С. 14.

12. Белов A.A., Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю. Развитие метода граничных элементов для решения трехмерных контактных нестационарных динамических задач теории упругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2007. - Вып. 69. - С. 125-136.

13. Белов A.A., Шишкова Е.А., Лаганкин A.C. Вариант метода гранично-временных элементов для анализа динамики трехмерных кусочно-однородных тел // Фундаментальные проблемы машиноведения: Новые технологии и материалы. Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная 20-леггию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова. Тезисы докладов. / Н.Новгород: Издание ЗАО «Интек-НН». - 2007. - С. 8.

14. Игумнов Л.А., Белов A.A., Литвинчук С.Ю. Применение метода граничных элементов к расчету трехмерных динамических задач теорий упругости и вязкоупругости // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXII Международной конференции. / СПб: 24-27 сентября 2007г. Изд-во: ООО «НИЦ Моринтех». Т.2. - С. 195-200.

15. Белов A.A., Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю. Применение метода граничных элементов к расчету трехмерных динамических задач теорий упругости и вязкоупругости // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы

докладов XXII Международной конференции. / СПб: 24-27 сентября 2007 г. Изд-во: ООО НИЦ «Моринтех», 2007. - С. 61-62.

16. Белов A.A., Дворянкин М.И., Литвинчук С.Ю. Применение метода гранично-временных интегральных уравнений для решения смешанных задач теории упругости // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Н.Новгород, 27-30 ноября 2007г.) /Н.Новгород: Изд-во ННГУ. -2007.-С. 3134.

17. Белов A.A., Литвинчук С.Ю., Васильев А.Н. О некоторых особенностях алгоритма Дурбина по численному обращению преобразования Лапласа // Труды итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы и программные средства» (Н.Новгород, 27-30 ноября 2007г.). / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2007. - С. 35-38.

18. Белов A.A., Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Дьянов Д.Ю. Влияние вязкоупругих свойств материала на волны перемещений и напряжений в элементах конструкций // Машиностроение: наука, техника, образование: сб.науч.тр. VI Всерос. науч.-практ.конф., г.Саранск, 22-23 окт. 2007г. -Саранск: Изд-во Мордов. ун-та. - 2007. - С. 158-160.

19. Белов A.A., Шишкова Е.А. Применение метода гранично-временных элементов к решению трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости//12 Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки: Материалы докладов (12;. 2007). -Н.Новгород: Изд-во ИП Гладкова О.В., 2007.-С. 51-52.

20. Белов A.A., Шишкова Е.А. Гранично-элементное моделирование динамического деформирования вязкоупругих элементов конструкций в трехмерной постановке//12 Нижегородская сессия молодых ученых. Технические науки: Материалы докладов (12;. 2007). - Н.Новгород: Изд-во ИП Гладкова О.В. - 2007. - С. 61.

21. Белов A.A., Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю. Применение метода гранично-временных элементов к решению трехмерных динамических задач теории упругости // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XI Межд. конф., г.Ростов-на-Дону. Изд-во ООО «ЦВВР». 2007. - С. 59-63.

22. Белов A.A., Игумнов Л.А., Дьянов Д.Ю., Литвинчук С.Ю. Гранично-элементное моделирование решений трехмерных динамических задач теории вязкоупругосги на основе модификации метода Дурбина // Современные

проблемы механики сплошной среды. Труды XI Межд. конф. / г.Ростов-на-Дону. Изд-во ООО «ЦВВР». - 2007. - С. 59-63.

23. Белов A.A., Игумнов JI.A. Вариант гранично-элементного решения интегральных уравнений начально краевых задач трехмерной теории вязкоупругости // XIV международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т. 1. - М.: «ИД МЕДПРАКТИКА-М». - 2008. - С. 37.

24. Белов A.A., Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю. Гранично-элементная методика на основе модифицированного метода квадратур сверток в динамических задачах упругих тел// Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - Вып. 70. - 2008. - С. 156-163

25. Белов A.A. Гранично-элементный расчет динамики составных вязкоупругих тел ¡1 Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. / Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - Вып. 70. - 2008. - С. 164-170

Подписано в печать 25.11.2008. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ № 817. Тираж 100.

Отпечатано в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Математические модели и методы решения.

1.1. Математическая модель.

1.1.1. Постановка упругодинамической краевой задачи.

1.1.2. Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости.

1.2. Фундаментальные и сингулярные решения изотропной теории упругости и вязкоупругости.

1.3. Граничные интегральные уравнения.

1.3.1. Обобщенная формула Сомильяны и гранично-временное интегральное уравнение изотропной теории упругости.

1.3.2. Построение ГИУ для решения задач о колебаниях кусочно-однородных тел.

1.3.3. Граничные интегральные уравнения вязкоупругости.

1.4. Численное обращение преобразования Лапласа.

1.4.1. Интегрирование быстро осциллирующих функций.

1.4.2. Обращение преобразования Лапласа методом Дурбина.

1.4.2.1. Алгоритм метода Дурбина с аппроксимацией трансформанты.

1.4.2.2. Комбинированные формулы метода Дурбина.

1.4.3. Численное обращение преобразования Лапласа на основе метода Дурбина.

1.5. Метод квадратур сверток.

1.5.1. Традиционный метод квадратур сверток.

1.5.2. Модификации метода квадратур сверток.

1.6. Численные результаты на основе метода квадратур сверток.

Глава II. Методика гранично-элементного моделирования.

2.1. Гранично-элементная дискретизация.

2.1.1. МГЭ-схема для однородных тел.

2.1.2. МГЭ-схема для кусочно-однородных задач в изображениях.

2.1.3. Разрешающая система алгебраических уравнений и поэлементное интегрирование.

2.1.4. Учет симметрии задачи.

2.2. Построение дискретных аналогов на основе квадратур сверток.

2.3. Визуализация гранично-элементного моделирования.

2.3.1. Описание формата входных данных.

2.3.2. Пользовательский интерфейс.

2.3.3. Панели инструментов.

2.3.4. Работа мышью.

2.4. Программная реализация.

2.5. Тестовые задачи.

2.5.1. Задача о сферической полости.

2.5.2. Задача о действии скачка давления на торец составного призматического тела.

2.5.2.1. Численное ГЭ-моделирование на основе метода Дурбина.

2.5.2.2. Численное ГЭ-моделирование на основе метода квадратур сверток.

2.5.2.3. Численное ГЭ-исследование кривых деформаций.

2.5.2.4. Сравнение методов квадратур сверток и Дурбина.

Глава III. Решение прикладных задач.

3.1. Задача о действии вертикальной силы на поверхность упругого полупространства.

3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность вязкоупругого полупространства.

3.3. Задача о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью.

3.4. Задача о действии давления внутри сферической полости, расположенной в упругом полупространстве.

3.5. Задача о действии давления внутри кубической полости, расположенной в упругом полупространстве.

3.6. Задача о штампе на полупространстве.

3.7. Задача о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы.

Неразрушающий контроль, диагностика и расчеты на прочность технических объектов; сейсморазведка; мониторинг приповерхностных зон земной среды и т.д. требуют разработки эффективных средств, методов и моделей. В связи с этим возникает задача разработки математических методов и применение их в исследованиях по распространению волн в неоднородных телах из вязкоупругих материалов при вибрационных, ударных нагружениях.

Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и метод граничных элементов (МГЭ) являются универсальным численно-аналитическим подходом к решению трехмерных волновых начально-краевых задач теории вязкоупругости. В некоторых случаях (бесконечные и полубесконечные тела и среды) метод ГИУ и МГЭ являются наиболее предпочтительным универсальным подходом к исследованию волн. К настоящему времени сформировались два основных направления развития метода ГИУ и МГЭ для исследования волновых задач: использование интегрального преобразования и построение шаговых процедур. Численные схемы МГЭ на основе интегральных преобразований обладают ограничением на тип решаемых задач (только когда справедлив принцип соответствия). Точность таких схем существенно зависит от параметров метода численного обращения интегрального преобразования. Считается, что для МГЭ наиболее предпочтителен метод Дурбина. Численные схемы МГЭ, опирающиеся на шаговые процедуры (интерполирование по времени), существенно зависят от выбора шага и применимы только к тем задачам, для которых возможно построение тензора Грина. Так как для волновых задач вязкоупругости тензор Грина во времени в общем случае не существует, то такие численные схемы не эффективны. Однако, возможно построение шаговых схем МГЭ на основе сочетания обоих подходов. Таким сочетанием обладает метод квадратур сверток ориентированный на гранично-временные интегральные уравнения вязкоупругости.

Для рассмотрения задачи о распространении волны, необходимы динамические формулировки исходной системы дифференциальных уравнений и соответствующие ей ГИУ. Использование ГИУ в задачах о исследовании волн начинается с работ В. Вольтерра и Ж. Адамара [1], а в динамической теории упругости с работ Ч.Х. Мюнца [135]. Исследование волновых потенциалов начинается с работ С.Г. Михлина и В.Д. Сапожниковой [80]. Построение соответствующих обобщенных потенциалов теории упругости началось с работ A.Y. De Hoop [108], В. Новацкого [82] и др. Существенный результат по исследованию волновых и обобщенных потенциалов теории упругости можно найти у В.Д. Купрадзе с соавторами [88], Т.В. Бурчуладзе и Т.Г. Гегелиа [45], И.Ю.

Чудиновича [95, 104], Т. Ha-Duong [122] и др. Первая граничная интегральная формулировка для упругодинамики была опубликована Т.A. Cruse и F.J. Rizzo [106, 107]. Эта формулировка применялась в сочетании с преобразованием Лапласа. Соответствующая формулировка в сочетании с преобразованием Фурье была представлена J. Dominguez [109-111]. Распространение ГИУ с преобразованием Лапласа на численное решение трехмерных динамических задач теории упругости было осуществлено в работе И.З. Ройтфарба и Чу Вьет Кыонга [87]. Конкретных примеров решения трехмерных нестационарных динамических задач авторы не привели. Некоторые результаты были получены в [2]. Первая формулировка граничного элемента непосредственно во временной области была представлена W.J. Mansur и использовалась для скалярного волнового уравнения и упругодинамики с нулевыми начальными условиями [133, 134]. Обобщение этой формулировки для ненулевых начальных условий было представлено Н. Antes [97, 98]. Сравнительное исследование возможностей метода граничных элементов в решении задач упругодинамики приводилось в работе G.D. Manolis [130]. Имеется исследование [136], после которого в сочетании с МГЭ-решением на основе преобразования Лапласа, применяется метод Дурбина, как наиболее подходящий для получения численного МГЭ-обращения. Все формулы численного обращения интегрального преобразования зависят от надлежащего выбора их параметров, поэтому разрабатываются МГЭ-схемы во временной области. Н.М. Хуторянским было осуществлено распространение МГЭ-подхода непосредственно во временной области на решение трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости [91] на основе применения сплайна для аппроксимации по временной переменной. При этом в случае конечной границы тела была получена конечно-шаговая численная схема. Дальнейшее развитие методика получила в работах [90, 92, 94], где были рассмотрены различные схемы решения для основных типов краевых задач. Первые трехмерные ГЭ-расчеты на основе постановки для второй основной задачи получены с помощью шаговой схемы Н.М. Хуторянским и В.В. Туриловым [91, 89] и на основе их дискретной модели - в [2]. Детальный обзор по упругодинамическим аспектам граничных элементов и их применению содержится в работах D.E. Beskos [100, 101]. Из последующих работ по построению МГЭ-схем отметим [96, 99, 102, 103, 113, 114, 138, 149, 150, 155]. Все пошаговые процедуры требуют адекватного выбора шага времени. Неверно выбранный шаг по времени приводит к неустойчивости или численному демпфированию. Улучшение устойчивости традиционных пошаговых формулировок граничных элементов возможно на различных основах [21, 97, 102, 105, 123, 132, 139, 141, 143, 146, 147, 151-153].

Ни одна из традиционных пошаговых МГЭ-формулировок не может быть обобщена на вязкоупругий случай. Но можно построить пошаговую МГЭ-формулировку не на основе сплайн-аппроксимации интеграла Вольтерра, а на основе метода квадратур г" сверток. Первая такая формулировка была предложена для динамических задач упругости в [126, 127, 143]. Этот подход использует область Лапласа фундаментального решения, и полученные результаты не только более устойчивы, но и позволяют учитывать действие демпфирования в случае вязкоупругости. Из работ по развитию методов ГИУ и МГЭ в сочетании с методом квадратур сверток отметим следующие: [121, 128, 129].

Принципиально другой подход для динамических задач - это МГЭ с двойным применением теоремы взаимности и метод, опирающийся на линейные регулярные ГИУ. Метод с двойным применением теоремы взаимности предложен D. Nardini и С.А. Brebbia [137, 148]. Построение регулярных линейных ГИУ восходит к работам В.А. Бабешко [8, 13] и развивалось В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимовой [7, 16], А.О. Ватульяном [46-51], JI.A. Игумновым [20-22, 64] и др.

Отдельно следует сказать о задачах полупространства. Методы ГИУ и МГЭ в таких задачах являются частью общего направления - интегрального подхода - по их решению [3, 4, 53, 71, 73, 74, 76-79, 119, 140]. Решения интегральных уравнений, их систем являются основой для изучения соответствующих процессов динамического контактного взаимодействия и, в особенности, возникающих при таком взаимодействии резонансных явлений. Вопросы существования и единственности решения интегральных уравнений детально изложены в публикациях и монографиях И.И. Воровича и В.А. Бабешко [5, 6, 9-12, 14, 15, 56-58] и др. К эффективным методам решения таких интегральных уравнений и систем интегральных уравнений относятся метод факторизации [14, 17, 18], метод фиктивного поглощения [11, 17, 59, 84, 85] и др. В работах [10, 12, 15] было предложено обобщение метода фиктивного поглощения для слоисто-неоднородного полупространства и эффективность продемонстрирована в работах [54, 55, 83, 70-72, 83, 86] и др. Основным достоинством методов факторизации и фиктивного поглощения является высокая степень точности учета динамических свойств среды.

Формулировки МГЭ для динамических задач вязкоупругости не так разнообразны: используются представления ГИУ в изображениях по Лапласу и Фурье. Применяется принцип соответствия с упругодинамическими задачами [118, 124, 131]. Ограничения такого подхода: требование численного обращения интегрального преобразования и невозможность задания граничных условий контакта во времени. Формулировки непосредственно во временной области требуют знания вязкоупругих фундаментальных решений, которые не известны для общего случая. Только для асимптотической модели, максвелловой модели и модели Кельвина-Фойгта, модифицированных моделей Кельвина-Фойгта и стандартного вязкоупругого тела могут быть получены аналитически фундаментальные и сингулярные решения [21, 91, 115], а значит, возможно применение МГЭ [21, 67, 91, 145]. Громоздкость и не технологичность таких формулировок исключает развитие метода в этом направлении. Первые ГЭ-расчеты на основе смешанных постановок для осесимметричных задач вязкоупругости с применением шаговой схемы были получены Н.М. Хуторянским и Л.А. Игумновым [67]. Новая шаговая МГЭ-формулировка для задач вязкоупругости опубликована в работах М. Schanz и Н. Antes [142]. Формулировка основана на методе квадратур сверток. Эта формулировка пользуется преимуществом квадратурной формулы, в которой веса интегрирования определяются существующим преобразованным фундаментальным решением по Лапласу.

Таким образом, в развитии МГЭ для применения к трехмерным динамическим задачам упругости и вязкоупругости заметную роль сыграли работы таких ученых, как Ш.М. Айталиев, Л.А. Алексеева, В.А. Бабешко, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Р.В. Гольдштейн, Л.А. Игумнов, М.И. Лазарев, А.Н. Соловьев, А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский, И.Ю. Чудинович, J.D. Achenbach, Н. Antes, D.E. Beskos, М. Bonnet, Н.В. Coda, J. Dominguez, L. Gaul, L.J. Gray, S. Kobayashi, M. Kogl, W. Kress, G.D. Manolis, M. Marrero, A.D. Mesquita, Y. Niwa, G.H. Paulino, M. Shanz и др. В развитии методов решения соответствующих интегральных уравнений механики деформируемого твердого тела существенные результаты получили В.М. Александров, В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, О.В. Евдокимова, Л.А. Игумнов, В.В. Калинчук, A.M. Линьков, А.В. Манжиров, Н.Ф. Морозов, Д.А. Пожарский, О.Д. Пряхина, А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский и др.

В работе разрабатывается подход совместного использования МГЭ и интегрального преобразования Лапласа с использованием метода Дурбина для решения проблемы численного обращения интегрального преобразования. Кроме того, разрабатывается МГЭ на основе метода квадратур сверток.

Цель работы состоит в развитии МГЭ-методики на основе метода квадратур сверток и интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики упругих и вязкоупругих составных тел при смешанных краевых условиях; в разработке соответствующих алгоритмов и программ, в расчете динамического деформирования трехмерных вязкоупругих составных тел, в создании средств визуализации результатов гранично-элементного моделирования.

Научная новизна работы заключается в следующем. ГЭ-моделирование с использованием, преобразования^ Лапласа впервые реализовано на основе \ комбинированных формул метода Дурбина, учитывающих специфику поведения подынтегрального выражения интеграла Меллина на всем частотном диапазоне. Представлены аппроксимации пошагового (по частоте) кусочно-линейного и кусочно; квадратичного поведения как изображения, так и всего подынтегрального выражения, с возможностью рассмотрения переменного шага.

Метод гранично-временных интегральных уравнений (ГВИУ) в сочетании с методом квадратур сверток - единственный универсальный численно-аналитический подход решения краевых задач вязкоупругости с использованием шаговой схемы. ГЭ-моделирование на основе метода квадратур сверток развито на случай применения комбинированных формул для вычисления квадратурных коэффициентов. Такая формулировка метода впервые устраняет ограничения традиционного подхода. Разработаны и реализованы случаи, когда весовые коэффициенты метода строятся для переменного пошагового (по углу) кусочно-линейного и кусочно-квадратичного поведения изображения соответствующей свертываемой функции.

Создано программное обеспечение для компьютерного анализа динамики а ' Ч составных вязкоупругих трехмерных тел. Представлены результаты численного \ моделирования и верификации предложенных методик и схем.

Достоверность исследований основана на эквивалентности исходной краевой/начально-краевой задачи в частных производных математической теории I вязкоупругости системе используемых граничных/гранично-временных интегральных уравнений; на использовании для численных исследований регуляризованных

ГИУ/ГВИУ; на детально проработанных алгоритмах МГЭ-подхода и оттестированном программном обеспечении; на сравнении полученных результатов с решениями других авторов.

I Практическая значимость результатов исследования состоит в развитии методов

Дурбина, квадратур сверток, граничных элементов с целью получения устойчивых f высокоточных численных решений трехмерной теории вязкоупругости; в создании МГЭпрограммного обеспечения для анализа динамики составных трехмерных вязкоупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласа; в создании МГЭ-программного обеспечения для анализа динамики составных трехмерных вязкоупругих i тел на основе шаговой схемы; в создании программного обеспечения граничноэлементной визуализации.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом квадратур сверток и соответствующее программное обеспечение для расчета во времени неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

2. методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина и соответствующее программное обеспечение для расчета неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

3. модифицированные методы квадратур сверток и Дурбина;

4. программное обеспечение по визуализации результатов гранично-элементного моделирования;

5. ГЭ-решение и анализ следующих волновых задач:

- о действии скачка давления на торец составного призматического тела;

- о действии вертикальной силы на поверхность вязкоупругого полупространства;

- о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью (сферическая, кубическая);

- о действии скачка давления внутри полости (сферическая, кубическая), расположенной в упругом полупространстве; I

- о штампе на полупространстве;

- о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научной конференции, посвященной памяти профессора А.И. Весницкого (Н.Новгород, 2004); IX-X Нижегородских сессиях молодых ученых (Саров, 2004, 2005) и XI-XIII Нижегородских сессиях молодых ученых (Семенов, 2006, 2007, 2008); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006); Всероссийской научно-технической конференции — фундаментальные проблемы машиноведения: новые технологии и материалы (ИМАШ РАН, 2007); XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2007); Итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса «Модели, методы- и программные средства» (Н.Новгород, 2007); VI Всероссийской научно-практической конференции «Машиностроение: наука, техника, образование» (Саранск, 2007); XI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды»

Ростов-на-Дону, 2007); XIV международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24-44, 52, 60-63, 65, 66, 68, 69].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 155 наименований. Общий объем диссертации составляет 180 страниц машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Развита методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом квадратур сверток и создано соответствующее программное обеспечение для расчета во времени неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

2. Развита методика численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина и создано соответствующее программное обеспечение для расчета неизвестных волновых полей трехмерных вязкоупругих составных тел;

3. Разработаны модификации методов квадратур сверток и Дурбина;

4. Создано программное обеспечение по визуализации результатов гранично-элементного моделирования;

5. Получены ГЭ-решения и проведен анализ тестовых и прикладных волновых задач, в том числе:

- о действии скачка давления на торец составного призматического тела;

- о действии вертикальной силы на поверхность вязкоупругого полупространства;

- о действии вертикальной силы на поверхность полупространства с полостью (сферическая, кубическая);

- о действии скачка давления внутри полости (сферическая, кубическая), расположенной в упругом полупространстве;

- о штампе на полупространстве;

- о реакции защитного корпуса атомной станции теплоснабжения на действие ударной силы.

1. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. М.: Наука, 1978. - 352 с.

2. Айталиев, Ш.М. Метод граничных интегральных уравнений в задачах динамики упругих многосвязных тел / Ш.М. Айталиев и др.. Алма-Ата: Гылым, 1992. -228 с.

3. Александров, В.М. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости / В.М. Александров, М.И. Чебаков. М.: Физматлит, 2004. - 304 с.

4. Александров, В.М. Неклассические пространственные задачи механики контактныхвзаимодействий упругих тел / В.М. Александров, Д.А. Пожарский. М.: Факториал, 1998.-288 с.

5. Бабешко, В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа / В.А. Бабешко //

6. Докл. АН СССР. 1989. - Т. 306, № 6. - С. 1328-1332.

7. Бабешко, В.А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Ж.Ф. Зинченко. М.: Наука, 1989. - 343 с.

8. Бабешко, В.А. Интегральный и дифференциальный методы факторизации в задачахдля сплошных сред / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // Тез. докл. IX Всерос. съезда по теоретической и прикладной механике. Н.Новгород, 2006. - С. 12.

9. Бабешко, В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноподобныхтел / В.А. Бабешко // Доклады АН. 1989. - Т. 304, № 2. - С. 318-321.

10. Бабешко, В.А. К расчету параметров высокочастотного резонанса в трехмерномслучае / В.А. Бабешко // Докл. АН СССР. 1994. - Т. 335, № 1. - С. 55-58.

11. Бабешко, В.А. Метод фиктивного поглощения в задачах теории упругости для неоднородного полупространства / В.А. Бабешко, Т.И. Белянкова, В.В. Калинчук // ПММ. 2002. - Т. 66, вып. 2. - С. 276-284.

12. И.Бабешко, В.А. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах /

13. B.А. Бабешко, О.Д. Пряхина // ПММ. 1980. - Т. 44, вып. 3. - С. 477-484.

14. Бабешко, В.А. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства / В.А. Бабешко, В.В. Калинчук // ПММ. 2002. - Т. 66, вып. 2.1. C. 285-292.

15. Бабешко, В.А. Новый метод решений краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей / В.А. Бабешко // Доклады АН.- 1985.-Т. 284, № 1.-С. 73-76.

16. Бабешко, В.А. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред / В.А. Бабешко, О.М. Бабеппсо // ДАН. 2004. - Т. 399, № 3. - С. 63-68.

17. Бабешко, В.А. О решении одного класса смешанных задач для слоистого полупространства / В.А. Бабешко, Т.И. Белянкова, В.В. Калинчук // ДАН. 2001. -Т. 380, №5. -С. 619-622.

18. Бабешко, В.А. Об интегральном и дифференциальном методах факторизации / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко, О.В. Евдокимова // ДАН. 2006. - Т. 410, № 2. - С. 168172.

19. Бабешко, В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости / В.А. Бабешко. М.: Наука, 1984.-256 с.

20. Бабешко, В.А. Формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций / В.А. Бабешко, О.М. Бабешко // ДАН. 2004. - Т. 399, № 1. - С. 163-167.

21. Бабешко, В.А. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями / В.А. Бабешко, И.И. Ворович, И.Ф. Образцов // МТТ. 1990. -№ 3. - С. 74-83.

22. Баженов, В.Г. Метод граничных элементов в трехмерной динамической теории упругости и вязкоупругости с сопряженными полями / В.Г. Баженов, JI.A. Игумнов. Учебное пособие. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. - 328 с.

23. Баженов, В.Г. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями / В.Г. Баженов, JI.A. Игумнов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 352с.

24. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 636 с.

25. Белов, А.А. Гранично-элементный расчет динамики составных вязкоупругих тел / А.А. Белов // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. — Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2008. - Вып. 70. - С. 142-149.

26. Белов, А.А. Расчеты динамических задач теории упругости методом граничных элементов / А.А. Белов, Е.А. Шишкова // 11 Нижегородская сессия молодых ученых. Математические науки./ Н.Новгород: Издание ИП Гладкова О.В., 2006 г. — С. 56.

27. Бурчуладзе, Т.В. Развитие метода потенциала в теории упругости / Т.В. Бурчуладзе, Т.Г. Гегелия. Тбилиси: Мецниереба, 1985.-228 с.

28. Ватульян, А.О. Граничные интегральные уравнения для эллиптических операторов / А.О. Ватульян // Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский Регион. 2000. -№3.- С. 34-37.

29. Ватульян, А.О. Новый вариант граничных интегральных уравнений и их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости / А.О. Ватульян, В.М. Шамшин // ПММ. 1998. - Т. 62, вып. 3. - С. 112-119.

30. Ватульян, А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости / А.О. Ватульян // ДАН РАН. 1993. - Т. 333, №3.-С. 312-314.

31. Ватульян, А.О. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел / А.О. Ватульян, Е.В. Садчиков // Механика твердого тела. 1999. - № 2. - С. 78-84.

32. Ватульян, А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела / А.О. Ватульян. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 224 с.

33. Возбуждение упругих волн в слое пьезокерамическими накладками / Е.В. Глушков и др. // Акустический журнал. 2006. - Т. 52, № 4. - С. 470-479.

34. Ворович, Е.И. Некоторые динамические связанные задачи для электроупругого слоя / Е.И. Ворович, И.А. Зайцева, В.В. Калинчук // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. IV Междунар. конф'. Ростов-па-Дону: Изд-во СКНЦВШ, 1999.-Т. 1.-С. 107-110.

35. Ворович, И.И. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах / И.И. Ворович, В.А. Бабешко, О.Д. Пряхина. М.: Научный мир, 1999. -246 с.

36. Ворович, И.И. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей / И.И. Ворович, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1979. - 320 с.

37. Ворович, И.И. К проблеме низкочастотных резонансов при взаимодействии упругого тела с полуограниченной средой / И.И. Ворович, Т.И. Белянкова, В.В. Калинчук // ДАН. 1998. - Т. 358, № 5. - С. 624-626.

38. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. М.: Наука, 1974. - 456 с.

39. Игумнов, Л.А Граничные интегральные уравнения трехмерных задач на плоских волнах / Л.А Игумнов // Докл. РАН. 2006. - Т. 409, №5. - С. 1-3.

40. Калинчук, В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных тел / В.В. Калинчук, Т.И. Белянкова. М.: Физматлит, 2002. - 240 с.

41. Калинчук, В.В. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих сред / В.В. Калинчук, Т.И. Белянкова. М.: Физматлит, 2006. - 272 с.

42. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С.М. Айзикович и др.. М.: Физматлит, 2006. - 237 с.

43. Линьков, A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости / A.M. Линьков. СПб.: Наука, 1999. - 382 с.

44. Литвинчук, С.Ю. Гранично-элементное моделирование нестационарных трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости: автореф. дис.канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Литвинчук Светлана Юрьевна. Н. Новгород, 2006. - 24 с.

45. Манжиров, А.В. Контактные задачи для неоднородных стареющих вязкоупругих тел / А.В. Манжиров // Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит, 2001.-С. 549-565.

46. Механика контактных взаимодействий. М.: Физматлит, 2001. - 672 с.

47. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения в теории упругости / С.Г.Михлин, Н.Ф.Морозов, Н.В.Паукшто. СПб., 1994. - 272 с.

48. Михлин, С.Г. Метод потенциалов в смешанной задаче для волнового уравнения / С.Г. Михлин. В.Д. Сапожникова // Изв. ВУЗов. Математика. 1977. - № 10. - С. 100-112.

49. Николаев, О.П. Разработка и применение модифицированной методики граничных элементов для трехмерных смешанных задач упругого равновесия: автореф. дис. канд. ф.-м. наук / Николаев Олег Петрович. — Горький, 1983.

50. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир, 1975. - 872 с.

51. Нигул У.К. Волны в слоистых линейных средах / У.К. Нигул, А.С. Стулов // АН Эстонской ССР. Припринт. Таллин, 1985. - 66 с.

52. Пряхина, О. Д. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости / О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова, О.М. Тукодова // ПММ. 1998. -Т. 62. Вып. 5. - С. 834-839.

53. Пряхина, О.Д. Связанная нестационарная задача о возбуждении электроупругого слоя массивным электродом / О.Д. Пряхина, М.Р. Фрейгейм // Изв. РАН, МТТ. -1998.-№2.-С. 111-118.

54. Ройтфарб, И.З. Численный метод решения пространственных динамических задач теории упругости на основе метода потенциала / И.З. Ройтфарб, Чу Вьет Кыонг // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Будивельник. - 1976. - С. 32-38.

55. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / В.Д. Купрадзе и др.; ред. В.Д. Купрадзе. Изд. 2-е. М.: Наука, 1976. - 664 с.

56. Турилов, В.В. Расчет нестационарного динамического деформирования трехмерных упругих элементов конструкций методом гранично-временных элементов: автореф. дис. канд. тех. наук: 01.02.04 / Турилов Валерий Вячеславович. Горький, 1986. - 20 с.

57. Угодчиков, А.Г. Граничные интегро-дифференциальные уравнения нестационарных динамических задач теории упругости / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский // Актуальные проблемы механики деформируемых сред. -Днепропетровск: ДГУ, 1979. С. 197-204.

58. Угодчиков, А.Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский. Казань: Изд-во Казанск. ун - та, 1986. — 295 с.

59. Хуторянский, Н.М. Метод гранично-временных элементов в пространственных задачах нестационарной динамики упругих и вязкоупругих тел: автореф. дисс.доктора техн. наук: 01.02.04 / Хуторянский Наум Маркович. Рига, 1988. -32 с.

60. Чудинович, И.Ю. Метод граничных уравнений в динамических задачах теории упругости / И.Ю. Чудинович. Харьков, 1990. - 121 с.

61. Aimi, A new space-time energetic formulation for wave propagation analysis in layered madia by BEMs / A. Aimi, M. Diligenti // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2008.

62. Antes, H. The boundary integral Approach to static and dynamic contact problems / H. Antes, P.D. Panagiotopoulos // Int. Series of Numerical Mathematics 108. Birkhauser, Basel, 1992.-313 p.

63. Beer, G. The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists / G. Beer, I. Smith, C. Duenser. Springer New York, 2008.

64. Beskos, D.E. Boundary Element Methods in Dynamic Analysis / D.E. Beskos // Applied Mechanics Review. 1987. - Vol. 40, № 1. - P. 1-23.

65. Beskos, D.E. Boundary element methods in dynamic analysis: Part II 1986-1996 / D.E. Beskos // Appl. Mech. Reviews. 1997. - Vol. 50. - P. 149 - 197.

66. Birgisson,B. Elastodynamic direct boundary element methods with Enhanced numerical stability properties / B. Birgisson, E. Siebrits, A.P. Peirce // International journal for numerical methods in engineering. 1999. - Vol. 46. - P. 871-888.

67. ЮЗ.Саггег, J.A.M. Alternative time-marching schemes for elastodynamics analysis with the domain boundary element method formulation / J.A.M. Carrer, W.J. Mansur // Comput. Mech. Springer-Verlag. - 2004. - Vol. 34. - P. 387-399.

68. Chudinovich, I. Boundary equations in dynamic problems of the theory of elasticity /1. Chudinovich // Acta Applicandae Mathematicae. 2001. - Vol. 65. - P. 169-183.

69. Coda, H.B. Three-Dimensional Transient BEM Analysis / H.B. Coda, W.S. Venturini // Computers & Structures. 1995. - Vol. 56(5). - P. 751-768.

70. Cruse, T.A. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part I. / T.A. Cruse, F.J. Rizzo // J. Math. Anal, Applic. 1968 -№ 22. - P. 244-259.

71. Cruse, T.A. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Part II / T.A. Cruse, F.J. Rizzo // J. Math. Anal, Applic. 1968 -№22, 2.-P. 341-355.

72. De Hoop, A.Y. Representation theorems for the displacement in an elastic olid and their application to elastodynamic diffraction theory / A.Y. De Hoop // Delft: Tech. Hogeschoof, 1958, Dr. Sci. Thesis.

73. Dominguez, J. Boundary elements in Dynamics / J. Dominguez // Computational mechanics publication, Southampton, 1993.

74. Dominguez, J. Dynamic Stiffness of Rectangular Foundations / J. Dominguez // Report no. R78-20, Department of Civil Engineering, MIT, Cambridge MA, 1978.

75. Dominguez, J. Response of Embedded Foundations to Traveling Waves / J. Dominguez // Report no. R78-24, Department of Civil Engineering, MIT, Cambridge MA, 1978.

76. Durbin, F. Numerical inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to Dubner and Abate's method / F. Durbin // The Computer Journal. 1974. - Vol.17, 4. -P. 371-376.

77. Frangi, A. "Causal" shape functions in the time domain boundary element method / A. Frangi // Comput. Mechanics / Springer-Verlag. 2000. - Vol. 25. - P. 533-541.

78. Freguency- and Time-domain BEM Analysis of Rigid Track on a Half-Space with Vibration Barriers / W. Hubert et al. // Mechanica. 2001. - Vol. 36. - P. 421-436.

79. Gaul, L. Boundary Element Methods for Engineers and Scientists / L. Gaul, M. Kogl, M. Wagner. Berlin Springer, 2003. - 488 p.

80. Gaul, L. Dynamic boundary element analysis of foundation slabs on layered soil / L. Gaul, P. Klein, M. Plenge // In Boundary elements X. (Brebbia C.A., ed.). Computational mechanics publications. Southampton, Boston, 1988. Vol. 4. - P. 29-44.

81. Guiggiani, M. A General Algorithm for Multidimensional Cauchy Principal Value Integrals in the Boundary Element method / M. Guiggiani, A. Gigante // Journal of Applied Mechanics, ASME. 1990. -№ 57. - P. 906-915.

82. Ha-Duong, T. On Retarded Potential Boundary Integral Equations and their Discretisation / T. Ha-Duong // In: Topics in Computational Wave propagation ( Eds. M. Ainsworth, P. Davies et at. Springer-Verlag, Berlin, 2003. - P. 301-336.

83. Junior, D.S. A time-marching scheme based on implicit Green's functions for elastodynamic analysis with the domain boundary element method / D.S. Junior // Comput. Mech. 2007. - № 40. - P. 827-835.

84. Lachat, J.C. Effective numerical treatment of boundary integral equations: a formulation fot three-dimensional elastostatics / J.C. Lachat, J.O. Watson // Int. J. Numer. Mech. Eng. 1976. -№ 10.-P. 991-1005.

85. Lubich, C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. I. / C. Lubich //Numerische Mathematik. 1988. -№ 52. - P. 129-145.

86. Lubich, C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. II. / C. Lubich // Numerische Mathematik. 1988. -№ 52. - P. 413-142.

87. Lubich, C. On the multistep time discretization of linear initial-boundary value problems and their boundary integral equation / C. Lubich // Numer. Math. 1994. - № 67. - P. 365-389.

88. Lubich, C. Time discretization of parabolic boundary integral equations / C. Lubich, R. Schneider // Numer. Math. 1992. - № 63. - P. 455-481.

89. Manolis, G.D. A comparative study on three boundary element method approaches to problem in elastodynamics / G.D. Manolis // Int. J. Num. Meth. Eng. 1983. -Vol. 19, 1. -P. 73-91.

90. Manolis, G.D. Dynamic stress concentration studies by the boundary integrals and Laplace transform / G.D. Manolis, D.E. Beskos // Int. J. Num. Meth. Eng. 1981.- Vol. 17, 4.-P. 573-599.

91. Mansur, W.J, Time discontinuous linear traction approximation in time-domain BEM scalar wave propagation / W.J. Mansur, J.A.M. Carrer, E.F.N. Siqueira // International journal for numerical methods in engineering. 1998. Vol.42, № 4. - P. 667-683.

92. Mansur, W.J. A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems Using the Boundary Element Method / W.J. Mansur // Phd thesis, University of Southampton, 1983.

93. Mansur, W.J. Transient Elastodynamics Using a Time-Stepping Technique / W.J. Mansur, C.A. Brebbia // In Boundary Elements. Berlin, Springer-Verla, 1983. - P. 677698.

94. Muntz, Ch.H. Sur la resolution du probleme dynamique de l'elasticite / Ch.H. Muntz // C. r. Acad. Sci.- 1932.-Vol. 194, № 17.-P. 1456-1459.

95. Narayanan, G.V. Numerical operational methods for time-dependent linear problems / G.V. Narayanan, D.E. Beskos // Int. J. Num. Meth. Eng. 1982. - Vol.18 (12). - P. 1829-1854.

96. Nardini, D. A New Approach to Free Vibration Analysis Using Boundary Elements / D. Nardini, C.A. Brebbia // In Boundary Element Methods. (Brebbia C.A., Ed.). Springer-Verlag: Berlin, 1982. - P.312-326.

97. Numerical computation of internal stress and velocity in time-domain BEM formulation for elastodynamics / Jr. D Soares et al. // Computational Mechanics / Springer-Verlag. -2002.-Vol. 30.-P. 38-47.

98. Peirce, A. Stability Analysis and Design of Time-Stepping Schemes for General Elastodynamic Boundary Element Models / A. Peirce, E. Siebrits //. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997. - Vol. 40(2). - P. 319-342.

99. Polyanin, A.D. Handbook of Integral Equations, Second Edition / A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov // Boca Raton: Chapman&Hall / CRC. Precss, Boca Raton. 2008. - 1144 p.

100. Rizos, D.C. An Advanced Direct Time Domain BEM Formulation for General 3-D Elastodynamic Problems / D.C. Rizos, D.L. Karabalis // Computational Mechanics. -1994. -№ 15.-P. 249-269.

101. Schanz, M. A new visco- and elastodynamics time domain boundary element formulation / M. Schanz, H. Antes // Computational mechanics. 1997. - Vol. 20, № 5. -P. 452-459.

102. Schanz, M. Application of 'Operational quadrature methods' in time domain boundary element methods / M. Schanz, H. Antes // Mechanica. 1997. - Vol. 32, № 3. - P. 179186.

103. Schanz, M. Boundary element Analysis / M. Shanz, O. Steinbach // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Springer-Berlin. - Vol.29. - 2007. - 352 p.

104. Schanz, M. Implementation of viscoelastic behaviour in a time domain boundary element formulation / M. Schanz, L. Gaul // Applied mechanics review. 1993. - Vol.46, № 11 (part 2).-P. S41-S46.

105. Schanz, M. Numerical damping and instability of a 3-D BEM time-stepping algorithm / M. Schanz, L. Gaul, H. Antes // Extended abstracts of IABEM 93, Braunschweig, 1993.

106. Schanz, M. Wave Propogation in Viscoelastic and Poroelastic Continua / M. Schanz // Berlin Springer, 2001.- 170 p.

107. Schclar, N.A. Anisotropic analysis using boundary elements / N.A. Schclar. Southampton, Boston: Computational Mechanics Publications. 1994. - 152 p.

108. Soares, Jr. D. An efficient stabilized boundary element formulation for 2D time-domain acoustics and elastodynamics / Jr. D. Soares, W.J. Mansur // Comput. Mech. Springer-Verlag. - 2007. - Vol. 40. - P. 355-365.

109. Wave Propagation in Infinite Domains // Springer-Verlag (D. Haank, M.Mos, P. Hendriks eds) 2007. - Vol. 31.

110. Yu, G. A Linear 9 for 2-D Elastodynamic BE Analysis / G. Yu, W.J. Mansur, J.A.M. Carrer // Computational Mechanics. 1999. - Vol. 2A. - P. 82-89.

111. Yu, G. Stability of Galerkin and collocation time domain boundary element methods as applied to the scalar wave equation / G. Yu, W.J. Mansur, J.A.M. Carrer, L. Gong // Computers and Structures. 2000. Vol. 74, № 4. - P. 495-506.

112. Yu, G. Time weighting in time domain BEM / G. Yu, W.J. Mansur, J.A.M. Carrer, L. Gong // Engineering analysis with boundary elements. 1998. Vol. 22, № 3. - P. 175181.

113. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate. // Int.J. of Solids and Structures. 2004. V. 41. P. 3653-3674.

114. Zhong, M. The analysis of dynamic stress intensity factor for semi-circular surface crack using time-domain BEM formulation/ M. Zhong, Y. Zhang // Appl. Mathem. and Mechan. Engl. Edition. - 2001. - Vol. 22, № 11. - P. 1344-1351.